transformada rapida de fourier y transformada discreta de fourier
Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser...
21
Recibido: 15 de junio 2019 Aceptado: 10 de julio 2019 ACTA NOVA; Vol. 9, Nº 2, julio 2019, pp. 271 - 291 ISSN: 1683-0768. Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio térmico en el procesamiento de castaña Una Aplicación de Análisis de Fourier y Problemas de Contorno Rónanth Zavaleta Mercado, PhD, PE Profesor Emérito – Universidad Católica Boliviana “San Pablo” [email protected] Resumen: El tratamiento industrial de castaña requiere de una forma práctica y rápida de poder determinar el tiempo requerido para que el centro de la castaña alcance la temperatura de la superficie, es decir el tiempo requerido para el establecimiento del equilibrio térmico en el procesamiento. A este efecto se realiza la simulación del proceso de calentamiento adoptando una simetría esférica y radios equivalentes. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) que describen el proceso son evaluadas en el centro de la castaña e impuesta la condición correspondiente al equilibrio térmico. Las ecuaciones trascendentes resultantes son evaluadas mediante técnicas numéricas obteniéndose valores del grupo adimensional (Foeq) que cumplen las condiciones impuestas y permiten determinar el tiempo requerido para el establecimiento del equilibrio para diferentes tamaños de castaña. Dos escenarios fueron estudiados, el primero, despreciando la resistencia externa a la transferencia de calor, mientras que el segundo la incluye. En el primer caso se hace necesario conocer la conductividad térmica efectiva de la castaña y la conductividad térmica efectiva y el coeficiente pelicular en fase gaseosa para el segundo. A pesar de conocerse la solución analítica del problema se requiere de aplicaciones de técnicas de análisis numérico reiteradas habida cuenta de la naturaleza de las soluciones y los requisitos impuestos. El modelo derivado y resuelto analíticamente puede ser validado experimentalmente por experimentación sencilla en laboratorio. Palabras clave: castaña, equilibrio térmico 1 Introducción Se establece un modelo simple no segregado exento de transferencia de masa, de transporte conductivo/convectivo de calor que describe el calentamiento de la castaña sujeta a un ambiente de calefacción en fase gaseosa. Se acepta que una simetría esférica puede en principio adaptarse al tratamiento matemático de la castaña, considerando el radio equivalente como longitud característica. Los
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Recibido 15 de junio 2019 Aceptado 10 de julio 2019
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 pp 271 - 291 ISSN 1683-0768
Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en el procesamiento de castantildea
Una Aplicacioacuten de Anaacutelisis de Fourier y Problemas de Contorno
Roacutenanth Zavaleta Mercado PhD PE
Profesor Emeacuterito ndash Universidad Catoacutelica Boliviana ldquoSan Pablordquo
ronanthzavaletagmailcom
Resumen El tratamiento industrial de castantildea requiere de una forma praacutectica y raacutepida de poder determinar el tiempo requerido para que el centro de la castantildea alcance la temperatura de la superficie es decir el tiempo requerido para el establecimiento del equilibrio teacutermico en el procesamiento A este efecto se realiza la simulacioacuten del proceso de calentamiento adoptando una simetriacutea esfeacuterica y radios equivalentes Las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) que describen el proceso son evaluadas en el centro de la castantildea e impuesta la condicioacuten correspondiente al equilibrio teacutermico Las ecuaciones trascendentes resultantes son evaluadas mediante teacutecnicas numeacutericas obtenieacutendose valores del grupo adimensional (Foeq) que cumplen las condiciones impuestas y permiten determinar el tiempo requerido para el establecimiento del equilibrio para diferentes tamantildeos de castantildea
Dos escenarios fueron estudiados el primero despreciando la resistencia externa a la transferencia de calor mientras que el segundo la incluye En el primer caso se hace necesario conocer la conductividad teacutermica efectiva de la castantildea y la conductividad teacutermica efectiva y el coeficiente pelicular en fase gaseosa para el segundo A pesar de conocerse la solucioacuten analiacutetica del problema se requiere de aplicaciones de teacutecnicas de anaacutelisis numeacuterico reiteradas habida cuenta de la naturaleza de las soluciones y los requisitos impuestos
El modelo derivado y resuelto analiacuteticamente puede ser validado experimentalmente por experimentacioacuten sencilla en laboratorio
Palabras clave castantildea equilibrio teacutermico
1 Introduccioacuten
Se establece un modelo simple no segregado exento de transferencia de masa
de transporte conductivoconvectivo de calor que describe el calentamiento de la
castantildea sujeta a un ambiente de calefaccioacuten en fase gaseosa Se acepta que una
simetriacutea esfeacuterica puede en principio adaptarse al tratamiento matemaacutetico de la
castantildea considerando el radio equivalente como longitud caracteriacutestica Los
272middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
problemas de contorno descritos por ecuaciones diferenciales parciales (EDP)
lineales y condiciones inicial y liacutemite homogeacuteneas son resueltas en base a aplicaciones
de anaacutelisis de Fourier separacioacuten de variables o transformadas de Laplace Las
ecuaciones parciales expresadas en teacuterminos de variables adimensionales son
resueltas y evaluadas en el centro de la esfera donde ademaacutes se impone la condicioacuten
de equilibrio teacutermico es decir la uniformidad de distribucioacuten de temperaturas dentro
el dominio del problema Las ecuaciones impliacutecitas y consistentes de series infinitas
son resueltas mediante algoritmos numeacutericos para determinar el grupo adimensional
de equilibrio de Fourier (Foeq) que es aquel para el cual se establece el equilibrio
teacutermico (Principio Cero de la Termodinaacutemica) A partir del de este valor se puede
determinar los tiempos requeridos para alcanzar el equilibrio para diferentes tamantildeos
de castantildeas a condicioacuten de que se conozcan algunas propiedades fiacutesico-quiacutemicas del
material entre ellas la conductividad teacutermica efectiva el calor especiacutefico y la densidad
y en algunos casos ademaacutes de las anteriores el coeficiente de transmisioacuten de calor
por conveccioacuten
2 El Modelo
Para la conduccioacuten de calor en soacutelidos la ecuacioacuten de conservacioacuten de energiacutea
en reacutegimen transitorio al ser combinada con la Ley de Fourier resulta en1
[1]
donde T es la temperatura t el tiempo k la conductividad teacutermica ρ la densidad
y c la capacidad caloriacutefica especifica Si se supone que la conductividad teacutermica k
corresponde a un valor medio de temperatura y por lo tanto es independiente de la
misma la Ecuacioacuten [1] deviene en
[2]
en la cual es el coeficiente de difusioacuten teacutermico La forma expandida de
la Ecuacioacuten [2] es
[3]
Si se admite que los gradientes en θ y Φ son nulos y se acepta por lo tanto un
modelo conductivo enteramente radial se obtiene la siguiente EDP lineal donde
T=T(t r) siendo r la coordenada espacial radial
k
c
22
2 2 2 2
1 1 1
sin
T T T Tr sen
t r r r r sen r
2TT
t
Tc k T
t
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 273
[4]
La consideracioacuten de diferentes interacciones con el entorno da lugar a
condiciones liacutemite e inicial que definen diversos problemas de contorno de los cuales
dos son estudiados en el presente trabajo
3 Resistencia Externa Nula a la Transferencia de Calor
Si se considera despreciable la resistencia a la transferencia de calor en la fase
gaseosa es decir aquella correspondiente a la fase gaseosa de calefaccioacuten en siacute
entonces la temperatura de la capa exterior de la castantildea tiende a la temperatura del
medio calefactor y puede entonces considerarse constante Si se acepta ademaacutes que
la temperatura externa de la castantildea se mantiene constante en un valor To el
problema de contorno queda definido por la Ecuacioacuten [4] y las siguientes condiciones
liacutemite e inicial
[5]
donde a es el radio equivalente externo T0 la temperatura externa impuesta T1
la distribucioacuten inicial de temperaturas en la castantildea supuesta constante Debe
cumplirse por supuesto la condicioacuten T0 gt T1
La solucioacuten analiacutetica del problema transitorio de contorno definido por las
ecuaciones [4] y [5] se obtiene de una manera sencilla mediante separacioacuten de
variables2354
[6]
donde y son respectivamente la coordenada espacial
adimensional normalizada ( ) y el grupo adimensional de Fourier mientras
que es la temperatura adimensional normalizada y que comprende
por lo tanto un dominio La solucioacuten formal de problema (Ecuacioacuten [6])
es convergente y uniformemente convergente con respecto a Fo y ξ de acuerdo al
criterio de Weierstrass y satisface la EDP de partida y sus condiciones inicial y liacutemite
Se puede demostrar ademaacutes la convergencia uniforme de la solucioacuten mediante el
Criterio de Cauchy y la unicidad de esta solucioacuten por aplicacioacuten del criterio de Abel57
La temperatura en el centro de la castantildea se determina tomando el liacutemite cuaacutendo
y por consiguiente en la Ecuacioacuten [6] levantaacutendose la
indeterminacioacuten resultante por aplicacioacuten de la Regla de LrsquoHocircpital
2
2
2T T T
t r r r
0 1( 0) 0 o ( 0) finito ( ) (0 )
Tt T t T t a T T a T
r
2 2
1
10 1
2( ) 1 ( 1)n n Fo
n
T TFo sen n e
T T
r
a
2
tFo
a
0 1
1
0 1
( )T T
FoT T
0 1
0r 0
274middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
[7]
Cuando se alcanza el equilibrio teacutermico definido por la Ley Cero de la
termodinaacutemica debe cumplirse que correspondiente a y por lo
tanto debe satisfacerse la siguiente ecuacioacuten
[8]
Esta ecuacioacuten impliacutecita trascendente puede resolverse para obtener un Foeq
asociado con el tiempo para el establecimiento del equilibrio teacutermico en la castantildea y
por lo tanto proporciona el tiempo requerido para que el centro alcance la misma
temperatura que la superficie
[9]
Al sustituir donde ke es la conductividad teacutermica efectiva ρ la densidad
y c la capacidad caloriacutefica especiacutefica en la Ecuacioacuten [9] se tiene en definitiva que
[10]
Alternativamente si se determina experimentalmente el tiempo requerido para
alcanzar el equilibrio la conductividad efectiva puede determinarse a partir de la
Ecuacioacuten [10]
4 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
En este caso la resistencia a la transferencia de calor correspondiente al medio
calefactor no puede ser despreciada y debe ser incorporada en el anaacutelisis Como la
interfase soacutelido-gas puede considerarse de capacidad caloriacutefica nula y no puede en
consecuencia almacenar energiacutea el principio de conservacioacuten de energiacutea conduce a
que la interaccioacuten de calor predominante en el medio gaseoso anexo a la interfase
que corresponde a un mecanismo combinado convectivo-difusivo debe ser igual en
magnitud a aquella interaccioacuten del medio soacutelido donde predomina un mecanismo
conductivo descrito por la Ley de Fourier Esta aproximacioacuten da lugar al siguiente
conjunto de condiciones liacutemite e inicial
2 21
10 1
( 0) 1 2 ( 1)n n Fo
n
T TFo e
T T
0T T 1
2 2
1
( 1) 0n n Fo
n
e
2
2
eq
eq
eq
tFo
a
Fo at
ek
c
2
eq
eq
e
Fo a ct
k
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 275
[11]
donde h es el coeficiente pelicular de transferencia de calor Al intentar la
solucioacuten por separacioacuten de variables estas condiciones conjuntamente a la Ecuacioacuten
[4] conforman el nuevo problema transitorio de contorno estrictamente uno de
Sturm - Liouville de condiciones homogeacuteneas de contorno tipo Neumann La
solucioacuten analiacutetica es234
[12]
en la que es el grupo adimensional de Biot que es el cociente de los dos
mecanismos combinados de transporte de calor convectivo y conductivo y cuya
magnitud indica la predominancia relativa de uno de estos mecanismos Tinfin es la
temperatura del medio calefactor T1 la temperatura inicial supuesta constante y βn
es el vector infinito de autovalores resultante de la solucioacuten de la ecuacioacuten cuyo
paraacutemetro es Bi
[13]
La solucioacuten formal de problema (ecuaciones [12] y [13]) al igual que en el caso
anterior es convergente y uniformemente convergente con respecto a Fo y ξ de
acuerdo al criterio de Weierstrass y satisface la EDP de partida asiacute como su
condicioacuten inicial y liacutemite Se puede demostrar ademaacutes la unicidad de esta solucioacuten67
