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Prontuario Matematico

Raul Vargas Sabalija

20 de Abril de 2011, 12:00

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Indice

1. Introduccion 4

2. Logica Filosofica 4

3. El mundo platonico 4

4. los tres mundos 4

5. Conjuntos de numeros 6

6. Igualdad y propiedades 7

7. Leyes de exponentes y radicales 10

8. Numeros complejos (anadido a ultima hora para estudiantesde licenciatura) 138.1. Forma rectangular de los numeros complejos . . . . . . . . . . 14

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Resumen

tesis del continuo.

4 Introduccion

1. Introduccion

2. Logica Filosofica

En este capıtulo analizamos brevemente y de forma muy general la logicacomo instrumento del razonamiento.

3. El mundo platonico

En la sociedad hay muchas creencias erroneas y un uso muy inadecuado delos instrumentos del pensamiento y de la comunicacion. Comencemos ana-lizando la tan popular frase de ”amor platonico”. Las mas de las personasconsideran que amor platonico es el equivalente de ”amor imposible” o ”amorinalcanzable”, pero cuantas de ellas conocen las teorıas de Platon. El amorplatonico no es una persona, ni es un monton de palabras, es un sentimiento.Un sentimiento real, un Eido, un arquetipo, una Idea, no una apariencia deeste mundo de sombras. O sea no hay que confundir el amor con el objetoamado ni con el vehıculo de comunicacion (puente entre mundos). De igualforma la matematica no es el conjunto de signos o sımbolos que usamos, esalgo que trasciende al vehıculo de comunicacion que usamos, es mas que unlenguaje. En general el mundo es ası, un objeto, una Idea que trasciendenuestro lenguaje. Sin embargo el lenguaje viene a ser el vehıculo de comuni-cacion, el puente entre el mundo real y las personas y entre las personas. Ellenguaje que usamos para describir la matematica, a diferencia de lenguascomo el Espanol, el Ingles o el Ffrances u otras, es el mas perfecto y potentede los lenguajes creados por el hombre. Resumiendo, para acceder al mundomatematico usaremos un instrumento y un lenguaje. El instrumento es lalogica inherente al universo matematico y el lenguaje el instrumento que nospermite entender las matematicas.

4. los tres mundos

El lenguaje como instrumento de comunicacion esta compuesto por elementosmas simples:

Raul Vargas Sabalija 5

El concepto: Es la simple representacion mental de un objeto. El con-cepto no es el objeto, es el conjunto de notas caracterısticas del mismo,el objeto es trascendente del concepto. El termino es la expresion oralo escrita (signos foneticos o graficos del lenguaje escrito) del concep-to. Ası, podemos hablar de tres mundo: el mundo donde exite el objetoreal, el mundo del lenguaje donde existen los terminos y el mundo men-tal donde existen los conceptos. Esto tiene sus equivalentes en los otroselementos basicos del lenguaje.

El juicio: contenido de pensamiento de una estructura tal que tenga unsentido considerarlo como verdadero o como falso. Sus elementos sonun sujeto, un predicado y una copula predicativa. La proposicion es elenunciado oral o escrito del juicio .

El silogismo: Forma mas simple de razonamiento deductivo. Silogismocategorico: Proceso deductivo en el cual, dadas dos premisas generalescon un elemento conceptual comun, si en cada una de ellas se afirmacategoricamente la union de este con el respectivo elemento no comun,debe afirmarse categoricamente la union entre sı de los dos elementosno comunes; si una de ellas afirma categoricamente y categoricamenteniega la otra la union del elemento conceptual comun con su respectivoelemento no comum, debe negarse categoricamente en la conclusion launion entre sı de los elementos no comunes.

Modus ponens: En la premisa menor se afirma categoricamente la con-dicion y en la conclusion

6 Introduccion

5. Conjuntos de numeros

Definicion 1. Un sistema matematico es un conjunto de elementos y una omas operaciones con ellos

Definicion 2. Una operacion binaria en un conjunto es una regla que nosasocia a cada par de elementos del conjunto con otro elemento unico delmismo conjunto

N = {1, 2, 3, 4, ...} Todos los numeros que nos sirven para contar, desde eluno hasta el infinito.P = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Todos los anteriores mas el cero.Z = {...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Los naturales mas los negativos deestos.Q = {x ∈ R|x = a

b, a, b ∈ Z, b 6= 0} Todos los que se pueden expresar como

division (cociente) de dos enteros donde el denominador es distinto de cero.N = {π, e,

√2...} Todos los que no tienen una expresion como cociente de

dos enteros.R = {...} Todos los racionales y los irracionales juntos.C = {x|x = a+ bi, a, b ∈ R}

Figura 1: Conjuntos de numeros


6. Igualdad y propiedades

Postulado 1. Propiedad reflexiva: Todo numero es igual a sı mismo.m ∈ R⇒ m = m.

Postulado 2. Propiedad de simetrıa: Si un numero es igual a otro, en-tonces este es igual al primero. m,n ∈ R y m = n⇒ n = m.

Postulado 3. Propiedad transitiva: Si un numero es igual a un segundonumero, y este a su vez igual a un tercer numero, entonces el primero esigual el tercer numero (Dos cosas iguales a un tercero son iguales entre sı).m,n, p ∈ R m = n y n = p⇒ m = p.

Postulado 4. Propiedad de sustitucion: Si un numero es igual a otro, encualquier expresion en que aparezca el primero puede reemplazarse por el se-gundo sin alterar el valor de la expresion. a, b,∈ R y a = b⇒ bpuedesustituiralaa.

Postulado 5. Propiedad aditiva: Si a, b, c y d son cuatro numeros realesy a = b y c = d, entonces a+ c = b+ d.

Postulado 6. Propiedad multiplicativa: Si a, b, c y d son cuatro numerosreales y a = b y c = d, entonces ac = bd.

Definicion 3. Campo: Conjunto de numeros que cumplen con los siguientespostulados

1. Cerradura

a) Para la suma. Si a y b son reales, entonces su suma tambien esun numero real, a los numeros a y b se los llama sumandos.

b) Para el producto. Si a y b son reales, entonces su producto es unnumero real, a los numeros a y b se los llama factores.

2. Conmutativo

a) Para la suma. No importa el orden de los sumandos. Si a y b sonreales a+ b = b+ a

b) Para el producto. No importa el orden de los factores. Si a y b sonreales ab = ba

8 Introduccion

3. Asociativo.

a) Para la suma. No importa el orden en que se asocien los sumandos.Si a, b y c son reales (a+ b) + c = a+ (b+ c)

b) Para el producto. No importa el orden en que se asocien los facto-res, el resultado es el mismo. Si a, b y c son reales (ab)c = a(bc)

4. Distributivo (un producto de sumas es igual a una suma de productos)

a) A la izquierda: Sean a, b y c reales, entonces a(b+ c) = ab+ acc

b) A la derecha: Sean a, b y c reales, entonces (a+ b)c = ac+ bc

5. Identidad (neutro)

a) Para la suma. Para cualquier numero real a, existe un numero quesumado con el lo deja igual: a+ 0 = a

b) Para el producto. Para cualquier numero real a, existe un numeroque multiplicado por el lo deja igual: a(1) = a

c) El numero cero es distinto del numero uno: 0 6= 1

6. Inversos

a) Para la suma. Para todo real a existe otro numero real (-a) tal quea+ (−a) = 0

b) Para el producto (recıproco). Para todo real a distinto de cero exis-te otro real ( 1

a) tal que a( 1

a) = 1.

Corolario 1. Si la suma de dos numeros es cero, uno de los dos sumandoses cero

Corolario 2. Si el producto de dos numeros es el neutro entonces uno de losfactores es el recıproco del otro

Teorema 1. Ley de la cancelacion para la suma: x+ y = y + z ⇒ x = y

Teorema 2. Ley de la cancelacion para el producto: xy = yz, z 6= 0⇒ x = y

Teorema 3. x = y ⇔ −x = −y


Figura 2: ¿Que es un campo?

