ProfesorNoEntiendo_Gomez_1998

8/3/2019 ProfesorNoEntiendo_Gomez_1998

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Bogot, 1998

una empresa docente Umiversidad de los Andes

Profesor: no entiendo

Reflexiones alrededor de una experiencia

en docencia de las matemticas

Pedro Gmez


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PROFESOR: NOENTIENDO. Un esquema para la investigacin y la innovacin en laenseanza y el aprendizaje de las matemticas

Autor: Pedro Gmez 1990, 1992

D. R. 1998 una empresa docente .Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida, archivada o trans-mitida en forma alguna o mediante algn sistema, ya sea electrnico, mecni-co, de fotorreproduccin, de almacenamiento en memoria o cualquier otro,sin el previo y expreso permiso por escrito de una empresa docente y delautor.

Diseo cartula: INTERLNEA EDITORES LTDA.

una empresa docenteUniversidad de los AndesCra. 1 Este # 18 A - 70Apartado Areo 4976 Tel.: (57-1) 284-9911 ext. 2717. Fax: 3520466 ext. 2709Servidor WWW: http: //ued. uniandes. edu.coBogot. Colombia

Primera edicin: febrero de 1990

Segunda edicin: enero de 1992Impresin: Centro de Impresin Digital Cargraphics S.A.

ISBN 958-9216-08-8

Impreso en Colombia


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Introduccin

Prlogo a la segunda versin 5Prlogo a la primera versin 7Mea culpa 8

Por qu este material no sirve casi paranada 9

La matemafobia

La matemafobia 13La familia y el colegio 14

Las capacidades del estudiante: la visindel profesor 15Los genes matemticos 17Las nias bonitas y los estudiantesbrutos 18Los estudiantes genios 19Los estudiantes con problemas 20Los estudiantes trabajadores 21

Mtodos de estudio

Se necesita mesa para estudiar 25Los componentes de un texto 26Hoja de borrador 27Materiales para estudiar 28

Varias lecturas para estudiar 30Usar papel y lpiz 32Mtodo de las cajitas 33Cmo y qu estudiar para unparcial? 34

Resolucin de problemas

Estrategias a la Polya 37Hacer y escribir las preguntas 39Escribir en espaol 40La pregunta en reversa 41El proceso mental 42

Geometra analtica43

Profesor: no entiendo

Movimientos de cuello, primeraparte 47Movimientos de cuello, segunda

parte48

Cuestiones de lenguaje 50Hipnotizando los ejercicios 51La definicin de conceptos 53Inventando ejercicios 54La inspiracin 55Buscando el error 56Ronda 57

C

ontenido


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Herramientas

Pasar al tablero: el problema 61Pasar al tablero: mtodo 62Partido! 63La chismografa 64El diccionario 65El recetario 66

Metodologa

Definicin de los objetivos 69Objetivos y motivacin 70El por qu de la metodologatradicional 71Consecuencias de la metodologatradicional 72Aprender sufriendo 74Salirse del sistema 75Primeros das de clase 76Objetivos de la discusin en clase 77Generacin de una discusin 78

Argumentos de una discusin 80

El profesor

Se me rajaron 25 en el parcial 83El poder del profesor 84La gua del profesor 85

Confesar la ignorancia 86

Evaluacin

Evaluacin, factor que se olvida 89Principios 90

Medir los objetivos 91

Justicia 92

Medir lo que se hizo 93

Evaluar los conceptos 94

Midiendo inspiracin 95

Un examen lindo 96

Exmenes fciles y difciles 97

Visin de las notas por parte delestudiante 98

Una pausa que refresca 99

Motivacin del estudiante:el terrorismo 101

Herramientas del terror:tareas y kisses 102

Tareas: cmo deben ser? 103Kisses: cmo hacerlos? 104

Correccin de tareas, kisses yparciales 105

Manejo de los monitores 106

Haga usted el parcial 107

Repaso del parcial 108

Aprender a pensar

Qu es lo que se busca? 111

Capacidad de abstraccin 112

Anlisis racional de un problema 113

Lenguaje de interpretacin 114

Interrelaciones o axiomas 115

Proceso de deduccin de laconclusin 116

Sentido de la esttica 117

Conceptos y objetos concretos 118

Aprender a definir 119

Aprender a definir: metodologa 120


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El reto

El reto: comprometerse con el logro de losobjetivos 123Si hay compromiso, hay motivacin 125Si hay compromiso,

hay una visin diferente 126Si hay compromiso,el contenido y la metodologa pueden sersecundarios 128Los objetivos, el compromisoy la tradicin 129

Una estructura pedaggicaPosicin epistemolgica delprofesor 133Visin cerrada 134Tradicin 135Razones para la visin cerrada 136Visin abierta 137Actores 138

Visin centrada en los conceptos139

Resultados 140Grficas 141Frmulas 142La lnea divisoria 143Resolucin de problemas 144Utilizacin creativa delconocimiento 145Caja de herramientas 146La tabla 147

Principios

Proceso de transformacin 151Transformacin versus aprendizaje 152Qu es formacin? 153

Una visin matemtica del mundo 154Una visin racional del mundo 155Una manera de mirar y analizar elmundo 156Sentido de la esttica 158Una manera de argumentar acerca delmundo 159

Metodologa y formacin160

Experiencia que transforma 161Proceso versus resultado 162Anlisis del problema 163Argumentacin 164Presentacin 165Importancia del descubrimiento 166Importancia de la discusin enclase 167La motivacin: un compromiso 168

Conocimiento de los objetivos 169El profesor como partcipede un problema comn 170El curso como un reto 171


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de 30, se me rajaron 25 en el examen dijo el profesorNo, se rajaron 26, usted incluido le respondi el director

Henri Yerly (1901 1981)


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Introduccin


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Introduccin 5

Prlogo a la segunda versinLa segunda versin de este material presenta algunos cambios con respecto ala primera versin. Se han introducido tres nuevos captulos (Mtodos deestudio, Resolucin de problemas y Profesor: no entiendo) que estnenfocados especficamente hacia el estudiante. La experiencia nos ha mos-trado que este material puede generar algn inters por parte del estudiantey estos captulos buscan aportar en este sentido. Desde el punto de vista delprofesor, se han ampliado los captulos sobre metodologa y evaluacin y sehan introducido dos nuevos captulos (Aprender a pensar y Una estruc-

tura pedaggica) que, junto con el captulo Los principios, presentan lasideas sobre las cuales se basa la ideologa que aplicamos en nuestros cursos.Como se menciona en el prlogo a la primera versin, este material no pre-

senta ninguna sustentacin terica. Este es su principal defecto. Las que aquse presentan son reflexiones alrededor de una experiencia de cinco aos en laUniversidad de los Andes, experiencia sta, que ha adolecido de ese mismodefecto: la carencia de una base terica*. No obstante, este vaco nos ha indu-cido a aproximarnos al problema de la docencia de las matemticas desde unpunto de vista prctico: hemos identificado problemas, hemos generadoposibles soluciones y hemos creado un espacio de experimentacin en el que

estas soluciones se evalan y se mejoran. Es as como se ha creado un graninters por la teora dentro del grupo de trabajo y el estudio y anlisis que deella hacemos ahora tiene esta experiencia como punto de partida.

Este material no pretende que otros grupos de trabajo repliquen el procesoanterior. Por el contrario, el material busca generar en el profesor un nuevointers por su oficio, al mostrarle que la docencia de las matemticas es unproblema en continua evolucin que requiere de estudio, reflexin, experi-mentacin y evaluacin. Lo ideal es encontrar un equilibrio entre el estudio yanlisis de experiencias y teoras con la propia experimentacin y la evalua-cin de sus resultados.

El material propende por una participacin activa del estudiante en suproceso de aprendizaje. Sin embargo, el texto, tal y como se le presenta ellector, parece estar en contradiccin con esta posicin. Sera apropiado que el

*Esta deficiencia se expresa particularmente en que, dentro del texto, se hace un mayornfasis en el proceso de enseanza, mientras que se considera superficialmente el pro-ceso de aprendizaje.


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6 Profesor:noentiendo

texto contuviera un conjunto de ejercicios que incitaran al lector a la experi-mentacin, evaluacin y crtica de las ideas en l contenidas. Estos ejerciciosno existen porque cada texto particular es una invitacin a la accin y a lareflexin. Invito al profesor interesado a experimentar con las ideas aqu con-tenidas, a evaluar sus experiencias y a compartir conmigo y con sus colegas

el resultado de esta evaluacin.Quiero agradecer a Patricia Ins Perry y Vilma Mara Mesa, investigadorasde una empresa docente quienes leyeron y comentaron un borrador de estasegunda versin.

Pedro GmezSanta Fe de Bogot, 10 de enero de 1992


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Introduccin 7

Prlogo a la primera versinEste es un documento de trabajo. Su propsito es presentar algunas ideas yherramientas metodolgicas relacionadas con la enseanza de las matemti-cas. Su autor espera que estas ideas generen comentarios y crticas.

Este material es el producto de la experiencia que, durante tres aos, se hadesarrollado con el grupo de profesores de una empresa docente, centro deinvestigacin en docencia del Departamento de Matemticas de la Universi-dad de los Andes. El material pretende recoger los principios y las ideas que,semestre a semestre, intentamos transmitir a los profesores que, por primera

vez, trabajan en nuestros proyectos.El material no tiene ningn soporte terico. De hecho, uno de los propsi-tos de poner estas ideas por escrito es la de hacer explcita nuestra posicinacerca de la docencia de las matemticas para, en seguida, compararla ymejorarla con las opiniones de otros investigadores en el tema.

El material tiene una estructura particular: no tiene estructura. El materiales la recoleccin de breves reflexiones sobre temas particulares. Cada reflexinabarca en promedio una pgina y contiene una o dos ideas. El tema que sepretende atacar es de tal complejidad y abarca tal variedad de aspectos, quebuscar imponerle una estructura particular habra restringido el mensaje que

se deseaba transmitir.El material puede ser una base sobre la cual cada profesor construya su

propia visin de la enseanza de las matemticas. Esta estructura abierta lepermite al lector aproximarse a los textos de manera completamente libre. Elmaterial no tiene ni un comienzo, ni un fin y cada tema que se trata tiene unaexistencia propia, de tal manera que se puede leer independientemente de losque lo acompaan. La esperanza que tiene su autor es que el lector, al aproxi-marse a estos textos a travs de su propia visin del problema y con suspropios criterios, termine aprovechando el material al construir una nuevavisin de la problemtica tratada que sea mayor que la suma de sus partes.

