y

x 0

d

d

0

0

Como se observa en la figura, se trata de un capacitor plano con dielctrico, y con una de sus placas conectada a tierra.

Por condicin: 02

( )

d

x d

E

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELCTRICA

CURSO: TEORA DE CAMPOS ELECTROMAGNTICOS

PROFESOR: Mg. JORGE MONTAO PISFIL

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE CAMPO

ELECTROSTTICO EN MEDIOS DIELCTRICOS

Problema N 1

Un capacitor de placas paralelas tiene sus placas en 0x y en x d , y el espacio entre las placas

est lleno de un material no homogneo con permitividad 02

( )

d

x d

. Si la placa en x d se

mantiene a 0 cuando est a tierra la placa en 0x , encuentre:

a) La intensidad de campo elctrico E

b) La polarizacin P

c) La densidad superficial de carga de polarizacin Pol

d) La capacitancia cuando 2,5d mm y cada placa tiene un rea de 200 cm2. Desprecie el efecto de

borde.

Resolucin

Segn el enunciado la figura es la que se muestra a continuacin.

Sabemos que:

- En un capacitor plano el campo elctrico slo existe en su interior, es decir en la regin

comprendida entre las placas del capacitor.

- El campo elctrico E

est dirigido de la placa de mayor potencial elctrico hacia la placa de menor

potencial. Por lo tanto, en nuestro caso el campo vectorial E

est dirigido hacia la izquierda.

- La magnitud de E

en las cercanas de un conductor, cualesquiera que sea, viene dada por:

E

Donde es la densidad superficial de carga de una las placas conductoras del capacitor.

a) Clculo de E

(intensidad de campo elctrico)

Tal como se explic, en este caso el campo vectorial E

est dirigido hacia la izquierda (de la

placa de mayor potencial hacia la placa de menor potencial), por lo tanto se cumple:

( )xE E a

Luego:

xE a

Reemplazando 02

( )

d

x d

queda:

0

( )

2x

x dE a

d

. . . (1)

Para hallar utilizo la ecuacin que relaciona la diferencia de potencial con la intensidad de

campo elctrico E

. Es decir:

a

b

ba dE

Reemplazo 0,0 ba y el valor de E

hallado en la ecuacin (1). Luego despejo , tal

como se indica a continuacin.

2

00

0 0

3( )

2 2 2

d dx d dx

d d

0 04

3d

Reemplazando en la ecuacin (1) y simplificando obtenemos:

0

2

2 ( )

3x

x dE a

d

* Del resultado hallado se concluye que el valor del campo vectorial E

vara dependiendo de la

posicin x, alcanzando su valor mximo en la posicin dx , y su valor mnimo en la posicin

0x .

b) Clculo de P

(vector polarizacin)

Se sabe que: 0( )P E

Reemplazando E

y obtenemos: 0 0

2

2 ( )

3x

d xP a

d

En la figura mostrada a continuacin se observa al dielctrico polarizado. Las cargas polarizadas

en el dielctrico tienen signo positivo en la posicin 0x y signo negativo en la posicin dx ,

por lo tanto el vector polarizacin P

est dirigido hacia la izquierda.

c) Clculo de Pol (densidad superficial de carga de polarizacin )

Se sabe que:

nPpol

* Para 0x : xn a

0 02

3Pol

d

* Para x d : xn a

0Pol

d) Clculo de C (capacitancia del capacitor plano)

La capacitancia se define por: ab

QC

Reemplazando los valores de la carga elctrica Q y de la diferencia de potencial ab entre las Placas del capacitor plano, tenemos:

0

0

4

3

AAC

d

94,4C pF

Problema N 2

Dos esferas conductoras concntricas con radios de 3 y 5 cm, tienen la regin entre ellas rellena de un

dielctrico homogneo para el cual 5r . Si el potencial de la esfera interior es 100 V mientras que la

del exterior es de -100 V, determine:

a) El potencial elctrico ( )r

b) La intensidad de campo elctrico ( )rE

c) El valor de r para el cual 0

d) La carga Q sobre la esfera interior

e) La capacitancia entre las dos esferas

Resolucin

Segn el enunciado la figura es:

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

P

a) Clculo del potencial elctrico ( )r

Para conocer el valor del campo elctrico E

necesito conocer Q (carga libre encerrada por la

superficie gaussiana = carga de la esfera conductora de radio 3 cm). Esta carga Q la hallo aplicando

la ecuacin que relaciona el potencial con el campo elctrico:

a

b

ba dE , Donde:

rdd

0,03

2

00,05

20020

r r

QV a dr a

r

0300Q

Reemplazando la carga Q tenemos que el campo elctrico E

es: 215

rE ar

Luego, el potencial ( )r viene dado por:

rdE

Es decir: ( ) 215 15

r dr Cr r

* Si 0,03r m )03,0( mr15

1000,03

V Cm

400C V

( )15

400r Vr

5r

b

a

a

b Datos:

3 0,03a cm m

5 0,05b cm m

100a V

100b V

Por ley de Gauss en dielctricos:

LIBRES

QSdD

2(4 )D r Q 24

QD

r

Luego:

2

04 r

QE

r

2

020r

QE a

r

; a r b

2r

1r

a

b

Superficie Gaussiana

r

d S

E

rd

b) Clculo de la intensidad de campo elctrico ( )rE

Ya se hall en a) que la intensidad de campo elctrico es igual a:

m

Va

rE rr 2)(

15

Otra forma de hallar ( )rE

es aplicando gradiente de potencial. Es decir: )()( rrE

Para ello calculo el gradiente de potencial en coordenadas esfricas y luego lo reemplazo en la

ecuacin anterior, obteniendo que el campo elctrico ( )rE

es igual a:

m

Va

rE rr 2)(

15

c) Clculo de r para el cual 0

Se hall que el potencial elctrico es igual a ( )

15400r V

r

.

Igualando a cero esta ecuacin y despejando r obtengo que:

cmmr 75,30375,0

f) Clculo de la carga elctrica Q sobre la esfera interior

Para calcular la carga elctrica Q sobre la esfera conductora interior, utilizo:

S dAQ Donde:

nEr 0

22

0

20

7515)5(

m

C

raa

rrr

ddsenrdA 2

Reemplazando la densidad superficial de carga y el diferencial de rea dA, tenemos que la carga

elctrica Q queda expresada por:

ddsenrr

Q 22

0 0

2

075

nCQ 34,8300 0

e) Clculo de la capacitancia entre las dos esferas

La capacitancia se define por

Q

C ; donde: Vba 200

Reemplazando el valor de la carga elctrica y de la diferencia de potencial, tenemos:

pFV

nCC 7,41

200

34,8

a

b

.S G

L

Problema N 3

Supngase que se tienen dos conductores cilndricos coaxiales, el interior de radio a y el exterior de

radio b, y los dos de longitud infinita. Se supondr una distribucin de carga sobra la superficie

exterior del conductor interior. En la regin entre los conductores existe un dielctrico de permitividad

. Calcule la energa almacenada en el campo electrosttico de una seccin del cable coaxial, o el

capacitor, de longitud L.

Resolucin

Segn el enunciado, la figura correspondiente es la que se muestra a continuacin.

Para calcular la energa almacenada EW en el campo electrosttico de una seccin del cable coaxial, de longitud L, aplico la ecuacin siguiente:

2

0

1

2E

V

W E dV

Para hallar E (magnitud de la intensidad de campo elctrico) aplico la ley de Gauss en presencia de

dielctricos y la relacin: /DE .

libre

S

QSdD

Resolviendo la integral cerrada de superficie y reemplazando el valor de la carga neta libre encerrada

por la superficie gaussiana ( aLAAQLibre 2, ), tenemos que:

)2()2( aLLD

aD

Luego, la magnitud de la intensidad del campo elctrico E es igual a:

DE

aE

Reemplazando este valor de E y el diferencial de volumen dV en coordenadas cilndricas ( dzdddV ), tenemos:

)(2

122

0 0

dzdda

Wb

a

L

E

Evaluando la integral, obtenemos: )/(22

abLnLa

WE

. . . (1)

Problema N 4

Una esfera metlica de radio a se encuentra aislada y almacena una carga elctrica + Q. Suponga que sin descargar la esfera, sta se recubre con una capa de espesor e de un dielctrico de permitividad . Determine la energa electrosttica almacenada en el sistema.

Resolucin

Segn el enunciado, la figura correspondiente es la que se muestra a continuacin.

Para calcular la energa electrosttica en cada regin utilizo la ecuacin:

2

0

1

2E

V

W E dV , para ello

primero hallo E (magnitud del campo elctrico) en dichas regiones utilizando la ley de Gauss y la

relacin /DE .

La intensidad de campo elctrico

E viene dada por: r

DDE

0

Primera regin ( ar ): 0

E (Porque no hay carga neta libre encerrada por la superficie Gaussiana) Segunda regin ( eara ): ra

r

QE

24

Tercera regin ( ear ): rar

QE

2

04

Reemplazando la magnitud de estos campos elctricos hallo la energa en cada regin de la ecuacin

1. El resultado obtenido es:

)(8)(8 0

22

)(ea

Q

eaa

eQW SistemaE

En la figura observamos que todo el espacio queda dividido

en tres regiones:

Primera regin: ar (Interior de la esfera)

Segunda regin: eara (En el dielctrico)

Tercera regin: ear (Fuera del dielctrico)

Por lo tanto, la energa electrosttica almacenada en el sistema estar dada por:

)Re3()Re2()( ginraEgindaESISTEMAE WWW . . . (1)

* En la primera regin no hay energa electrosttica

almacenada porque no hay campo elctrico.

+Q

a

e

Dielctrico

Por ley de Gauss: libreS

QSdD

Calculando la integral cerrada de superficie, reemplazando

QQlibre , y despejando D, tenemos:

24 r

QD

Vectorialmente, tenemos:

rar

QD

24

, para cualquier r.

+Q

r

a

D

Sd

Superficie Gaussiana