Problemas – Tema 5 Enunciados de problemas de...
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Problemas – Tema 5: Enunciados de problemas de integrales
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Problemas – Tema 5
Enunciados de problemas de integrales
Hoja 11. Calcula.
a) ∫ ln2 xxdx
b) ∫ sen(x )·cos (x)dx
c) ∫x
1+5 x4dx
d) ∫1
x·ln(x )· ln [ ln(x)]dx
e) ∫ √xxdx
f) ∫x−1
√x−1dx
2. Calcula.
a) ∫ 3√ x2dx
b) ∫ √x+1x+1
dx
c) ∫ 3x2+8 x+1
x3+4 x2+xdx
d) ∫ aln2 x · ln xx
dx
e) ∫ x·√x dx
f) ∫ √x3√xdx
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Hoja 21. Calcula.
a) ∫ 4x−7x
2xdx
b) ∫ 4x−72x
2x−7xdx
c) ∫ 25ln x
x·9ln xdx
d) ∫cos (x) · esen(x)dx
e) ∫3x+1 ·cos(3x)dx
f) ∫a·cos xdx
2. Calcula.
a) ∫ senln x
(a)x
dx
b) ∫ √x+1x+1
dx
c) ∫bx db
d) ∫ ln (√e)dx
e) ∫ cos√ x√x
dx
f) ∫1
ex+e−xdx
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Hoja 31. Calcula.
a) ∫1
sen2 xdx
b) ∫1
cos2 xdx
c) ∫ tg2 x dx
d) ∫tg xcos x
dx
e) ∫ arcosen3 x
√1−x2dx
f) ∫ ln(a√ x)dx
2. Calcula.
a) ∫4 x−1
(2 x2−x+1)6dx
b) ∫7(x+ 32)5
dx
c) ∫10 x+5
x2+x+7dx
d) ∫72 xdx
e) ∫ x2+3x2+1
dx
f) ∫cos(7x )2
dx
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Hoja 41. Calcula-
a) ∫(v0+at )dt
b) ∫ 5x3+3 x2−2x+1x2
dx
c) ∫ √x+ 3√ x4√x
dx
d) ∫ √x+7x+7
dx
e) ∫1
x2+2 x+2dx
f) ∫ e2x+e3 x
exdx
2. Calcula.
a) ∫( x2+2)2dx
b) ∫(x2+5 x
√ x)dx
c) ∫22x dx
d) ∫cos (x2)dx
e) ∫2
sen2(3x )dx
f) ∫ x2(3−x2)2dx
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Hoja 51. Calcula.
a) ∫ √1+x+√1−x√1−x2
dx
b) ∫1
4+9x2dx
c) ∫(2x+3x)2dx
d) ∫5x+3
x2+4dx
e) ∫1
x ·√3x+4dx
f) ∫cotg2 xdx
2. Calcula.
a) ∫cos2 x dx
b) ∫ sen2 xdx
c) ∫7 ·cos(x )· esen xdx
d) ∫ x2
x+1dx
e) ∫ ex
ex+5dx
f) ∫(1
x2+1
x2+1)dx
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Hoja 61. Calcula.
a) ∫ √xx4dx
b) ∫1
√−x2−4x−3dx
c) ∫ ln3 xx4dx
d) ∫ln(√ x)x
dx
e) ∫1
x2+2x+10dx
f) ∫ x2
x2+1dx
2. Calcula.
a) ∫ x2
√x3+ln 7−sen π
3
dx
b) ∫4x
cos2(3x2)dx
c) ∫2x ·3x ·4xdx
d) ∫7
√1−(3x+2)2dx
e) ∫ x ·(x2+7)11dx
f) ∫7x
(x2+9)2dx
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Hoja 71. Calcula.
a) ∫1
√1−4 x2dx
b) ∫x
√1−4x2dx
c) ∫7x
√9−4x2dx
d) ∫11
√9−4x2dx
e) ∫ 3√1−3x dx
f) ∫x
3√1−3xdx
2. Calcula.
a) ∫cotg xdx
b) ∫sen x+cos x
√sen x−cos xdx
c) ∫ ex
√1−e2xdx
d) ∫ ex
1+e2xdx
e) ∫ tg xdx
f) ∫1
sen(2x)dx
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Hoja 81. Calcula.
