Procesamiento Analogico de Señales 2011.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

PROGRAMA DE ELECTRÓNICA

900001 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES

ING. M.S.C. MARCOS GONZÁLEZ PIMENTEL (Director Modulo)

Diego Fernando Sendoya Acreditador

BOGOTÁ D.C. Enero de 2011


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2008 por la Ingeniera Martha

Indira Cassaleth Garrido, Ingeniera electrónica, docente de la UNAD, CEAD de

Bucaramanga.

Este año, el ingeniero Marcos González Pimentel, tutor de la UNAD, estará

a cargo de la dirección y actualizaciones del módulo. El Ingeniero Marcos es,

Ingeniero Electrónico, Magíster en Ingeniería –Automatización Industrial de la

Universidad Nacional de Colombia. Docente desde 2001 e Investigador principal

en proyecto de innovación tecnológico, COLCIENCIAS.

El Ingeniero Diego Fernando Sendoya, Ingeniero Electrónico, Especialista

en Automatización Industrial y Magíster en Ingeniería de Control Industrial, apoya

el proceso de revisión del módulo para la acreditación de material didáctico

desarrollado en el 2010.


INTRODUCCIÓN

Tanto en la Ingeniería Electrónica como en las áreas afines, tiene cada vez mayor

importancia el procesamiento de señales ya que esta presente en casi todas las

aplicaciones que manejamos a diario, desde los celulares, la transmisión de

señales equipos médicos y juegos, entre otros. En este modulo se vera la parte

fundamental del procesamiento de señales.

Al finalizar el curso, los estudiantes manejaran los conceptos básicos y

herramientas matemáticas fundamentales para el análisis y síntesis del

procesamiento de señales Analógicas, al igual que tendrán un mayor

entendimiento del lenguaje usado en este tema.


ÍNDICE DE CONTENIDO

UNIDAD 1. SEÑALES Y SISTEMAS

CAPÍTULO 1. TÉRMINOS BÁSICOS.

Lección 1. Definición de señales y sistemas.

Lección 2. Clasificación de señales.

Lección 3. Funciones fundamentales.

Lección 4. Relación entre las funciones singulares.

Lección 5. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES.

CAPÍTULO 2. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS.

Lección 6. Sistemas Lineales (SL).

Lección 8. Sistemas Invariantes en el Tiempo (SIT)

Lección 9. Sistemas Serie.

Lección 10. Sistemas Paralelo.

CAPÍTULO 3. SISTEMAS LINEALES

Lección 11. Función Delta de Dirac.

Lección 12. Propiedad de Desplazamiento

Lección 13. Propiedades de Impulso Unitario

Lección 15. Función de transferencia


UNIDAD 2. PROCESAMIENTO DE LAS SEÑALES.

CAPÍTULO 4. MUESTREO.

Lección 16. MUESTREO DE SEÑALES.

Lección 18. Conceptos básicos de Series de Fourier

Lección 19. Señales Analógicas periódicas.

Lección 20. Aliasing.

CAPÍTULO 5. CUANTIFICACIÓN.

Lección 21. Cuantificación uniforme.

Lección 22. Cuantificación logarítmica.

Lección 23. Cuantificación no uniforme.

Lección 24. Cuantificación vectorial.

Lección 25. Ruido de cuantificación.

CAPÍTULO 6. Análisis de Fourier .

Lección 26. Serie de Fourier en tiempo continuo.

Lección 27. REPRESENTACIÓN DE UNA SEÑAL CONTINUA.

Lección 28. CONVOLUCIÓN Y SUS PROPIEDADES

Lección 29. Convolución Discreta.

Lección 30. Calculo de la Convolución Discreta.


LISTADO DE ECUACIONES.

Ecuación 1, Función Impulso. ............................................................................... 23

Ecuación 2, Función Impulso desplazada. ............................................................ 24

Ecuación 3, Propiedades de la función Impulso. ............................................. 24

Ecuación 4, Función Escalón Unitario. .................................................................. 25

Ecuación 5, Función Rampa. ................................................................................ 26

Ecuación 6, Relación entre las funciones Impulso Escalón. ................................. 26

Ecuación 7, Relación entre las funciones Escalón Rampa. .................................. 27

Ecuación 8, Función Exponencial Compleja. ........................................................ 27

Ecuación 9, Señal Exponencial Discreta. ............................................................. 34

Ecuación 10, Señal Exponencial, Forma de Euler. .............................................. 37

Ecuación 11, Señal Periódica. ........................................................................... 40

Ecuación 12, Periodo-Frecuencia. ........................................................................ 40

Ecuación 13, Frecuencia Angular. ......................................................................... 40

Ecuación 14, Funcion Par e Impar. ....................................................................... 41

Ecuación 15, Función Impulso. ............................................................................. 55

Ecuación 16, Serie de Fourier. .............................................................................. 63

Ecuación 17, Fase. .............................................................................................. 65

Ecuación 18, Ley A de Cuantificación. .................................................................. 72

Ecuación 19, Ley -µ de Cuantificación. ................................................................. 73

Ecuación 20, Error de Cuantificación. ................................................................... 78

Ecuación 21, Rango del error de cuantificación. ................................................... 79

Ecuación 22, Transformada Discreta de Fouier. ................................................... 84


Ecuación 23, Representación en Armónicos. ........................................................ 86

Ecuación 24, Representación en Sumatorias........................................................ 87

Ecuación 25, Coeficientes de Fourier. ................................................................... 87

Ecuación 26, Convolución. .................................................................................... 87

Ecuación 27, Convolución Función Delta. ............................................................. 88

Ecuación 28, Propiedades de Convolución. .......................................................... 88

Ecuación 29, Convolución Discreta. .................................................................... 102

Ecuación 30, Convolución Discreta, Función Impulso. ........................................ 102


LISTADO DE ILUSTRACIONES.

Ilustración 1. Modulación de señales, Toolbox de MatLab. ................................... 14

Ilustración 2.Procesamiento de imagen. ToolBox MatLab. ................................... 15

Ilustración 3. Procesamiento de señales de voz, ToolBox de MatLab. ................. 15

Ilustración 4. Estadísticas del volumen de un tanque de aromáticos ToolBox de MatLab. ........................................................................................................... 16

Ilustración 5. Señales ............................................................................................ 16

Ilustración 6.Esquema de un sistema simple. ....................................................... 17

Ilustración 7.Esquema de un sistema Transmisor-receptor. ........................... 17

Ilustración 8. Función Discreta en el Tiempo......................................................... 18

Ilustración 9. Señal Discreta en Amplitud .............................................................. 19

Ilustración 10. Señal Discreta ................................................................................ 20

Ilustración 11. Señalen tiempo continuo ................................................................ 21

Ilustración 12. Señal en tiempo discreto ................................................................ 22

Ilustración 13, Función Impulso. ............................................................................ 24

Ilustración 14, Función Escalón Unitario. .............................................................. 25

Ilustración 15, Función Rampa ............................................................................. 26

Ilustración 16, Señal Exponencial Creciente. ........................................................ 28

Ilustración 17, Señal Exponencial Decreciente. .................................................... 29

Ilustración 18, Señal Exponencial Decreciente, A negativo, a Positivo. ............... 29

Ilustración 19, Señal exponencial creciente, con valores A y a negativos. ............ 30

Ilustración 20, Señal Exponencial, componente Real. ......................................... 31

Ilustración 21, Señal Exponencial, componente Imaginaria. ................................ 31


Ilustración 22, Señal Exponencial Compleja, parte real. ....................................... 32

Ilustración 23, Señal Exponencial Compleja, Parte Imaginaria. ........................... 33

Ilustración 24, Señal Exponencial Compleja, Parte Real. ..................................... 33

Ilustración 25, Señal Exponencial Compleja, Parte Imaginaria. ............................ 34

Ilustración 26, Función Exponencial Discreta -Creciente. ..................................... 35

Ilustración 27, Función Exponencial Discreta - Decreciente. ................................ 35

Ilustración 28, Señal exponencial valores A (negativo) , a(positivo). ..................... 36

Ilustración 29, Señal exponencial valores A(negativo) , a(negativo). .................... 36

Ilustración 30, Señal exponenciales discretas ...................................................... 38

Ilustración 31, Señales Exponenciales discretas. .................................................. 39

Ilustración 32, a) Escalamiento en el tiempo, Señal original x(t). .......................... 42

Ilustración 33, b) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada 3*x(t). ............ 43

Ilustración 34, c) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada -3*x(t). ........... 43

Ilustración 35, d) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada -(1/3)*x(t)....... 44

Ilustración 36, Grafica de desplazamiento en el tiempo. ....................................... 45

Ilustración 37, Función y(t). ................................................................................... 46

Ilustración 38, Función y(1/2 t). ............................................................................. 46

Ilustración 39, Función y(2*t). ................................................................................ 47

Ilustración 40, Grafica de escalamiento en sistemas lineales ........................ 48

Ilustración 41, Figura 20. Principio de superposición ..................................... 49

Ilustración 42, Escalamiento en amplitud en el principio de superposición. 49

Ilustración 43, Sistema Invariante en el tiempo. ............................................... 50

Ilustración 44,. Sistemas LTI ............................................................................... 51

Ilustración 45,. Sistema LTI en Cascada ........................................................... 52

Ilustración 46, Sistema LTI en paralelo. ............................................................ 52


Ilustración 47, Función delta de Dirac ............................................................... 53

Ilustración 48, Función delta de Dirac. representación. .................................. 54

Ilustración 49, Impulso de Tiempo-Discreto ..................................................... 56

Ilustración 50, Representación física de un sistema de muestreo ......................... 61

Ilustración 51, Muestreo de señales. ..................................................................... 61

Ilustración 52, Teorema de Nyquist-Shannon. ...................................................... 62

Ilustración 53, Señales en el dominio del tiempo y sus correspondientes espectros. ........................................................................................................................ 65

Ilustración 54, Señales señoidales a diferentes frecuencias con sus espectros. .. 66

Ilustración 55, Aliasing. ......................................................................................... 68

Ilustración 56, Imágenes con y sin aliasing. .......................................................... 69

Ilustración 57, Grafica de cuantificación de señales. ............................................. 70

Ilustración 58, Cuantificación uniforme. ................................................................. 71

Ilustración 59, Grafica de cuantificación logarítmica. ............................................ 73

Ilustración 60, Cuantificación no uniforme. ............................................................ 74

Ilustración 61, Cuantificación vectorial. ................................................................. 75

Ilustración 62, Procesos de la conversión A/D. ..................................................... 76

Ilustración 63, Proceso de cuantificación. ............................................................. 77

Ilustración 64, Modelo matemático del ruido de cuantificación.............................. 78

Ilustración 65, Cuantificación de una sinusoide. .................................................... 80


UNIDAD 1. SEÑALES Y SISTEMAS

Tabla guía:

Nombre de la Unidad SEÑALES Y SISTEMAS Introducción Cada vez tiene mayor importancia el tratamiento de la

señal a nivel de ingenierías, dado a que el mundo está sumergido en señales. Los seres vivos producen y procesan señales desde el proceso de producción e interpretación del habla y, en general, de muchos sonidos, hasta la captura y proceso de las señales luminosas con nuestro sentido de la vista y nuestro sistema nervioso.

