Problemes de Geometria Diferencial 1 · 1. Considereu la corba plana (t) = sint;cost+ logtan t 2 ,...

Problemes de Geometria Diferencial 1

Llicenciatura de Matematiques

Departament de Matematica Aplicada IVFacultat de Matematiques i Estadıstica

Universitat Politecnica de Catalunya

1998 / revisat 14 setembre 2009

Sumari

Varietats 3

Corbes 7

Superfıcies 13

Llicenciatura de Matematiques — Problemes de Geometria Diferencial 1 3

VARIETATS

1. Considereu la corba plana α(t) =(sin t, cos t+ log tan t

2

), on 0 < t < π.

(a) Demostreu que la corba es diferenciable a tot arreu, i que es regular excepte at = π/2. Dibuixeu la seva traca.

(b) Comproveu que la distancia entre un punt de la corba i el punt on la recta tangentcorresponent talla l’eix OY es constant i val 1. (Per aquest motiu, la corba s’anomenatractriu.)

2. Sigui α(t) =(e−

1t2 cos 1

t, e−

1t2 sin 1

t

)si t 6= 0, i α(0) = (0, 0).

(a) Proveu aquest lema: limt→0 e−1/t2/tn = 0, per a qualsevol n ∈ N.

(b) Demostreu que α: R→ R2 es una funcio de classe C∞.

(c) Es α una corba regular?

3. Considereu les superfıcies s1(u, v) = (u, v, 0) i s2(u, v) = (u3, v3, 0), on (u, v) ∈ R2.

(a) Mostreu que la imatge d’ambdues es el pla de R3 d’equacio z = 0.

(b) Demostreu que s1 es regular pero que s2 no ho es.

4. Sigui f : R2 −→ R3 donada per f(u, v) = (u cos v, u sin v, u2 + v2). Trobeu un obertA ⊂ R2 tal que f(A) sigui una superfıcie regular. Trobeu el vector normal a la superfıcieen tots els punts corresponents a parametres de A.

5. Trobeu l’equacio de la recta tangent a les corbes seguents en el punt especificat:

(a) r(t) = (6t, 3t2, t3), t = 0.

(b) α(t) = (sin 3t, cos 3t, 2t3/2), t = 0.

6. Trobeu l’equacio del pla tangent a les superfıcies en els punts que s’indiquen:

(a) z = x2 + 2y2 en (1, 2, 9).

(b) 2y − z3 − 3xz = 0 en (1, 7, 2).

(c) s(u, v) = (cosu cos v, sinu cos v, sin v) en s(π/4,−π/4).

7. Sigui σ una corba de R2 tal que σ(0) = (0, 0) i σ′(0) = (1, 1). Sigui f(x, y) = (ex+y, ex−y).Calculeu el vector tangent de la corba γ = f σ en el punt γ(0).

8. Considereu el sistema d’equacionsx+ y + z = 3

−3x2 + y2 + 2z2 = 0.

Defineix una corba regular al voltant del punt p = (1, 1, 1)? Demostreu que es possibleposar aquesta corba en forma parametrica al voltant de p agafant com a parametre o bez o be x. Trobeu els vectors tangents a la corba en p respecte a cadascuna d’aquestesparametritzacions. Son iguals? Son iguals les rectes tangents respecte a cadascuna de lesparametritzacions? Per que?


9. Comproveu que la corba definida en forma implıcita per l’equacio (x2+y2)2−(x2−y2) = 0es simetrica respecte als eixos i respecte a l’origen. Determineu, si n’hi ha, els punts onla tangent a la corba es paral.lela a l’eix OY i els punts on es paral.lela a l’eix OX.

10. (a) Sigui f(x, y, z) =x2

a2+y2

b2+z2

c2, amb a > 0, b > 0, c > 0. Demostreu que el conjunt

de nivell f−1(1) es una superfıcie implıcita regular. S’anomena el.lipsoide.Comproveu que

s(u, v) = (a cosu cos v, b sinu cos v, c sin v),

amb 0 < u < 2π, −π/2 < v < π/2, es una parametritzacio de l’el.lipsoide llevat demitja el.lipse.

(b) Sigui f(x, y, z) = z2 + (√x2 + y2 − a)2. Demostreu que el conjunt de nivell f−1(r2),

quan 0 < r < a, es una superfıcie implıcita regular. S’anomena tor.Comproveu que

s(u, v) = ((r cosu+ a) cos v, (r cosu+ a) sin v, r sinu),

amb 0 < u < 2π, 0 < v < 2π, es una parametritzacio del tor llevat de duescircumferencies.

(c) Sigui f(x, y, z) = −x2 − y2 + z2. Demostreu que el conjunt de nivell f−1(1) es unasuperfıcie implıcita regular. S’anomena hiperboloide de dos fulls.Trobeu-ne una parametritzacio.

11. Dins l’espai vectorial Mn(R) ' Rn2de les matrius n×n amb coeficients reals, demostreu

que els conjunts seguents son subvarietats de dimensions n2, n2 − 1 i n(n− 1)/2, respec-tivament.

(a) El grup lineal GLn(R), format per les matrius invertibles.

(b) El grup unimodular SLn(R), format per les matrius amb determinant 1.

(c) El grup ortogonal On(R), format per les matrius ortogonals, es a dir, les matrius Xtals que X>X = I.

12. Trobeu els canvis de coordenades π−1 φ on φ i π son parametritzacions locals de S2 deltipus (x, y) 7→ (x, y, (1− x2 − y2)1/2) i (x′, z′) 7→ (x′, (1− x′2 − z′2)1/2, z′).