Teorema 4. x = y ⇔ 1x

= 1y, x, y 6= 0

Teorema 5. x(0) = 0

Teorema 6. El inverso del inverso de un numero es el mismo numero−(−x) = x

Teorema 7. El recıproco del recıproco de un numero es el mismo numero:11x

= x

Teorema 8. El producto de n numeros reales es cero si y solo si uno de ellos(factores), o varios o todos es cero: abc...xyx = 0⇔ a = 0

Teorema 9. El inverso aditivo del cero es el mismo.

Teorema 10. (−a)b = −(ab)

Teorema 11. (−a)(−b) = ab

El producto de factores del mismo signo es positivo y el producto de factoresde signo distinto es negativo.

Teorema 12. −(a+ b) = (−a) + (−b)

10 Introduccion

Definicion 4. Resta. Operacion binaria que asocia a dos numeros reales x,y, con otro numero real unico llamado la resta o la diferencia ”r”, de formatal que x− y = r ⇔ x = y + r

Teorema 13. a− b = a+ (−b) = r.La resta es sumar un numero al inverso aditivo de otro.

Definicion 5. Division. Operacion binaria que asocia a dos numeros realesx, y, con otro numero real unico llamado cociente ”c”, de forma tal que siy 6= 0, x÷ y = c⇔ x = yc

Teorema 14. a÷ b = a(1b) = c, b 6= 0.

La division es multiplicar un numero por el recıproco de otro, distinto de cero.

Teorema 15. xyzw

= xzyw

; (y, w 6= 0)

Corolario 3. 1y1w

= 1yw

; (y, w 6= 0)

Teorema 16. xy

= xzyz

; (y, z 6= 0)

Teorema 17. ab

= cd⇔ ad = bc; (b, d 6= 0)

Teorema 18. 1ab

= ba; (a, b 6= 0)

Teorema 19. ab

= 1⇒ a = b; (b 6= 0)

Teorema 20. −ab

= −ab

= a−b ; (b 6= 0)

Definicion 6. Terminos semejantes: difieren unicamente en el coeficiente.

Teorema 21. a+bc

= ac

+ bc; (c 6= 0)

Teorıa basica

7. Leyes de exponentes y radicales

Complete las siguientes expresiones y exprese cada formula con palabras(ejemplo de numero 5: La potencia de un producto es el producto de laspotencias)

1. x0 = 1


2. x1 = x

3. xmxn = xm+n

4. (xm)n = xmn

5. (xy)m = xmym

6. (xy)m = xm

ym

7. xm

xn= xm−n

8. xmn = n

√xm

9. x−n = 1xn

10. n√ab = n

√a n√b

11. n√

m√a = m

√n√a

12. n√

ab

=n√an√b

Productos notables

1. Diferencia de cuadrados: a2 − b2 = (a+ b)(a− b)

2. Binomio de Newton:

(a+b)n = anb0+nan−1b1+n(n− 1)

2!an−2b2+...+

n!

(n− r)!r!an−rbr+...+na1bn−1+a0bn

3. Diferencia de cubos: a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)

4. Suma de cubos: a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2)

Teorema 22. (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) (se obtiene del postuladodistributivo)

Campo ordenado

Definicion 7. Campo ordenado: Conjunto cuyos elementos cumplen con losseis postulados de campo para dos operaciones y ademas guardan un ordenentre ellos, es decir cunplen con los postulados de orden.

12 Introduccion

Definicion 8.x ∈ R ∧ x > 0⇔ x ∈ P

x ∈ R ∧ x < 0⇔ −x ∈ P

Postulado 7. Tricotomıa. Si x y y son reales entonces solo una de las pro-posiciones siguientes es verdadera: x > y o x < y o x = y.

Postulado 8. Transitivo. Si un numero real es mayor que un segundo nume-ro, y este mayor que un tercer numero, entonces el primer numero es mayorque el tercero: x > y y y > z entonces x > z.

Postulado 9. aditivo. Si x, y, z son numeros reales y x > y ⇒ x+z > y+z.

Postulado 10. aditivo. Si x, y, z (z 6= 0) son numeros reales y x > y ⇒xz > yz.

Figura 3: funcion sen(x)

Teorema 23. a > b⇔ −a < −b

Teorema 24. a > b⇔ a− b > 0


Teorema 25. a < b⇔ b− a > 0

Teorema 26. a > b y c > d⇒ a+ c > b+ d

Teorema 27. a, c, d > 0 y a > b y c > d⇒ ac > bd

Teorema 28. Si a > 0, a 6= 0,⇒ a2 > 0

8. Numeros complejos (anadido a ultima ho-

ra para estudiantes de licenciatura)

Decıa un profesor espanol que los numeros reales son los mas irreales, creoque tenıa razon, y los imaginarios parecen mas reales, sobre todo cuando sepiensa en teconologıa.

Como se vio en clase, las soluciones de x2 − 4 = 0 son x1 = 2 y x2 = −2.Ya que 2 y -2 al cuadrado y restandoles 4 nos da 0.

Pero si queremos resolver la ecuacion x2 + 4 = 0 vemos que no existeningun numero real que elevado al cuadrado y sumandole cuatro nos de cero,ya que todo lo elevado al cuadrado en los reales siempre es positivo y y alsumarle un positivo, en este caso cuatro, pues no nos dara cero...Es ası comosurge la necesidad de inventar (descubrir) los numeros complejos.

Definicion 9. un numero complejo es un par ordenado (a, b). Par ordenadosignifica que este objeto matematico tiene una primera componente (la a queesta antes d ela coma) y una segunda componente (la b que esta despues dela coma).

Los numeros complejos se etiquetan, en general, como z, ası, z = (a, b) esun numero complejo.

Definicion 10. Dos numeros complejos son iguales si sus componentes res-pectivas son iguales. Simbolicamente: sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2), en-tonces z1 = z2 ⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2

Definicion 11. Para sumar dos numeros complejos se suma componente concomponente respectiva. Simbolicamente z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2), entoncesz1 + z2 = (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2)

14 Introduccion

Definicion 12. El producto de dos numeros complejos es un tercer nume-ro complejo cuyas componentes son la diferencia de los productos de lascomponentes respectivas y la suma de los productos de las componentes norespectivas de ambos numeros complejos (o producto de primera y segun-da componente de primer´y segundo numero respectivamente mas productode segunda componente y primera componente de primer y segundo nume-ro respectivamente). simbolicamente: z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2), entoncesz1z2 = (a1, b1)(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1b2 + b1a2)

Definicion 13. El inverso aditivo para la suma es (-a,-b) para un complejo(a,b)

Definicion 14. El recıproco es ( aa2+b2

, −ba2+b2

)

Definicion 15. la identidad para la suma es (0, 0)

Definicion 16. La identidad para el producto es (1, 0)

C es por tanto un campo (la asociatividad, conmutatividad y cerradurapuede probarlas como ejercicios).

8.1. Forma rectangular de los numeros complejos

Si definimosa = (a, 0)

yb = (0, b)

ei = (0, 1)

, entoncesa+ b = (a, 0) + (0, b)

y si(0, b) = (b, 0)(0, 1)

entoncesa+ b = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a+ bi)


Entonces podemos definir los numeros complejos como

{a+ bi|a, b ∈ R}

En esta otra version de los numeros complejos:

La suma se define como z1+z2 = (a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+a2)+(b1i+b2i)y el producto como

z1z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i

la division como

z1z2

=a1 + b1i

a2 + b2i=a1a2 + b1b2a22 + b22

+b1a2 − a1b2a22 + b22

i

Si usted multiplica ii, es decir (0, 1)(0, 1) obtiene que i2 = (−1, 0) = −1 o

i2 = −1

Ahora si tiene a los numeros -2i y 2i, que elevados al cuadrado nos dan 4i2

pero como i2 = −14i2 = −4

y entonces sustituyendo en la ecuacion x2+4 = 0 tenemos que −4+4 = 0,ası que esta ecuacion cuadratica no tiene solucion en los reales pero sı en loscomplejos.

