Proy Para Una Base d Calibracion d Inst Topog y Geod__tesis

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA

“ PROYECTO PARA UNA BASE DE CALIBRACIÓN DE

INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS Y GEODÉSICOS”

TRABA JO DE TITULACIÓN PRESENTADO EN CONFORMIDAD A LOS

REQUISITOS PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO DE EJECUCIÓN

EN GEOMENSURA

PROFESOR GUÍA: JOSÉ JARA HENRIQUEZ

DANIEL GERARDO ARRIAGADA VIVAR

CRISTIÁN ALEXIS DÍAZ ARAYA

2005

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AABBSSTTRRAACCTT

The fast development that Chile has suffered in economic and social

matter, it has taken to implement new demands in matters of standardization in

all the environments and especially the big engineering works, such as

construction of the Subway, railway, highways, sea works, great bridges, and

another, that makes Chile a country recognized in the exterior.

As consequence of this change, it has become necessary to apply norms

of standardization to respect to the topographical measures in the engineering

works. Therefore, it is necessary to establish a Base of Calibration for

Topographical and Geodesic instruments being based on the norms ISO to

obtain in a better way good results in the engineering processes and

investigation.

This text will approach the Study, Configuration, Construction and the

Procedures for the establishment of the Base of Calibration, and be able to

analyze the measurements under the norms ISO 17123 and to be able to give

the user a certificate of calibration of the instrument. The study gives the

feasibility and the restrictions that exist in the moment to carry out the

construction of this Base.

Finally it is shown the new ones normative that are demanded today in

Chile and in other countries and the appropriate use of the new instruments

used in the measurement of angles, distance and differences likewise.

Keywords: Refraction, Baseline of Calibration, Instrumentation, Laser

RReessuummeenn______________________________________________________________________________________________________________

El vertiginoso desarrollo que ha sufrido Chile en materia económica y

social, ha llevado a implementar nuevas exigencias en materias de

estandarización en todos los ámbitos y en especial las grandes obras de

ingeniería, tales como construcción del Metro, líneas férreas, autopistas, obras

portuarias, puentes de gran envergadura, etc., lo que hace a Chile un país

reconocido en el exterior.

Como consecuencia de este cambio, se ha hecho necesario aplicar

normas de estandarización con respecto a las mediciones topográficas en las

obras de ingeniería. Por ende, es necesario establecer una Base de Calibración

para instrumentos Topográficos y Geodésicos basándose en las normas ISO

para obtener de mejor forma buenos resultados en los procesos de ingeniería e

investigación.

Este texto abordará el Estudio, Configuración, Construcción y los

Procedimientos para el establecimiento de la Base de Calibración, para así

poder analizar las mediciones hechas bajo las normas ISO 17123 y poder

entregar al usuario un certificado de calibración del instrumento. Dentro del

estudio se da a conocer la factibilidad y las restricciones que existen en el

momento de llevar a cabo la construcción de dicha Base.

Por último se muestra las nuevas normativas que se exigen hoy en día

en Chile y en otros países, como así también el uso adecuado de los nuevos

instrumentos utilizados en la medición de ángulos, distancias y desniveles.

Palabras Claves: Refracc ión, Línea Base de Calibración, Instrumentación, Laser.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________

Proyecto de una Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos Universidad de Santiago de Chile

3

ÍÍnnddiiccee GGeenneerraall______________________________________________________________________________________________________

Resumen

Índ ice General

Lista de Acrónimos

Capítulo I: Introdu cción

1.1. Antecedentes 8

1.2. Planteamiento del Problema 9

1.3. Estado Actual del Problema 9

1.4. Hipótesis de Trabajo 10

1.5. Objetivos 10

1.6. Descripción de la Contribución Esperada y el Producto a

Obtener del Trabajo 10

Capítulo II: Fundamento Teórico

2.1 Estadística 12

2.1.1. Ajuste de observaciones 12

2.1.2. Fuentes de Errores 12

2.1.3. Tipos de Errores 13

2.1.4. Notación utilizada en Mínimos Cuadrados 15

2.1.5. Tipos de Observaciones 15

2.1.6. Comportamiento de los Errores Aleatorios 16

2.1.7. Noción del error residual 17

2.1.8. Determinación del H.D.P. 18

2.1.9. Características de la D.F.P. 20

2.1.10. Precisión de las Observaciones. 24

2.1.11. Estudio Preliminar de las Mediciones 29

2.1.12. Ajuste por Mínimos Cuadrados 31

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


4

2.2. Incertidumbre 34

2.2.1. El mensurando 35

2.2.2. Identificación de Fuentes de Incertidumbres 35

2.2.3. Cuantificación 36

2.2.4. Evaluación tipo A 37

2.2.5. Evaluación tipo B 39

2.2.6. Distribuciones de Probabilidad 39

2.2.7. Determinación de las Incertidumbres Estándar 40

2.3. Óptica Geométrica 42

2.3.1. Aberraciones 42

2.3.2. Prismas 44

Capítulo III: Instrumentos

3.1 Teodolitos 52

3.1.1. Partes del Teodolito 54

3.1.2. Errores cometidos con el Teodolito 66

3.1.3. Efecto de la Refracción en las Visuales 71

3.2. Niveles 81

3.2.1. Clasificación de los Niveles Ópticos 81

3.2.2. Elementos de un Nivel y causas de Error en éste 82

3.2.3. Miras de Nivelación 83

3.2.4. Tipos de Niveles 85

3.3. Instrumentos EDM 90

3.3.1. Principios básicos del EDM 90

3.3.2. Tipos de medición EDM 97

3.3.3. Fuentes de Portadora 103

3.3.4. Determinación de la Velocidad de Propagación “c” 104

3.3.5. Determinación de la constante Z 105

3.3.6. Tipos de Reflectores 106

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


5

3.3.7. Errores en la Medida de Distancia 107

Capítulo IV: Base de Calibración p ara Instrumentos Topográficos y

Geodésicos

4.1. Selección del Sitio 120

4.1.1. Acceso 120

4.1.2. Terreno 120

4.1.3. Naturaleza de los Obstáculos 121

4.1.4. Localización 121

4.2. Configuración de la Base de Prueba para Teodolitos 121

4.2.1. Procedimientos para Configurar y Construir la Base de

Calibración para Teodolitos (Ángulos Horizontales) 122

4.2.2. Metodología para las Mediciones 127

4.2.3. Procedimientos para Configurar y Construir la Base de

Calibración para Teodolitos (Ángulos Verticales) 130


4.3. Configuración de la Base de Prueba para Niveles 135

4.3.1. Procedimiento para la Configuración y Construcción de

la Línea de Prueba para Niveles 135


4.4. Configuración de la Base de Prueba para EDM 139

4.4.1. Procedimientos para Realización de una Línea Base

de Calibración para EDM 142


Capítulo V: Análisis y Conclusiones 149

Anexos

Glosario

Bibliografía

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


6

LLiissttaaddoo ddee aaccrróónniimmooss uutt ii ll iizzaaddooss eenn eell tteexxttoo

IISSOO :: TTHHEE IINNTTEERRNNAATTIIOONNAALL OORRGGAANNIIZZAATTIIOONN FFOORR SSTTAANNDDAARRDDIIZZAATTIIOONN

VVIIMM :: VVOOCCAABBUULLAARRYY IINNTTEERRNNAATTIIOONNAALL OOFF MMEETTRROOLLOOGGYY

GGUUMM :: GGUUIIDDEE OOFF UUNNCCEERRTTAAIINNTTYY IINN MMEEAASSUURREEMMEENNTT

AAEELL :: AABBEERRRRAACCIIÓÓNN EESSFFÉÉRRIICCAA LLOONNGGIITTUUDDIINNAALL

AAEETT :: AABBEERRRRAACCIIÓÓNN EESSFFÉÉRRIICCAA TTRRAANNSSVVEERRSSAALL

AACCLL :: AABBEERRRRAACCIIÓÓNN CCRROOMMÁÁTTIICCAA LLOONNGGIITTUUDDIINNAALL

AACCTT :: AABBEERRRRAACCIIÓÓNN CCRROOMMÁÁTTIICCAA TTRRAANNSSVVEERRSSAALL

EEDDMM :: EELLEECCTTRROO –– OOPPTTIICCAALL DDIISSTTAANNCCEE MMEETTEERRSS

LLEEDD :: LLIIGGHHTT EEMMIITTTTIINNGG DDIIOODDEE

TTOOFF :: TTIIMMEE OOFF FFLLIIGGHHTT

HHDDPP :: HHIISSTTOOGGRRAAMMAA DDEE DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓNN DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD

DDFFPP :: DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓNN DDEE LLAA FFUUNNCCIIÓÓNN DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


7

CCaappííttuulloo II

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


8

11.. IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN____________________________________________________________________________

11..11.. AAnntteecceeddeenntteess

Por muchos años, los métodos de estandarización o comparación de

instrumentos para medir valores conocidos fueron de una baja sofisticación.

De un tiempo a esta parte, los instrumentos utilizaron métodos físicos

para realizar sus mediciones, pero surgieron nuevas perspectivas, la tecnología

hoy en día ya no usa mayoritariamente estos métodos para realizar sus

mediciones, sino que lo hace a través de la electrónica. Si bien es cierto estos

instrumentos realizan mediciones precisas usando este tipo de tecnología,

también es cierto que debido a esto nace el problema de asegurar la exactitud o

qué tan exactas son realizadas estas mediciones.

La experiencia y la comprobación de la exactitud lograda con estos

instrumento modernos, certifican la aceptabilidad de ellos, en las labores de

terreno. Dicha aceptación debe ser equilibrada por un plan esquemático que

permita asegurar una exactitud mínima, mantenida a través de la vida del

instrumento; esto implica una mantención y control del instrumento, de manera

que este entregue un buen resultado, siendo la “calibración” la fase final para

saber si el instrumento está dentro de las precisiones técnicas publicadas por el

fabricante.

Debido a la apertura del libre mercado y a las exigencias de calidad que

esta misma exige, se debe contar con la infraestructura necesaria para controlar

los procesos de producción en Chile. Por este motivo es necesario construir una

Base de Calibración para contrastar y certificar los instrumentos de medición

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


9

utilizados en el área de la Geomensura (levantamientos, replanteos, estudios de

deformaciones, etc).

11..22.. PPllaanntteeaammiieennttoo ddeell PPrroobblleemmaa

En países desarrollados, la existencia de una Base de Calibración de

Instrumentos Topográficos y Geodésicos es indispensable para poder controlar

la producción en los distintos ámbitos de la Ingeniería.

En países que cuentan con tratados comerciales con estos países

desarrollados, se hace necesario contar con recursos estandarizados

(propuestos por estos países) para el intercambio comercial, es decir, una

homogeneidad en los procesos de producción.

Se da por entendido que se refiere a procesos concernientes al estudio

de la Tierra.

Los propósitos de esta memoria es la de dar a conocer la construcción,

procedimientos y aplicaciones que tiene una Base de Calibración para estudiar

y determinar posibles errores existentes en los instrumentos.

11..33.. EEssttaaddoo aaccttuuaall ddeell pprroobblleemmaa

Como ya se mencionó anteriormente, en los países desarrollados desde

hace mucho tiempo se utilizan normas para regularizar sus métodos de

producción, hoy en día la exigencia que hacen estos países con aquellos con

los cuales sostienen tratados es que cuenten con el mismo control de calidad

que ellos.

En Chile existen organismos públicos que se encargan de la

fiscalización, y por ende exige a las empresas aquellos certificados que indican

el óptimo estado de los instrumentos empleados en la ejecución de una Obra de

Ingeniería.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


10

Es por todo lo antes descrito, que la Universidad de Santiago de Chile,

específicamente el Departamento de Ingeniería Geográfica, siendo una

institución de prestigio ha creído conveniente realizar el Proyecto de la

construcción de una Base de Calibración de Instrumentos Topográficos y

Geodésicos bajo una estandarización correspondiente a las normas ISO.

11..44.. HHiippóótteessiiss

Con el uso de una Base de Calibración, y la mejora de métodos y

procedimientos de medición bajo normas ISO, optimizan la calibración de los

instrumentos Topográficos y Geodésicos.

11..55.. OObbjjeettiivvooss

11..55..11.. OObbjjeettiivvoo GGeenneerraall

- Construir una base de calibración para certificar instrumentos utilizados

en obras de ingeniería, de acuerdo a las normas ISO.

11..55..22.. OObbjjeettiivvooss EEssppeeccííff iiccooss

- Análisis de las mediciones bajo normas ISO 17123.

- Estudiar la factibilidad y las restricciones que se tengan al momento de

construir la Base.

- Conocer de buena forma los instrumentos utilizados hoy en día y que se

desean calibrar.

11..66.. CCoonnttrr iibbuucc iióónn yy PPrroodduuccttooss EEssppeerraaddooss

Se pretende hacer una contribución al proceso de certificación de calidad

de los instrumentos geodésicos y topográficos existentes en Chile, así como

también entregar a los nuevos Geomensores las nuevas normativas existentes

en Chile para la realización de mediciones y análisis estadísticos.�

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


11

CCaappííttuulloo IIII

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


12

22.. FFuunnddaammeennttoo TTeeóórr iiccoo______________________________________________________________________

22..11.. EEssttaaddíísstt iiccaa

22..11..11.. AAjjuussttee ddee oobbsseerrvvaacciioonneess

El Ingeniero Geomensor usualmente se enfrenta con el problema de

estimar una cantidad desconocida. La observación es hecha a través de la

obtención de muchas mediciones y la adopción apropiada de un modelo

matemático, relacionando así la observación y el objeto o cosa desconocida.

• La observación requiere generalmente de una forma de instrumentación

que es utilizada para observar con mayor certeza.

• Toda observación contiene errores.

• Un error es la diferencia entre la cantidad observada y el valor verdadero

(el cual nunca es conocido).

e = l – t

Donde:

e = error verdadero.

l = valor observado.

t = valor verdadero.

• Pero el valor t nunca es conocido.

• Sin embargo, ambas cantidades pueden ser estimadas.

v = x – l

Donde:

v = error estimado (residuo).

x = valor estimado (media aritmética).

22..11..22.. FFuueenntteess ddee EErrrroorreess

• Personales: limitación del observador (habilidad de repetir la misma

medida), descuido del observador.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


13

• Instrumentales: debido a imperfecciones en el instrumento o un ajuste

incompleto de este mismo (ejemplo: graduación incorrecta).

• Naturales: debido a cambios en las condiciones ambientales cuando se

realizan medidas (ejemplo: variación de la temperatura, que hace dilatarse

o contraerse a una cinta).

��

22..11..33.. TTiippooss ddee EErr rroorreess

22..11..33..11 EErrrroorreess GGrroosseerrooss oo FFaallttaass

• Característica: esta magnitud es significativamente muy diferente,

ya sea grande o pequeña, a los valores medidos (observación

anormal).

• Fuente: errores personales(descuido del observador).

• Efecto: las observables son heterogenias.

• Tratamiento: debe ser detectado y eliminado inmediatamente de las

mediciones.

Ejemplo: medición de distancia.

31.1 m, 31.2 m, 31.4 m, 13.4 m.

�

Figura N° 1, Gráfica de Errores.

Fuente: Elaboración Propia.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


14

22..11..33..22 EErrrroorreess SSiiss tteemmááttiiccooss

• Característica: ocurre según un sistema determinado, cuando se

conoce, puede ser relacionado a través de una función.

• Fuente: instrumental, natural, etc.

•• Efecto: cambia toda la observación, puede ser constante si la

magnitud y signo permanece igual durante el proceso de medición.

•• Tratamiento: debe ser detectado y corregido. Ejemplo: ajustar el

instrumento antes de ser utilizado.

•• Puede ser eliminado por:

1. Ajustando el instrumento.

22.. Utilizando procedimientos seguros durante la medida,

ejemplo: en la medición con niveles, el error de colimación

puede ser minimizado midiendo distancias iguales.

22..11..33..33.. EErrrroorreess AAlleeaattoorr iiooss

• Característica: son errores sobrantes, luego de haber removido los

errores sistemáticos y groseros.

• Estos errores no tienen ninguna relación funcional, por ende son

tratados por modelos estocástico (Probabilidades).

• Fuente: personal, natural e instrumental.

• No pueden ser generalmente eliminados, sin embargo pueden ser

minimizados tomando observaciones redundantes y aplicando el

llamado “Método de mínimos cuadrados”. Este proceso está

referido al “Ajuste de Observaciones”

• Basados en los hechos antes mencionados, no se puede buscar el

valor verdadero, solo se puede obtener una estimación para valor

verdadero.

• La variación existente entre la medida y el valor estimado es

pequeña.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


15

22..11..44 NNoottaacciióónn uuttii ll iizzaaddaa eenn MMíínniimmooss CCuuaaddrraaddooss

Parámetros: son las cantidades desconocidas, anotadas:

[ ]Tixxxxx ,,,, 321 �=

Donde:

i = números desconocidos

Observaciones:

[ ]TnllllL ,,,, 321 �=

Donde:

n = número de observaciones (medidas).

Modelo Matemático:

( ) 0, =lxf

Función que relaciona a “x” y “l”.

22..11..55.. TTiippooss ddee OObbsseerrvvaacciioonneess

• Observación Directa bajo cond iciones similares.

Para que ocurra esta situación en una medición, debe estar

el mismo observador, el instrumento y las condiciones de campo

deben ser similares a la primera vez que se realizó la medición.

Ejemplo: en la medición de un ángulo.

Parámetro: x = α, i = l

Observaciones: L = [α1, α2,..., αn]

Modelo Matemático: ( )Laritméticamediax =

B ajo con d ic iones s im ila res B a jo con d ic ion es d iferen tes

D irectas In d irec tas

Tip os d e O b s ervac ion es

(1)

(2)

(3)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


16

• Observación Directa bajo cond iciones diferentes.

Para que ocurra esta situación, debe pasar

exactamente lo contrario que en el caso anterior, es decir,

puede ser cualquier observador, instrumento y condiciones

de campo diferentes.

• Observación Ind irecta.

Ejemplo: medición de una altura usando ángulo y distancia.

Parámetro:

x = h, i = l

Observaciones:

L = [θ, d]

Modelo Matemático:

( ) ihdx +⋅= θtan

22..11..66.. CCoommppoorrttaammiieennttoo ddee llooss EErrrroorreess AAlleeaattoorr iiooss

Para hacer más sencillo el análisis, se considerará un caso de

medición Directa bajo condiciones similares, y se asumirá que todas

las medidas están libres de errores groseros y además fueron

corregidos todos los errores sistemáticos.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


17

Caso Práctico Caso aleatorio

Caso teórico

Número de

Observaciones

finitonúmeron → ∞→n

Variable Muestra aleatoria

L = (l1, l2,..., ln)

Variable aleatoria

Estimador )( aritméticamedia

n

lx

i∑= )( verdaderovalortx →

Errores Residuos

( )∑ =−= 011 vlxv i

Error verdadero

ii lt −=ε

Extensión del error

(Distribución del

error)

Frecuencia relativa

Rango = vmáx - vmín

Frecuencia relativa

Distribución de la Función

de Probabilidad

22..11..77.. NNoocciióónn ddeell eerr rroorr rreess iidduuaall

Los residuos expresan el grado de cercanía de las medidas, por lo

tanto, el valor (v) puede ser utilizado como expresión de la precisión

de x (y también la precisión del observador al realizar la medición).

Ejemplo, dos observadores A y B miden el mismo ángulo.

A B

V1 = +2” V1 = +5”

V2 = -1” V2 = -3”

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


18

V3 = +1” V3 = +2”

V4 = 0 V4 = -3”

V5 = -2” V5 = -4”

--------- V6 = +3”

Ahora, se define el rango donde cambia el residuo:

Rango (v) = vMÁX. -vMÍN

Rango A = 2” – (-2”) = 4” ; Rango B = 5” – (-4”) = 9”

Por lo tanto, el rango A es menor que el rango B.

Por último, se concluye que el ángulo leído por el observador A es más

preciso que el leído por B.

22..11..88.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddeell HHiiss ttooggrraammaa ddee DDiissttrr iibbuucciióónn ddee llaa PPrroobbaabbii ll iiddaadd

1. Cálculo del parámetro estimador:

n

lxx

i∑==

2. Cálculo de los residuos de cada observación:

ii lxv −=

3. Cálculo del rango de los residuos:

Rango = vMÁX -vMÍN

4. División del rango en k intervalos iguales ∆j (j = 1, 2, ..., k).

5. Cálculo de la Frecuencia Relativa para cada intervalo.

j

j

jn

nf

∆⋅=

Donde:

nj = es el número de residuos que están dentro del límite de ∆j

(4)

(5)

(6)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


19

OObbtteenncciióónn ddee uunn áárreeaa ddeell HHiissttooggrraammaa..

Características:

• El área bajo el histograma es = 1.

11

1

1

1

1

1

===

=

∆⋅∆⋅

=

∆⋅=

=

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

n

nn

nA

n

nA

n

nA

fA

AA

k

jjHDP

k

j

j

HDP

k

j

j

HDP

k

jiHDP

k

jiHDP

HHiissttooggrraammaa..

• El histograma puede ser utilizado para registrar la probabilidad.

( )2121 vavAvPv =≤≤

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


20

22..11..99.. CCaarraacctteerrííssttiiccaass ddee llaa DDiissttrr iibbuucciióónn ddee FFuunncc iióónn ddee PPrroobbaabb ii ll iiddaadd

Muchos estudiosos, a través de la Historia de la Estadística, han tratado

de describir la curva de Distribución de la Función de Probabilidad. Pero solo se

ha llegado a aceptar el modelo dado por Gauss, que dice:

( ) 22ε

πε he

hG −⋅=

e= 2,71828

DDiissttrriibbuucciióónn ddee llaa FFuunncciióónn ddee PPrroobbaabbiill iiddaadd,, sseeggúúnn GGaauussss..

Nota: h es solamente el parámetro que describe completamente la forma de la

Distribución de la Función de Probabilidad de Gauss.

• ( )πh

G =0

• h es usualmente llamado “índice de precisión”.

• Luego el área bajo la curva es igual a uno, entonces la altura de la

Distribución de la Función de Probabilidad (largo de h), indicará una

mayor precisión.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


21

MMuueessttrraa ddee ddooss ddiissttrriibbuucciioonneess iinnddiiccaannddoo ccuuááll eess mmááss pprreecciissaa..

22..11..99..11.. PPrrooppiieeddaaddeess ddee llaa DDiissttrr iibbuucciióónn ddee llaa FFuunncciióónn ddee PPrroobbaabbii ll iiddaadd ddee

GGaauussss

1. Área bajo la curva igual a 1.

( ) 1=∫+∞

∞−εε dG

2. Curva simétrica, ε = 0. Errores positivos y negativos tienen la misma

probabilidad que ocurran (errores no sistemáticos).

P(ε) = P(-ε)

SSiimmeettrrííaa ddee llaa FFuunncciióónn..

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


22

3. Ordenada máxima ε = 0. La probabilidad de errores muy pequeños es

muy alta.

4. El eje de las ε es asintótica, ±∞=ε . La probabilidad de errores muy

grandes es despreciable. (esto es, errores no groseros)

5. Tiene dos puntos de inflexión 2

1

⋅±=

hε . Estos puntos de inflexión se

obtienen igualando la segunda derivada de la función a cero

( )0

2

2

=∂

∂−ε

εG.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


23

GGrrááffiiccaa ddee llooss ppuunnttooss ddee iinnfflleexxiióónn..

6. Propiedades estadísticas

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )∫∫

∫∫

=≤≤

−=

==≥

==≤

∞−

∞

∞−

1

1

2

1

2

1

21

22

11

1

ε

ε

ε

ε

ε

εεεεε

εε

εεεε

εεεε

dGP

dG

AdGP

AdGP

22..11..1100.. PPrreecciissiióónn ddee llaass OObbsseerrvvaacciioonneess

La calidad de una observación se puede apreciar por el grado de

aproximación que proporciona, es decir, por la magnitud de su error verdadero.

El grado de aproximación que proporciona esta observación es lo que

constituye la precisión de esta observación. Sin embargo, todas las mediciones

están sujetas a errores accidentales que impiden conocer el verdadero valor de

una observación (ángulo, distancia), esta gran limitante no permite el poder

conocer el error verdadero de una medición y como consecuencia de esto no se

puede conocer el valor verdadero de ella. Existen dos métodos para comprobar

que la medición realizada efectivamente corresponde, aunque sea

aproximadamente a la realidad física del terreno:

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


24

1. Se debe repetir la operación de medición y observar luego en cuanto

difiere del resultado anterior.

2. Medir varias magnitudes relacionadas entre sí, observando

posteriormente hasta que punto estas mediciones guardan concordancia

entre ellas.

En ambos casos, estas observaciones auxiliares que se realizan para

poder formarse una idea de la precisión de las observaciones, se llaman

observaciones redundantes. Como consecuencia que siempre los valores

elementales de cada observación adquieren valores distintos y se asocian de

diferente modo, los valores que proporcionan las observaciones redundantes,

generalmente difieren entre ellas y de la primera observación. Si se supone que

todas las observaciones se han realizado con igual cuidado y que por

consiguiente, todas merecen igual grado de confianza, surge entonces la duda

de cómo proceder a elegir la magnitud medida que tome en cuenta los valores

encontrados en todas las observaciones realizadas sobre dicha magnitud. La

solución de este problema constituye el objeto del cálculo de compensación de

los errores de observación, esto quiere decir, que se deducirán de todas las

observaciones disponibles de una magnitud supuesta de libre de

equivocaciones y de errores sistemáticos, el valor que este más cerca del

verdadero, se encontrará el Valor más Probable de la Magnitud, en la cual

estén tomadas en cuenta los valores de todas las mediciones, obtenido este

valor encontrar la precisión obtenida con el resultado, es decir, el error de que

estaría afecto el valor calculado como valor más probable. Se adoptará como

valor más probable de una magnitud a la Media Aritmética, que representará a

la suma de todos los valores dividida por el número de mediciones realizadas.

