FAC. CC. JURÍDICAS Y SOCIALES CAMPUS DE VICÁLVARO

ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA I

ECONOMÍA (2º A y 2º B)

PERIODISMO + ECONOMÍA (3º A)

DERECHO + ECONOMÍA (3º A)

PROFESOR: PEDRO J. VEGA CATENA

HOJAS DE PROBLEMAS

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HOJA DE PROBLEMAS 1

(ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE)

PROBLEMA 1. Una cadena de supermercados tiene 10 tiendas en una ciudad. Los siguientes datos son los paquetes de detergente de una determinada marca vendidos en una cierta semana:

34 23 18 12 16 31 22 11 9 33 Con estos datos se pide:

A. La media. B. La mediana. C. La varianza y desviación típica. D. ¿A partir de que número de paquetes de detergente se encuentra el 25% de las

tiendas que más paquetes venden? PROBLEMA 2. La siguiente tabla muestra los años de trabajo antes del retiro voluntario de 355 empleados de una compañía petrolífera:

Años de trabajo Empleados Años de trabajo Empleados

0-1 4 8-9 11 1-2 41 9-10 7 2-3 67 10-11 14 3-4 82 11-12 6 4-5 28 12-13 14 5-6 43 13-14 5 6-7 14 14-15 2 7-8 17

A. Dibuje el histograma de esta distribución. B. Calcule el valor que menos dista de todas las observaciones. C. Obtenga el momento de orden dos con respecto a la media. D. ¿Qué valor acumula tras de sí el 50% de los datos de la distribución?

PROBLEMA 3. La siguiente tabla muestra los precios (en miles de pesetas) de los alquileres de apartamentos en el centro de Madrid:

Precio 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 Frecuencia 2 3 8 7 4 1

A. Calcule las frecuencias acumuladas. B. Obtenga una medida de tendencia central que divide en dos partes iguales la

distribución. C. ¿Cuál es el valor que más veces se repite en esta distribución? D. ¿Qué valor de la distribución deja por encima de sí el 75% de los datos? E. Calcule el valor que acumula tras de sí el 75% de los datos. F. Si se calculase para esta distribución una medida de dispersión que no

dependiera de las unidades de medida, ¿qué valor tomaría dicha medida?

3

PROBLEMA 4. Los ratios precio-beneficio para una muestra de 24 compañías relacionadas con la venta de software son las siguientes:

7.7 8.5 9.6 10.3 13.6 14.5 19.5 10.1 9.7 11.4 17.8 15.9

14.2 13.7 20.7 22.1 25.9 29.1 32.6 36.7 32.4 35.9 40.1 45.9

A. Agrupe estos datos en cinco intervalos de amplitud 4, 4, 6, 10 y 16, comenzando este agrupamiento en 6.(NOTA: por tanto el primer intervalo será 6-10).

B. Construya un histograma de frecuencias relativas de la distribución obtenida en el apartado anterior. (NO HACER ESTE APARTADO)

C. Si el coeficiente de asimetría para esta distribución tomase el valor 0.5, ¿cómo interpretaría este dato?

D. Si el coeficiente de curtosis o apuntamiento toma el valor de –1.23, ¿de que nos informa este valor?

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HOJA DE PROBLEMAS 2

(MEDIDAS DE DESIGUALDAD)

PROBLEMA 1. Suponga que dos padres de familia, cada uno de ellos con cuatro hijos, deciden hacer testamento y repartir su patrimonio de la siguiente forma:

PADRE A PADRE B 1er HIJO 100.000 1.200.000 2º HIJO 500.000 1.300.000 3er HIJO 300.000 1.400.000 4º HIJO 100.000 1.100.000

A. Utilizando la Curva de Lorenz, ¿cuál de los dos repartos diría usted que es más

equitativo? B. Calcule los índices de Gini del PADRE A y del PADRE B. Interprete los

resultados obtenidos adecuadamente. PROBLEMA 2. La distribución de salarios de los empleados de una cierta empresa es la siguiente:

Salario en pts/mes Nº de empleados

18.700 21 20.400 25 28.000 30 32.500 17 45.000 15 50.000 18 62.000 14 100.000 10

A. Obtenga el índice de Gini para esta distribución de salarios. B. Represente la Curva de Lorenz.

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HOJA DE PROBLEMAS 3

(ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: DOS VARIABLES)

PROBLEMA 1. La siguiente tabla muestra la distribución conjunta de frecuencias relativas de la variable CRED que representa el número de tarjetas de crédito que posee una persona, y la variable COMP que refleja el número de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito:

COMP

CRED 0 1 2 3 4

1 0.08 0.13 0.09 0.06 0.03

2 0.03 0.08 0.08 0.09 0.07

3 0.01 0.03 0.06 0.08 0.08

A. Hallar la distribución marginal de la variable COMP.

B. Calcular el número medio de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito.

C. Obtener la desviación típica del número de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito

D. Hallar la distribución marginal de la variable CRED.

E. Calcular la distribución del número de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito que realizan las personas que poseen tres tarjetas.

F. ¿Cuál es la media de la distribución del apartado anterior?

G. ¿Qué podría decir acerca de la independencia entre estas variables?

H. Si se sabe que en el estudio han participado 300 personas, hallar la distribución conjunta de frecuencias absolutas.

PROBLEMA 2. Considere las variables CAPITAS (número de personas en cada hogar o unidad de gasto) y NPER (número de perceptores de ingresos regulares). En la siguiente tabla de correlación puede verse la distribución conjunta de frecuencias absolutas de ambas variables:

6

NPER

CAPITAS 1 2 3 4 5 6

1 6 0 0 0 0 0

2 7 4 0 0 0 0

3 7 4 0 0 0 0

4 10 5 4 1 0 0

5 7 5 2 1 0 0

6 3 2 1 0 2 0

7 0 0 2 0 0 1

8 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 1 0

A. Hallar las distribuciones de NPER condicionadas por los valores 2 y 5 respectivamente de la variable CAPITAS.

B. Calcular la media de la distribución del número de perceptores condicionada a que el número de personas en el hogar es 2.

C. ¿Podría decir algo de la independencia de estas variables? Razone su respuesta.

D. Obtener la desviación típica de las distribución de NPER condicionada a que CAPITAS vale 5.

PROBLEMA 3. Se dispone de 240 pares de datos correspondientes a las variables DECL que describe el tipo de declaración de la renta, y RES que expresa el resultado de la declaración. La primera variable puede darse con las siguientes modalidades: ordinaria (O), simplificada (S) y abreviada (A). Las modalidades de la segunda variable son: ingresar (I) y devolver (D). De las sesenta declaraciones a ingresar, cinco son ordinarias y quince simplificadas. De las declaraciones a devolver, cuarenta y cinco son simplificadas y cincuenta son abreviadas. Con esta información:

A. Hallar la distribución conjunta de frecuencias absolutas.

B. Obtener las distribuciones marginales de frecuencias relativas.

C. Calcular la distribución de la variable DECL condicionada por que la variable RES sea “ingresar”.

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PROBLEMA 4. Una encuesta de salarios entre licenciados proporciona los datos siguientes:

Edad 28 22 32 35 38 44 49 52 58 62 66 70

Salario 2.2 2.2 3.8 4.2 4.2 5.3 7.3 6.4 6.7 5.3 6.0 5.1

A. Construir un diagrama de dispersión que represente conjuntamente ambas variables e indicar si la relación parece ser lineal.