Este es el primer borrador de este material. No pretende abarcar el tema encuestin en toda su extensin, ni presentar ideas definitivas sobre el mismo.Por el contrario, este material es el primer paso de un proceso de generacinde un libro vivo en el que a travs de las crticas y los aportes de sus lectores,sea posible mejorar y extender su contenido.

Pedro GmezBogot, 31 de diciembre de 1989


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Mea culpaEste material parte de varias suposiciones iniciales:

Todas las personas tienen una mnima capacidad lgico-analtica

No es cierto que existan personas que se puedan considerar negadaspara las matemticas

El estudiante que est terminando el bachillerato o comenzando la uni-versidad representa un materia prima maleable en la que los prejuiciosque pueda traer son modificables

El profesor es quien tiene en su poder la capacidad de manejar todas lasherramientas necesarias para lograr los objetivos de un cursoEs a partir de estas suposiciones que, en este material, se pone todo el peso

del proceso pedaggico sobre el profesor. Y es por ello que en muchos lugaresdel mismo se considera al profesor como la causa ms probable de los posi-bles fracasos del estudiante.

Las cuatro suposiciones anteriores hacen parte de la ideologa sobre lacual se basa este material. Es evidente que esta ideologa no es ni tiene queser compartida por todos los profesores. Sin embargo, considero que estaposicin genera el espacio dentro del cual el profesor puede mirar su profe-

sin como un reto e inducirlo a buscar alternativas de solucin a losproblemas pedaggicos con los que se enfrenta a diario en el ejercicio de suprofesin.


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Introduccin 9

Por qu este material no sirve casipara nadaLa experiencia que hemos tenido con la primera versin de este material nosha mostrado que las que aqu se exponen no son las recetas mgicas parasolucionar el problema de la docencia de las matemticas. De hecho, hemosya identificado algunas caractersticas del texto que es conveniente mencio-nar desde un comienzo.

En primera instancia, este material tiene un carcter con tintes muy fuertes

de dogmatismo. Lo que se presenta es una visin del problema de la pedago-ga de las matemticas y algunas sugerencias para implantar estrategiasmetodolgicas al interior de esta visin. Es natural que las cosas sucedan as.Un material que fuese neutro desde el punto de vista ideolgico aportaramuy poco a la discusin y a la reflexin sobre el tema. Sin embargo, estacaracterstica del texto tiene consecuencias particulares con respecto a su apli-cacin en la prctica, puesto que sus lectores se pueden dividir en tresgrupos.

Al primer grupo pertenecen los profesores que, al menos parcialmente,comparten las ideas que se presentan en el libro. Para ellos, el texto puedellegar a aportar en algunos casos, especialmente desde el punto de vista dealgunas herramientas metodolgicas particulares.

En el segundo grupo se encuentran los profesores experimentados que nocomparten la posicin presentada en el texto y que, en general, la criticanabiertamente. Para ellos, este texto no ser ms que otra locura alejada de loque ellos consideran que es la realidad del estudiante promedio. Como estetexto, en su estado actual, no pretende presentar argumentos para defendersu posicin ideolgica y solamente considera las otras posiciones comopuntos de partida para las reflexiones que se proponen, entonces el material

no genera casi ningn espacio para discusin.Finalmente hay que tener en cuenta a los profesores que no tienen muchaexperiencia. Para ellos este texto tiene poco sentido, puesto que ellos no sonnecesariamente conscientes de buena parte de los problemas que aqu setocan.


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L

a matemafobia


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Lamatemafobia 13

La matemafobiaEn Francia existe una expresin que divide a las personas en dos grupos biendefinidos: la matemafobia. Un matemafobo es una persona que le tiene fobia alas matemticas. Como dicen las seoras, no las puede ver ni en pintura.Una proporcin importante de nuestros estudiantes son, en mayor o menormedida, matemafobos. Uno de nuestros ms grandes retos consiste en curar-los y vacunarlos contra esa enfermedad.

En otro sitio hablaremos de las causas de esta enfermedad y de las estrate-gias que se pueden desarrollar para tratarla. Aqu mencionaremos solamente

algunos aspectos particulares de la misma. Como quien dice los sntomas.El matemafobo es alguien que est plenamente convencido de que losgenes matemticos existen y que, cuando l llego a que le dieran uno, hacarato que haban cerrado el almacn. El no cree que sea bruto, en general,quin puede llegar a creerlo? sino tan slo bruto para las matemticas.El piensa que, si lleg tarde a la reparticin de los genes matemticos, encambio s lleg temprano a la reparticin de los genes humansticos y que eluno es completamente contradictorio con el otro.

El matemafobo es alguien que puede leerse una novela de corrido todosdeberamos ser capaces, no es cierto? pero que no es capaz de mantener su

concentracin en un texto tcnico durante ms de dos minutos y treinta ysiete segundos.

El matemafobo expresa su enfermedad de diversas maneras. Existen aque-llos particularmente las mujeres para quienes su enfermedad es unacatstrofe. No tienen ni idea de qu hacer y se ahogan en un vaso de agua,antes de que el agua haya sido servida. Dicen tener inters en salir adelante,pero la conciencia de su incapacidad no les permite hacer nada al respecto.Por otro lado, existen aquellos que expresan esta situacin con una actitud deabsoluta falta de inters. Piensan que su universo est y estar siempre des-provisto de las matemticas y se pasan el semestre preguntndose por qu loponen a sufrir si l vino a la universidad a prepararse para el futuro.

Un ltimo comentario. En muchas ocasiones, el matemafobo no solamenteodia las matemticas, tambin odia a cualquiera que sustente el ttulo de pro-fesor de matemticas...


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La familia y el colegioSi es cierto que el matemafobo piensa que los genes matemticos existen y sisus padres son matemafobos, entonces no hay caso: el pobre muchacho estarconvencido desde pequeo que l no naci para las matemticas.

Si adems de la tragedia familiar anterior, el nio se encuentra en uncolegio donde la profesora de matemticas (aquella seora de falda de paogris y anteojos de aro) est convencida de que los genes matemticos existen,la tragedia del nio se convierte en una catstrofe.

La fobia a las matemticas no es una enfermedad gentica. Es ms bien

una consecuencia del hecho de que mucha gente cree que es un enfermedadgentica. Los padres no quieren ms que aceptar que su hijo no naci para lasmatemticas y que, por consiguiente, en cambio de ser ingeniero o econo-mista, va a ser abogado o mdico. Qu se le va a hacer! Ellos no puedenhacer nada, aun si quisieran. Porque es que estas matemticas modernasque le ensean ahora a los nios en el colegio no las entiende nadie....

Sin embargo, el colegio puede ser la causa ms profunda de la expansintan grande de la matemafobia. Muchas son las causas, pero basta con mencio-nar las ms importantes.

Por un lado, el profesor. No es fcil encontrar profesores de matemticas.

El ingeniero frustrado que no consigui trabajo y que se gana la vida dic-tando clases en por lo menos tres colegios es un caso. El otro, es la profesorafamosa. Alguien que lleva no digamos cuntos aos dictando los mismoscursos y que lo nico que espera es el momento que se pueda retirar de sutrabajo. Pero la calidad del profesor, en el sentido de sus conocimientos deltema o de las metodologas que utiliza, no es lo realmente importante. Loimportante y verdaderamente perjudicial del profesor de matemticas delcolegio es su actitud hacia el estudiante y hacia las matemticas. Es el profe-sor quien acenta la creencia de que hay algunos estudiantes que sirven paralas matemticas y otros que no. Y no hablemos del contenido de los cursos ode las metodologas utilizadas. No podemos pedirle al profesor que hagaalgo mejor cuando l dicta ocho cursos diarios. No podemos ms que lamen-tar que las cosas sean as y ser conscientes de que nuestros estudiantes llegana la universidad con esas actitudes y esa preparacin. Nuestro reto consisteen generar el espacio dentro del cual el estudiante pueda descubrir por smismo que las cosas pueden ser diferentes, que vale la pena intentarlo y quebasta un poco de esfuerzo y de inters para lograrlo.


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Lamatemafobia 15

Las capacidades del estudiante:la visin del profesorEste semestre me toc un curso terrible; prcticamente todos los estudiantesson malos; no saben nada y slo hay uno o dos que medio entienden. En elparcial se raj el 80%. Es increble.

Escucho esta frase o frases similares al menos una vez por semana enel saln de tintos del Departamento de Matemticas. Inmediatamente piensoen Monsieur Yerly, quien le deca al profesor que le comentaba que, de un

curso de 30 personas se haban rajado 25 en el parcial, que no se habanrajado 25, sino 26, el profesor incluido.

La frase tiene varios orgenes. Por un lado, es normalmente pronunciadapor un profesor que cree firmemente en que los genes matemticos existen.Esto significa para l, que hay estudiantes brutos y estudiantes que no sonbrutos para las matemticas y que, desafortunadamente, ese semestre le tocun curso de brutos. Esto tambin significa que no hay caso: dado que sonbrutos, es muy poco lo que se va a poder hacer durante el semestre parasacarlos adelante y, por consiguiente, muchos se van a rajar al final.

Por otro lado, un profesor que pronuncie esta frase es un profesor que noest necesariamente consciente de su papel en el saln de clase, de su respon-sabilidad con respecto al estudiante y del reto que significa ser profesor. Unprofesor tiene la responsabilidad de preocuparse por todos los estudiantes,brutos o no brutos. Esta preocupacin de sacar adelante a todos los estu-diantes que expresen inters es el reto del profesor. Y este reto es vlidoindependientemente de las capacidades del estudiante y de su preparacinprevia. Porque si en el curso anterior el estudiante no aprendi o entendi loque necesitaba, el profesor debe encontrar la manera de llenar ese vaco.

El profesor tiene una responsabilidad con la institucin y con su entorno:

debe asegurarse de que los estudiantes que pasen por sus manos estn bienpreparados para el futuro. Pero l tambin tiene una responsabilidad con elestudiante (diferente de tratar de rajar a aquellos que, segn l, no tienen lascapacidades o la preparacin adecuadas): debe encontrar el espacio para queel estudiante genere el inters por el tema y demuestre que s tiene las capaci-dades y que s puede lograr la preparacin que se espera de l.