Ejemplo: se tiene una distancia, L, en la que se han realizado n medidas:

nllll ,,,, 321 �

se define como media aritmética:

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


25

n

llllx n++++

=�321

22..11..1100..11.. PPrrooppiieeddaaddeess ddee llaa MMeeddiiaa AArr ii ttmmééttiiccaa

La media Aritmética representa el valor más probable de un conjunto de

observaciones no agrupadas, medidas con igual grado de confianza, porque

cumple las propiedades que a continuación se demostrarán:

a) La suma de los residuos obtenidos es cero, llamando residuos a las

diferencias de cada observación respecto a la Media Aritmética.

nn vlx

vlx

vlx

vlx

=−

=−=−=−

...

...33

22

11

Definiendo a los residuos por v se tendrá que realizar la suma de ellos,

obteniendo:

)...(

)(...)()()(...

321

321321

n

nn

llllxnv

lxlxlxlxvvvv

++++−⋅=

−++−+−+−=++++

∑

xnlSi ⋅=∑

Se tendrá que:

0=⋅−⋅=∑ xnxnv

Por lo tanto se comprueba que:

0=∑v

b) Si la suma de los cuadrados de los residuos es mínima, el valor más

probable es la Media Aritmética de los valores obtenidos de la magnitud

observada.

(7)

(8)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


26

( ) ( ) ( ) ( )nn lxlxlxlxvvvv −++−+−+−=++++ ...... 32122

322

21

Para encontrar el mínimo de esta expresión se buscará su primera derivada y

se igualará a cero:

( ) ( ) ( ) ( )0...(

0...

321

321

=++++−⋅=−++−+−+−

n

n

llllxn

lxlxlxlx

De esta expresión se puede deducir:

( )n

llllx n++++

=...321

Esta última demostración señala que la Media Aritmética de un conjunto de

observaciones no agrupadas, medidas con el mismo grado de confianza,

equivale a considerar que la suma de los cuadrados de los residuos tiende a ser

cero o mínima, en consecuencia la media Aritmética es el valor más probable

de las mediciones realizadas para tratar de conocer el valor de una determinada

magnitud (angular o de distancia).

Considerando entonces como precisión en una serie de observaciones

realizadas respecto a una magnitud, el grado de acercamiento que se ha

obtenido de cada una de las observaciones con respecto a la Media Aritmética

que representa el valor más probable de esa magnitud observada, luego al

considerar este concepto para evaluar la precisión de una medición realizada,

es obvio utilizar para su medida el valor que entrega la sumatoria al cuadrado

de los residuos, si este valor es mínimo es posible en considerar que la

precisión de la medición es alta, cuanto más pequeña es dicha suma, más

próximos estarán los valores xi observados y como lógica consecuencia de esto

más confiable será el valor de la Media Aritmética que se obtenga. De este

breve análisis se desprende que la expresión matemática que entrega la

Desviación Estándar está dada por la expresión ( )( )12 −∑ nv , la cual mide la

dispersión de las distintas medidas respecto a la Media.

(9)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


27

El Error Medio Cuadrático de la Media Aritmética, es el error medio

cuadrático de una observación aislada dividida por la raíz cuadrada del número

total de observaciones realizadas, quedando expresada por la fórmula que ha

continuación se indica:

nM

σ±=

El Error Probable queda definido por la expresión siguiente:

MW ⋅±= 6745,0

Este error probable equivale a un 50% de nivel de confianza, es decir,

con este valor se define la tolerancia de rechazo en mediciones. En términos

simples, para cualquiera observación única, la probabilidad es la mitad de que

su error sea más grande o más pequeño que el error probable del 50%.

Aunque si se desea obtener un nivel de confianza mayor es

recomendable utilizar un error probable del 90%.

22..11..1100..22.. EErrrroorreess ddee llaass FFuunncciioonneess ddee MMaaggnnii ttuuddeess MMeeddiiddaass

Tanto en Topografía como en Geodesia, las magnitudes buscadas se

obtienen frecuentemente por medio de cálculo, en función de las magnitudes

observadas. De acuerdo a lo anterior se puede apreciar que el error de una

función dependerá de los errores de los argumentos a partir de los cuales se

calcula esta.

Los errores verdaderos de los argumentos medidos no son posibles de

poder conocer y los errores verdaderos de las funciones pueden ser

encontrados solo en aquellos casos en que se conoce la magnitud teórica de la

función, como por ejemplo: la suma de los desniveles de un polígono altimétrico

(10)

(11)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


28

cerrado. El error de la función puede obtenerse como la diferencia entre la

magnitud medida de la función y el valor teórico de ella, esta diferencia se

denomina “Error de Cierre”.

El cálculo de los errores de las funciones de acuerdo a los errores

conocidos de los argumentos, se presentan en dos casos que son:

i. Los de argumentos correlacionados.

ii. Los de argumentos no correlacionados.

Dos o más variables aleatorias se llaman correlacionadas linealmente si

los coeficientes de correlación de enlace estadístico par son diferentes de cero,

en caso contrario, serán no correlacionadas linealmente. De esta manera, las

variables aleatorias x, y, z se consideran no correlacionadas si los coeficientes

de correlación φ=== RyzRxzRxy y correlacionadas si

φφφ ≠≠≠ RyzRxzRxy ,, .

En los proyectos de observación, uno de los requisitos principales es

asegurar condiciones, para las cuales, los resultados de las mediciones

diversas de una misma magnitud sean, en lo posible, independientes entre sí.

Considerando que en los argumentos no correlacionados los coeficientes

de correlación son iguales a cero, se deriva que el error estándar (error medio

cuadrático) de una función es el siguiente:

22

2

2

22

... nyxFn

F

y

F

x

F σσσσ ⋅

∂∂++⋅

∂∂+⋅

∂∂=

De esta forma se tiene que:

El error medio cuadrático de una función de argumentos no

correlacionados, es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los

productos de las derivadas parciales de la función, según cada uno de los

argumentos por el error medio cuadrático del argumento correspondiente.

(12)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


29

22..11..1111.. EEssttuuddiioo PPrreell iimmiinnaarr ddee llaass MMeeddiicciioonneess

El estudio preliminar de las mediciones que se van a realizar,

corresponde al análisis de cada una de las componentes del proyecto. Este

trabajo es muy útil ya que entrega los elementos necesarios para obtener una

buena estimación de la exactitud que se desea lograr en alguna medición tanto

en trabajos topográficos como de orden geodésico, como consecuencia de esto

se podrá encontrar las tolerancias que se deben imponer al trabajo y además,

permitirá seleccionar en forma adecuada los instrumentos, personal y métodos

de medición.

Considérense que todas las componentes de las mediciones que se van

a analizar están libres de la influencia provocada por los errores sistemáticos,

esto significará que se podrá utilizar los elementos de estadística ya

mencionados para medir la precisión de las mediciones a realizar, se asumirá

también que todas las mediciones son independientes.

a) Funciones lineales.

Si Y es una función lineal de mediciones independientes x1, x2,..., xn

xnaxaxaY n ⋅++⋅+⋅= ...2211

la desviación estándar de la función es: 2222

222

12 ...

21 nXnXXY aaa σσσσ ⋅++⋅+⋅=

Donde a1, a2, a3, ..., an son coeficientes constantes y σ2X1, σ2

X2, ...,σ2Xn

son las respectivas desviaciones estándar de x1, x2, x3, ...,xn y σ2y es la

desviación estándar de la función Y.

b) Funciones no lineales.

Si Y es una función no lineal de mediciones independientes x1, x2,

...,xn, se tendrá:

2

2

2

2

2

2

2

1

2 ...21 nx

nxxY

x

Y

x

Y

x

Y σσσσ ⋅

∂∂++⋅

∂∂+⋅

∂∂=

(13)

(14)

(15)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


30

Además de utilizar las fórmulas N° 14 y N° 15 para el estudio preliminar

de la precisión que tendrá la función a evaluar, se realiza también el análisis de

las precisiones que se necesitan de las mediciones a efectuarse en orden a

obtener una determinada precisión de la función.

Asumiendo que cada medición contribuye de igual manera en

el resultado final de la precisión a obtener, de acuerdo al tipo de función que se

estudie, se tendrá:

I) Funciones lineales.

22222

221

2

...21 nxnxx

Y aaan

σσσσ ⋅==⋅=⋅=

de lo cual se obtendrá la siguiente relación:

nai

Yx ⋅

= σσ1

siendo i = 1, 2, 3, ..., n

Donde |ai| es el valor absoluto de ai

II) Funciones no lineales.

Nuevamente se asume que cada medición realizada contribuye en igual

forma en la precisión de la función.

2

2

2

2

2

2

2

1

2

...21 nx

nxx

Y

x

Y

x

Y

x

Y

nσσσσ

⋅

∂∂==⋅

∂∂=⋅

∂∂=

nx

Y

i

Yxi

⋅∂∂

=σσ i = 1, 2, 3, ..., n

Cuando una medición que ingresa al cálculo contribuye igualitariamente

a la precisión del resultado final, se dice que las mediciones tienen una

precisión balanceada.

(16)

(17)

(18)

(19)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


31

(20)

22..11..1122.. AAjjuussttee ppoorr MMíínniimmooss CCuuaaddrraaddooss

Ecuaciones de Observación

Las ecuaciones que relacionan las cantidades medidas con sus errores

observacionales residuales y con parámetros independientes y desconocidos,

se llaman Ecuaciones de Observación. Una tal ecuación se escribe para cada

observación. Para una solución singular el número de ecuaciones debe ser

igual al número de incógnitas; en un caso normal existen más ecuaciones que

incógnitas lo que permite determinar valores más probables de las incógnitas

basados en el principio de mínimos cuadrados.

Por ejemplo, se consideran tres ecuaciones de observación:

2.0)3

5.12)2

0.3)1

=−=−=+

yx

yx

yx

Estas tres ecuaciones relacionan las dos incógnitas, x y, y con las

cantidades observadas. Los valores para x e y podrían obtenerse de cualquiera

de dos de esas ecuaciones, para que la ecuación restante fuera redundante.

Estas tres ecuaciones han sido escritas como resultado de mediciones, las

cuales evidentemente contienen errores. Estas ecuaciones pueden escribirse

como sigue:

3

2

1

2.0)6

5.12)5

0.3)4

vyx

vyx

vyx

=−−=−−=−+

Al parecer v1 = v2 = 0, y v3 = -0.2, es una buena solución, pero no es así; se

pueden obtener otros valores para los v que harán de la suma de sus

cuadrados un valor más pequeño, de esta se obtienen los valores de x e y más

probable, y se denomina solución de los Mínimos Cuadrados.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


32

Para llegar a esta solución, se elevan al cuadrado las ecuaciones, luego

se suman para entregar una función f(x,y) = Σv2, como sigue:

( )( )( )22

3

222

221

2.0

5.12

0.3

−−=

−−=

−+=

yxv

yxv

yxv

Sumando estas ecuaciones se obtiene:

( ) ( ) ( )2222 2.05.120.3 −−+−−+−+=∑ yxyxyxv

Posteriormente se deriva parcialmente esta ecuación con respecto a ambas

incógnitas y se iguala a cero quedando:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )12.0215.1220.320

2.0225.1220.320

2

2

−−−+−−−+−+==∂∑∂

−−+−−+−+==∂∑∂

yxyxyxy

v

yxyxyxx

v

Ambas reciben el nombre de Ecuaciones Normales. Estas ecuaciones

se resuelven de manera individual de acuerdo al cálculo elemental, quedando

de la siguiente forma:

03.132)2

02.626)1

=−+−=−−

yx

yx

Resolviendo se obtiene:

x = 1.514 e y = 1.442

Si se realiza una comparación entre la solución aproximada y esta de los

mínimos cuadrados se obtiene el siguiente resultado:

(21)

(22)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


33

025.0

016.0128.0

007.0086.0

002.0044.0

2

233

222

211

=∑

=−=

==

=−=

v

vv

vv

vv

cuadradosmínimosporSolución

La suma de los cuadrados de los residuos empleando mínimos

cuadrados es más pequeña, lo que indica que a través de este método se logra

el mejor ajuste posible.

04.0

04.02.0

00

00

AproximadaSolución

2

233

222

211

=∑

==

==

==

v

vv

vv

vv

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


34

22..22.. IInncceerr ttiidduummbbrree

En el universo todos los fenómenos y procesos observables que tienen

lugar en la naturaleza ocurren según leyes determinadas. Esos fenómenos y

procesos generalmente pueden ser relacionados para conocer su magnitud

física o características de los mismos cuyas variaciones siempre han de

determinarse cuantitativamente por medio de mediciones. El valor numérico de

tales magnitudes se obtiene como resultado de la medición experimental sobre

el fenómeno y un análisis adecuado de tales valores numéricos permitirá

alcanzar uno de los objetivos principales que es el de establecer dentro de

ciertos límites las leyes que gobiernan tales fenómenos o procesos.

La interpretación teórica de los fenómenos toma en cuenta dos factores:

uno de ellos es el hecho de que los resultados de las mediciones raramente se

pueden conocer con exactitud debido a la presencia de errores experimentales

de diferentes orígenes, el otro, como una consecuencia de tales errores

experimentales, los resultados de los cálculos tienen también cierto error, por

ello es necesario desarrollar tanto los procedimientos más adecuados para

localizar y estimar esos errores experimentales, así como de los métodos de

cálculo que arrojen resultados con la mayor aproximación posible. De esta

forma se tendrá un uso adecuado de la información proporcionada por las

observaciones.

Todas las mediciones tienden a ser afectadas por errores

experimentales, e independientemente del tipo de experimento o análisis de sus

resultados, son debidos a diferentes orígenes dentro de los cuales se tienen al

menos el instrumento de medición y el observador mismo.

Cuando se informa el resultado de una medición, de alguna magnitud

física, es necesario proporcionar en forma correcta la indicación cuantitativa de

la calidad del resultado de manera que el usuario pueda apreciar su

confiabilidad. Sin esta indicación, los resultados de los valores no pueden ser

comparados entre ellos mismos ni con respecto a valores de referencia dados

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


35

en ciertas especificaciones o normas. Por lo tanto, es importante que exista,

como ya se mencionó, un procedimiento para caracterizar la calidad del

resultado de una medición, esto es, para evaluar y expresar su incertidumbre.

22..22..11.. EEll mmeennssuurraannddoo

El propósito de una medición es estimar el valor de una magnitud,

llamada el mensurando, que de acuerdo al VIM, es el atributo sujeto a medición

de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente

y determinado cuantitativamente. La definición del mensurando es vital para

obtener buenos resultados de la medición. En no pocas ocasiones se mide algo

distinto al propósito original.

La imperfección natural de la realización de las mediciones, hace

imposible conocer con certeza absoluta el valor verdadero de una magnitud:

Toda medición lleva implícita una incertidumbre, que de acuerdo al VIM, es un

parámetro que caracteriza la dispersión de los valores que pueden ser

atribuidos razonablemente al mensurando.

El resultado de una medición incluye la mejor estimación del valor del

mensurando y una estimación de la incertidumbre sobre ese valor. La

incertidumbre se compone de contribuciones de diversas fuentes, algunas de

ellas descritas por las magnitudes de entrada ( denominación dada por la GUM)

respectivas. Algunas contribuciones son inevitables por la definición del propio

mensurando, mientras otras pueden depender del principio de medición, del

método y del procedimiento seleccionados para la medición.

22..22..22.. IIddeenntt ii ff iiccaacciióónn ddee FFuueenntteess ddee IInncceerrtt iidduummbbrreess

Una vez determinados el mensurando, el principio, el método y el

procedimiento de medición, se identifican las posibles fuentes de

incertidumbre. Estas provienen de diversos factores involucrados en la

medición, por ejemplo:

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


36

• Los resultados de la calibración del instrumento.

• La incertidumbre del patrón.

• La repetibilidad de las lecturas.

• La reproducibilidad de las mediciones por cambio de observadores,

instrumentos u otros elementos: características del propio instrumento,

como resolución, histéresis, deriva, etc.

• Variaciones de las condiciones ambientales.

No es recomendable desechar alguna de las fuentes de incertidumbre

por la suposición de que es poco significativa sin una cuantificación previa de su

contribución, comparada con las demás, apoyada en mediciones. Es preferible

la inclusión de un exceso de fuentes que ignorar algunas entre las cuales

pudiera descartarse alguna importante. No obstante, siempre estarán presentes

efectos que la experiencia, conocimientos y actitud crítica del Geomensor

permitirán calificar como irrelevantes después de las debidas consideraciones.

22..22..33.. CCuuaanntt ii ffiiccaacc iióónn

En la literatura (GUM) se distinguen dos métodos principales para

cuantificar las fuentes de incertidumbre: el Método de Evaluación Tipo A que

está basado en un análisis estadístico de una serie de mediciones, mientras el

Método de Evaluación Tipo B comprende todas las demás maneras de estimar

la incertidumbre.

Cabe mencionar que esta clasificación no significa que exista alguna

diferencia en la naturaleza de los componentes que resultan de cada uno de los

dos tipos de evaluación, puesto que ambos tipos están basados en

distribuciones de probabilidad. La única diferencia es que en una evaluación

tipo A se estima esta distribución basándose en mediciones repetidas obtenidas

del mismo proceso de medición mientras en el caso de tipo B se supone una

distribución con base en experiencia o información externa al Geomensor. En la

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


37

práctica esta clasificación no tiene consecuencia alguna en las etapas

siguientes para estimar la incertidumbre combinada.

22..22..44.. EEvvaalluuaacc iióónn tt iippoo AA

La incertidumbre de una magnitud de entrada Xi obtenida a partir de

observaciones repetidas bajo condiciones de repetibilidad, se estima con base

en la dispersión de los resultados individuales. Si Xi se determina por “n”

mediciones independientes, resultando en valores q1, q2, ..., qn, el mejor

estimado xi para el valor de Xi es la media de los resultados individuales:

∑=

⋅==n

jji q

nqx

1

1

La dispersión de los resultados de la medición q1, q2, ..., qn para la magnitud de

entrada Xi se expresa por su desviación estándar experimental:

( )

1)( 1

2

−

−=

∑=

n

qq

q

n

ji

σ

La incertidumbre estándar u(xi) de Xi se obtiene finalmente mediante el cálculo

de la desviación estándar experimental de la media:

tn

qqxu i ⋅== )(

)()(σσ

En cuanto al factor t, este se puede ver en la siguiente tabla y está

basado en la distribución t de Student, para una distribución normal. Este factor

de corrección debe aplicarse principalmente, cuando se disponga de menos de

10 mediciones, es decir n < 10 principalmente.

(23)

(24)

(25)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


38

Número tde k=1

observaciones.

p = 68,27%

2 1,8403 1,3204 1,2005 1,1406 1,1107 1,0908 1,0809 1,070

10 1,060100 1,005

1,000∞

p = nivel de confianza

TTaabbllaa NNºº 11..

No se puede dar una recomendación general para el número ideal de las

repeticiones “n”, ya que éste depende de las condiciones y exigencias (meta

para la incertidumbre) de cada medición específica. Hay que considerar que:

• Aumentar el número de repeticiones resulta en una reducción de la

incertidumbre por repetibilidad, la cual es proporcional a n1 .

• Un número grande de repeticiones aumenta el tiempo de medición, que

puede ser contraproducente, si las condiciones ambientales u otras

magnitudes de entrada no se mantienen constantes en este tiempo.

• En pocos casos se recomienda o se requiere “n” mayor de 10. Por

ejemplo cuando se caracterizan instrumentos o patrones, o se hacen

mediciones o calibraciones de alta exactitud.

Otras fuentes de incertidumbre que se evalúan con este método son la

reproducibilidad y las obtenidas al hacer una regresión lineal.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


39

22..22..55.. EEvvaalluuaacc iióónn tt iippoo BB

En una evaluación tipo B de la incertidumbre de una magnitud de entrada

se usa información externa u obtenida por experiencia. Las fuentes de

información pueden ser:

• Certificados de calibración.

• Manuales del instrumento, especificaciones del instrumento.

• Valores de mediciones anteriores.

• Conocimiento sobre las características o el comportamiento del sistema

de medición.

22..22..66.. DDiiss ttrr iibbuucciioonneess ddee PPrroobbaabbii ll iiddaadd

La cuantificación de una fuente de incertidumbre incluye la asignación de

un valor y la determinación de la distribución a la cual se refiere este valor. Las

distribuciones que aparecen más frecuentemente son:

2.2.6.1. Distribución Normal

Los resultados de una medición repetida afectada por magnitudes

de influencia que varían aleatoriamente, generalmente siguen en buena

aproximación una distribución normal. En particular, la distribución de la

media de una serie de mediciones repetidas se aproxima a una normal

independientemente de la distribución de las lecturas individuales.

También la incertidumbre indicada en certificados de calibración se

refiere generalmente a una distribución normal.

2.2.6.2. Distribución Rectangular

En una distribución rectangular cada valor en un intervalo dado

tiene la misma probabilidad, o sea la función de densidad de probabilidad

es constante en este intervalo. Ejemplos típicos son la resolución de un

instrumento digital o la información técnica sobre tolerancias de un

instrumento. En general, cuando exclusivamente hay conocimiento de los

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


40

límites superior e inferior del intervalo de variabilidad de la magnitud de

entrada, lo más conservador es suponer una distribución rectangular.

2.2.6.3. Distribución Triangular

Si además del conocimiento de los límites superior e inferior hay

evidencia de que la probabilidad es más alta para valores en el centro del

intervalo y se reduce hacía los límites, puede ser más adecuado basar la

estimación de la incertidumbre en una distribución triangular.

2.2.6.4. Otras distribuciones

Pueden encontrarse también distribuciones en forma de U, en la

cual los extremos del intervalo presentan los valores con probabilidad

máxima, típicamente cuando hay comportamientos oscilatorios

subyacentes.

22..22..77.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaass IInncceerr ttiidduummbbrreess EEssttáánnddaarr

Con el fin de combinar contribuciones de la incertidumbre que tienen

distribuciones diferentes, es necesario representar los valores de las

incertidumbres originales como incertidumbres estándar. Para ello se determina

la desviación estándar de la distribución asignada a cada fuente.

2.2.7.1. Distribución Normal

La desviación estándar experimental de la media calculada a partir de

los resultados de una medición repetida, ya representa la incertidumbre

estándar.

Cuando se dispone de valores de una incertidumbre expandida U

(ver Anexo A) y la distribución del mensurando es o se supone normal,

como los presentados por ejemplo en certificados de calibración, se

divide U entre el factor de cobertura k, obtenido ya sea directamente o a

partir de un nivel de confianza dado.

k

Uxu i =)( (26)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


41

2.2.7.2. Distribución Rectangular

Si la magnitud de entrada Xi tiene una distribución rectangular con el

límite superior a+ y el límite inferior a-, el mejor estimado para el valor de

Xi está dado por:

2)( −+ +

=aa

xu i

Y la incertidumbre estándar por (ver Anexo A):

12)( −+ −

= aaxu i

o por:

3

2)(

axu i =

donde a/2 es el semiancho del intervalo a con: a = a+ - a-

Una aplicación típica es la resolución de un instrumento digital. También

la incertidumbre relacionada con el número finito de cifras significativas

de datos tomados puede ser tratada con esta distribución (siempre y

cuando no haya indicios que la incertidumbre en realidad es mayor que la

incertidumbre relacionada con la última cifra significativa). Si se aplica a

la resolución o a datos tomados, a, corresponde al último dígito

significativo o a la última cifra significativa respectivamente.

2.2.7.3. Distribución Triangular

Como en una distribución rectangular, para una magnitud de entrada

Xi que tiene una distribución triangular con los límites a+ y a-, el mejor

estimado para el valor de Xi está dado por:

2−+ +

= aaxi

La incertidumbre estándar se calcula en este caso por:

6

2/

24)(

aaaxu i =

−= −+

(27)

(28)

(29)

(30)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


42

22..33.. ÓÓpptt iiccaa GGeeoomméétt rr iiccaa

22..33..11.. AAbbeerr rraacc iioonneess

Existen dos clasificaciones, las llamadas aberraciones cromáticas (las

cuales surgen del hecho que “n” es realmente función de la frecuencia o color) y

las aberraciones monocromáticas. Las últimas ocurren aun cuando la luz se

altamente monocromática, y ellas a su vez están divididas en dos subgrupos.

Hay aberraciones monocromáticas, las cuales deterioran la imagen haciéndola

confusa, tales como aberración esférica, coma y astigmatismo.

Para la Geomensura solo interesan las aberraciones cromáticas y

esféricas.

22..33..11..11 AAbbeerrrraacciióónn EEssfféérr iiccaa

Esta aberración se refiere principalmente a la calidad de la imagen

de un punto. Se presenta cuando hay un comportamiento diferente de los

rayos marginales respecto a los rayos centrales, procedentes todos de

un punto del eje óptico, cuando pasan a través de un sistema óptico de

apertura suficientemente grande. Tal como se manifiesta en la Figura Nº

2, los rayos marginales dan una imagen de P en el punto P’m y los rayos

centrales la dan en el punto P’c.

FFiigguurraa NNºº 22,, AAbbeerrrraacciióónn eessfféérriiccaa..

FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn PPrrooppiiaa..

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


43

La imagen que se obtiene para cualquier plano perpendicular al eje

óptico entre P’m y P’c es un círculo. Existe una posición intermedia donde el

círculo es mínimo, que es el denominado círculo de mínima confusión.

La distancia P’m P’c es la aberración esférica longitudinal para el punto P

(es proporcional al cubo de la apertura).

El radio r del círculo que se obtiene en el plano frontal que pasa por P’c

es la aberración esférica transversal (o lateral) para el punto P.

22..33..11..22.. AAbbeerr rraacc iióónn CCrroommááttiiccaa

Es generada por la dispersión cromática que producen las lentes a la luz,

salvo en los espejos, y a causa de la dispersión de la luz que presentan los

vidrios y las substancias transparentes en general, todo sistema óptico, incluso

corregido de todas las aberraciones geométricas, da lugar a un comportamiento

diferente para cada longitud de onda que compone la luz blanca o una luz

policromática. Los elementos cardinales para cada color son distintos aun en el

análisis paraxial.

En una lente delgada, por ejemplo, la fórmula:

( )

−⋅−=

21

111

'1

nnn

f

muestra que la distancia focal depende del índice de refracción n del material

de la lente para la radiación utilizada. Así, para tres colores distintos F, D, C, la

lente presenta tres índices distintos nF, nD, nC, y los focos para estos colores

aparecen separados tal como se indica en la Figura Nº 3.

