PROPUESTA ALGORÍTMICA PARA EL PROBLEMA ÁRBOL DE

EXPANSIÓN BAJO EL CRITERIO MINMAX REGRET

Francisco Pérez Galarce, Alfredo Candia-Véjar, Eduardo Álvarez-Miranda 1DMGI, Facultad de Ingeniería, Universidad de Talca

RESUMEN El presente estudio aborda el problema de Árbol de Expansión con incertidumbre intervalar en los

costos, utilizando el criterio Min-Max Regret (MMR); se sabe que la complejidad computacional de

este problema es alta. Se proponen e implementan algoritmos, tanto exactos como heurísticos.

Descomposición de Benders (BD) y Branch and Cut (B&C), son implementados desde el punto de

vista exacto, ambos incluyen variantes. B&C es el que logra obtener mejores resultados, incluso

obteniendo soluciones óptimas para instancias de gran tamaño. En relación a los algoritmos

aproximados, se desarrolla una heurística constructiva que usa información intervalar, a diferencia

de las aproximaciones de la literatura. Adicionalmente, se proponen metaheurísticas basadas en

Búsqueda Local (Mejora iterativa, Simulated Annealing y GRASP), donde se obtienen gaps

similares a algoritmos propuestos recientemente. Finalmente, se realiza una comparación desde un

punto de vista experimental, del desempeño de los algoritmos.

I. INTRODUCCIÓN Dentro de la optimización combinatorial en redes, uno de los problemas más estudiados es el árbol de

expansión mínima (Minimum Spanning Tree, MST) . Este fue propuesto en diferentes contextos antes del

siglo XX, sin embargo, su primera formulación matemática se presentó en Boruvka (1926), fue para resolver

esta problemática, netamente práctica (electrificación del sur de Moravia), donde se proporcionó el primer

algoritmo conocido para resolverlo. En la década de los 50’, con la aparición de los primeros computadores,

surgieron estudios importantes, donde destacan los realizados por (Prim, 1957) y (Kruskal, 1956). Para una

revisión completa de los aportes realizados respecto al MST ver (Graham & Hell, 1985), (Magnanti &

Wolsey, 1995) y (Nesetril et. al, 2001).

Los problemas de árbol han llamado el interés de IO por diversas razones, en primer lugar por su gran

aplicabilidad (telefonía, electricidad, hidráulica, transporte, etc.). Otro factor que ha gatillado el estudio de

ellos es la facilidad (tiempo polinomial) con la que se puede solucionar el problema raíz (MST). Finalmente,

los modelos de árbol representan un problema tipo para muchos problemas de optimización combinatorial,

por lo que las técnicas estudiadas en éste pueden ser replicadas para esta clase de problemas.

Una discusión presente desde el origen de la IO es la incerteza en los parámetros. Los modelos en forma

clásica trabajan bajo el supuesto de que los datos son conocidos. En la práctica trabajar bajo este supuesto es

poco realista, la forma tradicional para obviar dicha afirmación es la programación estocástica, sin embargo,

esta metodología implica realizar otra aseveración importante, pues requiere definir una distribución de

probabilidad, lo cual muchas es inviable. Dada esta dificultad, durante las últimas décadas ha tomado

importancia una nueva línea de investigación, la cual trabaja la incertidumbre mediante datos intervalares,

donde no se tiene conocimiento con respecto a su distribución de probabilidad. Dicha propuesta de

modelamiento de la incertidumbre ha recibido el nombre de optimización robusta (OR).

Diversos modelos se han propuesto bajo el contexto de OR, particularmente, en este trabajo se profundizará

en el modelo MMR que por lo demás, ha capturado gran atención; prueba de esto son los diferentes modelos

que han sido estudiados bajo este concepto; Camino más corto (Karasan et al., 2001) , MST (Yaman et al.,,

2001) problemas de localización (Averbakh & Berman, 2005), vendedor viajero (Montemanni et al., 2007).