13. Considereu l’esfera S2 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 i el seu pol nord N = (0, 0, 1).Definim l’aplicacio πN :S2−N → R2, anomenada projeccio estereografica des del polnord, de la manera seguent: πN(x, y, z) = (u, v), essent (u, v,−1) el punt d’intersecciode la recta que passa per N i p = (x, y, z) amb el pla tangent a l’esfera en el pol sud,(x, y, z) ∈ R3 | z = −1.

(a) Demostreu que π−1N : R2 → S2 es

π−1N (u, v) =

(4u

u2 + v2 + 4,

4v

u2 + v2 + 4,u2 + v2 − 4

u2 + v2 + 4

)

i que aixı s’obte una parametritzacio local de l’esfera.


(b) Analogament es defineix la projeccio estereografica des del pol sud, πS. Determineuπ−1S . Aixı s’obte una altra parametritzacio local.

(c) Comproveu directament a partir de les seves expressions que els dos canvis deparametritzacions respecte a ambdues projeccions estereografiques son efectivamentdifeomorfismes de classe C∞.

(d) Comproveu que amb les dues parametritzacions es recobreix tota l’esfera.

14. Sigui F l’aplicacio antipodal de l’esfera Sn, q = (1, 0, . . . , 0). Considereu, tant en q comen F (q), la carta local donada per la projeccio esterografica des del pol nord. Calculeul’expressio en coordenades de F i la matriu de TqF en les bases lligades a les coordenadesescollides.

15. Demostreu que l’aplicacio antipodal es un difeomorfisme de Sn en Sn.

16. Donada una aplicacio f : Rn−1 → R de classe C∞, es defineix

g: Rn −→ R(x1, . . . , xn) 7−→ f(x1, . . . , xn−1)− xn

(a) Proveu que M = g−1(0) es una varietat diferenciable.

(b) Proveu que M es difeomorfa a Rn−1.

(c) Proveu que un paraboloide el.lıptic i un d’hiperbolic son difeomorfs.

17. Siguin M = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1, |z| < 1 i F l’aplicacio

F : R3 −→ R3

(x, y, z) 7−→ (x2 − y2, 2xy, z)

(a) Proveu que M es una varietat diferenciable.

(b) Proveu que F indueix una aplicacio de classe C∞ de M en M . Es un difeomorfisme,F |M?

18. Proveu que es un difeomorfisme de S2 en S2 la restriccio a l’esfera de l’aplicacio

F : R3 −→ R3

(x, y, z) 7−→ (x cos z − y sin z, x sin z + y cos z, z)

19. Demostreu que l’aplicacio π: R→ S1 definida per π(t) = (cos t, sin t) es diferenciable.

20. Proveu que l’el.lipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 es difeomorf a l’esfera x2 + y2 + z2 = 1.


Ordre de contacte

21. Sigui I ⊂ Rm un obert. Dues aplicacions α, β: I → Rn de classe C∞ es diu que tenen unordre de contacte ≥ k en un punt s0 ∈ I si α(s)− β(s) = o(|s− s0|k).Dues varietats m-dimensionals de Rn tenen ordre de contacte ≥ k en un punt p siexisteixen parametritzacions regulars α, β: I → Rn de les varietats en un veınat dep = α(s0) = β(s0) tals que α, β tenen un ordre de contacte ≥ k en s0.

(a) Observeu que α, β: I → Rn tenen ordre de contacte ≥ k en s0 si i nomes si elspolinomis de Taylor de grau ≤ k centrats en s0 de α i de β son iguals; aixo es elmateix que afirmar que son iguals totes les derivades parcials d’ordre ≤ k de α i βen s0.

(b) Sigui f :A → R de classe C∞, on A ⊂ Rn es obert. Observeu que l’aplicacioA → Rn+1 definida per x 7→ (x, f(x)) te ordre de contacte ≥ k en (x0, f(x0)) ambl’aplicacio definida per x 7→ (x, T (x)), on T es el polinomi de Taylor de f de grau≤ k centrat en x0.

(c) Demostreu que si α, β: I → Rn tenen ordre de contacte ≥ k en s0 i h: J → I es undifeomorfisme, llavors α h, β h: J → Rn tenen ordre de contacte ≥ k en h−1(s0).

(d) Sigui H:A→ B un difeomorfisme entre oberts de Rn. Demostreu que si α, β: I →Rn tenen ordre de contacte ≥ k en s0 i α(I), β(I) ⊂ A, llavors H α, H β: I → Rn

tenen ordre de contacte ≥ k en s0.

(e) Sigui una varietat implıcita regular F−1(0) dins Rn que passa per p, i una varietatparametrica regular γ, ambdues de dimensio n − 1, amb p = γ(s0). Proveu queambdues varietats tenen ordre de contacte ≥ k en p si i nomes si el polinomi deTaylor de F γ de grau ≤ k centrat en s0 es identicament nul.

22. Considereu la cissoide x = 2 sin2θ, y = 2 sin2θ tan θ, −π/2 < θ < π/2. Reparametritzeu-la mitjancant el canvi de parametre t = 2 sinθ. Calculeu els dos primers termes no nulsdels desenvolupaments de x i y en potencies de t al voltant del punt singular t = 0.

23. Una corba C i una superfıcie S amb un punt comu p tenen ordre de contacte ≥ k en psi existeix una corba C ⊂ S que passa per p i tal que C i C tenen ordre de contacte ≥ ken p.Demostreu que una superfıcie regular implıcita f(x, y, z) = 0 te orde de contacte ≥ k enγ(0) si i nomes si (f γ)(i)(0) = 0 per a 0 ≤ i ≤ k.


CORBES

Representacio grafica, llocs geometrics i punts singulars

24. Representeu graficament la traca de les corbes planes seguents, on (r, φ) son les coorde-nades polars habituals, i a > 0 es una constant.

(a) r = aφ (espiral d’Arquimedes).

(b) r2 = a2 cos 2φ (lemmiscata de Bernouilli).

(c) r = a(1 + cosφ) (cardioide).

(d) r = a sin 3φ (rosa de tres petals).

25. Representeu graficament la traca de les corbes planes seguents, on (x, y) son les coorde-nades cartesianes habituals.

(a) (x, y) = (a cos3 t, a sin3 t) (astroide).

(b) (x, y) =

(3at

1 + t3,

3at2

1 + t3

)(folium de Descartes).

(c) (x, y) =

(t4

4− t2

2− 2, t3 − 27

4t

).

(d) (x, y) =(

1

1 + t2,

2t

4 + t2

).

26. Representeu graficament la traca de les corbes planes seguents, on (x, y) son les coorde-nades cartesianes habituals. Estudieu-ne els punts singulars, si n’hi ha.

(a) y2 − x(x− a)2 = 0, on a > 0.(L’unic punt singular es (a, 0), on les tangents a la corba es creuen; s’anomena node.)

(b) y2 − x3 = 0.(L’unic punt singular es l’origen, on hi ha recta tangent respecte a la qual la corbaes disposa a tots dos costats; el punt singular s’anomena punt de retroces, o cuspide,de primera especie, i es el cas lımit de l’anterior quan a→ 0.)

(c) (y − x2)2 − x5 = 0.(L’unic punt singular es l’origen, on hi ha recta tangent respecte de la qual la corbaes disposa localment en un sol dels costats que determina; el punt singular s’anomenapunt de retroces de segona especie.)

(d) y2 − x4 + x6 = 0.(L’unic punt singular es l’origen; s’anomena tacnode.)

(e) y2 − x2(x− 1) = 0.(L’unic punt singular es l’origen; s’anomena punt singular aıllat o acnode.)


27. Cerqueu exemples de parametritzacions de corbes tancades no simples en R2. Que repre-senta la corba

x(t) = cos ty(t) = sin 2t sin t

t ∈ [0, 2π] ?

28. Parametritzeu els llocs geometrics seguents.

(a) La corba descrita per un punt fix sobre una circumferencia que gira sense lliscarsobre un pla (cicloide).

(b) La corba descrita per un punt fix sobre una circumferencia que gira sense lliscarsobre l’exterior d’una altra circumferencia (epicicloide).

(c) La corba descrita per un punt fix sobre una circumferencia que gira sense lliscarsobre l’interior d’una altra circumferencia (hipocicloide).

Dibuixeu aproximadament aquests llocs geometrics i, en el cas de l’epicicloide i la hipoci-cloide, doneu condicions sobre els radis de les circumferencies a fi que les corbes siguintancades.

Longitud

29. Demostreu que les formules seguents calculen la longitud dels arcs de corbes planes regu-lars respectius:

(a) y = f(x), x ∈ [a, b], te longitud∫ ba

√1 + f ′(x)2 dx.

(b) r = r(φ), φ ∈ [a, b] (corba en coordenades polars), te longitud∫ ba

√r(φ)2 + r′(φ)2 dφ

30. Trobeu l’expressio del parametre arc del tros de parabola y = x2, x ∈ [0, 1], i calculeu-nela longitud total.

31. Sigui α una corba de classe C1 en Rn. Siguin α(a) = P , α(b) = Q.

(a) Si ~v es un vector unitari qualsevol, demostreu que ~PQ · ~v ≤∫ b

a|α′(t)| dt.

(b) Demostreu que | ~PQ| ≤∫ b

a|α′(t)| dt. Per tant, la corba mes curta que uneix dos

punts de Rn es el segment de recta determinat pels dos punts.

Arc i reparametritzacions

32. Siguin α una corba en R3 parametritzada per l’arc, i β una reparametritzacio de α.Proveu les formules seguents.

(a) k = |α′′| = |β′ ∧ β′′||β′|3

.

(b) τ = − 1

k2(α′ ∧ α′′) · α′′′ = −(β′ ∧ β′′) · β′′′

|β′ ∧ β′′|2.


(c) n =α′′

|α′′|=

(β′ ∧ β′′) ∧ β′

|(β′ ∧ β′′) ∧ β′|.

(d) b =α′ ∧ α′′

|α′′|=

β′ ∧ β′′

|β′ ∧ β′′|.

33. Calculeu la curvatura, torsio i els vectors tangent, normal i binormal de la corba γ(t) =(et cos t, et sin t, et).

34. Demostreu que si α es una corba parametritzada per l’arc es verifica:

(a) α′α′′ = 0,

(b) α′α′′′ = −k2,

(c) α′′α′′′ = kk′,

(d) |α′′′|2 = k4 + k2τ 2 + k′2,

(e) (t ∧ b)b′ = −τ ,

(f) (b′ ∧ b′′)b′′′ = τ 5 (k/τ)′,

(g) (t′ ∧ t′′)t′′′ = −k5 (τ/k)′,

essent k, τ, t, n i b les seves curvatura, torsio, vectors tangent, normal i binormal, respec-tivament.

35. Sigui r = r(φ) una corba plana en les coordenades polars habituals. Demostreu que la

seva curvatura es k =

∣∣∣∣∣2r′2 − rr′′ + r2

(r′2 + r2)3/2

∣∣∣∣∣.Com a aplicacio, calculeu la curvatura de l’espiral d’Arquimedes (exercici 24a) i compro-veu que, per a valors grans de φ, la curvatura es aproximadament la mateixa que la d’unacircumferencia de radi aφ.

36. Sigui α una corba regular connexa tal que totes les tangents passen per un punt fix.Proveu que α es un segment de recta.Seria aixo cert si la corba tingues punts no regulars?

