Problemas Física

Problemas 303

Preguntas1. Si hubiera una gran migracin de gente hacia el ecuador de la Tie-

rra, la duracin del da a) sera mayor a causa de la conservacinde la cantidad de movimiento angular; b) sera menor a causa dela conservacin de la cantidad de movimiento angular; c) seramenor por la conservacin de la energa; d) sera mayor por laconservacin de la energa; o e) permanecera sin cambios.

2. La clavadista de la figura 11-2 podra realizar un salto mortal sintener rotacin inicial al abandonar el trampoln?

3. Suponga que usted est sentado sobre un banco giratorio, mien-tras sostiene una masa de 2 kg en cada uno de sus brazos extendi-dos. Si de repente deja caer las masas, su velocidad angularaumentar, disminuir o permanecer igual? Explique por qu.

4. Cuando un motociclista realiza un caballito y pisa el aceleradora fondo, (de manera que la rueda trasera se patine), por qu seeleva la parte delantera del vehculo?

5. Suponga que est de pie en la orilla de una gran plataforma quegira libremente. Qu sucede si usted camina hacia el centro?

6. Un shortstop puede saltar en el aire para atrapar una pelota y lan-zarla rpidamente. Al lanzar la pelota, la parte superior de sucuerpo gira. Si observamos con atencin, notaremos que sus cade-ras y piernas giran ensentido contrario (fi-gura 11-28). Expliquepor qu.

FIGURA 1128Pregunta 6. Unshortstop lanza lapelota mientras esten el aire.

7. Si todas las componentes de los vectores y invirtieran susentido, cmo se vera afectado

8. Indique las cuatro condiciones que podran hacer

9. Una fuerza se aplica a un cuerpo en una posicindonde el origen est en el CM. La torca con res-

pecto al CM depende de x? De y? O de z?10. Una partcula se mueve con rapidez constante a lo largo de una

lnea recta. Cmo cambia con el tiempo su cantidad de movi-miento angular, calculada con respecto a un punto dado que noest situado sobre su trayectoria?

11. Si la fuerza neta sobre un sistema es cero, la torca neta tam-bin es cero? Si la torca neta sobre un sistema es cero, la fuerzaneta es igual a cero? D ejemplos.

12. Explique cmo logra un nio en un columpio que ste oscilems alto.

x i + y j + z k=rBF

B

= F jVB

1 * VB

2 = 0.

VB

1 * VB

2 ?VB

2VB

1

*

*

*

*

20. Por qu en la mayora de los sitios de la Tierra una plomadano cuelga precisamente en la direccin del centro de la Tierra?

21. En un marco de referencia en rotacin, la primera y segunda le-yes de Newton resultan tiles, si suponemos que acta unapseudofuerza igual a mv2r. Qu efecto tiene esta suposicinsobre la validez de la tercera ley de Newton?

22. En la batalla de las islas Malvinas en 1914, los disparos de loscaones britnicos cayeron inicialmente lejos de los blancosporque sus clculos estaban basados en batallas navales realiza-das en el hemisferio norte. Las Malvinas estn en el hemisferiosur. Explique el origen del problema.

13. Describa la torca requerida para que la persona de la figura11-17 incline el eje de la rueda en rotacin directamente haciaarriba sin desviarla hacia un lado.

14. Una astronauta flota libremente en un ambiente de ingravidez.Describa cmo la astronauta puede mover sus extremidadespara a) girar su cuerpo de arriba hacia abajo y b) girar su cuer-po lateralmente.

15. Con base en la ley de la conservacin de la cantidad de movi-miento angular, explique por qu un helicptero debe tenerms de un rotor (o hlice). Indique una o ms formas en que elsegundo rotor puede operar para mantener estable el helicp-tero.

16. Una rueda est girando libremente con respecto a un eje verti-cal con velocidad angular constante. Pequeas partes de la rue-da se aflojan y se desprenden. Cmo afecta esto la rapidez derotacin de la rueda? Se conserva la cantidad de movimientoangular? Se conserva la energa cintica? Explique.

17. Considere las siguientes cantidades vectoriales: desplazamiento,velocidad, aceleracin, cantidad de movimiento lineal, cantidadde movimiento angular, torca. a) Cules de stas son indepen-dientes de la eleccin del origen de coordenadas? (Considerediferentes puntos como origen que estn en reposo entre s). b)Cules son independientes de la velocidad del sistema coorde-nado?

18. Cmo efecta un automvil una vuelta hacia la derecha? Dednde proviene la torca necesaria para cambiar la cantidad demovimiento angular?

19. El eje de la Tierra efecta una precesin con un periodo deaproximadamente 25,000 aos. Esto se parece mucho a la pre-cesin de un trompo. Explique cmo el ensanchamiento delecuador de la Tierra da lugar a una torca ejercida por el Sol y laLuna sobre la Tierra; vase la figura 11-29, que est dibujadapara el solsticio de invierno (21 de diciembre). Con respecto aqu eje esperara usted que efectuara la precesin el eje de ro-tacin de la Tierra como resultado de la torcadebida al Sol? Existe la torca tres mesesdespus? Explique.

Polo surSol

Polo norte

23 12

Plano dela rbita

Equador

FIGURA 1129Pregunta 19. (Noest a escala).

Problemas111 Cantidad de movimiento angular

1. (I) Cul es la cantidad de movimiento angular de una pelotade 0.210 kg que gira en el extremo de una delgada cuerda, des-cribiendo un crculo de 1.35 m de radio, con una rapidez angu-lar de 10.4 rad/s?

2. (I) a) Cul es la cantidad de movimiento angular de una ruedade molino de 2.8 kg, cuyo radio mide 18 cm cuando gira a 1300rpm? b) Qu torca se requiere para detenerla en 6.0 s?

304 CAPTULO 11 Cantidad de movimiento angular: Rotacin general

11. (II) Una persona de 75 kg est de pie en el centro de un carru-sel que gira, cuyo radio mide 3.0 m y su momento de inercia esde 920 kg . m2. La plataforma gira sin friccin con velocidad an-gular de 0.95 rad/s. La persona camina sobre una trayectoria ra-dial hacia la orilla de la plataforma. a) Calcule la velocidadangular del carrusel cuando la persona llega a la orilla. b) Calcu-le la energa cintica rotacional del sistema formado por la pla-taforma y la persona, antes y despus de que sta camine.

12. (II) Un torno de cermica gira alrededor de un eje vertical quepasa por su centro con una frecuencia de 1.5 rev/s. El tornopuede considerarse un disco uniforme con masa de 5.0 kg y di-metro de 0.40 m. Un artesano lanza un trozo de arcilla de 2.6kg, con forma aproximada de un disco plano de 8.0 cm de radio,hacia el centro del torno en movimiento. Cul es la frecuenciadel torno despus de que la arcilla se adhiere a ella?

13. (II) Un carrusel de 4.2 m de dimetro gira libremente con velo-cidad angular de 0.80 rad/s. Su momento de inercia total es de1760 kg . m2. Cuatro personas estn de pie sobre el piso, cadauna con masa de 65 kg, y de repente suben a la orilla del carru-sel. Cul es ahora la velocidad angular del carrusel? Y si laspersonas estuvieran sobre l inicialmente y luego saltaran haciaafuera en direccin radial (en relacin con el carrusel)?

14. (II) Una mujer de masa m est de pie en la orilla de una plata-forma cilndrica slida de masa M y radio R. En t 0, la plata-forma gira sin friccin, con velocidad angular v0 respecto de uneje vertical que pasa por su centro, y la mujer comienza a cami-nar con rapidez v, en relacin con la plataforma, hacia el centrode sta. a) Determine la velocidad angular del sistema comouna funcin del tiempo. b) Cul ser la velocidad angularcuando la mujer llega al centro?

15. (II) Un disco cilndrico, que no gira y cuyo momento de inerciaes I, se deja caer sobre un disco idntico pero que gira con unarapidez angular v. Suponiendo que no hay torcas externas so-bre el sistema, cul es la rapidez angular final comn de losdos discos?

16. (II) Suponga que nuestro Sol finalmente se colapsa para con-vertirse en una enana blanca y pierde la mitad de su masa en elproceso y su radio es apenas el 1.0% del que tena originalmen-te. Suponiendo que la masa perdida no se lleva consigo cantidadde movimiento angular, cul sera la nueva tasa de rotacin delSol? (Considere que el periodo actual del Sol es de 30 das).Cul sera su energa cintica final en trminos de su energacintica inicial?

17. (III) Los huracanes tienen vientos de 120 km/h en la parte exter-na de sus brazos. Realice una estimacin de a) la energa y b) lacantidad de movimiento angular de un huracn as, considern-dolo como un cilindro uniforme de aire (densidad 1.3 kg/m3) quegira de manera rgida, con radio es de 85 km y altura de 4.5 km.

18. (III) Un asteroide de masa 1.0 105 kg viaja con una rapidezde 35 km/s en relacin con la Tierra y choca con ella tangencial-mente en el ecuador, siguiendo la direccin de la rotacin denuestro planeta. Utilice la cantidad de movimiento angular paraestimar el cambio porcentual en la rapidez angular de la Tierracomo resultado de la colisin.

19. (III) Suponga que una persona de 65 kg est de pie en la orillade un carrusel de 6.5 m de dimetro, el cual est montado sobrechumaceras sin friccin; su momento de inercia es de 1850 kg . m2.El carrusel est en reposo inicialmente, pero cuando la personacomienza a correr con una rapidez de 3.8 m/s (con respecto alcarrusel) por la orilla, el carrusel comienza a girar en sentidocontrario. Calcule la velocidad angular del carrusel.

3. (II) Una persona est de pie, con las manos a los costados, so-bre el eje de una plataforma que giraa razn de 0.90 rev/s. Si alza susbrazos para dejarlos en una posi-cin horizontal (figura 11-30), la ra-pidez de rotacin disminuye a 0.70rev/s. a) Por qu? b) En qu fac-tor cambia su momento de inercia?

FIGURA 1130Problema 3.

4. (II) Una patinadora artstica puede aumentar su tasa de rota-cin desde una tasa inicial de 1.0 rev cada 1.5 s hasta una tasafinal de 2.5 rev/s. Si su momento de inercia inicial era de 4.6kg . m2, cul es su momento de inercia final? Cmo logra fsi-camente este cambio?

5. (II) Una clavadista (como la de la figura 11-2) puede reducir sumomento de inercia en un factor de 3.5 cuando cambia de laposicin extendida a la posicin doblada. Si hace 2.0 rotacionesen 1.5 s cuando est en la posicin doblada, cul ser su rapi-dez angular (rev/s) cuando est en la posicin extendida?

6. (II) Una varilla horizontal uniforme de masa M y longitud l gi-ra con velocidad angular v con respecto a un eje vertical quepasa por su centro. Cada extremo de la varilla tiene amarradouna pequea masa m. Determine la cantidad de movimientoangular del sistema alrededor del eje.

7. (II) Determine la cantidad de movimiento angular de la Tierraa) alrededor de su eje de rotacin (suponga que la Tierra es unaesfera uniforme), y b) en su rbita alrededor del Sol (considerea la Tierra como una partcula que gira en torno al Sol). La Tie-rra tiene una masa 6.0 1024 kg y un radio 6.4 106 m, yse encuentra a 1.5 108 km del Sol.

8. (II) a) Cul es la cantidad de movimiento angular de una pati-nadora artstica que gira a 2.8 rev/s con sus brazos cerca delcuerpo, suponiendo que ella es un cilindro uniforme con una al-tura de 1.5 m, un radio de 15 cm y una masa de 48 kg? b) Qutorca se requiere para frenarla completamente en 5.0 s, supo-niendo que no mueve sus brazos?