La solucioacuten obtenida puede ser evaluada en el centro de la esfera es decir cuaacutendo La indeterminacioacuten se levanta mediante la Regla de LrsquoHocircpital obtenieacutendose
[14]
que es la distribucioacuten de temperaturas en el centro de la esfera Cuando se
alcanza el equilibrio teacutermico T(Fo0) rarrTinfin y por consiguiente П(Fo0) rarr1 quedando
la Ecuacioacuten [14] en
[15]
1
( 0) 0 o ( 0) finito
( ( ))
(0 )
e
t r a
Tt T t
r
Th T T t a k
r
T a T
2
1
211
( ) 1 2( 1)
n Fo
n
n nn
T T senBi eFo
T T senBi Bi
e
haBi
k
cot 1 0n n Bi
0
2
1
211
( 0)( 0) 1 2
( 1)
n Fo
n
n nn
T t T eFo Bi
T T senBi Bi
2
21
0( 1)
n eqFo
n
n nn
e
senBi Bi
276middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
El sistema de ecuaciones [13] y [15] proporcionan un Foeq para cada valor de Bi
(ya que Foeq = f (Bi) Por lo tanto como en el caso anterior se puede determinar el
tiempo para alcanzar el equilibrio o alternativamente la conductividad efectiva a
partir de
[16]
a condicioacuten de que se determine Foeq = f(Bi)
5 Resultados y Discusioacuten
51 Resistencia Externa Nula a la Transferencia de Calor
La Ecuacioacuten [6] establece la variacioacuten de los perfiles de temperatura con el
tiempo al interior de la castantildea tal como se ve en la Figura 1 La temperatura tiende
al equilibrio al aumentar el tiempo (incrementaacutendose Fo paralelamente)
El tiempo requerido para alcanzar el equilibrio es tanto mayor cuanto maacutes
interno es el punto a considerarse En procesos de calentamiento el centro de la esfera
seraacute el uacuteltimo en alcanzar el equilibrio
Tal como se puede apreciar en la Figura 2 existe un tiempo finito (Fo finito)
para el cual se alcanza el equilibrio Esta figura es una representacioacuten de la Ecuacioacuten
[7] descriptiva de la dinaacutemica de la temperatura en el centro de la esfera
Se podriacutea anticipar que deberiacutea existir un valor de para el cual se cumpla
la condicioacuten de equilibrio es decir un Foeq tal que Пrarr1 cuando Forarr Foeq Este
criterio impuesto en la Ecuacioacuten [7] permite deducir la Ec [8] que puede ser resuelta
numeacutericamente para obtener Foeq Este valor resulta ser igual a 0802 (valor obtenido
utilizando subprogramas de Mathcad 15reg de la firma Mathsoft Engineering amp
Education Inc)
Consecuentemente la Ecuacioacuten [10] se reduce a
[17]
Si se define como V el volumen de la castantildea entonces el radio equivalente a
que es aquel que corresponde a la esfera de igual volumen estaacute dado por
[18]
2( ) eq
e
f Bi a ct
k
Fo
2
0802
eq
e
a ct
k
1
33
4
Va
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 277
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Foξ) como una
funcioacuten del radio adimensional ξ y como paraacutemetro el moacutedulo de
Fourier Fo
Temperatura adimensional П (0 Fo) evaluada en el centro de la
esfera como una funcioacuten del moacutedulo de Fourier Fo
Por lo tanto de conocerse V ρ c y ke es posible determinar el tiempo requerido
para que el centro de la castantildea alcance la temperatura de la superficie o
alternativamente si se determina experimentalmente teq puede obtenerse ke
52 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
La solucioacuten analiacutetica que comprende las ecuaciones [12] a [16] tiene como
paraacutemetro a Bi y por lo tanto puede anticiparse una solucioacuten para cada valor del
mismo Si se decide un valor de Bi puede obtenerse el vector que contenga los
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Radio Adimensional
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Fo = 015
01
04
03
02
008
006
004
0005001002003
TIEMPO NECESARIO PARA ALCANZAR EL EQUILIBRIO
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Modulo de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
278middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
autovalores de la solucioacuten y por lo tanto evaluarse eacutesta Comentarios similares se
aplican a las soluciones para el centro de la castantildea y para el tiempo requerido para el
establecimiento del equilibrio
El caacutelculo de la solucioacuten analiacutetica puede volverse engorroso y requiere de
aplicaciones reiteradas de algoritmos numeacutericos y la utilizacioacuten de computadores
digitales La determinacioacuten de un nuacutemero suficiente de autovalores como para
permitir la convergencia de la solucioacuten resulta en la determinacioacuten de un conjunto
importante de raiacuteces (las 100 primeras para el presente trabajo) resultantes de
intersecciones de funciones hiperboacutelicas y cotangentes como puede apreciarse en la
Figura 3 Cada valor de Bi da lugar a un vector diferente de autovalores y por lo
tanto a soluciones diferentes para cualquier punto del dominio del problema asiacute
como a un valor nuevo de Foeq
En las tablas 1 y 2 se incluyen los primeros 25 autovalores de la Ecuacioacuten [13]
calculados para varios valores de Bi tanto mayores como menores a 1 mediante los
subprogramas 1 a 4 escritos en MathCad 15 y que utilizan recurrentemente
algoritmos numeacutericos correspondientes a los meacutetodos de Ridder y alternativamente
el de Brent contenidos en la funcioacuten rootreg
En las figuras 4 y 5 se ha graficado las funciones de la temperatura en el centro
de la castantildea como una funcioacuten de Fo teniendo como paraacutemetro a Bi La Figura 4
corresponde a valores de Bi gt 1 y la Figura 5 a valores de Bi lt 1 De un modo similar
pueden calcularse perfiles para cualquier valor del radio adimensional por aplicacioacuten
de la solucioacuten formal (ecuaciones [12] y [13])
Raiacuteces correspondientes a soluciones de la Ec 113 para valores
Bigt 1 y Bi lt1 Cada interseccioacuten entre hipeacuterbola y cotangente
corresponde a un autovalor de la solucioacuten analiacutetica Para el caacutelculo de
las soluciones se tomaron en cuanta los primeros 100 autovalores
20
1333
667
667
1333
20
cot ( n)
(Bi -1)n
0 2 3 4 5 6 7 8
n
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 279
Los subprogramas 5 a 7 permiten el caacutelculo de la solucioacuten formal para el centro
de la esfera para varios valores del paraacutemetro Bi tanto menores a 1 como mayores
o iguales a uno en funcioacuten de Fo los mismos que fueron utilizados para la
elaboracioacuten de las figuras 4 y 5
Por otra parte las soluciones de las ecuaciones [13] y [15] obtenidas por
aplicaciones reiteradas del subprograma rootreg de Mathcad 11 utilizando el algoritmo
de Muumlller y con base a los subprogramas 8 9 10 y 11 permiten obtener valores de
Foeq para arreglos de grupos adimensionales de Bi tal como se muestra en la Tabla
3 para los casos de Bi lt 1 y 1Bi Estos valores han sido correlacionados mediante
anaacutelisis de regresioacuten empleando algoritmos de optimizacioacuten no lineales
Las ecuaciones de ajuste para Foeq = Foeq(Bi) son respectivamente para Bi lt 1
y para Bi 1
[19]
[20]
que corresponden respectivamente a las ecuaciones de ajuste siguientes
ln( ) 1068ln( ) 0956eqFo Bi [21]
1565ln( ) 0093ln( ) 0936 Bi
eqFo e [22]
1068ln( ) 0956Bi
eqFo e
1565ln( ) 00930936 Bie
eqFo e
280middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son 1 2
4 6 8 10 15 20 30 40 50 100 y 200
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son
0005 001 0015 003 005 01 03 05 07 09 y 098
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 12 14 16 18 2
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 1
Bi = 200
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 0005
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 2: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/2.jpg)
272middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
problemas de contorno descritos por ecuaciones diferenciales parciales (EDP)
lineales y condiciones inicial y liacutemite homogeacuteneas son resueltas en base a aplicaciones
de anaacutelisis de Fourier separacioacuten de variables o transformadas de Laplace Las
ecuaciones parciales expresadas en teacuterminos de variables adimensionales son
resueltas y evaluadas en el centro de la esfera donde ademaacutes se impone la condicioacuten
de equilibrio teacutermico es decir la uniformidad de distribucioacuten de temperaturas dentro
el dominio del problema Las ecuaciones impliacutecitas y consistentes de series infinitas
son resueltas mediante algoritmos numeacutericos para determinar el grupo adimensional
de equilibrio de Fourier (Foeq) que es aquel para el cual se establece el equilibrio
teacutermico (Principio Cero de la Termodinaacutemica) A partir del de este valor se puede
determinar los tiempos requeridos para alcanzar el equilibrio para diferentes tamantildeos
de castantildeas a condicioacuten de que se conozcan algunas propiedades fiacutesico-quiacutemicas del
material entre ellas la conductividad teacutermica efectiva el calor especiacutefico y la densidad
y en algunos casos ademaacutes de las anteriores el coeficiente de transmisioacuten de calor
por conveccioacuten
2 El Modelo
Para la conduccioacuten de calor en soacutelidos la ecuacioacuten de conservacioacuten de energiacutea
en reacutegimen transitorio al ser combinada con la Ley de Fourier resulta en1
[1]
donde T es la temperatura t el tiempo k la conductividad teacutermica ρ la densidad
y c la capacidad caloriacutefica especifica Si se supone que la conductividad teacutermica k
corresponde a un valor medio de temperatura y por lo tanto es independiente de la
misma la Ecuacioacuten [1] deviene en
[2]
en la cual es el coeficiente de difusioacuten teacutermico La forma expandida de
la Ecuacioacuten [2] es
[3]
Si se admite que los gradientes en θ y Φ son nulos y se acepta por lo tanto un
modelo conductivo enteramente radial se obtiene la siguiente EDP lineal donde
T=T(t r) siendo r la coordenada espacial radial
k
c
22
2 2 2 2
1 1 1
sin
T T T Tr sen
t r r r r sen r
2TT
t
Tc k T
t
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 273
[4]
La consideracioacuten de diferentes interacciones con el entorno da lugar a
condiciones liacutemite e inicial que definen diversos problemas de contorno de los cuales
dos son estudiados en el presente trabajo
3 Resistencia Externa Nula a la Transferencia de Calor
Si se considera despreciable la resistencia a la transferencia de calor en la fase
gaseosa es decir aquella correspondiente a la fase gaseosa de calefaccioacuten en siacute
entonces la temperatura de la capa exterior de la castantildea tiende a la temperatura del
medio calefactor y puede entonces considerarse constante Si se acepta ademaacutes que
la temperatura externa de la castantildea se mantiene constante en un valor To el
problema de contorno queda definido por la Ecuacioacuten [4] y las siguientes condiciones
liacutemite e inicial
[5]
donde a es el radio equivalente externo T0 la temperatura externa impuesta T1
la distribucioacuten inicial de temperaturas en la castantildea supuesta constante Debe
cumplirse por supuesto la condicioacuten T0 gt T1
La solucioacuten analiacutetica del problema transitorio de contorno definido por las
ecuaciones [4] y [5] se obtiene de una manera sencilla mediante separacioacuten de
variables2354
[6]
donde y son respectivamente la coordenada espacial
adimensional normalizada ( ) y el grupo adimensional de Fourier mientras
que es la temperatura adimensional normalizada y que comprende
por lo tanto un dominio La solucioacuten formal de problema (Ecuacioacuten [6])
es convergente y uniformemente convergente con respecto a Fo y ξ de acuerdo al
criterio de Weierstrass y satisface la EDP de partida y sus condiciones inicial y liacutemite
Se puede demostrar ademaacutes la convergencia uniforme de la solucioacuten mediante el
Criterio de Cauchy y la unicidad de esta solucioacuten por aplicacioacuten del criterio de Abel57
La temperatura en el centro de la castantildea se determina tomando el liacutemite cuaacutendo
y por consiguiente en la Ecuacioacuten [6] levantaacutendose la
indeterminacioacuten resultante por aplicacioacuten de la Regla de LrsquoHocircpital
2
2
2T T T
t r r r
0 1( 0) 0 o ( 0) finito ( ) (0 )
Tt T t T t a T T a T
r
2 2
1
10 1
2( ) 1 ( 1)n n Fo
n
T TFo sen n e
T T
r
a
2
tFo
a
0 1
1
0 1
( )T T
FoT T
0 1
0r 0
274middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
[7]
Cuando se alcanza el equilibrio teacutermico definido por la Ley Cero de la
termodinaacutemica debe cumplirse que correspondiente a y por lo
tanto debe satisfacerse la siguiente ecuacioacuten
[8]
Esta ecuacioacuten impliacutecita trascendente puede resolverse para obtener un Foeq
asociado con el tiempo para el establecimiento del equilibrio teacutermico en la castantildea y
por lo tanto proporciona el tiempo requerido para que el centro alcance la misma
temperatura que la superficie
[9]
Al sustituir donde ke es la conductividad teacutermica efectiva ρ la densidad
y c la capacidad caloriacutefica especiacutefica en la Ecuacioacuten [9] se tiene en definitiva que
[10]
Alternativamente si se determina experimentalmente el tiempo requerido para
