PROYECTO FIN DE CARRERA - Instituto de Investigacion ... · sistema de control activo en serie o en...

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA

Ingeniero en Automática y Electrónica Industrial

PROYECTO FIN DE CARRERA

CONTROL ACTIVO DE VIBRACIONES

Autor: Miguel Rodríguez García

MADRID, JUNIO 2010

2

Autorizada la entrega del proyecto:

Control activo de vibraciones

Realizado por:

Miguel Rodríguez García

LOS DIRECTORES DEL PROYECTO:

Aurelio García Cerrada

Fdo: Fecha:

Juan Luis Zamora Macho

Fdo: Fecha:

VºBº DEL COORDINADOR DE PROYECTOS:

Álvaro Sánchez Miralles

Fdo: Fecha:

3

A mis padres, por todo.

4

RESUMEN DEL PROYECTO

La mayoría de las máquinas, equipos y estructuras, pueden presentar

serios problemas estructurales o funcionales debido a las cargas dinámicas

que poseen. Debido a esto, pueden provocar excitaciones al sistema

mecánico, dando lugar a la aparición de vibraciones. Por lo tanto, existen un

gran número de situaciones en las que resulta importante evitar la

transmisión de las vibraciones mediante su reducción o eliminación.

Las vibraciones aparecen cuando una estructura o equipo está sufriendo

la acción de alguna fuerza de movimiento, producida por un agente externo

o por su propio funcionamiento. Para este tipo de problemas, se pueden

emplear muchos medios para tratar de controlar la vibración, manteniéndola

dentro de ciertos límites o eliminándola. El método tradicional para reducir

las vibraciones de una estructura es separar la máquina de la estructura por

medio de soportes elásticos disipativos. A este tipo soportes se les conoce

como controles pasivos, ya que no requieren de ningún tipo de fuerza

externa para su funcionamiento. Estos controles involucran la reducción de

las vibraciones por medio de muelles, materiales elásticos y amortiguadores

que se acoplan a la estructura, de esta manera, logran aislarla de las

vibraciones. Los elementos se añaden desde la etapa de diseño, pero su

principal desventaja es que tienen una limitación a la hora de eliminar las

vibraciones. Este tipo de elementos sólo pueden eliminar las vibraciones en

el rango de frecuencia para la cual fueron calculados, por lo cual pueden

resultar ineficaces o inestables si el rango cambia.

Una opción más robusta para evitar estas restricciones, es acoplar un

sistema de control activo en serie o en paralelo junto con los soportes

anteriormente descritos.

Este proyecto aborda la adicción de un sistema de control activo a los

controles pasivos convencionales ya existentes. De este modo, el control

RESUMEN DEL PROYECTO

CONTROL ACTIVO DE VIBRACIONES

5

excita al sistema de tal forma que contrarreste el efecto de las perturbaciones

por medio de un actuador, eliminando las frecuencias de la vibración.

La aplicación del control repetitivo es un buen sistema para este tipo de

problemas. Este control avanzado está principalmente indicado para el

seguimiento de referencias y rechazo de perturbaciones periódicas, y es la

opción de control investigada en este proyecto.

El control repetitivo, se ha diseñado, implementado y simulado para

distintas frecuencias de perturbación en un sistema de un solo grado de

libertad (Sistema SDOF) y también a un sistema de un solo grado de libertad

al cual se le incorpora un amortiguador activo (Sistema AMD-SDOF).

6

PROJECT ABSTRACT

Most machines, equipment and structures, can have serious structural or

functional problems due to the dynamic loads they have. These loads can

lead to mechanical stimuli, resulting in the appearance of vibrations. There

are a number of situations where it is important to avoid transmission of

vibrations through reduction or elimination.

Vibration occurs when a structure or equipment is undergoing the action

of some force of motion, produced by an external agent or by its own

operation. One can use many means to try to control vibration, keeping it

within certain limits or eliminating it. The traditional method to reduce

vibration of a structure is to separate the perturbing machine from the

structure by means of dissipative elastic supports. Supports this type are

known as passive controls, and do not require any external power for

operation. These controls involve the reduction of vibrations by springs,

elastic materials and buffers that are coupled to the structure, thus able to

isolate it from vibration. The elements are added from the design stage, but

show strong limitations. Such elements can only eliminate vibrations in the

frequency range for which they were calculated, and therefore can be

ineffective or unstable if the range changes.

A more robust option to avoid these restrictions, attach an active control

system in series or in parallel with the passive media described above.

This project addresses the addition of an active control system to existing

conventional passive controls. Active control excites the system o through an

actuator to offset the effect of disturbances and eliminate the vibration

frequencies.