Por otra parte, en la era moderna, el hombre se ha dedicado, con intensidad exponencial, a construir nuevas señales, procesándolas, almacenándolas o transmitiéndolas, buscando, por ejemplo, mecanismos para la detección de fenómenos a distancia.

Este curso tiene como objetivo que los estudiantes manejen los conceptos básicos y herramientas matemáticas fundamentales para el análisis y síntesis de sistemas lineales, con enfoque especial de sistemas de comunicación. El curso está basado en dos unidades fundamentales en donde se tratan los temas fundamentales para el tratamiento de señales, los cuales serán fundamentales para el análisis de señales en tiempo discreto; las definiciones, clasificaciones y formas de representación de las señales en función de sus variables. Los estudiantes de este curso realizan ejercicios relacionados fuera de clase, así como trabajos prácticos; algunos de sus trabajos serán realizados por la herramienta computacional MATLAB.

Justificación Este curso tiene como objetivo que los estudiantes manejen los conceptos básicos y herramientas matemáticas fundamentales para el análisis y síntesis de sistemas lineales, con enfoque especial de sistemas de comunicación. El curso está basado en dos unidades fundamentales en donde se tratan los temas fundamentales para el tratamiento de señales, los cuales serán fundamentales para el análisis de señales en tiempo discreto; las definiciones, clasificaciones y formas de representación de las señales en función de sus


variables. Los estudiantes de este curso realizan ejercicios relacionados fuera de clase, así como trabajos prácticos; algunos de sus trabajos serán realizados por la herramienta computacional MATLAB.

Intencionalidades Formativas

Aportar al estudiante la teoría necesaria para la comprensión de los sistemas lineales y las señales. Ayudar a la comprensión y aplicación de las herramientas matemáticas desarrolladas para el tratamiento de señales y manipulación de los sistemas lineales.

Denominación de capítulos

1. Términos básicos. 2. Propiedades de los sistemas 3. Sistemas Lineales


CAPÍTULO 1. TÉRMINOS BÁSICOS.

Lección 1. Definición de señales y sistemas.

Una señal se define como una cantidad física que varia con el tiempo, el espacio o

cualquier otra variable o variables independientes; las cuales se pretenden utilizar

para transmitir información. Por ejemplo, la voz humana, un electrocardiograma,

un electroencefalograma, etc.. Por ejemplo: A continuación se observa algunos

ejemplos de procesamiento de señales aplicados a la las comunicaciones,

procesamiento digital de imágenes, procesamiento de señales de voz, etc, a

través del software MatLab.

Ilustración 1. Modulación de señales, Toolbox de MatLab.


Ilustración 2.Procesamiento de imagen. ToolBox MatLab.

Ilustración 3. Procesamiento de señales de voz, ToolBox de MatLab.


Ilustración 4. Estadísticas del volumen de un tanque de aromáticos ToolBox de MatLab.

Otro ejemplo, las funciones

pzpzpzxcttxb

ttxa

543),(.25)(.3)(.

−+==

=

Ilustración 5. Señales

En el inciso a y en el b. La señal varia con la variable independiente t (Tiempo),

en la c se observa una señal que depende de dos variables independientes z y p.

Las señales se procesan por medio de sistemas. Cuando una o más señales de

excitación se aplican a las entradas del sistema, este produce una o más señales

de respuesta en sus salidas. A continuación se describe el diagrama de bloques

de un sistema simple, en donde se relaciona la excitación a la entrada del sistema

y la respuesta como la salida del mismo.


Ilustración 6.Esquema de un sistema simple.

Un ejemplo del sistema descrito anteriormente es el sistema de comunicaciones,

el transmisor es un dispositivo que produce una señal y el receptor es un

dispositivo que adquiere una señal, el canal es la trayectoria que la señal o el ruido

toman desde el transmisor o fuente de ruido hasta el receptor.

Ilustración 7.Esquema de un sistema Transmisor-receptor.

Lección 2. Clasificación de señales.

La primera clasificación que se realizara son las señales en tiempo continuo y en

tiempo discreto. Una señal x(t) es una señal continua o analógica, en el intervalo

t0, t1, sí está definida para todo el tiempo t en un intervalo t0, t1.

1) Señal discreta en el tiempo.

Sí la amplitud esta definida para diferentes instantes discretos de tiempo tn y toma

un valor único en ese tiempo tn. Ejemplo: los valores de cierre del dólar, son

únicos para cada día, pueden tomar cualquier valor en cada día. Estas señales se

pueden expresar como una función de la forma: x[n], donde n es un valor discreto,

x es una función continua de la variable n.

Ejemplo de señal discreta en el tiempo:

Entrada SISTEMA Salida

Excitación Respuesta

Transmisor

Señal de Información

Señal de información con ruido

Canal Receptor


X(n) = [1.1, 2, 2.5, pi, 2*pi, 2.8, 2.33, 3.3333,

4.66, 2/3]

Esto es: X(1) = 1.1

X(2) = 2

X(3) = 2.5

X(4) = pi

.

.

.

X(10) = 2/3

Note que los valores de n son discretos, pero X toma cualquier valor.

Ilustración 8. Función Discreta en el Tiempo


2) Señal discreta en amplitud.

Cuando la función solo puede tomar valores discretos de amplitud x. Ejemplo: la

cantidad de autos que circulan por la autopista, estos valores de x solo pueden ser

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….., son valores siempre enteros y por tanto discretos,

pero pueden variar en cualquier instante de tiempo.

Este ejemplo es de una función continua en el tiempo pero discreta en amplitud.

Estas señales se pueden expresar como una función de la forma: x[t], donde t es

un valor continuo y x es una función de valores discretos de la variable t.

Ilustración 9. Señal Discreta en Amplitud


3) Señal discreta.

Sí es discreta en tiempo y en amplitud, esto es: la señal toma valores discretos en

amplitud, pueden ser o no enteros, y valores discretos en tiempo. Por lo generillos

valores de tiempo están uniformemente espaciados un periodo Ts, llamado

periodo de muestreo.

Estas señales se expresan como una función de la forma: x[n], donde t es un

valor discreto y x es una función de valores discretos de la variable n.

Ejemplo de señal discreta:

X(n) = [1.5, 2, 2.5, 3, 6.5, 3, 2, 3.5, 4.5, 0.5].

La Señal es Discreta, los valores de la amplitud están definidos para 1,2,3,4,5,,,,10

(Ts = 1) y son discretos. Estos son enteros o decimales con 0.5. La discreción es

de 0,5.

Ilustración 10. Señal Discreta


Ejemplo: el marcador de los partidos de fútbol, estos valores de x solo pueden ser

x = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….., son valores siempre enteros y por tanto discretos,

varían solo en fechas discretas o instante de tiempo discretos. Este ejemplo es de

una función discreta en el tiempo y discreta en amplitud.

Una señal discreta se puede obtener al muestrear una señal continua.

A continuación se describe un ejemplo de señal continua.

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Señaloidal en tiempo continuo

t, tiempo

y(t)

Ilustración 11. Señalen tiempo continuo


0 20 40 60 80 100 120 140-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Señaloidal en tiempo discreto

t, tiempo

y(t)

Ilustración 12. Señal en tiempo discreto

Estos dos tipos de señales son muy importantes dentro del procesamiento de la

información; en estos momentos nos centraremos en las funciones de señales de

tiempo continuo.

Lección 3. Funciones fundamentales.

Estas funciones tienen la característica de ser el pilar fundamental para el

procesamiento de señales y el reconocimiento de sistemas, ya que sus conceptos

están inmersos dentro de los teoremas fundamentales del procesamiento de

señales.

1) Funciones complejas y senoides.

Las funciones matemáticas se usan para describir señales, por ejemplo señales


senoidales en tiempo continuo están descritas por:

)2cos()(0TtAtG π

=

El periodo fundamental To y la frecuencia cíclica fundamental fo son inversos

recíprocos simples uno del otro.

Funciones de Singularidad.

Las funciones de singularidad son un grupo de funciones que están relacionadas

con la función impulso. Aparte de la función impulso están la función escalón y la

función rampa.

2) Función Impulso

La función impulso es más un concepto matemático que una función, que se

define de la siguiente manera:

≠=

=0,00,

)(ttInfinito

tδ

1)(0

0

=∫+

−

dttδ

Ecuación 1, Función Impulso.

La función es cero para cualquier valor de t, excepto cero. Cuando la t es cero el

valor de la función es infinito. Por definición el área de esta función es igual a uno.


Ilustración 13, Función Impulso.

La función impulso posee algunas propiedades que pueden resultar útiles.

ττδ ≠=− tt ,0)(

Ecuación 2, Función Impulso desplazada.

También es importante para posteriores desarrollos la propiedad de

desplazamiento o corrimiento.

)()()()()()()(

)()(

ττδτττδτδ

τδ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

fdttfdtftdttft

fdttft

=−=−=−

=−

∫∫∫

∫+

−

+

−

+

−

∞

∞−

Ecuación 3, Propiedades de la función Impulso.

3) Función Escalón Unitario

La función escalón unitario se define como la integral de la función impulso desde


el infinito negativo hasta el tiempo. la integral de la función impulso es 0 si el

tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que se define exactamente el

escalón unitario.

><

=0,10,0

)(tParatPara

tu

Ecuación 4, Función Escalón Unitario.

El tipo de escalón unitario corresponde a una salida. El valor de la función en t =

0, es indefinido. Otros textos lo pueden definir como 1 ó 0. El escalón unitario está

asociado a la gráfica que se describe a continuación.

Ilustración 14, Función Escalón Unitario.

4) Función Rampa

La función rampa es la integral de la función escalón. Si se considera que se está

sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo t.

Si t < 0 (cero), el valor de la integral será 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero),

entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo t,

la cual también tiene el valor t, es decir:


><

=0,0,0

)(tParattPara

tramp

Ecuación 5, Función Rampa.

Ilustración 15, Función Rampa

Lección 4. Relación entre las funciones singulares.

1) Relación entre las funciones Impulso Escalón.

Tal como se puede fácilmente demostrar, la función escalón y la función impulso

están relacionados de la siguiente manera:

)()(

)()(

tudtdt

y

tdtu

=

∫∞−

=

δ

ττδ

Ecuación 6, Relación entre las funciones Impulso Escalón.


2) Relación entre las Funciones Escalón Rampa.

Igualmente se demuestra que:

)()(

)()(

trampdtdtu

y

tdutramp

=

∫∞−

= ττ

Ecuación 7, Relación entre las funciones Escalón Rampa.