B. Calcular el coeficiente de correlación entre ambas variables. ¿Cómo interpretaría dicho coeficiente?

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HOJA DE PROBLEMAS 4

(REGRESIÓN)

PROBLEMA 1. Considere una empresa que se dedica a la importación de maquinaria. Teniendo en cuenta que, en los 6 últimos años el volumen de importación de maquinaria y la producción industrial de los sectores que han absorbido esas importaciones han sido: IMPORTACIÓN EN 106 € PRODUCCIÓN 10 6 € 22 105 33 120 45 125 50 130 65 140 67 154

A. ¿Cuál será el volumen de importación de esa empresa en un año en que la producción industrial estimada es de 200 millones de euros? (suponiendo que la relación inicial se mantenga en dicho año)

B. Obtener el coeficiente de determinación de dicha estimación. Interprete adecuadamente dicho coeficiente.

C. Hallar la varianza debida a la regresión. D. Calcular la varianza residual de esta estimación.

PROBLEMA 2. Un análisis de la relación entre el consumo de tabaco y el número de personas con cáncer de pulmón se resume en la recta de regresión estimada:

y = -2 + 1.2 x donde r = 0.80; siendo la variable x el número de años durante los cuales una persona ha fumado, y la variable y el porcentaje de cancerígenos habidos en cada grupo de personas según sus años de fumador. Se pide:

A. Explique el significado económico de los parámetros -2 y 1.2 en la recta de regresión.

B. ¿Cuál es la expectativa respecto a la tasa de cancerígenos para personas que han fumado 30 años?

C. Si r hubiese sido igual a 1, ¿podríamos decir que el tabaco fue la única causa del cáncer de pulmón?

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PROBLEMA 3. En un cierto país, a partir de los datos del período 1987-1996 (ambos inclusive), se han obtenido los siguientes resultados sobre Importaciones Totales (Y) y sobre el Producto Nacional Bruto (X), en millones de euros:

802Y;872X1996

1987tt

1996

1987tt == ∑∑

==

6.6819y;6.3246x;6.4681yx1996

1987t

2t

1996

1987t

2t

1996

1987ttt === ∑∑∑

===

Las letras mayúsculas representan los valores originales de las variables y las minúsculas representan las variables en desviaciones con respecto a la media, es decir:

)()( YYyeXXx tttt −=−=

A. Calcular el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables. B. ¿Cuál es la estimación de la pendiente de la regresión entre ambas variables

considerando que las importaciones vienen explicadas por el PNB? C. Hallar la estimación del término independiente de la regresión considerada en el

apartado anterior. D. ¿Cuál es la parte de la varianza de la variable importaciones que el modelo no es

capaz de explicar? E. Obtener una medida del grado de bondad del ajuste para esta estimación. F. ¿Cuál sería el nivel de importaciones para un nivel de PNB de 200 millones de

euros?

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HOJA DE PROBLEMAS 5

(NÚMEROS ÍNDICES)

PROBLEMA 1. Pruebe que los índices de Laspeyres y de Paasche de cantidades están relacionados por: Lt/0 = 1/P0/t

PROBLEMA 2. Se dan los siguientes precios:

1993 1994 1995 Azúcar 115 130 140 Vestido 800 950 975 Ternera 1200 1350 1400

A. Obtenga los índices simples para el vestido, con base en 1993, para los tres años

de la tabla. B. Calcular los índices media aritmética no ponderada para los años 94 y 95 con la

misma base que en el apartado (A) C. ¿Qué valor tomará el índice media geométrica no ponderada del año 95 con

misma base que el apartado (A)? D. Halle el índice media armónica no ponderada para el año 94, con la misma base

de los apartados anteriores.

PROBLEMA 3. Con los precios y cantidades siguientes: CARNE ELECTRICIDAD TABACO Precio (Kg) Cantidad Precio (kWh) Cantidad Precio Cantidad 1914 3.8 90 kg 0.5 200 kWh 0.6 50 1949 440 95 kg 19 1500 kWh 65 100 1956 810 100 kg 26 3000 KWh 87 200

A. Calcule el índice de precios de Paasche del año 56 con base en 1914. B. Obtenga el índice de precios de Laspeyres del año 49 con base en 1914. C. Halle el índice de precios de Laspeyres del año 14 con base en 1956. D. ¿Qué valor tomará el índice de cantidades de Paasche del año 49 con base 56?

