Proporcionalidad y Ecuaciones

Lic. Mat. Juan Arturo Vsquez Velsquez


2

36

27

4

3

bcadd

c

b

a

d

c

b

a

2

1

6

3r

b

a

Razn Geomtrica o Razn

Se llama razn geomtrica entre dos nmeros a y b (b 0), al cociente de la divisin de a entre b.

Es decir:

Razn:

El primer trmino (numerador) se llama antecedente y el segundo trmino (denominador) se llama

consecuente.

Ejemplo: Hallar la razn entre 3 y 6

Una proporcin geomtrica es la igualdad de dos razones geomtricas.

Es decir:

A los nmeros a y d se les llama extremos y a b y c se les llama medios.

Se lee: a es a b como c es a d

Cuatro nmeros a, b, c y d distintos de cero, dados en ese orden, forman una proporcin geomtrica

cuando la razn entre los dos primeros es igual a la razn de los dos ltimos.

Observacin:

En toda proporcin se cumple:

Si

Ejemplo:

es una proporcin porque: 3 x 36 = 4x27

108 = 108

TIPOS DE PROPORCIN GEOMTRICA:

1. Proporcin Geomtrica Discreta.-

Una proporcin geomtrica es discreta cuando todos sus trminos son diferentes.

Es decir:

Ejemplo:

Proporcin Geomtrica o Proporcin

dcbad

c

b

a donde ;

40

20

2

1


3

dc

dc

ba

ba

d

c

b

a

n

n

n

n

d

c

b

a

d

c

b

a

nd

nc

nb

na

d

c

b

a

d

c

b

a

db

ca

d

c

b

a

n

n

n

n

d

c

b

a

d

c

b

a

nd

nc

nb

na

d

c

b

a

dabd

b

b

a 2

2. Proporcin Geomtrica Continua

Es aquella cuyos trminos medios son iguales.

Es decir:

Ejemplo:

4

2

2

1

Operaciones que se pueden realizar con los trminos de una proporcin geomtrica:

1. Si 2. Si

3. Si 4. Si

5. Si 6. Si

Ejemplo:

Hallar x e y en la siguiente expresin Si

Solucin:

Aplicamos la propiedad 5

16;95

yxyx

Adems:

36y

94

16

995

y

yyx

Luego:

20

54

16

595

x

x

xyx959595

yxyxyx

Halle los trminos desconocidos en

las siguientes proporciones

28;945

yxyx

65;36

9 yx

y

x

2;30

18 xy

y

x

5;4,26,1

yxyx

42;5

5

20

3

yx

yx

10;1

7

1

21

yx

yx

4,4;47

yxyx

1.

3.

5.

7.

2.

4.

6.


4

4,1126,0153

edcba

2015105

pzyx

952

cba

8. Dos nmeros enteros positivos estn en la relacin como 5 es a 13. Cunto suman estos

nmeros si su diferencia es 16?

a) 35 b) 20 c) 30 d) 36 e) 40

9. Si y a + b + c = 64, Calcular el valor de b.

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) N. A.

10. En una escuela, la razn del nmero de nios es al nmero de nias como 4 es a 3. Cuntas

nias hay en dicha escuela si hay 180 nios en ella?

a) 135 b) 140 c) 150 d) 160 e) 144

11. Dos nmeros son entre s como 24 es a 60, si su diferencia es 12. Cul es el mayor de dichos

nmeros?

a) 6 b) 12 c) 20 d) 24 e) 36

12. Dos nmeros estn en la relacin de 4/11; si su suma es 120. Determinar el menor de dichos

nmeros

a) 83 b) 44 c) 32 d) 55 e) 23

13. Si la semisuma de dos nmeros es 36 y su semidiferencia es 24. Hallar la razn geomtrica en-

tre dichos nmeros

a) 1/6 b) 1/5 c) 2/7 d) 1/8 e) 3/5

14. La diferencia de los cuadrados de dos nmeros es 640; y la razn de dichos nmeros es 7/3.

Cules son los nmeros?

a) 21 y 9 b) 35 y 15 c) 26 y 14 d) 28 y 12 e) 42 y 18

15. Hallar la razn equivalente a 3/11; de tal manera que la suma de los cuatro trminos de la pro-

porcin formada sea igual a 70.