a) ∫(7 ·5√ x2− 1
x5+6 · sen(x )−3)dx
b) ∫(cos2 x−sen2 x )dx
c) ∫(sen22x)dx
d) ∫1+2x
1+x2dx
e) ∫ √x+3√ x2
6√x5dx
f) ∫(√x+1x)dx
g) ∫(1
x2−1x+1
)dx
h) ∫tg(ln x)x
dx
2. Calcula.
a) ∫1
√1+x2dx
b) ∫tg(ln x)x
dx
c) ∫cos3 x dx
3. Calcula.
a) ∫√ex+1dx
b) ∫1
4√x−3dx
c) ∫ √ x3x+1
dx
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Hoja 9
1. a) ∫cos( 3√3x+2)dx
b) ∫√1−x2dx
2. a) ∫2 x+5
x2+x+1dx
b) ∫√ x2−1dx
3. a) ∫ 6x
62 x+6x+13dx
b) ∫1
√x · sen(√x )dx
4. a) ∫ln x
x ·√1+ ln xdx
b) ∫sen x
cos5 xdx
5. a) ∫cos x · sen5 x dx
b) ∫1
ex+4dx
6. a) ∫cos x · sen4 x dx
b) ∫arcotg x
1+x2dx
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Hoja 10
1. a) ∫tg x
cos2 xdx
b) ∫cos x
sen2 xdx
2. a) ∫3
(3x+5)2dx
b) ∫1+x1+√x
dx
3. a) ∫1
√3x+2dx
b) ∫−1
x ·√x+1dx
4. a) ∫ √1−x2
x2dx
b) ∫√9−x2dx
5. a) ∫3
(3x+5)2dx
b) ∫ x · tg2 x dx
6. a) ∫ ln(1−x1+x
)2
dx
b) ∫ ln(√x )dx
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Hoja 11
1. a) ∫ x · ln(1−x1+x
)dx
b) ∫ x · sen2 x dx
2. a) ∫ln(sen x)
sen2 xdx
b) ∫ex ·cos xdx
3. a) ∫ln(x+1)
√ x+1dx
b) ∫ sen(x )· ln(tg x)dx
4. a) ∫arcotg x dx
b) ∫arcosen xdx
5. a) ∫ x · e3xdx
b) ∫ x · earcosenx
√1−x2dx
6. a) ∫ x · ln(√1+x2)dx
b) ∫ x ·cos x dx
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Hoja 121. Calcula.
a) ∫ x2 ·cos x dx
b) ∫ x · ex dx
c) ∫x
cos2 xdx
2. Calcula.
a) ∫ x3· e−x dx
b) ∫ ln x dx
c) ∫√ x · ln xdx
3. Resuelve.
a) ∫ x2
2x2−2 x−4dx
b) ∫x
cos2 xdx
c) ∫−6 x2−5 x−5x3+x2−x−1
dx
4. Resuelve.
a) ∫4√ x1+√x
dx
b) ∫ex · sen(ax)dx
c) ∫ ln(x2)dx
5. Resuelve.
a) ∫ x·sen(x)dx
b) ∫( x+1)2 · x dx
c) ∫1
x·ln(x )dx
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Hoja 131. Resuelve.
a) ∫ x3+1x2+4
dx
b) ∫ e2x−3ex
e x+1dx
c) ∫√16−x2dx
2. Resuelve.
a) ∫ x−√xx2
dx
b) ∫cos x
sen3 xdx
c) ∫x+1
x3+x2−6 xdx
3. Resuelve.
a) ∫ x2 · ex dx
b) ∫cos x
sen3 xdx
c) ∫ f (x)dx si f (x)={1−2 x si x≤11 si x>1 }
4. Hallar la función F(x ) que cumple que tiene un mínimo en el punto (0,4) , un punto de inflexión enel punto de abscisa x=1 y que F ' ' ( x)=2
5. Hallar la función f (x) que cumple (x+1) · f ' (x )−ln (x+1)=0 y f (0)=0 .
6. Hallar la primitiva de la función f (x)=3
(x+1)2que pasa por el punto (0,1) .
