Proy. Maderas Final

DISE Ñ O DE CERCHA TIPO HOWE MADERAS

DISEÑO DE CERCHA TIPO HOWE

INTRODUCCION.-

Definición.-

La cercha es uno de los principales tipos de estructuras empleadas en ingeniería. Proporciona una solución práctica y económica a muchas situaciones de ingeniería, especialmente en el diseño de puentes y edificios. Una armadura consta de barras rectas unidas mediante juntas o nodos. Los elementos de una cercha se unen sólo en los extremos por medio de pasadores sin fricción para formar armazón rígida; por lo tanto ningún elemento continúa más allá de un nodo. Cada cercha se diseña para que soporte las cargas que actúan en su plano y, en consecuencia, pueden considerarse como una estructura bidimensional. Todas las cargas deben aplicarse en las uniones y no en los mismos elementos. Por ello cada cercha es un elemento sometido a fuerzas axiales directas (tracción o compresión).

Configuración

Una armadura simple se obtiene de adicionar barras a la armadura básica triangular. Debe observarse que una armadura simple no está necesariamente formada por triángulos. En una armadura simple el número total de barras es b=2n-3, donde n en el número total de nodos.Cuando varias barras se unen entre sí por sus extremos para formar una configuración en tres dimensiones, la estructura obtenida se llama cercha espacial. Las condiciones de equilibrio para cada nodo se expresarán por las tres ecuaciones:

ΣFx=0 ΣFy=0 ΣFz=0

Para evitar la resolución de muchas ecuaciones simultáneas, los nodos deberán seleccionarse cuidadosamente para descartar aquellos que contengan más de tres fuerzas desconocidas. En un sistema estructural conformado por cerchas, se dispone de un sistema de arriostramiento lateral a fin de contrarrestar el desplazamiento longitudinal de la edificación debido a las fuerzas transversales.

Una cercha está formada por los siguientes elementos:

1. Los miembros de arriba cordón superior.2. Los miembros de abajo cordón inferior.3. Diagonales.4. Verticales Montantes o pendolones dependiendo del tipo de esfuerzo.

CRISTIAN ANDRES RIVERA IDIAQUEZ A9135 – 9 CARLOS EDUARDO CADENA RIVERA A9302 - 5


OBJETIVO.-

Este proyecto tiene el objetivo de dimensionar tanto el entramado como la cercha de madera tipo Howe para ello se tomara las siguientes consideraciones:

Luz de cercha 17 mts.Separación entre cerchas 6 mts.Velocidad del viento 80 KM/hr.Sobrecarga de nieve 50 Kg/m2

ESPECIFICACIONES DE LA MADERA.-

Fatiga de trabajo.-

Compresión paralela a las fibras 85 Kg/cm2

Flexión 100 Kg/cm2

Tracción paralela a las fibras 100 Kg/cm2

Compresión perpendicular a las fibras 25 Kg/cm2

Esfuerzo cortante admisible 5 Kg/cm2

Modulo de elasticidad 100000 Kg/cm2

CALCULO.-

Para el cálculo del entramado y de la cercha se seguirán los siguientes pasos y se harán uso de las formulas respectivas.

1. Determinación de todas las cargas que inciden en la cercha y dimensionamiento de todos y cada uno de los elementos que componen el entramado.

2. Calculo de los esfuerzos en todos y cada uno de los elementos que componen la cercha.3. Dimensionamiento de todos y cada uno de los elementos que componen la cercha.4. Diseño de uniones.5. Verificación de los elementos tentativamente dimensionados y debilitados por las

uniones diseñadas.6. Cubicaje por cerchas.

FORMULAS.-

CALCULO DE UNA CERCHA



Se realiza en dos partes:

1.- Comprende el cálculo o diseño de los elementos del entramado. Se diseñan listones, cabios, correas, vigas maestras, etc.

2.- El diseño de la cercha propiamente dicha.

