PROBLEMES OLÍMPICS - semcv.org · Pàg. 2 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Societat...
Transcript of PROBLEMES OLÍMPICS - semcv.org · Pàg. 2 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Societat...
PROBLEMES
OLÍMPICS
Revi
sta
de p
robl
emes
de M
atem
àtiq
ues
Núm
ero
66. O
ctub
re 2
012
GALERIA DE FOTOS PARTICIPANTS EN EL XII CONCURS DE FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”
“Ordre i caos”. Júlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València)
“Geometría”. Marta González.Col·legi Paidos (Dénia)
“Esfera de fuego con mar y bañista” Marta Martínez. IES Eduardo Merello (Port de Sagunt)
“Mosaics dins de mosaic”. Gabriel Ivorra.IES Figueras Pacheco (Alacant)
“Parábolas” Adrián IrlesIES nº 15 La Foia (Elx)
“Frecuencia”. Nerea PérezIES nº 15 La Foia (Elx)
“Punto de fuga”. Isabel Huertas. IES Camp de Morvedre (Port de Sagunt)
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 1
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
����� ��������� ����������PROBLEMES OLÍMPICS� ���������������� ��������������� ������ ��� �������� �� ���� ����� ���� ��������� ����������� ��� ��� ����� ��������� �������������������������� !!!�"� ������#��� $���%���������������!�&�������� !!!�������'������������ (� �)� ���� ���� ������� ��� ��� ����� ����* ������� ����%� ���������� ��� ������ ���&���������������+��������,�-��.�� ���������������� ��� !!!�"� ������#��� $���������������������'����/0����1����� �2� ��� �3� ��� ,�-%� � ���� �������� �������������� ������ ���� 0��� �#������� 0��4���1%�#��������������������!����������������5%���� ���-������������������6�����7��� ����������������������������������������8��������� ������������������������������������������������"� ������#��� $������������ �����'�������������������9���������������������������:�• ;������ �����:��<��������������9�• ;������������:��3���� �=�������9�• ;��������* ��:���������,�-�������9�������� � ��� ������� ����������� (��� ����� ��� ���� ���� �� ��� �$=��� >��:�>>>��� �����=�
PROBLEMES OLÍMPICSSocietat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi” Apartat 22.045 46071 València Director:�(� $��?������.�����Coordinador de redacció:�6�����#�����#������1�������Correcció lingüística: 6��)�;��������6���0������Consell de redacció: 6��)�#������,��,��'����%��#@�A������������B���� �%��6��C ������B����%�����,������B������D���4���1%�'�������B�����B����%������������������������%�����������&�� �����%�#�������������������E����%�#@�(�������F��������%�'������A�=��"������%�E� ���A��1�B����=��%�#@�.���;���4���1�0 )��1%��
!������0������#������1%��'�������0������E1%��#�����.�������!�45�1%���������.���� ��.���1%����������.���1�0� �1%���������.�������������%��#=���#�����������%��(� ����#�����7�F���%��6�����#�����#������1������%��#������ ���#�������������%��B�����#������G������%�������������#������E1%��
#������ ���"�������!5����%��E�F�"����0�����%��(� 4��?������.����%��&����?���#����%��6���#=���E�����7�F����%��#@�6��)�E����E��%��"�����E�����5�"� ��%��#@�6�����E1�#������%��!������(�������B�����%�����C��'����0� �1��D.L.: V-3026-2001 ISSN: 1578-1771
7������:�H7����I���� �����������J�����:�0������!�������!�&�;=�����7��F����K�������L��
Pàg. 2 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
�����������=���M� ������������������7����� ���"�� ���N�&�������������������� ��������������� ��������������O���
SOL·LICITUD D'ENVIAMENT DE NÚMEROS ANTERIORS DE “7E"B.�#�&�".P#7!�&”
�G� :��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ����=�� �:��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ������O�:��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�(��R���:��QQQQQQQQQQQQQQQQQ����7��� QQQQQQQQQQQ��7������:��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ��7�������:��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�������/�:�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ��(������������K���%������%�����L�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQ��A���=��������������=S������� ������������������T7����� ���"�� ���T������ �������O�:�� Problemes Olímpics Nº 1 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 2 (1.2 € ) � Problemes Olímpics Nº 3 (1.2 € ) � Problemes Olímpics Nº 4 (Exahurit) � Problemes Olímpics Nº 5 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 6 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 7 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 8 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 9 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 10 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 11 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 12 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 13 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 14 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 15 (2.4 € ) � Problemes Olímpics Nº 16 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 17 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 18 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 19 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 20 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 21 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 22 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 23 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 24 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 25 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 26 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 27 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 28 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 29 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 30 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 31 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 32 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 33 (2.0 €)
� Problemes Olímpics Nº 34 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 35 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 36 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 37 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 38 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 39 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 40 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 41 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 42 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 43 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 44 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 45 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 46 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 47 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 48 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 49 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 50 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 51 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 52 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 53 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 54 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 55 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 56 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 57 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 58 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 59 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 60 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 61 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 62 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 63 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 64 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 65 (2.5 €)
�����������C�������������� ���������������������O�:�&����������������#��� $����H��/UF>��1 J%� �������� ����2V%� 2��<�/'��R���%� ������� ��� ��� ������ HE������7����� ���"�� ���J%� �������� ��� ,�������� ���=�)�� ���� ���� ������ ����� �M� ������ C�����I������������������ �������B�GU!�:���93/�9��/9</9������9�<��� �
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 3
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
SUMARI
FASE PROVINCIAL CASTELLÓ 2012
ENUNCIATS
PROVA INDIVIDUAL ......................................................................................... p. 4 PROVA DE CAMP ............................................................................................... p. 11
SOLUCIONS
PROVA INDIVIDUAL ......................................................................................... p. 14 PROVA DE CAMP ............................................................................................... p. 24
FASE AUTONÒMICA 2012
ENUNCIATS
PROVA INDIVIDUAL ......................................................................................... p. 30 PROVA DE CAMP ............................................................................................... p. 37
SOLUCIONS
PROVA INDIVIDUAL ......................................................................................... p. 44 PROVA DE CAMP ............................................................................................... p. 56
.�� �������� ��� ������ ��� ��� ����� ������ � ���� �������� F��� ������ �����1����� ���� ���C��������W�����:���6�����7��� �%��� �����#�������%��E������#������1%��;�������0����%��6�����������%��#@�6��)�7���%�
&-����B������%��7������&�������%��6�������)�%��� ���������F���%���������B�M%��6������#������%�
#������B������%��!�)��#������%��(� 4��'������=�%��#�� ��������%����� ���7�5���
Pàg. 4 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
�
ENUNCIATS
XXIII OLIMPÍADA MATEMÀTICA FASE PROVINCIAL
PROVÍNCIA DE CASTELLÓ
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 5
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL
1. ELS PORTALS DEL MEU CARRER
������ ����������������������������������������� ��������?��)����� �,���������N������������������������� ��������C����������������������� ���3���?��)����� �����������N�2. AMB UNA CORDA
� ����������������� ��������=��=����������M��� ����� � ��� �����C������������)������������?���������������=�����)� �,���$���N�
3. QUANTS SOM? #���� �)� �� =�� $� C�� ����� ���� 6���� 6��� �)� ������ =�� ���� �� �=�� ������#�����)�������������=�� ����C�����=�� �������?�����M����MC���F�F��������� ���N
4. LES 21 AMPOLLES DE LLET (�� ����� �������������������������������������
• <���������������• 9��������������������� ������• �������������C�������������• ������������ ��• ���������������������
Pàg. 6 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
&��������������������������� ����������������%��� ����������� ��������������� ����� ��������%� ��� ���� ������ C�� ��������� ����� ��� ���M��C���������� ���������������N�5. PARTIM UN QUADRAT?