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PROBLEMA 4. Dados la siguiente información del Producto Interior Bruto en euros corrientes y constantes para el período 1974-1980, halle los deflactores implícitos del PIB:

Año PIB € corrientes PIB € constantes

1974 51.43 264.29 1975 60.38 265.72 1976 72.66 274.50 1977 92.20 282.29 1978 112.84 286.42 1979 132.01 286.54 1980 151.67 290.27

PROBLEMA 5. Considere las siguientes series de números índices simples correspondientes a la producción de un determinado bien de consumo:

AÑO Base 1970 Base 1975 Base 1980 1970 100 1971 104 1972 107 1973 112 1974 115 1975 122 100 1976 104 1977 105 1978 108 1979 114 1980 121 100 1981 107 1982 112 1983 120 1984 125

Obtener los índices en base 1970 para el período 1976-1984, los índices en base 1975 para los períodos 1970-1974 y 1981-1984 y los índices en base 1980 para el período 1970-1979.

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PROBLEMA 6. El pago por hipotecas de las familias españolas, en términos nominales, en el período 1998-2007, se refleja en la siguiente tabla:

Años Pago

hipotecas (en 107 €)

1998 100 1999 120 2000 150 2001 160 2002 180 2003 210 2004 200 2005 250 2006 270 2007 300

Sabiendo que los índices de precios han sido:

Años Índice base 1998=100

Índice base 2003=100

1998 100 1999 110 2000 112 2001 120 2002 125 2003 130 100 2004 105 2005 120 2006 124 2007 128

Obtenga cuál ha sido el porcentaje, en términos reales del año 1998, del incremento del pago de las hipotecas en el período considerado.

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HOJA DE PROBLEMAS 6

(TEORÍA DE LA PROBABILIDAD)

PROBLEMA 1. El servicio de estudios de una empresa, que proyecta concurrir

en un mercado donde sólo existiría otra empresa competidora, estima que, al finalizar el ejercicio económico, sus ventas superarán las 100.000 unidades con una probabilidad de: - 0.8, si el precio fijado por la empresa competidora para su artículo es “alto”. - 0.5, si el precio fijado por la empresa competidora para su artículo es “medio”. - 0.1, si el precio fijado por la empresa competidora para su artículo es “bajo”. Además, por situaciones anteriores, el servicio de estudios determina que la probabilidad de que la empresa competidora fije precio “alto” es de 0.3; que fije precio “medio” es de 0.5 y que fije precio “bajo” es de 0.2. Con esta información, ¿cuál es la probabilidad de que las ventas de la empresa superen las 100.000 unidades?

PROBLEMA 2. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas periféricas de una gran ciudad, de suerte que: el 60% de los autobuses cubren el servicio de la primera línea, el 30% cubren el servicio de la segunda línea y el 10% cubren el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es: -Del 2% en la primera línea. -Del 4% en la segunda línea. -Del 1% en la tercera línea.

A. Obtenga la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería. B. Sabiendo que un autobús ha sufrido una avería en un día determinado, ¿cuál es

la probabilidad de que preste servicio en la primera línea?

PROBLEMA 3. La probabilidad de que un hombre de 60 años muera antes de un año es de 0.023, y la probabilidad de que una mujer de 55 años muera antes de un año es de 0.008. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:

A. Que ninguno de los dos muera antes de un año. B. Que al menos uno de ellos muera antes de un año. C. Que al menos uno de ellos viva dentro de un año.

PROBLEMA 4. La urna A contiene 5 bolas negras y 3 blancas. La urna B contiene 2 bolas blancas, 3 rojas y 4 negras. El experimento aleatorio consiste en pasar una bola de la urna A a la B aleatoriamente y a continuación extraer, también aleatoriamente, una bola de la urna B y observar su color.

A. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea de color blanco? B. ¿Y la probabilidad de que si la bola extraída es de color blanco sea de color

negro la bola que se ha pasado de la urna A a la B?