Previo a este cálculo se verifican y se estipulan los siguientes tres incisos:

A) Comprobación para que un articulado sea isostático.-

b+3=2×n

Donde:b = numero de barrasn = numero de nudos

B) Pendiente.-

ϑ=arctg yx

La más económica es: 12

Por razones de arquitectura la más difundida es: 512

C) Presión del viento.-

P=Cd×q

q=0.00483×V 2

Donde:P = Presión perpendicular a la superficie que ejerce el viento.q = Presión dinámica.Cd= Coeficiente adimensional que depende de la posición de la superficie con relación a la

dirección del viento, la cual se supone horizontal.V= Velocidad del viento.

1.- Diseño del entramado.



1.1.- Calculo de listones

qc=q×e

Donde:e = espaciamiento entre listones.q = carga muerta mas sobrecargas. Tomar en cuenta que tiene que ser la condición más

desfavorable

Flexión.-

M= 110×q×l2

Fatiga o esfuerzo.-

σ ’adm=

σ adm

2cosα

Donde:σ ’

adm=¿ Fatiga en función al ángulo puesto que este trabaja con una flexión oblicua.𝛼 = ángulo de la pendiente.

Modulo resistente.-

S= M

σ ’adm

Nota: Para disminuir la sección del listón, se colocan mas cabios entre cerchas para disminuir la luz o la separación entre listones.

1.2.- Calculo de los cabios



qc=q×2

q = Carga de los listones que vienen apoyados a los cabios.qc = Carga que es transmitida a los cabios por los listones y la cubierta.

qTc=qc×P Pc

Donde:PPc = peso propio de los cabios.qtc = carga total de los cabios.

Flexión.-

M= 110×q×l2

Modulo resistente.-

S= Mσ adm

Reacciones.-

R=12×qTc×l

Corte.-



τ=32×RA

Flecha.-

f= 4384

×q×l4

E× I

Aplastamiento.-

σ aplast=2×R

2.54×b×h

1.3.- Calculo de las correas.-

P=2×R

Fatiga o esfuerzo.-

σ ’adm=

σ adm

2cosα

Flexión.-

M=14×P×l

2.- Calculo de la cercha



Peso muerto.-

P P=PP cubierta y entramado+PPcercha

Luego:

P1=e× l×PP

n

Donde:P1 = Carga para determinar los esfuerzos en cada uno de los elementos.e = espaciamiento.l = luz.n = numero de nudos.

Nieve.-

P2=e× l×P

n

Donde:P = Peso de la nieve.

Viento.-

q=0.00483×V 2

ϑ=arctg yx

P=Cd×q

H= l2×cosϑ

Donde:H = cordón superior o parLuego:Obtener Cd del barlovento y del sotavento.



Entonces:

Ps=H ×Cdsot×4

3

Pb=H ×Cdbar×4

3

Donde:Ps = Peso del sotavento.Pb = Peso del barlovento.

Es con estas cargas que se determinan los esfuerzos.

CALCULO DE LA CERCHA.

Se realiza en dos partes:A. Comprende el cálculo o el diseño de los elementos del entramado. Se diseñan listones,

cabios, correas, vigas maestras.

B. El diseño de la cercha propiamente dicha.

1.- ANALISIS DE CARGA.

Comprende cargas muertas y vivas.

Peso propio de la cubierta:Calamina de 6 – 8 Kg/m2.

Peso propio de las cerchas.Cerchas corrientes 0,95L Kg/m2.

Peso de la nieve.50 Kg/m2.

Velocidad del viento.80 Km/h.



PARTE A.DISEÑO DEL ENTRAMADO. Calculo de listones.Listones: 10 Kg/m2.Calamina: 6 Kg/m 2 .

16 Kg/m2.

Sobrecargas.

SC. Nieve = 50 Kg/m2.SC. Viento = 80 Km/h.

Tgα= 512

α=22,62 (̊

q=0,00483×802

q=30,91Kg

m2

Ahora como α<30° se tiene:

Barlovento: Cd=0.007×α−2.10Cd=0.007×22,62−2.10Cd=−0,52

Sotavento: Cd=−0,6

Con ello tenemos:

Pb=−0.52∙30.91=−16.07 kg/m2

Ps=−0.6 ∙30.91=−18.55kg/m2

NOTA.- El signo (-) negativo, indica que en los lados de la cubierta existe succión.Entonces para nuestro calculo, la peor situación para el listón es cuando no actúa el viento ya que por lo contrario favorece al cálculo.