alcanzar el equilibrio la conductividad efectiva puede determinarse a partir de la
Ecuacioacuten [10]
4 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
En este caso la resistencia a la transferencia de calor correspondiente al medio
calefactor no puede ser despreciada y debe ser incorporada en el anaacutelisis Como la
interfase soacutelido-gas puede considerarse de capacidad caloriacutefica nula y no puede en
consecuencia almacenar energiacutea el principio de conservacioacuten de energiacutea conduce a
que la interaccioacuten de calor predominante en el medio gaseoso anexo a la interfase
que corresponde a un mecanismo combinado convectivo-difusivo debe ser igual en
magnitud a aquella interaccioacuten del medio soacutelido donde predomina un mecanismo
conductivo descrito por la Ley de Fourier Esta aproximacioacuten da lugar al siguiente
conjunto de condiciones liacutemite e inicial
2 21
10 1
( 0) 1 2 ( 1)n n Fo
n
T TFo e
T T
0T T 1
2 2
1
( 1) 0n n Fo
n
e
2
2
eq
eq
eq
tFo
a
Fo at
ek
c
2
eq
eq
e
Fo a ct
k
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 275
[11]
donde h es el coeficiente pelicular de transferencia de calor Al intentar la
solucioacuten por separacioacuten de variables estas condiciones conjuntamente a la Ecuacioacuten
[4] conforman el nuevo problema transitorio de contorno estrictamente uno de
Sturm - Liouville de condiciones homogeacuteneas de contorno tipo Neumann La
solucioacuten analiacutetica es234
[12]
en la que es el grupo adimensional de Biot que es el cociente de los dos
mecanismos combinados de transporte de calor convectivo y conductivo y cuya
magnitud indica la predominancia relativa de uno de estos mecanismos Tinfin es la
temperatura del medio calefactor T1 la temperatura inicial supuesta constante y βn
es el vector infinito de autovalores resultante de la solucioacuten de la ecuacioacuten cuyo
paraacutemetro es Bi
[13]
La solucioacuten formal de problema (ecuaciones [12] y [13]) al igual que en el caso
anterior es convergente y uniformemente convergente con respecto a Fo y ξ de
acuerdo al criterio de Weierstrass y satisface la EDP de partida asiacute como su
condicioacuten inicial y liacutemite Se puede demostrar ademaacutes la unicidad de esta solucioacuten67
La solucioacuten obtenida puede ser evaluada en el centro de la esfera es decir cuaacutendo La indeterminacioacuten se levanta mediante la Regla de LrsquoHocircpital obtenieacutendose
[14]
que es la distribucioacuten de temperaturas en el centro de la esfera Cuando se
alcanza el equilibrio teacutermico T(Fo0) rarrTinfin y por consiguiente П(Fo0) rarr1 quedando
la Ecuacioacuten [14] en
[15]
1
( 0) 0 o ( 0) finito
( ( ))
(0 )
e
t r a
Tt T t
r
Th T T t a k
r
T a T
2
1
211
( ) 1 2( 1)
n Fo
n
n nn
T T senBi eFo
T T senBi Bi
e
haBi
k
cot 1 0n n Bi
0
2
1
211
( 0)( 0) 1 2
( 1)
n Fo
n
n nn
T t T eFo Bi
T T senBi Bi
2
21
0( 1)
n eqFo
n
n nn
e
senBi Bi
276middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
El sistema de ecuaciones [13] y [15] proporcionan un Foeq para cada valor de Bi
(ya que Foeq = f (Bi) Por lo tanto como en el caso anterior se puede determinar el
tiempo para alcanzar el equilibrio o alternativamente la conductividad efectiva a
partir de
[16]
a condicioacuten de que se determine Foeq = f(Bi)
5 Resultados y Discusioacuten
51 Resistencia Externa Nula a la Transferencia de Calor
La Ecuacioacuten [6] establece la variacioacuten de los perfiles de temperatura con el
tiempo al interior de la castantildea tal como se ve en la Figura 1 La temperatura tiende
al equilibrio al aumentar el tiempo (incrementaacutendose Fo paralelamente)
El tiempo requerido para alcanzar el equilibrio es tanto mayor cuanto maacutes
interno es el punto a considerarse En procesos de calentamiento el centro de la esfera
seraacute el uacuteltimo en alcanzar el equilibrio
Tal como se puede apreciar en la Figura 2 existe un tiempo finito (Fo finito)
para el cual se alcanza el equilibrio Esta figura es una representacioacuten de la Ecuacioacuten
[7] descriptiva de la dinaacutemica de la temperatura en el centro de la esfera
Se podriacutea anticipar que deberiacutea existir un valor de para el cual se cumpla
la condicioacuten de equilibrio es decir un Foeq tal que Пrarr1 cuando Forarr Foeq Este
criterio impuesto en la Ecuacioacuten [7] permite deducir la Ec [8] que puede ser resuelta
numeacutericamente para obtener Foeq Este valor resulta ser igual a 0802 (valor obtenido
utilizando subprogramas de Mathcad 15reg de la firma Mathsoft Engineering amp
Education Inc)
Consecuentemente la Ecuacioacuten [10] se reduce a
[17]
Si se define como V el volumen de la castantildea entonces el radio equivalente a
que es aquel que corresponde a la esfera de igual volumen estaacute dado por
[18]
2( ) eq
e
f Bi a ct
k
Fo
2
0802
eq
e
a ct
k
1
33
4
Va
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 277
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Foξ) como una
funcioacuten del radio adimensional ξ y como paraacutemetro el moacutedulo de
Fourier Fo
Temperatura adimensional П (0 Fo) evaluada en el centro de la
esfera como una funcioacuten del moacutedulo de Fourier Fo
Por lo tanto de conocerse V ρ c y ke es posible determinar el tiempo requerido
para que el centro de la castantildea alcance la temperatura de la superficie o
alternativamente si se determina experimentalmente teq puede obtenerse ke
52 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
La solucioacuten analiacutetica que comprende las ecuaciones [12] a [16] tiene como
paraacutemetro a Bi y por lo tanto puede anticiparse una solucioacuten para cada valor del
mismo Si se decide un valor de Bi puede obtenerse el vector que contenga los
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Radio Adimensional
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Fo = 015
01
04
03
02
008
006
004
0005001002003
TIEMPO NECESARIO PARA ALCANZAR EL EQUILIBRIO
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Modulo de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
278middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
autovalores de la solucioacuten y por lo tanto evaluarse eacutesta Comentarios similares se
aplican a las soluciones para el centro de la castantildea y para el tiempo requerido para el
establecimiento del equilibrio
El caacutelculo de la solucioacuten analiacutetica puede volverse engorroso y requiere de
aplicaciones reiteradas de algoritmos numeacutericos y la utilizacioacuten de computadores
digitales La determinacioacuten de un nuacutemero suficiente de autovalores como para
permitir la convergencia de la solucioacuten resulta en la determinacioacuten de un conjunto
importante de raiacuteces (las 100 primeras para el presente trabajo) resultantes de
intersecciones de funciones hiperboacutelicas y cotangentes como puede apreciarse en la
Figura 3 Cada valor de Bi da lugar a un vector diferente de autovalores y por lo
tanto a soluciones diferentes para cualquier punto del dominio del problema asiacute
como a un valor nuevo de Foeq
En las tablas 1 y 2 se incluyen los primeros 25 autovalores de la Ecuacioacuten [13]
calculados para varios valores de Bi tanto mayores como menores a 1 mediante los
subprogramas 1 a 4 escritos en MathCad 15 y que utilizan recurrentemente
algoritmos numeacutericos correspondientes a los meacutetodos de Ridder y alternativamente
el de Brent contenidos en la funcioacuten rootreg
En las figuras 4 y 5 se ha graficado las funciones de la temperatura en el centro
de la castantildea como una funcioacuten de Fo teniendo como paraacutemetro a Bi La Figura 4
corresponde a valores de Bi gt 1 y la Figura 5 a valores de Bi lt 1 De un modo similar
pueden calcularse perfiles para cualquier valor del radio adimensional por aplicacioacuten
de la solucioacuten formal (ecuaciones [12] y [13])
Raiacuteces correspondientes a soluciones de la Ec 113 para valores
Bigt 1 y Bi lt1 Cada interseccioacuten entre hipeacuterbola y cotangente
corresponde a un autovalor de la solucioacuten analiacutetica Para el caacutelculo de
las soluciones se tomaron en cuanta los primeros 100 autovalores
20
1333
667
667
1333
20
cot ( n)
(Bi -1)n
0 2 3 4 5 6 7 8
n
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 279
Los subprogramas 5 a 7 permiten el caacutelculo de la solucioacuten formal para el centro
de la esfera para varios valores del paraacutemetro Bi tanto menores a 1 como mayores
o iguales a uno en funcioacuten de Fo los mismos que fueron utilizados para la
elaboracioacuten de las figuras 4 y 5
Por otra parte las soluciones de las ecuaciones [13] y [15] obtenidas por
aplicaciones reiteradas del subprograma rootreg de Mathcad 11 utilizando el algoritmo
de Muumlller y con base a los subprogramas 8 9 10 y 11 permiten obtener valores de
Foeq para arreglos de grupos adimensionales de Bi tal como se muestra en la Tabla
3 para los casos de Bi lt 1 y 1Bi Estos valores han sido correlacionados mediante
anaacutelisis de regresioacuten empleando algoritmos de optimizacioacuten no lineales
Las ecuaciones de ajuste para Foeq = Foeq(Bi) son respectivamente para Bi lt 1
y para Bi 1
[19]
[20]
que corresponden respectivamente a las ecuaciones de ajuste siguientes
ln( ) 1068ln( ) 0956eqFo Bi [21]
1565ln( ) 0093ln( ) 0936 Bi
eqFo e [22]
1068ln( ) 0956Bi
eqFo e
1565ln( ) 00930936 Bie
eqFo e
280middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son 1 2
4 6 8 10 15 20 30 40 50 100 y 200
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son
0005 001 0015 003 005 01 03 05 07 09 y 098
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 12 14 16 18 2
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 1
Bi = 200
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 0005
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
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Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 3: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/3.jpg)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 273
[4]
La consideracioacuten de diferentes interacciones con el entorno da lugar a
condiciones liacutemite e inicial que definen diversos problemas de contorno de los cuales
dos son estudiados en el presente trabajo
3 Resistencia Externa Nula a la Transferencia de Calor
Si se considera despreciable la resistencia a la transferencia de calor en la fase
gaseosa es decir aquella correspondiente a la fase gaseosa de calefaccioacuten en siacute
entonces la temperatura de la capa exterior de la castantildea tiende a la temperatura del
medio calefactor y puede entonces considerarse constante Si se acepta ademaacutes que
la temperatura externa de la castantildea se mantiene constante en un valor To el
problema de contorno queda definido por la Ecuacioacuten [4] y las siguientes condiciones
liacutemite e inicial
[5]
donde a es el radio equivalente externo T0 la temperatura externa impuesta T1
la distribucioacuten inicial de temperaturas en la castantildea supuesta constante Debe
cumplirse por supuesto la condicioacuten T0 gt T1
La solucioacuten analiacutetica del problema transitorio de contorno definido por las
ecuaciones [4] y [5] se obtiene de una manera sencilla mediante separacioacuten de
variables2354
[6]
donde y son respectivamente la coordenada espacial
adimensional normalizada ( ) y el grupo adimensional de Fourier mientras
que es la temperatura adimensional normalizada y que comprende
por lo tanto un dominio La solucioacuten formal de problema (Ecuacioacuten [6])
es convergente y uniformemente convergente con respecto a Fo y ξ de acuerdo al
criterio de Weierstrass y satisface la EDP de partida y sus condiciones inicial y liacutemite
Se puede demostrar ademaacutes la convergencia uniforme de la solucioacuten mediante el
Criterio de Cauchy y la unicidad de esta solucioacuten por aplicacioacuten del criterio de Abel57
La temperatura en el centro de la castantildea se determina tomando el liacutemite cuaacutendo
y por consiguiente en la Ecuacioacuten [6] levantaacutendose la
indeterminacioacuten resultante por aplicacioacuten de la Regla de LrsquoHocircpital
2
2
2T T T
t r r r
0 1( 0) 0 o ( 0) finito ( ) (0 )
Tt T t T t a T T a T
r
2 2
1
10 1
2( ) 1 ( 1)n n Fo
n
T TFo sen n e
T T
r
a
2
tFo
a
0 1
1
0 1
( )T T
FoT T
0 1
0r 0
274middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
[7]
Cuando se alcanza el equilibrio teacutermico definido por la Ley Cero de la
termodinaacutemica debe cumplirse que correspondiente a y por lo
tanto debe satisfacerse la siguiente ecuacioacuten
[8]
Esta ecuacioacuten impliacutecita trascendente puede resolverse para obtener un Foeq
asociado con el tiempo para el establecimiento del equilibrio teacutermico en la castantildea y
por lo tanto proporciona el tiempo requerido para que el centro alcance la misma
temperatura que la superficie
[9]
