Programación No LinealJavier Fernando Díaz Díaz, John William Contreras Valero

Optimización Lineal

Bogotá D.C.

Resumen- El presente artículo busca ofrecer al lector una síntesis de lo que es la Programación No Lineal y de su aporte en la investigación de operaciones para que el lector tenga la posibilidad de reconocer que tipo de problemas tanto de ingeniería como de otras áreas de la ciencia puede solucionar con estos tipos de programación, mediante el uso de algoritmos computacionales que encuentre soluciones óptimas que permitan hallar soluciones rápidas, concretas y factibles.

Palabras Clave- algoritmo genético, optimización multicriterio, optimización multiobjetivo,

I. OBJETIVOS

Identificar las recientes tendencias en aplicaciones de la Programación No Lineal para determinar su grado de participación en la Investigación de operaciones.

Reconocer los diferentes aportes de la Programación No lineal en diferentes áreas de la ciencia especialmente en las Ingenierías.

Determinar el grado de aplicación y los tipos de problemas que puede ayudar a resolver, contemplando que la era moderna con la aplicación de nuevos procesos tecnológicos y operativos ofrece un sinnúmero de posibilidades en la búsqueda de las mejores soluciones o alternativas a problemas de diferente índole.

II. INTRODUCCIÓN

La programación no lineal es una parte de la investigación de operaciones al igual que la programación lineal y tiene como finalidad encontrar los elementos para hallar los puntos óptimos de una función objetivo. En este caso, tanto la función objetivo como las restricciones son no lineales y la estructura del problema puede llegar a ser muy variada, según las funciones que en él intervengan. Es así como se presenta un problema de programación no lineal, cuando tanto la función objetivo que debe optimizarse, como las

restricciones del problema, o ambas, tienen forma de ecuaciones diferenciales no lineales, es decir, corresponden a ecuaciones cuyas variables tienen un exponente mayor que 1.

Los problemas de programación no lineal, también son llamados curvilíneos, ya que el área que delimita las soluciones factibles en un gráfico se presenta en forma de curva. La función objetivo en la programación no lineal, puede ser cóncavo o convexo. Es cóncavo cuando se trata de maximizar utilidades, contribuciones, etc. Es convexo cuando trata de minimizar recursos o costos.

III. MARCO TEÓRICO

La ingeniería industrial en su quehacer empresarial utiliza modelos matemáticos de investigación de operaciones para tomar decisiones gerenciales con el fin de hacer uso eficiente de los capitales y con ello mejorar la rentabilidad de los proyectos y la optimización de todos los recursos de la organización. El uso de la investigación de operaciones en cualquier campo de las ingenierías y específicamente en la industrial es el desarrollo de modelos de optimización en programación no lineal que permiten resolver problemas concretos con modelos matemáticos que buscan seleccionar la mejor alternativa en relación con otras posibles para tomar las decisiones adecuadas al problema planteado.

De esta manera, la programación no lineal forma parte de la programación matemática y es una técnica de optimización para tratar problemas en campos tales como el diseño de ingeniería, el análisis de regresión, el control de inventario, algoritmos evolutivos y en la exploración geofísica, de modo que, proporciona información fundamental para el análisis geométrico, el estudio de componentes convexos, funcionales y la aplicación de problemas especialmente estructurados, tales como la programación cuadrática.

Lo anterior indica que la programación no lineal requiere de esfuerzos adicionales para tratar de resolver los problemas que allí se plantean, pues su diseño exige conocimiento en modelos matemáticos que permitan hallar soluciones no

siempre dentro la factibilidad, estrechando el valor óptimo de las variables presentes que se tienen en cuenta para la distribución de probabilidad conjunta de los parámetros.

IV. NUEVAS TENDENCIAS

Las restricciones en información suelen jugar un papel importante a la hora de entender y comprender mejor la genética, ya que es muy difícil contar con datos exactos que aproximen la interpretación del comportamiento de los individuos frente a una situación. Es allí dónde la optimización con objetivos múltiples extiende la teoría de la optimización permitiendo que múltiples objetivos sean optimados simultáneamente.

Algorítmos genéticos

Los algoritmos genéticos son técnicas heurísticas basadas en métodos denominados evolutivos por emular la evolución natural, en el cual se diseña un algoritmo evolutivo para resolver un problema de optimización multiobjetivo expresado como un modelo de Programación No Lineal por Metas con el objeto de mostrar su desempeño.