Funciones exponencial

Dada la importancia de las funciones exponenciales en el tratamiento de señales.

Dividiremos su estudio en exponenciales continuas y exponenciales discretas. Y

realizaremos ejercicios para observar los diferentes casos que encontramos

dentro del estudio de las mismas.

Las señales exponenciales compleja están definidas de la siguiente forma.

tjbaAetx )()( +=

Ecuación 8, Función Exponencial Compleja.

.

Donde A es la amplitud de la señal exponencial, a componente real y b

componente imaginario. Existen diferentes señales según los valores de a y b,

diferenciándose básicamente tres casos:


Señales Exponenciales Reales

Para ellas se tiene en cuenta que A Real y positiva, a ≠ 0, b = 0. x(t) = Aeat.

Si a es positiva y A es positiva, entonces x(t) es una exponencial creciente.

Si a es positiva y A es negativa, entonces x(t) es una exponencial decreciente.

Si a es negativa y A es positiva, entonces x(t) es una exponencial decreciente.

Si a es negativa y A es negativa, entonces x(t) es una exponencial creciente.

Observemos el comportamiento de la exponencial para los siguientes ejemplos:

Ejemplo: A = 3, a = 0.5, b = 0.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

35

40x(t)=A*exp(a*t)

Señal Continua: A=3, a=0.5, b=0

Tiempo (seg)

x(t)

Ilustración 16, Señal Exponencial Creciente.


Ejemplo: A = 3, a =- 0.5, b = 0.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

35

40x(t)=A*exp(-a*t)

Señal Continua: A=3, a= -0.5, b=0

Tiempo (seg)

x(t)

Ilustración 17, Señal Exponencial Decreciente.

Ejemplo: A = - 3, a = 0.5, b = 0.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0x(t)= -A*exp(a*t)

Señal Continua: A= -3, a=0.5, b=0

Tiempo (seg)

x(t)

Ilustración 18, Señal Exponencial Decreciente, A negativo, a Positivo.


Ejemplo: A =- 3, a = - 0.5, b = 0.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0x(t)=-A*exp(-a*t)

Señal Continua: A= -3, a=-0.5, b=0

Tiempo (seg)

x(t)

Ilustración 19, Señal exponencial creciente, con valores A y a negativos.

Señales Exponenciales Complejas:

Para este tipo de señales se tiene la ecuación tjbaAetx )()( += , en donde A es

Real, b≠0 y a es estrictamente cero a=0. x(t) = Aejbt. Usando la relación de Euler

se puede escribir en términos de señales senoidales. x(t) = A[cos(bt) + j sen(bt)].

Esta señal, es muy usada para describir muchos procesos físicos, es periódica

con período b

T π2= . Tiene una parte Real xR(t) = Acos(bt) y una parte imaginaria

xI(t)=Asen(bt).


Ejemplo: A = - 3, a = 0, b = 0.3

0 20 40 60 80 100 120-3

-2

-1

0

1

2

3Parte real

Señal Continua: A=3, a=0, b=0.3

Tiempo (seg)

Rea

l x(t)

Ilustración 20, Señal Exponencial, componente Real.

0 20 40 60 80 100 120-3

-2

-1

0

1

2

3Parte imaginaria


Tiempo (seg)

Imag

inar

ia x

(t)

Ilustración 21, Señal Exponencial, componente Imaginaria.


Señales Exponenciales Generales

Para éste caso se tiene que A es Real, a ≠ 0, b ≠ 0.

El caso más general de una exponencial compleja.

Si a >0, x(t) corresponde a senoidales multiplicadas por una exponencial

creciente. Si a <0, x(t) corresponde a senoidales multiplicadas por una

exponencial decreciente. Para ello, se utiliza relación de Euler de la siguiente

forma:

)] t b Sen( j ) t b [Cos(e *A x(t) at +=

Ejemplo: A = 3, a = 1, b = 4

0 100 200 300 400 500 600-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

20 Parte real

Señal Continua: A=3, a=1, b=4

Tiempo (seg)

Rea

l x(t)

Ilustración 22, Señal Exponencial Compleja, parte real.


0 100 200 300 400 500 600-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

19 Parte imaginaria

Señal Continua: A=3, a=1, b=4

Tiempo (seg)

Imag

inar

ia x

(t)

Ilustración 23, Señal Exponencial Compleja, Parte Imaginaria.

Ejemplo: Graficar la señal con las siguientes condiciones A = 3, a =- 1, b = 4

0 100 200 300 400 500 600-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

-17 Parte real

Señal Continua: A=3, a= -1, b=4

Tiempo (seg)

Rea

l x(t)

Ilustración 24, Señal Exponencial Compleja, Parte Real.


0 100 200 300 400 500 600-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

-17 Parte imaginaria

Señal Continua: A=3, a= -1, b=4

Tiempo (seg)

Imag

inar

ia x

(t)

Ilustración 25, Señal Exponencial Compleja, Parte Imaginaria.

Señales Exponenciales Discretas.

Las señales exponenciales discretas se representan matemáticamente como:

[ ] njbaAenx )( +=

Ecuación 9, Señal Exponencial Discreta.

Igualmente, según los valores de a y b, pueden diferenciarse tres casos:

a) Señales Exponenciales, Discretas, Reales:

Haciendo la asociación con el ejemplo en exponenciales continuas y conservando

los mismos valores, observaremos los diferentes casos de las exponenciales

A Real, a ≠ 0, b = 0.

Una expresión más general de x[n] sería x[n] = cn , donde c = (e a)

Si a > 0 (c > 1), entonces x[n] es una exponencial creciente.


Si a < 0 (c < 1), entonces x[n] es una exponencial decreciente.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

35

40x(n)=A*exp(a*n)

Señal Continua: A=3, a=0.5, b=0

Muestra (n)

x(n)

Ilustración 26, Función Exponencial Discreta -Creciente.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

35

40x(n)=A*exp(-a*n)

Señal Continua: A=3, a= -0.5, b=0

Muestra (n)

x(n)

Ilustración 27, Función Exponencial Discreta - Decreciente.


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0x(n)= -A*exp(a*n)

Señal Continua: A= -3, a=0.5, b=0

Muestra (n)

x(n)

Ilustración 28, Señal exponencial valores A (negativo) , a(positivo).

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0x(n)=-A*exp(-a*n)

Señal Continua: A= -3, a=-0.5, b=0

Muestra (n)

x(n)

Ilustración 29, Señal exponencial valores A(negativo) , a(negativo).


b) Señales Exponenciales, Discretas, Complejas Se partirá de A Real, a = 0, b ≠ 0. Esta señal, es periódica con período N si Nb=

2πm, siendo N y m enteros, en caso contrario la señal es aperiódica. Usando la

relación de Euler se puede escribir en términos de señales senoidales:

x[n] = ACos( b n ) + j ASen( b n )

c) Señales Exponenciales, discreta, Generales

La forma general de una exponencial está dada por A Real, a ≠ 0, b ≠ 0

Utilizando la relación de Euler se puede escribir:

x[n] = Acn [ Cos( b n ) + j Sen( b n )]

Ecuación 10, Señal Exponencial, Forma de Euler.

Si a > 0 (c > 1), entonces x[n] es una senoidal creciente.

Si a < 0 (c < 1), entonces x[n] es una senoidal decreciente.

Ejemplo: Señal exponenciales discreta: Para de A = 3, a = 0, b = 0.3

x[n] = Acn [ Cos( b n ) + j Sen( b n )]:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-3

-2

-1

0

1

2

3Parte real


Muestra (n)

Rea

l x(n

)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-3

-2

-1

0

1

2

3Parte imaginaria


Muestra (n)

Imag

inar

ia x

(n)

Ilustración 30, Señal exponenciales discretas

Ejemplo: Graficar la señal exponencial discreta para los siguientes valores:

A = 3, a = -1, b = 4.

Observe que a diferencia del ejemplo anterior a presenta un valor diferente de

cero. A continuación se describe los resultados de esta graficación, la cual se

debe comprobar.


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-17 Parte real

Muestra (n)

Rea

l x(n

)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

-31 Parte imaginaria

Muestra (n)

Imag

inar

ia x

(n)

Ilustración 31, Señales Exponenciales discretas.


Lección 5. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES.

1) PERIÓDICAS Y NO PERIÓDICAS.

Una señal continua es periódica con periodo T si existe un valor positivo T tal que

x(t + T) = x(t), para todo t

Ecuación 11, Señal Periódica.

Cualquier señal que no sea periódica se llama no periódica o a-periódica. El valor

más pequeño de T que satisface esta ecuación se llama periodo fundamental.

El recíproco del periodo fundamental es la frecuencia fundamental, se mide en

Hertz (ciclos por segundo) y describe qué tan seguido la señal periódica se repite.

TF 1=

Ecuación 12, Periodo-Frecuencia.

La frecuencia angular, medida en radianes por segundo, se define como

Nπω 2

=

Ecuación 13, Frecuencia Angular.

Una señal discreta x[n] es periódica si satisface la condición:

x[n] = x[n + N] para todos los enteros n, donde N es un número entero. El valor

más pequeño de N que satisface esta ecuación se llama periodo fundamental.


2) SEÑALES PARES E IMPARES.

Una señal es par si se cumple que x(-t) = x(t) para todo t. Es impar si x(-t) = -x(t)

para todo t. Cualquier señal puede ser expresada como una suma de dos

señales, una de las cuales es par y la otra impar:

[ ]

[ ])()(21)(

)()(21)(

)()()(

txtxtx

txtxtx

dondetxtxtx

o

e

oe

−−=

−+=

+=

Ecuación 14, Funcion Par e Impar.

xe es la función par y xo la función impar.

Generalmente cuando se tienen varias señales multiplicándose se puede seguir

cuatro sencillas reglas, tal como se realiza al multiplicar números con signo

distinto:

a. Par * par = par

b. Par * impar = impar

c. Impar * par = impar

d. Impar * impar = par

3) Escalamiento en amplitud

El escalamiento en el tiempo es la transformación funcional mas sencilla, Esta

transformación presenta la siguiente notación:

y(t) = A*x(t)


Para cualquier valor de t, la transformación multiplica el valor producido de x(t) por

A. El siguiente ejemplo indica algunos escalamientos en amplitud, en la figura a)

se encuentra la señal original x(t), en la b) se encuentra la señal original

multiplicada por una constante con valor de 3, en c) se encuentra la señal original

escalada por un valor –3 y en la d) se muestra la señal original escalada por el

valor de - 1/3. Por tanto el escalamiento en amplitud es una transformación de la

variable dependiente y.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Funcion original, x(t)

tiempo, t

ampl

itud

(cm

)

Ilustración 32, a) Escalamiento en el tiempo, Señal original x(t).


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8Funcion original, y(t)=3*x(t)

tiempo, t

ampl

itud

(cm

)

Ilustración 33, b) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada 3*x(t).