16 Introduccion

1. Encuentre las longitudes de las diagonales del cuadrilatero cuyos verti-ces son A(-4,5), B(0,10), C(4,1) y D(1,-7).

2. Escriba la definicion de circunferencia y diga cual es la diferencia de ladefinicion de cırculo.

3. Escriba el Teorema de Pitagoras.

c2 = a2 + b2

4. Escriba las funciones tgα, cotα, secα y cscα.

5. Escriba todos los valores de las funciones para α = π4

y α = π2.

6. Realice la grafica del seno de α.

Figura 4: funcion sen(x)

7. Realice la grafica de cosα.


Figura 5: funcion cos(x)

Figura 6: funciones sen(x)cos(x)

8. Verifique las siguientes identidades

a) senαcosα

+ cotα ≡ secαsenα

b) cos2α− sen2α ≡ 1− 2sen2α

18 Introduccion

Figura 7: funcion tan(x)

Figura 8: funcion (x)

9. Escriba las formulas de

a) cos(α− β) ≡ cosαcosβ + senαsenβ

b) cos(α + β) ≡ cosαcosβ − senαsenβc) sen(α− β) ≡ senαcosβ + cosαsenβ

d) sen(α + β) ≡ senαcosβ − cosαsenβe) tg(α + β) ≡ tgα+tgβ

1−tgαtgβ

10. complete las siguientes identidades y justifıquelas brevemente

a) sen(−β) ≡ −senβb) cos(−β) ≡ cosβ

c) tg(−β) ≡ −tgβ

d) cot(−β) ≡ −cotβe) sec(−β) ≡ secβ

f) csc(−β) ≡ −cscβ


Figura 9: funciones tan(x)cot(x)

Figura 10: funcion secante

Formulas de reduccion

a) sen[2k π2

+ β] ≡ (−1)ksenβ

b) cos[2k π2

+ β] ≡ (−1)kcosβ

c) sen[(2k + 1)π2

+ β] ≡ (−1)kcosβ

d) cos[(2k + 1)π2

+ β] ≡ (−1)k+1senβ

Cofunciones de las funciones trigonometricas

a) cosβ ≡ sen(π2− β)

b) senβ ≡ cos(π2− β)

c) tanβ ≡ cot(π2− β)

d) cotβ ≡ tan(π2− β)

e) secβ ≡ csc(π2− β)

f ) cscβ ≡ sec(π2− β)

20 Introduccion

Figura 11: funcion cosecante

Figura 12: funciones secante y cosecante

11. Complete la siguiente identidad para tgα2

(justifıquela).

12. Complete las siguientes identidades

a) senαcosβ ≡ 12[sen(α + β) + sen(α− β)]

b) cosαsenβ ≡ 12[sen(α + β)− sen(α− β)]

c) cosαcosβ ≡ 12[cos(α + β) + cos(α− β)]

d) senαsenβ ≡ 12[cos(α + β)− cos(α− β)]

e) senθ + senω ≡ 2sen θ+ω2cos θθ−ω

2

f) senθ − senω ≡ 2cos θ+ω2sen θθ−ω

2

g) cosθ + cosω ≡ 2cos θ+ω2cos θθ−ω

2

h) cosθ − cosω ≡ −2sen θ+ω2sen θθ−ω

2


13. Escriba y explique el Teorema de los Senos.

a

senα=

b

senβ=

c

senγ

14. Escriba y explique el Teorema de los Cosenos.

a2 = b2 + c2 − 2bccosα

b2 = a2 + c2 − 2accosβ

c2 = a2 + b2 − 2abcosγ

ejercicio: Escriba estas leyes con palabras

15. Escriba y explique el Teorema de las Tangentes.

tg 12(α− β)

tg 12(α + β)

=a− ba+ b

tg 12(γ − α)

tg 12(γ + α)

=c− ac+ a

16. Si un angulo mide 135◦ ¿Cuanto mide en radianes?

17. Escriba un algoritmo para cambiar de grados a radianes y de radianesa grados.

18. ¿Cual es el sen 330◦?

19. En sen β = 0,9468 ¿Cuanto vale β?

20. Resuelva el triangulo ABC si se sabe que γ = 90◦, a = 48,620 y b =37,640.

21. Resuelva los triangulos ABC dados los siquientes valores

a) α = 58◦ 30′, β = 80◦, a = 140

b) β = 82◦, γ = 56◦40′, c = 45.

22 Introduccion

Fracciones simples o parciales

Figura 13: todo en matematicas se explica

¿Cuando se requieren las fracciones parciales? En un cociente cuando f(x)y g(x) son polinomios y el grado de f(x) es menor o igual que el de g(x),entonces el cociente puede espresarse como una suma de fracciones parcialeso simples, es decir f(x)

g(x)= F1 + F2 + ... + Fk, donde cada Fi tiene una de las

formas siguientes

A

(px+ q)m

oCx+D

(ax2 + bx+ c)n

dondem y n son enteros no negativos y ax2+bx+c es irreducible. ¿Que sinificaque la anterior expresion cuadratica sea irreducible? pues que el discriminan-te de la formula general para resolver cuadraticas es menor que cero. ¿Cuales el discriminante?


En nuestro curso usaremos fracciones simples cuando se nos pidan integrarfracciones para las cuales no tenemos una forma directa de hacerlo. Por ejem-plo: ∫

4x2 + 13x− 9

x3 + 2x2 − 3xdx

Como puede ver no hay forma directa de integrarla. Al expresar esta fracconcomo suma de fracciones simples obtenemos

− 1

x+ 3+

3

x+

2

x− 1

, es obvio que esta expresion ya se puede integrar directamente:∫(− 1

x+ 3+

3

x+

2

x− 1)dx

cuya integral es

−log (x+ 3) + 3 log (x) + 2 log (x− 1)

Haga detalladamente todos estos calculos.

Cuando nos pidan la descomposicion en fracciones simples usamos las si-guientes reglas:

Regla 1

Por cada uno de los factores de la forma (px + q)m donde m ≥ 1, la des-

composicion f(x)g(x)

= F1 + F2 + ... + Fk, contiene una suma de m fraccionesparciales de la forma

A1

(px+ q)+

A2

(px+ q)2+ ...+

Am(px+ q)m

donde cada ai es un numero real.

Regla 2

Por cada uno de los factores de la forma (ax2 + bx + c)n donde n ≥ 1 y

b2− 4ac < 0, la descomposicion f(x)g(x)

= F1 +F2 + ...+Fk, contiene una suma

24 Introduccion

de n fracciones parciales de la forma

A1x+B1

(ax2 + bx+ c)+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ ...+

Anx+Bn

(ax2 + bx+ c)n

donde para cada i, Ai y Bi son numeros reales.

Ejercicios:Encuentre la descomposicion en fracciones parciales de:

1. 3x2−8x+9(x−2)3

2. xx2−3x−18

3. x3

x2−4

4. 3xx3−1

5. 5x3+4x2+7x+3(x2+2x+2)(x2−x−1)

6. 7x3+16x2+20x+5(x2+2x+2)2

Algoritmo que se sugiere para encontrar fracciones parciales

1. Determine si el denominador de la fraccion contiene, ya factorizados,expresiones lineales o cuadraticas.

2. Si tiene denominadores lineales, ya factorizados elevados a algun expo-nente, escriba a la derecha tantas letras mayusculas como factores deldenominador, donde cada factor del denominador de la nueva fraccionparcial tendra un exponente incrementado en uno sucesivamente.

