Programas Para Classpad

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Revista semestral gratuita de Matemáticas y Ciencia

Diciembre 2008

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www.aulamatematica.com

ISSN: 1988 - 379X AULA MATEMÁTICA DIGITAL

DP. - AS - 5119 - 2007

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Revista semestral gratuita de Matemáticas y Ciencia Diciembre 2008

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Editorial

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Concurso "Programemos con ClassPad" 5 Abel Martín

PRIMER PREMIO. Programas *.cpa

Inductor y Okumura-Hata para Classpad 6 Lluís Parcerisa Giné

PRIMER PREMIO. Programas *.vcp

EstArtic para Classpad 7-21 José Antonio Mayor Sánchez de la Campa

PRIMER PREMIO. Programas *.mcs

Cohortes, Anova1F, COMPETLV, PSIGNO, … 22-24 José Carlos Jiménez López

Numerofonía de Aschero: la escritura matemática

de la música 25-31 Sergio Aschero

El Problema de las Ocho Reinas 32-34 Ángel Aguirre Pérez

Iniciándose en la Programación con la ClassPad 35-40 Gualberto Soto Sivila

El arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigo-

nometría 41-44 Álvaro Valdés Menéndez

Trabajar los esfuerzos a los que se ve sometida

una viga con la ayuda de la calculadora gráfica 45-51 Rosana Álvarez García

Literatura Matemática 52 Marta Martín Sierra

XIV JAEM de Girona 53-56 Abel Martín y Marta Martín Sierra

PROYECTO: "Cine y TV" como recurso didáctico en

el Aula de Matemáticas 57-58 Abel Martín y Marta Martín Sierra

Los Simpson y las Matemáticas 59-65 Abel Martín y Marta Martín Sierra

Director

Abel Martín

Consejo de Redacción

Ángel Aguirre Pérez

Rosana Álvarez García

Marta Martín Sierra

Álvaro Valdés Menéndez

Natividad Díaz Ortolá

Web


www.mathsmovies.com

Diseño de la portada

Abel Martín

Maquetación

Abel Martín

ISSN: 1988-379X

Depósito Legal: AS-5119-2007

Edita: www.aulamatematica.com

Aula Matemática Digital no se identifica necesariamente con las

opiniones vertidas en las colaboraciones firmadas

Número 3 - Diciembre 2008

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EDITORIAL

Nuestra revista, Aula Matemática Digital, sigue su andadura, aunque con dificultades pues el Consejo de Redacción ha estado últimamen-te inmerso en tribunales de oposiciones, cursos de verano, inicio del curso académico, etc.

En este número vamos a continuar con la labor iniciada.

Tenemos que recalcar que es una revista que está buscando su sitio en el panorama matemático y, por determinadas razones, entre las que podemos citar en carácter altruista de la misma, sin ingresos publicitarios, sin precio por ejemplar, sin subvenciones, sólo con hacer un clic en la revista… nos vemos obligados a retomar su perio-dicidad, pasando a ser semestral, siempre y cuando el cuerpo y la ilusión de los que la hacemos lo permita.

Esperamos ir creciendo poco a poco. Hay temas que se van consoli-dando, como la "Literatura matemática", "Las matemáticas y el Cine" y numerosas cuestiones relacionadas con la metodología ClassPad, la enseñanza y, sobre todo, la programación, donde creo hay en estos momentos un vacío y un hueco a llenar.

También hemos reservado un apartado muy especial con los traba-jos de los ganadores y premiados en el I CONCURSO DE "PROGRAMACIÓN" que lleva por nombre "Programemos con CLASSPAD".

Nos reiteramos en nuestros objetivos de mantener actualizada la comunidad educativa respecto a la utilización de las nuevas tecnolo-gías en el aula, últimas noticias, novedades importantes, actualidad, Congresos y Jornadas, artículos con actividades diseñadas especial-mente con calculadoras, no sólo para el área de Matemáticas sino de otras disciplinas como Tecnología, Física, Química… para lo que con-taremos con expertos colaboradores, así como una sección para la publicación de los mejores trabajos presentados por los propios lec-tores, a los que intentaremos premiar de alguna manera.

Otro reto importante para el futuro será la formación del profesorado a través de cursos presenciales y cursos ONLINE.

Sí que hemos logrado poner en marcha los relacionados con el cine uy las matemáticas, pero el tiempo ha sido el elemento que nos ha impedido empezar con aquellos relacionados con las metodologías que utilizan calculadoras en el aula.

Pretendemos ser el escaparate del sitio www.aulamatematica.com dónde podréis colaborar activamente con nuestras inquietudes.

La temática queda completamente abierta a los colaboradores y lec-tores… no hay más que ver contenidos realmente novedosos para quien escribe, como la "Numerofonía de Aschero: la escritura matemática de la música ", un tema apasionante pero complejo de explicar en pocas palabras, por lo que intentaremos poner un anexo en versión digital.

Las próximas JAEM a celebrar en Girona también serán centro de nuestras exposiciones.

Estamos abiertos a todas las sugerencias que queráis dejarnos en el foro que abriremos a tal efecto o simplemente enviándonos un mail. En la Web www.aulamatematica.com nos encontraréis siempre que nos necesitéis.

Abel Martín

Editorial Editorial Editorial Editorial ---- Abel MartínAbel MartínAbel MartínAbel Martín


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CONCURSO: Programemos con "Classpad" Abel Martín, Profesor de Matemáticas

del I.E.S. “Pérez de Ayala”, de Oviedo. -------------------------

Después de muchas dificultades para sacar

el Concurso adelante debido a la gran calidad

de los trabajos presentados y la necesidad

de ampliar en lo posible el número de premia-

dos, reunido el Jurado del "I CONCURSO DE PROGRAMACIÓN: PROGRAMEMOS CON CLASSPAD", con carácter internacio-nal, bajo la presidencia de Abel Martín e in-

tegrado por Jordi Baldrich y Marta Martín

Sierra, ha acordado, tras las pertinentes de-

liberaciones, el siguiente fallo:

OTORGAR

El Premio a los mejores programas a

- Lluís Parcerisa Giné (Catalunya - España) (Programas *.cpa)

Estudiante de ingeniería de telecomunica-ciones y de ingeniería electrónica, por sus trabajos: "Inductor para Classpad y Okumura-Hata

para ClassPad"

- José Antonio Mayor Sánchez de la Campa (Cádiz - España)

(Programas *.vcp) Operador de Sistemas Informáticos, In-

geniero Técnico en Mecánica y Estudiante de último curso de Ingeniería Superior en Técnicas Energéticas, por su trabajo:

"EstArtic para Classpad"

- José Carlos Jiménez López (México)

(Programas *.mcs) Estudiante de Biología, Facultad de Cien-

cias-UNAM., por sus trabajos: Cohortes, Anova1F, COMPETLV, PSIGNO, WILCOXON, etc.

Este concurso pretendía estimular la parti-

cipación de los profesores y estudiantes, con

el objetivo de potenciar y favorecer el uso

de la calculadora como un recurso de gran

importancia, por su portabilidad, prestacio-

nes didácticas y herramienta auxiliar en Ba-

chillerato y Universidad.

Se valoró, sobre todo, su utilidad para las

diferentes carreras universitarias.

A continuación pasamos a desarrollar los trabajos premiados en las diferentes modali-dades.

Concurso "PrograConcurso "PrograConcurso "PrograConcurso "Programemos con ClassPad" memos con ClassPad" memos con ClassPad" memos con ClassPad" ---- OkumuraOkumuraOkumuraOkumura----Hata e InductorHata e InductorHata e InductorHata e Inductor


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CONCURSO: Programemos con "Classpad" PRIMER PREMIO. Programas *.cpa Inductor para Classpad Okumura-Hata para ClassPad

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Lluís Parcerisa Giné

Catalunya -España

Estudiante de ingeniería de telecomunica-

ciones y de ingeniería electrónica.

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Inductor para Classpad El programa calcula la inductancia de un in-

ductor en núcleo E, conociendo sus propieda-

des geométricas (longitudes, áreas), magné-

ticas (permitividad magnética relativa del

material) y el número de vueltas del cable.

Se puede cambiar la configuración geomé-

trica añadiendo gaps (separaciones entre los

núcleos de ferrita), clicando en las líneas dis-

continuas del dibujo.

El método para calcular la inductancia, a ba-

se del cálculo de las reluctancias del circuito

equivalente, se da en la asignatura de Aplica-

ciones Electrónicas 2 de la titulación de In-

geniería Superior Electrónica en la Universi-

dad Politécnica de Catalunya.

Okumura-Hata para ClassPad Este programa calcula la atenuación en un

sistema de radiocomunicaciones (y el factor

de corrección de antena) según el modelo de

Okumura-Hata.

Este modelo, que se estudia en la asignatura

de Radiocomunicaciones de la ingeniería su-

perior de telecomunicaciones de la UPC, se

basa en medidas empíricas efectuadas en

Japón. Aunque las medidas fueron hechas en

el país asiático, los resultados se han demos-

trado válidos también para nuestras urbes,

diferenciando en el modelo si se trata de una

población grande o pequeña.

La potencia recibida en el terminal y el diá-

metro de cobertura de la celda son los prin-

cipales parámetros que se pueden deducir del

citado modelo.

Para ciudad grande, introducimos los valo-

res de frecuencia de trabajo, distancia entre

antena y terminal, altura de antena y altura

del móvil respecto al suelo:

Tanto para ciudad grande como para ciudad

pequeña, si hay algún valor cuyo rango sea in-

correcto nos lo dice. Las limitaciones de los

valores se deben al rango de validez de la

fórmula de Okumura-Hata.

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CONCURSO: Programemos con "Classpad" PRIMER PREMIO. Programas *.vcp EstArtic para Classpad

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José Antonio Mayor Sánchez de la Campa

Operador de Sistemas Informáticos, Inge-niero Técnico en Mecánica y Estudiante de último curso de Ingeniería Superior en Téc-nicas Energéticas.

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Objetivos

Obedeciendo a la vocación pedagógica pro-puesta en el concurso “Calculemos con Class-

pad”, con el presente trabajo se ha pretendi-do, no proporcionar una herramienta para el cálculo de estructuras de nudos articulados al uso de las existentes en otras platafor-mas; sino, más bien, proporcionar a los estu-diantes un entorno sobre el que desarrollar sus ejercicios.

A la vez que se realizan los cálculos, una ventana de salida mostrará lo que se está haciendo en ese momento. La nomenclatura que puede verse en dicha ventana está expli-cada en la eActivity que acompaña a EstArtic para Classpad.

Alcance

No olvidamos en ningún momento que tene-mos en nuestras manos una herramienta no empresarial sino de estudio, como lo es la Classpad. Bajo esta premisa, no se puede

pretender resolver estructuras con multi-

tud de nudos, lo que implicaría el manejo de enormes matrices que complicarían el proce-so de cálculo.

Asimismo, es importante entender que el usuario de EstArtic no queda “dispensado” de los conocimientos de diseño y de plantea-miento de los problemas. Lo que aquí se le proporciona es únicamente una herramienta de cálculo, quedando bajo la responsabilidad del que lo emplee el proporcionar datos ade-cuados y coherentes.

Método de Cálculo

El procedimiento se basa en el método de la rigidez. En todo momento se intenta que las matrices a manejar sean lo más reducidas posible, y para ello, por ejemplo, en lugar de construir la matriz de rigidez de la estructu-

ra al completo, intentaremos reducirla a la

de los grados de libertad; y de realizar los cálculos no de una vez sino encadenados a los precedentes. Todo ello se explicará a su de-bido tiempo con los ejemplos oportunos.

EstArtic para Classpad. ¿Qué es? Se trata de un grupo de herramientas orga-nizadas en un menú inicial, como puede verse en la figura1. Como se verá más adelante, ca-da una de las herramientas cumple un come-tido en el proceso de resolución del proble-

ma. No todas serán siempre necesarias, y en ocasiones será el usuario el que decida cuales empleará en función de cómo plantee el pro-blema.

Una breve descripción de las opciones:

1. Conexión Habida cuenta de lo fácil que resulta mon-tar la matriz de conexión de una estructura

de nudos articulados (la matriz de equilibrio de las barras es la matriz identidad), el pro-cedimiento para obtener la matriz de rigidez de la estructura será el de multiplicar la ma-triz de conexión por la de rigideces de ba-rras.

Este primer apartado es puramente geomé-trico, y con él se pretende, a partir de los datos de la estructura (nudos en cada barra, y ángulo de la misma respecto a las coorde-nadas globales), obtener la matriz de co-

nexión, de la que como se comentó más arri-ba, quedarán en principio excluidos los nudos sin grados de libertad.

2. Barras y Estructura Se proporciona a la aplicación la rigidez de

cada una de las barras (EA/L), de forma con-junta o individual. Como resultado obtenemos la matriz de rigideces de barras, y con ella más la de conexión, la matriz de rigidez de la estructura, siempre limitada a los nudos con al menos un grado de libertad.

3. Ap.Inclin. (Opcional dependiendo del problema). Se empleará si alguno de los apoyos de la es-tructura se encuentra girado respecto a las coordenadas globales del problema. Supone

una modificación de la matriz de rigidez an-tes calculada, que pasará a ser una matriz “mixta” en cuanto que incluirá en su interior, y sólo para el nudo inclinado, la orientación específica del mismo.

Concurso "Programemos con ClasConcurso "Programemos con ClasConcurso "Programemos con ClasConcurso "Programemos con ClassPad" sPad" sPad" sPad" ---- EstArtic EstArtic EstArtic EstArtic


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4. Muelles (Opcional dependiendo del problema). Se empleará si alguno de los nudos libres (en es-tructuras articuladas planos: dos grados de libertad) está unido a algún muelle. Este hecho no implica que el nudo deje de estar li-bre sino una modificación de la matriz de ri-gidez en cuanto que se aporta al grado de li-

bertad sobre el que actúe el muelle, la rigi-dez del mismo.

5. Cargas Definición de las cargas sobre la estructu-ra. Se entenderá carga sobre el nudo y cual-

quier otra tipología distinta deberá ser pre-viamente resuelta por el usuario.

6. Cálculos Por este orden se irá proporcionando: des-

plazamiento de los nudos, esfuerzos de las barras y reacciones en los apoyos sin ninguna actuación por parte del usuario. Este aparta-do depende de que anteriormente se le haya aportado a la aplicación los datos correctos.

7. Solve R (Opcional dependiendo del problema). Este apartado sirve para particularizar el caso de las estructuras en que uno de los apoyos tie-ne un grado de libertad y otro restringido, ya sea en la dirección de las coordenadas globa-

les o en otras. El tratamiento dado, que se verá en ejemplos posteriores, será el de con-siderar que la reacción consecuente al grado de libertad restringido es una carga sobre la estructura (en el apartado 5. Cargas) de va-lor R. Así las cosas, el apartado anterior 6. Cálculos nos habrá proporcionado los resulta-dos en función de R. Este apartado 7. Solve R

determinará el valor real de R en cuanto el usuario proporcione una condición de contor-no adecuada, que no es otra que considerar, en el vector desplazamiento obtenido, valor cero allá donde se encuentre la restricción.

8. With R (Opcional dependiendo del problema). Este apartado está ligado al anterior, pues en él, se sustituye R de los cálculos por el valor numérico obtenido en 7. Solve R. Posterior-mente, se recalculará la estructura con el mencionado valor numérico.

9. Informe Muestra datos, procedimientos intermedios y resultados.

Nota Importante: Los ángulos que solicite la aplicación debe-rán introducirse medidos desde la x local a la X Global en sentido antihorario.

Nota: Resulta conveniente (no es estricta-

mente necesario), antes de comenzar un ejercicio nuevo, borrar las matrices de los precedentes. Por ello resulta aun más conve-niente, bloquear en la carpeta de ClassPad en que se encuentre la aplicación los programas para evitar la pérdida de los mismos.

Ejemplos de Cálculo Ejemplo 1

Considérese la estructura de figura con las cargas que se indican. Resolver, obteniendo los desplazamientos, esfuerzos y reacciones con EstArtic para Classpad.

Datos: La longitud de las barras 2 y 5 es de 5 m; La longitud de las barras 1 y 6 es de 5 m; La rigidez de todas las barras de la es-tructura (EA/L) es de 104 T/m; Los valores de las cargas P1 y P2 sobre el nudo 2 son de 6 y 8 T respectivamente.

Solución

La barra número 6, que une dos apoyos fi-jos, queda eliminada en principio de los cálcu-los.

Datos de partida: se tomará una a una cada barra y se introducirán, por este orden el nudo inicial, el final, y el ángulo medido de la

siguiente forma: de la dirección x local, a la dirección X global en sentido antihorario. Como ejemplo, para la barra número 1, obsér-vese la Figura 2 que muestra como acceder al procedimiento de definición de la matriz de conexión; y posteriormente las 3 a 8, que muestran como introducir los datos de la ba-rra 1.



