Problemas Sobre Integrales Dobles
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8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles
1/17
UNI- FIE E MATEMTICAI II
PRCTICA DIRIGIDA3Integrales dobles
1. Determine
[xy]dxdy , = {(x, y) | 1 x 2 , 0 y 2}
[xy]dxdy=2
0
21
xydxdy
=
20
ydy2
1
xdx= y2
2
2
0
x2
2
2
1=3
y= 2
y= 0
x= 1 x= 2
y
x
2. Evale
(|x| +y) dxdy , = {(x, y) | 1 x 2 , 0 y 2}
(
|x
|+y) dxdy=
2
0
2
0
(x+y)dx+0
1
(
x+y)dx dy
=
20
x2
2 +yx
2
0+
x
2
2 +yx
0
1
dy
=
20
3y+
52
dy=
3y2
2 +
5y2
2
0=11
y
x
y=2
y=0
x=-1 x= 2
1 2z=y-x z=x+y
3. Calcular
(|x|+
|yx|)dx
dy
, ={
(x
,y
)|
1x
2 , 0 y
2}
(|x| + |y x|) dxdy=2
0
2y
(2x y)dxdy+2
0
2x
(y)dydx+2
0
01
(y 2x)dxdy
=
20
(x2 xy)2y
dy+2
0
y2
2
2
x
dx+2
0
(xy x2)01
=
20
(4 2y)dy+2
0
2 x
2
2
dx+
20
(y+1)dy
= (4yy2)2
0+ 2y
x 3
6 2
0+
y2
2 +y
2
0=
323
CICLO 2011-3 1 Luighi A. Vitn Zorrilla
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8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles
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UNI- FIE E MATEMTICAI II
4. Calcular
xy2 +y
dxdy , = {(x, y) | 1 xy 2 , 0 x y 2}
xy
2+y
dxdy=
2
1
x
1x
xy
2+y
dydx+
2+1
2
2x
1x
xy
2+y
dydx+
3+1
2+1
2x
x2xy
2+y
dydx
=
2
1
xy3
3 +
y2
2
x
1x
dx+
2+1
2
xy3
3 +
y2
2
2x
1x
dx+
3+1
2+1
xy3
3 +
y2
2
2x
x2dx
=
2
1
x4
3 +
x2
2 +
56x2
dx+
2+1
2
236x2
dx
+
3+1
2+1
x
4
3 +2x3 5x2 +20x
3 4+ 14
3x2
dx =0.930153
y
x
y=2
x
y=1
x
y=x
y=x2
12
3
(1, 1)
(
2 + 1,
21)
(
3 + 1,
3 1)
(
2,
2)
5. Determinar
x2 +xy+2y2
dxdy , = {(x, y) | 1 x+y 2 , 0 y x 2}
x2 +xy +2y2
dxdy=
12 32
2+x1x
x2 +xy +2y2
dydx+
0 12
2+xx
x2 +xy +2y2
dydx+
10
2xx
x2 +xy +2y2
dydx
=
12 32
x2y+
x y2
2 +
2y3
3
2+x
1xdx+
0 12
x2y+
xy2
2 +
2y3
3
2+x
x
dx+1
0
x2y+
x y2
2 +
2y3
3
2x
x
dx
=
12 32
10x3
3 +10x2 +
23x2
+6
dx+0
12
8x2 +10x+
163
dx+
10
10x
3
3 +4x2 6x+16
3
dx=
234
CICLO 2011-3 2 Luighi A. Vitn Zorrilla
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UNI- FIE E MATEMTICAI II
y
x
y =1 x
y = 2 x
y = 2 + x
y = x
12
3
6. Calcular
x2 +xy+2y2
dxdy , =
(x, y) | y 1 x2 , 0 y x
x2 +xy +2y2
dxdy=
512
512
1x2x
x2 +xy +2y2
dydx
=
512
51
2
x2y+ x2
y2 +2
3
y31x2
x
dx
=
512
512
23
+x
2 x2 19
6 x3 +x4 +
x5
22
3x6
dx=2.728535
y
x
y=x
y=1x2
512
512
CICLO 2011-3 3 Luighi A. Vitn Zorrilla
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8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles
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UNI- FIE E MATEMTICAI II
7. Determine
(x+y+ |x y|) dxdy , = (x, y) |x2 + |y| 1
(x+y+ |x y|) dxdy=
152
1
1x2x21
2ydydx+
512
152
1x2x
2ydydx+
512
152
xx21
2xdydx+
1
512
1x2x21
2xdydx
