Problemas de Electromagnetismo I - Universidad … Un ave va volando en línea recta con vector...

Problemas de Electromagnetismo I 2º Grado de Física L. Soriano

Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física L. Soriano

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Tema 1.- CALCULO VECTORIAL

1.1 Usar métodos vectoriales para determinar la ecuación de la recta que pasa por (-1,1,0)

y (0,0,1).

1.2 Un ave va volando en línea recta con vector velocidad 10ux + 6uy + uz en km/h. Suponer

que (x,y) son sus coordenadas en tierra y z es su altura. a) Si en cierto momento el ave

esta en (1,2,3) ) donde estará una hora despues? )cuanto tarda en subir 10 m?.

1.3 Hallar el ángulo entre ux + uy + uz y ux + uy - uz .

1.4 Hallar por métodos vectoriales el área del triángulo con vértices en los puntos (1,1),

(0,2) y (3,2).

1.5 Demuestra las siguientes identidades: a) ax(bxc) = (a.c)b - (a.b)c ; b) (axb)xc = (c.a)b -

(c.b)a .

1.6 Calcula grad f en el punto (2,3,5) para un campo escalar f dado por f(x,y,z)=2sen x -x2 y z

+ x ex .

1.7 Calcular las constantes a,b y c de forma que f= (x+2y+az)ux + (bx-3y-z)uy + (4x+cy+2z) uz

sea irrotacional.

1.8 Hallar la derivada direccional de f = x2yz + 4xz2 en el punto (1,-2,-1) y en la dirección y

sentido de 2ux - uy - 2uz.

1.9 Calcular la divergencia∇f y el rotacional ∇×f de cada uno de los campos vectoriales: a)

f(x,y,z)= xux + yuy + zuz . b) f(x,y,z)= (x2 + y2 + z2) (3ux + 4uy + 5uz)

1.10 Calcular ∇×f en el punto (1,-2,1) para f = x2 y2 ux + 2 x y z uy + z2 uz .

1.11 Demostrar las siguientes identidades: a) rot grad a = 0 . b) div rot f = 0.

1.12 Calcular grad f (∇f) en coordenadas cilíndricas para f(x,y,z) = z/(x2 + y2).

1.13 Hallar por métodos vectoriales el ángulo que forman las superficies x2 + y2 + z2 = 9 y z =

x2 + y2 - 3 en el punto (2,-1,2).

1.14 Demostrar que ∇×(∇×f ) = - ∇2 f + ∇ (∇f).

1.15 Sea r el campo vectorial r(x,y,z) = (x,y,z) el vector posición y sea r el módulo de r.

Calcular ∇r y ∇(rr).

1.16 Dado f = x y2 ux + y z2 uy + 2 x z uz . Calcular la circulación del vector f a lo largo de la

recta que une los puntos (0,0,0) y (1,2,3).


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1.17 Evaluar cada una de las integrales de línea siguientes: a) ∫ x dy - y dx a lo largo de

s(t)=(cost,sent), 0 ≤ t ≤ 2π. b) ∫ yz dx + xz dy + xy dz a lo largo de la trayectoria formada

por los segmentos de recta que unen a (1,0,0) a (0,1,0) a (0,0,1). c) ∫ x2 dx - xy dy + dz

entre los pumtos (-1,0,1) y (1,0,1) por la parábola z=x2 , y=0.

1.18 Dado f = k rn ur. Calcular ∫∫s f .n da , ∫ ∫s f × n da y ∫ ∫ ∫v div A dτ donde s y τ

corresponden a la esfera de radio a centrada en el origen.

1.19 Dado f = x y2 ux + y3 uy + x2 y uz. Calcular

∫ ∫s f . n da , ∫ ∫s f x n da y ∫∫s rot f.n da,

para la superficie de la figura

consistente en un cuadrado de lado 2

en el plano xy.