3. Una vez hecho lo anterior se procede a encontrar las letra mayusculasde los numeradores, para lo cual se multiplica toda la igualdad por eldenominador de la fraccion de la derecha, o sea la original. Despuesse pueden encontrar algunas de las incognitas por simple inspeccion,y de no ser ası, o las restantes si ya se encontraron algunas, se encue-tran igualando coeficientes de potencias iguales de ambos miembros dela igualdad, lo que determina un sistema de ecuaciones que hay queresolver.


4. Finalmente el valor de las incognitas se sustituyen en las fraccionesparciales propuestas al inicio.

5. Para el caso en que el denominador tiene factores cuadraticos los nume-radores de las fracciones parciales son propuestos con dos letras cadauno, es decir como un binomio de dos incognitas. El resto es muy similarpara encontrar esos valores.

Soluciones

1. 3x−2 + 4

(x−2)2 + 5(x−2)3

2. 2x+2

+ x+ 2x−2

3. 13 (x+3)

+ 23 (x−6)

4. 1−xx2+x+1

+ 1x−1

5. 2x−1x2+2x+2

+ 3x+1x2−x−1

6. 7x+2x2+2x+2

+ 2x+1(x2+2x+2)2

Ejercicios

1. encuentre∫

3x2−18x+29x−4(x+1)(x−2)3 dx

2. encuentre∫

x2−x−212x3−x2+8x−4dx

3. encuentre∫

5x3−3x2+7x−3(x2+1)2

dx

4. encuentre∫

5x−12x(x−4)dx

5. encuentre∫

37−11x(x+1)(x−2)(x−3)dx

6. encuentre∫

6x−11(x−1)2dx

26 Introduccion

7. encuentre∫

x+16(x2+2x−8)dx

8. encuentre∫

5x2−10x−8x3−4x dx

9. encuentre∫

2x2−25−33(x+1)2(x−5)dx

10. encuentre∫

9x4+17x3+3x2−8x+3x5+3x4

dx

11. encuentre∫

x3+3x2+3x+63(x2−9)2 dx

Teorema del BinomioEl Teorema del Binomio dice que para a y b reales y para todo entero posi-tivo n:

(a+b)n = anb0+nan−1b1+n(n− 1)

2!an−2b2+...+

n!

(n− r)!r!an−rbr+...+na1bn−1+a0bn

Si se le dificulta esta formula recurra al Triangulo de Pascal con la previaadvertencia de que para exponentes grandes serıa muy dificil usarlo.

Desarrollar los siguientes binomios (tome en cuenta que el m-esimotermino del desarrollo es r+1, o sea siempre calcule el termino r-1para encontrar el e-rresimo termino):

1. Encuentre el onceavo termino de (x+ 1√x)14

2. Encuentre el termino x3(x2 + 1x)12

3. Encuentre el cuarto termino de (x2 − 1x)9

4. Desarrolle (x+ 12)6

5. Desarrolle (x+ 1x)5

6. Desarrolle (1 + 2x)−1

7. Desarrolle (1 + 1x)−23


Soluciones

1. x14 +14x252 +91x11 +364x

192 +1001x8 +2002x

132 +3003x5 +3432x

72 +

3003x2 + 2002√x+ 1001

x+ 364

x52

+ 91x4

+ 14

x112

+ 1x7

2. x27 + 12x24 + 66x21 + 220x18 + 495x15 + 792x12 + 924x9 + 792x6 +495x3 + 66

x3+ 12

x6+ 1

x9+ 220

3. x18 − 9x15 + 36x12 − 84x9 + 126x6 − 126x3 − 36x3

+ 9x6− 1

x9+ 84

4. x6 + 3x5 + 15x4

4+ 5x3

2+ 15x2

16+ 3x

16+ 1

64

5. x5 + 5x3 + 10x+ 10x

+ 5x3

+ 1x5

6. 12x+1

7. x23

(x+1)23

Integracion numerica¿Cuando se requiere la integracion numerica? Cuando no existe una antide-rivada para la funcion a integrar.

Regla del trapecio:

Si f es continua en [a,b] y si los numeros a = x0, x1, ... , xn = b determinanuna particion regular de [a,b], entonces∫ b

a

f(x)dx ≈ b− a2n

[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ...+ 2f(xn−1) + f(xn)]

La estimacion del error para la regla del trapecio

28 Introduccion

Si M es un numero real positivo tal que |f ′′(x)| ≤ M para todo x en [a,b],entonces el error obtenido al usar la regla del trapecio no es mayor queM(b− a)3/12n2.

Regla de Simpson:

Suponga que f es continua en [a,b] y que n es un entero par. Si a =x0, x1, ... , xn = b determinan una particion regular entonces∫ b

a

f(x)dx ≈ b− a3n

[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+2f(xn−2)+4f(xn−1)+f(xn)].

Estimacion del error para la regla de simpson

Si M es un numero real positivo tal que |f (4)| ≤ M para todo x en [a,b],entonces el error obtenido la usar la regla de Simpson no es mayor que

M(b− a)5/180n4.

Ejemplo:

Estime∫ 2

1(1/x)dx usando primero la regla del trapecio y despues usando la

regla de simpson, ambos con n = 10.

Ademas, calcule el maximo error porsible obtenido en ambos casos de estasaproximaciones.

Despues de hacer esto haga esta integracion con la formula∫

1udu = ln|u|+

c (u 6= 0) y compare los resultados.ejercicios: Integre las siguientes funciones usando en cada una las reglas deltrapecio y de Simpson, use aproximaciones exactas en las primeras cuatrocifras decimales para f(x1) y redondee su respuesta a dos cifras decimales.

1.∫ 4

11xdx, n = 6

2.∫ 3

01

1+xdx, n = 8

3.∫ 1

01√

1+x2dx, n = 4

4.∫ 3

2

√1 + x3dx, n = 4


5.∫ 2

01

4+x2dx, n = 10

Area comprendida entre dos grafi-casSuponga que f y g son continuas en [a,b] y que f(x) ≥ g(x) para todo x en[a,b]. Entonces el area A de la region acotada por las graficas de f, g, x =a y x = b esta dada por

A =

∫ b

a

[f(x)− g(x)]dx.

Ejercicios: En cada uno de los siguientes ejercicios dibuje la region acotadapor las graficas de las ecuaciones dadas y encuentre esa area.

1. y = 1x2, x = 1, x = 2

2. y = x2, y = 4x

3. y = x2 + 1, y = 5

4. y = x3, y = x2

5. y = 1− x2, y = x− 1

Ejercicios de repaso de semestres anteriores:resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones.

1. 4x+ 5y = 123x+ 2y = 6

2. y = x2

y =√x

3. x+2y3− 2x+y

4= 2

x−y2

+ x+y3

= 3

4. x− 2y + 2z = 12x− 3y − z = −113x+ 2y + z = 4

5. 2x+ 3y − 4z = 13x− y − 2z = 44x− 7y − 6z = −7

6. x2 − x− y − 6 = 02x− y − 2 = 0

7. x2 + y2 = 25x+ y = 1

8. x2 + y2 = 254x2 − 4y2 = 36

30 Introduccion

Ral Vargas sabalija


Mas aplicaciones de la interal de-finidaSolidos de revolucion

Definicion 17. Sea f continua en [a,b]. El volumen V del solido de revoluciongenerado al girar alrededor del eje x la region acotada por las graficas de f,x = a, x = b y por el eje x, esta dado por

V = lim||P ||→0

∑π[f(wi)]

2∆xi =

∫ b

a

π[f(x)]2dx

Ejemplo: Sea f(x) = x2 + 1. calcule el volumen del solido generadoal girar la region bajo la grafica de f entre -1 y 1 alrededor del ejex (respuesta: 56

15π).