(40)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


44

FFiigguurraa NNºº 33,, AAbbeerrrraacciióónn ccrroommááttiiccaa..

Lo mismo sucedería con la posición de la imagen de un objeto “A” del eje. A

esta variación de la posición de la imagen en el eje con el color se le llama

cromatismo de posición.

La misma variación de la focal con el color hará en general que el

aumento sea diferente para los distintos colores; en este caso, las imágenes de

distinto color presentarán distinto tamaño. Este defecto se llama cromatismo de

aumento.

22..33..22.. PPrr iissmmaass

Los prismas juegan muchos papeles diferentes en la óptica; hay

combinaciones de prismas que sirven como divisores de haz, sistemas

polarizadores y aún interferómetros. A pesar de esta diversidad, la gran mayoría

de las aplicaciones utilizan solamente una de dos funciones principales de los

prismas. En primer lugar, un prisma puede servir como sistema dispersor como

lo hacen una gran variedad de analizadores de espectro, es decir, es capaz de

separar, hasta cierto punto, las frecuencias constitutivas de un haz

policromático de luz. La segunda y más ampliamente usada función es producir

un cambio en la orientación de la imagen o en la dirección de propagación del

haz.

Los prismas se incorporan en muchos instrumentos ópticos, a menudo

simplemente para doblar el sistema dentro de un espacio confinado.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


45

Hay prismas de inversión, prismas de reversión y prismas que desvían

un haz sin inversión o reversión y todo esto sin dispersión.

En el campo de la Geomensura, en mediciones de distancias, se utilizan

prismas reflectores que se detallarán a continuación.

22..33..22..11.. PPrr iissmmaass rreefflleeccttoorreess

En estos prismas la dispersión del haz no es deseada. En el presente

caso, el haz será introducido de tal manera que al menos ocurra una reflexión

interna para el propósito específico de cambiar la dirección de propagación, o la

orientación de la imagen o ambas.

Se establece primero que realmente es posible tener tal reflexión interna

sin dispersión asociada. En la Figura N° 4, se presume que tiene como perfil un

triángulo isósceles (esta es una configuración muy común). El rayo refractado

en la primera interfase es más tarde reflejado en cara FG. Esto ocurrirá cuando

el ángulo interno es más grande que el ángulo crítico θc, definido por:

tiC nsen =θ

Para una interfase vidrio – aire, esto requiere que θI sea más grande que

aproximadamente 42° . Para evitar cualquier dificultad con ángulos más

pequeños, suponiendo además que la base de nuestro prisma hipotético está

plateada (ciertos prismas en efecto requieren caras plateadas). El ángulo de

desviación entre los rayos que entran y salen es

BED∠−°=180δ

Del polígono ABED se tiene

°=∠+∠+∠+ 360ABEBEDADEα

(41)

(a)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


46

Figura N° 4, Geometría de un prisma reflector. (a)

Figura N° 5, Geometría de un prisma reflector. (b)

Además, en las dos superficies refractoras

190 iABE θ+°=∠ y 290 tADE θ+°=∠

Sustituyendo el BED∠ en la Ecuación (a) se tiene

αθθδ ++= 21 ti

Ya que el rayo en el punto C tiene ángulos de incidencia y reflexión iguales

CDGBCF ∠=∠ . Entonces, debido a que el prisma es isósceles DGCBCF ∠=∠

y los triángulos FBC y DGC son similares. Se deduce que CDGFBC ∠=∠ y

(42)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


47

finalmente, por consiguiente, θt1 = θi2. de la ley de Snell se sabe que esto es

equivalente a θi1 = θt2, de donde la desviación queda

αθδ +⋅= 12 i

La cual es ciertamente independiente tanto de λ como de n. La reflexión

ocurrirá sin ninguna preferencia de color y el prisma se dice que es acromático.

Si se desdoblase el prisma, es decir, si se dibuja su imagen en la superficie

reflectora FG, como en la Figura N° 5 (b), se ve que el prisma es equivalente en

cierto sentido a un paralelepípedo o a una placa plana gruesa. La imagen del

rayo incidente emerge paralela a sí misma independientemente de su longitud

de onda.

Unos pocos de los muchos prismas reflectores ampliamente usados se

muestran en las figuras siguientes. Estos se hacen a menudo de vidrio BSC – 2

o C-1 (ver tabla N° 2). En su mayor parte, las ilustraciones se explican por si

mismas y así el comentario descriptivo será breve.

•• PPrriissmmaa rreeccttaanngguullaarr

Este prisma desvía en 90° los rayos perpendiculares a la cara de

incidencia. Obsérvese que las imágenes superior e inferior han sido

intercambiadas, es decir, la flecha ha sido volteada mientras que los

lados derecho e izquierdo no.

(43)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


48

FFiigguurraa NN°° 66,, PPrriissmmaa RReeccttaanngguullaarr..

Por consiguiente, es un sistema inversor con la cara superior actuando

como un espejo plano.

•• PPrriissmmaa PPoorrrroo

Este prisma es físicamente el mismo que el anterior, pero es usado en

diferente orientación. Después de dos reflexiones, el haz es desviado

180° . Entonces, si entra con orientación derecha, sale con orientación

derecha.

FFiigguurraa NN°° 77,, PPrriissmmaa PPoorrrroo..

EEllaabboorraacciióónn PPrrooppiiaa..

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


49

• Prisma de Esquina de Cubo

Este prisma se obtiene al cortar un cubo de tal forma que la pieza

resultante tenga tres caras mutuamente perpendiculares. Tiene como

propiedad de ser retrovisor; es decir, reflejará toda la luz que le llegue a

lo largo de sus direcciones originales.

FFiigguurraa NN°° 88,, PPrriissmmaa TTrriirrrreeccttaanngguullaarr..

EEllaabboorraacciióónn PPrrooppiiaa..

Número

del tipo

Nombre nD VD

511:635 Crown de borosilicato – BSC-1 1,5110 63,5

517:645 Crown de borosilicato – BSC-2 1,5170 64,5

513:605 Crown – C 1,5125 60,5

518:596 Crown 1,5180 59,6

523:586 Crown – C- 1 1,5230 58,6

529:516 Crown flint – CF – 1 1,5286 51,6

541:599 Crown liviano de bario – LBC-1 1,5411 59,9

573:574 Crown liviano de bario – LBC-2 1,5725 57,4

574:577 Crown de bario 1,5744 57,7

611:588 Crown denso de bario – DBC-1 1,6110 58,8


_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


50

Número

del tipo

Nombre nD VD


562:510 Flint liviano de bario – LBF-2 1,5616 51,0

588:534 Flint liviano de bario – LBF- 2 1,5880 53,4

584:460 Flint de bario – BF- 1 1,5838 46,0

605:436 Flint de bario – BF- 2 1,6053 43,6

559:452 Flint extra liviano – ELF-1 1,5585 45,2

573:425 Flint liviano – LF- 1 1,5725 42,5

580:410 Flint liviano – LF- 2 1,5795 41,0

605:380 Flint denso – DF- 1 1,6050 38,0

617:366 Flint denso – DF- 2 1,6170 36,6

621:362 Flint denso – DF- 3 1,6210 36,2

649:338 Flint extra denso – EDF- 1 1,6490 33,8



689:309 Flint extra denso 1,6890 30,9


TTaabbllaa NN°° 22,, VViiddrriiooss óóppttiiccooss.. EEll nnúúmmeerroo ddeell ttiippoo ssee ddaa ppoorr ((nnDD –– 11)) :: ((1100**VVDD)) ddoonnddee nnDD ssee

rreeddoonnddeeaa eenn ttrreess ddeecciimmaalleess.. PPaarraa mmááss ddaattooss,, vveerr SSmmiitthh,, MMooddeerrnn OOppttiiccaall EEnnggiinneeeerriinngg..

FFuueennttee:: TT.. CCaallvveerrtt,, OOppttiiccaall CCoommppoonneennttss,, EElleeccttrroommeecchhaanniiccaall DDeessiiggnn..

��

��

��

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


51

CCaappííttuulloo IIIIII

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


52

33.. IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS____________________________________________________________________________ 33..11 TTeeooddooll ii ttooss

Para comenzar es necesario, antes que todo, definir el teodolito como

instrumento de medición. En esta parte del proyecto se explicará en detalle las

partes del teodolito y su utilización, algunas de estas partes son también

comunes para los teodolitos electrónicos, niveles y taquímetros, por lo que sólo

se definirán en una oportunidad, entendiéndose que la explicación es útil para

todos estos casos.

El teodolito es un instrumento de precisión cuya utilización consiste

básicamente en la medición de ángulos horizontales y verticales o de altura.

Este tipo de instrumentos se utiliza también en los trabajos de nivelación, es

decir, nivelación trigonométrica.

El teodolito electrónico es aquel que ha sustituido su limbo óptico por un

sistema electrónico angular.

Para obtener el mayor provecho de este instrumento, el operario debe

conocer perfectamente bien el funcionamiento de cada una de las partes del

teodolito, así como el cuidado en su manejo.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


53

FFiigguurraa NN°° 99,, RReepprreesseennttaacciióónn eessqquueemmááttiiccaa ddee uunn tteeooddoolliittoo

FFuueennttee:: CCaattáállooggoo WWIILLDD TT22..

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


54

33..11..11.. PPaarrtteess ddeell TTeeooddoo ll ii ttoo

Una componente principal del instrumento es un telescopio que puede

girar 360º alrededor de su eje horizontal. El telescopio está provisto de objetivo,

diafragma y ocular, como se describirá más adelante, y de instrumentos más

modernos con que se enfoca internamente. Cuando se eleva o desciende, gira

respecto de su eje horizontal transversal (eje de alturas), colocado en ángulo

recto con la línea de colimación, y el círculo vertical, conectado al telescopio,

gira con él. El eje de alturas está montado por sus extremos en los soportes, los

que a su vez están sobre el plato del vernier horizontal (plato superior). Los

ángulos verticales se miden sobre el círculo vertical graduado por medio de un

par de vernier estacionarios diametralmente opuestos que están montados en

forma independiente del círculo y el telescopio, pero centrados con el eje de

alturas sobre un marco vertical en forma de T. Sobre este marco a menudo se

encuentra un nivel de burbuja que se puede mover con tornillos de sujeción.

Para fijar el telescopio en cualquier posición en el plano vertical se proporciona

una mordaza, así como un tornillo de movimiento fino o tangencial que permite

pequeños movimientos angulares para hacer coincidir la imagen final del punto

observado con el cruce de los hilos de la retícula.

El instrumento debe colocarse con el eje vertical realmente vertical

cuando se hagan medidas angulares, para lo cual se nivela el plato con los tres

tornillos niveladores sobre la placa inferior de acoplamiento al trípode. Los

extremos redondeados de los tornillos se ajustan dentro de cavidades en la

placa inferior de acoplamiento y estos tornillos operan sobre bujes fijos a la

base de nivelación.

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________________________________________________________________________________________________


55

Sistema del eje vertical.

1. Círculo Horizontal.

2. Perilla para el desplazamiento del

círculo horizontal.

3. Porta círculo.

4. Caja de eje.

5. Eje vertical.

6. Cojinete de bolil las.

7. Cojinete de rodamiento.

8. Prisma para lectura del círculo.

FFiigguurraa NN°° 1100..

FFuueennttee:: CCaattáállooggoo WWiilldd TT22..

33..11..11..11 VVeerrnniieerr

Como se sabe el vernier es un dispositivo, por medio del cual, es

posible apreciar fracciones muy pequeñas de una escala graduada.

Consiste, generalmente, en una escala auxiliar que corre paralela

y en contacto con la escala principal graduada lineal o angularmente.

Es más fácil para la vista estimar, con exactitud, la coincidencia de

los trazos que la apreciación al eje, la distancia entre dos líneas

paralelas; en esto se basa la precisión con que pueden hacerse las

medidas empleando el nonio o vernier.

Hoy en día, el vernier se ha reemplazado por un instrumento en

forma de círculo de vidrio. Estos instrumentos difieren, de los vernier en

que las placas metálicas de escala que lee el vernier se reemplazan por

círculos de vidrio que se leen por sistemas ópticos internos (ver Figura

11). Los círculos de vidrio son copias fotográficas de círculos patrones de

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


56

vidrio, los cuales, a su vez, se han graduado mediante una máquina de

divisiones automáticas.


FFuueennttee:: CCaattáállooggoo WWIILLDD TT22..

33..11..11..22.. LLiimmbboo EElleeccttrróónn iiccoo

Hoy en día en el sistema de salida se usan codificadores de

lectura electrónica con microprocesadores integrados para calcular el

ángulo. Para lecturas de círculos de teodolitos se incorporan

codificadores angulares o rotatorio para medir desplazamientos

angulares. Estos incluyen placas circulares codificadas adecuadamente

de manera que, con ayuda de una cabeza lectora, la salida de lectura

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57

digital pueda obtenerse para un incremento individual distinto de

desplazamiento.

En el mercado hoy día se pueden encontrar dos tipos de

codificadores: absolutos y los incrementales en los diversos teodolitos

electrónicos e instrumentos de estación total. El patrón de código del

primer tipo garantiza una respuesta digital única para cada incremento

individual de desplazamiento. Estos codificadores se incorporaron en las

antiguas versiones del equipo Zeiss Elta, como el tacómetro electrónico

Elta 2. Una serie de graduaciones diametralmente opuestas se proyectan

juntas y, por medio de un plato plano paralelo, estas se hacen coincidir

con un micrómetro fotoeléctrico (ver Figura N° 12). Durante la medición,

un microprocesador controla el encendido y apagado de la iluminación

del círculo, la acción del micrómetro, la lectura y almacenamiento del

código del círculo y del micrómetro después de la coincidencia y, por

último, la evaluación del círculo de lectura burda que proporciona el

código del círculo y la lectura fina que registra el código del micrómetro.

FFiigguurraa NN°° 1122,, CCóóddiiggooss ZZeeiissss EEllttaa..

FFuueennttee:: TTééccnniiccaass MMooddeerrnnaass eenn TTooppooggrraaffííaa,, AAuuttoorr:: BBaannnniisstteerr,, RRaayymmoonndd,, BBaakkeerr..

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


58

Los codificadores incrementales dan lugar a una salida que se

basa en el número de períodos o conteos entre principio y fin del

desplazamiento total. De esta manera, en los codificadores

incrementales debe conocerse la posición inicial para determinar una

medición total.

Este sistema de medición que usa el Wild T2002 tipifica este

método. Los círculos constan de placas de vidrio divididas en 1024

segmentos igualmente espaciados y dos pares de fotodiodos montados

diametralmente opuestos entre si. La figura N° 13, muestra el círculo y un

par de fotodiodos unos de esos fotodiodos esta fijo y presenta el punto

cero en la escala; el otro gira con el telescopio. Durante mediciones de

ángulo el círculo mismo gira impulsado por un motor eléctrico y una

fuente de luz brilla sobre el círculo, la cual en forma continua se

interrumpe por las graduaciones, generando una onda cuadrada en el

fotodiodo. El ángulo se deriva de dos mediciones, δφφ +n . Para la

medición burda, φn , una de las marcas de referencia del círculo lo pasa

el primer fotodiodo que activa un contador del número de graduaciones

antes que la misma marca de referencia pase el segundo fotodiodo,

generando n. La medición fina, δφ , se obtiene de la diferencia de fase

entre las ondas cuadradas en los dos diodos. Durante la medición de un

ángulo este proceso se realiza en forma simultánea en ambos lados del

círculo mediante los dos pares de fotodiodos. Cada revolución del círculo

produce 512 mediciones separadas de ángulo empleando todas las

partes del círculo rotatorio y, de esta manera, se eliminan la excentricidad

del círculo y los errores de graduación y el T2002 puede medir ángulos

con una precisión de 0,1”.

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________________________________________________________________________________________________


59

FFiigguurraa NN°° 1133,, SSiisstteemmaa ddee MMeeddiicciióónn WWiilldd TT22000022


33..11..11..33.. NNiivveell TTuubbuullaarr

La longitud de los tubos varían entre 500 mm y 125 mm, y su

sección longitudinal tiene perfil circular. Cuanto mayor es el radio de

curvatura del tubo, mayor es la sensibilidad de la burbuja, puesto que el

desplazamiento de la burbuja por la inclinación del eje vertical es más

grande. Sin embargo con una curvatura pequeña, el tiempo que se

emplea para equilibrar la burbuja es excesivo.

La parte superior del tubo está graduado de manera simétrica

desde el centro, como se ilustra en la figura N° 14, a). Las dos líneas

mas largas representan la posición de los extremos de la burbuja a una

temperatura normalizada. El resto de la graduación es necesaria puesto

que la longitud de la burbuja puede cambiar con la temperatura, aunque

algunos fabricantes hacen tubos de nivel cuya variación por temperatura

es casi despreciable. Sin embargo, el uso de niveles con lectura de

burbuja mediante sistemas ópticos a través de prismas(los cuales

permiten ver al mismo tiempo ambos extremos) es innecesario el uso de

burbujas de longitud constante. El eje de la burbuja está en un plano

tangencial al centro de la graduación (Figura N° 14, a). La superficie de

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


60

la burbuja siempre es horizontal, por lo que la línea tangente a un punto

de la superficie interna del tubo y a la mitad de la burbuja siempre será

horizontal, puesto que es paralela al plano en que están sus extremos. Si

el tubo de nivel se gira en un plano vertical cuando la burbuja está

centrada, el eje del tubo de la burbuja debe ser horizontal.

El espaciamiento de cada graduación es con frecuencia de 2 mm y

el valor angular de una graduación por lo general se indica en la

superficie misma del tubo. Entonces el movimiento del centro de la

burbuja a través de una división podría implicar una rotación del eje de,

aproximadamente, 20 segundos de arco.



AA.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaa SSeennssiibbii ll iiddaadd

Para determinar la sensibilidad de la burbuja en un instrumento, se

toman grupos de lecturas sobre una mira colocada a una distancia “l”

conveniente, puede ser de 30 m del instrumento, con el centro de la burbuja

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


61

desplazado desde el centro de su recorrido tanto como sea posible hacia el

extremo del objetivo del anteojo, y luego hacia el extremo del ocular, mediante

el uso de los tornillos nivelantes (Figura N° 14, b). De esta manera se obtiene la

diferencia de lecturas, s, sobre la mira y se divide entre la distancia, l, para

determinar el ángulo ��TXH�KD�JLUDGR�OD�Oínea de visual. El centro de la burbuja

debió tener el mismo movimiento, el cual se deduce mediante las posiciones de

ambos extremos de la burbuja con respecto a la graduación del tubo.

Si f1 y f2 son las lecturas del extremo delantero (hacia el objetivo) de la

burbuja y r1 y r2, las lecturas del extremo posterior de la burbuja,

respectivamente, antes y después de la rotación de la línea de visual, la

distancia del centro de la burbuja desde el centro de las graduaciones es:

211 rf −

y

222 fr −

en cada caso.

La rotación de la línea de visual es, entonces:

segundosl

sradianes

l

s206165=== θ

El centro de la burbuja se ha movido una distancia total de

−

+−

222211 frrf

Por lo tanto, se dice que

qfrrf

l

s =

−+−=

22206265 2211

Entonces, el valor angular de una división

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


62

segundoslq

s206265

Si el valor angular de una graduación, de longitud z, del tubo es 3�VHJXQGRV�\�5�es el radio de la superficie curva interna, entonces:

[ ]segundoslq

s

R

z206265206265 ==ϕ

33..11..11..44.. TTeelleessccooppiioo TTooppooggrrááff iiccoo

El telescopio tipo Kepler (figura N° 15) es uno de los que más se utilizan

en topografía; en esencia consta de dos lentes convexas montadas de manera

que sus ejes principales se encuentren sobre la misma línea para formar el eje

óptico del instrumento.

FFiigguurraa NN°° 1155,,


La lente convergente del objetivo (es decir, la más cercana al objeto, AB)

forma una imagen real, ab, cuyos rayos pasan al ocular, donde se refractan de

nuevo y forman una imagen virtual a cierta distancia conveniente frente al ojo

del observador. Se observa que esta imagen, a1b1, está invertida y amplificada.

La amplificación es una propiedad importante de los telescopios topográficos; el

poder de resolución depende de ella en forma directa. Sin embargo, el campo

(49)

(50)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


63

de visual disminuye conforme crece la amplificación y, en consecuencia, para

obtener una imagen nítida de la mira, se requiere aumentar la abertura del

objetivo conforme la amplificación crece.

AA.. RReettííccuullaa

Para proporcionar líneas de referencia horizontal y vertical en el

telescopio, se inserta una retícula enfrente del ocular en un plano a 90º al eje

óptico. Existen varios tipos de retículas (llamadas también diafragmas o

gratículas); sin embargo, la más común hoy día es una placa delgada de vidrio

en la que se graban las líneas. La línea imaginaria que pasa por el cruce de los

hilos de la retícula y el centro óptico del objetivo se denomina línea de

colimación del instrumento y las lecturas de nivel se toman sobre esta línea.

La retícula se fija dentro del telescopio mediante cuatro tornillos de

soporte que permiten a) ajustar los hilos para que el horizontal sea realmente

horizontal, y b) mover los hilos hacia la línea de colimación en forma lateral y

vertical.

BB.. PPaarraallaajjee

En el enfoque de un telescopio sencillo, la imagen real que forma el

objetivo se proyecta hacia el mismo plano de la retícula. Si esto no se cumple,

se presentan serios problemas en la lectura de la mira debido al fenómeno

conocido como paralaje. Si la imagen no se forma en el plano de la retícula y se

observa paralaje cuando el ojo se mueve ligeramente al ver por el telescopio, se

tendrán diferentes lecturas dependiendo de la posición del ojo (figura N° 16).

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


64



FFiigguurraa NN°° 1177,,


CC.. EEnnffooqquuee IInntteerrnnoo

Los primeros instrumentos eran de enfoque externo, es decir, tenían la

construcción básica simplificada que muestra la figura N° 15. El ocular y el

objetivo se montaban en dos tubos dispuestos de manera que uno pudiera

deslizarse dentro de otro, y el enfoque se lograba a través de ese movimiento

relativo. En la actualidad, este sistema se sustituye por un telescopio de

enfoque interno (figura N° 17), en el cual el objetivo y el ocular están montados

_________________________________________________________________________________

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65

en un tubo de longitud fija. Entre estas lentes se instala una lente cóncava móvil

(figura N° 18).



La lente cóncava se mueve mediante un mecanismo de cremallera,

donde el piñón está conectado a la cuerda del tornillo de enfoque y la imagen

se enfoca sin mover el objetivo (ver Figura N° 19). La imagen que se proyecta

desde el objetivo podría formarse en P’, si la lente cóncava no existiera y la

imagen real formada en P se considera como la imagen virtual de esa lente.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


66

�



1

11

'

11

'

11

flvlvy

fvu

−=−

+−

−=+

Aunque esta lente extra absorbe algo de luz, sus desventajas se

compensan al tener un tubo cerrado donde no entra polvo ni humedad.

Además, el telescopio de enfoque interno es mucho más compacto y el

desgaste de las superficies deslizantes es menor que en los de enfoque

externo, en los que esto causa deformaciones con la consecuente pérdida de

alineación en el eje principal del objetivo y el ocular.

33..11..22.. EErrrroorreess CCoommeettiiddooss ccoonn TTeeooddooll ii ttooss

33..11..22..11.. EErrrroorr ddee PPuunntteerr ííaa ((PPuunntteerr ííaa óópptt iiccaa))

Todas las mediciones realizadas con teodolitos están sujetas a

errores de calaje, debido a muchos factores; diseño de la puntería,

condiciones atmosféricas prevalecientes, limitaciones del operador, y por

último a enfocar. Las magnitudes aproximadas del error de puntería de

(51)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


67

una dirección, es decir, desviación estándar, están directamente

relacionadas con el aumento del telescopio del teodolito.

MP

"45=σ

Donde:

σP = error de puntería del instrumento (arco de segundo).

M = aumento del objetivo, “lente”.

Por ejemplo, un objetivo con un aumento de 30 veces (30x) debería tener

un error de puntería (σP) de aproximadamente 1,5 arcosegundo (un

sigma) en una dirección. Tomando una serie de medidas en la misma

ubicación, reduce la desviación estándar a un factor de n1 , donde n es

el número de repeticiones (ver figura N° 20). La desviación estándar,

debido al error en la puntería, en la medida de una dirección realizada

por una serie de mediciones repetidas (n), puede ser determinada por la

siguiente fórmula:

nPσσ δ =

Donde:

σδ = error de puntería en una dirección (arcosegundo).

σp = error de puntería del instrumento.

n = número de series de repetición.

Este resultado asume que cada puntería atrás y adelante tiene la

misma precisión.

33..11..22..22.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn eemmppíírr iiccaa ddeell eerr rroorr ddee ppuunntteerrííaa

El error de puntería puede ser determinado para cualquier

instrumento, realizando observaciones directas a la puntería (para utilizar

un teodolito con escala micrométrica). Primero, el operador ubica y nivela

el instrumento, luego repite este procedimiento con la puntería.

(52)

(53)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


68

Posteriormente, el operador apunta con los hilos reticulares hacia la

señal y anota la dirección leída. Repite este procedimiento por lo menos

unas 20 veces para reunir un número suficiente de lecturas para calcular

el error medio de los datos. El resultado es una incertidumbre empírica

de la puntería del instrumento. La componente del error leído debe ser

sustraído de la combinación del error de puntería y el error de lectura.

( )[ ]22

rrPP σσσσ −+=

Donde:

σp = error de puntería del instrumento (arcosegundo).

(σp + σr) = combinación del error de puntería y el error de lectura.

σr = error de lectura del instrumento (arcosegundo).

El error leído (σr) se determinará mediante la desviación estándar

para una serie de por lo menos veinte lecturas del teodolito, se deberá

comparar el resultado de estas lecturas con las especificaciones del

instrumento.