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PROBLEMA 5. Un país se plantea la alternativa de tener que decidir sobre su política energética futura. En este sentido está dispuesto a la implantación de centrales nucleares. Al estudiar para el año 2002 el nivel de precios que puede alcanzar el petróleo considera que la probabilidad de que suba el precio del mismo es el doble de que se mantenga, y ésta el doble de la probabilidad de que baje. También se sabe que la probabilidad de instalar centrales nucleares es de 0.9 si sube el precio del petróleo, de 0.7 si se mantiene y de 0.4 si desciende. Obtener la probabilidad de los siguientes sucesos:

A. Que en el año 2002 se instalen centrales nucleares. B. Que habiéndose instalado centrales nucleares haya subido el precio del petróleo.

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HOJA DE PROBLEMAS 7

(VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL)

PROBLEMA 1. Considere la variable aleatoria ξ , que representa el número de unidades demandadas de un determinado producto, y que tiene la siguiente función de distribución F(x):

≥

<≤

<≤

<≤

<

=

3xpara1

3x2para4

3

2x1para2

1

1x0para4

1

0xpara0

)x(F

A. Obtener la representación gráfica de dicha función de distribución. B. Calcular la distribución de probabilidad que genera esta función. C. ¿Cuál es la probabilidad )7.1(P =ξ ? D. Hallar la probabilidad de que se demanden 2 unidades del producto. E. Obtener la probabilidad )32.1(P <ξ< .

PROBLEMA 2. Considere una variable aleatoria η que representa el número de personas (en cientos) que asisten a un determinado espectáculo. Dicha variable se distribuye según la siguiente función de cuantía:

=

−==η

.valorotrocualquierpara0

.4,3,2,1,0xpara)!x4(!x

1

2

3

)x(P

A. Obtener la función de distribución de la variable aleatoria η . B. ¿Cuál es la probabilidad de que asistan 300 personas al espectáculo? C. Calcular la probabilidad de que asistan al espectáculo entre 100 y 250 personas

(ambos valores incluidos). D. Hallar la probabilidad de que asistan 250 o menos personas al espectáculo.

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PROBLEMA 3. Considere una variable aleatoria ξ que representa los tipos de interés de financiación que una empresa tendrá que soportar el próximo año, cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente función de densidad:

>

≤<

≤<−

≤<

−

≤<

−

≤<+

≤

=

6xpara0

6x3para9

1

3x2para)x4(9

1

2x2

3parax

2

5

9

42

3x1para

2

1x

9

4

1x0para)1x(9

1

0xpara0

)x(f

A. Representar gráficamente la función de densidad. B. Obtener la función de distribución. C. ¿Cuál es la probabilidad de que los tipos de interés se encuentren el próximo año

entre el 1.3% y el 2.4%? PROBLEMA 4. Los costes totales ( ξ ) de una empresa son aleatorios y tienen por función de distribución:

≥

<≤−

<

=ξ

2xpara1

2x1para1x

1xpara0

)x(F

Si los costes fijos son iguales a la unidad entonces:

A. Obtener la función de densidad de los costes variables ( η ).

B. Hallar la probabilidad de que los costes variables sean superiores a 1.3.

PROBLEMA 5. Una estación de suministro recibe gasolina cada semana. Si su volumen semanal de ventas, en miles de litros, se distribuye aleatoriamente con función de densidad 1x0si)x1(5)x(f 4 <<−= . ¿Cuál debe ser la capacidad de su depósito a fin de que la probabilidad de que se agote el combustible en una semana determinada sea de 0.01?

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HOJA DE PROBLEMAS 8

(MOMENTOS)

PROBLEMA 1. Un vendedor de enciclopedias estima que la distribución de probabilidad de la variable aleatoria ξ = “nº de enciclopedias vendidas en una semana” viene dada por:

ix=ξ 0 1 2 3 4 5

)x(P i=ξ 0.05 0.1 0.4 0.2 0.15 0.1

Se supone que las ventas entre semanas son independientes.

A. ¿Cuál es la probabilidad de vender más de tres enciclopedias en una semana? B. Calcular el número medio esperado de enciclopedias vendidas en una semana. C. Hallar la varianza de esta variable aleatoria. D. Se sabe que el salario del vendedor es ξ+= ·50250S . Entonces, ¿cuál es el

salario medio esperado? E. ¿Y cuál es la varianza del salario?

