Ejercicio 7.-Pruebe que una norma en un espacio vectorial V es Euclidianasi y solo si:

| v + w |2 + | v w |2= 2(| v |2 + | w | 2)v, w VDemostracion:

Dado que el espacio V es euclidiano entonces la norma se define como:

| v |=v, v, as desarrollando la parte izquierda de la igualdad anterior:| v + w |2= v + w, v + w= v, v + w+ w, v + w = v, v+ v, w+ w, v+ w,w(1)Lo anterior se justifica en la propiedad de bilinealidad del producto inte-

rior;de la misma manera desarrollando la siguiente expresion:

| v w |2= v w, v w = v, v+ v,w+ w, v+ w,waplicando la propiedad de homogeneidad del producto interno a la expresion

anterior:

= v, v v, w w, v+ w,w (2)Sumando (1) con (2), llegamos a:

2v, v+ 2w,w = 2(v2 + w2)Demostremos ahora que si se verifica la ley del paralelogramo entonces el

espacio V es euclidiano:

Demostracion:

Definamos x, y de la siguiente forma: x, y = 14

(x+ y|2 |x y|2) parax, y V ,

probaremos que , es un producto interior en V que genera a | |.En efecto se advierte por simple inspeccion que x, y = y, x.Tambien que x, y = x2. En particular x, x 0, y x, x si y solo si

x = 0.

Probemos que:

x+ y, z = x, z+ y, z i.e:x+ y + z2 x+ y z2 = x+ z2 x z2 + x+ y2 y z2

Por satisfacer la ley del paralelogramo para u, v V se tiene que:u+ v2 + u v2 = 2(u2 + v2) (1)

Si u =x+ y

2y v =

x+ y

2+ z;

1

Sustituyendo en (1) obtenemos : x+y+z2+z2 = 2(x+ y22+x+ y

2+

z2) Si ahora u = x+ y2

y v = z x+ yz

sustituyendo nuevamente en (1),

tenemos: x+ y z2 + z2 = 2(x+ y22 + x+ y

2 z2)

Restando las dos expresiones anteriores:

x+ y + z2 x+ y z2 = 12

(x+ y + 2z2 x+ y 2z2) (2)

Aplicando (1) sucesivamente a: u = x + z, v = y + z y posteriormentea u = x z, v = y z y restando miembro a miembro cada termino de laecuacion: x+ y + 2z2 + x y2 = 2(x+ z2 + y + z2) yx+ y 2z2 + x y2 = 2(x z2 + y z2) se tiene que:x+y+ 2z2x+y2z2 = 2(x+ z2 +y+ z2 +x z2 +y z29)Usando (2) y esta ultima expresion llegamos al resultado deseado. La propiedad

de homogeneidad se demuestra de la sig. forma: Si n N, entonces: nx, y =x + + x, y = x, y + + x, y = nx, y, analogamente se demuestracuando Z y Q usando la propiedad de linealidad

demostrada anteriormente

Si R dada la continuidad de la norma como funcion,entonces para todo r R existe una sucesion de racionales que converge a con lo que tenemos que x, y = x, y.Por todo lo anterior concluimos que , , es un producto interior y por lo

tanto el espacio es un espacio euclidiano.

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