Proceso de nacimiento y muerte

Proceso de Nacimiento y Muerte

En el contexto de teoria de colas, se refiere al modelo probabilístico que describe las llegadas (nacimientos) y salidas (muertes) de clientes, en un sistema de colas.

El estado del sistema en el tiempo t, que se denota N(t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t


Supuesto 1:

Dado N(t) = n , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro n .

Atención: n = la tasa media de llegadas cuando hay n clientes en el sistema


Supuesto 2:

Dado N(t) = n , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (salida) es exponencial con parámetro n .

Atención: n = la tasa media de salidas cuando hay n clientes en el sistema.


Supuesto 3.

La variable aleatoria de la suposición 1 (tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (tiempo que falta hasta la próxima muerte) son mutuamente independientes.


Diagrama de tasas para el proceso de nacimiento y muerte

n-2 0 1 2 3 n-1 n n+1

0 1 2 n-2 nn-1

n+11 2 3 n-1 n

Proceso de Nacimiento y Muerte: Ecuaciones de Balance

En(t) = número de veces que el proceso entra al estado n, hasta el tiempo t

Ln(t) = número de veces que el proceso sale del estado n, hasta el tiempo t


|En(t) - Ln(t) | 1

|En(t)/t - Ln(t)/t | 1/t 0 , cuando t

Lim t En(t)/t = tasa media a la que el proceso entra al estado n

Lim t Ln(t)/t = tasa media a la que el proceso sale del estado n


Por lo tanto se tiene la ecuación de balance para el estado n

tasa media entrada = tasa media de salida

Atención: vamos a denotar Pn a la probablidad de que el sistema se encuentre en el estado n (condición estado estable)


. Estado tasa entrada = tasa salida

0 1 P1 = 0 P0

1 0 P0 + 2 P2 = (1+ 1)P1

2 1 P1 + 3 P3 = (2+ 2)P2

.

.

.

.

n n-1 Pn-1 + n+1 Pn+1 = (n+ n)Pn

. .

. .


Entonces Pn = CnP0 donde

,...2,1npara...

...C

11nn

02n1nn

0nn

0

C

1P

Proceso de Nacimiento y Muerte:tasas medias constantes y un

servidor

Si n = yn = entonces Cn = (/)n = n por lo tanto, si se tiene sólo un servidor:

L = número esperado de clientes en el sistema

0n

n

0nn

0

)1(nnPL

1P

Notación

Nos referiremos a los modelo de colas que vamos a estudiar, usando la notación M/M/s , lo cual significa: tiempos entre llegadas con distribución exponencial (Markoviano) tiempos de servicio con distribución exponencial (Markoviano), y el número de servidores disponibles representado por s.

Caso (M/M/1)

Definiendo Lq como la longitud esperada de la cola (se excluye a los clientes del sistema que están siendo servidos en el único servidor):

)(P)1n(L

2

1nnq

Caso (M/M/1)

Si denotamos como W al tiempo que el cliente pasa en el sistema, se puede demostrar que

P(W > t ) = e-(1-)t

por lo tanto

W=E (W ) = 1/(-)

Caso (M/M/1)

Si denotamos como Wq al tiempo que el cliente espera en la cola antes de ser servido, se puede demostrar que

P(Wq > t ) = e-(1-)t por lo tanto

Wq =E (Wq ) = /(-)

Caso (M/M/1)

Verificándose la fórmula de Little

L = W

y además:

Lq = Wq

W = Wq + 1/

Ejercicio

. Los trabajos llegan a un centro de procesado de acuerdo a un proceso Poisson,

con una tasa media de dos por días, el tiempo de operación tiene una distribución exponencial con media de 1/4 día. Se cuenta en este centro con suficiente espacio para material en proceso para acomodar tres trabajos además del que se está procesando. Los trabajos adicionales se guardan temporalmente en un lugar menos conveniente. ¿Qué proporción del tiempo será adecuado el espacio que tiene el centro de procesado, para acomodar todos los trabajos que lleguen?

Con el propósito de poner en práctica las fórmulas presentadas, proponga

varias preguntas pertinentes y obtenga las respuestas correctas.

Proceso de Nacimiento y Muerte: con mas de un servidor

s = # servidores ,

n = para n = 1, 2, . . .

