programacion lineal con metodo grafico

Optimizar obligacion de todos loscientıficos

Autores 2Programacion lineal con el Metodo grafico

2.1. CONCEPTOS BASICOS

En esta seccion deben revisarse los conceptos de un problema de programacion lineal:

• Funcion lineal y problema de optimizacion lineal con restricciones lineales.

• Funcion objetivo, maximizar o minimizar.

• Restricciones de no negatividad.

• Matriz de utilidades (caso de maximizar) y matriz de costos (en caso de minimizar).

• Matriz de coeficientes tecnologicos.

• Matriz de recursos.

• Representacion matricial de un problema de optimizacion lineal.

• Region factible y solucion optima de un problema lineal.

2.2. ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Despues de resolver un problema de optimizacion es recomendable elaborar un analisis que muestre comopueden cambiar los valores de la funcion objetivo, cuando se hacen variaciones en alguno o algunos de losparametros que intervienen en el problema, a esto se le suele llamar un analisis de sensibilidad y puedellevarse a cabo para:

• los coeficientes de la funcion objetivo,

• los terminos independientes y

• los coeficientes de tecnologıa.

Aunque en estos ultimos en la practica no se efectua el analisis de sensibilidad, esto se debe a quegeneralmente ellos representan los factores que influyen directamente en los procesos de produccion deuna empresa, por consiguiente su alteracion no es recomendable y en muchos casos ni siquiera es factible.

2.2.1. ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN LOS PARAMETROS DE LAS UTILIDADES

El analisis de sensibilidad en los parametros de la funcion objetivo consiste en determinar en que rangode valores es posible variar los coeficientes, sin que se alteren los valores de las variables en los que lafuncion objetivo obtiene su valor optimo.

NOTA 2.1. El analisis de sensibilidad es posible llevarlo a cabo en mas de un coeficiente al mismotiempo, pero se recomienda hacerlo uno por uno, ya que al cambiar un coeficiente los intervalos devalores para el nuevo problema pueden variar.

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2.3. MODELADO DE PROBLEMAS LINEALES

2.2.2. VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO

En las restricciones que tienen el signo de relacion ≤ resulta que se pueden tener mas recursos que losdemandados y son cuantificados por las variables llamadas de holgura. Mientras que los recursos con ≥tienen mas demanda que los recursos y es cuantificada por las variables de exceso. Por ejemplo:

1).- Si la restriccion es 4x + 2y ≤ 10 y la demanda 4x + 2y = 8, entonces tenemos una holgura de 2.

2).- Si la restriccion es 4x + 2y ≤ 10 y la demanda 4x + 2y = 10, entonces tenemos una holgura de 0.

3).- Si la restriccion es 4x + 2y ≥ 10 y la demanda 4x + 2y = 14, entonces tenemos un exceso de 4.

4).- Si la restriccion es 4x + 2y ≥ 10 y la demanda 4x + 2y = 10, entonces tenemos un exceso de 0.

2.2.3. ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN LOS RECURSOS

El analisis de sensibilidad en un recurso consiste en determinar un intervalo de valores en el que es posiblevariar el recurso original de tal forma que la funcion objetivo aumentara o disminuira por cada unidadque se agregue al recurso en un valor igual al Precio sombra (“Shadow Price”). El aumento o disminucionesta dado por el tipo de funcion objetivo (maximo o mınimo) y de la restriccion (≤ o ≥, para = seconsidera segun el problema maximizar o minimizar), junto con la regla que se menciona a continuacion.Los precios sombra siempre se interpretan con las variables de holgura (≤) o exceso (≥), en el rango devalores dentro del analisis de sensibilidad para las restricciones en donde aparecen dichas variables.

1).- Cuando el problema trata de maximizar y la restriccion es ≤ (variables de holgura) o el problemaes de minimizar y la restriccion es ≥ (variables de exceso), el precio sombra es positivo. Entonces

a).- El precio sombra es el valor que aumentara la funcion objetivo por cada unidad que se agregueen la restriccion correspondiente a la variable de holgura.

b).- El precio sombra es el valor que disminuira la funcion objetivo por cada unidad que se le resteen la restriccion correspondiente a la variable de holgura.

2).- Cuando el problema trata de maximizar y la restriccion es ≥ (variables de exceso) o el problema esde minimizar y la restriccion es ≤ (variables de holgura), el precio sombra es negativo. Entonces

a).- El precio sombra es el valor que disminuira la funcion objetivo por cada unidad que se leagregue en la restriccion correspondiente a la variable de exceso.

b).- El precio sombra es el valor que aumentara la funcion objetivo por cada unidad que se resteen la restriccion correspondiente a la variable de exceso.

NOTA 2.2. El analisis de sensibilidad es posible llevarlo a cabo en mas de un recurso al mismotiempo, pero se recomienda hacerlo uno por uno, ya que al cambiar mas de un recurso al mismotiempo, puede ocurrir que los intervalos de valores para el nuevo problema cambien, y los valoresde las variables de decision en los que se obtiene el optimo pueden variar.


En general en un problema lineal el modelo matematico que representa al problema esta constituido porrelaciones matematicas que pueden contener ecuaciones y/o desigualdades del tipo≤ o≥. Las variables queintervienen en el modelo representan simbolicamente la esencia del problema que se pretende solucionar.De esta forma los modelos matematicos tienen muchas ventajas sobre una simple descripcion verbal delproblema; una ventaja es que el modelo matematico describe un problema en forma mucho mas concisa

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eliminando ambiguedades. Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea mas comprensibley ayude a revelar las relaciones importantes entre causa y efecto del problema. De esta manera, el modelonos indica con mas claridad que datos adicionales son importantes incluir en el analisis. Simultaneamentefacilita el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas sus interpretaciones. Por ultimo,un modelo matematico forma un puente para poder emplear tecnicas matematicas y computadoras, paraanalizar y resolver facilmente el problema.

Por otro lado, para poder modelar los problemas presentados en los textos no existe regla generalque se pueda utilizar para este efecto, pero se pueden seguir las siguientes recomendaciones, como unametodologıa de modelacion.

1).- Leer el problema hasta que sea posible explicarlo sin necesidad de leerlo.

2).- Identificar la funcion objetivo, esta siempre esta en la pregunta.

3).- Definir las variables de decision, generalmente estas se obtienen de la funcion objetivo, identificandoen el enunciado todo lo que influye para poder calcular el valor optimo.

4).- Establecer las restricciones del problema, estas se encuentran en cada una de las acotaciones delos recursos. En esta parte es bien importante verificar que en cada restriccion todos los terminosinvolucrados en la expresion representen las mismas unidades de medicion.

5).- Despues de establecer el modelo volver a revisar que no queden recursos o variables del enunciadodel problema sin considerar en el modelo.

6).- Finalmente analizar la solucion y verificar que tenga sentido logico en el problema.

7).- Cuando se determina que el modelo y la solucion no son validos, es necesario iniciar nuevamente elproceso revisando cada uno de los pasos anteriores.

EJEMPLO 2.1Una companıa produce un ensamblado que consta de un bastidor, una barra y un cojinete. La companıafabrica las barras y los bastidores, pero tiene que comprar los cojinetes a otro fabricante. Cada barra debeprocesarse en una maquina de forja, un torno y un esmeril. Estas operaciones requieren de 0.5 horas, 0.2horas y 0.3 horas por barra, respectivamente. Cada bastidor requiere de 0.8 horas de trabajo de forja, 0.1horas en el taladro, 0.3 horas en la fresadora y 0.5 horas en el esmeril. La companıa tiene 5 tornos, 10esmeriles, 20 maquinas de forja, 3 taladros y 6 fresadoras. Suponga que cada maquina opera un maximode 2,400 horas al ano. Formule como un programa lineal el problema para encontrar el numero maximode componentes ensamblados que es posible producir.

1).- Considerando que se tiene la misma cantidad de barras que de bastidores.

2).- Sin la consideracion anterior. Analice y explique ambas respuestas.

Solucion En este tipo de problemas se puede facilitar su modelacion, cuando es posible formar una tabla,en cuyas filas se tiene a las restricciones y columnas a las variables. En este problema la tabla puedequedar de la siguiente forma:

Barras Bastidores Subtotales horas

Forja 0.5 0.8 20× 2400 48,000Torno 0.2 5× 2400 12,000

Esmeril 0.3 0.5 10× 2400 24,000Taladro 0.1 3× 2400 7,200

Fresadora 0.3 6× 2400 14,400

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Luego, de la tabla anterior el modelo del problema se puede plantear facilmente.