Luego q=16+50=66kg /m2

Luz del Listón L=1,50mEspaciamiento entre listones e=0.90m



Entonces:qc=66 ∙0.9 0

qc=59,40kg /m

Flexión.-

Mto= 110∙ q ∙ l2

Mto= 110×59,40×1,52

Mto=1337 kg×cm

Flexión oblicua.-

σ ´= σ adm2∙ cosα

σ ´= 85

2∙cos22.62°

σ ´=46.04 kg /cm2

Modulo resistente.-

S=Mtoσ ´

S= 1337Kg×cm

46.04Kg /cm2

S=29,04cm3

Por lo que se toma una escuadría de:

A = 27,52 cm2

2} × {3} ^ { S = 30,58 cm3

I = 101,95 cm4



Verificación:

Flexión oblicua.-

σ=b×M ¿

a×b ( cosαb + senαa )

σ=6,67×13374,13×6,67 ( cos22,62

6,67+ sen22,62

4,13 )σ=75,02Kg /cm2 Como: σ<σadm ok

Corte.-

R=12×qTc×l

R=12×59,40×1,5

R=44,55Kg

τ=32×RA

τ=32×

44,5527,52

τ=2,43Kg /cm2 Como: τ<τadm ok

Flecha.-

f= 4384

×q×l4

E× I



f= 4384

×0,594×1504

100000×101,95

f=0,31cm

f adm=l

350

f adm=150350

f adm=0,43cm Como: f adm> f OK

Aplastamiento.-

Con una entrega de: 15/8 ”

σ aplast=2×R

2.54×b×h

σ aplast=2×44,55

2.542×158×1

58

σ aplast=5,23Kg /cm2 Como: σ aplast<σ admOK

Como se cumplió con todos los requerimientos entonces la escuadría para los listones es de:

2” x 3”

Calculo de los cabios:



qc=q× l

qc=66×1,5

qc=99Kgm

Donde:q = Carga de los listones que vienen apoyados a los cabios.qc = Carga que es transmitida a los cabios por los listones y la cubierta.

Luego:

qTc=qc+PPc

qTc=99×5

qTc=104Kgm

Donde:PPc = Peso propio de los cabios (5 Kg/m)qtc = carga total de los cabios.

Flexión.-

M= 110×qc×l

2

M= 110×104×2,832

M=8329Kg×cm



Modulo resistente.-

S= Mσ adm

S=892985

S=97,93cm3


A = 58, 95 cm2

2} × {6} ^ { S = 140 cm3

I = 1002, 50 cm4

Corte.-

R=12×qTc×l

R=12×104×2,83

R=147,16Kg.

τ=32×RA

τ=32×

147,1658,95

τ=3,745Kg

cm2 Como: τ<τadm ok

Flecha.-

f= 4384

×q×l4

E× I



f= 4384

×1,04×2834

100000×1002,50

f=0,69cm

f adm=l

350

f adm=283350


Aplastamiento.-

σ aplast=2×R

2.54×b×h

σ aplast=2×147,16

(1,625×2,54 )2


Como se cumplió con todos los requerimientos entonces la escuadría para los cabios es de:

2” x 6”

Calculo de las correas.-

P=2×R



P=2×147,1 6

P=294,32Kg

Flexión oblicua.-

σ ’adm=

σ adm

2cosα

σ ’adm=

852× cos (22,62 )

σ ’adm=46,04

Kg

cm2

Flexión.-

M=14×P×l

M=14×294,32×6

M=44148Kgcm

Modulo resistente.-

S= Mσ adm

S= 4414885

S=958,91cm3




A = 268,90 cm2

4} × {12} ^ { S = 1390 cm3

I = 19112 cm4

Corte.-

R=12× P

R=12×294,32

R=147,16Kg.

τ=32×RA

τ=32×

147,16268,90

τ=0,82Kg

cm2 Como: τ<τadm ok

Flecha.-

f= 148

×P×l3

E× I

f= 148

×94,32×6003

100000×19112

f=0,69cm

f adm=l

350

f adm=600350




Aplastamiento.-

σ aplast=R

Aaplas

σ aplast=147,16

(3,63×2,54 )2


Como se cumplió con todos los requerimientos entonces la escuadría para las vigas maestras es de:

4” x 12”

PARTE B.CALCULO DE LA CERCHA.Se analiza para las tres cargas que inciden.