1.20 Evaluar la integral de superficie ∫ ∫s f.n da, donde f(x,y,z)=ux + uy + z(x2+y2)2 uz en la

superficie del cilindro x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤1.

1.21 Comprueba el teorema de la divergencia para un campo eléctrico E = 2 r2 u r en

coordenadas esféricas. Calcula primero la integral de volumen de la divergencia del

campo para una esfera de radio r=3 y despues el flujo del campo a través de la

superficie que delimita tal volumen.

1.22 Comprueba el teorema de Stokes con f = (x + y) ux - 2 x2 uy + x y uz

y la semiesfera superior x2 + y2 + z2 = 1

1.23 Calcular directamente y aplicando el teorema de la divergencia ∫ ∫s f.n da siendo f= 4xz

ux - y2 uy + yz uz y S la superficie del cubo limitado por x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 y z=1.


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Tema 2.- CAMPOS ELECTROSTÁTICOS EN VACÍO

2.1 Calcular la carga total en cada una de las distribuciones de la figura: a) distribución

uniforme lineal de carga λ0 en una circunferencia de radio a. b) distribución uniforme

superficial de carga σ0 en un disco circular de radio a. c) distribución lineal de carga

infinita a lo largo del eje z con una densidad de carga λ = λ0 / (1+(z/a)2). d) la nube

electrónica alrededor del núcleo cargado Q positivamente en el átomo de hidrógeno

representada por una distribución esférica de carga de densidad:

ρ(r) = - (Q /πa3) exp (-2r /a) donde a es el radio de Bohr.

2.2 Calcular el campo eléctrico sobre el eje z creado por

una distribución lineal de carga con forma circular de

densidad λl = k sin Φ.

2.3 Calcular el campo eléctrico en cada una

de las cargas puntuales situadas en los vértices

del cubo de la figura.

2.4 Calcular el campo eléctrico sobre el eje z que crea una densidad de

carga superficial uniforme σs distribuida sobre una superficie

cilíndrica de radio a y que se extiende desde z=-h hasta z=h.


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2.5 Calcular el campo eléctrico E (x,y,z) creado por una

distribución uniforme superficial de carga distribuida en

una franja del plano y=0 que se extiende desde x=−d/2 a

x=d/2 y desde z=∞ hasta z=−∞.

2.6 Calcular la componente x del vector campo eléctrico en el

origen para una distribución volumétrica de carga dada

por ρ = ( x2 + y2 +z2 )5/2 y distribuida en la región dada por 0

≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1.

2.7 Sea un cubo de lado 1mm uniformemente cargado con densidad de carga ρ = 10−6 C m-3

encerrado dentro de una esfera hueca de radio 1 m. Calcular el flujo del campo

eléctrico a través de la superficie esférica.

2.8 Dadas tres distribuciones lineales de carga λ1=5 10-9

Cm-1; λ2=4 10-9 Cm-1 y λ3=-6 10-9 Cm-1 situadas en

(0,0), (3,0) y (0,4) respectivamente. Calcular E y la

densidad de flujo del campo eléctrico en el punto

(3,4) como suma de los campos eléctricos creados

por cada una de las cargas.

2.9 Dada una superficie cilíndrica de radio a y altura h=1 en un

campo E=E0(xux+yuy+(z2-1)uz), donde E0 es constante.

Calcular el flujo de E por integración directa y por el

teorema de la divergencia.

2.10 Calcular el campo eléctrico creado por tres distribuciones

superficiales de carga paralelas e infinitas en las siguientes

regiones: a) 0 < x < a; b) a < x < b; c) b < x < ∞ .


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2.11 Considera un haz de electrones de forma cilíndrica con una densidad volumétrica de

carga ρ = ρ0 (1-(r/d)2) Cm-3. Calcular E para d<r y d>r.

2.12 Determina la distribución de cargas que produce un campo eléctrico E=(r +1/r2)

U(r0-r)ur donde U(r0-r) es la función escalón definida por U(r0-r)=0 si r>r0 y U(r0-r)

= 1 si r<r0 (nota: considerar δ (r0-r) como la derivada de U (r0-r) en r=r0).