Una característica importante de los Modelos de tipo MMR es que usualmente modelos que en la versión

clásica son fáciles de resolver (tiempo polinomial) en la contraparte robusta se convierten en problemas NP-

Hard. En particular al modelo MMR-ST se le demuestra su complejidad en el trabajo presentado por Aron &

Van Hentenryck (2004). En (Yaman et al., 2001) se presenta la primera formulación de programación

matemática, en este trabajo, además, se presenta una técnica de preprocesamiento. Un algoritmo B&B es

presentado en (Montemanni & Gambardella, 2005). Dos algoritmos B&B nuevos son presentados en (Aron &

1 Departamento de Modelamiento y Gestión Industrial, Facultad de Ingeniería

Van Hentenryck, 2004). Finalmente, en (Montemanni, 2006) se propone un algoritmo de Descomposición de

Benders (BD) que es el que ha presentado mejor desempeño a la fecha.

En referencia a los algoritmos Heurísticos, en (Kasperski & Zielinski, 2006) se propone una

heurística de un escenario con garantía de rendimiento de radio 2 (Hm). Posteriormente, en (Nikulin, 2008) se

aplica un algoritmo Simualated Annealing (SA) a instancias de tamaño 10, 20 y 30, obteniendo resultados

razonables. La última aproximación heurística fue realizada por (Kasperski et al., 2012) donde se aplica

Tabu search (TS) a un gran conjunto de instancias, demostrando que su algoritmo es mejor que SA.

Referencias bibliográficas para el problema son (Kasperski A. et al., 2008) y en (Candia-Véjar et al., 2011).

El presente trabajo presenta una propuesta algorítmica, tanto exacta como heurística, para el problema antes

descrito, en particular se proponen algoritmos competitivos con los desarrollados en la literatura.

Con respecto a la estructura del estudio, en el capítulo II se entregan los fundamentos del modelo

MMR-ST. En la sección III, se formaliza el MMR-ST, entregando su formulación matemática. En la sección

IV, se da una descripción de los algoritmos tanto exactos como heurísticos propuestos para la resolución del

problema en estudio. Los resultados de la experimentación son expuestos en la sección V. Finalmente, en la

sección VI se despliegan las conclusiones y los posibles trabajos futuros relacionados.

II. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA MMR-ST El modelo MMR, busca el escenario donde se obtiene la mejor peor desviación

robusta, es decir, donde el máximo regret es mínimo. El término regret; en el contexto de

optimización es encontrar la solución que minimice la brecha de la solución bajo cualquier

escenario. Este problema puede ser modelado de la siguiente forma:

Donde, es el conjunto de soluciones factibles, es el conjunto de escenarios

posibles, es la función objetivo y la solución optima bajo un escenario particular .

Particularmente, el MMR-ST se define sobre un grafo , donde es el

conjunto de vértices y es el conjunto de aristas. Un intervalo

con se

asocia a cada arista . Los intervalos representan rangos de pesos posibles. A

continuación se entrega un conjunto de definiciones y teoremas que permiten comprender

el modelo estudiado.

Definición 1: Un escenario es obtenido a través de la asignación de un costo

.

Definición 2: La desviación robusta para un ST en un escenario , es la diferencia

entre el costo de y el costo de la solución óptima para el escenario .

Definición 3: un ST se dice solución robusta relativa, si éste tiene las más pequeña

(entre todas las soluciones) máxima (entre todos los escenarios) desviación robusta.

Teorema 1: (Yaman et al., 2001). Dado un ST un escenario , la desviación

robusta máxima se produce cuando

y

, donde representa el escenario inducido por la solución .

El Teorema 1 es la base para formulaciones matemáticas para el problema.

III. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA Como se mencionó anteriormente, la primera formulación matemática del modelo

MMR-ST fue presentada por (Yaman et al., 2001), el modelo se basa en dos formulaciones

matemáticas, la primera propuesta por (Magnanti & Wolsey, 1995) es la formulación single

commodity model (F1), el segundo modelo utilizado es el problema dirigido de flujo multi-

producto (F2) (Yaman et al., 2001) utiliza ambas formulaciones para representar el MMR-

ST, para representar las aristas de un ST utiliza F1 y para modelar el arrepentimiento del ST

utiliza el dual de F2. Luego la formulación resultante se presenta a continuación.