Al sustituir donde ke es la conductividad teacutermica efectiva ρ la densidad
y c la capacidad caloriacutefica especiacutefica en la Ecuacioacuten [9] se tiene en definitiva que
[10]
Alternativamente si se determina experimentalmente el tiempo requerido para
alcanzar el equilibrio la conductividad efectiva puede determinarse a partir de la
Ecuacioacuten [10]
4 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
En este caso la resistencia a la transferencia de calor correspondiente al medio
calefactor no puede ser despreciada y debe ser incorporada en el anaacutelisis Como la
interfase soacutelido-gas puede considerarse de capacidad caloriacutefica nula y no puede en
consecuencia almacenar energiacutea el principio de conservacioacuten de energiacutea conduce a
que la interaccioacuten de calor predominante en el medio gaseoso anexo a la interfase
que corresponde a un mecanismo combinado convectivo-difusivo debe ser igual en
magnitud a aquella interaccioacuten del medio soacutelido donde predomina un mecanismo
conductivo descrito por la Ley de Fourier Esta aproximacioacuten da lugar al siguiente
conjunto de condiciones liacutemite e inicial
2 21
10 1
( 0) 1 2 ( 1)n n Fo
n
T TFo e
T T
0T T 1
2 2
1
( 1) 0n n Fo
n
e
2
2
eq
eq
eq
tFo
a
Fo at
ek
c
2
eq
eq
e
Fo a ct
k
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 275
[11]
donde h es el coeficiente pelicular de transferencia de calor Al intentar la
solucioacuten por separacioacuten de variables estas condiciones conjuntamente a la Ecuacioacuten
[4] conforman el nuevo problema transitorio de contorno estrictamente uno de
Sturm - Liouville de condiciones homogeacuteneas de contorno tipo Neumann La
solucioacuten analiacutetica es234
[12]
en la que es el grupo adimensional de Biot que es el cociente de los dos
mecanismos combinados de transporte de calor convectivo y conductivo y cuya
magnitud indica la predominancia relativa de uno de estos mecanismos Tinfin es la
temperatura del medio calefactor T1 la temperatura inicial supuesta constante y βn
es el vector infinito de autovalores resultante de la solucioacuten de la ecuacioacuten cuyo
paraacutemetro es Bi
[13]
La solucioacuten formal de problema (ecuaciones [12] y [13]) al igual que en el caso
anterior es convergente y uniformemente convergente con respecto a Fo y ξ de
acuerdo al criterio de Weierstrass y satisface la EDP de partida asiacute como su
condicioacuten inicial y liacutemite Se puede demostrar ademaacutes la unicidad de esta solucioacuten67
La solucioacuten obtenida puede ser evaluada en el centro de la esfera es decir cuaacutendo La indeterminacioacuten se levanta mediante la Regla de LrsquoHocircpital obtenieacutendose
[14]
que es la distribucioacuten de temperaturas en el centro de la esfera Cuando se
alcanza el equilibrio teacutermico T(Fo0) rarrTinfin y por consiguiente П(Fo0) rarr1 quedando
la Ecuacioacuten [14] en
[15]
1
( 0) 0 o ( 0) finito
( ( ))
(0 )
e
t r a
Tt T t
r
Th T T t a k
r
T a T
2
1
211
( ) 1 2( 1)
n Fo
n
n nn
T T senBi eFo
T T senBi Bi
e
haBi
k
cot 1 0n n Bi
0
2
1
211
( 0)( 0) 1 2
( 1)
n Fo
n
n nn
T t T eFo Bi
T T senBi Bi
2
21
0( 1)
n eqFo
n
n nn
e
senBi Bi
276middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
El sistema de ecuaciones [13] y [15] proporcionan un Foeq para cada valor de Bi
(ya que Foeq = f (Bi) Por lo tanto como en el caso anterior se puede determinar el
tiempo para alcanzar el equilibrio o alternativamente la conductividad efectiva a
partir de
[16]
a condicioacuten de que se determine Foeq = f(Bi)
5 Resultados y Discusioacuten
51 Resistencia Externa Nula a la Transferencia de Calor
La Ecuacioacuten [6] establece la variacioacuten de los perfiles de temperatura con el
tiempo al interior de la castantildea tal como se ve en la Figura 1 La temperatura tiende
al equilibrio al aumentar el tiempo (incrementaacutendose Fo paralelamente)
El tiempo requerido para alcanzar el equilibrio es tanto mayor cuanto maacutes
interno es el punto a considerarse En procesos de calentamiento el centro de la esfera
seraacute el uacuteltimo en alcanzar el equilibrio
Tal como se puede apreciar en la Figura 2 existe un tiempo finito (Fo finito)
para el cual se alcanza el equilibrio Esta figura es una representacioacuten de la Ecuacioacuten
[7] descriptiva de la dinaacutemica de la temperatura en el centro de la esfera
Se podriacutea anticipar que deberiacutea existir un valor de para el cual se cumpla
la condicioacuten de equilibrio es decir un Foeq tal que Пrarr1 cuando Forarr Foeq Este
criterio impuesto en la Ecuacioacuten [7] permite deducir la Ec [8] que puede ser resuelta
numeacutericamente para obtener Foeq Este valor resulta ser igual a 0802 (valor obtenido
utilizando subprogramas de Mathcad 15reg de la firma Mathsoft Engineering amp
Education Inc)
Consecuentemente la Ecuacioacuten [10] se reduce a
[17]
Si se define como V el volumen de la castantildea entonces el radio equivalente a
que es aquel que corresponde a la esfera de igual volumen estaacute dado por
[18]
2( ) eq
e
f Bi a ct
k
Fo
2
0802
eq
e
a ct
k
1
33
4
Va
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 277
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Foξ) como una
funcioacuten del radio adimensional ξ y como paraacutemetro el moacutedulo de
Fourier Fo
Temperatura adimensional П (0 Fo) evaluada en el centro de la
esfera como una funcioacuten del moacutedulo de Fourier Fo
Por lo tanto de conocerse V ρ c y ke es posible determinar el tiempo requerido
para que el centro de la castantildea alcance la temperatura de la superficie o
alternativamente si se determina experimentalmente teq puede obtenerse ke
52 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
La solucioacuten analiacutetica que comprende las ecuaciones [12] a [16] tiene como
paraacutemetro a Bi y por lo tanto puede anticiparse una solucioacuten para cada valor del
mismo Si se decide un valor de Bi puede obtenerse el vector que contenga los
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Radio Adimensional
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Fo = 015
01
04
03
02
008
006
004
0005001002003
TIEMPO NECESARIO PARA ALCANZAR EL EQUILIBRIO
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Modulo de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
278middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
autovalores de la solucioacuten y por lo tanto evaluarse eacutesta Comentarios similares se
aplican a las soluciones para el centro de la castantildea y para el tiempo requerido para el
establecimiento del equilibrio
El caacutelculo de la solucioacuten analiacutetica puede volverse engorroso y requiere de
aplicaciones reiteradas de algoritmos numeacutericos y la utilizacioacuten de computadores
digitales La determinacioacuten de un nuacutemero suficiente de autovalores como para
permitir la convergencia de la solucioacuten resulta en la determinacioacuten de un conjunto
importante de raiacuteces (las 100 primeras para el presente trabajo) resultantes de
intersecciones de funciones hiperboacutelicas y cotangentes como puede apreciarse en la
Figura 3 Cada valor de Bi da lugar a un vector diferente de autovalores y por lo
tanto a soluciones diferentes para cualquier punto del dominio del problema asiacute
como a un valor nuevo de Foeq
En las tablas 1 y 2 se incluyen los primeros 25 autovalores de la Ecuacioacuten [13]
calculados para varios valores de Bi tanto mayores como menores a 1 mediante los
subprogramas 1 a 4 escritos en MathCad 15 y que utilizan recurrentemente
algoritmos numeacutericos correspondientes a los meacutetodos de Ridder y alternativamente
el de Brent contenidos en la funcioacuten rootreg
En las figuras 4 y 5 se ha graficado las funciones de la temperatura en el centro
de la castantildea como una funcioacuten de Fo teniendo como paraacutemetro a Bi La Figura 4
corresponde a valores de Bi gt 1 y la Figura 5 a valores de Bi lt 1 De un modo similar
pueden calcularse perfiles para cualquier valor del radio adimensional por aplicacioacuten
de la solucioacuten formal (ecuaciones [12] y [13])
Raiacuteces correspondientes a soluciones de la Ec 113 para valores
Bigt 1 y Bi lt1 Cada interseccioacuten entre hipeacuterbola y cotangente
corresponde a un autovalor de la solucioacuten analiacutetica Para el caacutelculo de
las soluciones se tomaron en cuanta los primeros 100 autovalores
20
1333
667
667
1333
20
cot ( n)
(Bi -1)n
0 2 3 4 5 6 7 8
n
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 279
Los subprogramas 5 a 7 permiten el caacutelculo de la solucioacuten formal para el centro
de la esfera para varios valores del paraacutemetro Bi tanto menores a 1 como mayores
o iguales a uno en funcioacuten de Fo los mismos que fueron utilizados para la
elaboracioacuten de las figuras 4 y 5
Por otra parte las soluciones de las ecuaciones [13] y [15] obtenidas por
aplicaciones reiteradas del subprograma rootreg de Mathcad 11 utilizando el algoritmo
de Muumlller y con base a los subprogramas 8 9 10 y 11 permiten obtener valores de
Foeq para arreglos de grupos adimensionales de Bi tal como se muestra en la Tabla
3 para los casos de Bi lt 1 y 1Bi Estos valores han sido correlacionados mediante
anaacutelisis de regresioacuten empleando algoritmos de optimizacioacuten no lineales
Las ecuaciones de ajuste para Foeq = Foeq(Bi) son respectivamente para Bi lt 1
y para Bi 1
[19]
[20]
que corresponden respectivamente a las ecuaciones de ajuste siguientes
ln( ) 1068ln( ) 0956eqFo Bi [21]
1565ln( ) 0093ln( ) 0936 Bi
eqFo e [22]
1068ln( ) 0956Bi
eqFo e
1565ln( ) 00930936 Bie
eqFo e
280middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son 1 2
4 6 8 10 15 20 30 40 50 100 y 200
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son
0005 001 0015 003 005 01 03 05 07 09 y 098
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 12 14 16 18 2
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 1
Bi = 200
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 0005
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
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fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 4: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/4.jpg)
274middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
[7]
Cuando se alcanza el equilibrio teacutermico definido por la Ley Cero de la
termodinaacutemica debe cumplirse que correspondiente a y por lo
tanto debe satisfacerse la siguiente ecuacioacuten
[8]
Esta ecuacioacuten impliacutecita trascendente puede resolverse para obtener un Foeq
asociado con el tiempo para el establecimiento del equilibrio teacutermico en la castantildea y
por lo tanto proporciona el tiempo requerido para que el centro alcance la misma
temperatura que la superficie
[9]
Al sustituir donde ke es la conductividad teacutermica efectiva ρ la densidad
y c la capacidad caloriacutefica especiacutefica en la Ecuacioacuten [9] se tiene en definitiva que
[10]
Alternativamente si se determina experimentalmente el tiempo requerido para
alcanzar el equilibrio la conductividad efectiva puede determinarse a partir de la
Ecuacioacuten [10]
4 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
En este caso la resistencia a la transferencia de calor correspondiente al medio
calefactor no puede ser despreciada y debe ser incorporada en el anaacutelisis Como la
interfase soacutelido-gas puede considerarse de capacidad caloriacutefica nula y no puede en
consecuencia almacenar energiacutea el principio de conservacioacuten de energiacutea conduce a
que la interaccioacuten de calor predominante en el medio gaseoso anexo a la interfase
que corresponde a un mecanismo combinado convectivo-difusivo debe ser igual en
magnitud a aquella interaccioacuten del medio soacutelido donde predomina un mecanismo
conductivo descrito por la Ley de Fourier Esta aproximacioacuten da lugar al siguiente
conjunto de condiciones liacutemite e inicial
2 21
10 1
( 0) 1 2 ( 1)n n Fo
n
T TFo e
T T
0T T 1
2 2
1
( 1) 0n n Fo
n
e
2
2
eq
eq
eq
tFo
a
Fo at
ek
c
2
eq
eq
e
Fo a ct
k
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 275
[11]
donde h es el coeficiente pelicular de transferencia de calor Al intentar la
solucioacuten por separacioacuten de variables estas condiciones conjuntamente a la Ecuacioacuten
[4] conforman el nuevo problema transitorio de contorno estrictamente uno de
Sturm - Liouville de condiciones homogeacuteneas de contorno tipo Neumann La
solucioacuten analiacutetica es234
[12]
en la que es el grupo adimensional de Biot que es el cociente de los dos
mecanismos combinados de transporte de calor convectivo y conductivo y cuya
magnitud indica la predominancia relativa de uno de estos mecanismos Tinfin es la
temperatura del medio calefactor T1 la temperatura inicial supuesta constante y βn
es el vector infinito de autovalores resultante de la solucioacuten de la ecuacioacuten cuyo
paraacutemetro es Bi
[13]