�������� � �� C������ ��� ������� �� �� ��� ��� � ��� ����� ������ ��� ��� ���M��$���%�������������������C������� ����������������� ����������=���������� ����M�%����������1��=�����������$=�����������������=�������������� �,����������������1�
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 7
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL
1. GARROFERES I OLIVERES�����F����F�F������������3��=���������%����C�����������������2�X����������������������������������������9��=���������� )���������������?��)��������������=��C�������������������������������)����������������N�
2. QÜESTIÓ D’EDATS �� ������ ��� ����� ��=S���%� �� ���� � C�� ������� ��� 7���� )�� ��� ������ ����������������%�.�����)��������-�� )��C��6������C��������)����� ��-��C��������
Edats Pere Laura Joan Anna ��������������-�� � � � ������������ � x � ����������������R����� � � � �3. DE LA A A LA F
?������� ������������F�F����������=S������$���%���������������������������M��%��������������������=��������� ���M�����N�
Pàg. 8
Societat
4. L’À����������
�5. CU
?��
���t d’Educació
ÀREA OM�$ �������=S��������������
BS APIL�������� ���� ��
Matemàtica
MBREJA���������=��� ���������:�
LATS ��F�F����� �� $M
a de la Comu
DA � ���R���� �����
������ ��=S ������
unitat Valenc
����)���������=�� C
S�����������
Problem
ciana “Al-Kh
��3� %�����C�� �����
�� ����N�
es Olímpics.
hwarizmi”
������$��������� ��$
�
G����$�� �
Nº 66. Octu
��� ���,$���� � �
��=�N� !�
bre 2012
����������,����
��������
�
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 9
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL
1. REPARTINT MONEDES ����%� B����� � ������� ������ ��� ������ 9�� �������� &� ������� ���� �����C�����������%�B������������������ ������������B����%� �������C������ ����� ������ ��� ���M� �� ���� ��� �������� ?������ ������� ��������� ������������������N�
2. LA BANYERA &����I��C� �����������������-�������� ����M���%� ������-������� �������<� �����&�������-����)����������������������%��C���������������9�� ����� 7������ ��� ��� ���-���� ���%� C���� ������$� �� � ���/��� ������������M�������*����������I�����������N�
3. SANGAKUS���� Sangakus ���� ��������� ��� ����� ����=��� ,����R�� � �� ������ ��� ��� $���%�������� ����=�� R����%������������������C���������������������������)������������������)�%��)���������������������������������=S���� ���=�Y� ��� �������� ��� �� �� ���� ��� ��� ����� ,�������� ���G�=���Y�� &�=��� ��� C�� ����� �C����� C� ������ �� �������� ���� �)�%�������� ��� ������� ��� ������� �M������ ������ ��� ���� E� ���� ������� ���������=������ ���F��������������������� ����������������� ������� � ���=���������������������
R
r1
r2
Pàg. 10
Societat
4. HE�����=���F�M�����F�
5. PO������Z��Z��
t d’Educació
EXÀGON������ = ���� �������� ��M$=�����C����� C��M$=���C
OTÈNCIE������ ��������CG� �����G� �����
Matemàtica
S DINS D ���F�M$��� ��� ������C����� �C������������ F�� ����������
ES ������ ��C�����1���������3��������<
a de la Comu
D’HEXÀ=�����=����� ��� ��F��= �����)���������� ����� �������)
��:�V[ \ ����������+N�N�
unitat Valenc
GONS �����������M$=��� ���� .�� ������M������ ��� �����)���������
�3] \ VV^�������� �
Problem
ciana “Al-Kh
�����a��A���� ������� ���C�����������=��� a� ��������������
����
es Olímpics.
hwarizmi”
��������R����� ���� ����� �����=���������� C�� ���)���V���
Nº 66. Octu
���M���������� �,��� �� ��� ������=������=
bre 2012
��O�������� ����� ����������� ���=��_`_abc ��
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 11
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP
1. ESTACIÓ C1 ��������������������F�F������=��������������������������������������C����� ,=����� ���M����������= �$���&�������C������������������������V�� � � ���� ����%� C������ ��������� �����N� K�� �)� ������ ������ ������������L��
2. ESTACIÓ C2 ��������������������F�F���������C���%�������������$�������������,=����7��� � ����� ��� ,��� ���� ��� ����� ���CR� ��� ������ )�� ��� ������ ?���� �����������������������������N� �&���� �����C��������������������<�����%�C��)�����������������������N�
3. ESTACIÓ C3 �����������������C���)�����M��M���?���)���������������������� ������C����������M��M��M�N�
4. ESTACIÓ C4 '��� � ����� ��� ������ ��� �������� ��� ��F���� C�� F� F�� ���� ����� ��� ��M���=���������� ��������� �����������C��,�����$����%���M�������������������� ��� ��� ������ � ��� ���� ��������� ?����� ������ ��� ������ F� ������� ��������������N�&� ����� ����� ������ ������ ��� � �V� ����%� ��=���� ��� ����� C�� ��� %� ��C����������������������������N�
5. ESTACIÓ C5 '��� � �������� ��� ����=� ��� ��F���� ����� ��� ���� ��� ����� ���� ����� F������������������������� %������������������������F� ������M����� ��-��9��� ��?��)����� $M ��������������� ��C������ �����N�
Pàg. 12 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP
1. ESTACIÓ A1 ������������������F�F������ ����F���������������������������������&�������2�������������� �%�C������������������������������� �N�
2. ESTACIÓ A2 ��� =� ���� �� �� ��F������� F� F�� �� �������� '��� � �����/��� � �����������������M9������� ��������?������ ���������� �������� N� K��������M� ��� �������� �� �� �� ����������������������L��
3. ESTACIÓ A3 ��������������������F�F������ ���C���%� ��� )�� ����=�����������=����������������������������&�����������������������V��� �����������%�C�������������������� ���C�������������N�
4. ESTACIÓ A4 ������� ��� ��� � ���C���� ���C��� � ��� ���=��� ��� ��� ���� ��=������������C�� �����V%V� ��������� ������
5. ESTACIÓ A5 �����������������C���F�F������������� �������� ������� ����C��F�F�������������������������������%�C������ ���������������M���K�� ��������2�M����L����� ���� ��������������������M���N�
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 13
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP
1. ESTACIÓ B1 ���� �,=���������������.���������������������������7�&&��3�%��������O��/��%������,��������� ������������������������������������������%�������)�����������������������;�.(��2���?������$����F���������=����������N�
2. ESTACIÓ B2 � ������M�����C�������M�������������������������%�C������� �����������R����� *���� ���� � ��� ��� KF��� ��� �� ��O��� ���� �L� C�� �=��� ���������������������C�����������������������M���N�
3. ESTACIÓ B3 ���� � ,=���� ��� ���C��� ��� ��M%� ��C� � � ��� ������ ������� ��� ��� �����������������?���)����������������C������������������������*�������������������������;�.(�N�
4. ESTACIÓ B4 ���������������F�F���=�������������C����M���������������������������$�C���� ���������������������C������������������������������������$��=������������N�
5. ESTACIÓ B5 ���������������C��F�������������������������������C��������/�������������=����������� �,������������%<�� ���������
Pàg. 14 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
�
SOLUCIONS
XXIII OLIMPÍADA MATEMÀTICA FASE PROVINCIAL
PROVÍNCIA DE CASTELLÓ
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 15
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL
1. ELS PORTALS DEL MEU CARRER... Solució: En el primer cas el major és el número 24; en el segon cas el menor és el número 17. .�� �,���� ��� R���� )�� ���:Vd��� C�� ���� ���� ��� �� ���� ��� �������������������������������������� =�������� �����������%�3%���%������2����� �,���)�������������� �����2��.�� �,������� R����)��3�:2d������������������������ ���������������F�F�����������������������C������������� ��������������������������� ����������<%��+%������9����� �����)�������������� �����<��
2. AMB UNA CORDA Solució: L’àrea del cercle és major.
Quadrat:
• �����������C�����:�e f gha �f V�i��� �• j��������C�����:�kl f V \ V f �V�ig���
Cercle:
• E�������������:�m f ghng\op f qho �i��• j��������������:�kr f s \ tqho ug �f qhho �ig��
�� �C���qhho ��)�� �,���C��qhha f �V%���$���������������)�� �,����
Pàg. 16 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
3. QUANTS SOM? Solució: La família està formada per 4 xics (Joan i tres més) i 3 xiques (Maria i dues més).
4. LES 21 AMPOLLES DE LLET Solució: &� �� ���� � ���� ���� �� ���� ���� ��� ��� ����� �� �������� ����� � C�� ��������� F� F�� +%�� ������ �� ������� ������ 9� ��������%� �������� �� 9%�� ���������������!� �� � C�� �������� F�� ��� ����� <� � ������� n< \ 9 f ��p� ��� �������������������������������$:�
A B C
1 de 100 ml
1 de 100 ml
1 de 1 litre
1 de 1 litre
1 de 1 litre
1 buida
1 buida
1 de 100 ml
1 de 100 ml
1 de 1 litre
1 de 1 litre
1 de ½ litre
1 de ½ litre
1 buida
1 de 100 ml
1 de 100 ml
1 de 1 litre
1 de 1 litre
1 de ½ litre
1 de ¼ litre
1 de ¼ litre
5. PARTIM UN QUADRAT? Solució: La longitud de la base dels trapezis és 4/3 v. 7��� ���������������C����$��������C������������ig%� �C�������������������������)����$�������q_��ig��
� �
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 17
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
7�����������������������C���������� ������ ���������������������������=����������������������=�������������%�����C������� ��� ��������������=��������������������C�����C���)�w�����������%V�� ��������%��������C����������������$����)�:��k f w \ ��V� �
��� �)����� �C���C�����$����)�:�k f �9 \ �2�nxyz{�yi|m}~{�{��}��}m�p f �����������C�������:� w \ ��V� f �������������� �������� R��������������%����� �������������������C��w f q_���
��
Pàg. 18 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL
1. GARROFERES I OLIVERESSolució: El percentatge d’oliveres és del 56%. �� ����2�X������������������������3�%���� :�
w \ ��2 f 3�� � w f 3���2 f ����{m|m}��7��������������������=�����������������)����������������%����$:���� � ����� � 9� � �� f �2��V� f ��V������C�����������������V�X�
2. QÜESTIÓ D’EDATS Solució: .���������=S�������������������������������������� �:
������ Pere Laura Joan Anna
��������������-�� �w � � w � V w � 3� w � 9������������ �nw � �p � w � 9� w � �����������������R����� �w � �2 w � �� w � <� w � ���
3. DE LA A A LA F Solució: .��������������� ����������������������=S������=�� ���������:�
Problem
!����B�B�A�A4. L’A
Solel 7&��C� �
j��
7�����
mes Olímpics.