! VARIABLES DE DECISION: X-CANTIDAD DE BARRAS QUE SE FABRICAN ANUALMENTE,

! Y-CANTIDAD DE BASTIDORES QUE SE FABRICAN ANUALMENTE;

! FUNCION OBJETIVO MAXIMIZAR EL NUMERO DE COMPONENTES ENSAMBLADOS;

MAX=X+Y;

!RESTRICCIONES;

!TIEMPOS;

0.5*X+0.8*Y<=48000;

0.2*X<=12000;

0.3*X+0.5*Y<=24000;

0.1*Y<=7200;

0.3*Y<=14400;

!SE AGREGA LA SIGUIENTE RESTRICCION PORQUE EN CASO CONTRARIO PUEDEN SOBRAR BASTIDORES O BARRAS;

X=Y;

SOLUCION

Global optimal solution found at step: 1

Objective value: 60000.00

Variable Value Reduced Cost

X 30000.00 0.0000000

Y 30000.00 0.0000000

Se puede tener 30,000 componentes.

Si no se agrega la restriccion final X = Y ; el resultado sera:




X 60000.00 0.0000000

Y 12000.00 0.0000000

Se puede tener solo 12,000 bastidores y 60,000 barras anualmente.

EJEMPLO 2.2Una companıa fabricante de aparatos de television tiene que decidir entre el numero de televisores conpantalla LED o HD que debe producir. Una investigacion de mercado indica que por mes es posible vendercuando mucho 1000 unidades LED y 4000 HD. El numero maximo de horas-hombre disponibles es de50,000 por mes. Un televisor LED requiere de 20 horas-hombre, y uno HD requiere de 15 horas-hombre.Las ganancias por unidad de los televisores LED y HD son de $60u.m. y $30 u.m., respectivamente. Sedesea encontrar el numero de unidades de cada tipo de televisor que la companıa debe producir paramaximizar sus ganancias. Formule y resuelva el problema.

Solucion

! VARIABLES DE DECISION: X, Y-CANTIDAD DE TV LED y HD, RESPECTIVAMENTE,

! PRODUCIDOS MENSUALMENTE;

! FUNCION OBJETIVO MAXIMIZAR LAS GANANCIAS;

MAX=60*X+30*Y;

!RESTRICCIONES;

!VENTAS MENSUALES;

X<=1000;

Y<=4000;

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!DISPONIBILIDAD DE TIEMPO;

20*X+15*Y<=50000;

SOLUCION




X 1000.000 0.0000000

Y 2000.000 0.0000000

El fabricante debe producir al mes 1,000 TV con pantalla LED y 2,000 TV HD para maximizar susganancias en 120, 000u.m.

Ejercicios 2.2A pagina 20 del libro de TAHA 9na. edicion.

4.- En dos productos se requieren tres procesos consecutivos. El tiempo disponible para cada proceso esde 10 horas diarias. La tabla siguiente resume los datos del problema.

Minutos por unidad

Producto Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3 Utilidad unitaria en u.m.

1 10 6 8 $22 5 18 10 $3

a Determine la combinacion optima de fabricacion de los dos productos.

Solucion. Las variables de decision son: x-cantidad de productos 1 diarios y y-cantidad deproductos 2 diarios. Para la restriccion del tiempo tenemos que transformar todo a minutos uhoras. Eligiendo minutos, el tiempo total es de 10×60 = 600 minutos por cada proceso. Entoncesel modelo queda de la siguiente forma:

max z = 2x + 3y. Sujeto a :

10x + 5y≤ 6006x + 18y≤ 6008x + 10y≤ 600

x, y≥ 0

Respuesta: x = 52 productos 1 y y = 16 productos 2 diarios proporcionan una utilidad maximade z = 152u.m. al dıa.

Resultados con analisis de sensibilidad

Figura 2.1: Respuesta y analisis de sensibilidad del ejercicio 4

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b Determine un procedimiento para priorizar los tres procesos, para una posible ampliacion.

Respuesta: En la figura 2.1 en la fila de C3, el rango del analisis de sensibilidad esta entre[576,∞). Entonces la utilidad maxima se sigue obteniendo si disminuimos el tiempo a 576 minutosen el proceso 3.

c ¿Que pasa si hay aumentos en los procesos y la utilidad para el producto 2 baja a 2u.m.?.