Irrestricta

En dicho trabajo también presentan técnicas de pre-procesamiento, ella consistió en

identificar aristas fuertes y débiles (strong y weak), con esto se logró eliminar un porcentaje

de éstas, no obstante, los tiempos de ejecución permanecen altos para instancias de pequeño

tamaño como los son las de experimentación. Una arista es llamada strong si

pertenece a un MST en algún escenario , donde es el conjunto de escenarios. Una

arista es llamada weak si pertenece a un MST para todos los escenarios .

IV. ALGORITMOS PROPUESTOS En relación a algoritmos exactos sólo se muestran propuestas de algoritmos B&B y

BD. Con respecto a los algoritmos aproximados lo más destacado es TS, SA y las

heurísticas de un escenario (Hu y Hm). A continuación se presentan los aportes de este

trabajo divididos en dos grupos, algoritmos exactos y algoritmos aproximados.

A. Algoritmo exactos

BD es el algoritmo exacto que ha entregado los mejores resultados, en tanto, es

natural proponer alguna variante que pudiese mejorar su desempeño. El aporte específico

que se realizará es implementar variantes con la formulación cut set inequality mostrada en

(Montemanni, 2006). Las dos extensiones del algoritmo de BD están inspiradas en el

trabajo realizado por (Pereira & Averbakh, 2011) al problema Set Covering robusto. La

primera variante consiste en el ingreso de más de un corte por iteración, a diferencia del

problema de Benders básico. Para esto, se utilizan n búsquedas locales, donde se realiza un

k-opt para encontrar soluciones similares y posteriormente se genera el corte por cada

solución encontrada. La segunda extensión de Benders está relacionada con el uso de las

soluciones incumbentes de CPLEX en la resolución del maestro, es decir, en cada iteración

se agrega el corte del problema básico y los cortes generados por cada solución incumbente

encontrada en el maestro. Cabe destacar que el maestro de cada variante es resuelto con un

algoritmo Branch and Cut (B&C), implementando heurísticas primales, las cuales se

alimentan de la información de cada nodo del proceso de B&B. Además, se utilizan los

cortes que posee CPLEX por defecto, finalmente las cut-set inequalities son manejadas a

través de un algoritmo de flujo máximo de acuerdo a lo mostrado en (Álvarez-Miranda et

al., 2012). Cabe destacar que el BD que presenta mejor desempeño es el que incorpora los

cortes relacionados con las soluciones incumbentes (EBD), por lo cual en la fase de

experimentación sólo se presentarán resultados de éste. A continuación se presenta el

pseucódigo de la versión básica de Benders.

Por otra parte, se propone implementar un algoritmo B&C, basados en Benders cuts.

Se consideró una doble separación de las restricciones, específicamente, se dividen las

restricciones topológicas del problema árbol y las restricciones asociadas a la robustez

(Benders cut). Se utiliza como base referencial lo propuesto (Pereira & Averbakh, 2011).

En relación a la separación de las restricciones de robustez, se utilizará la forma

natural de representación dada por . Para este grupo de restricciones se utiliza un

conjunto de inicialización que corresponden a las soluciones inducidas por

los escenarios del límite inferior ( ), punto medio ( ) y límite superior ( ). Dentro del

proceso de ramificación, en cada nodo, se buscan cortes violados utilizando el valor del

conjunto de variable para generar , que es calculado como , el valor de

es utilizado como peso de las aristas para aplicar un algoritmo para solución de

, para cada solución encontrada se genera el peor escenario (Teorema 1) y para este

escenario se encuentra la solución óptima . Las soluciones entregadas por

corresponden a la solución actual y soluciones en las cuales se distorsiona el valor de

a través de la multiplicación por un número aleatorio entre

.

Adicionalmente se generan soluciones aleatorias con la generación de escenarios donde

cada arista toma un valor entre

.

