PROBLEMAS PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
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1
PROBLEMASPROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
Magnetismo
Electricidad
y
Antonio J BarberoDepartamento de Física Aplicada
UCLM
2
H
M
Campo magnético aplicado
Imanación del material
Material imanado hasta saturación por alineación
de dominios
El material ferromagnético sigue una curva no lineal cuando se
imana desde campo cero
El ciclo de histéresis muestra que la imanación de un material ferromagnético depende de su
historia previa. Una vez se ha llevado el material a saturación el campo aplicado H puede ser
reducido a cero pero el material retiene buena parte de su imanación (“recuerda su historia”).
Cuando el campo magnético aplicado cae a cero, sigue existiendo magnetismo remanente (esto tiene utilidad para
almacenamiento magnético de datos)
El campo magnético aplicado debe invertirse y alcanzar un valor llamado
campo coercitivo para que la imanación vuelva a ser nula
Saturación en sentido opuesto
HISTÉRESIS MAGNÉTICA
En el eje de ordenadas puede representarse bien la imanación M o bien el campo B
INTRODUCCIÓN
Magnetismo
Electricidad
y
3
Líneas de campo B
MBH
0
Líneas de campo H
0B
H
H
M
0B
En el espacio libre
Dentro del material ferromagnético
MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. LÍNEAS DE CAMPO
M
Magnetismo
Electricidad
y
INTRODUCCIÓN (2)
4
ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA
zuMM 0Imanación
Z
MRm 3
34
R
r
sincos23 3
30 uurRMH re
3
sincos3
0 MuuMH ri
MMMHMB ii
000 3
23
sincos23 3
30
0 uurRMB re
Fuera de la esfera uniformemente imanada
El mismo campo que produciría un dipolo magnético centrado en la esferaMRm
3
34
Dentro de la esfera uniformemente imanada
Campos uniformes. El campo H tiene sentido opuesto a la imanación (campo desimanador)
Magnetismo
Electricidad
y
INTRODUCCIÓN (3)
5
Magnetismo
Electricidad
y
Líneas de campo B
Líneas de campo H
Z Z
zuMM 0Imanación
ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA (Cont)
INTRODUCCIÓN (4)
6
Dos conductores indefinidos coaxiales de radios a y b transportan corrientes iguales +I y –I (igual magnitud y sentidos contrarios). En un sector del volumen comprendido entre ambos existe un material lineal de permeabilidad , subtendidendo un ángulo (véase corte transversal en la figura). Se pide:
PROBLEMA 1
a) Los campos H y B entre ambos conductores si no existiese entre ellos ningún material magnético.b) Los campos H, B y M en la situación planteada en el enunciado.
a
b
Si no existiese ningún material magnético
r
Ampère: IldH
ld
H
Suponemos saliente la corriente del
conductor interno
a
b
u
rIH
2
u
rIB
20
IrHrH 20
Existiendo material magnético
a
b
rld
0H
ld
H
IldH
Las componentes del campo B normales a las superficies de separación de ambos medios han de ser continuas.
uBn
uBn
0
nn BB 0
HH 00
000 HBn HBn
Magnetismo
Electricidad
y
7
HH 00
IrHrH 20 IrHrH 2 0
00
r
IH 2 0
0
u
rIH
2 00
u
rIH
2 0
0
000 HB
u
rI
2 0
0
HB
ur
I 2 0
0
El campo B es el mismo en ambos casos
Imanación en el material magnético
MBH
0
HBM
0
ur
IM
2 0
0
PROBLEMA 1 (Continuación)
Magnetismo
Electricidad
y
8
r1
a b
I
Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, hecho de un material magnético lineal de permeabilidad relativa r. Determine:
PROBLEMA 2
a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.b) Las corrientes de imanación en el tubo.
Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento
Región 1. r1 < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia centrada en el hilo de radio r1
IldH
1
u
Por la simetría del problema, el campo H está en cada punto en la dirección del unitario u
IrH 11 2 u
rIH
11 2
urIHB
1
0101 2
01 M
Región 2. a r2 b
r2
1. r1 < a2. a r2 b3. r3 > b
Dentro del material magnético
IldH
2 IrH 22 2
u
rIHB r
r
2
0202 2
u
rIH
22 2
20
22 MBH
ur
IM r
22 2
1
Magnetismo
Electricidad
y
9
Magnetismo
Electricidad
ya b
r1
r2
r3
I
Región 3. r3 > b
PROBLEMA 2 (Continuación)
u
IldH
3
IrH 33 2 u
rIH
33 2
u
rIHB
3
0303 2 03 M
Corrientes de imanaciónMJm
nm uMK
(A/m2) (A/m)
rz
zrzr
Mr
rMr
ur
Mz
Muz
MMr
uM 11
2
22 21)(r
IrfM r
Véase que en la región 2 la forma de M es
02 rM 02 zM
Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tiene componentes r ni z.