Repetitive control is a promising alternative for such problems.

Repetitive control is tailored to track periodic references and to reject

PROYECT ABSTRACT

ACTIVE VIBRATION CONTROL

7

periodic disturbances. It is the alternative considered in this project.

Repetitive control system has been designed, implemented, and simulated

for different frequencies of disturbance in a system of a single degree of

freedom (SDOF system) and in a system of a single degree of freedom with

an active mass damper (AMD-SDOF system).

8

DOCUMENTO Nº1

MEMORIA

9

ÍNDICES

ÍNDICE DE CONTENIDO DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA

10

Índice de Contenido ÍNDICE MEMORIA

Índice de Contenido ______________________________________________________ 10

Índice de Figuras _________________________________________________________ 13

Índice de Tablas _________________________________________________________ 18

PARTE I MEMORIA __________________________________________________ 19

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN ________________________________________________ 20

1 Precedentes _____________________________________________________________ 20 2 Motivación _____________________________________________________________ 22 3 Objetivos _______________________________________________________________ 23 4 Metodología ____________________________________________________________ 23 5 Recursos ________________________________________________________________ 24

Capítulo 2 CONTROL REPETITIVO ___________________________________________ 25

1 Introducción ____________________________________________________________ 25 2 Fundamentos ___________________________________________________________ 25

2.1 Control Repetitivo en tiempo continuo _____________________________________ 26 2.2 Control Repetitivo en tiempo discreto ______________________________________ 27

3 Estructura ______________________________________________________________ 29 3.1 Tipos __________________________________________________________________ 30

4 Estabilidad ______________________________________________________________ 30 5 Ganancia 𝐾𝑥 _____________________________________________________________ 33 6 Compensador 𝐺𝑥(𝑧) _____________________________________________________ 33 7 Filtro 𝑄(𝑧) ______________________________________________________________ 36 8 Implementación _________________________________________________________ 39

Capítulo 3 REPRESENTACION DE ESTADO ____________________________________ 42

1 Introducción ____________________________________________________________ 42 2 Conceptos ______________________________________________________________ 42 3 Representación de estado _________________________________________________ 44 4 Modelado de sistemas físicos ______________________________________________ 46

4.1 Dependencia Lineal _____________________________________________________ 48 5 Control por Realimentación de Estado ______________________________________ 49

5.1 Controlabilidad _________________________________________________________ 49 5.2 Control Proporcional por Realimentación de Estado _________________________ 49 5.3 Control Integral por Realimentación de Estado ______________________________ 53

Capítulo 4 CONTROL SISTEMA SDOF ________________________________________ 58

1 Introducción ____________________________________________________________ 58 2 Sistema SDOF ___________________________________________________________ 58


11

3 Modelo en tiempo continuo _______________________________________________ 59 4 Modelo en tiempo discreto ________________________________________________ 62 5 Parámetros del Control Repetitivo _________________________________________ 65 6 Control Repetitivo Teórico ________________________________________________ 65

6.1 Estabilidad _____________________________________________________________ 69 6.2 Implementación _________________________________________________________ 74 6.3 Simulación _____________________________________________________________ 75

Armónicos ______________________________________________________________ 80 6.4 Resultados _____________________________________________________________ 82

7 Control Repetitivo Modificando Ceros ______________________________________ 84 7.1 Estabilidad _____________________________________________________________ 87 7.2 Implementación _________________________________________________________ 89 7.3 Simulación _____________________________________________________________ 89

Armónicos ______________________________________________________________ 91 7.4 Resultados _____________________________________________________________ 92

8 Comparación Resultados _________________________________________________ 94

Capítulo 5 CONTROL SISTEMA AMD-SDOF ___________________________________ 98

1 Introducción ____________________________________________________________ 98 2 Sistema AMD-SDOF _____________________________________________________ 98 3 Modelo en tiempo continuo _______________________________________________ 99 4 Control Realimentación de Estado_________________________________________ 106 5 Modelo en tiempo discreto _______________________________________________ 112 6 Parámetros del Control Repetitivo ________________________________________ 113 7 Control Repetitivo Teórico _______________________________________________ 113

7.1 Estabilidad ____________________________________________________________ 117 7.2 Implementación ________________________________________________________ 122 7.3 Simulación ____________________________________________________________ 123

Armónicos _____________________________________________________________ 125 7.4 Resultados ____________________________________________________________ 127

8 Control Repetitivo Modificando Ceros ____________________________________ 130 8.1 Estabilidad ____________________________________________________________ 133 8.2 Implementación ________________________________________________________ 135 8.3 Simulación ____________________________________________________________ 135