La solucioacuten formal de problema (ecuaciones [12] y [13]) al igual que en el caso
anterior es convergente y uniformemente convergente con respecto a Fo y ξ de
acuerdo al criterio de Weierstrass y satisface la EDP de partida asiacute como su
condicioacuten inicial y liacutemite Se puede demostrar ademaacutes la unicidad de esta solucioacuten67
La solucioacuten obtenida puede ser evaluada en el centro de la esfera es decir cuaacutendo La indeterminacioacuten se levanta mediante la Regla de LrsquoHocircpital obtenieacutendose
[14]
que es la distribucioacuten de temperaturas en el centro de la esfera Cuando se
alcanza el equilibrio teacutermico T(Fo0) rarrTinfin y por consiguiente П(Fo0) rarr1 quedando
la Ecuacioacuten [14] en
[15]
1
( 0) 0 o ( 0) finito
( ( ))
(0 )
e
t r a
Tt T t
r
Th T T t a k
r
T a T
2
1
211
( ) 1 2( 1)
n Fo
n
n nn
T T senBi eFo
T T senBi Bi
e
haBi
k
cot 1 0n n Bi
0
2
1
211
( 0)( 0) 1 2
( 1)
n Fo
n
n nn
T t T eFo Bi
T T senBi Bi
2
21
0( 1)
n eqFo
n
n nn
e
senBi Bi
276middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
El sistema de ecuaciones [13] y [15] proporcionan un Foeq para cada valor de Bi
(ya que Foeq = f (Bi) Por lo tanto como en el caso anterior se puede determinar el
tiempo para alcanzar el equilibrio o alternativamente la conductividad efectiva a
partir de
[16]
a condicioacuten de que se determine Foeq = f(Bi)
5 Resultados y Discusioacuten
51 Resistencia Externa Nula a la Transferencia de Calor
La Ecuacioacuten [6] establece la variacioacuten de los perfiles de temperatura con el
tiempo al interior de la castantildea tal como se ve en la Figura 1 La temperatura tiende
al equilibrio al aumentar el tiempo (incrementaacutendose Fo paralelamente)
El tiempo requerido para alcanzar el equilibrio es tanto mayor cuanto maacutes
interno es el punto a considerarse En procesos de calentamiento el centro de la esfera
seraacute el uacuteltimo en alcanzar el equilibrio
Tal como se puede apreciar en la Figura 2 existe un tiempo finito (Fo finito)
para el cual se alcanza el equilibrio Esta figura es una representacioacuten de la Ecuacioacuten
[7] descriptiva de la dinaacutemica de la temperatura en el centro de la esfera
Se podriacutea anticipar que deberiacutea existir un valor de para el cual se cumpla
la condicioacuten de equilibrio es decir un Foeq tal que Пrarr1 cuando Forarr Foeq Este
criterio impuesto en la Ecuacioacuten [7] permite deducir la Ec [8] que puede ser resuelta
numeacutericamente para obtener Foeq Este valor resulta ser igual a 0802 (valor obtenido
utilizando subprogramas de Mathcad 15reg de la firma Mathsoft Engineering amp
Education Inc)
Consecuentemente la Ecuacioacuten [10] se reduce a
[17]
Si se define como V el volumen de la castantildea entonces el radio equivalente a
que es aquel que corresponde a la esfera de igual volumen estaacute dado por
[18]
2( ) eq
e
f Bi a ct
k
Fo
2
0802
eq
e
a ct
k
1
33
4
Va
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 277
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Foξ) como una
funcioacuten del radio adimensional ξ y como paraacutemetro el moacutedulo de
Fourier Fo
Temperatura adimensional П (0 Fo) evaluada en el centro de la
esfera como una funcioacuten del moacutedulo de Fourier Fo
Por lo tanto de conocerse V ρ c y ke es posible determinar el tiempo requerido
para que el centro de la castantildea alcance la temperatura de la superficie o
alternativamente si se determina experimentalmente teq puede obtenerse ke
52 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
La solucioacuten analiacutetica que comprende las ecuaciones [12] a [16] tiene como
paraacutemetro a Bi y por lo tanto puede anticiparse una solucioacuten para cada valor del
mismo Si se decide un valor de Bi puede obtenerse el vector que contenga los
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Radio Adimensional
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Fo = 015
01
04
03
02
008
006
004
0005001002003
TIEMPO NECESARIO PARA ALCANZAR EL EQUILIBRIO
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Modulo de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
278middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
autovalores de la solucioacuten y por lo tanto evaluarse eacutesta Comentarios similares se
aplican a las soluciones para el centro de la castantildea y para el tiempo requerido para el
establecimiento del equilibrio
El caacutelculo de la solucioacuten analiacutetica puede volverse engorroso y requiere de
aplicaciones reiteradas de algoritmos numeacutericos y la utilizacioacuten de computadores
digitales La determinacioacuten de un nuacutemero suficiente de autovalores como para
permitir la convergencia de la solucioacuten resulta en la determinacioacuten de un conjunto
importante de raiacuteces (las 100 primeras para el presente trabajo) resultantes de
intersecciones de funciones hiperboacutelicas y cotangentes como puede apreciarse en la
Figura 3 Cada valor de Bi da lugar a un vector diferente de autovalores y por lo
tanto a soluciones diferentes para cualquier punto del dominio del problema asiacute
como a un valor nuevo de Foeq
En las tablas 1 y 2 se incluyen los primeros 25 autovalores de la Ecuacioacuten [13]
calculados para varios valores de Bi tanto mayores como menores a 1 mediante los
subprogramas 1 a 4 escritos en MathCad 15 y que utilizan recurrentemente
algoritmos numeacutericos correspondientes a los meacutetodos de Ridder y alternativamente
el de Brent contenidos en la funcioacuten rootreg
En las figuras 4 y 5 se ha graficado las funciones de la temperatura en el centro
de la castantildea como una funcioacuten de Fo teniendo como paraacutemetro a Bi La Figura 4
corresponde a valores de Bi gt 1 y la Figura 5 a valores de Bi lt 1 De un modo similar
pueden calcularse perfiles para cualquier valor del radio adimensional por aplicacioacuten
de la solucioacuten formal (ecuaciones [12] y [13])
Raiacuteces correspondientes a soluciones de la Ec 113 para valores
Bigt 1 y Bi lt1 Cada interseccioacuten entre hipeacuterbola y cotangente
corresponde a un autovalor de la solucioacuten analiacutetica Para el caacutelculo de
las soluciones se tomaron en cuanta los primeros 100 autovalores
20
1333
667
667
1333
20
cot ( n)
(Bi -1)n
0 2 3 4 5 6 7 8
n
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 279
Los subprogramas 5 a 7 permiten el caacutelculo de la solucioacuten formal para el centro
de la esfera para varios valores del paraacutemetro Bi tanto menores a 1 como mayores
o iguales a uno en funcioacuten de Fo los mismos que fueron utilizados para la
elaboracioacuten de las figuras 4 y 5
Por otra parte las soluciones de las ecuaciones [13] y [15] obtenidas por
aplicaciones reiteradas del subprograma rootreg de Mathcad 11 utilizando el algoritmo
de Muumlller y con base a los subprogramas 8 9 10 y 11 permiten obtener valores de
Foeq para arreglos de grupos adimensionales de Bi tal como se muestra en la Tabla
3 para los casos de Bi lt 1 y 1Bi Estos valores han sido correlacionados mediante
anaacutelisis de regresioacuten empleando algoritmos de optimizacioacuten no lineales
Las ecuaciones de ajuste para Foeq = Foeq(Bi) son respectivamente para Bi lt 1
y para Bi 1
[19]
[20]
que corresponden respectivamente a las ecuaciones de ajuste siguientes
ln( ) 1068ln( ) 0956eqFo Bi [21]
1565ln( ) 0093ln( ) 0936 Bi
eqFo e [22]
1068ln( ) 0956Bi
eqFo e
1565ln( ) 00930936 Bie
eqFo e
280middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son 1 2
4 6 8 10 15 20 30 40 50 100 y 200
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son
0005 001 0015 003 005 01 03 05 07 09 y 098
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 12 14 16 18 2
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 1
Bi = 200
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 0005
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
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Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 5: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/5.jpg)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 275
[11]
donde h es el coeficiente pelicular de transferencia de calor Al intentar la
solucioacuten por separacioacuten de variables estas condiciones conjuntamente a la Ecuacioacuten
[4] conforman el nuevo problema transitorio de contorno estrictamente uno de
Sturm - Liouville de condiciones homogeacuteneas de contorno tipo Neumann La
solucioacuten analiacutetica es234
[12]
en la que es el grupo adimensional de Biot que es el cociente de los dos
mecanismos combinados de transporte de calor convectivo y conductivo y cuya
magnitud indica la predominancia relativa de uno de estos mecanismos Tinfin es la
temperatura del medio calefactor T1 la temperatura inicial supuesta constante y βn
es el vector infinito de autovalores resultante de la solucioacuten de la ecuacioacuten cuyo
paraacutemetro es Bi
[13]
La solucioacuten formal de problema (ecuaciones [12] y [13]) al igual que en el caso
anterior es convergente y uniformemente convergente con respecto a Fo y ξ de
acuerdo al criterio de Weierstrass y satisface la EDP de partida asiacute como su
condicioacuten inicial y liacutemite Se puede demostrar ademaacutes la unicidad de esta solucioacuten67
La solucioacuten obtenida puede ser evaluada en el centro de la esfera es decir cuaacutendo La indeterminacioacuten se levanta mediante la Regla de LrsquoHocircpital obtenieacutendose
[14]
que es la distribucioacuten de temperaturas en el centro de la esfera Cuando se
alcanza el equilibrio teacutermico T(Fo0) rarrTinfin y por consiguiente П(Fo0) rarr1 quedando
la Ecuacioacuten [14] en
[15]
1
( 0) 0 o ( 0) finito
( ( ))
(0 )
e
t r a
Tt T t
r
Th T T t a k
r
T a T
2
1
211
( ) 1 2( 1)
n Fo
n
n nn
T T senBi eFo
T T senBi Bi
e
haBi
k
cot 1 0n n Bi
0
2
1
211
( 0)( 0) 1 2
( 1)
n Fo
n
n nn
T t T eFo Bi
T T senBi Bi
2
21
0( 1)
n eqFo
n
n nn
e
senBi Bi
276middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
El sistema de ecuaciones [13] y [15] proporcionan un Foeq para cada valor de Bi
(ya que Foeq = f (Bi) Por lo tanto como en el caso anterior se puede determinar el
tiempo para alcanzar el equilibrio o alternativamente la conductividad efectiva a
partir de
[16]
a condicioacuten de que se determine Foeq = f(Bi)
5 Resultados y Discusioacuten
51 Resistencia Externa Nula a la Transferencia de Calor
La Ecuacioacuten [6] establece la variacioacuten de los perfiles de temperatura con el
tiempo al interior de la castantildea tal como se ve en la Figura 1 La temperatura tiende
al equilibrio al aumentar el tiempo (incrementaacutendose Fo paralelamente)
El tiempo requerido para alcanzar el equilibrio es tanto mayor cuanto maacutes
interno es el punto a considerarse En procesos de calentamiento el centro de la esfera
seraacute el uacuteltimo en alcanzar el equilibrio
Tal como se puede apreciar en la Figura 2 existe un tiempo finito (Fo finito)
para el cual se alcanza el equilibrio Esta figura es una representacioacuten de la Ecuacioacuten
[7] descriptiva de la dinaacutemica de la temperatura en el centro de la esfera
Se podriacutea anticipar que deberiacutea existir un valor de para el cual se cumpla
la condicioacuten de equilibrio es decir un Foeq tal que Пrarr1 cuando Forarr Foeq Este
criterio impuesto en la Ecuacioacuten [7] permite deducir la Ec [8] que puede ser resuelta
numeacutericamente para obtener Foeq Este valor resulta ser igual a 0802 (valor obtenido
utilizando subprogramas de Mathcad 15reg de la firma Mathsoft Engineering amp
Education Inc)
Consecuentemente la Ecuacioacuten [10] se reduce a
[17]
Si se define como V el volumen de la castantildea entonces el radio equivalente a
que es aquel que corresponde a la esfera de igual volumen estaacute dado por
[18]
2( ) eq
e
f Bi a ct
k
Fo
2
0802
eq
e
a ct
k
1
33
4
Va
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 277
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Foξ) como una
funcioacuten del radio adimensional ξ y como paraacutemetro el moacutedulo de
Fourier Fo
Temperatura adimensional П (0 Fo) evaluada en el centro de la
esfera como una funcioacuten del moacutedulo de Fourier Fo
Por lo tanto de conocerse V ρ c y ke es posible determinar el tiempo requerido
para que el centro de la castantildea alcance la temperatura de la superficie o
alternativamente si se determina experimentalmente teq puede obtenerse ke
52 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
La solucioacuten analiacutetica que comprende las ecuaciones [12] a [16] tiene como
paraacutemetro a Bi y por lo tanto puede anticiparse una solucioacuten para cada valor del
mismo Si se decide un valor de Bi puede obtenerse el vector que contenga los
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Radio Adimensional
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Fo = 015
01
04
03
02
008
006
004
0005001002003
TIEMPO NECESARIO PARA ALCANZAR EL EQUILIBRIO