Carga muerta. Carga ciento. Carga nieve.

P.P cubierta y entramado = 25 Kg/m2.P.P cercha = 0,95L=0,95x17 = 16,15 Kg/m 2 .

41,15 Kg/m2. ≅ 42Kg /m2

Carga total de la cercha.

C cercha=41,15×6×17

C cercha=4197,30Kg .

Carga total por nudo.

Cnudo=C cercha

nudos−1

Cnudo=4197,30

7−1



Cnudo=700Kg .

Sobre carga nieve = 50 Kg/m2.

P2=6×17×50

6

P2=850Kg .

Viento

Viento = 80 Kg/h

α = 22,62 ̊�

Pb = 0,00483xV2 = 30,91 Kg/m2.

De tabla tenemos:

Barlovento: Cd=0.007×α−2.10Cd=0.007×22,62−2.10Cd=−0,52

Sotavento: Cd=−0,6

Con ello tenemos:

qB=−16.07kg /m2

qs=−18.55 kg/m2

PB=9,20×6× (−16,07 )

3=−295,69kg /m2

Ps=9,20×6× (−18,55 )

3=−341,32kg /m2

Tabla de esfuerzos combinados:



Pre-Diseño:

Con la barra más solicitada dimensionaremos el ancho de toda la cercha, para las barras 11 y 12.

Para esto tenemos la barra 1 y 6 con una fuerza de compresión de N = 10142,3 Kg. y una longitud de 3,06 m.

Barra 1 – 6.

1er tanteo:

d = 3” (3 5/8” = 3,625”)

λ= ld

λ= 3063,625×2,54

λ=33,23

De la ecuación:

C k=0,7025×√ Ef cC k=0,7025×√ 100000

85

C k=24,10



Se cumple que: 24,10 < 33,23 < 50

Entonces tenemos:

Una columna larga.

N=0,329×E× A

λ2

10142,3=0,329×100000× A

33,232

A=340,41cm2

Por lo que se obtiene una escuadría de:

4} × {16} ^ { A = 362,42 cm2

Verificando:

Nadm=0,329×E× A

λ2

Nadm=10798,10Kg Donde: Nadm>N OK

Barra 2 – 5.

Fuerza de compresión N = 8138,54 Kg.Longitud = 306 cm.

d = 3” (3 5/8” = 3,625”)

λ= ld

λ= 3063,625×2,54

λ=33,23



Entonces tenemos:

N=0,329×E× A

λ2

8138,54=0,329×100000× A

33,232

A=273,16cm2


4} × {14} ^ { A = 315,66 cm2

Verificando:

Nadm=0,329×E× A

λ2


Barra 3 – 4.


d = 3” (3 5/8” = 3,625”)

λ= ld

λ= 3063,625×2,54

λ=33,23

Entonces tenemos:



N=0,329×E× A

λ2

6101,77=0,329×100000× A

33,232

A=204,83cm2


4} × {10} ^ { A = 222,13 cm2

Verificando:

Nadm=0,329×E× A

λ2

Nadm=6618,24 Kg Donde: Nadm>N OK

Barra 14 – 20.


d = 3” (3 5/8” = 3,625”)

λ= ld

λ= 3063,625×2,54

λ=33,23

Entonces tenemos:

N=0,329×E× A

λ2



1993,63=0,329×100000× A

33,232

A=66,91cm2


4} × {4} ^ { A = 84,75 cm2

Verificando:

Nadm=0,329×E× A

λ2


Barra 16 – 18.


d = 3” (3 5/8” = 3,625”)

λ= ld

λ= 3673,625×2,54

λ=3 9,86

De la ecuación:

C k=0,7025×√ Ef cC k=0,7025×√ 100000

85



C k=24,10

Se cumple que: 24,10 < 39,86 < 50

Entonces tenemos:

N=0,329×E× A

λ2

2449,05=0,329×100000× A

33,232

A=118,27cm2


4} × {6} ^ { A = 131,51 cm2

Verificando:

Nadm=0,329×E× A

λ2


TRACCION.-

Barra 7 - 8 - 11 - 12.