�������%����;��;�A�B�;�A�;�AREA OMlució: L’à75%. ����� ����������������=������
���� ���
�����������������$����
. Nº 66. Octu
Societat d
���������
MBREJAàrea de la
�$ ����� ���,�� ���R��
,���:��
���������������%�C�
ubre 2012
d’Educació M
����� ��
DA a zona om
�����������������������������
s \ 2g� ���������������$:��s \
Matemàtica
�������:�
mbrejada
�� ���R������� ����%��M���
� s \ �g f�=��C���\ 2g f ��
de la Comun
a es �������������,����� �����:�
f ��s��i��������s��ig�
nitat Valenc
�v� i el
���� ���� ���R����
�ig����������
ciana “Al-Khw
percenta
����������������2
�� ��$������
Pàg. 19
warizmi”
atge és
��=���2������
����%�����
Pàg. 20 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
�M�������%�������������=����$����� ���,�������$:���s��s f ��<V%����C�����������������<VX���
5. CUBS APILATS Solució: G������ �������� ���������������������C��������������C��F�F���������� ��������CR�������� ������ ����� ���M����������C�����������������%� )�� ���� �M*� C�� �� )�� ����� � �� ����� ��� �� ���� �� � � $M �������������C����������������H������������J%�)������%������� ������������ ���CS������ ���CR� ��� ���� �������� ��� ������ ������ ��� ��=��� ��������� ������
�
����C�������� ���:��Nombre màxim de cubs: 24 Nombre mínim de cubs: 16 �
����C�������� ���:��Nombre màxim de cubs: 27 Nombre mínim de cubs: 17 �
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 21
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL
1. REPARTINT MONEDES Solució: Carles tenia 9 monedes, Anna 8 i Beatriu 13 monedes. &=�:�w:��� ������������ �������������������:��� ������������ ���������������x:��� ������������ ����������B������.�������������������������������������������������=S��������:�� Inicialment Carles dóna 4 a
Anna Beatriu dóna 5 a
Carles Anna dóna 2 a
Beatriu
������� w� w� � 2 w � � w� � �������� �� �� � 2 � � 2 �� � ���B����� x� x x � V x� � �9��� ����� ����������9�� ������� ������)����������� ����������������������������)���� ���M��� ����K)���������L���� :�
�w � � f ��� � � f ��x � 9 f �� � � w f +� f 3x f �9�2. LA BANYERA
Solució: La banyera s’ompli en 108 minuts.
&=� C����������������������-���������� ����������� �g^�����=�����M����_[������� ��������������:���< � �9� f 2� � 9���3 f ���3�7�������%���� ��������3� �����
Pàg. 22
Societat
3. SANSol�������������
���C��������� F�A��
���
t d’Educació
NGAKUSlució: �� ����������������������������M��
���M��%����������B��≅�Δ�7�������� ������� )�%��������������:������= ��
���������C2n� �
Matemàtica
S
�������������C������ ��
������ ����=�������7"�≅�Δ"?� ��������������������=����Δ��E������������
��������mqpg � 2n
a de la Comu
�� )��C�� �������C��R����=�
��� ����=���C���C�����������=��������
Δ�7"��Δ"����F���1�� f w ��� f � �����=����n� � mgpg
n� � mq
unitat Valenc
���F�����������=����������E�
�� �B�%�C�:���=���� � ��������� "?������1���������� �mq � �� �mg � ������ ��f wg � �mqpg � n�
Problem
ciana “Al-Kh
���� ���������������;C� ��
������� ��
��������� ������=���=�������� :�n� � mqpn� � mgp��:��g f � ����k�� mgpg f
es Olímpics.
hwarizmi”
����M� � ���������������������
���=���:�
� ������=∠��������������
f w�f ���$�ym}��}�� f ����g
Nº 66. Octu
�����$������������������
Δ�7"� �
=���∠�%� �����������
}z��� f 2�
bre 2012
$ ��������C����������
Δ"?���
�������� ���M��
�g�
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 23
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
4. HEXÀGONS DINS D’HEXÀGONS Solució: .�����������������������������F�M$=����C�������� ��%������� ���������� ���� � 2� %� ���� ����%� ������ �C������ $����� ��� ��� ��� ���=������=�� R������������� 2� ������� ������ �����$� ��������������� ��F�M$=������ ������� �. (����� ��� �� ���� C�� ��$���� ���� F�M$=��� ��� ���� ���������� :�k f �\�g ����� )��������� ����������F�M$=���� ������� ��KC���������������������7�$=����L%���� �C�:�k f _`_¡cg ��C�������������$������ ������ �����������=������=�� R����%������� ��C������V����$:�
{q] f 9`9{g� \ ¢�2£qa�
7�������:�9`9{g� \ ¢�2£
qa f 9`92qg � {g f � \ 2g � { f 2`��5. POTÈNCIES
Solució: a) N acaba en 10 zeros, b) N és múltiple de 1089, c) N no és múltiple de 117. D��� � ��� ����� C������ ��=����� ������ ���� �������� �� � V� ��� �������� ��������������������� ������(�� %��������� ���:�
¤ f n9 \ Vp[ \ n�g \ <p] \ nV \ ��p^ f 9[ \ V[ \ �g\] \ <] \ V^ \ ��^f 9[ \ Vq_ \ �qh \ <] \ ��^ f n� \ Vpqh \ V_ \ 9[ \ <] \ ��^�7��������G�������������1�������� ���3+ f 9g \ ��g���C��������������� ���M�������� )��=���������������������� ������������������G%���������������)�������� ���< f + \ �9� � ����9�������$���� �������� ������ ������������G%� ��������������)������ �
Pàg. 24 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP
1. ESTACIÓ C1 Solució: Caben 484 persones. .���=������������������W����� �������������� =�%����� ������������������+����������V� �������������=�d�2V� ���������������������������������9�2� �������������=d�9�2� ������7�������%�����������������������=$������23�2� ��������� �F�F��V���������%��������������)�����23�2�I�V�d��2�� �������&� ����� �������� ��������� ��V� �����%� ���� � ����� �� ��V� I� �2�� d� 232�����������
2. ESTACIÓ C2 Solució: El preu de la coberta és de 520.66 €. .�����������$� ��� ��������9������������ �M����V� � �3����������� �M���3�� %����C���������������������������<�V�¥���33�d�<2�93� �������������$����<2�93 \ <� f �V������������
3. ESTACIÓ C3 Solució: La superfície del sostre és 608 800 cm2 ������C��� �����2� ��������� ������V�����������=��7��� ���������������=��� �� ������ ��� ��� ���=��� ��� ���� ������ ��� ����� ���� ������ ���������%�,��C��������������=���������� �����%�)������:����V \ � � ��3� \ � f �V����7�������%������������������������)��������33� ��d���3�3���� ���
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 25
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
4. ESTACIÓ C4 Solució:
a) Hem d’encomanar 49.75 m.
b) Costarà entre 597 euros i 746.25 euros. #���� ����������������� ����� ��C�������������F�������� �C��������� �����������)����:����<� � ��3V � <�V� � ���V� � ���� f 2+�<V�i}�m}����M��������������������������2+�<V \ �� f V+<�������2+�<V \ �V f <2���V�������5. ESTACIÓ C5
Solució: Podem ficar 10 files en cada rectangle. ��� ��F���� F� F�� ���� ������=���� ��� ������ ��� ���� � �������� ���� ���� �%������� ������=���� ������ �� ������ ��� ���%� ��� �������� C�� )�������������������-�����:�9��¦ ����¦ ����¦ ����¦ ���� � ���� � ���� � ���� � ����¦ ����¦ �9��Z������%����� �������������������������������=�����
��
Pàg. 26 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP
1. ESTACIÓ A1 Solució:
a) La superfície és 703.35 m2.
b) Caben 2814 persones. ����� ���)�������=������9+�3V� ����������� ��$�������<��V� �����%����C��������������$�������<�9�9V� ���&�������2�������������� �%��������������������3�9��2�§�3�2���������������M ��� �����2. ESTACIÓ A2
Solució: Necessitem 169 cartolines. �����������)����$ ��������9��3� �����%�����������������)������32� ���M*�����������������������%����$�����������9� ��d�����9���� ���.�$���������������������)������� \ 9� f �9���ig���7�������%�����������9��: �9� f ��3�<9 ¨ ��+������������3. ESTACIÓ A3
Solució: Caben un total de 172 persones. ��� ���C��� ���$� ������� � ��� ���� � ������� �� �������� �����%� ���*����� ���� �������������=��%���������������������=�����%� �������������������������M������������� ������ ���$� ��� ���� ���� ��� ������ ��� ���V� ������ ��� ����=� � ����������������3V� ��������� ���%����C���������������:�� \ ��3V � �� \ ���V f �3�<�i}�m}�� f ��3<���i��
Problem
&����§��4. EST
Soldia&���������� A��7�����M
5. ESTSol.��<��7K�����C����
mes Olímpics.