Respuesta: En la figura 2.1 en la fila de X2, el rango del analisis de sensibilidad esta entre [1, 6].Entonces la utilidad maxima se sigue obteniendo para una produccion de 52 y 16 productos tipo1 y 2, respectivamente y la utilidad cae a 2(52) + 2(16) = 136u.m.

d ¿Que pasa si el tiempo del proceso 1 disminuye 100 minutos?.

Respuesta: El recurso de 500 esta dentro del rango del analisis de sensibilidad y el precio sombraes de 0.12u.m., entonces la utilidad maxima disminuye a 152− 0.12(100) = 140u.m.

5.- Una empresa fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es, cuando menos, 80 % delas ventas totales de A y B. Sin embargo, la empresa no puede vender mas de 100 unidades deA por dıa. Los productos usan una materia prima, cuya disponibilidad diaria maxima es 240 lb.Los consumos de la materia prima son 2 lb por unidad de A y 4 lb por unidad de B. Los preciosunitarios de A y B son $20u.m. y $50u.m., respectivamente.

a Determine la combinacion optima de productos para esta companıa.

Solucion. Las variables de decision son: x-cantidad de productos A y y-cantidad de productosB fabricados al dıa. Para la restriccion del porcentaje, tenemos x

x+y ≥ 0.80 ⇒ 0.2x − 0.8y ≥ 0.Entonces el modelo queda de la siguiente forma:


0.2x− 0.8y≥ 0

x ≤ 1002x + 4y≤ 240

x, y≥ 0

Respuesta: x = 80 productos A y y = 20 productos B dan una ganancia maxima diaria dez = 2, 600u.m. Resultados con analisis de sensibilidad

Figura 2.2: Respuesta y analisis de sensibilidad del ejercicio 5

b Calcule el valor por cambio unitario en la disponibilidad de la materia prima, y su intervalo deaplicabilidad.

Respuesta: En la figura 2.2 en la restriccion C3 el precio sombra indica un aumento de 10.8333

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por cada unidad que se agregue a la restriccion. El aumento se conserva cuando el recurso cambiaentre [0, 300].

c Determine el intervalo de utilidad que corresponde al intervalo de factibilidad de la materia prima.

Respuesta: En el primer inciso se obtuvo que el intervalo de factibilidad de la materia prima[0, 300]. Entonces la utilidad para 0 es cuando el recurso lo disminuimos 240, entonces la utilidadcorrespondiente es 2600− 10.8333× 240 = 0. Para 300 la utilidad es 2600 + 10.8333× 60 = 3250.Es decir, el intervalo de utilidad cambia entre [0, 3250].

d Use el valor unitario por unidad para determinar el efecto de cambiar la demanda maxima delproducto A en ±10 unidades.

Respuesta: En la figura 2.2 en la restriccion C2 el precio sombra indica que no hay aumento,0, cuando el recurso cambia entre [80,∞). El recurso era 100± 10 unidades, entonces varia entre90 y 110 unidades que estan en el rango del analisis de sensibilidad.

12.- Salvaje Oeste produce dos clases de sombrero vaquero. Un sombrero de la clase 1 requiere el doble demano de obra que uno de la clase 2. Si toda la mano de obra se dedicara solo a la clase 2, la empresapodrıa producir diariamente 600 de esos sombreros. Los lımites mınimos de mercado (demanda)respectivamente son 150 y 200 sombreros diarios para esas clases. La utilidad es $8u.m. por cadasombrero de la clase 1, y $5u.m. por cada uno de la clase 2.

a Aplique la solucion grafica para determinar la cantidad de sombreros diarios de cada clase con laque se maximiza la utilidad.

Solucion. Las variables de decision son: x-cantidad de sombreros clase 1 y y-cantidad de som-breros clase 2, producidos diariamente. Para la restriccion de tiempo tenemos que si ki representael tiempo en fabricar un sombrero clase i, entonces el tiempo total disponible de trabajo al dıa esde 600k2 horas (toda la mano de obra puede producir hasta 600 sombreros clase 2). De lo anteriorel tiempo de mano de obra esta dado por k1x + k2y ≤ 600k2. Por otro lado, k1 = 2k2 (la clase1 requiere el doble de tiempo de la clase 2). Por lo tanto, 2k2x + k2y ≤ 600k2 ⇒ 2x + y ≤ 600.Finalmente el modelo queda de la siguiente forma:


2x + y≤ 600

y≤ 600x ≥ 150

y≥ 200x, y≥ 0

Respuesta: x = 150 sombreros clase 1 y y = 300 sombreros clase 2 proporcionan una utilidadmaxima diaria de z = 2, 700u.m.


b Determine el valor de aumentar la capacidad de produccion en la empresa en un sombrero de laclase 2, y el intervalo dentro del cual se aplica este resultado.

