Programación Lineal: Método Gráfico

Apuntes

Investigación de Operaciones

Lic. Miguel González Hipólito y Lic. Oscar Mayo Leytte

http://omlay.iespana.es

Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE

INDICE DEL MODULO:

CONTENIDO Página

3. PROGRAMACION LINEAL

3.1 Definición

3.2 Requerimientos básicos

3.3 Etapas de solución y problemas de ejemplo

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

3.4 Casos especiales

3.5 La dualidad y los precios sombra (análisis preliminar)

3.6 Problemas propuestos

MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 2



Capítulo

3

PROGRAMACION LINEAL 3.1 Definición

La Programación Lineal (PL) puede definirse como la técnica matemática para determinar la mejor asignación de recursos limitados.

La programación lineal es un método determinista de análisis para elegir la mejor entre varias alternativas. Cuando esta mejor alternativa incluye un conjunto coordinado de actividades, se le puede llamar plan o programa. Programar significa seleccionar la mejor combinación de actividades.

Con frecuencia seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo, por ejemplo, cuando se alquila una habitación en un hotel se tiene el criterio de que la habitación sea confortable, limpia, con las comodidades básicas, el precio accesible, etc. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en dos categorías: las restricciones y el objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que esta analizándose. Si más de una alternativa satisface todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar la mejor entre todas las alternativas factibles, a lo cual se le llama optimizar. Optimizar va en uno de dos posibles sentidos: maximizar o minimizar. Se optimizará maximizando, cuando nuestra intención es alcanzar los mas altos beneficios posibles, en tanto que se optimizará minimizando, cuando nuestra intención es obtener los menores costos posibles en un problema específico.

Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de maximizar o minimizar un objetivo que esta sujeto a una lista de restricciones. Un hotelero, por ejemplo, trata de maximizar sus utilidades en relación a mejorar y ampliar sus diferentes servicios, con el empleo más óptimo de sus recursos y la satisfacción de sus clientes. Un Restaurante debe planear que las comidas satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. La programación lineal se ha aplicado con éxito a estos y otros problemas.

La programación lineal es una técnica determinista, no incluye probabilidades. El objetivo y cada una de las restricciones se deben expresar como una relación lineal, de ahí su nombre.

El tema de programación lineal es muy extenso. Forma una de las ramas del campo de la programación matemática, como se ilustra a continuación:




PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

PROGRAMACIÓN LINEAL OTRAS OPCIONES

Método Gráfico Programación no lineal

Método Simplex Programación estocástica

Programación por objetivos Programación Dinámica

Programación entera Otras

Método del transporte

Método de asignación de recursos

3.2 Requerimientos básicos

La Programación Lineal tiene los siguientes requerimientos básicos:

1. Que se defina claramente una función objetivo en forma matemática

2. Debe haber varios cursos alternativos de acción

3. Las ecuaciones y desigualdades deben describir el problema en forma lineal

4. Debe ser posible establecer relaciones entre las variables a través de formulaciones matemáticas que pueden describir el problema y todas las relaciones entre las variables

5. Existe un suministro limitado de recursos

3.3 Etapas de solución y problemas

El método grafico es una de las formas más sencillas para resolver problemas de programación lineal, cuando estos se refieren a únicamente dos variables. Este método permite visualizar el




proceso de solución de la programación lineal. Sin embargo, esta severamente limitado en sus aplicaciones por que el numero de dimensiones en la grafica es igual que el numero de variables.

Pero aún con todas sus limitaciones, el método gráfico nos es muy útil para entender como funciona la Programación Lineal para optimizar (maximizar o minimizar) y como una ilustración de la manera como el Método Simplex (que veremos mas adelante), analizará y determinará la mejor solución posible.

Etapas de solución de un problema de programación lineal por el método grafico:

ETAPA 1.- FORMULAR EL PROBLEMA Y CONSTRUIR EL MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

El primer paso, consiste en plantear el problema y expresarlo en términos matemáticos bajo el formato general de la programación lineal, en otras palabras determinar el modelo matemático de programación lineal, compuesto de una función objetivo y las restricciones (condiciones) a las cuales esta sujeta

Se puede iniciar respondiendo a las siguientes preguntas:

¿Que busca determinar el modelo?, es decir, ¿Cuales son las variables (incógnitas) del problema?

¿Que restricciones deben imponerse a las variables a fin de satisfacer las limitaciones del sistema representado por el modelo?

¿Cual es el objetivo (meta) que necesita alcanzarse para determinar la solución óptima (mejor) de entre todos los valores factibles de las variables?

El punto crucial del modelo matemático consiste en identificar en 1er. lugar las variables y después expresar el objetivo y las restricciones como funciones matemáticas de las variables.

ETAPA 2.- GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES

El segundo paso es graficar cada restricción en el plano cartesiano, para definir el espacio de soluciones básicas factibles a que dan lugar, es decir, identificando hacia donde esta el área que de acuerdo al signo de desigualdad corresponde a cada ecuación. Determinando luego, las coordenadas que están en los cruces de las restricciones entre sí y con los ejes




cartesianos, pero dentro del espacio de soluciones, es decir, dentro de las áreas que de acuerdo al signo de desigualdad les correspondan.

ETAPA 3.- OBTENER LA SOLUCION OPTIMA.

El tercer paso consiste en sustituir en la función objetivo del modelo matemático, cada una de las coordenadas donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos pero dentro del espacio o área de soluciones básicas factibles, en otras palabras, las coordenadas que están en los “picos” del espacio de soluciones, observando donde se alcanza el valor mas alto (si estamos maximizando) o donde se obtiene el valor mas bajo (si estamos minimizando). Luego, seleccionaremos como resultado óptimo, las coordenadas donde se alcanza el máximo (si estamos maximizando) o el mínimo valor en la función objetivo (si estamos minimizando).

ETAPA 4.- ANALISIS DE SENSIBILIDAD.

Esta etapa consiste en determinar que tanto podrían variar los recursos considerados en el problema, sin que se afecte el óptimo alcanzado, se aplica tanto a los coeficientes de la Función Objetivo, como a los coeficientes de cada una de las restricciones.

En los problemas de ejemplo se dejará para más adelante su aplicación, con el fin de permitir el aprendizaje de las primeras tres etapas.




PROBLEMAS DE EJEMPLO:

PROBLEMA Núm. 1

Una empresa dedicada a la transportación turística ofrece dos recorridos en un parque arqueológico, uno diurno y otro nocturno.

Al guía se le pagan 6 dólares por recorrido diurno y 5 dólares por recorrido nocturno.

El recorrido incluye la entrada a una galería que cuesta 2 dólares en el diurno y 3 dólares en el nocturno.

Los costos de operación ascienden a 3 dólares por recorrido diurno y 12 dólares por recorrido nocturno.

La utilidad es de 2 dólares por el recorrido diurno y 1 dólar por el nocturno.

Únicamente se cuenta con 30 dólares para salarios de guías, 12 dólares para entradas a la galería y no se quiere que los costos de operación excedan 36 dólares.

¿Cuántos recorridos diurnos y cuántos recorridos nocturnos se deben programar para obtener las mayores utilidades?

SOLUCION DEL PROBLEMA

ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO

OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuántos recorridos diurnos y nocturnos se deben programar para obtener las mayores utilidades por tanto, se trata de una maximización.