El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nulo porque la derivada de M2 respecto a z es cero.
El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nulo porque rM2 es constante y su derivada respecto a r es cero.
Véase que 0 MJm
No hay corrientes volumétricas de imanación
10
PROBLEMA 2 (Continuación)
Densidades de corrientes superficiales de imanación nm uMK
a b
I
En r2 = a rn uu
rr
narm uua
IuarMK
21)( 22
2
z
r ua
I 21
ruu
zu
Sobre la cara interna r2 = a
ruu
zu
Sobre la cara externa r2 = b
En r2 = b rn uu
r
rnbrm uu
bIubrMK
21)( 22
2
zr u
bI
21
Corrientes de imanación
Superficie interna I
aIaaI r
rm 1
21 2)(
Superficie externa I
aIbaI r
rm 1
21 2)(
Pregunta adicional: ¿podrían obtenerse los valores de los campos B2 y B3 usando el resultado recién obtenido?
Magnetismo
Electricidad
y
11
d
RNIldH
NIdHdRH dm 2
mB
dB
0 SdB
md HH 0
Un toroide de material magnético lineal de permeabilidad r = 100 tiene un radio medio R = 20 cm. El toroide tiene un entrehierro d = 1 cm y un bobinado de 500 espiras, por el que se hace circular una corriente de 1075 mA. Determine los campos B y H en el entrehierro.
PROBLEMA 3
N = 500
I = 1.075 A
Ecuación campo H
Los campos H y B están confinados en el interior del material y en el entrehierro, por la simetría del problema sus direcciones son tangentes a la circunferencia en todos los puntos de la misma.
material entrehierro
Ecuación campo B
En las paredes laterales del tubo el flujo de B es nulo, sólo hay flujo en las bases. Por tanto la condición de flujo nulo a través de la superficie cerrada da: md BB
NIdHdRH dm 2
dmrm HHH 00
NIdHdRH mrm 2
dRNIH
rm 12
dRNIHHH
r
rmrmd 120
dRNIHB
rdd 120
A/m 23925
T 030.0
B
B
B
H
H
HMagnetismo
Electricidad
ymd BB
12
R
MATERIAL LINEAL
MATERIAL FERROMAGNÉTICO
Un circuito magnético consiste en un toroide de radio medio R y sección recta S formado por dos sectores: 1. Un material ferromagnético imanado que cubre un ángulo , y cuya curva de desimanación se presenta en la figura adjunta, y 2. El resto del toroide formado por material magnéticamente lineal cuya permeabilidad relativa es r. Usando los valores numéricos dados en el apartado de datos, determine la imanación de los dos materiales.
S
-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,000,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
B (T
)
0 H (T)
Datos: = 30º; r = 100; R = 20 cm
PROBLEMA 4
Magnetismo
Electricidad
y
13
Ecuaciones del circuito magnético (para H y para B)
0 ldH
(La trayectoria de integración para H es la línea punteada de radio igual al radio medio R)
MATERIAL LINEAL
R
MATERIAL FERROMAGNÉTICO
S
Datos: = 60º; r = 100; R = 20 cm
020 RHRH f Subíndice 0 para el material lineal; subíndice f para el ferromagnético
0H
fH
0H
0B
fB
0B
0BB f El campo B no tiene discontinuidades al pasar de un material a otro
20
fHH
0 SdB
Relación entre H0 y B0 en el material lineal
000 HB r
20f
rH
200
frf
HBB
20
r
f
f
HB
Relación entre Bf y Hf en el material ferromagnético
Esta es una relación lineal donde Bf se expresa en función de 0Hf, y el punto de corte de la misma con la curva de desimanación nos permitirá calcular la imanación del material ferromagnético (véase transparencia siguiente).
Valor numérico (véase que es independiente de R) 203/23/100
0
f
f
HB
PROBLEMA 4 (Continuación)
Magnetismo
Electricidad
y
14
ff HB 020
-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,000,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
B (T
)
0 H (T)
(0, 0)
(-0.05, 1)
-0.044 T
0.89 T
T 044.00 fH
A/m 1050.3104044.0 4
7
fH
ff
f MB
H
0 f
ff H
BM
0
A/m 1043.71050.310489.0 44
7
fM
000 HBB rf 0
00 r
BH
A/m 1008.7104100
89.0 370
H
00
00 MBH
00
00 HBM
A/m 1001.71008.7
10489.0 53
7
PROBLEMA 4 (Continuación)
Magnetismo
Electricidad
y
15
Magnetismo
Electricidad
y
PROBLEMA 5
Una placa cuadrada de lado L y espesor e (L >>e) está uniformemente imanada en la dirección del eje Z (M0 A/m) y tiene en su centro un hueco de radio R. Determinar aproximadamente el campo magnético en el centro del hueco.