Para manejar la topología del problema se manejan dos conjuntos de restricciones

iniciales, las in degree constraint y las restricciones de basic subtour

La topología dentro del proceso de ramificación es manejado a través cut-set

inequalities que son separadas a través de un algoritmo de flujo máximo como se describe

en (Álvarez-Miranda et. al, 2012).

B. Algoritmos aproximados

Se desarrolla una heurística constructiva y se proponen metaheurísticas basadas en

Búsqueda Local .

Con respecto a la heurística constructiva, la idea inicial consiste en generar un criterio

de optimización utilizando los datos intervalares, luego se propone pasar de un grafo

con costos

a un grafo con costos donde

representa el regret local (ver definición abajo) de la arista .

1. Inicialización

1.1 FOMaestro MIN_INT, FOSubP MAX_INT

1.2 Inicializar Maestro con restricciones no complicantes

1.3 ,

2. while (FOMaestro<FOSubP) do

2.1 Resolver Maestro

2.2 Resolver dual del problema clásico (MST clásico).

2.3 Agregar corte de Benders

3. end while

4. Return ,

Definición 4 (Regret local): Se tiene un grafo , donde se asume que falta

agregar sólo un nodo a la solución. Luego el aporte al regret (o regret local) de cada arista

se puede estimar como la máxima diferencia entre el límite superior de dicha arista con el

límite inferior del resto de las aristas que conectan el nodo. El regret local de cada arista se

compone de dos aportes (uno por cada nodo perteneciente a la arista).

Utilizando este criterio se puede generar una matriz, luego, una alternativa válida

consiste en aplicar los algoritmos clásicos para resolver problemas de árbol, a esta matriz.

Matemáticamente la generación de la matriz de Regret locales se presenta a continuación.

Input: Grafo , costos y matriz

Output: Matriz

1. forall (i,j) E

2.

3.

4.

5.

6.

7. end forall

8. return

Como se puede apreciar el algoritmo anterior funciona como una fase previa a algún

algoritmo clásico para la resolución del MST, no obstante, a continuación se propone una

mejora, que actualiza la información de la matriz de R cada vez que se agrega un nuevo

nodo a la solución. Adicionalmente, esta nueva estructura se utilizará en la fase

constructiva del algoritmo GRASP, el pseudocódigos se presenta a continuación. En este

trabajo se utilizará la vecindad propuesta en (Kasperski et al., 2012).

Input: Grafo , costos y matriz

Output: solution

1. forall (i,j) E

2. ;

3.

;

4.

5. end forall

6. select

7. add ( , ) to solution, add and to nodesolution

8. size solution = 1

9. while size

10. forall (i,j) E

11. ,

12. ,

13.

14.

15.

16. end forall

17. select in

18. add to nodesolution, add ) to solution

19. Size solution = size solution + 1

20. end while

21. return solution

C. RESULTADOS Se utilizó un subconjunto de las instancias propuestas en (Kasperski et al., 2012), en

particular, aquellas instancias clasificadas como difíciles (Ya, He0, He1, y Mo) en el

trabajo antes mencionado. Se utilizan 10 instancias por cada tipo y tamaño para obtener las

estadísticas presentadas más adelante. Todos los algoritmos fueron implementados en C++

utilizando Leda en su versión libre, para los algoritmos exactos se utilizó la versión IBM

ILOG CPLEX Optimization Studio V12.3 y la máquina utilizada tiene un procesador Intel

core i7-3610QM con 8 GB de RAM.

En la ilustración 1 se presentan las instancias de forma agregada. De la Ilustración 1

(izquierda) se puede observar, en primer lugar que es el algoritmo que resuelve la

mayor cantidad de instancias dentro del tiempo límite (85%). Además, es el algoritmo que

domina al MILP y EBD para todo el intervalo evaluado. El algoritmo que presenta un peor

desempeño es el EBD. De la Ilustración 1 (derecha) de forma complementaria se puede

observar lo que sucede con los gaps de aquellas instancias que no son resultas en el óptimo,

luego se aprecia que los gaps del B&C son menores pues el 100% de las instancias tiene un

gap menor o igual 25% (aprox.) en comparación con al 65% del EBD y al 200% del MILP.