a) 6/22 b) 9/33 c) 12/44 d) 15/55 e) 18/66

16. En una fiesta hay 56 personas entre hombres y mujeres de tal manera que el nmero de muje-

res al nmero de hombres es como 3 es a 4, si despus del reparto de la comida se retiran 6

mujeres.Cuntos hombres deben irse para que la relacin de mujeres a hombres sea de 3 a 5?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

17. Si ; donde x + y + z + p = 30. Calcular el valor de p

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

18. Si ; a + b +c + d + e = 64. Calcular a + b d

a) 6 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

19. En un saln, antes del recreo el nmero de hombres es al de mujeres como 9 es a 5. Si despus

del recreo, hay 8 hombres y 4 mujeres menos, con lo cual la razn de hombres a mujeres es

7/4. Hallar cuntas mujeres haba antes del recreo

a) 20 b) 15 c) 25 d) 32 e) 24

20. La suma de 2 nmeros es a su diferencia como 7 es a 3. Si el producto de dichos nmeros es

160. Determinar la diferencia de los mismos

a) 8 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18


5

1. Magnitudes Directamente Proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un nmero, la otra resulta multiplicada o dividida por el mismo nmero.

Notacin: A D.P B Se lee A es directamente

A B proporcional a B

Condicin: Si: A D.P. B Donde: k = constante de proporcionalidad Interpretacin Geomtrica:

La grfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Exceptuando el origen de coordenadas, se verifica:. Ejemplo:

entonces espacio es D.P a la velocidad. La funcin de proporcionalidad directa ser: F(x) = K.x

Magnitudes Valores correspondientes

Espacio (km) 20 32 44 56

Velocidad (km/h) 5 8 11 14


6

2. Magnitudes inversamente proporcional Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un

nmero la otra resulta dividida y al dividir una de ellas la otra resulta multiplicada por el mismo nmero.

Notacin A I.P B Se lee A es inversamente

A 1 B proporcional a B Condicin

Si A es I.P. a B. A. B = k

Interpretacin Geomtrica

La grfica de 2 magnitudes I.P. es una rama de hiprbola equiltera.

Se verifica:

Luego si son inversamente proporcionales, se cumple que:

A1 . B1 = A2 . B2 = . . . . . . . = An . Bn = k donde k es la constante de proporcionalidad. Ejemplo: Luego: 12 x 4 = 24 x 2 = 8 x 6 = 16 x 3 = 48 Entonces masa es I.P a la aceleracin. La grfica del ejemplo anterior es: La funcin de proporcionalidad inversa ser:

Magnitudes Valores correspondientes

Espacio (km) 12 24 8 16

Velocidad (km/h) 4 2 6 3


7

Importante: Una magnitud puede ser directa o inversamente proporcional a otras magnitudes. As:

El precio es una pieza de tela es directamente proporcional a su calidad, longitud y ancho.

El rea de un rectngulo es directamente proporcional a su base y altura.

La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido e inversamente proporcional al tiempo.

Las magnitudes directamente proporcionales van de ms a ms, y de menos a menos (+a +; - a -).

Las magnitudes inversamente proporcionales van de ms a menos o menos a ms (+ a -; -a+).


8

1. Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rue-

da a 100 km/h. Cunto tiempo ha tardado en llegar? a) 1h b) 1h 30min c) 2h d) 1h 45min e) 2h 15min 2. Si B es directamente proporcional a A y vale 24 para A = 3; hallar el valor de B para

A = 10 a) 40 b) 60 c) 75 d) 64 e) 80

3. Una magnitud M es D.P. a la magnitud N e I.P. a Q. Si cuando M = 4; N = 16 y Q = 6. Hallar Q cuando M y N son 2 y 4 respectivamente.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Dos ruedas se encuentran engranadas, la primera posee 80 dientes y la segunda 72

dientes. Si la primera da cierto nmero de vueltas en un minuto, la segunda da 3 vuel-tas ms. Cuntas revoluciones por minuto da la segunda rueda?

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 5. Mnica, Sebas y ngela se proponen vender 400 tickets de una rifa para el viaje de fin

de curso. Se las reparten proporcionalmente a 2, 3 y 5. Cuntos tickets corresponden a cada uno?

a) 60; 90; 250 b) 80; 120; 200 c) 90; 120; 190 d) 70; 100; 230 e) N. A. 6. Un agricultor dispone de 52 rboles para plantar en tres fincas que miden 48, 64 y 96

metros cuadrados. Si ha decidido hacer el reparto de manera directamente proporcio-nal al rea de cada finca, cuntos rboles corresponden a cada una?

a) 10; 12; 16 b) 12; 15; 20 c) 12; 16; 24 d) 12; 18; 23 7. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 das por S/792. Cunto costar el

hotel de 15 personas durante ocho das? a) 1250 b) 1320 c) 1290 d) 1825 e) 1589 8. Al adquirir un vehculo cuyo precio es de $8800, nos hacen un descuento del 7.5%.

