Problema de Coordenadas Cartesianas
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Academia Preuniversitaria LEHNINGER Gua de Estudio N 1 Ciclo Intensivo
Academia Preuniversitaria LEHNINGER Informes: Palacio Viejo 304 Telf. 789401
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PROBLEMAS PROPUESTOS
SISTEMA COORDENADAS
RECTA
01. Determinar la naturaleza del triangulo cuyos vrtices son:
A(2,-2); B(-8,4) y C(5,3). Determinar su rea.
a) Issceles : 34u2 b) Rectngulo: 34u2
c) Escaleno : 21u2 d) Equiltero: 34u2
e) N.A.
02. Si ACBCAB , calcular m + 3n
y
0x
A(-3,4)
B(-3,-2)
C(m,n)
a) 3
b) 2 3
c) 3 3
d) 6
e) 3
03. Desde P(-10,0) se traza una perpendicular a la bisectriz del
segundo cuadrante, hallar las coordenadas de punto de interseccin.
a) (-5,10) b) (-10,10) c) (-10,5)
d) (-5,5) e) (5,5)
04. La distancia de los puntos A y B es 10u y de B y C es 17u.
Calcular la distancia de los puntos A y C. A(-1;1); B(x,9) y C(20,y).
a) 21 697 b) 21 691 c) 22 697
d) 22 691
e)N.A.
05. Un tringulo equiltero tiene dos vrtices con coordenadas (1,4) y (5,0). Hallar su rea
a) 2 3 u2 b) 4 3 u2 c) 6 3 u2
d) 8 3 u2 e) 6 u2
06. Del grfico, calcular el radio
(4,2)
x
y
R
a) 8
b) 10
c) 13
d) 14
e) 18
07. Del grfico, hallar b a, si AB = 10 y AD =5
A
y
37
D(a,y)
C(x,b)
B
a) 1
b) 3
c) 7
d) 17
e) 21
08. De la f igura calcular: tgtg
x
y
53
a) 1,5
b) 1,8
c) 2
d) 2,4
e) 3,3
09. A(-5;-2) y B(4,5) son dos vrtices de un triangulo. El tercer
vrtice c(x,y) es tal que 54AC y 25BC .Determinar
C.
a) (3,2) (-1,-2) b) (3,2) (-1,-10) c) (-3,-2); (1;10)
d) (4,2) (-1,10) e) N.A.
10. Dados los puntos A(2,2) y B(5,-2) encontrar en el eje de las
abscisas el punto M ms cercano al origen tal que el ngulo AMB, sea recto. Indicar la suma de sus coordenadas
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 3
11. Del grafico calcular las coordenadas de A: ABCD es un
cuadrado.
26,5B
D
R
C
5
a) ( 15;35 ) b)
2
15;25 )
c)
2
15;
2
35 d)
2
35;45
e) N.A.
12. Del grfico mostrado, determine la distancia PQ
A(2,3)
B(8,15)
Q(9,7)2n
n
a) 2
b) 5
c) 7
d) 3
e) 8
13. Hallar las coordenadas del punto R sobre el segmento PQ,
tal que: PQPR5
3 , donde P(3,5) y Q(9,-7).
a)
5
11;
5
1 b)
5
11;
5
11 c)
5
11;
5
33
d)
5
12;
5
26 e)
33 12;
5 5
14. Hallar el rea del tringulo AOB de la f igura:3
2
BC
AB
O
x
y
A
B
C(10,6)
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
15. En la f igura mostrada calcule las coordenadas del punto E
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(-3,-1)
(-2,4)(5,8)
n
2n
E
a) (1,2)
b) (3,-2)
c) (6,-3)
d) (6,-1)
e) (-3,6)
16. Dos vrtices consecutivos de un cuadrado tiene por coordenadas (-6,1) y (1,3). Calcular su rea
a) 19u2 b) 21 c) 53 d) 31 e) 47
17. Tres de los vrtices de un paralelogramo son (-1,6); (2,1) y (4,8). Hallar las coordenadas del cuarto vrtice.
a) (1,13) (7,3) (-3,-1) b) (1,12) (6,-3) (-3,-1)
c) (1,13) (7,-3) (-3,-1) d) (-1,13) (6,4) (-3,1)
e) N.A.