Un profesor que no crea en la existencia de los genes matemticos deberatener la actitud apropiada hacia este problema. Es un profesor que sabe que


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sus estudiantes tienen las capacidades necesarias y que lo que necesitan es uncatalizador de sus intereses y sus esfuerzos.


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Lamatemafobia 17

Los genes matemticosLos genes matemticos no existen. Esta es una posicin filosfica particular conrespecto a las capacidades del individuo que surge de la posicin generalsegn la cual desde el punto de vista biolgico todos somos iguales men-talmente en el momento de nuestro nacimiento y nuestras capacidades yprejuicios son consecuencia de nuestro proceso de desarrollo como personas.

Existe la posicin opuesta segn la cual s existen algunos tipos de genes:el gen de la msica, el gen de las lenguas, el gen de la filosofa y porsupuesto el gen de las matemticas. De acuerdo a esta posicin, existen

genes con los cuales la gente nace o no que permiten una mayor facilidadpara la ejecucin de algunas actividades.Aunque las anteriores son ambas hiptesis cientficas acerca de las caracte-

rsticas biolgicas del recin nacido, de las consecuencias que ellas tienen ensus capacidades y en su comportamiento futuro y de la importancia relativadel entorno en la formacin de la persona, no es fcil identificar un experi-mento crucial que permita decidir, de una vez por todas, cul es la posicinvlida. Para ello se requerira un experimento en el cual dos gemelos (doshermanos nacidos del mismo vulo y del mismo espermatozoide; por consi-guiente, con exactamente la misma informacin gentica) fuesen separados

en el momento de su nacimiento y puestos en entornos diferentes y controla-dos. Este experimento dara algunas luces sobre el asunto, pero no resolverala cuestin definitivamente. Sin embargo, este experimento es impensable y,por lo tanto, nos quedaremos siempre con la duda, teniendo que asumir unaposicin con respecto al asunto. Esta posicin ser por lo tanto una posicinideolgica que no es posible defender con argumentos racionales o cientfi-cos.

Esta posicin tiene implicaciones importantes en la actitud del docente y,por consiguiente, en los principios que determinan su comportamiento en elsaln de clase.


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Las nias bonitas ylos estudiantes brutosEn una clase de treinta estudiantes, siempre hay tres nias bonitas y dos estu-diantes brutos. Esto est estadsticamente comprobado. De la misma forma,se puede pensar que, en general, se satisfacen ciertas proporciones de estu-diantes de diferentes tipos dentro de un saln de clase. Aunque las niasbonitas pueden aportar al ambiente de trabajo, esta no es la categora quems nos puede interesar. Aqu vale la pena hacer una clasificacin de los dife-

rentes tipos de estudiantes, puesto que deberamos tener una estrategiapedaggica con respecto a cada uno de ellos:

Los genios que no conocen el tema pero que, sin necesidad de estudiar,se lo inventan y proponen sus creaciones en clase.

Los genios que, adems, ya conocen el tema y quieren demostrarlo cons-tantemente en clase.

Los que trabajan como locos (se adelantan en el programa) y logran conxito los objetivos.

Los que trabajan normalmente, siguiendo estrictamente las reglas dejuego del curso.

Los que trabajan como locos, pero sin mtodo y slo logran parcialmentelos objetivos, estando, en todo caso, motivados.

Los que hacen esfuerzos espordicos, pero se creen negados para el temay se frustran a la mitad del camino.

Los que sencillamente no trabajan porque no quieren trabajar.

Los que fueron alguna vez a clase y, de un momento a otro, se desapare-cieron.

Para cada una de estas categoras hay que tener una estrategia de manejo.El xito de un curso, particularmente en lo que se relaciona con el ambientede trabajo, depende en buena medida del tratamiento que se le de a cada unade ellas.


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Lamatemafobia 19

Los estudiantes geniosDentro de la clasificacin de los estudiantes que se present anteriormente,identificamos dos tipos de estudiantesgenios:

Los genios que no conocen el tema pero que, sin necesidad de estudiar,se lo inventan y proponen sus creaciones en clase.

Los genios que, adems, ya conocen el tema y quieren demostrarlo cons-tantemente en clase.

Son los segundos quienes, en general, tienden a presentar ms problemasdentro de nuestras clases. Su participacin constante y su deseo de demostrar

su sabidura o su inteligencia introduce ruido dentro de nuestro procesopedaggico puesto que hace que muchos otros estudiantes se vuelvantmidos y no deseen participar en las discusiones. Es por esta razn que esimportante identificar rpidamente a estos estudiantes y hablar con ellos porfuera de clase.

Se debe buscar explicarles, de la manera ms directa, el aprecio que comoprofesores tenemos de su aporte a la clase, pero tambin la importancia quepara el grupo tiene la posibilidad de que todos participen. En general, estetratamiento especial es bien recibido por el estudiante. Por otra parte, sivemos que, adems de genio, el estudiante es una persona seria y responsa-ble con su trabajo (dos condiciones que no son necesariamente compatibles),podemos proponerle trabajos especiales que reemplacen el trabajo regular enclase. Esto los motivar an ms y es posible que algunos de estos estudian-tes se conviertan en monitores o asistentes de investigacin en el futuro.

Con respecto al primer grupo, hay que hacer una anotacin importante. Enmuchas ocasiones, este tipo de genio que logra inventarse todas las solucio-nes sin conocerlas con anterioridad, tiende a ser una persona desordenada y,por consiguiente, siendo muy capaz, es ineficiente en el empleo de sus recur-sos intelectuales. A l tambin podemos ayudarlo tratando de inducirlo a que

desarrolle mtodos de trabajo que le permitan utilizar mejor sus capacidades.


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Los estudiantes con problemasLos estudiantes con problemas constituyen nuestro ltimo grupo de inters.Encontramos tres tipos:

Los que hacen esfuerzos espordicos, pero se creen negados para el temay se frustran a la mitad del camino.

Los que sencillamente no trabajan porque no quieren trabajar.

Los que fueron alguna vez a clase y, de un momento a otro, se desapare-cieron.

A cada uno de estos estudiantes deberamos darle su tratamiento espe-cial. En cuanto a los primeros, sabemos que el problema es un problema demotivacin y de auto-estima. Buena parte de nuestros esfuerzos estn enfoca-dos a atacar el problema de los estudiantes que se creen negados y, aunquehacen esfuerzos, no pueden salir adelante. Para ellos, podemos adems dehacer todo lo que se propone en otros lugares de este material, buscarlos porfuera de clase y darles nimo en el sentido de reconocerles el esfuerzo quehacen y mostrarles cmo ese esfuerzo en algn momento dar sus frutos.

En cuanto al segundo grupo, es claro que hay que hablar con ellos porfuera de clase. En la mayora de las ocasiones hay una razn para que no

quieran trabajar y la charla con el profesor por fuera de clase los motivar ahacerlo.Con respecto al ltimo grupo, tenemos un arma secreta. Como no vienen a

clase, entonces no los podemos ver. Pero como debemos tener sus nmerosde telfono, s los podemos llamar. Llammosles y hagmosles venir a hablarcon nosotros. Es casi seguro que esa llamada y esa charla los comprometercon nosotros y con el curso y saldrn adelante.


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Lamatemafobia 21

Los estudiantes trabajadoresDentro de los estudiantes trabajadores hemos identificado tres tipos de estu-diantes:

Los que trabajan como locos (se adelantan en el programa) y logran conxito los objetivos.

Los que trabajan normalmente, siguiendo estrictamente las reglas dejuego del curso.

Los que trabajan como locos, pero sin mtodo y slo logran parcialmentelos objetivos, estando, en todo caso, motivados.

De estos tres grupos, el ms importante es el tercero. Estos son los estu-diantes que conforman, en general, el grupo ms grande y a quienes tenemosque ayudar en mayor medida. Su problema tiende a ser muy sencillo: notienen mtodo de trabajo y, al no tenerlo, su esfuerzo es muy ineficiente.Nuestro aporte y, en este caso, no tenemos que hacerlo por fuera de clasees guiarlos para que desarrollen este mtodo. No voy a hacer aqu una pre-sentacin de lo que puede ser un tal mtodo de trabajo, puesto que en otroslugares de este material se tocan temas generales relacionados con este pro-blema y porque, en algunos casos, las soluciones tienden a ser especficas a

las coyunturas que se presentan en clase.Con respecto al primer grupo, ellos son los que llamamos los pilos. Aestos tambin hay que consentirlos. Por una parte, ellos son los mejores can-didatos para monitores y, por otra parte, en algunas ocasiones tienden a serpilos en nuestros cursos, pero no en los otros. Cada profesor deber ver siquiere cargar con esa agradable responsabilidad, pero, en general, es buenoacostumbrar al estudiante a que lleve un equilibrio adecuado en la dedica-cin que le da a cada uno de sus cursos.

Quisiera hacer una anotacin final. Los estudiantes trabajadores tienden atener una deficiencia grave: juegan estrictamente con las reglas del juego y,

por consiguiente, no aprovechan su imaginacin y no tienen mucha inicia-tiva. Esto hay que trabajarlo puesto que, de nuevo, lo importante es quenuestros estudiantes tengan un buen balance de todas las cualidades.


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Mtodos deestudio


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Mtodosdeestudio 25

S

e necesita mesa para estudiar

No ha visto usted alguna vez a un estudiante de ingeniera o economasentado en el bus ejecutivo* a las siete de la maana leyendo el captulo deresolucin de ecuaciones cbicas porque tiene quiz ese da? Seguro que s; yseguro que el pobre estudiante se raj en la prueba.

Nuestros estudiantes no tienen por qu saber cmo se estudia matemti-cas. Su curso de matemticas es uno de los tantos cursos que tienen que veren un semestre y para los cuales tienen que estudiar. Y cuando lo tienen quehacer, aplican ese principio de induccin intuitiva que hace parte de la

actividad pseudo-cientfica de nuestros estudiantes:

El problema es que les va mal; y les va mal porque ellos no saben que losmtodos tradicionales e intuitivos que pueden funcionar para otras materiasno son efectivos en el caso de las matemticas. Ellos no saben que para estu-diar eficazmente matemticas es necesario desarrollar mtodos particulares

que requieren de entornos y elementos especficos diferentes.Dado que este es un problema de ignorancia por parte del estudiante, esresponsabilidad del profesor introducirlo a estos mtodos e inducirlo a prac-ticarlos eficientemente.