����� �������������<�������TACIÓ Alució: El agonal és�� ���� �����������,����K�� �F�F��V������ ����� �� �����=��������M�������=�
TACIÓ Alució: 120��M������ 7��� ������� ��=�� � ��� �������� ���������
. Nº 66. Octu
Societat d
������ ������������������A4
volum s 29.84 m��$�����������������V� L���������%������������������ ��� ����*��������g�����������©g fA5 0 matrícu ��CR���� ����2�=�� �� �� ��� �2� �� ���� ���� ������2 \ V
ubre 2012
d’Educació M
������� V��������
del trinqm. �CR������� ���������������������������V ����$���3�< \ V�V�=����� ����=S���� g f �3�<g��C�����f �+���g
ules. �� �������� ����,��L�� A� ������������ M����%V f ���� �
Matemàtica
�� � � �� �F�F��9��
quet és
���������������7�������������������$���� V \ � f����V \ ���V f���� ���C �����:g � V�Vg ���$:�� ���Vg �
�����������C���� �� ��� ����� C�� ��%� �M*� ��� ��������
de la Comun
�� ����%���������%�
aproxim
����������������������������:����V�i��f +V2�++�i��%� �� � � f �+�� �© f �
����%��%�9% ���������M�� �� ������ ��� ��� C�����
nitat Valenc
������� ���������
adament
�������=$��������� ���K�� L��
i_�� ��� F� ����i���+�32�i��
�V������������������
ciana “Al-Khw
�3<�:V������������
t 955 m
������CR ���� �
��� ����
Pàg. 27
warizmi”
d� V<�2����<�%��
m3 i la
R���F� ���� ��
���� ���
Pàg. 28 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP
1. ESTACIÓ B1 Solució: Ha recorregut 19.24 metres. .�� ���$���� ��� ��� ����� ��� 7�&&�� 3� �� ��� ������ ���������� )�� ��� ���<<� ������ � ��� ����� ������� ��� ��� ������ ���������� ��� ������ �� ��� ������ ���� ����%� �M�� C�� �������� ��� ����� �� ��� 7�$=����� ��� � C�� ��� �������������������$����������3�� ��.�����$������������������;�.(��2����������������������)�������9V� �����%��������� �� ������� � ��� ����� �����7�$=����%� ��� �C�� ��� ������ ����������29� ��.�����$�������������$����3��¥���29�d��+��2� �������
2. ESTACIÓ B2 Solució: Podem formar 15120 nombres. .��� M����� ���� �%� �%� 9%� 2%� V%� �%� <%� 3� � +�� ��� �� F�� ������� ��� �� ��� �������� ����� �C������ ���������������������M������¥�¥9¥2¥V¥<¥3¥+d9+�� ���� ����� ������� ��� 9%� �M�� C�� ���� ���� C�� ���� �� ����� �=��� ��������������F���������������M��������K�%�2%�3L�������� �����C����C� ���������������� ���/�/�/�/�/�/�/�����2���3�������� ��� M���� ����� � ��� M���� ����� ���� <� M����� C�� ���� � � ������� ����� ���� <� M����� C�� C����� �����%� )�� �� ��%� ��� � �< f <ª��� �����C�������������%��������������C������������2������������������3��7������������ ���� ��������������<ª \ 9 f �V������� ����������������� *�����
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 29
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
3. ESTACIÓ B3 Solució: La probabilitat és de 15.8%. .������������������������C���)�����2� ���� ����M��V�V�� ��������=�d���� ���.����������������������������������;�.(��)�����2� ���� ����M���2V� ���� ����=� d� +�3� ��� .�� ����������� C�� ���� � ��� ������� ������ ��$������������������������������������K����� �������������������������L����$���������:�+�3: �� f ���V3����
4. ESTACIÓ B4 Solució: A 3 metres. .�����$����F���1���������������������������� ����������� ������)����������� �������8���1���� �� ����O����� ����=���%� �����/��� ����� ���M������������������%����������C������������CR����$��=����)�����9� ����������M ��� �����
5. ESTACIÓ B5 Solució: .������� �,�������$����� ���������������������������� � ���������=����������������������=��%������������ ������� � ���������=��� )����K��� C�� ����������L�� !=������ ����� ������ �� ��<�� � �W�����%� ������� � ��������������%�C�����$��������������������=����� �
Pàg. 30 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
�
ENUNCIATS
XXIII OLIMPÍADA MATEMÀTICA FASE AUTONÒMICA
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 31
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)
FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL
1. NOMBRES DE TRES XIFRES ?������� ���������������������M���������C���C�������������������M������������������������M������������������%�������M�� �����M�������������������N�
2. LES GALLINES AL MERCAT A���=���=�����F������������=���������� ���������F�������=������������� ���M��C�����������������
• &�,��F�=������������� �����¦������� ���/��������C����F������������������%���F��������=������ ��������• &�,��F�=������������� ���M�����C���%��� )����F��������=��9�� �������¦�������=�����• ?������=�������F������������������������������F������������������1���N�
3. ELS GERMANS D’EVA �����)������=�� �����������������������������������)��9�%������ �%��9��?�������������������������=�� ����������N
Pàg. 32 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
4. MIREM UN RELLOTGE... ?��������=������������=�������������=���������������=����� �������=������N�?��������=������������=�������������=���������������=����� �������=��������N
5. QUANTA FUSTA NECESSITAREM? '��� � ������ ��� ��� � ��� ����� C�� ���������� � ���� �������� ���������� ��� ,�=��� ��� 2� =������ �� � ��� ���� ��M%� ��� ����� ���� =������ ����=������������C����� ��$�����.���O����������������������)�����3�� ����� ��$���������)�����3�� ��� �)���.�����������������=������)�����V�� ��
�
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 33
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL
1. CAFÉ TORRAT ������R�������«V��������������� ������/����&����� ��������� �������R������K������������L��������������C��=�� %���C������F���������������C��=�� �������R��������������=��-��������X������������������� ���N�
2. TORRE DE HANOI DE 3 DISCOS ���,������������������D�����������M����������������������������������������� ��� ������9�� �� ��� �������C������������ ���� )���������� �� �����=���� � C�� ��� ��� ���� ���I������ �� ���� =���� �� ��� ���� ������ )�� �����?��)������� ���� �� ���� �� ������������������������������C�� ��������� ��=���������C�� ��������� ��=��BN�
�� �������������:�Nombre de discos Mínim nombre de moviments �� ��� �9� �2� �V� ���� ��� �
Pàg. 34
Societat
3. FA(���M�=�����?
4. OC���
5. AN8���$���
t d’Educació
MÍLIES ����/�������� ����� ���� ������������������� TAEDRE����������
NALITZA���M����$���%� � ������������
Matemàtica
ESQUIAMC������� =�� ���MC���=�� $�� �������F�
E �� ����$�
ANT L’EX�������F����� ���������������
a de la Comu
ANT �������� $� C�� �����F������������C��������=��
�����������
XCURSI������������� ��� ���$���-�C��
unitat Valenc
�����F����� �)� F��� �����������������������
���������
Ó �������=$���� ����F�������
Problem
ciana “Al-Kh
���������C)�%� ��� M��=�� ����C���N
�������=
������������ C�� F�����=�����
es Olímpics.