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Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

Figura 5 Figura 6

Figura 7 Figura 8

Las figuras 9 y 10 muestran la peculiaridad de que no hace falta calcular previamente el ángulo a introducir (puede administrarse la expresión oportuna).

A continuación, el procedimiento solicitará que se introduzcan los nudos con algún grado de libertad. En el ejemplo propuesto son el 1 y el 2 (ver figura 11).

Figura 9 Figura 10

Figura11 Figura 12

Tras alguna pantalla de comprobación de datos introducidos, como la 12, aparecerá la matriz de conexión de la estructura (fig 13).

Figura 13



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Continuamos introduciendo datos. La opción 2 nos permite introducir la rigidez de las barras. El

problema indica que todas tienen 104 T/m sea cual sea su longitud. La forma de introducir esto en el programa es introducir EA=100000, para todas las barras y 1 para todas las barras. Ver figu-ras 14 a 21 (comprobar como la parte baja de la aplicación muestra en cada momento la operación que se está realizando).

El ejercicio propuesto no contiene apoyos inclinados ni con grados de libertad (apoyos con solo uno de los grados de libertad restringidos). Tampoco contiene muelles. Todas estas circunstan-cias “afectarían” a la matriz de rigidez de la estructura Por tanto, pasamos directamente a la de-finición de las cargas sobre la estructura. Ver figuras 22 a 28.

Finalmente, accedemos al apartado de Cálculos. Ver figuras 29 a 35.

Si queremos ver un resumen del ejercicio, podemos hacerlo mediante la opción 9. Figura 14 Figura 15 Figura 16

Figura 17 Figura 18 Figura 19




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Figura 35

Ejemplo 2

Supóngase la estructura anterior, a la que, sin variar ninguno de los datos aportados, se le añade un apoyo móvil en el nudo 1. Resolver, obteniendo los desplazamientos, esfuerzos y reacciones con EstArtic para Classpad.



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Solución

Se observa, como única diferencia, que el nudo 1 se ha convertido en apoyo deslizante, en el que queda restringido el movimiento según el eje X global, y donde aparecerá una reacción en esa di-rección.

El tratamiento de este problema será el siguiente:

Los datos geométricos y de rigidez coinciden con los del ejemplo anterior. Se sustituye el apoyo en 1 por una reacción según el eje X global, que será en principio, una incógnita denominada R.

Al introducir el vector de cargas de la estructura se tendrá en cuenta que sobre 1, en la direc-ción X actúa una fuerza R Obtenemos los desplazamientos de los nudos, que quedarán en función de R.

Introducimos la condición del apoyo 1, a saber: El movimiento según el eje X, del nudo 1, es nulo. Esto nos proporciona el valor de la reacción R.

Volvemos al vector de cargas, donde sustituiremos la incógnita R por el valor obtenido.

Realizamos los cálculos.

Notas:

(1ª) Necesariamente, hay que introducir R (ningún otro carácter)

(2ª) Una vez aparezca el vector desplazamiento en función de R puede (debe) interrumpirse el programa, pues ya tenemos lo que necesitamos. Posteriormente, se reiniciará de nuevo y se pasa-

rá directamente al procedimiento 7. Solve R

(3ª) La nomenclatura para introducir la función a resolver es siempre la misma:

1.x=VD[1,1]; 1.y=VD[2,1]; 2.x=VD[3,1]; VD[4,1]; …

O sea, el vector desplazamiento que proporciona el programa tiene un número de filas igual al número de nudos no nulos por dos y una sola columna. El número 1, 2,… en este caso no se refiere al que tiene cada nudo en al estructura, sino al “número de orden” con que se introdujeron los nu-do no nulos. Por ejemplo, si en una estructura los nudos no nulos introducidos hubieran sido 3 y 4 (por ese orden), entonces VD[1,1] se referiría no a 1.x sino a 3.x

(4ª) Una vez aparezca el valor de R, el siguiente apartado a introducir ser 8. With R. Esta op-ción sustituye en el vector de cargas el valor de R

(5ª) Recalcule (a partir del punto 6), para obtener el resto de resultados.



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Ejemplo 3

Supóngase la estructura anterior, a la que, sin variar ninguno de los datos aportados, se gira el apoyo móvil del nudo 1 45º respecto a las coordenadas globales. Resolver, obteniendo los despla-zamientos, esfuerzos y reacciones con EstArtic para Classpad.



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Solución

En este caso vamos a modificar la matriz de rigidez de la estructura, en cuanto que queremos convertirla en una “matriz mixta” que contemple la dirección local del apoyo girado.

El tratamiento de este problema, con EstArtic, será el siguiente:

Indicaremos cuál es el apoyo girado, y cuantos grados (medidos desde el eje global al local) se ha girado. Opción 3

El programa preguntará por la dimensión de la matriz de rigidez a modificar.

Recordemos que es 4. Cuando solicitan el nudo inclinado en cuestión, se refiere a su número de orden en la matriz de rigidez, en nuestro caso, el nudo 1 es el primero de la matriz de rigidez, pues así se introdujo cuando se preguntó por los nudos no nulos. Al introducir el ángulo se cuidará de que vaya medido desde la x local a la X Global en sentido antihorario.

El programa proporcionará la matriz de rigidez modificada (donde solo deber haber cambiado las filas y columnas correspondientes al nudo en cuestión) y la nueva matriz inversa.

A partir de ahí, los cálculos se realizan como en el ejemplo anterior. Ahora, cuando se hable de 1.x o 1.y, se entenderá la dirección local del nudo 1. Por tanto, obsérvese como cuando se ha de in-troducir la carga externa (reacción) del nudo 1, ésta se introduce en la dirección 1.y, que es el movimiento impedido. Por el mismo motivo, cuando se trata de obtener el valor de R, mediante resolución del elemento correspondiente del vector, la función a introducir será VD[2,1]



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Ejemplo 4

Todas las barras de la estructura de la figura sufren un aumento de temperatura de 40 ºC

Calcular los desplazamientos de los nudos empleando EstArtic para Classpad.

Para todas las barras: EA = 4.2 x 106 Kg.

Para todas las barras: α = 12 x 10-6 ºC-1



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Ejemplo 5

Determinar el movimiento del nudo 1 así como los axiles de las barras de la estructura

cuando del nudo 1 cuelga verticalmente un peso de 30 Tn y la barra 1-2 sufre un

enfriamiento de 40 ºC.

Datos: La barra 1-2 es de sección variable. Varía linealmente de 4 cm2 en el nudo 2 a 12

cm2 en el nudo 1.

α = 12 x 10-5 ºC-1 E = 2x106 kg/cm2 Solución:

Determinar el movimiento del nudo 1 así como los axiles de las barras de la estructura

Se establece que la barra 1 y su sentido en coordenadas locales sea 1 – 3

Se establece que la barra 2 y su sentido en coordenadas locales sea 1 - 2

Se establece que la barra 3 y su sentido en coordenadas locales sea 1 - 4

El primer paso para solucionar el problema será determinar la rigidez de la barra 1-2, que es de sección variable. Aunque este caso no está contemplado en EstArtic para ClassPad, se mostrará como se puede obtener mediante la ClassPad mediante la eActivity (que se adjunta) denominada RigSeccionVariable.

El resultado que se obtiene es de 18204.78 Kg/cm



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Para resolver este problema, hay que resolver los estados 0 y 1, al considerarse que las tensio-

nes de origen térmico “cargan la barra”. Si únicamente hubieran pedido los desplazamientos no sería necesario considerar ambos estados.

A efectos de cálculo, el considerar los dos estados significa que el cálculo se va a realizar, con-siderando para la estructura una carga vertical en el nudo 1 que será igual a

- 30000 + (αxLxTx18204.78), o sea: - 18348.94 El resultado final obtenido será incompleto para la barra que sufre el enfriamiento, pues habrá que sumarle αxLxTx18204.78 (es lo que se hace en la última de las pantallas, que no pertenece a EstAr-tic para ClassPad: Es MAIN de ClassPad)

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CONCURSO: Programemos con "Classpad" PRIMER PREMIO. Programas *.mcs

Cohortes, Anova1F, COMPETLV, PSIGNO, WILCOXON…

-------------------------

José Carlos Jiménez López - México

Estudiante de Biología, Facultad de Cien-cias-UNAM.

-------------------------

Cohortes Es un pequeño programa que permite reali-

zar tablas de vida para cohortes, útiles en

Ecología de Poblaciones, y que se puede usar

por personas que necesiten simplificar esos

cálculos para hacerlos de una manera más rá-

pida tales como estudiantes de Ecología. Para

su uso sólo es necesario contar con las pri-

meras tres filas individuos por categoría (ax),

fecundidades (Fx) y natalidades (mx), la ter-

cera se hace dividiendo la segunda por la

primera. Al final la tabla se guarda, con blo-

queo, en la carpeta actual con un nombre es-

pecificado que debe tener una extensión de 8

bytes.

En esta ocasión este es una segunda versión

a la que agrego el cálculo de la tasa intrínse-

ca de aumento poblacional, a la que llamo rEu-

ler ya que se obtiene despejando r de la ex-

presión siguiente (en el programa esto se

hace con la función solve:

1=Σx≥1exp(-rx)l(x)m(x), donde l(x) y m(x)

son la supervivencia y natalidad de las dife-

rentes categorías.

Al final obtenemos las pendientes de dife-

rentes curvas de supervivencia según el tipo

del que se trate. Las pendientes en este caso

son flechas de cómo se va mostrando la grá-

fica. De esta forma, en el ejemplo podemos

decir que la curva se trata de una tipo I.

ANOVA1F Como su nombre lo indica se trata de un

programa que realiza una prueba ANOVA de

un factor ocupando el comando integrado a la

ClasPad 300 pero generando una gráfica que

permite ver la distribución de los diferentes

niveles del factor que se realizan en diferen-

tes listas. El inconveniente es que estos nive-

les del factor se van resumiendo en una tabla

el comando Locate… y si se llena la tabla pue-

de que no se muestre completamente. Lo

pueden usar estudiantes tanto de preparato-

ria como de universidad que lleven estadísti-

ca que usen esta aplicación.

COMPETLV Permite generar isoclinas a partir de datos

de capacidad de carga y de factores de com-

petencia de dos especies que tienen esta in-

teracción.



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Siguiendo el modelo de Lotka-Volterra el

programa genera una interpretación dada

mediante condiciones lógicas fáciles de pro-

gramar utilizando los comandos If… y El-

seIf…. Lo pueden usar estudiantes que lleven

Ecología que vayan en Universidad.

PSIGNO Es un pequeño programa que uso como op-

ción no paramétrica de la prueba t-Student.

Está enfocado a aquellos que tengan Estadís-

tica.

P_TTEST Se trata de una prueba t pareada, es decir,

una donde se quiere saber si existe una dife-

renta de las muestra que se relacionan. Se

enfoca a estudiantes de Estadística de pre-

paratoria o universidad.

RAD_CALC Es un programa que permite visualizar cómo

se da el decaimiento de un elemento radioac-

tivo cuando sabemos la secuencia de emisio-

nes que ocurren desde el elemento padre

hasta el elemento hijo o anteriores a él y que

al final da como resultado su visualización en

esquema y una tabla con los valores de ele-

mento, masa atómica, número atómico y tipo

de radiactividad emitida. Asimismo parecería

que es algo complicado pero sólo se trata de

designaciones lógicas que se van agregando a

listas y que también se muestran utilizando

el comando Locate… Lo pueden usar estudian-

tes de Física de preparatoria o universidad.

SN_MODEL Se trata de una pequeña aplicación que

permite encontrar los valores de coeficiente

de selección el efecto del heterocigoto y el

tipo de selección dado por diferentes genoti-

pos. No es de gran utilidad pero sirve bas-

tante cuando se quiere ahorrar tiempo en

buscar qué significan los valores dados. Esta

enfocados a alumnos que lleven Evolución.

WILCOXON Es un análogo no paramétrico de la prueba

t-Student y qué es en realidad la prueba de

suma de rangos de Wilcoxon que en este caso

restrinjo a una significancia de α = 0.05. Se

usa una distribución normal en cada muestra.

Lo pueden usar aquéllos que lleven Estadísti-

ca.

Concurso "PrograConcurso "PrograConcurso "PrograConcurso "Programemos con ClassPad" memos con ClassPad" memos con ClassPad" memos con ClassPad" ---- José Carlos Jiménez López - México


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ΧΧΧΧ2TEST Es una de las pruebas ji-cuadrada que se

utilizan empleando valores en una lista para

verificar la distribución teórica de una mues-

tra. La gráfica de las distribuciones ocupa las

distribuciones normales en cada gráfica. Está

enfocada para aquéllos alumnos de Estadísti-

ca.

ΧΧΧΧ2_UNI Es otra de las pruebas ji-cuadrada que se

utilizan empleando valores en una lista para

verificar la distribución teórica de una mues-

tra y que puede emplearse mediante listas de

valores o frecuencias para mostrar en una

gráfica cuan relativamente cerca quedan los

valores observados de los esperados.

KS2_TEST Se trata de una prueba que incorpora el es-

tadístico de Kolmogorov-Smirnov (D) para

poder contrastar y reevaluado como un esta-

dístico χ2 de 2 grados de libertad para poder

ver si dos muestras se han obtenido de la

misma distribución. Tiene el problema de que

cuando se hace con un tamaño de muestra

grande (p.e. N > 60) la memoria se “satura” y

da el error de “memoria insuficiente”. Al fi-

nal se dan gráficas de distribuciones acumu-

ladas para ambas muestras S1(x) y S2(x) para

notar si se refuerza la decisión.

KW_TEST Se trata de la opción no paramétrica de la

prueba de Análisis de Varianza.

PAIRED_W Es una prueba que se ocupa en muestras de

igual tamaño como opción a la prueba t-

Studen cuando se viola que las muestras es-

tén acomodadas bajo distribuciones normales

–o acampanadas-. Para que la prueba no ocu-

pase mucha memoria en la CP-300 restringí

los valores de tablas a una significancia de

0.05 de forma que el contraste con otras al-

fas se necesita hacer con las tablas que in-

cluyo al final.

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DP. - AS - 5119 - 2007

25

Numerofonía de Aschero: la es-critura matemática de la música

Sergio Aschero. Argentina. Profesor Supe-rior de Armonía y Composición y doctor en Musi-cología por la Universidad Complutense de Ma-drid

Introducción

Si usted utiliza estos nú-

meros:

CXIII Debería utilizar esta es-

critura musical:

Pero si usted utiliza estos otros números:

113 Su escritura musical debería ser ésta:

1 1 1 1 1 1 1 Las dos representan lo mismo. Una escritura

es limitada y compleja: (los números romanos y

la notación musical).

La otra es lógica y simple: (los números ará-

bigos y la numerofonía).

Código Todos los códigos normativos están consti-

tuidos por su propia función y son un instrumen-

to convencional no originado en la naturaleza.

Para cambiarlos hace falta tener en cuenta

los siguientes requisitos:

(1) Constatación de la necesidad del cambio.

(2) Explicación de la finalidad por la cual se

quiere cambiar.

(3) Análisis crítico y comparativo del viejo y

del nuevo código.

(4) Sustitución del código que presenta ma-

yores deficiencias.

Sentidos y Aprendizaje A igual información y a igual condición se

aprende:

1,0 % mediante el gusto 1,5 % mediante el tacto * 3,5 % mediante el olfato 11,0 % mediante el oído

83,0 % mediante la vista * tacto – calor – frío – presión – dolor (en realidad los sentidos son nueve)

Tipos de representación sonora Un sistema de escritura musical requiere

principalmente de dos cosas: un conjunto de sig-

nos y una convención sobre su interpretación.

Tales signos, soportes de la escritura, pueden

ser fónicos o gráficos. Los primeros suelen ser

las propias letras, sílabas, palabras y frases del

lenguaje común. Los segundos son sistemas arti-

ficiales de signos abstractos, como puntos, cír-

culos, números, etc. Ambas posibilidades, fónica

y gráfica, son la base de toda la historia de la

escritura musical. A nivel general podemos decir

que la escritura musical es un sistema de símbo-

los usados para comunicar gráficamente los de-

seos del compositor al ejecutante incluyendo el

máximo de información necesaria para la ejecu-

ción fiel de una obra. Igualmente, y es importan-

te subrayar esto, debe poder transmitir la in-

formación rápidamente, capacitando al ejecu-

tante para leer las instrucciones del compositor

a la velocidad en que la música tiene que ser eje-

cutada.

Numerosos sistemas de representación sono-

ra han existido, según los pueblos y las épocas.

Desde los signos manuales egipcios del Anti-

guo Imperio (3.000 A.C.), pasando por la escri-

tura alfabética griega, la fonética bizantina, la

neumática de la iglesia occidental, la mensural

negra y blanca, la tradicional, la analógica, la

tecnológica y finalmente la numerofónica en sus

variables musical (base 12, 24, 48. . .) y armónica

(base 2n), existe un largo proceso de elección de

los mejores signos para definir la duración, la

altura, la intensidad y el timbre de los sonidos.