18. En el grafico hallar la distancia entre los centros de los
cuadrados mostrados. Si A(0,14) y B(2,0).
y
x
A
B
a) 130
b) 150
c) 115
d) 3
e) N.A.
19. Calcular las coordenadas del centro del cuadriltero formado
por los puntos medios del cuadriltero cuyos vrtices son los puntos (1,-1); (3,3);(9,5) y (7,-3)
a) (1,1) b) (3,2) c) (5,1)
d) (7,3) e) (4,1)
15. Los vrtices de un tringulo son A(1,1) y B(-5,9) y C(5,4).
Exteriormente y relativo ala lado AB se ubica el punto P y en BC el punto R, tal que RB = 2 . RC.
Hallar la suma de las coordenadas de P. Si APRC es un paralelogramo .
a) b) 1/3 c) 2/3 d) e) N.A.
16. Calcular las coordenadas del incentro del tringulo ABC, A = (0,0), B = (8,0) y C = (4,3)
a) (4,1/3) b) (4,2/3) c) (4,1)
d) (4,4/3) e) (4,1/6)
17. Del grafico uOT 4 y 3TA=AN. Calcular y1.
y
xAT
O N
(12,y )1
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
18. Dados los vrtices consecutivos de un cuadrado : A(0,1);
B(3,5); C(7,2) y D(x,y). Hallar D y la longitud de la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado.
a) (4,-2); 25 b) (-4, 2); 25 c) (4,-2); 210
d) (-3,1); 25 e) N.A.
19. Hallar la distancia entre el ortocentro y circuncentro del
triangulo ABC, cuyas coordenadas son: A(-6,-4); B(-5,3)
y C(-2,-1).
a) 4
25 b)
2
25 c)
5
26 d)
2
27 e) N.A.
20. Hallar la razn r en que el punto P(x,x+1) divide al
segmento FG, donde F(6,-2) y G(0,0).
a) 4 b) 6 c) 7 d) -9 e) -8
21. Uno de los vrtices de un tringulo es (2,-3) y su baricentro es
el punto (4,1). determinar la longitud de la mediana que parte de dicho vrtice
a) 5 b) 2 5 c) 3 5 d) 6 e) 7
22. En un tringulo rectngulo AOC, recto en O, m AOB = 30 y
A (0,2), calcular la distancia del baricentro de la regin triangular AOB al vrtice B (O es el origen de coordenadas)
a) 2
133
b) 2
33
c) 3
132
d) 1
133
e) 13
23. Determinar el producto de las coordenadas del punto de
interseccin de las medianas del tringulo de vrtices, A(1,2) , B(5,3) y C(3,4)
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12
24. G(2,3) es el baricentro de un triangulo ABC . G1 (4,6) y
G2(3,-1) son los baricentros de dos tringulos formados
uniendo G con los vrtices A, B y C. Determinar estos
vrtices.
a) (10,0) ; (3,6); (-7,3) b) (-4,5); (6,-1); (4;5)
c) (-4,3); (-2,-1); (7,0) d) (11,0); (-1,15); (-4,-6)
e) N.A.
25. La base de un triangulo issceles ABC son los puntos A(1,5)
y C(-3,1). Sabiendo que B pertenece al eje x. Hallar el rea
del triangulo.
a)10u2 b) 11 u2 c) 12 u2 d) 13 u2 e) N.A.
26. El rea de un triangulo es 3u2 , dos de sus vrtices son los
puntos A(3,1) y B(1,-3); el tercer vrtice esta sobre el eje x.