Ejemplo: Sea x2 = y − 2, 2y − x− 2, x = 0 y x = 1 gira alrededor deleje x. calcule el volumen del solido resultante (respuesta: 79

20π ).

Figura 14: Generacion de arandelas

32 Introduccion

Ejercicios: En los siguientes ejercicios dibuje la region acotada porlas graficas de las ecuaciones dadas y calcule el volumen del solidogenerado al girarla alrededor del eje indicado.

1. y = 1x, x = 1, x = 3, y = 0; eje x

2. y = x2, y = 2; eje y

3. y =√x, y = 0, x = 4; eje x

4. y = 1x, x = 0, y = 1, y = 3, eje y

Trabajo

El trabajo efectuado sobre un objeto se define como

W = Fd

donde F es una fuerza o peso y d la distancia.

Definicion 18. Sea f(x) la fuerza en un punto de coordenada x sobre unarecta coordenada l, donde f es continua en [a,b]. El trabajo W al mover un ob-jeto desde el punto de coordenada a hasta el punto de coordenada b esta dadopor

W =

∫ b

a

f(x)dx

Definicion 19. Ley de Hooke La fuerza f(x) necesaria para estirar unresorte x unidades a partir de su longitud natural esta dada por

f(x) = kx

donde k es una constante llamada constante del resorte.

Ejemplo: Se necesita una fuerza de 4 kg para estirar un resorte desu longitud natural de 15 cm a una longitud de 20 cm.

a) Encuentre el trabajo realizado al estirar un resorte de su lon-gitud natural a una longitud de 25 cm.


b) Encuentre el trabajo realizado al estirar el resorte de una lon-gitud de 17.5 cm a una longitud de 22.5 cm

Respuesta: 0.4 kg-m y 0.2 kg-m, respectivamente.

Ejercicios:

1. Un resorte cuya longitud natural es de 10 pulgadas se estira1,5 pulgadas al colgarle un peso de 8 libras.

a) Calcule el trabajo realizado al estirar el resorte de sulongitud natural a una longitud de 14 pulgadas.

b) Calcule el trabajo realizado al estirar el resorte de unalongitud de 11 pulgadas a una longitud de 13 pulgadas.

2. Se necesita una fuerza de 400 dinas para comprimir un re-sorte de su longitud natural de 12 cm a una longitud de 10cm. Calcule el trabajo realizado al comprimir el resorte de sulongitud natural a una longitud de 8 cm.

3. Suponga que un resorte tiene 12 cm de largo. Compare eltrabajo realizado al estirarlo de 12 cm a 13 cm con el trabajorealizado al estirarlo de 13 cm a 14 cm.

4. Se necesita un trabajo de 600 dinas-cm para estirar ciertoresorte de una longitud de 6 cm a una longitud de 7 cm y 120dinas-cm para estirarlo de 7 a 8 cm. Encuentre la constantedel resorte y su longitud natural.

Longitud de Arco

Definicion 20. Sea f una funcion lisa (en un intervalo si tiene una derivadaf ′ continua en todo el intervalo) en un intervalo cerrado [a,b]. La longitudde arco de la grafica de f entre A(a, f(a)) y B(b, f(b)) esta dada por

Lba =

∫ b

a

√1 + [f ′(x)]2dx

Ejemplo: Sea f(x) = 3x23−10. Calcule la longitud de arco de la grafica

entre los puntos A(8,2) y B(27, 17) (respuesta: aproximadamente24.2).

34 Introduccion

Figura 15: Longitud de arco

Ejemplo: El numero de bacterias en cierto cultivo crece de 600 a1800 en 2 horas. Suponiendo que se cumple la ley exponencial decrecimiento encuentre una formula para el numero de bacterias enel cultivo para cualquier tiempo t. ¿Cual es el numero de bacteriasal cabo de 4 horas?

Sea t = 0 el tiempo en el cual hay 600 bacterias en el cultivo y seaq(t) el numero de bacteria despues de t horas. Entonces q(0) = 600y q(2) = 1800. Como la funcion de crecimiento es exponencial, q(t)es de la forma q(t) = q(0)ect con q(0) = 600, es decir

q(t) = 600ect

Sustituyendo t = 2 obtenemos

1800 = 600e2c

oe2c=3

Ası que

c =1

2ln3

Por lo tanto la formula para q(t) es

q(t) = 600e(1

2ln3)t.


Como eln3 = 3q(t) = 600(3)

t2 .

Y despues de 4 horasq(4) = 5400

El calculo integral puede aplicarse aun a mas temas, por mencio-nar algunos ejemplos a la desintegracion radioactiva, zlas pruebasdel carbono en los fosiles, a la fuerza de un lıquido,a la velocidad,aceleracion y posicion de una partıcula, a areas, volumenes, etc.practicamewnte a todo.

Ejercicios:

1. Calcule la longitud de arco de la ecuacion 8x2 = 27y3, en A(1, 2/3), B(8, 8/3)

2. Calcule la longitud de arco de la ecuacion y = 5 −√x3, en

A(1,4), B(4, -3)

Si g es una funcion continua en un intervalo [a,b], entonces el cre-cimiento del capital en el intervalo de tiempo t es∫ b

a

g(t)dt = f(b)− f(a)

donde

f ′(t) =dK

dt= I

, con K como una cantidad de capital, e I el flujo de inversion neto.

Ejemplo: Suponga que una companıa quiere que su flujo de inver-sion neto sea aproximadamente g(t) = f

13 donde t ase expresa en

anos y g(t) en millones de dolares por ano. Suponga que t = 0corresponde al tiempo presente. Calcule el crecimiento del capitaldurante los proximos 8 anos (respuesta: 12 000 000)

Ecuacion logıstica y crecimientologıstico (para Vıctor)

36 Introduccion

A la ecuaciondp

dt= P (a− bp)

se la llama ecuacion logıstica. Esta es una ecuacion diferencial ypara resolverla se hace uso de fracciones simples, luego se integrapor separacion de variables, obteniendose

P (t) =ac1

bc1 + e−at

donde si p(0) = p0 y P0 6= a/b, c1 = P0/(a−bp0) por lo tanto la solucionse transforma en

P (t) =aP0

bP0 + (a− bP0)e−at

Crecimiento logıstico. Suponga que un estudiante portador de unvirus de la influenza vuelve a una preparatoria aislada de 1000 es-tudiantes. Si se supone que la rapidez a la que se disemina el viruses proporcional no solo al numero de x estudiantes infectados, sinotambien al numero de estudiantes sanos, determine la cantidad deestudiantes infectados despues de seis dıas si ademas se observaque a los cuatro dıas x(4) = 50.

Solucion: Supongamos que nadie abandona la preparatoria eltiempo que dura la enfermedad, debemos resolver el problema delvalor inicial

dx

dt= kx(1000− x), x(0) = 1.

Si a = 1000 y b = k, se obtiene

x(t) =1000k

k + 999ke−1000kt=

1000

1 + 999e−1000kt

Considerando x(4) = 50, k se obtiene

50 =1000

1 + 999e−1000kt

De donde se obtiene

−1000k = ln19

999= −0,9906


Luego,

x(t) =1000

1 + 999e−0,9906t

Finalmente,

x(6) =1000

1 + 999e−5,9436= 276 estudiantes.

La grafica es la siguiente:

Figura 16: Curva Logıstica

38 Introduccion

Funcion Exponencial


La forma general de la funcion exponencial es

f : x −→ bax

definida pory = f(x) = bax

donde a y b son constantes.

Grafiquemos las siguientes funciones exponenciales:

1. y = 2x

2. y = (12)x

40 Introduccion

Figura 17: funciones exponenciales: r1, a2

Luego podemos enunciar las siguientes propiedades:

1. La funcion siempre es positiva, nunca cruza el eje x.

2. Para todos los valores de b y = 1 cuando x = 0.

3. Si b > 1 la funcion es creciente. Si x crece la funcion crece, ysi x decrece la funcion se aproxima a cero sin tocar el eje x.