37. Proveu que per a una corba regular connexa les tres afirmacions seguents son equivalents.

(a) La curvatura no es enlloc nul.la, i les seves normals passen per un punt fix.

(b) La curvatura es constant no nul.la, i la torsio es zero.

(c) La corba es un arc de circumferencia.

(Compareu amb l’exercici 36.)

38. Sigui γ una corba regular de R2. Demostreu que si |γ| assoleix un valor maxim en t = t0

aleshores |k(t0)| ≥ 1

|γ(t0)|.


Coordenades canoniques i estructures locals distingides

39. Sigui α: I → R3 una corba tal que τ(s0) 6= 0, k(s0) 6= 0. Demostreu que el pla osculadorde α en s0 es l’unic pla que satisfa les dues condicions seguents.

(a) El pla conte la tangent a α en s0.

(b) Donat qualsevol veınat J de s0 dins I, existeixen punts de α(J) a ambdos costatsdel pla (es a dir, el pla es travessat per la corba en s0).

40. Sigui α: I → R3 una corba tal que k(s0) 6= 0. Demostreu que el pla osculador es laposicio lımit de Π(s1, s2) quan s1, s2 → s0, essent Π(s1, s2) el pla que passa pels puntsα(si), i = 0, 1, 2. (Vegeu problema 45.)

41. Demostreu que la curvatura d’una corba en un punt de parametre t tal que k(t) 6= 0coincideix amb la curvatura en t de la corba plana obtinguda en projectar la corba sobreel seu pla osculador en t.

42. Suposeu que γ: I → R3 satisfa k(s) 6= 0 i τ(s) 6= 0 per a tot s ∈ I. Proveu que lesafirmacions seguents son equivalents.

(a) γ(I) esta continguda en una esfera de radi r.

(b) R2 + R2T 2 = r2, on R = 1/k, T = 1/τ .

Evolutes, cercle osculador i esfera osculadora

43. Si γ es una corba plana amb curvatura k enlloc nul.la i vector normal n, la corba evγ =

γ +1

kn s’anomena evoluta de γ, i es el lloc geometric dels centres de curvatura.

Demostreu que la tangent a l’evoluta en evγ(t) es normal a γ en γ(t).

44. Comproveu que:

(a) L’evoluta de y2 = 2px (parabola) es y2 = 827p

(x− p)3 (semicubica).

(b) L’evoluta de (a cos t, b sin t) (el.lipse) es

((a− b2

a

)cos3 t,

(b− a2

b

)sin3 t

)(astroide).

(Observeu doncs que l’evoluta d’una corba regular pot no ser-ho.)

45. El cercle osculador a la corba plana γ en un punt γ(t) tal que k(t) 6= 0 es el cercle decentre evγ(t) i radi 1/k(t).Siguin t1 < t2 < t3, i C(t1, t2, t3) el cercle que determinen els punts γ(t1), γ(t2), γ(t3)(suposant-los no alineats).

(a) Demostreu que el cercle osculador a γ en γ(t) es el lımit de C(t1, t2, t3) quan ti → t.

(b) Demostreu que el cercle osculador a γ en γ(t) es l’unic cercle que te ordre de contacte≥ 2 amb γ en el punt γ(t).


(Vegeu el problema 40.)

46. L’esfera osculadora a una corba de l’espai en un punt p es l’esfera que te amb la corbaun ordre de contacte ≥ 3. Demostreu que:

(a) Si E(s1, s2, s3, s4) es l’esfera que passa pels punts γ(si), i = 1, . . . , 4, llavors l’esferaosculadora a γ en γ(s) es la posicio lımit de E(s1, s2, s3, s4) quan si → s.

(b) Si la corba γ esta parametritzada per l’arc i p = γ(0), demostreu que el centre de

l’esfera osculadora es γ(0) +1

kn+

k′

k2τb.

47. Sigui α(t) =

(t, e−1/t2 , 0) si t < 0,(0, 0, 0) si t = 0,

(t, 0, e−1/t2) si t > 0.

(a) Demostreu que α es diferenciable.

(b) Demostreu que α es regular, que k(t) 6= 0 si t 6= 0 o t 6= ±√

2/3, i que k(0) =

k(±√

2/3) = 0.

(c) Demostreu que, quan t→ 0+, el pla osculador tendeix al pla y = 0, pero que, quant→ 0−, ho fa al pla z = 0. Aixo mostra que n te una discontinuıtat a t = 0.

(d) Demostreu que, malgrat que la corba no es plana, τ = 0 per a tot s.

Helixs

48. Una corba s’anomena helix (o helice) si les seves tangents formen un angle constant ambuna direccio fixa.Demostreu que, per a una corba γ: I → R3 amb curvatura i torsio enlloc nul.les, lespropietats seguents son equivalents.

(a) γ es una helix.

(b)k

τes constant.

(c) Les normals a γ son paral.leles a un pla donat.

(d) Les binormals a γ formen un angle constant amb una direccio fixa.

(e) (γ′′ ∧ γ′′′)γ(ıv) = 0.

49. Demostreu que

γ(s) =

(a

c

∫ s

0sin θ(u) du,

a

c

∫ s

0cos θ(u) du,

b

cs

),

amb a, b, c > 0 constants tals que a2 + b2 = c2, i θ′(s) 6= 0 per a tota s, es una helix, i quek

τ=a

b.


50. Per a quins valors de a, b la corba γ(t) = (at, bt2, t3) es una helix?Trobeu la direccio de les generatrius del corresponent cilindre.

51. Una helix s’anomena circular si les seves curvatura i torsio son ambudes constants. De-mostreu que una corba es una helix circular si i nomes si admet una parametritzacioγ(s) = (a cos s, a sin s, cs).