RESTRICCIONES (VERBALES)

1.- Solo se dispone de 30 dólares para salarios de los guías. 2.- Solo se dispone de 12 dólares para entradas a la galería. 3.- No se quiere que los costos de operación excedan los 36 dólares.

VARIABLES (ESTRUCTURA MATEMÁTICA)

Para representar las variables de decisión (o incógnitas del problema) se establece que:

X1 = Número de recorridos diurnos VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA X2 = Número de recorridos nocturnos




COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO (Z)

La función objetivo se expresa en dólares y representa maximizar las utilidades de cada tipo de recorrido, por tanto se establece que:

C1 = $2 dólares = utilidad por recorrido diurno

C2 = $1 dólares = utilidad por recorrido nocturno

Función Objetivo: Max Z = C1X1 + C2X2

Max Z = 2X1 + X2

Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma:

RECORRIDOS RUBROS

Recorrido Diurno

X1

Recorrido Nocturno

X2

Restricciones

SALARIOS COSTO DE ENTRADA A GALERÍA COSTOS DE OPERACION Función Objetivo: Max Z

6 2 3 $2

5 3 12 $1

30 12 36

8

Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera:

RECORRIDOS RUBROS

Recorrido Diurno

X1

Recorrido Nocturno

X2

Restricciones

SALARIOS COSTO DE ENTRADA A GALERÍA COSTOS DE OPERACION Función Objetivo: Max Z

6 X12 X13 X1

$2 X1

5 X23 X2

12 X2$1 X2

≤ 30 ≤ 12 ≤ 36

El modelo matemático para el problema estará dado entonces por:

MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico



Función Objetivo: Max Z = 2X1 + X2

Sujeto a:

0,0

....36123......1232......3056

21

21

21

21

≥≥

≤+≤+≤+

XX

IIIXXIIXXIXX

Restricciones

ETAPA No. 2 GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES

Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones:

Para la restricción I

)6,0(

65

30

0 .....3056

2

1

21

A

X

XSiIXX

==

==+

)0,5(

56

30

0

1

2

B

X

XSi

==

=

Para la restricción II

)4,0(

43

12

0.......1232

2

1

21

C

X

XSiIIXX

==

==+

)0,6(

62

12

0

1

2

D

X

XSi

==

=

Para la restricción III

)3,0(

31236

0 ........36123

2

1

21

E

X

XSiIIIXX

=

==+

0)F(12,

123

36X

0

1

2

=

=XSi




GRAFICA DE RESTRICCION I

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6

X1

X 2

A (0,6)

ESPACIO DE SOLUCIONES

B (5,0)

GRAFICA DE RESTRICCION II

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

0 1 2 3 4 5 6 7

X1

X2

C (0,4)

ESPACIO DE SOLUCIONES D (6,0)

GRAFICA DE RESTRICCION III

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 2 4 6 8 10 12 14

X1

X 2

E (0,3)

ESPACIO DE SOLUCIONES F (12,0)




COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL

AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS:

GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12 14

X1

X2

IIIIII

E (0,3)

11

ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR

Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas se muestra a continuación:

CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación II con Ecuación III)

2.4 X

5--12/ X -12 5X-

___________________3612X3X -4812X-8X-

___________________

1232)4(

1

1

1

21

21

21

21

===

=+=

=+=+−

III3612X 3XIIXX

L

L

4.23/2.7

2.738.4123

1238.4123)4.2(2

.......1232:,

2

2

2

2

2

2

21

1

===

−==+=+=+

XXXXXX

IIXXtenemosIIEcuación

enXdoSustituyen

Nota: No puede haber X1 = 2.4 recorridos diurnos, solo para efectos de estos cálculos no se redondea R (2.4, 2.4)


R

S

B (5,0)




CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación II)

5.1 4/6

64 __________________

3696 3056

__________________1232)3(3056

2

2

2

21

21

21

21

=−−=

−=−

−=−−=+

=+−=+

XXX

XXXX

IIXXIXX

L

L

75.36/5.22

5.2265.7306

305.7630)5.1(563056

:,5.1

1

1

1

1

1

1

21

2

===

−==+=+=+

=

XXXX

XX

XXtieneseIEcuaciónen

Xdosustituyen

Nota: No puede haber X1 = 3.75 recorridos diurnos, solo para efectos de estos cálculos no se redondea S (3.8, 1.5)


0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12 14

X1

X 2

IIIIII

E (0,3)

12

Los cruces de las restricciones entre si y con los ejes cartesianos dentro del Espacio de Soluciones (los picos), constituyen los puntos de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cual de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo


R (2.4, 2.4)

S (3.8, 1.5)

B (5,0)




SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS Punto E (0, 3) Punto R (2.4, 2.4) Implica: Ningún Recorrido diurno y 3 nocturnos Implica: 2.4 Recorridos diurnos y 2.4 nocturnos

utilidaddedólaresZ

ZZ

XXZMax

00.3$30

)3(1)0(22 21

=+=

+=+=

utilidaddedólaresZ

ZZ

XXZMax

20.7$4.28.4

)4.2(1)4.2(22 21

=+=

+=+=

Punto S (3.8, 1.5) Punto B (5, 0) Implica: 3 Recorridos diurnos y un nocturno

Implica: 5 Recorridos diurnos y ningún nocturno

utilidaddedólaresZ

ZZ

XXZMax

10.9$5.16.7

)5.1(1)8.3(22 21

=+=

+=+=

utilidaddedólaresZ

ZZ

XXZMax

00.10$010

)0()5(22 21

=+=+=+=

<<<OPTIMO>>> Los resultados nos indican que el punto “B” es donde se obtienen las mayores utilidades, con 5 recorridos diurnos y ningún recorrido nocturno para alcanzar así, $10.00 dólares de utilidad. Grafiquemos ahora la Función Objetivo

Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 6 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación:

)6,0(6 0

62

2

1

21

GXXSi

XXZMax

==

=+=

)0,3(

326

0

1

2

H

X

XSi

==

=

Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas:




GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO

0 1 2 3 4 5 6 7

0 2 4 6 8 10 12 14 X1

X 2

IIIIII


Z

Z

Ahora desplacemos paralelamente la recta de la Función Objetivo “cuesta arriba”, hasta el máximo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se cruza la Restricción (I) con el eje de las X1, es decir, en el punto ¨B¨ de coordenadas (5, 0) como se ilustra a continuación:

GRAFICA DE TODAS RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO

0 1 2 3 4 5 6 7

0 2 4 6 8 10 12 14X1

X 2IIIIII

14

Es otra manera de determinar gráficamente el punto óptimo (máximo), donde se obtienen los mayores beneficios y que por supuesto, coincide con lo calculado por prueba y error

Z ESPACIO DE SOLUCIONES

OPTIMO

B (5,0)




Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se alcanza una utilidad máxima de:

utilidaddedólaresZZZ

XXZMax

00.10$010

0)5(22 21

=+=+=+=

Esto significa realizar 5 recorridos diurnos y ninguno nocturno, como antes ya habíamos visto.

GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA POR EL METODO GRAFICO




PROBLEMA Núm. 2

Se contrato una agencia de edecanes para realizar un servicio de guías en una exposición. La exposición se divide en dos secciones:

1) Sección de Exhibición y

2) Sección de Talleres

Un grupo de estudiantes de secundaria tarda una hora en el área de exhibición y 3 horas en el área de talleres; mientras que un grupo de estudiantes de primaria tarda 2 horas en el área de exhibición y una hora en el área de talleres.