PROBLEMA 2. Considere la variable ξ = “nº de trabajadores accidentados en un mes”, cuya distribución de probabilidad viene definida por la siguiente función de distribución:

≥

<≤

<

=

1xpara1

1x0parax

0xpara0

)x(F 21

A. Calcular el valor probable de esta distribución. B. Obtener una medida de dispersión cuadrática para esta distribución.

PROBLEMA 3. Una variable aleatoria presenta una distribución de probabilidad definida por la función de densidad:

<<

−=valorotrocualquierpara0

bxaparaab

1

)x(f

A. Obtener la esperanza de esta variable aleatoria.

B. ¿Cuál es la varianza de esta distribución de probabilidad?

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PROBLEMA 4. En una plaza de toros se sabe que al finalizar el festejo esperan el autobús una media de 7000 personas con una desviación típica de 350. La empresa concesionaria del servicio quiere tener una probabilidad de al menos un 80% de tener dicho servicio bien atendido. La capacidad de cada autobús es de 50 personas. ¿Cuántos autobuses son necesarios?

PROBLEMA 5. Una variable aleatoria ξ tiene como función característica:

2t92

1it5

e)t(−

=ϕ

Calcular a partir de dicha función la esperanza matemática y la varianza de la variable.

PROBLEMA 6. La variable aleatoria η tiene por campo de variación el intervalo [0,a]. Su función de densidad es:

+=

2

x1k)x(f

Sabiendo que 3

7)(E =ξ=α determinar k y a.

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HOJA DE PROBLEMAS 9 (NO HACER ESTA HOJA)

(VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL)

PROBLEMA 1. De una urna con tres bolas blancas y seis rojas se extraen dos bolas. Se consideran las variables aleatorias: 1ξ = “nº de bolas blancas en la primera extracción”.

2ξ = “nº de bolas blancas en la segunda extracción”.

A. Obtenga la función de cuantía de la distribución conjunta de 1ξ y 2ξ cuando existe reemplazamiento.

B. Calcule la función de cuantía de la distribución conjunta de 1ξ y 2ξ cuando no existe reemplazamiento.

C. Estudiar la independencia estocástica entre dichas variables en ambos casos. PROBLEMA 2. Las variables aleatorias 1ξ (nº de unidades demandadas de un

producto) y 2ξ (nº de personas que demandan ese producto) se distribuyen conjuntamente según la función de cuantía que indica la siguiente tabla:

1 2 1 1/20 1/20 2 1/10 1/5 3 1/5 2/5

A. Obtener la probabilidad P( 1ξ = 2, 2ξ ≤ 2 ) B. ¿Cuál es la probabilidad de que se demande una unidad del producto sabiendo que

es demandada por dos personas? C. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación lineal. D. ¿Cuál será el nº esperado de personas que demandan el producto, sabiendo que ha

sido demandada una sola unidad de dicho producto? PROBLEMA 3. La función de cuantía conjunta de dos variables aleatorias está dada por:

.3,2,1y;4,3,2,1xparayxK)y;x(P jijij2i1 ====ξ=ξ

A. Calcular el valor de la constante K para que dicha función sea una correcta

función de probabilidad. B. Obtener la probabilidad P( 1≤ 1ξ ≤ 2 ; 2ξ ≤ 2 )

C. Hallar la función de cuantía marginal de 2ξ .

D. ¿Son 1ξ y 2ξ independientes?

E. ¿Qué valor se espera que tome 2ξ sabiendo que 1ξ = 2?

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PROBLEMA 4. Dada la función de densidad bidimensional:

1y0,1x0,)yx(K)y,x(f 23 ≤≤≤≤+=

A. ¿Qué valor debe tomar K para que dicha función sea una correcta función de probabilidad?

B. Obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal entre las variables. C. Calcular la probabilidad )5.0;8.02.0(P 21 ≥ξ≤ξ≤ D. ¿Son independientes las variables?