52. Demostreu que l’evoluta d’una helix circular es una helix circular amb el mateix pas.


SUPERFICIES

53. Calculeu el camp normal a S2 utilitzant les parametritzacions de l’exercici 12. Feu elmateix per a les parametritzacions de l’exercici 13. Comproveu directament a partir deles expressions obtingudes que si N1 i N2 son els camps normals obtinguts amb duesd’aquestes parametritzacions, llavors N1 = ±N2.

54. Proveu que si N1 i N2 son els vectors normals a una superfıcie en un punt calculatsrespecte a dues parametritzacions, llavors N1 = ±N2 en un veınat del punt.

Superfıcies reglades

55. Una famılia diferenciable de rectes es una aplicacio diferenciable I → R3 × (R3 − 0),u 7→ (γ(u), w(u)). Per a cada u, la recta corresponent de la famılia es la que passa perγ(u) i te vector director w(u).La superfıcie reglada generada per la famılia de rectes es

σ(u, v) = γ(u) + v w(u) .

Les rectes coordenades u = u0 s’anomenen generatrius, i la corba coordenada v = 0directriu.

(a) Observeu que la superfıcie tangent a una corba regular (vegeu el problema 56) esuna superfıcie reglada.

(b) Observeu que la superfıcie reglada generada per (γ, w), essent γ una corba plana iw = const, es un cilindre.

(c) Observeu que la superfıcie reglada generada per (γ, w), on γ es una corba plana i talque totes les generatrius passen per un punt fix no coplanari amb γ, es un con.

(d) Sigui γ(t) = (cos t, sin t, 0). Demostreu que la superfıcie reglada generada per lafamılia de rectes (γ, γ′ + (0, 0, 1)) es l’hiperboloide circular. Comproveu que la su-perfıcie reglada generada per la famılia (γ,−γ′ + (0, 0, 1)) es el mateix hiperboloidecircular (aixı, l’hiperboloide circular te dos sistemes de generatrius).

(e) Comproveu que la superfıcie reglada generada per la famılia ((u, 0, 0), (0, k−1, u))(u ∈ R), on k 6= 0 es una constant, es el paraboloide hiperbolic z = kxy. Comproveuque te dos sistemes de generatrius.

(f) Comproveu que la banda de Mobius es una superfıcie reglada.

56. Sigui γ: I → R3 una corba parametritzada regular. La superfıcie reglada generada per lafamılia de rectes (γ, γ′), σ(u, v) = γ(u) + v γ′(u), s’anomena superfıcie tangent de γ.

(a) Si k(u) no s’anul.la enlloc, proveu que la restriccio de σ aW = (u, v) ∈ I×R | v 6= 0es una superfıcie regular la traca de la qual te dos components connexos, la vora delsquals es la directriu.

(b) Proveu que els plans tangents al llarg d’una generatriu son iguals.


(Aquest es un cas particular de superfıcie desenvolupable, vegeu el problema 58.)

57. Siguin γ1, γ2 dues corbes regulars tals que la superfıcie σ(u, v) = γ1(u)+γ2(v) sigui regular.Demostreu que tots els plans tangents al llarg d’una corba coordenada son paral.lels a unarecta.

58. Una superfıcie reglada s’anomena desenvolupable si al llarg d’una generatriu qualsevol elsplans tangents son constants.Demostreu que la superfıcie reglada generada per la famılia de rectes (γ, w) es desenvolu-pable si i nomes si (γ′ ∧ w)w′ = 0.(La superfıcie tangent del problema 56 es desenvolupable.)

Superfıcies tubulars

59. Sigui γ: I → R3 una corba parametritzada per l’arc, amb curvatura mai nul.la i ambvectors normal i binormal n i b, respectivament. La superfıcie tubular de radi r > 0associada es

σ(s, v) = γ(s) + r(n(s) cos v + b(s) sin v).

Proveu que, si σ es regular, el seu vector normal unitari es N(s, v) = n(s) cos v+b(s) sin v.

Superfıcies de revolucio

60. Una superfıcie de revolucio S es l’obtinguda fent girar una corba plana C (anomenadageneratriu) al voltant d’un eix coplanari (anomenat eix de rotacio). Els cercles descritspels punts de C s’anomenen paral.lels, i les diferents posicions de C meridians.

(a) Demostreu que tota superfıcie de revolucio es pot parametritzar de la forma

σ(s, α) = (f(s) cosα, f(s) sinα, g(s)).

(b) Trobeu una parametritzacio de (part de) l’esfera com a superfıcie de revolucio. (Com-pareu amb l’exercici 13.)

(c) La pseudoesfera es la superfıcie de revolucio la generatriu de la qual es la trac-triu (problema 1) i l’eix de la qual es l’asımptota de la tractriu. Escriviu-ne unaparametritzacio. Reparametritzeu la pseudoesfera emprant com a parametres l’arcd’un meridia i l’angle de rotacio.

(d) Trobeu una parametritzacio de (part) del tor com a superfıcie de revolucio.

Plans tangents

61. Demostreu que els plans tangents a la superfıcie z = xϕ(y

x

), on ϕ es una funcio fixada,

passen tots per l’origen.


62. Demostreu que els plans tangents a xyz = a, on a ∈ R∗ es una constant, formen amb elsplans coordenats triedres de volum constant.

Calcul de la primera forma fonamental

63. Calculeu la primera forma fonamental de la superfıcie de revolucio

σ(s, α) = (f(s) cosα, f(s) sinα, g(s))

i demostreu que σ admet una parametritzacio respecte a la qual la primera forma fona-mental es (

1 00 f 2

).