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6Funcion original, y(t)=--3*x(t)

tiempo, t

ampl

itud

(cm

)

Ilustración 34, c) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada -3*x(t).


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5Funcion original, y(t)=--(1/3)*x(t)

tiempo, t

ampl

itud

(cm

)

Ilustración 35, d) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada -(1/3)*x(t).

4) Desplazamiento en el tiempo

El desplazamiento en el tiempo atiende a la una de las transformaciones:

a. t→t − to

b. t→t + to

En donde to es una constante arbitraria. En el caso del inciso a, tiene el efecto de

desplazar la señal original to unidades a la derecha, en el caso del inciso b, tiene

el efecto de desplazar la señal original to unidades a la izquierda.

En el siguiente figura se ilustra una función y(t) desplazada en el tiempo.


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

0

10

20Funcion original, y(t)

Tiempo, t

Am

plit

ud

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

0

10

20Funcion desplazada, y(t+1)

Tiempo, t

Am

plit

ud

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

0

10

20Funcion desplazada, y(t-1)

Tiempo, t

Am

plit

ud

Ilustración 36, Grafica de desplazamiento en el tiempo.

5) ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO.

El escalamiento en el tiempo atiende a la transformación funcional t→ t/a. Esta

transformación expande la función original horizontalmente (en t) por un factor a.

Si tenemos la transformación funcional t→ a.t, contrae la función original

horizontalmente (en t) en un factor a. Si a<0, la función también se invertirá en el

tiempo. La figura muestra una señal original x(t), y se pide obtener x(t/2) y x(2t).


-15 -10 -5 0 5 10 15-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14Funcion original, y(t)

Tiempo, t

Am

plitu

d

Ilustración 37, Función y(t).

-15 -10 -5 0 5 10 15-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14Funcion escalada (t/2), y(t/2)

Tiempo, t

Am

plitu

d

Ilustración 38, Función y(1/2 t).


-15 -10 -5 0 5 10 15-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14Funcion escalada (2*t), y(2*t)

Tiempo, t

Am

plitu

d

Ilustración 39, Función y(2*t).


CAPÍTULO 2. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS.

Lección 6. Sistemas Lineales (SL).

Un sistema es lineal se obtiene cuando la entrada de un sistema dado es

escaldado por un valor, la salida del sistema es escalado por la misma cantidad.

La entrada del sistema lineal, X, produce una salida, Y. Si se escala en amplitud la

señal X por un valor α y es pasada a través del mismo sistema, la salida también

será escalada por el mismo valor α. Como se ilustra a continuación.

Ilustración 40, Grafica de escalamiento en sistemas lineales

Lección 7. Principio de Súper-posición. Un sistema lineal es aquel que satisface el principio de superposición. El principio

de superposición exige que si dos entradas son sumadas juntas y pasadas a

través del sistema lineal, la salida será equivalente a la suma de las dos entradas

evaluadas individualmente.

S.L X

Salida Entrada

Y

S.L α X α Y

S.L X1

Salida Entrada

Y1

S.L X2 Y2


Por medio del principio de superposición se muestra:

Ilustración 41, Figura 20. Principio de superposición

Si esta afirmación se cumple se dice que el sistema es lineal.

1) Escalamiento en Amplitud.

La propiedad de escalamiento en amplitud también es válida para el principio de

superposición. Por lo tanto, si las entradas x y y son escaladas por factores α y β,

respectivamente, entonces la suma de estas entradas escaladas dará la suma de

las salidas escaladas individualmente.

Ilustración 42, Escalamiento en amplitud en el principio de superposición.

S.L X1+Y1 X2+Y2

S.L α X1

Salida Entrada

α Y1

S.L β X2 β Y2

S.L α X1+βX2 α Y1+βY2


Lección 8. Sistemas Invariantes en el Tiempo (SIT)

Un sistema invariante en el tiempo (SIT) tiene la propiedad de que cierta entrada

siempre dará la misma salida, sin consideración alguna a cuando la entrada fue

aplicada al sistema.

Ilustración 43, Sistema Invariante en el tiempo.

En esta figura, x(t) y x(t−t0) son pasadas a través del sistema TI. Ya que el sistema

TI es invariante en el tiempo, las entradas x(t) y x(t−t0) producen la misma salida.

La única diferencia es que la salida debida a x(t−t0) es cambiada por el tiempo t0.

Si un sistema es invariante en el tiempo o de tiempo variado puede ser visto en la

ecuación diferencial (o ecuación en diferencia) descrita. Los sistemas invariantes

en el tiempo son modelados con ecuaciones de coeficientes constantes. Una

ecuación diferencial (o en diferencia) de coeficientes constantes significa que los

parámetros del sistema no van cambiando a través del tiempo y que la entrada

nos dará el mismo resultado ahora, así como después.

1) Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). A los sistemas que son lineales y al mismo tiempo invariantes en el tiempo nos

referiremos a ellos como sistemas LTI . Como se muestra a continuación la señal

de salida es una versión escalada y desplazada en el tiempo de la señal de

entrada.

SIT X(t)

Salida Entrada

Y(t)

SIT X(t-to) Y(t-to)


Ilustración 44,. Sistemas LTI

Los sistemas LTI son subconjuntos de los sistemas lineales, estos obedecen al

principio de superposición. En la siguiente figura se puede observar el efecto de

aplicar el tiempo invariante a la definición de sistema lineal del sistema anterior.

Aplicando el principio de superposición se tiene:

LTI X(t)

Salida Entrada

Y(t)

LTI αX(t-to) (Y(t-to)

LTI X1(t)

Salida Entrada

Y1(t)

LTI X2(t) Y2(t)

LTI αX1(t-t1)+ β X2(t-t2)

Salida Entrada

(Y1(t-t1)+ ( Y2(t-t2)


Lección 9. Sistemas Serie. Los Sistemas LTI pueden trabajar en Serie o Paralelo. Si dos o mas sistemas

están en serie uno con otro, el orden puede ser intercambiado sin que se vea

afectada la salida del sistema. Los sistemas en series también son llamados como

sistemas en cascada.

Ilustración 45,. Sistema LTI en Cascada

Lección 10. Sistemas Paralelo.

Si dos o mas sistemas LTI están en paralelo con otro, un sistema equivalente es

aquel que esta definido como la suma de estos sistemas individuales.

Ilustración 46, Sistema LTI en paralelo.

H1 H2

H1

H2

H1 + H2


CAPÍTULO 3. SISTEMAS LINEALES

Lección 11. Función Delta de Dirac.

La Función Delta de Dirac, conocida también como el impulso unitario o función

delta es una función infinítamente angosta, infinítamente alta, cuya integral tiene

un valor unitario. Tal vez la manera mas simple de visualizar esto es usar un pulso

rectangular que va de a-(ε/2) a a+(ε/2) con una altura de (1/ε) . Como se observa a

continuación.

Ilustración 47, Función delta de Dirac

Al momento de tomar su límite, lim0, se puede observar que su ancho tiende a ser

cero y su altura tiende a infinito conforme su área total permanece constante con

un valor de uno. La función del impulso usualmente se escribe como:

∫−∞∞δ(t) dt=1

por tanto la función se puede representar como:

ε/2

(1/ε)

-ε/2


Ilustración 48, Función delta de Dirac. representación.

En primera instancia se observara el comportamiento de la función Delta

multiplicada por otra función

f(t) δ(t) =f(0) δ(t)

Esta función es cero en todas partes excepto en el origen, así que básicamente

estamos eliminando el valor de la función de multiplicación al evaluarla en cero.

A primera vista esto no parece tener mayor importancia, porque ya sabemos que

el impulso evaluado en cero es infinito, y todo lo multiplicado por infinito da un

resultado infinito. Pero, ¿qué pasa si integramos el resultado de la multiplicación?

Lección 12. Propiedad de Desplazamiento

∫−∞∞f(t) δ(t) dt=∫−∞∞f(0) δ(t) dt= f(0) ∫−∞∞δ(t) dt= f(0)

1


Lo que se obtiene es una función evaluada en cero. Si hubiéramos usado δ(t−T)

en vez de δ(t), podríamos haber desplazado f(T). A esto es lo que llamaremos la

propiedad de desplazamiento de la función de Dirac, el cual se usa

frecuentemente para definir el impulso unitario.

Esta propiedad es muy útil al momento de desarrollar la idea de convolución la

cual es una de los fundamentos principales para el procesamiento de señales. Al

usar convolución y esta propiedad podemos representar una aproximación a

cualquier resultado de un sistema si se conoce la respuesta al impulso del sistema

y su señal de entrada..

Lección 13. Propiedades de Impulso Unitario

El impulso unitario se puede definir en forma funcional como

δ[t] =

Las propiedades del impulso unitario son:

unitario.escalón el es u(t) donde

(t)u dtd (t)

(-t) (t)

(t) 1 t)(

=

=

=

δ

δδ

δα

αδ

Ecuación 15, Función Impulso.

1, si t = 0

0 en otro caso

http://cnx.org/content/m12828/latest/�


Impulso de tiempo-discreto (muestreo unitario)

La extensión de la función impulso unitario al tiempo-discreto se convierte en una

trivialidad. Todo lo que realmente necesitamos es darnos cuenta que la integración

en tiempo-continuo equivale a una sumatoria en tiempo-discreto. Por lo tanto

buscaremos una señal que al sumarla sea cero y al mismo tiempo sea cero en

todas partes excepto en el origen.

Impulso de Tiempo-Discreto se define de la siguiente forma

δ[n] =

Ilustración 49, Impulso de Tiempo-Discreto

Al analizar una gráfica de tiempo-discreto de cualquier señal discreta, uno puede

notar que todas las señales discretas están compuestas de un conjunto de

muestras unitarias que están escalados y desplazados en el tiempo. Si dejamos

que el valor de una secuencia en cada entero k sea descrita por s[k] y la muestra

unitaria retrasado que ocurre en k sea escrito como δ[n−k], se puede escribir

1, si n = 0

0 en otro caso

1


cualquier señal como la suma de impulsos unitarios retrasados que son escalados

por un valor de la señal, o por coeficientes de escalamiento.

s[n] = ∑∞ k=−∞… s[k] δ[n−k]

Esta ecuación es una propiedad que solo se aplica a señales de tiempo-discreto y

resulta ser una propiedad muy útil para estas señales.

Lección 14. La Respuesta de Impulso La respuesta de impulso es exactamente lo que su nombre implica- la respuesta

de un sistema LTI, como por ejemplo un filtro, cuando la señal de entrada del

sistema es un impulso unitario (o muestra unitaria). Un sistema puede ser

completamente descrito por su respuesta al impulso por las razones explicadas

previamente, ya que todas las señales pueden ser representadas por una

superposición de señales. Una respuesta al impulso da una descripción

equivalente a la dada por una función de transferencia, ya que existen

Transformadas de Laplace para cada una.

Lección 15. Función de transferencia En un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se definie la función de

transferencia como la transformada de Laplace de la salida dividida en la

transformada de Laplace de la entrada, bajo condiciones iniciales nulas.

La función de transferencia se expresa como

H(s)=Y(s) / X(s)

Si la función de entrada es una función impulsional; es decir,

L.T.I X(t)

Salida Entrada

Y(t)




X(t)= δ (t) ⇒ X(s)= 1 y H(s)=Y(s)

Las raíces del numerador de H(s) se conoce como ceros y las raíces del

denominador se conoce como polos de la FT. La representación grafica de una

función de transferencia en el plano complejo s se le conoce como diagramas de

polos y ceros.


UNIDAD 2. .

Nombre de la Unidad SEÑALES Y SISTEMAS Introducción Muchos equipos y dispositivos modernos requieren

procesar la señales analógicas que reciben y convertirlas

en señales digitales para poder funcionar.

Harry Nyquist propuso un teorema que ha tenido efectos profundos en la teoría de información así como el diseño práctico de técnicas de comunicaciones de datos que implican la digitalización de señales análogas. Nyquist fue un de los pioneros más importantes de la teoría de comunicación. En 1924, Nyquist publicó el artículo " Certain Factors Affecting Telegraph Speed." Él observó que la velocidad de una transmisión en el cable era proporcional a la anchura de las frecuencias usadas, hoy conocida como la ancho de banda del circuito. En 1928 Nyquist publicó uno segundo artículo importante “Certain Topics in Telegraph Transmisión Theory”. En ello, Nyquist postuló un teorema que propuso que muestras tomadas dos veces el valor de la frecuencia mayor de la señal puede representar la señal perfectamente. El teorema está basado sobre la asunción que la transmisión es en uno canal sin ruido. Este es un concepto muy importante, y utilizado en el campo de ingeniería de telecomunicaciones.

Justificación Este curso tiene como objetivo que los estudiantes manejen los conceptos básicos y herramientas matemáticas fundamentales para el análisis y síntesis de sistemas lineales, con enfoque especial de sistemas de comunicación. El curso está basado en dos unidades fundamentales en donde se tratan los temas fundamentales para el tratamiento de señales, los cuales serán fundamentales para el análisis de señales en tiempo discreto; las definiciones, clasificaciones y formas de representación de las señales en función de sus variables. Los estudiantes de este curso realizan ejercicios relacionados fuera de clase, así como trabajos prácticos; algunos de sus trabajos serán realizados por la herramienta computacional MATLAB.

Intencionalidades Formativas

Aportar al estudiante la teoría necesaria para la comprensión de los sistemas lineales y las señales. Ayudar a la comprensión y aplicación de las herramientas matemáticas desarrolladas para el tratamiento de señales


y manipulación de los sistemas lineales. Denominación de capítulos

1. Términos básicos. 2. Propiedades de los sistemas 3. Sistemas Lineales


CAPÍTULO 4. MUESTREO.

Lección 16. MUESTREO DE SEÑALES.

Para convertir una señal analógica en digital, se debe realizar una serie de pasos.

Es necesario primero realizar un muestreo o sampling de la señal, es decir, tomar

diferentes muestras de tensiones o voltajes en diferentes puntos de la onda

senoidal. La frecuencia a la que se realiza el muestreo se denomina razón, tasa o

también frecuencia de muestreo y se mide en kilohertz (kHz). Durante el proceso

de muestreo se asignan valores numéricos equivalentes a la tensión o voltaje

existente en diferentes puntos de la sinusoide, con la finalidad de realizar a

continuación el proceso de cuantización.

Ilustración 50, Representación física de un sistema de muestreo

En la siguiente figura se ofrece las formas de las tres señales principales:

S(t): Señal a muestrear , δ: Señal muestreadota, Sd(t): Señal muestreada

Ilustración 51, Muestreo de señales.


Lección 17. Teorema del muestreo (Teorema de Nyquist-Shannon).

El muestreo periódico de una señal analógica se realiza cuando tomamos

mediciones de la misma a intervalos iguales. Por ejemplo cuando se graba una

señal de audio a la PC mediante una placa de sonido, el conversor A/D de la PC

estará digitalizando la señal a una cierta frecuencia tal como 11, 22, ó 44 kHz,

denominada frecuencia de muestreo. Si la frecuencia de muestreo es muy baja, es

decir mediciones demasiado espaciadas, se perderán “detalles” de la señal

original. Mediante una simple demostración gráfica se puede ver. En las figuras A-

B-C-D hemos representado cuatros señales distintas (en línea azul) muestreadas

periódicamente a igual frecuencia (los círculos rojos denotan las “muestras”). En A

y B las señales aparecen correctamente representadas por las muestras, en C la

velocidad de muestreo parece insuficiente, y en D las muestras representan una señal como la de B, es decir la señal de D es un “alias” de la señal de B. Este

efecto se denomina en inglés “aliasing”.

Ilustración 52, Teorema de Nyquist-Shannon.

A.

B.

C.

D.


El Teorema del Muestreo, o Teorema de Nyquist-Shannon, establece que la

frecuencia mínima de muestreo necesaria para evitar el “aliasing” debe ser.

fs > 2.BW

Con fs: frecuencia de muestreo, BW: ancho de banda de la señal a muestrear

BW = fmax - fmin

Para señales con fmin = 0, se puede expresar como

fs > 2 .fmax

Para demostrar el teorema se recurre a los conceptos básicos de series de Fourier

y trigonometría.

Lección 18. Conceptos básicos de Series de Fourier Una función s(t) periódica en el tiempo, con período T, puede ser representada por

una sumatoria de funciones senoidales del tipo

∑ +=

+++++++++=

)2cos()2cos(

...)32cos()22cos()2cos()(

1

1

3322110

kk

Nn

tfkCtfnC

tfCtfCtfCCtS

φπ

φπφπφπφπ

Ecuación 16, Serie de Fourier.

Para k = 0, 1, 2,...,n

Es decir una serie de componentes cosenoidales de amplitud Ck, fase φk y

frecuencia fk = k.f múltiplo de la frecuencia fundamental f=1/T (la de la función

representada). Es la conocida serie de Fourier.

La representación de estas amplitudes Ck sobre un diagrama Amplitud vs

frecuencia es lo que denominamos diagrama espectral o espectro de frecuencia


de la señal. La componente c0 es la componente de frecuencia 0 (componente de

continua). Se puede hablar así de una función S(f), con dominio 0, f, 2f, 3f...nf e

imagen c0, c1, c2, c3... cn.

Lección 19. Señales Analógicas periódicas.

La señal analógica, que se quiere muestrear, en caso de ser periódica tendrá un

espectro que será una suma de componentes senoidales de frecuencias

espaciadas a intervalos f=1/T o una integral de componentes senoidales de

frecuencias infinitamente próximas entre sí. Por ejemplo, el espectro de amplitud

de una señal s(t) cuadrada sigue una ley S(f)=1/f (pero con las componentes

pares c2, c4, c6... nulas). Este espectro es teóricamente infinito (ancho de banda

infinito). Las señales reales ocupan un ancho de banda finito. Por ejemplo una

señal de audio ocupa un rango de frecuencias entre unos 20Hz y 15 kHz.

Si una señal no es periódica, en vez de una sumatoria de componentes

espaciadas a intervalos 1/T, se tiene una integral (no periódica es período T

infinito, espaciamiento 1/T nulo). La forma de calcular la S(f) de una función no

periódica en el tiempo es mediante la Transformada de Fourier.

Aún así, si una señal es no periódica, sus componentes ocuparán una cierta

banda de frecuencias. Lo que realmente interesa es el espectro de la función

impulso repetitivo, ya que la señal obtenida como muestreo periódico de una señal

analógica equivale al producto de dicha señal analógica por la función impulso

repetitivo.

La función impulso (no repetitivo) d(t1) es aquella que vale 1 en t = t1 y 0 en t ≠ t1.

La función impulso repetitivo es dr(t)=d(0)+d(T)+d(2.T)+ d(3.T) .... es decir

impulsos espaciados T segundos en el tiempo, o lo que es lo mismo con

frecuencia de repetición f = 1/T.

Esta señal tiene un espectro


Dr(f) = k.[d(0) + d(f) + d(2.f) + d(3.f)+.....], con k cte.

Es decir (sin considerar la fase)

dr(t)=k.(1+ cos(2.π.f.t)+ cos(2.π2.f.t)+ cos(2.π3.f.t)+....

Ecuación 17, Fase.

En las gráficas siguientes se representan en el dominio del tiempo (izquierda)

funciones impulso repetitivo de 10 y 20 Hz y sus espectros correspondientes

(derecha).

Ilustración 53, Señales en el dominio del tiempo y sus correspondientes espectros.

Ya se tienen los elementos para la demostración:

Por trigonometría se tienen que:

cos(a).cos(b) = ½ [cos (a+b) + cos(a-b)], Identidad trigonométrica.

Por ejemplo, al multiplicar una señal cosenoidal de amplitud 1 y 5 kHz por una

señal cosenoidal de amplitud 1 y 50kHz resultan dos componentes cosenoidales

de amplitud 0,5 y 45kHz y 0,5 y 55kHz.


Ilustración 54, Señales señoidales a diferentes frecuencias con sus espectros.

Al muestrear la señal analógica s(t) obtenemos una señal s*(t) que equivale al

producto de la señal original por la función impulso repetitivo dr(t) .

s*(t)=s(t).dr(t)

Reemplazando en la anterior ecuación. s(t) por y dr(t) por (sin considerar la fase ni

el factor k en la se obtiene

s*(t)=s(t).dr(t)=[c0+c1.cos(2.π.fa.t)+ c2.cos(2.π.2.fa.t)+...+

cn.cos(2.π.n.fa.t)].[k.(1+ cos(2.π.fs.t)+ cos(2.π.2.fs.t)+ cos(2.π.3.fs.t)+....]

con fa frecuencia de la señal analógica y fs frecuencia de muestreo.

Aplicando distributiva y la identidad trigonométrica. se obtiene una serie de

componentes cosenoidales cuyas frecuencias serán


fs ±fa, fs±2.fa, fs ±3.fa.....2.fs ±fa, 2.fs ±2.fa, 2.fs ±3.fa, ... 3.fs ±fa, 3.fs ±2.fa, 3.fs±3.fa...

Agrupadas de la siguiente manera

(fs ±fa, fs±2.fa, fs±3.fa...)(2.fs±fa, 2.fs±2.fa, 2.fs±3.fa, ...)( 3.fs±fa, 3.fs±2.fa, 3.fs±3.fa...)...

Cada grupo reproduce el espectro de la señal s(t) y su “reflejo” sobre las

componentes fs, 2fs, 3fs.

El mismo análisis es válido para una señal no periódica.

Lección 20. Aliasing.

En las gráficas siguientes se ilustra la señal a muestrear y su espectro, la señal

muestreada a una frecuencia fs > fmax, y finalmente la señal muestreada a fs <

fmax, resultando el efecto de “aliasing”.


Ilustración 55, Aliasing. file:///C:/WINDOWS/Archivos temporales de

Internet/Content.IE5/W5MRGDI3/TMuestreo[1].doc

http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=11349


Una de las aplicaciones donde se puede apreciar más el concepto de aliasing es

en el procesamiento de imágenes. El aliasing ocurre cuando se intenta

representar una imagen pero que debido a la resolución resulta que éste sea

incapaz de representar la curva como tal, y por tanto dichas curvas se muestran

en pantalla dentadas al estar compuestas por cuadros menudos (los pixeles).

Como se puede observar en las siguientes imágenes

Sin Aliasing Con aliasing

Ilustración 56, Imágenes con y sin aliasing.


CAPÍTULO 5. CUANTIFICACIÓN.

Una vez realizado el muestreo de la señal, se continúa con la cuantificación

(quantization) de la señal analógica. Para esta parte del proceso los valores

continuos de la sinusoide se convierten en series de valores numéricos decimales

discretos correspondientes a los diferentes niveles o variaciones de voltajes que

contiene la señal analógica origina.

Por tanto, la cuantificación representa el componente de muestreo de las

variaciones de valores de tensiones o voltajes tomados en diferentes puntos de la

onda sinusoidal, que permite medirlos y asignarles sus correspondientes valores

en el sistema numérico decimal, antes de convertir esos valores en sistema

numérico binario. Como muestra la siguiente figura.

Ilustración 57, Grafica de cuantificación de señales.


Sin embargo, en esta parte se realizará énfasis en el proceso de cuantificación de

la señal.

Cuantificación: La cuantificación es la conversión de una señal discreta en el

tiempo evaluada de forma continua a una señal discreta en el tiempo

discretamente evaluada. El valor de cada muestra de la señal se representa como

un valor elegido de entre un conjunto finito de posibles valores.

Se conoce como error de cuantificación (o ruido), a la diferencia entre la señal de

entrada (sin cuantificar) y la señal de salida (ya cuantificada), interesa que el ruido

sea lo más bajo posible. Para conseguir esto, se pueden usar distintas técnicas de

cuantificación

Lección 21. Cuantificación uniforme. En los cuantificadores uniformes (o lineales) la distancia entre los niveles de

reconstrucción es siempre la misma, como se observa en la siguiente figura: No

hacen ninguna suposición acerca de la naturaleza de la señal a cuantificar, de ahí

que no proporcionen los mejores resultados. Sin embargo, tienen como ventaja

que son los más fáciles y menos costosos de implementar. En la siguiente figura

se ve un ejemplo de cuantificación uniforme:

Ilustración 58, Cuantificación uniforme.


Lección 22. Cuantificación logarítmica.

Las señales de voz pueden tener un rango dinámico superior a los 60 dB, por lo

que para conseguir una alta calidad de voz se deben usar un elevado número de

niveles de reconstrucción. Sin embargo, interesa que la resolución del

cuantificador sea mayor en las partes de la señal de menor amplitud que en las de

mayor amplitud. Por tanto, en la cuantificación lineal se desperdician niveles de

reconstrucción y, consecuentemente, ancho de banda. Esto se puede mejorar

incrementando la distancia entre los niveles de reconstrucción conforme aumenta

la amplitud de la señal.

Un método sencillo para conseguir esto es haciendo pasar la señal por un

compresor logarítmico antes de la cuantificación. Esta señal comprimida puede ser

cuantificada uniformemente. A la salida del sistema, la señal pasa por un

expansor, que realiza la función inversa al compresor. A esta técnica se le llama

compresión. Su principal ventaja es que es muy fácil de implementar y funciona

razonáblemente bien con señales distintas a la de la voz. Para llevar a cabo la

compresión existen dos funciones muy utilizadas: Ley-A (utilizada principalmente

en Europa) y ley-µ(utilizada en EEUU).

1) Ley-A :

≤≤+

+

≤≤+

=

11)sgn(log1

)/(log1

10)sgn(log1

)(

max

maxmax

max

xx

Asix

AxxA

x

Axx

sixA

xA

xc

e

e

e

Ecuación 18, Ley A de Cuantificación.


2) Ley-µ :

)sgn()1(log

)/1(log)( max

max xxx

xxce

e

µµ+

+=

Ecuación 19, Ley -µ de Cuantificación.

En la mayoría de los sistemas telefónicos, A se fija a 87.56 y µ a 255.

La siguiente figura muestra la gráfica de la ley-µ para distintos valores de µ:

Ilustración 59, Grafica de cuantificación logarítmica.

Lección 23. Cuantificación no uniforme.

El problema de la cuantificación uniforme es que conforme aumenta la amplitud de

la señal, también aumenta el error. Este problema lo resuelve el cuantificador

logarítmico de forma parcial. Sin embargo, si se conoce la función de la

distribución de probabilidad, podemos ajustar los niveles de recontrucción a la


distribución de forma que se minimice el error cuadrático medio. Esto significa que

la mayoría de los niveles de reconstrucción se den en la vecindad de las entradas

más frecuentes y, consecuentemente, se minimice el error (ruido).

La siguiente figura representa la cuantificación no uniforme

Ilustración 60, Cuantificación no uniforme.

En la práctica, se puede usar una estimación de la distribución para diseñar los

cuantificadores. Esta estimación se puede obtener a partir de los datos a

cuantificar de forma iterativa.

Lección 24. Cuantificación vectorial.

En los métodos anteriores, cada muestra se cuantificaba independientemente a

las muestras vecinas. Sin embargo, la teoría demuestra que ésta no es la mejor

forma de cuantificar los datos de entrada. Resulta más eficiente cuantificar los

datos en bloques de N muestras. El proceso es sencillamente una extensión de

los anteriores métodos escalares descritos anteriormente. En este tipo de

cuantificación, el bloque de N muestras se trata como un vector N-dimensional.


En la siguiente figura se observa un ejemplo de cuantificación vectorial (VQ) en

dos dimensiones:

Ilustración 61, Cuantificación vectorial.

El plano XY está dividido en seis regiones distintas. El vector de entrada (con dos

componentes) se reemplaza se reemplaza por el centroide i (representa todos los

vectores de una determinada región i) de la región a la que pertenece.

La cuantificación vectorial ofrece mejores resultados que la cuantificación escalar,

sin embargo, es más sensible a los errores de transmisión y lleva consigo una

mayor complejidad computacional.


Lección 25. Ruido de cuantificación

Ilustración 62, Procesos de la conversión A/D.

Se define como error de cuantificación o ruido de cuantificación a la señal en

tiempo discreto y amplitud continua introducida por el proceso de cuantificación y

que resulta de igualar los niveles de las muestras de amplitud continua a los

niveles de cuantificación más próximos. Una vez cuantificadas las muestras

podrán ser codificadas ya que siempre se podrá establecer una correspondencia

biunívoca entre cada nivel de cuantificación y en número entero. Para el caso del

cuantificador ideal se trata del único error que introduce el proceso.


Ilustración 63, Proceso de cuantificación. http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:FuncionTransferenciaCuantificador.svg

Función de transferencia del proceso de cuantificación. Un intervalo de valores de

entrada (escalón de cuantificación) se corresponde con un único valor de salida.

Así, por cada valor de entrada se obtiene un valor de salida y un error que, si se

resta al de salida, devolvería el valor de entrada. El error es máximo cuando el

valor de entrada es equidistante a sus dos niveles de cuantificación más próximos

(se dice entonces que se encuentra sobre el nivel de decisión). El error es cero

cuando el valor de entrada equivale a un nivel de cuantificación y, por tanto, al

nivel de salida. Se puede observar que la amplitud máxima del error es de medio

escalón de cuantificación (Δ = Escalón de cuantificación) mientras la señal de

entrada se encuentra dentro del rango de cuantificación.

El proceso de convertir una señal en tiempo discreto de amplitud continua (esto

es, en el proceso de muestreo la señal se ha dividido en el tiempo en un número

finito de muestras pero el valor de estas aún no ha sido limitado en precisión) en

una señal discreta en tiempo y amplitud (sus dos dimensiones), expresando cada

muestra por medio de una precisión finita y conocida (en contraposición a una


precisión infinita -en matemática- o indeterminada -en física-) consecuencia del

ajuste a un número finito y determinado de niveles, se denomina cuantificación. La

diferencia que resulta de restar la señal de entrada a la de salida es el error de

cuantificación, esto es, la medida en la que ha sido necesario cambiar el valor de

una muestra para igualarlo a su nivel de cuantificación más próximo. Esta

diferencia, entendida como una secuencia de muestras de tiempo discreto pero de

amplitud continua (al igual que la señal de entrada), puede ser interpretado en la

práctica como una señal indeseada añadida a la señal original (motivo por el que

se denomina ruido, aunque no siempre cumpla con todos los criterios necesarios

para ser considerado así y no distorsión), de modo que se cumple:

Ilustración 64, Modelo matemático del ruido de cuantificación.

De esta representación se puede extraer

)()()( nxnqxnqe −=

Ecuación 20, Error de Cuantificación.

donde


)(nx representa la secuencia de muestras de amplitud continua a la entrada del

cuantificador.

)(nxq Es la secuencia de muestras de amplitud discreta (cuantificadas) a la salida del

cuantificador .

)(neq representa a la secuencia de muestras de amplitud continua del error de

cuantificación.

El receptor/lector de )(nqx (o de su versión codificada posterior) no tiene la información

necesaria para identificar el componente de error )(neq que incluye y poder

recuperar )(nx . Es decir, la reconstrucción de las muestras originales de amplitud

continua (sin cuantificar) no es posible sólo a partir de las muestras cuantificadas: falta la

información necesaria para distinguir el error de la señal una vez estos se suman en la

cuantificación.

En la Figura es posible verificar que el error de cuantificación )(neq está siempre en el

rango -Δ/2 a Δ/2 mientras la señal analógica de entrada se encuentre dentro del rango del

cuantificador:

2)(

2∧

<<∧

− nqe

Ecuación 21, Rango del error de cuantificación.

Donde es el tamaño del escalón de cuantificación que viene dado por:


LR

=∧

donde es el rango del cuantificador y el número de niveles de cuantificación.

Ilustración 65, Cuantificación de una sinusoide.

La línea roja en la figura corresponde con las muestras (2000 en este ejemplo

para el ciclo completo por lo que produce la ilusión de ser continua) sin cuantificar

(muestras de entrada al cuantificador) de una señal original sinusoidal sin dither, la

verde representa esas mismas muestras de entrada cuantificadas (salida del

cuantificador ideal) y la azul muestra el error de cuantificación que resulta del

proceso de cuantificación.


La relación señal a ruido de cuantificación (SQNR) es para este caso de sólo

24,74 dB con objeto de resaltar el error de cuantificación y su forma. Dicho de otro

modo, la amplitud de la sinusoidal original de entrada (línea roja) es de 7,5 niveles

de cuantificación (la máxima amplitud de una sinusoidal que puede cuantificar un

cuantificador por redondeo de 4 bits ya que el nivel de cuantificación de valor 0 no

puede estar centrado al haber un número par de niveles totales).

Con objeto de poner de manifiesto el ruido de cuantificación, a la señal de entrada

sinusoidal de este ejemplo no se le ha añadido Dither (un ruido analógico que se

añade intencionadamente a la señal de entrada antes de la conversión A/D). En la

práctica, y como consecuencia de la lógica y habitual práctica de añadir dither

(véase Ruido o distorsión: la necesidad de añadir dither), la figura notablemente

escalonada de una señal cuantificada como la ilustrada aquí adquiere el aspecto

de la Figura 42 color verde.

En el caso de que el error está limitado en magnitud [es decir, 2

)( ∧<neq ], el error

resultante se denomina ruido granular. Cuando la entrada cae fuera del rango de

cuantificación (recorte), )(neq es ilimitado y resulta en ruido de sobrecarga.

Teóricamente, la cuantificación de las señales analógicas resulta siempre en una

pérdida de información (incluso en su caso ideal). Éste es el resultado de la

ambigüedad introducida por la cuantificación. De hecho, la cuantificación es un

proceso no reversible, dado que a todas las muestras a un intervalo inferior a Δ/2

de un determinado nivel se les asignan el mismo valor. Sin embargo, discretizar

una señal en su otra dimensión (el tiempo) mediante el proceso de muestreo, no

es irreversible tal y como demuestra el teorema de muestreo y si se cumplen los

criterios que impone el propio teorema debido a la naturaleza periódica y, por


tanto, determinista de las señales que se someten a este proceso y a la limitación

del ancho de banda (límite superior a la frecuencia de los componentes que

componen la señal periódica).

Es decir, una onda periódica muestreada cumpliendo los criterios de Nyquist sólo

puede comportarse de un único modo entre dos muestras contiguas y este

comportamiento es totalmente deducible a partir de la serie completa de muestras

de amplitud continua de la señal. La discretización de la dimensión amplitud (la

cuantificación), es, por tanto, el único proceso que introduce un error teórico (en

procesos ideales) sobre la señal original en todo el procedimiento completo de

digitalización de una señal.


CAPÍTULO 6. Análisis de Fourier .

Lección 26. Serie de Fourier en tiempo continuo.

Las técnicas de análisis de Fourier de tiempo continuo son ampliamente útiles

para analizar y conocer las propiedades de la señales y sistemas de tiempo

continuo. Por otro lado, las técnicas del análisis de Fourier de tiempo discreto son

de igual manera útiles en el estudio de señales y sistemas de tiempo discreto. El

origen del análisis de tiempo continuo se atribuye a las investigaciones realizadas

sobre los problemas de la física matemática en el siglo XVIII, mientras que las

herramientas para analizar señales de tiempo discreto tienen raíces diferentes.

Esto proporcionó un segundo entorno en el cual se realizó gran parte del trabajo

inicial sobre señales y sistemas de tiempo discreto.

En los años 40 y 50 se obtuvo un gran desarrollo en las técnicas de tiempo

discreto y en particular en el uso de las herramientas del análisis de Fourier. Este

impulso se debió al incremento en el uso y en la capacidad de las computadoras

digitales y el desarrollo de métodos de diseño de sistemas de datos muestreados.

Estos sistemas en general requieren del cálculo de numerosas transformadas de

Fourier. Por último, en los años 60 se desarrolló un algoritmo mejor conocido

como la transformada rápida de Fourier o FFT, el cual demostró ser totalmente

adecuado para una implementación digital eficiente y redujo considerablemente el

tiempo de computación para las transformadas. Con esta herramienta muchas

ideas interesantes pero poco prácticas se convirtieron en aplicaciones reales.

Existen varias similitudes entre las técnicas del análisis de Fourier de tiempo

discreto y de tiempo continuo, por ejemplo, las razones básicas de la utilidad de

representar señales en términos de exponenciales complejas son las mismas para


ambos análisis. En particular, si la entrada y la salida de un sistema linealmente

invariable en el tiempo de tiempo discreto son expresadas como combinaciones

lineales de exponenciales complejas, entonces los coeficientes de la

representación de la salida pueden ser expresados en términos de los coeficientes

de la combinación lineal que representa la entrada.

Por otro lado existen ciertas diferencias, la representación en serie de Fourier de

una señal periódica de tiempo discreto es una serie finita. De hecho, la FFT

depende de manera intrínseca de esta finitud y por consecuencia es un concepto

de tiempo discreto.

Consideraciones Teóricas para la FFT.

El algoritmo para la FFT explota las propiedades de simetría de la exponencial compleja

discreta en el tiempo para reducir el número de multiplicaciones. Para evaluar una

transformada discreta de Fourier con N muestras el algoritmo de la FFT encuentra su

eficiencia cuando N es una potencia de 2. Esta restricción no afecta el uso práctico de la

FFT ya que la longitud de h(n) puede ser incrementada a la siguiente potencia de 2

aumentando el número adecuado de ceros.

Debido a la naturaleza discreta del índice de tiempo para señales de tiempo discreto, el

escalamiento en tiempo y en frecuencia asume una forma diferente con respecto a la de

tiempo continuo. Sea x(n) una señal con espectro X(ω). Consideremos la transformada

Y(ω) de y(n).

∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

− −==n

nj

n

nj enxenyY ωωω )()()(

Ecuación 22, Transformada Discreta de Fouier.


1

Sustituyendo m = -n en la ecuación se obtiene:

)()()( )( ωω ω −== ∑∞

−∞=

−− XemxYn

mj2

Esto es, aplicando la transformada de Fourier.

)()( ω−↔− Xnx

Aunque esta última ecuación es similar al caso de tiempo continuo, la deferencias surgen

cuando tratamos de escalar en tiempo y en frecuencia en lugar de invertir el eje de

tiempo.

El resultado que puede ser paralelo a la ecuación correspondiente al análisis de tiempo

continuo es el que se desarrolla a continuación:

kdemúltiploesnSixnx kn

k )()( =

kdemúltiploesnonSinxk 0)( =

Sea k un entero positivo.

En 1807, Fourier, establece en los trabajos presentados en el instituto de Francia que:

cualquier señal periódica puede ser representada por una serie de sumas trigonométricas


en senos y cosenos relacionadas armónicamente.

Los argumentos establecidos por Fourier eran imprecisos y en 1829 Dirichlet proporcionó

las condiciones precisas para que una señal periódica pueda ser representada por una

serie de Fourier.

Fourier obtuvo además, una representación para señales no periódicas, no como suma de

senoides relacionadas armónicamente, sino como integrales de senoides, las cuales no

todas están relacionadas armónicamente. Al igual que las series de Fourier, la integral de

Fourier, llamada Transformada de Fourier, es una de las herramientas más poderosas

para el análisis de sistemas LTI (Sistema Lineal Invariante en el Tiempo).

Lección 27. REPRESENTACIÓN DE UNA SEÑAL CONTINUA.

Una señal es periódica si para algún valor positivo T, diferente de cero, se verifica que:

x(t) = x ( t + T ) para toda t.

Para que una señal periódica pueda representarse por una serie de Fourier, debe

respetar las condiciones de Dirichlet:

• Que tenga un número finito de discontinuidades en el periodo T, en caso de ser

discontinua.

• El valor medio en el periodo T, sea finito.

• Que tenga un número finito de máximos positivos y negativos.

• Si se satisfacen estas condiciones, existe la serie de Fourier y puede escribirse en

la forma trigonométrica como:

...)32...3cos2coscos(2)(

32

13210

+++++++=

tsenbtsenbtsenbtatataatx

ωωωωωω

Ecuación 23, Representación en Armónicos.


Representándolo en términos de sumatoria:

)(.)cos(.2)(1

0 tksenbtkaatx kk

k ωω∑∞

=

++=

Ecuación 24, Representación en Sumatorias.

Los coeficientes ak y bk, se obtienen mediante el siguiente cálculo integral:

∫=T

k dttktxT

a )cos()(1 ω

∫=T

k dttksentxT

b )()(1 ω

Ecuación 25, Coeficientes de Fourier.

Lección 28. CONVOLUCIÓN Y SUS PROPIEDADES

1) Convolución de Señales

∫∞

∞−−== τττ dthxthtxty )()()(*)()(

Ecuación 26, Convolución.


Esta operación es muy usada en comunicaciones, análisis armónico, etc.,

permitiendo encontrar fácilmente muchos resultados importantes.

La integral del lado derecho, es decir la integral de convolución, se puede

interpretar como el área bajo la curva resultante del producto entre las funciones x(

) y h( t - ).

Para esta integral, se han realizado los siguientes cambios de variable:

Para x( t ) se hace el cambio de variable independiente, t = . Para h( t ) se hace

el cambio de variable independiente, t = , además se refleja y se desplaza la

señal t unidades.

El cálculo de la integral se puede realizar de dos maneras, analíticamente

(resolviendo las integrales planteadas) o gráficamente (calculando las áreas

respectivas a partir de los gráficos realizados para las señales).

La convolución con (t) se calcula valiéndose de la propiedad de separación de

la función (t), que permite escribir la función x(t) como la suma de infinitos pulso:

∫∞

∞−=−== )()()()(*)()( τττδδ xdttxttxty

Ecuación 27, Convolución Función Delta.

Además se puede verificar que:

[ ] )()()()(*)()()(*)()()(*)(

)()(*)(

2121

2121

TtfTtfTtTttfTTtTtTtTTtfTtTtf

TtfTttf

−++=−++−−=−−−−=−−

−=−

δδδδδ

δδ

Ecuación 28, Propiedades de Convolución.


Ejemplo de cálculo de convolución en tiempo continuo

Primero se definirá las señales x ( t ) y h ( t )

=casootroEn

ttth

,040,

)(

y

−

=casootroEn

ttx

,011,1

)(

A continuación se grafican las señales

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4h(t)=t, para 0<=t<=4)

Tiempo (seg)

h(t)


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x(t)=1, para -1<=t<=1

Tiempo (seg)

x(t)

Ahora se observan las dos graficas en el mimo plano, tratando de conservar el rojo

para h(t) y el color azul para x(t).


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Funciones

Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)

Se cambia la variable t por y se refleja h ( t ); es decir, obtener h(-t)


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4h(-t))

Tiempo (seg)

h(-t)

Por tanto graficando las dos funciones en una sola grafica tendríamos


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Funciones x(t) y h(-t)

Tiempo (seg)

Ampl

itud)

Ahora se desplaza h ( - ), t unidades, consiguiendo h ( t - ) , o lo que es lo

mismo h ( - ( - t ) ) :

Luego se deben tomar en cuenta los diferentes intervalos de t para los cuales

cambia la expresión de x ( t ) · h ( t - ), resolviendo la integral de convolución

para cada intervalo.

Primero se considerará el intervalo entre - < t < -1, en el cual se tiene, para

cualquier valor de t:


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Funciones x(t) y h(t+2)

Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)

Resolviendo la integral se tendría

10)(

0)()()(*)()(

0)()(

−<<∞−=

=−==

=−

∫ ∞−

tParatY

dthXthtXtY

thXt

τττ

ττ

El segundo intervalo a considerar será - 1 < t < 1, en el cual se tiene, para

cualquier valor de t


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Funciones x(t) y h(t+0.5)

Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Funciones x(t) y h(-t)

Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)

Resultado


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Funciones x(t) y h(t-0.5)

Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)

112

)1()(

21

2)()(*)()(

01

)()(

2

1

2

<<−+

=

++=−==

<<−−

=−

∫−tParattY

ttdtthtXtY

valorparatparat

thX

tττ

ττττ

El siguiente intervalo a considerar sería 1 < t < 2, en donde:


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Funciones x(t) y h(t-t) para 1<t<2

Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)

Resultado


Como se puede observar la zona verde es el resultado de la operación.

212)(

2)()(*)()(

011

)()(

1

1

<<=

=−==

<<−−

=−

∫−tParattY

tdtthtXtY

valorparaparat

thX

ττ

ττττ

El cuarto intervalo a considerar sería 2 < t < 4, en el cual, para cualquier valor de t:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)Resultado

422

4)(

24)()(*)()(

014

)()(

2

1

4

2

<<−+=

−+=−==

<<−−

=−

∫−tParatttY

ttdtthtXtY

valorparatparat

thX

tττ

ττττ

El último intervalo será 4< t < , en el cual se obtiene para cualquier valor de t


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)

∞<<=

=−==

=−

∫∞

−

tParatY

dthXthtXtY

thX

t

40)(

0)()()(*)()(

0)()(

4τττ

ττ

Finalmente, resumiendo el resultado de x ( t ) * h ( t ) en un gráfico, se obtiene:


-6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5Resultado de la convolución de las Funciones x(t) y h(t) para todo t

Tiempo (seg)

Ampl

itud(

t)

Lección 29. Convolución Discreta.

El concepto de la convolución discreta es la misma que la de

convolución continua. Hay que tener en cuenta que la convolución es un

instrumento poderoso al determinar el resultado de un sistema después

de saber la una entrada arbitraria y la respuesta al impulso del sistema.

Puede muy práctico el calcular la convolución en forma gráfica para

reforzar los conceptos.

1) Suma De Convolución.

La suma de convolución provee una manera matemáticamante concisa

para expresar el resultado de un sistema LTI, basado en una entrada


arbitraria para una señal discreta y saber la respuesta del sistema. La

suma de convolución es expresada de la siguiente forma

[ ] [ ] [ ]∑∞

∞−

−= knhkxny

Ecuación 29, Convolución Discreta.

Como en el tiempo continuo la convolución es representado por el

símbolo *, y puede ser escrita como:

[ ] [ ] [ ]nhnxny *=

Ecuación 30, Convolución Discreta, Función Impulso.

Realizando una transformación de variables en la suma de convolución,

k=n−k, se puede demostrar fácilmente que la convolución es

conmutativa

[ ] [ ] [ ] [ ]nxnhnhnx ** =

La segunda propiedad de la convolución es que es asociativa:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]nznhnxnznhnx **** =


Y por último, la convolución es distributiva

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nznhnznxnznhnx *** +=+

Lección 30. Calculo de la Convolución Discreta.

El calculo de la convolución entre x(k) y h(k) supone la realización de los

siguientes pasos

a. Reflexión. Se refleja h(k) respecto de K00 para producir h(-k).

b. Desplazamiento. Se desplaza h(-k), n hacia la derecha(izquierda) si

n es positivo (negativo), para obtener h(n-k).

c. Multiplicación. Multiplicamos x(k) por h(n-k) para obtener la

secuencia producto.

d. Suma. Se suman todos los valores de la secuencia, es decir, todas

las respuestas impulsionales del sistema para obtener la respuesta

en el punto indicado.

Ejemplo

Sea la señal la respuesta impulsional de un sistema lineal e invariante en

el tiempo dada por:

Determine la respuesta al sistema si se tiene una señal de entrada x(n):

Solución:

Se empieza graficando las señales h(n) y x(n)

h(n)={ -1, 2, 1,-1}

x(n)={1, 2, 0,1}


-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1

0

1

2 Señal x(n)

n

x[n]

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1

0

1

2 Señal h(n)

n

h[n]

Ahora se empezará a calcular. Para n=0, y(0), recuerde los pasos

mencionados anteriormente (reflejar, multiplicar y sumar). Observe que en


la siguiente gráfica los valores que tienen contribución es en cero y uno, ya

que al multiplicar los otros valores se encontrará con ceros a ambos lados.

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal x(n)

n

x[n]

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal h(-k)

n

h[n]

Por tanto: y[0]=[(1*2) +(2*-1)] = 0;

Ahora se empezará a realizar los desplazamientos de la señal h.


-5 0 5 10-2

-1

0

1

2 Señal x(n)

n

x[n]

-5 0 5 10-2

-1

0

1

2 Señal h(-2-k)

n

h[n]

y[-2]=0, debido a que no coinciden ninguna de las componentes de las dos

señales.

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal x(n)

n

x[n]

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal h(-1-k)

n

h[n]


y[-1]=1*-1 = -1;

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal x(n)

n

x[n]

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal h(1-k)

n

h[n]

y[1]=[(1*1) +(2*2)+ (0*-1)] = 5;

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal x(n)

n

x[n]

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal h(2-k)

n

h[n]


y[2]=[(1*-1) +(2*1)+ (0*2)+( 1*-1)] = 0;

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal x(n)

n

x[n]

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal h(3-k)

n

h[n]

y[3]=[(1*0) +(2*-1)+ (0*1)+( 1*2) +( 0*-1)] = 0;

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal x(n)

n

x[n]

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal h(4-k)

n

h[n]


y[4]=[(1*0) +(2*0)+ (0*-1)+( 1*1) +( 0*2)+..] = 1;

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal x(n)

n

x[n]

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal h(5-k)

n

h[n]

y[5]=[(1*0) +(2*0)+ (0*0)+( 1*-1) +( 0*1)+..] = -1;

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal x(n)

n

x[n]

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal h(6-k)

n

h[n]


y[6]=[(1*0) +(2*0)+ (0*0)+( 1*0) +( 0*2)+..] = 0;

Desde este punto todas las contribuciones son ceros. Ahora

representemos cada respuesta impulsional y organicemos la ecuación final

y[n]:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-2

-1

0

1

2

3

4

5

6 Señal y(n)

n

y[n]

Ejercicio: Analice y verifique que y(n)=x(n)*h(n)


-5 0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

n

x[n]

-5 0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

n

h[n]


-5 0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n

y[n]

Derivación de Señales

Esta operación, muy usada en el modelado de sistemas, la podemos interpretar

como la velocidad de cambio de la señal. Gráficamente representa su pendiente.

dttdxty )()( =

Para el modelado de muchos sistemas se usan ecuaciones diferenciales, definidas

como:

∑∑==

=M

kk

k

k

N

kk

k

k dttxdb

dttyda

00

)()(


Algunos ejemplos de su utilización serían:

- Respuesta de un circuito RC.

- Movimiento de un vehículo sujeto a entradas de aceleración y fuerzas de

fricción.

A partir de una expresión para x(t) en función de señales elementales se puede

obtener su derivada mediante el uso de las siguientes relaciones:

dttrampdtu )()( =

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

2

4

6

8 Señal ramp[t]

t

ram

p[t]

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

2

4

6

8 Señal dramp[t]/dt

t

u[t]

dttudt )()( =δ


-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2 Señal u[t]

t

u[t]

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2 Señal d u[t]/dt

t

d[t]

Ejemplo: Sea la señal x1 (t) como se define a continuación.

)1()()(1 −−= tramptramptx


-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2 Señal ramp[t]

t

ram

p[t]

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2 Señal ramp[t-1]

t

ram

p[t-1

]

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2 Señal ramp[t]-ramp[t-1]

t

x1[t]

Obtenga x2(t). Calculada como:

dttxdtx )()( 1

2 =

)1()()(2 −−= tututx


-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2 Señal u[t]

t

u[t]

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2 Señal u[t-1]

t

u[t-1

]

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2 Señal u[t]-u[t-1]

t

x2[t]

En el caso de los sistemas discretos estas ecuaciones se conocen como

ecuaciones de diferencias, definidas como:

[ ] [ ]∑∑==

−=−M

kk

N

kk knxbknya

00

Igualmente las señales elementales discretas están relacionadas mediante las

siguientes ecuaciones de diferencias:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]1

1−−=

−−=nunun

nrampnrampnuδ


1) Ejemplo:

[ ] [ ] [ ]1112 −−= nxnxnx

-2 0 2 4 6 8 10-2

0

2 Señal x1[n]

n

x1[n

]

-2 0 2 4 6 8 10-2

0

2 Señal x1[n-1])

n

x1[n

-1]

-2 0 2 4 6 8 10-2

0

2 Señal x2[n])

n

x2[n

]

Integración de Señales

∫∞−

=t

dxty ττ )()(

La integración de señales es una operación muy usada en comunicaciones,

análisis espectral, etc., representando gráficamente el área acumulada bajo la

curva que define la señal.

Las señales fundamentales, rampa y escalón, están relacionadas por medio de

las siguientes integrales:


∫ ∞−=

tdutramp ττ )()(

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2 Señal u[t]

t

u[t]

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2 Señal ramp(t)

t

ram

p[t]

∫ ∞−=

tdtu ττδ )()(


-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2 Señal d[t]

t

d[t]

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2 Señal u[t]

t

u[t]

2) Ejemplo: La función x1(t) está definida por:

≤<≤<

≤<≤

=

85,253,30,2

0,0

)( 21

tparatparattparat

tpara

tx

Encuentre x(t) dado por

∫∞−

=t

dxtx ττ )()( 1


Integrando por intervalos tenemos:

≤<

≤<

≤<

≤

=

85,2

53,3

30,0,0

)( 3

2

tparat

tparattparat

tpara

tx

A continuación se puede observar su respuesta gráfica

-2 0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

25 Señal x1[t]

t

x1[t]

-2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

Señal Resultante

t

x[t]


Para las señales discretas, la integración no es más que una sumatoria:

[ ] [ ]∑−∞=

=n

kkxny

Igualmente las señales elementales discretas están relacionadas mediante las

siguientes sumatorias:

[ ] [ ]

[ ] [ ]∑

∑

−∞=

−∞=

=

=

n

k

n

k

kunramp

knu δ

3) Ejemplo: La señal x2 está expresada por:

[ ] [ ]∑−∞=

=n

kkxnx 12


-2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2 Señal x1[n]

n

x1[n

]

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1002468

10121416

Señal x2[n])

n

x2[n

]

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