El área de exhibición permanece abierta un máximo de 10 horas, mientras que el área de talleres puede abrirse hasta 15 horas.

No se puede atender a más de 4 grupos de primaria por día.

La utilidad por grupo de primaria es de $60.00 y por grupo de secundaria es de $50.00

¿Cuántos grupos de cada nivel se deben programar diariamente para obtener las mayores utilidades?



OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuántos grupos de primaria y cuantos grupos de secundaria se deben programar diariamente para obtener las mayores utilidades por esa razón, se trata de una maximización.


1.- El área de exhibición permanece abierta un máximo de 10 horas

2.- El área de talleres puede abrirse hasta 15 horas.

3.- No se puede atender a más de 4 grupos de primaria por día.

VARIABLES ( ESTRUCTURA MATEMÁTICA)





X1 = Número de grupos de primaria programados por día

X2 = Número de grupos de secundaria programados por día

17


La función objetivo se expresa en dólares y representa maximizar las utilidades de cada tipo de recorrido, por tanto se establece que:

C1 = $60 = utilidad por grupo de primaria

C2 = $50 = utilidad por grupo de secundaria


Max Z = 60X1 + 50X2


TIPO DE GRUPO INSUMOS

Grupos de Primaria

X1

Grupos de Secundaria

X2

Restricciones

EXHIBICION TALLERES DISPONIBILIDAD DE ATENCION Función Objetivo: Max Z

2 1 X1$60

1 3

$50

10 15 4


TIPO DE GRUPO INSUMOS

Grupos de Primaria

X1

Grupos de Secundaria

X2

Restricciones

EXHIBICION TALLERES DISPONIBILIDAD DE ATENCION Función Objetivo: Max Z

2X1X1X1

60X1

X23X2

50X2

≤ 10 ≤ 15 ≤ 4

VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA





Función Objetivo: Max Z = 60X1 + 50X2

Sujeto a:

0,0

....4......153......102

21

1

21

21

≥≥

≤≤+≤+

XX

IIIXIIXXIXX

Restricciones




)10,0(100

.....102

2

1

21

AXXSi

IXX

⎭⎬⎫

==

=+

)0,5(5

2100

1

2

BX

XSi

⎪⎭

⎪⎬⎫

==

=


)5,0(5

3150

.....153

2

1

21

CX

XSiIIXX

⎪⎭

⎪⎬⎫

==

=

=+

)0,15(150

1

2 DXXSi

⎭⎬⎫

==

La restricción III (X1 = 4) es una constante, desde X2 = 0 hasta X2 = infinito




COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES, TENEMOS:


0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X1

X 2

IIIIII

C (0,5)


X1=4

A (0,10)

R

S

B (5,0) D (15,0)

E (4,0)



CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación II)

4

520

2053062

102153)2(102

2

2

2

21

21

21

21

=

−−

=

−=−−=−−

=+=+−=+

X

X

XXX

XXIIXXIXX

L

L

Sustituyendo X2 = 4 en Ecuación I, tenemos:

3

26

624102

1042102

1

1

1

1

1

21

=

=

=−=

=+=+

X

X

XX

XXX

Las coordenadas del punto “R” son: (3, 4)




CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación III)

IIIXIXX

.......4.....102

1

21

==+

Sustituyendo X1 = 4 en Ecuación I, tenemos:

2810

10810)4(2102

2

2

2

2

21

=−=

=+=+=+

XXXXXX

Las coordenadas del punto “S” son: (4, 2)


0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X1

X 2

IIIIII

C (0,5)


X1=4

A (0,10)

R (3, 4)

S (4, 2)

B (5,0) D (15,0)

E (4,0)

Los cruces de las restricciones entre si y con los ejes cartesianos pero dentro del Espacio de Soluciones, constituyen los puntos de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cual de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo




SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS

Punto C(0,5)

00.250$2500

)5(50)0(605060 21

=+=

+=+=

ZZZ

XXZMax

Punto R(3,4)

00.380$200180

)4(50)3(605060 21

=+=+=+=

ZZZ

XXZMax

<<<OPTIMO>>>

Punto S(4,2)

00.340$100240

)2(50)4(605060 21

=+=+=+=

ZZZ

XXZMax

Punto E(4,0)

00.240$)0(50)4(60

5060 21

=+=+=

ZZ

XXZMax

Se concluye que el punto “R” es donde se obtienen las mayores utilidades, debiendo programarse por día 3 grupos de primaria y 4 grupos de secundaria logrando así la más alta utilidad que será de $380.00

Grafiquemos ahora la Función Objetivo


Max Z = 60X1 + 50X2 = 180

Si X1 = 0 Si X2 = 0

X2 = 3.6 X1 = 3

G (0, 3.6) H (3, 0)






A (0,10)

B (5,0) D (15,0)

C (0,5)

X1=4


R (3, 4)

S (4, 2)

E (4,0)

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 X 1

X 2

IIIIIIZ

Ahora desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta arriba”, hasta el máximo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se cruza la Ecuación 1 con la Ecuación II, es decir, en el punto ¨R¨ de coordenadas (3, 4) como se ilustra a continuación:

A (0,10)

B (5,0) D (15,0)

C (0,5)

X1=4


R (3, 4)

S (4, 2)

E (4,0)

22MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico


Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se alcanza una utilidad de:


0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 X 1

X 2

IIIIIIZ



00.380$200180

)4(50)3(605060 21

=+=+=+=

ZZZ

XXZMax

sto significa que deben programarse por día 3 grupos de primaria y 4 grupos de secundaria,


Ecomo ya se había definido.




PROBLEMA Núm. 3

Una agencia de viajes está planeando dos paquetes diferentes para visitar el sureste mexicano: “Sureste Inolvidable” y “Sureste Mágico”.

La agencia normalmente vende todos los paquetes que ofrece.

El primer paquete consiste en dos noches de estancia en Mérida, una noche en Chetumal y cuatro noches en Cancún.

El segundo paquete consiste en dos noches en Mérida, dos noches en Chetumal y dos noches en Cancún.

La agencia de viajes ha establecido un contrato con varios hoteles en los destinos visitados y tiene 160 noches reservadas en Mérida, 120 en Chetumal y 280 en Cancún.

La ganancia que se obtiene por cada paquete “Sureste Inolvidable” es de $1,000.00 y por cada paquete “Sureste Mágico” es de $1,500.00

¿Cuántos paquetes de cada tipo se deben ofertar para obtener las mayores utilidades?



OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuántos paquetes de cada tipo se deben ofertar para obtener las mayores utilidades por tanto, se trata de una maximización.


1.- Solo se dispone de 160 noches para Mérida.

2.- Solo se dispone de 120 noches para Chetumal.

3.- Solo se dispone de 280 noches para Cancún.



X1 = Número de paquetes “Sureste Inolvidable” VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMAX2 = Número de paquetes “Sureste Mágico”





La función objetivo se expresa en pesos y representa maximizar las utilidades de cada tipo de paquete, por tanto se establece que:

C1 = $1,000 pesos = utilidad por paquete “Sureste Inolvidable”

C2 = $1,500 pesos = utilidad por paquete “Sureste Mágico”


Max Z = 1000X1 + 1500X2


PAQUETES NOCHES DE ESTANCIA

“Sureste Inolvidable”

X1

“Sureste Mágico”

X2

Restricciones (Disponibilidad)

MERIDA CHETUMAL CANCUN Función Objetivo: Max Z

2 1 4

$1,000

2 2 2

$1,500

160 120 280

25


PAQUETES NOCHES DE ESTANCIA

“Sureste Inolvidable”

X1

“Sureste Mágico”

X2

Restricciones (Disponibilidad)

MERIDA CHETUMAL CANCUN Función Objetivo: Max Z

2 X1 1 X1 4 X1$1000 X1

2 X2 2 X2 2 X2$1500 X2

≤ 160 ≤ 120 ≤ 280





Función Objetivo: Max Z = 1000X1 + 1500X2

Sujeto a:

0,0

....28024......1202......16022

21

21

21

21

≥≥

≤+≤+≤+

XX

IIIXXIIXXIXX

Restricciones




)80,0(800

.....16022

2

1

21

AXXSi

IXX

⎭⎬⎫

==

=+

)0,80(

800

1

2 BXXSi

⎭⎬⎫

==


60,0(600

........1202

2

1

21

CXXSi

IIXX

⎭⎬⎫

==

=+

)0,120(

1200

1

2 DXXSi

⎭⎬⎫

==


)140,0(1400

.....28024

2

1

21

EXXSi

IIIXX

⎭⎬⎫

==

=+

)0,70(

700

1

2 FXXSi

⎭⎬⎫

==




COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS:


020406080

100120140160

0 20 40 60 80 100 120 140

X1

X2

IIIIII

E (0,140)

A (0,80) R

S


C (0,60)

D (120,0)

F (70,0) B (80,0)



CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación II)

4012021

16022.....1202)1(....16022

1

2

21

21

21

=−=−−

=+=+−=+

XXXXX

IIXXIXX

40

280

802801602

1602801602)40(2

........16022:,

40

2

2

2

2

2

2

21

1

=

=

=−=

=+=+=+

=

X

X

XXXX

IXXtenemosIEcuaciónen

XdoSustituyen

Las coordenadas del punto “R” son: (40, 40)





60

2120

120228024

16022.......28024)1(

.....16016022

1

1

1

21

21

21

21

=

−−

=

−=−−=−−

=+=+−

≤=+

X

X

XXXXX

IIIXXIXX

20

240

4021201602

16021201602)60(216022

:,60

2

2

2

2

2

2

21

1

=

=

=−=

=+=+=+

=

X

X

XXXXXX

tenemosIEcuaciónenXdoSustituyen

Las coordenadas del punto “S” son: (60, 20)


020406080

100120140160

0 20 40 60 80 100 120 140

X1

X2

IIIIII

E (0,140)

A (0,80) R (40, 40)

S (60, 20)


D (120,0)

F (70,0) B (80,0)

C (0,60)

Los cruces de las restricciones entre si y con los ejes cartesianos pero dentro del Espacio de Soluciones, constituyen los puntos (coordenadas) de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cual de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo




SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS

Punto C (0, 60)

000,90$900000

)60(1500)0(100015001000 21

=+=

+=+=

ZZZ

XXZMax

Punto F (70, 0)

000,70$070000

)0(1500)70(100015001000 21

=+=

+=+=

ZZZ

XXZMax

Punto S (60, 20)

000,90$3000060000

)20(1500)60(100015001000 21

=+=

+=+=

ZZZ

XXZMax

Punto R (40, 40)

000,100$6000040000

)40(1500)40(100015001000 21

=+=+=+=

ZZZ

XXZMax

<<<OPTIMO>>>

Se concluye que el punto “R” es donde se obtienen las mayores utilidades, debiendo ofertarse 40 paquetes “Sureste Inolvidable” y 40 paquetes “Sureste Mágico” logrando así la más alta utilidad que será de $100,00 pesos


Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 50,000 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación:

Max Z = 1000X1 + 1500X2 = 50,000

Si X1 = 0 Si X2 = 0

X2 = 33 X1 = 50

G (0, 33) H (50, 0)






020 40 60 80

100 120 140 160

0 20 40 60 80 100 120 140 X1

X 2

IIIIIIZ

A (0,80)

E (0,140)

R (40, 40)

S (60, 20)


C (0,60)

D (120,0)

F (70,0) B (80,0)

Ahora, desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta arriba”, hasta el máximo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se el cruza la Ecuación 1 con la Ecuación II, es decir, en el punto ¨R¨ de coordenadas (40, 40) como se ilustra a continuación:

30


Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se alcanza una utilidad de:


0 20406080

100 120 140 160

0 20 40 60 80 100 120 140 X1

X 2

IIIIIIR (40, 40) Z




00.000,100$000,60000,40

)40(1500)40(100015001000 21

=+=+=+=

ZZZ

XXZMax

Esto significa que deben ofertarse 40 paquetes “Sureste Inolvidable” y 40 paquetes “Sureste Mágico”, como ya antes se había definido.

GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA POR LE METODO GRAFICO




PROBLEMA Núm. 4

Un dietista esta tratando de seleccionar la combinación más barata de dos tipos de alimentos concentrados “K” y “W” de importación, que deben cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas para turistas adultos mayores.

Los requerimientos vitamínicos diarios son de al menos 40 unidades de vitamina “A”, 50 unidades de vitamina “B” y 49 unidades de vitamina “D”.

Cada onza del alimento “K” proporciona 4 unidades de vitamina “A”, 10 unidades de vitamina “B” y 7 unidades de vitamina “D”,

Cada onza del alimento “W” proporciona 10 unidades de vitamina “A”, 5 unidades de “B” y 7 unidades de “D”.

El alimento “K” cuesta 0.50 centavos de dólar la onza y el alimento “W” cuesta 0.80 centavos de dólar la onza.

¿Cuantas onzas de cada alimento deben utilizarse para satisfacer las necesidades vitamínicas diarias con el menor desembolso monetario?


OBJETIVO (VERBAL).- Se pretende seleccionar la manera menos costosa para satisfacer las necesidades vitamínicas diarias, considerando la combinación de los alimentos “K” y “W”.


1.- Se deben consumir por lo menos 40 unidades de Vitamina A

2.- Se deben consumir por lo menos 50 unidades de Vitamina B

3.- Se deben consumir por lo menos 49 unidades de Vitamina D

VARIABLES (ESTRUCTURA MATEMÁTICA)

Determinar el número de onzas a elaborar de cada platillo esto define dos variables de decisión:




X1 = Cantidad de onzas del alimento K

X2 = Cantidad de onzas del alimento W

33

COEFICIENTE DE LA FUNCION OBJETIVO

La función objetivo se expresa en dólares y nos muestra el desembolso en que se incurre por concepto de la compra de dos alimentos, por tanto, la función objetivo deberá ser una minimización con coeficientes:

C1 = $0.50 Costo por onza de Alimento “K”

C2 = $0.80 Costo por onza de Alimento “W”

Función Objetivo es: Min Z = C1X1 + C2X2

Min Z = 0.5X1 + 0.8X2


ALIMENTOS VITAMINAS

ALIMENTO K X1

ALIMENTO W X2

REQUERIMIENTOS

VITAMINA A VITAMINA B VITAMINA D Función Objetivo: Min Z

4 10 7

0.50

10 5 7

0.80

40 50 49


ALIMENTOS VITAMINAS

ALIMENTO K X1

ALIMENTO W X2

REQUERIMIENTOS

VITAMINA A VITAMINA B VITAMINA D Función Objetivo: Min Z

4 X1

10 X17 X1

0.50 X1

10 X2

5 X27 X2

0.80 X2

≥ 40 ≥ 50 ≥ 49

VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA





Función Objetivo: Min Z = 0.5X1 + 0.8X2

Sujeto a:

4X1 + 10X2 > 40 ………………..I

10X1 + 5X2 > 50 ………………..II

7X1 + 7X2 > 49 ………………..III

X1 > 0, X2 > 0

Restricciones



Para restricción I

)4,0(4 0

.....40104

2

1

21

AXXSi

IXX

==

=+

)0,10(

100

1

2 BXXSi

⎭⎬⎫

==

Para restricción II

)10,0(10 0

.....50510

2

1

21

CXXSi

IIXX

==

=+

)0,5(

50

1

2 DXXSi

⎭⎬⎫

==




Para restricción III

)7,0(7 0

.....4977

2

1

21

EXXSi

IIIXX

==

=+

)0,7(

70

1

2 FXXSi

⎭⎬⎫

==


00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

0 2 4 6 8 10

X1

X 2

B (10, 0)


A (0, 4)

12


0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

X1

X2


D (5, 0)

C (0, 10)





012345678

0 2 4 6

X1

X 2

F (7, 0)


E (0, 7)

8


36


0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

X1

X2

S

R

C (0, 10)


B (10, 0)

IE (0, 7)

A (0, 4)

IIIII

D (5, 0) F (7, 0)






CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación II con Ecuación III)

4 X 140/35 X 140 35X

___________________49070X70X -35035X70X-

___________________4977)10( 50510)7(

2

2

2

21

21

21

21

===

=+=−

=+=+−

IIIXXIIXX

L

L

310/3010205010

50201050)4(510

.......50510:,

4

1

1

1

1

1

21

2

==

−==+=+=+

=

XXX

XX

IIXXtenemosIIEcuaciónen

XdoSustituyen

R (3, 4)

S (5, 2)

Las coordenadas son R (3, 4) B (10, 0)


2 X

42-84/ X 84 42X

___________________19628X28X -28070X-28X-

___________________4977)4( 40104)7(

2

2

2

21

21

21

21

=−=−=−

=+=

=+=+−

IIIXXIXX

L

L

54/2020404

4020440)2(104

.......40104:,

2

1

1

1

1

1

21

2

==

−==+=+=+

=

XXX

XX

IXXtenemosIEcuaciónen

XdoSustituyen

Las coordenadas son S (5, 2)




38


0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

X1

X 2C (0, 10)

ESPACIO DE SOLUCIONESE (0, 7)

A (0, 4)

R (3, 4)

S (5, 2)

B (10, 0)

IIIIII

D (5, 0) F (7, 0)

Los cruces de las restricciones entre si y con los ejes cartesianos dentro del Espacio de Soluciones, constituyen los puntos de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cual de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS

Punto C (0, 10) Punto R (3, 4) Implica: ninguna onza de alimento “K” y 10 onzas de alimento “W”

Implica: 3 onzas de alimento “K” y 4 onzas de alimento “W”

todedólaresZ

ZZ

XXZMin

cos00.8$80

)10(8.0)0(5.08.05.0 21

=+=

+=+=

todedólaresZ

ZZ

XXZMin

cos70.4$

2.35.1)4(8.0)3(5.0

8.05.0 21

=+=

+=+=

Punto S (5, 2) Punto B (10, 0) Implica: 5 onzas de alimento “K” y 2 onzas de alimento “W”

Implica: 10 onzas de alimento “K” y ninguna de alimento “W”

todedólaresZ

ZZ

XXZMin

cos10.4$

6.15.2)2(8.0)5(5.0

8.05.0 21

=+=

+=+=

<<<OPTIMO>>>

todedólaresZ

ZZ

XXZMin

cos00.5$05

)0(8.0)10(5.08.05.0 21

=+=

+=+=




Se obtiene el menor costo de $ 4.10, utilizando 5 onzas del alimento “K” y 2 onzas del alimento “W”



)5.7,0(

5.7 0

68.05.0

2

1

21

G

XXSi

XXZMin

==

=+=

)0,12(

12 0

1

2

H

XXSi==



0 2 4 6 8

10 12

0 2 4 6 8 10 12 14 X1

X 2

I

II

III

Z

C (0, 10)

E (0, 7)

F (7, 0)

A (0, 4)

D (5, 0)

R (3, 4)

S (5, 2)

B (10, 0)

Ahora desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta abajo”, porque se trata de una minimización, hasta el mínimo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, es decir, hasta el punto más cercano al origen pero dentro del espacio de soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se el cruza la Ecuación I con la Ecuación III, es decir, en el punto ¨S¨ de coordenadas (5, 2) como se ilustra a continuación:




40

Es otra manera de determinar gráficamente el punto óptimo (mínimo), donde se obtienen los menores costos y que por supuesto, coincide con lo calculado por prueba y error

Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se determina un costo de:

todedólaresZZZ

XXZMin

cos10.4$6.15.2

)2(8.0)5(5.08.05.0 21

=+=

+=+=

Esto significa emplear 5 onzas del alimento “K” y 2 onzas del alimento “W”, para cumplir con los requerimientos al menor costo, como antes ya habíamos visto.


6 8

10 12

12 14

I

II

0 2 4

0 2 4 6 8 10

X1

X 2 III

Z

OPTIMO

S (5, 2)

Z




PROBLEMA Núm. 5

En el Restaurante del Hotel “Xalpa” de Ciudad Victoria, se acostumbra preparar la carne para albondigón con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo, ambas de importación.

La carne molida de res contiene 20% de grasa, 12% de proteína y le cuesta al restaurante $8.00 por libra

La carne molida de cerdo contiene 32% de grasa, y 20% de proteína y le cuesta al restaurante $6.00 por libra.

¿Que cantidad de cada tipo de carne debe usar el restaurante en cada libra de albondigón; si se desea minimizar el costo, manteniendo el contenido de grasa en no mas del 25% y manteniendo el contenido de proteína en no menos del 15%?



OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuanta carne molida de res y cuanta carne molida de cerdo deben utilizarse en cada libra de albondigón para obtener el menor costo posible, por tanto se trata de una minimización


1.- El contenido de grasa debe ser cuando mas del 25%

2.- El contenido de proteínas debe ser cuando menos del 15%

3.- La suma de los dos tipos de carne molida de res y de cerdo deben dar una libra de albondigón



X1 = Cantidad de carne molida de res VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMAX2 = Cantidad de carne molida de cerdo





La función objetivo se expresa en dólares y representa minimizar los costos de cada tipo de carne molida, por tanto se establece que:

C1 = $8 = costo por libra de carne molida de res

C2 = $6 = costo por libra de carne molida de cerdo


Max Z = 8X1 + 6X2


TIPO DE CARNE CONTENIDO

Carne Molida de Res

X1

Carne Molida de Cerdo

X2

Restricciones

GRASA PROTEINA COMBINACION Función Objetivo: Min Z

20 12 X1$8

32 20 X2$6

25 15 1


TIPO DE CARNE CONTENIDO

Carne Molida de Res

X1

Carne Molida de Cerdo

X2

Restricciones

GRASA PROTEINA COMBINACION Función Objetivo: Min Z

20 X112 X1

X1$8 X1

32 X220 X2

X2$6 X2

≤ 25 ≥ 15 = 1





Función Objetivo: Min Z = 8X1 + 6X2

Sujeto a:

Restricciones

0,0

................1........152012.......253220

21

21

21

21

≥≥

=+≥+≤+

XX

IIIXXIIXXIXX




)78.0,0(

78.032250

..........253220

2

1

21

AX

XSiIXX

⎪⎭

⎪⎬⎫

==

=

=+

)0,25.1(

25.120250

1

2

BX

XSi

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=


)75.0,0(75.0

20150

...........152012

2

1

21

CX

XSiIIXX

⎪⎭

⎪⎬⎫

==

=

=+

)0,25.1(

25.112150

1

2

DX

XSi

⎪⎭

⎪⎬⎫

==

=


)1,0(10

..............1

2

1

21

EXXSi

IIIXX

⎭⎬⎫

==

=+

)0,1(

10

1

2 FXXSi

⎭⎬⎫

==






00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

X1

X 2

A (0, 0.78)


B (1.25, 0)


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

X1

X 2

D (1.25, 0)

C (0, 0.75) ESPACIO DE SOLUCIONES


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

X1

X 2

E (0, 1)

F (1, 0)

EL ESPACIO DE SOLUCIONES DE LA RESTRICCION III ESTA SOBRE LA LINEA RECTA




COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL

AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS:


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5

X1

X 2

I II III

B,D (1.25, 0)

F (1, 0)

S

R

E (0, 1)

C (0, 0.75)

A (0, 0.78)

En este caso, el espacio de soluciones simultáneas, es decir, donde convergen a su vez todos los espacios de soluciones de las tres restricciones, esta sobre la línea recta que representa a la Restricción III, entre la pequeña franja al centro, en el segmento donde se cruza con la Restricción I por un lado y donde se cruza con la Restricción II,


Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas como se muestra a continuación:




CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación III con Ecuación I)

4167.0

125

512202020

253220.........1)20(

........253220

2

2

2

21

21

21

21

=

=

=−=−−

=+=+−=+

X

X

XXXXX

IIIXXIXX

Sustituyendo X2 = 0.4167 en la Ecuación I, se tiene:

5833.0

20667.11

667.1120334.132520

25334.132025)4167.0(3220253220

1

1

1

1

1

1

21

=

=

=−=

=+=+=+

X

X

XX

XX

IXX KK

Las coordenadas del punto “R” son: (0.5833, 0.4167)

CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación III con Ecuación II)

375.08338

121212152012.....1)12(.....152012

2

2

2

21

21

21

21

=

=

=−=−−

=+=+−=+

X

X

XXXXX

IIIXXIIXX

Sustituyendo X2 = 0.38 en Ecuación III, se tiene:

625.038.01

138.0.........1

1

1

1

21

=−=

=+=+

XX

XIIIXX

Las coordenadas del punto “S” son: (0.625, 0.375)





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5

X1

X 2

I II III

S (0.625, 0.375)

R (0.58, 0.42)

F (1, 0)

B,D (1.25, 0)

E (0, 1)

C (0, 0.75)

A (0, 0.78)

Aquí las posibles soluciones están solo en dos opciones: el cruce entre la Restricción III con la I, representada por “R” ó el cruce entre la Restricción III con la II, representada por “S”. SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS

Punto R (0.5833, 0.4167)

17.7$5.26664.4

)4167.0(6)5833.0(868 21

=+=+=

+=

ZZZ

XXZMin

<<<OPTIMO>>>

Punto S (0.625, 0.375)

25.7$28.296.4

)375.0(6)625.0(868 21

=+=

+=+=

ZZZ

XXZMin

Se concluye que el punto “R” es donde se obtienen las menores costos, debiendo incorporarse 0.58 libras de carne molida de res y 0.42 libras de carne molida de cerdo, para de esa manera obtener el costo más bajo, es decir, $7.17 dólares para elaborar una libra de albondigón.






Min Z = 8X1 + 6X2 = 6

Si X1 = 0 Si X2 = 0

X2 = 1 X1 = 0.75

G (0, 1) H (0.75, 0)

Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas de color rojo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5

X1

X 2

I II III

Z


E (0, 1) A (0, 0.78)

C (0, 0.75)

R (0.58, 0.42)

S (0.62, 0.38)

B,D (1.25, 0)

Z F (1, 0)

Ahora desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta abajo” por tratarse de una minimización, hasta el mínimo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se el cruza la Ecuación III con la Ecuación I, es decir, en el punto ¨R¨ de coordenadas (0.58, 0.42) como se ilustra a continuación:




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5

X1

X 2

I II III

Z


Z

OPTIMOR (0.58, 0.42)


Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se obtiene el menor costo:

17.7$5.26664.4

)4167.0(6)5833.0(868 21

=+=+=

+=

ZZZ

XXZMin

Esto significa que debe componerse el albondigón de 0.58 libras de carne molida de res y 0.42 libras de carne molida de cerdo, para de esa manera obtener el costo más bajo, es decir, $7.17 dólares.




3.4 Casos especiales

Nos vamos a encontrar con problemas que son especiales, por diversas razones, los cuales podrían tener un error en el planteamiento o efectivamente estar en alguna de las situaciones descritas a continuación.

Soluciones múltiples: Cuando la Función Objetivo es paralela a una restricción, como se ilustra en la siguiente grafica:

-2-10123456789

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X2

X1

Función Objetivo

Problemas sin solución: ocurren cuando los espacios de solución de cada una de las restricciones no se intersectan entre sí:

0123456789

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X2

X1

Espacio de soluciones

Espacio de soluciones




Soluciones no acotadas: Se presenta esta situación cuando en un problema no se delimita apropiadamente cada restricción, como se ilustra a continuación:

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3

X1

X2

4

AREA DE SOLUCIONES FACTIBLES

(NO ACOTADA)




3.5 La dualidad y los precios sombra (análisis preliminar)

LA SIMETRÍA EN LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Todo problema de programación lineal esta asociado con un problema complementario llamado dual. Para distinguir entre estos dos problemas, al problema original se le denomina primal. Si el problema primal trata de maximizar, entonces el problema dual será minimizar y viceversa.

Veamos un ejemplo para comprobar como se formula, resuelve e interpreta el dual.

CASO 1

Un fabricante tiene dos recursos disponibles: R1 y R2.

Estos recursos pueden usarse para producir dos productos diferentes “A” y “B”, de acuerdo con la siguiente regla:

Para producir “A” se emplean 1 unidad de R1 y 4 unidades de R2; para producir “B” se emplean 1 unidad de R1 y 2 unidades de R2.

El fabricante cuenta con 3 unidades de R1 y 8 unidades de R2.

Recibe una ganancia por unidad de “A” de $3.50 y por unidad de “B” de $2.50.

¿Cuantas unidades de “A” y “B” debe producir para maximizar sus ganancias?