2.13 a) En cierta región del espacio los componentes del campo eléctrico vienen dados por

Ex = ax, Ey = ay, Ez = 0. Determinar la forma de las líneas de campo y la cantidad de

carga contenida en un cilindro de radio b y longitud L (con el eje z como eje de

simetría). b) en otra región las componentes radial y transversal del campo eléctrico

vienen dadas por Er=2p cos Θ/r3 y EΘ=p sen Θ/r3. Determinar la forma de las líneas de

campo y la carga contenida dentro de una esfera de radio b con centro en el origen.

2.14 Una carga puntual Q está situada en el centro geométrico de un cubo. a) Calcular,

aplicando Gauss, cuál es el flujo del campo E a través de cada una de las caras del

cubo. b) Si la carga se desplaza a uno cualquiera de los vértices del cubo, cuál es ahora

el flujo del campo E a través de cada una de las caras del cubo.

2.15 Una distribución volumétrica de carga uniforme ρ0 tiene forma de tubo

cilíndrico con radio interior a y exterior b. Se pide: a) Determinar el

campo eléctrico en todas las regiones: r <a; a<r<b; r>b; b) ¿Qué

densidad de carga lineal debería situarse en r=0 para reducir el campo

externo (r>b) a cero?

2.16 Comprobar si el campo existente en una cierta región del espacio, que

viene dado por la expresión E = kx2 ux + ky2 uy + 10 uz, siendo k una constante,

representa un campo electrostático y determinar, en su caso, la densidad de carga

en dicha región.

ρ0 λ

a b


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2.17 Sea un cilindro hueco e infinito con radio interno a y

radio externo b, con una densidad volumétrica de

carga ρ = A r2, siendo r la distancia al eje y A una

constante. Calcular: a) El campo eléctrico E en las

distintas regiones del espacio. b) La diferencia de

potencial entre los puntos r = R1 y r = R2, siendo a < R1

< b y R2 >b.

2.18 Un alambre conductor uniformemente cargado con carga q tiene la

forma de un arco de circunferencia de radio R y amplitud 2α. Calcular el

campo eléctrico en el centro del círculo.

2.19 Sobre un plano infinito (xy) existen dos distribuciones superficiales

de carga: una densidad superficial de carga uniforme -σ

sobre un círculo de radio R y otra de signo contrario + σ

sobre el resto del plano. Calcular el campo eléctrico E

sobre el eje Z, supuesto éste que pasa por el centro del

círculo de la primera distribución (ver figura). NOTA: Se

aconseja resolverlo mediante el principio de superposición de campos.

2.20 Dos esferas conductoras y cargadas igualmente con carga Q y de

masa m se cuelgan mediante hilos de masa despreciable y

aislantes, tal y como se muestra en la figura. Determinar la carga

de las esferas en función de la masa m y la longitud del hilo l

para que, cuando el sistema se encuentre en equilibrio, el ángulo

formado sea α. (Tomar las esferas como cargas puntuales).

2.21 Una carga Q está uniformemente distribuida a lo

largo del perímetro de una circunferencia de radio R.

Calcular la diferencia de potencial entre el centro del

anillo y un punto sobre el eje del anillo que dista 3R

del centro del anillo.

a b

R

φ

α

α

d

R

R

z

σ -σ

y

x

l

Q Q

α

R

3R

O

Q r


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Tema 3.- CAMPOS ELECTROSTÁTICOS EN CONDUCTORES

3.1 La figura muestra un conductor (z<0) con una densidad

superficial de carga uniforme σ = σ0 en z=0 y una densidad

volumétrica de carga ρ = ρ0 exp (-αz) en z>0. Calcular el campo

eléctrico debido a tal distribución de carga.

