PRODUCTO CARTESIANO Si tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles  formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos  el producto

cartesiano de los dos conjuntos. Se escribe:      

 Podemos representarlo de diferentes formas: diagramas de flechas, diagramas arbolados, tablas y gráficos cartesianos. Cada par que formemos con un elemento  de A y uno de B, en ese orden, recibe el  nombre de par ordenado.

Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B

Ejemplo:Sea los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} se tiene: AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)}

El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA

Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes, entonces los elementos del producto cartesiano de la forma (a,a), se les llama elementos diagonales.

Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma simbólica como A2.

Si el producto cartesiano lo forman más de dos conjuntos los elementos del producto cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto, otro del segundo otro del tercero y así hasta llegar al ultimo.

Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal (eje X o eje de las abscisas) colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical (eje Y o eje de las ordenadas) los elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal.

Ver la representación del ejemplo

Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama de árbol

tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los del conjunto B

Podemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado por n conjuntos, multiplicando el número de elementos o cardinal de cada uno de los conjuntos que intervienen

card(AXB....Z)=card(A)card(B).....Card(Z)

Propiedades del producto cartesiano.

1. El producto cartesiano de un conjunto. Cualquiera por el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío. Ax{ } = { } es evidente, ya que el conjunto vacío carece de elementos, luego no se pueden formar pares con los del otro conjunto A.

2. Propiedad distributiva respecto de la unión. Se expresa: AX(BUC) = (AxB)U(AxC)

3. Propiedad distributiva respecto de la intersección: Ax(BnC) = ((AxB)n(AxC))

OJO:

En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:

R x R = {(x, y) / x R y R }.

R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La

representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también

plano numérico.

Se establece una relación biunívoca entre R x R y el conjunto de los puntos

del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con

el punto P(x,y).

Ejemplo 1:

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

Ejemplo 2:

Sean A = {x / x R1 x 3 },

        B = {x / x R2 x 2 }.

Su representación geométrica es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos

que pertenecen a los segmentos PQ y QR.

Ejemplo 3:

Sean A = {x / x N1 x 4}, B = {x / x R 1 x 3}.

Representar A x B en el plano cartesiano.

Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto

entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas

las nadas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que ai Ai con i = 1, 2,..., n, se llama

producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An.

Propiedades del producto cartesiano.

1 A X B Y A x B X x Y.

2 A x B = 0 A = 0 B = 0.

3 A B A x B 0 A x B B x A.

Ejemplo . Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12

elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla

organizada en la siguiente forma:

Ejercicios

1) Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las

siguientes igualdades:

(x y, 1/2) = (1, x y) (x 2, y) = (3y, 2x)

2) Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3

incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5,

incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de:

A x B y B x A.

3) Sea S = {100, 101,..., 999} así que S = 900 elementos.

¿Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es un 3 o un 7?

Ejemplos: 300, 707, 736, 103, 997.

¿Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es 3 y al

menos uno que es 7? Ejemplos: 736, 377.

RELACIÓN

Llamamos RELACIÓN entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra R, a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB.

R

Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.

EN CONCLUSIÓN SOBRE LAS RELACIONES:

Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B

sí y sólo sí R es subconjunto de A x B.

Si R A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente

una relación en A.

0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 A x B y A x

B A x B.

Si (x,y) R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".

Ejemplo 1:

Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.

R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.

R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.

R3 = {(x, y) / x A y B x y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.

R4 = {(x, y) / x A y B x y 7}

     = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.

R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.

R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.

R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y

tampoco de B en A.

R8 = {(x, y) / x A , y B, x y = 0} = 0.

Dominio de una Relación.

Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota

por D(R) al conjunto formado por todas las primeras componentes de

las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

D(R) = { x / ( y) (x, y) R}

En consecuencia,

x D(R) ( y)((x, y) R).

x D(R) ( y)((x, y) R).

Rango de una Relación.

Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por

(R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las

parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

(R) = { y / ( x) (x, y) R}

En consecuencia,

y (R) ( x)((x, y) R).

y (R) ( x)((x, y) R).

Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene:

D(R1) = {3, 1, 5} ; (R1) = {2, 8, 4}

D(R2) = {3}; (R2) = {8}

D(R3) = {3, 5}; (R3) = {2, 4}

D(R4) = {3, 1, 5}; (R4) = {2, 4, 6}

D(R5) = {3, 1}; (R5) = {5, 3}

D(R6) = {2, 6}; (R6) = {3, 1}.

Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x Ry Ry x}.

El siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta

y = x no hace parte de S.

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:

"x es menor que y"

Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.

              D(R) = {1, 2}, (R) = { 2, 3}.

Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación

de A en B sí y sólo sí D(R) A y (R) B.

Relación inversa. Definición. Sea R una relación. Entonces la

relación {(y, x) / (x, y) R} se denomina relación inversa y se denota

R1. En consecuencia,

(y, x) R1 (x, y) R. (y, x) R1 (x, y) R. Si R es una relación de A en B, entonces R1 es una relación de B

en A.

Relación Idéntica.

Definición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x A y = x} se denomina relación idéntica en A y se designa A:

En consecuencia:

(x, y) A x A y = x.

(x, y) A x A y x.

Ejemplo 7.

R es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos

los pares ordenados de números reales que tienen ordenada y

abscisa iguales. Su gráfica es la recta bisectriz del primero al tercer

cuadrante.

Relación reflexiva en un conjunto.

Definición. R es una relación reflexiva en un conjunto A sí y sólo sí R

es una relación en A y todo elemento de A está relacionado con sigo

mismo. Es decir R es reflexiva en A si y sólo sí,

R A x A ( x A) ((x, x) R).

R no es reflexiva en A si y sólo si,

R A x B ( x A) ((x, x) R).

Ejemplo 8.

Sea A = {1, 3, 5}.

R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en

A.

R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.

Ejemplo 9.

A es reflexiva en A cualquiera sea A 0.

Ejemplo 10.

A2 es reflexiva en A cualquiera sea A 0.

Teorema. R es reflexiva en A sí y sólo sí A R.

Relación simétrica en un conjunto.

Definición. R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación

en A y cualesquiera sean los elementos x,y de A se verifica que si x R

y entonces y R x. En consecuencia:

R es simétrica en A R A x A ( x)( y) ( x R y y R x). R no es simétrica en A R A x A ( x)( y) (x R y y x).

Ejemplo 11.

Las relaciones A y A2 son simétricas en A cualquiera sea A.

Ejemplo 12

Sea A = {3, 4, 2} entonces:

R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} es simétrica en A.

S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)} no es simétrica en A.

Ejemplo 13.

La relación T = {(x, y) / x N, y Nx y} donde la expresión "x y"

significa x divide a y no es simétrica en N puesto que si x y no

necesariamente y x.

Teorema. R es simétrica en A sí y sólo sí R = R1.

Relación antisimétrica en un conjunto.

Definición. R es una relación antisimétrica en A sí y sólo sí R es una

relación en A y cualesquiera que sean x,y de A se verifica que:

Sí x R y y R x entonces x = y.

En consecuencia:

R es antisimétrica en A equivale a decir:

R A x A ( x)( y) ( x R y y R x x = y)

R no es antisimétrica en A equivale a decir:

R A x A ( x)( y) ( x R y y R x x y)

Ejemplo 14.

A es antisimétrica en A.

Ejemplo 15.

Sea A = {2, 4, 6} entonces:

R = {(2, 2), (4, 4)} es antisimétrica en A.

S = {(2, 4)} es antisimétrica en A.

T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)} no es antisimétrica en A

Ejemplo 16.

La relación T = {(x, y) / x N, y Nxy} es antisimétrica en N,

puesto que xy yx implica x = y.

Teorema. R es antisimétrica en A R R1A.

Relación transitiva. R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R

es una relación en A y cualquiera sean x, y, z pertenecientes a A se

verifica que:

Sí x R y y R z, entonces x R z.

En consecuencia:

R es transitiva en A equivale a decir:

R A x A ( x)( y)( z) ( x R y y R z x R z)

R no es transitiva en A equivale a decir:

R A x A ( x)( y)( z) ( x R y y R z x z).

Ejemplo 17.

A es transitiva en A.

Ejemplo 18.

Sea = {2, 4, 6, 3} entonces:

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva en

A.

S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en A.

Ejemplo 19.

La relación T = {(x, y) / x N, y N x y} es transitiva en N.