64. Les coordenades d’una superfıcie s’anomenen isotermiques quan la matriu de la primeraforma fonamental es multiple de la identitat. Comproveu que les parametritzacionsseguents son isotermiques.

(a) La catenoide σ(u, v) = (a cosh v cosu, a cosh v sinu, av) (superfıcie de revolucio la

generatriu de la qual es la catenaria x = a coshz

a).

(b) L’helicoide σ(u, v) = (a sinh v cosu, a sinh v sinu, au) (superfıcie reglada generadaper la famılia de rectes (γ, w), essent γ(u) = (cosu, sinu, au) i w(u) = (cosu, sinu, 0);vegeu exercici 73a).

(c) La pseudoesfera (exercici 60c).

65. Considereu la superfıcie tangent σ(u, v) = γ(u) + vγ′(u) d’una corba parametritzadaregular γ (exercici 56). Demostreu que, si γ esta parametritzada per l’arc, la primeraforma fonamental de σ es

I(u, v) =

(1 + v2k2(u) 1

1 1

),

on k es la curvatura de γ.

66. Les corbes que tallen els meridians d’una superfıcie de revolucio amb un angle constants’anomenen loxodromies. Trobeu les seves equacions.

67. Comproveu que la corba γ es una loxodromia de la superfıcie de revolucio σ en els casosseguents:

(a) γ = σ α on α(t) =

(exp

t cot β√2, t

), t ∈ [0, π], β una constant, i σ(u, v) =

(u cos v, u sin v, u). Comproveu que l’angle de tall es β.

(b) γ = σ α on α(t) = (log t, 2 arctan t) i σ(u, v) = (sin v cosu, sin v sinu, cos v).

68. Trobeu la longitud de la corba γ de l’exercici 67a.


69. Calculeu la longitud de l’arc (φ(t), θ(t)) =

(∫ t

π/4

dτ

sin τ, t

), t ∈ [π/4, π/2], contingut dins

l’esfera σ(φ, θ) = (sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ).

70. Demostreu que si la primera forma fonamental es

I(u, v) =

(1 00 G(u, v)

)

aleshores les corbes de parametre v constant determinen arcs de la mateixa longitud entredues corbes de parametre u constant.

71. Les corbes coordenades d’una superfıcie es diu que defineixen una xarxa de Txebixev siles longituds dels costats oposats dels quadrilaters que formen son iguals.

(a) Proveu que aixo passa si i nomes si ∂vE = ∂uG = 0.

(b) Demostreu que llavors es pot trobar una parametritzacio tal que E = 1, G = 1, ique llavors F = cos θ, on θ es l’angle entre les corbes coordenades.

72. Siguin E,F i G els coeficients de la primera forma fonamental d’una superfıcie regularS respecte a una parametritzacio σ:A ⊂ R2 → S. Siguin ϕ(u, v) = const i ψ(u, v) =const dues famılies de corbes regulars en σ(A). Demostreu que aquestes dues famıliesson ortogonals (es a dir, sempre que dues corbes de famılies diferents es tallen ho fanortogonalment) si i nomes si

Eϕvψv − F (ϕuψv + ϕvψu) +Gϕuψu = 0.

73. L’helicoide es la superfıcie reglada obtinguda tracant sobre cada punt de l’helix directriu(cosu, sinu, au) la recta paral.lela al pla XY que talla l’eix OZ.

(a) Comproveu que admet la parametritzacio

σ(u, v) = (v cosu, v sinu, au), 0 < u < 2π, −∞ < v <∞.

Compareu-la amb la parametritzacio de l’exercici 64b.

(b) Vegeu que, respecte a la parametritzacio anterior, la primera forma fonamental vedonada per E = v2 + a2, F = 0, G = 1.

(c) Demostreu que, sobre l’helicoide, les dues famılies de corbes regulars

v cosu = const, v 6= 0(v2 + a2) sin2 u = const, v 6= 0, u 6= π

son ortogonals.

74. Sobre una superfıcie parametritzada pels parametres (u, v) considereu la famılia de corbesque satisfan

A(u, v) du+B(u, v) dv = 0.

Demostreu que les corbes de la famılia ortogonal a la donada satisfan l’equacio diferencial

(BE − AF ) du+ (BF − AG) dv = 0.


75. Demostreu que les corbes que en cada punt bisequen l’angle format per les corbes coor-denades satisfan l’equacio diferencial

√E du±

√G dv = 0.

76. (a) Trobeu la relacio entre les matrius que representen la primera i segona forma fona-mental d’una superfıcie respecte a dues parametritzacions.

(b) Demostreu que la curvatura de Gauss d’una superfıcie orientada no depen de capreparametritzacio de la superfıcie (independentment que la reparametritzacio can-viı o no l’orientacio fixada).

(c) Demostreu que la curvatura mitjana d’una superfıcie orientada no depen de les re-parametritzacions que conserven l’orientacio.

(d) Demostreu que la curvatura mitjana d’una superfıcie orientada canvia de signe quanla reparametritzacio de la superfıcie canvia l’orientacio fixada.

Arees

77. Demostreu que l’area d’una regio fitada R de la superfıcie regular explıcita z = f(x, y) es∫Ω

√1 + f 2

x + f 2y dxdy,

essent Ω la projeccio ortogonal de R sobre el pla XY .

78. Sigui S una superfıcie de revolucio amb generatriu C parametritzada per l’arc s, i siguiρ(s) la distancia entre el punt de C de parametre s i l’eix de rotacio.

(a) Demostreu el teorema de Pappus que afirma que l’area de S es 2π∫ l

0 ρ(s) ds, essentl la longitud de C.

(b) Calculeu l’area d’un tor.

