PROGRAMACIÓN LINEAL En las diferentes áreas de la empresa se realizan iniciativas conducentes al logro de los objetivos y las metas; para realizar estas actividades se requieren recursos los cuales usualmente son escasos; por esta razón, el administrador requiere de herramientas para realizar la asignación óptima de estos recursos. La Programación Lineal es una poderosa herramienta que permite modelar y resolver matemáticamente este problema; es decir: una herramienta que trata el problema de la asignación óptima de los recursos en la empresa.

EL MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL El modelo matemático que expresa de manera general el problema de Programación Lineal es el que se muestra en la figura 1. El problema plantea encontrar los valores de x1, x2,…xn que hacen que se maximice o minimice la función lineal Z, sujetos a una o varias restricciones: Figura1: Modelo de Programación Lineal

Maximizar (Minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn

Sujeta a: a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn (<) (>) (=) b1

a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn (<) (>) (=) b2 . . . . . . . . . . . .

am1x1 +am2x2 +…+amnxn (<) (>) (=) bm

Siendo: x1, x2,…, xn ≥ 0

Los componentes del modelo se pueden identificar así: Función Objetivo: Z = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn

Constantes: aij, bi y ci

Variables de decisión: x1, x2,…. xn

Restricciones, funciones del tipo: a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn (<) (>) (=) b1

Si el modelo toma la siguiente forma se llama modelo de programación lineal canónico

Maximizar Z = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn

Sujeta a: a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn ≤ b2 . . . . . . . . . . . .

am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤ bm

Siendo: x1, x2,…, xn ≥ 0

Ejemplo 1. Diga si el siguiente modelo de Programación Lineal es canónico o no, en este último caso explique porque.

Maximizar Z = 6x1 + 3x2 + 8x3 Sujeta a: x1 + x2 +x3 ≤ 12 5x1 + 6x2 > 33 Siendo: x1, x2, x3 ≥ 0 Ejemplo 2 Diga si el siguiente modelo es canónico o no, en este último caso explique porque.

Minimizar Z = 6x1 + 3x2 + 8x3 Sujeta a: x1 + x2 +x3 ≤ 12 5x1 + 6x2 ≤ 33 Siendo: x1, x2, x3 ≥ 0

PLANTEAMIENTO DE LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL La representación de un problema de la vida real a través de un modelo matemático requiere desarrollar habilidades y destrezas las cuales solo pueden ser adquiridas a través de un trabajo metódico y disciplinado. Una guía que ayudará a desarrollar estas habilidades y destrezas para el planteamiento de modelos de programación lineal es la que se ha venido utilizando para la solución de los problemas administrativos, es decir: Paso 1 Entendimiento del problema Paso 2 Definición de variables Paso 3 Formulación del modelo Paso 4 Solución del modelo Paso 5 Comprobación de la solución

Ejemplos:

1. Explique porque los siguientes modelos de Programación Lineal no son canónicos.

2. Convierta los modelos de P.L. del ejercicio anterior a modelos canónicos.

3. La ABC Cia., fabrica tres productos de última moda, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha

denominado X, Y, Z. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes A1, A2 y A3. Las libras de cada ingrediente que se requieren para fabricar una libra de producto final se muestran en la siguiente tabla.

La empresa cuenta respectivamente con 400, 800 Y 1000 libras de los ingredientes A1, A2 y A3 respectivamente.

Bajo las condiciones actuales del mercado, las contribuciones a las utilidades de cada productos son $18 mil

para X, $10 mil para Y y $12 mil para Z. Plantee el modelo de Programación Lineal.

4. ASEO Ltda., una compañía de recolección de basura transporta en su flotilla de camiones desechos industriales en contenedores sellados. Supongamos que cada contenedor de Industrias RICAS S.A., pesa 6 kilos y tiene un volumen de 3 metros cúbicos, mientras que cada contenedor de la Corporación el TESORO S.A. pesa 12 kilos y

tiene un volumen de 1 metro cúbico. Si ASEO Ltda., cobra a RICAS S.A. 30 centavos por cada contenedor transportado en un viaje, y 60 centavos por cada contenedor del TESORO S.A y si un camión no puede transportar más de 18,000 kilos o más de 1800 metros cúbicos de de volumen, ¿Plantee el modelo de programación lineal que permita saber cuántos contenedores de cada cliente debe transportar en un camión, en cada viaje, para maximizar los ingresos por carga?.

5. Una firma está planeando la producción para la semana siguiente. Está fabricando 2 productos X y Y. Cada uno de los cuales requiere cierto número de horas de fundición, maquinación y acabado de acuerdo a la tabla. Durante la semana que se está planeando, el número máximo de horas que se va a disponer en cada una de las áreas en cuestión es la siguiente: Fundición 110 horas, Maquinación 150 horas, Acabado 60 hras. Plantear el modelo de PL para maximizar las ganancias sabiendo que las utilidades por el producto x son de 30 y para el producto y son de 50.

Producto Fundición Maquinación Acabado

X 6 3 4

y 6 6 2

6. SIMESA una siderúrgica produce dos clases de acero: regular y especial. Una tonelada de acero regular necesita 2 horas en el horno abierto y 5 horas en el foso de calentamiento; una tonelada de acero especial necesita 2 horas en el horno abierto y 3 horas el foso de recalentamiento. El horno abierto está disponible 8 horas al día y el foso de calentamiento 15 horas. La ganancia en una tonelada acero regular es de $120 y de $100 en una tonelada de acero especial. Plantee el modelo de P.L. para determinar cuántas toneladas de cada clase de acero deben fabricarse para maximizar la ganancia.

7. Una empresa manufacturera de artículos plásticos de cocina ha descontinuado la producción de baldes por considerar que dicha línea ha dejado de ser rentable. Considerando esta decisión se pone a disposición de la gerencia de producción una maquina de vaciado de plástico, una fresadora y una marcadora. La gerencia ha determinado que estas maquinas se pongan a disposición de la producción de Jarras de Agua, Vasos y Platos plásticos de uso industrial. Se ha calculado que la disponibilidad de las maquinas es la siguiente:

Tipo de Máquina Tiempo disponible Horas Máq./Semana

Máq. Vaciado Plástico 280 Fresadora 420 Marcadora 560

Por su parte, el departamento de ventas ha determinado que la toda la producción de los Vasos y Platos se venderá y

que las Jarras de agua se venderán a lo máximo 60 unidades por semana. También determinaron que las utilidades por

la venta de Vasos, Platos y Jarras es de 30, 10 y 15 pesos por unidad vendida. Por su parte el departamento de

producción ha determinado que la utilización de las maquinas por unidad de producto, son los siguientes:

Productividad (Horas Máquina / Unidad)

Tipo de Maquina

Vasos Industriales

Platos Industriales

Jarras de Agua

Máq. Vaciado de plástico

9 3 4

Fresadora 4 2 4 Marcadora 5 0 3

Se pide formular un modelo de Programación Lineal para determinar que tanto de cada uno de los productos debe la

firma producir de manera que se maximice la ganancia.

8. Un nutriólogo asesora a un individuo que sufre de una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir

al menos 2400mg de hierro, 2100mg de vitamina 1B (tiamina) y 1500mg de vitamina 2B (riboflavina) durante cierto

período. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene

40mg de hierro, 10mg de vitamina 1B , 5mg de vitamina 2B y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene

10mg de hierro, 15mg de vitamina 1B , 15mg de vitamina 2B y cuesta 8 centavos. ¿Cuáles combinaciones de

píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? Plantear modelo de P.L.