4. Si b < 1 la funcion es decreciente, si x crece la funcion decreceaunque nunca se hace cero.

5. Si La funcion nunca corta el eje x, ni cuando b > 1 ni cuandob < 1.

EjerciciosGrafique las funciones dadas:

1. y = 3x

2. y = 8x

3. y = 3−x

4. y = (14)x


Funcion LogarıtmicaLa funcion logarıtmica se define como

f : x −→ logax

y = logax⇔ ay = x

Dicho en palabras significa: y es el exponente al que hay que ele-var la base a para obtener la potencia x, es decir la respuesta a lapregunta ¿a que numero debemos elevar a para obtener x?

Como ejercicios introductorios grafiquemos las siguientes funcio-nes:

1. y = log3x⇔ 3y = x

2. y = log 12x⇔ (1

2)y = x

Figura 18: funciones logarıtmicas: a2, r1

Tambien podemos enunciar las siguientes propiedades:

42 Introduccion

1. Si a > 1 la funcion es positiva para todo x > 1 y negativa paratoda x < 1. La funcion no esta definida para valores negativosde x.

2. Si a > 1 la funcion es siempre creciente, si x crece y tambiencrece.

3. Si a < 1 la funcion es negativa para todo x > 1 y positiva paratoda x < 1. La funcion no esta definida para valores negativosde x.

4. Si a < 1 la funcion es decreciente, si x crece la funcion decrece.

5. Si a > 1 o a < 1 la funcion intersecta al eje x en (1,0).

Ejercicio Reflexiones sobre las relaciones entre las cuatro graficas.Hagalo por escrito.

Figura 19: Exponenciales y logarıtmicas

Otras propiedades de la funcion logarıtmica

1. logaMN = logaM + logaN


2. logaMN

= logaM − logaN

3. logaMk = klogaM

Exprese cada una de estas propiedades con palabras.

Ejercicios

1. Construya la grafica de la funcion dada

a) y = log2x

b) y = log4x

c) y = log 15x

2. En los siguientes problemas encuentre por inspeccion a, m oM.

a) m = log864

b) loga16 = −4

c) log6M = 3

d) m = log 13

127

3. Escriba el logaritmo de la expresion dada en otra forma equi-valente usando las propiedades de los logaritmos.

a) log15(36)(84)

b) log107515

c) log20(408)12

d) log10(93)12 (18)

e) log10(100)2(36,8)

13

(45)32

4. Exprese como un solo logaritmo lo que se da

a) log520 + log5100− log530

b) 5log10200

44 Introduccion

c) 12log20300− 2log20500

d) log10100− 4(log1020− log1060)

e) logb(x+ 1)− logb(x− 1)

Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas

Resuelva para x las siguientes ecuaciones exponenciales

1. 5x+2 = 6x+1

2. 5x = 625

3. 63x = 216

4. 43x−1 = 8x+1

5. 5(23x = 20x−2)

6. 3x−2 = 2x+3

7. 152x+1 = 105x

Resuelva para x en las siguientes ecuaciones logarıtimicas

1. log8(x+ 1)− log8x = 2

2. log2(x+ 1) + log2(x+ 1) = 2

3. log18(x+ 2) + log18(x− 1) = 1

4. log2(2x+ 1)− log2(x+ 1) = 3

5. log82x+ log810 = 0

6. log6(3x− 1)− log6(2x+ 3) = 2


Aplicaciones de la Funcion Ex-ponencialInteres compuesto

si se invierte una cantidad dada de dinero, que representamos porP, a un interes r, el cual se expresa como un porcentaje por unidadpor ano, el interes al cabo de n anos es

A = P (1 + r)n

que es la cantidad al final de n anos mas los intereses ganados,donde

P = cantidad invertida inicialmente

r = interes anual

n = numero de annos

A = acumulacion total al final de n anos

Ejemplo:

Si se invierten 1000 pesos al 8 por ciento de interes compuestoanual, ¿Que cantidad total se tiene al final de 5 anos?

solucion: 1469.32 pesos.

Ejercicio: Encontrar la cantidad total al cabo de 10 anos que seobtiene con un capital inicial de 1200 pesos al 10 por ciento deinteres anual. (respuesta: 3112 pesos).

Capitalizacion en cierto periodo

Si designamos por s el numero de periodos de capitalizacion en unano, entonces el numero de perıodos en n anos es ns y la tasa por

46 Introduccion

perıodo es r/s, por lo que A se expresa como:

A = P (1 +r

s)ns

Ejemplo:

Encontrar la cantidad total al cabo de 8 anos, que se obtienecon un capital inicial de 600 pesos al ocho por ciento de interesanual. a) si la capitalizacion se hace trimestralmente, b) si la ca-pitalizacion se hace mensualmente (respuestas: 1130.72 y 1135.47pesos respectivamente).

Ejercicio:Crecimiento natural

Si en la ultima ecuacion s se hace muy grande obtenemos la Leydel Crecimiento Natural:

A = Pern

e = 2,71828... que nos representa la cantidad total que se obtiene siP se capitaliza continuamente a un interes r durante n anos.

Ejemplo: La poblacion de San Luis Potosı en el 2011 es de unmillon de habitantes y crece continuamente a una tasa r de 3.5 porciento anual, de acuerdo a la ley de crecimiento natural. Encontralla poblacion aproximada que tendra en el 2017 y tambien la quetendra en 2027 (respuesta: 1 233 677 y 1 750 671 habitantes, res-pectivamente).

Ejercicio: Con los datos del ejemplo anterior diga en cuantos anosse doblara la poblacion de esta ciudad (respuesta: en 19.8 anos).

Cambio de base de logaritmosPara cambiar logaritmos de una base a otra usamos

logaN =logbN

logba


Ejemplo: Encuentre una expresion que relacione los logaritmosde base natural (e) con los logaritmos comunes (10) (respuesta:logeN = 2,303logN)

ejercicio: encontrar log8326 en log10 (respuesta: 2,7829)

Mas ejercicios:

1. Calcular la cantidad compuesta al cabo de 15 anos, con uncapital inicial de 5000 pesos al 9 por ciento de interes anual. a)capitalizable semestralemnte, b) capitalizable continuamente.

2. ¿Que tiempo se requiere para duplicar 100 pesos, a) con in-teres anual del 4 por ciento, b) con interes compuesto conti-nuamente al 4 por ciento?

3. La poblacion del saucito en el 2011 es de 1 millon de habi-tantes y ha estado creciendo continuamente en los ultimos 10anos a una tasa de 3.5 por ciento anualmente. ¿cuantos ha-bitantes tendra en el ano 2036 si continua la misma tasa decrecimiento? ¿cuantos habitantes tenıa hace 10 anos?

4. En un cierto cultivo se tienen inicialmente 500 bacterias y 3horas despues se tienen 5000 bacterias. ¿cual es la tasa decrecimiento de las bacterias por horas?

48 Introduccion

Defina los conceptos de igualdad, desigualdad, ecuacion, inecua-cion, identidad y funcion y de un ejemplo de cada uno de ellos

Criterios de divisibilidad

1. Todo numero en el que la cifra de las unidades sea par o ceroes divisible entre dos.

2. Si la suma de las cifras de un numero es multiplo de tres,entonces ese numero es divisible entre tres.

3. Todo numero en el cual sus dos ultimas cifras de la derechaformen un multiplo de cuatro o sean cero son divisibles entrecuatro.

4. Todo numero que su cifra de las unidades sea cinco o cero, esdivisible entre 5.

5. Si la ultima cifra de la derecha de un numero es par o cero,y ademas, la suma de las cifraqs que lo forman es multiplo detres, entonces es divisible entre seis.