3.2 Considera una corona esférica conductora de radio interno a y

radio externo b conteniendo una carga q en el centro. Calcular la

densidad de carga inducida en las superficies esféricas interior y

exterior y el potencial electrostático al que se encuentra el

conductor. Repetir el problema con el conductor a potencial φ0 en

lugar de aislado.

3.3 Supóngase el sistema de la figura formado por una esfera metálica de radio R

inicialmente descargada; una corteza esférica de radio 2R

(concéntrica con la anterior) sobre la cual hay depositada una

carga Q, distribuida uniformemente; y una corteza metálica,

también concéntrica, de radio 4R que inicialmente se halla sin

carga. De la esfera interior sale un cable que puede dejarse

desconectado o conectarse a la cáscara exterior. Calcular los

potenciales y densidades de carga de cada una de las esferas a) en el estado inicial

(desconectado); b) Cuando el cable conecta la esfera interior con la cáscara exterior.

3.4 Tres láminas conductoras, paralelas de superficie S, están

dispuestas como se indica en la figura. La lámina central, aislada,

tiene una carga Q y las otras dos, unidas eléctricamente y

separadas de la lámina central una distancia d, tienen en

conjunto una carga –4Q. Determinar, suponiendo que en cada

cara de cada placa la densidad de carga es uniforme, las

distribuciones superficiales de carga en cada una de las dos

superficies de cada lámina.


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3.5 Se disponen dos láminas plano paralelas conductoras e infinitas,

separadas una distancia d y conectadas eléctricamente. A una

distancia d/3 de una de ellas se introduce una distribución

superficial de carga positiva de espesor despreciable y densidad

σ. Calcular el campo entre las dos regiones definidas entre las

tres láminas. Calcular las densidades superficiales de carga

inducidas en cada una de las caras de los planos conductores

conectados.

3.6 Una esfera conductora contiene dos cavidades esféricas

según se muestra en la figura. La esfera no está cargada, sin

embargo en el centro de cada una de las cavidades esféricas

hay una carga puntual q1 y q2 respectivamente. A una

distancia r del centro de la esfera (con r>> radio esfera) está

situada otra carga puntual q3.

a) Calcular la fuerza ejercida sobre la carga q3, teniendo en

cuenta que está a una distancia suficientemente grande del

centro de la esfera.

b) ¿Qué se puede decir sobre las distribuciones superficiales de carga que

aparecen en las superficies de la esfera conductora?

3.7 Dos esferas conductoras, concéntricas y de radios a y b (a<b) tienen cargas qa y

qb respectivamente. Calcular:

a) Los potenciales de las dos esferas.

b) Si la esfera de radio a se conecta a tierra,

recalcular las nuevas cargas y los nuevos potenciales

de las dos esferas.

c) A continuación se conecta la esfera de radio b a

una batería de potencial V0, manteniéndose la de

radio a unida a tierra. Calcular las cargas de las dos

esferas en esta nueva configuración.

q1 q2

q3

r


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3.8 Tres esferas conductoras de radio R se sitúan alineadas con sus centros separados entre sí

una distancia d (d>>R). Las esferas de los extremos están conectadas a tierra mientras que

la esfera central tiene una carga Q. Calcular cuánto vale el potencial electrostático para la

esfera central.

3.9 Supóngase una lluvia formada por gotas de agua iguales, esféricas de 1 cm de diámetro,

que tienen una carga de 3x 10-8 C cada una, repartida uniformemente por su superficie.

Si las gotas se juntan unas con otras formando gotas más grandes,

a) Averiguar cómo cambia el potencial y el campo eléctrico en la superficie cuando se

juntan dos gotas en una sola.

b) Si el campo eléctrico de ruptura del aire es de 2 x 107 V/m, ¿cuántas gotas se pueden

juntar antes de que salten chispas?

3.10 Tres superficies esféricas conductoras concéntricas de radios R1, R2 y R3, donde R1< R2<

R3, están conectadas respectivamente a tres fuentes de potencial V1, V2 y V3.

a) Calcular la carga de cada una de las tres esferas.