33..11..22..33.. MMiinniimmiizzaacciióónn ddeell EErr rroorr ddee PPuunntteerrííaa

El error de puntería degrada la precisión en la medición de

ángulos horizontales y verticales, es decir, a una mayor distancia se

obtendrá un mayor error. Esto puede ser minimizado al medir hacia una

puntería con la utilización de un aumento mayor. Algunos instrumentos

son equipados con piezas intercambiables (aumentos), que pueden

llegar a tener una magnificación de 46x veces, como es el caso de la

LEICA T3000. El procedimiento de repetir varias veces la lectura del

ángulo, se utiliza para reducir el error de puntería del instrumento cuando

no se cuenta con un aumento de lente mayor.

(54)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


69

33..11..22..44.. IInn tteerr rruuppcciioonneess AAttmmoossfféérr iiccaass

La turbulencia del aire puede interferir bastante en la precisión al

momento de apuntar. Esto ocurre sobre todo en estructuras expuestas

directamente a los rayos del sol ( ejemplo: represas, muros de concreto).

Estos efectos distorsionadores pueden ser eliminados al realizar

observaciones bajo condiciones atmosféricas más favorables, como por

ejemplo: trabajar temprano en la mañana, en días nubosos, etc. Al repetir

la medida de un ángulo reduce el error de puntería cuando las

condiciones de observación son pobres.

FFiigguurraa NN°° 2200,, GGrrááffiiccoo EErrrroorr eessttáánnddaarr vv//ss nnúúmmeerroo ddee rreeppeettiicciioonneess eenn llaa mmeeddiiddaa ddee áánngguullooss..

FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn pprrooppiiaa..

33..11..22..55.. EErrrroorr eenn llaa MMeeddiiddaa ddee ÁÁnngguulloo HHoorr iizzoonnttaall

La precisión (desviación estándar) en la realización de la medida

del ángulo horizontal con un teodolito, puede ser determinada por la

suma de las varianzas.

( )2222LbrPángulo σσσσσ +++=

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

11,1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Número de repeticiones

Err

or E

stán

dar

(55)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


70

Donde:

σángulo = error ángulo horizontal (arcosegundo).

σp = error de puntería.

σr = error de lectura.

σb = error de centrado.

σL = error de nivelación.

Las varianzas anteriores pueden ser determinadas por las

fórmulas número 53 y 64.

Ejemplo de error en el ángulo horizontal. Utilizando las fórmulas mencionadas

anteriormente, si se tiene un lente con un aumento de 30x y está centrado con

una plomada óptica, a una altura instrumental de 1,5 m y con una sensibilidad

de burbuja de 20”/2 mm con una lectura del ángulo vertical de 85° , y una

distancia inclinada de 100 m con visuales atrás y adelante; la precisión del

ángulo horizontal es aproximadamente de 3,5 arcosegundo. Utilizando este

mismo ejemplo, pero con dos series independientes de medidas repetidas, la

desviación estándar del ángulo medido es de aproximadamente 2,4

arcosegundo. Cuando se utiliza un teodolito electrónico con compensador

biaxial, el error de nivelación y de lectura son despreciables.

33..11..22..66.. EErrrroorr eenn llaa MMeeddiiddaa ddeell ÁÁnngguulloo VVeerrtt iiccaall

La medida del ángulo vertical es determinada por la diferencia de

dos medidas hechas, con una dirección definida por el eje vertical del

teodolito. La precisión en la medida de un ángulo vertical puede ser

determinada de la siguiente forma:

( )REFirPvertical σσσσσ +++= 222

(56)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


71

Donde

σvertical = error ángulo vertical (arcosegundo).

σp = error de puntería.

σi = error de inclinación.

σr = error de lectura.

σREF = error de refracción.

Las varianzas anteriores pueden ser calculadas por las fórmulas

que aparecen en los números 53 y 54.

Una de las principales fuentes de errores sistemáticos en la

medición de un ángulo vertical, es la debida a la refracción atmosférica.

Entonces, para determinar aproximadamente el error del ángulo vertical,

se utilizará la siguiente fórmula como función de la distancia inclinada:

( )22

2

16 ρσ

⋅=

R

DiREF

Donde

σREF = error de refracción.

Di = distancia inclinada en m.

R = radio medio de la Tierra (~6.378.000 m).

ρ = 206264,8.

Por ejemplo, sobre una distancia de 100 m, el error debido a la refracción

podría ser aproximadamente de 3 arcosegundo.

33..11..33.. EEffeeccttoo ddee llaa RReeffrraacccciióónn eenn VViissuuaalleess

Todas las medidas realizadas con instrumentos ópticos son afectadas

por la refracción atmosférica. Las líneas son refractadas cuando la temperatura

del aire no es homogénea, es decir, existe una Gradiente de Temperatura

(57)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


72

yT ∂∂ . El efecto de refracción es más pronunciado en nivelaciones y en

medidas de ángulos verticales, ya que las visuales se encuentran cercanas a la

superficie del suelo (2m o menos), y además, tiene una diferencia de

temperatura significativa cuando existe una capa de aire sobre ella.

Los efectos horizontales de refracción pueden ser también peligrosos si

la visual de la dirección horizontal observada corre paralela y muy cercana al

objeto prolongado de una diferencia de temperatura, tal como las paredes de un

túnel, las galerías de diques largos, filas de transformadores o turbinas que

tienen diferencias de temperatura del aire que fluyen en el centro de la galería.

33..11..33..11.. EEffeeccttoo ddee RReeffrraacccciióónn

Si la gradiente de Temperatura ( yT ∂∂ ) a través de la visual es constante

en todos los puntos de la línea, entonces la línea es refractada a lo largo de una

curva circular (figura N° 21), produciendo un error “e” en el punto observado.

FFiigguurraa NN°° 2211,, VViissuuaall rreeffrraaccttaaddaa eenn uunn ssiisstteemmaa XX,,YY..


El valor de “e” puede ser estimado de la siguiente forma:

R

Dke

⋅⋅=2

2

(58)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


73

Donde:

k = coeficiente de refracción.

D = distancia hacia la puntería (m).

R = radio de la Tierra (m).

El coeficiente de refracción, k, es una función de la Gradiente de

Temperatura ( yT ∂∂ ) y puede ser aproximada (por el promedio de la longitud de

onda del espectro óptico) por la siguiente fórmula:

y

T

T

Pk

∂∂⋅⋅=

28,508

Donde:

P = presión barométrica (en mb).

T = promedio (absoluto) de la Temperatura del aire, en Kelvin.

t en ° C y T en Kelvin, están relacionadas por T = 273,15 + t.

Tomándose como radio de la Tierra, 6.378.000 m, y sustituyéndose en la

fórmula N° 58, el error puede ser expresado como una función de la Gradiente

de Temperatura:

52

2

109,3 −⋅∂∂⋅⋅⋅=

y

T

T

DPe

Por ejemplo, se tiene una visual de D = 200 m; temperatura del aire t = +30 ° C,

es decir, T = 303,15 Kelvin; presión barométrica 1000 mb, y una Gradiente de

Temperatura constante a través de la línea de visual, mCyT /5,0 °=∂∂ ,

Reemplazándose los valores en la fórmula N° 60, se tiene:

k = 2,8 y e = 8,5 mm.

Usualmente, la diferencia de la Gradiente de Temperatura de un punto a

otro, produce una forma irregular de la visual refractada, (ver figura N° 22). En

este caso, la Gradiente de Temperatura y el coeficiente de refracción cambia a

(59)

(60)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


74

lo largo de la línea de visual (dirección x) y k pasa a ser función de la posición

k(x). El error en el punto debiera ser calculado de la siguiente forma:

( )∫ −⋅=D

dxxDke0

Si la Gradiente de Temperatura son medidas como puntos discretos, es

decir, en el medio de cada segmento “si” (ver figura N° 22), entonces la integral

se puede resolver utilizando Simpson:

( )[ ] ( ) ( )[ ]{( ) ( )[ ] ( )[ ]}11122122111

2312221

............

...2

1

−−−−−− −⋅⋅+−−⋅+−−⋅⋅+

+−−⋅+−⋅⋅+−⋅+⋅⋅⋅⋅=

nnnnnnnn

iii

ddDkddddDkdddDkd

ddDkdDkddDkDkdRe

FFiigguurraa NN°° 2222,, EEffeeccttoo ccaammbbiiaannttee ddee llaa GGrraaddiieennttee ddee TTeemmppeerraattuurraa..


33..11..33..22.. EEffeeccttoo ddee llaa MMeeddiiddaa ssoobbrree uunnaa AAll iinneeaacciióónn

En las mediciones de alineación entre dos puntos fijos, A y B (ver figura

N° 24), el punto A está obligado apuntar hacia el punto B. Si la Gradiente de

Temperatura a través de la línea A y B es constante, entonces la alineación

(61)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


75

FFiigguurraa NN°° 2233.. EEffeeccttooss ddee llaa rreeffrraacccciióónn,, cceerrccaannoo aall iinnssttrruummeennttoo vv//ss cceerrccaannoo aa llaa ppuunntteerrííaa..


será refractada a lo largo de un camino circular, en donde el error aparecerá en

el medio de la línea A y B. Incluso cuando las mediciones para la alineación se

realizan en el medio del segmento, la visual sigue el mismo camino circular.

Por ejemplo, al utilizar un láser de HeNe (λ = 0,63 µm), el máximo error, ∆y, en

el centro del camino refractado, puede ser calculado de la siguiente forma:

dy

dT

T

DPy ⋅

⋅⋅=∆ 2

2

101760

Donde

P = presión barométrica (en mb).

T = temperatura en Kelvin.

D = distancia total a través de la alineación.

FFiigguurraa NN°° 2244,, EEffeeccttoo ddee rraaffrraacccciióónn ssoobbrree uunnaa aalliinneeaacciióónn..


(62)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


76

33..11..33..33.. MMééttooddooss ppaarraa RReedduuccii rr eell EEffeeccttoo ddee RReeffrraacccciióónn

Los efectos de refracción pueden ser reducidos según las siguientes

recomendaciones:

1. Evitando que las visuales estén cerca de cualquier tipo de superficie

(cuerpo) que emita una temperatura diferente a la que prevalece en el

ambiente.

2. Midiendo la Gradiente de Temperatura con muchos sensores de alta

precisión (resolución de por lo menos 0,05 ° C) y calculando la

corrección de refracción, o,

3. Utilizando dos fuentes de radiación que emitan una longitud de onda

diferente (método dispersión).

El primer método es el más práctico, pero no asegura que la visual esté

libre de refracción. El segundo método, aunque aplicable en la práctica,

requiere de instrumentación especial y medidas tediosas. El tercero

requiere de instrumentos costosos y es aplicable solamente en

mediciones científicas de la más alta precisión (ejemplo: metrología

industrial). En estudios de deformaciones, solo el primer método parece

factible. Si las paredes de una galería son estrechas, y además sus

paredes tienen diferentes temperaturas (una expuesta al agua y la otra a

la radiación del sol), la alineación aunque sea hecha por el centro de la

galería no puede reducir suficientemente el efecto de la refracción. En el

último caso, métodos no ópticos pueden ser usados en el

desplazamiento de las medidas.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


77

33..11..33..44.. EEffeeccttooss ssoobbrree llaass MMeeddiiddaass ddee DDiirreecccciióónn

En la medida de una dirección con un teodolito, la refracción ocurre como

un ángulo de deflexión. Con una Gradiente de Temperatura uniforme sobre una

longitud (D) de visual, el error de refracción (eREF) en arcosegundo de la

dirección observada puede ser aproximada por:

dx

dT

T

PDeREF ⋅⋅⋅=

2"8

Donde:

D = Distancia entre estaciones (m).

P = Presión barométrica (mb).

T = Temperatura en Kelvin ( T = 273,15 + t ° C).

dT/dx = Gradiente de Temperatura.

33..11..33..55.. EErrrroorr eenn eell CCeennttrraaddoo ddeell IInnssttrruummeennttoo

Incluso cuando se tiene gran cuidado en la ubicación del instrumento, se

tiene un límite definitivo en la habilidad de nivelar un instrumento, debido a la

sensibilidad con que cuenta la ampolleta de nivelación. Por lo tanto, siempre se

tiene una mínima inclinación del eje vertical del instrumento con respecto a la

línea de plomada.

El error de inclinación en el teodolito es anotado como:

( )2,0=Iσ * (Sensibilidad de la burbuja por división).

O también, se puede dar como cinco veces la sensibilidad de la ampolleta del

instrumento (ejemplo: para una burbuja de 30” se tiene un error de nivelación de

30”/5 = 6). El efecto producido por la inclinación del eje vertical (σI) sobre una

medición de ángulo horizontal, viene dado en la siguiente fórmula:

)tan(zI

L

σσ =

(63)

(64)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


78

Donde:

σL = error de nivelación (arcosegundo).

σI = error de inclinación.

Z = ángulo vertical medido.

Los errores en la nivelación del teodolito afectan la precisión con que se

mide un ángulo horizontal, principalmente cuando se está observando un

ángulo vertical.

33..11..33..66.. CCoorrrreecccc iióónn ddeell EEjjee VVeerr ttiiccaall

La inclinación del eje vertical del instrumento puede ser medida y

corregida con una técnica especial de observación. Primero, con el instrumento

correctamente nivelado y centrado, la visual hacia la puntería está inclinada

(arriba o abajo). Entonces, se asegura el limbo vertical, y se procede a leer y

anotar el ángulo vertical (VPUNTERÍA), luego el seguro del limbo horizontal es

soltado. Posteriormente, el instrumento se gira en 90° hacia la derecha de la

visual y el círculo vertical se asegura nuevamente para leer y anotar el ángulo

(VD). Por último, el instrumento es girado en 90° hacia la izquierda, se realiza el

mismo procedimiento antes descrito, y se anota la nueva posición (VIZ). El valor

máximo de la corrección del error de nivelación para un punto, es la mitad de la

diferencia de la lectura (derecha e izquierda) del círculo vertical multiplicada por

la tangente del ángulo vertical inicialmente medido hacia la puntería.

( ) ( )PUNTERÍA

IZD VVV

NC tan2

.. ⋅−= �

Donde:

C.N. = corrección de la nivelación.

VD = ángulo vertical derecho leído.

VIZ = ángulo vertical izquierdo leído.

VPUNTERÍA = ángulo vertical hacia la puntería.

(65)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


79

33..11..33..77.. TToolleerraanncciiaa PPrreeddeetteerrmmiinnaaddaa

El valor de un ángulo vertical, puede ser predeterminado con la

sensibilidad de la ampolleta de nivelación del instrumento, esto decidirá si la

corrección es necesaria ser aplicada sobre un blanco dado. Esta tolerancia

angular es encontrada resolviendo la ecuación para VPUNTERÍA, término conocido

(error de inclinación del instrumento).

Por ejemplo, se tiene un instrumento cuya ampolleta tiene una sensibilidad de

30 arcosegundo (tomando como fuente un catálogo) y una tolerancia máxima

permisible para la corrección final de 1 arcosegundo; ángulo vertical superior a

10° desde la horizontal, requerirá la corrección.

33..11..33..88.. EErrrroorr eenn eell CCeennttrraaddoo FFoorrzzoossoo ddeell IInnssttrruummeennttoo

Cualquier centrado forzoso o plomada óptica incluida en el tribrach, son

medios estándares durante el ajuste del instrumento y la puntería. Los errores

de centrado son causados cuando el eje vertical del instrumento (o

puntería/prisma) no coincide con la marca de referencia sobre el punto de

control monumentado.

La incertidumbre que existe en la medición de un ángulo se debe al error

de centrado.

( ) ( ) ( )[ ]222 4 Dcb ⋅⋅= ρσσ

Donde:

σb = incertidumbre en el ángulo debido al error de centraje.

σc = precisión en el centrado.

ρ = 206264,8

D = distancia entre estaciones (mm)

La precisión en el centrado (σc) es anotado de la siguiente forma:

( ) himmc ⋅= 5,0σ

(66)

(67)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


80

Para las plomadas ópticas y centrado forzoso:

( ) himmc ⋅= 1,0σ

33..11..33..99.. PPlloommaaddaass óópptt iiccaass

Las plomadas ópticas, nadir y cenit (ver figura N° 25), son especialmente

diseñadas para centrados y colimaciones precisas. Su utilización ha sido

recomendada para estudios de deformaciones porque asegura una alta

precisión en el centrado.

FFiigguurraa NN°° 2255,, PPlloommaaddaa óóppttiiccaa nnaaddiirraall,, ooppeerraa ccoommoo uunn nniivveell aauuttoommááttiiccoo,, ppeerroo eessttaabblleecciieennddoo uunnaa

vviissuuaall vveerrttiiccaall..

FFuueennttee:: EEnnggiinneeeerrss'' ffrroomm tthhee UUnniitteedd SSttaatteess bbooddyy..

FFiigguurraa NN°° 2266,, CCoommppaarraacciióónn eennttrree pplloommaaddaass óóppttiiccaass.. LLaa iimmaaggeenn ddee llaa iizzqquuiieerrddaa mmuueessttrraa eell

ccaammppoo ddee vviissuuaall ddee uunnaa pplloommaaddaa óóppttiiccaa ddee uunn ttrriibbrraacchh,, yy llaa iimmaaggeenn ddee llaa ddeerreecchhaa mmuueessttrraa eell

ccaammppoo ddee vviissuuaall ddee uunn iinnssttrruummeennttoo ((ffiigguurraa NN°° 2255)) ddee pplloommaaddaa óóppttiiccaa nnaaddiirraall.. AAmmbbaass iimmáággeenneess

mmuueessttrraann eell mmiissmmoo ddiissccoo ddee llaattóónn qquuee ssee eennccuueennttrraa aa uunnaa aallttuurraa aapprrooxxiimmaaddaammeennttee ddee 11,,55 mm..

(68)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


81

33..22 NNiivveelleess

En esta sección no se explicará en detalle las partes del Nivel, puesto

que algunas fueron ya descritas en la sección de Teodolitos.

El Nivel es un instrumento con el cual se obtienen diferencias de altura, y

el proceso de nivelación que se realiza con este instrumento es llamado

Nivelación Geométrica o Directa.

Como se ha mencionado antes, el operador debe conocer perfectamente

bien el funcionamiento para obtener el mayor provecho para el trabajo que

desea ejecutar.

33..22..11.. CCllaassii ffiiccaacciióónn ddee llooss NNiivveelleess ÓÓppttiiccooss

Se dividen generalmente en:

• Niveles de plano: en los que, una vez estacionado el instrumento, el eje

de colimación (Eje Óptico) describe un plano horizontal en su giro

alrededor del eje principal (Eje Vertical), ejemplo Nivel tipo Dumphy;

• Niveles de línea: en los que en cada nivelada (visual) es preciso

horizontalizar el aparato para asegurar solamente que sea horizontal la

visual que haya de tomarse a continuación, ejemplo Niveles con Tornillo

de Trabajo o también llamado Nivel Basculante;

• Niveles automáticos: niveles de línea, de horizontalización automática.

En la actualidad, los niveles de plano, se utilizan muy poco debido al tiempo

que toma en ponerse en estación, puesto que hoy en día, la idea es realizar un

trabajo en el menor tiempo posible. Por lo que solo se definirán los otros dos.

Sin embargo, es preciso consignar que tan importante puede resultar la

lectura en la mira como la propia calidad del instrumento a efectos de conseguir

el resultado exigido. En efecto, cualquier error de lectura en nivelación se

transmite, directamente y en toda su magnitud, al desnivel que se trata de

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


82

apreciar. Un desnivel o una cota es un número y puede escribirse con cualquier

aproximación, y en muchas ocasiones es imprescindible lograr muy altas

exactitudes obligadas por la finalidad del trabajo encomendado. Por todo ello, la

longitud de las niveladas (visuales) no acostumbran a sobrepasar los 100 ó 150

m, siendo mucho más frecuentes las distancias de menos de 100 y hasta los 50

m, para garantizar la óptima lectura en la mira, aún la estimación de milímetros.

Ello hace que no sea preciso tener en cuenta la influencia de la esfericidad de la

tierra ni de la refracción atmosférica.

33..22..22.. EElleemmeennttooss ddee uunn NNiivveell yy ccaauussaass ddee EErr rroorr eenn eessttee

Un anteojo, generalmente de gran aumento (A, en la figura N° 27) y un nivel (N)

montados sobre una plataforma nivelante (P) constituyen esencialmente el

conjunto del aparato.


FFuueennttee :: FFuueennttee:: TTeeoorrííaa ddee eerrrroorreess ee iinnssttrruummeennttaacciióónn,, aauuttoorr:: MMaannuueell CChhuueeccaa..

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


83

Y, evidentemente, debe conseguirse que el eje de colimación (eje óptico)

HH’ del anteojo sea paralelo a DF, directriz del nivel (línea de fé), y ambos

perpendiculares a EE’, eje principal (eje vertical).

Es claro que lo realmente importante es que para la visual de que se

trate se cumpla lo expuesto, no siendo preciso que EE’ sea rigurosamente

vertical.

Por otra parte, dada la extrema sensibilidad de algunos aparatos, resulta

prácticamente imposible centrar la burbuja en cualquier posición.

De acuerdo a lo que se vio en la parte de teodolitos, en una visual se cometerán

los siguientes errores accidentales:

• De horizontalidad (análogo al de verticalidad del eje de los teodolitos)

• De puntería (según lo visto anteriormente)

Se sabe, de la misma forma, que no existe error de dirección, y en cuanto al

de lectura, se ha establecido previamente que es preciso que la puntería sobre

la mira no de lugar a ningún error apreciable de lectura adicional sobre ella, aun

a costa de acortar las visuales, y, como no se debe leer ningún limbo ni

graduación en el aparato, no será preciso tener en cuenta error de dicha

denominación.

33..22..33.. MMiirraass ddee NNiivveellaacciióónn

Deben reunir características muy estrictas de precisión, garantizando

homogeneidad en su graduación e inalterabilidad a las variaciones de

temperatura. Acostumbran a construirse con una capa de pintura

antirreflectante para facilitar la lectura. Normalmente se fabrican en madera o

metal, utilizándose el metal de invar en miras de alta precisión. Algunas

disponen de un nivel esférico para garantizar su verticalidad y/o acostumbran a

situarse no directamente sobre el terreno, sino en una base especial, para evitar

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


84

errores residuales debidos a pequeños hundimientos motivados por distintas

compacidades de aquél.

Generalmente, están graduadas en centímetros. En casos muy

especiales, se utilizan miras de milímetros para distancias cortas,

especialmente en montaje industrial.

33..22..33..11.. MMiirraass ddee NNiivveellaacciióónn ddee PPrreecciiss iióónn

Este tipo de miras se utiliza para trabajos más precisos. En un marco de

madera se fija una tira graduada de invar, la cual se asegura en su parte inferior

y en la superior, con un resorte para calibrar su longitud, de modo que las

variaciones del marco por cambios de temperatura no afecten la longitud de la

tira graduada. También cuenta con un par de asas y un nivel circular de

burbuja. La mira siempre se coloca sobre una placa de acero y se puede sujetar

con dos tirantes engarzados en la parte superior de su longitud ajustable, para

mantenerse en posición vertical. Además, se puede girar sin mover los tirantes

para apuntar hacia el nivel.

La tira invar tiene dos series de graduaciones a intervalos de 10 mm (ver Figura

N° 28), pero su desplazamiento relativo y numeración son diferentes para

obtener dos lecturas distintas en un solo apuntamiento.

FFiigguurraa NN°° 2288,, GGrraadduuaacciióónn ddee llaa mmiirraa..


_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


85

33..22..44.. TTiippooss ddee nniivveelleess

Se distinguen varios tipos niveles como el de tipo Dumphy, nivel

Basculante, nivel Reversible, nivel de Precisión, nivel Automático, etc. Pero en

esta memoria se abordarán solamente los dos últimos, debido a su utilización

en el proyecto, y por encontrarse los primeros con muy poca utilización hoy en

día.

33..22..44..11.. NNiivveelleess ddee PPrreecc iiss iióónn

Estos niveles, al poseer una alta amplificación, permiten leer de mejor

forma la graduación en la mira, y al contar con un micrómetro, se logra obtener

una medida con la más alta precisión. No solo se utilizan en levantamientos

geodésicos y en levantamientos de ingeniería muy precisos, sino también para

medir pequeños desplazamientos verticales de estructuras, y en la revisión de

alineamiento vertical de alguna maquinaria, incluyendo pequeños cambios en

ángulo de inclinación.

AA.. MMiiccrróómmeettrrooss ddee PPllaaccaass PPllaannoo PPaarraalleellaass

Esta es una característica esencial de estos instrumentos y puede ser

parte integral de los mismos o una unidad removible. En este último caso, el

nivel mismo podría llamarse nivel universal porque puede usarse con diferentes

precisiones. Esta unidad permite leer en forma directa, más que estimar, el

décimo de milímetro entre el hilo horizontal de la retícula y la división más

cercana de la mira. El dispositivo consta en esencia de una placa plano paralela

de vidrio colocada frente al objetivo a la cual se da un movimiento basculante

mediante la rotación de la cabeza de un micrómetro en el extremo ocular del

telescopio. Debido a la refracción, un rayo de luz paralelo al eje del telescopio

se desplaza hacia arriba o hacia abajo, según la dirección de la inclinación, una

cantidad que varía con el ángulo de inclinación; cuando la placa es vertical no

ocurre ningún desplazamiento (Figura Nº 29).

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


86



6HD� /� HO� GHVSOD]DPLHQWR� HQWUH� OD� YLVXDO� \� OD� JUDGXDFLón más cercana

cuando la placa se encuentra inclinada un ángulo .�FRQ�UHVSHFWR�D�OD�YHUWLFDl.

En el triángulo ABC:

δβ

== BCyt

ABcos

Por lo tanto:

( )

−=

−=

ββαα

βαβ

δ

coscos

cos

sensent

sent

Pero

αβµ sensen =

'RQGH��HV�HO�índice de refracción del vidrio que se usa en la placa.

(69)

(70)

(71)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


87

Por lo tanto:

−

−−=

−−=

−−=

αµαα

αµαα

µα

µα

αααδ

22

2

22

2

2

11

cos1

1

cos1

sen

sentsen

sentsen

sen

sen

sentsen

Si a es pequeño (en radianes)

µµαδ 1−= t

33..22..44..22.. NNiivveell AAuuttoommááttiiccoo

Existen muchos tipos de instrumentos de nivelación sin ampolleta tubular

unida. Los telescopios de estos instrumentos deben ser más o menos

nivelados; un dispositivo compensador, en general basado en un sistema

pendular dentro del telescopio, corrige el desnivelamiento residual. Esos niveles

son muy populares por la facilidad de su uso, pero padecen de cierta

inestabilidad.