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Modulo de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
278middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
autovalores de la solucioacuten y por lo tanto evaluarse eacutesta Comentarios similares se
aplican a las soluciones para el centro de la castantildea y para el tiempo requerido para el
establecimiento del equilibrio
El caacutelculo de la solucioacuten analiacutetica puede volverse engorroso y requiere de
aplicaciones reiteradas de algoritmos numeacutericos y la utilizacioacuten de computadores
digitales La determinacioacuten de un nuacutemero suficiente de autovalores como para
permitir la convergencia de la solucioacuten resulta en la determinacioacuten de un conjunto
importante de raiacuteces (las 100 primeras para el presente trabajo) resultantes de
intersecciones de funciones hiperboacutelicas y cotangentes como puede apreciarse en la
Figura 3 Cada valor de Bi da lugar a un vector diferente de autovalores y por lo
tanto a soluciones diferentes para cualquier punto del dominio del problema asiacute
como a un valor nuevo de Foeq
En las tablas 1 y 2 se incluyen los primeros 25 autovalores de la Ecuacioacuten [13]
calculados para varios valores de Bi tanto mayores como menores a 1 mediante los
subprogramas 1 a 4 escritos en MathCad 15 y que utilizan recurrentemente
algoritmos numeacutericos correspondientes a los meacutetodos de Ridder y alternativamente
el de Brent contenidos en la funcioacuten rootreg
En las figuras 4 y 5 se ha graficado las funciones de la temperatura en el centro
de la castantildea como una funcioacuten de Fo teniendo como paraacutemetro a Bi La Figura 4
corresponde a valores de Bi gt 1 y la Figura 5 a valores de Bi lt 1 De un modo similar
pueden calcularse perfiles para cualquier valor del radio adimensional por aplicacioacuten
de la solucioacuten formal (ecuaciones [12] y [13])
Raiacuteces correspondientes a soluciones de la Ec 113 para valores
Bigt 1 y Bi lt1 Cada interseccioacuten entre hipeacuterbola y cotangente
corresponde a un autovalor de la solucioacuten analiacutetica Para el caacutelculo de
las soluciones se tomaron en cuanta los primeros 100 autovalores
20
1333
667
667
1333
20
cot ( n)
(Bi -1)n
0 2 3 4 5 6 7 8
n
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 279
Los subprogramas 5 a 7 permiten el caacutelculo de la solucioacuten formal para el centro
de la esfera para varios valores del paraacutemetro Bi tanto menores a 1 como mayores
o iguales a uno en funcioacuten de Fo los mismos que fueron utilizados para la
elaboracioacuten de las figuras 4 y 5
Por otra parte las soluciones de las ecuaciones [13] y [15] obtenidas por
aplicaciones reiteradas del subprograma rootreg de Mathcad 11 utilizando el algoritmo
de Muumlller y con base a los subprogramas 8 9 10 y 11 permiten obtener valores de
Foeq para arreglos de grupos adimensionales de Bi tal como se muestra en la Tabla
3 para los casos de Bi lt 1 y 1Bi Estos valores han sido correlacionados mediante
anaacutelisis de regresioacuten empleando algoritmos de optimizacioacuten no lineales
Las ecuaciones de ajuste para Foeq = Foeq(Bi) son respectivamente para Bi lt 1
y para Bi 1
[19]
[20]
que corresponden respectivamente a las ecuaciones de ajuste siguientes
ln( ) 1068ln( ) 0956eqFo Bi [21]
1565ln( ) 0093ln( ) 0936 Bi
eqFo e [22]
1068ln( ) 0956Bi
eqFo e
1565ln( ) 00930936 Bie
eqFo e
280middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son 1 2
4 6 8 10 15 20 30 40 50 100 y 200
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son
0005 001 0015 003 005 01 03 05 07 09 y 098
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 12 14 16 18 2
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 1
Bi = 200
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 0005
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
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[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 6: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/6.jpg)
276middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
El sistema de ecuaciones [13] y [15] proporcionan un Foeq para cada valor de Bi
(ya que Foeq = f (Bi) Por lo tanto como en el caso anterior se puede determinar el
tiempo para alcanzar el equilibrio o alternativamente la conductividad efectiva a
partir de
[16]
a condicioacuten de que se determine Foeq = f(Bi)
5 Resultados y Discusioacuten
51 Resistencia Externa Nula a la Transferencia de Calor
La Ecuacioacuten [6] establece la variacioacuten de los perfiles de temperatura con el
tiempo al interior de la castantildea tal como se ve en la Figura 1 La temperatura tiende
al equilibrio al aumentar el tiempo (incrementaacutendose Fo paralelamente)
El tiempo requerido para alcanzar el equilibrio es tanto mayor cuanto maacutes
interno es el punto a considerarse En procesos de calentamiento el centro de la esfera
seraacute el uacuteltimo en alcanzar el equilibrio
Tal como se puede apreciar en la Figura 2 existe un tiempo finito (Fo finito)
para el cual se alcanza el equilibrio Esta figura es una representacioacuten de la Ecuacioacuten
[7] descriptiva de la dinaacutemica de la temperatura en el centro de la esfera
Se podriacutea anticipar que deberiacutea existir un valor de para el cual se cumpla
la condicioacuten de equilibrio es decir un Foeq tal que Пrarr1 cuando Forarr Foeq Este
criterio impuesto en la Ecuacioacuten [7] permite deducir la Ec [8] que puede ser resuelta
numeacutericamente para obtener Foeq Este valor resulta ser igual a 0802 (valor obtenido
utilizando subprogramas de Mathcad 15reg de la firma Mathsoft Engineering amp
Education Inc)
Consecuentemente la Ecuacioacuten [10] se reduce a
[17]
Si se define como V el volumen de la castantildea entonces el radio equivalente a
que es aquel que corresponde a la esfera de igual volumen estaacute dado por
[18]
2( ) eq
e
f Bi a ct
k
Fo
2
0802
eq
e
a ct
k
1
33
4
Va
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 277
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Foξ) como una
funcioacuten del radio adimensional ξ y como paraacutemetro el moacutedulo de
Fourier Fo
Temperatura adimensional П (0 Fo) evaluada en el centro de la
esfera como una funcioacuten del moacutedulo de Fourier Fo
Por lo tanto de conocerse V ρ c y ke es posible determinar el tiempo requerido
para que el centro de la castantildea alcance la temperatura de la superficie o
alternativamente si se determina experimentalmente teq puede obtenerse ke
52 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
La solucioacuten analiacutetica que comprende las ecuaciones [12] a [16] tiene como
paraacutemetro a Bi y por lo tanto puede anticiparse una solucioacuten para cada valor del
mismo Si se decide un valor de Bi puede obtenerse el vector que contenga los
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Radio Adimensional
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Fo = 015
01
04
03
02
008
006
004
0005001002003
TIEMPO NECESARIO PARA ALCANZAR EL EQUILIBRIO
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Modulo de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
278middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
autovalores de la solucioacuten y por lo tanto evaluarse eacutesta Comentarios similares se
aplican a las soluciones para el centro de la castantildea y para el tiempo requerido para el
establecimiento del equilibrio
El caacutelculo de la solucioacuten analiacutetica puede volverse engorroso y requiere de
aplicaciones reiteradas de algoritmos numeacutericos y la utilizacioacuten de computadores
digitales La determinacioacuten de un nuacutemero suficiente de autovalores como para
permitir la convergencia de la solucioacuten resulta en la determinacioacuten de un conjunto
importante de raiacuteces (las 100 primeras para el presente trabajo) resultantes de
intersecciones de funciones hiperboacutelicas y cotangentes como puede apreciarse en la
Figura 3 Cada valor de Bi da lugar a un vector diferente de autovalores y por lo
tanto a soluciones diferentes para cualquier punto del dominio del problema asiacute
como a un valor nuevo de Foeq
En las tablas 1 y 2 se incluyen los primeros 25 autovalores de la Ecuacioacuten [13]
calculados para varios valores de Bi tanto mayores como menores a 1 mediante los
subprogramas 1 a 4 escritos en MathCad 15 y que utilizan recurrentemente
algoritmos numeacutericos correspondientes a los meacutetodos de Ridder y alternativamente
el de Brent contenidos en la funcioacuten rootreg
En las figuras 4 y 5 se ha graficado las funciones de la temperatura en el centro
de la castantildea como una funcioacuten de Fo teniendo como paraacutemetro a Bi La Figura 4
corresponde a valores de Bi gt 1 y la Figura 5 a valores de Bi lt 1 De un modo similar
pueden calcularse perfiles para cualquier valor del radio adimensional por aplicacioacuten
de la solucioacuten formal (ecuaciones [12] y [13])
Raiacuteces correspondientes a soluciones de la Ec 113 para valores
Bigt 1 y Bi lt1 Cada interseccioacuten entre hipeacuterbola y cotangente
corresponde a un autovalor de la solucioacuten analiacutetica Para el caacutelculo de
las soluciones se tomaron en cuanta los primeros 100 autovalores
20
1333
667
667
1333
20
cot ( n)
(Bi -1)n
0 2 3 4 5 6 7 8
n
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 279
Los subprogramas 5 a 7 permiten el caacutelculo de la solucioacuten formal para el centro
de la esfera para varios valores del paraacutemetro Bi tanto menores a 1 como mayores
o iguales a uno en funcioacuten de Fo los mismos que fueron utilizados para la
elaboracioacuten de las figuras 4 y 5
Por otra parte las soluciones de las ecuaciones [13] y [15] obtenidas por
aplicaciones reiteradas del subprograma rootreg de Mathcad 11 utilizando el algoritmo
de Muumlller y con base a los subprogramas 8 9 10 y 11 permiten obtener valores de
Foeq para arreglos de grupos adimensionales de Bi tal como se muestra en la Tabla
3 para los casos de Bi lt 1 y 1Bi Estos valores han sido correlacionados mediante
anaacutelisis de regresioacuten empleando algoritmos de optimizacioacuten no lineales
Las ecuaciones de ajuste para Foeq = Foeq(Bi) son respectivamente para Bi lt 1
y para Bi 1
[19]
[20]
que corresponden respectivamente a las ecuaciones de ajuste siguientes
ln( ) 1068ln( ) 0956eqFo Bi [21]
1565ln( ) 0093ln( ) 0936 Bi
eqFo e [22]
1068ln( ) 0956Bi
eqFo e
1565ln( ) 00930936 Bie
eqFo e
280middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son 1 2
4 6 8 10 15 20 30 40 50 100 y 200
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son
0005 001 0015 003 005 01 03 05 07 09 y 098
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 12 14 16 18 2
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 1
Bi = 200
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 0005
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 7: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/7.jpg)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 277
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Foξ) como una
funcioacuten del radio adimensional ξ y como paraacutemetro el moacutedulo de
Fourier Fo
Temperatura adimensional П (0 Fo) evaluada en el centro de la
esfera como una funcioacuten del moacutedulo de Fourier Fo
Por lo tanto de conocerse V ρ c y ke es posible determinar el tiempo requerido
para que el centro de la castantildea alcance la temperatura de la superficie o
alternativamente si se determina experimentalmente teq puede obtenerse ke
52 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor
La solucioacuten analiacutetica que comprende las ecuaciones [12] a [16] tiene como
paraacutemetro a Bi y por lo tanto puede anticiparse una solucioacuten para cada valor del
mismo Si se decide un valor de Bi puede obtenerse el vector que contenga los
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Radio Adimensional
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Fo = 015
01
04
03
02
008
006
004
0005001002003
TIEMPO NECESARIO PARA ALCANZAR EL EQUILIBRIO
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1
Modulo de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
278middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
autovalores de la solucioacuten y por lo tanto evaluarse eacutesta Comentarios similares se
aplican a las soluciones para el centro de la castantildea y para el tiempo requerido para el
establecimiento del equilibrio
El caacutelculo de la solucioacuten analiacutetica puede volverse engorroso y requiere de
aplicaciones reiteradas de algoritmos numeacutericos y la utilizacioacuten de computadores
digitales La determinacioacuten de un nuacutemero suficiente de autovalores como para
permitir la convergencia de la solucioacuten resulta en la determinacioacuten de un conjunto