A continuación se desconectan las esferas de sus fuentes y posteriormente la esfera de

radio R2 se conecta a tierra.

b) Qué carga ha pasado de la esfera de radio R2 a tierra en esta nueva situación,

respecto a la anterior configuración.

3.11 Una esfera conductora, descargada y de radio R2 tiene un hueco concéntrico y de forma

esférica de radio R1. En el centro del hueco se sitúa una carga puntual +Q.

a) Si la esfera está aislada, ¿cuál será la distribución de cargas del sistema?

b) Calcular el potencial y el campo eléctrico E en las distintas regiones del espacio.

Si la esfera se conecta a tierra, ¿cuál será la nueva distribución de cargas del sistema?

R

d

V


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Tema 4.- ENERGÍA ELECTROSTÁTICA

4.1 Tres cargas puntuales de valores 1, 2 y 3 C se

encuentran situadas en los vértices de un triángulo

equilátero de lado 1m. Se pide calcular el trabajo

necesario para mover tales cargas a los vértices de

otro triángulo equilátero de lado 0.5 m.

4.2 Dada una esfera conductora aislada de radio R con una densidad de carga superficial σ.

Calcular la energía potencial en términos de R.

4.3 Dado el campo eléctrico E=ay ux + ax uy con a = 100 voltios/m2. Calcular a) el

potencial eléctrico Φ, tomando Φ = 0 en el origen. b) el trabajo realizado por el

campo cuando una carga q=10-8 C se mueve desde (-1,2) a (2,3). c) la densidad

de carga en cualquier punto.

4.4 Dadas cuatro cargas puntuales en los vértices de un

cuadrado de lado 6 m. según indica la figura Calcular la

energía total de tal configuración con q= 2 10-8 C.

4.5 Calcular la energía almacenada en el campo electrostático

entre dos esferas concéntricas conductoras de radios R y 2R respectivamente. Las

cargas en las dos esferas son iguales Q pero de signo opuesto.


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4.6 Un condensador plano paralelo está cargado con carga Q. La distancia entre las

placas es d y sus áreas es A. a) Calcular la energía almacenada en el

condensador. b) Calcular la fuerza electrostática por unidad de área entre las

placas. Desprecia los efectos de borde.

4.7 Sea una distribución esférica de carga de radio a y ρ

uniforme. Si la carga total es Q calcular a) la energía

necesaria para la formación del sistema mediante

U=1/2 ∫V ρφdτ. b) Repite el c álculo usando U=1/2 ∫V ε0E2dτ.

c) Si hacemos a=0, determina la energía necesaria para

formar una carga puntual Q. d) Calcula la energía para

traer desde el infinito la primera carga Q de un sistema de cargas.

4.8 Una esfera de radio 1 m tiene inicialmente una distribución uniforme de carga en todo

su volumen de 2 μCm-3. Si en un instante dado la esfera se vuelve conductora, la carga

emigra hacia la superficie. Calcular cuánto cambia la energía electrostática del sistema

al pasar la esfera de aislante a conductora.


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5.- MULTIPOLOS ELÉCTRICOS

5.1 Calcular el vector momento dipolar p de cada una de las distribuciones de carga

representadas en las figuras a, b y c.

5.2 ¿Cuál es la dirección y sentido de la fuerza sobre el dipolo central debida al campo de

los otros dos dipolos? Hallar el módulo de la fuerza.

5.3 Un dipolo de módulo p=2/3 10-9 C está situado en el origen en la dirección uz. A su

campo se le añade un campo eléctrico uniforme de intensidad 15 104 voltios/m en la

dirección uy. ¿En dónde será nulo el campo total?

5.4 Sea un dipolo p situado en un punto dado por r en el campo de una carga puntual q en

el origen. Determinar: a) la energía de interacción del campo con p, b) el momento T

correspondiente y c) la fuerza neta sobre él.