*El ejecutivo es el nombre que se le da al bus que utiliza una buena proporcin de losestudiantes que viajan del norte de la ciudad a la universidad.

Cuando tengo examen de legado de Grecia, estudio en el busleyendo el material y me va bien. Por consiguiente, para que

me vaya bien en el examen de matemticas, basta con queestudie leyendo en el bus.


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Los componentes de un textoEn otro lugar se sugiere que el estudio de un texto de matemticas requierede varias lecturas. Si el texto en cuestin tiene que leerse ms de una vez,qu caractersticas debe tener y que requisitos debe cumplir cada una deestas lecturas? Para responder esta pregunta vale la pena analizar los compo-nentes esenciales de casi cualquier texto de matemticas.

Todo texto de matemticas involucra conceptos. Estos conceptos represen-tan los objetos matemticos sobre los cuales habla el discurso en cuestin.A menos que se conozca el significado de estos conceptos es imposible com-

prender el sentido del discurso. Algunos de los conceptos son conocidos y, enmuchos casos, cada texto trae nuevos conceptos. Por consiguiente, es necesa-rio conocer (y sobre todo comprender) el significado de cada uno de estosnuevos conceptos.

Por otra parte, en la mayora de los casos, el texto tambin involucra resul-tados. Los resultados son afirmaciones acerca de los objetos matemticosrepresentados por los conceptos. Estos resultados son el conjunto de afirma-ciones verdaderas acerca de estos objetos. Por consiguiente, en general cadauno de estos resultados tiene una justificacin. En algunos casos esta justifica-cin es una demostracin formal de la verdad de la afirmacin y, en otros, se

presenta una justificacin informal de la misma. Para la mayora de los cursosde matemticas, es necesario ser capaz de reproducir estas justificaciones.

En tercera instancia, los textos presentan tcnicas. Estas tcnicas se refieren,en general, a maneras de resolver problemas. En algunos casos, estas tcnicaspermiten resolver problemas tericos (tcnicas para generar una demostra-cin) y, en otros, son tcnicas para resolver problemas prcticos (lo que aqullamamos las recetas). Las tcnicas no aparecen de la nada. Ellas son conse-cuencia lgica tanto de los conceptos, como de los resultados que se hanpresentado en el discurso. Ellas nos muestran la forma prctica por medio dela cual podemos utilizar estos conceptos y estos resultados y, por consi-guiente, dependen directamente de ellos.

El cuarto elemento son los ejemplos. En los ejemplos, el texto presenta ins-tancias particulares, ya sea de los conceptos que se han introducido o de lastcnicas por medio de las cuales se pueden resolver problemas.

Y, finalmente, los ejercicios.


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Hoja de borradorPara estudiar matemticas hay que estudiar escribiendo; y, para escribir, sehace necesario lpiz y papel. En el caso del estudio de las matemticas, senecesitan varios papeles, entre otros, la hoja de borrador acerca de la cualhablaremos aqu.

La hoja de borrador es una hoja que se bota a la caneca al final de la sesin.En ella, escribimos todo lo que se nos pueda ocurrir. En particular, nos inte-resa escribir los conceptos involucrados en el texto, los resultados que all sepresentan y el desarrollo que nosotros hacemos de los ejemplos presentados.

Como hemos de hacer varias pasadas por el texto, la hoja de borradorcontendr varias versiones de nuestra aproximacin y comprensin delmismo.

Por qu la hoja de borrador? Porque, al estudiar matemticas, los factoresque juegan dentro del discurso son, en general, numerosos y variados.Nuestra mente no puede, desde la primera lectura, retenerlos todos al mismotiempo y la hoja de borrador nos permite escribirlos y hacer referencia a elloscada vez que los necesitamos. Pero, adems, la hoja de borrador es trascen-dental, puesto que los discursos matemticos son, en general,encadenamientos de afirmaciones que se deducen unas de otras y nuestra

mente no est en capacidad de retener en un mismo instante todos y cadauno de los pasos que nosotros vamos generando de estos encadenamientos.

Es gracias a la hoja de borrador que nosotros podemos identificar los con-ceptos y claves y los trucos y tcnicas que, al no estar explcitos en el texto,nos dificultan su comprensin.


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Materiales para estudiarEstudiar, comprender y apropiarse de un texto de matemticas requiere detodo un proceso por parte del estudiante. Los propsitos finales delproceso son:

Ser capaz de reproducir la esencia del discurso

Ser capaz de resolver los ejerciciosDebe ser claro que el nico medio vlido para lograrlos es la comprensin

de los conceptos involucrados (lo que algunos llaman la internalizacin delos conceptos). Hemos visto que, para lograr el primer objetivo, es necesario

que el estudiante sea consciente de que todo discurso matemtico involucraun cierto nmero de componentes: los conceptos, los ejemplos de los concep-tos, los resultados, las demostraciones de los resultados, los ejemplos de losresultados y las tcnicas y trucos para resolver problemas. El estudiante debeser capaz de identificar estos componentes y hacer su propio resumen deldiscurso a partir de ellos.

Tambin hemos visto que, para llevar a cabo este proceso, es trascendentalque el estudiante est continuamente escribiendo. Es por ello que hemosidentificado ya un elemento esencial del proceso de estudio: la hoja de borra-dor. Sin embargo, existen otros elementos o materiales de estudio cuyanecesidad se hace patente a partir del proceso que se ha expuesto.

Por un lado, tenemos el diccionario. Este, ms que una hoja, debe ser unaespecie de cuaderno, puesto que ser un material que se ir construyendo alo largo de todo el curso. En l, el estudiante debe ir apuntado, en ordencronolgico obviamente, cada uno de los conceptos que aparecen en el curso,junto con su significado. El propsito no es que el estudiante pueda tener estediccionario para trabajar. Como todo diccionario, le servir espordicamentede referencia para asegurarse que conoce y comprende el significado de unconcepto especfico. Pero, como cuando se estudia una lengua, el estudiante

debe conocer el significado de cada uno de los conceptos. Este significadodebe tener un carcter operacional, puesto que es gracias a este significadooperacional que el estudiante podr resolver algunos ejercicios. Finalmente,en algunos casos resultar importante que, adems del significado, el estu-diante escriba un ejemplo o caso particular del concepto en cuestin.

Por otro lado, se tiene el resultario. Esta debe ser otra seccin de ese cua-derno, donde el estudiante debe llevar la lista de los resultados que se hanvisto en el curso hasta el momento. El debe conocer estas afirmaciones,


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puesto que son ellas las que constituyen el conjunto del conocimiento acercadel tema. Adems de tener escritos los resultados, el estudiante debe escribirtambin las ideas principales y los trucos que se encuentran involucrados enla demostracin del resultado, de tal manera que le sirvan de gua para sercapaz de reproducir la demostracin del resultado en cuestin. Junto con esta

gua, en algunos casos resulta importante que el estudiante escriba tambin laesencia de un ejemplo que represente el aspecto operacional del resultado.Y finalmente se tiene el recetario. Esta es la otra seccin de ese cuaderno y,

en ella, el estudiante debe escribir los procedimientos generales que le permi-ten resolver problemas. Estos procedimientos se expresan, en general, comoun diagrama de flujo en el que se identifican cada uno de los pasos y las deci-siones que hay que tomar para lograr el objetivo. Es importante que, ademsde identificar la receta, el estudiante haga explcita la relacin entre unareceta dada y el significado operacional de los conceptos y los resultados quese encuentran involucrados en esa receta*.

*En otro lugar de este material se sugiere una manera prctica de manejar estos ele-mentos. Ver el tema La tabla en el captulo Una estructura pedaggica.


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V

arias lecturas para estudiar

Para estudiar matemticas, no basta con leer una vez el texto. Aunque cadaquien, de acuerdo a sus capacidades y conocimientos, puede llegar a desarro-llar su propio mtodo de estudio, es evidente que, para lograr los objetivospedaggicos que un texto dado impone, es necesario leerlo ms de una vez.

Cada lectura hace parte de un proceso que debera buscar, al final, que elestudiante sea capaz de reproducir natural e intuitivamente el contenido deltexto. El contenido lgico de casi cualquier texto de matemticas y laimportancia de comprender ese texto hace que este proceso de reproduc-

cin sea posible sin necesidad de que la persona se aprenda de memoria elcontenido. Qu es entonces lo que hay que lograr cuando se estudia?El primer paso consiste en tener una idea general del contenido del texto.

Para ello, basta una lectura rpida que nos ubique dentro del contexto deldiscurso. Una vez que sepamos de qu se trata el discurso, es necesario queprofundicemos en los conceptos y los resultados que ste contiene. Para esto,tenemos que sacar a un lado la lista de nuevos conceptos y nuevos resultadosinvolucrados. En este momento, podemos ir apuntando en el diccionarioestos conceptos y en el resultario estos resultados.

El siguiente paso consiste en comprender el significado de los conceptos.

Para ello, debemos hacer el esfuerzo, no slo de hacer los ejemplos que seproponen en el texto y que dependen de estos significados, sin mirar previa-mente el ejemplo, sino tambin de tratar de producir nuestros propiosejemplos.

Una vez que tenemos cierta certidumbre de que conocemos y comprende-mos los conceptos, en cuanto a su significado operacional, podemos atacarlos resultados. Para ello, debemos analizar sus demostraciones. Este anlisisdebe buscar identificar los pasos esenciales de la demostracin. Estos pasosesenciales dependen, en general, de los conceptos y de los resultados queestn involucrados en cada una de estas demostraciones. Cuando hayamosescrito en nuestra hoja de borrador estos elementos, podemos pasar a anali-zar el flujo de la demostracin. Esto lo debemos hacer siempre escribiendo. Acada demostracin, le debemos dar el tiempo que requiera, hasta que seamoscapaces de reproducir la demostracin sin necesidad de mirar el texto,gracias a nuestra comprensin de los conceptos involucrados y de la interac-cin lgica de las afirmaciones all contenidas. En este momento sabremoscules son los puntos y los trucos claves de la misma y son estos puntos y


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estos trucos los que debemos anotar en el resultario acompaando al textodel resultado.

Cuando conozcamos cada una de las demostraciones de los resultadosinvolucrados en el texto, podemos analizar detalladamente los ejemplos queutilizan estos resultados. Aunque previamente hemos mirado estos ejemplos

para efectos de lograr una comprensin intuitiva de las afirmaciones en cues-tin, en este momento debemos tratar de hacer nosotros mismos el ejemplo,sin mirar la solucin del texto.

El anlisis de los ejemplos nos debe guiar en el descubrimiento de las tc-nicas de resolucin de problemas: las recetas. Estas recetas se basarn engeneral en los significados operativos de los conceptos y los resultados, peroen muchas ocasiones involucrarn tambin uno o dos trucos. En nuestra hojade borrador deberemos escribir explcitamente estos factores. Cuandohayamos reconocido y comprendido cada uno de estos factores, podremosescribir la receta en el recetario.

De esta forma, habremos hecho, ya, varias pasadas por el texto, todo eltiempo escribiendo. Estas pasadas nos deben haber permitido comprender ymanejar cada uno de los componentes del texto. El paso final consiste enintentar reproducir en nuestra hoja de borrador, y de manera reducida, todoel discurso que estamos estudiando. La primera vez se nos olvidarn algunospuntos y tendremos que regresar al texto. Sin embargo, a la tercera o cuartaseremos capaces de escribir en nuestra hoja de borrador, en el orden apro-piado, los conceptos, con sus significados, un ejemplo para cada concepto; losresultados, con sus demostraciones; y los ejemplos que involucran conceptosy resultados, siendo conscientes de las tcnicas y trucos que estn involucra-dos en ellos.

Despus hay que ponerse a hacer los ejercicios.


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Usar papel y lpizSon pocos los estudiantes que terminan el colegio habindose dado cuentaque estudiar matemticas no es necesariamente lo mismo que estudiar geo-grafa, historia o ingls. Mientras que para algunos de estos temas, el procesode estudio puede llevarse a cabo dentro de un esquema de recoleccin y gra-bacin informal de informacin (lo cual no quiere decir que este mtodo seael ms eficiente), en el caso de las matemticas es prcticamente una prdidade tiempo. Porque las matemticas hay que estudiarlas con papel y lpiz. Lasrazones son evidentes.

La mayor parte de los discursos matemticos son argumentos. Argumen-tos que parten de una cierta cantidad de suposiciones, premisas oafirmaciones que se dan por conocidas y que llegan a una serie de conclusio-nes por medio de una deduccin lgica. Dado que la mente humana no tienecapacidad de retener en lnea ms de tres o cuatro hechos o factores, estosargumentos no pueden generarse fcilmente en la mente del estudiante. Estetiene que apuntar la informacin que no puede retener para hacer referenciaa ella en el momento que la necesita. Por otra parte, como estos argumentosno pretenden exclusivamente transmitir informacin, resulta esencial que elestudiante identifique explcitamente los diferentes tipos de elementos que

constituyen el discurso.El propsito final del estudiante debera ser el de reconocer que, dentro del

discurso, hay una cierta informacin que l debe tener presente puesto que esel punto de partida del argumento y que no hay necesidad de retener el enca-denamiento lgico ni las conclusiones, una vez que l ha comprendido elproceso y descubierto la o las nuevas herramientas lgicas que se utilizandentro de l. En ese momento, el estudiante debe intentar reproducir en elpapel el discurso y solamente debera estar satisfecho cuando esta reproduc-cin le parece evidente y natural.


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Mtodo de las cajitasBuena parte de nuestros estudiantes llegan a la universidad sin ningnmtodo de estudio eficiente. Es posible que esto sea debido al tipo de evalua-ciones que han tenido en el colegio. En algunos casos, estas evaluaciones sontales que no requieren mtodo de estudio pues obligan al estudiante exclusi-vamente a retener y ser capaz de reproducir informacin. Sin embargo, alllegar a la universidad y por razn del tipo de temas a los que se enfrentan ya la cantidad de trabajo que tienen que llevar a cabo, nuestros estudiantes seven en la necesidad de desarrollar mtodos de estudio. Algunos de ellos des-

cubren estos mtodos por s mismos. Otros los aprenden gracias al azar deencontrarlos en algn sitio. El resto no los tiene y son extremadamente inefi-cientes en su trabajo.

Lo importante para nuestros estudiantes no es grabar informacin. Loimportante es saber evaluar esta informacin para identificar los conceptosesenciales y las relaciones entre estos conceptos. Porque lo que se espera delestudiante es que l reconozca el proceso mediante el cual se llega a una con-clusin dentro de un discurso y no exclusivamente que conozca las premisasa partir de las cuales parte este discurso.

En otras palabras, se espera del estudiante que l sea capaz de resumir

racionalmente un discurso y que, grabando muy poca informacin, sea capazde reproducir un discurso similar. Para ello, el estudiante debe tener unaherramienta que le permita resumir racionalmente. El mtodo de las cajitas esuna tal herramienta. Y es muy sencillo.

Para cada concepto, hagamos una cajita. Para cada relacin entre dos con-ceptos hagamos una flecha. El proceso racional de un discurso essencillamente el flujo lgico que se da entre las cajitas a travs de las flechas.


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Cmo y qu estudiarpara un parcial?

El estudiante que haya seguido la metodologa de preparar su clase todos losdas, no tiene nada que aprender de nuevo para el parcial. En principio, l hacomprendido y aprendido cada tema particular en el momento en que ste seha tratado en clase. Si, adems, el estudiante ha llevado al da el diccionario yel recetario del curso, entonces el trabajo de preparacin de un parcial deberaser sencillo.

El objetivo que todo estudiante debe buscar al preparar un parcial es el detener una visin global del tema que se ha tratado durante el ltimo mes. Es elmomento de comprender la razn de ser de algunos temas, que en la ocasinparticular que se vieron en el curso podran parecer sin sentido. Es tambin elmomento de reconocer la interrelacin entre los diversos temas del curso. Porlo tanto, el parcial representa la oportunidad de ver en un slo vistazo elflujolgico del discurso que se ha desarrollado hasta el momento.

Una de las herramientas ms eficientes para lograr estos objetivos es elmtodo de las cajitas. Este mtodo, conocido por los ingenieros de sistemascomo diagrama de flujo es la manera ms sencilla y directa de identificar losconceptos esenciales del tema y de relacionarlos entre ellos. Consiste simple-mente en determinar cada uno de los conceptos, escribirlos en una caja yconectarlos por flechas que representan las interrelaciones. Este mtodo, nosolamente sirve para tener la visin global del tema y, por lo tanto, unresumen del mismo; tambin sirve para representar grficamente cada unade las recetas de solucin de problemas, puesto que le permite al estudiantever el orden en el cual l deber llevar a cabo cada una de las etapas delproceso.


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Resolucin deproblemas


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Estrategias a la PolyaDe qu sirve conocer los conceptos, los resultados que hablan acerca deestos conceptos y las tcnicas que se deducen de estos ltimos, si uno no sabecmo utilizarlos para resolver problemas de la vida real? Yo creo que demuy poco, excepto porque, al estudiarlos, el alumno est desarrollando unacierta formacin personal. Sin embargo, sucede que en muchas ocasiones,nosotros, los profesores, no nos esforzamos por desarrollar en el estudiante lacapacidad de atacar problemas de la vida real, tambin llamados problemasde carreta, o ms conocidos como problemas de planteo.

El problema de los problemas de planteo es que es muy posible que unestudiante que conozca los conceptos, los resultados y las tcnicas no seacapaz de resolverlos. La razn es sencilla: los problemas de planteo no se pre-sentan en la forma para la cual el estudiante conoce las tcnicas y losresultados. Esto es, el estudiante no puede aplicar estas tcnicas automtica-mente al problema. Por consiguiente, el problema de los problemas deplanteo es un problema de traduccin cuya solucin debe ser la respuesta a lapregunta:

Polya es el autor clsico en este tema y aqu no se pretende hacer nada msque tomar y reformar algunos de los procesos que l propone. Las estrategiasse pueden dividir en dos partes: unas generales y otras particulares. Lasgenerales son:

Hacerse las preguntas

Escribir las preguntas

Escribir las respuestas

Disear una estrategiaEscribir una estrategia

Comprobar la respuestaLas preguntas particulares se refieren a las preguntas mismas:

Qu me dan?

Qu me piden?

Puedo hacer un dibujo?

Qu estrategias hay que seguir para traducir el texto delproblema de planteo a una forma a la cual se le pueden apli-

car las tcnicas que el estudiante ya conoce?


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Qu necesito saber para responder la pregunta?

Cmo puedo expresar la incgnita?

Cules son las condiciones que debe cumplir al solucin?

He utilizado todo lo que me dan?


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Hacer y escribir las preguntasHemos visto cmo el primer paso para desarrollar una estrategia que permitaresolver problemas de planteo tiene que ver con hacerse una serie de pregun-tas y escribirlas en el papel de tal manera que el estudiante pueda crear unaestrategia que lo gue en el proceso de solucin del problema. Sin embargo,una cosa es lo que idealmente hay que hacer y que ellos, como estudiantes,son conscientes que tienen que hacer y otra cosa es lo que hacen una vez quese enfrentan al problema y que piensan que, a menos que lleguen a una res-puesta, todo su trabajo es en vano. Qu podemos hacer nosotros los

profesores para lograr que los estudiantes se acostumbren a aplicar estasestrategias?El primer paso ya se ha mencionado en otros lugares, pero vale la pena

repetirlo. Tenemos que dar el ejemplo. Para ello, cada vez que resolvamos ocorrijamos un ejercicio en el , debemos hacernos las preguntas y escribirlasexplcitamente. De esta forma, cuando el estudiante revise sus apuntes, seencontrar con algo ms que las simples ecuaciones.

El segundo paso es, en mi opinin, el ms eficiente. Basta decirles a losestudiantes que, tanto en las tareas, como en los quices y en los parciales, seevaluar el hecho de que ellos se hagan y escriban las preguntas. Que dos

soluciones de dos estudiantes diferentes que lleguen al mismo punto, peroque tengan diferencias en este aspecto recibirn calificaciones diferentes. Adi-cionalmente, deberamos acostumbrarnos, por lo menos en una primerainstancia, a que los textos de los problemas contuvieran ese requisito.

Finalmente, existe otra estrategia diferente*. Consiste en que se hagan ejer-cicios en los cuales lo nico que se pide es el proceso de traduccin, pero nose pide el proceso de solucin de las expresiones resultantes. De esta manera,se le quita al estudiante la presin por llegar a una solucin y se hace nfasisen el problema de traducir el texto a una forma matemtica a travs de llevara cabo una estrategia que requiere de la formulacin y la escritura de las pre-guntas en cuestin.

*Esta es una idea de Vilma Mara Mesa que me estoy robando vilmente.


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Escribir en espaolSe dice que las matemticas son un lenguaje y, en este texto, se ha insistidoacerca de la importancia de mirarlas de esta manera para comprender lasrazones de algunas de las dificultades de los estudiantes. Sin embargo, estono quiere decir que todo discurso matemtico debe estar completamenteescrito en ese lenguaje. La mayora de los estudiantes piensan lo contrario y,cuando resuelven un ejercicio, lo hacen escribiendo en el papel nicamenteaquellas expresiones que tienen forma matemtica. Al hacerlo, no puedenllevar en el papel una memoria de la estrategia que estn aplicando y

tampoco pueden asegurarse de la validez del procedimiento que estn utili-zando.Este defecto estudiantil tiene un origen evidente. Es el ejemplo del profe-

sor. En clase, y dado que l est hablando cuando est explicando, el profesorescribe en el tablero nicamente las expresiones matemticas. Esto es normal,puesto que no es la nica forma de comunicacin. Sin embargo, cuando elestudiante toma apuntes, l no escribe sino lo que se encuentra en el tablero.Cuando va a repasar sus apuntes se encuentra con esa lista de frmulas y,finalmente, cuando va a resolver un ejercicio, lo hace de la misma manera.Todo esto le dificulta el proceso de llegar a una solucin.

En primera instancia, el estudiante no necesariamente es consciente de lanecesidad de tener una estrategia para atacar los problemas y que esta estra-tegia consta de pasos que hay que cumplir en un cierto orden. Pero, ancuando est aplicando una estrategia, dado que no escribe los pasos en supapel, no puede saber con exactitud en qu lugar del proceso se encuentra; niqu es lo que est buscando al final; ni qu es lo que tiene que encontrar en elproceso; ni qu es lo que ha hecho hasta ahora.

Este problema tiene dos soluciones a las cuales el profesor puede aportar.En primer lugar, dar buen ejemplo. Cuando est resolviendo un ejercicio en eltablero, el profesor debera hacer un esfuerzo para escribir en espaol lospuntos mencionados anteriormente. En segundo lugar, el profesor deberaincluir dentro de sus criterios de evaluacin, qu tanto cumple el estudiantecon estos requisitos.


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La pregunta en reversaParcial. El ltimo problema no es de mecnica. No basta saberse una receta yaplicarla para resolverlo. Los otros puntos eran fciles y hace rato que losresolvieron. Sin embargo, observamos el saln y vemos a una gran cantidadde estudiantes con la cabeza en alto, al parecer buscando el origen de unatelaraa que se ha desarrollado en el dintel entre el techo y la pared que sos-tiene el tablero. Todos la observan. Cuando nos acercamos a ellos, nos damoscuenta que su hoja de respuestas est en blanco para el problema en cuestin.No han podido arrancar; estn haciendo dos cosas: hipnotizando el ejercicio

y esperando la ayuda de la Santsima Trinidad.Por qu no arrancan? Porque la solucin no es inmediata y, por consi-guiente, el proceso de solucin no es mecnico. Hay que pensar un poco.Pero, que haya que pensar no quiere decir que uno tenga que inspirarse. Loque sucede es que no saben por dnde comenzar. En algunos casos, nisiquiera se han hecho las preguntas claves: puedo hacer un dibujito?, qume dan?, qu me piden? Pero, an aquellos que se les han hecho, no las hanescrito, y, aquellos que las han escrito, no han pasado de all. El ejercicio esdifcil y no saben qu ms pueden hacer. Falta que se hagan otra preguntaclave.

La pregunta clave es la pregunta en reversa. Ya s qu me dan y qu mepiden. Pero,

Esta es la pregunta en reversa. La respuesta a ella ser normalmente por lomenos dos cosas: tengo que averiguar A y tengo que averiguar B. Y la conse-cuencia de responderla es que el problema original y, por lo tanto, lapregunta original, se han transformado en dos problemas y dos preguntas.En este momento, puede suceder una de dos cosas. O las preguntas son tales

que sus respuestas son evidentes, o hay por lo menos una pregunta que con-tina siendo difcil. En el primer caso, estamos listos. En el segundo,podemos volver a aplicar el proceso; volvemos a hacer la pregunta enreversa. Y lo hacemos tantas veces como sea necesario de tal forma que, alfinal, lleguemos a un punto donde todas las preguntas tengan respuestas evi-dentes. En este momento encontramos sus respuestas y nos devolvemos.

qu tengo que averiguar para poder llegar a lo que mepiden?


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El proceso mentalCuando el profesor o un estudiante adelantado resuelve un problema en eltablero, son muchos los estudiantes que quedan con la impresin de que lasolucin se logr gracias a la inspiracin divina o a la genialidad de quien lohizo. Esta es obviamente una impresin errada, pero que tiene causas quenormalmente ni el profesor, ni el texto hacen explcitas.

En primera instancia, no se hace explcito el proceso de traduccin e inter-pretacin que todo problema matemtico requiere en el sentido del lenguajeparticular que se encuentra siempre involucrado. En el caso del problema

particular:

hay que conocer el significado del concepto dominio y hay que hacer expl-cito este significado. De esta forma, el estudiante debe transformar elproblema inicial en el problema:

Pero, dado que este conjunto es infinito, se requiere que el estudiante trans-forme de nuevo el problema en otro:

Este es realmente el problema que el estudiante tiene que resolver. Una vezresuelto, l tiene que devolverse en el proceso. Y, al hacerlo, encontrar lasolucin al problema original.

Son pocos los estudiantes y los profesores que son conscientes de que estees un proceso que debera hacerse explcito y que, aun para un problema tansencillo como el expuesto arriba, requiere de por lo menos seis pasos separa-dos. En el momento en que el profesor y el estudiante se aproximan alproblema de esta manera, las dificultades matemticas disminuyen, puestoque el problema se convierte en varios subproblemas que pueden ser ataca-dos separadamente, dentro de los cuales slo uno de ellos requiere deconocimientos matemticos y el resto son problemas de lenguaje o de deduc-cin lgica elemental.

Dado que , halle el dominio de f,

Hallar el conjunto de valores para los cuales f est definida.

Hallar los valores para los cuales fno est definida.

f x( ) 1x 1-----------=


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G

eometra analtica

La geometra analtica es un terreno muy propicio para trabajar con los pro-blemas de los conceptos y el manejo que de stos hace el estudiante. Esto esevidente, puesto que, en este terreno, cada objeto puede llegar a tener unadefinicin grfica y una definicin algebrica. El paso de una a otra de estasdefiniciones obliga al estudiante a trabajar la definicin misma del concepto.Sin embargo, este proceso contiene, escondidas, unas ciertas tcnicas que,para el estudiante novato, no son evidentes.

La primera y ms importante de todas es la manera misma en que se debe

hacer la conexin entre los dos espacios (el grfico y el algebrico). Este puntoparecera obvio, pero no lo es. Esto se debe a que para el estudiante no es taninmediato pensar en un punto (x,y) cualquiera que cumpla con tal condicin(por ejemplo, pertenecer al lugar geomtrico en cuestin). Este tipo deaccin, la de dar nombre, elegir y trabajar con un objeto abstracto cualquieraque represente cualquiera de los infinitos objetos que cumplen con la condi-cin, no es directa para el estudiante. Si el profesor la hace en el tablero, elestudiante la acepta y no puede encontrar argumentos para afirmar que eseproceso es incorrecto. Sin embargo, cuando l se encuentra enfrentado a unproblema en el que l tiene que hacer lo mismo, no necesariamente se le

ocurre. Existe, por consiguiente, la necesidad de acostumbrar al estudiante ahacer este tipo de proceso. Esto es vlido en el caso de la geometra analtica,pero tambin lo es en muchos otros terrenos, puesto que las argumentacionesmatemticas tienden casi siempre a comenzar diciendo supongamos queste es un objeto que cumple con tales condiciones.

Por otra parte, se da el problema de saber hacia dnde se quiere ir. Estodebera hacer parte de la heurstica natural apropiada por el estudiante, perono lo es as en general. En muchos casos, es posible que el estudiante sepaarrancar, pero no sabe como terminar.


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Profesor:no entiendo


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Profesor:noentiendo 47

Movimientos de cuello,primera parteEl estudiante tiene dos movimientos de cuello: el vertical y el horizontal.Haga usted el siguiente experimento para identificarlos.

Escoja un tema que no sea evidente y, dentro de ese tema, un ejercicio cuyasolucin no requiera nicamente de la aplicacin de una frmula, sino queimplique la necesidad de un proceso en el que haya varios pasos conectadoslgicamente entre s. Resuelva el ejemplo en el tablero tratando, como

siempre, de ser lo ms claro posible, al explicar todos y cada uno de los pasosy mostrando las conexiones lgicas entre cada uno de ellos. Al terminar, hagala pregunta tradicional: Entendieron?

En este momento, usted reconocer el movimiento de cabeza vertical. Estaes la primera etapa del experimento. Ahora viene la segunda. Escriba en eltablero un ejercicio del mismo tipo del ejemplo que acaba de resolver, pero unpoco cambiado, con datos diferentes. Pdale a sus estudiantes que, en unahoja de papel e individualmente, lo resuelvan en los siguientes diez minutos(el tiempo que usted d depende del tiempo que usted se demor resol-viendo el ejemplo en el tablero; permtales el doble de tiempo). Al cabo deltiempo asignado, haga la pregunta tradicional: Pudieron hacer el ejerci-cio?

