Proceso estocástico o aleatorio:

En estadística, y específicamente en la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.

Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios constituye un proceso estocástico.

Procesos aleatorios especiales:

- Proceso estacionario: Un proceso es estacionario en sentido estricto si la función de distribución conjunta de cualquier subconjunto de variables es constante respecto a un desplazamiento en el tiempo.

- Proceso homogéneo: variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas

- Proceso de Márkov: Aquellos procesos discretos en que la evolución sólo depende del estado actual y no de los anteriores.

- Proceso de Gauss: Proceso continuo en el que toda combinación lineal de variables es una variable de distribución normal.

- Proceso de Poisson.

- Proceso de Gauss-Márkov: Son procesos, al mismo tiempo, de Gauss y de Márkov

- Proceso de Bernoulli: Son procesos discretos con una distribución binomial.

Ensayo de Bernoulli

En la teoría de probabilidad y estadística, un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio en el que sólo se pueden obtener dos resultados (habitualmente etiquetados como éxito y fracaso). Se denomina así en honor a Jakob Bernoulli.

Desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad, estos ensayos están modelados por una variable aleatoria que puede tomar sólo dos valores, 0 y 1. Habitualmente, se utiza el 1 para representar el éxito.

Si p es la probabilidad de éxito, entonces el valor del valor esperado de la variable aleatoria es p y su varianza, p (1-p).

Ejemplos:

En la práctica, los ensayos de Bernoulli se utilizan para modelar fenómenos aleatorios que sólo tienen dos resultados posibles, como por ejemplo:

- Al lanzar una moneda, comprobar si sale cara (éxito) o cruz (fracaso). Se suele suponer que una moneda tiene una probabilidad de éxito de 0,5.

- Al lanzar un dado, ver si se obtiene un seis (éxito) o cualquier otro valor (fracaso).

- Al realizar una encuesta política, tras escoger un votante al azar, ver si éste votará “sí” en un referéndum próximo.

- ¿Era el recién nacido niña?

- ¿Son verdes los ojos de una persona?

Hay que entender que éxito y fracaso son etiquetas para los resultados y que no debe hacerse una interpretación literal.

Procesos de Bernoulli:

Se denominan procesos de tipo Bernoulli, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes, en pocas palabras, no es otra cosa que la repetición de un Ensayo de Bernoulli. Para identificar un proceso Bernoulli en una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:

- Resultados dicotómicos: Los resultados de cada prueba se pueden clasificar en éxito si verifican cierta condición, o fracaso en el caso contrario.

- Independencia de las pruebas: El resultado de una prueba cualquiera es independiente del resultado obtenido en la prueba anterior, y no incide en el resultado de la prueba siguiente.

- Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p de obtener un resultado considerado como un éxito se mantiene constante a lo largo de toda la serie de pruebas.

Camino aleatorio:

El camino aleatorio o paseo aleatorio, abreviado en inglés como RW (Random Walks), es una formalización matemática de la trayectoria que resulta de hacer sucesivos pasos aleatorios. Los resultados del análisis de paseo aleatorio han sido aplicados a la computación, la física, la ecología o la economía. En particular en este último campo la teoría del paseo aleatorio de Burton G. Malkiel en su obra: “A Random Walk Down Wall Street” (traducción castellana: “Un Paseo Aleatorio Por Wall Street”). Se fundamenta en la hipótesis de los mercados eficientes, desarrollado en tres formas o hipótesis. En física, el modelo ha servido, por ejemplo, para modelar el camino seguido por una molécula que viaja a través de un líquido o un gas. En ecología, se emplea para modelar los movimientos de un animal de pastoreo, etc.

Introducción informal:

En su forma más general, los paseos aleatorios son cualquier proceso aleatorio donde la posición de una partícula en cierto instante depende sólo de su posición en algún instante previo y alguna variable aleatoria que determina su subsecuente dirección y la longitud de paso. Casos específicos o límites de los paseos aleatorios incluyen la caminata de un borracho, el vuelo de Lévy y el movimiento browniano.

Definición:

Digamos que X(t) define una trayectoria que empieza en la posición X(0) = X0. Un paseo aleatorio se modela mediante la siguiente expresión:

X(t + τ) = X(t) + Φ(τ).

Donde Φ es la variable aleatoria que describe la ley de probabilidad para tomar el siguiente paso y τ es el intervalo de tiempo entre pasos subsecuentes.

Introducción:

En la teoría de probabilidad y estadística, los procesos estocásticos nos permiten el estudio de los fenómenos aleatorios y el comportamiento de cada una de las variables que intervienen en ellos. Dentro de los procesos estocásticos veremos los procesos de Bernoulli y el camino aleatorio, sus características y las condiciones necesarias que deben darse para su aplicación.

Conclusión:

Es muy importante en el estudio probabilístico, la aplicación de procesos que nos permitan obtener los resultados necesarios para el análisis. A través de los procesos de Bernoulli podemos evaluar las posibilidades de éxito y fracaso de un fenómeno aleatorio, como podría ser el lanzamiento de una moneda o la votación en un referéndum. El camino aleatorio, por su parte, es un proceso que abarca varias áreas de conocimiento como la computación, física, ecología y economía, ya que es un concepto importante para el estudio del comportamiento de una trayectoria.

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Sección: “A”VII Semestre

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Guanare, abril de 2011.