5.5 Sea un dipolo puntual p1 en r1 y otro p2 en r2. Determinar la energía de p2 en el campo

de p1 debida a la energía de interacción dipolo-dipolo. Determinar la fuerza F2 sobre p 2.

Calcular F 2 si:

a) p 1 y p 2 son paralelos entre sí pero perpendiculares a R=r2-r1.

b) p1 y p2 paralelos entre sí y paralelos a R.


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5.6 Un modelo simplificado del átomo es suponer al núcleo como una carga puntual +q y a

los electrones como una distribución de carga esférica uniforme de volumen τ en torno

al mismo. Supongamos que un átomo así se coloca en presencia de un campo externo

uniforme E0. a) Calcular la separación de los centros de carga producida por el campo

externo. b) Calcular el momento dipolar inducido en el átomo. c) Si los átomos son de

un gas monoatómico con N átomos por unidad de volumen, calcular la susceptibilidad

eléctrica χ y la constante dieléctrica ε.

5.7 Considérese que la molécula de amoníaco es rígida y tiene

la forma de la figura, siendo l =1.5 Å y θ = 60°. Los tres

átomos de hidrógeno forman un triángulo equilátero.

Supóngase también que los iones son cargas puntuales que

valen +e (hidrógeno) y –3e (nitrógeno). Determinar: a) el

momento dipolar de la molécula de amoníaco y b) la fuerza

con que se atraerían dos moléculas separadas 1mm en la

dirección de su eje.

5.8 En un campo eléctrico uniforme E se coloca un dipolo

eléctrico con momento dipolar p en un punto donde

el potencial es V0. Si el dipolo es paralelo a E, a)

Hallar en coordenadas polares la expresión del

potencial eléctrico resultante.

b) Encontrar las componentes radial y tangencial del

campo eléctrico resultante.

H

H

H

N

ℓ θ

θ

P

x

y

Vo

p

E

r


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5.9 Sean dos dipolos coplanarios p1 y p2 separados por el vector r12 y orientados de forma

arbitraria formando ángulos θ1 y θ2 con respecto a la línea que los une. Deducir la

relación entre θ1 y θ2 en la posición de equilibrio considerando constante el valor de θ1.

Se considerarán positivos los ángulos formados en dirección contraria a las agujas del

reloj.

5.10 Se tiene una distribución de cargas puntuales según la figura.

Calcular a) cuánto vale el momento monopolar, dipolar y el

tensor cuadrupolar de la distribución de carga. b) el campo

eléctrico en el punto P situado en el eje de la distribución con

r>>a.

5.11 Sobre un hilo metálico cuya sección es

despreciable frente a su longitud y dispuesto en forma

de circunferencia de radio R sobre el plano XY, se

distribuye una densidad lineal de carga λ = λ0 (1-cos Φ).

Calcular los momentos monopolar, dipolar y cuadrupolar

de la distribución de carga.

5.12 Se tiene una superficie esférica de radio R

con una densidad superficial de carga dada

en coordenadas esféricas por: σ = σ0 cos θ,

donde σ0 es una constante positiva. Calcular

los momentos monopolar, dipolar y

cuadrupolar de la distribución de carga.

r θ

σ = σ0 cos θ

z

y

x

a

a -2q

+q

+q

P

r

Φ R

λ = λ0 (1-cos Φ)

p1 p2 θ1 θ2


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6. DIELÉCTRICOS

6.1 Calcular la polarización P y las densidades volumétrica y superficial de carga de

polarización cuando se introduce un cilindro de radio a con carga λ (Q/m) en un medio

dieléctrico l.i.h.

6.2 Un electrete tiene un momento dipolar eléctrico permanente incluso en ausencia de

cargas libres. Dado un electrete esférico de radio R con vector polarización eléctrica P=

P0r. Determinar la densidad de carga ligada ρb , el vector desplazamiento D y el campo

eléctrico E en función de r.