9. (II) Una persona est de pie sobre una plataforma, inicialmenteen reposo, pero que puede girar libremente sin friccin. El mo-mento de inercia de la persona ms la plataforma es IP. La per-sona sostiene una rueda de bicicleta que gira y tiene su ejehorizontal. La rueda tiene un momento de inercia IW (Wheel) yuna velocidad angular vW. Cul ser la velocidad angular vPde la plataforma, si la persona mueve el eje de la rueda de ma-nera que ste apunte a) verticalmente hacia arriba, b) a 60 conrespecto a la vertical, c) verticalmente hacia abajo? d) Cul se-r vP si el sujeto se estira y detiene la detiene en el inciso a)?

10. (II) Un disco uniforme gira a 3.7 rev/s alrededor de un eje ver-tical que no ejerce friccin. Una varilla que no gira, de la mismamasa que el disco y cuya longitud esigual al dimetro de ste, se deja caersobre el disco que gira libremente(figura 11-31). Despus del impacto,ambos giran juntos alrededor del ejecon sus centros superpuestos. Cules la frecuencia angular en rev/s de lacombinacin?


Problemas 305

112 Producto cruz vectorial y torca20. (I) Si el vector apunta a lo largo del eje x negativo y el

vector a lo largo del eje z positivo, cul es la direccin dea) y b) c) Cul es la magnitud de yde

21. (I) Demuestre que a) b)

y

22. (I) Las direcciones de los vectores y estn dadas ms aba-jo para varios casos. Para cada caso, establezca la direccin de

a) apunta al este, apunta al sur. b) apunta al es-te, apunta en lnea recta hacia abajo. c) apunta hacia arri-ba, apunta al norte. d) apunta hacia arriba, apunta haciaabajo.

23. (II) Cul es el ngulo u entre dos vectores y si

24. (II) Una partcula est localizada enUna fuerza acta sobre ella. Cul es latorca, calculada con respecto al origen?

25. (II) Considere una partcula de un cuerpo rgido que gira conrespecto a un eje fijo. Muestre que las componentes vectorialestangencial y radial de la aceleracin lineal son:

26. (II) a) Muestre que el producto cruz de dos vectores,y es

b) Luego muestre que el producto cruz puede escribirse

donde usamos las reglas para evaluar un determinante. (Note,sin embargo, que ste no es realmente un determinante, sinouna ayuda nemotcnica).

27. (II) Un ingeniero estima que en las condiciones climatolgicasms adversas esperadas, lafuerza total sobre el letrerode la figura 11-32 ser

actuando en el CM. Qutorca ejerce esta fuerza res-pecto a la base O?

FB

= A& 2.4 i - 4.1 jB kN,

AB

* BB

= 3 i j kAx Ay AzBx By Bz

3 , + AAx By - Ay BxB k.

AB

* BB

= AAy Bz - Az ByB i + AAz Bx - Ax BzB jBB

= Bx i + By j + Bz kAB

= Ax i + Ay j + Az k

aBtan = AB * rB y aBR = V

B * vB.

FB

= A9.0 j - 4.0 k B N+ 6.0 k B m.rB = A4.0 i + 3.5 j

@AB * BB @ = AB BB? BB

,AB

BB

AB

BB

AB

BB

AB

BB

AB

AB

* BB

.

BB

AB

j * k = i.i * k = j,i * j = k,k * k = 0,=i * i = j * j

BB

* AB

?AB

* BB

BB

* AB

?AB

* BB

BB

AB

29. (II) Use el resultado del problema 26 para determinar a) elproducto vectorial y b) el ngulo entre y si

y

30. (III) Demuestre que la velocidad de cualquier punto en uncuerpo que gira con velocidad angular respecto a un eje fijopuede escribirse

donde es el vector posicin del punto, con respecto a un ori-gen O localizado sobre el eje de rotacin. Puede O estar encualquier parte sobre el eje de rotacin? Se cumpleque si O se encuentra en un punto que no est so-bre el eje de rotacin?

31. (III) Sean y tres vectores; suponemos que no todos es-tn en el mismo plano. Demuestre que

113 Cantidad de movimiento angular de una partcula32. (I) Cules son las componentes x, y y z de la cantidad de movi-

miento angular de una partcula situada encuya cantidad de movimiento lineal es

33. (I) Demuestre que la energa cintica K de una partcula demasa m, que se mueve en una trayectoria circular, es K L2/2I,donde L es su cantidad de movimiento angular e I es su mo-mento de inercia con respecto al centro del crculo.

34. (I) Calcule la cantidad de movimiento angular de una partculade masa m que se mueve con velocidad constante v para doscasos (vase la figura 11-33): a) respecto al origen O, y b) res-pecto a O.

pB = px i + py j + pz k?rB = x i + y j + z k

CB

AAB * BB B.=BB ACB * AB B =AB

ABB * CB BCB

AB

, BB

vB = VB * rB

rBvB = VB * rB

VB

vBBB

= 8.5 i + 5.6 j + 2.0 k.AB

= 5.4 i - 3.5 jBB

AB

AB

* BB

y

O

6.0 m

8.0 mx

z

CM

FB


35. (II) Dos partculas idnticas tienen cantidades de movimientolineal iguales pero opuestas, y pero no viajan a lo largode la misma lnea. Demuestre que la cantidad de movimiento an-gular total de este sistema no depende de la eleccin del origende coordenadas.

36. (II) Determine la cantidad de movimiento angular de una par-tcula de 75 g con respecto al origen de coordenadas, cuando lapartcula est en x 4.4 m, y 6.0 m, y tiene velocidad

37. (II) Una partcula est en la posicin (x, y, z) (1.0, 2.0, 3.0) m yviaja con una velocidad vectorial (5.0, 2.8, 3.1) m/s. Su masa esde 3.8 kg. Cul ser su cantidad de movimiento angular vecto-rial con respecto al origen?

114 y 115 Cantidad de movimiento angular y torca: movimiento general; objetos rgidos38. (II) Una mquina Atwood (figura 11-16) consiste en dos masas,

mA 7.0 kg y mB 8.2 kg, conectadas por una cuerda que pa-sa sobre una polea que puede girar libremente alrededor de uneje fijo que pasa por su CM. La polea es un cilindro slido de ra-dio R0 0.40 m y masa 0.80 kg. a) Determine la aceleracin ade cada masa, b) Qu porcentaje de error en a se tendra si elmomento de inercia de la polea se despreciara? Ignore la fric-cin en las chumaceras de la polea.

39. (II) Cuatro partculas idnticas de masa m estn montadas aintervalos iguales sobre una varilla delgada de longitud l y ma-sa M, con una masa en cada extremo de la varilla. Si el sistema sehace girar con velocidad angular v con respecto a un eje perpen-dicular a la varilla que pasa por una de las masas en los extremos,determine a) la energa cintica y b) la cantidad de movimientoangular del sistema.

v = A3.2 i - 8.0 kB ms.

pB,pB

d

O

Om vB


28. (II) El origen de un sistema coordenado est en el centro deuna rueda que gira en el plano xy con respecto a un eje parale-lo al eje z. Una fuerza F 215 N acta en el plano xy, forman-do un ngulo de 33.0 con el eje x, en el punto x 28.0 cm, y 33.5 cm. Cules son la magnitud y direccin de la torca pro-ducida por esta fuerza con respecto al eje?


40. (II) Dos varillas ligeras de 24 cm de longitud estn montadasperpendicularmente a un eje y a 180 entre s (figura 11-34). Enel extremo de cada varilla se tiene una masa de 480 g. Las vari-llas estn separadas 42 cm a lo largo del eje. El eje gira a 4.5rad/s. a) Cul es la componente de la cantidad de movimientoangular total a lo largo del eje? b) Qu ngulo forma el vectorcantidad de movimiento angular con el eje? [Sugerencia: Re-cuerde que el vector cantidad demovimiento angular debe calcu-larse respecto al mismo puntopara ambas masas, que podra serel CM].

42 cm

24 cm

24 cm

480 g

480 g


41. (II) La figura 11-35 muestra dos masas conectadas por unacuerda que pasa sobre una polea de radio R0 y momento deinercia I. La masa MA se desliza sobre una superficie sin fric-cin, y MB cuelga libremente. Obtenga una expresin para a) lacantidad de movimiento angular del sistema con respecto al ejede la polea, en funcin dela rapidez v de las masasMA o MB, y b) la acele-racin de las masas.

MB

MA

42. (III) Una varilla delgada de longitud l y masa M gira alrededorde un eje vertical que pasa por su centro con velocidad angularv. La varilla forma un ngulo f con el eje de rotacin. Determi-ne la magnitud y direccin de

43. (III) Demuestre que la cantidad de movimiento angular totalde un sistema de partculas con respecto al origen

de un marco de referencia inercial puede escribirse como la su-ma de la cantidad de movimiento angular respecto al CM,(cantidad de movimiento angular de rotacin), ms la cantidadde movimiento angular del CM respecto al origen (cantidad demovimiento angular orbital): [Suge-rencia: Vase la deduccin de la ecuacin 11-9b].

44. (III) Cul es la magnitud de la fuerza ejercida por cada chu-macera en la figura 11-18 (ejemplo 11-10)? Las chumaceras es-tn a una distancia d del punto O. Desprecie los efectos de lagravedad.

45. (III) Suponga en la figura 11-18 que mB 0; es decir, slo unamasa, mA, est presente. Si las chumaceras estn cada una auna distancia d del punto O, determine las fuerzas FA y FB enlas chumaceras superior e inferior, respectivamente. [Sugeren-cia: Elija un origen diferente al punto O de la figura 11-18, talque sea paralela a Ignore los efectos de la gravedad].

46. (III) Para el sistema mostrado en la figura 11-18, suponga quemA mB 0.60 kg, rA rB 0.30m, y que la distancia entrelas chumaceras es de 0.23 m. Cul ser la fuerza que cada chu-macera debe ejercer sobre el eje si f 34.0 y v 11.0 rad/s?

VB .L

B

FB

LB

= LB* + rBcm * M v

B

cm .

LB*

LB

= rBi * pB

i

LB

.

116 Conservacin de la cantidad de movimiento angular47. (II) Una varilla delgada de masa M y longitud l est suspendida

verticalmente de un pivote sin friccin en su extremo superior.Una masa m de arcilla que viaja horizontalmente con rapidez vgolpea la varilla en su CM y se queda adherida a ella. Cuntooscila la parte inferior de la varilla?

48. (II) Una varilla uniforme de 1.0 m delargo con una masa total de 270 gtiene un pivote en su centro. Sedispara una bala de 3.0 g queatraviesa la varilla a la mitadentre el pivote y un extremo(figura 11-36). La bala se acercaa 250 m/s y sale a 140 m/s. Conqu rapidez angular gira la varilla des-pus de la colisin?

140 m/s

Pivote

250 m/s

FIGURA 1136Problemas 48 y 83.

49. (II) Suponga que un meteorito de 5.8 1010 kg golpea la Tierraen el ecuador con una rapidezv 2.2 104 m/s, como semuestra en la figura 11-37 y sequeda incrustado en ella. Enqu factor se afectara la fre-cuencia rotacional de la Tierra(1 rev/da)?

vB

Tierra

PoloNorte

45


50. (III) Una viga de 230 kg y 2.7 m de longitud se desliza a lo an-cho por el hielo con rapidez de 18 m/s(figura 11-38). Un hombre de 65 kg enreposo la toma por un extremo y sesostiene de ella; tanto l como la vigaempiezan a girar sobre el hielo. Su-ponga un movimiento sin friccin. a)Qu tan rpido se mueve el centrode masa del sistema despus de la co-lisin? b) Con qu velocidad angulargira el sistema con respecto a su CM?