152
1
1x2x21
2ydydx=
152
1y2
1x2x21
dx =
152
1(0)dx=0
512
152
1x2x
2ydydx=
512
152
y21x2x
dx =
512
152
(1 3x2 +x4)dx= 0.8
512
152
xx21
2xdydx=
512
152
2xy|xx21dx=
512
152
(2x+2x2 2x3)dx= 0.314757
1
512
1x2x21
2xdydx=1
512
2xy|1x2x21dx=1
512
(4x 4x3)dx =0.381966
(x+y+ |x y|) dxdy=1.496723
y
x
y=x2 1
y=1x2
y=x
21
3
4
z=2y
z=2x
15
2
512
8. Determine
ex2y2 dxdy , =
(x, y) |x [0, 1] , y R+0
Analicemos los lmites de la regin : 0 x 1 yy 0.Cuando se efecta la transformacin a coordenadas polares:
0 r cos 1 0 r sec
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UNI- FIE E MATEMTICAI II
ex2y2 dxdy=
er2rdrd=
2
0
sec 0
er2rdrd
=
20
12er
2sec 0
d=
20
12
e sec
2 1
d
= 12
2
0
e sec2 d+
14
y
xx = 1( 0 , 0 )
9. Encontrar
(|x+y| + |x y|) dxdy , = {(x, y) | |x| + |y| 2}
10
2yy
2xdxdy=1
0
x2
2yy
dy=1
0
(4 4y)dy=2
10
2xx
2ydydx=1
0
y22xx
dx =1
0
(4 4x)dx=2
01
x+2x
2ydydx=0
1y2
x+2x dx=0
1(4x+4)dx= 2
10
yy2
2xdxdy=1
0
x2yy2
dy=1
0
(4 4y)dy=2
01
yy2
2xdxdy=0
1x2
yy2 dy=0
1(4y+4)dy=2
01
x2x
2ydydx=0
1y2x2x dx =
01
(4x+4)dx =2
10
xx2
2ydydx=1
0
y2xx2
dx=1
0
(4 4x)dx =2
01
y+2y
2xdxdy=0
1x2
yy+2dy= 01
(4y+4)dy=2
(|x+y| + |x y|) dxdy=16
y
x
y =xy =x
y=x + 2
y=x2
y=2 x
y=x2
3 2
14
5
6 7
8
z=2y
z=2x
z=2y
z=2y
z=2x
10. Determine
1
(x2 +y2 +1)2dxdy , =
(x,y) |x [0, 1] , y R+0
1(x2 +y2 +1)2
dxdy=
0
10
1(x2 +y2 +1)2
dxdy
=
0
x
2(y2 +1)(x2 +y2 +1)+
1
2y2 +1
3 arctan xy2 +1
1
0
dy
=
0
1
2(y2 +1)2 +
1
2y2 +1
arctan 1y2 +1
3
dy
= l mb
y
4(y2 +1)+
y
2y2 +1
arctan 1y2 +1
+
2
4 arctan
y2
b
0
=
8
2
11. Determine
|x+y||x y| dxdy , = {(x,y) | |x+4| + |y+4| 1}
CICLO 2011-3 5 Luighi A. Vitn Zorrilla
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UNI- FIE E MATEMTICAI II
Realizamos una transformacin conveniente:
y x = u , y+x = v x= v u2
, y= v+u
2
J(u, v) =
12
12
12 12 = 12 |J(u, v)| =
1
2
|x+y||x y| dxdy=
12
vu2 +
v+u2
vu2 v+u2
dvdu= 121
1
79
|v||u| dvdu
=12
10
79
vu
dvdu+12
01
79
v
udvdu
= 12
10
1u
du7
9vdv+
12
01
1u
du7
9vdv
= 12
lm
0
1
1u
du7
9vdv+
12
l m
0
11u
du7
9vdv
= 12
l m0
ln |u||1v2
2
7
9+
12
l m0
ln |u||1v2
2
7
9
= 16
l m0
ln
esta integral diverge
y=x
y=
x
7y=x + 1
y=9 xy=x1
12
( 4,3)
( 5,4)
( 4,5)
( 3,4)
z=x + y
xy
z=x + y
yx
12. Evale1
0
10
xy
dxdy ,
xy
=
xy
xy
13. Encontrar el volumen encerrado por
z= 4 (x 1)2 (y 1)21= (x 1)2 + (y 1)2z= 5
Realizamos una adecuada transformacin:
x 1= r cos , y 1= r sen x= r cos +1, y= r sen +1
J(r, ) =cos r sen sen r cos
=r |J(u, v)| =rDe esta manera el volumen que se requiere encontrar se encuentra acotada por las superficies: z = 5 yz = 4 r2 y la regin sobrela cual se levanta el slido es: 0
r
1.
