Prob. 2F2

Relación entre las formulas de la rendija y el anillo circular.

Cuando un anillo es muy delgado puede considerarse muy aproximadamente a una rendija estrecha.

Por consiguiente, se puede aplicar los resultados del problema 2E. Por ejemplo, a partir del problema 2E es posible obtener la velocidad volumétrica de flujo en un anillo cuyo radio de la pared externa es R y de la interna (1 – ε).R , siendo ε pequeño, tomando 2B igual a εR y ω igual a 2πR, con lo que,

Q=π (P0−PL) R4 ε3

6 μL

Demostrar que se obtiene el mismo resultado a partir del flujo volumétrico en una sección de corona circular, dado por

Q=π (P0−PL) R4

8 μL [ (1−k4 )−(1−k2)2

ln ( 1k) ]

Tomando para k el valor (1-ε) y desarrollando la expresión de Q en potencias de ε. Esta operación requiere del uso del a serie de Taylor,

ln (1−ε )=−ε− ε 2

2− ε3

3− ε 4

4−...……. .

Y efectuar después una división.

Sol.

La velocidad volumétrica de flujo, a través de una sección de corona circular esta dada por:

Q=π ( P0−PL) R4

8μL [ (1−k4 )− (1−k 2)2

ln( 1k ) ]………… (1 )

Haciendo k = (1-ε), se tiene:

Q=π ( P0−PL) R4

8μL [ (1−(1−ε )4 )− (1−(1−ε )2 )2

ln( 1(1−ε ) ) ]…… ..(2)

Desarrollando por partes

(1-ε)4 = (1-ε)2 (1-ε)2

= (1 – 2ε + ε2) (1 – 2ε + ε2)

= 1 – 4ε + 6ε2 – 4ε3 + ε4 …………………… (3)

1 – (1-ε)4 = 4ε – 6ε2 +4ε3 - ε4

= ε (4 – 6ε + 4ε2 – ε3) ……………………….. (4)

(1-ε)2 = 1 – 2ε + ε2

1 - (1-ε)2 = 1 - 1 – 2ε + ε2 = 2ε – ε2

(1 - (1-ε)2)2 = (2ε – ε2)2 = ε2 (2 – ε)2

= ε2 (4 – 4ε + 4ε2) ………………………….. (5)

ln (1−ε )=−ε− ε 2

2− ε3

3− ε 4

4 ……………………… (6)

Reemplazando (4), (5) y (6) en (2):

Q=π ( P0−PL) R4

8μL [ε (4 – 6 ε+4 ε2 – ε3 )+ ε2 (4 – 4 ε+4 ε 2)

(1− ε2− ε2

3− ε3

4 ) ]De donde:

Q=π ( P0−PL) R4

8μL [ 43 ε3+terminos muy pequeños quecontienen ε4 , ε5 , etc]Q=

π ( P0−PL) R4

8μL [ 43 ε3]=π ( P0−PL ) R4 ε3

6 μL

Prob. 2G2

Flujo laminar en una película que desciende por el exterior de un tubo circular.

Una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeño tubo circular, para descender después por la parte por la parte exterior del mismo.

aR

R

r

z

a) Demostrar que la distribución de la velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es:

V z=ρg R4

4 μ [1−( rR )

2

+2a2 ln ( rR

)]b) Obtener una expresión para la velocidad volumétrica de flujo en la película.c) Demostrar que el resultado obtenido en b) se transforma en:

Q= ρg δ 3ω3 μ

si elespesor de la pelicula esmuy pequeño .

La siguiente fig. muestra en forma esquemática el proceso de flujo:

Sol.

a) Balance de cantidad de movimiento en estado estacionario

(Veloc. de entrada C.M.) – (Veloc. de salida C.M.) + (suma de las fuerzas que actúan sobre el sistema) = 0

Elemento del fluido de volumen

2πr Δz τrz ǀr 2πr Δz τrz ǀr

2πr Δr Δz

Trasporte molecular de cantidad de movimiento

2πr Δr (ρ Vz2) ǀz

2πr Δr (ρ Vz2) ǀz + Δz

Transporte conectivo de cantidad de movimiento Efecto del campo gravitacional

2πr Δr Δz ρg

Fig. 1

Considerando la figura 1, el balance de cantidad de movimiento alrededor de un elemento infinitesimal de fluido, de volumen 2πr Δr Δz, conduce a:

(2πr Δz τrz ǀr + 2πr Δr (ρ Vz2) ǀz) - (2πr Δz τrz ǀr + Δz + 2πr Δr (ρ Vz

2) ǀz) + (2πr Δr (ρ Vz2) ǀz + Δz) = 0

Dividiendo ahora entre el volumen 2π r Δr Δz y ordenando se obtiene:

[ ( r . τ rz) ǀr+Δr−(r . τ rz ) ǀrr . Δr ]+[ ( ρV z

2) ǀz+Δz−(ρ V z2 ) ǀz

Δz ]=ρg ……… ..(2)

Balance de materia en estado estacionario

Δz

2πr Δr (ρ Vz) ǀz

Área de flujo 2πr Δr

Elemento de fluido de volumen 2πr Δr Δz

2πr Δr (ρ Vz) ǀz + Δz

(Veloc. de entrada de materia) – (Veloc. de salida de materia) = 0

2πr Δr (ρ Vz) ǀz - 2πr Δr (ρ Vz) ǀz + Δz = 0

Simplificando y considerando que el fluido es incompresible (ρ = cte.), se deduce:

Vz ǀz = Vz ǀz + Δz

Que indica que la velocidad del fluido Vz es la misma en cualquier posición Z. Este resultado permite eliminar el 2do término del primer miembro de la ecuación (2), es decir:

[ ( r . τ rz) ǀr+Δr−(r . τ rz ) ǀrr . Δr ]+[ ( ρV z

2) ǀz+Δz−(ρ V z2 ) ǀz

Δz ]=ρg

[ ( r . τ rz) ǀr+Δr−(r . τ rz ) ǀrr . Δr ]=ρg ………….(3)

Tomando límite cuando Δr 0, se tiene:

1r

ddr

(r . τ rz )=ρg ………… .. (4 )

Y ahora, teniendo en cuenta la ley de newton de la viscosidad:

τ rz=−μd V z

dr………… .. (5 )

Y sustituyendo en (4), se obtiene la ecuación diferencial para el flujo de una película que desciende por el exterior de un tubo circular:

1r

ddr (r .

d V z

dr )=−ρgμ

…… .. (6 )

Sujeta a las condiciones límites:

(C.L.1) r = R , Vz = 0

(C.L.2) r = aR , dVz/dr = 0

Integrando:

rd V z

dr=−ρg2μ

r2+c1

d V z

dr=−ρg2μ

r+c1r

………… ..(7)

V z=−ρg2μ

r 2+c1 lnr+c2………… .. (8 )

Reemplazando la C.L.2 en la ecuación (7), se tiene:

0=− ρg2μ

aR+c1aR

De donde:

c1=ρg2μ

a2 R2…………… (9 )

Reemplazando, ahora la C.L.1 y la ec. (9) en (8):

0=− ρg R2

4 μ+ ρg a2R2

2μlnR+c2

De donde:

c2=ρg R2

4 μ− ρg a2R2

2μlnR …………. (10 )

Luego, sustituyendo las ec. (9) y (10) en (8), se obtiene la distribución de velocidad de la película descendente (despreciando los efectos finales):

r r + dθ

Vz(r)

Área de flujodA = rdθ dr

V z=−ρg r2

4 μ+ ρg a2 R2

2 μlnR+ ρ g R2

4 μ− ρg a2R2

2μlnR

¿ ρg R2

4 μ [1−( rR )

2]+ ρg a2R2

2 μln( r

R )V z=

ρg R2

4 μ [1−( rR )

2

+2a2 ln( rR )]

b) Velocidad volumétrica de flujo en la película descendente

Por definición, el caudal o velocidad volumétrica de flujo esta dada por:

Q=∫V z dA=∫R

aR

∫0

2 π

V z rdθdr

Q= ρg R22π4 μ

∫R

aR

[1−( rR )

2

+2a2 ln( rR )]rdr

Haciendo n = r/R

Q= ρg R4 π2 μ

∫1

a [1−( rR

¿¿¿2+2a2 ln( rR ))]( r

R)d ( r

R)

¿ ρg R4π2μ

∫1

a

[1−n2+2a2ln (n)] ndn

¿ ρg R4π2μ [∫

1

a

ndn−∫1

a

n3dn+2a2∫1

a

nln (n ) dn]… ………… ..(12)

Integrando término a término se obtiene:

ω

δ

δ = espesor de la película liquida que desciende.δ = aR – R = R(a – 1)ω = ancho de la película = 2πR

Q= ρg R4 π2 μ [ a2

2−12−a4

4+ 14+a4 ln (a )−a4

2+ a2

2 ]Ordenado:

Q= ρg R4 π8 μ

[4a4 ln (a )−3a4+4a2−1 ] ec. Del caudal de la película

c)

Q= ρg R32πR16 μ

[4 a4 ln (a )−3a4+4 a2−1 ] ………….(13)

Reemplazando 2πR por ω y R3 por δ3/(a – 1)3, se obtiene:

Q= ρg δ 3ω16 μ [ 4 a4 ln ( a )−3a4+4 a2−1

(a−1)3 ]Q= ρg δ 3ω

16 μlima→1 [ 4a4 ln (a )−3a4+4a2−1

(a−1)3 ]……….(14)

Aplicando sucesivamente el teorema de L’ Hospital, se obtiene:

Q= ρg δ 3ω16 μ

lima→1 [ 4a4 ln (a )−3a4+4a2−1

(a−1)3 ]=326Y reemplazando en la ec. (13) obtenemos la ec. De flujo volumétrico de una película liquida muy delgada que desciende por la superficie exterior de un tubo circular:

∆r∆zr∆θ

∆θ

Dirección z

Eje central del tubo

Q= ρg R32πR16 μ ( 326 )= ρg δ 3ω

3 μ

Prob. 2H2

Flujo No – Newtoniano en un tubo circular

a) Deducir la formula análoga a la de Hagen- poiseuille para el modelo de Ostwald de Wale (ley de la potencia). Al hacer la deducción debe de eliminarse primeramente el signo de valor absoluto. Como para el flujo en un tubo dVz/dr es siempre negativo, la ley de la potencia se transforma en este caso en:

τ rz=−m|d V z

dr |n−1

( d V z

dr )=m|−d V z

dr |n−1

(−dV z

dr )=m(−d V z

dr)

n

Explicar cuidadosamente estas transformaciones.b) Deducir una expresión de la velocidad volumétrica para el flujo en un tubo de un fluido de

Ellis:

(−d V z

dr )=φ0. τ rz+φ1.|τ rz|α−1

. τ rz

Sol.

a) En la figura siguiente se muestra un elemento infinitesimal de fluido, de volumen rΔrθΔz, que se desplaza axialmente por el interior de un tubo circular:

Transporte molecular (viscoso) de cantidad de movimiento

Fig. 1

r∆θ∆zτrzІr+∆r

r∆θ∆zτrzІr

Fig. 2

α

r ∆θ Δr (ρ Vz2) ǀz + Δz

r ∆θ Δr (ρ Vz2) ǀz

Fig. 3

Transporte convecctivo de cantidad de movimiento

Acción de las fuerzas de presión y del campo gravitacional

r ∆θ Δr Pǀz r ∆θ Δr P ǀz + Δz

r∆θΔr∆zρg sen αr ∆θ Δr ∆z

La aplicación del balance de movimiento al elemento del fluido de la fig. (1), conduce a:

[Velocidad deentrada de

cantidad demovimiento

]−[velocidad desalidade

cantidad demoimiento

]+[Suma de lasfuerzas ]=0……….(1)

[r ∆ θ ∆ z ( τ rz ) ǀr+r ∆ θ Δ r ( ρV z2 ) ǀz ]−[r ∆ θ ∆ z (τ rz ) ǀr+∆r +r ∆ θ Δr ( ρV z

2 ) ǀz+∆ z ]+ [r ∆ θ Δr Pǀz−r ∆ θ Δr P ǀz+∆ z−r ∆θΔ r ∆ z ρ g sen α ]=0……… ..(2)

Dividiendo entre el volumen r∆r∆θ∆z y ordenado se tiene:

¿

Balance de materia en estado estacionario:

(Veloc. de entrada de materia) – (Veloc. de salida de materia) = 0

r ∆ θ Δ r ( ρV z ) ǀz−r ∆ θ Δ r ( ρV z ) ǀz+∆z=0

de donde:

(ρVz)ǀz = (ρVz)ǀz+∆z

Como ρ = cte. (fluido incompresible), se deduce que:

Vzǀz = Vzǀz+∆z…………………. (4)

Este resultado indica que la velocidad del fluido es constante a lo largo de una línea de corriente, es decir Vz = cte. En cualquier posición z. Así mismo, la ec. (4) permite eliminar el segundo termino del primer miembro de la ec. (3), así:

¿

Al tomar limites cuando ∆z 0 y ∆z 0, se obtiene:

1r

.d

dr(r . τ rz )=−dp

dz+ρgsenα

Y haciendo P= p – ρgz senα, se tiene:

1r

.d

dr(r . τ rz )=(P0−PL

L )………….(5)

Ya que la presión de un fluido que fluye por una tubería varia linealmente en función de la longitud, yendo de mayor a menor presión.

Para un fluido cuyo comportamiento reologico está dado por la le de potencia, el esfuerzo cortante se define como:

τ rz=−m|dV z

dr |n−1

.d V z

dr……….(6)

Como para un flujo de fluidos en un tubo circular dVz/dr es siempre negativo, entonces:

(−d V z

dr)>0

Asi mismo, como el valor absoluto de una cantidad negativa o positiva es siempre positiva, se tiene:

|d V z

dr |=|(−d V z

dr)|=(

−d V z

dr)>0

Luego, la ec. (6) se transforma en:

τ rz=m(−d V z

dr )n−1

.(−d V z

dr )=m(−dV z

dr)

n

……… ..(7)

Ahora, reemplazamos la ec. (7) en (5), se obtiene:

ddr [r .(

−d V z

dr)

n]=( P0−PL

mL ) . r …………(8)

Sujeta a las siguientes condiciones límites:

(C.L.1): r = 0 , dVz/dr=0

(C.L.2): r = 0 , Vz = 0

Si se integra una vez, la ec. (8) conlleva a:

r .(−d V z

dr )n

=( P0−PL

mL ) .r2

2+c1

Teniendo en cuenta la C.L.1, se deduce que C1 = 0

Luego,

(−d V z

dr )=( P0−PL

mL ) .r2

2

De donde:

(−d V z

dr )=( P0−PL

2mL )1n . r

1n

Integrando otra vez se obtiene:

V z=−( nn+1 ) .(P0−PL

2mL )1n . r

(n+1)n +c2……… ..(9)

Como Vz = 0, para r = R (C.L.2), entonces:

c2=( nn+1 ) .(P0−PL

2mL )1n . R

(n+1)n

Ahora al sustituir el valor de C2 en la ec. (9), se deduce el perfil de velocidad para el flujo de un fluido que sigue la ley de la potencia, es decir:

V z=−( nn+1 ) .(P0−PL

2mL )1n . r

(n+1)n +( n

n+1 ) .( P0−PL

2mL )1n . R

(n+1)n

¿( nn+1 ). (P0−PL

2mL )1n .[R ( n+1 )

n −r(n+1)

n ]

V z=( nn+1 ) .(P0−PL

2mL )1n . R

(n+1 )n [1−( r

R)

( n+1)n ]………….(10)

Flujo volumétrico o caudal

El flujo volumétrico, para un tubo circular, está dado por:

Q=∫V z dA=∫0

R

∫0

2π

V z . rdθdr ………….(11)

Sustituyendo (10) en (11), se tiene:

Q=B∫0

R

∫0

2π [1−( rR

)(n+1)

n ]rdθdr ………… ..(12)

Siendo,

B=( nn+1 ) .(P0−PL

2mL )1n .R

(n+1)n … ………(13)

Integrando (12), se obtiene:

Q=2πB∫0

R [1−( rR

)(n+1)

n ]rdr

Y haciendo x = r/R:

Q=2π R2. B∫0

1

[1−( rR

)(n+1 )

n ] xdx=2π R2 . B∫0

1 [ x−x1+2n

n ]dx

¿2π R2 . B [ 12− n1+3 n ]=π R2(1+n)

1+3n

Reemplazando B, se obtiene la ec. Análoga a la de Hagen – Poiseuille para el modelo de Ostwald de waele:

Q=( πn1+3n

)( P0−PL

2mL )1n . R

(3n+1 )n

b) Velocidad volumétrica de flujo para un fluido de Ellis que fluye por una tubería circular.

1r

.d

dr(r . τ rz )=(P0−PL

L )Cuya integración conduce a:

ddr

(r . τ rz )=( P0−PL

L )r

r . τ rz=(P0−PL

2 L )r2+C1…………… (14)

Como τrz = 0, cuando r = 0, entonces C1 resulta ser 0, es decir:

(0 ) (0 )=( P0−PL

2 L )02+c1→c1=0

Luego, de la ec. (14) se deduce:

τ rz=( P0−PL

2 L )r ………… (15)

Por otro lado, el modelo de Ellis representado por:

(−d V z

dr )=[φ0+φ1|τ rz|α−1 ] . τ rz……… …(16)

Consta de tres parámetros positivos ajustables: φ0 ,φ1 y α.

Asi mismo, el valor absoluto de τrz siempre es positivo. Por tanto, el termino:

[φ0+φ1|τ rz|α−1 ]

También es positivo. También en la parte a), se ha iniciado que para el flujo de fluido en un tubo circular dVz/dr es siempre negativo y por consiguiente:

(−d V z

dr)>0

De lo anterior expuesto, necesariamente el esfuerzo cortante debe ser positivo. Luego, se deduce que:

Prob. 2I2

Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular

Un tubo vertical está lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Al separar la lámina, el fluido puede salir o no del tubo por gravedad. (Véase la Fig. 2.1) Explíquese este hecho y establézcase un criterio de flujo para este experimento.