6. Separamos la ultima cifra de la derecha del numero y lo mul-tiplicamos por 2, el producto de esa multiplicacion se restaa los numeros que quedaron, se repite el procedimiento ocnlas demas cifras, y si el resultado de la resta final es cero omultiplo de siete, entonces el numero es divisible entre siete.

7. Un numero es divisible entre ocho si las ultimas tre4s cifrasque lo forman son ceros o un multiplo de ocho.

8. Todo numero que la suma de sus cifras sea nueve o multiplode nueve, es divisible entre nueve.

9. Todo numero en que la ultima cifra de la derecha sea cero esdivisible entre diez.

Combinatoria


La teorıa commbinatoria resuelve problemas que aparecen al es-tudiar y cuantificar las diferentes agrupaciones o conjuntos quepodemos formar con los ejementos de un conjunto

Regla de sumar: Si una cierta tarea puede realizarse de m manerasde una forma o de n maneras para una segunda forma, en total latarea se puede hacer de m+ n formas.

Ejemplo 1. Si Hasbleidy tiene 7 conjuntos deportivos y tiene, tambien, 4vestidos ¿De cuantas maneras distintas se puedevestir ella?

Solucion 1. Hasbleidy se puede vestir con un conjunto deportivo o un ves-tido, es decir, en total de 4 + 7 = 11 formas distintas.

Regla de multiplicar: Si un objeto A1 puede elegirse por k1 procedi-mientos, luego para cada una de estas elecciones del objeto A1 otroobjeto A2 puede ser elegido por k2 metodos, despues de cada unade estas elecciones, tanto el de A1 como el de A2, el tercer objeto A3

puede ser elegido por k3 procedimientos, etc. incluyendo el m-esi-mo objeto de Am, el cual puede ser elegido mediante km metodos,entonces el objeto que figura en la eleccion de todos los m obje-tos juntos, es decir, el objeto A1, A2, A3, ..., Am puede ser elegido pork1k2k3...km metodos.

Considera la siguiente forma alternativa de enunciarla: Si una cier-ta tarea puede realizarse de m naneras distintas y, para cada unade estas formas, una segunda tarea puede realizarse de n manerasdistintas, entonces las dos tareas juntas pueden realizarse (en eseorden) de mn formas distintas.

Ejemplo 2. ¿Cuantas palabras de tres letras se pueden formar si se disponede un alfabeto de 2 letras: a y b, nadamas? (Nota: se permiten palabras comoaab)

Solucion 2. Consideremos tres casillas �� En cada casilla puede ir algunade las dos letras. Ası tendremos que para cada casilla habra dos posibilidades,por tanto, por la regla del producto, habra 23 = 2 × 2 × 2 = 8 posibilidadesdistintas.

50 Introduccion

Ejemplo 3. ¿Cuantos numeros pares de tres cifras pueden formarse usandolas cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si estas pueden repetirse?

Solucion 3. Al formar un numero par de tres cifras A1A2A3 con las cifrasdadas, en lugar de A1 puede tormarse una cifra cualquiera, salvo el cero, esdecir, seis posibilidades. en lugar de A2 pueden tomarse cualquier cifra, esdecir 7 posibilidades, y en lugar de A3 cualquiera de las cifras 0, 2, 4, 6, esdecir 4 posibilidades. Ası, existen 6 · 7 · 4 = 168 procedimientos, es decir 168numeros pares de tres cifras.

En combinatoria tenemos distintas configuraciones o agrupacionesque podemos formar con los elementos de un conjunto, las masimportantes son:

1. Variaciones

a) Sin repeticion. Si importa el orden, no pueden reptirse, setienen n elementos por grupo y melementos disponibles,y n < m. La formula es

V nm =

m!

(m− n)! = m(m− 1)(m− 2)...(m− n+ 1)

Ejemplo 4. ¿Cuantos numeros de tres cifras distintas se puedenformar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Solucion 4. como se trata de numeros el orden no importa, yademas, dice que las cifras deben ser distintas, ası que no puedenrepetirse. Por tanto existen V 3

9 = 9 · 8 · 7 = 504.

b) Con repeticion. Sı importa el orden, sı se pueden repetir,el grupo tiene n elementos, y m estan disponibles, y n <m o n > m. La formula es

V Rnm = mn

.

Ejemplo 5. ¿cuantos numeros de tres cifras se pueden formarcon las nueve cifras significativas del sistema decimal?


Solucion 5. Como se trata de numeros el orden sı importa, yademas no dice nada sobre cifras distintas, ası que si pueden re-petirse. Por lo tanto, se pueden formar: V R3

9 = 93 = 729

Ejemplo 6. ¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sinsentido) pueden escribirse usando solo las letras a y b?

Solucion 6. Como se trata de palabras el orden sı importa, ademascomo son palabras de 10 letras y solo tenemos dos para formarlas,deben repetirse. Ası que tenemos V R1

20 = 210 = 1024.

2. Permutaciones.

a) Sin repetecion. Sı importa el orden, no pueden repetirse,el grupo cuenta con n elementos, y m disponibles, en cadaagrupacion m = n. La formula es

Pn = n!

Ejemplo 7. Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabrasdistintas se pueden formar?

Solucion 7. Como se trata de palabras el orden importa, ademasn = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras concinco elementos (D, I, S, C, O) que no estan repetidos. Por tantose puden formar P5 = 5! = 120 palabras.

b) Con repeticion. Sı importa el orden, tenemos n elementosen el grupo, los elementos disponibles son m, y en cadaagrupacion n = m. La formula es

P a,b,c,...n =

n!

a!b!c!...

Ejemplo 8. ¿De cuantas maneras distintas pueden colocarse enlınea nueve esferas de las que cuatro son blancas, tres amarillas ydos azules?

Solucion 8. El orden importa por ser distinto color, pero hayesferas del mismo color (estan repetidas) y ademas m = n, o seacolocamos nueve esferas en lınea y tenemos nueve esferas paracolocar. Por tanto tenemos P 4,3,2

9 = 9!4!3!2!

= 9 · 4 · 7 · 5 = 1260formas de colocarlas.

52 Introduccion

3. Combinaciones.

a) Sin repetecion. No importa el orden, no pueden repetir-se, tenemos un grupo de n elementos con m elementosdisponibles, y en cada agrupacion n ≤ m. La formula es:

Cnm =

m!

n!(m− n)!=V nm

Pn

Ejemplo 9. ¿Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse conlos 30 alumnos de una clase (un grupo es distinto de otro si tieneal menos un alumno distinto)?

Solucion 9. No importa le orden porque son grupos de alum-nos.No pueden haber dos alumnos iguales en un grupo, ası que essin repeticion. Por lo tanto, se pueden formar C5

30 = 30!5!(30−5)! =

30·29·28·27·26·25!5!25!

= 142506 grupos distintos.

b) Con repeticion. No importa le orden, sı pueden repetirse,hay un grupo de n elementos con m de ellos disponibles,en cada agrupacion n ≤ m. La formula es

CRnm =

(m+ n− 1)!

n!(m− 1)!

Ejemplo 10. En una confiterıa hay cinco tipos distintos de pas-teles. ¿De cuantas formas se pueden elegir cuatro pasteles?

Solucion 10. No importa el orden (son pasteles). Puede haberdos o mas pasteles en un grupo, luego con repeticion. Por tanto sepueden formar CR4

5 = 8!4!(5−1)! = 8·7·6·5·4!

4!4!= 70.

Algunas sugerencias:

Si en cada agrupacion figuran solo ALGUNOS de los elemen-tos disponibles, importando el orden de colocacion de estos,entonces es un problema de VARIACIONES.

Si en cada agrupacion figuran TODOS los elementos disponi-bles, importanto el orden de colocacion, entonces se trata deun problema de PERMUTACIONES.


Si en cada agrupacion figuran solo ALGUNOS de los elemen-tos disponibles, sin importar el orden de colocacion de estos,entonces estamos ane un problema de COMBINACIONES.