hwarizmi”
C����A�MC���� F��� )�����N��
����������
�������:���� �� �����M����
Nº 66. Octu
�MC���F� ���� � ����������M
�� ������
�%�B%��%�A%���� (� �)��������
bre 2012
�� ������ �� ����MC����
������
��������)� ������
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 35
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL
1. DEBAT A LA TELEVISIÓ 8����������������M����������=�� ��������C���������������������������������CS������������������������������M�C�=��-���������������� ������ ���� )�� � ���:� �� ����� �������� ���� ������ ��� �� �������M��������������������C�������C��������F����������������������� ������� �����������������C������������������%�� �������������=S���:��
• �� ������ C�� F�� =��-��� �� ������%� ����F����� F�� ��������� ��������������������������������• ������)������C�F��=��-��%�����F�����F�����������������������������������8��������������������=�� ��V������������������������=��-������������������������������&�����������������������C��F�F�������������������������C��������C��=��-)�������������C������ �������=��-���C�� ���� C�� ������ C�� =��-)�� ��� �������� C�� ��� ������%� C���������������������������������������������������N�
2. QUADRATS PERFECTES
(�����������������������z���������C����� ¬gh¬��)����C����������������3. COMBINANT NOMBRES I LLETRES
���������������������®�%�B%��¯�������� �����®�%��%�9¯��A��C������ ��������������������������������� �������� ������C��������������������� ������� �������� �����������������������������K)������%���������C��B� �B�������C���°�����������������������C��9LN��!���������������������������� ����N�
Pàg. 36 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
4. DIVISORS ����������� ��������������������������[��
5. TRIANGLES I ÀREES .�$������������=��� �����������=�����,����)��3±g��A���� �����$������������=��� �,����
Problem
1. EL ����������X����������²²²²
2. LES
mes Olímpics.
F
PAVIME��� ��������)������������X��� ����� ������ �����=����� ²���������²���������S TRAPE
. Nº 66. Octu
Societat d
PRO(TER
FASE AU
ENT ��������������������X���� ���������� ������=����C����� ��������������d�²��������d�ETES
ubre 2012
d’Educació M
OBLEMRCER CI
UTONÒM
����������������������� ����������� 7������ �� ��������
²²²�X�²²²�X
�(� ������;�������=�
Matemàtica
MES DEICLE DE
MICA – P
������� ���� ��� ����C��
�)� �� ���� �������������=��������
de la Comun
E NIVEE PRIMÀ
PROVA D
������� ������������������
nitat Valenc
ELL C ÀRIA)
DE CAMP
�$��C�������%���C�����
ciana “Al-Khw
P
F�F������������������
Pàg. 37
warizmi”
���������� ����
Pàg. 38
Societat
3. L’A;��C�&�����
4. PR
���7�������
5. EL ;�����7����
t d’Educació
AJUNTAM�� �� ���C������������ �����������$��
ROHIBIT
7������������-���������� ��� � ��������RPLÀNOL� ������C�������������� ��� ���
Matemàtica
MENT C�� ��� ���������������������� ��N�
T APARC
��$����M�����F����������R����H�#BL ���=���� ����)������ �����M��N�
a de la Comu
����� C���� R�� �������CAR
M�����C�������������������B"&�.�A"
�������������������� �����
unitat Valenc
�� ����� �������������:��
�)������������ ����"&JL��
�����%�B�������%�������C���
Problem
ciana “Al-Kh
��,��� ���%�C���
���������K��� ��=
��������������������������������
es Olímpics.
hwarizmi”
���%� ������ �����
�R���M����� ���
���������������������������%�)��
�
Nº 66. Octu
������� ����F�������
���������������������%�C
bre 2012
�� ��M����������
������N���)�����
Problem
1. LA '��?
2. EL
�
mes Olímpics.
F
MANIFE�� �����������=���
CALVAR
. Nº 66. Octu
Societat d
PRO(PRIM
FASE AU
ESTACI��� �������������
RI
ubre 2012
d’Educació M
OBLEMMER CIC
UTONÒM
Ó �������������������
�'���������'�����?������Matemàtica
MES DECLE DE S
MICA – P
���������M�����N�
�� ���������������� =� ������ � ������� ����������� �������������
de la Comun
E NIVESECUND
PROVA D
������
������� �=�������� �� ��F��/��� � ����������� ����� �
nitat Valenc
ELL A DÀRIA)
DE CAMP
��������)�C�������F������� F �� �������������� �����������
ciana “Al-Khw
)
P
�
)����������
F� F�� ������ ��� N� K�������������
Pàg. 39
warizmi”
�����
����������M9������M����L���
Pàg. 40
Societat
3. EL ! �
7�����4. LA
?���
t d’Educació
XALET �=���C�
�������C��������FONT ��� )�� ���������)��
Matemàtica
������������
������ ����������C
�� ���������� ���M
a de la Comu
����=����
�� ������C������
��� ��� ��M��C������
unitat Valenc
����=��
��� ����������������
;���%� ������������
Problem
ciana “Al-Kh
����
���� ��������=��
����� �M�����N
es Olímpics.
hwarizmi”
����������=����
� C�� �����
�
Nº 66. Octu
=�������
������
bre 2012
������%�
���� ���
Problem
5. EL ���
(��V%�����
mes Olímpics.
NOSTRE����������
�����������%�����V��������
. Nº 66. Octu
Societat d
E JARD�� ����C
� ����C�������%�C ����������
ubre 2012
d’Educació M
Í C���������
����������C���)����N�
Matemàtica
����������
��C��������� ������
de la Comun
����������
����� ���� ����
nitat Valenc
��������������������
ciana “Al-Khw
��M�����������������
Pàg. 41
warizmi”
��������C�����
Pàg. 42
Societat
1. EL
2. LA ��� R'��������
t d’Educació
F
SÍMBOL
PORTAM�R��.R�����������������F������ ��� �� �����
Matemàtica
PRO(SEGO
FASE AU
L DE LA
A DE L’ES�D� K&�� !������� �������= ��$��� ���������
a de la Comu
OBLEMON CICL
UTONÒM
DEMOC����;������ ����������������,�����
SGLÉSIA!!!L� ����� ������� ���C����� ��� �������%�)���
unitat Valenc
MES DELE DE S
MICA – P
CRÀCIA
����%�����������A� ��� ��� � �������
A ����� ��� ����$���������������� ��� ��������%�����
Problem
ciana “Al-Kh
E NIVESECUND
PROVA D
��������� ���$��� ����C���� ���$��
�� ��� ������������� ���%��I��=�)��%� ����� ��,
es Olímpics.
hwarizmi”
ELL B DÀRIA)
DE CAMP
��� ���,��
�� �� ����
����� H.������������������������� ���,����� �
�
Nº 66. Octu
P
�� ���� ��
���� �����
�� ��� ��� ������������ ��=��� ���� C����������
bre 2012
�� ����
�� ��-��
��J��������%�������C�� ��������
Problem
3. EL
4. EL ����C
5. EL ����
mes Olímpics.
CAMPA
PLÀNOL��M �� ��C�������
PLÀNOL����������
. Nº 66. Octu
Societat d
ANAR
L �� ������������ig��
L �����C���
ubre 2012
d’Educació M
�� ��� ��=���
��� ���� �
�F�����1Matemàtica
�� ���,��� ������ �����������
������ ���
1����������de la Comun
���� ���� ����=�)�����L��
&���%� ��
��$������nitat Valenc
���%� ��� ��� K�� �
����� ��� �
�����������ciana “Al-Khw
�� ������)� ��� ���
�� ���� C
�
��&�����
Pàg. 43
warizmi”
��� ���������%�
C�� ��
Pàg. 44 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
�
SOLUCIONS
XXIII OLIMPÍADA MATEMÀTICA FASE AUTONÒMICA
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 45
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)
FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL
1. NOMBRES DE TRES XIFRES Solució: 23 nombres de tres xifres. M����������d���:����%����%�²%�++��M����������d���:����%�2��%��9�%�32��M����������d�9�:�9�9%���9%�+99�M����������d�2�:�2�2%�3�2�M����������d�V�:�V�V�� ²�M����������d�+�:�+�+�(�����d�+¥2¥9¥�¥�¥�¥�¥�¥��d��9��� ������
2. LES GALLINES AL MERCAT Solució: la primera grangera ha venut 5 gallines a 12 monedes cadascuna, i la segona grangera ha venut 3 gallines a 20 monedes cadascuna. ��� ��� �k������ �������=�������C������ ����� ����=���=���� �{������ ������� �������C����������=����������� ��� �³� ��� �� ������� =�������C�� ���� ��� ��=���� =���=���� � |� ����� ������� �������C����������=�������&��� �C�:�� k \ {� f �³ \ |�� k \ | f ����� ³ \ { f 9���� k � ³ ´ ���
Pàg. 46 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
�� ���� �������������������³��������C������C���=�� �����C���������������9�%������M� �����%�9%�2%��%�+��&������ �³ f �� � �{ f �3����������� �����������������&������ �³ f 9� � { f �����| f ��� � �k f V������� ���M��������� ����=�������������,������8��������%������%�)��C������� ����=���=����F�������V�=������������ ������� ��������%� � F�� ����=�� ��� ������%� ������ C�� ��� ��=����=���=����F�������9�=������������ �����������������F���������� ���M��3. ELS GERMANS D’EVA
Solució: les edats dels tres germans poden ser 6, 6 i 1 anys o 9, 2 i 2 anys respectivament. �� �����������������������������������=�� ����)��9�%���������M� ����������������������������%��������� �����w%��%�x�������������������=�� $%��������C�������:�� w \ � \ x f 9��.��������������=�� ��������C��������-���������,������������������9�%�)������:� w% �% x� µ ©��n9�p f ¶�% �% 9%2%�%+%��%�3%9�·��� �C���� )���� )�:� w � � � x f �9����������� ��C���������������9������������������C���������� ���������� �� �������C��������������M�:�w% �% x� µ ¶�% �% 9%2%�%+·�� ���C���������������������� ��������9��������� ������:�� \ � \ � f 9�� \ 9 \ � f 9�+ \ � \ � f 9�+ \ 2 \ � f 9�9 \ 9 \ 2 f 9�¹̧º
¹»����*����C�����%������������ ���M����������������� ����9:�
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 47
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
� � � � � f �9� � 9 � � f ��+ � � � � f �9+ � 2 � � f �29 � 9 � 2 f ��¹̧º¹»�
Z������%���������������������=�� ���������������%��������-����+%��������-����������� �����4. MIREM UN RELLOTGE
Solució: a) La solució és 24, b) La solució és 44. �����F�����)�������=������������M�����������������3%�C���� )������������� 5. QUANTA FUSTA NECESSITAREM?