Por otra parte se aprecia que el EBD a través de un análisis de gaps finales agregados de las

instancias logra superar al MILP, pues sus gaps máximos son menores.

Específicamente, a través de esta experimentación se pudo observar en primer lugar

que el algoritmo B&C es superior al EBD para todos los conjuntos de instancias y en todas

las dimensiones evaluadas. Es posible constatar también que para cierto conjunto de

instancias el algoritmo B&C es notoriamente superior al MILP (Ya(C,2C), He0 y Mo). Sin

embargo, para dos grupos de instancias no se nota con claridad la supremacía del B&C

(Ya(C,C) y He1). También se pudo verificar que el incremento en el tiempo del MILP

tiende a crecer más bruscamente que en el caso del B&C; por ende se puede inferir que su

eficiencia disminuye en mayor proporción, lo que se complementa con el análisis gráfico

del gap donde el MILP muestra que para un porcentaje de instancias puede generar gaps

muy grandes.

Luego es posible concluir que el EBD deja de ser competitivo para instancias de más de 40

nodos como se menciona en la literatura. Además, el MILP tiene conjuntos de instancias

para los cuales simplemente deja de ser alternativa como lo son Ya(C,2C) y He0, pues para

el primer caso existen instancias donde no se obtiene solución factible y para el segundo

caso entrega gaps sobre el 100%, que de acuerdo a lo descrito en la experimentación

radican principalmente en la calidad del LB.

ILUSTRACIÓN 1. RENDIMIENTO DE ALGORITMOS EXACTOS

B&C es el algoritmo que presenta el mejor desempeño, es natural presentar el

comportamiento de este en relación al tamaño del problema y la estructura de costo

analizada. En la ilustración 2 se puede observar el comportamiento del algoritmo en dos

conjuntos de instancias; ) donde representa el tamaño del intervalo; donde

y representan el límite superior e inferior respectivamente. Del gráfico del lado

izquierdo se demuestra que el algoritmo propuesto tiende a disminuir su desempeño a

medida que la longitud del intervalo aumenta, adicionalmente, de esta imagen se puede

inferir complejidad asociada al problema, pues para las instancias no es posible

resolver siquiera una. De la gráfica del lado derecho se puede extraer información similar a

la antes mencionada, ya que nuevamente, la estructura de costo tiene un impacto en el

desempeño del algoritmo en este caso se observa que las instancias del tipo Ya(C,C)

tienden a tener un crecimiento significativamente superior a las instancias del tipo

Ya(C,2C).

ILUSTRACIÓN 2. COMPORTAMIENTO DE B&C SEGÚN ESTRUCTURA DE COSTOS

En relación a las Heurísticas, se tomará como muestra las instancias del tipo Ya, las

heurísticas comparadas son; Hu Límite superior; Hm Punto medio; Hc Constructiva

Básica; Hcd Constructiva dinámica. De la tabla 1, en primer lugar Hm se muestra como la

peor heurística obteniendo resultados competitivos sólo para instancias con 30 o menos

nodos. Hu se perfila como la mejor alternativa, sin embargo, para todos los conjuntos de

instancias las nuevas heurísticas aportan con a lo menos 1 mejor solución, más aún existen

situaciones donde estas heurísticas proveen la mayor cantidad de mejores soluciones (*).

En relación a la mejora entregada por el dinamismo a la heurística constructiva simple se

puede observar que aporta para un gran número de conjuntos de instancias (20/30).