CICLO 2011-3 6 Luighi A. Vitn Zorrilla
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UNI- FIE E MATEMTICAI II
La integral quedara expresada de la siguiente manera:
20
10
5 (4 r2)
rdrd=
20
10
r+r3
drd
=20
r2
2 +
r4
4
10
=3
2
1
0
1
2
3
1
0
1
2
3
1
2
3
4
5
14. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del slido al rotar la reginy =3x, y = x2 alrededor dey =4x
15. Demuestre que
E
f(x,y)dxdy
E
|f(x, y)| dxdy
16. Encontrar
|(x2 +y2 +1)4
dxdy , =
(x, y) |x2 +y2 16
Haciendo la transformacin a coordenadas polares laintegral queda expresada como:
20
4
1(r2 +1)4
rdrd=2 l mb
b4
1(r2 +1)4
rdr
=2l mb
16(r2 +1)3
b4
=
3(17)3
y
x
x 2 + y 2 = 1 6
CICLO 2011-3 7 Luighi A. Vitn Zorrilla
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8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles
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UNI- FIE E MATEMTICAI II
17. Calcule
x2y2
dxdy , = {(x, y) | 1 xy 2 , y 4x , y x , x 0 , y 0}
Hacemos el cambio a coordenadas polares, as:
1 r2
sen cos 2 1sen cos r
2sen cos
4 arctan4
Por consiguiente la integral se expresara de las siguiente forma:
arctan44
2sen cos
1sen cos
r4 sen2 cos2 rdrd=arctan4
4
r6
6 sen2 cos2
2
sen cos
1sen cos
d
=
arctan44
212sen cos
d= 21
2 ln | tan |
arctan44
=21
2 ln 4
y
x
y = x
y = 4 x
y = 2
x
y =
1
x
18. Calcule
x2 +5y2
dxdy , =
(x,y) | 0 y , 4 x2 +y2 16
Haciendo el cambio a coordenadas polares:
x2 + 5y2 =r2 + 4r2 sen2 = r2(1 + 4sen2 ) =r2(32cos2)La integral del volumen sera:
0
42
r2(3 2cos2)rdrd = r3
3
4
2(3 2sen cos )|0 =56
y
x
r = 4
r = 2
= = 0
CICLO 2011-3 8 Luighi A. Vitn Zorrilla
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8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles
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UNI- FIE E MATEMTICAI II
19. Determine el centroide de una lmina delgada de densidad uniforme si ocupa la regin =
(x, y) | 0 x y , x2 +y2 1
y
x
=
4
r = 1
= 0
El centroide de una regin esta determinado por:
x=
A
xdA
A , y=
A
ydA
A
Calculando el rea de la regin:
A
dA=A
dxdy=
2
20
1x2x
dydx=
2
20
(
1 x2 x)dx
=
1
2
arcsen x+x
1 x2
x2
2
2
0 =
8
Calculando la posicin del centroide en el eje x: x
A
xdxdy=
2
20
1x2x
xdydx=
2
20
x(
1 x2 x)dx
=13
(
1 x23 +x3)
2
2
0=
2 26
x=8 42
3
Calculando la posicin del centroide en el eje y: y
A
ydxdy=
2
20
1x2x
ydydx =
2
20
12 x2
dx
=
12x x
3
3
22
0=
2
6
y=4
23
20. Calcular
x2 +y2
52 dxdy , =
(x, y) |x2 +y2 1 , x+y 1
Dividimos la regin en dos e integramos una de ellas mediante un cambio a coordenadas polares:
2
2
1
0
r5.rdrd= r7
71
0
3
2 =
3
14