79. Demostreu que l’area de la superfıcie tubular de radi r al voltant de la corba γ (exercici59) es 2πr vegades la longitud de γ.

Segona forma fonamental

80. Donada la superfıcie de revolucio

σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)),

on u es el parametre arc de la corba plana (f(u), g(u)), i on suposem f > 0, calculeu lasegona forma fonamental i les curvatures de Gauss i mitjana en un punt qualsevol.

81. Demostreu que la curvatura normal en una direccio que forma un angle θ amb la direccioprincipal corresponent a k1 es

kn(θ) = cos2 θ k1 + sin2 θ k2 (formula d’Euler).


82. Proveu que en un punt hiperbolic les direccions principals bisequen les direccions asimp-totiques.

83. Si kn(θ) es la curvatura normal en un punt en una direccio que forma un angle θ amb unadireccio fixada, demostreu que la curvatura mitjana en el punt val

H =1

π

∫ π

0kn(θ) dθ.

84. Calculeu la curvatura de Gauss d’una pseudoesfera.(Indicacio: utilitzeu la parametritzacio en que E = 1, F = 0.)

85. Calculeu les curvatures K i H per al paraboloide hiperbolic z = axy. Quant valen al’origen (0, 0, 0)?

86. Determineu les corbes asimptotiques i les lınies de curvatura de l’helicoide x = v cosu,y = v sinu, z = cu, on c > 0.

87. Demostreu que en una superfıcie reglada (problema 55) es te K ≤ 0.

88. Demostreu que una superfıcie reglada es desenvolupable (problema 58) sii K = 0.

89. Demostreu que en un punt umbılic no pla, si ~w1 i ~w2 son ortogonals, aleshores son conju-gats.

90. Demostreu que els punts de la superfıcie ~x(u, v) = (u, v, u2 + v3) son el.lıptics alla onv > 0, hiperbolics on v < 0, i parabolics on v = 0.

91. Demostreu que si tots els punts d’una superfıcie son umbılics aleshores la superfıcie es untros de pla o de superfıcie esferica.

92. Sigui C la corba interseccio de dues superfıcies, i siguin kn1 i kn2 les curvatures normalsde les superfıcies en la direccio de C en un punt P donat. Si les dues normals en el puntP formen un angle α, demostreu que

k2 sin2 α = k2n1 + k2

n2 − 2kn1kn2 cosα,

on k es la curvatura de C en P .

93. Demostreu que en un punt d’una lınia asimptotica que no sigui una recta, la torsio τsatisfa

τ 2 = −K,on K es la curvatura de Gauss en el punt considerat (teorema de Beltrami–Enneper).

94. Considereu la superfıcie d’Enneper

σ(u, v) =

(u− u3

3+ uv2, v − v3

3+ vu2, u2 − v2

).

Demostreu que tots els seus punts son hiperbolics, que les lınies de curvatura son corbescoordenades, i que les corbes asimptotiques son u+ v = const i u− v = const.


95. Siguin S1 i S2 les superfıcies obtingudes per rotacio de la corba y = x3, −1 < x < 1, alvoltant dels eixos x = 1 i y = 1, respectivament. Demostreu que els punts obtinguts perrotacio de l’origen son plans i parabolics, respectivement.

96. Demostreu que l’el.lipsoidex2

2+ y2 +

z2

5= 1 te exactament quatre punts umbılics.

(Indicacio Considereu la parametritzacio

σ(u, v) = (√

2 cosu cos v, cosu sin v,√

5 sinu),

−π/2 < u < π/2, 0 < v < 2π, d’un obert d’aquest el.lipsoide, i trobeu-ne tots els puntsumbılics. Deduıu despres, sense usar coordenades, que cap dels punts de l’el.lipsoide nocoberts per aquesta parametritzacio no pot ser un punt umbılic; els pols s’han de raonara part.)

97. Demostreu que si les coordenades son isotermiques (es a dir, si E = G = λ(u, v), F = 0;problema 64) llavors

K = − 1

2λ∆(log λ).

(Calculeu-ne els sımbols de Christoffel.)

98. Demostreu que si una esfera S1 talla uns superfıcie S2 en una corba β, de manera quel’angle φ que formen els respectius plans tangents es constant sobre β i 0 < φ < π,aleshores β es una lınia de curvatura de la superfıcie S2.

Isometries

99. Demostreu que el cilindre (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1 i el pla son localment isometrics,tot i que no son isometrics.

100. Demostreu que el semicon sense vertex, (x, y, z) ∈ R3 | z = k√x2 + y2 − (0, 0, 0), on

k = cotg α, essent α l’angle entre l’eix del con i una generatriu, es localment isometric alpla.

101. La catenoide es la superfıcie de revolucio amb generatriu la catenaria x = a cosh v, z = av(v ∈ R) (exercici 64a). Demostreu que la catenoide es localment isometrica a l’helicoide.(Indicacio: feu servir la parametritzacio de l’helicoide de l’exercici 73a.)

102. Demostreu que les superfıcies

σ(u, v) = (u cos v, u sin v, log u), σ(u, v) = (u cos v, u sin v, v),

tenen la mateixa curvatura de Gauss en els punts σ(u, v) i σ(u, v), tot i que σ σ−1 no esuna isometria. (Aixo prova que el “recıproc” del teorema de Gauss no es cert.)

103. Siguin S i S ′ dues superfıcies, p ∈ S i ϕ una isometria local de S en S ′ definida en unveınat de p. Demostreu que existeixen parametritzacions σ i σ′ de S i S ′ en veınats de p ide ϕ(p) tals que les coordenades dels vectors ∇γ′(w), w ∈ TpS, respecte a la base σu, σv,son les mateixes que les de ∇(ϕγ)(dpϕ w) respecte a la base σ′u, σ

′v.