En la tabla 2 se presentan los resultados de las Metaheurísticas para 100 nodos; se

puede observar que la presenta el mejor desempeño es SA (desviaciones porcentuales

menores al 0.22%), sin embargo, este algoritmo también presenta los mayores tiempos de

ejecución. Por otra parte, mejora iterativa entrega soluciones con una desviación porcentual

menor al 2% y en un tiempo menor a 30 segundos, lo que la convierte en una

metaheurística rápida y con soluciones de calidad. Con un desempeño intermedio se

encuentra GRASP obteniendo gaps menores al 1% y los tiempos son un poco más que la

mitad del tiempo de SA). En cuanto al desempeño individual, SA sólo en una ocasión no

logra obtener la mejor solución conocida, en tanto GRASP y mejora iterativa no lo logran

en 3 y 8 instancias respectivamente. Las heurísticas básicas proveen peores gap iniciales en

las instancias He0 y Mo(0.85), esto provoca que mejora iterativa obtenga un peor

desempeño, esta situación no se visualiza en SA. Finalmente, se puede concluir que para

100 nodos no se logra mejorar los resultados de (Kasperski et al., 2012), sin embargo las

tres metaheurísticas obtienen desviaciones relativas menores al 2%.

Hc Hcd Hu Hm

Hc Hcd Hu Hm

Ya(10,10)-20* 4.00 4.00 3.00 1.00 Ya(15,15)-20 2.00 3.00 3.00 5.00

Ya(10,10)-40* 5.00 3.00 4.00 0.00 Ya(15,15)-40 1.00 3.00 8.00 0.00

Ya(10,10)-60 2.00 4.00 6.00 0.00 Ya(15,15)-60 4.00 4.00 6.00 0.00

Ya(10,10)-80* 2.00 3.00 5.00 0.00 Ya(15,15)-80* 2.00 3.00 5.00 0.00

Ya(10,10)-100 2.00 3.00 7.00 0.00 Ya(15,15)-100* 2.00 5.00 3.00 0.00

Ya(10,20)-20 6.00 4.00 8.00 0.00 Ya(15,30)-20 4.00 6.00 7.00 0.00

Ya(10,20)-40 3.00 5.00 6.00 0.00 Ya(15,30)-40 5.00 6.00 6.00 0.00

Ya(10,20)-60 3.00 5.00 7.00 0.00 Ya(15,30)-60 4.00 2.00 6.00 0.00

Ya(10,20)-80 1.00 3.00 7.00 0.00 Ya(15,30)-80 2.00 3.00 7.00 0.00

Ya(10,20)-100 0.00 0.00 10.00 0.00 Ya(15,30)-100 1.00 3.00 8.00 0.00

Ya(20,20)-20 2.00 5.00 6.00 3.00 Ya(20,40)-20 4.00 5.00 8.00 0.00

Ya(20,20)-40* 2.00 5.00 5.00 0.00 Ya(20,40)-40 4.00 6.00 7.00 0.00

Ya(20,20)-60 2.00 1.00 9.00 0.00 Ya(20,40)-60 6.00 3.00 8.00 0.00

Ya(20,20)-80 3.00 2.00 6.00 0.00 Ya(20,40)-80 1.00 4.00 7.00 0.00

Ya(20,20)-100 3.00 1.00 7.00 0.00 Ya(20,40)-100 2.00 4.00 6.00 0.00 TABLA 1. NÚMERO DE INSTANCIAS DONDE SE OBTIENE LA MEJOR SOLUCIÓN.