Fuerza de tracción N = 9372,87 Kg.Longitud = 283 cm.Para esfuerzos traccionables se reduce un 20%, entonces:

f ʼt=0,80×8 5

f ʼt=0,68Kg /cm2

Anecesaria=N

f ʼt



Anecesaria=9372,87

68

Anecesaria=137,84 cm2


4} × {8} ^ { A = 175,37 cm2

Verificando:

Nadm=0,329×E× A

λ2

Nadm=11925,16 Kg Donde: Nadm>N OK

Barra 9 - 10.

Fuerza de tracción N = 7530,47 Kg.Longitud = 230 cm.

Anecesaria=N

f ʼt

Anecesaria=7530,47

68

Anecesaria=110,74 cm2


4} × {6} ^ { A = 131,51 cm2

Verificando:

Nadm=0,329×E× A

λ2




Barra 17.

Fuerza de tracción N = 3113,29 Kg.Longitud = 230 cm.

Anecesaria=N

f ʼt

Anecesaria=3113,29

68

Anecesaria=45,78cm2


3} × {4} ^ { A = 61,40 cm2

Verificando:

Nadm=0,329×E× A

λ2


Barra 13 - 21.

Fuerza de tracción N = 0 Kg.


3} × {4} ^ { A = 61,40 cm2

DISEÑO DE UNIONES.

Para este diseño se tomo en cuenta las siguientes consideraciones:

P10=k ×σadm×l×d ×2,542



Donde se adopta un diámetro y una longitud para todas las uniones de:

d=78

} = {0,875} ^ {

L=4} =3 {{5} over {8}} ^ {=3,625 ¿

K= ld

K=3,6250,875

K=4,143

Interpolando:

4 – 0,9744,5 – 0,938

4,5 - 4 = 0,504,5 – 4,143 = 0,360,974 – 0,938 = 0,036

0,50 - 0,0360,36 - x

Entonces:

x=0,036×0,360,50

=0,026

k 4,143=0,026+0,938=0,964

P10=k ×σadm×l×d ×2,542

P10=0,964×85×3,625×0,875×2,542

P10=1676,80Kg .



Calculo del número de pernos en las uniones.

Para este cálculo se utiliza los esfuerzos máximos obtenidos, sin tomar en cuenta los signos de tracción o compresión.

¿ pernos= esfuerzomax .P10

Barra 1 – 6


¿ pernos=10142,31676,8

=6,01

¿ pernos≡6

Barra 2 – 5


¿ pernos=8138,541676,8

=4,853

¿ pernos≡5

Barra 3 – 4


¿ per nos=6102,771676,8

=3,639

¿ pernos≡4



Barra 7 – 8 – 11 - 12


¿ pernos=9372,871676,8

=5,589

¿ pernos≡6

Barra 9 – 10


¿ pernos=7530,471676,8

=4,49

¿ pernos≡5

Barra 13 – 21


¿ pernos= 01676,8

=0

Pero por norma se debe colocar ¿ pernos≡2

Barra 14 – 20


¿ pernos=1993,631676,8

=1,188

¿ pernos≡2



Barra 15 – 19


¿ pernos=761,691676,8

=0,45

¿ pernos≡2

Barra 16 – 18


¿ pernos=2449,051676,8

=1,46

¿ pernos≡2

Barra 17


¿ pernos=3113,291676,8

=1,856

¿ pernos≡2

Verificación de los elementos tentativamente dimensionados, debilitados por las uniones.

An = A - AT

Donde:A = área completa sin taladrar.