7. Halla la ecuación de una función que pasa por el punto (1,−4) sabiendo que la pendiente de la recta
tangente a dicha curva en cualquier punto viene dada por f (x)=3 x2+3 .
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Hoja 141. Determina la ecuación de la curva F(x ) que verifica que F(1)=2 , F '(0)=3 yF ' '( x)=12 x+3 .
2. Determina la ecuación de la curva F(x ) que verifica que F(0)=−5 , tiene un mínimo relativo en el
punto de abscisa x=2 y F ' '( x)=6x2−12x .
3. Resuelve.
a) ∫arcosen(x )dx
b) ∫ x·arcotg(x )dx
c) ∫ x·2x ·3x dx
4. Resuelve.
a) ∫sen (√ x)
√x ·(1+cos2(√x ))dx
b) ∫ ln(1x)dx
c) ∫e√x+1 ·(x+1)−12 dx
5. Resuelve.
a) ∫1
x·(1+ln2 x)dx
b) ∫ ln(1x)dx
c) ∫ln(√ x)
√xdx
d) ∫cos x
sen x+cos xdx
e) ∫cotg3 xdx
f) ∫ x·arcotg(x+1)dx
g) ∫ x4 ·cos(2 x)dx
h) ∫ x2 · sen (3 x)dx
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Hoja 151. Resuelve.
a) ∫ [1− ln(x+1)]dx
b) ∫ e x
(e2x−1)(ex+1)dx
c) Determina la función f :(0,+∞)→ℝ tal que f ' ' (x)=1x
y su gráfica tiene tangente horizontal en el
punto P(1,1) .
2. Resuelve.
a) ∫ x3+ x2
x2+x−2dx
b) ∫(√x−2x )dx
c) Sea la función f : (0,+∞)→ℝ tal que f (x)=x (1−ln(x)) . Determina la primitiva de f (x) cuyagráfica pasa por el punto P(1,1) .
3. Resuelve.
a) ∫( x·cos(x ))dx
b) Obtener una función derivable f :ℝ→ℝ sabiendo que f (1)=−1 y que:
f ' (x)={x2−2 x si x<0ex−1 si x≥0 }
c) ∫ ln(4−x)dx
4. Resuelve.
a) Sea la función f=x·ln(x+1) definida para x>−1 . Determina su primitiva que pasa por el puntoP(1,0) .
b) ∫2−xx+1
dx
c) ∫ ex
1+√exdx
d) ∫√3+2 x−x2dx
e) ∫ cos3 x
sen4 xdx
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Hoja 161. Resuelve.
a) Sea la función f :ℝ→ℝ tal que f ' (x)=(2x+1)e−x . Determina la primitiva de f (x) cuya gráficapasa por el origen de coordenadas.
b) ∫ x2
x2−6 x+5dx
c) Sea la función f :ℝ→ℝ tal que f ' (x)=ln(x2+1) . Determina la primitiva de f (x) cuya gráficapasa por el origen de coordenadas.
2. Resuelve.
a) Sea la función f :ℝ→ℝ tal que f ' (x)=x2 ·cos x . Determina la primitiva de f (x) cuya gráficapasa por el punto (π ,0) .
b) ∫ x3−4 x−x−2
dx
c) ∫ x2−2x−x2+4 x
dx
3. Resuelve.
a) ∫x
1+√1−xdx
b) ∫(1−x2) · e−xdx
c) ∫1
x+√xdx
4. Resuelve.
a) ∫ x·sen (x)dx
b) ∫x+11+√x
dx
c) ∫ x2
2x2−2 x−4dx
d) ∫1
x2√25−9 x2dx
e) ∫1
x2√4+ x2dx
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Hoja 171. Resuelve.
