Problemas Resueltos de Derivadas e Integrales
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UNMSM/FIEE 2012-2 Consultas en Lima – Peru 997906751
PRACTICA N°4Problema 1:
Si el grafico de la función f está representado por la figura adjunta, halle su regla de correspondencia:
Solución:
Por la función identidad f(x)=x, tenemos que x tiene un intervalo desde 0 hasta 3/2
Luego la recta tiene como regla de correspondencia f(x)=3/2 con un intervalo desde 3/2 hasta 9/2
Y finalmente la última recta tiene una regla de correspondencia que es la función identidad pero como se ve en la figura se desplaza 6 unidades hacia la derecha
3/2
45⁰
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PRACTICA N°4
Finalmente el grafico tiene la siguiente regla de correspondencia
Problema 2:
Consideremos la función f definida por: Determinar si f es
inyectiva, si lo es hallar f*(x)
Solución:
Como esta función tiene tres reglas de correspondencia, para saber si es inyectiva tenemos que
saber que las funciones que están dentro son inyectivas además que
Entonces tenemos:
De tenemos: De tenemos: De tenemos:
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PRACTICA N°4Y ahora analizamos las intersecciones de sus rangos:
Como podemos observar el rango de f1 se intersecta con el rango de f2 y f3
Así que la función f(x) no es inyectiva.
Problema 3:
Dada la función ,- 1<x<1 pruebe que si univalente y encuentre su función inversa
Solución:
Es univalente pero Como tiene varias reglas de correspondencia
se ve si la demás funciones son univalentes o inyectivas
La función si es univalente. Ahora la función inversa seria:
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PRACTICA N°4
Problema 4:
Solución:
Por conjugada
Tomamos para acotar :
También:
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PRACTICA N°4
En (1):
Luego:
Problema 5:
Solución:
Problema 6:
Calcular la derivada en el punto indicado usando la definición:
Solución:
Aplicamos definición de derivada:
3 5
1lim
1x
x x
x
3 5
1
3 5 3 5 3 5
1 1 1
2 4 3 22 3 4 53 3 5 5 5 5
3 5
2 4 3 21 2 3 4 53 3 5 5 5 5
21 3
lim1:
1 1 1 1lim lim lim
1 1 1 1
1 1 1 1 11 1
lim1 11 1 1 1 1
1lim
1
x
x x x
x
x
x x
xSolución
x x x x x x
x x x x
x x x x x xx x
x xx x x x x x
x
x x x
4 3 22 3 4 53 5 5 5 5
2 4 3 21 2 3 4 53 3 5 5 5 5
3 5
1
1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2lim
3 5 151 1 1 1 1
2lim
1 15
x
x
x
x x x x x
x x x x x x
x x
x
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PRACTICA N°4
Problema 7:
Determinar, si la función es derivable en Xo
Solución:
Probamos si la función es derivable en x=-1
Aplicando límites laterales
Entonces la función es continua
Ahora probamos si la derivada es continua
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PRACTICA N°4Por lo tanto f(x) es derivable en Xo=-1
Problema 8:
Hallar los valores de a y b de manera que a función sea derivable en
todo su dominio
Solución:
Para que f(x) sea derivable en x=1 también debe de ser continua
Luego derivamos f(x):
También f’(x) debe ser continua:
Problema 9:
Hallar
Solución:
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PRACTICA N°4
Problema 10:
Solución:
Problema 11:
Hallara el valor aproximado de
Solución:
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PRACTICA N°4
Problema 12:
Se tiene una hoja rectangular de pape, de lados 8 y 1, se desea hacer con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados, al fin de que el volumen sea mayor posible.
Solución:
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PRACTICA N°4Problema 13:
Solución:
Problema 14:
Solución:
Problema 15:
4
1
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PRACTICA N°4
Solución:
Problema 16:
Solución:
Reemplazando:
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PRACTICA N°4
Problema 17:
Solución:
Problema 18:
Solución:
x1
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PRACTICA N°4
Problema 19:
Solución:
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PRACTICA N°4
Problema 20:
Hallar el volumen del solido S generado al rotar la región limitada por la curva
, alrededor de la recta x=1
Solución: