Programa de Algabra Lineal

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

LGEBRA LINEAL - MATE-1105Segundo semestre de 2013

COORDINADOR DEL CURSOFlorent Schaffhauser

(florent @ uniandes.edu.co)

Informacin de los profesoresNombre del profesor : Florent SchaffhauserCorreo electrnico: florent @ uniandes.edu.coHorario y lugar de atencin: mircoles de 8:30 a 9:50, H-402

Introduccin y descripcin general del curso El curso tiene dos (2) sesiones magistrales de una hora y media (1h30) y dos (2) sesionescomplementarias de una hora (1h) por semana. La duracin del curso es de quince (15)semanas. En las sesiones magistrales, el profesor encargado de la clase desarrolla de maneraformal los aspectos tericos del curso y, en las sesiones complementarias, los estudiantesresuelven ejercicios bajo la supervisin de un profesor. Las sesiones complementarias serealizan en grupos pequeos de estudiantes.

Objetivos de la asignaturaEl curso de lgebra Lineal tiene un doble propsito : dar a los estudiantes las herramientasbsicas de la materia, usadas en todas las ciencias y en las distintas ramas de ingeniera, ypresentar estas herramientas de una forma matemticamente rigurosa. En particular, seexigirn demostraciones de parte de los estudiantes en las evaluaciones.

Competencias a desarrollarLos estudiantes deben aprender a realizar clculos bsicos de lgebra lineal (resolucin desistemas, clculo de determinantes, determinacin de valores y vectores propios, etc.) yadquirir la nocin de qu es un espacio vectorial as como los ejemplos bsicos de talestructura. Las nociones de independencia lineal de vectores, de dimensin de un espaciovectorial y de coordenadas de un vector en una base deben ser entendidas al final del curso,tanto formal como intuitivamente. Los estudiantes deben aprender a redactar demostracionesen lenguaje matemtico, combinando el formalismo simblico y el idioma espaol.

Contenido de la asignaturaDepartamento de MatemticasCra. 1 N 18A-10, Bogot Colombia Tel. (57.1) 3 39 4949 | 3 39 4999 Ext. 2710 Fax. 3 32 4340 http://matematicas.uniandes.edu.co | E-mail: [email protected]





-Geometra de vectores en R^n : suma y multiplicacin por un escalar, norma, producto escalar.-Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales : mtodo de Gauss-Jordan, forma escaln yforma escaln reducida de una matriz. Sistemas homogneos y no homogneos.-Matrices elementales y manipulacin por bloques. Espacio generado por las columnas.Transpuesta de una matriz.-lgebra de matrices : suma, multiplicacin por un escalar, producto. Matrices invertibles.-Rango de una matriz. Aplicacin a la resolucin de sistemas.-Determinantes : definicin e interpretacin geomtrica (reas, volmenes, producto cruz),propiedades, clculo, aplicacin a resolucin de sistemas (regla de Cramer).-Espacios vectoriales : definicin y ejemplos bsicos (R^n, matrices, polinomios, funciones convalores en R, etc.), combinaciones lineales, independencia lineal.-Sub-espacios vectoriales. Familias generadoras. Bases. Dimensin de un espacio vectorial.-Transformaciones lineales : definicin y ejemplos bsicos (transformacin lineal asociada auna matriz, derivacin, etc.). Ejemplos geomtricos : transformaciones lineales de R^2.-Coordenadas de un vector en una base. Matriz de una aplicacin lineal.-Cambio de base y matrices similares.-Producto escalar (espacios euclidianos), ortogonalidad. Familias y bases ortonormales,proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal de un sub-espacio.-Matrices ortogonales. Proyeccin ortogonal a un sub-espacio. Matrices de proyeccin. Mtodode los cuadrados mnimos.-Valores propios y vectores propios. Diagonalizacin (de una matriz / de una transformacinlineal).-Diagonalizacin de matrices simtricas reales (teorema espectral).-Formas cuadrticas: definicin y mtodo de diagonalizacin. Aplicaciones a la geometra(cnicas y cudricas).

A continuacin se presenta el cronograma del curso para el segundo semestre de 2013,organizado por semana. Recordamos que cada semana tiene dos sesiones magistrales y dossesiones complementarias. Para cada semana, indicamos los temas de cada sesin magistral(con referencia a los captulos del libro escogido para el curso y cuya informacin bibliogrficaaparece despus del programa) as como propuestas de ejercicios para las sesiones

Departamento de MatemticasCra. 1 N 18A-10, Bogot Colombia Tel. (57.1) 3 39 4949 | 3 39 4999 Ext. 2710 Fax. 3 32 4340 http://matematicas.uniandes.edu.co | E-mail: [email protected]





complementarias. Los ejercicios sealados as deben ser realizados en las sesionescomplementarias.

Semana No. Fechas Teora Problemas

1 29/07-03/08 1.1: Sistemas de ecuaciones lineales.1.2: Forma escaln.1.1: 3, 4, 8, 9, 10.1.2: 2, 7, 8, 10, 16, 17, 21.

2

05/08-10/08

Mircoles 07/08 :festivo

1.3: Aritmtica de matrices.1.4: lgebra de matrices.

1.3: 6, 7, 8, 12, 13, 14.1.4: 1, 3, 10, 12, 13, 15, 18, 22.

3 12/08-17/081.5+1.6: Matrices elementales y manipulacinpor bloques.2.1: Determinante de una matriz.

1.5: 1, 3, 10, 15, 19, 20. 1.6: 1, 4, 8, 12.2.1: 1, 2, 3, 6, 10, 11.

4

19/08-24/08

Lunes 19/08 :festivo

Sbado 24/08 :parcial 1

2.2: Propiedades de los determinantes.2.3: Regla de Cramer.

Programa del parcial 1: hasta el captulo 2.2.

2.2: 2, 4, 6, 12, 17, 18, 19.2.3: 1, 2, 5, 6, 8, 14, 15.

5 26/08-31/08 3.1: Espacios vectoriales.3.2: Sub-espacios.3.1: 1, 4, 5, 6, 8, 10, 11.3.2: 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16.

6 02/09-07/09 3.3: Independencia lineal.3.4: Bases y dimensin.3.3: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 14, 16.3.4: 3, 5, 10, 11, 13, 18.

7 09/09-14/09 3.5: Cambio de base.3.6: Espacio de columnas y espacio de filas.3.5: 2, 6, 8, 9, 10. 3.6: 1, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 15.

8

16/09-21/09


4.1: Transformaciones lineales.4.2: Representacin matricial.


4.1: 1, 6, 9 , 10 , 14, 17 , 18, 21, 25.4.2: 4, 5, 9, 13, 15, 17, 18.

Semana detrabajo

individual23/09-28/09 27 de septiembre: ltimo da para entregar el 30%.






Semana No. Fechas Teora Problemas

9

30/09-05/10

Viernes 04/10 :ltimo da de

retiros

4.3: Semejanza.5.1: El producto escalar en R^n. 4.3: 2, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 15.

5.1: 1, 3, 7, 11, 14, 16.

10 07/10-12/10 5.2: Sub-espacios ortogonales.5.3: Cuadrados mnimos.5.2: 2, 3, 4, 6, 9, 13.5.3: 3, 5, 6, 7, 11.

11

14/10-19/10


5.4: Espacios euclidianos.5.5: Familias ortonormales.

5.4: 3, 4, 6, 7, 9, 10, 14, 17, 18, 28.5.5: 2, 8, 11, 22, 29.

12

21/10-26/10


5.6: El proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt.6.1: Valores propios y vectores propios.


5.6: 1, 3, 4, 5, 7.6.1: 1, 3, 4, 7, 9, 14.

13 28/10-02/11 6.3: Diagonalizacin.6.4: Matrices simtricas reales.6.3: 1, 2, 3, 4, 14.6.4: 5, 6, 8, 15.

14

04/11-09/11


6.6: Formas cuadrticas.6.7: Matrices definidas positivas.

6.6: 1, 3, 5, 6a, 6d, 7, 8, 9.6.7: 1a, 1c, 3, 4, 6, 9 ,10, 12.

1511/11-16/11


Repaso. Ejercicios.-reas, volmenes, producto cruz.-Transformaciones lineales del plano.

-Fraleigh 4.1.-Fraleigh 2.4.

Exmenesfinales

Entre el lunes 18 y el sbado 30 de noviembre(incluidos).

BibliografaS.J. Leon, Linear Algebra, with applications, 8th edition, Pearson, 2010.

MetodologaDepartamento de MatemticasCra. 1 N 18A-10, Bogot Colombia Tel. (57.1) 3 39 4949 | 3 39 4999 Ext. 2710 Fax. 3 32 4340 http://matematicas.uniandes.edu.co | E-mail: [email protected]





Las claves para un desarrollo exitoso del curso son: asistir a las magistrales, prestar atencinen clase y tomar notas de curso escritas a mano (no se recomienda sacar fotos del tablero conun dispositivo mvil; los profesores incmodos con este mtodo pueden exigir que no se tomendichas fotos) y, sobre todo, realizar ejercicios y redactar para ellos una solucin detallada, confrases completas en espaol (en las evaluaciones, no se atribuir la nota mxima para clculospresentados sin explicaciones).

A la hora de resolver ejercicios, se sugiere el siguiente mtodo: pensar en el ejercicio por lomenos 45 minutos antes de mirar la solucin. Es importante ir escribiendo a medida que salenlas ideas : en general, no se puede resolver un ejercicio entero sin escribir las varias etapas dela demostracin pedazo por pedazo. Sin intentarlo, es difcil saber si algn mtodo dado va apermitir encontrar la solucin de un ejercicio. Por lo tanto, se recomienda el uso de un borrador.

Una vez se ha resuelto el ejercicio en un borrador, se redacta una solucin detallada yargumentada, explicando el mtodo que se est desarrollando con frases completas enespaol y presentando los clculos de forma ordenada.

Para terminar, se recomienda volver a hacer el ejercicio al da siguiente, sin mirar la solucin yaescrita y tratando de volverla a escribir nuevamente.

Criterios de evaluacin y aspectos acadmicosExmenes parciales : se realizarn tres (3) exmenes parciales a lo largo del semestre. Cadaparcial vale el 20% de la nota final del curso (la nota entregada despus del parcial ser unanota sobre 20, el nmero total de puntos en el examen, a menos que el profesor decida dar unanota sobre 5 -ver ms abajo para poltica de aproximacin de notas). Los parciales soncomunes a todas las secciones magistrales del curso y se llevarn a cabo los sbados de 8 a9:20am, en las fechas indicadas en el programa. Para los estudiantes que, por un motivoaceptable (tales motivos son recordados ms adelante en este documento), no puedan estarpresentes en uno de los parciales, se realizar un examen supletorio, el jueves siguiente delparcial (salvo si ste cae en la semana de trabajo individual otorgada por la Universidad, casoen el cual se llevar a cabo una semana despus) de 6 a 7:20pm. En caso de ausencia alexamen supletorio, no se realizar nueva evaluacin y se remitir el caso a las instanciasDepartamento de MatemticasCra. 1 N 18A-10, Bogot Colombia Tel. (57.1) 3 39 4949 | 3 39 4999 Ext. 2710 Fax. 3 32 4340 http://matematicas.uniandes.edu.co | E-mail: [email protected]





administrativas (Coordinador de pregrado del Departamento de Matemticas o, en caso de quesea necesario, la Faculta de Ciencias). Se recuerda que la salida de vacaciones o la compra yarealizada de un pasaje no constituye un motivo aceptable para faltar un examen, en particularel sbado antes de la semana de trabajo individual (dicha semana empieza el lunes siguiente).

-Nota de seccin complementaria : se realizan evaluaciones semanales cortas (10 minutos) enlas clases complementarias y esto da lugar a una nota que valdr el 10% de la nota final delcurso.

-Actitud en clase y nota de participacin en la magistral : la nota de participacin en la magistralvale el 5% de la nota final del curso. Tanto en la magistral como en las complementarias, sepide respeto para el profesor y los compaeros del curso. Eso incluye hacer silencio en lasclases y no salirse antes de la hora. Est prohibido el uso de computadores y telfonoscelulares durante las clases. En caso de no cumplir con estas reglas establecidas claramente ydesde un principio, el profesor podr tenerlo en cuenta en la evaluacin final.

-Examen final : el examen final tiene una duracin de dos (2) horas y vale el 25% de la notafinal del curso. La nota entregada ser una nota sobre 25.

-Resumen de las evaluaciones:

Parciales 3 x 20%

Complementaria 10%

Magistral 5%

Examen final 25%

-Fechas importantes : las fechas importantes del curso (parciales, entrega del 30%, ltimo dade retiros) estn indicadas en el programa (ver ms arriba).

-Parmetros de calificacin : en todas las evaluaciones, se pide redactar una solucinargumentada y detallada, con frases en espaol y una presentacin clara de los clculos.Cualquier respuesta debe ser matemticamente justificada (no se otorgar la totalidad de los






puntos para respuestas no o parcialmente justificadas a una pregunta dada, clculospresentados sin explicacin pueden dar lugar a cero puntos otorgados). En caso de no poderresolver una pregunta o si falta una etapa en el procedimiento, se recomienda sealarlo alcorrector mediante una corta frase de explicacin (ejemplo: no he podido resolver la preguntax.x, acepto el resultado para seguir con el problema). El corrector as podr tenerlo en cuentaal evaluar las respuestas propuestas y valorarlo como procedimiento. Un clculo presentado sinexplicacin no da lugar a puntos de procedimiento. Si una pregunta vale, por ejemplo, tres (3)puntos, los puntos atribuidos para esta pregunta pueden ser : 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 o 3, a criteriodel corrector segn los parmetros establecidos arriba. A menos que el profesor a cargo de laseccin magistral decida aplicar otro criterio, no habr aproximacin de notas en lasevaluaciones (nicamente en la nota final -ver ms abajo para poltica de aproximacin denotas).

-Reclamos : el procedimiento para los reclamos est recordado en el rgimen acadmico msabajo en este mismo documento. Se recuerda que cualquier reclamo debe ser presentado porescrito dentro del plazo regido por el Reglamento General de Estudiantes de Pregrado).

-Horarios de atencin a estudiantes : los profesores prestan dos horas de atencin aestudiantes semanalmente y escogen los horarios para hacerlo.

-Poltica de aproximacin de notas : las diferentes evaluaciones del curso suman a una notasobre 100, que se divide entre 20 para obtener una nota sobre 5. De acuerdo al sistema decalificacin vigente en la Universidad de Los Andes, la nota final del curso es una nota sobre 5con dos dgitos decimales. A menos que el profesor decida aplicar otro criterio, la nota final delcurso ser la aproximacin de dos dgitos decimales inmediatamente superior a la notacalculada como explicado anteriormente.

1. RGIMEN ACADMICOLas siguientes disposiciones acadmicas se debern tener en cuenta en la elaboracin de losprogramas de los cursos:

Asistencia a clase:






Los profesores iniciarn sus cursos desde el primer da del semestre acadmico, con lafinalidad de garantizarles a los estudiantes el derecho a beneficiarse activa y plenamente delproceso educativo (Art. 40 RGEPr).

Las clases de la Universidad deben empezar a la hora en punto o a la media hora, y terminardiez minutos antes de la hora en punto o de la media hora (Art. 41 RGEPr).

Inasistencia a clase y a evaluaciones:

Los parmetros para controlar la asistencia debern ser informados a los estudiantes el primerda de clase. Se sugiere informar si la asistencia y la participacin sern criterios de evaluacinas como la forma en que sern calificados. Ser facultativo de cada profesor determinar lasconsecuencias de la inasistencia si esta supera el 20% (Art. 42 y 43 RGRPr).

El estudiante que desee justificar su ausencia deber hacerlo ante el profesor dentro de untrmino no superior a ocho (8) das hbiles siguientes a la fecha de sta. De acuerdo con elpargrafo del artculo 43 del RGEPr, sern excusas vlidas las siguientes:

a. Incapacidades mdicas.b. Incapacidades expedidas por la Decanatura de Estudiantes.c. Muerte del cnyuge o de un familiar hasta del segundo grado de consanguinidad.d. Autorizacin para participar en eventos deportivos, expedida por la Decanatura de

Estudiantes.e. Autorizacin para asistir a actividades acadmicas y culturales, expedida por la

respectiva dependencia acadmica.f. Citacin a diligencias judiciales, debidamente respaldada por el documento respectivo.

La Decanatura de Estudiantes prestar colaboracin en la verificacin de las incapacidadesmdicas.

Salidas de campo:Departamento de MatemticasCra. 1 N 18A-10, Bogot Colombia Tel. (57.1) 3 39 4949 | 3 39 4999 Ext. 2710 Fax. 3 32 4340 http://matematicas.uniandes.edu.co | E-mail: [email protected]





Las salidas de campo de los estudiantes de la Universidad, programadas fuera de Bogot, noson de carcter obligatorio. En caso de que algunos estudiantes no puedan cumplir con estaactividad, debern informar las razones al profesor respectivo y acordar con l la realizacin detrabajos supletorios (Art. 44 RGEPr).

Calificaciones:

- Se debern programar como mnimo tres (3) evaluaciones. En los cursos de la escuelade verano el profesor podr practicar una sola evaluacin con un valor equivalente al100% de la materia (Art. 45 y pargrafo Art. 46 RGEPr).

- Ninguna de las evaluaciones podr tener un porcentaje superior al 35%, salvo que setrate de prcticas acadmicas, proyectos de grado y algunos cursos del programa demsica, los cuales tendrn un sistema de calificacin especial que tambin deber serinformado a los estudiantes en el programa del curso.

- Las evaluaciones orales, en las que la actividad del estudiante consiste nicamente enresponder las preguntas formuladas por el profesor y que tengan un valor superior al15% de la calificacin del curso, debern realizarse en presencia de un profesoradicional, quien tambin deber actuar como evaluador.

- Si un estudiante falta a la presentacin de una evaluacin debidamente programada,podr ser calificado con cero (0,0). Sin embargo, el estudiante podr justificar suausencia ante el profesor dentro de un trmino no superior a (8) das hbiles siguientesa la realizacin de la prueba. Justificada la inasistencia el profesor deber indicarle alestudiante la nueva fecha y hora en que le realizar el examen, dentro de las dos (2)semanas siguientes a la aceptacin de la justificacin presentada.

- El valor de cada evaluacin practicada sin aviso, en ningn caso, podr superar el 5%de la nota definitiva del curso.






- Los profesores tendrn autonoma para establecer sus propios criterios de aproximacinde notas definitivas, pero debern siempre informarlo en el programa del curso, el primerda de clase.

- Se recomienda establecer desde un inicio las condiciones para la entrega de informes ytrabajos, as como los parmetros para la elaboracin las actividades en grupo. Tambinindicar los efectos de la entrega tarda de trabajos y de la no entrega.

Entrega de calificaciones:

- Todos los profesores de la Universidad deben hacer conocer a sus estudiantes lascalificaciones obtenidas, dentro de los diez (10) das hbiles siguientes a la prctica dela evaluacin parcial. Exceptuando aquellas correspondientes a los proyectos de grado yprcticas acadmicas (Art. 66 RGEPr).

- Al menos el 30% de las calificaciones debe ser dado a conocer a ms tardar antes de lasemana de retiros de cada semestre (Art. 67 RGEPr).

- Antes del examen final, el estudiante tiene el derecho a conocer las calificacionesparciales obtenidas durante el semestre y podr solicitarlas al profesor (Art. 68 RGEPr).

Notas especiales:

- Incompleto (I): nota aplicada por el Consejo de Facultad cuando el alumno no hayapodido cumplir por razones justificadas, con los requisitos del curso (Art. 55 RGEPr).

- Incompleto Total (IT): nota aplicada por el Consejo de Facultad cuando el alumno nohaya podido cumplir por razones justificadas, con los requisitos de todos los cursos delperiodo acadmico en el cual se encuentra matriculado (Art. 56 RGEPr).

- Pendiente (P): nota aplicada por el profesor cuando al estudiante por casos de fuerzamayor, para cumplir con los requisitos del curso, solo le reste la presentacin de una






prueba final o no pueda asignrsele una calificacin antes del plazo definido (Art. 57RGEPr).

- Pendiente Disciplinario (PD): nota aplicada por el profesor al estudiante que seencuentre vinculado a un proceso disciplinario. Esa nota ser reemplazada una vezculmine definitivamente el proceso (Art. 58 y pargrafo 1 Art. 109 RGEPr).

- Pendiente Especial (PE): nota excepcional aplicable a aquellos estudiantes que seencuentren desarrollando su correspondiente proyecto de grado y no ha sido concluido,por razones justificadas, dentro del semestre inicialmente establecido (Art. 61 RGEPr).

Reclamos:

Si se trata de una prueba escrita, el estudiante deber dirigir el reclamo por escrito, dentro delos ocho (8) das hbiles siguientes al que conoci la calificacin en cuestin. El profesorcuenta con diez (10) das hbiles para responderle. Si el estudiante considera que la decisinno corresponde a los criterios de evaluacin, podr solicitar la designacin de un segundocalificador ante el Consejo de Facultad, dentro de los ocho (8) das hbiles al conocimiento dela decisin (Art. 62 y 63 del RGEPr).

En caso de reclamo por una calificacin obtenida en una prueba oral, el estudiante podrexponer la razn de su desacuerdo a los profesores evaluadores en el mismo momento en quetiene conocimiento de la nota. Si el grupo evaluador mantiene la calificacin, la realizacin deun nuevo examen quedar a discrecin del Consejo de Facultad al que pertenece la materia,previa solicitud escrita del estudiante (Art. 64 del RGEPr).

Cambio de notas definitivas:

Vencido el plazo previsto para el cambio notas derivadas de los reclamos presentados, estossolo podrn realizarse con la autorizacin del coordinador de pregrado del programa al quepertenece la materia (Art. 65 RGEPr).






Funciones del monitor:

La principal funcin del monitor es la de ayudar al profesor en la direccin de las actividadesacadmicas (laboratorios, sesiones de repaso o de ejercicios, asesora a estudiantes). Asmismo, apoyarlo en la correccin de ejercicios y pruebas. La calificacin definitiva de laspruebas ser responsabilidad exclusiva del profesor.

Reporte de casos disciplinarios:

Ante la sospecha de una presunta comisin de fraude acadmico (Art. 109 RGEPr) o de unafalta disciplinara (Art. 110 y 111 RGEPr) por parte de uno de sus estudiantes o de cualquiermiembro de la comunidad uniandina, los profesores debern tener en cuenta:

- Es su deber informar a la Secretara del Comit Disciplinario de la unidad acadmica a laque pertenezca la materia o en la que est inscrito el estudiante, segn corresponda,explicando los hechos que fundamentan su consideracin y adjuntando las pruebascorrespondientes (Art. 121 RGEPr).

- A travs de un proceso disciplinario el estudiante tendr la oportunidad formal depresentar su versin sobre los hechos y pronunciarse sobre las decisiones que tom elComit (Art. 121 135 RGEPr).

- El profesor tiene discrecin para hablar con los estudiantes implicados antes de reportarel caso al comit, para informarles al respecto.

- Durante el proceso disciplinario el profesor podr ser consultado si el Comit loconsidera, pero no ser parte formal del proceso.

- A menos que el estudiante acepte su responsabilidad, el profesor no puede afirmar quecometi una falta disciplinaria. En cualquier conversacin con un estudiante quepresuntamente haya cometido la falta, el profesor debe ser cuidadoso. La existencia delfraude o de una falta disciplinaria solamente la puede determinar el Comit, despus de






haberse cumplido el proceso contemplado en los distintos reglamentos de estudiantesde la Universidad.

- La actividad acadmica en la que se presuma la comisin de un fraude acadmico,deber ser calificada con Pendiente Disciplinario (PD), (Art. 59 RGEPr). Esindispensable poner el Pendiente Disciplinario pues esta nota es una garanta delrespeto por la presuncin de inocencia del estudiante.

- Una vez el profesor reciba copia de la carta por medio de la cual se le notifica alestudiante la culminacin del proceso disciplinario, deber levantar el PD y asignar lanota correspondiente a la actividad acadmica (pargrafo 1 Art. 109 RGEPr).

Canales de ayuda para estudiantes y profesores:

En cualquier momento los profesores y estudiantes podrn apoyarse en la labor de loscoordinadores de su programa, la Decanatura de Estudiantes, la Secretara General de laUniversidad y la Oficina del Ombudsperson para consultar sobre asuntos acadmicos oadministrativos segn corresponda.


1. RGIMEN ACADMICO

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