A. Operación de un compensador

En la figura Nº 30 se describe la operación ideal del instrumento. Cuando

el eje vertical está inclinado un pequeño ángulo con respecto a la vertical, si los

rayos de luz horizontales que pasan a través del centro óptico del objetivo

pueden desviarse para cortar el hilo horizontal de la retícula, como muestra la

figura Nº 30 entonces se logrará la lectura compensada de la mira, a pesar de

la inclinación.

(72)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


88

FFiigguurraa NN°° 3300,, CCoommppeennssaaddoorr..


De la figura Nº 30:

βα sFa ==

Por lo tanto:

αβ=

s

F

Si el tubo del telescopio se inclina un ángulo .�� HO� SULVPD� GHO� FHQWUR�compensador toma una nueva posición, en la que la línea vertical que pasa por

su centro de gravedad intersecta el punto donde se unen los dos hilos que lo

sostienen. La geometría del cuadrilátero formado por la base del prisma, los dos

hilos y la parte superior del telescopio es tal que la base del prisma se inclina

DKRUD��.�FRQ�UHVSHFWR�D�OD�KRUL]RQWDO��3RU�ODV�OH\HV�GH reflexión (los efectos de

otras reflexiones y refracciones son compensatorios):

66

Fsy == αβ

(73)

(74)

(75)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


89

Se observa que en la práctica será difícil que el compensador se coloque

con exactitud, así que pueden ocurrir desviaciones hacia arriba o hacia abajo.

B. Efectos Vibratorios en Niveles Automáticos

A pesar de la acción de los amortiguadores de los dispositivos de

compensación en los instrumentos, se presentan vibraciones periódicas

inducidas por el viento, tránsito o fábricas, que afectan la precisión de las

lecturas. Las ventajas de la nivelación automática son, en cierto grado,

equilibradas por las desventajas de su sensibilidad.

En estos instrumentos resulta esencial que el trípode se fije con firmeza

en el terreno. Las vibraciones pueden evitarse, o amortiguarse, sujetando de

manera ligera el trípode con las manos. Esta práctica no puede tolerarse en

nivelación con instrumentos convencionales de burbuja, pero sí se permite con

niveles automáticos. Con el instrumento firmemente instalado, no se afectará la

altura de la línea de colimación y cualquier inclinación ligera que ocurra se

corregirá de manera automática con el compensador. Sin embargo, en lugares

expuestos a vibración continua provocada por equipos mecánicos es preferible

usar nivel de burbuja. Los sistemas de amortiguación de los niveles automáticos

son en extremo eficiente y es ocasional que se produzca vibración de

resonancia por vibraciones de alta frecuencia en el compensador que puedan

afectar su precisión.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


90

33..33 IInnssttrruummeennttooss EEDDMM

En esta parte se dará a conocer los criterios que se deben considerar en

la utilización de instrumentos EDM Para ello se hará una descripción de las

partes que se encuentran contenidas dentro de un instrumento EDM.

33..33..11 PPrr iinncciipp iiooss bbáássiiccooss ddee mmeeddiicciióónn eelleeccttrroommaaggnnééttiiccaa ddee ddiissttaanncc iiaa

La medición de distancias a través de la electrónica fue descubierta

indirectamente, esto debido a que se realizaban experimentos para determinar

la velocidad de la luz, basado en el tiempo que transcurría la emisión de una

haz luminoso y la recepción de éste en el mismo lugar de partida tras hacer

rebotar el haz en un espejo plano ubicado a una distancia conocida. Este

principio se llevó a la medida de distancia, pero de forma distinta, ya que ahora

se conocía la velocidad de la luz, se determinaba el tiempo de propagación y el

valor desconocido era la distancia.

33..33..11..11 MMeeddiiddaass ddee ddiissttaanncc iiaa

Los instrumentos EDM que se usan en mediciones “geodésicas” pueden

clasificarse en dos grupos, de acuerdo al tipo de radiación electromagnética que

transportan las señales medidoras:

- Instrumentos EDM Electromagnéticos o sistema de microondas, que

emplean generalmente ondas de radio de longitud de onda entre λ = 1m

a λ = 1cm con frecuencias generalmente de 1010 Hz. Se les suele llamar

Telurómetros.

- Instrumentos EDM Electro-ópticos, frecuencias altas, ondas luminosas

del orden 1014 Hz (infrarroja de longitudes de onda de 700nm a 1,2µm; y

luz visible de entre 400nm y 700nm).1

En el primer grupo, las señales de media frecuencia proporcionan mayor

rango, pero son más afectadas por las condiciones atmosféricas y

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


91

entregan menor precisión; no obstante, para navegación marina y aérea

son de enorme interés. La diferencia de fase se puede medir

directamente.2

Para las precisiones topográficas se requieren equipos de frecuencias

altas, que permiten mayor precisión. Pero en estas frecuencias es muy

difícil medir la diferencia de fase, y la longitud de onda es tan pequeña

que es difícil utilizarla para las mediciones. Este problema se soluciona

modulando la alta frecuencia portadora con una de baja frecuencia, y

utilizar la onda modulada para propósitos de medición.3

Para mejor entendimiento, ver figura Nº 31, que especifica los rangos de

longitud de onda.

FFiigguurraa NN°° 3311,, EEssppeeccttrroo EElleeccttrroommaaggnnééttiiccoo..


1, 2, 3 Teoría de errores y Instrumentación, Volumén 1, Autor: Manuel Chueca Pazos, Editorial Paraninfo.

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92

AA.. CCllaassii ffiiccaacc iióónn ddee ddiissttaanncciióómmeettrrooss eelleeccttrróónniiccooss

Como se mencionó, la medida electrónica de distancias se agrupa en

dos sistemas, los aparatos que ocupan microondas “electromagnéticos” y los

que utilizan la luz láser o infrarrojos “electro-ópticos”. Pero se dará mas énfasis

a los instrumentos electro-ópticos.

AA11.. EElleeccttrroo--óópptt iiccooss..

Estos actúan en la zona del espectro luminoso, láser o infrarrojos,

pudiendo establecerse dos grupos según opera en la banda visible o no.

• Distanciómetros de luz visible.

• Distanciómetros infrarrojos.

AA22.. DDiissttaanncciióómmeettrrooss ddee lluuzz vviissiibbllee

Estos equipos utilizan como portadora, en la actualidad, láser gaseoso de

He – Ne para equipos de medida de largo alcance “geodímetros” y en

distanciómetros submilimétricos, que emiten en la banda visible del espectro, λ

= 0,6328 µm.

Los geodímetros se utilizan en Geodesia o en triangulaciones

topográficas del más alto orden, con alcance máximo de 40 – 60 km, con

precisiones del orden de +(5mm + 1ppm). El equipo reflector es pasivo,

consistente en prismas tallados para devolver la emisión en la misma dirección

y sentido contrario al que incide. Ejemplos: AGA – 8 (Sueco); Ranger Master III

(EEUU).

Los distanciómetros submilimétricos son de alcance máximo variable 2 a

15 km, pero de extraordinaria precisión +(0,2mm + 0,2ppm).

Ejemplo: Mekometer 5000 Kern (suizo).

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


93

AA33.. DDiissttaanncciióómmeettrrooss iinn ffrraarrrroojjooss

En este grupo se engloban aquellos que utilizan como fuente portadora

un diodo láser de arseniuro de galio.

Estos equipos que emplean láser operan en el infrarrojo cercano. Su

alcance máximo es de 20 km, con precisión del orden de +(5mm + 1ppm ).

0,800µm < portadora < 0,950µm.

Algunos de estos equipos efectúan medida de distancias sin necesidad

de prismas reflectores siempre y cuando se emitan la onda contra pared de

hormigón o similares, pudiendo llegar a determinar distancias de 100m con

precisiones de +1cm. Cabe destacar los equipos “Geo Pulsar de Fennel”, “Eldi

10 de Zeiss”, “DI – 3000 Wild”.

Los distanciómetros con fuente portadora de diodo normal de arseniuro

de galio GaAs, de menor alcance, pero con fines propiamente topográficos,

hasta 3 – 4 km, con precisiones del orden de +(5mm + 3ppm). Todas las

estaciones totales utilizan este sistema.

Estos equipos utilizan radiación modulada, tomando como onda

modulada o longitud de onda de medición valores que van desde unos pocos

metros a 40 m.

Cabe decir que teóricamente, y por su posición en el espectro, la luz

visible es más penetrante que la radiación infrarroja, y esta más que las

microondas. No obstante, como la medición no se hace en el vacío, sino en la

atmósfera, la presencia de polvo, vapor de agua en suspensión y condiciones

meteorológicas de todo tipo, hacen variar por dispersión, absorción, reflexión y

refracción la transmitancia del ambiente, y con el alcance efectivo de las ondas.

Además, debe prevenirse una apertura de haz que no produzca reflexiones

perturbadoras en el suelo, lo que también acorta el alcance máximo, con

independencia de la transmitancia atmosférica.

Como resumen de todo ello, la realidad es que los distanciómetros

electrónicos, de corto alcance, corresponden a la banda de infrarrojo, los de

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


94

medio alcance a la luz visible y los mayores alcances a la luz láser y al campo

de las microondas.

AA44.. CCeellddaa KKeerr rr

La conocida propiedad llamada birrefringencia de algunas sustancias es

básica para la obtención de los resultados que se persiguen. Como se ve en la

figura N° 32, en (a) un polarizador interpuesto en el camino de un haz luminoso

lo polarizará linealmente, por ejemplo, en un plano situado a 45° del eje XX. Y si

se pone un camino luminoso, zona (b), de una longitud igual a λ, las sucesivas

elongaciones se representarán por los vectores coplanarios C1C2C3C4C5. En

(c), una lámina de un cristal tallado normalmente a su eje óptico u otro material

birrefringente cualquiera que produzca el mismo efecto, origina la

descomposición del haz en dos, según se sabe, el ordinario y el extraordinario,

también polarizados, de distintas velocidades y, por lo tanto, diferentes índices

de refracción. No habrá cambio de dirección en ninguno de los dos rayos o

haces, por la forma en que está tallado el cristal, pero si habrá un evidente

desfase entre ellos.

Se supone que el espesor de la placa origina un retardo de un rayo

respecto al otro de 1/4λ.

FFiigguurraa NN°° 3322,, PPoollaarriizzaaddoorr iinntteerrppuueessttoo eenn llaa ttrraayyeeccttoorriiaa ddeell hhaazz lluummiinnoossoo..

FFuueennttee:: TTeeoorrííaa ddee eerrrroorreess ee iinnssttrruummeennttaacciióónn,, aauuttoorr:: MMaannuueell CChhuueeccaa..

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


95

Los planos de vibración de ambos rayos son normales entre sí, y sean

los Ex y Or para el rayo extraordinario y el ordinario, respectivamente.

Si se considera en (b) descompuesto el vector c en sus dos

componentes paralelas a XX y YY (a su vez paralelas a Or y Ex) en (d), a la

salida de (c) y en un trecho asimismo de 1/2λ una de las componentes (la

paralela a Or por ejemplo) mantendrá elongaciones en secuencia a las

correspondientes a (b), pero, la otra, con el desfase producido, trasladará sus

elongaciones a 1/4λ, como se indica en la figura. El resultado, según es claro,

es una serie de vectores d1d2d3d4d5 que ya no son coplanarios.

El haz luminoso (e) ha quedado polarizado circularmente, y su amplitud

debe representarse por un vector rotativo, que si el retraso es de 1/4λ, tendrá el

mismo módulo siempre.

Pero si el retraso producido por el medio birrefringente no vale 1/4λ, la

polarización no será circular, sino, en su caso más general, elíptica, con

variación de la amplitud para cada posición del plano giratorio de vibración

(como caso particular, si el desfase es de 1/2λ, fácilmente se ve que la

polarización vuelve a ser lineal).

Se puede concluir que si entre dos nicoles cruzados se interpone un

medio birrefringente, a la salida del analizador se verá claridad.

El nitrobenceno C6H5NO2, sustancia ópticamente inerte en condiciones

normales, orienta sus moléculas como dipolos eléctricos en presencia de un

campo eléctrico de elevado voltaje en una dirección común y adquiere poder

birrefringente (efecto Kerr).

Y si este campo es alterno, resulta ya evidente que a la salida del

analizador aparecerá una onda luminosa, periódica, de amplitud variable. Es

decir, una onda luminosa modulada, en el plano de polarización del analizador.

Un condensador cuyo dieléctrico (espacio entre placas) está lleno de

nitrobenceno se llama “celda Kerr”. Y si se consigue una precisión extrema en

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


96

los cambios de polaridad del condensador, la onda modulada será la unidad de

medida que se busca.

Ello es posible utilizando el fenómeno de la piezoelectricidad, es decir, la

gran sincronía de las oscilaciones de un cristal de cuarzo sometido a un campo

eléctrico variable, fenómeno que es reversible, de tal manera que un cristal de

cuarzo convenientemente tallado en el que, por solicitaciones mecánicas, se

produce un estado de vibración, da lugar a una polarización de sus moléculas

con cambio de signo de carga oscilante e isócrono, que no es sino el campo

eléctrico alterno que se deseaba. La precisión de las vibraciones del cuarzo

alcanza a una cota de error relativo en su frecuencia propia inferior a 107. Los

modernos relojes de cuarzo no hacen sino desarrollar esta propiedad.

Una celda Kerr, situada entre dos nicoles cruzados, cuyo campo eléctrico

sea controlado por un cuarzo vibrante, resuelve, pues, la cuestión y da lugar a

la onda luminosa modulada con las características de precisión exigidas.

La figura N° 33 resulta así evidente, representándose en ella el esquema

empleado en los geodímetros.

La intensidad luminosa resultante responde a la expresión

( )220 ElKsenII ⋅⋅⋅⋅= π

I0 = intensidad máxima.

l = distancia entre electrones.

I = intensidad.

K = constante de Kerr.

E = intensidad de campo eléctrico.

(76)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


97

FFiigguurraa NN°° 3333,, SSiisstteemmaa ddee mmoodduullaacciióónn óóppttiiccaa..

FFuueennttee:: TTeeoorrííaa ddee eerrrroorreess ee iinnssttrruummeennttaacciióónn,, aauuttoorr:: MMaannuueell CChhuueeccaa..

33..33..22 TTiippooss ddee mmeeddiicciióónn EEDDMM

33..33..22..11 IInnssttrruummeennttooss ddee tt iieemmppoo ttrraannssccuurrrr iiddoo PPuullssaacciióónn

Los instrumentos EDM de pulsación generan varios impulsos de luz láser

o infrarrojos cortos, que se transmiten por el telescopio a un objetivo (reflector).

Estos impulsos se reflejan en el objetivo (reflector) y vuelven al instrumento,

donde el sistema electrónico determina el tiempo en que cada impulso de luz ha

tardado en volver. Puesto que la velocidad de la luz a través de un medio se

puede estimar de forma precisa, el tiempo de desplazamiento

t

cDist

⋅=

2.

se puede utilizar para calcular la distancia entre el instrumento y el objetivo

(reflector).

Para poder determinar el tiempo de desplazamiento, se utilizan

contadores electrónicos. Este sistema es utilizado en mediciones de distancias

desde la Tierra a satélites que están recubierto por prismas de reflexión total, y

cuentan con relojes atómicos para realizar el conteo (sistema SLR, Satellite

Laser Ranging).

(77)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


98

33..33..22..22 IInnssttrruummeennttooss ddee ccoommppaarraacciióónn ddee ffaassee

Este método funciona al modular una señal de medición en una señal de

onda portadora continua. El método es similar en principio a la manera en que

se modula la música en una portadora para las transmisiones de radio, excepto

que para la EDM la portadora se presenta en longitudes de ondas de luz.

El instrumento mide una desviación de fase constante a pesar de las

inevitables variaciones en la señal emitida y recibida. Sólo se obtiene la

desviación de la fase a través de la comparación de fases; en principio, una

ambigüedad del ciclo evita que la distancia total se estime directamente. Esta

ambigüedad se resuelve utilizando varias longitudes de onda de modulación en

la medición, lo que proporciona un único número entero de ciclos. Una vez que

se obtiene el número entero, la distancia al objetivo (reflector) se puede

determinar de forma precisa.

En principio, la onda electromagnética está definida por:

donde

A = amplitud.

w = velocidad angular.

y = elongación.

t = Tiempo.

ϕ = fase correspondiente a t = 0

Se entiende por fase a la característica que indica el estado de avance o

progreso de un fenómeno periódico, y viene relacionado por:

ϕ = w * t

en dos instantes diferentes, valdrá:

ϕ1 = w1 * t1

ϕ2 = w2 * t2

( )ϕ+⋅⋅= twsenAy (78)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


99

luego la diferencia de fase:

ϕ2 - ϕ1 = w * (t2 – t1) Dt2 – t1 = ϕ2 - ϕ1

w

y como w = 2*π*f

t2 – t1 = ϕ2 − ϕ1

2*π*f

de manera que se puede establecer una relación entre diferencias de tiempo y

diferencia de fase de una señal de frecuencia conocida. Hoy en día se puede

determinar la diferencia de fase y frecuencia con buena precisión.

AA.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaa ddiiss ttaanncciiaa sseeggúúnn llaa oonnddaa mmaaggnnééttiiccaa

Instalando el instrumento emisor (EDM) en un punto A, el reflector (activo

o pasivo), en un punto B y la distancia a medir es AB = D.

Se emite una onda desde el reflector hasta el prisma y se asumirá que la

onda se refleja en él en forma puntual.

Se sabe que la onda reflejada llegará a A como si viniera de A’ simétrico

de A respecto a B.

Con una longitud de onda λ, la distancia será:

+⋅=

πθλ2

2 mD

es decir

+⋅⋅=

πθλ22

1mD

Donde:

m = número entero de longitudes de onda contenido en la distancia AA’

θ = desfase entre la onda emitida y recibida.

Si se utiliza otra onda λ1, próxima también se cumplirá

+⋅⋅=

πθλ22

1 11 mD

(79)

(80)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


100

FFiigguurraa NN°° 3344.. DDeessffaassee ddee llaa oonnddaa..

FFuueennttee:: TTeeoorrííaa ddee eerrrroorreess ee iinnssttrruummeennttaacciióónn,, aauuttoorr:: MMaannuueell CChhuueeccaa

La solución a la determinación de D estará teóricamente resuelta, ya que

se puede medir θ, θ1 y como λ y λ1, son conocidas; por lo tanto, sólo se

desconoce m y D que son fácilmente calculables.

La medición de θ se realiza comparando la fase de la onda modulada al

salir y la de retorno. Para ello, se utiliza un comparador de fase.

El desfase se puede medir con un error del orden de una milésima del

valor de la longitud de onda.

BB.. LLiimmii ttaacciioonneess pprráácctt iiccaass aa llaa ddeetteerrmmiinnaacciióónn ddee ddiissttaanncciiaass

Todo lo comentado anteriormente parece sencillo, pero se debe tener

cierto cuidado ya que hay que considerar una serie de correcciones o

ambigüedades, que se explicarán a continuación.

Como en el emisor el centro geométrico y el eléctrico no son coincidentes

se produce un recorrido adicional, no integrado en la fórmula anterior; también

en el reflector la onda sufre un recorrido interno, y sea el componente suma de

ambos 2k.

Entonces:

( )

+⋅=+

πθλ2

2 mkD

(81)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


101

La longitud de onda es función de la frecuencia de modulación y de la

velocidad de propagación.

f

c=λ

En el vacío, la velocidad es constante para todas las ondas

electromagnéticas y es igual a c0 = 299.792,5 Km.

Pero en la atmósfera, la velocidad de propagación c es menor que en el

vacío c0 y ambas vienen relacionadas por el índice de refracción

n

cc 0=

como el valor de n es desconocido, para las aplicaciones prácticas será

necesario utilizar un valor n1 en las mediciones, que se considere adecuado.

Esta presunción de n1 para el medio, implicará suponer conocido c1, f1 y

λ1 definidos por:

1

01 c

cn =

11

0

1

1111 fn

c

f

cTc

⋅==⋅=λ

y resultará:

πθλλ

22

1

211

11

⋅⋅+⋅=+m

kD

El fabricante de instrumentos da generalmente el valor, pero en

condiciones atmosféricas específicas, la realidad es que el índice de refracción

real del medio es n2 con:

fn

c

⋅=

2

02λ

De donde la distancia real es:

(82)

(83)

(84)

(85)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


102

πθλλ

221

222

22

⋅⋅+⋅=+ mkD

Obtenida con un n2, utilizando λ2 como patrón de medida calculado a partir de

c0, n2 y f2.

Comparando ambos resultados (distancia medida y D1).

πθλλ

22

1

211

11

⋅⋅+⋅=+m

kD

πθλλ

22

1

222

22

⋅⋅+

⋅=+

mkD

La diferencia entre ambas se debe a los valores de k y λ.

Dividiendo cada término, y despejando:

( ) ( ) ( )0

22

11

022

2

12211 c

fn

fn

ckDkDkD

⋅⋅⋅

⋅+=⋅+=+λλ

( ) ( )11

222211 fn

fnkDkD

⋅⋅⋅+=+

Admitiendo que el oscilador prácticamente genera una frecuencia

constante y, por lo tanto, f1 = f2

( ) 22

1112 k

n

nkDD −⋅+=

Donde:

D2 = distancia buscada.

D1 = distancia medida por el equipo para n1.

n1 = índice de refracción estándar.

n2 = índice de refracción de medida en campo.

k = recorrido interno.

D1 es la distancia que mide el instrumento, luego en función de las

condiciones atmosféricas que se le introduce en campo, el instrumento hace la

corrección correspondiente y en pantalla da directamente la D2, siempre y

cuando a la constante aditiva o corrección de cero se le haya introducido

correctamente.

(86)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


103

33..33..33 FFuueenntteess ddee ppoorrttaaddoorraa

En los instrumentos EDM electromagnéticos las ondas portadoras se

generan con circuitos transistorizados o con tubo electrónico llamado “Klystron

reflex”. Usando portadoras de 15cm a 2cm.

Para los instrumentos EDM electro-ópticos existen diversas formas de

emitir la portadora, algunas de estas formas ya están en desuso, por ejemplo

las lámparas de Tungsteno o de arco de mercurio que han sido reemplazados

por el He-Ne, láser, que debido a su radiación puede utilizarse para distancias

largas de noche y en las horas del día, debido a su densidad de potencia

elevada y a la posibilidad de filtrar la luz ambiental. En la actualidad tienen

mayor utilización los diodos electroluminiscentes (LED).

33..33..33..11 DDiiooddooss eelleeccttrroolluummiinniisscceenntteess ((LLEEDD))

Puede ser LED normal o LED láser.

El LED normal, consiste de un semiconductor colocado entre dos

electrodos. La familia más importante de láser semiconductores es la de

Arseniuro de Galio, GaAs, formada por la unión P(Ga) y N(As), la dimensión es

de 0,5 mm. de longitud y el espesor de la unión p – n es de milésimas de

milímetro. Si se añade a este semiconductor Te y Zn, la emisión se produce con

una longitud de onda entre 900nm y 920nm.

El semiconductor está formado por una estructura de bandas, cuyo nivel

exterior lo forma la banda de conducción y el siguiente grupo de niveles lo

constituye la banda de valencia; entre ambas queda la banda prohibida.

Cuando un electrón gana energía salta de la banda de valencia a la de

conducción. Si alguno queda en la zona prohibida retorna a la valencia

devolviendo su energía y emitiendo fundamentalmente fotones.

El número de electrones portadores de carga se puede modificar

añadiendo al material (dopado) impurezas, por ejemplo Te y Zn.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


104

LED láser, similar al anterior, pero con un superior dopado, pero al

aumentar la tensión puede entrar en resonancias y producir un rendimiento

superior.

33..33..33..22 LLáásseerr ddee ggaass

El más utilizado es el láser de Helio – Neón (He - Ne).

La descarga se hace pasar a través de una mezcla de He – Ne,

excitándose los átomos de He. Sus niveles próximos a los de Neón, colisionan y

se transfiere la energía de unos niveles a otros. La emisión de láser puede

ocurrir en varios niveles, eligiéndose la longitud de onda mediante la

configuración de espejos de la cavidad.

La longitud más utilizada del láser de He – Ne es en el rojo, en 632,8 nm

óptima para los EDM, ya que sufre poca absorción en la atmósfera.

33..33..44 DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaa VVeelloocciiddaadd ddee PPrrooppaaggaacciióónn ““ cc”” Como se dijo, que el funcionamiento de los instrumentos de tiempo

transcurrido (Pulsación) dependía de la velocidad de propagación y del tiempo

empleado por el haz de luz en recorrer una distancia desconocida, se hace

necesario determinar el índice de refracción del medio para luego obtener el

valor de la velocidad de propagación.

Utilizando la determinación del profesor Bergstrand de Estocolmo

(acogida por la Asociación Geográfica y Geofísica Internacional, Toronto, 1957)

que dice:

en donde:

c0 = 299.792,5 km/sg

n = índice de refracción del aire en las condiciones de la medición.

n

cc 0=

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


105

Por lo tanto, se puede inferir que la precisión en la medición depende de

la determinación del índice de refracción.

Como corolario de lo anterior, las casas fabricantes de instrumentos

entregan a los usuarios tablas donde indican un índice de refracción de partida

estándar, correspondiente a condiciones meteorológicas ideales, y que varían a

partir de estas.

En mediciones geodésicas de gran precisión, es necesario realizar

correcciones en función de n. Existe una fórmula que se puede aplicar para

calcular n, esta se llama “Fórmula De Gladstone”:

Donde P y T presión y temperatura Kelvin. Tomando T0 = 273° K y P =

760mm/Hg, n0 vale 1,0003036 para un contenido básico de CO2 en el aire de

0,03%.

33..33..55 DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaa CCoonnssttaannttee ZZ

Esta constante es característica para cualquier instrumento y reflector, o

sea, es la suma de la constante del instrumento y la constante del prisma.

En un reflector pasivo, la onda incidente penetra a través de la superficie

del prisma, realizando un recorrido por su interior, y tras tres reflexiones sale del

prisma en dirección paralela a la entrada y sentido contrario regresando así al

distanciómetro (EDM).4

En el recorrido que realiza la onda incidente por el prisma y debido al

índice de refracción del prisma “n3”, producirán una variación de fase ∆ϕ, que

involucrará en el cálculo de distancia un recorrido adicional ∆D = λ∗∆ϕ.

El recorrido adicional dependerá del tipo de láser utilizado y del tipo de

cristal usado para el reflector (que definen n3), por lo que este recorrido interno

00

0 11T

P

nT

P

n ⋅−

=⋅−(87)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


106

del reflector (D) será variable según el reflector usado y el tipo de onda

empleada en la medición.

Otro error que se debe tomar en cuenta es la falta de verticalidad del

instrumento portaprisma, determinando la verticalidad del jalón un punto distinto

del que se desea medir.5

Ahora bien, la constante del instrumento se produce por la falta de

coincidencia entre el centro geométrico del instrumento y el centro electrónico.

A esta falta de coincidencia se le conoce con el nombre de constante aditiva.

Esta corrección se realiza en fábrica, pero el usuario puede comprobarla.

33..33..66 TTiippooss ddee rreefflleeccttoorreess

La distanciometría electrónica se basa en la emisión de una onda desde

un elemento emisor hasta otro elemento que la devuelve por reflectores pasivos

o bien la amplia y la devuelve para su análisis que es el caso de los reflectores

activos.

Los instrumentos que tienen como principio fundamental, para las

mediciones de distancias, las ondas electromagnéticas, trabajan con reflectores

activos, llamado al equipo estación como “master” y al reflector como “remoto”.

En cambio los electro-ópticos trabajan con reflectores pasivos.

33..33..66..11 RReeff lleeccttoorreess ppaassiivvooss

El acto de devolución de la señal puede ser por reflexión pura o por

reflexión – refracción. En el primer caso puede hacerse con un simple espejo

plano, o por espejo parabólico, o por triedro trirectángulo formado por tres

espejos planos. Pero en la mayoría de los EDM se utilizan reflectores mixtos de

refracción – reflexión.

El reflector es un dispositivo inerte donde la naturaleza depende de la

potencia energética de la emisión. Si el reflector es una superficie lisa de gran

4, 5 Teoría de errores y Instrumentación, Volumen 1, Autor: Manuel Chueca Pazos, Editorial Paraninfo.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


107

tamaño o un papel adhesivo reflectante, es suficiente para trabajar con ciertos

aparatos y a cortas distancias, pero en la mayoría de los casos la energía

reflejada es insuficiente, y el reflector utilizado se convierte en un prisma de

reflexión total o retrorreflector.

El prisma más usado es el resultante de truncar el vértice de un cubo, y

está formado por una pirámide trirectangular de lados isósceles y base

equilátera. Son de vidrio macizo, y su fundamento se basa en que el rayo

luminoso incidente que llega a la base equilátera es devuelto en dirección

paralela a la entrada tras una triple reflexión.

Las láminas reflectantes, están constituidas por infinidad de diminutas

esferas de vidrio que devuelve la luz, pero con una amplia dispersión; por ello

tiene gran limitación en cuanto a la distancia de trabajo.

33..33..77 EErr rroorreess eenn llaa mmeeddiiddaa ddee ddiiss ttaanncciiaass eelleeccttrróónniiccaass

La precisión (desviación estándar) realizada con instrumentos EDM

puede ser expresada de la siguiente forma:

Donde:

a = error de la fase de medición, centrado, y error de calibración.

b = error de escala debido a la incertidumbre en la determinación del índice de

refracción y la calibración de la modulación de la frecuencia.

D = distancia medida.

La desviación estándar para el infrarrojo cercano y la onda luminosa de

la portadora de los instrumentos EDM, pueden ser determinados por la suma de

las variancias de los componentes:

222 Dba ⋅+=σ

2222REFCALCRESD σσσσσ +++=

(88)

(89)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


108

Donde:

σD = error en la medida de distancia (pendiente).

σRES = resolución del instrumento.

σC = error de centrado.

σCAL = error de calibración.

σREF = corrección del error de índice de refracción.

33..33..77..11 RReessoolluucciióónn ((σσσσRREESS))

La resolución en la medición con instrumental EDM, varía según las

especificaciones tipo de cada instrumento, pero generalmente es función de la

modulación de la longitud de onda y la sensibilidad para detectar diferencia de

fase de la señal. El valor constante usado para la resolución (σRES) de los

instrumentos EDM es normalmente dado en las especificaciones del equipo

(Manual).

33..33..77..22 CCoorr rreecccciióónn ddeell eerr rroorr ddee rreeffrraacccciióónn ((σσσσRREEFF))

La precisión en la corrección del índice de refracción, depende de la

exactitud en los valores de la Temperatura y Presión dentro de la fórmula de

corrección de refracción. Para anotar el efecto de la imprecisión de la

Temperatura y Presión sobre la distancia corregida, la siguiente aproximación

puede ser usada:

Donde:

σREF = error en la determinación de la corrección de refracción.

σN = error en la determinación del índice de refracción.

N = índice de refracción estimada.

( )

⋅

= 2

2

2

DiN

NREF

σσ (90)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


109

Di = distancia inclinada.

Para una estimación simplificada del error de corrección de refracción,

una fórmula aproximada como la de arriba puede ser usada. En la ecuación

siguiente para el error en la corrección de refracción desprecia la presión parcial

del vapor de agua, sin crear una distorsión extrema para la estimación del error

en la distancia:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 6101709,3

1×⋅⋅

⋅+=

T

PNN G

( ) ( ) ( ) ( )[ ]12

2Pr

222

101×⋅+⋅

= esTempN

BA σσσ

Donde:

NG = (287,604) + [(4,8864) / (λ2)] + [(0,068) / (λ4)]

λ = Longitud de onda (en micrómetros)

T = 273,15 + t

t = Temperatura en ° C (estándar = 15° C)

P = Presión en mbar (estándar = 1013,25mb)

A = [(-NG / 3,709)*(P / T2)]2

B = [(NG / 3,709) / (T)]2

σTemp = Incertidumbre en la medida de Temperatura.

σPres = Incertidumbre en la medida de Presión.

La humedad relativa es el parámetro crítico menor en la determinación

del índice de refracción para los instrumentos EDM con fuente de luz y con

infrarrojo cercano. La diferencia de temperatura entre estaciones puede ser

sustituida por la medida de incertidumbre de la temperatura dando estimaciones

más conservativas de la corrección del error de refracción. El error también

(91)

(92)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


110

puede ser determinado sencillamente por multiplicaciones a la distancia de 1

ppm por cada ° C en el error de medición de la temperatura aproximada,

obtenida de la desviación estándar del término de la corrección de refracción.

33..33..77..33 EErr rroorr ddee cceennttrraaddoo ((σσσσCC))

La estimación del error de centrado para la medida de distancia (σC)

puede ser calculada según la fórmula siguiente:

Donde:

σinst = error de centraje del instrumento.

σpunt= error de centraje en la puntería.

33..33..77..44 EErr rroorr ddee CCaall iibbrraacciióónn ((σσσσCCAALL ))

El error de calibración se refiere a la precisión (desviación estándar) de la

corrección de la constante, determinado para la calibración del instrumento.

33..33..77..55 EErr rroorr eennttrree ddiiss ttaanncciiaa iinnccll iinnaaddaa yy ddiissttaanncciiaa hhoorr iizzoonnttaall

La incertidumbre en la distancia horizontal se debe a la precisión en la

determinación de la diferencia de altura y la precisión en la medida de la

distancia inclinada.

Donde:

σhorz = error distancia horizontal.

σDi = error distancia inclinada.

σ∆h = error diferencia de altura.

Di = distancia inclinada.

22puntinstC σσσ +=

22hDihorz

Dhz

Di∆+⋅= σσσ

(93)

(94)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


111

Dhz = distancia horizontal.

Ejemplo: Error de distancia EDM “Con un instrumento EDM de resolución

3,0mm, longitud de onda λ = 0,850µm, centrado con una plomada óptica y con

una altura instrumental de 1,5m para el instrumento y para la puntería, el

resultado en la determinación de la distancia tendrá una incertidumbre de

aproximadamente 3,2mm (un sigma, para 15° C, 1013mb, sobre una distancia

de 200m), asumiendo que la temperatura y presión fueron medidos 1° C y 3mb

respectivamente. Si una diferencia de temperatura de 7° C es sustituida por

error de temperatura, el error de distancia estimada aumenta a 3,5mm. Usando

los valores de arriba y una incertidumbre en la diferencia de altura de 3mm, la

reducción de la diferencia de altura de la estación, adhiere aproximadamente

1mm (un sigma de error) en la distancia horizontal sobre 20m de diferencia de

altura.

33..33..77..66 EErr rroorr eenn llaa aall iinneeaacciióónn ddee llooss rreeff lleeccttoorreess

Los modelos antiguos de los prismas reflectores pueden introducir

pequeños errores en la medida de distancia y en la dirección de la medida

debido al error de orientación. La magnitud del error se basa sobre factores

como la longitud de onda del instrumento EDM, la dimensión del prisma, el

índice de refracción del cristal del prisma, y el error de alineamiento de los

ángulos verticales y horizontales (no perpendicular a la línea de visual). Con

direcciones, horizontales y verticales, el error puede limitarse a 1 arco de

segundo (sobre los 500m) con un error en la alineación menor a 10° . El error

angular es muy dependiente de la distancia que existe entre el instrumento y el

reflector, es decir, a distancias más cortas producirá errores más grandes.

Diseños modernos de reflectores: se han rediseñado los prismas de los

reflectores para minimizar la influencia en la medición de distancia debido al

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________________________________________________________________________________________________


112

error en la alineación. Con prismas normales, los errores resultantes en la

medida de distancias son despreciables para un error de alineación pequeño.

Sin embargo, se debe poner bastante cuidado a la hora apuntar.

33..33..77..77 EErr rroorr ddee EEssccaallaa

AA.. VVeelloocciiddaadd ddee FFrreeccuueenncciiaa ddeebbiiddoo aa llaa TTeemmppeerraattuurraa

El término de velocidad corta en los osciladores de frecuencia de los

instrumentos EDM, es más probable que ocurra durante el precalentamiento de

los componentes electrónicos internos. Si la velocidad de frecuencia persiste

durante la medición, entonces las medidas dependerán de un tiempo

predispuesto que puede llegar a alcanzar un valor máximo de velocidad de

unas 3 ppm (dependiendo del instrumento y del ambiente).

BB.. VVeelloocciiddaadd ddee FFrreeccuueenncciiaa ddeebbiiddoo aall EEnnvveejjeecciimmiieennttoo

La Velocidad de Frecuencia puede ocurrir también por el envejecimiento

mecánico del oscilador de cristal, los instrumentos EDM desarrollan una medida

de escala interna (en algunos casos de 1 ppm por año). Este puede ser un

factor crítico cuando se realizan estudios de deformaciones, puesto que es el

mismo instrumento utilizado para contrastar los resultados en el tiempo.

CC.. CCaall iibbrraacciióónn ddeell EErrrroorr ddee EEssccaallaa

Para mediciones precisas, se recomienda realizar por lo menos una vez

al año una calibración del instrumento EDM El método más común para realizar

la calibración del error de escala, es realizar mediciones sobre una Línea Base

de Calibración certificada.

El error de escala es determinado al comparar una serie de distancias

medidas sobre una línea con estaciones donde las distancias entre ellas son

conocidas de manera precisa. Las distancias entre estaciones conocidas

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


113

precisamente se contrastan con el producto de las distancias medidas y el

factor de escala desconocida, como muestra la ecuación siguiente:

( ) 0=−⋅ FIXMED DDk

Donde:

k = factor de escala desconocido.

DMED = distancia medida.

DFIX = distancia conocida (fija).

La distancia horizontal medida (DMED) se procesa mediante un ajuste de

mínimos cuadrados lineal para obtener posteriormente el factor de escala

desconocido (k). Una vez que se ha determinado el error de escala, todas las

mediciones de distancias siguientes deben ser multiplicadas por este factor de

escala (k) constante, para entregar resultados de distancias corregidas.

33..33..77..88 EErr rroorr ddeell ppuunnttoo cceerroo ddeell EEDDMM yy eell pprr iissmmaa

AA.. CCoonnssttaannttee aaddii ttiivvaa oo eerr rroorr cceerroo

Como se mencionó anteriormente, la constante aditiva es un error

sistemático desconocido y está presente en todas las medidas de distancias

realizadas por un instrumento EDM y un prisma. El error es normalmente

pequeño para instrumentos que usan ondas luminosas. El error es una

constante absoluta que existe entre el centro óptico y el mecánico del reflector,

y del centro eléctrico del instrumento EDM cuando es ubicado sobre una

estación. Las distancias no corregidas pueden producir discrepancia en la

obtención de distancias entre los puntos. Este error puede ser obtenido

realizando observaciones múltiples sobre una red de puntos.

BB.. DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee llaa ccoorr rreecccciióónn

Las distancias medidas pueden ser corregidas determinando la constante

aditiva de la combinación del instrumento y el prisma sobre una línea base de

(95)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


114

calibración. El proceso de calibración depende de la comparación de la

distancia medida con la distancia verdadera entre los pilares.

FFiigguurraa NN°° 3355,, CCoonncceeppttoo ddee llaa bbaassee ddee ccaalliibbrraacciióónn ppaarraa llaa ddeetteerrmmiinnaacciióónn ddeell eerrrroorr cceerroo..


CC.. EEccuuaacciioonneess ddee OObbsseerrvvaacciióónn

Esta ecuación básica se repite para cada par de estación (pi) observada

a lo largo de la línea base y el método paramétrico de mínimos cuadrados lineal

es utilizado para obtener el término constante (z). Por ejemplo, puede ser

expresada la medida y la distancia verdadera usando las coordenadas de las

estaciones.

( )( )( )( )( )( ) 346346

245245

234234

143143

132132

121121

ppdzppm

ppdzppm

ppdzppm

ppdzppm

ppdzppm

ppdzppm

−=+−=−=+−=−=+−=−=+−=−=+−=−=+−=

( ) .6,,1; �=+= izdm ii

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


115

Luego:

zppm

zppm

zppm

zppm

zppm

zppm

++−+=+++−=+++−=++++−=++++−=++++−=

436

425

324

413

312

211

00

00

00

00

00

00

Haciendo que la coordenada del punto inicial (p1) sea cero, y dejando

que las otras coordenadas sean desconocidas (p2, p3 y p4), más aún la

constante (z) también es desconocida, por lo tanto este sistema de ecuaciones

puede ser representado por la siguiente matriz:

Donde:

[ ]

[ ]654321

432

1110

1101

1011

1100

1010

1001

mmmmmmf

zpppv

A

T

=

=

++−++−++−++++++

=

El parámetro desconocido (z) es común para cada medida sobre un

grupo de medidas determinadas, y se usa para detectar la discrepancia entre

las medidas. La solución de mínimos cuadrados:

( ) fPAAPAv TT ⋅⋅⋅⋅⋅=−1

bxA =⋅

(96)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


116

Es recomendable utilizar cuatro puntos (pilares) de una línea base para

determinar conjuntamente el error de escala y la constante aditiva, para ello es

necesario que se realicen observaciones atrás y adelante; para cualquiera de

los casos es menester aplicar las reducciones a los datos medidos (índice de

refracción y reducción de distancia inclinada a horizontal).

La exactitud de la propia corrección dependerá del número de

observaciones que se hagan y la precisión con que se lleve acabo esta.

33..33..77..99 EErr rroorr cc ííccll iiccoo

Un error cíclico es aquel cuya magnitud depende de la diferencia de la

fase real f que se mide, es decir, en la parte residual de la distancia por debajo

y por encima de un número entero de longitudes de onda efectivas completas.

Este es más común que suceda en los instrumentos de microondas y tiende a

ser pequeño.

Para detectar el error es necesario colocar el instrumento sobre una base

de calibración con una posición fija en un extremo y una móvil en el otro. Esta

última posición debe ser capaz de moverse a lo largo de la línea que se mide a

través de una distancia justamente mayor que una longitud de onda completa.

El procedimiento es colocar el instrumento y después medir una serie de

distancias moviendo el reflector una distancia definida para cada medición

sucesiva. Por ejemplo, si λ = 10m, el reflector podría montarse sobre un riel de

10,1m de largo y moverlo 0,1m entre lecturas. Las lecturas se registran con

cuidado, pero los múltiplos superiores de la longitud de onda básica se ignoran

porque serán los mismos para todas las lecturas. Una lectura se trata como

referencia (es conveniente tomar la lectura de la distancia mas corta) y para

cada distancia sucesiva se calcula el incremento en la distancia medida. Pero el

incremento en la distancia verdadera se conoce porque es la distancia que se

mueve el reflector, y el “error” (incremento registrado menos el incremento

conocido) se calcula. Este entonces se grafica contra la parte de la lectura que

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


117

representa la parte residual de la trayectoria para dar una gráfica del error

cíclico.

Siempre se puede sumar o restar una constante a la gráfica como

“referencia” en cada distancia residual deseada. Como la corrección del error

cíclico debe aplicarse antes de evaluar las constantes del instrumento y del

reflector, este cambio en la gráfica no tiene efecto en la distancia medida.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


118

CCaappííttuulloo IIVV

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


119

4. Base de Calibración p ara Instrumentos Topog ráficos y

Geodésicos

Para este proyecto, se deben tratar diversos puntos acerca de la utilización

de instrumentos, los cuales en su conjunto formarán la Base de Calibración

para Instrumentos Topográficos y Geodésicos.

Los puntos de mayor importancia, son los siguientes:

- Procedimientos para construir la Base.

- Procedimientos para realizar las mediciones conforme a la Norma ISO

17123.

- Obtención de la medida patrón

- Selección del mejor equipo para realizar el proyecto, etc.

Todo lo referente a construcción de pilares (ver Anexo B) se debe aplicar de

la misma forma para Teodolitos, Niveles y EDM, por lo tanto se obviará en los

ítem siguientes.

La Base de Calibración para Instrumentos Topográficos y Geodésicos.,

tiene como objetivo:

• Examinar : con la prueba que se le hace a los instrumentos se

determina la precisión con que el instrumento está trabajando.

• Calibrar : aquí se analiza el resultado obtenido entre la medición

del instrumento y el valor patrón de la Base de Calibración, para

luego determinar algún factor o función de calibración.

Antes de comenzar cualquier medición es importante que los

instrumentos (Teodolitos, Niveles y EDM) y sus componentes sean conocidos y

permanentemente ajustados por el operador, de acuerdo a los métodos

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


120

especificados en el catálogo; se recomienda además emplearlos con trípodes,

miras y prismas indicados por el fabricante.

Además de lo indicado anteriormente, se debe tener en cuenta ciertos

factores de tipo físicos que ayudan al desarrollo del proyecto como los que se

indicarán a continuación.

44..11.. SSeelleecccc iióónn ddeell SSii ttiioo

Se debe tomar en cuenta muchas situaciones para la selección del sitio

donde será establecida la Base de Calibración, entre ellas están las siguientes:

44..11..11.. AAcccceessoo

La localización del sitio debe ser de fácil acceso, preferentemente

un lugar próximo a la ciudad. Debe además, existir un buen camino que

conduzca al lugar, puesto que el proyecto debe ser de carácter general,

es decir, el lugar donde se ubique el proyecto debe ser accesible a todo

el público que lo requiera.

44..11..22.. TTeerr rreennoo

La recomendación más importante en la selección del lugar, es

que sea geológicamente estable y no susceptible a movimientos de la

superficie como resultados de lluvias pesadas, volcanismo, tectonismo,

meteorización, etc. Bajo ninguna circunstancia las marcas deben ser

puestas en concreto o piedras de macadán, veredas o caminos, pero

pueden ser aprovechables algunos sitios de aeropuertos u otras

localizaciones similares.

Además, es fundamental que todos los puntos o pilares sean

intervisibles.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


121

44..11..33.. NNaattuurraalleezzaa ddee llooss OObbssttááccuullooss

Se debe tomar como precaución el no ubicar la Base bajo líneas

de Alta Tensión (sobre los 4000 Voltios), líneas de transmisión, torres de

microondas, radares, etc. Para ello es recomendable ubicarla a una

distancia de más de 400 m de estos.

No debe atravesar una carretera o algo semejante; de lo contrario

el calor del suelo y del aire afectaría a las mediciones realizadas.

Además, la Línea Base no debería atravesar cursos de aguas, acequias,

canales, etc.

Se deberá limpiar el sector por lo menos 3 m a cada lado de los

pilares o puntos, de arbustos, malezas, etc.

44..11..44.. LLooccaall iizzaacciióónn

Las posibilidades que se tienen para la ubicación de la Base son

pocas, pero una opción concreta sería un aeropuerto pequeño, ya que

este tendrá un acceso fácil; del mismo modo sería factible o una

propiedad pública o bien un terreno particular que presente las

condiciones expuestas anteriormente.

44..22.. CCoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa BBaassee ddee PPrruueebbaa ppaarraa TTeeooddooll ii ttooss

En base a todo lo descrito con respecto al teodolito y los distintos tipos de

errores que se podrían cometer, y teniendo en cuenta que la Base de

Calibración requiere un alto grado de precisión en su creación, se estará en

condiciones de elegir aquellos instrumentos (teodolitos) que cumplan con tales

especificaciones, es decir, instrumentos precisos, como los que se detallan a

continuación:

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


122

Instrumento WILD T3 LEICA T3000 TRIMBLE 5600

Aumento del anteojo 40X 46X 30X

Lectura directa 360°

400g

0,2’’

1CC

0,5”

1,5CC

1”

3CC

Nota: Todas las características principales de estos equipos se detallarán en el

Anexo C.

44..22..11.. PPrroocceeddiimmiieennttooss ppaarraa ccoonnff iigguurraarr yy ccoonnssttrruu iirr llaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn

ppaarraa TTeeooddooll ii ttooss ((ÁÁnngguullooss HHoorr iizzoonnttaalleess))

Para realizar este proceso se deben tener en cuenta ciertos factores que se

detallan a continuación:

• Se debe tener cinco pilares fijos alrededor de un pilar base. Los cinco

pilares deben estar localizados aproximadamente en un mismo plano

horizontal que el instrumento, y a una distancia de entre 100 a 250 m

para mitigar el efecto de refracción y curvatura de este, situados además

en intervalos de manera regular, es decir, los ángulos horizontales entre

dos blancos seguidos deben ser similares en magnitud (ver figura N° 36).

FFiigguurraa NN°° 3366,, CCoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa BBaassee ddee CCaalliibbrraacciióónn ppaarraa áánngguullooss hhoorriizzoonnttaalleess..


_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


123

44..22..11..11.. PPii llaarreess

AA.. EEssttaabbii ll iiddaadd

Si se seleccionan pilares como monumentos, se debe reconocer

que la estabilidad es influenciada por varios tipos de movimientos, es

decir, fuerzas externas las que provocan por ejemplo: inclinación,

reducción del concreto en el secado y la expansión térmica. La

inestabilidad horizontal de un pilar de concreto se debe a la expansión

térmica, y está basada en la altura de operación, ancho y cambios de

temperatura. Los pilares debieran estar aislados en zonas frías y

colocados bajo la línea de helada. La observación inicial de las distancias

de la Línea Base estará aplazada hasta que el concreto halla atravesado

por lo menos un ciclo de heladas.

La experiencia ha demostrado que los pilares con masa

significativa colocados en el suelo sin estorbos tiene mejor estabilidad a

largo plazo.

Los pilares pueden sobresalir sobre la superficie del suelo, o bien,

pueden ser colocados bajo el nivel del suelo, dependiendo de las

circunstancias específicas.

.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


124

44..22..11..22.. OOppeerraacciioonneess ddee TTeerrrreennoo

Luego de haber definido el lugar donde se ubicará la Base y lo

correspondiente a la estabilidad de los pilares, se deben realizar las siguientes

operaciones en el terreno:

1. Colocar una estaca en un punto central del terreno (punto 0), de manera

de no restringir las longitudes mínimas indicadas anteriormente. Esta

estaca tendrá una marca indicando que se refiere a la estación donde se

instalará el instrumento.

2. Instalar un instrumento que permita leer ángulos horizontales con una

precisión media (teodolitos o estaciones totales) en el punto indicado

anteriormente (punto 0), luego realizar lecturas de ángulos horizontales

aprovechando todo el limbo del instrumento (cinco ángulos de magnitud

similar), e instalar estacas en cada una de las lecturas, cada una de ellas

a una distancia opcional o que permita el terreno entre 100 a 250m.

como lo indica la figura N° 36.

3. En cada una de las estacas se debe indicar alguna marca de manera de

diferenciarlas de las demás.

4. Cuatro estacas temporales de referencia deben ser colocadas alrededor

de cada punto (1 - 2 - 3 - 4 - 5). Por ejemplo, para el punto 1 se deben

colocar dos estacas en la línea 0-1 según figura N° 36, una de ellas

antes del punto 1 y otra luego de este, a no más de dos metros cada una

de ellas. Las otras dos estacas deben estar de manera perpendicular a la

línea 0-1 pasando por el punto 1, a una distancia igual a las

especificadas anteriormente. Estas estacas deben ser cuidadosamente

medidas con huincha ya que servirán de amarre del punto en cuestión,

además deben ser señaladas de forma clara para que no se extravíen.

5. Para realizar la excavación e instalar un monolito tanto para los puntos 1

al 5, como para la base (punto 0), se debe primeramente instalar una

plataforma sobre el punto (a unos 3 m por lo menos) e instalar un

_________________________________________________________________________________

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125

instrumento con plomada de cualquier tipo para referenciar el punto.

Luego se debe excavar y construir el monolito sin retirar de su posición el

instrumento ni la plataforma. La plataforma debe ser construida

sólidamente de manera de no sufrir alteraciones debido a factores

climáticos, esta además debe contener un orificio de 30 a 50 cm de

diámetro, el cual debe coincidir con la normal al punto, dicho de otra

forma, se debe tener visual al punto desde la plataforma.

44..22..11..33.. EEqquuiippoo NNeecceessaarr iioo ppaarraa EEssttaabblleecceerr llaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn ppaarraa

TTeeooddooll ii ttooss

Es necesario que el listado de equipos que se presenta a continuación

no sea obviado en la etapa de realizar las mediciones:

• 1 Teodolito con distanciómetro o Estación Total.

• 1 Plomada óptica nadir.

• 1 Prisma calibrado y montado sobre soporte.

• Tribrachs y trípodes para cada estación.

• 2 radiocomunicadores.

• 1 Huincha.

• 2 Sombrillas.

Nota: Todos los equipos que se detallaron anteriormente, no necesariamente

se utilizarán para determinar la medida patrón, puesto que para ello se deben

ocupar instrumentos que entreguen mayores precisiones, los cuales se

detallaran en el anexo C.

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________________________________________________________________________________________________


126

44..22..11..44.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa llaa rreeaall iizzaacciióónn ddee uunnaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn

OObbsseerrvvaacciióónn ggeenneerraall :: para asegurar la exactitud deseada para la Base de

Calibración, se debe tener sumo cuidado durante todo el procedimiento. A

continuación se dará una recomendación para obtener una mayor exactitud en

la ejecución de la Base:

• Nombre de la estación en la cual se está operando.

• Nombre de la estación a la cual se está observando.

• Modelo, serie y número del instrumento.

• Modelo, serie y número del reflector, miras o punterías.

• Fecha y hora de observación.

• Constante del instrumento y reflector.

• Unidades de medida.

• Altura del instrumento y del reflector.

• Elevación de la estación.

• Excentricidad del instrumento y del reflector al milímetro.

• Observaciones meteorológicas:

- Temperatura ° C,

- Presión mm/Hg,

- Humedad.

• Condiciones del tiempo.

• Observaciones generales sobre problemas inusuales; ejemplo: en caso

de existir interferencias para las mediciones con instrumentos EDM, o si

existe viento con polvo, nubosidad, etc.

Nota: los puntos anteriormente descritos están definidos para todos los equipos

que se desea calibrar y que se mencionan en esta memoria.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


127

El procedimiento que se debe realizar en terreno es el siguiente:

Instalar el teodolito sobre el punto 0 y apuntar al centro de la tarjeta de

puntería del punto 1 primeramente y luego leer el ángulo hacia 2, este

procedimiento se realiza cuatro veces consecutivas en directa y en tránsito, es

decir, cuatro reiteraciones. Estas mediciones se deben realizar ocupando todo

el limbo del instrumento, siempre que este sea análogo (mecánico), es decir,

calando aproximadamente en los ángulos 0g-150g-250g-350g, cuando no lo es,

se debe obviar este procedimiento. Luego este proceso se repite, pero entre los

puntos 2 y 3, y así sucesivamente hasta llegar a las lecturas del ángulo

comprendido entre los puntos 5 y 1.

44..22..22.. MMeettooddoo llooggííaa ppaarraa llaa MMeeddiicc iióónn

El Procedimiento para realizar las mediciones de Pruebas, es el siguiente,

se deberán tomar, m = 4, series de mediciones bajo varias pero no extremas

condiciones ambientales.

Cada serie (i) de mediciones consistirá de n = 3 conjunto (j) de direcciones

para t = 5 punterías (k).

Cuando se estaciona el teodolito para las diferentes series de mediciones,

se tomará especial cuidado con el centrado sobre un punto en el suelo. Se debe

lograr precisiones de centrado, expresado en términos de la desviación

estándar experimental, del orden de:

- Plomada física: 1 mm a 2 mm (mal tiempo, con viento).

- Plomada óptica o láser: 0.5 mm (el ajuste deberá ser revisado de

acuerdo al catálogo).

- Centrado forzoso 1 mm.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


128

Nota: con blancos a 100 m de distancia, un error de centrado de 2 mm.

puede afectar la dirección de las observaciones por encima de los 4’’ (1,3

mgon). En distancias cortas aumenta el efecto.

Los blancos serán observados en cada grupo de mediciones en la posición I

del telescopio en sentido horario, y en la posición II del telescopio en sentido

antihorario. El limbo será cambiado por 60º (67g) después de cada grupo. Si la

rotación física del limbo no es posible, por ejemplo, en el teodolito electrónico, la

parte inferior del teodolito debe ser girado en aproximadamente 120° (133g)

sobre el tribrach.

44..22..22..11.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa OObbtteenneerr llaa MMeeddiiddaa PPaattrróónn

La evaluación de los valores medidos es un ajuste de las ecuaciones de

observación. Dentro de las i series de mediciones, una dirección es marcada

por Ikj ,,Χ o IIkj ,,Χ , donde el índice j es el número del conjunto y el índice k es el

número del blanco. I y II indican la posición del telescopio (directa y tránsito).

Cada una de las m = 4 series de mediciones serán evaluadas separadamente.

Primero que todo, los valores medios

5,,1;3,2,1);2

200(

2

º180 ,,,,,,,,, �==

±Χ+Χ=

±Χ+Χ=Χ kj

gIIkjIkjIIkjIkj

kj

de las lecturas en ambas posiciones del telescopio.

La reducción en la dirección de la puntería número 1 es:

5,,1;3,2,1;' 1,,, �==Χ−Χ=Χ kjjkjkj

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


129

los valores medios de las direcciones resultantes desde n = 3 conjuntos, al

blanco número k son:

5,,1;3

''' ,3,2,1�=

Χ+Χ+Χ=Χ kkkk

k

de las diferencias:

5,,1;3,2,1;' ,, �==Χ−Χ= kjd kjkkj

Para cada conjunto de mediciones, el valor de la media aritmética es:

3,2,1;5

5,4,3,2,1, =++++

= jddddd

d jjjjjj

de la cual los residuos son:

5,,1;3,2,1;,, �==−= kjddr jkjkj

excepto por los errores cíclicos, en cada conjunto debe encontrarse la

condición:

3,2,1;05

1, ==∑

=

jrk

kj

la suma de los cuadrados de los residuos, de las i series de mediciones es:

∑∑∑= =

=3

1

5

1

2,

2 )(j k

kji rr

para n = 3 (conjunto de direcciones) a t = 5 blancos, el número de grados de

libertad es:

8)15()13( =−×−=iv

y la desviación estándar experimental si de una dirección kj ,Χ observado en

ambas posiciones del telescopio, válido para las i series de mediciones es de:

8

22 ∑∑ == i

i

ii

r

v

rs

la desviación estándar experimental, s, de una dirección horizontal observada

en un conjunto (media aritmética de las lecturas en ambas posiciones del

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


130

telescopio) de acuerdo a esta parte de la ISO 17123, calculada desde todas las

m = 4 series de mediciones con un grado de libertad de:

324 =×= ivv

es de:

432

4

1

24

1

24

1

2 ∑∑∑∑∑=== === i

ii

ii

i sr

v

rs

SISO-TEO-HZ = S

44..22..33.. PPrroocceedd iimmiieennttooss ppaarraa CCoonnffiigguurraarr yy CCoonnssttrruuiirr llaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn

((ÁÁnngguu llooss VVeerrtt iiccaalleess))

El teodolito deberá ubicarse a una distancia de 50 m aproximadamente

de una pared o edificio alto, en el cual, se deben instalar tarjetas de puntería en

un rango total de 30° en el ángulo vertical (ver figura N° 37).

FFiigguurraa NN°° 3377,, CCoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa BBaassee ddee CCaalliibbrraacciióónn ppaarraa áánngguullooss vveerrttiiccaalleess..


�

�

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


131

44..22..33..11.. OOppeerraacc iioonneess ddee TTeerr rreennoo

1. Colocar una estaca en un punto del terreno que esté a aproximadamente

50 m de un edificio o pared alta (punto 0). Esta estaca tendrá una marca

indicando que se refiere a la estación donde se instalará el instrumento.

2. Instalar un instrumento que permita leer ángulos cenitales con una

precisión media (teodolitos o estaciones totales) en el punto indicado

anteriormente (punto 0), luego realizar una lectura de ángulo cenital de

aproximadamente 75° (83g) e instalar en ese punto del edificio o pared

una tarjeta de puntería (P1), luego realizar otra lectura de 85° (94g)

moviendo solamente el tornillo tangencial del ángulo vertical instrumento,

e instalar otra tarjeta de puntería (P2), la tercera lectura tendrá que ser

de aproximadamente 95° (106g), y ese punto corresponderá a la tercera

tarjeta (P3), y por último una lectura de 105° (117g) aproximadamente en

la cual se instalará la cuarta y última tarjeta (P4). Se debe usar el tornillo

tangencial del ángulo vertical del instrumento de manera de generar una

línea recta con los cuatro puntos.

Observación: el punto donde se instale el instrumento debe ser alto de

manera de no restringir los ángulos cenitales superiores a 90° (100g). Si

no se encuentra algún punto alto, se debe ubicar la tarjeta P4 a una

distancia de 1 m mínimo de la base del edificio, y desde esa tarjeta

ubicar las demás en un rango de 10° (11g).

3. En cada una de las tarjetas de puntería se debe indicar alguna marca de

manera de diferenciarlas de las demás.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


132


Antes de comenzar las mediciones, el instrumento debe aclimatarse a la

temperatura del ambiente. El tiempo requerido para esta operación es de a lo

menos 2 minutos por ° C.

� � Para el procedimiento completo de pruebas, m = 4, series de mediciones

deben ser tomadas bajo varias pero no extremas condiciones ambientales.

Cada serie (i) de mediciones consistirá de m = 3 conjunto (j) de

direcciones para t = 4 punterías (k).

Las punterías t = 4 serán observadas en la posición I del telescopio n = 3

veces, siguiendo la secuencia desde la puntería número 1 a la número 4, y el

mismo grupo en la posición II del telescopio, pero siguiendo la secuencia

inversa, es decir, de la puntería número 4 a la número 1.

44..22..44..11.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ddee PPrruueebbaass ppaarraa OObbtteenneerr llaa MMeeddiiddaa PPaattrróónn

La evaluación de los valores medidos es un ajuste de las ecuaciones de

observación. Dentro de las i series de mediciones, un ángulo vertical

normalmente ángulo cenital, es marcado por Ikj ,,Χ o IIkj ,,Χ , el índice k es el

número del blanco o puntería. I y II indican la posición del telescopio (directa y

tránsito). Cada una de las m = 4 series de mediciones serán evaluadas

separadamente.

Primero que todo, los valores medios

4,,1;3,2,1;2

400

2

º360' ,,,,,,,,

, �==

±Χ+Χ=

±Χ−Χ=Χ kj

gIIkjIkjIIkjIkj

kj

de las lecturas en ambas posiciones del telescopio. Estos valores no son

afectados por el índice de error vertical, δi. El error de índice vertical debe ser

calculado para cada serie de medidas separadamente:

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


133

∑∑ ∑∑= = = =

−+⋅

=°−+

⋅=

3

1

4

1

3

1

4

1

,,,,,,,,

2

40012

3601

j k j k

gIIkjIkjIIkjIkj

i

XX

tn

XX

tnδ

4

4

1∑

== iiδ

δ

los valores medios de los ángulos verticales resultando de n = 3 grupos a la

puntería n° k, son:

4,,1;3

''' ,3,2,1�=

Χ+Χ+Χ=Χ kkkk

k

de la cual los residuos son:

4,,1;3,2,1;' ,, �==−= kjXXr jkjkj

Excepto por los errores cíclicos, los residuos de todos los grupos se

encontrarán en:

03

1

4

1, =∑∑

= =j kkjr

la suma de los cuadrados de los residuos, de las i series de mediciones es:

∑∑∑= =

=3

1

4

1

2,

2 )(j k

kji rr

para n = 3 (grupos de ángulos verticales) a t = 4 blancos, en cada caso el

número de grados de libertad es:

84)13( =×−=iv

y la desviación estándar experimental si de un ángulo vertical kj ,'Χ observado

en un grupo en ambas posiciones del telescopio, válida para las i series de

mediciones es de:

8

22 ∑∑ == i

i

ii

r

v

rs

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


134

la desviación estándar experimental, s, calculada desde todos m = 4 los grupos

de mediciones, el número de grados de libertad es:

324 =×= ivv

y la desviación estándar experimental de un ángulo vertical observado en

ambas posiciones del telescopio, y calculadas desde todos los grupos m = 4 de

mediciones es:

432

4

1

24

1

24

1

2 ∑∑∑∑∑=== === i

ii

ii

i sr

v

rs

SISO-TEO-HZ = S

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


135

44..33.. CCoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa BBaassee ddee PPrruueebbaa ppaarraa NNiivveelleess

Como en toda contrastación, se debe tener un patrón que se haya

obtenido con una alta precisión, para esto se requerirá del mejor instrumental

disponible, como por ejemplo un Nivel Geodésico de la marca Wild, modelo N3

con una desviación estándar de + 0,2 mm para 1 km de doble nivelación, para

más detalle ver Anexo C.

44..33..11.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa llaa CCoonnff iigguurraacciióónn yy CCoonnssttrruucccc iióónn ddee llaa LLíínneeaa ddee

PPrruueebbaa

Para llevar cabo este proceso, se debe tomar en cuenta ciertos factores:

• Se debe contar con tres pilares, dos pequeños (ver Anexo B), en donde

irán las miras, y un pilar con centrado forzoso para colocar el nivel. Estos

pilares pequeños deben estar separados a una distancia de 60 m y estos

a una distancia de 30 m del nivel, es decir, el nivel debe estar en línea y

al medio de los dos puntos (ver figura N° 38).

FFiigguurraa NN°° 3388,, CCoonnffiigguurraacciióónn LLiinneeaa ddee PPrruueebbaa..

FFuueennttee:: EEllaabboorraacciióónn PPrrooppiiaa..

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


136

44..33..11..11.. OOppeerraacc iioonneess ddee TTeerr rreennoo

Una vez definida la posición de los puntos de la Base de Prueba, se

deberá realizar las siguientes operaciones de campo.

1. Colocar una estaca en el lugar donde estará el punto central (punto 0).

Esta marca deberá indicar el número de la estación o nombre.

2. Una vez definido el punto central se medirá con una cinta métrica una

distancia de 30 m donde estará ubicado el punto A, este mismo

procedimiento debe ser utilizado para materializar el punto B.

3. En cada una de las estacas debe ir alguna marca para diferenciarlas.

44..33..11..22.. EEqquuiippoo NNeecceessaarr iioo ppaarraa EEssttaabb lleecceerr llaa BBaassee ddee PPrruueebbaa

• 1 Nivel Geodésico.

• 2 Miras invar.

• 1 Huincha.

• 1 Sombrilla.


Como todo instrumento, se debe dejar un tiempo para que se aclimatase

a la temperatura del lugar. Además, el operador debe revisar si el instrumento

tiene algún error de colimación, antes de realizar la medición.

Debe realizarse dos grupos de lecturas, el primer grupo consistirá de

veinte pares de lecturas, cada una de ellas comprende una lectura atrás, xA,j,

hacia el punto de nivelación A, y otra lectura adelante, xB,j, hacia el punto B (j =

1,..., 20). Entre cada par de lectura, el instrumento deberá ser levantado

ligeramente y colocado en una posición diferente. Después de diez mediciones

(xA,1, xB,1, ..., xA,10, xB,10) de lecturas, atrás y adelante en una dirección, deberán

realizarse otras diez pero en el sentido inverso (xB,11, xA,11, ..., xB,20, xA,20).

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


137

Una vez terminado, los equipos de nivelación de los puntos A y B deben ser

intercambiados y se realizará otras veintes veces (xA,21, xB,21, ..., xA,30, xB,30;xA,31,

xB,31, ..., xB,40, xA,40) como se describió para el primer grupo de medidas.

44..33..22..11.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa oobbtteenneerr llaa MMeeddiiddaa PPaattrróónn

40,...,1;,, =−= jxxd jBjAj

Donde dj es la diferencia entre la lectura de atrás y la lectura adelante.

20

20

11

∑== j

jd

d

Donde 1d es la media aritmética de la diferencia de altura, dj, del primer grupo

de medidas.

20

40

212

∑== j

jd

d

Donde 2d es la media aritmética de la diferencia de altura, dj, del segundo

grupo de medidas.

La diferencia:

dd −= 1δ

Este resultado no tiene influencia alguna en la desviación estándar

experimental.

Los residuos son calculados de la siguiente forma:

40,...,21;

20,...,1;

2

1

=−=

=−=

jddr

jddr

jj

jj

Donde rj es el residuo de las correspondientes medidas de diferencia de altura,

d j, entre los dos puntos de nivelación, A y B.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


138

Como una verificación aritmética, las suma de los residuos al cuadrado de los

grupos uno y dos, debiera ser cero;

020

1

=∑=j

jr

040

21

=∑=j

jr

∑∑∑===

+=40

21

220

1

240

1

2

jj

jj

jj rrr

Donde ∑=

40

1

2

jjr es la suma de todos los residuos rj al cuadrado.

( ) 381202 =−⋅=v

Donde v es el número de Grados de Libertad.

La desviación estándar experimental, s, es válida para una diferencia de

altura a una distancia de 60 m.

38

40

1

240

1

2 ∑∑== == j

jj

j r

v

r

s

89,260

1000

2⋅=⋅=− s

m

mss LEVISO

Donde sISO-LEV es la desviación estándar experimental para 1 km de nivelación.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


139

44..44.. CCoonnff iigguurraacciióónn ddee llaa LLíínneeaa BBaassee ppaarraa IInnssttrruummeennttooss EEDDMM

La configuración de la Línea Base para Instrumentos EDM consiste en

siete puntos (pilares) ubicados en una línea recta, de longitud aproximada de

unos 600 m (según recomendación hecha por la ISO 17123 – 4). Los siete

puntos designados proporcionan seis distancias que serán medidas de acuerdo

a lo que se expondrá en la “Obtención de la Medida Patrón”.

FFiigguurraa NN°° 3399,, CCoonnffiigguurraacciióónn ddee llaa LLíínneeaa BBaassee..


Las Líneas Bases de Calibración no sólo sirven para calibrar

instrumentos EDM, sino que también sirven para calibrar cintas; por esta razón

muchas líneas bases existentes han sido acondicionadas para este tipo de

casos. Esto se realiza colocando una monumentación extra.

dtotal

d1 d2 d3 d4 d5 d6

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


140

AA.. TTrraazzaaddoo ddee llaa LLíínneeaa BBaassee

Previo a la elección del lugar definitivo, es prudente realizar

observaciones preliminares, asegurando que los puntos (pilares) puedan ser

colocados en las distancias deseadas, desde el punto inicial.

Luego de haber elegido definitivamente el lugar de trabajo, se debe

realizar el siguiente procedimiento:

1. Colocar una estaca en el punto inicial 0m y una marca sobre la estaca

indicando el punto, exactamente.

2. Colocar una Estación Total, ya que esta puede alinear y medir distancia

a la vez, sobre el punto inicial para poder determinar la ubicación de los

otros puntos correctamente.

Las tolerancias dependerán del instrumento utilizado. Si las tolerancias

son excedidas, se debe compensar y ajustar la medida de distancia.

3. Alineación y posicionamiento de las estacas en el sitio previsto. Se

deberán colocar marcas sobre las estacas, indicando el punto de

alineación.

4. Posteriormente que la estaca ha sido colocada, se verificará la alineación

con un teodolito; para ello será conveniente medir en directa y tránsito,

con una tolerancia de 20” en el cierre.

5. Las distancias serán verificadas con el instrumento instalado sobre el

centro del punto inicial, con cualquier instrumento EDM.

6. Cuatro estacas temporales de referencia serán colocadas en el sitio de

cada punto (pilar). Dos serán colocadas sobre alineación y las otras

perpendicular a la línea.

Las distancias desde el punto (pilar) a las estacas de referencia deben

ser cuidadosamente medidas con una huincha y además deben ser

señaladas.

7. Se debe construir una plataforma para referenciar el punto en cuestión

de la misma forma como se indicó anteriormente.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


141

BB.. EEqquuiippoo nneecceessaarr iioo ppaarraa eessttaabblleecceerr uunnaa LLíínneeaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn

La siguiente lista entrega el equipo necesario para establecer la línea

base de calibración (lo que no implica que estos instrumentos sean utilizados

para obtener la medida patrón).

• 1 Teodolito.

• 2 Instrumentos EDM.

• 1 Computador portátil.

• 1 Plomada óptica nadir.

• 1 Prisma calibrado y montado sobre soporte.

• Tribrachs y trípodes para cada estación.

• 2 radiocomunicadores.

• 2 Psicrómetros.

• 2 Barómetros.

• 2 resistencias térmicas.

• 2 Trípodes y mástiles para las resistencias.

• 1 Batería de 12 Volts.

• 1 Huincha.

• 2 Sombrillas.

Para el establecimiento de la Línea Base de Calibración se deben ocupar

instrumentos que tengan una precisión más alta que los instrumentos que se

desean calibrar. Tanto para la alineación de los pilares, como para la obtención

de la medida patrón, que se presentará en un ítem posterior a este, se debe

utilizar equipos de una precisión alta, los cuales a modo de ejemplo estarán

contenidos en el Anexo C.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


142

44..44..11 PPrroocceedd iimmiieennttoo ppaarraa rreeaall iizzaacciióónn ddee uunnaa LLíínneeaa BBaassee ddee CCaall iibbrraacciióónn

Se debe realizar tal y como se describió en el ítem de Teodolitos.

El procedimiento presentado abajo para la Línea Base de Calibración

debe ser repetido para el ajuste de cada instrumento. El procedimiento usado

para establecer coordenadas sobre una nueva línea base, sigue la misma

metodología básica para la calibración de un instrumento actual.

1. El instrumento es colocado en el punto inicial y se hace una medida

hacia el prisma colocado en la estación próxima a lo largo de la Línea

Base, este mismo procedimiento se realiza para las demás

estaciones. Las resistencias térmicas son montadas, una sobre un

mástil de 3m y la otra al mismo nivel del instrumento, perpendicular a

la dirección del Sol y orientada a favor del viento que prevalezca. Las

dos resistencias térmicas miden la gradiente de temperatura, y son

capaces de leer hasta la décima del ° C. Se coloca un barómetro

cerca del instrumento, el cual puede leer hasta la centésima de una

pulgada de Hg. Una resistencia térmica similar a las anteriores y un

barómetro son ubicados en la estación del prisma. Un psicrómetro

(ver figura N° 40) graba la lectura solo al inicio, y después, solamente

se repite el proceso cuando se cambia a la próxima estación. Las

lecturas de las resistencias térmicas (arriba en el mástil y abajo a

nivel del instrumento) y la del barómetro, son grabadas al final de la

medida de la línea, y al comienzo y término de las mediciones para el

ajuste de cada instrumento EDM (dos instrumentos EDM diferentes

son usado para cada estación cuando se establece una nueva línea

base).

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


143

FFiigguurraa NN°° 4400,, PPssiiccrróómmeettrroo AAssppiirraannttee.. LLooss ppssiiccrróómmeettrrooss ssoonn eeqquuiippaaddooss ccoonn ddooss tteerrmmóómmeettrrooss,,

uunnoo ddee bbuullbboo hhúúmmeeddoo yy eell oottrroo ddee bbuullbboo sseeccoo.. EEll bbuullbboo hhúúmmeeddoo eess ccuubbiieerrttoo ccoonn uunnaa ggaassaa qquuee

ddeebbee eessttaarr ssaattuurraaddaa ccoonn aagguuaa ddeessttiillaaddaa..

FFuueennttee:: BBeellffoorrtt IInnssttrruummeenntt CCoo..

2. Montar el primer EDM sobre el teodolito, si el distanciómetro es

independiente, y apuntar en directa al centro de la tarjeta de puntería

(Nota: Es importante que el valor de la ppm del EDM este en cero)

obteniendo un retorno de la señal adecuada (fuerte), se mide cinco

veces consecutivas la distancia hacia la puntería. Los valores son

anotados a la décima de milímetro. En tránsito se realizan las cinco

distancias nuevamente.

3. Una vez que se ha finalizado la medida de un segmento de la línea

base, el instrumento permanece en la misma estación hasta haber

terminado la medida de la última estación. Luego, una vez terminado

este procedimiento el instrumento pasa al pilar siguiente y continua

midiendo hasta el último punto.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


144

44..44..11..11.. PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa llaa oobbtteenncciióónn ddee llaa MMeeddiiddaa PPaattrróónn

Luego del procedimiento para la materialización de la línea base, es

necesario indicar cual o cuales serían los equipos más indicados para la

obtención de la medida patrón, tanto por su maniobrabilidad como por su

precisión (ver en Anexo C).

La medida patrón se obtendrá de la siguiente forma:

44..44..11..22.. MMeettooddoollooggííaa ppaarraa eessttaabb lleecceerr llaa LLíínneeaa ddee PPrruueebbaa

Como se describe en el punto 4.4., se debe contar con una línea recta de

aproximadamente 600 m. de largo con siete puntos, se establecerán en un área

más o menos horizontal o con poca pendiente y constante (ver figura N° 39).

Los puntos deberán permanecer estables durante las pruebas de medición.

Para obtener valores representativos de la desviación estándar experimental, s,

y la corrección del punto cero, /�� los puntos serán seleccionados de tal forma

que las distancias medidas, determinadas por medición de fase con una

frecuencia fina, sea distribuida uniformemente sobre la unidad de longitud

(escala de medición) del instrumento EDM.

Se logrará una buena configuración si las distancias d1,...,d6 entre los

siete puntos de la línea de prueba, son determinadas según el siguiente

procedimiento:

• d0 = 600m, es la longitud aproximada del proyecto de la línea de

prueba.

• ��HV�OD�ORQJLWXG�GH�RQGD�GHO�LQVWUXPHQWR�('0� • ��HV�OD�XQLGDG�GH�ORQJLWXG��HVFDOD�GH�PHGLFLón) e los instrumentos

EDM.