CICLO 2011-3 9 Luighi A. Vitn Zorrilla
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8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles
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UNI- FIE E MATEMTICAI II
La otra regin mediante con coordenadas rectangulares:
10
1x0
x2 +y2
52 dydx
21. Calcule mediante una integral doble el rea de la regin limitada pory2 =2x , 2x+y= 20 , y= 0
La integral del rea encerrada por las curvas est dadapor la integral:
A
dxdy=4
0
20y2
y22
dxdy=4
0
10 y
2 y
2
2
dy
=
10y y2
4 y3
6
4
0 =76
3
y
x
2 x = y 2
2 x = 2 0
( 8 , 4 )
( 5 , 1 2 . 5 )
22. Cambiar el orden de itegracin de las siguientes integrales:
10
2xx
f(x, y)dydx
10
2xx
f(x,y)dydx=2
1
2y0
f(x,y)dxdy+1
0
y0
f(x,y)dxdy
11
1|x||x|1
f(x, y)dydx
11
1|x||x|1
f(x,y)dydx=1
1
1|y||y|1
f(x,y)dxdy=1
0
1yy1
f(x,y)dxdy+0
1
1+yy1
f(x,y)dxdy
20
2cos+sen
0
f(rcos, rsen )drd
0
2r| cos |
0
f(rcos, rsen )drd
23. Determine el centroide de una lmina delgada , donde: =
(x, y) | |x| +y2 1
El centroide de una regin esta determinado por:
x=
A
xdA
A , y=
A
ydA
A
Calculando el rea de la regin:
A
dA=A
dxdy=1
1
1y2y21
dxdy=1
1(2 2y2)dy
=
2y23y311 = 83
CICLO 2011-3 10 Luighi A. Vitn Zorrilla
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UNI- FIE E MATEMTICAI II
Calculando la posicin del centroide en el eje x: x
A
xdxdy=1
1
1y2y2
1
xdxdy=1
1
(0)dy=0
x=0
Calculando la posicin del centroide en el eje y: y
A
ydxdy=1
1
1y2y21
ydxdy=1
1
2y 2y3
dy
=
y y
4
2
1
1=0
y=0
y
x
x=1 y2
x=y2 1
(0, 1)
(1, 0)
(0,1)
(1, 0)
24. Mediante un cambio de variable, encontrar
(xy+x+5y) dxdy , = (x, y) |0
y
2 ,
1
y2
x
y2
Hacemos un cambio de variable conveniente:
x+y2 =u , y= v x= u v2 , y= v
J(r, ) =1 2v0 1
=1 |J(u, v)| =1La integral quedara expresada de la siguiente manera:
(xy+x+5y) dxdy=
(xy+x+5y) dudv=0
1
20
uv+5v+u v2 v3
dvdu
=
0
1 uv2
2
+5v2
2
+uv
v3
3
v4
4
2
0
du=0
1 4u+
19
3du
=
2u2 +
193u
01 =13
3
y
x
x = y 2
x = 1 y 2
y = 2
y = 0
CICLO 2011-3 11 Luighi A. Vitn Zorrilla
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8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles
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25. Encuentre el volumen del slido encerrado porx+y+z= 4 , z= 6 x2 y2Encontremos la proyeccin de la curva de interseccin de las dos superficies sobre el plano xy:
z=4
x
y=6
x2
y2
x2 x+y2 y=2x 1
2
2+
y1
2
2=
52
De lo anterior podemos concluir que la curva se proyecta como una circunferencia con centro trasladado al punto(12 ,12). Es por ello
que se requiere hacer una transformacin de coordenadas.