CM


*

*

*


51. (III) Una varilla delgada de masa M y longitud l descansa so-bre una mesa sin friccin, y es golpeadaen un punto a l/4 de su CM por una bo-la de arcilla de masa m, que se muevecon rapidez v (figura 11-39). La bolase adhiere a la varilla. Determine elmovimiento traslacional y rotacionalde la varilla despus de la colisin.

CM

l41

vB


mv2r

mgB

m gB

Polo S

Polo N

Problemas 307

52. (III) Sobre una mesa de billar horizontal, se encuentra una bola ini-cialmente en reposo en el punto O. La bola es golpeada de maneraque pierde contacto con el taco con una rapidez de su centro demasa v0 y un giro opuesto con rapidez angular v0 (vase la figura11-40). Una fuerza de friccin cintica acta sobre la bola conformesta se derrapa sobre la mesa. a) Explique por qu la cantidad demovimiento angular de la bola se conserva con respecto al punto O.b) Usando la conservacin de la cantidad de movimiento angular,encuentre la rapidez angular crtica vC, tal que si v0 vC, la friccincintica llevar a la pelota a un alto total (en oposicin a un alto mo-mentneo). c) Si v0 es un 10% menor que vC, es decir,v0 0.90 vC,determine la velocidad del CM de la bola, vCM, cuando comienza a rodarsin deslizarse. d) Si v0 es 10% mayor que vC, es decir,v0 1.10 vC,determine la velocidad del centro de masa vCM cuando la bola co-mienza a rodar sin deslizarse. [Sugerencia: Considere que la bola tienedos tipos de cantidad de movimiento angular: el primero se debe ala rapidez lineal vCM de su CM en relacin con el punto O; el segundose debe al giro con velocidad angular v respecto de su CM. La L to-tal de la bola respecto al punto O es la suma de estas cantidades demovimiento an-gular].

117 El trompo y el girscopo53. (II) Un trompo de 220 g que gira a 15 rev/s forma un ngulo de

25 con la vertical y realiza una precesin a razn de 1.00 rev ca-da 6.5 segundos. Si su CM est 3.5 cm de su punta a lo largo de sueje de simetra, cul es el momento de inercia del trompo?

54. (II) Un girscopo de juguete consiste en un disco de 170 g con ra-dio de 5.5 cm montado en el centro de un eje de 21 cm de largo(figura 11-41). El girscopo gira a 45 rev/s. Un extremo del eje des-cansa sobre un poste y el otro efecta una precesin horizontalcon respecto al poste como se indica. a) Cunto tardar el girsco-po precesar una revolucin completa? b) Si todas las dimensionesdel girscopo se duplican (radio 11 cm, eje 42 cm), cuntotardar ahora en precesar unarevolucin completa?

LB

*

*

*

*

*

FIGURA 1141 Unarueda, que gira alrededor deun eje horizontal soportadoen un extremo, realiza unmovimiento de precesin.Problemas 54, 55 y 56.

118 Marcos de referencia en rotacin58. (II) Si se permite que una planta crezca sobre una plataforma

giratoria, crecer inclinada segn un ngulo, apuntando haciaadentro. Calcule cul ser este ngulo (colquese en el marcogiratorio) en trminos de g, r y v. Por qu crece hacia adentroy no hacia afuera?

59. (III) Sea la aceleracin efectiva de la gravedad en un puntosobre la Tierra en rotacin, igual a la suma vectorial del valorverdadero ms el efecto del marco de referencia rotacional(trmino mv2r). Vase la figura 11-42. Determine la magnitud ydireccin de con respecto a una lnea radial desde el centrode la Tierra a) en el Polo Norte, b) a una latitud 45.0 norte y c)en el ecuador. Considere que la Tierra esesfrica y suponga que g es cons-tante e igual a 9.80 m/s2 (si vfuera cero).

gB

gB

gB

*

*

*

*


* *

*

119 Efecto Coriolis60. (II) Suponga que el hombre situado en el punto B en la figura

11-26 lanza la pelota hacia la mujer en situada en el punto A. a)En qu direccin se desva la pelota, desde el punto de vistadel sistema no inercial? b) Obtenga una frmula para la magni-tud de la desviacin y la aceleracin (de Coriolis) en este caso.

61. (II) Para qu direcciones de la velocidad el efecto Coriolis esigual a cero, sobre un cuerpo que se mueve en el ecuador de laTierra?

62. (III) Podemos alterar las ecuaciones 11-14 y 11-15 para utilizar-las en la Tierra, si consideramos slo la componente perpendi-cular de al eje de rotacin. En la figura 11-43 se observa questa es v cos l para un cuerpo que cae verticalmente, donde les la latitud del lugar en la Tierra. Si se deja caer verticalmenteuna esfera de plomo desde una torre de 110m de alto en Florencia, Italia (latitud 44), qu tan lejos de la ba-se de la torre se desva porla fuerza de Coriolis?

vB

O

0 0vB

55. (II) Suponga que la rueda slida de la figura 11-41 tiene una ma-sa de 300 g y gira a 85 rad/s; tiene un radio de 6.0 cm y est mon-tada en el centro de un eje horizontal delgado de 25 cm delongitud. Cul es la velocidad angular de precesin del eje?

56. (II) Si una masa igual a la mitad de la masa de la rueda en elproblema 55 se coloca en el extremo libre del eje, cul serahora la rapidez angular de precesin? Considere el tamao dela masa adicional como insignificante.

57. (II) Una rueda de bicicleta de 65 cm de dimetro y masa m gi-ra en torno a su eje; dos manijas de madera de 20 cm de largo,una a cada lado de la rueda, actan como eje. Se amarra unacuerda a un pequeo gancho en el extremo de una de las mani-jas y luego se hace girar la rueda con un leve golpe de la mano.Cuando se libera la rueda en movimiento, la rueda adquiere unmovimiento de precesin con respecto al eje vertical definidopor la cuerda, en vez de caer al suelo (como sucedera si no es-tuviera girando). Estime la tasa y la direccin de la precesin, sila rueda gira en sentido antihorario a 2.0 rev/s y su eje perma-nece horizontal.


vB

Polo Sur

m

Polo Norte v cos l

l

l

FIGURA 1143Problema 62. Un cuerpo demasa m cae verticalmente ala Tierra a una latitud l.

*

* 63. (III) Una hormiga se desplaza con rapidez constante a lo largode uno de los rayos de una rueda horizontal que gira con velo-cidad angular constante v con respecto a un eje vertical. Escri-ba una ecuacin vectorial para todas las fuerzas (incluidas lasfuerzas inerciales) que actan sobre la hormiga. Tome el eje x alo largo del rayo, el eje y perpendicular al rayo sealando haciala izquierda de la hormiga, y el eje z verticalmente hacia arriba. Larueda gira en sentido antihorario vista desde arriba.

71. Un nio juega haciendo rodar un neumtico a lo largo de unacalle recta y horizontal. El neumtico tiene 8.0 kg de masa, ra-dio de 0.32 m y momento de inercia con respecto a su eje cen-tral de simetra de 0.83 kg m2. El nio empuja el neumticocon una rapidez de 2.1 m/s y observa que ste se inclina 12 a laderecha (figura 11-46). a) Cmo afectar latorca resultante el movimiento posterior delneumtico? b) Compare el cambio en la canti-dad de movimiento angular causado por estatorca en 0.20 s con la magnitud original de lacantidad de movimiento angular.

mN

12

CM

FB

gB


Problema generales64. Una cuerda delgada est enrollada alrededor de un aro cilndri-

co de radio R y masa M. Un extremo de la cuerda est fijo y sepermite que el aro caiga verticalmente, partiendo del reposo,conforme la cuerda se desenrolla. a) Determine la cantidad demovimiento angular del aro con respecto a su CM como funcindel tiempo. b) Cul es la tensin en la cuerda como funcin deltiempo?

65. Una partcula de masa 1.00 kg se mueve con velocidada) Encuentre la cantidad de movimien-

to angular con respecto al origen, cuando la partcula est enb) En la posicin se aplica una fuer-

za a la partcula. Encuentre la torca respecto del elorigen.

66. Un carrusel con un momento de inercia de 1260 kg . m2 y radiode 2.5 m gira sin friccin a 1.70 rad/s. Una nia junto al carrusel,quien inicialmente est de pie y sin moverse, salta a la orilla dela plataforma en lnea recta hacia el eje de rotacin haciendoque la plataforma disminuya su rapidez a 1.25 rad/s. Cul es lamasa de la nia?

67. Por qu los vehculos todoterreno (SUV) y los autobuses altosy estrechos son propensos a sufrir volcaduras? Considere un ve-hculo que toma una curva de radio R sobre un camino plano.Justo cuando va a volcarse, los neumticos que quedan en laparte interna de la curva estn a punto de despegarse del suelo,de manera que las fuerzas de friccin y normal sobre esos dosneumticos son cero. La fuerza normal total en los neumticosexternos es FN y la fuerza de friccin total es Ffr. Suponga queel vehculo no se derrapa. a) Los analistas definen un factor deestabilidad esttica SSF w/2h, donde el ancho de rodada wes la distancia entre dos neumticos en el mismo eje, y h es laaltura del CM con respecto al suelo. Demuestre que la rapidezcrtica de volcadura es

[Sugerencia: Considere las torcas con respecto al eje que pasapor el centro de masa del SUV, paralelas a su direccin de mo-vimiento]. b) Determine la razn de los radios (mnimos posi-bles) de las curvas de carretera (planas) para un automviltpico de pasajeros con SSF 1.40 y para un SUV con SSF 1.05 a una rapidez de 90 km/h.

68. Un asteroide esfrico con radio r 123 m y masa M 2.25 1010

kg gira en torno a un eje a cuatro revoluciones por da. Una naveremolque se une al polo sur del asteroide (definido por su ejede rotacin) y enciende su motor, apli-cando una fuerza F tangencialmente a lasuperficie del asteroide, como seilustra en la figura 11-44. Si F 265 N, cunto tiempo tarda-r el remolque en hacer gi-rar el eje de rotacin delasteroide a travs de un n-gulo de 10.0 utilizando es-te mtodo?

vC = BRg a w2h b .

FB

= 4.0 N irBrB = A2.0 j + 4.0 kB m.L

BvB = A7.0 i + 6.0 jB ms.


rB

x

m

y

z

R

d

FIGURA 1145 Problema 70.


r 123 m

F 265 N

69. La posicin como funcin del tiempo de un objeto puntual que semueve con sentido antihorario sobre una circunferencia de radioR en el plano xy con rapidez constante v est dada por

donde la constante v v/R. Determine la velocidad y la veloci-dad angular de este objeto, y luego demuestre que los tres vec-tores obedecen la relacin

70. La posicin de una partcula con masa m que viaja en una trayec-toria helicoidal (vase la figura 11-45) est dada por

donde R y d son el radio y la distancia de separacin de la hlice,respectivamente, y z depende del tiempo como z vzt, donde vzes la componente (constante) de velocidad en la direccin z. De-termine la cantidad de movimiento angular como funcin deltiempo de la partcula con respecto al origen.L

B

rB = R cos a 2pzdb i + R sen a 2pz

db j + z k

vB = VB * rB.VB

vBrB = i R cos vt + j R sien vt

72. Una persona de 70 kg est de pie sobre una pequea platafor-ma en rotacin con los brazos extendidos. a) Estime el momentode inercia de la persona empleando las siguientes aproximacio-nes: el cuerpo (incluyendo la cabeza y las piernas) es un cilindrode 60 kg, 12 cm de radio y 1.70 m de alto; cada brazo se conside-ra como una varilla delgada de 5.0 kg y 60 cm de largo, unida alcilindro. b) Utilizando las mismas aproximaciones, estime elmomento de inercia cuando los brazos estn a los costados delsujeto. c) Si tarda 1.5 s en completar una revolucin cuando losbrazos de la persona estn extendidos, cunto tiempo tardar enrotar cuando los brazos estn a los costados? Ignore el momen-to de inercia de la plataforma ligera. d) Determine el cambio enla energa cintica cuando la persona levanta los brazos desdelos costados a la posicin horizontal. e) Con base en su respues-ta en d), esperara que fuera ms fcil o ms difcil levantar losbrazos cuando se est girando o cuando se est en reposo?