Cunto hay que pagar por el vehculo? a) 7150 b) 5320 c) 8140 d) 8250 e) 8359 9. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Se sabe que un dia-

mante cuesta 1000 dlares, cunto costar si se parte en 2 pedazos que son propor-cionales a 2 y 3?

a) 480 b) 640 c) 520 d) 680 e) 360 10. El precio de un objeto vara en forma DP en su peso. Si para 240 gramos de peso su

precio es 36 soles. Cunto costar otro objeto que pesa 60 gramos ms? a) S/. 40 b) S/. 42 c) S/45 d) S/48 e) S/50 11. Repartir S/ 10 500 en partes directamente proporcionales a los nmeros 7, 4 y 3 a) 5 050, 2 450 y 3 000 b) 5 250, 2 250 y 3 000 c) 5 040, 2 460 y 3 000 d) 5 050, 2 200 y 3 050 e) 5 500, 2450 y 3 050


9

12. Repartir S/ 12 600 en partes directamente proporcionales a 2 y 4 a) 4 200 y 8 400 b) 2 000 y 12 000 c) 1 200 y 600 d) 11 000 y 1 600 e) N. A. 13. Dividir 68,8 en parte directamente proporcionales a 0,8; 1,5 y 2 a) 12,8; 24 y 32 b) 18; 5,8; 33 c) 2,8; 29; 23 d) 2,8; 39; 23 e) 3,8; 34; 23 14. Repartir 735 en partes inversamente proporcionales a 1/5; 3/5 y 3 a) 525; 175; 35 b) 515; 185; 35 c) 425; 275; 35 d) 525; 165; 45 e) 515; 175; 45 15. Dividir el nmero 170 en dos partes inversamente proporcionales a los nmeros 3/2 y 4/3 a) 80 y 90 b) 100 y 70 c) 110 y 60 d) 85 y 85 e) N. A. 16. Repartir 165 en partes inversamente proporcionales a 2; 5 y 8 a) 90; 50 y 25 b) 100; 50 y 15 c) 100; 40 y 25 d) 100; 30 y 35 e) 90; 30 y 35 17. 40 animales consumen cierta cantidad de alimentos en 72 das. Cuntos das podrn alimen-

tarse 80 animales con la misma cantidad de alimentos? a) 40 b) 36 c) 37 d) 38 e) 35 18. Para empapelar una habitacin se necesitan 15 rollos de 0,45m de ancho. Cuntos rollos se

necesitarn si el ancho fuera de 0,75m? a) 8 b) 6 c) 7 d) 2 e) 4 19. Cinco hombres trabajan 150m de una pista en un da Cuntos hombres se necesitarn para

trabajar 420m de pista? a) 15 b) 17 c) 10 d) 12 e) 14 20. Un batalln de 320 soldados tienen vveres para 45 das. Para cuntos das alcanzarn los

vveres, si el batalln fuera de 240 soldados? a) 60 b) 32 c) 65 d) 42 e) 71 21. Para terminar una obra en 9 das se necesitan 32 obreros. En cuntos das terminarn la obra

8 obreros menos? a) 11 b) 10 c) 12 d) 1 e) N. A. 22. En una encuesta hecha a 1 200 madres con hijos menores de 18 aos, 450 trabajan fuera de

casa. Qu porcentaje de las encuestadas representan las madres que trabajan fuera de casa?

a) 36% b) 37,5% c) 40% d) 42% e) 45%

23. Al comprar una lavadora cuyo precio es de S/. 1 050, se hace una rebaja del 10%. Cul es el

precio de la lavadora con la rebaja?

a) S/. 900 b) S/. 930 c) S/. 940 d) S/. 945 e) S/ 900

24. Si un producto se vende a S/. 500 con el 20% de descuento, cul era su precio sin descuento?

a) S/. 625 b) S/. 620 c) S/. 610 d) S/. 605 e) S/ 650

25. En una fiesta, asistieron 300 personas entre hombres y mujeres. Si el 40% fueron mujeres.

Cuntos hombres asistieron a la fiesta?

a) 150 b) 180 c) 160 d) 175 e) N. A.