a) ∫ x·cos2 x dx
b) ∫x+9
(x+1)( x−3)dx
c) ∫ ln (1−x1+x
)2
dx
2. Resuelve.
a) ∫cos3 x
b) ∫x
√1−2x2−4 xdx
c) ∫√1+sen (x)dx
3. Resuelve.
a) ∫2
√x−√2dx
b) ∫cos x1−cos x
dx
c) ∫x
axdx
4. Resuelve.
a) ∫x1−x
dx
b) ∫1
cos4 xdx
c) ∫ sen(2 x)cos(x)dx
d) ∫ 4 x3
x2+xdx
e) ∫ 4 x3
x2+x+1dx
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Hoja 181. Resuelve.
a) ∫1
1+ tg2 xdx
b) ∫1
1+cotg2 xdx
c) ∫1
cos3 x−sen3 xdx
2. Resuelve.
a) ∫√ex+1dx
b) ∫ln(1x)
xdx
c) ∫tg(√x )
√xdx
2. Resuelve.
a) ∫1
4√x−3dx
b) ∫ 3√ x−3dx
c) ∫tg(√x )
√xdx
3. Resuelve.
a) ∫ x·ln(1+ x1−x
)dx
b) ∫ln(sen x)
sen2 xdx
c) ∫ex ·cos xdx
d) ∫ sen(x )· ln(cos x)dx
e) ∫ sen4 (x) ·cos2 x dx
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Hoja 191. Resuelve.
a) ∫ex ·cos xdx
b) ∫ln(x+1)
√ x+1dx
c) ∫ln(x+2)
√ x+1dx
2. Resuelve.
a) ∫cos ( 3√3x+2)dx
b) ∫√1−x2dx
c) ∫1
√x2+1dx
3. Resuelve.
a) ∫ sen(x )· ln(tg x)dx
b) ∫ a−√x1−
3√ xdx
c) ∫ln(x+2)
√ x+1dx
4. Resuelve.
a) ∫√ x2−1dx
b) ∫2 x+5
x2+x+1dx
c) ∫a
√x+a+√x−adx
d) ∫( ln x)2dx
e) ∫ ln x dx
f) ∫ x·ln(√1+ x2)dx
g) ∫1
(2 x2+1)√1+x2dx
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Hoja 201. Resuelve.
a) ∫1
1+cos2 xdx
b) ∫arcotg( x)dx
c) ∫ e x
e2x+6ex+13dx
2. Resuelve.
a) ∫ex ·√ex+1dx
b) ∫1
√x · sen(√x )dx
c) ∫arcocos x dx
3. Resuelve.
a) ∫ln x
x·√1+ln xdx
b) ∫(√x+1x)2
dx
c) ∫3x+4
x2−9dx
4. Resuelve.
a) ∫1
ex+4dx
b) ∫−1
x·√x+1dx
c) ∫ x √1−x2dx
d) ∫ √1−x2
x2dx
e) ∫ x3 · e−x dx
f) ∫√−x2+4 x+5dx
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Hoja 21
1. Sea f (x )=∣x∣2
y g ( x)=1
1+x2. Esboza las gráficas de ambas funciones sobre los mismos ejes,
calcula los puntos de corte de ambas gráficas y calcula el área limitada por ambas gráficas.
2. Sea f (x )=x ln (x+1) definida para x>−1 . Determina la primitiva de la función cuya gráfica pasapor el punto (1,0) .
3. Usa el cambio de variable t=ln( x) para resolver ∫ 1+3 ln(x )+ ln3(x )
x [1−ln 2(x)]
dx .
4. Calcula ∫ x2 sen(2 x)dx .
5. Calcula ∫ 2 x3−3 x2
−2 x−1x2
−x−2dx .
6. Sea f (x )=12−sen( x) . Dibuja la gráfica de la función en el intervalo [0, π
2] . Obtener el área
encerrada en ese intervalo entre la gráfica de la función y el eje horizontal.
7. Realiza un boceto de la función f (x )={sen( x) si x∈[−2π , 0]
x2−2 x si x∈[0,3] } . Calcula el área encerrada por la
gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas verticales x=−1 y x=3 .
8. Calcula ∫0
1(x2
+x+1)e− x dx .