104. Sigui γ una corba sobre una superfıcie. Demostreu que el transport paral.lel al llarg de γ,τ γγ(t1),γ(t2): Tγ(t1)S → Tγ(t2)S, es una isometria lineal.

105. Justifiqueu que l’esfera, el cilindre i el paraboloide hiperbolic no son localment isometricsdos a dos.

Sımbols de Christoffel

106. Calculeu els sımbols de Christoffel d’un obert del pla en coordenades cartesianes i enpolars. En ambdos casos calculeu la curvatura de Gauss.

107. Calculeu els sımbols de Christoffel i la curvatura de Gauss de:

(a) l’helicoideσ(u, v) = (v cosu, v sinu, du),

(b) el conσ(u, v) = (u cos v sinα, u sin v sinα, u cosα),

(c) la superfıcie d’Enneper

σ(u, v) = (u− u3/3 + uv2, v − v3/3 + vu2, u2 − v2),

(d) la pseudoesfera

σ(u, v) = (a sinu cos v, a sinu sin v, a(cosu+ log tanu/2)),

(e) una superfıcie de revolucio

σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)),

amb f ′2 + g′2 = 1, f > 0.

108. (a) Demostreu que, en un punt no umbılic, les corbes coordenades son lınies de curvaturasii f = F = 0.

(b) Demostreu que, si no hi ha punts umbılics i les corbes coordenades son lınies decurvatura, les equacions de Codazzi-Mainardi equivalen a

∂ve =∂vE

2

(e

E+g

G

),

∂ug =∂uG

2

(e

E+g

G

).

Transport paral.lel

109. Si τγ(t1)γ(t2) es el transport paral.lel al llarg de la corba γ des de γ(t1) fins a γ(t2), i X esun camp vectorial la llarg de γ, proveu que

(∇γX)γ(0) = limt→0

τ γγ(t),γ(0)Xα(t) −Xα(0)

t.


110. Demostreu que el camp vectorial tangent a un meridia de l’esfera parametritzat per l’arces un camp paral.lel.

111. Sigui C un paral.lel de l’esfera de colatitud φ parametritzat per l’arc, i X0 un vectorunitari tangent a C en un punt p ∈ C. Determineu graficament τCp,qX0.

112. (a) Demostreu que, si en una superfıcie el transport paral.lel entre dos punts qualssevol esindependent de la corba que els uneix, llavors la curvatura de Gauss de la superfıciees 0 arreu.

(b) Doneu un exemple de superfıcie amb curvatura de Gauss nul.la pero on el transportparal.lel depengui de la corba.

113. Donats el tor T parametritzat per

σ(u, v) = ((R + r cosu) cos v, (R + r cosu) sin v, r sinu) ,

0 < u, v < 2π, el seu paral.lel γ(t) = σ(3π/2 + π/4, t), el punt P = γ(0), i el vectorX0 = (σv)P , calculeu l’angle que forma aquest vector amb el seu transportat paral.lel alllarg de γ quan s’ha fet una volta completa a γ.

Geodesiques

114. Demostreu que la curvatura geodesica d’un paral.lel de l’esfera de colatitud φ satisfak2g = cotg 2φ.

115. Demostreu que les geodesiques d’un cilindre circular recte son exactament les circum-ferencies obtingudes en tallar el cilindre per plans perpendiculars al seu eix, les generatriusi les helixs sobre el cilindre.

116. Considereu la superfıcie de revolucio σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)).

(a) Proveu que els meridians parametritzats per l’arc son geodesiques.

(b) Proveu que un paral.lel es geodesica sii esta generat per la rotacio d’un punt de lageneratriu on la tangent de la qual es paral.lela a l’eix de rotacio.

117. Considereu la superfıcie de revolucio del problema 116.

(a) Demostreu que si θ ∈ [0, π/2] es l’angle de tall entre una geodesica i un paral.lel deradi r, llavors r cos θ = const (relacio de Clairaut).

(b) Demostreu que, per a una geodesica γ(t) definida en un veınat de t, no hi pot haveruna successio tn → t tal la geodesica sigui tangent a un paral.lel no geodesic en elspunts γ(tn).

118. Calculeu la curvatura geodesica del paral.lel superior (o sigui, u = π/2) del tor

σ(u, v) = ((R + r cosu) cos v, (R + r cosu) sin v, r sinu) .


119. Demostreu que si una geodesica es lınia de curvatura (resp., lınia asimptotica), llavors esplana (resp., un segment de recta).Doneu algun exemple de corba plana que sigui lınia de curvatura pero no pas geodesica.

120. La primera forma fonamental d’una superfıcie parametritzada σ(u, v) te matriu 1 0

0(ek u + e−k u

)2

,on k > 0 es una constant.

(a) Proveu que la curvatura de Gauss de S es constant i val K = −k2.

(b) Proveu que les parametritzacions per l’arc de les corbes σ(0, t) i σ(t, v0) (v0 constant)son geodesiques.

121. Considerem una superfıcie parametritzada que tingui com a primera forma fonamental lamatriu

I =

(1 00 e2u

).

(a) Calculeu la seva curvatura de Gauss.

(b) Esbrineu si les corbes coordenades son geodesiques.

(c) Pot ser que la superfıcie tingui com a segona forma fonamental una matriu del tipus

II =

(0 ff 0

),

per a alguna funcio f(u, v)?

Problemes de Geometria Diferencial 1 · 1. Considereu la corba plana (t) = sint;cost+ logtan t 2 ,...

Documents

Transcript of Problemes de Geometria Diferencial 1 · 1. Considereu la corba plana (t) = sint;cost+ logtan t 2 ,...