15

5.600

λβ

−= d

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


145

donde 0β es redondeado al valor entero más cercano:

2λµβ ⋅=

donde µ es un número entero

con

72λγ =

las seis distancias de la línea de prueba y el largo total, d, son calculados

según:

γβλ 31 ++=d

γβλ 732 ++=d

γβλ 1153 ++=d

γβλ 944 ++=d

γβλ 525 ++=d

γλ +=6d

γβλ 36156 ++=d

4.4.2. Metodo logía para las Mediciones

Todas las distancias posibles (21) entre los siete puntos (ver figura N° 39

) serán medidos en el mismo día. Además se debería usar centrado forzoso

para eliminar los errores de centraje. Un número suficiente de prismas deberían

asegurar que todas las distancias serán medidas con un buen retorno de señal.

Las medidas de distancia deben ser realizadas cuando la visibilidad sea buena

y exista una baja insolación. La temperatura y presión del aire también deben

medirse a menudo para asegurar la confiabilidad de la corrección atmosférica.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


146

FFiigguurraa NN°° 4411,, DDiissttaanncciiaass qquuee ssee ddeebbeenn mmeeddiirr..


44..44..22..11.. CCáállccuullooss

Las mediciones qp,χ (distancias observadas en terreno por instrumentos

EDM) serán corregidas por efectos sistemáticos (corrección atmosférica,

distancia inclinada). Estos valores corregidos qp,χ , serán evaluados por un

ajuste de ecuaciones de observación. Las seis distancias son los parámetros

desconocidos 2,1χ , 3,2χ , ... , 7,6χ y el punto de corrección cero, /� Los resultados obtenidos son derivados de la siguiente fórmula:

6,5,4;1

7,

7

1, =−= ∑∑

=+−

−

=+ pa

p

qqpq

p

qqpqp χχ

7,,1;71 1

1,

7

1, �=

−= ∑∑

−

=+=pb

p

qpq

pqqpp χχ

( ) pp

ap ⋅−= ∑=

6

4

72351δ

GRQGH�/�HV�OD�FRUUHFFLón del punto cero

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


147

( )7,,1;6,,1;

727

,, �� +==−⋅−+−−= pqpqp

bbr qpqpqp χδ

donde qpr , son los residuos de las 21 distancias medidas qp,χ corregidas por

efectos sistemáticos (corrección atmosférica, distancia inclinada, pero no la

reducción del punto cero).

7,62

3,12

6

1

7

1

2,12

,2 rrrrr

p pqqp +++==∑ ∑ ∑

= +=

�

Donde:

∑ 2r es la suma de los residuos al cuadrado qpr , .

14=−= unv

Donde:

v es el número de grados de libertad;

n es el número de mediciones (21);

u es el número de parámetros estimados (= 6 + 1 = 7).

14

22 ∑∑ ==r

v

rs

donde s es la desviación estándar experimental de una sola distancia medida

S ISO-EDM = S

La desviación estándar experimental de la corrección del punto cero, /�� HV�obtenido como sigue:

45.05

1 ⋅=⋅= ssSδ

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


148

CCaappííttuulloo VV

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


149

5. Análisis y Conclusiones________________________________

El Geomensor realiza diversas actividades a través de la topografía o

geodesia en el desarrollo de una investigación o en la ejecución de una obra de

ingeniería, por lo tanto, es importante que los futuros profesionales del ámbito

de la Geomensura tomen conciencia de la responsabilidad que esto conlleva.

De acuerdo a esto, los procedimientos descritos en esta memoria deberán ser

perfeccionados y adaptados a las circunstancias, y a las nuevas tecnologías,

por aquellos profesionales que tengan el conocimiento y la capacidad

necesaria, es decir, el Ingeniero Geomensor.

Sin lugar a dudas la ubicación para llevar a cabo este proyecto es un

aspecto fundamental, debido a que es muy difícil encontrar un terreno con las

características descritas en este texto, así como también que esté localizado

cerca de un sector urbano.

Para llevar a cabo un proyecto de una Base de Calibración, se debe

tener muy en claro, el tipo de instrumental que se desea contrastar, es por esta

razón, que se debe tener un mayor cuidado en la elección del instrumento base,

que servirá para determinar las medidas patrones. Por lo descrito anteriormente

es importante además, que la persona que realice el proyecto deberá contar

con los conocimientos apropiados para llevar a cabo este, de lo contrario, se

incurrirá en errores que afectarán tanto a la metodología de las mediciones

como a las mediciones mismas. Es importante además señalar que el

profesional que realice las observaciones en terreno para establecer la Base de

Calibración, idealmente un Ingeniero Geomensor, se ajuste a las pautas

indicadas en esta investigación para llevar un control ordenado de los

procedimientos a realizar.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


150

La Base de Calibración servirá de apoyo a organismos particulares y

gubernamentales que requieran certificar sus instrumentos, por lo que los

procedimientos empleados para tal efecto deben realizarse de acuerdo a las

normas que se refieren a Control de Calidad, es decir, ISO 9001, y a la de

Laboratorios de Ensayo y Calibración , ISO 17025.

Además esta servirá de ejemplo para la construcción de otras Bases en el

territorio Nacional, y no solo estará dirigida a la calibración de instrumentos,

sino que también a la investigación científica.

Se cree conveniente que la Base de Calibración para Instrumentos, ya

sea Teodolitos, Niveles y EDM, se complementen en una sola figura, es decir,

ocupen un mismo espacio físico, para mitigar así la perdida de tiempo y la

construcción innecesaria de otros pilares. También se podrá unir esta Base a la

Red Nacional para que los usuarios tengan una referencia al momento de

realizar una obra o tarea.

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________________________________________________________________________________________________


151

AANNEEXXOOSS

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


152

AAnneexxoo AA

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


153

11.. IInncceerr ttiidduummbbrree eexxppaannddiiddaa

La forma de expresar la incertidumbre como parte de los resultados de la

medición depende de la conveniencia del usuario. A veces se comunica

simplemente como la incertidumbre estándar combinada, otras ocasiones como

un cierto número de veces tal incertidumbre, algunos casos requieren se

exprese en términos de un nivel de confianza dado, etc. En cualquier caso, es

indispensable comunicar sin ambigüedades la manera en que la incertidumbre

está expresada.

11..11 FFaaccttoorr ddee ccoobbeerrttuurraa yy nniivveell ddee ccoonnff iiaannzzaa

La incertidumbre estándar uc tiene un valor igual a la desviación estándar

de la función de distribución del mensurando. El intervalo centrado en el mejor

estimado del mensurando contiene el valor verdadero con una probabilidad p de

68% aproximadamente, bajo la suposición de que los posibles valores del

mensurando siguen una distribución normal.

Generalmente se desea una probabilidad mayor de 68%, lo que se

obtiene expandiendo este intervalo por un factor k, llamado factor de cobertura.

El resultado se llama incertidumbre expandida U.

cukU ⋅=

La incertidumbre expandida U indica entonces un intervalo, llamado intervalo de

Confianza, que representa una fracción p de los valores que puede

probablemente tomar el mensurando. El valor de p es llamado el nivel de

confianza y puede ser elegido a conveniencia.

En el medio industrial, a menudo se elige el nivel de confianza de manera

tal que corresponda a un factor de cobertura como un número entero de

desviaciones estándar en una distribución normal. Por ejemplo, k = 1

corresponde a p = 68,27 %, k = 2 corresponde a p = 95,45% y k = 3 a p =

99,73%.

(a)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


154

La relación entre el factor de cobertura k y el nivel de confianza p

depende de la distribución de probabilidad del mensurando. Por ejemplo, en

una distribución rectangular p = 57,74% si k = 1, y para lograr un nivel de

confianza de 95,45% se requiere multiplicar por k = 1,65.

Cuando es necesario una estimación más rigurosa de la incertidumbre

expandida se consideran las secciones Nº 1.2 hasta Nº 1.4; cuando no son

necesarias estimaciones muy rigurosas de la incertidumbre, como en

mediciones de baja exactitud, entonces es suficiente seguir con la sección Nº

1.4.

1.2 Distribución t de Student

Frecuentemente, los valores del mensurando siguen una distribución

normal. Sin embargo, el mejor estimado del mensurando, la media (obtenida

por muestreos de n mediciones repetidas) dividida entre su desviación

estándar, sigue una distribución llamada t de Student, la cual refleja las

limitaciones de la información disponible debidas al número finito de

mediciones. Esta distribución coincide con la distribución normal en el límite

cuando n tiende a infinito, pero difiere considerablemente de ella cuando n es

pequeño.

La distribución t de Student es caracterizada por un parámetro í llamado

número de grados de libertad. Por lo anterior, el intervalo correspondiente al

nivel de confianza p, dado antes por la ecuación (a), se calcula ahora por:

cp uvtU ⋅= )(

El factor tp(v) indica los límites del intervalo correspondiente al nivel de

confianza p de la distribución y su valor siempre es mayor o igual que el factor k

(tomado de la distribución normal).

(b)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


155

1.3 Grados de libertad

De cierta manera el número v de grados de libertad asociado a una

distribución de una magnitud (Xi o Y) puede considerarse una medida de

incertidumbre de la incertidumbre de esa magnitud. Entre mayor sea v la

estimación de la incertidumbre será más confiable.

El número efectivo de grados de libertad vef del mensurando considera el

número de grados de libertad vi de cada fuente de incertidumbre.

En la estimación de incertidumbres por el método tipo A, vi depende

directamente del número de datos considerados y disminuye conforme el

número de parámetros estimados a partir de los mismos datos. La repetibilidad

de una medición, estimada por la desviación estándar experimental de n

lecturas tiene n - 1 grados de libertad. Una regresión lineal de M puntos

mediante una ecuación de m parámetros tiene M - m grados de libertad.

1.4 Incertidumbre expandida

Resumiendo, si la función de distribución de probabilidad del

mensurando es normal, de manera rigurosa la incertidumbre expandida se

calcula de acuerdo a la ecuación (b) como:

)( efpc vtuU ⋅=

Donde tp(vef) es el factor derivado de la distribución t de Student a un nivel de

confianza p y vef grados de libertad, obtenidos de tablas.

(c)

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


156

11..55 DDiiaaggrraammaa ppaarraa llaa eessttiimmaacciióónn ddee iinncceerrttiidduummbbrree ddee mmeeddiicc iióónn..

E stimar los g rados de libertad vi

C alcula r e l número efectivo de g rados de libertad ve f

D eterm inar tp (ve f) D eterm inar e l facto r de cobertura k

C a lcula r la incertidumbre expad ida U

F in

¿ C uantifica r e l númerode grados?

E leg ir e l nive l de confianza p

C a lcula r la incertidumbre estándarcombinada uc

E stimar correlac iones

D eterm inar la incertidum bre estándar u(xi)

C uanti fica r la variab ilidad de cada fuentey asocia rle una d is tribución

Identifica r las fuentes de incertidumbre

E stablecer el modelo fís icoIdentifica r las magnitudes de entrada X i

E stablecer el modelo matemático

D efinir e l mensurando Y

Si No

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


157

AAnneexxoo BB

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


158

MMoonnuummeennttaacciióónn ddee PPuunnttooss

Fundamentalmente se usan tres tipos de marcas.

La primera, y la más segura, es la instalación de un tornillo, perno o

bulón en la roca madre, fijado con cemento plástico (epoxi) o sustancia similar.

La monumentación sugerida es muy estable, está prácticamente

protegida de la destrucción accidental o intencional y surge de su adopción por

parte de los proyectos geodinámicos, particularmente CAP.

La segunda es también colocar la marca (tornillo, perno o bulón) o bien

amurar una chapa sobre construcciones existentes, como edificios o

construcciones de fácil acceso y que aseguren una persistencia en el tiempo.

La ausencia de rocas o de edificios de las características mencionadas

conduce al tercer tipo de monumentación: pilares de hormigón armado en cuyo

coronamiento debe colocarse el bulón o la chapa identificatoria. En

determinados terrenos es conveniente agregar cementos en el suelo que

circunda al pilar (suelo cemento); en otros, resulta ventajoso efectuar esta

consolidación con hormigón masivo (o ciclópeo) con abundantes piedras del

lugar. En zonas medanosas conviene colocar tubos (caños) que abarquen

desde una profundidad sin posibilidades de erosión hasta alturas superiores a la

eventual acumulación. En terrenos blandos, sin posibilidad de llegar hasta una

capa consolidada, conviene cavar dos pequeñas zanjas en cruz, hincar

estaciones metálicas en los extremos e intersección y unirlos mediante vigas de

hormigón colocadas en las zanjas, las que deben ser cubiertas por suelo, salvo

el estacón central de la intersección que debe constituir el alma del pilar

emergente.

Es recomendable la colocación de tres marcas testigos (a distancias

comprendidas entre 50 y 100 metros) para poder reubicar el punto en el caso

de destrucción.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


159

La posición de las marcas auxiliares se determina por medición de los

ángulos, distancias y desniveles entre todas las marcas y un acimut de

orientación. En el caso de edificios o áreas con muchos detalles es posible

efectuar la medición a objetos cercanos existentes o a líneas definidas por los

mismos.

PPii llaarr ddee HHoorrmmiiggóónn

El pilar de hormigón generalmente se coloca en su lugar, en una

excavación en el suelo, usando una forma superior; la excavación se realiza

solamente alrededor de 1,0 m a 1,5 m, con una sección que puede ser circular

o cuadrada, dependiendo de la parte superior que se va a usar y con alrededor

de 0,30 m o más de diámetro. Si se desea colocar una marca bajo el nivel del

suelo, en la sección de fondo se debe realizar un emplantillado de por lo menos

0,15 m; el hormigón se vacía y se coloca el disco de referencia. Un punto se

aploma directamente sobre el centro de la marca, bajo el nivel del suelo, en un

banco de plomada, señal o hito colimador. Este punto se mantiene durante el

llenado del pilar de superficie, de manera que el disco de la marca de la

superficie pueda ser aplomado exactamente sobre la marca que está debajo del

suelo. La marca bajo el nivel del suelo se cubre con una placa delgada para

prevenir cualquier molestia, luego se cubre con tierra.

CCoollooccaacciióónn ddee mmaarrccaass ddee rreeffeerreenncc iiaass

Como se ha mencionado anteriormente, es recomendable colocar estas

marcas de referencia, ya sea para ubicar algún punto que haya sido destruido o

también para realizar estudios de deformación en los pilares de la base. Cada

pilar puede contar con tres marcas de referencia optativas o bien ser común

para todos los pilares de la base, con ello se mitigan los costos de construcción;

las marcas de referencia son estampadas con el nombre, número y fecha del

pilar.

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________________________________________________________________________________________________


160

Las marcas de referencia se ubicarán donde sean menos molestadas,

por ejemplo, próximo a líneas de cerca; también es prudente que las marcas de

referencia sean colocadas donde no obstruyan las mediciones.

A continuación se detallará la forma física del pilar:

• Altura sobre el suelo de 1,20 m

• Diámetro Tubo exterior del pilar 0,40 m

• Diámetro Tubo interior del pilar 0,30 m

• Profundidad del pilar 1,00 m

•• Cadena de fierro interna

•• Longitud de amarras 0,14 m

•• Sección de la plataforma:

Cara superior de 1,60 m

Cara inferior de 1,80 m

• Material aislante entre los tubos en base a lana o fibra de vidrio.

En la siguiente página se muestra la estructura del pilar para EDM y

teodolitos.

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161

EEssttrruuccttuurraa ddee llooss ppii llaarreess ppaarraa EEDDMM yy TTeeooddooll ii ttooss

MMeezzccllaa aa uuttii ll iizzaarr

Para la mezcla de cada pilar se recomienda las siguientes proporciones

de los materiales

Cimiento

• Volumen a confeccionar 3,25 m3

• Cemento 13 sacos de 42,5 Kg.

• Grava 1170 litros

• Gravilla 1170 litros

• Arena 1820 litros

• Agua 429 litros

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162

Pilar

• Volumen a confeccionar 0,286 m3

• Cemento 2 sacos de 42,5 Kg.

• Grava 110 litros

• Gravilla 90 litros

• Arena 160 litros

• Agua 40 litros

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163

AAnneexxoo CC

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164

CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS TTÉÉCCNNIICCAASS DDEELL DDIISSTTAANNCCIIÓÓMMEETTRROO WWIILLDD

DDII22000022

Medición d e distancia

Desviación Típica Tiempo de Medición

Estándar 3mm + 2ppm 1,5 seg

Repetitivo 3mm + 2ppm 1,5 seg

Seguimiento 10mm + 2ppm 1 seg / 0,3 seg

Seguimiento rápido 20mm + 2ppm 1 seg / 0,15 seg

Ind icación

Resolución : 0,0001m, o bien 0,001 pies.

Lon gitud d e la Onda Portadora

0,850 µm, infrarroja

Sistema de Medición

Sistema de Frecuencia Especial; Base 50 Mhz (λ = 3,0 m)

Envejecimiento del Cuarzo

< 1ppm / año

Constante de Adición

Margen : + 9,9 mm

Paso más pequeño : 0,1 mm

Corrección d e Escala

Margen : + 500ppm

Paso más pequeño : 1ppm

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165

Alcances con p rismas circulares Wild

Malas Medias Muy buenas1 1200m 2500m 3500m3 1500m 3500m 5000m7 1700m 4500m 6000m

11 1800m 5000m 7000m

Condiciones atmosféricasNúmero de

Prismas

Malas : Muy brumoso, visibilidad unos 3 km, o muy soleado con fuerte

centelleo del aire.

Medias : Poco Brumoso, visibilidad unos 15 km, o parcialmente soleado y

poco centelleo del aire.

Muy buenas : Cubierto, sin bruma, visibilidad de unos 30 km, sin centelleo.

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166

DDiissttaanncciioommeett rroo DDII22000022 ccoonn pprr iissmmaa ddee pprreecciissiióónn..

GGPPHH11PP Reflector de precisión.

Equipado de serie con un visor óptico que permite alinear el reflector

de forma precisa. Ajuste exacto del prisma en su montura (cte. de

prisma = 0)

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167

CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS TTÉÉCCNNIICCAASS DDEELL NNIIVVEELL WWIILLDD NN33

Desviación Estándar

+ 0,2 mm para 1 km de nivelación doble

Anteojo

Óptica panfocal, imagen real directa

Diámetro libre del objetivo

52 mm

Distancia mínima de enfoqu e

45 cm (28 cm del cristal de protección)

Sensibilidad del nivel tubular

10” / 2mm

Precisión d el centrado por coincidencia

+ 0,25”

Sensibilidad del nivel esférico

2’ / 2mm

Margen del micrómetro de placa planoparalela

Margen Intervalo Estimación10mm 0,1mm 0,01mm

0,5 pulg. 0,001 pulg, 0,0005 pulg,

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168

NNiivveell WWii lldd NN33 yy aacccceessoorr iiooss..

Mira tipo invar con puntales para la estabilidad. Estas miras deben

venir con un certificado de calibración.

Placa base para estacionamiento seguro de la mira.

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169

CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS TTÉÉCCNNIICCAASS DDEELL TTEEOODDOOLLIITTOO WWIILLDD TT33

Anteojo (imagen invertida)

Aumento

24x, 30x, 40x

Abertura libre del objetivo

60 mm

Diámetro del campo visual a 1000 m

28,5 m

Sensibilidad del nivel de la alidada

6”/ 2 mm

Sensibilidad del nivel de índ ice

13”/ 2 mm

Intervalo de la graduación círculo horizontal

4’ (10c)

Intervalo de la graduación círculo vertical

8’ (20c)

Micrómetro y lectura a estima

0,2” (1cc); 0,1” (0,5cc)

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170

TTeeooddooll ii ttoo TT33 ccoonn aacccceessoorr iiooss..

Señal para puntería de precisión para mediciones de ángulo de gran

exactitud a corta distancia.

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171

AAnneexxoo DD

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172

EEssttáánnddaarreess ddee SSeegguurriiddaadd LLáásseerr..

A pesar de los niveles de energía más elevados del método TOF

(Instrumentos de tiempo transcurrido Pulsación), los instrumentos EDM que

usan esta técnica, normalmente cumplen con los estándares más altos de

seguridad láser y se clasifican según corresponde. Esto se debe a que los

impulsos láser utilizados, si bien son suficientemente potentes para medir a

cientos de metros, son cortos en duración y por lo tanto el rayo láser no

acumula energía. Los rayos láser continuos, que a veces se utilizan para

ampliar el alcance de los instrumentos EDM de Desplazamiento de Fase,

pueden producir una acumulación de energía que tal vez resulte peligrosa.

Las tres clases de láser correspondientes a la mayoría de los

instrumentos topográficos son: Clase 1, Clase 2 y Clase 3R.

LLáásseerreess CCllaassee 11

Los láseres Clase 1 son láseres invisibles que cumplen con los

estándares de seguridad más altos: es improbable que la exposición

directa del rayo en la piel o a los ojos descubiertos produzca algún daño.

Los láseres Clase 1 tampoco presentan un peligro si otro instrumento

topográfico está apuntando al origen del rayo láser Clase 1.

LLáásseerreess CCllaassee 22

Los láseres Clase 2 emiten una radiación láser visible, que puede

resultar peligrosa para los ojos descubiertos si se mira directamente al

rayo. Las personas deben tener el cuidado especial de no mirar

directamente al rayo con instrumentos ópticos tales como binoculares u

otros instrumentos topográficos.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


173

Los láseres Clase 2 son generalmente seguros de utilizar en

lugares públicos (donde se llevan a cabo la mayoría de los trabajos

topográficos) sin precauciones especiales, excepto la de no mirar

directamente al rayo láser.

Muchos dispositivos láser de mano, tales como los punteros láser

de bolsillo, pertenecen a la Clase 2.

LLáásseerreess CCllaassee 33RR

Es posible ampliar el alcance de un sistema EDM de

Desplazamiento de Fase incrementando la potencia de la fuente de luz:

generalmente desde menos de 1 mW a más de 4 mW. Sin embargo, la

continua luz láser más potente emitida incrementa los riesgos de salud y

seguridad del rayo láser, cambiando la clasificación del láser a la Clase

3R.

El estándar IEC 60825 – 1 incluye precauciones adicionales

necesarias para el empleo de equipo Clase 3R. A continuación se

muestra un extracto:

PPrreeccaauucciioonneess ppaarraa llaa sseegguurriiddaadd ddeell uussuuaarriioo ddee llaa CCllaassee 33RR..

Productos láser Clase 3R utilizados para la topografía, alineación y

nivelación. Solamente a las personas capacitadas y calificadas se les deberá

asignar la instalación, el ajuste y el manejo del equipo láser. Se deberá colocar

una señal de advertencia de exposición a señal láser en los lugares en los que

se utilizan estos láseres. Se deberán tomar las precauciones necesarias para

evitar el reflejo accidental de la radiación. Para demostraciones, presentaciones

y exhibiciones sólo se deben utilizar los productos láser Clase 1 o Clase 2.

Capacitación: Solamente las personas que han recibido la capacitación

correspondiente podrán controlar dichos sistemas. La capacitación deberá

incluir: la familiarización con el manejo del sistema, el uso correcto de los

_________________________________________________________________________________

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174

procedimientos de control de peligro, señales de advertencia, etc. la necesidad

de protección personal, procedimientos para el informe de accidentes con

efectos biológicos del láser en los ojos y en la piel. Se deberán tomar las

precauciones necesarias para evitar que las personas miren directamente al

rayo. Se deberán tomar las precauciones necesarias para asegurarse de que el

rayo láser no se dirija accidentalmente a superficies reflexivas. Se requieren

advertencias sonoras o visibles cuando el láser está encendido.

Con estas precauciones, si bien la utilización de un equipo Clase 3R

puede ser práctico en lugares tales como minas y determinados entornos de

construcción, tal vez no resulte tan conveniente en lugares abiertos y públicos.

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175

GGLLOOSSAARRIIOO

Birrefringencia : en términos simple significa transparencia, pero

antiguamente se le llamaba así al término hoy empleado

como refracción.

Polarizador : mecanismo que permite la concentración de la luz.

Nicoles : son los llamados prismas de Nicol, que tienen como

función principal polarizar la luz.

Errores de cierre : Diferencias entre las posiciones calculadas y las

conocidas. De típico uso en poligonales, nivelaciones,

observaciones gravimétricas, etc.

Nivel de confianza

del 95% : Medida de la tolerancia en la precisión de los ajustes.

Cuando el error estándar (2 sigma) que se obtuvo en

observaciones directas es inferior a una tolerancia

especificada, el ajuste cumple con el nivel de confianza del

95%. Para el caso de ajustes bidimensionales, el mayor de

los semiejes de la elipse de error multiplicado por 2.5 debe

ser inferior a la tolerancia, para satisfacer el mismo nivel de

confianza.

Partes por millón

(ppm) : Expresión del error relativo. En el caso de distancias, una

parte por millón es un error igual a la millonésima parte de

la misma.

Redund ancia : Es la diferencia entre el número de observaciones y el

número de incógnitas. Para que exista un adecuado

proceso de compensación, la redundancia debe ser mayor

que cero.

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


176

BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA

1. Chueca Pazos, Manuel; Tratado de Topografía volumén 1. Madrid,

Paraninfo, 1996.

2. Hecht, Eugene; Óptica. Addison Wesley, Iberoamericana, 1986

3. Deustches Institut für Normung – DIN – Feldverfahren zur

Genauigkeitsuntersuchung Geodätischer Instrumente allgemeines – DIN

18723 – Teil 1, Berlin, 1990.



18723 – Teil 2, Berlin, 1990.



18723 – Teil 2, Berlin, 1990.

6. Antó Roca, Joan; Óptica Instrumental. Barcelona; Alfaomega, Ediciones

UPC, 2000.

7. Houghton David, Handbook of Applied Meteorology. New York, Willey,

1985.

8. Bannister, Raymond, Baker; Técnicas Modernas en Topografía. Mexico,

Alfaomega, 2002.

9. International Organization for Standardization – ISO – Optics and optical

instruments – Field Procedures for testing geodetic and surveying

instruments – ISO 17123 – part 1, Suiza, 2001.







_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________


177




13. Paciléo Netto, Nicola; Campo de Provas para Instrumentos de Medicao e

Posicionamiento. Sao Paulo, 1997.

14. Engineers' from the United States body; Sources of Measurement Error

and Instrument Calibrations, Chapter 4, USA, 2002.

_________________________________________________________________________________

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178

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Proy Para Una Base d Calibracion d Inst Topog y Geod__tesis

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