Razones La música (algún tipo de música) forma parte

de la existencia de la mayoría de las personas.

La escritura musical tradicional es leída sólo por un 5% de la humanidad; el 95% res-tante ama los resultados de lo creado por otros, sin ser capaz de apropiarse del lengua-je: vivimos en un mundo de analfabetos musi-cales. Incluso se da la paradoja de músicos po-pulares que rechazan la escritura musical tradi-

cional, por encontrar en su aprendizaje (teoría y

solfeo) mayores dificultades que beneficios.

Numerofonía de Aschero: la eNumerofonía de Aschero: la eNumerofonía de Aschero: la eNumerofonía de Aschero: la esssscritura matemática de la músicacritura matemática de la músicacritura matemática de la músicacritura matemática de la música ---- Sergio Aschero Sergio Aschero Sergio Aschero Sergio Aschero


26

Sin embargo al estar marginados del sistema, su labor es mucho más compleja. Esto es inconcebi-

ble en otros campos: no se nos ocurre pensar en escritores que no sean capaces de leer y escribir

sus propias obras.

Numerofonía de Aschero Código interactivo de las áreas físico-matemáticas, de origen pitagórico, platónico y aristotélico,

que se ha desarrollado con un criterio científico, integrando la matemática, la óptica, la acústica y la

lingüística un modelo único de representación simbólica cuya escritura se denomina numerofonía.

Imagen y Sonido

IMAGEN (Real o representada)

SONIDO (Natural o artificial)

Forma (perimetro) Duración (tiempo) Color (interno) Altura (frecuencia)

Tamaño (longitud) Intensidad (potencia)

Superficie bidimensional: plano

Volumen (profundidad) Timbre (duración, altura, intensidad)

Espacio tridimensional: cuerpo

Forma Duración: figuras geométricas y números enteros o

fraccionarios (perímetro) Color Altura: colores acromáticos y cromáticos (interno)

Tamaño Intensidad: longitud de figuras geométricas y números enteros o fraccionarios (altura)

Volumen Timbre: profundidad (iguales características

ubicadas en subplanos

Forma y color cumplen las dos funciones más características del acto visual: nos permiten ob-

tener la información más importante para el re-

conocimiento de los objetos.

La identidad perceptiva depende relativa-

mente poco de la dimensión. La forma, el color y la orientación de un objeto no se alteran con el

cambio de dimensión. Un objeto es siempre re-

conocible aún si la dimensión se altera.

El valor secundario de la dimensión respecto

a la forma y al color se observa en aquello que

normalmente no advertimos: el cambio constante

de la dimensión que la perspectiva provoca entre

nuestra visión y los objetos que nos rodean.

Analógicamente podemos afirmar que dura-ción y altura son las componentes primarias del

mensaje sonoro, siendo la intensidad (y el tim-bre), secundarias respecto a ellas.

Sin tiempo no existe frecuencia, ni potencia, ni espectro armónico o inarmónico. Es la magni-

tud física más importante.

Los medios fonadores operan con las cualida-

des físicas, mientras éstas son escuchadas sub-

jetivamente. La sensación subjetiva de la dura-

ción se corresponde con el cambio físico del

tiempo.

La sensación subjetiva de la altura se corres-ponde con el cambio físico de la frecuencia.

La sensación subjetiva de la intensidad se corresponde con el cambio físico de la potencia.

La sensación subjetiva del timbre se corres-ponde con el cambio físico de los espectros ar-mónico e inarmónico.

Entre la luz y el sonido se pueden establecer desde un punto de vista físico, las siguientes co-

rrespondencias, teniendo en común los fenóme-

nos de producción, propagación y percepción: (a) luz (fenómeno electromagnético – óptica) (b) sonido (fenómeno mecánico – acústica)

(a) lo que distingue un color de otro es su di-

ferente frecuencia.

(b) lo que distingue un sonido de otro es su di-ferente frecuencia.



DP. - AS - 5119 - 2007

27

(a) el espectro se repite: infrarrojo – ultra-

violeta

(b) el espectro se repite: infrasonido – ultra-sonido

(a) el espectro es continuo (b) el espectro es continuo

(a) la división en “n” colores es solamente

práctica

(b) la división en “n” sonidos es solamente práctica

(a) el color blanco es la suma de las frecuen-

cias

(b) el ruido blanco es la suma de las frecuen-cias

(a) el color negro es la resta de las frecuen-

cias (b) el silencio es la resta de las frecuencias

(a) un extremo del espectro tiene el doble de

las vibraciones del anterior

(b) un extremo del espectro tiene el doble de las vibraciones del anterior

3 x 104 Hz a 3 x 1014 Hz (onda radio e infrarrojo)

3 x 1014 Hz a 3 x 1015 Hz (luz visible)

3 x 1015 Hz a 3 x 1023 Hz (rayos ultravioleta, rayos X, rayos gamma y

rayos cósmicos)

1 Hz a 16 Hz

(infrasonido)

16 Hz a 20.000 Hz

(sonido)

20.000 Hz a 500.000.000 Hz

(ultrasonido)

Duración

El lenguaje numerofónico representa la dura-ción mediante el perímetro de figuras geomé-tricas, números enteros y fraccionarios.

La norma indica que el número uno equivale a

un segundo, siendo la variable cualquier otra du-ración.

Se comprende que hablando del número uno,

si habla también de su representación geométri-

ca: una unidad (cuadrado, círculo…). Una escritura lógica para la representación

del sonido debe considerar la espacialidad deri-

vante de la cantidad que cada número determina:

un cuarto no dura lo mismo que un medio y tam-

poco puede ocupar el mismo espacio.

Altura

El lenguaje numerofónico representa la altu-ra mediante la coloración interna de figuras geométricas, números enteros y fraccionarios. La menor frecuencia visible se equipara con la

menor frecuencia audible, estableciendo así el

primer cromáfono (de croma: color, y fono: soni-do) correspondiente, en este caso, a una serie

de alturas determinadas, de base 12 y afinación

temperada (musical). El primero que se ve, el

primero que se oye. La norma indica que el color rojo (428 x 1012 Hz.) – grado 1 de la serie – equi-

vale al primer cromáfono (16 Hz.), siendo la va-

riable cualquier otro cromáfono de la serie. También de la analogía entre los fenómenos

ópticos y acústicos, el color blanco representa la suma (altura indeterminada) y el negro, la sus-tracción (silencio).

Los doce cromáfonos del modelo fononumeral temperado están en concordancia con los 3 pri-

marios aditivos y los 3 primarios sustractivos:

Cromáfono Color R.G.B. (*) Frecuencia 1° primero rojo 100% - 0% - 0% 16,351 Hz

2° segundo anaranjado 100% - 50% - 0% 17,323 Hz

3° tercero amarillo 100% - 100% - 0% 18,354 Hz

4° cuarto lima 50% - 100% - 0% 19,445 Hz

5° quinto verde 0% - 100% - 0% 20,601 Hz

6° sexto esmeralda 0% - 100% - 50% 21,826 Hz

7° séptimo cian 0% - 100% - 100% 23,124 Hz

8° octavo cobalto 0% - 50% - 100% 24,449 Hz

9° noveno azul 0% - 0% - 100% 25,956 Hz

10° décimo violeta 50% - 0% - 100% 27,500 Hz

11° undécimo magenta 100% - 0% - 100% 29,135 Hz

12° duodécimo púrpura 100% - 0% - 50% 30,867 Hz



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(*) (serie de cromáfonos con porcentajes adaptados a la lectura por pantalla de computadora) Esta escala está basada en los tres primarios aditivos: rojo, verde y azul, más los tres primarios

sustractivos: amarillo, magenta y cian, formados con la mezcla aditiva de los tres primarios anterio-

res:

Amarillo = rojo + verde Magenta = rojo + azul Cian = verde + azul

Que ordenados configuran una serie de grados impares:

1° = rojo 3° = amarillo 5° = verde 7° = cian 9° = azul 11° = magenta

Los otros seis colores son exactamente intermedios entre ellos.

Este modelo cromático es adecuado para operar con computadora, ya que rojo, verde y azul son

los tres colores de la luz del monitor, y amarillo, magenta y cian son los tres colores de los cartuchos

de la impresora. También los ruidos pueden clasificarse y representarse mediante una escala de va-lores a la que puede añadirse la mezcla de frecuencias: marrón.

Clasificación y representación del ruido

Frecuencia acústica Color R.G.B.

todas blanco 100% - 100% - 100%

altas gris claro 75% - 75% - 75%

medias gris 50% - 50% - 50%

bajas gris oscuro 25% - 25% - 25%

ninguna negro 0% – 0% - 0%

Los índices acústicos se indican mediante dígitos colocados sobre o bajo los números principales.

Las frecuencias respectivas de la imagen anterior son: 130,812Hz., 261,625Hz. y 523,250Hz.

Intensidad El lenguaje fononumeral representa la intensidad mediante la longitud del diámetro del círculo, la

altura del cuadrado y la del rectángulo. En el interior de esta última figura, que se toma como re-ferencia no visible, se inscriben los números enteros y fraccionarios sin su índice acústico.

Existe concordancia entre la altura de las tres figuras y la amplitud de una onda sinusoidal.

La norma indica que un milímetro equivale a un decibel, siendo la variable cualquier otra inten-sidad. Lo invisible es inaudible.

Dentro de las figuras geométricas, la mejor (por tener la posibilidad de incorporar los cambios de

intensidad sin pérdida de organicidad en su imagen, es el cuadrado; siendo el círculo (por su simplici-

dad), la figura indicada para un primer acceso al código numerofónico por parte de los más pequeños.

Sin embargo es importante señalar que en el número fraccionario se sintetiza la mayor perfec-

ción en la determinación de variables de intensidad, unida al poder infinito de su simbología tempo-

ral.



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Timbre El timbre está constituido por sonidos armónicos e inarmónicos que contienen envolventes pri-

marias y secundarias, vale decir por duraciones, alturas e intensidades variables, ubicadas en di-versos subplanos – bajo la superficie de la escritura bidimensional, que sólo puede contener duracio-

nes, alturas e intensidades, nunca timbres – con lo cual se configura la tercera dimensión de la grafía

y la construcción obligada de un cuerpo sonográfico concreto de longitudes, latitudes y profundida-

des exactas.

La escritura habitual es la relativa (variable); la absoluta (norma), necesita otra dimensión y me-

dios fonadores de lectura disjunta y emisión conjunta.

El oído no separa el sonido fundamental de los otros sonidos (inaudibles) que lo acompañan, sin

embargo si se modifica la estructura de lo inaudible (profundidad), el sonido percibido (superficie)

cambia.

La escritura tímbrica requiere la utilización de escalas para visualizar lo inaudible.

Numerofonía para leer (mantener un pulso constante)



30

IMÁGENES COMPARATIVAS (notación tradicional y escritura fononumeral)

CONCLUSIÓN La Numerofonía de Aschero, se basa en las ciencias matemáticas (geometría y aritmética), en la

óptica, en la acústica y en la lingüística, lo que lo hace muy claro y comprensible hasta para niños

desde los tres años de edad, en absoluta contraposición con el sistema tradicional de notación musi-

cal. Utiliza formas geométricas y colores para los más pequeños y a medida que van avanzando en

edad y en su aprendizaje, el sistema va incluyendo números enteros y fraccionarios, acompañando al

niño en su desarrollo escolar de manera simultánea a su formación académica. Es un sistema lógico que permite que todos, pero todos sin excepciones, puedan leer, escri-

bir, interpretar y crear música, culta o popular, incluyendo a adultos, adolescentes, niños y perso-nas con capacidades especiales, sin tener que caer en el absurdo de los bemoles, sostenidos, claves,

o tantos otros signos anacrónicos que integran el sistema de notación, para que todos aquellos que aman la música, puedan disfrutarla activa y participativamente, y no tan sólo el 5% de la humani-

dad, que es lo que ocurre estadísticamente, lo que demuestra el altísimo nivel de analfabetismo exis-

tente. Por cierto que hay quienes en su deseo de mantener posiciones de elite, pueden oponerse a este

cambio revolucionario, pero este código no está dirigido a quienes ya leen música, sino a ese 95% de

personas que no lo han logrado con el viejo sistema, incluyendo a un gran número de músicos popula-

res. Oponerse a la Numerofonía de Aschero es oponerse a Pitágoras, a Galileo, a Newton. . .

El objetivo de la investigación del doctor en musicología Sergio Aschero es mejorar la relación

entre la música y la gente, a partir de la recuperación de la unión entre la ciencia y el arte, tal como

ocurría en la Academia de Atenas de la Antigua Grecia cuando la música era una de las ciencias ma-

temáticas, junto a la aritmética, la geometría y la astronomía.



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Se debe hacer todo lo necesario para que perdure lo verdaderamente profundo, como es la músi-

ca creada en todas las épocas y en todas las culturas, y no jerarquizar lo superficial, como es atarse

a formas vetustas y a signos obsoletos, que se han demostrado absolutamente ineficientes en la al-

fabetización musical de la mayoría de las personas.

Este lenguaje ha sido certificado por lo Ministerios de Educación de España e Italia como alter-

nativa al sistema tradicional de notación.

FOTOGRAFÍAS (alumnos wichí, uruguayos, italianos y exposición Bach x Aschero).

Al maestro Sergio Aschero lo podemos encontrar enAl maestro Sergio Aschero lo podemos encontrar enAl maestro Sergio Aschero lo podemos encontrar enAl maestro Sergio Aschero lo podemos encontrar en

http://www.ascheropus.com.ar/http://www.ascheropus.com.ar/http://www.ascheropus.com.ar/http://www.ascheropus.com.ar/

o bien contactar directamente en la direccióno bien contactar directamente en la direccióno bien contactar directamente en la direccióno bien contactar directamente en la dirección [email protected]@[email protected]@gmail.com

El Problema de las Ocho Reinas El Problema de las Ocho Reinas El Problema de las Ocho Reinas El Problema de las Ocho Reinas ---- Ángel Aguirre Pérez Ángel Aguirre Pérez Ángel Aguirre Pérez Ángel Aguirre Pérez


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El Problema de las Ocho Reinas

Ángel Aguirre Pérez,

Profesor de Matemáticas del I.E.S. “Benedicto Nieto”, de Pola de Lena (Asturias)

[email protected]

Exploraremos la potencia de la calculadora ClassPad 300 en el cálculo con listas. Vamos a resol-

ver el problema de las ocho reinas: consiste en colocar ocho reinas sobre un tablero de tal manera

que ninguna esté amenazada por cualquiera de las restantes.

Quizá convenga recordar que, en el juego del ajedrez, la reina

amenaza a aquellas fichas que se encuentren en su misma fila, co-

lumna o diagonales. Por comodidad y concisión vamos a hacer to-

das nuestras consideraciones para un tablero 4 x 4, cuatro filas y

cuatro columnas. Posteriormente generalizaremos para un tablero

de dimensiones arbitrarias n x n.

En primer lugar debemos buscar una notación para poder repre-

sentar la posición de las reinas en el tablero. Vamos a utilizar una

lista (un vector) para denotar la posición de las reinas. Cada com-

ponente de esta lista hace referencia a una columna del tablero, la

primera componente a la primera columna, la segunda componen-

te a la segunda, etc. El valor de la componente nos indica la fila

en la que se encuentra la reina en esa columna. Por ejemplo, la lis-

ta {2, 1, 4, 2}, representa la posición de la figura de la derecha.

A la vista de esto, parece obvio que nuestra solución debe conte-

ner números distintos, para que las reinas ocupen filas distintas.

La solución ha de ser una permutación de los números 1, 2, 3 y 4.

Esta elección garantiza que no existan amenazas por presencia de

otra reina en esa misma fila. Sin embargo, no evita las amenazas

debidas a reinas situadas en las mismas diagonales. Por ejemplo la

disposición {3, 4, 2, 1}, representada en la figura anterior, presen-

ta dos amenazas en diagonal. Debemos, por tanto, hacer un algo-



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ritmo que nos permita encontrar todas las posibles amenazas. Para ello clasificamos previamente

las diagonales en dos tipos: tipo A y tipo B. Según se puede ver en la siguiente figura:

Dos casillas o escaques pertenecen a la misma “diagonal A” si la suma de su fila y su columna

da como resultado el mismo número. Del mismo modo, dos casillas distintas pertenecen a la

misma “diagonal B” si la resta de su fila menos su columna es idéntica.

Nuestro proyecto se compone de dos partes: un programa principal que se llama Reinas y una

subrutina de nombre Check. En el primero se generaran todas las permutaciones posibles me-

diante un algoritmo muy sencillo, aunque no en orden lexicográfico. El algoritmo ha sido toma-

do del libro “Combinatorial Algorithms” de Reingold, Deo y Nievergelt. En la segunda se com-

probará si es solución y se mostrará por pantalla.