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO PRIMAL

Apoyándonos en una tabla de doble entrada se tiene:

PRODUCTO RECURSO

Producto “A”

X1

Producto “B”

X2

RESTRICCIONES

R1

R2

Función Objetivo: Max Z

1 4

$3.50

1 2

$2.50

3 8




Re-escribiendo la tabla considerando las interrelaciones existentes, tenemos:

PRODUCTO RECURSO

Producto “A”

X1

Producto “B”

X2

RESTRICCIONES

R1

R2


X1

4 X1

$3.50 X1

X2

2 X2

$2.50 X2

≤3 ≤8

55

El Modelo Matemático de Programación Lineal quedará dado por

Max Z = 3.5X1 +2.5X2 . . . . . . . . . . . PRIMAL

Sujeto a:

X1 + X2 ≤ 3............I

4X1 + 2X2 ≤ 8............II

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL PRIMAL

A (0, 3)

S (1, 2)

D (2, 0)




DUAL

La simetría de los problemas de programación lineal puede ilustrarse colocando los coeficientes del modelo en una matriz o tabla de doble entrada como se hizo al principio del problema.

La tabla tiene renglones y columnas que pueden invertirse. Rotamos la tabla dándole vuelta 900 grados en sentido opuesto a las manecillas del reloj. Los resultados son:

DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS

3 8

B A

1 1 R1

2 4 R2

2.5 3.5

Reescribiendo la tabla tenemos:

3r1 8r2

1r11r1

2r24r2

≥ 2.5 ≥ 3.5

Esto representa el DUAL, donde los coeficientes de la Función Objetivo están ahora arriba. Puede re-escribirse en forma directa el modelo general para este problema. Solo se necesitan nuevas letras para las variables. Entonces el problema puede quedar de la siguiente manera:

Min Z = 3r1 + 8r2 . . . . . . . . . . . DUAL

Sujeto a:

r1 +2r2 ≥ 2.5....................I

r1 +4r2 ≥ 3.5……………..II

r1 ≥ 0 , r2 ≥ 0

Nótese que las restricciones son ahora del tipo ≥ y la Función Objetivo es para minimizar, lo contrario que plantea el problema inicial (el PRIMAL).




La minimización nos lleva al siguiente resultado:

GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL DUAL

NOTESE Que El resultado nos muestra que el valor “Z” de la Maximización del Primal y el valor “Z” de la Minimización del Dual es el mismo, 8.5, este valor recibe el nombre de Precio Sombra, en tanto que los coeficientes resultantes en la Función Objetivo del Dual reciben el nombre de Costos de Oportunidad

INTERPRETACION DEL PROBLEMA DUAL

El problema dual puede entenderse reinterpretando el problema original.

Supóngase que el fabricante prefiere vender directamente al mercado los dos recursos R1 y R2 en lugar de usarlos para fabricar los productos “A” y “B”.

Los recursos tienen un valor, puesto que pueden usarse para crear productos que luego se comercializarán. Pero, aun cuando se conoce el valor unitario de los productos, no se conoce el valor unitario de los recursos. Esto es lo que se quiere encontrar.




¿Cuánto debe cobrarse por los recursos si tuviesen que venderse directamente?

Por supuesto, en un mercado libre los recursos deben venderse en la cantidad más alta que el mercado acepte. Sin embargo, existe un precio mínimo abajo del cual le conviene mas al fabricante usar los recursos para los productos “A” y “B” que venderlos directamente.

Para analizar esta situación consideremos L1 y L2 como los precios unitarios de los recursos r1 y r2, respectivamente. La cantidad total recibida de la venta directa de los dos recursos seria L1r1 + L2r2. Como lo que se busca es determinar el precio mínimo que se debe cobrar por estos recursos, la Función Objetivo es:

Min Z = L1r1 + L2r2

Min Z = 3r1 + 8r2

Como se menciono antes, seria un error vender los recursos por menos de lo que puede obtenerse al usarlos en la fabricación de los productos “A” y “B”. El precio de cada producto proporciona un límite inferior o una restricción sobre el precio del recurso.

El resultado de la minimización en el Dual, es decir, 8.50 es llamado Precio Sombra y es el mismo resultado que en el Primal.

Vemos entonces, que r1=1.5 llamado Costo de Oportunidad de r1, porque significa que el fabricante puede aumentar su ganancia total en $1.50 si dispone de una Unidad Adicional de r1, es decir, si de 3 pasara a 4, lo cual a su vez, implicaría que Z sería igual a $10 en vez de los $8.50 originales (8.50 + 1.50), si permanece invariable r2

También significa que $1.50 es el precio máximo que debe pagar el fabricante por una Unidad Adicional del Recurso r1

r2=0.50, significa el Costo de Oportunidad de r2, que aumentaría la ganancia Z, en 0.50 si dispone de una Unidad Adicional de r2, es decir, si de 8 pasara a 9, implicaría que Z sería igual a $9.00 en vez de los $8.50 originales (8.50 + 0.50), si permanece invariable r1.




CASO 2 Un fabricante tiene dos recursos disponibles: Q1 y Q2.

Estos recursos pueden usarse para producir dos productos diferentes “M” y “N”, de acuerdo con la siguiente regla:

Para producir “M” se emplean 7 unidad de Q1 y 10 unidades de Q2; para producir “N” se emplean 7 unidad de Q1 y 5 unidades de Q2.

El fabricante cuenta con 49 unidades de Q1 y 50 unidades de Q2.

Recibe una ganancia por unidad de “M” de $7 y por unidad de “N” de $10.

¿Cuantas unidades de “M” y “N” debe producir para maximizar sus ganancias?

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO PRIMAL

Apoyándonos en una tabla de doble entrada se tiene:

PRODUCTO

RECURSO

Producto “M”

X1

Producto “N”

X2

RESTRICCIONES

Q1

Q2


7

10

$7

7

5

$10

49

50

Re-escribiendo la tabla considerando las interrelaciones existentes, tenemos:

PRODUCTO RECURSO

Producto “M”

X1

Producto “N”

X2

RESTRICCIONES

Q1

Q2


7 X1

10 X1

$7 X1

7 X2

5 X2

$10 X2

≤ 49 ≤ 50




El Modelo Matemático de Programación Lineal quedará dado por

Max ………… PRIMAL21 107 XXZ = +

Sujeto a:

60

0,0

.....50510.....4977

21

21

21

≥≥

≤+≤+

X

IIXXIXX

X

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO:

GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL PRIMAL




DUAL

DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS

49 50

N M

7 7 R1

5 10 R2

10 7

49r1 50r2

7r1 7r1

5r210r2

≥ 10 ≥ 7

Min Z = 49r1 + 50r2 . . . . . . . . . . . DUAL

Sujeto a:

7r1 +5r2 ≥ 10....................I

7r1 +10r2 ≥ 7……………..II

r1 ≥ 0 , r2 ≥ 0

Nótese que las restricciones son ahora del tipo ≥ y la Función Objetivo trata de minimizar.

La minimización nos lleva al siguiente resultado:

GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL DUAL




INTERPRETACION ECONOMICA DEL PROBLEMA DUAL

El resultado de la minimización en el Dual, es decir 70, es llamado Precio Sombra y es el mismo resultado que en el Primal.