Geometrıa

Definicion 21. Bisectriz: semirecta que tiene como orıgen el vertice y divideal angulo en dos angulos iguales.

Definicion 22. Angulos adyacentes: Tienen un lado en comun y los otrospertenecen a la misma recta.

Definicion 23. Angulo recto: Mide 90 grados.

Definicion 24. Angulo llano: Uno de sus lados es la prolongacion del otro,es decir su angulo mide 180 grados.

Definicion 25. Angulos complementarios: Su suma vale un angulo recto.

Definicion 26. Angulos suplementarios: Angulos cuya suma es igual a dosrectos.

Teorema 29. Dos angulos adyacentes son suplementarios.

Definicion 27. Angulos opuestos por el vertice: dos amgulos cuyos dos ladosde uno de ellos son las prolongaciones de los otros dos lados del otro angulo.

Teorema 30. Los agulos opuestos por el vertice son iguales.

Definicion 28. Angulos consecutivos: Son dos angulos que tienen un ladoen comun que separa a los otros dos,

Definicion 29. Mediatriz: Recta perpendicular a dicho lado que pasa porsu punto medio.

Definicion 30. Altura: Recta perpendicular a dicho lado que pasa por elvertice opuesto.

54 Introduccion

Figura 20: Mediatriz

Definicion 31. Mediana: la mediana de un triangulo correspondiente a unode sus vertices, se define como la recta que une a dicho vertice del triangulocon el punto medio del lado opuesto.

Definicion 32. Bisectriz: La bisectriza de un triangulo, correspondiente auno de sus vertices, es la recta que pasando por dicho vertice, divide al angulocorrespondiente en dos partes iguales.

Definicion 33. Circuncentro: Es el unico punto del triangulo donde secruzan las mediatrices del mismo.

Definicion 34. Incentro: Es el unico punto del triangulo donde se cortansus bisectrices.

Definicion 35. Baricentro: Es el unico punto del triangulo donde se cortanla medianas.


Figura 21: Altura

Definicion 36. Ortocentro: Unico punto del triangulo donde se cortan susalturas.

Definicion 37. Recta de Euler: Recta que pasa por el ortocentro, baricen-tro y circuncentro.

Congruencia de triangulos

Definicion 38. Congruencia de triangulos: dos triangulos son congruen-tes si superpuestos coinciden.

Definicion 39. Criterio ALA: dos triangulos son congruentes si tienen unlado igual, y respectivamente los angulos adyacentes a ese lado iguales.

56 Introduccion

Figura 22: Mediana

Definicion 40. Criterio LAL: dos triangulos son congruentes si tienen doslados iguales y el angulo comprendido entre ellos igual.

Definicion 41. Criterio LLL: dos triangulos son congruentes si tienen sustres lados respectivos iguales.

Semejanza de triangulos

Definicion 42. Triangulos semejantes: dos triangulos son semejantescuando tienen sus angulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales.

Definicion 43. Criterio AA: dos triangulos son semejantes si tienen dosangulos respectivamente iguales.

Definicion 44. Criterio LAL: dos triangulos son semejantes si tienen doslados proporcionales y el angulo conprendido entre ellos igual.

Definicion 45. Criterio LLL: dos triangulos son semejantes si tienen sustres lados proporcionales.

Teorema de Pitagoras


Figura 23: Bisectriz

Teorema 31. En un trıangulo rectangulo el cuadrado de la hipote-nusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Ejercicios

1.- En un triangulo ABC se trazan los segmentos que unen el incentro conlos vertices B y C. Muestre que el angulo formado por ellos es un rectomas la mitad del angulo A

2.- Cada diagonal descompone a un paralelogramo en dos triangulos con-gruentes

3.- Muestre que la suma de los angulos interiores de un triangulo es iguala dos rectos

Nota 1. Las soluciones a los ejercicios vienen despues de las imagenes.

Soluciones

58 Introduccion

Figura 24: Circuncentro

1.- En este primer ejercicio lo primero que se hace es dibujar el trıangulo,su incentro y sus segmentos de bisectrices

Ası, tenemos los angulos A, B y C (haciendo un abuso de notacion). Algraficar los segmentos de las bisectrices (rectas verdes), formamos los angulosα, β y ω interiores del nuevo triangulo.

¿Que es lo que nos pide el problema? Pues nos pide que demostremosque el angulo α es igual a 90 grados mas la mitad del angulo A. Es decirα = 90 + A

2

Notemos que tenemos que la suma de los angulos internos del triangulooriginal es A+B +C = 180. Que es la ecuacion (1). Por otro lado, tenemosque α + β + ω = 180 que es la ecuacion (2). Pero como las rectas verdesson las bisectrices, β = B

2y ω = C

2. Sustituyendo β y ω en la ecuacion (2)

tenemos que α+ B2

+ C2

= 180. De esta ultima ecuacion despejamos B o C y lasustituimos en la ecuacion (1). B = −2α−C+360. Sustituyendo en (1) comoya dijimos: A− 2α−C + 360 +C = 180. Reduciendo terminos semejantes ydespejando α de esta ultima ecuacion nos queda: −2α = −180−A, al aplicarla ley de la cancelacion del producto tenemos finalmente: α = 90 + A

2. ¿Es lo

que querıamos demostrar? Sı.Vayamos ahora al siguiente ejercicio, jovenes: el segundo:


Figura 25: Incentro

¿Que nos pide aquı? que demostremos que la diagonal de un parelelogra-mo lo divide en dos triangulos iguales. ¿Que es un paralelogramo? pues esun cuadrilatero que tiene lados opuestos IGUALES y PARALELOS. Antesde iniciar nuestra demostracion grafiquemos nuestro paralelogramo.

Nuestro paralelogramo tiene lados opuestos IGUALES y PARELELOSa y a, b y b. Al trazar la diagonal c tenemos que nuestro paralelogramo sedivide en dos triangulos. Estos triangulos ya tenıa dos lados iguales y a ahoratienen tres lados iguales: a, b y c. Pregunta para Francisco: ¿que criterio decongruencia usamos para conluir que los dos triangulos son congruentes?

Tiene razon es el criterio LLLEl ultimo ejercicio, el tercero, nos piden que demostremos que

la suma de los angulos internos de un triangulo es dos rectos. Di-bujamos un triangulo cualquiera y como construccion auxiliar di-bujamos una recta paralela a la base del triangulo que es la rectaroja.

Con esa recta adicional paralela a la base tenemos una secante(mejor dicho dos secantes que son las rectas verdes) cortanndo dos

60 Introduccion

Figura 26: Baricentro

parelas. Recuerden que les quedo de tarea estudiar las propiedadesde una secante cortando dos parelelas. Si ya la hicieron que pode-mos decir de los angulos senalados en color amarillo? sı, son iguales¿por ser alternos internos? y ¿que podemos decir de los angulos enazul? pues tambien son iguales. Pregunta para Gabriela ¿Por que?

Pregunta para Andrea ¿Cuanto mide un angulo llano? Entoncesel angulo formado por la recta roja paralela a la base mide α+β+ε =180. Luego, la suma de los angulos interiores del triangulo mideα + β + ε. Pregunta para todos ¿cuanto vale esa suma? Muy bien,mide 180 grados o dos rectos, que es lo que querıamos mostrar.


Figura 27: Ortocentro

Figura 28: Recta de Euler

62 Introduccion

Figura 29: Congruencia

Figura 30: Criterio ALA


Figura 31: Criterio LAL

Figura 32: Criterio LLL

64 Introduccion

Figura 33: Nieve

Figura 34: Virus


Figura 35: Otro milagro

Figura 36: Mas milagros

66 Introduccion

Figura 37: Bisectrices

Figura 38: Paralelogramo


Figura 39: suma de angulos internos

Figura 40: En lugar de estrellita

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