El programa comienza preguntando las dimensiones del tablero

mediante una ventana de entrada de datos (Input). Se limpia la

pantalla. Se asigna ese valor a la variable n y se crea una lista A

que contiene los n primeros números naturales. Por ejemplo: si n

vale 4, la lista A es {1, 2, 3, 4}.

A continuación, comienza el algoritmo de generación de

permutaciones. La variable s contiene el número de soluciones

halladas hasta el momento; inicialmente vale cero.

La generación de las permutaciones se hace a través del código

mostrado en la figura de la derecha. La llamada a la rutina de

comprobación se hace a través del comando Check().

El Problema de las Ocho Reinas El Problema de las Ocho Reinas El Problema de las Ocho Reinas El Problema de las Ocho Reinas ---- Ángel Aguirre Pérez Ángel Aguirre Pérez Ángel Aguirre Pérez Ángel Aguirre Pérez


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Se utiliza la función Rotate, que devuelve una lista en la que los elementos han sido rotados

hacia la derecha o izquierda un cierto número de posiciones. La opción por defecto es una posi-

ción hacia la derecha; por ejemplo, cuando la lista A es {1, 2, 3, 4}, Rotate(A) da como resultado

la lista {4, 1, 2, 3}.

También se utiliza la función subList, que extrae una parte concreta de una lista y la función

Augment, que anexiona una lista con otra. Siguiendo con el ejemplo anterior, con su-

bList (A, 2, 3) se obtiene {2, 3} y Augment(A,{5, 6}) devuelve la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Para finalizar, se escribe el número total de soluciones halladas.

La subrutina Check toma cada pareja de fichas y comprueba,

como hemos explicado anteriormente, si se amenazan. Es decir,

si la suma de su fila y columna o la resta de su fila menos la co-

lumna son iguales. En tal caso, regresa al programa principal sin

hacer nada. Si ninguna pareja se amenaza, aumenta uno el valor

de s y escribe la solución por pantalla.

La ejecución del programa Reinas puede apreciarse en las siguientes pantallas:



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Iniciándose en la Programación con la ClassPad

Gualberto Soto Sivila (Ingeniería Industrial)

Universidad Técnica de Oruro – Facultad Nacional de Ingeniería (ORURO – BOLIVIA)

[email protected]

INTRODUCCIÓN La programación hoy en día es una herramienta indispensable para toda carrera que uno vaya a em-prender, ya que aprendiendo a programar se facilita ciertas cálculos o procedimientos que hay que realizar una y otra vez, lo cual a la hora de rendir una prueba se traduce en mayor tiempo para la veri-ficación de resultados de un determinado problema.

OBJETIVO Con la presente guía de inicio rápido buscaremos dar los primeros pasos en la programación de una calculadora, en nuestro caso la calculadora programable CASIO Classpad 300, Classpad 300 Plus o Classpad 330, con la diferencia mas sobresaliente entre estos modelos que llegaría a ser la versión del SO (Sistema Operativo) que se puede arreglar simplemente actualizando la CP (Classpad).

La programación se puede realizar en la Classpad de mano o en el CPManager.

PASOS Para comenzar a realizar cualquier programa lo primero que necesitamos es el algoritmo de lo que de-seamos realizar o sino un ejercicio del cual podamos sacarlo y después plasmarlo en un programa.

¿Que es un algoritmo? Un algoritmo no es mas que los pasos secuenciales y correlativos de alguna tarea, problema, ejemplo, a realizar.

Para nuestro caso comenzaremos con un ejemplo que todos ya conocemos desde colegio.

Ejercicio 1 Hallaremos las raíces de un polinomio de segundo grado:

Ax2 + Bx + C = 0

1.- Datos Conocidos Determinamos que datos tenemos a introducir y cuales deseamos encontrar. Datos a ingresar A, B, C Formulas o procedimientos conocidos

a

cabb

⋅⋅⋅−±−

2

42

Datos que deseamos hallar las raíces o soluciones de nuestro polinomio de segundo grado

2.- Diagrama de Flujo

3.- Pasos Previos

Iniciándose en la Programación con la ClassPad Iniciándose en la Programación con la ClassPad Iniciándose en la Programación con la ClassPad Iniciándose en la Programación con la ClassPad ---- Gualberto Soto Sivila


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Para programar debemos ir al Menú Programa y seleccionar el segundo icono de la pantalla el que se encuentra debajo de Edit y seleccionar así de esta manera un Archivo nuevo que crearemos en la Carpeta que deseamos y con el nombre Formula.

Después debemos tomar una de las siguientes opciones para introducir las sentencias que usare-mos.

3.1.- Desde E/S (Entrada/Salida).

3.2.- Usando el Catalogo (CAT) del Teclado.

3.3.- Escribiendo cada sentencia a usar.

Como sugerencia es mejor optar por el Catalogo ya que esta tiene todas las sentencias que maneja la ClassPad y es mas difícil cometer errores a diferencia de escribir cada sentencia.

4.- Codificación En esta parte haremos sentencia por sentencia indicando para que sirve la misma.

Tómese en cuenta que después de cada sentencia uno debe colocar ( : ) dos puntos o retorno de ca-rro ( ↵↵↵↵ ) EXE para separar cada sentencia una de la otra.

Programa Formula

Clear_a_z Borramos todas las variables minúsculas desde a hasta la z Input a,” Primer elemento del Polinomio”,” Ingrese” Ingresamos el 1er elemento a la variable a Input b,” Segundo elemento del Polinomio”,” Ingrese” Ingresamos el 2do elemento a la variable b Input c,” Tercer elemento del Polinomio”, “ Ingrese” Ingresamos el 3er elemento a la variable c Como tendremos dos soluciones podremos descomponer nuestra formula en dos respectivamente (-b+√(b^2-(4*a*c)))/2*a⇒⇒⇒⇒e Almacenamos la 1ra solución a la variable e PrintNatura l e,”Primera Solución” Mostramos la 1ra solución almacenada en la variable e (-b-√ (b^2-(4*a*c)))/2*a⇒⇒⇒⇒f Almacenamos la 2da solución a la variable f PrintNatural f,”Segunda Solucion” Mostramos la 2da solución almacenada en la variable f Message “ [email protected]”,”Fin del Programa” Mostramos un mensaje



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Tómese en cuenta que este programa hallara solo raíces que no sean imaginarias pero si sus solucio-nes son imaginarias nos aparecerá un mensaje de error, pero que cambiando el programa antes reali-zado podremos hallar todo tipo de soluciones para nuestros polinomios de segundo grado.

Diagrama de Flujo Programa Formula 1

Clear_a_z Borramos todas las variables minúsculas desde a hasta la z Input a,” Primer elemento”,” Ingrese” Ingresamos el primer elemento a la variable a Input b,” Segundo elemento”,” Ingrese” Ingresamos el segundo elemento a la variable b Input c,” Tercer elemento”, “ Ingrese” Ingresamos el tercer elemento a la variable c (b^2-(4*a*c)) ⇒⇒⇒⇒d Hallamos el discrimínate y lo almacenamos a la variable d If d>0:Then Nos preguntamos si d>0 por verdadero realizamos lo que sigue (-b+√(d))/2*a⇒⇒⇒⇒e Almacenamos la Primera solución en la variable e PrintNatura l e,”Primera Solucion” Mostramos la 1ra solución almacenada en la variable e (-b-√(d))/2*a⇒⇒⇒⇒f Almacenamos la Segunda solución en la variable f PrintNatura l f,”Segunda Solucion” Mostramos la 2da solución almacenada en la variable f Else Si d>0 por falso realizamos lo que sigue Message “Con números complejos a±bi”,”Soluciones” Mostramos mensaje -b/2*a⇒⇒⇒⇒e Almacenamos la parte entera del numero complejo a la variable e PrintNatural e,”a” Mostramos la parte entera del numero complejo (√(-d))/2*a⇒⇒⇒⇒f Almacenamos la parte imaginaria del numero complejo a la variable f PrintNatural f,” ±bi” Mostramos la parte imaginaria del numero complejo IfEnd Fin de nuestra sentencia de pregunta Message “ [email protected]”,”Fin del Programa” Mostramos un mensaje



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Cabe mencionar que después de cada Then o Else siempre deberá ir un retorno de carro ( ↵↵↵↵ ) EXE. Con este programa que es la modificación del primer programa que realizamos hallaremos las raíces o soluciones de cualquier tipo de polinomio de segundo grado.

Ejercicio 2 Hallar la raíz de la siguiente función usando el método de Newton Raphson (Métodos Numéricos)

1.- Datos conocidos

F(x) = x2 + 6x + 2

Con un Error Admisible E = 0.001 b =(x-(Fx/F′x))

2.- Diagrama de Flujo

3.- Pasos Previos

Para programar debemos ir al Menú Programa y seleccionar el segundo icono de la pantalla el que se encuentra debajo de Edit y seleccionar así de esta manera un Archivo nuevo que crearemos en la Carpeta que deseamos y con el nombre NRaphson . Después debemos tomar una de las siguientes opciones para introducir las sentencias que usaremos.

3.1.- Desde E/S (Entrada/Salida)

3.2.- Usando el Catalogo (CAT) del Teclado



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3.3.- Escribiendo cada sentencia a usar.

Como sugerencia es mejor optar por el Catalogo ya que esta tiene todas las sentencias que maneja la Classpad y es mas difícil cometer errores a diferencia de escribir cada sentencia. En este tercer programa usaremos sentencias no muy usadas como las que son para crear una matriz, llenar una matriz, almacenar una función, derivar una función. Programa NRaphson DefaultSetup Retorna a las configuración por defecto o de fabrica de la calculadora Clear_a_z Borramos todas las variables minúsculas desde a hasta la z

SetDecimal Muestra los valores en decimales

Message ”Método de Newton Raphson 1er Orden”,”Ecuación no Lineal” Muestra el mensaje

InputFunc y1(x),”Funcion F(x)”,”Ingrese” Ingresa una función a y1 de variable x

DrawGraph y1(x) Grafica la función almacenada en y1 de variable x

diff( y1(x))⇒⇒⇒⇒d Deriva la función y1 de variable x, almacenando en la variable d

PrintNatural d,”La derivada F′(x) es” Muestra la derivada de la función y1

Input x,”El valor de x”,”Ingrese” Asigna un valor a la variable x

ClrGraph borra la ventana de gráficos

Input e,”Error admisible”,”Ingrese” Asigna un valor ingresado desde teclado a la variable e

fill (0,2,6)⇒⇒⇒⇒m Crea una matriz en la variable m de 2 filas y 6 columnas con elementos 0

Iterac⇒⇒⇒⇒m[1,1] Coloca Iterac en la fila 1, columna 1 de la variable m

xi⇒⇒⇒⇒m[1,2] Coloca xi en la fila 1, columna 2 de la variable m

Fxi ⇒⇒⇒⇒m[1,3] Coloca Fxi en la fila 1, columna 3 de la variable m

F′xi ⇒⇒⇒⇒m[1,4] Coloca F′xi en la fila 1, columna 4 de la variable m

xi+1⇒⇒⇒⇒m[1,5] Coloca xi+1 en la fila 1, columna 5 de la variable m

Error⇒⇒⇒⇒m[1,6] Coloca Error en la fila 1, columna 6 de la variable m

1⇒⇒⇒⇒i Asigna 1 a la variable contador i

Do Hacer

i-1⇒⇒⇒⇒m[2,1] Asigna i-1 a la variable m fila 2 columna 1

x⇒⇒⇒⇒m[2,2] Asigna el valor de la variable x a la variable m fila 2 columna 2

y1(x)⇒⇒⇒⇒m[2,3] Asigna el valor de la variable x lo evalua en y1(x) a la variable m fila 2 columna 3

d⇒⇒⇒⇒m[2,4] Asigna el valor de la variable d a la variable m fila 2 columna 4

(x-(y1(x)/d))⇒⇒⇒⇒b Halla el valor de la variable b

b⇒⇒⇒⇒m[2,5] Asigna el valor de la variable b a la variable m fila 2 columna 5

abs(b-x)⇒⇒⇒⇒t Halla el valor de la variable t restando b –x en valor absoluto

t⇒⇒⇒⇒m[2,6] Asigna el valor de la variable t a la variable m fila 2 columna 6

PrintNatural m,”Iteración” Muestra una iteración

b⇒⇒⇒⇒x Asigna el valor de la variable b a la variable x

i+1⇒⇒⇒⇒i Aumenta en una unidad la variable contador i

LpWhile t>e Mientras se cumpla t>e

PrintNatural x,”La raiz buscada es” Muestra x las solución de esta función

Message “ [email protected]”,”Fin del Programa” Muestra un mensaje

Clear_a_z Borramos todas las variables minúsculas desde a hasta la z



40

Tómese en cuenta que para diferenciar una sentencia de una variable y demás datos se encuentran con negrilla para una mejor comprensión.

Consultas e información [email protected] (Oruro-Bolivia)

Aquí la foto de mi linda tierra Chicheña (Tupiza)



DP. - AS - 5119 - 2007

41

El arcoiris, la aplicación más hermosa El arcoiris, la aplicación más hermosa El arcoiris, la aplicación más hermosa El arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometríade la trigonometríade la trigonometríade la trigonometría

Álvaro Valdés Menéndez, Profesor de Matemáticas del I.E.S. Pérez de

Ayala de Oviedo. (Asturias) -------------------------

¿Quién no se ha quedado extasiado alguna vez mirando el arcoiris? ¿A quién no asombra ese conjunto de colores suspendido de la na-da? ¿Cuántas leyendas hay sobre él? En este artículo vamos a hacer que esa “ma-

gia” persista en nosotros, pero de otra forma muy distinta, comprendiendo su origen, dejan-do que la Física y la Matemática subyacente nos iluminen con igual ilusión. He preferido exponer este artículo plan-

teando hipótesis y refutándolas, yendo lenta-mente hacia el resultado final, esperando has-ta el último momento antes de exponer la terminología científica, deseando que así pue-da ser usado en un aula, en casa o en cualquier otro lugar y con otras personas que deseen conocer más sobre este maravilloso fenómeno y tengan pavor a las ecuaciones.

Primeras observaciones

El origen del arcoiris es de “dominio público”, se produce al reflejarse la luz en las gotas de agua. Pero, ¿es eso cierto? Aquello que todo el mundo dice, ¿es verdad?

Las dos imágenes que siguen a estas líneas muestran que no es tan simple.

Imagen 1 Imagen 2

Si las gotas de lluvia “simplemente” refleja-sen la luz, habría dos posibilidades: que se comportaran como una cortina (imagen 1) y por lo tanto, veríamos al Sol como reflejado en un espejo, o que cada gota reflejara la luz de forma individual (imagen 2). En este último ca-so, no se cumplirían dos de las características que se observan al ver un arcoiris:

- Sólo se observa cuando se mira con una dirección concreta, unos 40º - No veríamos colores. La reflexión no

descompone la luz en sus siete colores Por tanto, debe de haber algo más. La

respuesta es fácil, no sólo se produce reflexión, sino también refracción: el haz de luz debe entrar en la gota de agua. Con este cambio, ya explicamos la descomposición en colores de la luz: cada color se refracta de una forma distinta; al atravesar la superficie de la gota, se empieza a formar el arcoiris. Pero aún más cosas tienen que haber. ¿Dónde

debemos situarnos para ver el “arco de lluvia” que dicen los ingleses? Debemos estar de es-paldas al Sol, cuando éste está bajo en el hori-zonte; si no, la luz del Sol nos cegaría y no veríamos nada. Así que la luz debe reflejarse en el interior de la gota:

De este modo, antes de salir hacia nuestros

ojos, la luz ha sufrido dos refracciones y una reflexión.

La cuestión ahora es… al reflejarse la luz en el interior de la gota, ¿no se refracta y sale? La respuesta es afirmativa, pero también lo es si nos hacemos la pregunta inversa en el punto en que el rayo de sol toca a la gota y en el punto en el que el arcoris sale de ella: en los tres puntos se producen los dos fenómenos, reflexión y refracción, y la “energía luminosa” se reparte entre los dos haces, el reflejado y el refractado. Así explicamos por qué lo que los franceses llaman el “arco en el cielo” es tan tenue, se ha dispersado mucha luz por el camino hacia nuestros ojos.

Avanzando un poco

Ya Aristóteles se dio cuenta de que la luz procedente del Sol se reflejaba en cada una de las gotitas bajo un ángulo fijo, formando superficies cónicas de luz. De cada uno de es-tos conos llega a nuestro ojo una sola de sus

El arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometríaEl arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometríaEl arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometríaEl arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometría –––– Álvaro Valdés Menéndez Álvaro Valdés Menéndez Álvaro Valdés Menéndez Álvaro Valdés Menéndez


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generatrices. Esto tiene una implicación que podríamos llamar poética: a otro observador diferente le llegará luz de otras gotas y verá otro arcoiris distinto. Intentemos deducir resultados y planteemos

alguna ecuación. Empecemos por suponer que las gotas son esféricas. Esta suposición no es-tá tan separada de la realidad como el conoci-do chiste sobre físicos, una gota de agua es tan pequeña y tiene una tensión superficial tan elevada que hasta tamaños bastante más grandes que los típicos de una gota de lluvia la forma es esencialmente esférica. Sólo el vien-to o lluvias torrenciales deforman las gotas, e impiden también la formación del arcoiris.