H. B.

Mejora Iterativa SA GRASP

Instancia Min av. Max T min av. max T min av. max T

Ya(10-10)-1 0.1 0.00 0.05 0.06 22.81 0.00 0.01 0.06 420.39 0.00 0.01 0.05 258.91

Ya(10-10)-4 0.2 0.00 0.09 0.17 24.94 0.00 0.00 0.00 344.10 0.00 0.09 0.18 251.17

Ya(10-10)-5 0.1 0.00 0.05 0.13 20.37 0.00 0.00 0.05 332.21 0.03 0.08 0.14 247.14

Ya(10-10)-6 0.1 0.00 0.11 0.14 19.48 0.00 0.02 0.14 299.21 0.00 0.04 0.14 223.84

Ya(10-20)-3 0.0 0.00 0.00 0.00 26.88 0.00 0.00 0.00 494.42 0.00 0.03 0.10 259.33

Ya(10-20)-4 0.0 0.00 0.00 0.00 30.87 0.00 0.00 0.00 488.54 0.00 0.03 0.08 285.69

Ya(10-20)-5 0.1 0.00 0.06 0.08 30.26 0.00 0.00 0.01 453.91 0.00 0.02 0.08 274.56

Ya(10-20)-6 0.0 0.00 0.00 0.00 28.73 0.00 0.00 0.00 415.97 0.00 0.01 0.02 256.34

He0-1 1.7 0.07 0.36 0.49 11.87 0.00 0.11 0.22 167.28 0.00 0.26 0.45 120.60

He0-3 5.2 0.27 0.53 1.44 11.53 0.04 0.21 0.22 162.28 0.00 0.10 0.22 117.07

He0-5 1.7 0.19 0.32 0.45 11.52 0.00 0.01 0.06 243.01 0.00 0.02 0.06 117.32

He0-7 2.9 0.02 0.35 1.45 12.65 0.00 0.00 0.01 247.18 0.00 0.07 0.18 127.87

Mo(0.85)-3 1.6 0.00 0.37 0.80 15.34 0.00 0.00 0.05 217.62 0.03 0.24 0.65 177.83

Mo(0.85)-6 2.1 0.00 0.64 1.50 14.58 0.00 0.00 0.00 256.89 0.00 0.47 0.84 165.83

Mo(0.85)-8 1.9 0.00 0.20 0.67 14.47 0.00 0.00 0.00 277.66 0.00 0.02 0.11 151.17

Mo(0.85)-9 0.7 0.14 0.33 0.48 16.11 0.00 0.04 0.14 243.86 0.14 0.49 0.81 153.49 TABLA 2. MÍNIMA (MIN), PROMEDIO (AV.) Y MÁXIMA DESVIACIÓN PORCENTUAL DESDE SOLUCIÓN DE

REFERENCIA PARA INSTANCIAS CON 100 NODOS.

D. CONCLUSIONES En este estudio se ha trabajado el Problema del Árbol de Expansión Robusto con

incertidumbre intervalar en los costos (MMR-ST) desde un punto de vista algorítmico, tanto

exacto como heurístico. Este es un problema de gran complejidad (NP-Hard) y que en la

literatura ha sido abordado a través de diferentes algoritmos; particularmente desde el punto

de vista exacto sólo se ha trabajado con grafos de hasta 40 nodos. En este trabajo se

propuso una variedad de algoritmos, que según la experimentación antes mostrada son

competitivos.

Con respecto a los métodos exactos, se desarrollan tres variantes del algoritmo de

descomposición de Benders y un algoritmo Branch and Cut, además se implementa una

formulación compacta del problema, la que es resuelta a través de Cplex (versión 12.3). El

algoritmo exacto que presenta el mejor desempeño es B&C, siendo capaz de resolver

nuevas instancias. Además, se mejoran las cotas inferiores para todo el conjunto de

instancias estudiadas.

Desde el punto de vista heurístico, se entregan dos constructivas nuevas que son

capaces de entregar mejores soluciones que Hu y Hm en algunos conjuntos de instancias.

En relación a la heurística constructiva dinámica, se pudo observar que en gran cantidad de

ocasiones entrega soluciones de mejor calidad que la versión básica. Por otra parte se

implementaron 3 metaheurísticas basadas en búsqueda local; mejora iterativa, Simulated

Annealing y GRASP, todas utilizando la misma vecindad. Las metaheurísticas propuestas

obtienen soluciones de similar calidad a lo propuesto en la literatura, existiendo un claro

trade off entre tiempo y calidad del gap, pues dicha mejora iterativa obtiene buenos

resultados en muy poco tiempo. Sin embargo, estos resultados son mejorados por GRASP y

SA siendo que estos últimos requieren de un mayor tiempo de ejecución.

En el presente trabajo se estudiaron distintos conjuntos de instancias, comprobando

que tanto la topología del problema como la estructura de costos, generan de forma

independiente un impacto en la complejidad del problema.

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