Determinar las coordenadas de C.
a) (4,0) (-1,0) b) (6,0) (-2,0) c) (4,0) (1,0)
d) (-5,0) (1,0) e) N.A,
27. En el grafico mostrado hallar el rea mxima de la regin
triangular mostrada
x
y
a) 2,5u2
b) 3,5 u2
c) 4,0 u2
d) 4,5 u2
e) 5,0 u2
28. El rea de un paralelogramo es 12u2; dos de sus vrtices son
los puntos (-1,3) y (-2,4). Hallar los otros dos vrtices de este
paralelogramo, si el punto de interseccin de sus diagonales est ubicado en el eje de las abscisas
a) (-6,-4) y (-7,-3) b) (-3,-6) y (-1,-7) c) (-3,-1) y (-6,-1)
d) (-7,-6) y (-9,-3) e) (-3,4) y (4,5)
29. El rea de un triangulo es 1u2 , dos de sus vrtices son los
puntos A(3,1) y B(1,-3); el tercer vrtice esta sobre el eje x.
Determinar las coordenadas de C.
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a) (2,0) (3,0) b) (-2,0) (3,0)
c) (4,0) (3,0) d) (-2,0) (-3,0)
e) N.A,
30. Sean A(1,4); B(3,1) ; (12,7) y D, vrtices de un paralelogramo
ABCD, calcular la inclinacin de OD , si O es el origen de
coordenadas .
a) 41 b) 37 c) 53 d) 16 e) 8.
31. Hallar la pendiente de la recta que forma un ngulo de 45 con la recta que pasa por los puntos (2,-1) y (5,3)
a) 2 b) 2 c) 1 d) e) N.A
32. En el grfico calcular la pendiente de la recta L, si ON = a, BA = b y NUBE es un cuadrado.
U
B
N A
E
x
y
O
a) a
b a b)
b
a b c)
a
b d)
a
a b e)
b
b a
33 . Hallar en el eje de las abscisas, un punto P de manera que la
suma de sus distancias a los puntos M(1,2) y N(3,4) sea mnima.
a) (-5/3,0) b) (5/3,0) c) (1,0) d) (3,0) e) (-3,0)
34. Sean los puntos A(0,6), B(4,8) y C(x,0). Calcular la abscisa de
C, para que el recorrido de A a B pasando por C sea la menor posible.
652 ) 4
5 )
5
12 )
7
12 )
12
7 )
ed
cba
35.. Los extremos de un segmento son: A(2,-2) y B(5,3). Hallar la
pendiente del segmento BC . Si las coordenadas de C son
(x,8); adems (-8,x), y A y B forman un triangulo rectngulo
(recto en A).
a) 1 b) 3 c) 5 d) -7 e) N.A.
36. Hallar los valores de "a" de manera que las siguientes ecuaciones:
ax + (a 1 )y 2(a+2) = 0
3ax - (3a + 1)y (5a + 5) = 0; representen a dos rectas:
a) paralelas b) coinicidentes
37. En la f igura la ecuacin de la recta L es 4x + (3-b)y 7=0. Hallar b
45 x
O
L y
a) 7
b) 5
c) 3
d) 1
e) 1
38.. El valor del ngulo que forman las rectas L1 y L2 del grafico
mostrado es:
LL
1
2
0
a) arc cos
776
625 b) arc cos
625
336
c) arc cos
97
136 d) arc cos
625
49
e) arc cos
776
144
39. Dada la recta L1: 3x 2y = - 12, hallar la ecuacin de la recta L2 que es paralela a L1 y que forma con L1 y los ejes coordenados un trapecio de rea igual a 15u2.
L1
L2
O
x
y
a) 2y 3x = 18 b) 2y 3x = 1
c) 2y x = 8
d) 2y 3x = 8 e) N.A.
40. Hallar el rea sombreada segn la f igura:
xO
y
y- 5x - 4 = 0
x=2
M
N
a) 9u2
b) 10
c) 18
d) 20
e) 5
41. Determinar un punto Q simtrico al punto (2,8), respecto a la recta L: 6x 4y 12 =0
a) (-2,10) b) (2,10) c) (-2,2)
d) (-1,10) e) N.A.