9. Sea A(c) el área encerrada por f (x )=1+ x2
x4 , el eje de abscisas, y las rectas verticales x=1 y
x=c (el área final queda en función del parámetro c ). Calcula dicha área y el valor del límitelimx→∞
A(c) .
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Hoja 221. Hallar el polinomio de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P (1,0) , que tiene portangente en el punto de abscisa x=0 la recta de ecuación y=2 x+1 , y que su integral entre 0 y 1vale 3.
2. Calcula el área limitada por f (x )=e x
(1+e x)
2, el eje OX y las rectas x=0 y x=ln(5) .
3. Calcula el área de la región limitada en el primer cuadrante por las gráficas de las funciones y=x ,
y=4x2e y=9 .
4. Calcula el área limitada por la curva y=( x+1)e2 xy las rectas x=0 , x=1 e y=0 .
5. Calcula el área limitada por la función f (x )=cos (x) con el eje horizontal, en el intervalo [0, 2π] .
6. Calcula ∫1
2 −2
x3dx+∫π
2 π
(−sen (x )· e sen( x)+cos2
( x) · esen (x))dx .
7. Calcula ∫0
1 ex
e2x+3 e x
+2dx .
8. Realiza un boceto de la región limitada por la gráfica de f (x )=−x2y la recta normal a la gráfica en el
punto x=1 . Calcula el área de dicha región.
9. Sean f (x )=sen( x) y g ( x)=cos (x ) . Calcular el área de la región del plano encerrada entre las
gráficas de ambas funciones y las rectas x=π4
y x=9π
4.
10. Determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de f (x )=x4+4 x3
y el eje OX .
11. De todas las primitivas de f (x )=tg (x) , encuentra la que pasa por el punto de coordenadas(0,2) .
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Hoja 231. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x )=x · cos( x) y el eje de abscisasentre x=0 y x=π .
2. Calcula.
a) ∫1
x2− x
dx
b) ∫ x · sen(2 x)dx
3. Calcula el área de cada una de las dos regiones en que divide esa curva f (x )=1−14
x2al círculo de
centro (0,0) y radio 2 .
4. Realiza un boceto del recinto del plano limitado por la curva y=−x2+2 x y por la curva
y=x2−10 x . Calcula el área de dicho recinto.
5. ∫ 4 x3
x2+x
dx
6. ∫ sen (x) · ln(cos (x ))dx
7. ∫ x · ln(√1+x2)dx
8. ∫ x2 e2 x dx
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Hoja 24
1. ∫ √1−x2
x 2 dx (ayuda: x=sen (t) )
2. ∫−1
x ·√ x+1dx (ayuda: x+1=t 2
)
3. ∫1
ex+4
dx (ayuda: e x=t )
4. ∫ √ x+3√ x2
6√ x5dx
5. ∫ x2+ x+1
x3+2 x2
− x−2dx
6. ∫ sen2(2 x )dx
7. ∫arctg (x )
1+ x2 dx
8. ∫ x · earcsen (x)
√1−x2dx
9. ∫(75√ x2
−1
x5+6 sen( x)−3)dx
10. ∫3 x+4
x2−9
dx
11. ∫1
3√1−3 xdx
Colegio Marista “La Inmaculada” de Granada – Profesor Daniel Partal García – www.danipartal.net
Asignatura: Matemáticas Ciencias – 2ºBachillerato
Problemas – Tema 5: Enunciados de problemas de integrales
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Hoja 25
1. ∫2 x+3
x (x−1)(x+1)
2. ∫7 x
( x2+9)2
dx
3. ∫(2x+3x
)2 dx
4. ∫√ x ·√x dx
5. ∫ x · ln(1+x1− x
)dx
6. ∫ x · sen2( x)dx
7. ∫ln(sen (x ))
sen2(x )dx
8. ∫1
√√x−3dx (ayuda: x=t 4
)
9. ∫x
exdx
10. ∫√e x+4dx
11. ∫√1+sen( x)dx (ayuda: 1=sen2(
x2)+cos2
(x2) , sen( x)=2 sen(
x2)cos (
x2) )