x+y = u , x y+1= v x= v u+12
, y= u+v+1
2
J(u, v) = 12 121
212
= 12 |J(u, v)| = 12As la integral quedara expresada como:
12
6 x2 y2 4+x+y
dudv= 1
2
52 v2
2 u2
2
dudv
La proyeccin de la curva de interseccin quedara como:
x 1
2
2+
y1
2
2=
52
u2 +v2 =5
Por la forma que adopta la expresin consideramos conveniente hacer una transformacin a coordenadas polares:
12
52 v
2
2 u
2
2
dudv=
14
20
5
0
(5 r2)rdrd
=
2
5
0
(5r r3
)dr= 5r2
2 r4
4
2
0 =2
42
02
46
5
0
5
10
10
8
6
4
2
0
2
4
6
26. Encuentre el volumen del slido encerrado por(x2 y2 +z2)2 =x2 +y2 +z2
CICLO 2011-3 12 Luighi A. Vitn Zorrilla
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8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles
13/17
UNI- FIE E MATEMTICAI II
27. Calcular
senx2 +y2dxdy , =
(x, y) |2 x2 +y2 42 , x 0 , y 0
Hacemos la transformacin a coordenadas polares,quedando la integral expresada de la siguiente mane-ra:
sen
x2 +y2dxdy=
sen rrdrd =
2
0
2
r sen rdrd
=
2
0
(sen r r cos r)|2 d=
2(3) = 3
22
y
x
r = r = 2
=
2
= 0
28. Encontrar
ex2y2xy dxdy , = {(x, y) |x+y 2 , x 0 , y 0}
Al analizar la funcin podemos notar que no est definida para x = y , sin embargo al restringir la regin , retirando este conjuntode puntos del dominio, se aprecia que no afecta en gran medida al resultado de la integral, permitiendo ignorar esta discontinuidaden el clculo de la misma.
As la integral doble sera:
ex2y2xy dxdy=
20
2x0
ex+ydydx=2
0
exey|2x0 dx=2
0
e2 ex
dx
=e2x ex
2
0=e2 +1
29. Calcular el rea acotada por las curvasxy= 1 , xy = 2 , xy3 =1 , xy3 =2
La integral que expresa el rea de la regin acotada por las curvas indicadas es:
dxdy=
2
1
2y31y
dxdy+1
2
2
2y
1y3
dxdy
=
2
1
2y3
1y
dy+
1
22
2y 1
y3
dy
=
4y2
lny
2
1+
2 lny+
2y2
1
2
2
=3+12
ln 2
30. Calcular
e2x2+xyy2
x+y dxdy , = {(x, y) | 0 2x y e , 0 x+y }
Tomamos en consideracin que el dominio sobre el cual se requiere encontrar la integral no es continuo, mas la ausencia de algunospuntos del mismo no afectan considerablemente al resultado, de talmanera que no se toma en cuenta la discontinuidad para efectuarlas operaciones y calcular la integral.Hacemos un cambio de variable adecuado:
2x y= u , x+1= v x= u+v3
, y=2v u
3
J(u, v) = 13 13 13 23
= 13 |J(u, v)| = 13La integral expresada en funcin de las nuevas variables es:
e
2x2+xyy2x+y
dxdy=1
3
e
0
0
eu
dvdu=1
3
e
0
eu
du
0
eu
du=
3 (ee
1)
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31. Calcular
(x+y+1) dxdy , =
(x,y) | x
2
a2+
y2
b2 1
Efectuamos un cambio de variable adecuado:x= ar cos , y= br sen
J(r, ) =a cos ar sen b sen b cos
=abr |J(u, v)| = abrLuego la integral quedara expresada como:
(x+y+1) dxdy=ab20
10
r(ar cos +b sen +1)drd
=ab
20
ar3
3 cos +b
r3
3 sen +
r2
2
1
0d
=ab
20
a
3cos +
b
3sen +
12
d
= aba3
sen b3
cos + 2
20
=ab
32. Calcular
e(xy)2
(x+y)2 +11
dxdy. Calcula integral primero sobre:
= {(x, y) |x [a, a], y [b, b]} y luego tomar lmites33. Hallar el volumen de interseccin de los cilindros x2 +z2 = a2 yy2 +z2 = a2, siendo a > 0.
Tomamos la parte de la interseccin de los dos cilindros que a la vez se encuentra en el primer octante ( x0 ,y0 y z0) querepresentara la octava parte del volumen total de la interseccin.Esta seccin del volumen est dividido por el plano x = yen dos zonas cuyos volmenes son iguales, de tal forma que solo seranecesario calcular uno de ellas.