X
Y
ZL
LR
zuMM
0
e
Corriente de imanación volumétricaEl material imanado puede describirse en términos de corrientes
volumétricas y superficiales equivalentes
Corrientes superficiales de imanación
MJm
nm uMK
zuM 0
Puesto que la imanación es uniforme y no depende de las coordenadas, su rotacional es nulo y no hay densidad de corriente volumétrica.
0
En las superficies laterales externas de la placa cuadrada y en la superficie lateral interna del hueco aparecen corrientes que hay que calcular
(unitario normal a cada superficie)
16
X
Y
ZL
LR
zuMM
0
e
e
e
2/Lx
2/Ly
yu
xu 2/LxmK
2/LymK
yxzm uMuuMK Lx
002/
2/Lx
nm uMK Corrientes superficiales
Borde anterior
xyzm uMuuMK Ly
002/
2/Ly Borde lateral derecho
yxzm uMuuMK Lx
002/
2/Lx Borde posterior
Lados no representados en la figura
xyzm uMuuMK Ly
002/
2/Ly Borde lateral izquierdoPuesto que el espesor de la placa es mucho más pequeño que la longitud del lado, vamos a aproximar el campo magnético en el centro por el de una espira cuadrada de lado L que conduce en sentido antihorario una corriente eMIL 0
zL uL
eMB 00 22
Véase cálculo de este campo magnético aquí
Campo de la espira cuadrada:
PROBLEMA 5 (Continuación)
Magnetismo
Electricidad
y
17
PROBLEMA 5 (Continuación)
Z
ru
RmK
zuMM 0
La superficie lateral del hueco central equivale a una espira circular de radio R que lleva una corriente en sentido horario, ya que en este caso rn uu
uMuuMuMK rznm
00Corriente M0 e en sentido antihorario
Campo magnético en el centro de la espira circular (radio R)
zR uR
eMB
2
00
Campo magnético total en el centro de la espira:
zR uR
eMB
200
zL uL
eMB
00 22
zuRL
eMB
21
22 00
Esta aproximación solamente es válida en la medida que e sea lo bastante pequeño para considerar que la corriente es filamental.
Magnetismo
Electricidad
y
18
Magnetismo
Electricidad
y
RELUCTANCIA MAGNÉTICA
Reluctancia de un material magnético o de circuito magnético es la resistencia que opone al paso del flujo magnético. Cuando el material o circuito son uniformes se puede calcular como
SlR
Reluctancia (A/Wb o A v/Wb (amperios-vuelta/Wb)
Longitud (m)
Área sección
recta (m2)Permeabilidad
magnética(H/m)
La energía requerida para establecer un flujo magnético a través de un material es tanto mayor cuanto mayor es su reluctancia.
FUERZA MAGNETOMOTRIZLa fuerza magnetomotriz (fmm) es la causa que produce y mantiene el flujo a través de un circuito magnético. Para que exista flujo magnético es preciso que haya corrientes que lo originen por lo que la fuerza magnetomotriz se expresa en términos de intensidad: INfmm ·
I
I
espiras N
La fmm se expresa en Amperios·vuelta (Av)
FUERZA MAGNETOMOTRIZ y FLUJO MAGNÉTICO
· Rfmm
Fuerza magnetomotriz = Reluctancia · Flujo magnético
Analogía circuitos eléctricos
IRfem ·
fem = Resistencia · Intensidad
MAGNITUDES EN CIRCUITOS MAGNÉTICOS
19
Magnetismo
Electricidad
y
El contorno exterior del doble cuadro de la figura está formado por un material de permeabilidad relativa 5024 cuya longitud media (línea discontinua abcdefa) es 40 cm. El material del separador central tiene una permeabilidad relativa de 3024, y su longitud es 5 cm. El arrollamiento de la parte izquierda está formado por 100 espiras, por las que se hace circular una corriente de 1.2 A. Determinar el flujo magnético , el campo B y el campo H en las tres ramas del doble cuadro. (Pueden despreciarse las pérdidas de flujo).Datos: Permeabilidad magnética del vacío: 0 = 4·10-7 H/m. El área de sección recta del doble cuadro es S = 10 cm2.
Solución. Veamos el circuito magnético equivalente
A 2.1I
A 2.1I
a b c
def
a b c
def
cm 5
A 2.1I
A 2.1I
1 2 3
1RRefab
2RRbe 3RRbcde
SLRR efab
2/11
SLRR be
1
2
SLRR bcde
2/13
100N
INfmm ·
b
e
Rama Longitud Propiedades magnéticasH/m 10·31.65024 m 20.02/ 1 3
0 abcdefaefab LLL
H/m 10·80.30243 m 05.0 2 30
beLLH/m 10·31.65024 m 20.02/ 3 3
0 abcdefabcde LLL
Av/Wb 10 · 17.3 4
Reluctancias del circuito magnético
Av/Wb 10 · 17.3 4
Av/Wb 10 · 32.1 4
EJEMPLO
Rama 1 Rama 3
Ram
a 2
20
Magnetismo
Electricidad
yAv 120· INfmm
1 2 3
1RRefab
2RRbe 3RRbcde
SLRR efab
2/11
SLRR be
1
2
SLRR bcde
2/13
INfmm ·
b
e
Av/Wb 10 · 17.3 4
Reluctancias del circuito magnético
Av/Wb 10 · 17.3 4
Av/Wb 10 · 32.1 4
Asociación de reluctancias en paralelo R2//R3
1
2
1RRefab
INfmm ·
b
e
32
3232
·//RR
RRRR
321
Av/Wb 10 · 30.9 3
Reluctancia equivalente del circuito: serie + paralelo R1 + (R2//R3)
Fuerza magnetomotriz:
Ecuación del circuito: 3211 // · RRRfmm
Av/Wb 10 · 10.4 4
3211 // RRR
fmm
Wb10 · 93.2 3
Flujo en el bobinado:
Cálculos de flujo en ramas 2 y 3: hay un “divisor de flujo” similar al divisor de corriente en un circuito eléctrico.
3
2R 3R
1
1
12
322
//
RRR 22321 ·// · RRR
13
323
//
RRR 33321 ·// · RRR
Wb10 · 07.2 3
Wb10 · 59.8 4
EJEMPLO (Cont. 1)
21
Magnetismo
Electricidad
y
EJEMPLO (Cont. 2)
a b c
def
A 2.1I
A 2.1I
100N1
2 3
Wb10 · 93.2 31
Wb10 · 07.2 32
Wb10 · 59.8 43
Cálculos de campos B S
B
SB 1
1
SB 2
2
SB 3
3
T 93.2
T 07.2
T 86.0
Campos B en el interior
Cálculos de campos H BH
1
1BH
2
2BH
3
3BH
A/m 87.463
A/m 51.544
A/m 13.136
1B
2B3B
1H
2H3H
a b c
def
Comprobación de Ampère bucle izquierdo, camino efabe
A/m 120·· 21 LHLH
m 05.0 m 20.0 LL be efab bcde
(hay fmm)A 2.1I
A 2.1I
Comprobación de Ampère bucle derecho, camino bcdeb
0·· 23 LHLH (no hay fmm)
Comprobación de Ampère bucle exterior, camino efabcde
A/m 120·· 31 LHLH (hay fmm)
23 m 10S
22
PROBLEMA 5. Apéndice: campo magnético de un conductor rectilíneo en un punto arbitrario.
ldI
r
h
ru
Bd
90
sincos
20
4 rulIdBd r
El campo magnético debido a cada elemento de corriente en un punto como el indicado en el esquema tiene sentido entrante (a la derecha del conductor tiene sentido saliente, aunque esto no se muestra en la figura)
Cálculo del campo por Biot y Savart:
uIdlulId r
sen
Vector unitario perpendicular al plano de la figura, entrante a la izquierda y saliente a la derecha de la misma
uIdl cos
urIdl
cos4 2
0
tghl
dhdl 2cos
l
d
hhI
rIdldB cos
cos/cos/
4cos
4 22
20
20
coshr
dhI
rIdldB cos
4cos
40
20
Módulo dB
2
1
cos4
0
dhIB
ldI
h
ru
Bd
r1
2
120 sensen
4
hI 21
0 sensen4
hI
VOLVER
CASO PARTICULAR: En nuestro problema hay cuatro conductores formando un cuadrado de lado L por donde circula la corriente I = M0e, y se pide el campo en el centro, por lo que los ángulos 1 y 2 son ambos 45º. El valor de h es
2/Lh
2/Lh
El campo total esL
eML
eMBL
0000 22
22
22
2/44
(Sentido saliente)
Magnetismo
Electricidad
y