En este momento, usted reconocer el movimiento de cabeza horizontal.Por qu? se preguntar usted. Por qu, si les acabo de explicar elejemplo en el tablero y ustedes, todos, dijeron que entendieron, ahora nopueden hacer un ejercicio similar? La respuesta obvia es que hay un grandistancia entre lo que el estudiante piensa que ha entendido de un procesoque alguien le ha explicado paso a paso y lo que el estudiante es capaz dereproducir por s mismo de este proceso. Pero, por qu sucede esto? Hay

varias razones que se analizan a continuacin.


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Movimientos de cuello,segunda partePor qu si los estudiantes dicen que entienden cuando se les explica o sehace un ejemplo en el tablero, despus no son capaces de reproducir lo enten-dido o de hacer un ejercicio similar? Hay varias razones. Una de ellas consisteen que cuando el profesor hace la pregunta acerca de la comprensin y losestudiantes responden afirmativamente, los estudiantes estn dando la res-puesta en un sentido y el profesor la est interpretando en otro.

El estudiante dice que entiende porque no hay ningn paso del procesoque no entienda. Esto es, porque comprende cada una de las conexioneslgicas entre los pasos del proceso. El ve claro todo el proceso. Tambin diceque entiende porque, una vez introducidos los trucos involucrados en elproceso, a l le parecen evidentes. Y finalmente, el estudiante dice queentiende, porque realmente entiende el proceso para el caso particular que leestn presentando.

Por otra parte, el profesor interpreta la respuesta afirmativa del estudianteen otro sentido. El la interpreta en el sentido de que el estudiante es ahoracapaz de reproducir el proceso. Sin embargo, esta capacidad de reproduccindepende de una serie de factores que el estudiante no ha necesariamenteaprehendido.

Para comenzar, el profesor espera que el estudiante haya comprendido yretenido la estructura general del proceso, siendo esta estructura indepen-diente del contenido del ejemplo en cuestin. Pero es muy posible que elestudiante no sea siquiera consciente de que ese proceso tiene una estructuraen su interior; que siendo consciente de que la estructura existe, l la hayacomprendido; o que, comprendindola, la haya retenido. Si el estudiante nopuede retener la estructura, no puede ser capaz de reproducirla con otro con-

tenido. Cmo hacer para que el estudiante vea, comprenda y retenga laestructura?El problema de la estructura est relacionado con el problema clsico de la

transferencia. Cmo hacer para que el estudiante, al retener la estructura,sea capaz de transferirla a otro contexto, independiente y diferente delprimero?

Puede haber varias estrategias. La primera es evidente. Es necesario que elprofesor se haga consciente de que la estructura existe y de que es transcen-


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dental que el estudiante la vea, la comprenda y la retenga. Muchas vecesnosotros resolvemos los ejemplos sin darnos cuenta de que estamos utili-zando tal estructura. Por consiguiente, es importante que la mostremos.

Para mostrar la estructura, hay una estrategia evidente. No resolvamos unsolo ejemplo. Resolvamos tres (que pueden ser el primer ejemplo y los dos

ejercicios que ellos no pudieron hacer) y hagamos un anlisis de los tres ejem-plos, buscando mostrar lo comn a ellos. Ese aspecto comn es la estructura.Finalmente, hagamos explcitos los trucos. Nosotros nos sabemos los

trucos y creemos que son estrategias obvias. Para los estudiantes, a menosque los mostremos, esos trucos hacen parte de la genialidad del profesor porun lado, y de su carencia de los genes matemticos, por el otro.


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Cuestiones de lenguajeUna de las principales razones por las cuales los estudiantes dicen que noentienden cuando se enfrentan a un texto de matemticas, no es porque noentiendan, es porque no saben. Es muy posible que si los objetos matemticosse identificaran, en los textos, con palabras pertenecientes, por ejemplo, alpolaco, los estudiantes se quejaran menos de que no entienden. En ese caso,seran ms conscientes que, antes de poder entender, hay que saber: conocerel significado de los trminos involucrados en los discursos. (Por supuestoque conocer el concepto implica comprender el concepto. Sin embargo,

cuando el estudiante dice que no entiende, lo est diciendo a otro nivel.)El problema es que los objetos matemticos se identifican por medio depalabras que pertenecen al lenguaje natural de los estudiantes. Esto losinduce a pensar que, basados en el significado cotidiano de esas palabras,ellos van a poder comprender el discurso general.

El siguiente problema tiene que ver con que resulta muy difcil convencera los estudiantes de que sta es una de las principales causas de sus dificulta-des. Es por ello, que el manejo explcito de un diccionario es trascendentalpara el xito de un curso.

En tercera instancia, nos encontramos con que, para entender, el estudiante

debe tambin conocer los resultados previos sobre los cuales se basa el dis-curso dado. Como, en general, los textos no hacen explcito el empleo deestos resultados dentro del discurso, el estudiante tiene la sensacin de quehay algo escondido que l no entiende. De nuevo, resulta trascendental queen el curso se haga un manejo explcito del resultario; esto es, el conjuntode afirmaciones matemticas que se sabe que son verdaderas.

Finalmente, llegamos al nico sitio donde los estudiantes s puedenafirmar vlidamente que no entienden: la lgica. Los discursos matemticossiguen normalmente un flujo lgico. Sin embargo, este punto no deberaimplicar demasiados problemas, dado que es rara la ocasin en la que seutilice algo diferente de la modus ponens y los cuantificadores a un nivel ele-mental. El problema puede surgir nicamente por razn de que los textos, albuscar la elegancia, tienden a saltarse pasos y hacer las cosas ms difciles.En el momento en que nosotros, como profesores, hacemos estos pasos expl-citos, los problemas desaparecen.


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Hipnotizando los ejerciciosExiste un mtodo de resolucin de problemas de matemticas que es bastanteutilizado por los estudiantes. Consiste en mirar fijamente el texto del pro-blema, tratar de hipnotizarlo (generalmente es el problema el que hipnotizaal estudiante) y esperar que la inspiracin, la Santsima Trinidad o el EsprituSanto ilumine la mente del estudiante para que ste escriba la solucin o elproceso de solucin del problema en limpio como si ya la conociera desdehace tiempo.

Esta actitud del estudiante tiene una causa natural: cuando el profesor

resuelve un ejercicio o cuando el libro lo hace a travs de un ejemplo, la solu-cin se presenta en limpio, sin que haya la menor indicacin del procesode borrador por medio del cual se lleg a la solucin. El estudiante piensaentonces que l tambin debe encontrar la solucin en limpio y por esotrata de hipnotizar el ejercicio. Cul es el problema? Pues que el estudianteno es necesariamente consciente de que, para solucionar un ejercicio debetener un mtodo. Este mtodo puede ser general (que se aplique a casi cual-quier ejercicio) o particular a un tema dado. Polya es el especialista en estetipo de herramientas y en otros lugares de este texto se hace referencia a lassugerencias que l propone para estos efectos. Aqu quiero sencillamente

recordar algunos puntos extremadamente generales que todos deberamosintentar transmitir a nuestros estudiantes.

El primero ya lo mencion: no tratar de hipnotizar el ejercicio. El EsprituSanto sabe muchas menos matemticas de las que ellos creen y, adems, lascomunicaciones con l no son fciles de establecer. Esto para decir quetenemos que convencer a nuestros estudiantes de que tienen que tener unaestrategia para resolver el ejercicio.

La necesidad de esta estrategia se debe expresar en la conciencia de que elproceso de solucin de un ejercicio tiene siempre un conjunto de pasos y quehay que intentar identificar estos pasos antes de lanzarse a solucionar el ejer-cicio.

El segundo punto es tener paciencia. La solucin llega al final, pero paraencontrarla hay que recorrer el camino. El estudiante quiere llegar rpida-mente a la solucin y, para ello, piensa que lo mejor es encontrar atajos. Estosatajos lo desvan del camino apropiado y lo inducen a cometer errores.

El tercer punto tiene que ver con el orden. Es tal la presin por llegar a lasolucin, que la manera como ellos la desarrollan en su papel es completa-mente desordenada. Esto los obliga a mantener en la mente mucha ms


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informacin de la que sera necesaria y, por consiguiente, entorpece elproceso.

El cuarto punto tiene que ver con escribir en la hoja de solucin. Este puntose tratar ms adelante.

Y el quinto, que tambin es tema de otra reflexin, tiene que ver con lo que

llamaremos la pregunta en reversa.


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La definicin de conceptosLa mayora de las definiciones matemticas pretenden identificar objetosmatemticos o relaciones entre, y propiedades de, estos objetos. Para lograresta identificacin, las definiciones imponen unas condiciones que dichosobjetos deben cumplir. Estas condiciones separan, obviamente, el universomatemtico en dos conjuntos. El conjunto de los objetos que cumplen con lascondiciones y el conjunto de los objetos que no cumplen con las condiciones.Esta situacin, tan evidente para el profesor de matemticas, no lo es necesa-riamente para el estudiante. El no necesariamente entiende el propsito de

una definicin.Una de las principales razones por la cual el estudiante no entiende el sig-nificado de una definicin radica en el hecho de que l no tieneapropiadamente construido en su mente ese universo platnico de los objetosmatemticos. Al no reconocer la existencia de este universo, no puede reco-nocer la existencia de los objetos que lo componen y, menos an, la maneracon la cual es posible identificar unos objetos y diferenciarlos de otros.

No es fcil aproximar al estudiante a este universo. Esto es particularmentedifcil en los niveles bsicos, puesto que, para que el estudiante comprenda eldiscurso, se utiliza la herramienta grfica, como medio para que el estudiante

vea el objeto matemtico. Sin embargo, l no necesariamente logra separarla grfica del concepto y, en muchas ocasiones, piensa que la grfica (que alfin y al cabo, no es ms que una instancia del concepto) es el concepto mismo.

Una forma obvia de aproximar al estudiante a este universo de conceptos,cada uno con mltiples instancias (en general, infinitas) es mostrarle estemismo hecho: que un mismo concepto tiene mltiples instancias y que lo quecaracteriza al concepto es precisamente lo que hay de comn en las instan-cias, en el sentido que ellas cumplen las condiciones que definen el concepto.

Otra forma de obligarlo a trabajar con conceptos consiste en inducirlo aresolver problemas tericos en los cuales no se habla acerca de las instan-cias, sino que se trabaja con las condiciones mismas de los conceptos. Todossabemos lo difcil que esto resulta para el estudiante.