10

Es una igualdad de dos expresiones, que solo se cumple para determinados valores de sus varia-

bles o incgnitas.

Clasificacin

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus caractersticas, siendo las principales.

1 Segn el grado: Puede ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc. En general, una

ecuacin de grado n posee n races o soluciones. Ejemplo

2 Segn sus coeficientes pueden ser numricos y literales. Ejemplo

3 Segn las incgnitas pueden ser de una, dos, tres o ms incgnitas

0562 xx352 x

9537 xx cbxax 2

313 xx 532 yx 723 zyx

Resolucin de Ecuaciones

a) Si un trmino que est sumando en uno de los miembros pasa al otro, lo hace restando.

b) Si un trmino que est restando en uno de los miembros pasa al otro, lo hace sumando.

c) Si un trmino que est Multiplicando en uno de los miembros pasa al otro, lo hace dividiendo.

d) Si un trmino que est dividiendo en uno de los miembros pasa al otro, lo hace multiplicando.

4664

xx

2

2222222 xx

12242412 xx

17252517 xx

El cambio de signo

644644 xx 5353 xx 726726 xx

Si una ecuacin tiene la forma : -ax=b, se puede cambiar de signo a los dos miembros y quedar

una ecuacin de la forma: ax = -b


11

2

11

4

22x

6

14

4

32

xx

6

1

3

2

4

3

2

xx

3

1

2

3

xx

Para desarrollar este tipo de ecuaciones, debemos tener en cuenta que los denominadores pasan al otro miembro multiplicando. Ejemplo: Desarrollar la ecuacin: En este caso, el nmero 2 pasa al segundo miembro a multiplicar y el nmero 3 pasa al primer miembro a multiplicar.

3(x 3) = 2(x + 1) 3x 9 = 2x + 2

x 2x = 2 + 9 x = 11 Ejemplo: Efectuar la ecuacin: En este caso se saca el mnimo comn mltiplo de los denominadores del primer miembro y del se-gundo miembro.

6(2x + 3) = 4(4x 1) 12x + 18 = 16x 4

12x 16x = 4 18 4x = 22

Ecuaciones con Fracciones

2 21) ( 2) 32 ( 2)

2) ( 7)( 7) ( 5)( 10) 4

x x

x x x x

3) x [2x (3 3x)] = 10x (4x + 2)

4) 3(x 1) + 2(x + 3) = 5(x + 1) 2(x + 2)

5) 3(x + 5) + 2(2x + 3) = 4(x + 6) 2(x + 12)


12

6. Calcular el valor de x

011

1

5

4

x

a) 50 b) 49 c) 48 d) 47

7. Calcular el valor de x

x2 + 20x + 75 = x

2 + 19x + 88

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

8. Calcular x

12

92

x

x

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12

9. Calcular c

1115105

ccc

a) 30 b) 32 c) 34 d) 36

10. Resolver:

)614)(1()37)(12( xxxx

75

73

7

4 7

17

2a) b) c)

d) e)

11. Resolver y analizar el valor de x

3

7

8

7

7

2

5

4

3

1

2

1

6

7

9

10

5

3xx

x

a) -6 b) -8 c) -2 d) -4 e) 1

12. Dada la siguiente expresin calcular x

24 )4()23()1()1(32 xxxa) 18 b) 14 c) 8

d) -7 e) -8


13

a

Ecuaciones con Valor Absoluto

Recordemos que el valor absoluto de un nmero real a, denotado por , se

define:

0 ,

0 ,

asia

asiaa

Teoremas Relativos al Valor Absoluto:

xx yxxy

y

x

y

x xxx

2

Recordemos que si x e y son nmeros reales:

Casos que se presentan en ecuaciones con Valor Absoluto:

1 Caso: Ecuacin de la forma

axf )(

Esta ecuacin tiene solucin en R, slo 0a

Entonces:

))( )(( 0 )( axfaxfyaaxf

Recuerda que...