PROBLEMA 5. Dada la función de densidad conjunta:

1y0,1x0,)ex(K)y,x(f y ≤≤≤≤+= −

A. Hallar el valor de K. B. Obtener la regresión de 2ξ sobre 1ξ .

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HOJA DE PROBLEMAS 10

(DISTRIBUCIONES: BINOMIAL, POISSON, UNIFORME)

PROBLEMA 1. En una centralita se recibe un promedio de 5 llamadas entre las 9:00 y las 10:00 horas en días laborables.

A. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciba una o más llamadas entre las 9:00 y las 10:00 horas en un día determinado?

B. Hallar la probabilidad de recibir exactamente dos llamadas entre las 9:00 y las 9:12 horas.

C. Obtener la probabilidad de que durante una semana de 5 días haya exactamente dos días en que no se reciben llamadas entre las 9:00 y las 9:12 horas.

PROBLEMA 2. El número medio de automóviles que llega a una estación de suministro de gasolina es de 210 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de 10 coches por minuto, entonces:

A. ¿Cuál es la probabilidad de que, en un minuto dado, lleguen a la estación de suministro más automóviles de los que puede atender?

B. ¿Y cuál es la probabilidad de que, en dos minutos, lleguen a la estación menos de dos coches?

PROBLEMA 3. Una O.N.G. contrata estudiantes para que soliciten donaciones por teléfono. Después de un breve período de preparación, los estudiantes telefonean a los potenciales donantes y se les paga una comisión. La experiencia indica que, normalmente, estos estudiantes logran un éxito moderado, y el 70% de ellos deja el trabajo en las dos primeras semanas. Si la asociación contrata seis estudiantes:

A. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos estudiantes dejen el trabajo en las dos primeras semanas?

B. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos estudiantes no dejen el trabajo en las dos primeras semanas?

PROBLEMA 4. Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años más es de 3/5. Con esta información, calcular la probabilidad de que dentro de 30 años vivan:

A. Los cinco individuos. B. Al menos tres. C. Sólo dos. D. Al menos uno.

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PROBLEMA 5. El tiempo, en minutos, que cierta persona invierte en ir de su casa a la estación es una variable aleatoria con distribución de probabilidad de tipo uniforme en el intervalo 20 a 25. Hallar la probabilidad de que alcance el tren que sale a las 7:28 horas si deja su casa exactamente a las 7:05 horas. PROBLEMA 6. Acerca de la demanda aleatoria de un determinado artículo solo se sabe que no supera la tonelada.

A. Obtener la probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 kilos. B. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre

800 y 900 kilos? C. Calcular la demanda media.

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HOJA DE PROBLEMAS 11

(DISTRIBUCIÓN NORMAL)

PROBLEMA 1. Sea ξ una variable aleatoria que representa el tiempo en minutos que es necesario para llevar a cabo la producción de un determinado producto industrial. Se sabe que dicha variable aleatoria se distribuye como N(10, =σ 2).

A. ¿Cuál es la probabilidad de que se tarde en realizar el proceso de producción menos de 12 minutos?

B. Hallar la probabilidad de que la producción del producto industrial lleve entre 9 y 11 minutos.

C. La probabilidad de que se tarde menos de x minutos en llevar a cabo el proceso productivo es de 0.32. ¿Cuánto vale x?

PROBLEMA 2. Un autobús efectúa el recorrido de Talavera de la Reina al campus de Móstoles de la U.R.J.C. con parada en Navalcarnero. Sea α la variable aleatoria que representa el nº de viajeros que toman el autobús en Talavera de la Reina, β la variable aleatoria que representa el nº de viajeros que descienden en Navalcarnero y γ la variable aleatoria que representa el nº de viajeros que suben en Navalcarnero con destino al centro universitario. Se supone que las tres variables aleatorias son independientes y que se distribuyen de la siguiente forma:

)3,7(N

)2,4(N

)10,50(N

=σ≈γ

=σ≈β

=σ≈α

A. ¿Cuál será la distribución de la variable aleatoria λ que represente el nº de pasajeros que llegan al campus de la Universidad?