Respuesta: En la figura 2.3 en la restriccion C2 el precio sombra indica un aumento cero entre[300,∞).

c Si el lımite de demanda diaria de sombreros de clase 1 disminuye a 120, aplique el valor porunidad del recurso para determinar el efecto correspondiente sobre la utilidad optima.

Respuesta: En la figura 2.3 en la restriccion C3 el precio sombra indica una disminucion de 2(negativo) por cada unidad que se agregue a la restriccion o un aumento de 2 por cada unidadque se disminuya l demanda, entonces 2, 700 + 2(30) = 2, 760. Esta aumento de (2) se conservaentre [0, 150], entre [150, 200] disminuye en 2.

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Figura 2.3: Respuesta y analisis de sensibilidad del ejercicio 12)

d ¿Cual es el valor por aumento unitario en la parte de mercado del sombrero clase 2?. ¿En cuantose puede aumentar la participacion en el mercado conservando el valor calculado por unidad?

Respuesta: En la figura 2.3 en la restriccion C4 el precio sombra indica un aumento cero entre(−∞, 300].

18.- Una lınea de ensamble esta formada por tres estaciones consecutivas, y produce dos modelos de radio:Alta Fidelidad 1 y Alta Fidelidad 2. En la siguiente tabla se ven los tiempos de ensamble en lastres estaciones de trabajo. El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 incluyendo el tiempo

Minutos por unidad

Estacion de trabajo AF-1 AF-2

1 6 42 5 53 4 6

de adaptacion de la lınea para pasar de un modelo a otro consume 10, 14 y 12 %, respectivamente,de los 500 minutos maximos disponibles en cada estacion por dıa.

a La empresa desea determinar la combinacion optima de productos con la que se minimicen lostiempos de paro (o tiempos no usados) en las tres estaciones de trabajo.

Solucion. Las variables de decision son: x-cantidad de radios AF-1 y y-cantidad de radios AF-2producidos al dıa. El problema de minimizar los tiempos de paro es equivalente a maximizar laproduccion diaria x + y. Para los lımites del tiempo disponible, tenemos en la estacion 1 que son500× 0.90 = 450 minutos diarios; en la estacion 2 son 500× 0.86 = 430 minutos diarios y para laestacion 3 se tiene 500× 0.88 = 440 minutos diarios. El modelo queda de la siguiente forma:

max z = x + y. Sujeto a :

6x + 4y≤ 4505x + 5y≤ 4304x + 6y≤ 440

x, y≥ 0

Respuesta: La produccion maxima diaria es de z = 86 radios y tiene solucion multiple que seobtiene con cualquier nivel de produccion diaria que una al segmento (53, 33) con (38, 48) de(radios AF-1, radios AF-2). Por ejemplo, x = 53 radios AF-1 y y = 33 radios AF-2 o x = 38

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radios AF-1 y y = 48 radios AF-2 o cualquier combinacion en el segmento mencionado minimizanlos tiempos muertos de la produccion.


Figura 2.4: Respuesta y analisis de sensibilidad del ejercicio 18a

b Determine la produccion diaria si el tiempo diario de mantenimiento se baja en dos puntosporcentuales, para cada estacion de trabajo.

Respuesta: Se resuelve como en el inciso anterior. Para los lımites del tiempo disponible, tenemosen la estacion 1 que son 500× 0.92 = 460 minutos diarios; en la estacion 2 son 500× 0.88 = 440minutos diarios y para la estacion 3 se tiene 500× 0.90 = 450 minutos diarios. El modelo quedade la siguiente forma:

max z = x + y. Sujeto a :

6x + 4y≤ 4605x + 5y≤ 4404x + 6y≤ 450

x, y≥ 0

Respuesta: Se deben producir x = 54 radios AF-1 y y = 34 radios AF-2 diariamente paraminimizar los tiempos muertos de la produccion. La produccion maxima diaria debe ser de z = 88radios.


Figura 2.5: Respuesta y analisis de sensibilidad del ejercicio 18b

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