,....snparas

s,...,,nparan

n

1

21

Proceso de Nacimiento y Muerte: con mas de un servidor

Tendremos:

,....1s,snpara

s!s

)/(

1s,...,2,1npara!n

)/(

C

sn

n

n

n


Suponiendo que = /s < 1 , tendremos:

1s

0n

sn0

)s/(11

!s)/(

!n)/(

1P


.

snparaP

s!s

)/(

1sn0paraP!n

)/(

P

0sn

n

0

n

n


.

2

s

0

snnq

)1(!s

)/(P

P)sn(L


y como antes:

Wq = Lq /

W = Wq + 1/

L = Lq + /


Con relación a la ley de probabilidad de los tiempos de espera P(W > t ) es igual a:

/1s

e1

)1(!s

)/(P1e

)/1s(ts

0t


Además

P(Wq > t ) = [1-P{Wq =0}]e-s(1-)t

donde

P{Wq = 0} =

1s

0nnP

Ejercicio

. Un banco emplea cuatro cajeras para servir a sus clientes. Los clientes llegan

de acuerdo con un proceso Poisson con una tasa media de tres por minuto. Si un

cliente encuentra todas las cajas ocupadas, se una a una cola a la que le dan

servicio todas las cajeras, es decir, no hay colas frente a cada cajera , sino que

esperan en una cola la primera cajera que se desocupa. El tiempo para realizar

las transacciones entre la cajera y el cliente tienen una distribución exponencial

con media setenta seguntos. Construya el diagrama de tasas para este sistema de

colas. Encuentre la distribución de probabilidad de estado estable para el

número de clientes en el banco. Con el propósito de poner en práctica las

fórmulas presentadas, proponga varias preguntas pertinentes y obtenga las

respuestas correctas.

variación de cola finita (M/M/s/K)

No se permite que el número de clientes supere una cantidad específica, digamos K, por lo tanto, la modificación que debe hacerse al modelo (M/M/s) es cambiar los parámetros n como se indica a continuación:

Knpara0

K,....,2,1nparan


Para s 1 y s K tenemos:

Knpara0

K,...1s,snparas!s

)/(

1s,...,2,1npara!n

)/(

Csn

n

n

n


Por lo cual

Knpara0

K,...,1s,snparaPs!s

)/(

1sn0paraP!n

)/(

P0sn

n

0

n

n


donde

s

0n

K

1sn

snsn0

s!s)/(

!n)/(

1P


Por otra parte, con = /(s) (que no necesita ser menor que 1)

1s

0nn

1s

0nqn

sKsK

2

s

0q

P1sLnPL

)1()sK(1)1(!s

)/(PL


finalmente

)P1(P

donde

LW

LW

K0n

nn

q

q


Casos que faltan por tratar:

Fuente de entrada finita Tasas de entradas y/o tasas de salida

dependientes del estado del sistema Distribuciones no exponenciales


ATENCION:

Se recomienda introducir todas las fórmulas en la calculadora . . .y leer e intentar resolver los ejercicios 17.6-9 , 17.6-11 y 17.6-28


. Una oficina de boletos de una aerolínea tiene dos agentes que contestan las llamadas para reservaciones. Una llamada se puede poner en espera hasta que uno de los agentes se desocupa para tomarla. Si las tres líneas (de ambos agentes y de espera) están ocupadas, el cliente potencial obtiene tono de ocupado y se supone que llama a otra oficina de boletos y la venta se pierde. Las llamadas y los intentos de llamada ocurren aleatoriamente, según un proceso de Poisson a una tasa media de 15 por hora. La duración de una conversación telefónica tiene una distribución exponencial con meda de 4 minutos. Construya el diagrama de tasas de este sistema. Encuentre la probabilidad de estado estable de que:

- Un cliente pueda hablar de inmediato con un agente - El cliente queda en espera

- El cliente obtenga tono de ocupado


Se planea abrir una autolavado y se debe decidir cuánto espacio asignar a los autos que esperan. Se estima que los clientes llegan de manera aletoria , de acuerdo a un Proceso Poisson con tasa de uno cada cuatro minutos , a menos que el área de espera este llena, en cuyo caso los clientes que llegan llevarán su auto a otra parte. El tiempo total atribuible al lavado de un carro tiene distribción exponencial con media tres minutos. Compare la fracción de clientes que se pierden por falta de espacio de espera si se proporcionan x espacio de espera: con x = 0 , x = 2 y x = 6

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