B. Obtener la probabilidad de que el nº de pasajeros que lleguen a la Universidad este comprendido entre 60 y 65 personas.

C. Hallar el nº de pasajeros (x) que cumple 5.0)x(P =>λ .

PROBLEMA 3. La variable ξ que expresa la altura en metros de los jugadores de baloncesto sigue una distribución normal con media 1.89 y desviación típica 0.07. Si η es la altura en centímetros:

A. Escribir la relación entre ξ y η . B. Obtener la distribución de probabilidad de η . C. Calcular la probabilidad de que un jugador de baloncesto elegido al azar mida

más de 180 centímetros.

PROBLEMA 4. Se quiere instaurar un control de las personas con problemas de alta presión sanguínea, para lo que se desea contactar con el 2% de la población con presión alta. Suponiendo que la presión sistólica de la sangre pudiese ser representada aproximadamente por una función de probabilidad Normal, con esperanza matemática igual a 120 mm de mercurio y desviación típica de 12 mm, ¿a partir de qué presión sanguínea califica una persona para ser sujeta a dicho control?

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PROBLEMA 5. En una comunidad autónoma española compuesta por cinco millones de personas, la probabilidad de ser varón es igual a 48%. La estatura, en metros, de los varones se distribuye )2.0,68.1(N =σ .

A. ¿Cuántos varones hay con una estatura comprendida entre 1.60 m y 1.75 m? B. ¿Cuántos con estatura inferior a 1.20 m? C. Si el 1% de los varones desean pertenecer al cuerpo de bomberos y sólo son

admitidos los que tienen una estatura superior a 1.45 m, hallar cuántos son rechazados, suponiendo que en este 1% la distribución de las estaturas es

)11.0,72.1(N =σ

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HOJA DE PROBLEMAS 12

(TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE)

PROBLEMA 1. La probabilidad de que un elector vote al partido A es de 0.3. En un colegio electoral se dan por válidos 150 votos.

A. Hallar la probabilidad de que el número de votos favorables al partido A esté comprendido entre 40 y 50.

B. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de votos favorables al partido A esté comprendido entre 35 y 55?

PROBLEMA 2. El índice de cotización de un determinado valor en la Bolsa de Madrid sigue, semanalmente, una distribución de probabilidad dada por la siguiente función de distribución correspondiente a una función de probabilidad uniforme o rectangular:

≥

<≤−

<

=

230xpara1

230x220para10

220x

220xpara0

)x(F

Un broker decide semanalmente realizar la inversión en dicho valor siempre que la cotización de la semana supere 225.

A. Calcular la probabilidad de que el broker invierta en una determinada semana. B. ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo largo de 150 semanas, invierta en un

máximo de 80?

PROBLEMA 3. Aún estando sometidos a control los artículos ofrecidos a la venta en unos grandes almacenes, se estima que el número medio de artículos defectuosos vendidos diariamente es de 3.

A. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día sean vendidos tres artículos defectuosos?

B. Obtener la probabilidad de que, en tres días, sea vendido un artículo defectuoso. C. Hallar la probabilidad de que en 108 días sean vendidos 288 ó mas artículos

defectuosos.

PROBLEMA 4. Acerca del beneficio diario aleatorio conseguido por la venta de un determinado artículo sólo se sabe que no supera los 5000 euros.

A. Obtener la probabilidad de que, en un día, el beneficio sea superior a 3000 euros. B. Hallar la probabilidad de que, en 120 días, el beneficio esté comprendido entre

285000 y 309000 euros.

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PROBLEMA 5. El control de calidad de una fábrica ha llegado a la conclusión de que las piezas que suministra un proveedor son rechazables teóricamente en el 3%. En un control de 4000 piezas.

A. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechacen más de 100 piezas? B. Obtener el intervalo central (simétrico), tal que la probabilidad de que el número

de piezas rechazadas pertenezca a dicho intervalo sea 0.80.