Supongamos que el rayo de Sol incide hori-zontalmente sobre la gota en un punto situado a unidades por encima del ecuador y, por si-metría, analicemos el corte transversal de la misma de radio R. En 1667 Snell enunció la ley de la refracción por todos conocida:

refrrefrincinc sennsenn ϑϑ ·· =

siendo ninc y nrefr los índices de refracción de los medios de incidencia y de refracción. Apli-cada al haz incidente, y sabiendo que para la reflexión se verifica:

refrinc ϑϑ =

junto con el hecho geométrico de que los dos triángulos que se definen en el interior de la gota son isósceles (dos de sus lados son el ra-dio de la gota):

nos permite deducir que, respecto a las nor-

males a la circunferencia, el ángulo de salida es igual al ángulo de incidencia.

No obstante, a nosotros nos interesa el án-gulo respecto a la horizontal, que vemos fácil-mente que vale:

increfl ϑϑ ·2·4 −=Θ

Por trigonometría elemental,

R

asen inc =ϑ

de la que, aplicando la ley de Snell haciendo naire =1, obtenemos:

R

asen inc =ϑ y

Rn

asen refr ·

=ϑ

Hagamos, por comodidad x = a/R, y así:

arcsenxn

xarcsen ·2·4 −=Θ

Usando el valor de nagua = 1.33 obtenemos la siguiente representación gráfica:

Hay máximo sobre x = 0.85 (el radio vector

del haz forma un ángulo de unos 58º con la horizontal). Esto significa que hay una acumu-lación de rayos saliendo de la gota en torno a este ángulo. Si retomamos la idea de gota es-férica, y analizamos este corte transversal, hemos explicado el cono del que hablaba Ar-químedes.

¿Y los colores? Para obtener la gráfica anterior, hemos usa-

do un valor nagua = 1,33 para el índice de re-fracción de las gotas. Sin embargo, experi-mentalmente se ha comprobado que hay una pequeña influencia de la longitud de onda de la luz incidente, lo que hace que los máximos es-tén ligeramente desplazados de un color a otro. Es decir, cada color tiene su dirección preferente.

No obstante, cuando observamos algo sólo vemos aquello que ha reflejado (o emitido) un haz de luz hacia nuestros ojos. De este modo,



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sólo vemos aquél haz de color que vaya direc-tamente hacia nuestra pupila. Necesitamos más

de una gota para ver un arcoiris.

Matemática avanzada

Ya hemos analizado cualitativamente y sin mu-cho esfuerzo matemático nuestro querido arco iris. Vayamos un poco más lejos, obtengamos analíticamente la posición del máximo:

Derivando la expresión de Θ

arcsenxn

xarcsen ·2·4 −=Θ

obtenemos:

222 1

24'

xxn

n

−−

−=Θ

Igualamos a cero y resolvemos:

3

4 2n−±=Θ

Con el valor promedio de nagua = 1.33 obtene-mos

Θ = ± 0.861

es decir, un ángulo de visión de 42.03º desde el suelo con simetría cónica, como bien muestra este boceto de Descartes:

Si analizamos, por último, la ya citada in-fluencia del color de la luz en la refracción, obtenemos experimentalmente que para la luz roja nagua = 1,332, mientras que para la luz violeta nagua = 1,343. De este modo,

Θrojo = 42.22º y Θvioleta = 40.65º

o sea, una amplitud de más de grado y medio desde el color rojo (superior) hasta el violeta (inferior).

¿Y por qué es un arco?

De nuevo, en el boceto de Descartes tene-mos la respuesta: El suelo nos impide ver el círculo completo. Desde lo alto de una monta-ña o desde un avión en vuelo podríamos ver un “círculoiris”.

¿Y si analizamos las otras reflexiones internas?

Es perfectamente posible, y en ocasiones se observan, haces provenientes de otras re-flexiones. Si recuperamos lo dicho anterior-mente acerca de la pérdida de intensidad lu-minosa en cada reflexión/refracción, estos segundos arcos serán más tenues aún que los primeros. Rehaciendo los cálculos para la se-gunda reflexión se obtiene:

Θrojo = 50.63º y Θvioleta = 53.48º

es decir, aparecen invertidos respecto al ar-co primario.

Debe notarse también que el arco secundario aparece casi 8 grados por encima del primario, lo que deja una zona que se aprecia más oscu-ra y que recibe el nombre de banda oscura de Alejandro de Afrodisias.

En ocasiones, y cuando los arco iris primario y secundario son muy intensos, parecen arcos menores entre los dos, y reciben el nombre de arcos supernumerarios, y son consecuencia de interferencias constructivas entre diversos haces en el interior de las gotas.

El arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometríaEl arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometríaEl arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometríaEl arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometría –––– Álvaro Valdés Menéndez Álvaro Valdés Menéndez Álvaro Valdés Menéndez Álvaro Valdés Menéndez


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¿Y el caldero de oro?

De las definiciones y los cálculos hechos en el artículo, deducimos que si intentamos acer-carnos a la cortina de lluvia, el arco iris irá disminuyendo paulatinamente hasta desapare-cer cuando alcanzamos su base. Por este moti-vo no se puede nunca alcanzar esa cestita con monedas de oro que se encuentra en la base del arco iris, tal y como nos relata un cuento inglés.

Se cuenta la anécdota del pasajero de una avioneta que, viendo el arcoiris en el cielo, pi-dió al piloto que lo atravesara. Por desgracia para él, el arcoiris nunca fue aumentando has-ta convertirse en una pared de colores, sino que simplemente se desvaneció; el avión se había acercado demasiado a la cortina de llu-via que generaba el arcoiris.

Para saber más:

1. http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_iris

2. http://es.wikibooks.org/wiki/Física/Óptica/Teoría_completa_del_Arco_Iris

3. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/ondas/movimiento/arcoIris/arcoIris.xhtml

4. http://www.fq.profes.net/archivo2.asp?id_contenido=35220



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Trabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráfica

Rosana Álvarez García, Profesora de Tecnología del I.E.S. “Alfonso II", de Oviedo (Asturias) --------

Las vigas constituyen un elemento fundamental de la mayoría de las estructuras mecánicas. Las cargas que soportan producen en ellas una serie de deformaciones que se manifiestan en pequeñas curvaturas que se denominan flexión.

El estudio de estas deformaciones precisa conocer el esfuerzo cortante y el momento flector en cada una de las secciones de la viga.

La calculadora gráfica nos permite representar y resolver las ecuaciones resultantes del estudio de las fuerzas que actúan sobre la viga ayudándonos en la resolución e interpretación de los esfuer-zos que sufren las estructuras al ser sometidas a determinadas fuerzas.

Vamos a ver las aplicaciones de la calculadora gráfica en la resolución del siguiente ejercicio:

Actividad 1

La viga de la figura soporta una carga uniforme de 3,2 KN/m y una carga concentrada de 20 KN. Representar el diagrama de esfuerzos internos y dimensionar la viga teniendo en cuenta que la ten-sión admisible es de 24 000 N/cm2. Suponer un perfil cuadrado.

Una carga uniforme equivale a una carga puntual de valor P = p·l y situada en el centro de grave-dad de la sección de viga a la que afecta.

En primer lugar calculamos el valor de las reacciones en los apoyos y los momentos entre ellos. Si la viga está estática la suma de las fuerzas verticales y horizontales debe ser cero, es decir:

ΣFx = 0 ΣFy = 0

El momento resultante también debe ser 0:

ΣMA = 0 ⇒ 20 KN·9m + 3,2 KN/m·25m·25/2m + RB·20 = 0

RB = -59 KN

ΣMB = 0 ⇒ -20 KN·11m + 3,2 KN/m·25m·20/2m + RA·20 = 0

RA = -29 KN

Para que la viga quede definida debemos estudiar tres secciones. La primera sección corresponde a la parte de la viga situada entre el punto A y la fuerza de 20 KN.

Trabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráfTrabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráfTrabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráfTrabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráficaicaicaica


46

Esta primera sección está comprendida entre o y 9 m, y de su análisis obtenemos las siguientes ecuaciones:

0<x<9

ΣFy = 0 ⇒ RA+ p·x +T(x) = 0

T(x) = -3,2·x + 41 ΣMx = 0 ⇒ RA·x + p·x·x/2 + M(x) = 0

M(x) = -1,6·x2 + 41·x

En la segunda sección de la viga vamos desde el recorriendo la viga desde el punto A hasta el pun-to B:

9<x<20

ΣFy = 0 ⇒ RA+ p·x + 20 +T(x) = 0

T(x) = -3,2·x + 21

ΣMx = 0 ⇒ RA·x+p·x2/2+20·(x-9)+M(x)=0

M(x) = -1,6·x2 + 21·x + 180

En la tercera sección recorremos la viga desde los 20 metros hasta el final:

20<x<25

ΣFy = 0 ⇒ RA+ p·x + 20+RB +T(x) = 0

T(x) = -3,2·x + 80

ΣMx = 0⇒ RA·x+p·x2/2+20·(x-9)+RB·(x-20)+M(x)= 0

M(x) = -1,6·x2 + 80·x - 1000

Vamos a representar las gráficas de cada sección empleando la calculadora CASIO fx-9860G.

Desde el MENU de la calculadora y utilizando los cursores accedemos al modo GRAPH



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47

Tecleamos las ecuaciones obtenidas en cada sección para los esfuerzos y los momentos

Para delimitar el intervalo de cada ecuación en la calculadora gráfica debemos introducir la ecua-ción una coma y el intervalo entre 0 y 9 entre corchetes

-

Ans 3

2

X SH IFT

+

[ x

+

4

1

,

k ,

ALPH A

+

[ x 0

,

k ,

9 ALPHA

-

] y

Obtenemos el siguiente diagrama de esfuerzos

En el caso de los momentos tendremos:

Introducimos los datos en la calculadora en el modo GRAPH y nos queda:

Para dimensionar la viga debemos conocer el máximo de la función, para ello:

SHIFT

F5 G-Sol

F2 MAX

EXE

En este caso el máximo se alcanza en el punto de corte entre las dos curvas, con la calculadora:

SHIFT

F5 G-Sol

F5 ISCT

EXE



48

Es necesario conocer el punto en el que la viga presenta un mayor momento flector que como vi-mos gráficamente se corresponde con el punto 9 y un esfuerzo flector de 239,4.

Todo momento flector origina una tensión normal que depende del valor del flector, de la distan-cia a la fibra neutra y el momento de inercia. La máxima tensión que se produce en la fibra más ale-jada de la fibra neutra (ymáx = ½)

σ = =

l = 18,16 cm

Otra forma de calcular el punto con el momento flector mayor es a través de las derivadas de cada ecuación, para ello seguiremos los siguientes pasos con la calculadora gráfica:

Activamos la opción de derivadas en la calculadora:

SHIFT

MENU SET UP

Con los cursores bajamos hasta la opción derivada

F1 ON

Volvemos a escribir las ecuaciones en la calculadora pero desde el modo TABLE y sin especificar

intervalos, escribimos las ecuaciones de los momentos flectores:

Obtenemos la tabla de valores estableciendo previamente los valores a calcular, en nuestro caso

los valores que toma la variable x van desde 0 a 25; establecemos el intervalo con el que queremos trabajar:

F5

SET

F6

TABL

Ya tenemos las tres funciones que nos indican el comportamiento del momento flector en cada sección con la derivada en cada punto asociada.

El punto en el que la derivada primera sea cero, tenemos un máximo o un mínimo, puntos de mayor esfuerzo flector en la viga. Una vez conocidos estos puntos llevaríamos a cabo su estudio. En este caso el momento flector máximo se encuentra en el punto de corte de las dos funciones resultantes en el planteamiento del problema.



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Actividad 2

Analizar la viga de la figura determinando los momentos máximos positivo y negativo y trazando los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. El perfil I de la viga si σadm = 1 200 Kg/cm2

Una carga uniforme equivale a una carga puntual de valor P = p·l y situada en el centro de grave-dad de la sección de viga a la que afecta.

En primer lugar calculamos el valor de las reacciones en los apoyos y los momentos entre ellos. Si la viga está estática la suma de las fuerzas verticales y horizontales debe ser cero, es decir: ΣFx = 0 ΣFy = 0 El momento resultante también debe ser 0: ΣMA = 0 ⇒ 2 000 Kg · 5m · 5/2 m – 1 000 Kg · 2 m - RB · 4 = 0

25 000 – 2 000 - 4 · RB = 0

RB = 5750 Kg

ΣMB = 0 ⇒ -1 000 Kg · 6 m – 2 000 Kg/m · 5 m · 1,5 m + RA·4 = 0

RA = 5 250 Kg

Para que la viga quede definida debemos estudiar tres secciones. La primera sección corresponde

a la parte de la viga situada entre la fuerza de 1 000 Kg y el punto A.

Esta primera sección está comprendida entre 0 y 2 m, y de su análisis obtenemos las siguientes ecuaciones:

0 < x < 2

ΣFy = 0 ⇒ RA +T(x) = 0

T(x) = -1 000 Kg ΣMx = 0 ⇒ M(x) = 0

M(x) = -1 000 · x

En la segunda sección de la viga vamos desde el recorriendo la viga desde el punto A hasta el pun-to B:

2 4 1

1 000 Kg 2 000 Kg/m

A B

2 4 1

1 000 Kg 2 000 Kg/m

A B

1 000 Kg

2

A



50

2 < x < 6

ΣFy = 0 ⇒ RA+ p·x + 1 000 +T(x) = 0

T(x) = 5 250 – 2 000·(x - 2) – 1 000 T(x) = -2000·x + 8250

ΣMx = 0 ⇒

M(x) = -1 000· x + 5250·(x-2) – 2000·(x-2)2/2 M(x) = - 1 000 · x2 + 8 250·x – 14 500

En la tercera sección recorremos la viga desde los 6 metros hasta el final:

6 < x < 7

ΣFy = 0 ⇒ -1000 + 5250 – 2000·x + 5750 +T(x) = 0

T(x) = -2000·(x – 6) + 2000

ΣMx = 0⇒ -1000·x+5250·(x-2)–2000·(x-2)2/2

+ 5750·(x-6) + M(x)= 0

M(x) = -100·x2 + 14 000·x – 49 000

Vamos a representar las gráficas de cada sección empleando la calculadora CASIO fx-9860G.

Desde el MENU de la calculadora y utilizando los cursores accedemos al modo GRAPH

Tecleamos las ecuaciones obtenidas en cada sección para los esfuerzos y los momentos Para delimitar el intervalo de cada ecuación en la calculadora gráfica debemos introducir la ecua-

ción una coma y el intervalo entre 0 y 9 entre corchetes

-

Ans 3

2

X SH IFT

+

[ x

+

4

1

,

k ,

ALPH A

+

[ x 0

,

k ,

9 ALPHA

-

] y

Obtenemos el siguiente diagrama de esfuerzos

En el caso de los momentos tendremos:

Introducimos los datos en la calculadora en el modo GRAPH y nos queda:

Para dimensionar la viga debemos conocer el máximo de la función, para ello:

2 4 1,5

1 000 Kg 2 000 Kg/m · 5

A B

2 4 1

1 000 Kg 2 000 Kg/m

A B



DP. - AS - 5119 - 2007

51

SHIFT

F5 G-Sol

F2 MAX

EXE

En este caso el máximo se alcanza en el punto (4.125, 2515.625)

EXE

SHIFT

MENU SET UP

Otra forma de calcular el punto con el momento flector mayor es a través de las derivadas de cada ecuación, para ello seguiremos los siguientes pasos con la calculadora gráfica.

Opción derivada

F1 ON

Volvemos a escribir las ecuaciones en la calculadora pero desde el modo TABLE y sin especificar

intervalos. Escribimos las ecuaciones de los momentos flectores.

Tenemos que eliminar los intervalos para poder trabajar en el modo tabla Obtenemos la tabla de valores estableciendo previamente los valores a calcular, en nuestro caso

los valores que toma la variable x van desde 0 a 25. Establecemos el intervalo con el que queremos trabajar.

F5

SET

F6

TABL

F6

TABL

Para x = 4.125 el valor de la derivada de la ecuación del segundo momento flector es nula, lo que indica la presencia de un máximo o un mínimo, que se observa en la gráfica.

Ya tenemos las tres funciones que nos indican el comportamiento del momento flector en cada sección con la derivada en cada punto asociada.

El punto en el que la derivada primera sea cero, tenemos un máximo o un mínimo, puntos de mayor esfuerzo flector en la viga.

