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Problema de Monty Hall

En el concurso la bsqueda de un nuevo coche tras las puertas, el jugador elige inicialmente la puerta 1. El presentador le abre la puerta 3 y le revela que hay una cabra y le ofrece la posibilidad de elegir la puerta 2 en vez de la 1.

El problema de Monty Hall es un problema matemtico de probabilidad que est inspirado por el concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal (Hagamos un trato). El nombre del problema tiene su origen en el nombre del presentador del concurso: Monty Hall.

La premisa

El concursante en el concurso televisivo debe elegir una puerta de entre tres (todas cerradas), el premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrs de la elegida. Se sabe con certeza que tras una de ellas se oculta un automvil, y tras las otras dos hay sendas cabras. Una vez que el concursante haya elegido una puerta y le comunique al pblico y al presentador su eleccin, Monty (el presentador) abrir una de las otras puertas y mostrar que detrs hay una cabra. En este momento se le da la opcin al concursante de cambiar, si lo desea, de puerta (tiene dos opciones) Debe el concursante mantener su eleccin original o escoger la otra puerta? Hay alguna diferencia?

Esa pregunta ha generado un intenso debate. Como la respuesta correcta parece contradecir conceptos bsicos de probabilidad, se puede considerar como una paradoja. La respuesta se basa en suposiciones que no son obvias y que no se encuentran expresadas en el plantemiento del problema, por lo que tambin se puede considerar como una pregunta con trampa.

La premisa original

A continuacin se expone el enunciado ms famoso del problema, extrado de una carta de Craig F. Whitaker a la columna de Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990 (como la citan Bohl, Liberatore, y Nydick).

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Supn que ests en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas:

detrs de una de ellas hay un coche, y detrs de las otras, cabras. Escoges una

puerta, digamos la n1, y el presentador, que sabe lo que hay detrs de las

puertas, abre otra, digamos la n3, que contiene una cabra. Entonces te

pregunta: "No prefieres escoger la n2?". Es mejor para ti cambiar tu

eleccin?

ste es una nueva formulacin del problema proporcionado por Steve Selvin en una carta a American Statistician (febrero, 1975). Como se ha dicho anteriormente, el problema est inspirado en el concurso televisivo, a pesar de que los concursantes de Let's Make a Deal no tenan opcin de cambiar su eleccin. Como Monty Hall contest a Selvin [1],

Y si alguna vez vas a mi programa, las reglas tambin se te aplicarn -- no se

permite cambiar de caja despus de realizar tu eleccin.

En la carta posterior de Selvin a American Statistician (Agosto, 1975) aparece la que parece ser la primera mencin del trmino "problema de Monty Hall".

Un problema anlogo denominado "problema de los tres prisioneros", apareci en la columna Mathematical Games, de Martin Gardner, en 1959. La versin de Gardner hace el proceso de eleccin explcito, evitando las suposiciones de la versin original.

La premisa completa

Se ofrece un concurso cuya mecnica es la siguiente:

Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrs de la puerta que escoja.

Despus de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrs de cada puerta.

Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su eleccin inicial y escoger la otra puerta que descart originalmente, que contina cerrada.

La pregunta oportuna es: debe hacerlo o no?

La solucin

Suposiciones iniciales

Esta solucin se basa en tres suposiciones bsicas:

que el presentador siempre abre una puerta, que la escoge entre las restantes despus de que el concursante escoja la suya,

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y que tras ella siempre hay una cabra.

Estas suposiciones no se encuentran explcitamente en el enunciado.

Un estudio probabilstico

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. Qu cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposicin errnea es que, una vez slo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errnea ya que el presentador abre la puerta despus de la eleccin de jugador. Esto es, la eleccin del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opcin la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Adems, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opcin (con una probabilidad de 2/3), el presentador slo tiene la opcin de abrir una puerta, y esta es la nica puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su eleccin original gana si escogi originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogi originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su eleccin si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

Para matemticos: Sea X:(Omega, P) {1,2,3} la puerta aleatoria detrs de la cual se encuentra el coche. Sea Y:(Omega, P) {1,2,3} la puerta que escoge aleatoriamente el candidato. Las variables aleatorias X e Y son estocsticamente independientes. Sea M: (Omega, P) {cabra, coche} lo que se encuentra detrs de la puerta que el moderador, de manera aleatoria, escoge (entre las que an no se han abierto). Se cumple entonces [M=cabra] con probabilidad 1 (o siempre). La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que l no cambia de puerta es entonces P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]=1/3. La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que l cambia de puerta es entonces P[XY|M=cabra]=1-P[X=Y]=2/3. (Esta es la solucin correcta.)

Una solucin incorrecta se obtiene de la siguiente interpretacin: Si, por otro lado, el presentador escoge de manera aleatoria y uniforme entre las puertas que an no se han abierto, entonces la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que l no cambia de puerta) es

P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] +

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P[M=cabra|XY]P[XY])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Por lo tanto, 0,5 es la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que l cambia de puerta), pero esta respuesta no es aplicable a nuestro problema.

Por qu sucede esto?

Porque lo que muestra el presentador no afecta a tu eleccin original, sino slo a la otra puerta no escogida. Una vez se abre una puerta y se muestra la cabra, esa puerta tiene una probabilidad de 0 de contener un coche, por lo que deja de tenerse en cuenta. Si el conjunto de dos puertas tena una probabilidad de contener el coche de 2/3, entonces, si una tiene una probabilidad de 0, la otra debe tener una probabilidad de 2/3. La eleccin, bsicamente, consiste en preguntarte si prefieres seguir con tu puerta original o escoger las otras dos puertas. La probabilidad de 2/3 se traspasa a la otra puerta no escogida (en lugar de dividirse entre las dos puertas restantes de modo que ambas tengan una probabilidad de 1/2) porque en ningn caso puede el presentador abrir la puerta escogida inicialmente. Si el presentador escogiese al azar entre las dos puertas con cabras (incluyendo la del concursante), abriese una de ellas y luego diese de nuevo a elegir, entonces las dos puertas restantes s tendran la misma probabilidad de contener el coche.

Explicaciones alternativas

El problema con las 100 puertas

Una forma ms clara de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber slo tres puertas hubiese 100, y tras la eleccin original el presentador abriese 98 de las restantes para mostrar que tras de ellas hay cabras, si no cambiase su eleccin ganara el coche slo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces), mientras que si la cambia, ganara si no lo ha escogido originalmente (y por tanto es lo que resta tras abrir las 98 puertas), 99 de cada 100 veces.

Una explicacin grfica

Por si no se ve claro, aqu va una explicacin grfica: tenemos 3 cajas:

([?][?][?]) antes de comenzar el juego, la probabilidad de encontrar el premio entre las tres cajas es de 1/3 (es decir el premio est dentro del grupo de las tres cajas, y existe una posibilidad entre tres de encontrarlo).

Se elige la 1ra.

([?]) vs ([?][?]) ahora hay dos grupos: la caja que yo eleg (con probabilidad 1/3 y el grupo de las otras dos cajas (con probabilidad 2/3).

([?]) vs ([?][?]) = 1/3 vs (1/3,1/3)

Se descubre una cabra.

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([?]) vs ([B][?]) = x vs (0,1-x)

Dnde es ms probable que se encuentre el premio? en mi caja o entre las otras dos (aunque una est descubierta)?

Evidentemente es ms probable que est entre las otras dos.

Comprobmoslo con 6 cajas (cinco contienen cabra y una premio):

([?][?][?][?][?][?])antes de empezar hay una probabilidad 1/6 de encontrar el premio dentro del grupo.

Elijo la primera (o cualquier otra).

([?]) vs ([?][?][?][?][?])ahora hay dos grupos: la caja que yo eleg (con probabilidad 1/6 y el grupo de las otras cinco cajas (con probabilidad 5/6).

Preguntmonos en este punto: dnde es ms probable que est el premio, en la caja que he elegido (1/6) o entre las 5 restantes (5/6)?

Se descubren 4 cabras.

([?]) vs ([B][B][?][B][B])=1/6 vs 5/6.

Otra vez la misma pregunta: dnde es ms probable que est el premio, en mi caja o entre las otras 5?

Referencias

Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, no. 2, pp. 8994

Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 19.

Joseph Bertrand (1889) Calcul des probabilites Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American,

October 1959, pp. 180182. Reprinted in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.

Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", Bridge Today, May-June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), For Experts Only, Granovetter Books.

Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (1999), "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html (retrieved July 5, 2005).

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Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton, NJ: 2000, pp. 192-193. (ISBN 0-691-00979-1).

Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (February 1975).

Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (August 1975).

Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times 21 July 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5

vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1990). [cited in Bohl et al., 1995]

Adams, Cecil (1990). "On 'Let's Make a Deal,' you pick Door #1. Monty opens Door #2--no prize. Do you stay with Door #1 or switch to #3?", The Straight Dope November 2 1990. http://www.straightdope.com/classics/a3_189.html (retrieved July 25, 2005).

Tijms, Henk (2004). Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, pp. 213-215.

Ziemer, Rodger E. (1997). Elements of Engineering Probability & Statistics. Prentice Hall, pp. 31-32.

Vase tambin

Marilyn vos Savant