73. El agua mueve una rueda hidrulica (o turbina) de radio R 3.0 m, como se ilustra en la figura 11-47. El agua entra con unarapidez v1 7.0 m/s y sale de la rueda con una rapidez v2 3.8m/s. a) Si pasan 85 kg de agua por segundo, cul es la raznpor la que el agua entrega cantidad de movimiento angular a larueda? b) Cul es la torca que el agua ejerce sobre la rueda?c) Si el agua ocasiona que la rueda efecte una revolucin cada5.5 s, cunta potencia se suministraa la rueda?

Problemas generales 309

78. Un ciclista que viaja con rapidez v 9.2 m/s sobre un caminoplano est tomando una curva de radio r 12 m. Las fuerzasque actan sobre el ciclista y la bicicleta son la fuerza normal

y la fuerza de friccin ejercida por el camino sobrelos neumticos y el peso total del ciclista y la bicicleta. Ig-nore la pequea masa de las ruedas. a) Explique con detallepor qu el ngulo u que la bicicleta forma con la vertical (figura11-48) est dado por tan u Ffr/FN si el ciclista debe permane-cer en equilibrio. b) Calcule u para los valores dados. [Sugerencia:Considere el movimiento traslacional circular de la bicicleta yel ciclista]. c) Si el coeficiente de friccin esttica entre los neu-mticos y el camino es ms 0.65, cul es el radio mnimo posi-ble para tomar la vuelta?

m gB,AFBfrBAFBN B

R

vvB vFIGURA 1147Problema 73.

74. La Luna gira alrededor de la Tierra de tal forma que siempremuestra el mismo lado a nuestro planeta. Determine la raznentre la cantidad de movimiento angular rotacional de la Lu-na (en torno a su propio eje) y su cantidad de movimiento an-gular orbital. (En el ltimo caso, considere a la Luna comouna partcula que gira alrededor de la Tierra).

75. Una partcula de masa m acelera uniformemente conformese mueve en sentido antihorario sobre la circunferencia de uncrculo de radio R:

con donde las constantes v0 y a son la veloci-dad angular inicial y la aceleracin angular, respectivamente.Determine la aceleracin tangencial del objeto y determine latorca que acta sobre el objeto utilizando a) b)

76. Un proyectil con masa m es lanzado desde la tierra y sigue unatrayectoria dada por

donde vx0 y vy0 son las velocidades iniciales en las direcciones xy y, respectivamente, y g es la aceleracin debida a la gravedad.La posicin de lanzamiento es el origen. Determine la torcaque acta sobre el proyectil con respecto del origen utilizandoa) b)

77. La mayor parte de la masa de nuestro Sistema Solar est conte-nida en el Sol, mientras que los planetas poseen casi toda lacantidad de movimiento angular del sistema. Esta observacindesempea un papel clave en las teoras que intentan explicarla formacin de nuestro Sistema Solar. Estime la fraccin de lacantidad de movimiento angular total del Sistema Solar que po-seen los planetas, utilizando un modelo simplificado que incluyaslo los grandes planetas exteriores con la mayor cantidad demovimiento angular. El Sol en el centro (con masa de 1.99 1030 kg y radio de 6.96 108 m) gira sobre su propio eje unavez cada 25 das; los planetas Jpiter, Saturno, Urano y Neptu-no describen rbitas casi circulares alrededor del Sol (sus datosorbitales aparecen en la siguiente tabla). Ignore el giro de cadaplaneta sobre su propio eje.

Distancia media a partir Periodo orbital Masa Planeta del Sol (aos terrestres)

Jpiter 778 11.9 190Saturno 1427 29.5 56.8Urano 2870 84.0 8.68Neptuno 4500 165 10.2

( 1025 kg)( 106 km)

TB = dLB

dt.TB = rB * FB

,

rB = Avx 0 tB i + vy 0 t - 12 gt2 jTB = IAB .

TB = rB * FB

,aB

u = v0 t + 12 at2,rB = i R cos u + j R sen u

N

fr

a) b)

FB

FB

mgB


79. Los patinadores sobre hielo que participan en competencias amenudo realizan saltos sencillos, dobles y triples en los que giran

y revoluciones, respectivamente, en torno a un eje ver-tical mientras estn en el aire. Para todos esos saltos, un patinadorpermanece en el aire durante 0.70 s. Suponga que una patinadoraabandona el suelo en una posicin abierta (por ejemplo, con losbrazos extendidos) con momento de inercia I0, frecuencia rotacio-nal f0 1.2 rev/s, y que mantiene esta posicin durante 0.10 s.Luego, adopta una posicin cerrada (con los brazos cerca deltronco) con momento de inercia I, adquiriendo una frecuencia ro-tacional f, que mantiene durante 0.50 s. Finalmente, la patinadoraregresa de inmediato a la posicin abierta por 0.10 s hasta quetoca la pista (vase la figura 11-49). a) Por qu la cantidad demovimiento angular se conserva durante el salto de la patinadora?Ignore la resistencia del aire. b) Determine la frecuencia rotacionalmnima f durante la parte intermedia del salto para que la patina-dora complete exitosamente el salto sencillo y triple. c) Demues-tre que, de acuerdo con este modelo, un patinador debe ser capazde reducir su momento de inercia a mitad del salto en un factor de2 y 5 para completar un salto sencillo y triple, respectivamente.

3 121 12 , 2

12 ,

f0 f0

0.1 s 0.1 s0.5 s

f


80. Una torre de transmisin de radio tiene una masa de 80 kg y 12 mde altura. La torre est anclada al terreno mediante una juntaflexible en su base y adems est sostenida por tres cables a120 entre s (figura 11-50). En un anlisis de fallas potenciales,un ingeniero mecnico tiene que determinar el comportamien-to de la torre cuando uno de los cables se rompa. La torre cae-ra alejndose del cable roto, girando respecto a su base.Determine la rapidez de la parte superior de la torre en funcindel ngulo de rotacin u. Comience su anlisis con la ecuacin dela dinmica rotacional del movimiento Conside-re que la torre es una varilla delgada y alta.

dLB

dt = TBnet .


81. Suponga que una estrella del tamao de nuestro Sol, pero conuna masa 8.0 veces mayor, gira con una rapidez de 1.0 revolucincada 9.0 das. Si sufriera colapso gravitacional y se convirtieraen una estrella de neutrones con radio de 12 km, perdiendode su masa en el proceso, cul sera su rapidez rotacional? Su-ponga que la estrella es en todo momento una esfera uniforme.Suponga tambin que la masa arrojada lleva consigo a) cerocantidad de movimiento angular, b) su porcin proporcionalde la cantidad de movimiento angular inicial.

A34B

34

y

x0

0.050 m

CM

d

dCM

=

xs

JB

FB

dt


Respuestas a los ejercicios

A: b).

B: a).

C: b).

D: (i) d); (ii) a); (iii) b).

E: e).

*

*

Problemas numricos/por computadora83. (II) Una vara uniforme de 1.00 m de largo con una masa total de

330 g tiene un pivote en su centro. Se dispara una bala de 3.0 g quela atraviesa a una distancia x desde el pivote. La bala se aproxima a250 m/s y sale a 140 m/s (figura 11-36). a) Determine una expresinpara la rapidez angular de la vara que queda girando despus dela colisin como una funcin de x. b) Trace una grfica de la rapi-dez angular como una funcin de x, desde x 0 a x 0.50 m.

84. (III) La figura 11-39 muestra una varilla delgada de masa M ylongitud l que se encuentra sobre una mesa sin friccin. La va-rilla es golpeada a una distancia x de su CM por un trozo de ar-cilla de masa m que se mueve con rapidez v y la arcilla quedaadherida a la varilla. a) Determine una frmula para el movi-miento de rotacin del sistema despus de la colisin. b) Traceuna grfica del movimiento de rotacin del sistema como unafuncin de x, desde x 0 a x l/2, con valores de M 450 g,m 15 g, l 1.20 m y v 12 m/s. c) El movimiento traslacio-nal depende de x? Explique su respuesta.

82. El centro de percusin de un bate de bisbol es el punto en quepuede pegarse a una pelota con un esfuerzo casi nulo para trans-mitir energa. Un anlisis cuidadoso de la dinmica del bisbol in-dica que este punto especial se localiza en el punto en que unafuerza aplicada generara una rotacin pura del bate con respectoal punto donde se sujeta el bate (al mango). Determine la posi-cin del centro de percusin del bate de la figura 11-51. La densi-dad lineal de masa del bate est dada aproximadamente por (0.61 3.3x2) kg/m, donde x est en metros a partir del extremo que sir-ve de mango. El bate completo mide 0.84 m de largo. El punto derotacin deseado debe estar a 5.0 cm desde el extremo en que sesostiene el bate. [Sugerencia: Identifique el CM del bate].

*

= lv = l

l

dtdu

2l sen u

u

mgB


2. (I) Aproximadamente, qu tanta fuerza FM debe ejercer elmsculo extensor en el antebrazo sobre el brazo para sosteneruna bala de gimnasia de 7.3 kg (figura 12-46)? Suponga que elbrazo tiene una masa de 2.3 kg y que su CG est a 12.0 cm des-de el codo.

330 CAPTULO 12 Equilibrio esttico: Elasticidad y fractura

13. Por qu es ms difcil sentarse y levantarse cuando las rodillasestn dobladas, que cuando las piernas estn estiradas?

14. Cul de la configuracin de ladrillos, a) o b) de la figura 12-43es ms probable que sea estable? Por qu?

15. Nombre los tipos de equilibrio para cada posicin de la bola enla figura 12-44.

a)

12

b)

14

12

14

FIGURA 1243 Pregunta 14. Los puntos indican elCG de cada ladrillo. Las fracciones y indican quporcin de cada ladrillo est colgando ms all de susoporte.

12

14

A

B

C

FIGURA 1244Pregunta 15.

16. El mdulo de Young para una cuerda de bungee es menor omayor que el de una soga ordinaria?

17. Examine cmo unas tijeras cortan un cartn. Est justificadoel nombre de cortadoras? Explique su respuesta.

18. Los materiales como el concreto ordinario y la piedra son muydbiles bajo tensin o corte. Sera aconsejable usar tales mate-riales para cualquiera de los soportes del voladizo que se ilustraen la figura 12-7? Si es as, cul es? Explique su respuesta.

Problemas121 y 122 Equilibrio

1. (I) Se aplican tres fuerzas a un rbol joven, como se muestra en lafigura 12-45, para estabilizarlo. Si yencuentre en magnitud y direccin.F

B

C

FB

B = 475 N,FB

A = 385 N

C

B

A

105

?

FB

FB

FB

Articulacin de la cadera

mCG



3. (I) Calcule la masa m necesaria para suspender la pierna mos-trada en la figura 12-47. Suponga que la pierna (con el yeso) tieneuna masa de 15.0 kg y que su CG est a 35.0 cm de la articu-lacin de la cadera; el cabestrillo est a 78.0 cm de la articulacinde la cadera.


FB

2.5 cm

M

Unin delcodo

30.0 cm

4. (I) Una gra torre (figura 12-48a) siempre debe estar cuidado-samente equilibrada de manera que no haya una torca neta quetienda a voltearla. Una gra en particular en el sitio de unaconstruccin est a punto de levantar una unidad de aire acon-dicionado de 2800 kg. Las dimensiones de la gra se indican en lafigura 12-48b. a) Dn-de debe colocarse elcontrapeso de 9500 kg,cuando la carga se le-vanta desde el suelo?(Note que el contra-peso usualmente semueve en forma auto-mtica mediante sen-sores y motores paracompensar precisamen-te la carga). b) Deter-mine la carga mximaque puede ser levan-tada con este contra-peso, cuando ste secoloca en el punto ex-tremo. Ignore la masade la viga.

7.7 m3.4 m

b)

a)

ContrapesoM = 9500 kg

m = 2800 kg


FIGURA 1249Problema 5. 1.0 m

3.0 m

A B

5. (II) Calcule las fuerzas FA y FB que ejercen los soportes A y Bsobre el trampoln de la figura 12-49 cuando una persona de 52kg est parada en su extremo libre. a) Ignore el pesode la tabla. b) Tome en cuenta la masa de 28 kg dela tabla. Suponga que el CG de la tabla est en sucentro.

Problemas 331

6. (II) Dos cuerdas soportan un candelabro tal como se muestraen la figura 12-3, excepto que la cuerda superior forma un n-gulo de 45 con el techo. Si cada una de las cuerdas puede so-portar una fuerza de 1660 N sin romperse, cul es el pesomximo del candelabro que puede soportarse?

7. (II) Los dos rboles en la figura 12-50 estn apartados 6.6 m en-tre s. Un excursionista intenta levantar su mochila para quequede lejos del alcance de los osos. Calcule la magnitud de lafuerza que debe ejercer una persona para sostener un paque-te de 19 kg, de ma-nera que a partir desu posicin horizon-tal la cuerda se fle-xione en su puntomedio a) 1.5 m, b)0.15 m.

FB

8. (II) Una viga horizontal de 110 kg est soportada en cada ex-tremo. Un piano de 320 kg descansa a la cuarta parte de la dis-tancia entre los extremos. Cul es la fuerza vertical sobre cadauno de los soportes?

9. (II) Calcule FA y FB para el voladizo uniforme de la figura 12-7,cuya masa es de 1200 kg.

10. (II) Un adulto de 75 kg est sentado en un extremo de una ta-bla de 9.0 m y en el otro extremo est sentado su hijo de 25 kg.a) Dnde debera colocarse el pivote de manera que la tabla(desprecie su masa) quede balanceada? b) Encuentre el puntopivote, si la tabla es uniforme y tiene una masa de 15 kg.

11. (II) Encuentre la tensin en lasdos cuerdas mostradas en la figura12-51. Ignore la masa de las cuer-das, y suponga que el ngulo u esde 33 y la masa m es de 190 kg.

12. (II) Encuentre la tensin en los dos alambres que soportan elsemforo de la figura 12-52.

mFIGURA 1251Problema 11.

13. (II) Qu tan cerca del borde de la mesa de 24.0 kg mostradaen la figura 12-53puede sentarse unapersona de 66.0 kgsin volcarla?

53 37

33 kg


1.20 m0.50 m

0.80 m

2.20 m


15. (II) Calcule FA y FB para la viga que se representa en la figura12-55. Las fuerzas descendentes representan los pesos de ma-quinaria sobre la viga.Suponga que la viga esuniforme y tiene unamasa de 280 kg.

4.0 m 3.0 m

2.0 m 1.0 m

A 4300 N 3100 N 2200 N BFB

FB

16. (II) a) Calcule la fuerza FM requerida por el msculo deltoidespara mantener estirado el brazo mostrado en la figura 12-56. Lamasa total del brazo es 3.3 kg. b) Calcule la magnitud de la fuer-za FJ ejercida por la articulacin del hombro sobre la parte su-perior del brazo y el ngulo (con la horizontal) en que acta.

m = 25 kg

m = 35 kgm = 45 kg

A

C

xB


17. (II) Suponga que la mano en el problema 16 sostiene una masade 8.5 kg. Qu fuerza FM se requiere en el msculo deltoides,suponiendo que la masa est a 52 cm de la articulacin delhombro?

18. (II) Tres nios estn tratando de balancearse en un sube y baja,que consiste en una roca que acta como fulcro en el centro, yen una tabla muy ligera de 3.2 m de longitud (figura 12-57). Dosnios estn ya en los extremos. El nio A tiene una masa de 45 kgy el nio B una masa de 35 kg. Dnde debe colocarse la niaC, cuya masa es de 25 kg, para equilibrar el sube y baja?

12 cm24 cm

M

m

15FB

JFB

gB


FIGURA 1256 Problemas 16 y 17.

FB


FB

9 mm 70 mm


14. (II) La fuerza requerida para sacar el corcho de una botella devino est en un intervalo de 200 a 400 N. En la figura 12-54se muestra un sacacor-chos comn. Qu in-tervalo de fuerzas F serequiere para abrir unabotella de vino con es-te dispositivo.


21. (II) Un semforo cuelga de una estructura como se muestra enla figura 12-60. El poste AB uniforme de aluminio tiene 7.20 mde longitud y una masa de 12.0 kg. La masa del semforo es de21.5 kg. Determinea) la tensin en el ca-ble CD horizontalsin masa, as como b)las componentes ver-tical y horizontal dela fuerza ejercida porel pivote A sobre elposte de aluminio.

37

C

A

D B

3.80 m

22. (II) Una viga uniforme de acero tiene una masa de 940 kg. So-bre ella descansa la mitad de una viga idntica, como se mues-tra en la figura 12-61.Cul es la fuerzavertical de soporteen cada extremo?

28. (III) Una persona de 56.0 kg est de pie a 2.0 m de la parteinferior de la escalera mostrada en la figura 12-65. Determinea) la tensin en la varilla horizontal que se encuentra a la mitadde la escalera, b) la fuerza normal que ejerce el suelo a cada la-do de la escalera, y c) la fuerza (magni-tud y direccin) que el lado izquierdo dela escalera ejerce sobre el lado derecho en labisagra en la parte superior. Despreciela masa de la escalera y suponga que elsuelo no tiene friccin. [Sugerencia: Con-sidere los diagramas de cuerpo libre paracada seccin de la escalera].

23. (II) Dos cables tensadores van de la parte superior de un postede 2.6 m de altura que soportauna red de volibol. Los dos ca-bles estn anclados al suelo a2.0 m entre s y a 2.0 m del pos-te (figura 12-62). La tensin encada alambre es de 115 N. Cules la tensin en la red, supuestahorizontal y unida a la parte su-perior del poste?

2.5 m2.0 m

1.8 mFIGURA 1265Problema 28.


24. (II) Una tabla grande de 62.0 kg se inclina a 45 contra el bor-de de la puerta de un granero que tiene 2.6 m de ancho. Qutan grande debe ser la fuerza horizontal que una persona detrsde la puerta ejerza (en el borde) para abrirla? Suponga que lafriccin entre la puerta y la tabla es despreciable, pero quela tabla est firmemente apoyada contra el suelo.

25. (II) Resuelva de nuevo el problema 24 suponiendo ahora queel coeficiente de friccin entre la tabla y la puerta es de 0.45.

26. (II) Una sbana de 0.75 kg cuelga de una cuerda sin masa, co-mo se indica en la figura 12-63. La cuerda a cada lado de la s-bana forma un ngulo de 3.5 con la horizontal. Calcule latensin en la cuerda a cada lado de la sbana. Por qu es mu-cho mayor la ten-sin que el peso dela sbana?

29. (III) Una puerta de 2.30 m de altura y 1.30 m de ancho tieneuna masa de 13.0 kg. Una bisagra a 0.40 m de la parte superiory otra a 0.40 m del fondo soportan ca-da una la mitad del peso de la puerta(figura 12-66). Suponga que el centrode gravedad est en el centro geom-trico de la puerta, y determine lascomponentes horizontal y vertical dela fuerza ejercida por cada bisagra so-bre la puerta. 40 cm

40 cm

2.30 m

1.30 m


2.0 m

2.0 m 2.0

m

2.6

m


l

12 M

M


37

53

AW = 22 N

x

B

Cuer

da


27. (II) Una varilla uniforme AB de longitud 5.0 m y masa M 3.8kg est articulada en A y es mantenida en equilibrio por unacuerda ligera, como se muestra en la figura 12-64.Una carga W 22 N cuelga de la varilla a unadistancia x, de manera que la tensin en lacuerda es de 85 N. a) Dibuje un diagra-ma de cuerpo libre para la varilla.b) Determine las fuerzas verticaly horizontal que ejerce la bisa-gra sobre la varilla. c) Determinex con la ecuacin de torca apro-piada.

20. (II) El letrero de una tienda pesa 215 N y est soportado poruna viga uniforme de 155 Ncomo se muestra en la fi-gura 12-59. Encuentre latensin en el alambre, ascomo las fuerzas horizontaly vertical ejercidas por la bi-sagra (ideal) sobre la viga. 1.35 m

1.70 m

35.0


19. (II) El tendn de Aquiles est unido a la parte posterior del pie,como se muestra en la figura 12-58. Estime la tensin FT en eltendn de Aquiles (que jala hacia arriba), y la fuerza FB (haciaabajo) ejercida por el hueso de la pierna inferior sobre el pie,cuando una persona se eleva ligeramente sobre la parte delan-tera de la planta delpie. Suponga que lapersona tiene unamasa de 72 kg y queD es el doble de d.

Hueso de la pierna

Bola del pie(punto pivote)

d D

Tendn de Aquiles

BFB

TFB


3.5 3.5


30. (III) Un cajn cbico de lado s 2.0 m tiene su CG a 18 cm porarriba de su centro geomtrico. Qu tan inclinada puede estaruna rampa sobre la que el cajn pueda descansar sin volcarse?Qu tan inclinada podra estar la rampa para que el cajn sedeslice sobre ella con rapidez constante sin volcarse? [Sugeren-cia: La fuerza normal actuara en la esquina inferior].

Problemas 333

31. (III) Un refrigerador es aproximadamente un slido rectangu-lar uniforme de 1.9 m de alto, 1.0 m de ancho y 0.75 m de pro-fundidad. Si est colocado en forma vertical en un camin consu ancho de 1.0 m en la direccin del movimiento, y si el refri-gerador no puede deslizarse sobre el camin, qu tan rpidopuede acelerar el camin sin que el refrigerador se voltee? [Su-gerencia: La fuerza normal actuara en una esquina].

32. (III) Una escalera uniforme de masa m y longitud l seapoya con un ngulo u contra una pared sin friccin,figura 12-67. Si el coeficiente de friccin estticaentre la escalera y el suelo es ms, determine unaexpresin para el ngulo mnimo al cual la es-calera no se deslizar

125 Fractura42. (I) El fmur de la pierna humana tiene una seccin transversal

efectiva mnima de aproximadamente 3.0 cm2 ( 3.0 104 m2).Cunta fuerza de compresin puede resistir antes de fracturarse?