6.3 Sean un par de conductores coaxiales de

longitud L con un dieléctrico de permitividad

ε entre ellos mientras el resto del espacio

esta ocupado por el aire. Suponiendo que el

conductor interno esta cargado con carga +Q

y el externo con carga neta 0: determinar en

cada una de las regiones del sistema a) D; b) E; c) P y d) la densidad superficial de carga

en los conductores y la densidad de carga de polarización en r = b y r = c.

6.4 Dada una carga puntual q en el centro de una corona esférica

dieléctrica de radios externo e interno a y b respectivamente.

Calcular a) D y E para r < a, a < r < b y b < r, b) la polarización eléctrica

P y la densidad de carga ligada ρb para r<a, a<r<b y r>b.

6.5 Una esfera conductora de radio a y con carga Q se introduce

en un líquido dieléctrico de constante ε, quedando

sumergida solo hasta su mitad. Calcular el campo eléctrico

fuera de la esfera y la densidad de carga superficial en ella.


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6.6 Un campo eléctrico en un medio cuya permitividad relativa

ε/ε0 es 7 pasa a otro medio de permitividad relativa 2. Si E

forma un ángulo de 60o respecto a la normal a la intercara

entre ambos medios. ¿Qué ángulo forma el campo en el

segundo dieléctrico?

6.7 El espacio entre dos cilindros conductores coaxiales de

longitud L= 25 cm esta relleno en su mitad con un

dieléctrico de constante dieléctrica relativa ε/ε0 = 8. Los

cilindros tienen radios 0.5 y 2 cm respectivamente y

están conectados a una batería de 100 V. Calcular a) los

campos E y D en el aire y en el dieléctrico. b) la carga

superficial inducida en el conductor interior en puntos

adyacentes al aire y en puntos adyacentes al dieléctrico.

c) la carga total en el conductor interior y la capacidad.

6.8 Dos placas planas, infinitas y paralelas al eje YZ están situadas en x=-d y x =+d. Si el

espacio entre las placas, se rellena con un dieléctrico con permitividad dependiente del

espaciado ε = 4ε0/(1+(x/d)2) y la placa en x =+d se mantiene a potencial φ0 con respecto

a la placa en x = -d. Calcular a) el campo eléctrico y la distribución de potencial entre las

placas. b) la polarización P y la densidad de carga de polarización ρb.

6.9 Considerar un campo eléctrico uniforme E0 en un medio de permitividad ε1.

Consideremos además una esfera dieléctrica

descargada de permitividad ε2 inmersa en el medio

anterior. Calcular el campo dentro de la esfera

(supuesta uniforme) si además del campo externo

uniforme E0 existe un dipolo p en el centro de la

esfera.


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6.10 Un cilindro dieléctrico infinito de radio b con un hueco

circular en su centro de radio a se introduce en una región

donde existe un campo eléctrico uniforme. Determinar el

campo en la región hueca del dieléctrico.

6.11 Un condensador plano paralelo contiene dos dieléctricos de

constantes respectivas ε1 y ε2 como se muestra en la figura.

Calcular su capacidad.

6.12 El volumen comprendido entre dos superficies esféricas

conductoras y concéntricas de radio a y b (a < b) está relleno con un

dieléctrico no homogéneo de constante dieléctrica ε=ε0/(1+Kr),

donde ε0 y K son constantes y r es la coordenada radial, de manera

que se cumple que D(r) = ε E(r). Si en la superficie interior se pone

una carga Q mientras que la exterior se conecta a tierra, se pide

calcular: a) El vector desplazamiento en la región a < r < b. b) La capacidad del sistema. c) La

densidad de carga de polarización en a < r < b. d) La densidad superficial de carga de

polarización en r = a y r = b.