Solució: El volum de fusta necessari per construir l’escala de joguet serà de 200 �v¼. �� �C��F�F��2�=�����%�������������$��������������
f ½2 � f 32 f ���i�!��� )���� )������$����� ��$������e f ¾a � e f ¿a f ���i���������������=������)���������I����������%������� �����C���)���À f \ e \ �������� ���� ������������$� ��� � ���������� �������C�����=�������(��������� ������ ��� ���M�� ���������� KV� � L� � � ��$��� K�� � L� ���*� � �������������������À f Àq � Àg � À_ � Àa�Àq f e \ � \ q � q f ���i� � Àg f e \ � \ g � g f 2��i�À_ f e \ � \ _ � _ f ���i� � Àa f e \ � \ a � a f 3��i�À f e \ � \ n q � g � _ � ap � À f � \ V \ n� � 2 � � � 3p�À f � \ V \ �� f �����i_������� ������������������������������������������,�=������$���������i_���
Pàg. 48 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL
1. CAFÉ TORRAT Solució: Ha de vendre el café torrat a 13.75 € el kg. &��� ������Á�%���������������������������/������C���������3�Á��C��F������������������������������=��-�������X������Y=�������)�F��������������������«��3� f ��9�<V���������Y=�
2. TORRE DE HANOI DE 3 DISCOS Solució: 7���������������������������:��
• 7� ���F� ���� ���������������������������K��=������L������������������:�9� �� ������• �����=�������%�F� �����������������������������9:��� �� �����• 7����������F� ����������� ��� ��������������������� ��������������:�9� �� ������
Nombre de discos Mínim nombre de moviments
�� ��� 99� 9 � � � 9 f < f �_ � ��2� < � � � < f �V f �a � ��V� �V � � � �V f 9� f �] � ����� �qg ¦ � f 2�+V�z� �¬ � �
Problem
3. FASol���k ���� ����� ����9V�����
4. OCSol�$�
�$�
mes Olímpics.
MÍLIES lució: S’h��MC����C� ³% � � ©��MC����C� à �Ä%¤��MC������ Å � Æ ���MC�����¦ ��2� f ��� �����TAEDRElució: L’à���������$
����������
. Nº 66. Octu
Societat d
ESQUIAan aplegC�������©% Ç � È% ÉC�������¤ � � � �� ��9�=��� Ê���À � Ë������=������������ ���E rea de l’o���:�
�� :�
ubre 2012
d’Educació M
ANT at 20 fam���M���� É � ½% Ì �����=�� ������ �������Ë � Í � Î ���������:�V � � �
octaedre
�
����!���k
�
6��C��$�� !��MÀ f
Matemàtica
mílies a l’ ������=�� Ï���������:��:��Î�����:�� � � ��
és 346.41
�������=�� f������%���
kРf 3 \ ��
�������$ ����� ���������½ fM�������%
f � \ �9 \ ��de la Comun
’esquiada�� $����:
f ���
1 �v� i e
��������=���g � V������$����� \ V`9� f
����������������������������f Ñ<V � V�g \ V`� f
nitat Valenc
a. ��
l volum é
�����=����Vg f `<V������������`9 Ò
�����������������������MVg f `V�f ����`�9
ciana “Al-Khw
és 471.40
� :�f V`9� :��
Ò 92��2��
�������� �������%��M�����$ f V`��� Ò 2<��2
Pàg. 49
warizmi”
0 �v¼.
�ig�
����������/ ���:��
2� �i_
Pàg. 50 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
5. ANALITZANT L’EXCURSIÓ Solució: 7���������������������������������-���������������������������%�B%��%�A���������M���������������������������� ��������������CR������������������������� � ������$�����7��� ����������RM��� ������$���� ��������*����������������M��%� ���� ��������� ����� ������ ������$������������������������ ������)��������������������������������C����������������������������
• A����������B���� ���� ���°������������Y ����������������• A������B�������9�� ���� ���°������������9�Y ����������������• A����������A���+�� ���� ���°������������+�Y ����������������• A������A�������<�� ���� ���°������������<�Y ������������������������������M����������F����� �����¥��9¥��+¥��<d9�+�Y %�C�����$���� ���$���� ������ ��� ������ ���� ������-� C�� F��� �������=�� �����M����������C���������������������=S����=�$���:��
�� �
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 51
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL
1. DEBAT A LA TELEVISIÓ Solució: 232 persones van votar únicament al guanyador, 116 únicament al perdedor i 152 van votar als dos. ��� ������� ��� ������,��� �� ���� �� ��� 9� �C������ � �� 9� ��*=��������� ��� :��
• x:����������C���������������� �������=��-�����• y:����������C���������������� �����������������• z:����������C��������������������7�����=� �������� �����C��������=S����� �����������������������:�
�w � � � x f V���w � x f ���w � �� f � �&� ����C� � ��� �� ���� �C���� ���� �� � �������� � ��� ���������C���:�
��w � �� � �x f ����w � �� f � �& �����C�����������C�����:�9w � �x f �����C�%�,��� ����� �� �w � x f ������� �� �� ���� �� ��� ���� �C������ � �� ���� ��*=����� C�� �)� ���������:� w f �9�% x f �V��!��M��������� f ������
Pàg. 52 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
2. QUADRATS PERFECTESSolució: Els nombres buscats són: 0, 10, 16 i 18. D������������/���C�:��z�� � z f �g �� �z f � ����g� � �g f �� � ��� � �g�7��������� � �g�F������������� ����������������������%�)������%������������������������� � �g����:��%��%�2%�V%���������������� ���������������:�� � �g f ������ Ó���� �g f ����� Ó ����� f ������ Ó ����z f ��� ���g f ����� Ó ���� �g f ����� Ó ����� f ����� Ó ����z f ���� ���g f 2���� Ó ���� �g f 9���� Ó ����� Ô �Õ�� ���g f V���� Ó ���� �g f 2���� Ó ����� f ����� Ó ����z f ���� ���g f ������ Ó ���� �g f +���� Ó ����� f 9���� Ó ����z f �3�� ���g f ������ Ó ���� �g f �+���� Ó ������ Ô �Õ�7�������������� ����������������=���������������������:�0, 10, 16 i 18
3. COMBINANT NOMBRES I LLETRESSolució:
a) 3 lletres i 3 nombres es poden ordenar de 20 maneres distintes.