importante de raiacuteces (las 100 primeras para el presente trabajo) resultantes de
intersecciones de funciones hiperboacutelicas y cotangentes como puede apreciarse en la
Figura 3 Cada valor de Bi da lugar a un vector diferente de autovalores y por lo
tanto a soluciones diferentes para cualquier punto del dominio del problema asiacute
como a un valor nuevo de Foeq
En las tablas 1 y 2 se incluyen los primeros 25 autovalores de la Ecuacioacuten [13]
calculados para varios valores de Bi tanto mayores como menores a 1 mediante los
subprogramas 1 a 4 escritos en MathCad 15 y que utilizan recurrentemente
algoritmos numeacutericos correspondientes a los meacutetodos de Ridder y alternativamente
el de Brent contenidos en la funcioacuten rootreg
En las figuras 4 y 5 se ha graficado las funciones de la temperatura en el centro
de la castantildea como una funcioacuten de Fo teniendo como paraacutemetro a Bi La Figura 4
corresponde a valores de Bi gt 1 y la Figura 5 a valores de Bi lt 1 De un modo similar
pueden calcularse perfiles para cualquier valor del radio adimensional por aplicacioacuten
de la solucioacuten formal (ecuaciones [12] y [13])
Raiacuteces correspondientes a soluciones de la Ec 113 para valores
Bigt 1 y Bi lt1 Cada interseccioacuten entre hipeacuterbola y cotangente
corresponde a un autovalor de la solucioacuten analiacutetica Para el caacutelculo de
las soluciones se tomaron en cuanta los primeros 100 autovalores
20
1333
667
667
1333
20
cot ( n)
(Bi -1)n
0 2 3 4 5 6 7 8
n
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 279
Los subprogramas 5 a 7 permiten el caacutelculo de la solucioacuten formal para el centro
de la esfera para varios valores del paraacutemetro Bi tanto menores a 1 como mayores
o iguales a uno en funcioacuten de Fo los mismos que fueron utilizados para la
elaboracioacuten de las figuras 4 y 5
Por otra parte las soluciones de las ecuaciones [13] y [15] obtenidas por
aplicaciones reiteradas del subprograma rootreg de Mathcad 11 utilizando el algoritmo
de Muumlller y con base a los subprogramas 8 9 10 y 11 permiten obtener valores de
Foeq para arreglos de grupos adimensionales de Bi tal como se muestra en la Tabla
3 para los casos de Bi lt 1 y 1Bi Estos valores han sido correlacionados mediante
anaacutelisis de regresioacuten empleando algoritmos de optimizacioacuten no lineales
Las ecuaciones de ajuste para Foeq = Foeq(Bi) son respectivamente para Bi lt 1
y para Bi 1
[19]
[20]
que corresponden respectivamente a las ecuaciones de ajuste siguientes
ln( ) 1068ln( ) 0956eqFo Bi [21]
1565ln( ) 0093ln( ) 0936 Bi
eqFo e [22]
1068ln( ) 0956Bi
eqFo e
1565ln( ) 00930936 Bie
eqFo e
280middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son 1 2
4 6 8 10 15 20 30 40 50 100 y 200
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son
0005 001 0015 003 005 01 03 05 07 09 y 098
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 12 14 16 18 2
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 1
Bi = 200
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 0005
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 8: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/8.jpg)
278middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
autovalores de la solucioacuten y por lo tanto evaluarse eacutesta Comentarios similares se
aplican a las soluciones para el centro de la castantildea y para el tiempo requerido para el
establecimiento del equilibrio
El caacutelculo de la solucioacuten analiacutetica puede volverse engorroso y requiere de
aplicaciones reiteradas de algoritmos numeacutericos y la utilizacioacuten de computadores
digitales La determinacioacuten de un nuacutemero suficiente de autovalores como para
permitir la convergencia de la solucioacuten resulta en la determinacioacuten de un conjunto
importante de raiacuteces (las 100 primeras para el presente trabajo) resultantes de
intersecciones de funciones hiperboacutelicas y cotangentes como puede apreciarse en la
Figura 3 Cada valor de Bi da lugar a un vector diferente de autovalores y por lo
tanto a soluciones diferentes para cualquier punto del dominio del problema asiacute
como a un valor nuevo de Foeq
En las tablas 1 y 2 se incluyen los primeros 25 autovalores de la Ecuacioacuten [13]
calculados para varios valores de Bi tanto mayores como menores a 1 mediante los
subprogramas 1 a 4 escritos en MathCad 15 y que utilizan recurrentemente
algoritmos numeacutericos correspondientes a los meacutetodos de Ridder y alternativamente
el de Brent contenidos en la funcioacuten rootreg
En las figuras 4 y 5 se ha graficado las funciones de la temperatura en el centro
de la castantildea como una funcioacuten de Fo teniendo como paraacutemetro a Bi La Figura 4
corresponde a valores de Bi gt 1 y la Figura 5 a valores de Bi lt 1 De un modo similar
pueden calcularse perfiles para cualquier valor del radio adimensional por aplicacioacuten
de la solucioacuten formal (ecuaciones [12] y [13])
Raiacuteces correspondientes a soluciones de la Ec 113 para valores
Bigt 1 y Bi lt1 Cada interseccioacuten entre hipeacuterbola y cotangente
corresponde a un autovalor de la solucioacuten analiacutetica Para el caacutelculo de
las soluciones se tomaron en cuanta los primeros 100 autovalores
20
1333
667
667
1333
20
cot ( n)
(Bi -1)n
0 2 3 4 5 6 7 8
n
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 279
Los subprogramas 5 a 7 permiten el caacutelculo de la solucioacuten formal para el centro
de la esfera para varios valores del paraacutemetro Bi tanto menores a 1 como mayores
o iguales a uno en funcioacuten de Fo los mismos que fueron utilizados para la
elaboracioacuten de las figuras 4 y 5
Por otra parte las soluciones de las ecuaciones [13] y [15] obtenidas por
aplicaciones reiteradas del subprograma rootreg de Mathcad 11 utilizando el algoritmo
de Muumlller y con base a los subprogramas 8 9 10 y 11 permiten obtener valores de
Foeq para arreglos de grupos adimensionales de Bi tal como se muestra en la Tabla
3 para los casos de Bi lt 1 y 1Bi Estos valores han sido correlacionados mediante
anaacutelisis de regresioacuten empleando algoritmos de optimizacioacuten no lineales
Las ecuaciones de ajuste para Foeq = Foeq(Bi) son respectivamente para Bi lt 1
y para Bi 1
[19]
[20]
que corresponden respectivamente a las ecuaciones de ajuste siguientes
ln( ) 1068ln( ) 0956eqFo Bi [21]
1565ln( ) 0093ln( ) 0936 Bi
eqFo e [22]
1068ln( ) 0956Bi
eqFo e
1565ln( ) 00930936 Bie
eqFo e
280middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son 1 2
4 6 8 10 15 20 30 40 50 100 y 200
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son
0005 001 0015 003 005 01 03 05 07 09 y 098
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 12 14 16 18 2
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 1
Bi = 200
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 0005
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 9: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/9.jpg)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 279
Los subprogramas 5 a 7 permiten el caacutelculo de la solucioacuten formal para el centro
de la esfera para varios valores del paraacutemetro Bi tanto menores a 1 como mayores
o iguales a uno en funcioacuten de Fo los mismos que fueron utilizados para la
elaboracioacuten de las figuras 4 y 5
Por otra parte las soluciones de las ecuaciones [13] y [15] obtenidas por
aplicaciones reiteradas del subprograma rootreg de Mathcad 11 utilizando el algoritmo
de Muumlller y con base a los subprogramas 8 9 10 y 11 permiten obtener valores de
Foeq para arreglos de grupos adimensionales de Bi tal como se muestra en la Tabla
3 para los casos de Bi lt 1 y 1Bi Estos valores han sido correlacionados mediante
anaacutelisis de regresioacuten empleando algoritmos de optimizacioacuten no lineales
Las ecuaciones de ajuste para Foeq = Foeq(Bi) son respectivamente para Bi lt 1
y para Bi 1
[19]
[20]
que corresponden respectivamente a las ecuaciones de ajuste siguientes
ln( ) 1068ln( ) 0956eqFo Bi [21]
1565ln( ) 0093ln( ) 0936 Bi
eqFo e [22]
1068ln( ) 0956Bi
eqFo e
1565ln( ) 00930936 Bie
eqFo e
280middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son 1 2
4 6 8 10 15 20 30 40 50 100 y 200
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son
0005 001 0015 003 005 01 03 05 07 09 y 098
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 12 14 16 18 2
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 1
Bi = 200
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 0005
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 10: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/10.jpg)
280middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son 1 2
4 6 8 10 15 20 30 40 50 100 y 200
Distribucioacuten de temperatura adimensional П(Fo0) para el centro
de la esfera como una funcioacuten del grupo adimensional de Fourier Fo
teniendo como paraacutemetro el grupo de Biot Los valores de Bi son
0005 001 0015 003 005 01 03 05 07 09 y 098
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 12 14 16 18 2
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 1
Bi = 200
DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS EN ESFERA
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Grupo Adimensional de Fourier
Tem
pera
tura
Adi
men
sion
al
Bi = 0005
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 11: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/11.jpg)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 281
La calidad del ajuste puede apreciarse en las figuras 6 y 7 con coeficientes de
correlacioacuten de Pearson superiores a 098 Por lo tanto la Ecuacioacuten [16] queda ahora
totalmente definida y se tienen las siguientes expresiones para los tiempos requeridos
para alcanzar el equilibrio en el caso de resistencia externa finita a la transferencia de
calor
1068ln( ) 0956 2Bi
eq
e
e a ct
k
[23]
para Bi lt 1 y
1565ln( ) 00930936 2Bie
eq
e
e a ct
k
[24]
para Bi 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas a condicioacuten de que se pueda determinar
el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten y la conductividad teacutermica
efectiva y de esta manera obtener el Bi correspondiente Para el primero la literatura
es amplia y el segundo puede determinarse experimentalmente
Se puede disentildear experimentos sencillos conducentes a la determinacioacuten de la
variacioacuten de la temperatura con el tiempo en el centro de las castantildeas registrando los
tiempos en los que se alcanza la temperatura de equilibrio y con esta informacioacuten y
la relativa a la geometriacutea de los frutos validar el modelo obteniendo el grupo
adimensional de Bi que ajuste los datos Para hacerlo los requerimientos
computacionales son modestos y requieren cuando maacutes de algoritmos numeacutericos
heuriacutesticos de optimizacioacuten El modelo validado entonces podriacutea en principio
aplicarse de una manera rutinaria ajustaacutendolo perioacutedicamente para tomar en cuenta
las variaciones naturales en la castantildea recolectada y de esta manera determinar
esquemas adecuados de tratamiento especialmente en lo relativo al secado
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 12: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/12.jpg)
282middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Fo vs Bi para Bi lt 1
Fo vs Bi para Bi gt 1
2 1 00
2
4
6
ln(Bi)
ln(F
o)
0 2 4 60
05
1
15
ln(Bi)
ln(F
o)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 13: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/13.jpg)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 283
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi gt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot Bi
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β1 15708 20288 24556 26537 27654 28363 29349 29857 30372 30632 30788 31102 31259
β2 47124 49132 52329 54544 56078 57172 58852 59783 60766 61273 61582 62204 62518
β3 7854 79787 82045 83913 85406 86587 88605 89831 91201 91933 92384 93308 93777
β4 109956 110855 11256 114086 115408 116532 118634 120029 121691 122618 1232 124414 125036
β5 141372 142074 143434 144699 145847 146869 148917 150384 152245 153334 154034 155521 156296
β6 172788 173364 17449 175562 176562 177481 179414 180887 18287 184085 184888 186632 187556
β7 204204 204692 205652 206578 207458 208282 210082 211522 213564 214876 215764 217746 218816
β8 235619 236043 236879 237693 238475 239218 240884 24227 244326 245705 246664 248865 250077
β9 267035 267409 26815 268874 269576 27025 271792 273114 275152 276575 277589 279987 281339
β10 298451 298786 29945 300102 300738 301354 302782 304037 306036 307483 30854 311114 312601
β11 329867 33017 330772 331365 331946 332511 333838 335026 336973 338428 339516 342247 343864
β12 361283 36156 36211 362653 363187 363709 364946 366071 367958 369408 370517 373385 375128
β13 392699 392954 39346 393961 394455 39494 396097 397161 398984 400421 401542 404528 406393