Los algoritmos genéticos son modelos computacionales de la evolución humana y son útiles tanto como métodos de búsqueda para la resolución de problemas como para modelar sistemas evolutivos. Pertenecen a la clase de métodos probabilísticos independientes del problema que pueden manejar cualquier clase de funciones objetivo y de restricciones. Debido a su naturaleza evolutiva los algoritmos genéticos realizan búsquedas robustas y multidireccionales en espacios complejos mediante el mantenimiento de una población de soluciones potenciales. De tal manera que ofrecen habilidad para manejar complejos problemas reales de optimización multiobjetivo formulados como modelos de programación no lineal por metas.

Los métodos tradicionales requieren, previo al uso de cualquier paquete de programación lineal, la conversión del modelo no lineal a un modelo lineal; este paso requiere invertir mayor tiempo, se obtiene una aproximación del modelo real y en algunas ocasiones no puede realizarse si alguna de las funciones objetivo no puede ser diferenciable. Los resultados obtenidos frente a esta nueva aplicación han mostrado en general un buen desempeño del algoritmo proporcionando resultados acordes con el dominio del problema. El algoritmo genético encuentra buenas soluciones, en un tiempo de computación aceptable, lo que pudiese ser considerado como una demostración de la validez de este enfoque para la resolución de este tipo de problemas.

Resilent backpropagation (RPROP),

Otra tendencia en la aplicación para la optimización de funciones no lineales con restricciones se llama Resilent

backpropagation (RPROP), es una técnica de optimización basada en gradientes que ha sido usada para el entrenamiento de redes neuronales artificiales, la cual usa una velocidad por cada parámetro en el modelo. Es una técnica capaz de resolver problemas de optimización multivariada sin restricciones ya que el algoritmo es capaz de encontrar soluciones óptimas y en algunos casos hallar puntos óptimos de casos anteriormente resueltos mediante otros métodos.

En esencia, este método busca encontrar los puntos de mínima local, regiones de gradiente que se hallan dentro del punto óptimo de una región factible donde otros métodos como el de Newton-Raphson y de descenso acelerado presentan dificultades para hallar dicha solución, pues estas técnicas clásicas de propagación son sólo usadas para determinar el sentido en que deben ser corregidos los pesos de la red pero no las magnitudes de los ajustes. Los algoritmos basados en backpropagation modifican los valores de los parámetros proporcionalmente al gradiente de la función de error, de tal manera que en regiones donde el gradiente tiende a ser plano el algoritmo avanza lentamente; esta modificación se hace a través de un único parámetro que controla la velocidad de avance del algoritmo. RPROP utiliza parámetros independientes que controlan la velocidad con que se recorre la función objetivo para cada uno de los pesos de la red neuronal.

V. CONCLUSIONES

La optimización matemática en programación no lineal tiene un amplio uso para resolver no solo problemas organizacionales reales sino que también la genética y la ciencia neuronal aplican estos modelos para hallar soluciones a redes poblacionales que aplican en el modelamiento y entendimiento del comportamiento de los individuos.

Mediante la aplicación de modelos en la programación no lineal se puede hallar diversas soluciones en campos como la economía, la logística, la contabilidad, el transporte, la medicina, la biología, microbiología, etc., ya que la aplicación de estas nuevas tendencias en estas disciplinas permite hallar soluciones más óptimas y factibles a la hora de tomar decisiones.

La programación no lineal permite evaluar diferentes soluciones escogiendo siempre la más óptima realizando variaciones en los parámetros del modelo, lo cual permite incluir el dinamismo en el que se desarrollan las tomas de decisión.

VI. REFERENCIAS

Guédez Fernández, Carmen. Programación Lineal e Ingeniería Industrial: una Aproximación al Estado del Arte Ingeniería Industrial. Actualidad y Nuevas Tendencias en línea 2011, (Enero-Junio). Fecha de consulta: 23 de noviembre de 2014.

Loyo de Sardi, Jaquelin. Optimización Multiobjetivo Evolutiva a través un modelo de programación no-lineal por metas Ingeniería Industrial. Actualidad y Nuevas Tendencias 2011, (Julio-Diciembre). Fecha de consulta: 23 de noviembre de 2014.

Villa, Fernán; Velásquez, Juan; Jaramillo, Patricia. (2009). Conrprop: un algoritmo para la optimización de funciones no lineales con restricciones. Revista Facultad de Ingeniería Universidad de Antioquia. Fecha de consulta: 29 de noviembre de 2014.

VII. OTRAS REFERENCIAS

http://www.aliatuniversidades.com.mx/bibliotecasdigitales/pdf/economico_administrativo/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones/Investigacion_de_operaciones_Parte_2.pdf

http://www.investigaciondeoperaciones.net/programacion_no_lineal.html

http://karenbandala.wordpress.com/unidad-iii/3-3-problemas-no-restringidos-programacion-no-lineal/