b) 7 lletres i 7 nombres es poden ordenar de 3432 maneres distintes. &����������,���®.�%�.�%�.9%�G�%�G�%�G9¯������������ ������� ��������������,��%�������M���M������� ����������������������������� ����%�������� C��� ����� )�� �C������� �� ��� ���� ®.%� .%� .%� G%� G%� G¯%� )�� �� ������ �������� �����������7�������:�
��_%_[ f �ª9ª \ 9ª f ���.���������������:�
��^%^qa f �2ª<ª \ <ª f 929��
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 53
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
4. DIVISORS Solució: La suma de tots els divisors és 2480437. �� ��� f V \ �%���� ���[ f �[ \ V[��!%���������%�������������������������������� ���Ö \ V×����Ø% Ù∈Õ������������� ����������������������������������� ��/���%������ � ����������:��� ��� ��� ��� �9� �2� �V� ���V�� �� �� 2� 3� ��� 9�� �2�V�� V� ��� ��� 2�� 3�� ���� 9���V�� �V� V�� ���� ���� 2��� 3��� �����V9� ��V� �V�� V��� ����� ����� 2���� 3����V2� ��V� ��V�� �V��� V���� ������ ������ 2�����VV� 9��V� ��V�� ��V��� �V���� V����� ������� �������V�� �V��V� 9��V�� ��V��� ��V���� �V����� V������ ��������.��� ���������������������� ��������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ �����A�����C�:�
Åq f ¢{q \ m¬ � �m � � f£� \ �^ � �� � � f ��^ � �� �.��� ����������������������=��������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ ��V��A�����C�:�
Åg f ¢{q \ m¬ � �m � � f£V \ �^ � �� � � f V \ ��^ � �� �.��� ��������������������������������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ ���V�d�V���A�����C�:�
Å_ f ¢{q \ m¬ � �m � � f£Vg \ �^ � �� � � f Vg \ ��^ � �� �.��� ��������������������C���������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ ����V�d�V9��A�����C�:�
Åa f ¢{q \ m¬ � �m � � f£V_ \ �^ � �� � � f V_ \ ��^ � �� �
Pàg. 54 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
.��� ��������������������C��������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ ����V�d�V2��A�����C�:�Å] f ¢{q \ m¬ � �m � � f£Va \ �^ � �� � � f Va \ ��^ � �� �
.��� ����������������� �����M��� ����)�� ���� �������<��� ������� ��������70������������� ������ ��9��V�d�VV��A�����C�:�Å[ f ¢{q \ m¬ � �m � � f£V] \ �^ � �� � � f V] \ ��^ � �� �
.��� ���������������������R�� ������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ ���V��V�d�V���A�����C�:�Å^ f ¢{q \ m¬ � �m � � f£V[ \ �^ � �� � � f V[ \ ��^ � �� �
!�������� :�Å f �Ú ÅÛ�� )�� ��� � �������<��� ���� � ����������70��������V���� ������ ��gÜqq ��Å f � ¢{q \ m¬ � ��m � � f£��^ � ��� \ �V^ � �V � � f ��< \ <3��22 f �23�29<�
�5. TRIANGLES I ÀREES
Solució: A����� ����� ������������������������������������� �:��&������:�.�����=����������������������=��� �,���)��V|%� ������C��������=����������������������=��� �����)���|%�����������������������������������)��]g��A���� ������ �� �����%� ��� ���� ��� ���� �������������� ������� )��K�� ����O���������=����������=����� ����������F��������L:�½ f 9{�{ f 9��7�������%���$������������=��� �,���)�:�V� \ ¢9�£ \ 3 f 9���
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 55
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
&������:�&=��Ý�����=����� ��)��������������������������=����{���|���������=��� ����� � C�� ���$� �� �)� ����=��� ����� �������� ��� ���=��� 9{� � V|� ��������=��� �,��%�� �����C�������%���$������������=��� ����������M�������/������������ �:� �� \ �{ \ �| \ �� Ø f 3� ������C����$�����������)�:��� \ 9{ \ V| \ �� Ø f 9� \ V� \ �� \ �{ \ �| \ �� Ø f 9� \ V� \ 3 f 9���
�� �
Pàg. 56 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)
FASE AUTONÒMICA – PROVA DE CAMP
1. EL PAVIMENT Solució:
216 taulells clars = 23.43 %
706 taulells foscos = 76.57 %
2. LES TRAPETES Solució: ���!E�8#;�EÞG�!�&�����+�V�� �������:��s \ �+�Vg��ig f �<99�+<��ig�������������!E�8#;�EÞG�!�&�����<�V�� �������:��s \ �<�V���ig f �9<V�39��ig����������+�?8�AE�(&����9+�� ����������:��9+g��ig f �V����ig�����������E��(�G0.�����2��� ��+2�� �����������:��2� \ +2��ig �f �93V2��ig���E��(�G0.�����<+�� ��2+�� �����������:��<+ \ 2+��ig �f �93<���ig���E��(�G0.������<�3�� ���2���� �����������:���<�3 \ �2����ig f 29��<���ig�
Problem
3. L’ASol ��������������������������������������������������������������
4. PRSol
5. EL Sol
mes Olímpics.
AJUNTAMlució:
���%V3 �dV��%2V� �d��������������������������������������������
ROHIBITlució: � \PLÀNOL
lució: Núm
. Nº 66. Octu
Societat d
MENT
3
V%�+�� ��������%���� �����������������������������������������
T APARC�ß� ßà� �L m. 5 del c
ubre 2012
d’Educació M
3%33 �d�2%2
��������������������
����%2V� �dCAR � ¼à� �ß
carrer de
Matemàtica
22�� �
������������
dV%���� �
\ á Ò âáâ
el Retor
de la Comun
�9%23 �d�
â� ß���v�
nitat Valenc
�%<2� �
�
ciana “Al-Khw
�
Pàg. 57
warizmi”
Pàg. 58 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)
FASE AUTONÒMICA – PROVA DE CAMP
1. LA MANIFESTACIÓ Solució:
¼á� áà \ ß� ã� � nâ� àà � ß� ã�p \ ã� �à�f �ãà� ��v�
�ãà� � \ á f �äãä� á�persones
2. EL CALVARI Solució: ���9 � ���2 � ���V � ���+ � ��� � ����V f ���9V���9� � ��99 � ���+ � ��23 � ��29V � ��2� f ��<�V�
���9Vg � ��<�Vg f ��+��i����9V��<�V \ ��� f 93���X�
Problem
3. EL Sol
4. LA Sol
mes Olímpics.
XALET lució:
FONT lució:
. Nº 66. Octu
Societat d
9�<�93<VE���
ubre 2012
d’Educació M
å�<�g^�]\g_gV��ig \ �3���=����M�
æ�_]go��233g \��2g2��<9V �
Matemàtica
Vg � tg^�]g_�¿q f 9�<3��m�{z�e����:��<<
]o f ��233\ s \ ��� f\ ��� f �� ���+� f
de la Comun
]ug f �9�<�93<V��i}� f +��\ V9 f +9
3������f 2��<9V�i���+��i_f 2��<VV�i
nitat Valenc
3�ig���3V��ig93���i_�
i_�i_�
ciana “Al-Khw
g
Pàg. 59
warizmi”
Pàg. 60
Societat
5. EL Sol7�����
������À f����sÀ f7��
Àç���.��V��
t d’Educació
NOSTRElució: ������������C�:�
���� �����:�f \ s9 nmqg�s f �V�2�f ��3+Vs9������������
f ���3V \��+93 � ��� �����������V�Matemàtica
E JARDÍ
����������
��� ��qg � mgg � m���i� � �\ ��3+Vs9f ����+9����� ���
\ ���< \ ������VV93 f�����������������¥��a de la Comu
Í
�%�������
��� �������mqmgp�V�2� � <n��9V�Vg93�i_����������
�+ f ���Vf ����2<V���*�� �����������unitat Valenc
������ ��
������� ���
f �3�2�� ���32�
���:�
VV9<VV�iV�i_ f ��)�:������¥����
Problem
ciana “Al-Kh
�������C
��� ���
f m�g � ��9V
i_�V��������V������
es Olímpics.
hwarizmi”
C�������
��������
�V \ ���32
Nº 66. Octu
��� �����
����� ��
2�p
bre 2012
�C����
�������
�
Problem
1. EL Sol
7��7��
���
mes Olímpics.