42. La pendiente de la recta L que pasa por los puntos A(a,a+1) y
B(1,-2) es 3, hallar la ecuacin de la recta L1 que es perpendicular a L y que pasa por el punto A.
a) x + 3y + 15 = 0 b) x + 3y + 16 = 0
c) x + 3y 1 = 0 d) x + 3y 15 = 0
e) x + 3y 16 = 0
43. De la grafica. Calcular el rea del circulo, si se tienen las
rectas.
1L : x = 8 2 : 6L y
L1
L2
x
y
0
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) N.A.
44. Si el punto P(a,1) pertenece al segmento de extremos A(-3,2) y
B(11,-3/2). Hallarla ecuacin de la recta que pasa por P
perpendicular a AB
a) x 4y + 3 = 0 b) 4x y 3 = 0
c) x 3y + 1 = 0 d) 3x 2y 1 = 0
e) 4x 3y 1 = 0
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45. Calcular la ecuacin de la recta L mostrada en la siguiente
f igura.
x
y
(2,2)
L
a) y = x- 4
b) y = x 5
c) x = y 4
d) x = y 5
e) N.A.
46. Sean las rectas :
L1: 3x + y 4 = 0
L2: -3x + 4y + 3 = 0
3
7L : (a) x y 4 0
19
Calcule el valor de a; si L3 contiene al punto de interseccin de L1 y L2
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
47. Hallar los valores de a y b si el punto de interseccin de las
rectas L1: ax + ( 2 b ) y = 23; L2: (a 1)x + by = - 15, en el punto (2, - 3)
a) a = 4; b = 3 b) a = 4; b = 7 c) a = 5; b = 7
d) a = 4; b = 6 e) N.A
48. Del grafico, calcular la ecuacin de la recta paralela a OL y
que contiene a E, sabiendo que el lado del cuadrado OLAS
es 8.
x
y
0
53
EA
LS
a) 113
4
xy b) 10
3
4
xy
c) 104
3
xy d) 11
3
4
xy
e) 103
4
xy
49. En la f igura mostrada, calcular la pendiente de la recta L1, si
la recta L2 tiene por ecuacin y=3x.
x
yL1 L2
0
6
9
a) 2
3m b)
3
2m
c) 2
3m d)
3
4m
e) 3
2m
50. Los puntos A(2,3), B(8,6) y C(6,-2) son los vrtices del
tringulo ABC. Hallar la tangente del mayor ngulo formado por
la mediatriz del lado AB y el lado BC
A) 4/5 b) 5/4 c) 5/4 d) 6/7 e) 6/7
51. Los puntos A y B pertenecen a la recta de ecuacin x y + 4 =
0 y forman con el punto )323,321( C un tringulo
equiltero. Hallar la suma de las coordenadas de A y B
a) 2 b) 4 c) 6 d) 11/2 e) 15/2
52. En el triangulo cuyos vrtices son A=(2,5) , B=(4,2) y C(6,-
3). Encontrar la distancia del ortocentro de dicho triangulo al
lado AC .
a) 96 5
5 b)
96 6
6 c)
95 5
5
d) 95 6
6 e) N.A.
53. En la f igura mostrada determine la ecuacin de L1 y L2 respectivamente.
A(1,2)
B(7,4)
C(6,-3)
L1
L2
a) x + 2y = 10; 2x y = 10 b) x + 2y = 5; 2x y = 10
c) 2x + y = 10; x 2y = 5 d) 2x + y = 10; x 2y = 10
e) x + y = 5; x y = 5
54.. Sean A=(0,0); B=(6,6) y C=(a,0) vrtices de un triangulo,
calcular la ecuacin general de la recta que contiene a la
altura relativa al lado AB, si: M(4,3) es punto medio del BC .
a) x - y 3=0 b) x + y + 4=0 c) x + y 4=0
d) x + y + 2=0 e) x + y 2=0
55. Del grafico 1L : y = ax + b y 2L : 2y = x + c
Calcular: a+b + c.
L1L2
x
y
P(8,7)
0
a) 24
b) 25
c) 26
d) 27
e) N.A.