43. (II) a) Cul es la tensin mxima posible en una cuerda denylon de 1.00 mm de dimetro en una raqueta de tenis? b) Si sequieren cuerdas ms tensas, qu hara usted para prevenir surotura: usar cuerdas ms delgadas o ms gruesas? Por qu?Qu ocasiona que las cuerdas se rompan cuando son golpea-das por la pelota?

44. (II) Si una fuerza de compresin de 3.3 104 N es ejercida so-bre el extremo de un hueso de 22 cm de largo con seccintransversal de 3.6 cm2, a) se romper el hueso, y (b) si no serompe, cunto se acortar?

45. (II) a) Cul es el rea transversal mnima requerida en un ca-ble vertical de acero del que cuelga un candelabro de 270 kg?Suponga un factor de seguridad de 7.0. b) Si el cable tiene 7.5 mde longitud, cunto se alargar?

46. (II) Suponga que los soportes del voladizo mostrado en la figu-ra 12-69 (m 2900 kg) estn hechos de madera. Calcule el reatransversal mnima requerida encada uno, suponiendo un factorde seguridad de 9.0.

B

A D60 60

C

CG

20.0 m 30.0 m

A BFB

FB


50. (II) La figura 12-71 muestra una armadura simple que soportauna carga en el centro (C) de 1.35 104 N.a) Calcule la fuerza sobre cada barra (opuntal) en los pasadores, A, B, C, D, y b)determine si las barras estn a tensino a compresin. Ignore sus masas.

*

*

E

BD

C3.0 m

3.0 mCable

3.0 m3.0 m

3.0 m

3.0 m

A

Mg = 66.0 kN

47. (II) Un perno de acero se utiliza para conectar dos placas deacero. El perno debe resistir fuerzas de corte de hasta aproxi-madamente 3300 N. Calcule el dimetro mnimo para el perno,con base en un factor de seguridad de 7.0.

48. (III) Un cable de acero debe soportar un elevador cuya masatotal (cargado) no debe exceder de 3100 kg. Si la aceleracinmxima del elevador es 1.2 m/s2, calcule el dimetro requeridopara el cable, suponiendo un factor de seguridad de 8.0.

126 Armaduras y puentes49. (II) Una carga pesada Mg 66.0 kN cuelga en el punto E de

la armadura en voladizo mostrada en la figura 12-70. a) Use laecuacin de torcas para la armadura en conjunto para determi-nar la tensin FT en el cable de soporte, y luego determine lafuerza sobre la armadura en el pasador A. b) Determinela fuerza axial en cada barra de laarmadura. Ignore el peso delas barras, que es pequeocomparado con la carga.

FB

A

*

123 Estabilidad y equilibrio33. (II) La Torre Inclinada de Pisa tiene 55 m de altura y aproxima-

damente 7.0 m de dimetro. La parte superior est desviada 4.5m del centro. La torre est en equilibrio estable? Si es as,cunto ms podra inclinarse antes de volverse inestable? Su-ponga que la torre tiene composicin uniforme.

124 Elasticidad; esfuerzo y deformacin unitaria34. (I) Una cuerda de nylon de una raqueta de tenis est bajo una

tensin de 275 N. Si su dimetro es de 1.00 mm, cunto estalargada a partir de su longitud natural (sin tensin) de 30.0 cm?

35. (I) Una columna de mrmol con rea transversal de 1.4 m2 so-porta una masa de 25,000 kg. a) Cul es el esfuerzo dentro dela columna? b) Cul es la deformacin unitaria?

36. (I) Cunto se acorta la columna del problema anterior, si lacolumna tiene 8.6 m de altura?

37. (I) Un sealamiento (masa 1700 kg) cuelga del final de unaviga de acero en posicin vertical con 0.012 m2 de rea transver-sal. a) Cul es el esfuerzo dentro de la viga? b) Cul es la de-formacin unitaria en la viga? c) Si la viga mide 9.50 m delongitud, de cunto ser su alargamiento? (Ignore la masa de laviga misma).

38. (II) Cunta presin se necesita para comprimir el volumen deun bloque de hierro en un 0.10%? Exprese la respuesta enN/m2 y comprela con la presin atmosfrica (1.0 105 N/m2).

39. (II) Se encontr que un tendn de 15 cm de longitud se estira3.7 mm con una fuerza de 13.4 N. El tendn era aproximada-mente redondo con un dimetro promedio de 8.5 mm. Calculeel mdulo de Young de este tendn.

40. (II) A profundidades de 2000 m en el mar, la presin es aproxi-madamente 200 veces la presin atmosfrica (1 atm 1.0 105

N/m2). En qu porcentaje cambia el espacio interior del volu-men de una batiesfera de acero a tal profundidad?

41. (III) Un viga horizontal est empotrada en la pared frontal deuna tienda. Un letrero de 6.1 kg cuelga de la viga en un punto a2.2 m de la pared (figura 12-68). a) Cunto vale la torca debi-do a este letrero calculada con respecto al punto en que la vigatoca a la pared? b) Para que la viga no se caiga, debe haber otratorca ejercida sobre ella para equilibrarla. Qu ejerce esta tor-ca? Use un diagrama para demos-trar cmo debe actuar esta torca. c)Analice si los esfuerzos de compre-sin, tensin y/o cortante juegan unpapel en el inciso b).

2.2 m


51. (II) a) Qu rea transversal mnima deben tener las barras dela armadura del ejemplo 12-11 si todas ellas son de acero (y elmismo tamao), usando un factor de seguridad de 7.0? b) Si encualquier momento el puente puede soportar 60 camiones conmasa promedio de 1.3 104 kg, estime de nuevo el rea necesa-ria en las barras de la armadura.


l


*



*

A E

DB

C

52. (II) Considere de nuevo el ejemplo 12-11 pero esta vez supongaque el camino est soportado uniformemente, de manera que lamitad de su masa M ( 7.0 105 kg) acta en el centro y un cuar-to de M acta en cada soporte extremo (considere que el puentetiene dos claros,AC y CE, por lo que el pasador central soporta losdos extremos de claro). Calcule la magnitud de la fuerza en cadabarra de la armadura y comprela con el ejemplo 12-11.

53. (III) La armadura mostrada en la figura 12-72 soporta un puen-te de ferrocarril. Determine las fuerzas de compresin o tensinen cada miembro (puntal), si una locomotora de tren de 53 ton(1 ton 103 kg) est detenida en el punto medio del miembroizquierdo. Ignore las masas de los rieles y de la armadura, y useslo la mitad de la masa del tren porque se tienen dosarmaduras (una en cada ladodel tren). Suponga que to-dos los tringulos sonequilteros. [Sugerencia:Vase la figura 12-29].

54. (III) Suponga que en el ejemplo 12-11, un camin de 23 ton (m 23 103 kg) tiene su CM localizado a 22 m desde el extremoizquierdo del puente (punto A). Determine la magnitud de lafuerza y el tipo de esfuerzo en cada miembro (puntal). [Suge-rencia: Vase la figura 12-29].

55. (III) En la armadura Pratt mostrada en la figura 12-73, deter-mine la fuerza sobre cada miembro y diga si la fuerza es de ten-sin o de compresin. Suponga que la armadura est cargadacomo se muestra, y d losresultados en trminos deF. Todos los miembrosde la armadura tie-nen una longitud a.

*

A

C E

a

H

GB D

FB

FB

FB

FB

FB

aJ

*

127 Arcos y domos56. (II) Qu tan alto debe ser un arco apuntado para que salve un

claro de 8.0 m y ejerza un tercio de la fuerza horizontal en subase de la que ejercera un arco circular?

*

* FIGURA 1272Problema 53.


hR

M

(en b)FB

B

(en a)F


Problemas generales57. El mvil de la figura 12-74 est en equilibrio. El objeto B tiene

una masa de 0.748 kg. Determine las masas de los objetos A, Cy D. (Ignore los pesos de las barras transversales).

60. Una mesa redonda de 28 kg est soportada por tres patas, situa-das a distancias iguales sobre el borde. Qu masa mnima, co-locada en el borde de la mesa, ocasionar que sta se voltee?

3.0 cm

2.0 cm

32.0 cmFIGURA 1276Problema 61.

30.00 cm 7.50 cm

15.00 cm

17.50 cm

5.00 cmA

B

CD

5.00 cm


58. Un alambre muy tenso tiene 36 m de longitud. Se comba 2.1 mcuando se coloca en su centro un equilibrista de 60.0 kg. Cules la tensin en el alambre? Es posible incrementar la tensinen el alambre para que no se combe?

59. Qu fuerza F mnima horizontal se requiere para jalar unarueda de radio R y masa M sobre un escaln de altura h, comose muestra en la figura 12-75 (R h)? a) Suponga que la fuer-za es aplicada en el bordesuperior como se indica.b) Suponga ahora quela fuerza se aplica en elcentro de la rueda.

61. Cuando una repisa de madera, de 6.6 kg de masa, se fija dentrode una rendija en un soporte vertical, como se muestra en la fi-gura 12-76, el soporte ejerce una torca sobre la repisa. a) Dibu-je un diagrama de cuerpo libre para la repisa, si se supone queexisten tres fuerzas verticales (dos ejercidas por la rendija desoporte; explique por qu). Luego calcule b) las magnitudesde las tres fuerzas y c) la torca ejercida por el soporte (en tornoal extremo izquierdo de la repisa).

62. Se est planeando construir un edificio de 50 pisos de altura. Eledificio tendr 180.0 m de alto con una base de 46.0 m por 76.0m. Su masa total ser de aproximadamente 1.8 107 kg y supeso ser de cerca de 1.8 108 N. Suponga que un viento de200 km/h ejerce una fuerza de 950 N/m2 sobre la cara de 76.0 mde ancho (figura 12-77). Calcule la torca con respecto al punto pi-vote potencial en el borde posterior del edificio (donde acta

en la figura 12-77), y determine si el edificio se volcar. Su-ponga que la fuerza totaldel viento acta a la mi-tad de la altura de la caradel edificio, y que ste noest anclado en cimien-tos. [Sugerencia: en lafigura 12-77 representala fuerza que la Tierraejerce sobre el edificio,en el momento en que eledificio empieza justa-mente a volcarse].

FB

E

FB

E

ACG

E

m

FB

FB

gB

FIGURA 1277 Fuerzasobre un edificio sometido alviento y a la gravedad

y la fuerza es lafuerza sobre el edificio debidaa la Tierra en el momento enque el edificio est a punto devolcarse. Problema 62.

FB

EAm gB B,AFBA B,

*


63. El centro de gravedad de un camin cargado depende de la dis-tribucin de su carga. Si uncamin tiene 4.0 m de alturay 2.4 m de ancho, y su CG esta 2.2 m por arriba del pavi-mento, con qu inclinacincon respecto al camino puedeel camin estacionarse sinvolcarse lateralmente (figura12-78)?

60 66

h

Cable desuspensin

19

T2 T3FB

FB

FB

T1

d1d2

FIGURA 1279 Problemas 64 y 65.

64. En la figura 12-79, considere la seccin derecha (la ms al nor-te) del puente Golden Gate, que tiene una longitud d1 343 m.Suponga que el CG de este claro est a la mitad entre la torre yel ancla. Determine FT1 y FT2 (que actan en el cable ms alnorte) en trminos de mg, el peso del claro ms al norte, y calcu-le la altura h de la torre necesaria para tener equilibrio. Supon-ga que el camino est soportado slo por los cables principales,y desprecie la masa de stos y de los cables verticales. [Sugeren-cia: FT3 no acta sobre esta seccin].