F
SÍMBOLlució:
�������������������
��������:
. Nº 66. Octu
Societat d
PRO(SEGO
FASE AU
L DE LA
�������� ��������� 9 èk��<�9
�����
ubre 2012
d’Educació M
OBLEMON CICL
UTONÒM
DEMOC
������������� \ ��� ����� �kq � kg �\ t��<g �
���9V3�3 � �<� \ ��<g
altura p
Matemàtica
MES DELE DE S
MICA – P
CRÀCIA
�����%������ \ ��2 f ��� ���:� Ñkq � k��2<g � Ñ�� \ ��2<g���� � ���� ��<� \ ��
piràmide = 0,16
de la Comun
E NIVESECUND
PROVA D
���C��)����V3�3�i_
kgé Ò kq �Ñ��<g � �f �����<
���<3 Ò ���2<g f �
6 m
nitat Valenc
ELL B DÀRIA)
DE CAMP
��������_
� kg� \ ��2<gu f �<3�����<�i
���V��
costat base
ciana “Al-Khw
P
����:�
����
i_
e = 0,47 m
a
Pàg. 61
warizmi”
�
altura cara = 0,228 m
Pàg. 62
Societat
2. LA Sol
#�3. EL
Sol
4. EL
5. EL Sol.�(�&��
t d’Educació
PORTAlució:
�&8E��A�CAMPA
lució:
PLÀNOL
PLÀNOLlució: (�E�.�A��.���:�
Matemàtica
A DE L’ES
��.��7"E(ANAR
L
L
��.��&0.�9V9�a de la Comu
SGLÉSIA
w(��d���<2
�&!��K���
unitat Valenc
A
f n| � {t| \ ��2� ��
k³Ç© f ³�
���So3�����
�����������
Problem
ciana “Al-Kh
{p \ �� �{u�
³��©�
olució: ��C���������C�������M ���
�����������
es Olímpics.
hwarizmi”
�����������������M�� ����qgh
������������
Nº 66. Octu
����)��hê¿gg \ ���i
�=�L�d�2��
bre 2012
ig�
���
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 63
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
EL PROBLEMA DE L’ÚLTIMA PÀGINA
A continuació publiquem uns problemes interessants que ens ha enviat el nostre company Juan Pagés Segarra. Agraïm al company la seua col·laboració i us recordem que podeu enviar les vostres aportacions i suggeriments o solucions al Problema de l’Última Pàgina, així con qualsevol comentari per tal de millorar la revista.
AIXETES 1 �8����*������ �����������M�������2�F����%�����������M�����ë� ��������F���������������������V�F������8���C����������������9�F������������������ ���C�������������� ���/��������*���������������������M������������=������
�AIXETES 2
�8�� ��*��� �)� ���� �M����� C�� �� ������������ �=�� � ��� �������� C������=���&������C��������������������� ����� ���� �ë� ��������F����%� �����=�������9�F���������������������,������ë� ���������«<�F����%����C������F�����F��$���������������������������������C���������C���ë������N��
Pàg. 64 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
SOLUCIÓ AL PROBLEMA DE L’ÚLTIMA PÀGINA ��! �(�&��:�&=��HxJ������ ���C������������� ���/���������ì ����.���� �����M����������F����� �����í%�����HxJ�F�����x«2����.����=�����M�������HxJ�F������ �����x«�����.ë������x«V%�����C�����������������x«9����������������������=��������îï� °�� w2 � w� � wV � w9 f ����7�������%�����������ë�C���ï %��ë� ��������9F%�9� ���2V��V«�<������! �(�&��:�Si la primera l´ompli en dues hores, en una omplirà: 1/2
La segona l´ompli en tres hores. En una omplirà: 1/3
Si la tercera el buida en “x” hores, en una buidarà: 1/x
Si actuant totes juntes l´omplin en 12/7 hores, en una ompliran:
1: 12/7= 7/12
Per tant l´equació serà:
�� � �9 � �w f <��Operant, x = 4 hores.���
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 65
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
ACTUALITZEU ELS VOSTRES CORREUS ELECTRÒNICS...!!!
�(�G�!ð%�&"�!&ªª��7��� ���� ��������1��� ��� ������� ����� ��� �����%� �� �� ��� � C�� �������� �����������������������������������������������%�������� ������������������������������������������*�����Z�� ���������������C��������� ������������ ����������� �������������������Z���������C���������������������*����:�[email protected]
������������������������������0�$���������������������I����������
Pàg. 66
Societat
C&!�'A��G
��(�
�&7
t d’Educació
CONT'".&��G'� 7E"B.�G'!�E�8G�
�#BZ�7"(
7�E�#�.
Matemàtica
TACTE'!�E/G"&�#�&� "� A����E(��
(&��G'!�E
�&�'"&(E
a de la Comu
EU AM&�&".8�!"A�� (�#���.��AE�
E�8G�#!&
E�&��".I.
unitat Valenc
MB N "G&�A��7�&%� �"#��ñ�:�
&7�2
&&�(0���
proble�
.�B"E��
Problem
ciana “Al-Kh
NOSA7E"B.�#�G(�E!&�
�#�'�T�7E"B.�#�7�E(�(�2��<����'�
.��"EE�8
emesoli
�!"G&ªªª
es Olímpics.
hwarizmi”
ALTRE�&�"B�E!� &800�E
./UDò�E��"B�E(����2V��.ÞG�!��
8��.��(E
mpics@
Nº 66. Octu
ES...!E(&%�7E"7E!#�G(&
E!ó#!T�(�
EôG!�:�
@semcv.
bre 2012
!! 7"&(�&�&� 7"(&�
.org
Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 67
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
XIII CONCURS DE FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”
Resum de l'acta. Premis 2012 �Apartat I:�������������������� %��V��õ�
Espiral numérica%����B�=�5����������0��1���%������!�&�E� ���.����K'��R���L�� �������� %�����õ��Atrapado entre rombos%����.����&4��1�0��14��1%������!�&�#�����#������K7�������&�=��L��9������ %��<V�õ�Línea infinita%������&������7)��1�D������%�������!�&�#�����#������K7�������&�=��L��2���(������� �����9��õ� � ���Claro de luna%������A�����0�����%��������I��=�7�����KAR��L�Rectas sonoras%������� ���;���4���1�?�����%������!�&�#�����#������K7�������&�=��L�Hay 4 círculos y 2 rectángulos%�����.����D����1�7���%��������I��=�7�����KA)��L��
Apartat I Sèries:�������������� A�������Apartat II:�K7�� ����������=�����������R��L��������7�� :����V��õ���� ���������������������:�
Triángulo escalonado%����6���;��������.���1�'��������%������!�&�E� ���.����K'��R���L�Sinusoide%�����#������7�1��� ��5%������!�&�#�����#������K7�������&�=��L�����7�� :����V��õ���� ���������������������:�Noria de la fira de Nadal, ���#=���ö�=����� ����E���=�%����.��G��������������� ������K7�������L�Un mundo en cada esfera%����#������7�1��� ��5%������!�&�#�����#������K7�������&�=��L��
Accèssits Apartat I: Ángulos y líneas hacia el cielo, ���'�=���.���1�0� �1%������!�&�#�����#�����%�K7�������&�=��L�Espiral indefinida, de Pablo Soldatov, ������!�&�#�����#�������K7�������&�=��L�Base por altura%������������G������#���=��%������!�&�#�����#������K7�������&�=��L�
Pàg. 68
Societat
'��������� ���
��=��AG!�«���Domic7������������������CentreG� :��������(��R����EntitaG� :�������������� � �������÷�������� � ������������AG!:�������
t d’Educació
�/������N�"����������
� �:�����������G!;:����������cili partic��:��������������:�����������������/�:������������e de treb��������������������:�������������������:���������������
at bancàr��������������������:������������������� �������������÷���÷���÷���÷���
�
��������� ������������������������
SC
Matemàtica
" ��������= ���-����INS
��������������������������������������cular: �����������������������������������������������������������
ball: ����������������������������������������������������������ria (on es�������������������������������������������:��������"���������÷���÷���
� �
���:�������������������������������������
SOCIETACOMUNIT
a de la Comu
=S�������������������SCRIPCIÓ I D
�����������������������������
����������������������������������������������
�������������������������������������7���������������s lliurarà�������������������������������������7���� ������÷���÷���÷��������
�������������������
������������������������������
T D’EDTAT VALE
unitat Valenc
���������������������DOMICILIAC
�������������������
����������������������������(��R�
��������������������7������:����/�:������à el cobra��������������������7������:�
��A�������÷���÷���÷����
������������������������
�����������������������
DUCACIÓ ENCIANA
Problem
ciana “Al-Kh
���������������������CIÓ BANCÀR
����G� :����
����������������������:�������������
����������������������������������������������������������ament de ���������������������������������������������÷���÷���÷�
�������������������
�����������������������
MATEMA "Al-Khw
FacultatDepartamApartat 2
es Olímpics.
hwarizmi”
��������������������RIA
�������������������
��������7�:������������������������
������������������������������������7��������������������quotes):������������������������������������7Gø��� �÷���÷���÷���÷�
���������������������K�=���
�����������������������
MÀTICA "warizm i
de Magisteri “Aument de Didàctica22.045 46071V
Nº 66. Octu
�����������
�������������������
������������������������������
����������7�:������������������������������: ����������7�:������������ �������÷���÷���÷���÷�
������������������������L�
����������������������
DE L
usiàs March” a de la MatemàtiVALÈNCIA
bre 2012
��
������������������
�����
���������
���������������
LA
ca
�
Esta revista es publica amb el suport de l’Acadèmia Valenciana de la Llengua
Trobaràs tota la informació en la nostra web.
Visiteu-la: www.semcv.org
Societat d'Educació Matemàtica de la
Comunitat Valenciana
"Al-Khwarizmi"