56. Se tiene una circunferencia de centro O1 y dimetro AB que
pertenece a la recta L: y = x (O es origen de coordenadas) en
la circunferencia se ubica el punto P (4,3) y OA = 2 . Calcular
la ecuacin cartesiana de la recta que contiene a O1 y que es
perpendicular a 1O P
a) x + 7y 23 = 0 b) 7x + 7y 23 = 0 c) 7x + y 23 = 0 d) 17x + 7y 23 = 0
e) N.A.
57. Los vrtices de un cuadriltero son A(-3,1); B(0,3); C(3,4) y
D(6,-3), encontrar la ecuacin que contiene al vrtice D y el
punto medio del segmento que contiene a los baricentro de los tringulos ABC y ACD
a) 4y + 5x 9 = 0 b) 3y + 4x 1 = 0
c) 4y + 5x + 9 = 0 d) 5x 4y 9 = 0
e) 5y + 4x 9 = 0
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58. Calcular el rea de la regin triangular determinada por una
recta cuya pendiente es 2, con los ejes coordenados. Si la
distancia del punto (1,3) a dicha recta es 5 cm.
a) 9cm2 b) 7 cm2 c) 8 cm2 d ) 10 cm2 e) N.A.
59. En el plano cartesiano se tiene la recta 3x 4y + 24=0 y el
punto P(1,10). Calcular la suma de las coordenadas del
centro de un cuadrado donde un lado es paralelo a dicha
recta y el punto P es vrtice del cuadrado cuyo lado es 5.
a) 10 b) 11 c) 13 d) 14 e) 15
60. Dado P=(6,4), calcular la ecuacin de la mediatriz del OP en
el plano cartesiano.
Si O es el origen de coordenadas.
a) 2y + x 11= 0 b) 2y + 2x 12= 0
c) 2y + 3x 13= 0 d) 2y + 4x 14= 0
e) N.A.
61. Una recta pasa por el punto 8
,43
P
y forma con los ejes
coordenadas un triangulo de permetro 24u y rea 24u2.
Hallar su ecuacin.
a) 3x + 2y = 22 b) 3x + 3y = 23
c) 3x + 4y = 24 d) 3x + 5y = 25
e) N.A.
62. Dados los vrtices de un cuadriltero ABCD, A(2,3), B(3,6),
C(5,4) y D(5,0), donde las diagonales se intersectan en el
punto Q. Hallar la pendiente de la recta que es bisectriz del ngulo BQC.
a) 1 b) 2 c)3 d) 2,5 e) 4
63. En el grfico L1 L2, calcule la distancia del punto P a la recta
L2
(0,8)
(6,0)
P(15,5)
L1
L2
a) 2
b) 3
c) 5
d) 4
e) 6
64. El rea de una regin triangular es 8u2.Calcular la suma de las
coordenadas de uno de los vrtices, si son nmeros enteros y
se encuentran en la recta de ecuacin: 2 y
x2
, sabiendo
que los otros vrtices tienen coordenadas (1, -2) y (2, 3)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
65. En el grfico mostrado. Hallar la ecuacin de L, si T es punto de tangencia, PERU es un cuadrado y P( -3 , 0 ), E( 0 , 2 )
P
E
R
U
L
y
x
T
a) 17x 6y +64 = 0 b) 7x 6y +64 = 0
c) x 3y +64 = 0 d) 17x 5y +64 = 0
e) 17x 6y +32 = 0
66. En un plano cartesiano X Y de origen O se tiene un
cuadrado OABC de modo que A ( 0, m ), en BC se ubica el
punto P (12,3). Hallar la ecuacin de la recta que contiene a
la bisectriz del ngulo PAB.
a) x + 3y 36 = 0 b) x - y 6 = 0
c) x + 3y 3 = 0 d) x - 2y 36 = 0
e) x - 3y 36 = 0
67. Un nio ubicado en su casa A(-7,1) desea traer agua de un ro
representado por la recta L:2x-y-5=0 y llevarla hasta un lugar
ubicado en el punto B(-5,5). Hallar un punto sobre el ro de manera que la distancia que recorra sea mnima.
a) (-2,1) b) (1,-3) c) (3,-1) d) (2,-1) e) (4,3)