65. Suponga que un puente colgante de un solo claro, como el Gol-den Gate, tiene la configuracin indicada en la figura 12-79. Su-ponga que el camino es uniforme sobre la longitud del puente yque cada segmento del cable de suspensin proporciona el ni-co soporte para el camino que est directamente debajo de l.Los extremos del cable estn anclados slo al terreno y no alcamino. Cul debe ser la razn de d2 a d1 para que el cable desuspensin ejerza una fuerza neta horizontal nula sobre las to-rres? Desprecie la masa de los cables y el hecho de que el cami-no no es precisamente horizontal.

66. Cuando una masa de 25 kg se cuelga a la mitad de un alambrerecto fijo de aluminio, el alambre se pandea y forma un ngulode 12 con la horizontal, como se indica en la figura 12-80. De-termine el radio del alambre.

25 kg

12 12

68. Un cable uniforme flexible de acero de peso mg est suspendi-do entre dos puntos con igual elevacin, como se muestra enla figura 12-82, donde u 56. Determine la tensin en el cablea) en su punto ms bajo, y b) en los puntos de soporte. c) Cules la direccin y sentido dela fuerza de tensin en ca-da caso?

69. Una viga uniforme de 20.0 m de largo y peso de 650 N estsoportada sobre los muros A y B, como se muestra en la figura12-83. a) Encuentre el peso mximo que una persona puede te-ner para caminar hasta extremo D sin volcar la viga. Encuentrelas fuerzas que ejercen los muros A y B sobre la viga, cuando lapersona est de pie: b) en D; c) en un punto 2.0 m a la derechade B; d) 2.0 m a la derecha de A.

70. Un cubo de lado l descansa sobre un piso rugoso. Est someti-do a una fuerza horizontal uniforme, F, ejercida a una distanciah por arriba del piso, como se indica en la figura 12-84. Si se in-crementa F, el cubo empezar a deslizarse o empezar a volcar-se. Determine el coeficiente de friccin esttica ms para que a)el bloque se deslice antes de volcarse, b) el bloque empiece avolcarse? [Sugerencia: Dnde acta lafuerza normal sobre el cubo, cuandoempieza a volcarse?].

71. Un pintor de 65.0 kg est sobre un andamio uniforme de 25 kg,soportado desde arriba por cuerdas (figura 12-85). Una cubetade pintura de 4.0 kg est a un lado,como se ilustra en la figura. Pue-de el pintor caminar con seguridadhacia ambos extremo del anda-mio? Si no, qu extremo(s) es pe-ligroso y qu tan cerca del extremopuede aproximarse el pintor conseguridad?

72. Un hombre que hace lagartijas se detiene en la posicin mos-trada en la figura 12-86. Su masa es m = 68 kg. Determine lafuerza normal queejerce el suelo so-bre a) cada mano;b) cada pie.

42 cm

28 cm

95 cm

mgB

73. Una esfera de 23 kg descansa entre dos planos suaves, como seobserva en la figura 12-87.Determine la magnitud dela fuerza que cada planoejerce sobre la esfera.

2.4 m

4.0 m

2.2 m

CG


l

l

h

FB


1.0 m

1.0 m1.0 m 4.0 mFIGURA 1285Problema 71.

23 kg67

32FIGURA 1287Problema 73.

C DBA

3.0 m 12.0 m

20.0 m



67. Las fuerzas que actan sobre un avin de 77,000 kg que vuelacon velocidad constante se muestran en la figura 12-81. El empu-je del motor, FT 5.0 10

5 N, acta sobre una lnea a 1.6 m de-bajo del CM. Determine la fuerza de arrastre FD y la distancia a laque acta esta fuerza porarriba el CM. Suponga que

y son horizontales.( es la fuerza de sus-tentacin sobre el ala).FB

L

FB

TFB

D

CM

3.2m

DFB

LFB

FB

MgB TFIGURA 1281

Problema 67.




75. Se sabe de paracaidistas cuyos paracadas no se abrieron, sobre-vivieron al caer en una gruesa capa de nieve. Suponga que unparacaidista de 75 kg toca el suelo con una rea de impacto de0.30 m2 a una velocidad de 55 m/s y que la resistencia a la rotu-ra del tejido humano es de 5 105 N/m2. Suponga que la perso-na alcanza el reposo en 1.0 m de nieve. Demuestre que lapersona puede salir ilesa.

76. Un alambre de acero de 2.3 mm de dimetro se estira en un0.030%, cuando una masa se suspende de l. Cul es el valorde la masa suspendida?

77. Un remolque de 2500 kg est unido a un camin estacionarioen el punto B (figura 12-89). Determine la fuerza normal queejerce el camino sobre las llantas traseras en A, y la fuerza ver-tical que ejerce el soporte B sobre el remolque.

B

2.5 m 5.5 mA

MgB


78. El techo de un saln de 9.0 m 10.0 m en una escuela tieneuna masa total de 13,600 kg. El techo va a ser soportado porpies derechos verticales de 2 4s (en realidad de 4.0 cm 9.0 cm) a lo largo de los lados de 10.0 m. Cuntos soportes serequieren a cada lado y a qu distancia deben estar uno deotro? Considere slo la compresin y suponga un factor de se-guridad de 12.

79. Un objeto de 25 kg es elevado al jalar los extremos de unacuerda de nylon de 1.15 mm de dimetro, que pasa alrededorde dos poleas a 3.00 m de alto y que estn separadas 4.0 m, co-mo se ilustra en la figura 12-90. A qu altura sobre el suelo es-tar el objeto cuando la cuerda se rompa?

25 kg


80. Una escalera de 6.0 m de longitud y masa de 16.0 kg est apoya-da contra una pared lisa (de modo que la fuerza ejercida por lapared, es perpendicular a la pared). La escalera forma unngulo de 20.0 con la pared vertical y el suelo es rugoso. Deter-mine cul debe ser el coeficiente de friccin esttica en la base dela escalera, si sta no debe deslizarse cuando una persona de 76.0kg est parada a tres cuartas partes hacia arriba de la escalera.

FB

W ,

81. Existe una altura mxima para una columna vertical uniforme,hecha de cualquier material, que puede soportarse a s mismasin pandearse, y que es independiente del rea transversal (porqu?). Calcule esta altura para a) acero (densidad de 7.8 103

kg/m3), y b) granito (densidad de 2.7 103 kg/m3).82. Una locomotora de 95,000 kg empieza a cruzar un puente de

280 m de largo en el tiempo t 0. El puente es una viga unifor-me de 23,000 kg de masa y el tren viaja a 80.0 km/h constantes.Cules son las magnitudes de las fuerzas verticales FA(t) yFB(t) sobre los dos soportes extremos, escritas como funcionesdel tiempo, durante el paso del tren?

83. Una mochila de 23.0 kg est suspendido a la mitad entre dos r-boles por una cuerda ligera, como se observa en la figura 12-50.Un oso agarra el paquete y lo jala verticalmente hacia abajo conuna fuerza constante, de manera que cada seccin de la cuerdaforma un ngulo de 27 hacia abajo con la horizontal. Inicial-mente, antes de que jale el oso, el ngulo era de 15; cuando eloso jala, la tensin en la cuerda es el doble del valor inicial. Calcu-le la fuerza que el oso est ejerciendo sobre la mochila.

84. Una viga uniforme de masa M y longitud l est montada sobreuna bisagra (ideal) en un muro, como se muestra en la figura12-91. La viga se mantiene en posicin horizontal mediante unalambre que forma un ngulo u como se muestra. Una masa mse coloca sobre la viga a una distancia x del muro y esta distan-cia puede variarse. Determine, en funcin de x, a) la tensin enel alambre y b) las componen-tes de la fuerza ejercida por laviga sobre la bisagra.

85. Dos vigas idnticas uniformes se apoyan simtricamente entres (figura 12-92) sobre un piso con el cual tie-nen un coeficiente de friccin ms 0.50.Cul es el ngulo mnimo que las vigaspueden formar con el piso sin caerse?

86. Si la masa mxima m que una persona puede sostener en unamano cuando el brazo est colocado a un ngulo de 105 en elcodo es de 35 kg, como se muestra en la figura 12-93, cul serla fuerza mxima Fmx que el bceps ejerce sobre el antebrazo?Suponga que el antebrazo y la mano tienen una masa total de

2.0 kg con un CG que est a 15 cm del codo, yque el bceps se une a 5.0 cm del codo.

m

xl



mx

15 cm35 cm

5.0 cm (2.0 kg)

35 kg

105FB

gB


74. Una bola de 15.0 kg est colgada del techo mediante una cuer-da A. La cuerda B jala a la bolahacia abajo y hacia un lado. Siel ngulo de A con la vertical esde 22 y si B forma un ngulo de53 con la vertical (figura 12-88),encuentre las tensiones en lascuerdas A y B.

A

53

22

BFIGURA 1288Problema 74.


*

0.75 m

1.5 m

3.0 mA

B

C

88. Una varilla de un marco cuadrado mostrado en la figura 12-95contiene un templador que al girarse somete a la barra a ten-sin o a compresin. Si el templador somete a la varilla AB auna fuerza de compresin F, determinelas fuerzas generadas en las otras vari-llas. Desprecie la masa de las varillas ysuponga que las barras diagonales secruzan libremente en el centro sin fric-cin. [Sugerencia: Aproveche la simetrade la situacin].


89. Una barra de acero de radio R 15 cm y longitud l0 permane-ce vertical sobre una superficie slida. Un hombre de 65 kg es-cala hasta lo alto de la barra. a) Determine la disminucinporcentual de la longitud de la barra. b) Cuando se comprimeun metal, cada uno de los tomos de su masa se mueve ms cer-ca de sus tomos vecinos, en exactamente la misma cantidadfraccional. Si en general en el acero los tomos estn separadosa 2.0 1010 m, en qu distancia tiene que cambiar este espa-ciamiento interatmico para generar la fuerza normal requeri-da para sostener al hombre? [Nota: Los tomos colindantes serepelen entre s, y tal repulsin influye en la fuerza normal ob-servada].

90. Un mecnico quiere levantar el motor de 280 kg de su auto. Elplan es estirar una cuerda verticalmente del motor a la rama deun rbol situada a 6.0 m de altura, y luego regresarla al para-choques (figura 12-96). Cuando el mecnico sube a una escale-ra y jala horizontalmente de la cuerda en su punto medio, elmotor se eleva saliendo delauto. a) Qu fuerza debeejercer el mecnico para sos-tener el motor a 0.50 m porarriba de su posicin nor-mal? b) Cul es la ventajamecnica del sistema?

92. Usted va en un barco pirata y se le obliga a caminar por el ta-bln (figura 12-98). Usted se encuentra parado sobre el puntomarcado con C. El tabln est clavado sobre la cubierta en elpunto A, y descansa sobre un fulcro a 0.75 m de A. El centro demasa del tabln unifor-me se localiza en elpunto B. Su masa es de65 kg y la masa del ta-bln es de 45 kg. Cules la fuerza mnima ha-cia abajo que debenejercer los clavos sobreel tabln para mante-nerlo en su sitio?