Vemos entonces, que r1=1.43 llamado Costo de Oportunidad de r1, significa que el fabricante puede aumentar su ganancia total en $1.43 si dispone de una Unidad Adicional de r1, es decir, si de 49 pasara a 50, esto implicaría que Min Z sería $71.43 en vez de los $70 originales (porque 70 + 1.43 = 71.43), considerando que permanece invariable r2. También significa que $1.43 es el precio máximo que debe pagar el fabricante por una Unidad Adicional del Recurso r1

r2=0, es llamado el Costo de Oportunidad de r2, significa por ser cero, que no impacta en la ganancia Min Z




Limitaciones de Método Gráfico

Para dos variables es posible visualizar en un gráfico la solución del óptimo y

realizar los análisis de sensibilidad tanto a restricciones como a los coeficientes de

la Función Objetivo, sin embargo, para el Método Dual, si el numero de variables

se incrementa al rotar la tabla de doble entrada, ya no será posible visualizar los

resultados gráficamente, por tales limitaciones, solo es un paso ilustrativo para

entender y comprobar el METODO SIMPLEX, que veremos mas adelante, en

Módulo.




3.6 Problemas propuestos

A. Una empresa produce dos artículos turísticos promocionales “A” y “B” para Hoteles. La elaboración de una unidad del articulo A se lleva $20.00 de mano de obra y la de una unidad del articulo B se lleva $10.00 de mano de obra. De materia prima se utilizan $10.00 por unidad de A y $30.00 por unidad de B. El desgaste del equipo se supone proporcional a la producción y es $5.00 por cada unidad de A y de $1.00 por unidad de B. La utilidad por unidad de artículo es de $8.00 para A y $5.00 para B. Si solamente se cuenta con $100,000 para salario, $180,000 para materia prima y no se quiere que el desgaste de los equipos supere los $40,000, ¿Cuál es la cantidad que se debe producir de cada artículo para obtener las utilidades más altas posibles?

B. Un fabricante está tratando decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas especiales para restaurantes en costas a base de bambú. Se cuentan con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos 2 mesas por mes ¿Cuántas mesas y cuantas sillas deberá producir para obtener las mayores utilidades?

C. Un dietista en un restaurante esta tratando de seleccionar la combinación más barata de dos tipos de alimentos “A” y “B”, que deben cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas para turistas adultos mayores. Los requerimientos vitamínicos diarios son de al menos 40 unidades de vitamina “W”, 50 unidades de vitamina “X” y 49 unidades de vitamina “Y”. Cada onza del alimento “A” proporciona 4 unidades de vitamina “W”, 10 unidades de vitamina “X” y 7 unidades de vitamina “Y”, Cada onza del alimento “B” proporciona 10 unidades de vitamina “W”, 5 unidades de “X” y 7 unidades de “Y”. El alimento “A” cuesta 0.50 centavos de dólar la onza y el alimento “B” cuesta 0.80 centavos de dólar la onza. ¿Cuantas onzas de cada alimento deben utilizarse para satisfacer las necesidades vitamínicas diarias con el menor desembolso monetario?

D. Una empresa dedicada a la limpieza en Hoteles, prepara sus propias soluciones mezclando dos ingredientes importados: “A” y “B”: Esto lo hace para obtener una solución combinada apropiada de fosfatos y cloruro. El ingrediente “A” tiene 5% de fosfato y 2% de cloruro y cuesta $0.25 centavos la onza. El ingrediente “B” tiene 7% de fosfato y 1% de cloruro y cuesta $0.20 centavos la onza. La empresa necesita que la mezcla final tenga no mas del 6% de fosfatos y no mas del 1.5% de cloruro. ¿Cuántas onzas de cada ingrediente debe mezclar para formar la solución apropiada al menor costo?

E. Una fábrica de automóviles y camiones consta de los departamentos que a continuación se enumeran:

1.- Estampado de planchas metálicas 2.- Armado de motores 3.- Montaje de automóviles 4.- Montaje de camiones




El Departamento 1 puede estampar, por mes las planchas necesarias para 25,000 automóviles ó 35,000 camiones ó las correspondientes combinaciones de autos y camiones. El Departamento 2 puede armar por mes 33,000 motores de autos ó 16,000 motores de camión ó sus correspondientes combinaciones de autos y camiones. El Departamento 3 puede montar y terminar 22,500 automóviles y el Departamento 4 puede montar y terminar 15,000 camiones. Si cada automóvil deja una utilidad de $300.00 dólares y cada camión de $250.00 dólares ¿Qué cantidades de automóviles y camiones deben producirse para obtener las mayores utilidades?

F. La compañía “Pegasus” de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta. La compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga: carga frágil y carga normal. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil, sin embargo, para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía a acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada, mientras que la carga normal debe llevarse en una cabina normal, no presurizada. La cabina presurizada no puede llevar más de 10 toneladas de carga y la cabina normal 20 toneladas. El avión tiene una restricción de peso que le impide llevar más de 28 toneladas de carga. Para mantener el equilibrio de peso la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual que 2/3 de la cabina principal, mas una tonelada. La compañía recibe $1,000 por tonelada de cualquiera de los dos tipos de carga que transporta ¿cuantas toneladas de cada tipo de carga debe transportar el avión para obtener las mayores utilidades y mantener el equilibrio del avión?

G. Desde hace muchos años la agencia de viajes “Tur Mundo” se ha especializado en elaborar 2 tipos de paquetes turísticos: 1) “Acapulco de ensueño” y 2) “Exótico Puerto Vallarta”. Cada paquete para Acapulco utiliza 80 dólares por concepto de servicios hoteleros, 200 dólares para transportación y 50 dólares para alimentos e impuestos. Cada paquete a Puerto Vallarta utiliza 70 dólares por servicios hoteleros, 100 dólares para transportación y 60 dólares para alimentos e impuestos. El beneficio por unidad de paquete es de 40 dólares para Acapulco y de 35 dólares para puerto Vallarta. El departamento de comercialización y ventas pronostica que en la próxima temporada vacacional pueden venderse cuando mucho 450 paquetes para Acapulco y no mas de 350 paquetes a puerto Vallarta. Si la agencia tiene una línea de crédito de únicamente 56,000 dólares para servicios hoteleros, solo 100,000 dólares para transportación y 30,000 dólares para alimentos e impuestos. ¿Cuántos paquetes de cada tipo debe armar y vender para obtener las mayores utilidades?

H. Una empresa produce colorantes para interiores y exteriores especiales para pinturas de hoteles en lugares húmedos, que se distribuyen al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos “A” y “B”, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de “A” es de 6 toneladas mensuales, la de “B” es de 8 toneladas por mes. Los requisitos mensuales de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resume como sigue:

Colorantes para Pintura: DisponibilidadEXTERIOR INTERIOR Máxima (ton.)

Materia Prima A 1 2 6Materia Prima B 2 1 8

Un estudio de mercado determinó que la demanda mensual de pintura para interiores no puede ser mayor que la de pinturas para exteriores en más de una tonelada. El mismo estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a 2 toneladas por mes. El precio en miles de pesos, al mayoreo por tonelada es de $3 para la




pintura de exteriores y $2 para la pintura de interiores. ¿Cuanta pintura para exteriores e interiores debe producir la empresa mensualmente para maximizar su ingreso?



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