f(x,y)dxdy=a
0
x0
a2 x2dxdy= a
0
a2 x2xdx= 1
3
a2 x23
a0
= a3
3
VolumenT= 8
2
f(x,y)dxdy
= 16
3 a3
34. Demostrar
21
xx
sen
x
2y
dxdy+
42
2x
sen
x
2y
dxdy=
4(+2)
3
35. Hallar el centroide de la reginEen el primer cuadrante limitada por la parbolay2 =4ax, el ejexy el lado recto de esta parbola(y 0).El centroide de una regin esta determinado por:
x=
A
xdA
A , y=
A
ydA
A
Calculando el rea de la regin:
A
dA=A
dxdy=2a
0
ay24a
dxdy=2a
0
a y
2
4a
dy
=
ay y
3
12a
2a
0=
43a2
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Calculando la posicin del centroide en el eje x: x
A
xdxdy=2a
0
ay2
4a
xdxdy=2a
0
x2
2
a
y24a
dy=12
2a0
a2 y
4
16a2
dy
=12
a2y y
5
80a2
2a
0=
45a3
x=35a
Calculando la posicin del centroide en el eje y: y
A
ydxdy=2a
0
ay24a
ydxdy=2a
0
y
a y
2
4a
dy=
2a0
ay y
3
4a
dy
=
a
2y2 y
4
16a
2a
0=a3
y= 34 a
36. Hallar el volumen de la porcin de la esfera x2 +y2 +z2 = a2, (a > 0), que se encuentra dentro del cilindror = a sen .
Haciendo el cambio a coordenadas polares se obtiene:
rdrd=
0
a sen 0
a2 r2rdrd =
0
13
a2 r23
a sen 0
d
= 13
0
a3| cos3 | a3
d
= a3
3
2
0
cos3 d+
2
cos3 d
0
d
= a
3
3
sen sen
3
3
2
0
sen sen
3
3
2
|0
= a3
9(3 4)
VolumenT=2
rdrd=2a3
9 (3 4)
37. Determinar el valor extremal de la funcional:
J[y] =
10
xy+y2
dx, y(0) = 0 , y(1) = 2
Encontramos los valores necesarios para la ecuacin de Euler:
Fx = y , Fy = 2y , Fy = x , Fyx = 1 , Fyy = 0 , Fyy =0
Reemplazando en la ecuacin de Euler se obtiene como unica solucin:
y=12
Sin embargo esta funcin no cumple con las condiciones de frontera de la funcional, por lo tanto sta no tiene valores extremales.
38. Determine la curva cuya longitud sea l, pase por los puntos (1, 0)y(5, 8)y determine la mnima rea con el eje x.
39. Encontrar el valor de la integral:
|x2 y| +x2 dxdy , = {(x, y) | |x| + |y| 1}
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352
0
1yy
(2x2 y)dxdy=35
20
23x3 xy
1yy
dy
=
352
0
23 3y+3y2 2
3y3 +
yy
3
dy
=0.099999
352
0
yy1
(2x2 y)dxdy=35
20
23x3 xy
y
y1dy
=
352
0
23
+ y y2 23y3 +
yy
3
dy
=0.317491
01
y+1y1
(2x2 y)dxdy= 01
23x3 xy
y+1y1 dy
=
01
43y3 +2y2 +4y
dy
=1,666666
512
0
1xx2
ydxdy=
512
0
y2
2
1x
x2dy
=
512
0
12
1 2x+x2 x4
dy=
0.1483610
152
x+1x2
ydxdy=0
152
y2
2
x+1
x2dy
=
015
2
12
1+2x+x2 x4
dy=
0.148361
|x2 y| +x2
dxdy=2.380878
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y
x
y =1 x
x
y =1 + xy =1 x
y =1 + x
y =x2
1
23
5
4
z=y
z=2x2 y
40. Determine el calor de la siguiente integral cambiando el orden de integracin:
22
x2+1|x|
x+y2
dydx
22
x2+1|x|
f(x,y)dydx=
23
0
yy
f(x,y)dxdy+2
23
y2y2
f(x,y)dxdy23
0
2y22
f(x,y)dxdy 2
23
y2
f(x,y)dxdy
23
0
y
y x+y2 dxdy=
23
0
x2
2 +y2x
y
y
dy=
23
0
2y3dy = 881
223
y2y2
x+y2
dxdy=
223
x2
2 +y2x
y
2y2dy=
223
y3 + y
2
2 +4y 2
dy=
169
23
0
2y22
x+y2
dxdy=
23
0
x2
2 +y2x
2y2
2dy=
23
0
2y3 +2y2 4y
dy= 16
27
223
y2
x+y2
dxdy=
223
x2
2 +y2x
y
2dy=
223
y3 +5y
2
2 y
2
dy=
12881
22
x2+1|x|
x+y2
dydx=
89
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