6.0 m

93. Una esfera uniforme de peso mg y radio r0 est atada a una pa-red mediante una cuerda de longitud l. La cuerda est unida ala pared a una distancia h por arriba del punto de contacto dela esfera, como se muestra en la figura12-99. La cuerda forma un ngulo u conrespecto a la pared y no est en lnea con elcentro de la esfera. El coeficiente de fric-cin esttica entre la pared y la esfera esm. a) Determine el valor de la fuerza defriccin sobre la esfera debida a la pared.[Sugerencia: Una buena seleccin del ejefacilitar este clculo]. b) Suponga que laesfera est a punto de deslizarse. Obten-ga una expresin para m en trminos de hy u.

h

gBm

r0




S

12cm

36cm

a)

1230

60

60

24cm

Msculos erectores de la columna vertebralQuinta

vrtebra lumbar

TwB

MFB

AwB

HwB

VFBB

wH = 0.07w(cabeza)

wA = 0.12w (brazos)

wT = 0.46w(tronco)

w = Peso total de la persona

b)

y

x

A

C

B

DFIGURA 1295Problema 88.

87. (a) Estime la magnitud de la fuerza que los msculos ejer-cen sobre la espalda para apoyar la parte superior del cuerpo,cuando una persona se inclina hacia delante. Utilice el modelo dela figura 12-94b. b) Estime la magnitud y la direccin de la fuerza

que acta sobre la quinta vrtebralumbar (ejercida por la columnavertebral inferior).

FB

V

FB

M 91. Un cajn de 2.0 m de altura y con una base cuadrada de 1.0 m semueve sobre una superficie rugosa, como se indica en la figura12-97. El cajn uniforme pesa 250 N y tiene un coeficiente defriccin esttica con el piso de 0.60. Qu fuerza mnima debeejercerse sobre el cajn para hacerlodeslizarse? Cul es la altura mximah por encima del piso a la que estafuerza podra aplicarse sin volcar elcajn? Note que conforme el cajn sevuelca, la fuerza normal y la fuerza defriccin actan en la esquina inferior.

h

1.0 m

2.0 mCG

fr

N

FB

FB

FB


94. Use el mtodo de los nudos o juntas para determinar la fuerza encada barra de la arma-dura de la figura 12-100.Indique si cada barra es-t en tensin o compre-sin.

A C

B

6.0 m

D

12,000 N

4.0 m 6.0 m



l

mgB

mG

mW

95. Una escalera uniforme de masa m y longitud l se inclina en unngulo u contra un muro, figura 12-101. Los coeficientes de fric-cin esttica entre la escalera y el suelo y entre la escalera y elmuro son mG (ground) y mW (wall), respectivamente. La escale-ra estar a punto de deslizarse cuando la fuerza de friccin es-ttica debida al suelo y la fuerza de friccin esttica debida almuro alcancen ambas sus valores mximos. a) Muestre que laescalera permanecer estable si u umn, donde el ngulo mni-mo umn est dado por

b) Los problemas de la escalera inclinada a menudo se anali-zan desde la suposicin irrealista de que el muro no ejerce fric-cin (vase el ejemplo 12-6). Usted desea investigar la magnituddel error introducido al considerar el muro sin friccin, cuandoen verdad tiene friccin. Usando la relacin encontradaen el inciso a), calcule el valor verdadero de umn paraun muro con friccin, tomando mG mW 0.40.Luego, determine el valor aproximado de umnpara el modelo del muro sin friccin consi-derando mG 0.40 y mW 0. Por ltimo,determine la desviacin porcentual delvalor aproximado de umn a partirde este valor verdadero.

tan umn =1

2mG A1 - mG mWB.

Respuestas a los ejerciciosA: FA tambin tiene una componente para equilibrar la fuerza FB

de los lados.B: S, cos u (ngulo de la barra con el suelo) aparece en ambos la-

dos y se cancela.

C:D: a).

FN = mA g + mB g + Mg = 560 N.

E: 7.0 kg.

F: La friccin esttica en el piso de cemento ( FCx) es fundamental,o de otra manera la escalera se deslizara. En la parte superior, laescalera puede moverse y ajustarse, por lo que ah no necesitara-mos ni esperaramos una fuerza de friccin esttica fuerte.

G: b).

96. En una tcnica para escalar montaas, (llamada pase de tirole-sa) se sujeta una cuerda en ambos extremos (a rocas o rbolesfuertes) a travs de un acantilado, y luego un escalador recorrela cuerda unido mediante una esliga, como en la figura 12-102.Esta tcnica genera enormes fuerzas en la cuerda y en las suje-ciones, por lo que una comprensin bsica de la fsica es impor-tante para la seguridad. Una cuerda comn para escalar puedeexperimentar una fuerza de tensin de quiz 29 kN antes deromperse, y generalmente se recomienda un factor de seguri-dad de 10. La longitud de la cuerda utilizada con esta tcnicadebe permitir algo de combamiento para permanecer en elintervalo de seguridad recomendado. Considere un escaladorde 75 kg en el centro de la tirolesa, librando un claro de 25 m.a) Para estar dentro del intervalo de seguridad recomendado,qu distancia mnima x debe flexionarse la cuerda? b) Si enla tcnica mencionada la cuerda se coloca de manera incorrec-ta de forma que slo se flexione en un cuarto de la distanciaencontrada ena), determinela tensin enla cuerda. Seromper lacuerda?

25 m

75 kg

x



Problemas numricos/por computadora97. (III) Un cilindro de metal tiene un dimetro original de 1.00 cm

y una longitud de 5.00 cm. Se desarroll una prueba de tensinsobre la muestra y los datos se presentan en la siguiente tabla.a) Grafique el esfuerzo sobre la muestra versus la deformacin.b) Considerando slo la regin elstica, encuentre la pendientede la recta de mejor ajuste y determine el mdulo elstico delmetal.

Carga (kN) Alargamiento (cm)

0 01.50 0.00054.60 0.00158.00 0.0025

11.00 0.003511.70 0.005011.80 0.008012.00 0.020016.60 0.040020.00 0.100021.50 0.280019.50 0.400018.50 0.4600

* 98. (III) Dos resortes, unidos por una cuerda, estn conectados co-mo se muestra en la figura 12-103. La longitud AB es de 4.0 cmy AC BC. La constante de cada resorte es k 20.0 N/m. Unafuerza F acta hacia abajo sobre la cuerda en C. Grafique u enfuncin de F desde u 0 hasta 75, suponiendo que los resortesno se estiran en u 0.

FB

C

A B


*

*

Problemas 363

Problemas132 Densidad y gravedad especfica

1. (I) El volumen aproximado del monolito de granito conocido co-mo El Capitn en el Parque Nacional de Yosemite (figura 13-47)es de aproximadamente 108 m3. Cul es su masa aproximada?

2. (I) Cul es la masa aproximada del aire en una habitacin de5.6 m 3.8 m 2.8 m?

3. (I) Si usted trata de contrabandear lingotes de oro llenando sumochila, cuyas dimensiones son de 56 cm 28 cm 22 cm,cul sera su masa?

4. (I) Determine la masa y estime el volumen de usted mismo. [Su-gerencia: Como usted puede nadar sobre o justo bajo la superfi-cie del agua en una alberca, tiene una buena idea de su densidad].

5. (II) Una botella tiene una masa de 35.00 g cuando est vaca yde 98.44 g cuando est llena con agua. Cuando est llena conotro fluido, la masa es de 89.22 g. Cul es la gravedad especficade este otro fluido?

6. (II) Si 5.0 L de solucin anticongelante (gravedad especfica 0.80) se agregan a 4.0 L de agua para hacer una mezcla de 9.0 L,cul es la gravedad especfica de la mezcla?

7. (III) La Tierra no es una esfera uniforme, sino que tiene regio-nes de densidad variable. Considere un modelo simple de laTierra dividida en tres regiones: ncleo interno, ncleo externoy manto. Cada regin tiene una densidad constante nica (ladensidad promedio de esa regin real de la Tierra):

Radio DensidadRegin (km)

Ncleo interno 01220 13,000Ncleo externo 12203480 11,100Manto 34806371 4,400

(kgm3)

10. (I) Cul es la diferencia en la presin sangunea (en mm-Hg) en-tre la parte superior de la cabeza y la planta de los pies de unapersona de 1.70 m que se encuentra de pie?

11. (II) Qu tan alto llegara el nivel en un barmetro de alcohol apresin atmosfrica normal?

12. (II) En una pelcula, Tarzn evade a sus captores escondindosebajo el agua durante varios minutos mientras respira a travs deun carrizo largo y delgado. Suponiendo que la diferencia mximade presin que sus pulmones pueden aguantar para seguir respi-rando es de 85 mm-Hg, calcule la mxima profundidad a laque podra sumergirse.

13. (II) La presin manomtrica mxima en un elevador hidrulico esde 17.0 atm. Cul es el tamao ms grande de vehculo (kg) quepuede levantar si el dimetro de la lnea de salida es de 22.5 cm?

14. (II) La presin manomtrica en cada uno de los cuatro neum-ticos de un automvil es de 240 kPa. Si cada neumtico tiene unahuella de 200 cm2, estime la masa del automvil.

15. (II) a) Determine la fuerza total y la presin absoluta sobre elfondo de una piscina de 28.0 m 8.5 m cuya profundidad unifor-me es de 1.8 m? b) Cul ser la presin contra el lado de lapiscina cerca del fondo?

16. (II) Una casa en el fondo de una colina se abastece mediante untanque lleno de agua de 5.0 m de profundidad, el cual est conectadoa la casa por un tubo de 110 m de longitud que forma un ngulo de58 con la horizontal (figura 13-48). a) Determine la presin mano-mtrica del agua en la casa. b) Qu tan alto se elevara el agua si sa-liera verticalmentede una tuberarota enfrente dela casa?

a) Utilice este modelo para predecir la densidad promedio detoda la Tierra. b) El radio de la Tierra mide 6371 km y su masaes de 5.98 1024 kg. Utilice estos datos para determinar la den-sidad promedio real de la Tierra y comprela (como una dife-rencia porcentual) con la que determin en a).

133 a 136 Presin; principio de Pascal8. (I) Estime la presin necesaria para elevar una columna de

agua a la misma altura que un roble de 35 m de alto.9. (I) Estime la presin ejercida sobre un piso por a) el extremo

puntiagudo de la pata de una silla (66 kg sobre cuatro patas) derea 0.020 cm2 y b) un elefante de 1300 kg parado sobre unasola pata (rea 800 cm2).


58

5.0 m

110 m


17. (II) Se vierten agua y luego aceite (los cuales no se mezclan) enun tubo en forma de U, abierto en ambos extremos. Alcanzan elequilibrio como se ilustra en la fi-gura 13-49. Cul es la densidaddel aceite? [Sugerencia: Las pre-siones en los puntos a y b soniguales. Por qu?].

bAgua

a

Aceite 27.2 cm

8.62 cm


18. (II) Al formular su principio, Pascal mostr de manera contun-dente cmo la fuerza se multiplica con la presin del fluido. Co-loc un tubo delgado y largo de radior 0.30 cm verticalmente dentro deun barril de vino de radio R 21 cm(figura 13-50). Encontr que cuandoel barril se llenaba con agua y el tubose llenaba hasta una altura de 12 m, elbarril se rompa. Calcule a) la masade fluido en el tubo y b) la fuerza netaque ejerce el agua sobre la tapa del ba-rril justo antes de que ste se rompa.

12 m

R = 21 cm

r = 0.30 cm

FIGURA 1350Problema 18 (No est a escala).

364 CAPTULO 13 Fluidos

19. (II) Cul es la presin normal de la atmsfera en la cima delMonte Everest, a 8850 m sobre el nivel del mar?

20. (II) Una prensa hidrulica para compactar muestras de polvotiene un cilindro grande de 10.0 cm de dimetro y un cilindropequeo con dimetro de 2.0 cm (figura 13-51). Se adapta unapalanca al cilindro pequeo, como se indica. L

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