Producto de Matrices Aleatorias
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Producto de matrices aleatorias (borrador) Gabino Corona 1 de diciembre de 2015 1. Introducci´ on El prop´ osito de este cap´ ıtulo es dar una descripci´ on del comportamiento de producto de matrices aleatorias. Analizar el comportamiento asint´otico e introducir teoremas an´ alogos a los teoremas l´ ımites cl´ asicos para sumas de variables aleatorias independientes e id´ enticamente distribuidas (por ejem- plo, la ley de los grandes n´ umeros). 2. Notaci´ on Denotaremos M (m, R) como el conjunto de matrices de dimensi´on m×m con entradas de n´ umeros reales. GL(m, R) como el conjunto de elementos invertibles de M (m, R)ya SL(m, R) como el conjunto de matrices con determinante uno. Sean x y A elementos de R m y M (m, R) respectivamente, entonces ||x|| ≡ m i=1 x 2 i (1) ||M || = Sup{||M x||; x ∈ R m , ||R m || =1} (2) Tambi´ en f + denotar´aSup(f, 0). Las variables aleatorias estan definidas so- bre un espacio de probabilidadΩ, A, P. E(X ) ser´a el valor esperado de la variable aleatoria X 3. El m´ aximo exponente de Lyapunov Sea {X n , X n-1 , ...X 2 , X 1 } una sucesi´on de matrices aleatorias indepen- dientes e identicamente distribuidas con distribuci´on com´ un μ. Si S n = X n X n-1 ...X 2 X 1 , ||S n || ≤ ||X n || · ||X n-1 ||...||X 2 || · ||X 1 ||. (3) 1
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En este archivo se describe un teorema equivalente a la ley de los grandes números en distribuciones aleatorias para la aplicación de matrices aleatorias.
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Producto de matrices aleatorias
(borrador)
Gabino Corona
1 de diciembre de 2015
1. Introduccion
El proposito de este capıtulo es dar una descripcion del comportamientode producto de matrices aleatorias. Analizar el comportamiento asintotico eintroducir teoremas analogos a los teoremas lımites clasicos para sumas devariables aleatorias independientes e identicamente distribuidas (por ejem-plo, la ley de los grandes numeros).
2. Notacion
DenotaremosM(m,R) como el conjunto de matrices de dimensionm×m
con entradas de numeros reales. GL(m,R) como el conjunto de elementosinvertibles de M(m,R) y a SL(m,R) como el conjunto de matrices condeterminante uno. Sean x y A elementos de Rm y M(m,R) respectivamente,entonces
||x|| ≡
√
√
√
√
(
m∑
i=1
x2i
)
(1)
||M || = Sup||Mx||; x ∈ Rm, ||Rm|| = 1 (2)
Tambien f+ denotara Sup(f, 0). Las variables aleatorias estan definidas so-bre un espacio de probabilidadΩ, A,P. E(X) sera el valor esperado de lavariable aleatoria X
3. El maximo exponente de Lyapunov
Sea Xn,Xn−1, ...X2,X1 una sucesion de matrices aleatorias indepen-dientes e identicamente distribuidas con distribucion comun µ. Si Sn =XnXn−1...X2X1,
||Sn|| ≤ ||Xn|| · ||Xn−1||...||X2|| · ||X1||. (3)
1
Por lo tanto, E(
ln+ ||X1||)
es finito y ln+ ||Sn|| es integrable. Si n, p ≥ 1entonces
E (ln ||Sn+p||) ≤ E (ln ||Xn+p...Xn+1)+E (ln ||Xn...X1) ≤ E (ln ||Sp||)+E (ln ||Sn||)(4)
Entonces la sucesion E (||Sn||) , n ≥ 1 y 1
nE (||Sn||) converge a inf
m≥1
1
mE (ln ||Sm||)
en R ∪ ∞.
DEFINICION. Si E(
ln+ ||X1||)
< ∞, el exponente maximo de Lyapu-nov asociado con µ es el elemento γ de R ∪ ∞ definido por
γ = lımn→∞
1
nE (ln ||Xn...X1||) (5)
Debido a que todas las normas sobre M(m,R) son equivalente, γ esindependiente de la norma que se tome. Nos gustarıa llegar a un resultadomas fuerte de convergencia casi segura:
γ = lımn→∞
1
nln ||Xn...X1|| (6)
TEOREMA DE FURSTENBERG Sea µ una medida definida so-bre el espacio. Sea G el subgrupo cerrado mas pequeno de SL(m.R) quecontiene el soporte de µ. Sea Xn una sucesion de elementos aleatoriosde G independientes e identicamente distribuidos. Si G es un subgrupo deSL(m.R) tal que
1. G no es compacto
2. G no contiene subgrupos de ındice finito reducibles
entonces resulta que
lımn→∞
ln ||Xn...X1u|| = γ > 0 (7)
con probabilidad uno para cualquier vector u ∈ Rm.
El teorema de Furstemberg no toma en cuenta las tazas de crecimiento ex-
ponenciales inferiores asociadas a los valores propios de la matriz(
P†nPn
)1
2n
2