Como ya vimos el valor máximo positivo del momento, se obtiene en la sección de abscisa x = 4.125.

Para este valor obtenemos un momento de valor aproximado de 2516 Kg·m El perfil lo obtenemos calculando el momento máximo en relación con la tensión máxima admisible,

σadm = 1 200 Kg/cm2 y nos queda: 2516Kg·m = 2516·100 Kg·cm

El uso de la calculadora nos permite observar gráficamente los puntos de mayor momento flector y su cálculo.

LITERATURA MATEMÁTICA


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LITERATURA MATEMÁTICA Marta Martín Sierra

Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos mememementntntntiiiirososrososrososrosos ( ( ( (Henry David ThoreauHenry David ThoreauHenry David ThoreauHenry David Thoreau))))

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Hace quince años que nadie me ve. Para tener una Hace quince años que nadie me ve. Para tener una Hace quince años que nadie me ve. Para tener una Hace quince años que nadie me ve. Para tener una vida hay que disponer de un rostro.» Una nueva vida hay que disponer de un rostro.» Una nueva vida hay que disponer de un rostro.» Una nueva vida hay que disponer de un rostro.» Una nueva voz que no dejará indiferente. voz que no dejará indiferente. voz que no dejará indiferente. voz que no dejará indiferente. Antoni, el narrador de esta Antoni, el narrador de esta Antoni, el narrador de esta Antoni, el narrador de esta historia, quedó desfighistoria, quedó desfighistoria, quedó desfighistoria, quedó desfigu-u-u-u-rado a los veinte años a consecuencia de un accrado a los veinte años a consecuencia de un accrado a los veinte años a consecuencia de un accrado a los veinte años a consecuencia de un acci-i-i-i-dente de tráfico. Perdió el rostro, y con él la oportdente de tráfico. Perdió el rostro, y con él la oportdente de tráfico. Perdió el rostro, y con él la oportdente de tráfico. Perdió el rostro, y con él la oportu-u-u-u-nidad de llevar una vida normal. Dotado de un tnidad de llevar una vida normal. Dotado de un tnidad de llevar una vida normal. Dotado de un tnidad de llevar una vida normal. Dotado de un ta-a-a-a-lento especial para las matemáticas, Antoni vive lento especial para las matemáticas, Antoni vive lento especial para las matemáticas, Antoni vive lento especial para las matemáticas, Antoni vive aislado en un universo propio hechaislado en un universo propio hechaislado en un universo propio hechaislado en un universo propio hecho de álgebra, lo de álgebra, lo de álgebra, lo de álgebra, li-i-i-i-teratura y cine. El encuentro con un transexual teratura y cine. El encuentro con un transexual teratura y cine. El encuentro con un transexual teratura y cine. El encuentro con un transexual llamado Lisa y Pedro Almodóvar cambia su vida llamado Lisa y Pedro Almodóvar cambia su vida llamado Lisa y Pedro Almodóvar cambia su vida llamado Lisa y Pedro Almodóvar cambia su vida para siempre. La pasión reflejada en la mirada de para siempre. La pasión reflejada en la mirada de para siempre. La pasión reflejada en la mirada de para siempre. La pasión reflejada en la mirada de Lisa y la intensidad de la mirada de Almodóvar le Lisa y la intensidad de la mirada de Almodóvar le Lisa y la intensidad de la mirada de Almodóvar le Lisa y la intensidad de la mirada de Almodóvar le devuelven la ilusión, las ganas de explorar eldevuelven la ilusión, las ganas de explorar eldevuelven la ilusión, las ganas de explorar eldevuelven la ilusión, las ganas de explorar el mu mu mu mun-n-n-n-do. Comienza así un singular proyecto al más puro do. Comienza así un singular proyecto al más puro do. Comienza así un singular proyecto al más puro do. Comienza así un singular proyecto al más puro estilo Almodóvar, el de hacer una película basada estilo Almodóvar, el de hacer una película basada estilo Almodóvar, el de hacer una película basada estilo Almodóvar, el de hacer una película basada en la vida de Antoni.en la vida de Antoni.en la vida de Antoni.en la vida de Antoni.

Novela muy breve, escrita de forma muy especial. Muy legible, pero difereNovela muy breve, escrita de forma muy especial. Muy legible, pero difereNovela muy breve, escrita de forma muy especial. Muy legible, pero difereNovela muy breve, escrita de forma muy especial. Muy legible, pero diferennnnte a te a te a te a todo.todo.todo.todo.

El laberinto de la rosaEl laberinto de la rosaEl laberinto de la rosaEl laberinto de la rosa ( ( ( (Titania HardieTitania HardieTitania HardieTitania Hardie)))) 432 páginas 432 páginas 432 páginas 432 páginas ---- Nivel: BachiNivel: BachiNivel: BachiNivel: Bachillerato llerato llerato llerato ----22 €22 €22 €22 €

Un enigma por descifrar, un legado por desentUn enigma por descifrar, un legado por desentUn enigma por descifrar, un legado por desentUn enigma por descifrar, un legado por desente-e-e-e-rrar, un corazón por curar.rrar, un corazón por curar.rrar, un corazón por curar.rrar, un corazón por curar. Una madre lega en su testamento un misterioso Una madre lega en su testamento un misterioso Una madre lega en su testamento un misterioso Una madre lega en su testamento un misterioso escrito y una sencilla llave de plata al menor de los escrito y una sencilla llave de plata al menor de los escrito y una sencilla llave de plata al menor de los escrito y una sencilla llave de plata al menor de los hermanos. La tradición familiar establece que dhermanos. La tradición familiar establece que dhermanos. La tradición familiar establece que dhermanos. La tradición familiar establece que di-i-i-i-chos objetos pasen chos objetos pasen chos objetos pasen chos objetos pasen de madres a hijas, pero ella, al de madres a hijas, pero ella, al de madres a hijas, pero ella, al de madres a hijas, pero ella, al tener únicamente hijos varones, se devana los sesos tener únicamente hijos varones, se devana los sesos tener únicamente hijos varones, se devana los sesos tener únicamente hijos varones, se devana los sesos durante las últimas semanas de su vida para decdurante las últimas semanas de su vida para decdurante las últimas semanas de su vida para decdurante las últimas semanas de su vida para deci-i-i-i-dir qué hacer con aquellas curiosas menudencias dir qué hacer con aquellas curiosas menudencias dir qué hacer con aquellas curiosas menudencias dir qué hacer con aquellas curiosas menudencias sin valor aparente que habían permanecido en el sin valor aparente que habían permanecido en el sin valor aparente que habían permanecido en el sin valor aparente que habían permanecido en el seno de la familia durante seno de la familia durante seno de la familia durante seno de la familia durante generaciones. Tal vez generaciones. Tal vez generaciones. Tal vez generaciones. Tal vez debería recibirlas Alex, pdebería recibirlas Alex, pdebería recibirlas Alex, pdebería recibirlas Alex, peeeero siempre ha estado ro siempre ha estado ro siempre ha estado ro siempre ha estado muy unida a Will, y aunque en verdad ama por muy unida a Will, y aunque en verdad ama por muy unida a Will, y aunque en verdad ama por muy unida a Will, y aunque en verdad ama por igual a ambos, ella se aferra al presentimiento de igual a ambos, ella se aferra al presentimiento de igual a ambos, ella se aferra al presentimiento de igual a ambos, ella se aferra al presentimiento de

que éste último es el destinque éste último es el destinque éste último es el destinque éste último es el destinaaaatario más idóneo. El documento parece tener mucho tario más idóneo. El documento parece tener mucho tario más idóneo. El documento parece tener mucho tario más idóneo. El documento parece tener mucho que decir.que decir.que decir.que decir.

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DP. - AS - 5119 - 2007

53

Abel Martín y Marta Martín Sierra -------------------------

Queremos mencionar en un lugar destacado

la celebración, dentro de unos meses, de las

XIV JAEM en Girona, del 1 al 4 de julio de

2009.

Todo empezó en diciembre de 1980, en una

reunión celebrada en Sevilla, donde se decidió

organizar “una serie de encuentros periódicos

para profesores de EGB, BUP, FP y Universi-

dad, destinados a potenciar el intercambio de

experiencias, la renovación metodológica y la

reflexión sobre su quehacer" y ya vamos por la

decimocuarta edición.

Temas de las XIV JAEM La enseñanza en general, y la enseñanza de

las matemáticas en particular, no puede man-

tenerse ajena a los cambios constantes y ace-

lerados que se producen en la sociedad. Conti-

nuamente surgen nuevas necesidades en la

formación matemática de las personas y, a la

vez, aparecen nuevas ideas, formas y herra-

mientas educativas para afrontar estos retos.

Cada vez es más relevante, en el quehacer y

en el trabajo cotidiano, disponer de capacida-

des matemáticas fundamentales como la de

pensar y razonar matemáticamente, la de

plantearse y resolver problemas, la de obte-

ner, interpretar y generar información con

contenido matemático, la de utilizar técnicas

matemáticas básicas e instrumentos para

hacer matemáticas, la de interpretar y repre-

sentar expresiones, procesos y resultados ma-

temáticos, la de comunicar a otras personas

ideas matemáticas.

Sin olvidar los habituales contenidos curricu-

lares, la educación matemática actual ha de

intentar aportar a las futuras generaciones

estas capacidades matemáticas de fondo que

les ayudaran a interactuar eficaz y construc-

tivamente con su entorno.

Es por todo ello que la XIV edición de las

JAEM del 2009 a celebrar en Girona estará

centrada en las competencias matemáticas…

en todos los niveles educativos (infantil, pri-

maria, secundaria y universitaria) más que en

los contenidos matemáticos.

La tabla que sigue detalla los siete grandes

temas sobre los que deberán versar las ponen-

cias y comunicaciones que se presenten en las

Jornadas. Los descriptores que acompañan a

cada tema tan sólo pretenden orientar, que no

detallar de forma exhaustiva, sobre el signifi-

cado de las diferentes denominaciones que se

han dado a los temas.

1.- Planteamiento y resolución de problemas

El planteamiento y la resolución de proble-

mas es uno de los componentes esenciales de

la actividad matemática y de su aprendizaje.

Es importante que estén presentes de forma

continuada a lo largo de todo el periodo for-

mativo del estudiante y no constituir una pieza

aislada de los diferentes currículos

2.- Pensamiento y razonamiento matemático

La actividad matemática desencadena proce-

sos que permiten desarrollar capacidades ge-

néricas (explorar, clasificar, analizar, genera-

lizar, estimar, inferir, abstraer, argumentar)

y otras más específicas asociadas al pensa-

miento lógico y la capacidad de razonamiento

(deductivo, inductivo, analógico). A su vez

educa la percepción y visualización espacial,

estimula la actitud crítica, agudiza la intuición,

fomenta la creatividad, prepara para la toma

de decisiones y el enfrentamiento con situa-

ciones nuevas... Pero a pesar del tópico según

el cual las matemáticas enseñan a pensar, es-

tos procesos no se producen de forma espon-

tánea.

3.- Simbolismo, formalización y demostración

en matemáticas

La abstracción no es una característica ex-

clusiva de las matemáticas, como tampoco lo

son otros procesos cognitivos de índole mate-

mática tales como analizar, categorizar, con-

jeturar, generalizar, sintetizar, definir, de-

mostrar, formalizar... Pero sin duda adquieren

gran importancia en los procesos de enseñanza

de las matemáticas ya que se realizan en con-

textos idóneos para alcanzar niveles de abs-

tracción y formalización. Las diversas notacio-

nes simbólicas que se emplean en la construc-

ción y la formalización de conceptos matemá-

ticos, y la importancia que se asigna a la com-

prensión y uso de símbolos.

XIV JAEM de Girona XIV JAEM de Girona XIV JAEM de Girona XIV JAEM de Girona ---- AAAAbel Martínbel Martínbel Martínbel Martín y Marta Martín Sierra y Marta Martín Sierra y Marta Martín Sierra y Marta Martín Sierra


54

4.- Comunicar en, con y sobre las matemáticas

Este bloque temático está dedicado a la co-

municación matemática en el sentido más am-

plio del término y en los contextos más dispa-

res que nos podamos imaginar

5.- Modelización y representación en matemá-

ticas

Las matemáticas nos ayudan a modelar e in-

terpretar una gran variedad de situaciones de

todo tipo. Pero los modelos tan solo aspiran a

ser buenas aproximaciones a la realidad.

6.- Herramientas, materiales y otros recursos

de apoyo para trabajar matemáticas

El desarrollo tecnológico pone a nuestra dis-

posición múltiples y variadas herramientas di-

gitales que pueden ser utilizadas para enseñar

matemáticas que se añaden a la gran cantidad

de materiales manipulativos de calidad que a lo

largo de la historia han estado presentes en

las clases de matemáticas.7.- Conexiones y

contextos

Comprender significa hacer conexiones, rela-

cionar nuevos conocimientos con otros ya co-

nocidos. La matemática, aunque se presente a

menudo en compartimentos estancos, es un to-

do y está vinculada a aspectos de la vida coti-

diana que a menudo pasan desapercibidos.

La Ciudad de Girona es una ciudad que, ade-

más de su patrimonio histórico y monumental,

forma parte de la Asociación Internacional de

Ciudades Educadoras.

El Auditori-Palau de Congresos está dotado

con las mejores tecnologías que se necesitan

por este congreso y con sus diferentes salas y

espacios cubrirá la mayor parte de las necesi-

dades de espacio para las sesiones plenarias,

ponencias, talleres,...

Trabajos a presentar:

Como siempre, aquellos interesados en parti-

cipar, además de asistir, lo podrán hacer en al-

guna de las siguientes modalidades:

- Comunicación oral en alguno de los núcleos

temáticos.

- Presentación de un Taller.

- Participación en el Zoco Matemático.

NOVEDAD:

En las Jornadas de Girona se introduce la no-

vedad de las “comunidades” o “encuentros en-

tre iguales”. Concebimos una “comunidad” como

un foro de discusión virtual (a través de la

red) en torno a un tema muy específico de in-

terés para la comunidad de profesores de ma-

temáticas. El objetivo es que en los meses pre-

vios al Congreso de Girona se genere una dis-

cusión y un intercambio de información sufi-

cientes entre los profesores interesados en la

temática de la comunidad para culminar, en el

transcurso de las Jornadas, en un encuentro

personal de los participantes en el foro virtual

para procurar llegar, si es factible, a algún tipo

de conclusión. No sé descarta que la “comuni-

dad” pueda tener continuidad después de las

JAEM.

Veamos algunas comunidades previstas:

A. Geometría dinámica B. Matemáticas e inglés C. Formación permanente del profesorado D. Formación inicial del profesorado E. Calculadoras en el aula Definición

Bajo la denominación genérica de comunidad

(o “encuentro entre iguales”, “foro virtual de

discusión”, ...) entenderemos como un lugar vir-

tual que utiliza las facilidades de Internet pa-

ra propiciar que un grupo de personas intere-

sadas conozcan, intercambien y discutan ideas,

experiencias y información variada acerca de

una determinada temática.

Organización

Al frente de cada comunidad hay dos perso-

nas -designadas por el Comité de Programa de

las XIV JAEM- responsables de dinamizar y

ordenar el funcionamiento de aquélla, así como

de recapitular al final del proceso los principa-

les resultados/conclusiones/... a que se haya

podido llegar.



DP. - AS - 5119 - 2007

55

La adscripción inicial a una determinada co-

munidad es voluntaria y el interesado se in-

corpora a la misma desde la página web de las

XIV JAEM. Se supone que la adscripción a una

comunidad conlleva en la persona que la realiza

un compromiso implícito de participar de una

forma más o menos fluida y constructiva en la

dinámica de la misma.

La organización de la dinámica interna de

una comunidad –en relación a los temas a tra-

tar, a las preguntas a discutir,... – es respon-

sabilidad exclusiva de los responsables de

aquélla los cuales tienen plena libertad de ac-

tuación.

Las diferentes comunidades de estas XIV

JAEM se abrirán a principios del mes de ene-

ro de 2009 y se mantendrán abiertas hasta

poco antes de finalizar el congreso a primeros

de julio.

Durante las XIV JAEM se habilitará para

cada comunidad un espacio en la sede del con-

greso y un tiempo para que las personas que

asistan al mismo puedan continuar de forma

presencial la discusión mantenida de forma

virtual durante los primeros meses del 2009.

Tan sólo podrán inscribirse a estas sesiones

presenciales aquellas personas que, a criterio

de los responsables de la comunidad, hayan

participado de forma activa en la misma du-

rante su fase virtual previa.

Los requerimientos informáticos para hacer

efectiva las discusiones virtuales en el seno de

cada comunidad corren a cargo del Comité Or-

ganizador de las XIV JAEM. Otros

La información genérica de presentación de

cada comunidad será elaborada por los res-

ponsables de la misma (ver criterios generales

al final de este documento) y figurará en la

página web de las XIV JAEM. Será a partir de

esta página que la persona interesada realiza-

rá la inscripción inicial a la comunidad y entra-

rá en el foro de la misma.

