Proceso de Admisión 2019 - Maestría y Doctorado en ... · Proceso de Admisión 2019 3 Contenido...

1Proceso de Admisión 2019

2Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas

Curso de Inducción

Módulo:

Algebra y Geometría


Contenido del módulo• En este módulo se revisarán estrategias de solución a problemas

dentro de los siguientes temas:

o Leyes de los exponentes y radicales

o Factorización y operaciones con polinomios

o Factorial y sus propiedades

o Logaritmos y sus propiedades

o Ecuaciones lineales

o Sistemas de ecuaciones lineales

o Ecuaciones cuadráticas

o Teorema de Pitágoras

o Curvas en el plano


Leyes de los exponentes y

radicales


0𝑚 = 0 𝑠𝑖 𝑚 > 0

𝑎0 = 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0

𝑝𝑛 𝑎 ± 𝑞 𝑛 𝑎 = (𝑝 ± 𝑞)𝑛 𝑎

𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

𝑎𝑚 ⋅ 𝑏𝑚 = (𝑎𝑏)𝑚

𝑛𝑎. 𝑏 = 𝑛 𝑎.

𝑛𝑏

𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛

𝑎𝑚

𝑏𝑚=

𝑎

𝑏

𝑚

𝑛 𝑎𝑛

𝑏=

𝑛 𝑎

𝑏=

𝑎

𝑏

1𝑛

𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑚 = 𝑎𝑚𝑛 𝑛𝑧𝑎𝑚𝑧 =

𝑛𝑎𝑚

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑚 = 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑎

𝑚𝑛

𝑎𝑛

𝑏𝑛=

𝑎

𝑏

𝑛 −𝑎 = 𝑖 𝑎


Exponentes y radicales 𝑎 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ

Leyes de los exponentes:

1.- 𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

2.-𝑎𝑛

𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚; 𝑎 ≠ 0 (Esto si n>m)

3.-𝑎𝑛

𝑎𝑚 =1

𝑎(Esto si n<m)

4.- 𝑎0 = 1 (Excepto 𝑎 = 0)

5.- 𝑎−1 =1

𝑎𝑛 (Excepto 𝑎 ≠ 0)

6.- 𝑎𝑛 𝑚 = 𝑎𝑛.𝑚

7.-𝑎

𝑏

𝑛=

𝑎𝑛

𝑏𝑛 (Excepto 𝑏 ≠ 0)

1.- 32. 35 =

2.-35

34 =

3.-36

38 =

4.- 20 =

5.- 5−2 =

6.- 72 3 =

7.-3

5

2=

37

3

1

32

1

1

25

76

9

25


Productos que incluyen

multinomios

1.- (𝑏2. 𝑏2) =

2.- (𝑏5. 𝑏2) =

3.- 3𝑎2 2𝑎2 =

4.- 2𝑥3 4𝑥5 =

5.- 3𝑦3 2𝑦2 =

6.- 5𝑏1 4𝑏5 =

7.- 2𝑎3𝑏2 3𝑎4𝑏3 =

8.- 4𝑎3𝑏5 2𝑎2𝑏4 =

9.- 3𝑥7𝑦4 5𝑥2𝑦3 =

10.- 5𝑥2𝑦3 7𝑥𝑦4 =

11.- 2𝑎2𝑏3 3𝑎2𝑐 𝑏2𝑐3 =

𝑏4

𝑏7

6𝑎4

8𝑥8

6𝑦5

20𝑏6

6𝑎7𝑏5

8𝑎5𝑏9

15𝑥9𝑦7

35𝑥3𝑦7

6𝑎4𝑏5𝑐4


12.- 5𝑎2 3𝑏𝑐3 2𝑎𝑐2 =

13.- 2𝑥2𝑦3 3𝑥𝑧2 5𝑦 =

14.- 3𝑥2𝑦 2𝑥𝑧 4𝑦2𝑧 =

15.- 𝑥2 3 =

16.- 𝑦3 2 =

17.- 𝑎4 5 =

18.- 𝑎2 4 =

19.- 2𝑎2𝑏3 3 =

20.- 3𝑎3𝑏4 2 =

21.- 5𝑥3𝑦 4 =

22.- 4𝑥4𝑦3 4 =

30𝑎3𝑏𝑐5

30𝑥3𝑦4𝑧2

24𝑥3𝑦3𝑧2

𝑥6

𝑦6

𝑎20

𝑎8

8𝑎6𝑏9

9𝑎6𝑏8

625𝑥12𝑦4

256𝑥16𝑦12


Ejercicios

1.-𝑡9

𝑡6 =

2.-8𝑥8

2𝑥2 =

3.-9𝑥9

3𝑥3 =

4.-10𝑥10

5𝑥5 =

5.-6𝑥6

3𝑥3 =

6.-𝑎2𝑐3

𝑎𝑐2 =

7.-𝑎5𝑏9

𝑎3𝑏5 =

8.-𝑥6𝑦7

𝑥𝑦6 =

9.-𝑡5𝑤3

𝑡4𝑤2 =

10.-15𝑥2𝑦5𝑧7

5𝑥𝑦3𝑧4 =

11.-18𝑎9𝑏8𝑐3

6𝑎6𝑏5𝑐=

12.-24𝑎5𝑏7𝑐9

6𝑎𝑏6𝑐5 =

𝑡3

4𝑥6

3𝑥6

2𝑥5

2𝑥3

𝑎𝑐

𝑎2𝑏4

𝑥5𝑦

𝑡𝑤

3𝑥𝑦2𝑧3

3𝑎3𝑏3𝑐2

4𝑎4𝑏𝑐4


13.-24𝑎3𝑏7𝑐4

18𝑎2𝑏3𝑐2 =

14.-𝑥3

𝑦4

2

=

15.-3𝑥3

𝑦2

3

=

16.-2𝑥2

3𝑦3

4

=

17.-5𝑦

4𝑦2

3=

4

3𝑎𝑏4𝑐2

𝑥6

𝑦8

27𝑥9

𝑦6

16𝑥8

81𝑦12

125

64𝑦3


Expresa el resultado en forma simplificada, en caso de resultarpotencias, deberán tener exponente positivo

1.-𝑎−3𝑏4

𝑎4𝑏−3 =

2.- 𝑎−1𝑏2 −1 =

3.-5𝑥−2𝑦−4

2−1𝑧−3 =

4.-𝑧

5−1𝑧−1 +3

2𝑧 −2 =

5.-3𝑥

𝑦−1 +𝑦

3𝑥 −1 =

1.-𝑏4𝑏3

𝑎3𝑎4 =𝑏7

𝑎7

2.-1

𝑎−1𝑏2 1 =1

𝑎−1𝑏2 =𝑎

𝑏2

3.-2∙5𝑧3

𝑥2𝑦4 =10𝑧3

𝑥2𝑦4

4.- 5𝑧2 + 3 2𝑧 2 = 5𝑧2 + 3 ∙ 4𝑧2 = 5𝑧2 +12𝑧2 = 17𝑧2

5.- 3𝑥𝑦 + 𝑦 ∙ 3𝑥 = 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑦 = 6𝑥𝑦


La forma reducida osimplificada de una radical secaracteriza por:

1.- No hay factores primos enel radical con exponentemayor o igual qué el índice dela raíz.

2.- No hay exponentesnegativos.

3.- El máximo común divisor omáximo factor común de losexponentes de los factoresprimos y del índice de lasraíces.

4.- El denominador se haracionalizado; es decir, nocontiene radicales.

Leyes de los radicales

1.- 𝑛 𝑎 = 𝑎1

𝑛

2.-𝑛

𝑎𝑏 = 𝑎𝑏1

𝑛 = a1

n b1

n =𝑛 𝑎

𝑛𝑏

3.-𝑛 𝑎

𝑏=

𝑎

𝑏

1

𝑛=

𝑎1𝑛

𝑏1𝑛

=𝑛 𝑎𝑛

𝑏

4.-𝑛

𝑎𝑚 = 𝑎𝑚1

𝑛 = 𝑎𝑚

𝑛


Descompone en

factores primarios

3.-3

16 =

4.-3

2=

3.-3

24 =3

23 ∙ 2 =3

23 32 = 2

32

4.-3 2

2 2=

3 2

2


1.-3

3𝑚3𝑛2 43𝑚3𝑛2 =

2.-3+ 3

3−1=

3.-𝑥+ℎ− 𝑥

ℎ=

1.- 3𝑚2𝑛21

3 3𝑚3𝑛21

4 =

31

3 𝑚21

3 𝑛21

3. 31

4 𝑚31

4 𝑛21

4 = 31

331

4𝑚2

3𝑚3

4𝑛2

3𝑛1

2 =

37

12𝑚7

12𝑛7

6 = 37

12𝑚𝑚5

12𝑛𝑛1

6 = 𝑚𝑛37

12𝑚5

12𝑛2

12 =

𝑚𝑛12

37𝑚5𝑛2

2.-(3+ 3 )( 3+1)

3−1 ( 3+1)=

4 3+6

3−1= 2 3 + 3

3.-( 𝑥+ℎ− 𝑥)( 𝑥+ℎ+ 𝑥)

ℎ( 𝑥+ℎ+ 𝑥)=

𝑥+ℎ2

− 𝑥2

ℎ( 𝑥+ℎ+ 𝑥)=

1

𝑥+ℎ+ 𝑥


1.-𝑎−2 𝑎𝑏+𝑏

2 𝑎−2 𝑏=

2.- 4 5𝑡2 + 5 = 20

3.-3𝑥−5

4= 2

1.-(𝑎−2 𝑎𝑏+𝑏)( 𝑎+ 𝑏)

2( 𝑎− 𝑏)=

𝑎− 𝑏2

2( 𝑎− 𝑏)=

𝑎− 𝑏

2

2.- 5𝑡2 + 5 = 5; 5𝑡2 + 5=25; 5𝑡2 = 25 − 5; 5𝑡2 = 20

𝑡2 = 4; 𝑡1 = 2, 𝑡2 = −2

3.-3𝑥−5

4= 2 2;

3𝑥−5

4= 4;

4 3𝑥−5

4= 4 ∙ 4; 3𝑥 − 5 = 16;

3𝑥 = 21; 𝑥 =21

3; 𝑥 = 7


Factorización y Operaciones con

Polinomios Expresiones algebraicas


Algebra𝑎 ± 𝑏 2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑎 ± 𝑏 3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3

𝑎 + 𝑏 𝑛

= 𝑎𝑛 +𝑛

1𝑎𝑛−1𝑏 +

𝑛 𝑛 − 1

2𝑎𝑛−2𝑏2 +

𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2

1 ⋅ 2 ⋅ 3𝑎𝑛−3𝑏3 + ⋯

+ 𝑏𝑛

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 𝑏2 + 2𝑏𝑐 + 𝑐2

𝑎 − 𝑏 + 𝑐 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 𝑏2 − 2𝑏𝑐 + 𝑐2

𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏

𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = 𝑎 − 𝑏 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1

Expresiones algebraicas

Ecuación cuadrática o de

segundo grado

Forma normal: 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0

Raíces: 𝑥1; 𝑥2 = −𝑝

2±

𝑝2

4− 𝒒

𝑝 = − 𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑞 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2)


Diferencia de cuadrados: □ 2 − ∆ 2 = (□ + ∆)(∆ − □)

1.- 25𝑎2 − 44𝑏2 = (5𝑎 + 7𝑏)(5𝑎 − 7𝑏)

Diferencia de cubos: □ 3 − ∆ 3 = (□ − ∆)(□2 + □∆ + ∆2)

Suma de cubos: □ 3 + ∆ 3 = (□ + ∆)(□2 − □∆ + ∆2)

2.- 27𝑚6 − 125𝑘12 = 3𝑚2 3 5𝑘4 3 = (3𝑚2 − 5𝑘4)(9𝑚4 + 15𝑚2𝑘4 + 25𝑘8)

3.- 𝑎6 − 𝑏6 = 𝑎3 2 − 𝑏3 2 = 𝑎3 − 𝑏3 𝑎3 + 𝑏3

= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)


𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

Modelos para factorizar trinomios

a) Trinomio cuadrado perfecto: □2 + 2□∆ + ∆2

b) Producto de dos binomios con un término común: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

(𝑥 + 𝛼)(𝑥 + 𝛽) Donde 𝛼 + 𝛽 = 𝑏; 𝛼𝛽 = 𝑐

c) Producto de dos binomios 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐


1.- 𝑛2 − 19𝒏 + 90 =

2.- 5𝑦2 + 16𝑦 + 3 =

3.- 6𝑚2 + 16𝑚 + 10 =

4.- 𝑚3𝑛3 + 8 =

5.- 20𝑎𝑐 − 15𝑏𝑐 + 4𝑎𝑑 − 3𝑏𝑑 =

1.- (𝑛 − 9)(𝑛 − 10)

2.- 5𝑦 + 𝐴 𝑦 + 𝐵 = 5𝑦2 + 5𝐵𝑦 + 𝐴𝑦 + 𝐴𝐵; 5𝐵𝑦 + 𝐴𝑦 = 16𝑦; 𝐴𝐵 = 35B+A=16 y AB=3 entonces B=3 y A=15𝑦2 + 16𝑦 + 3= 5𝑦 + 1 𝑦 + 3

3.- 6𝑚 + 𝐴 𝑚 + 𝐵 = 6𝑚2 + 6𝐵𝑚 + 𝐴𝑚 + 𝐴𝐵; 6𝐵𝑚 + 𝐴𝑚 = 16𝑚; 𝐴𝐵 = 106B+A=16 y AB=10 entonces B=1 y A=106𝑚2 + 16𝑚 + 10= 6𝑚 + 10 𝑚 + 1

4.- (𝑚𝑛 + 2)(𝑚2𝑛2 − 2𝑚𝑛 + 4)

5.- 5𝑐 4𝑎 − 3𝑏 + 𝑑 4𝑎 − 3𝑏= (5c + 𝑑) 4𝑎 − 3𝑏


6.- 4𝑥3 − 5𝑥2 − 4𝑥 + 5 =

7.- 3𝑥2 + 4𝑥 − 4 =

8.- 144 − 𝑥4 =

9.- 𝑥 − 𝑦 2 − 𝑥2 − 𝑦2 =

4𝑥3 − 4𝑥 − 5𝑥2 + 5= 4𝑥 𝑥2 − 1 − 5 𝑥2 + 1= 4𝑥 − 5 𝑥 + 1 𝑥 − 1

𝑥 + 2 3𝑥 − 2

=− 𝑥4 − 144 = −(𝑥2 + 12)(𝑥2 − 12)

= 𝑥 − 𝑦 2 − 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 =𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 + 𝑦 =𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 = (𝑥 − 𝑦)(−2𝑦)


1.- 10𝑥3 + 5𝑥2 − 3𝑥 − 11 + (8 + 3𝑥 − 1.- 12𝑥3 + 4𝑥2 + 3

2.- 5𝑦2 − 10𝑦 + 2


1.- 𝑚 − 4𝑛 𝑚 − 4𝑛 =

4.- 𝑎2 − 8 𝑎2 + 1 =

8.- 2𝑎 − 4𝑏 − 3𝑐 4𝑎 + 4𝑏 + 5𝑐 =

1.- 𝑚2 − 8𝑚𝑛 + 16𝑛2

4.- 𝑎4 − 7𝑎2 − 8

8.- 8𝑎2 − 8𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 − 16𝑏2 −32𝑏𝑐 − 15𝑐2


A) Binomio elevado al

cuadrado

𝑚 + 3 2 =

5 − 𝑥 2 =

6𝑥 + 𝑏 2 =

9 + 4𝑚 2 =

7𝑥 − 11 2 =

2𝑥 − 35 2 =

𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 2 =

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥+1 2 =

B) Binomios conjugados

𝑚 + 𝑛 𝑚 − 𝑛 =

𝑎 − 𝑥 𝑎 + 𝑥 =

𝑚2 + 6𝑚 + 9

25 − 10𝑥 + 𝑥2

36𝑥2 + 12𝑥𝑏 + 𝑏2

81 + 72𝑚 + 16𝑚2

49𝑥2 − 154𝑥 + 121

4𝑥2 − 140𝑥 + 1225

𝑥2𝑚 − 2𝑥𝑚𝑦𝑛 + 𝑦2𝑛

𝑎2𝑥 + 2𝑎𝑥𝑏𝑥+1 + 𝑏2𝑥+2

𝑚2 − 𝑛2

𝑎2 − 𝑥2


C) Producto de dos

binomios con un término

común

𝑎 + 1 𝑎 + 2 =

𝑥 − 5 𝑥 − 4 =

𝑥 + 10 𝑥 − 5 =

𝑧3 + 4 𝑧3 − 7 =

𝑚4 + 12 𝑚4 − 3 =

𝑎𝑥+1 − 2 𝑎𝑥+1 − 3 =

𝑎2 + 3𝑎 + 2

𝑥2 − 9𝑥 + 20

𝑥2 + 5𝑥 − 50

𝑧6 − 3𝑧3 − 28

𝑚8 + 9𝑚4 − 36

𝑎2𝑥+2 − 5𝑎𝑥+1 + 6


1.- (6𝑥3 + 𝑥2 − 18𝑥 − 33) ÷ (2𝑥 − 5) =

2.- (2𝑛3 − 5𝑛2 + 21𝑛 − 14) ÷ (2𝑛 − 3)

3.- (𝑥4 − 4𝑥3 + 10𝑥2 − 12𝑥 +9)

÷(𝑥2 − 2𝑥 + 3)

4.- 𝑦4 + 4𝑦3 + 2𝑦2 − 4𝑦 + 1

÷(𝑦2 + 2𝑦 − 1)

5.- Un factor de 𝑥3 + 1 es 𝑥 + 1. Hallar

el otro factor.

1.- 3𝑥2 + 8𝑥 + 11 +22

2𝑥−5

2.- 𝑛2 − 𝑛 + 9 +13

2𝑛−3

3.- 𝑥2 − 2𝑥 + 3

4.- 𝑦2 + 2𝑥 − 1

5.- 𝑥2 − 𝑥 + 1


6.- Un factor de 𝑦3 − 𝑡 es 𝑦 − 1. Hallar el

otro factor.

6.- 𝑦2 + 𝑦


1.- 3𝑎2 + 6𝑎 𝑥 − 𝑦 =

2.- 2𝑝2 + 2𝑎 + 4𝑎𝑝 + 𝑝 =

3.- 𝑚2 + 14𝑎 + 2𝑚 + 7𝑎𝑚 =

4.- 𝑥3 − 21 − 3𝑥2 + 7𝑦 =

5.- 𝑟3 − 𝑠3 − 𝑠𝑟2 + 𝑠𝑟2

6.- −𝑎2𝑛 + 1 =

7.- −𝑛2𝑥 + 𝑡2 =

1.- 3𝑎 𝑎 + 2𝑥 − 2𝑦

2.- 2𝑝 + 1 𝑝 + 2𝑎

3.- 𝑚 + 7𝑎 𝑚 + 2

4.- (𝑥2 + 7)(𝑦 − 3)

5.- (𝑟2 − 𝑠2)(𝑟 − 𝑠)

6.- 1 + 𝑎𝑛 1 − 𝑎𝑛

7.- (𝑡 + 𝑛𝑥)(𝑡 − 𝑛𝑥)


2.- 42𝑥𝑦2𝑧3 = 6𝑥𝑦𝑧 ? ;

3.- Factorizar 𝑥 𝑥 + 1 − 2𝑥 𝑥 + 1 =

5.- Agrupar los términos de 𝑦3 − 15 −5𝑦2 + 3𝑦 y factorizar.

6.- Elevar al cuadrado −9𝑥3 =

7.- Multiplicar 𝑟𝑠 + 𝑡2 𝑟𝑠 − 𝑡2 =

2.- 6𝑥𝑦𝑧(7𝑦𝑧2)

3.- (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

5.- 𝑦2 + 3 𝑦 − 5

6.- 81𝑥6

7.- 𝑟2𝑠2 − 𝑡4


8.- Factorizar 8𝑚2 − 50 =

9.- Factorizar −144 + 𝑥2 =

10.- 3𝑎 + 𝑏 2 =

11.- 5𝑘 − 2𝑚 2 =

12.- Factorizar 25𝑥2 + 90𝑥𝑦 + 81

8.- 2(2𝑚 + 5)(2𝑚 − 5)

9.- (𝑥 + 12)(𝑥 − 12)

10.- 9𝑎 + 6𝑎𝑏 + 𝑏2

11.- 25𝑘2 − 20𝑘𝑚 + 14𝑚2

12.- 5𝑥 + 9𝑦 2


Factorizar cada término

1.- 𝑛2 + 17𝑛 + 42 =

2.- 𝑟2 − 23𝑟𝑠 + 90𝑠2 =

3.- 𝑚2 + 5𝑚 − 36 =

4.- 𝑘2 − 7𝑘 − 18 =

5.- 36𝑛2 + 95𝑛 + 56 =

6.- 3𝑎2 − 23𝑎𝑏 − 36𝑏2 =

7.- 30𝑡2 + 10𝑡 − 100 =

1.- (𝑛 + 14)(𝑛 + 3)

2.- (𝑟 − 18𝑠)(𝑟 − 5𝑠)

3.- (𝑚 + 9)(𝑚 − 4)

4.- (𝑘 − 9)(𝑘 + 2)

5.- 9𝑛 + 8 4𝑛 + 7

6.- 3𝑎 + 4𝑏 𝑎 − 9𝑏

7.- 10(3𝑡 − 5)(𝑡 + 2)


Encontrar y comprobar el conjunto

solución de cada ecuación

1.- 𝑥 − 2 𝑥 + 5 = 0

2.- 𝑦 2𝑦 − 1 = 0

3.- 𝑧2 − 𝑧 = 90

5.- un rectángulo mide 8 mts. Más largo

que de ancho, su área es de 105 𝑚2, hallar

sus dimensiones.

1.- {2,5}

2.- {0,1

2}

3.- {10,9}

5.- 7 y 15 mts.


𝑥(𝑥 + 2)

2(2𝑥2 − 4𝑥 + 1)

𝑥2 𝑥 − 4

2𝑎𝑥(𝑎 + 3𝑥)

𝑎𝑥(2𝑎 + 2𝑥 − 3)

Factorización

A) Cuando tienen un factor

común

𝑥2 + 2𝑥 =

4𝑥2 − 8𝑥 + 2 =

𝑥3 − 4𝑥2 =

2𝑎2𝑥 + 6𝑎𝑥2 =

2𝑎2𝑥 + 2𝑎𝑥2 − 3𝑎𝑥 =


B) Factorizar un polinomio que

contenga un término

común

𝑎 𝑥 + 1 + 𝑏 𝑥 + 1 =

𝑥 𝑎 + 1 − 1 𝑎 + 1 =

2 𝑥 − 1 + 𝑦 𝑥 − 1 =

3𝑥 𝑥 − 2 − 2𝑦 𝑥 − 2 =

1 − 𝑥 + 2𝑎 1 − 𝑥 =

−𝑚 − 𝑛 + 𝑥 𝑚 + 𝑛 =

𝑎3 𝑎 − 𝑏 + 1 − 𝑏3 𝑎 − 𝑏 + 1 =

(𝑥 + 1)(𝑎 + 𝑏)

(𝑎 + 1)(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(2 + 𝑦)

(𝑥 − 2)(3𝑥 − 2𝑦)

(1 − 𝑥)(1 + 2𝑎)

(𝑥 − 1)(𝑚 + 𝑛)

(𝑎 − 𝑏 + 1)(𝑎3 − 𝑏3)


C) Factorización a través de la

agrupación de términos

𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 =

3𝑚 − 2𝑛 − 2𝑛𝑥4 + 3𝑚𝑥4 =

𝑥 + 𝑥2 − 𝑥𝑦2 − 𝑦2 =

D) Factorización de un trinomio

cuadrado perfecto

𝑥2 − 2𝑥 + 1 =

9 − 6𝑥 + 𝑥2 =

9𝑏2 − 30𝑎2𝑏 + 25𝑎4 =

𝑎2

4− 𝑎𝑏 + 𝑏2 =

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑥)

3𝑚 − 2𝑛 1 + 𝑥4

(𝑥 + 1)(𝑥 − 𝑦2)

𝑥 − 1 2

3 − 𝑥 2

3𝑏 − 5𝑎2 2

𝑎

2− 𝑏

2


(𝑎 + 2)(𝑎 − 2)

(2𝑎 − 3)(2𝑎 − 3)

(5 + 6𝑥2)(5 − 6𝑥2)

(5𝑥𝑦2 + 11)(5𝑥𝑦2 − 11)

E) Factorizar una diferencia

de cuadrados

𝑎2 − 4 =

4𝑎2 − 9 =

25 − 36𝑥4 =

25𝑥2𝑦4 − 121 =


F) Factorizar un trinomio de la

forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑥2 + 7𝑥 + 10 =

𝑦2 − 9𝑦 + 20 =

𝑦2 − 4𝑦 + 3 =

𝑦2 − 9𝑦 + 8 =

𝑚2 + 5𝑚 − 14 =

𝑎2 + 6𝑎 − 16 =

𝑥2 − 17𝑥 − 60 =

𝑚2 − 2𝑚 − 168 =

𝑦2 + 50𝑦 + 336 =

(𝑥 + 5)(𝑥 + 2)

(𝑦 − 4)(𝑦 − 5)

(𝑦 − 3)(𝑦 − 1)

(𝑦 − 8)(𝑦 − 1)

(𝑚 + 7)(𝑚 − 2)

(𝑎 + 8)(𝑎 − 2)

(𝑥 − 20)(𝑥 + 3)

(𝑚 − 14)(𝑚 + 12)

(𝑚 + 42)(𝑚 + 8)


=(2) 2𝑥2+3𝑥−2

2=

2𝑥)2+3(2𝑥)−4

2=

2𝑥+4)(2𝑥−1

2= (𝑥 + 2)(2𝑥 − 1)

=(𝑥 − 2)(3𝑥 + 1)

= 3𝑥 + 2 2𝑥 + 1

G) Factorizar un trinomio de la

forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

2𝑥2 + 3𝑥 − 2 =

3𝑥2 − 5𝑥 − 2 =

6𝑥2 + 7𝑥 + 2 =


H) Factorizar un trinomio

completando el trinomio

cuadrado perfecto

𝑥2 − 4𝑥 + 3 =

𝑥2 + 3𝑥 − 4 =

3𝑥2 − 5𝑥 + 2 =

= 𝑥2 − 4𝑥 + 2 2 − 2 2 + 3= 𝑥 − 2 2 − 4 + 3 = 𝑥 − 2 2 − 1

= 𝑥 − 2 + 1 𝑥 − 2 − 1

= (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)

𝑥2 + 3𝑥 = 4

𝑥2 + 3𝑥 +3

2

2= 4 +

3

2

2; 𝑥 +

3

2

2= 4 +

9

4; 𝑥 +

3

2

2=

16+9

4; 𝑥 +

3

2

2−

25

4= 0

𝑥 +8

2𝑥 −

2

2= (𝑥 + 4)(𝑥 − 1)

𝑥2 −5𝑥

3= −

2

3; 𝑥2 −

5𝑥

3+

5

6

2= −

2

3+

5

6

2;

𝑥 +5

6

2= −

24+25

36; 𝑥 +

5

6

2−

1

36= 0


FactorialPropiedades


Definición del factorial de un número entero positivo. Dado un

número entero positivo 𝑛 , su 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 se define como el

producto de los números enteros de 1 a 𝑛. Por ejemplo,

4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24

En general, podemos escribir la definición de 𝑛! de la siguiente

manera: 𝑛! ≔ 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 𝑛

Con la notación breve para productos,

𝑛! ≔ ෑ

𝑘=1

𝑛

𝑘


Fórmula para el coeficiente del término general.

Coeficiente del 𝑘 + 1 término de la expansión de 𝑎 + 𝑏 𝑛

𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ (𝑛 − 3) ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1)

𝑘 ∙ (𝑘 − 1) ∙∙∙ 3 ∙ 2 ∙ 1,

𝑘 = 1, 2, … , 𝑛


El ésimo coeficiente (𝑘 + 1) se puede escribir en una forma

compacta usando notación factorial. Si 𝑛 es cualquier entero no

negativo, entonces el símbolo 𝑛! (𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙) se defino como

sigue:

• (1) 𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ 1 𝑠𝑖 𝑛 > 0

• (2) 0! = 1

Definición de 𝑛!


Por lo tanto, si 𝑛 > 0, entonces𝑛! es el producto de los

primeros 𝑛 enteros positivos.

La definición de 0! = 1 se usa

para que ciertas fórmulas

que contengan factoriales

sean verdaderas para todos

los enteros no negativos.

• Ilustración 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙

1! = 12! = 2 ∙ 1 = 2

3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 64! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 1206! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720

7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5,0408! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40,320

Nótese el rápido crecimiento de

𝑛! a medida que 𝑛 aumenta.


A veces deseamos simplificar cocientes donde numerador ydenominador contienen factoriales, como se muestra en el

ejemplo siguiente.

Simplificar cocientes de factoriales:

1)7!

5!=

7∙6∙5!

5!= 7 ∙ 6 = 42

2)10!

6!=

10∙9∙8∙7∙6!

6!= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 5,040

Al igual que en ejemplo precedente, si 𝑛 y 𝑘 son enteros

positivos y 𝑘 < 𝑛, entonces:𝑛!

𝑛 − 𝑘 !=

𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙∙∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 ∙ [ 𝑛 − 𝑘 !]

𝑛 − 𝑘 != 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙∙∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 ,


A veces deseamos simplificar cocientes donde numerador ydenominador contienen factoriales, como se muestra en el

ejemplo siguiente.

Simplificar cocientes de factoriales:

1)7!

5!=

7∙6∙5!

5!= 7 ∙ 6 = 42

2)10!

6!=

10∙9∙8∙7∙6!

6!= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 5,040

Al igual que en ejemplo precedente, si 𝑛 y 𝑘 son enteros positivos

y 𝑘 < 𝑛, entonces:𝑛!

𝑛 − 𝑘 !=

𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙∙∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 ∙ [ 𝑛 − 𝑘 !]

𝑛 − 𝑘 != 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙∙∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 ,


Que es el numerador del coeficiente del (𝑘 + 1) ésimo término de

𝑎 + 𝑏 𝑛. Dividiendo entre el denominador 𝑘! Tendremos la

siguiente forma alternativa para el (𝑘 + 1) coeficiente:

𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1)

𝑘!=

𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !

Estos números se denominan coeficientes binomiales y con

frecuencia se denotan con el símbolo𝑛𝑘

o el símbolo 𝐶(𝑛, 𝑘).

Por lo tanto, tenemos lo siguiente:


Coeficiente del (𝑘 + 1) ésimo término de la expansión de 𝑎 + 𝑏 𝑛 (forma alternativa)

𝑛𝑘

= 𝐶 𝑛, 𝑘 =𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !, 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛

Los símbolos𝑛𝑘

y 𝐶(𝑛, 𝑘) se leen a veces como “de 𝑛

seleccionar 𝑘”.


50

=

51

=

52

=

53

=

54

=

55

=

5!

0! 5 − 0 !=

5!

0! 5!=

5!

1 ∙ 5!= 1

5!

1! 5 − 1 !=

5!

1! 4!=

5!

1 ∙ 4!=

5 ∙ 4!

4!= 5

5!

2! 5 − 2 !=

5!

2! 3!=

5 ∙ 4 ∙ 3!

2 ∙ 3!=

20

2= 10

5!

3! 5 − 3 !=

5!

3! 2!=

5 ∙ 4 ∙ 3!

3! ∙ 2=

20

2= 10

5!

4! 5 − 4 !=

5!

4! 1!=

5!

4! ∙ 1= 5

5!

5! 5 − 5 !=

5!

5! 0!=

5!

5! ∙ 1= 1

Ejemplo①, evaluar𝑛𝑘

, encuentre:


Reescriba 3𝑛 + 3 !/ 3𝑛 ! Como una expresión que no

contenga factoriales.

Solución: Por la definición de 𝑛!, podemos escribir 3𝑛 + 3 !como 3𝑛 + 3 3𝑛 + 2 3𝑛 + 1 3𝑛 3𝑛 − 1 3𝑛 − 2 ∙∙∙ 3 2 1

3𝑛 !

.

Entonces,3𝑛+3 !

3𝑛 !=

3𝑛+3 3𝑛+2 3𝑛+1 3𝑛 !

3𝑛 !definición de 𝑛!

= 3𝑛 + 3 3𝑛 + 2 3𝑛 + 1 . Cancelar 3𝑛 ! ≠ 0

Ejemplo②, simplificar un coeficiente de factoriales:


LogaritmosPropiedades


Logaritmos

Sistema Base del sistema

Denominación

Loga

Log10 = log∗

Loge = lnLog2 = lb

𝑎10𝑒2

Logaritmo de base 𝑎Logaritmo comúnLogaritmo naturalLogaritmo binario

En loga 𝑥 = 𝑏 se llaman: 𝑎, base 𝑥, logaritmando𝑏, logaritmo

Reglas para el cálculo con logaritmos (de base cualquiera)log 𝑥 ∙ 𝑦 = log 𝑥 + log 𝑦

log𝑥

𝑦= log 𝑥 − log 𝑦

log 𝑥𝑛 = 𝑛 log 𝑥

log 𝑛 𝑥 =1

𝑛log 𝑥

Igualdad entre expresiones con exponentes𝑎2 = 𝑏 = 𝑒𝑥 ln 𝑎

De donde:𝑥 =log 𝑏

log 𝑎| 𝑎 =

𝑥𝑏

Transformación de logaritmoslog10 𝑥 = log10 𝑒 ∙ ln 𝑥 = 0.434294 ∙ ln 𝑥

ln 𝑥 =log10 𝑥

log10 𝑒= 2.302585 ∙ log10 𝑥

Base de lo slogaritmos naturales:𝑒 = 2.71828183 …


Función logarítmica

La función 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥, con 𝑏 > 0, se llama función exponencial

de base 𝑏. La variable independiente, o argumento, aparece

como exponent. Esta función tiene las propiedades siguientes:

1.- El dominio comprende todos los números reales.

2.- El recomdo son todos los reales positivos.

3.- Si 𝑏 > 1, cuando se aumenta, 𝑓(𝑥) disminuye.

4.- Si 𝑏 = 1, 𝑓(𝑥) es una función constante 𝑓 𝑥 = 1.


La función 𝑔 𝑥 = logb 𝑥 , con 𝑏 > 1 , se llama función

logarítmica de base 𝑏. La expreción 𝑏𝑦 = 𝑥, nótese que en 𝑏𝑦,

el exponente 𝑦 es logb 𝑥.

1.- El dominio comprende todos los reales positivos.

2.- El recomdo son todos los reales.

3.- 𝑔 1 = 0 para cualquier 𝑏 > 1.

4.- Conforme 𝑥 aumenta, 𝑔(𝑥) aumenta.

𝑎loga 𝑥 = 𝑥 𝑒ln 𝑥 = 𝑥

loga 𝑎𝑥 = 𝑥 ln 𝑒𝑥 = 𝑥

loga 1 = 0 ln 1 = 0

loga 𝑎 = 1 ln 𝑒 = 1


log10 100 = 2 Porque 102 = 100log10 2 = 0.301 Porque 10.301 = 2log10 3 = 0.4771 Porque 10.4771 = 3log10 5 = 0.6989 Porque 10.6989 = 5

3 ∙ 2 = 10.4771

Nota: log 2 = .301log 3 = .4771

10.3010 = 10.4771+.310

= 6= 10.7781

ln 5 = loge 5𝑒1.6 = 5

ln 20 = 2.995732

𝑒2.9957 = 20

log 10(𝑥𝑦) = log 10𝑥 + log 𝑦

log 3.2 = log10 3 + log10 2

0.77815 = .4771 + .301

log(𝑥 + 𝑦)

log10𝑥

𝑦= log10 𝑥 − log10 𝑦

log106

2= log10 6 − log10 2

0.4771 = 0.7781 − 301


51−𝑥 = 6𝑥−3

ln 51−𝑥 = ln 6𝑥−3

1 − 𝑥 ln 5 = 𝑥 − 3 ln 6

𝑆𝑒𝑛 ln 5 = 𝑎; ln 6 = 𝑏

1 − 𝑥 𝑎 = 𝑥 − 3 𝑏

𝑎 − 𝑎𝑥 = 𝑏𝑥 − 3𝑏

𝑎 + 3𝑏 = 𝑏𝑥 + 𝑎𝑥

𝑎 + 3𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑥

𝑥 =𝑎+3𝑏

(𝑏+𝑎)→ 𝑎 = ln 5 𝑦 𝑏 = ln 6

𝑥 =ln 5+3 ln 6

ln 5+ln 6

𝑥 = 2.0536


log10 𝑥𝑛 = 𝑛 log10 𝑥

log10 32 = 2 log10 3

0.95424 = 0.95424

2𝑥−1 = 5

log 2𝑥−1 = log 5

𝑥 − 1 log 2 = log 5

𝑆𝑒𝑎 log 2 = 𝑎; log 5 = 𝑏

𝑥 − 1 𝑎 = 𝑏

𝑥 =𝑏

𝑎+ 1; 𝑥 =

𝑏+𝑎

𝑎

log 𝑥𝑦 = log 𝑥 + log 𝑦

log𝑥

𝑦= log 𝑥 − log 𝑦

Pero 𝑏 = log 5 ; 𝑎 = log 2

𝑥 =log 5+log 2

log 2

𝑥 = 3.3219

23.3219−1 = 5

5 = 5


3(𝑥−4) = 7

log 3𝑥−4 = log 7

𝑥 − 4 log 3 = log 7

𝑥 =log 7

log 3+ 4

Notas: log 𝑥

log 𝑦≠ log

𝑥

𝑦

(log 𝑥)(log 𝑦) ≠ log(𝑥𝑦)

log 𝑥 + log 𝑦 ≠ log 𝑥 + 𝑦

log 𝑥 + log 𝑦 ≠ log(𝑥 + 𝑦)

𝑥 = 5.7712

3(5.7712−4) = 7

3(1.77) = 7

7 = 7


51−𝑥 = 6𝑥−3

ln 51−𝑥 = ln 6𝑥−3

1 − 𝑥 ln 5 = 𝑥 − 3 ln 6

ln 5 − [ln 5] 𝑥 = [ln 6]𝑥 − 3 ln 6

ln 5 + 3 ln 6 = ln 6 𝑥 + ln 5 𝑥

ln 5 + 3 ln 6 = ln 6 + ln 5 𝑥

𝑥 =ln 5+3 ln 6

ln 6+ln 5

𝑥 = 2.053605109


7𝑥−1 + 7𝑥 + 7𝑥+1 = 5𝑥 + 5𝑥+1 + 5𝑥+2

7𝑥7−1 + 7𝑥 + 7𝑥71 = 5𝑥 + 5𝑥51 +5𝑥52

7𝑥 7−1 + 1 + 71 = 5𝑥(1 + 51 + 52)

7𝑥 1

7+ 1 + 7 = 5𝑥(1 + 5 + 25)

7𝑥 57

7= 5𝑥(31)

7𝑥

5𝑥 =(31)(7)

57Porque

7

5

𝑥=

(31)(7)

57

ln7

5

𝑥= ln

31 7

57

ln7

5

𝑥= 1.336846

𝑥 ln7

5= 1.336846086

𝑥 =1.336846086

ln7

5

𝑥 =1.336846086

0.3364…

𝑥 = 3.973124497


Escribe la siguiente expresión como

una suma algebraica de logaritmos

con coeficientes enteros.

𝑥 = 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

ln 𝑥 = ln 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

ln 𝑥 =1

2ln 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 𝑠 − 𝑐

ln 𝑥 =1

2[ln 𝑠 + ln 𝑠 − 𝑎 + ln 𝑠 − 𝑏 + ln(𝑠 − 𝑐)]

𝑒ln 𝑥 = 𝑒1

2[ln 𝑠+ln 𝑠−𝑎 +ln 𝑠−𝑏 +ln 𝑠−𝑐 ]

𝑥 = 𝑒12[ln 𝑠+ln 𝑠−𝑎 +ln 𝑠−𝑏 +ln 𝑠−𝑐 ]





𝑥 =5 𝑎

2𝑏

3

=𝑎

2𝑏

1

5

3

𝑥 =𝑎

2𝑏

3

5

log 𝑥 =3

5log

𝑎

2𝑏

𝑥 = 103

5log

𝑎

2𝑏

𝑥 = 1035[log 𝑎−log 2𝑏]





𝑥 =𝑎4𝑇𝑔2𝛼

5𝑏3

𝑥 =𝑎4𝑇𝑔2𝛼

5𝑏3

ln 𝑥 = ln 𝑎4 + ln 𝑇𝑔2𝛼 − ln 5 + ln 𝑏3

ln 𝑥 = 4 ln 𝑎 + 2 ln 𝑇𝑔𝛼 − ln 5 − 3 ln 𝑏

𝑥 = 𝒆(4 ln 𝑎+2 ln 𝑇𝑔𝛼−ln 5−3 ln 𝑏)


La población mundial en 1975 era aproximadamente de 4000

millones de personas. Si la población se duplica cada 35 años,

entonces 𝑡 años después de 1975, la población mundial es

aproximadamente 𝑝 𝑡 = (4)(2𝑡

35) miles de millones de personas.

A) Cuál será la población mundial en 2050

B) Cual será la población al final del año 2100

C) ¿Cuándo habrá sobre la tierra 12,000 millones de personas

A: Si t = 2050 − 1975 = 75 𝑎ñ𝑜𝑠, la población será:

𝑝 75 = 4 27535 = 17.66 miles de millones de habitantes

B: Si t = 2100 − 1975 = 125 𝑎ñ𝑜𝑠, la población será:

𝑝 75 = 4 2125

35 = 47.55miles de millones de habitants

C: 𝑝 𝑡 = 12; 12 = (4)(2𝑡

35); 3 = 2𝑡

35 ; ln( 3) = 𝑙𝑛 2𝑡

35

𝑡 =35ln(3)

ln(2)= 55.47 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 1975 ℎ𝑎𝑏𝑟á 12 mill millones; en

1975+55.47 años = 2030.47


Encontrar el valor de a.

𝑎 =20

21

5000log 𝑎 = log

20

21

5000

log 𝑎 = 5000 log20

21

log 𝑎 = −105.9464954

10log 𝑎 = 10−105.9464954

𝑎 = 10−105.9464954


Algunas ecuaciones


Solución de un sistema

de dos ecuaciones con

dos incógnitas

(Suma - Resta)𝑥 + 6𝑦 = 27 … … ①

7𝑥 − 3𝑦 = 9 … … ②

14𝑥 − 6𝑦 = 18

(Sustitución)

𝑥 + 6𝑦 = 27

7𝑥 − 3𝑦 = 9

𝑥 + 6𝑦 = 2714𝑥 − 6𝑦 = 1815𝑥 = 45𝑥 =

3 a partir de aqui se enuentra 𝑦 = 4

7 27 − 6𝑦 − 3𝑦 = 9189 − 42𝑦 − 3𝑦 = 9−45𝑦 = 9 − 189−45𝑦 = −180

𝑦 =180

45

𝑦 = 4𝑥 + 6𝑦 = 27𝑥 + 6 ∙ 4 = 27𝑥 + 24 = 27𝑥 = 27 − 24𝑥 = 3


(Determinantes)

𝑥 + 6𝑦 = 27

7𝑥 − 3𝑦 = 9

∆s= 1 6 =-3 -42;

7 -3 = -45 𝑥 =∆𝑥

∆𝑠

∆x= 27 6 =-81-54;

9 -3 =-135 𝑥 =−135

−45; 𝑥 = 3

∆y=1 27 =9 -189;

79 =-180 𝑦 =∆𝑦

∆𝑠=

−180

−45; 𝑦 = 4


Solución de un sistema de tres

ecuaciones con tres incógnitas

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11 … … ①

𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 13 … … ②

2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7 … … ③

∆s= 1 1 1 (1+2+6)-(-1+6-2)1 -1 3 9 – (3)2 2 -1 9 - 31 1 1 ∆s = 61 -1 3

∆x= 11 1 1 (21+11+26)-(-7-13+66)13 -1 3 58 – 46 = 12

7 2 -1 ∆x = 1211 1 1

13 -1 3

∆y= 1 11 1 (-13+7+66)-(-11+21+26)1 13 3 60 - 36

2 7 -1 ∆y= 241 11 11 13 3

∆z= 1 1 11 (-7+22+26)-(7+26-22)1 -1 13 41 -11

2 2 7 ∆z= 301 1 111 -1 13

x = 2 y = 4 z = 5


−2𝑥2 + 2𝑦2 = −22

3𝑥2 − 2𝑦2 = 58

𝑥2 = 36

𝑥 = ±6

𝑦2 = 𝑥2 − 11

𝑦 = ± 𝑥2 − 11

𝑦 = ±5

𝑦1= + 5

𝑦2 = −5


formado por dos

ecuaciones cuadráticas

𝑥2 − 𝑦2 = 11 … … ①

3𝑥2 − 2𝑦2 = 58 … ②


𝑥 = 5 − 𝑦3 5 − 𝑦 2 + 2𝑦2 = 25

3 25 − 10𝑦 + 𝑦2 + 2𝑦2 = 2575 − 30𝑦 + 3𝑦2 + 2𝑦2 = 25

5𝑦2 − 30𝑦 + 50 = 0𝑦2 − 6𝑦 + 10 = 0

𝑦2 − 6𝑦 = −10𝑦2 − 6𝑦 + 32 = −10 + 32

𝑦 − 3 2 = −10 + 9𝑦 − 3 2 = −1

𝑦 − 3 = ± −1𝑦 − 3 = ±𝑖𝑦 = ±𝑖 + 3𝑦1 = 3 + 𝑖𝑦2 = 3 − 𝑖

𝑥1 = 5 − 𝑦; 𝑥 = 5 − 3 + 𝑖 ; 𝑥 = 5 − 3 − 𝑖; 𝑥1 = 2 − 𝑖𝑥2 = 5 − 𝑦; 𝑥 = 5 − 3 − 𝑖 ; 𝑥 = 5 − 3 + 𝑖; 𝑥2 = 2 + i


cuadrático de

ecuaciones

A) Sistema formado por

una ecuación de

primer grado y una 2°

grado

𝑥 + 𝑦 = 5 … … ①

3𝑥2 + 2𝑦2 = 25


Teorema de Pitágoras

Seno, Coseno y tangente de ángulos

comunes


Teorema de Pitágoras

sin 𝛼 =𝑦

𝑟

cos 𝛼 =𝑥

𝑟

tan 𝛼 =𝑦

𝑥

cot 𝛼 =𝑥

𝑦

sec 𝛼 =𝑟

𝑥

csc 𝛼 =𝑟

𝑦


Funciones trigonométricas e

identidades fundamentales

sin 𝐴 =𝑎

𝑐csc 𝐴 =

𝑐

𝑎

cos 𝐴 =𝑏

𝑐sec 𝐴 =

𝑐

𝑏

tan 𝐴 =𝑎

𝑏cot 𝐴 =

𝑏

𝑎

sin 𝐵 =𝑏

𝑐csc 𝐵 =

𝑐

𝑏

cos 𝐵 =𝑎

𝑐sec 𝐵 =

𝑐

𝑎

tan 𝐵 =𝑏

𝑎cot 𝐵 =

𝑎

𝑏

Reciprocas

sin 𝛼 ∙ csc 𝛼 = 1

cos 𝛼 ∙ sec 𝛼 = 1

tan 𝛼 ∙ cot 𝛼 = 1


Distancia entre dos puntos

Sean los puntos con

coordenados A(1, 1) B(3, 5)

Obtener la distancia entre

dichos puntos

Procedimiento:

1) Trazo de la gráfica

correspondiente

2) Encontrar las proyecciones

de dichos puntos conrelación a los ejes

3) Determinar la magnitud de

dichas proyecciones

4) Aplicar el Teorema dePitágoras

3) 𝐴𝐶 = 𝑥2 − 𝑥1 ;= 3 − 1 ;= 2𝐵𝐶 = 𝑦2 − 𝑦1 ;= 5 − 1 ;= 4

4) 𝑑2 = 𝐴𝐶2

+ 𝐵𝐶2

𝑑 = 𝐴𝐶2

+ 𝐵𝐶2

𝑑 = 22 + 42 Por lo tanto podemos

𝑑 = 4 + 16 generalizar para dos

𝑑 = 20 cuales quiera.

𝑑 = 2 5 U.

)

A


Conclusión: La distancia entre

dos puntos quedarádetermiando como la raíz

cuadrada de la diferencia de

absisas al cuadrado más la

diferencia de ordenadas alcuadrado.

𝑝(𝑥1, 𝑦1)𝑝1(𝑥2, 𝑦2)

𝑑𝑝𝑝1= 𝑥2 − 𝑥1

2 + 𝑦2 − 𝑦12

𝑑𝑝𝑝 = 𝑥1 − 𝑥22 + 𝑦1 − 𝑦2

2


¿Qué tipo de triángulo forman los

puntos (-2, -1), (2, 2), (5, -2)?

𝑑𝐴𝐵 = (2 − −22

+ 2 − −12

𝑑𝐴𝐵 = 16 + 9

𝑑𝐴𝐵 = 25

𝑑𝐴𝐵 = 5

𝑑𝐵𝐶 = 5 − 2 2 + −2 − 2 2

𝑑𝐵𝐶 = 9 + 16

𝑑𝐵𝐶 = 25

𝑑𝐵𝐶 = 5

𝑑𝐴𝐶 = (5 − −22

+ −2 − −12

𝑑𝐴𝐶 = 49 + 1

𝑑𝐴𝐶 = 50

𝒅𝑨𝑩 = 𝒅𝑩𝑪 ≠ 𝒅𝑨𝑪Triángulo isosceles


Aplicaciones de la distancia entredos puntos:

1) Calcular las coordenadas de

un punto 𝑝(𝑥, 𝑦), equidistante de

los puntos A(9, 3), B(3, 7), C(−2, 6)


𝑃𝐴 = 𝑃𝐵; 𝑃𝐴 = 𝑃𝐶 𝑃(𝑥, 𝑦)

𝑃(𝑥, 𝑦) 𝐴(9, 3) 𝐵(3, 7)

𝑑𝑃𝐴 = 𝑥 − 9 2 + 𝑦 − 3 2

𝑑𝑃𝐵 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 7 2

𝑥 − 9 2 + 𝑦 − 3 2 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 7 2;

𝑥 − 9 2 + 𝑦 − 3 2 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 7 2

𝑥2 − 18𝑥 + 81 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 14𝑦 + 49;

− 18𝑥 + 6𝑥 + 90 − 9 − 49 − 6𝑦 + 14𝑦 = 0;

−12𝑥 + 8𝑦 + 32 = 0; −3𝑥 + 2𝑦 = −8 … … ①


𝑃𝐴 = 𝑃𝐵; 𝑃𝐴 = 𝑃𝐶 𝑃(𝑥, 𝑦)

𝑃(𝑥, 𝑦) 𝐴(9, 3) 𝐵(3, 7)

𝑑𝑃𝐴 = 𝑥 − 9 2 + 𝑦 − 3 2 𝑑𝑃𝐶 = 𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 6 2

𝑥 − 9 2 + 𝑦 − 3 2 = 𝑥 + 2 2 + (𝑦 − 6)2

𝑥2 − 18𝑥 + 81 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 12𝑦 + 36

−22𝑥 + 6𝑦 + 50 = 0

−22𝑥 + 6𝑦 = −50 … … ② Se hace un Sistema con ① y ②

−3𝑥 + 2𝑦 = −8

𝑥 = 2 𝑦 = −1


RectaCircunferencia

ElipseParábolaHipérbola

Curvas en el plano


Recta Una recta es la distancia más corta entre dos

puntos.

• Ángulo de inclinación de una

recta:tan 𝜃 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1m =

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

• 𝜃 = 𝐴𝑅𝐶 tan𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1𝑚 = 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

3−(−1)

2−(−2)=

4

4= 1


Se llama ángulo de

inclinación de una recta al

formado por la parte positiva

del eje x,y y la recta, cuando

esta se considera dirigida

hacia arriba.

Se llama pendiente o

coeficiente angular de una

recta a la tangente de su

ángulo de inclinación.


Ejemplo: Encontrar la

pendiente y el ángulo de

inclinación de la recta que

pasa por los puntos

𝐴 1, 6 , 𝐵 5, −2 .

𝜃 = 𝐴𝑅𝐶 tan𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

𝑚 =(−2−6)

5−1; =

−8

4; −2

𝜃 = 𝐴𝑅𝐶 tan 𝑚𝜃 = 𝐴𝑅𝐶 tan −2𝜃 = −63.26tan 𝜃 = − tan 𝜃 ′𝜃 = 116°74′


Ángulos de dos rectas

Se llama ángulo de dos

rectas al formado por los

lados que se alejan del

vértice.

∝1 Ángulo de elevación de la recta inicial → 𝑚1 pendiente de la

recta inicial.

∝2 Ángulo de elevación de la recta final → 𝑚2 es pendiente de la

recta final.

𝑚1 = tan ∝1

𝑚2 = tan ∝2


Todo ángulo exterior de un

triángulo es igual a la suma

de los dos ángulos interiores no adyacentes; entonces:

𝛼2 = 𝛼1 + 𝜃1

𝜃1 = 𝛼2 − 𝛼1

tan 𝜃1 = tan(𝛼2 − 𝛼1)

tan 𝑥 ± 𝑦 =tan 𝑥 ± tan 𝑦

1 ∓ tan 𝑥 tan 𝑦

tan 𝜃1 =𝑚2−𝑚1

1+𝑚1𝑚2

tan 𝜃1 =tan 𝛼2−tan 𝛼1

1+tan 𝛼1 tan 𝛼2


1+𝑚1𝑚2


Rectas paralelas: Si dos rectas

son paralelas el ángulo formado

es 0° o 180°


1+𝑚1𝑚2

𝜃 =𝑚2−𝑚1

1+𝑚1𝑚2

𝑚2 − 𝑚1 = 0; 𝑚2 = 𝑚1

Rectas perpendiculares:

Si dos rectas son

perpendiculares el ángulo

formado entre ellas es de 90°


1+𝑚1𝑚2= ∞

cot 𝜃1 =1+𝑚1𝑚2

𝑚2−𝑚1= 0

1 + 𝑚1𝑚2 = 0

𝑚1𝑚2 = −1


Ecuación de la recta quepasa por un punto y tieneuna pendiente dada.Se llama linea recta al lugargeométrico de los puntostales que tomados dospuntos diferentescualesquiera.

𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑃2(𝑥2, 𝑦2)Del lugar, el valor de lapendiente 𝑚 calculado por 𝑚expresión 𝑚 =

𝑦2−𝑦1

𝑥2𝑥1, es

siempre constante.

La recta que pasa por elpunto 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , que tiene lapendiente dada 𝑚, tiene porecuación la siguiente:

Datos : 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑚 =?

𝑚 =𝑦−𝑦1

𝑥−𝑥1

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Y se encuentra la ecuación


Encontrar la ecuación de larecta que pasa por el punto(4, −1) y tiene un ángulo deinclinación 135°.

𝑚 = −1

−1 =𝑦−(−1)

𝑥−4

−1 𝑥 − 4 = 𝑦 + 1−𝑥 + 4 = 𝑦 + 10 = 𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 = −𝑥 + 3

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)


Ecuación de una recta dadasu pendiente y su ordenadaal origen 𝑚 =

𝑦−𝑦1

𝑥−𝑥1

𝑚 =𝑦−𝑏

𝑥−0

𝑚 =𝑦−𝑏

𝑥

𝑚𝑥 = 𝑦 − 𝑏

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏


Encontrar la ecuación de la

recta que pasa por el punto

𝑃(0, 5) y 𝑚 = −2

𝑦 = −2 𝑥 + 5

𝑦 = −2𝑥 + 5

2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏


Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

La recta que pasa por dos puntos dados 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) ,

𝑃2(𝑥2, 𝑦2), tiene por ecuación 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Datos:

𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

𝑃2(𝑥2, 𝑦2)

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1𝑥 − 𝑥1


Encontrar la ecuación de la

recta que pasa por los

puntos 𝑃1 −2, −3 , 𝑃2(4, −2).

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1𝑥 − 𝑥1

𝑦 − −3 =−2 − −3

4 − −2(𝑥 − (−2))

𝑦 + 3 =1

6(𝑥 + 2)

𝑦 =𝑥+2

6− 3


Ecuación simétrica de la recta

Sea 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0, los puntos de intersección de la recta

con los ejes 𝑥 e 𝑦, entonces la ecuación de la recta está

dada por la expresión𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1 ∙

𝑦 − 𝑦1 =𝑦1−𝑦2

𝑥1−𝑥2(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 0 =0−𝑏

𝑎−0(𝑥 − 9)

𝑦 =−𝑏

𝑎(𝑥 − 9)

𝑥 − 9 𝑦 =−𝑏

𝑎

𝑎𝑦 = −𝑏(𝑥 − 9)𝑎𝑦 = −𝑏𝑥 + 𝑏𝑎𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 𝑏𝑎 ÷ 𝑏𝑎𝑎𝑦

𝑏𝑎+

𝑏𝑥

𝑏𝑎=

𝑏𝑎

𝑏𝑎𝑦

𝑏+

𝑥

𝑎= 1


Forma general de la ecuaciónde la recta

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0

𝐴 = 0 Recta ‖ al eje 𝑥

𝑦 = −𝐶

𝐵𝑦 = 𝑘

𝐵 = 0 Recta ‖ al eje 𝑦

𝑥 = −𝐶

𝐴𝑥 = 𝑘

𝐴 = 0, 𝐶 = 0𝐵𝑦=0

𝑦 = 0

𝐵 = 0, 𝐶 = 0𝐴𝑥=0

𝑥 = 0

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏𝑚𝑥 − 𝑦 + 𝑏 = 0 ÷ 𝐵𝐴

𝐵𝑥 +

𝐵

𝐵𝑦 +

𝐶

𝐵=

0

𝐵𝐴

𝐵𝑥 + 𝑦 +

𝐶

𝐵= 0 (−1)

−𝐴

𝐵𝑥 − 𝑦 −

𝐶

𝐵= 0

𝑦 = −𝐴

𝐵𝑥 −

𝐶

𝐵

𝑚 = −𝐴

𝐵

𝑏 = −𝐶

𝐵Ejemplo: 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0

𝑚 = −2

3


Ángulos de las rectas dada

las ecuaciones de las rectas

𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 … … ①

𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 … … ②

Paralelas 𝑚1 = 𝑚2

𝑚1 = −𝐴1

𝐵1𝑚2 = −

𝐴2

𝐵2

−𝐴1

𝐵1= −

𝐴2

𝐵2

𝐴1

𝐵1=

𝐴2

𝐵2Razón para que dos

rectas sean paralelas

Ejemplo: Verificar si las rectas son paralelas3𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 … … ①

6𝑥 + 4𝑦 + 7 = 0 … … ②

𝐴1 = 3, 𝐵1 = 2, 𝐶1 = 3𝐴2 = 6, 𝐵2 = 4, 𝐶2 = 7𝐴1𝐵2 = 𝐵1𝐴2

3.4 = (2.6)12 = 12 Las rectas son

paralelas


CircunferenciaCircunferencia: Es el lugar

geométrico de un punto de

coordenadas (x, y) que se mueve

sobre un plano, de manera que su

distancia permanece constante a un

punto fijo de coordenadas (h ,k).

El punto fijo se llama centro de la

circunferencia y la distancia

constante es el radio (r).

La ecuación de la circunferencia en

forma ordinaria o reducida, será la

siguiente: 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

(h, k) las coordenadas del centro

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

Ecuación de forma reducida


Ejemplos: obtener la ecuación

de la circunferencia con

centro en (2,-3) y radio igual a

4.

Obtener la ecuación de la

circunferencia con centro en (-

1,2) y que pasa por el punto (3,

4).

𝑥 − 𝑛 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

𝑥 − 2 2 + 𝑦 − −32

= 𝑟2

𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 3 2 = 𝑟2

𝑥 − 2 2 + (𝑦 + 3)2 = 16

𝑟 = 3 + 1 2 + 4 − 2 2

𝑟 = 16 + 4

𝑟 = 20𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 20𝑥 + 1 2 + 𝑦 − 2 2 = 20


Forma general de la ecuación

de la circunferencia.

Si desarrollamos la forma

reducida de la ecuación de la

circunferencia obtendremos la

ecuación en su forma general.

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟𝑥2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = 𝑟2

𝑥2 + 𝑦2 + ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 − 2𝑥ℎ − 2𝑘𝑦= 0

𝐷 = −2ℎ

𝐸 = −2𝑘

𝐹 = ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Forma general de la

circunferencia

En esta ecuación es unacaracterística de lacircunferencia que loscoeficientes de 𝑥2 e 𝑦2 debenser iguales, además que laecuación no debe contenerterminos 𝑥𝑦 como sucede en laelipse, parábola e hipérbola.

Ejemplo: Obtener la ecuaciónde una circunferencia en suforma reducida y en su formageneral con los siguientes datos:centro (-2, 1), radio = 3.

𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 9𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 9𝑥2 + 𝑦2 + 4 + 1 − 9 + 4𝑥 − 2𝑦 = 0𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0𝐷 = −2ℎ 𝐷 = −2(−2) 𝐷 = 4𝐸 = −2𝑘 𝐸 = −2(1) 𝐸 = −2𝐹 = −2 2 + 12 − 3 2 𝐹 = −4


Obtener el centro y el radiode la circunferencia, cuyaecuación en su formareducida es

𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 1 2 = 16

Obtener las coordenadas delcentro y el radio de lacircunferencia cuya ecuación ensu forma general es:

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0

ℎ = 3𝑘 = −1𝑟 = 4

Coordenadas del centro (3, −1)

𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 + 6𝑦 = 2𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 6𝑦 + 9 = 2 + 1 + 9𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 3 2 = 12

ℎ = 1𝑘 = −3

𝑟 = 12𝐷 = −2ℎ = −2 ℎ = 1𝐸 = −2𝑘 = 6 𝑘 = −3𝐹 = ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2

−2 = 12 + −3 2 − 𝑟2

−2 = 1 + 9 − 𝑟2

𝑟2 = 12

𝑟 = 12


Circunferencia definida por 3puntos.

En geometría se indicó “siempre

es posible trazar una

circunferencia por 3 puntos queno son colindantes”

El producto es el siguiente:

• Se unen los puntos A, B y C.

• Se encuentran lasmediatrices de 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶 y enel punto en el que seintersectan será el centro dela circunferencia que pasapor 𝐴𝐶.

Analíticamente se utiliza laecuación de la circunferenciaen forma general, se sustituyenlos puntos y se forma unSistema de 3 ecuaciones con 3incognitas.


Finalmente se sustituyen los

valores de D, E y F

encontrados, para encontrar

la ecuación de la

circunferencia.

Ejemplo: Obtener la ecuaciónen su forma general de la

circunferencia que pasa por

los puntos A(-5,1), B(2,2) y C(4,-

2).


Para la recta 𝐴𝐵

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1𝑥 − 𝑥1

𝑦 − 1 =2−1

2− −5𝑥 − −5

𝑦 − 1 =1

7𝑥 + 5

𝑦 − 1 =𝑥+5

7

7𝑦 − 7 − 5 − 𝑥 = 0

𝑥 − 7𝑦 + 12 = 0

𝑚𝐴𝐵 =1

7𝑚 = −

𝐴

𝐵

Punto medio de 𝐴𝐵

𝑥𝑚 =𝑥1+𝑥2

2; 𝑥𝑚 =

−5+2

2

𝑥𝑚 = −3

2

𝑦𝑚 =𝑦1+𝑦2

2; 𝑦𝑚 =

1+2

2

𝑦𝑚 =3

2

Ecuación de la mediatriz de 𝐴𝐵

𝑚𝐴𝐵 𝑚𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴𝐵 = −11

7𝑚𝑀𝐴𝐵 = −1

𝑚𝑀𝐴𝐵 = −7

Ecuación de la recta 𝐴𝐵

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 −3

2= 7(𝑥 − −

3

22𝑦−3

2= −7𝑥 −

21

2

2𝑦 − 3 = −19𝑥 − 21

14𝑥 + 2𝑦 + 18 = 0

7𝑥 + 𝑦 + 9 = 0


Para la recta 𝐵𝐶

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 2 =−2−2

4−2(𝑥 − 2)

𝑦 − 2 =−4

2(𝑥 − 2)

𝑦 − 2 = −2𝑥 + 4

2𝑥 + 𝑦 − 6

𝑚 = −2

Punto medio de 𝐵𝐶

𝑥𝑚 =𝑥1+𝑥2

2; 𝑥𝑚 =

2+4

2; 𝑥𝑚 = 3

𝑦𝑚 =𝑦1+𝑦2

2; 𝑥𝑚 =

2−2

2; 𝑥𝑚 = 0

M de mediatriz de 𝐵𝐶

𝑚 =1

2

Ecuación de la mediatriz de 𝐵𝐶𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 0 =1

2𝑥 − 3

𝑦 =𝑥−3

2

2𝑦 = 𝑥 − 30 = 𝑥 − 2𝑦 − 3

Sistema para encontrar el centro de la circunferencia7𝑥 + 𝑦 + 9 = 0 7 2𝑦 + 3 + 𝑦 + 9 = 0𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 14𝑦 + 21 + 𝑦 + 9 = 0𝑥 = 2𝑦 + 3 15𝑦 + 30 = 0𝑥 − 2 −2 − 3 = 0 𝑦 = −2𝑥 + 4 − 3 = 0 𝐶(−1, −2)𝑥 = −1


Para la circunferencia 𝐶(−1, −2)

ℎ = −1 𝑘 = −2 𝑟 = 5

El radio es la 𝑑𝐶𝐵 , 𝑑𝐶𝐴 𝑦 𝑑?

𝐵(2, 2) 𝑑𝐵𝐶 = 2 + 1 2 + 2 + 2 2

𝐶(−1, −2) 𝑑𝐶𝐵 = 9 + 16

𝑑𝐶𝐵 = 5 𝑟 = 5

Ecuación de la circunferencia

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

( 𝑥 − −12

+ ( 𝑦 − −22

= 52

𝑥 + 1 2 + 𝑦 + 2 2 = 25 Forma ordinaria

Ecuación en su forma general

𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 25

𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 + 4𝑦 − 20 = 0 Forma general


Otro procedimiento

𝑥2 + 𝑦2𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Forma

general de cualquier

circunferencia

Para el punto 𝐴(−5, 1)

−5 2 + 12 + 𝐷 −5 + 𝐸 1 +𝐹 = 0

25 + 1 − 5𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = 0

26 − 5𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = 0 … … ①

Para el punto 𝐵(2, 2)

22 + 22 + 𝐷 2 + 𝐸 2 + 𝐹 = 0

8 + 2𝐷 + 2𝐸 + 𝐹 = 0 … … ②

Para el punto 𝐶(4, −2)

42 + −2 2 + 𝐷 4 + 𝐸 −2 +𝐹 = 0

16 + 4 + 4𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 = 0

20 + 4𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 = 0 … … ③

Se forma un sistema:

−5𝐷 + 𝐸 + 𝐹 + 26 = 0

2𝐷 + 2𝐸 + 𝐹 + 8 = 0

4𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 + 20 = 0


∆𝑠 =

−5 1 12 2 14

−52

−212

111

∆𝑠= −10 − 4 + 4 − 2 + 10 + 8 ; ∆𝑠= −10 − 20 ; ∆𝑠 = −30

∆𝐷=

−26 1 1−8 2 1

−20−26−8

−212

111

∆𝐷= −52 + 16 − 20 − (−8 + 52 − 40)

∆𝐷= −56 − 4 ; 𝐷 =−60

−30𝐷 = 2

∆𝐸=

−5 −26 12 −8 14

−52

−20−26−8

111

∆𝐸= 40 − 40 − 104 − (−52 + 100 − 32)

∆𝐸= −104 − 16 ; 𝐸 =−120

−30𝐸 = 4

∆𝐹=

−5 1 −262 2 −84

−52

−212

−20−26−8

∆𝐹= 200 ∓ 104 − 32 − (−40 − 80 − 208)

∆𝐹= (272 + 328); 𝐹 =600

−30𝐹 = −20

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Se sustituyen los valores D, E y F. 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 +4𝑦 − 20 = 0 𝑥2 + 2𝑥 + 1 2 + 𝑦2 + 4𝑦 + 2 2 = 20 + 1 + 22 Forma General

𝑥 + 1 2 + 𝑦 + 2 2 = 25Forma reducida


Circunferencia que pasa por 2 puntos ysu centro se encuentra sobre una recta

Para resolver este problemautilizamos la ecuación de lacircunferencia en formareducida y la ecuación de larecta en su forma general.

A fin de formar un sistema deecuaciones de primer gradocon 3 incógnitas.

Ejemplo: Obtener laecuación en su formareducida de lacircunferencia que pasa porlos puntos A(2, 1), B(4, 5) ytiene su centro en la recta2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

Para el punto A(2, 1)

Para el punto B(4, 5)

Ecuación de la recta 2𝑥 −𝑦 + 5 = 0

𝑥 = ℎ 𝑦 = 𝑘

2 − ℎ 2 + 1 − 𝑘 2 = 𝑟2

4 − 4ℎ + ℎ2 + 1 − 2𝑘 + 𝑘2 = 𝑟2

ℎ2 − 4ℎ + 𝑘2 − 2𝑘 + 5 = 𝑟2 … … ①

4 − ℎ 2 + 𝑘 − 5 2 = 𝑟2

16 − 8ℎ + ℎ2 + 𝑘2 − 10𝑘 + 25 = 𝑟2

ℎ2 − 8ℎ + 𝑘2 − 10𝑘 + 41 = 𝑟2 … … ②

2𝑥 − 𝑦 + 5 = 5

2ℎ − 𝑘 + 5 = 0 … … ③

−4ℎ + ℎ2 − 2𝑘 + 𝑘2 + 5 = 𝑟2 … … ①

−8ℎ + ℎ2 − 10𝑘 + 𝑘2 + 41 = 𝑟2 … … ②

2ℎ − 𝑘 + 5 = 0 … … ③


Paso 1. Multiplicar ② por (-1) y sumar a ①

Despejamos k de ③ 𝑘 = 2ℎ +5 Y se sustituye en④

Después de obtener h se despeja en ③

Coordenadas del centro −1

5,

23

5

Ecuación de la circunferencia

8ℎ − ℎ2 + 10𝑘 − 𝑘2 − 41 = −𝑟2

−4ℎ + ℎ2 − 2𝑘 + 𝑘2 + 5 = 𝑟2

4ℎ + 8𝑘 − 36 = 0 … … ④

4ℎ + 8 2ℎ + 5 = 364ℎ + 16ℎ + 40 = 3620ℎ = −4

ℎ = −4

20

ℎ = −1

5

2 −1

5− 𝑘 + 5 = 0

𝑘 = 5 −2

5

𝑘 =25−2

5

𝑘 =23

5

𝑟 = 𝑑𝐶 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴(2, 1)

𝑟 = 𝑑𝐶𝐴 𝐶 −1

5,

23

5

𝑟 = 2 +1

5

2+ 1 −

23

5

2

𝑟 = 4.84 + 12.96𝑟 = 4.2

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

𝑥 − −1

5

2

+ 𝑦 −23

5

2= 4.2 2

𝑥 +1

5

2+ 𝑦 −

23

5

2= 17.64

𝑥2 +2𝑥

5+

1

25+ 𝑦2 −

46𝑦

5+

529

25= 17.64

𝑥2 +2𝑥

5+ 𝑦2 −

46𝑦

5+

530

25− 17.64 = 0

𝑥2 +2

5𝑥 + 𝑦2 −

46

5𝑦 + 3.4 = 0


Intersección de recta y circunferencia

Tangente a una

circunferencia.

Para obtener las

coordenadas del punto

donde se intersectan.

La recta con una

circunferencia, es necesario

resolver el sistema formado

por las ecuaciones de la

circunferencia y la recta.

El resultado nos da tres

alternativas.

A) Dos valores reales

diferentes, entonces la recta

corta a la circunferencia en

dos puntos.


C) Valores imaginarios, no

hay intersección entre la recta

y circunferencia.

B) Dos valores reales iguales,

la recta corta en un solo punto

a la circunferencia.


Ejemplo: obtener las

coordenadas de los puntos

donde la recta 2𝑥 − 𝑦 − 10 = 0intersecta a la circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 = 20

𝑥2 + 𝑦2 = 202𝑥 − 𝑦 = 10 𝑦 = 2𝑥 − 10𝑥2 + 2𝑥 − 10 2 = 20𝑥2 + 4𝑥2 − 40𝑥 + 100 − 20 = 05𝑥2 − 40𝑥 + 80 = 0; 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎;

8± (−8)2−4(16)

2; 𝑥 =

8± 0

2;

𝑥 = 42𝑥 − 𝑦 = 10; 2 4 − 10 = 𝑦; 𝑦 = −2

El caso es de una tangente donde cortaen el punto (4, -2) o punto de tangencia.


Obtener las coordenadas del

punto de intersección donde

la recta 𝑦 − 2 = 0 cruza a la

circunferencia

𝑥2 − 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 − 16 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 − 16 = 0 𝑦 = 2𝑥2 + 4 − 4𝑥 − 16 − 16 = 0𝑥2 − 4𝑥 − 28 = 0Se hace la ecuación en forma general𝑥1 = 7.6 𝑦1 = 2𝑥2 = −3.6 𝑦2 = 2

Siendo los puntos de intersección (7.6, 2) y (-3.6, 2) y se grafica. 𝑥2 − 4𝑥 + 𝑦2 − 8𝑦 = 16𝑥2 − 4𝑥 + 22 + 𝑦2 − 8𝑦 + 42 = 16 +

16 + 4𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 4 2 = 36

ℎ = 2𝑘 = 4𝑟 = 6


Parábola

La parábola es el lugar

geométrico de los puntos del

plano que equidista de un punto

fijo llamado foco (F) y de una

recta llamada directriz (D D’).

𝑃𝐹 = 𝐷𝑃 Porqué 𝐿𝐹 = 𝐿𝐷

𝐿𝑅 = 4𝑃 𝐿𝐷 = 2𝑃

𝑦2 = 𝐷𝑃𝑥

La parábola es simétrica al eje focalo eje de la parábola si el (eje de laparábola ‖ eje x) la parábola eshorizontal si ( eje de la parábola ⊥eje x) la parábola es vertical.

𝑃 (𝑥, 𝑦) 𝐹(𝑃, 0) 𝐹𝑃 = 𝑃𝐷

𝑃𝐹 = 𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦 2

𝐷𝑃 = 𝐷𝑀 + 𝑀𝑃

𝐷𝑃 = 𝑃 + 𝑥

𝑥 − 𝑃 2 + 𝑦2 = 𝑃 + 𝑥

𝑥 − 𝑃 2 + 𝑦2 = 𝑃2 + 2𝑃𝑥 + 𝑥2

𝑥2 − 2𝑃𝑥 + 𝑃2 + 𝑦2 = 𝑃2 + 2𝑃𝑥 + 𝑥2

𝑦2 = 4𝑃𝑥Ecuación de la parábola horizontalcon vértice en el origen y eje focalparalelo al eje x y que se abrehacia la derecha.

𝑃 > 0 La parábola se abre a laderecha

𝑃 < 0 La parábola se abre a laizquierda


Otras formas de parábola

Ecuación general de la parábola

horizontal, con vértice en el

origen, eje focal en 𝑥 y que abre

a la izquierda.

Ecuación de la parábola

vertical con vértice en el

origen, eje focal, el eje 𝑦 y

que se abre hacia arriba. (*

ecuación de directriz y del

lado recto)


Ecuación de la parábolavertical con vértice en elorigen, su eje focal está en 𝑦 yque se abre hacia abajo. (*ecuación lado recto)

El término 𝑥2 es para la parabolavertical y 𝑦2 para horizontal.

El signo de P (distancia de 𝐹 a

𝑉→𝐹𝑉) señala hacia donde está

abierta la parábola, si es positiva

(P) se abre hacia arriba o hacia

la derecha, si es negativa (-P) se

abre hacia abajo o a la

izquierda.

El segmento que une dos puntos

de la parabola se llama cuerda,

la que pasa por el foco es la

cuerda focal o lado recto (LR).

Conclusiones de Parábola


El eje de la parábola bisecta

todas las cuerdas, de ahí que

la parábola es simétrica

respecto de su eje.

• El lado recto es igual a 4P

• La característica que

identifica a la ecuación de

la parábola respecto de las

otras curvas (circunferencia,

elipse e hipérbola) es que

uno de los términos 𝑥2 o 𝑦2

desaparece.


Ejemplo: De la ecuación dela parábola 𝑦2 = 8𝑥, obtenerlas coordenadas del foco, lasdel vértice, las coordenadasde los extremos, del ladorecto y su longitud, laecuación de la directriz, laecuación del lado recto y sugráfica correspondiente.

𝑦2 = 4𝑃𝑥 Ecuación gral.

𝑦2 = 8𝑥 Ecuación dada

4𝑃 = 8; 𝑃 = 2

Coordenadas del foco (2,0)

𝐿𝑅 = 4𝑃; 𝐿𝑅 = 4(2); 𝐿𝑅 = 8

𝐿 = (2, 4) 𝑅 = (2, −4)

Ecuación de 𝐿𝑅 = [𝑥 − 2]

Ecuación de 𝐷𝐷′ = [𝑥 = −2]


Obtener la ecuación de laparábola con foco (3,0),vértice en el origen, ecuaciónde la directriz, ecuación dellado recto, coordenadas desus extremos y longitud dellado recto.

(*) Ecuación de la directriz y del lado recto.

𝑦2 = 4𝑃𝑥𝑦2 = 4 3 𝑥𝑦2 = 12𝑥 Ecuación de la

parábola

Longitud de 𝐿𝑅𝐿𝑅 = 4𝑃𝐿𝑅 = 12 Longitud del

lado recto

𝐿(3, 6) 𝑅(3, −6)



parábola con vértice en el

origen, su eje es horizontal,

pasa por (-3,-9) y graficar.

Sustitución de (x, y) en el punto (−3, −9)𝑦2 = −4𝑃𝑥 −9 2 = (−4)(𝑃)(−3)

81 = 12𝑃 𝑃 =81

12𝑃 =

27

4

Longitud de LR

𝑅𝐿 = 4𝑃 𝐿𝑅 = 427

4𝐿𝑅 = 27

Ecuación de la parábola 𝑦2 = −4𝑃𝑥

𝑦2 = −427

4𝑥 𝑦2 = −27𝑥

𝐿 =27

4,

27

2𝑅 −

27

4,

27

2


Ecuación de la parábola de

vértice (h, k) y eje paralelo a un

eje coordenado.

Parábola horizontal

𝑦2 = 4𝑃𝑥

𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑃(𝑥 − ℎ)

Abriendo a la derecha

𝑦2 = 4𝑃𝑥

Abre hacia la derecha

𝑥 = 𝑥′ + ℎ

𝑥′ = 𝑥 − ℎ

𝑦 = 𝑦′ + 𝑘

𝑦′ = 𝑦 − 𝑘

Horizontal Vertical

𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝟒𝑷(𝒙 − 𝒉) Derecha 𝒙 − 𝒉 𝟐 = 𝟒𝑷(𝒚 − 𝒌) Arriba

𝒚 − 𝒌 𝟐 = −𝟒𝑷(𝒙 − 𝒉) Izquierda 𝒙 − 𝒉 𝟐 = −𝟒𝑷(𝒚 − 𝒌) Abajo


Ejemplo: Obtener la ecuación de

la parábola cuyo vertice está en el

punto (2, 5) y el foco en el punto(2, 3). Además obtener la

ecuación de su directriz, del lado

recto, su longitud y coordenadas

de los puntos extremos y graficar.

Longitud de LR𝐿𝑅 = 4𝑃 𝐿𝑅 = 4(2)𝐿𝑅 = 8𝐿(−2, 3) 𝑅(6, 3)

Ecuación de la directriz𝑦 = 7

Ecuación de LR 𝑦 = 3

𝑥 − ℎ 2 = −4𝑃(𝑦 − 𝑘)𝑥 − 2 2 = −4 2 𝑦 − 5𝑥 − 2 2 = −8(𝑦 − 5)

𝑥2 − 4𝑥 + 4 = −8𝑦 + 40𝑥2 = 4𝑥 − 8𝑦 + 36 Ecuación de la parábola


Forma general de la

ecuación de la parábola

Si desarrollamos las formas

reducidas de las ecuaciones de

la parábola, obtenemos la

forma general de la ecuación

de la parábola.

Parábola horizontal:

𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑃 𝑥 − ℎ 2

𝑦2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘2 = 4𝑃𝑥 − 4𝑃ℎ

𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 − 4𝑃𝑥 + 4𝑃ℎ = 0

𝑦2 − 4𝑃𝑥 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 + 4𝑃ℎ = 0

𝐷 = −4𝑃

𝐸 = −2𝑘

𝐹 = 𝑘2 + 4𝑃ℎ

𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Ecuación

de la parabola horizontal.

Parábola vertical

𝑥 − ℎ 2 = 4𝑃 𝑦 − 𝑘 2

𝑥2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 − 4𝑃𝑦 + 4𝑃𝑘 = 0

𝑥2 − 2ℎ𝑥 − 4𝑃𝑦 + ℎ2 + 4𝑃𝑘 = 0

𝐷 = −2ℎ

𝐸 = −4𝑃

𝐹 = ℎ2 + 4𝑃𝑘

𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Ecuación

de la parabola vertical.



parábola en su forma reducida

y en su forma general con los

datos siguientes: Vértice v(3, 2);directriz (x=5).

𝑦 − 𝑘 2 = −4𝑃(𝑥 − ℎ)ℎ = 3𝑘 = 2𝑃 = 2𝑦 − 2 2 = −4(2)(𝑥 − 3)

𝑦2 − 4𝑦 + 4 = −8𝑥 + 24𝑦2 − 4𝑦 + 8𝑥 − 20 = 0 Ecuación en

su forma general.



parábola, si el lado recto es 16se abre hacia abajo y su

vértice es (-2,-3).

𝑥 − ℎ 2 = −4𝑃(𝑦 − 𝑘)

𝑥 + 2 2 = −4 4 𝑦 − −3

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = −16𝑦 − 16 (3)

𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 16𝑦 + 48 = 0

𝑥2 + 4𝑥 + 16𝑦 + 52 = 0

Forma general



parábola en su forma reducida

con foco en (3, 2) y ecuación dela directriz 𝑥 + 4 = 0, obtener

además las coordenadas del

vértice, longitud del lado recto y

su ecuación y las coordenadasde los puntos.

𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑃(𝑥 − ℎ)

𝑦 − 2 2 = 47

2𝑥 +

1

2

𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 14𝑥 + 7𝑦2 − 4𝑦 − 14𝑥 − 3 = 0

𝐿𝑅 =28

2𝐿𝑅 = 14

𝐿(3, 9) 𝑅(3, −5)


Elipse

Es el lugar geométrico de los

puntos del plano tales que la

suma de sus distancias a dos

puntos fijos llamados focos,

siempre es constante.

Eje focal AA’→ Eje Mayor

BB’→ Eje Menor

𝑃(𝑥, 𝑦) Punto cualquiera de una curva

LR Lado rectoAncho focal𝐹1𝐹2 Focos

ൠ𝑉𝑉1

𝑣1𝑣2𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠

}𝐵𝐵′ 𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟}𝐴𝐴′ 𝐸𝑗𝑒 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟

Semi eje menor OBSemi eje mayor OA


2𝑎 = 𝐹1𝐵 + 𝐹2𝐵

2𝑎 = 𝐹1𝑃 + 𝐹2𝑃

𝐹1(−𝑐, 0)

𝐹2(𝑐, 0)

𝑑𝐹1𝐹2 = 2𝑐

𝑑𝐵′𝐵 = 2𝑏

𝑑𝑣𝑣′ = 2𝑎

𝑑𝑐𝐹1 = 𝐶

𝑑𝑐𝐹2 = 𝑐

𝑑𝑣𝐹1 = 𝑎 − 𝑐

𝑑𝑣𝐹2 = 𝑎 − 𝑐

Semieje menor OB b

Semieje mayor OA a


Con base en la definición deelipse, tenemos que la suma de

las distancias de un punto a los

focos 𝐹1 𝑦 𝐹2, siempre va a ser

constante y tendrá un valor de

2𝑎, por lo tanto es posible

expresar la ecuación de la

elipse en los siguientes términos.

𝑑𝐹1𝑃 = 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 − 0 2

𝑑𝐹1𝑃 = 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2

𝑑𝐹2𝑃 = 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 − 0 2

𝑑𝐹2𝑃 = 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2

𝐹1𝑃 + 𝐹2𝑃 = 2𝑎

𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 +

𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎

Ecuación de la elipse

𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎2

𝑥 − 𝑐 2 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 +

𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2

𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 = 4𝑎2 −

4𝑎 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2

−4𝑥𝑐 − 4𝑎2 = −4𝑎 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2

−4 𝑥𝑐 + 𝑎2 = −4𝑎 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2

𝑥𝑐 + 𝑎2 2 = 𝑎 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦22

𝑥𝑐 + 𝑎 2 = 𝑎2 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2

𝑥2𝑐2 + 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑎4 = 𝑎2(𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 +𝑦2)

𝑥2𝑐2 + 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 + 2𝑎𝑥𝑐 +𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2


𝑥2𝑐2+ 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2

𝑥2𝑐2 + 𝑎4 − 𝑎2𝑥2 − 𝑎2𝑐2 − 𝑎2𝑦2 = 0

𝑥2𝑐2 − 𝑎2𝑥2 + 𝑎4 − 𝑎2𝑐2 − 𝑎2𝑦2 = 0

−1 𝑥2 𝑐2 − 𝑎2 + 𝑎2 𝑎2 − 𝑐2 =𝑎2𝑦2 (−1)

−𝑥2( 𝑐2 − 𝑎2 − 𝑎2 𝑎2 − 𝑐2 =− 𝑎2𝑦2

𝑥2 −𝑐2 + 𝑎2 − 𝑎2 𝑎2 − 𝑐2 = −𝑎2𝑦2

𝑥2 𝑏2 − 𝑎2𝑏2 = −𝑎2𝑦2

𝑥2𝑏2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 se divide entre (𝑎2𝑏2)

𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Ecuación de la elipse en

forma canónica, eje focal eje

x, centro en el origen.


𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Ecuación de la elipse en suforma canónica, eje focal 𝑥con centro en el origen.

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

Ecuación de la elipse en

forma canónica, eje focal y

con centro en el origen.

El valor mayor →𝑎2

Conclusiones: en las dos

ecuaciones anteriores, los

valores de los denominadores

son siempre positivos; deestas el valor mayor le

será asignado a 𝑎2 y el menor a

𝑏2 de tal manera que siempre se

acopla que 𝑎2 seamayor que 𝑏2.

El valor absoluto mayor ya sea 𝑎2

o 𝑏2 nos indicarán en dónde

están situados los dos focos,

sobre el eje y cuando el valor del

denominador de 𝑦2 sea mayor.

En algunos casos aparece el

término 𝑏𝑥𝑦 , esto sucede

cuando el eje focal es oblicuo a

los ejes coordenados.


𝑥2

9+

𝑦2

25= 1

𝑎2 = 25; 𝑎 = 5 Eje focal

𝑏2 = 9; 𝐵 = 3 𝑦

Ejemplo: 𝑥2

16+

𝑦2

9= 1

Eje focal 𝑥

𝑎2 = 16; 𝑎 = 2

𝑏2 = 9 𝑏 = 3


Si tenemos una ecuación5𝑥2 + 2𝑦2 = 10 , la tenemos quetransformar a su forma canónica.5𝑥2+2𝑦2

10=

10

10;

𝑥2

2+

𝑦2

5= 1

Procedimiento para obtener lamagnitud de los lados (LR)ycoordenadas de los puntos extremos.𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1

𝑐2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1;𝑦2

𝑏2 = 1 −𝑐2

𝑎2

𝑦2

𝑏2 =𝑎2−𝑐2

𝑎2 ; 𝑦2 =

𝑏2 𝑎2−𝑐2

𝑎2

𝑦 = 𝑏2 𝑎2−𝑐2

𝑎2 ; 𝑦 =𝑏2

𝑎2 𝑎2 − 𝑐2

𝑦 =𝑏

𝑎𝑎2 − 𝑐2 pero 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2;

𝑎2 − 𝑐2 = 𝑏2

Por tanto 𝑦 =𝑏

𝑎𝑏2

𝑦 =𝑏2

𝑎Para las coordenadas de los

puntos extremos (LR)

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎magnitud de LR


De la ecuación de la elipse𝑥2

25+

𝑦2

16= 1,

obtener la longitud del lado recto y las

coordenadas de los puntos extremos.

𝑃(𝑐, 𝑦)

𝑃′(−𝑐, 𝑦)

𝑥2

25+

𝑦2

16= 1

𝑎2 = 25; 𝑎 = 5

𝑏2 = 16 𝑏 = 4

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎; 𝐿𝑅 =

(2)(16)

25; 𝐿𝑅 =

32

5

Para las coordenadas de los puntos

extremos

𝑦 =𝑏2

𝑎; 𝑦 =

42

52 ; 𝑦 =16

5

Pero son dos puntos 𝑦

𝑦1 =16

5; 𝑦2 = −

16

5

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2; 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2

𝑐2 = 52 − 42; 𝑐2 = 9𝑐1 = 3 𝑐2 = −3Para el foco①

𝐿 −3,16

5𝑅 −3, −

16

5Para el foco②

𝐿 3,16

5𝑅 3, −

16

5


Excentricidad en una elipse la razón entre𝑐y𝑎se le llama

excentricidad de la elipse.

𝑒 =𝑐

𝑎Donde 𝑐 es 𝑑𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 − 𝑓𝑜𝑐𝑜

Donde 𝑎 es 𝑑𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 − 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒

El valor de la excentricidad varia en 0 y 1.

Cuando el valor de 𝑒 tiende a ser 0, la curva se asemeja a

una circunferencia y cuando tiende a ser uno la elipse se

hace más angosta y más alargada.


Ejemplo: Dada la ecuación

de la elipse 9𝑥2 + 16𝑦2 = 144obtener el valor de los ejes

mayor y menor, ancho focal,la excentricidad,

coordenadas de los focos y

de los vértices y graficar.

𝑥2

16+

𝑦2

9= 1 Forma canónica

𝑎2 = 16; 𝑎 = 4𝑏2 = 9; 𝑏2 = 3𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑐2 = 16 − 9; 𝑐2 = 7Eje mayor: 2𝑎; 2 4 ; = 8Eje menor: 2𝑏; 2(3); = 6Coordenadas de los focos:

Para 𝐹2 − 7, 0 , para 𝐹1 7, 0

Para los vertices: 𝑉 𝑎, 0 , 𝑉′ −𝑎, 0𝑉1 4,0 , 𝑉′ −4,0

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎; 𝐿𝑅 =

2(9)

4; 𝐿𝑅 =

9

2


Obtener el ancho focal y la

ecuación de la elipse cuyos

vértices son 𝑣 ± (5,0) y focos

(±4,0).

𝑎 = 5 𝑐 = 4

𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2 𝑏 = 25 − 16𝑏 = 3

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎𝐿𝑅 =

18

5ancho focal

𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1𝑥2

25+

𝑦2

9= 1


Dada la elipse de ecuación4𝑥2 + 5𝑦2 = 8,obtener el valordel semieje mayor 𝑎, semiejemenor 𝑏 y la ecuación enforma canónica,coordenadas de los focos yde los vértices.

4𝑥2

8+

5𝑦2

8=

8

8;

𝑥2

2+

5𝑦2

8

5

= 1

𝑥2

2+

𝑦2

8

5

𝑎2 = 2; 𝑎 = ± 2

𝑏2 =8

5; 𝑏 = ±

8

5

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2; 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑐2 = 2 −8

5

𝑐2 =10−8

5; 𝑐2 =

2

5

Semieje mayor 𝑎 = 2

Semieje menor 𝑏 =8

5

𝐹1 −2

5, 𝑜 𝑉 = − 2, 0

𝐹22

5, 0 𝑉′ 2, 0


Obtener la ecuación de la elipsecon vértice en (0, ±4), que pasa

por el punto (1,2).𝑥2

𝑏2 +𝑦2

𝑎2 = 1 Se sustituyen los

valores del punto.12

𝑏2 +22

16= 1

1

𝑏2 = 1 −4

16;

1

𝑏2 =16−4

16;

1

𝑏2 =12

16

12𝑏2 = 16; 3𝑏2 = 4;

𝑏2 =4

3

𝑏 =4

3

𝑥2

4

3

+𝑦2

16= 1


Ecuación de la elipse concentro en (ℎ, 𝑘) y eje focalparalelo al eje 𝑥.

Ecuación 𝑥′ 2

𝑎2 +𝑦′ 2

𝑏2 = 1

𝑥 = 𝑥′ + ℎ; 𝑥′ = 𝑥 − ℎ𝑦 = 𝑦′ + 𝑘; 𝑦′ = 𝑦 − 𝑘𝑥−ℎ 2

𝑎2 +𝑦−𝑘 2

𝑏2 = 1 Eje paralelo a 𝑋

𝑥−ℎ 2

𝑏2 +𝑦−𝑘 2

𝑎2 = 1 Eje paralelo a 𝑌

Forma ordinaria o reducida.



elipse en su forma reducida, la

excentricidad, ancho focal y

graficar de la curva concentro en (−3, 2) y vértices

−3, 7 , (−3, −3), focos (−3, 5) y

(−3, −1).

𝑎 = 𝑑𝑐𝑣 𝑎 =

−3 + 3 2 + 2 − 7 2

𝑎 = 5 𝑐 = 𝑑𝐶𝐹 𝑐 =

−3 + 3 + 2 + 1 2 𝑐 = 3𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 𝑏2 = 52 − 32;

𝑏20 16 𝑏 = 4

Ecuación 𝑥−ℎ 2

𝑏2 +𝑦−𝑘 2

𝑎2 = 1

𝑥+3 2

16+

𝑦−2 2

25= 1

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎; 𝐿𝑅 =

2 16

5; 𝐿𝑅 =

32

5

𝑒 =𝑐

𝑎; 𝑒 =

3

5

Forma general de la ecuación de la elipse


Para obtener la forma general de la ecuación de la elipse es necesario

desarrollar la forma reducida de la ecuación.

Para la elipse con eje paralelo a 𝑋

𝑥−ℎ 2

𝑎2 +𝑦−𝑘 2

𝑏2 = 1;𝑥2−2𝑥ℎ+ℎ2

𝑎2 +𝑦2−2𝑘𝑥+𝑘2

𝑏2 = 1;

(𝑥2−2ℎ𝑥+ℎ2)𝑏2 𝑦2−2𝑥𝑘+𝑘2 𝑎2

𝑎2𝑏2 = 1

𝑏2𝑥2 − 2𝑏2ℎ𝑥 + ℎ2𝑏2 + 𝑎2𝑦2 − 2𝑎2𝑘𝑦 + 𝑎2𝑘2 = 𝑎2𝑏2

𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 − 2𝑏2ℎ𝑥 − 2𝑎2𝑘𝑦 + 𝑏2ℎ2 + 𝑎2𝑘 − 𝑎2𝑏2 = 1𝑐

𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

𝐴 = 𝑏2 𝐶 = 𝑎2 𝐷 = −2𝑏2𝑘 𝐸 = −2𝑎2𝑘

Para la elipse con eje paralelo a 𝑌

𝑥−ℎ 2

𝑏2 +𝑦−𝑘 2

𝑎2 = 1𝑥2−2𝑥ℎ+ℎ2

𝑏2 +𝑦2−2𝑘𝑦+𝑘2

𝑎2 = 1

𝑎2𝑥2 − 2𝑎2𝑥ℎ + 𝑎2ℎ2 + 𝑏2𝑦 − 2𝑏2𝑘𝑦 + 𝑏2𝑘2 = 𝑎2𝑏2

𝑎2𝑥2 + 𝑏2𝑦2 − 2𝑎2ℎ𝑥 − 2𝑏2𝑘𝑦 + 𝑎2ℎ2 + 𝑏2𝑘2 − 𝑎2𝑏2 = 0

𝐴 = 𝑎2 𝐶 = 𝑏2 𝐷 = −2𝑎2ℎ 𝐸 = −2𝑏2𝑘 𝐹 = 𝑎2ℎ2 +𝑏2𝑘2 − 𝑎2𝑏2

𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0


Ejemplo: Obtener la ecuación de la elipse en su forma reducida y en su forma general.

𝑐 −1,2 , 𝑣(−1, 7), 𝑉′ −1, −3 ,𝑒 =

3

5

𝑒 =𝑐

𝑎𝐶 = 3 𝑎 = 5

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2;𝑏2 = 25 − 9; 𝑏2 = 16; 𝑏 = 4𝑦−𝑘 2

𝑎2 +𝑥−ℎ 2

𝑏2 = 1𝑦−2 2

25+

𝑥+1 2

16= 1

𝑦2−4𝑦+4

25+

𝑥2+2𝑥+1

16= 1

16 𝑦2 − 4𝑦 + 9 + 25 𝑥2 + 2𝑥 + 1 =40016𝑦2 − 64𝑦 + 64 + 25𝑥2 + 50𝑥 + 25 =

40016𝑦2 − 64𝑦 + 25𝑥2 + 50𝑥 − 311 = 0


Reducción de la formageneral de la ecuación.

Ejemplo: Obtener la formareducida de la ecuación dela elipse cuya expresión enforma general es 4𝑥2 + 9𝑦2 +8𝑥 − 36𝑦 + 4 = 04𝑥2 + 8𝑥 + 9𝑦2 − 36𝑦 = −44 𝑥2 + 2𝑥 + 9 𝑦2 − 4𝑦 = −44 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 9(𝑦2 − 4𝑦 +

Obtener forma reducida de la ecuación de la elipse cuya expresión es 𝑥2 + 2𝑦2 − 10𝑥 +12𝑦 + 43 = 0𝑥2 − 10𝑥 + 2𝑦2 + 12𝑦 = −43𝑥2 − 10𝑥 + 2 𝑦2 + 6𝑦 = −43

(𝑥2 − 10𝑥 + 52

+ 2 𝑦2 + 6𝑦 + 32

= −43 + 52 + 18𝑥 − 5 2 + 2 𝑦 + 3 2 = 43 − 43𝑥 − 5 2 + 2 𝑦 + 3 2 = 0

dividido entre 2𝑥−5 2

2+

𝑦+3 2

1= 0

𝑎2 = 2; 𝑎 = 2𝑏2 = 2; 𝑏 = 1


Obtener la forma reducida de la

ecuación de la elipse, cuya

expresión en forma general es 9𝑥2 +16𝑦2 − 36𝑥 − 32𝑦 − 92 = 0

9𝑥2 − 36𝑥 + 16𝑦2 − 32𝑦 = 929 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 16(𝑦2 − 2𝑦 + 1)9 𝑥 − 2 2 + 16 𝑦 − 1 2 = 144 Entre 144;𝑥−2 2

16+

𝑦−1 2

9= 1

𝑎 = 4; 𝑏 = 3; ℎ = 2; 𝑘 = 1


Simplifica la ecuación

9𝑥2 + 4𝑦2 − 18𝑦 − 23 = 0

9𝑥2 − 18𝑥 + 4𝑦2 + 8𝑦 = 239 𝑥2 − 2𝑥 + 4 𝑦2 + 2𝑦 = 239 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 4 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 23𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 9 + 4 + 239 𝑥 − 1 2 + 4 𝑦 + 1 2 = 369 𝑥−1 2

36+

4 𝑦+1 2

36= 1

𝑥−1 2

4+

𝑦+1 2

9= 1 Referida al sistema

original

ൢ

𝑥 = 𝑥′ + ℎ𝑥 = 𝑥′ + 1 →

𝑦 = 𝑦′ + 𝑘

𝑦 = 𝑦′ − 1 →

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑢𝑖𝑟𝑥′+1−1

2

4+

𝑦′−1+12

9=

1

𝑥′ 2

4+

𝑦′ 2

9= 1 Referida al nuevo sistema


HipérbolaLa hipérbola es el lugar

geométrico del conjunto depuntos del plano, tales que el

valor absoluto de la diferencia

de sus distancias a los puntos

fijos llamados focos, siempre es

constante y menor que la

distancia entre dos focos.

Donde:

Focos: 𝐹1 𝑐, 0 𝑦 𝐹2(−𝑐, 0)

Vértices: 𝑉1 𝑎, 0 y 𝑉2(−𝑎, 0)

Eje focal: 𝑙

𝐹1𝐹2= distancia focal

Centro focal: 𝐹1(−𝑐, 0) y 𝐹2(𝑐, 0)

Eje conjugado: 𝐵1(0, 𝑏) y 𝐵2(0, −𝑏)

Eje transverso: 𝑉1(−𝑎, 0) y 𝑉2(𝑎, 0)

Punto cualquiera: 𝑃 𝑥, 𝑦

Lado recto: 𝐿𝑅

Centro: 𝐶(0, 0)

Ecuación de asíntota 𝑦 = ±𝑏

𝑎𝑥


𝐻 = {𝑃(𝑥, 𝑦)||𝑑(𝑃; 𝐹1)– 𝑑(𝑃; 𝐹2)| =2𝑎 = 𝑐𝑡𝑒}Si la distancia entre dos focos es𝑑 𝐹1, 𝐹2 = 2𝑐, la condición paraque sea una hipérbola es:

𝑐 > 𝑎 > 0; 𝑐2 > 𝑎2; 𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2;⇒ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

2𝑎 = Longitud lado transverso

𝑎 = Semieje real o transverso2𝑏 = Longitud lado conjugado

𝑏 = 𝑙 Semieje conjugado oimaginario

2𝑐 = Distancia focal

𝑐 = Distancia del centro al foco

Se cumple 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Ecuación de la hipérbola con

centro en el origen de los ejes

de los ejes coordenados.


Las ecuaciones anteriores

muestran que la curva es

simétrica respecto de los dos

ejes coordenados y el origen.

En cada hipérbola 𝑎, 𝑏, 𝑐, están

ligados por la relación 𝑏2 = 𝑐2 −𝑎2; 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑎2; 𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2

La condición característica que

distingue a la hipérbola con

respecto a las demás curvases

que: 𝐴𝑐 < 0 , entonces la

expresión correspondiente a la

gráfica de una hipérbola o en

su defecto a un par de rectasque se cruzan.

Ecuación canónica de la hipérbolacon centro en (0, 0) y eje transverso 𝑥:

𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1

Ecuación canónica de la hipérbolacon centro en (0, 0) y eje transverso 𝑥:

𝑦2

𝑎2 −𝑥2

𝑏2 = 1

Para reconocer dada la ecuacióncanónica de una hipérbola si el ejefocal es vertical u horizontal: si elcoeficiente de 𝑥2 es positivo seencuentra en 𝑥, si el coeficiente de 𝑦2

es positivo, el eje focal está en 𝑦.

Los denominadores siguen el orden𝑎2, 𝑏2 y el numerador que correspondael signo + indicará el eje transverso y −eje conjunto.



hipérbola, magnitud de los ejes

transversos y conjugados si

𝑉1(3, 0) 𝑉2(−3, 0) , 𝐹1(5, 0) ,

𝐹2(−5, 0).

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑎 = 3,𝑐 = 5𝑏 =Semieje conjugado.

𝑏2 = 25 − 9; 𝑏2 = 16; 𝑏 = 4

Ecuación:𝑥2

9−

𝑦2

16= 1

Eje transverso: 2𝑎; 2 3 = 6.Eje conjugado 2𝑏; 2 4 = 8.


Obtener la ecuación de lahipérbola, longitud del eje

transverso y eje conjugado, si

sus vértices son

𝑉1 0, 2 , 𝑉2(0, −2) y

𝐹1(0,39) 𝐹2(0, −3).

𝑎 = 2; 𝑏 = semieje

conjugado; 𝑐 = 3.

𝑎 = 2; 𝑏 =semieje conjugado;𝑐 = 3.Eje transverso: 2𝑎2𝑎 = 2(2); Eje transverso = 4Eje conjugado: 2𝑏

2𝑏 = 2 5 ; Eje conjugado = 2 5

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2; 9 = 4 + 𝑏2;

𝑏2 = 5Ecuación de la hipérbola:

𝑦2

4−

𝑥2

5= 1


Lado recto de la hipérbola: lacuerda que pasa por un foco

y es perpendicular al eje focal,

se llama lado recto de la

hipérbola, y al mediarlo

obtenemos el ancho focal de

esta curva.

𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1 Para conocer 𝑦.𝑐2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 =

1 −𝑦2

𝑏2 = 1 −𝑐2

𝑎2 ;𝑦2

𝑏2 =𝑐2

𝑎2 − 1;

𝑦2

𝑏2 =𝑐2−𝑎2

𝑎2 ⇒ 𝑦2 = 𝑏2 𝑐2−𝑎2

𝑎2

𝑦 =𝑏2 𝑐2−𝑎2

𝑎2 ; 𝑦 =𝑏2

𝑎2 𝑐2 − 𝑎2 ;

𝑦 =𝑏2

𝑎2 𝑐2 − 𝑎2;

Pero 𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2: 𝑦 =𝑏2

𝑎2 𝑏2;

𝑦 = ±1

𝑎𝑏; 𝑦 = ±

𝑏2

𝑎

𝑦 = ±𝑏2

𝑎𝐿𝑅 =

2𝑏2

𝑎


Pero nunca llega a cortar la

curva, entonces cuando una

curva y una recta se

relacionan de esa manera se

dice que la recta es una

asíntota de la curva.

Una hipérbola siempre tiene

dos asíntotas, y estas se cruzan

en el centro de la hipérbola.

Excentricidad de la hipérbola:

La razón que existe entre los

valores de “c y a” expresada

como cociente, se denomina

excentricidad de la hipérbola.

𝑒 =𝑐

𝑎; 𝑒 > 1

Asíntotas de la hipérbola: si

para una curva dada existeuna recta tal que a medida

que nos alejamos

indefinidamente del origen, la

distancia de ese punto a la

recta decrece continuamente

y tiende a cero.


Hipérbola horizontal.

𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1𝑏2𝑥2−𝑎2𝑦2

𝑎2𝑏2 = 1;

𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 = 0

𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 0;

𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0

𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 0 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0

𝑎𝑦 = −𝑏𝑥 𝑏𝑥 = 𝑎𝑦

𝑦 = −𝑏𝑥

𝑎𝑦 =

𝑏𝑥

𝑎


Lado recto:𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1

𝑦 = ±𝑏2

𝑎𝐿𝑅 = 2𝑦

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎𝑒 =

𝑐

𝑎


Asíntotas:𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1;

𝑥2𝑏2−𝑦2𝑎2

𝑎2𝑏2 = 1; 𝑏2𝑥2 − 𝑦2𝑎2 = 𝑎2𝑏2

𝑏2𝑥2 − 𝑦2𝑎2 = 0; 𝑏𝑥 2 −𝑎𝑦 2 = 0; 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 (𝑏𝑥 −

Hipérbola vertical:

𝑚 =𝑎

𝑏𝑦 =

𝑎

𝑏𝑥

𝑚 = −𝑎

𝑏𝑦 = −

𝑎𝑥

𝑏


Obtener las ecuaciones de las

asíntotas de las hipérbolas:

4𝑦2 − 9𝑥2 = 36

Obtener la ecuación de laasíntota

4𝑦2 − 5𝑥2 = 20

4𝑦2

36−

9𝑥2

36=

36

36;

𝑦2

9−

𝑥2

4= 1

4𝑦2 − 9𝑥2 = 36 4𝑦2 − 9𝑥2 = 0;

4𝑦2 − 9𝑥2 = 0; 2𝑦 + 3𝑥 (2𝑦 −

𝑦2

5−

𝑥2

4= 1 4𝑦2 − 5𝑥2 = 0

2𝑦 − 5 𝑥 2𝑦 + 5 𝑥 = 0

2𝑦 − 5 𝑥 = 0; 𝑦 =5 𝑥

2

2𝑦 + 5 𝑥 = 0; 𝑦 = −5 𝑥

2


Obtener la ecuación de las

asíntotas de la hipérbola 9𝑥2 −16𝑦2 = 144𝑥2

16−

𝑦2

9= 1 9𝑥2 − 16𝑦2 = 144

9𝑥2 − 16𝑦2 = 0; 3𝑥 − 4𝑦 = 0

3𝑥 + 4𝑦 = 0; 𝑦 = −3𝑥

4

3𝑥 − 4𝑦 = 0; 𝑦 =3𝑥

4

𝑎2 = 16 𝑏2 = 9

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2; 𝑐2 = 25; 𝑐 = 5

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎; 𝐿𝑅 =

18

4; 𝐿𝑅 = 4.5

El positivo es 𝑥2

𝑦 = −3𝑥

4𝑦 =

3𝑥

4


Ecuación de la hipérbola dadauna ecuación de la asíntota.

Obtener la ecuación de lahipérbola que tiene su centro enel origen, su eje focal sobre el eje𝑥, pasa por (3, 1) y una de susasíntotas es la recta 2𝑥 + 5𝑦 = 0

Binomios conjugados

2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = 0 →2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = 𝑘

4𝑥2 − 25𝑦2 = 𝑘

Graficamos las asíntotas

2𝑥 + 5𝑦 = 0 2𝑥 − 5𝑦 = 0

𝑥 │ 𝑦 𝑥 │ 𝑦

5 │ −2 5 │ 2

Para obtener 𝑘 sustituimos

𝑃(3, 1) en 2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = 0

2 3 + 5 1 2 3 − 5 1 = 𝑘

𝑘 = 11 2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = 11

4𝑥2 − 25𝑦2 = 11

Pasar a la forma canónica:4

11𝑥2 −

25

11= 1



hipérbola cuyos vértices son

𝑉1 3,0 , 𝑉2 −3,0 . Y una de las

asíntotas desde la recta 𝑦 + 2𝑥 = 0

Graficar.

Ecuaciones asíntotas

𝑦 + 2𝑥 = 0 𝑦 − 2𝑥 = 0

𝑦 = −2𝑥 𝑦 = 2𝑥

𝑥 │ 𝑦 𝑥 │ 𝑦

2 │−4 2 │ 4

𝑚 = −2 𝑚 = 2

𝑚 =𝑏

𝑎2 =

𝑏

3; 𝑏 = 6

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐2 = 9 + 36;

𝑐2 = 45; 𝑐 = 45 𝑐 = 6.7

𝑒 =𝑐

𝑎𝑒 =

45

3𝑒 = 2.23

𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1𝑥2

9−

𝑦2

36= 1

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎; 𝐿𝑅 =

2 36

3; 𝐿𝑅 = 24


Fin del Módulo

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