AT=N ×d l×l× (2,54 )2



Donde:

AT = área taladrada para n pernosdl = diámetro con holgura

d l=d+ 116

¿

Como el diámetro es 7/8” en todas las uniones entonces dl = 1,042”

Entonces:

Barra 1 – 6

P = 10142,3 Kg.Escuadría: 4”x16”Área sin taladrar: A = 362,42 cm2

Diámetro de holgura: dl = 1,042”Longitud: dimensión real de 16” = 15,5”

AT=2×1,042×15,5× (2,54 )2

AT=208,40cm2

An=A−AT

An=362,42−208,40

An=154,02cm2

Padm=σadm× An

Padm=85×154,02

Padm=13091 ,7Kg. Como: Padm>POK

Barra 2 – 5

P = 8138,54 KgEscuadría: 4”x14”



Área sin taladrar: A = 315,66 cm2


AT=2×1,042×13,5× (2,54 )2

AT=181,51cm2

An=A−AT

An=315,66−181,51

An=134,15cm2

Padm=σadm× An

Padm=85×134,15

Padm=11402,75Kg. Como: Padm>POK

Barra 3 – 4

P = 8024 KgEscuadría: 4”x10”Área sin taladrar: A = 222,13 cm2


AT=2×1,042×9,5× (2,54 )2

AT=127,73cm2

An=A−AT

An=222,13−127,73

An=94,4cm2

Padm=σadm× An



Padm=85×94,4

Padm=8024 Kg. Como: Padm>POK

Barra 7 – 8 – 11 - 12

P = 9372,87 KgEscuadría: 4”x8”Área sin taladrar: A = 175,37 cm2


AT=2×1,042×7,5× (2,54 )2

AT=100,84 cm2

An=A−AT

An=175,37−100,84

An=74,53cm2

Padm=σadm× An

Padm=85×74,53

Padm=6335,05Kg . Como: Padm<P X

Entonces se procede a aumentar la escuadría:

Barra 7 – 8 – 11 - 12





AT=2×1,042×11,5× (2,54 )2

AT=154,62cm2

An=A−AT

An=268,90−154,62

An=114,28cm2

Padm=σadm× An

Padm=85×114,28

Padm=9713,8Kg . Como: Padm<POK

Nueva escuadría de las Barras 7 – 8 – 11 – 12 es:

4”x12”

Barra 9 - 10



AT=2×1,042×5,63× (2,54 )2

AT=75,69cm2

An=A−AT

An=131,51−75,69

An=55,82cm2

Padm=σadm× An



Padm=85×55,82

Padm=4744,7Kg. Como: Padm<P X


Barra 9 - 10



AT=2×1,042×9,5× (2,54 )2

AT=127,73cm2

An=A−AT

An=222,13−127,73

An=94,4cm2

Padm=σadm× An

Padm=85×94,4

Padm=8024 Kg. Como: Padm<POK

Nueva escuadría de las Barras 9 – 10 es:

4”x10”

Barra 13 - 21

P = 0 KgEscuadría: 4”x2”



Área sin taladrar: A = 37,99 cm2


AT=2×1,042×1,63× (2,54 )2

AT=21,92cm2

An=A−AT

An=37,99−21,92

An=16,08cm2

Padm=σadm× An

Padm=85×16,08


Barra 14 - 20



AT=2×1,042×3,63× (2,54 )2

AT=48,80cm2

An=A−AT

An=84,75−48,67

An=36,08cm2

Padm=σadm× An



Padm=85×36,08


Barra 15 - 19



AT=2×1,042×1,63× (2,54 )2

AT=21,92cm2

An=A−AT

An=37,99−21,92

An=16,08cm2

Padm=σadm× An

Padm=85×16,08


Barra 16 - 18



AT=2×1,042×5,63× (2,54 )2



AT=75,69cm2

An=A−AT

An=131,51−75,69

An=55,82cm2

Padm=σadm× An

Padm=85×55,82

Padm=4744,7Kg. Como: Padm<POK

Barra 17



AT=2×1,042×2,63× (2,54 )2

AT=35,36cm2

An=A−AT

An=61,40−35,36

An=26,04cm2

Padm=σadm× An

Padm=85×26,04

Padm=2213,4Kg . Como: Padm<P X




Barra 17



AT=2×1,042×5,63× (2,54 )2

AT=75,69cm2

An=A−AT

An=131,51−75,69

An=55,82cm2

Padm=σadm× An

Padm=85×55,82

Padm=4744,7Kg. Como: Padm<POK

Nueva escuadría de las Barras 17 es:

4”x6”


Proy. Maderas Final

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