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Inventando ejerciciosCuntas bolas rojas hay? pregunta el profesor. La funcin es cuadrtica,responde el estudiante. El profesor vuelve a hacer la pregunta y el estudiantevuelve a dar la misma respuesta. Por qu?, se pregunta el profesor. Por quno me est escuchando?

Es cierto que el estudiante no lo est escuchando. El ha inventado supropia pregunta y es a esa pregunta que l est respondiendo. Este problemaes relativamente patente cuando la situacin se da durante la clase y la pre-gunta se hace verbalmente. En ese momento parece como que el estudiante

estaba distrado y el problema era pura cuestin del momento. Pero, ste noes un problema coyuntural. Es un problema general que tiene consecuenciastrgicas cuando el estudiante comete este error al responder un examen. Elestudiante no escucha y no lee bien. Debe haber muchas razones para esto,entre otras el nerviosismo del estudiante al sentir que se requiere una res-puesta de su parte. Sin embargo es difcil saber cmo atacar tal problema.

La primera estrategia es obvia. El profesor debe hacer evidente este pro-blema del estudiante. En clase, cuando se da la situacin, el profesor debetrabajarla y hacerla conocer explcitamente al grupo. El segundo paso esincluir este problema dentro de la evaluacin. Al corregir un examen, el pro-

fesor debe marcar claramente cundo el estudiante atac un problemadiferente del que le estaban proponiendo y evaluar el punto de acuerdo a estedefecto.


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La inspiracinComo profesores, somos optimistas. Esperamos que nuestros estudiantesdesarrollen habilidades y aprendan conocimientos acerca de los cuales noso-tros no hemos hecho nada en clase. Basta observar algunos de nuestrosexmenes. En l nosotros tenemos la tendencia a poner puntos nuevos.Esto es, puntos que, adems de tocar temas que no se han visto en clase,requieren de habilidades o trucos que tampoco se han trabajado. Por qu?Porque tenemos la esperanza de que nuestros estudiantes hayan desarrolladopor s solos estas habilidades y sean capaces de descubrir, en el momento del

examen, aquellos trucos. Pero esto es iluso y por eso somos optimistas.No podemos esperar que nuestros estudiantes desarrollen habilidades ydescubran procedimientos a partir de la nada. La inspiracin que nosotrosesperamos que ellos tengan depende por lo menos de tres factores.

El primero es la transferencia. Este punto se refiere a la capacidad de trans-ferir una tcnica o una herramienta desarrollada y estudiada al interior de untema a otro tema aparentemente sin relacin con el primero. Pero esta capaci-dad hay que desarrollarla. Y para ello hay que ejercitar al estudiante en esteproceso y l tiene que ser consciente que es un proceso sobre el cual se le va aevaluar.

El segundo aspecto son los trucos. Los trucos se refieren a aquellas tcni-cas que nos permiten resolver problemas y que aparentemente no tienen quever con ellos. Estos trucos tienen visos de genialidad, particularmente cuandoel profesor es el que los utiliza en el tablero. Pero resulta que el profesor noest descubriendo el truco en el momento que lo utiliza. El se lo sabe. Y, porconsiguiente, no puede esperar que el estudiante lo haga. El profesor tieneque ensearle explcitamente el truco al estudiante.

Finalmente, nos encontramos con la capacidad de reunir y aplicar almismo tiempo herramientas que en el curso se han tratado por separado.Esto tiene que ver parcialmente con el problema de la transferencia, perotambin requiere de otros aspectos. Y tampoco podemos ser tan optimistascomo para esperar que el estudiante desarrolle por s solo esta capacidad,siendo que nosotros como profesores casi nunca la utilizamos: nosotros yasabemos que las herramientas no son independientes. Y es esto lo quedebemos intentar mostrarle al estudiante.

La inspiracin no existe. Lo que existe es el esfuerzo y el trabajo organi-zado.


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uscando el error

Una de las principales actividades del profesor de matemticas debera ser lade identificar los errores tpicos de los estudiantes y tratar de solucionarlos.Sin embargo, para aquellos profesores para los que todo es claro puede resul-tar difcil identificar los errores que los estudiantes pueden cometer. Es porello que es importante encontrar herramientas metodolgicas que le permi-tan al profesor identificar los errores tpicos de los estudiantes.

Existe una herramienta tradicional para estos efectos. Es la pasada altablero. Sin embargo, esta herramienta puede ser contraproducente si se hace

a travs de la pregunta quin quiere pasar al tablero? Utilizada de estaforma, el resultado es natural. Pasarn a tablero aquellos estudiantes queentienden el tema y que saben hacer el problema. Por consiguiente, no serposible identificar los errores tpicos. La alternativa consiste en pasar altablero a estudiantes que puedan cometer errores. Esta alternativa no es fcilde implantar, pues a nadie le gusta mostrar sus deficiencias.

Pasar al tablero a aquellos que pueden cometer errores tiene otras deficien-cias que hay que tener en cuenta. La primera es que si el estudiante A pasa altablero y comete un error, es muy posible que el estudiante B que lo estobservando y que tambin habra cometido ese error no se haga consciente

de ese hecho. Esto es natural: como B no ha cometido an el error y en eltablero este error se est haciendo patente y se estn dando las razones porlas cuales es un error, aB todo esto le parece lgico y no podr darse cuentaque l tambin lo habra cometido.

La otra deficiencia de esta herramienta es el tiempo. Toma mucho tiempoobservar y analizar el trabajo de un estudiante en el tablero. Esto implica que,dentro del espacio que esta herramienta genera, se podr avanzar nica-mente a una cierta velocidad y, en muchos casos, esta velocidad no ser losuficientemente grande para recorrer el camino previsto.


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R

onda

Existe otra herramienta metodolgica para identificar los errores tpicos delos estudiantes y que, en algunos aspectos, resulta ser una alternativa apro-piada a las deficiencias de la pasada al tablero. Podramos llamar a estaherramienta la ronda.

Mientras que la pasada al tablero tiende a hacerse con ejercicios que losestudiantes han intentado resolver con anterioridad a la clase, en la rondacada estudiante se enfrenta con un ejercicio desconocido. El profesor escribeel ejercicio en el tablero y dice que dar puntos adicionales a los primeros

tantos estudiantes que entreguen el ejercicio correctamente. Adicional-mente, dir que entre los dems estudiantes que entreguen el ejercicio bienhecho, pero por fuera del tiempo, escoger uno al azar y le dar tambinpuntos adicionales.

Dentro de esta situacin, se espera que todos y cada uno de los estudiantesse encuentren motivados para intentar resolver el ejercicio. Tan pronto comolos estudiantes comienzan a trabajar, el profesor comienza a rondar por elsaln. Mirando los papeles de los estudiantes, l identificar los errores mstpicos que ellos cometen y, en algunos casos, podr sugerir la necesidad dealgunos estudiantes de regresar a temas previos. Llegar el momento en que

el profesor comenzar a recibir ejercicios resueltos. El tendr que verificar siestn bien hechos y, dentro de este proceso, identificar nuevos errorestpicos.

Una vez terminado este proceso, el profesor tendr la informacin necesa-ria para hacer patentes en el tablero los errores, las razones por las cuales secomenten y sus soluciones. En este momento, todos aquellos estudiantes quepudieron cometer un error dado, lo han cometido explcitamente. Por otraparte, solamente ellos saben que lo han cometido y podrn, en principio,solucionarlo. Si el profesor identific una gran cantidad de estudiantes quecometieron errores, lo mejor que puede hacer despus de corregirlos en eltablero es repetir el proceso con un ejercicio similar.

Deben ser claras las ventajas de esta herramienta en relacin con la pasadaal tablero. Por un lado, todos los estudiantes con problemas deben poderidentificarlos y solucionarlos. Por otro lado, no existe el temor a hacer el rid-culo, puesto que cada quien trabaja en la privacidad de su papel. Finalmente,es un procedimiento rpido que permite hacer en un tiempo dado un mayornmero de ejercicios.


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erramientas


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Herramientas 61

Pasar al tablero: el problemaQuin quiere pasar al tablero a hacer este ejercicio? Sbitamente todos losestudiantes tienen algo que escribir en sus cuadernos, leer en su libro obuscar en su cartera. Por primera vez en toda la hora de clase, el profesor notiene quien lo observe. Obviamente nadie quiere pasar al tablero. Por qu?Porque, como dicen los jvenes, nadie quiere hacer el oso* y, adems,rajarse. Esta es, una situacin que se puede presentar en las clases de mate-mticas con el empleo de esta herramienta metodolgica.

La tradicin presenta la pasada al tablero como una prueba para el estu-

diante que se arriesgue a hacerlo. Es otra forma de quiz o de tarea. Pero,adems, es en principio voluntaria. Al final, termina no sindolo, puesto queen la mayora de las ocasiones, dado que no hay voluntarios, el profesortermina escogiendo al voluntario. Por otra parte, cuando un estudiante pasaal tablero, el profesor tradicional est buscando esencialmente que ste hagael ejercicio en cuestin para que sirva de ejemplo para sus compaeros. Porsupuesto, que esto es benfico; pero es solamente una parte de los beneficiosque se pueden obtener.

Pasar un estudiante al tablero puede ser una herramienta metodolgicamuy potente si nos aproximamos a ella apropiadamente y la empleamos en

toda su extensin. Para comenzar, los estudiantes no deberan tener temor depasar al tablero. Y esto, por dos razones: la primera, que all no se le va a criti-car o a poner en ridculo delante de sus compaeros stas son tcnicas deterrorismo de la metodologa tradicional; la segunda, porque, indepen-dientemente de la calidad de su trabajo, el estudiante debe ser evaluadoprincipalmente por el esfuerzo que l haya invertido en hacerlo.

Otra de las razones por las cuales los estudiantes no gustan pasar al tableroes porque el ejercicio que se les propone es desconocido. Por consiguiente, notienen seguridad de que puedan resolverlo y prefieren no asumir el riesgoque implica esta incertidumbre. Deberamos proponer ejercicios que los estu-diantes ya han intentado. Dado que todos los das el estudiante tiene quehaber hecho una tarea para la clase, son los ejercicios de esta tarea los que sedeben proponer para hacer en el tablero. De esta forma, los estudiantes hantenido ya una experiencia con el problema y se sienten ms seguros.

*Hacer el ridculo.

ProfesorNoEntiendo_Gomez_1998

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