Aquellas comunidades que quieran que se pu-

blique en las pre-actas del congreso un re-

sumen de las principales aportaciones realiza-

das en el foro virtual de la misma, deberán

remitir el documento correspondiente antes

del 30 de abril de 2009. Compete a los res-

ponsables de la comunidad la elaboración del

documento.

COMUNIDAD "CALCULADORAS EN EL AULA"

Coordinación

<< Mauricio Contreras del Rincón , Licenciado en Matemáticas, Diploma de Estudios Avan-zados. Profesor de Secundaria IES Benicalap (Valencia), Profesor asociado Dpto. Didáctica de las Matemáticas, Universidad de Valencia. Ponente de cursos de formación del profeso-rado sobre calculadoras científicas, gráficas y simbólicas. Miembro de la División didáctica CASIO. >>

<< Ricard Peiró i Estruch , Licenciado en Mate-máticas, Profesor de Secundaria IES Abastos (Valencia). Ponente en cursos de formación del profesorado sobre el uso de las TIC y las calculadoras en el aula.>>

Temática

El actual desarrollo de las nuevas tecnolo-gías, el proceso de convergencia de siste-mas educativos europeos y el nuevo cam-bio que supone la LOE, hacen necesario re-flexionar sobre la incidencia del uso de calculadoras tanto en el currículo como en la dinámica de las clases. El objetivo fun-damental de esta comunidad es la discu-sión, reflexión e intercambio de experien-cias de aula sobre los efectos de las calcu-ladoras en el currículo. Se pretende elabo-rar un documento de conclusiones, con orientaciones para el profesorado, que fi-gurará en las actas del congreso. Los te-mas que se tratarán son los siguientes: 1. LAS CALCULADORAS Y EL

CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS •••• ¿Contribuyen las calculadoras a la ad-

quisición de las competencias básicas? ¿Cómo?

•••• Con el uso de calculadoras pueden tra-tarse en clase contenidos matemáticos nuevos. Por ejemplo, hoy es posible ajustar distintos modelos de regresión a una nube de puntos y no solo el li-neal. ¿En qué medida el currículo debe-ría adaptarse a las posibilidades que abren los nuevos modelos de calcula-doras? ¿Cómo afectan las calculadoras a los contenidos matemáticas que se llevan al aula?

•••• Modelización y simulación con calcula-doras: ¿una nueva forma de pensar en la clase de matemáticas?

•••• Con las calculadoras gráficas y simbó-licas ¿se favorecen las conexiones en-tre distintas partes de las matemáticas y entre las matemáticas y otras áreas?

XIV JAEM de Girona XIV JAEM de Girona XIV JAEM de Girona XIV JAEM de Girona ---- AAAAbel Martínbel Martínbel Martínbel Martín y Marta Martín Sierra y Marta Martín Sierra y Marta Martín Sierra y Marta Martín Sierra


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2. LAS CALCULADORAS EN PRIMARIA: •••• ¿Qué experiencias hay en nuestro pa-

ís? ¿Qué experiencias hay en otros países? ¿Se pueden usar las calcula-doras gráficas con niños de 10 años?

•••• “Con la introducción de las calculado-ras en el aula, mis alumnos no sabrán calcular...” ¿Son incompatibles las cal-culadoras con el cálculo mental y escri-to?

•••• ¿Por qué hay tendencia a considerar que las calculadoras son nocivas para el cálculo mental y, sin embargo, no se piensa lo mismo de los ordenadores?

3. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON

CALCULADORAS: •••• ¿Qué tipo de calculadora? ¿Qué tipo de

problemas? •••• Los estudiantes investigan con calcu-

ladoras en el aula: ¿ficticio, real o posi-ble?

•••• El uso de calculadoras en el aula ¿favo-rece que cada vez más estudiantes al-cancen los niveles de conexión y re-flexión y abandonen progresivamente el nivel de reproducción?

4. LAS CALCULADORAS GRÁFICAS Y

SIMBÓLICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO:

•••• ¿Más calculadora=menos cálculo men-tal?

•••• ¿Más calculadora=menos álgebra? •••• ¿Más calculadora gráfica=más geome-

tría=más imaginación? •••• ¿Se puede hacer geometría analítica

con la calculadora gráfica? 5. LAS CALCULADORAS GRÁFICAS Y

SIMBÓLICAS EN LA UNIVERSIDAD: •••• ¿Las calculadoras demuestran teore-

mas? •••• ¿Cómo se puede conjeturar con una

calculadora gráfica? •••• Las calculadoras gráficas y simbólicas

¿favorecen los procesos de razona-miento de los estudiantes universita-rios?

6. LAS CALCULADORAS GRÁFICAS Y

SIMBÓLICAS EN SELECTIVIDAD: •••• ¿Qué ocurre en otros países de nuestro

entorno y qué ocurre aquí? •••• ¿Adecuar las calculadoras a los exá-

menes o los exámenes a las calculado-ras?

7. ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA Y CALCULADORAS:

•••• Actualmente, el uso de una calculadora elemental o científi-ca es un conoci-miento básico para la vida cotidiana. En un futuro, ¿será im-prescindible saber manejar una calculadora gráfica o sim-bólica para la vida cotidiana?

8. DESARROLLO TECNOLÓGICO Y

CALCULADORAS: •••• El desarrollo actual de ordenadores ca-

da vez más pequeños, ¿puede afectar al desarrollo de las calculadoras gráfi-cas y simbólicas?

•••• En un futuro ¿existirán diferencias en-tre ordenadores de bolsillo y calculado-ras gráficas o simbólicas?

•••• ¿Será posible en un futuro escribir ma-nualmente sobre la pantalla de una cal-culadora gráfica, sin necesidad de pul-sar teclas?

9. LAS CALCULADORAS EN LA

PRÁCTICA •••• ¿Los precios son excesivos? •••• ¿La heterogeneidad de modelos de cal-

culadora es un problema? •••• ¿Pueden coexistir el software específi-

co de matemáticas de los ordenadores con las calculadoras gráficas? ¿Se po-drían compatibilizar los programas para que fueran exportables a calculadoras gráficas y viceversa?

Interesa especialmente en este foro reco-ger experiencias de aula relacionadas con los dos primeros temas. En este sentido, queremos animar a todos los profesores a que hagan sus aportaciones.

¡Nos vemos en Girona!



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PROYECTO: "Cine y TV" como recurso di-

dáctico en el Aula de Matemáticas

Marta Martín Sierra, Facultad de Matemá-ticas de la Universidad de Oviedo.

Abel Martín, Profesor de Matemáticas del I.E.S. “Pérez de Ayala”, de Oviedo.

------------------------- El Proyecto iniciado hace dos años está en

marcha. Los momentos de ocio de nuestros jó-venes, en una sociedad cada vez más tecnifi-cada, están ocupados por los amigos, el depor-te, la música, el ordenador, las videoconsolas… y en gran medida por el CINE, con increíbles efectos visuales, argumentos atractivos, su-perproducciones de más o menos presupuesto, que intentan atraer al espectador, acompaña-das de una gran dosis de publicidad, que hace que las carteleras vía Internet sean uno de los lugares más visitados: - ¿Qué película vamos a ver? -es una de las

preguntas habituales al llegar el fin de sema-na. Por otro lado vamos a hablar de las Matemá-

ticas. Uno de sus objetivos fundamentales, ya desde la edad más temprana, es hacer com-prender que todo lo que nos rodea está im-pregnado de ellas. Frases como "el Universo está controlado

por los números" quedan pequeñas si miramos a nuestro entorno, "nuestra vida cotidiana no tendría sentido sin las matemáticas". Si bien tienen un gran prestigio y reconoci-

miento social, la mayoría de las personas no tienen un buen recuerdo de su encuentro y andadura con las mismas en la escuela y el ins-tituto. ¿Cuál es el motivo? todos tenemos una ligera idea, pero éste no es el motivo de nues-tra exposición. Bajo estas premisas, intentemos hacer un

cóctel en el que los ingredientes principales sean LAS MATEMÁTICAS Y EL CINE, como medio de popularización y divulgación, donde cuidaremos en especial los procedimientos y la forma de mezclarlos, para que al alumno le guste, le siente bien, y le permita hacer una mejor digestión de los conceptos y la abstrac-ción matemática, con la intención de que sea para todo y para todos. El primer gran problema es encontrar el

"condimento".

Realmente el Cine, que ha tratado la práctica totalidad de las actividades humanas, por muy extrañas y rebuscadas que fueran, ha dejado de lado todo lo relacionado con tan excelsa ciencia, quizás por miedo a la repulsión que pueda causar en el espectador, a pesar de que han sido clave en el desarrollo científico, ar-tístico, filosófico e incluso fuente inagotable de los avances con los que cada vez se perfec-ciona más la propia realización cinematográfi-ca, y cuando se ha dignado a hacerlo, siempre ha sido encasillada en unos clichés claros: el personaje de matemático despistado, un tanto excéntrico, normalmente tímido y no muy atractivo, de indumentaria despreocupada, es-quizofrénico, es decir, nada recomendable. Como profesores de matemáticas, los objeti-

vos fundamentales que perseguimos a lo largo de este proyecto son, fundamentalmente:

Fomentar el gusto por las Matemáticas a través del cine, aprovechando su prestigio en-tre los adolescentes. Paradójicamente, ante ellos, una ficción puede dar realidad a las Ma-temáticas.

Promover actividades para llevar al aula, interactivas, para trabajar con lápiz y papel, calculadoras, etc. diseñadas por la propia clase o a través de los foros que crearemos en In-ternet, en la dirección que más adelante seña-laremos, para relacionarnos con otros profe-sores o simpatizantes, sin barreras ni distan-cias pues no debemos olvidar que uno de los objetivos básicos de las matemáticas es aprender a reflexionar críticamente sobre si-tuaciones planteadas en la vida cotidiana, re-presentada en este caso en el cine.

Popularizar y divulgar las Matemáticas. Retomar la relación del cine y sus diferen-

tes aspectos con el ámbito educativo, explorar sus aplicaciones educativas y contribuir a su difusión y utilización en las aulas y, en nuestro caso, más concretamente en los aspectos rela-cionados con las Matemáticas y la Didáctica.

Servir de referencia al resto del profeso-rado para el diseño de actividades que bus-quen el desarrollo de una amplia gama de com-petencias curriculares en el alumnado partici-pante en la experiencia: Para ello hemos desarrollado las siguientes

ACCIONES:

PROYECTO: "Cine y TV" como recurso didáctico en el Aula de Matemáticas


58

(1) Crear la Web www.mathsmovies.com re-pleta de información y desde donde proyec-tamos el resto de intervenciones. A saber: (a) Celebración de EXPOSICIONES. Empe-

zamos con 30 láminas y ya estamos por las 60. Para las XIV JAEM tenemos preparada una exposición de 100 láminas. Se celebran de forma itinerante por la Geografía española, en Universidades, bibliotecas, Asociaciones, y ha sido traducida incluso al catalán. La única contrapartida que pedimos en que

nos remitan fotos de la celebración de las mismas.

Más información aquí. (b) La participación como ponentes en cursos

de Extensión Universitaria. Ciertamente con una gran acogida por parte del público. Tam-bién es de resaltar la repercusión mediática que tuvo nuestra conferencia sobre "Las ma-temáticas en los Simpson". Los IES cada vez piden más nuestra colabo-

ración en Semanas culturales, etc. pero la fal-ta de tiempo nos está obligando a seleccionar las actividades. Más información aquí. (c) La colaboración en ciertas revistas de

prestigio relacionadas con las matemáticas. En estos momentos estamos preparando una sec-ción para la revista SIGMA. (d) La creación de un grupo de trabajo que

lleva por título: Diseño de Unidades Didácticas: Cine y TV como fuente de información para mejorar las competencias matemáticas y científi-

cas del alumnado de Secundaria Integrado por profesores del Principado de

Asturias, con la colaboración del CPR del Na-lón – Caudal. También contamos con la partici-pación de personas de fuera de la Comunidad.

(e) La oferta de un Curso ONLINE que lleva por nombre el propio título del proyecto, con-vocado por el Centro de Profesores y Recur-sos del Nalón – Caudal, con una preinscripción de 44 profesores de todo el Principado de As-turias. Evidentemente no se pudo satisfacer la petición de tantas personas.

Sesión inicial, presencial, en La Felguera

(f) La iniciación de un nuevo proyecto que lle-vara como nombre corto:

como consecuencia del gran interés mostrado

por el tema de gran número de aficionados que se han puesto en contacto con nosotros, de países de todo el mundo, fundamentalmente de habla hispana. Tengo que reconocer que, ante la avalancha

de peticiones realizadas para inscribirse en el curso que hemos planteado, nos hemos sentido "desbordados" y no hemos podido atenderlas, DE MOMENTO. Se han recogido los nombres y los mails para

que, poco a poco, y de forma escalonada, ini-ciar la actividad a finales de enero de 2009. A partir de esa fecha, con todos los preins-

critos y aquellos que lo vayan haciendo poste-riormente, iremos enviado una invitación a la dirección facilitada para que podáis ir entran-do en el curso y participar de nuestras inquie-tudes:

"CINE Y TV" COMO RECURSO DIDÁCTICO EN EL AULA DE

MATEMÁTICAS

(PLATAFORMA INTERNACIONAL)

Más información aquí Y otras muchas más cosas que iréis descu-

briendo si entráis en nuestra Web de www.mathsmovies.com

Un saludo y felices fiestas: Abel Martín



DP. - AS - 5119 - 2007

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LOS SIMPSON Y LAS MATEMÁTICAS

Temporada 1. Marta Martín Sierra, Facultad de Matemáti-

cas de la Universidad de Oviedo. Abel Martín, Profesor de Matemáticas del

I.E.S. “Pérez de Ayala”, de Oviedo. -------------------------

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 1 "La Baby siter ataca de nuevo" (Some Enchanted Eve-

ning)

Marge llama a un consultorio sentimental ra-diofónico dirigido por el Dr. Marvin Monroe y confiesa que su matrimonio es un fracaso. Asustado tras oír la declaración, Homer deci-de llevársela a pasar una romántica noche, de-jando a los niños con una canguro (Ms. Botz) que resulta ser una de las delincuentes más perseguidas por la policía.

Escena: 0:00:30 - 0:01:20

En la entradilla de cada capítulo, cuando Marge pasa por la caja registradora, ésta lan-za un "fogonazo", pero no se aprecia muy bien el precio que marca la pantalla ...

¿Has logrado visualizar el número?

¿Crees que será un número al azar? ¿O qui-zás sea un mensaje?

Esto empieza a ser ya una primera declara-ción de intenciones de lo que se nos vienen en-cima. Numerosos guiños matemáticos van a salpicar la mayoría de los capítulos.

Ahora, lo que trataremos de hacer será ir lo-calizándolos, con la ayuda de todos los que quieran participar, a modo de sagaces detecti-ves investigadores.

COMENTARIO En este caso concreto parece ser que el pre-

cio de Maggie corresponde a una estadística que apareció en una revista y que decía que el gasto medio de manutención en los Estados Unidos de un bebé durante un mes era de

847.63 dólares. Así que no fue un precio es-cogido al azar...

El fotograma correspondiente lo veremos al principio de la tercera temporada, para que os sigáis esforzando un poco y no visualicéis tan pronto la solución.

Escena: 0:06:10 - 0:06:22

Homer acude a una floristería para comprar-le unas flores a Marge. - Querría unas flores -dice Homer. - ¿Qué tipo de flores? - Unas que no estén ya usadas. - Mire, tenemos unas rosas preciosas. Cincuenta y cinco dólares, doce. - Déme una.

COMENTARIO: A lo largo de los capítulos, veremos cómo en

Los Simpson se utilizan números expresados en diferentes bases. En este caso acuden al sistema base 12.

Ciertamente el 12 tiene cuatro factores pro-pios (excluidos el 1 y el mismo 12), que son 2, 3, 4 y 6; mientras que otros como el 10 sólo tiene dos factores propios: 2 y 5.

Debido a esto, las multiplicaciones y divisio-nes en base 12 son más sencillas y, por tanto, el sistema duodecimal podríamos decir que es más eficiente que el decimal.

Históricamente, el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones. Se cree que la observa-ción de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un año es el motivo por el cual el 12 es em-pleado de forma universal en todas las cultu-ras. Algunos ejemplos incluyen el año de 12 meses, 12 signos zodiacales, 12 animales en la astrología china, etc. Debido a que el 12 es un número abundante, se emplea con profusión en las unidades de medida, por ejemplo, un pie son 12 pulgadas, una libra troy equivale a 12 onzas, una gruesa tiene 12 docenas, etc.