6.13 Un cable coaxial de potencia tiene un

conductor interno de radio a. La

región comprendida entre el

conductor interno y el externo está

relleno con dos capas concéntricas de dieléctricos ε1 = 1.5ε0 y ε2 = 4.5ε0 y de radios r1 y r2

respectivamente, según se muestra en la figura. Si el conductor exterior está conectado a

tierra y el interior está conectado a un potencial de forma que produce una densidad de

carga lineal homogénea λ, calcular lo siguiente: a) Los campos E, D y P en las regiones 1, 2 y

3 b) La densidad superficial de carga ligada σb para r = a y para r = r1 c) La densidad

volumétrica de carga ligada ρb en la región 2.


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7.- PROBLEMAS DE CONTORNO

7.1 Sean dos cargas +q y -q situadas en (a,0,a) y (-a,0,a) sobre un plano conductor en z=0 a

potencial cero. Calcular: a) La fuerza total sobre la carga +q. b) El trabajo realizado para la

formación del sistema. c) La densidad de carga superficial en (a,0,0).

7.2 Sea un dipolo eléctrico p fijo a una distancia z0 sobre el

eje z y formando un ángulo θ respecto a tal eje (p.uz = p

cos θ). Si el plano xy es un conductor a potencial cero,

determinar la densidad de carga en el conductor

inducida por el dipolo.

7.3 El plano xz se compone de cuatro planos cargados

separados con los siguientes potenciales: primer cuadrante: (x>0,z>0) Φ = Φ0; segundo

cuadrante: (x<0,z>0) Φ = 0; tercer cuadrante: (x<0,z<0) Φ = -Φ0; cuarto cuadrante:

(x>0,z<0) Φ = 0; Calcular el campo eléctrico E(x,y,z). Tener en cuenta la equivalencia que

se muestra en la figura.

7.4 Sean dos placas conductoras de 1 m de

lado y separadas 1 mm por aire.

Calcular su capacidad. Si una de las

placas se gira ligeramente respecto a un

eje paralelo a su borde y que pasa por

el centro de la placa hasta que la

separación en uno de los bordes es 0.5

mm y en el otro 1.5 mm calcular la

nueva capacidad del sistema.

Φ=0

Φ=0

Φ=Φ0

Φ=-Φ0

Φ=-½Φ0 Φ=½Φ0

Φ=-½Φ0

Φ=½Φ0

0.5

1.5

1 m

O


20

θ

r

P

z

E0

7.5 Calcular la capacidad entre un cono

conductor con su vértice separado de un

plano conductor por un espacio

infinitesimal y con su eje perpendicular al

plano. Resolver la ecuación de Laplace en

esféricas considerando el potencial solo función de θ.

7.6 Un conductor esférico de radio a se

encuentra inmerso en una campo eléctrico

uniforme de la forma E0= E0 uz.. Determinar

la distribución superficial del carga en la

superficie del conductor. (Sugerencias:

Considerar el potencial debido al campo

externo en el infinito de la forma φ0= -E0z = -

E0 r cos θ; Tomar el origen de potenciales en

la superficie de la esfera.)

7.7 Un analizador electrostático de electrones cilíndrico consiste en dos

cilindros conductores concéntricos con una diferencia de potencial

entre ellos. Si el radio del cilindro interior es a y el del exterior b,

encontrar la función φ en el espacio comprendido entre ellos si,

además el cilindro interior está a tierra y el exterior está conectado a

una batería que suministra un voltaje φ0. Encontrar también la

expresión para el campo eléctrico E.

7.8 Una distribución de carga de densidad ρ=A(x2-d2/4) está limitada por

dos planos paralelos separados una distancia d. El eje x es

perpendicular a los planos y el origen está situado en el medio de la

distribución. Calcular: a) El campo eléctrico E en un punto entre los

planos situado a una distancia d/4 del origen de coordenadas (utilizar

la ecuación de Poisson) b) El campo eléctrico E en cualquier punto del

exterior de la distribución.

θ

x

y

d/2 d/2

Problemas de Electromagnetismo I - Universidad … Un ave va volando en línea recta con vector...

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