β14 424115 424351 42482 425285 425745 426196 427281 42829 430048 431465 43259 435677 437658
β15 455531 45575 456188 456622 457051 457473 458494 459452 461145 462536 463661 466833 468925
β16 486947 487152 487561 487968 488371 488768 489731 490641 492271 493633 494753 497994 500192
β17 518363 518556 51894 519323 519702 520076 520988 521854 523422 524754 525864 529162 531461
cot 1 0n n Bi
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
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Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
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Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 14: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/14.jpg)
284middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi = 1 Bi = 2 Bi = 4 Bi = 6 Bi = 8 Bi = 10 Bi = 15 Bi = 20 Bi = 30 Bi = 40 Bi = 50 Bi = 100 Bi = 200
β18 549779 549961 550323 550684 551042 551397 552261 553088 554597 555896 556994 560336 562731
β19 581195 581367 58171 582052 582391 582727 583549 584338 585791 587058 588141 591517 594002
β20 612611 612774 613099 613424 613746 614066 614849 615604 617004 618238 619304 622704 625274
β21 644026 644182 644492 6448 645107 645412 64616 646883 648233 649435 650483 653897 656548
β22 675442 67559 675886 676181 676474 676765 67748 678174 679476 680646 681675 685097 687823
β23 706858 707 707282 707564 707844 708123 708808 709475 710732 71187 71288 716303 719099
β24 738274 73841 73868 73895 739218 739485 740144 740785 742 743107 744098 747515 750376
β25 76969 76982 77008 770338 770596 770852 771485 772103 773278 774356 775326 778733 781655
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Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 15: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/15.jpg)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 285
Autovalores correspondientes a la ecuacioacuten para Bi lt 1 Noacutetese que se incluye los 25 primeros
autovalores para valores seleccionados del grupo adimensional de Biot
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β1 0055 0095 0134 0173 0212 0299 0385 0542 0921 1166 1353 1504 1558
β2 4494 4494 4495 4496 4497 45 4505 4516 456 4604 4648 4691 4708
β3 7725 7726 7726 7727 7727 7729 7732 7738 7764 779 7816 7841 7851
β4 10904 10904 10905 10905 10905 10907 10909 10913 10932 1095 10968 10986 10994
β5 14066 14066 14067 14067 14067 14068 1407 14073 14088 14102 14116 1413 14136
β6 17221 17221 17221 17221 17222 17222 17224 17227 17238 1725 17261 17273 17278
β7 20371 20371 20372 20372 20372 20373 20374 20376 20386 20396 20406 20415 20419
β8 23519 2352 2352 2352 2352 23521 23522 23524 23532 23541 23549 23558 23561
β9 26666 26666 26666 26666 26667 26667 26668 2667 26677 26685 26692 267 26703
β10 29812 29812 29812 29812 29812 29813 29813 29815 29822 29828 29835 29842 29844
β11 32956 32956 32957 32957 32957 32957 32958 32959 32965 32972 32978 32984 32986
β12 36101 36101 36101 36101 36101 36101 36102 36103 36109 36114 3612 36126 36128
β13 39244 39245 39245 39245 39245 39245 39246 39247 39252 39257 39262 39267 39269
β14 42388 42388 42388 42388 42388 42389 42389 4239 42395 424 42404 42409 42411
β15 45531 45531 45531 45531 45531 45532 45532 45533 45538 45542 45547 45551 45553
β16 48674 48674 48674 48674 48674 48675 48675 48676 4868 48684 48689 48693 48694
β17 51817 51817 51817 51817 51817 51818 51818 51819 51823 51827 5183 51834 51836
cot 1 0n n Bi
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
6
8
10
15
20
30
40
50
100
200
Beta Bi k n( )
i
eval Bii
n
i 1 kfor
eval1 n
a i 1( ) 00001
b i 1( )
2
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Beta1 Bi k n( )
i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
j eval Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
YL Bi jbi Fo mfo n
j eval1 Bij
n
Yi j
sol0 Bij
Foi
j n
i 1 mfofor
Yi j
j 1 jbifor
Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
foeq Bij
n
j 1 nBifor
r
foeq1 Bi n( ) f 1
eval1 Bi n( )
foeq1 root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 16: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/16.jpg)
286middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Bi=0001 Bi=0003 Bi=0006 Bi=001 Bi=0015 Bi=003 Bi=005 Bi=01 Bi=03 Bi=05 Bi=07 Bi=09 Bi=098
β18 5496 5496 5496 5496 5496 5496 54961 54961 54965 54969 54972 54976 54977
β19 58102 58102 58102 58102 58103 58103 58103 58104 58107 58111 58114 58118 58119
β20 61245 61245 61245 61245 61245 61245 61246 61246 6125 61253 61256 61259 61261
β21 64387 64387 64387 64387 64387 64388 64388 64389 64392 64395 64398 64401 64402
β22 67529 67529 6753 6753 6753 6753 6753 67531 67534 67537 6754 67543 67544
β23 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70672 70673 70676 70679 70682 70684 70686
β24 73814 73814 73814 73814 73814 73814 73815 73815 73818 73821 73823 73826 73827
β25 76956 76956 76956 76956 76956 76956 76957 76957 7696 76963 76965 76968 76969
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 287
Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
i 1 nfor
r
Bi
1
2
4
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40
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Beta Bi k n( )
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i
eval1 Bii
n
i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
i 2
Bi Bi 1( )
i
sin i
sol
( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
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YL Bi jbi Fo mfo n
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Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
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1
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i
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i
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Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 17: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/17.jpg)
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Grupos adimensionales de Fourier Fo eq de equilibrio para diversos
valores del grupo adimensional de Biot Bi Estos valores son resultados de
soluciones de la Ecuacioacuten [15] para valores de Bi mayores y menores a 1
Bi ge 1 Foeq Bi lt 1 Foeq
1 2778 004 84428
10 1125 008 37179
20 1113 012 25313
30 1109 016 17890
40 1107 020 14620
50 1106 024 11431
60 1105 028 10012
70 1105 032 8948
80 1104 036 7432
90 1104 040 6834
100 1104 044 6346
110 1104 048 5409
120 1104 052 5102
130 1103 056 4839
140 1103 060 4611
150 1103 064 4412
160 1103 068 3848
170 1103 072 3711
180 1103 076 3588
190 1103 080 3478
200 1103 084 3378
210 1103 088 2975
220 1103 092 2903
230 1103 096 2838
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
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roo t z cot z( ) 1 z a b
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ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
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290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
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1
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Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
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foeq1 Bij
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![Page 18: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/18.jpg)
288middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 1 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α gt 1
Subprograma 2 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
Subprograma 3 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un valor de Bi = α lt 1
Subprograma 4 Evaluacutea los primeros n autovalores asociados con la Ecuacioacuten
[13] para un vector que contiene k valores de Bi gt 1 contenidos en el
vector columna Bi que debe definirse previamente
eval n
a
2i 1( ) 001
b i 0001
ri
roo t z cot z( ) 1 z a b
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i 1 kfor
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 289
Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
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e i 2
Fo
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i
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( 0)Fo
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290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
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1
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ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
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![Page 19: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/19.jpg)
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Subprograma 5 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
dados Bi Fo el vector de n filas β que contiene los n primeros
autovalores correspondientes a la Ecuacioacuten [13]
Subprograma 6 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi
Contenidos en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en
el vector Fo de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores
correspondientes a la Ecuacioacuten [13] En este caso Bi gt 1
Subprograma 7 Evaluacutea la temperatura en el centro de la esfera
(Ecuacioacuten [14]) para todas las combinaciones de valores de Bi contenidos
en el vector Bi de jbi filas y los valores de Fo contenidos en el vector Fo
de mfo filas considerando los primeros nβ autovalores de la Ecuacioacuten
[13] En este caso Bi lt 1
sol0 Bi Fo n sol 1 2 Bi
1
n
i
e i 2
Fo
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Bi Bi 1( )
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( 0)Fo
Y Bi jbi Fo mfo n
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Yi j
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Y
( 0)Fo
290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
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1
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i 2 Bi Bi 1( )
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foeq1 Bi n( ) f 1
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foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
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290middot Zavaleta R Tiempos necesarios para el establecimiento de equilibrio teacutermico en elhellip
Subprograma 8 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi gt 1
Subprograma 9 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β de las soluciones de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la
solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi gt 1
Subprograma 10 Evaluacutea el valor del moacutedulo de Fourier criacutetico Foeq para el
cual se establece el equilibrio teacutermico Bi es el grupo adimensional de
Biot y nβ es el nuacutemero de autovalores β correspondientes a soluciones
de la Ecuacioacuten [13] a considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones
para Bi lt 1
foeq Bi n( ) f 1
eval Bi n( )
foeq root
1
n
i
e i 2
f
i 2 Bi Bi 1( )
i
sin i
f
foeq
foequil Bi nBi n( )
rj
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n
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r
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foeq1 root
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foeq1
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
fo1equil Bi nBi n( )
rj
foeq1 Bij
n
j 1 nBifor
r
![Page 21: Propuesta Básica para la Gestión de los Residuos Sólidos ... · en régimen transitorio, al ser combinada con la Ley de Fourier, resulta en1 [1] donde T es la temperatura, t el](https://reader042.fdocuments.co/reader042/viewer/2022040119/5e670b20c7ac5b76bb013c97/html5/page/21.jpg)
ACTA NOVA Vol 9 Nordm 2 julio 2019 ISSN 1683-0768 Artiacuteculos Cientiacuteficos 291
Subprograma 11 Evaluacutea el valor de los moacutedulos de Fourier criacutetico Foeq para
todos los valores del vector Bi de valores del grupo de Biot (nBi
componentes) tomando en cuenta los primeros nβ autovalores del
arreglo β correspondientes a soluciones de la Ecuacioacuten [13] a
considerarse en la solucioacuten analiacutetica Soluciones para Bi lt 1
Referencias Bibliograacuteficas
[1] Bird RB WE Stewart y EN Lightfoot ldquoTransport Phenomenardquo John Wiley
amp Sons Inc 2nd Ed (2002)
[2] Crank J ldquoThe Mathematics of Diffusionrdquo Oxford University Press (1970)
[3] Carlslaw HS y J C Jaeger ldquoConduction of Heat in Solidsrdquo 2nd Ed Oxford
University Press (1959)
[4] Churchill RV ldquoOperational Mathematicsrdquo 2nd Ed McGraw-Hill Book
Company (1958)
[5] Churchill RV ldquoFourier Series and Boundary Value Problemsrdquo 2nd Ed McGraw-
Hill Book Company (1963)
[6] Lamb GL Jr ldquoIntroductory Applications of Partial Differential Equationsrdquo John
Wiley amp Sons Inc (1995)
[7] Moon P y DE Spencer ldquoPartial Differential Equationsrdquo DC Heath and
Company (1969)
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