Los Simpson y las MatemáticasLos Simpson y las MatemáticasLos Simpson y las MatemáticasLos Simpson y las Matemáticas ---- Temporada 1 Temporada 1 Temporada 1 Temporada 1 ---- Abel Martín y Marta Martín Sierra Abel Martín y Marta Martín Sierra Abel Martín y Marta Martín Sierra Abel Martín y Marta Martín Sierra


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CUESTIÓN: ¿Se podría saber cuánto tendrá que pagar

exactamente Homer a la floristería por la ro-sa?

Un dato para la reflexión: Si cuestan 55 $ la docena, quiere decir que una rosa le costará 55/12, es decir: 4.583333... $

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 2 "Bart el genio" (Bart the Genius)

Bart hace trampa en un test de inteligencia y es tomado por un genio. Así, ingresa en un co-legio para niños superdotados donde su menti-ra empieza a salir a la luz cuando no consigue adaptarse al nivel de sus compañeros.

Escena: 0:03:55 - 0:05:42 Martin Prince acusa a Bart de hacer pintadas

el el colegio, por lo que el director le esperará al final de las clases. - Espero que no me guardes un rencor pue-ril- dice Martin. - ¡Multiplícate por cero! - responde Bart.

Bart y el resto de la clase se someten a una

prueba IQ para determinar el futuro estatus social de los alumnos: - Recordar que debéis visualizar los pro-blemas complejos, ¡y tranquilos! Empieza el test -dice la maestra, mientras Bart empieza a leer el primer problema y a imaginárselo: A las 7:30 un tren expreso que viaja a 96 km/h (V.O. 60 millas) deja Santa Fe con di-rección a Phoenix a 836 Km de distancia (V.O. 520 millas). - ¡Mentalmente, Bart! -le dice la maestra

mientras le manda callar. - Al mismo tiempo, un tren de cercanías que viaja a 48 Km por hora (V.O. 30 millas por hora) y transporta 40 pasajeros deja Phoenix con dirección a Santa Fe. Tiene 8 vagones, y siempre hay el mismo número de pasajeros en cada vagón. Una hora más tarde un número de pasajeros igual a la

mitad de minutos que pasan de la hora, se bajan; pero la misma cantidad 3 veces más 6 suben. En la segunda estación la mitad de los pasajeros más dos se bajan, pero en la pri-mera estación se habían subido el doble de pasajeros.

- Por favor! billete! -dice el revisor del tren. - Viajo sin billete! -responde Bart. - ¡Anda, ven conmigo! - Señor, ¡tenemos un polizón! - ¡Lo pagaré! ¿cuánto es? - El doble de la tarifa de Tucson a Flags-taff menos 2/3 de la tarifa desde Albu-querque a El Paso -dice el jefazo, que no es otro que Martín Prince. - Ahhhhhhhh -grita Bart al chocar los dos

trenes, mientras despierta. Martín ha acabado la prueba y la entrega.

Bart intercambia los nombres con lo que ahora el examen de Martín aparece con el nombre de Bart. ACTIVIDAD 1 Calcula en que punto chocarían los trenes que

se está imaginando Bart y cuánto tardarían en hacerlo. Una vez lo hayas intentado, para ver la solución, presiona aquí Escena: 0:07:34 - 0:10: El test de aptitud que hemos realizado es-ta mañana ha demostrado que su hijo es lo que llamamos un superdotado. Un genio. Es-tamos convencidos. El niño no debe conocer su propio cociente intelectual pero, como ve, está muy por encima del normal - co-menta el psicólogo. - 912 -dice Homer. - No, no, tiene la hoja al revés, 216, es sorprendentemente alto - a la vez que le va haciendo preguntas y les aconseja un cambio de colegio a uno especializado.



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Escena: 0:10:39 - 0:13:33 Bart conoce a sus nuevos compañeros de cla-

se y le explican las normas básicas de funcio-namiento. Entre ellos un niño que suele hablar con frases que son auténticos palíndromos. Cuando llega la hora del descanso, reponen fuerzas. - Oye Bart, te cambio el peso de una bola de billar en la octava Luna de Júpiter de mi comida por el peso de una pluma en la se-gunda Luna de Neptuno de la tuya. - Bueno, como quieras -dice Bart, mientras

le cambian un suculento bocadillo por una sim-ple cereza. - 8 milímetros cúbicos de mi leche por cuatro pintas de la tuya -le dice otro. - Vale, si te empeñas -a la vez que todos

se ríen de la ingenuidad de Bart y su falta de conocimientos de Física y la influencia del va-lor de la gravedad en las diferentes Lunas y Planetas sobre el peso de los cuerpos, inde-pendientemente de la masa que tengan. Bart se marcha muy enfadado. - Es un superdotado bastante mediocre -

comentan sus compañeros de clase.

ACTIVIDAD 2 - ¿Cuál es el valor de G en la octava Luna de

Júpiter? - ¿Cuál es el valor de G en la segunda Luna de

Neptuno?

Escena: 0:16:00 - 0:16:

La profesora, en la escuela de superdotados: y = r3/3 -dice entusiasmada- si determináis correctamente el coeficiente de incremento en esta curva, creo que os va a sonar a r con r, guitarra -todos le ríen las gracias- ¿no lo entiendes, Bart? -mientras sigue derivan-do la expresión.

COMENTARIO: Martín Méndez Pasarín (ingeniero químico)

nos comenta en este gag uno de los males que, como iremos viendo en las sucesivas tempora-das, "sufriremos" frecuentemente en la serie. Se trata de errores en el doblaje, a pesar de que nuestros dobladores son de lo mejor que hay en en mundo. Se pierde mucha gracia y, en este caso con-

creto, su fallo reside en el conocimiento de la derivación matemática: Vemos que la profesora les dice a sus alum-

nos que si hallan el coeficiente de incremento (derivada) de y=(r^3)/3, les sonará a "erre con erre: guitarra". En la VO, en cambio, les dice que se quedarán "sorprendidos". Si se de-riva resulta dy= r^2·dr, o lo que es lo mismo: dy= r·r·dr, que "moviendo el diferencial" queda dy= r·dr·r. Pues bien, si se deletrea RDRR (r·dr·r) en inglés, se obtiene algo muy similar a "hardy har har", expresión que habitualmente se utiliza en dicha lengua para citar una risa verbal, algo así como el "jajaja" español. En castellano, se adaptó el "hardy har har" por "erre con erre: guitarra". Como observamos, se trata de un gag más

elaborado de lo que parece a simple vista en la versión doblada al castellano, por lo que nues-tro amigo nos recomienda que veamos, siempre que podamos, los episodios en VO, especial-mente en las primeras temporadas, donde en muchas ocasiones el doblaje deja mucho que desear.



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Por mi parte también me gustaría que, antes de seguir leyendo, os fijaseis detenidamente en la pizarra con la derivada y buscaseis algún error...

Efectivamente, cuando escribe 32DR/3 se

comen la r. Debería decir 3r2DR/3

Con Bart por el medio,

¡¡no sabemos cómo podrán acabar las cosas!!

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 3 "La odisea de Homer" (Homero's Odyssey)

Después de ser despedido de la Central Nu-clear por los numerosos accidentes provoca-dos, Homer inicia una campaña para convertir Springfield en el lugar más seguro de la Tie-rra, siendo su último objetivo el cierre de la Central donde hasta hace poco había trabaja-do. Escena: 0:01:51 - 0:02:34 El método de conteo fácil, rápido e intuitivo

sigue siendo el de numerarse. Se hace es bas-tantes situaciones de la vida cotidiana. El úl-timo número coincidirá con el número de per-sonas, aunque estando Bart, esto no sabemos si será así...

Escena: 0:04:25 - 0:06:35 Una clase de Física en la que se comentarán

las bondades de la energía nuclear ... el agua vuelve a regresar limpia a la biosfera natural, aunque ...

¡Fijaos en el pez con numerosos ojos que nada en el estanque!

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 4 "Hogar, agridulce hogar" (There's No Disgrace Like Home)

Tras asistir al picnic familiar de la empresa, Homer se da cuenta de que su familia es un desastre. Para solucionar este problema, deci-de empeñar la tele y con el dinero paga una terapia a cargo del psicólogo familiar Dr. Mar-vin Monroe. Escena: 0:18:05 - 0:20:14 En esta escena podemos apreciar dos cues-

tiones relacionadas con las matemáticas y la enseñanza de las mismas: (1) Por un lado, el deseo oculto, poco didácti-

co y educativo, de numerosos profesores para lograr llevar bien una clase... (2) El objetivo de las matemáticas en rela-

ción con aprender a pensar, abrir la mente, ver las cosas desde otro punto de vista que, incluso teniendo a Homer como protagonista, nos pueden levar a encontrarnos con un desen-lace del capítulo totalmente inesperado...

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 5 "Bart, el general" (Bart the General)

Defendiendo a Lisa, Bart termina enfrentán-dose contra el gamberro del colegio, Nelson Muntz, que le propina una paliza tras otra. Pa-ra acabar con los abusos de Nelson, Bart or-ganiza y entrena un pequeño ejército que se encargará de darle una lección al gamberro. Escena: 0:14:50 - 0:15:14



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Entre los cánticos de los valerosos soldados que se encuentran entrenando para luchar co-ntra Nelson, no podía faltar un estribillo alusi-vo a las matemáticas...

"En matracas saqué un 3... ... y yo me merecía un 10"

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 8 "Sin Blanca Navidad" (Simpsons Roasting on an

Open Fire)

Después de no recibir la paga extra de Navi-dad de la Central Nuclear y ver cómo los aho-rros de la familia se esfuman en una operación quirúrgica para borrarle un tatuaje a Bart, Homer hace todo lo que puede por conseguir el dinero que salve la Navidad de los Simpson.

Escena: 0:16:53 - 0:17:24

En el último momento, en el canódromo, cuando se disponen a apostar todo su dinero por el número 6, 13 dólares, ¿qué casualidad, 13?, hay un cambio, y anuncian por megafonía que el número 8 será sustituido por Santa Claus.

- ¡Es una señal! ¡es un presagio! -le dice Homer a Bart. - Una simple coincidencia -Replica Bart. - ¿A cuánto están las apuestas por Santa Claus -pregunta Homer al taquillero. - 99 a 1. - ¡Uhhh!! 99 multiplicado por 13 igual a... ¡felices Navidades, Bart!

Es un desafío de las sensaciones y de la irra-cionalidad a las leyes de la probabilidad. Por supuesto PIERDE.

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 9 "El abominable hombre del bosque" (The Call of the

Simpsons)

Impresionado por la caravana que Flanders acaba de comprar, Homer decide conseguir una igual, pero su poder adquisitivo no se lo permite y acaba comprando una de "inferior" calidad con la que la familia entera se marcha al campo. Allí, terminarán perdidos y Homer será confundido con el legendario Pies-grandes, la bestia mitad hombre, mitad mono.

Escena: 00:19:37 - 00:20:

En nuestra tarea de investigación, nos encon-tramos con una pizarra en el laboratorio donde Homer es estudiado para determinar si se trata del Pies-grandes, "el Bigfoot" o un ser humano. La idea siempre es imprimir carácter científico e inapelable a los temas con pincela-das matemáticas.

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 10 "Homer se va de juerga" (Homer's Night Out)

Una foto muy comprometedora de Homer con la Princesa Kashmir (una bailarina bastante li-gera de ropa) realizada por Bart durante una despedida de soltero llega hasta las manos de Marge. Marge se enfada mucho con Homer, sobre todo por el mal ejemplo que le ha dado a Bart. Así, le dice a Homer que sólo le perdona-rá si le enseña a Bart que las mujeres no son objetos. Escena: 00:01:49 - 0:02:17 Homer se pesa. La balanza marca 238.

Pero ...

¿En qué unidades viene dado ese número?

En el doblaje nos hablan de 108 kilos.

¿Habrá sido correcta esa conversión?



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COMENTARIO: La libra (lb) es una unidad de masa usada

desde la Antigua Roma. La palabra, derivada del latín significa "escala o balanza" (en el horóscopo, libra viene simbolizado por una ba-lanza) y representa la principal unidad de masa usada y adoptada en los países anglosajones.

A partir de esta unidad surgieron otras que tenían diferentes equivalencias, dependiendo de la región, así que para acabar con el pro-blema, Antoine Lavoisier propuso sustituir las libras y otras antiguas unidades en toda Euro-pa, por el gramo, sus múltiplos y submúltiplos.

Con el paso del tiempo, todas las naciones europeas abandonaron el uso de la libra para sustituirla por el kilogramo, excepto las nacio-nes anglosajonas que todavía la usan:

1 libra equivale a 0.45359237 kilogramos

Así pues, Homer no estuvo tan alejado (en la versión doblada al castellano) ya que 239 li-bras son más exactamente unos 108.41 kg.

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 11 "Jacques, el rompecorazones" (Life on the fast Lane)

Homer regala a Marge por su cumpleaños una bola de bolos, pensando que la rechazará y po-drá usarla él. Sin embargo, Marge decide aprender a jugar a los bolos. En la bolera, Marge conoce a un profesor de bolos llamado Jacques, un Don Juan. Escena: 00:03:31 - 0:04:25

- ¿Ya cumples 34, Marge? -pregunta su

hermana Patty.

- Creo que ya es hora que rehaga su vida con otro hombre! -apostilla Selma.

¿Cuántas velas tiene la tarta?

La adición es una operación muy utilizada en este capítulo. Tomando como base el número 7, un número mágico que aparecerá en bastan-tes episodios de los Simpson, los dígitos de su edad sumados, dan 7. ¿Cuestión de ahorro en velas?

Escena: 00:06:06 - 0:06:29

- ¿Qué número de zapatos usa? -pregunta el encargado de la bolera a Marge.

- ¡Y a usted qué le importa! -contesta Marge.

- Prohibido pisar la pista con zapatos de calle. ¿Qué número calza, por favor? -insiste.

- ¡El 43! -responde contrariada Marge.

- ¿43? -silbando con sorpresa- ¿Se apañará con un 44 y un 42?

La media aritmética vuelva a resolver un problema de la vida cotidiana.

¿Será de nuevo casualidad que calce un 43?

43 presenta los dígitos de 34 invertidos

4 + 3 = 7

Escena: 00:09:30 - 0:09:50

En las imágenes que vemos, se aprecian nu-merosas tetractis. La adición de los cuatro primeros números da como resultado el núme-ro diez: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Esta suma era cono-cida entre los pitagóricos como Tetractis. Es una palabra griega que significa literalmente “número cuatro”, sinonimia de quaternión (cua-ternario) la cual se aplicaba a un símbolo de Pitágoras que se compone de diez puntos dis-tribuidos en forma triangular.

····

···

·· ·



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Escena: 00:11:04 - 0:11:14

Curiosamente cuando lanza la bola, tira los 10 bolos y, además, en la bolera número 10...

¿Demasiadas coincidencias...?

Al final del capítulo se parodia la película "Oficial y caballero"

Episodio ganador del Emmy 1990 al "Mejor programa de animación (de menos de una h).

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 12 "Krusty Entra En Chirona" (Krusty Gets Busted)

Krusty el Payaso es encarcelado por un atra-co que, aparentemente, hizo él al Badulaque. Bart no se lo cree y, junto con Lisa, buscan pruebas que le exculpen.

Escena: 00:10:12 - 00:10:48

Como siempre aparecen guiños matemáticos, códigos numéricos ocultos escondidos a lo lar-go de los capítulos. En este caso, nos encon-tramos con A113 (algunas veces presentado como A-113 o A1-13).

Simplemente es una broma privada que apa-rece en películas o series animadas donde par-ticipan los alumnos de CalArts (Instituto de Artes de California), y hace referencia a la clase donde estuvieron los estudiantes de animación.

El primero que utilizó este código fue Brad Bird en una placa de automóvil para un episo-dio de la serie de televisión "Amazing Sto-ries". Aunque también el número y la letra han sido utilizados en películas de Disney y Pixar. Brad Bird considera ese número como su pro-pia versión de la Ninas de Hirschfeld (*).

(*) El famoso dibujante Al Hirschfeld ha en-tramado durante tres decenios el nombre de su hija Nina en sus caricaturas. El hallar las "Ninas" ocultas se ha convertido en un entre-tenimiento regular para los aficionados a Hirschfeld.

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 13 "Viva la vendimia" (The Crepes Of Wrath)

Después de una nueva gamberrada de Bart, Skinner habla con Homer y Marge y les propo-ne un intercambio de estudiantes: Bart se irá a Francia, donde no lo pasará tan bien como espera, y los Simpson adoptarán temporalmen-te a un educado niño de Albania, Adil, que no es sólo lo que aparenta. Escena: 00:10:51 - 0:11:15 Lisa y Adil se encuentran inmersos en una

discusión, apoyada en porcentajes: - ¿Como puedes defender a un país donde el 5% controla el 95% de la riqueza -dice Adil. - Yo defiendo un país donde la gente pien-sa, actúa y vive como le da la gana -apostilla Lisa.

Más información en

www.mathsmovies.com

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