Geomtricamente el valor absoluto

de un nmero real x, es la distan-

cia, en la recta real, del punto x al


14

Resuelve cada ecuacin

2 Caso: Ecuacin de la forma )()( xgxf

Aqu: )()( )()( )( )( xgxfxgxfxgxf

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

122 x

1132 x

212

x

413

1

x

132

12

xx

22

1

x

x

312

12

x

x

142 x

452 x

112 x

1273 xx

11214 xx

11 xx

9375 xx

xx

12

xx

13

14

22

3

1

xx

13

121

4

32

xx

32

1

3

2

x

xx

821 22 xx

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


15

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

1273 xx

11214 xx

11 xx

9375 xx

xx

12

xx

13

14

22

3

1

xx

13

121

4

32

xx

32

1

3

2

x

xx

821 22 xx

76


16

Sistemas de Ecuaciones

Clasificacin de los sistemas de Ecuaciones.

De acuerdo al nmero de soluciones pueden ser:

1.- Sistema compatible. Cuando el sistema tiene solucin.

Estos sistemas a su vez pueden ser:

a) Sistema Compatible Determinado

Cuando tiene una cantidad LIMITADA de soluciones. Por lo general esto ocurre

cuando el nmero de ecuaciones es el mismo que el de incgnita.

Grficamente en los sistemas de primer grado, es el caso de rectas que se cor-

tan o intersectan en un punto

Ejemplo:

b) Sistema Compatible Indeterminado

Cuando tiene una cantidad ILIMITADA de soluciones. Por lo general, esto ocu-

rre cuando el nmero de ecuaciones es menor al nmero de incgnitas.

Grficamente en los sistemas de primer grado, es el caso de rectas coinciden-

tes o superpuestas (infinitos puntos comunes.)

Ejemplo:

Puede observar en este ejemplo que ambas soluciones del sistema no son in-

dependientes, ya que dividimos la ecuacin (2) por 3 resulta la misma ecuacin

(1) . Es decir el sistema queda reducido a la ecuacin.

7x + y = 3. donde:

n de ecuaciones: 1

n de incgnitas: 2

)2......(..........1

)1......(..........23

yx

yx

)2......(..........9321

)1......(..........37

yx

yx

81


17

2.- Sistema Incompatible Absurdo.- Cuando el sistema no tiene solucin Esto ocurre, por lo general, cuando el nmero de ecuaciones es mayor que el nmero de incgnitas. Ejemplo:

Observacin Si un sistema tiene dos ecuaciones de primer grado con dos incgnitas, ste ser INCOMPATIBLE si las rectas que representan a tales ecuaciones son PARALE-LAS

)3(..........72

)2(..........8

)1(..........17

yx

yx

yxn de ecuaciones: 3

n de incgnitas: 2


18

Mtodos de resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Mtodos de Eliminacin

Mediante estos mtodos se transforma el sistema dado en un sistema equivalente

que conduzca a una sola ecuacin con una sola incgnita, que ya ser ms fcil resolver.

Los Mtodos de Eliminacin son:

1.- Mtodo de Reduccin

2.- Mtodo de Sustitucin

3.- Mtodo de Igualacin

1.- Mtodo de Reduccin.

Consiste en transformar el sistema en UNA ecuacin con UNA sola incgnita, elimi-

nando aquellas que tienen coeficientes numricamente iguales, pero de signos

opuestos por medio de la suma miembro a miembro de las ecuaciones del sistema.

2.- Mtodo de Sustitucin

Consiste en despejar una incgnita de una de las ecuaciones y SUSTITUIR esta ex-

presin en la otra ecuacin, con lo cual obtendremos una sla ecuacin con una

incgnita cuya solucin ya nos es familiar.

3.- Mtodo de Igualacin

Si se trata de un sistema de ecuaciones con dos incgnitas, este mtodo consiste en

despejar en ambas UNA DE LAS INCGNITAS, para luego IGUALAR los miembros

bajo el siguiente criterio


19

Resuelve cada uno de los sistemas siguientes, empleando los mtodos de Reduccin, Igualacin o

Sustitucin:

2

6

yx

yx

13

73

yx

yx

102

15

yx

yx

1

245

yx

yx

8310

754

yx

yx

yx

yyx

52

212

783

xy

yx

3

52

753

17

yx

yx

362

12

20114

53

15

7

3

5

717

yx

yx

023

7295

yx

yx

)93()(6

115,2

yyxx

yx

21

79

3

2

7

4172

yx

yx

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

13)

12)

10)

9)

233

72

2

zyx

zyx

zyx

14)

2

110)5,4(2

)72(35)2(2

yxyx

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12)

Proporcionalidad y Ecuaciones

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Transcript of Proporcionalidad y Ecuaciones