Armónicos _____________________________________________________________ 137 8.4 Resultados ____________________________________________________________ 139

9 Comparación Resultados ________________________________________________ 141

Capítulo 6 CONCLUSIONES _______________________________________________ 145

Capítulo 7 FUTUROS DESARROLLOS ________________________________________ 147

BIBLIOGRAFÍA __________________________________________________________ 149

Anexo A TERREMOTOS ___________________________________________________ 152

1 Introducción ___________________________________________________________ 152 2 Onda Sísmica __________________________________________________________ 155

2.1 Onda de Cuerpo _______________________________________________________ 156 Onda Primaria P ________________________________________________________ 156 Onda Secundaria S ______________________________________________________ 157


12

2.2 Onda superficial _______________________________________________________ 159 Onda Love _____________________________________________________________ 160 Onda Rayleigh _________________________________________________________ 160

3 Escalas de Magnitudes e Intensidades _____________________________________ 162 3.1 Escala Sismológica de Richter ____________________________________________ 162 3.2 Escala de magnitud de momento sísmico __________________________________ 164 3.3 Escala de Intensidad Mercalli ____________________________________________ 166 3.4 Escala Macrosísmica Europea ____________________________________________ 168

4 Medición ______________________________________________________________ 170

PARTE II ESTUDIO ECONÓMICO ______________________________________ 175

Capítulo 1 ESTUDIO ECONÓMICO __________________________________________ 176

ÍNDICE DE FIGURAS DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA

13

Índice de Figuras Figura 2.1: Diagrama de bloques de un sistema de control en tiempo continuo. ___________________ 26

Figura 2.2: Fundamento Control Repetitivo en tiempo continuo. ______________________________ 27

Figura 2.3: Diagrama de bloques de un sistema de control en tiempo discreto. ____________________ 27

Figura 2.4: Fundamento Control Repetitivo en tiempo discreto. _______________________________ 28

Figura 2.5: Estructura Control Repetitivo tiempo discreto. __________________________________ 30

Figura 2.6: Módulo de 𝑻 𝒘 . __________________________________________________________ 34

Figura 2.7:Ejemplo de filtro FIR para M=10 (azul), M=20 (verde) y filtro ideal (rojo). _____________ 38

Figura 2.8: Filtros FIR paso bajo de orden 𝒏. _____________________________________________ 39

Figura 2.9: Estructura de implementación del Control Repetitivo. _____________________________ 40

Figura 3.1: Sistema con varias entradas y salidas.__________________________________________ 43

Figura 3.2: Masa. ___________________________________________________________________ 47

Figura 3.3: Fricción Viscosa. __________________________________________________________ 47

Figura 3.4: Muelle.__________________________________________________________________ 47

Figura 3.5: Ejemplo dependencia lineal del tipo1. __________________________________________ 48

Figura 3.6: Ejemplo dependencia lineal del tipo2. __________________________________________ 48

Figura 3.7: Diagrama de bloques del Control Proporcional por Realimentación de Estado. __________ 50

Figura 3.8: Diagrama de bloques del Control Integral por Realimentación de Estado. _____________ 54

Figura 3.9: Diagrama de bloques del Control Integral por Realimentación de Estado con Planta Ampliada. _________________________________________________________________________ 56

Figura 4.1: Modelo del Sistema SDOF. __________________________________________________ 58

Figura 4.2: Diagrama de bloques del Sistema SDOF. _______________________________________ 60

Figura 4.3: Repuesta ante un escalón unitario en la Planta. __________________________________ 61

Figura 4.4: Bode de la Planta. _________________________________________________________ 61

Figura 4.5: Respuesta impulsional del Retenedor de orden 0. _________________________________ 63

Figura 4.6: Idea de simulación invariante. ________________________________________________ 63

Figura 4.7: Bode de la Planta (azul) y Planta Discretizada (verde). ____________________________ 64

Figura 4.8: Bode de 𝒛−𝟏 − 𝟏 . ________________________________________________________ 66

Figura 4.9: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo + Planta (verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica. ____________________________________________ 67

Figura 4.10: Bode lazo cerrado perturbación-salida de la Planta (azul) y perturbación-salida del Control Repetitivo + Planta (verde) en escala lineal. ______________________________________________ 68

Figura 4.11: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 4.10. _______________________________ 68

Figura 4.12: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia 𝑴𝟏 𝒛 . ______________________ 70

Figura 4.13: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia 𝑴𝟐 𝒛 . ______________________ 71

Figura 4.14: Bode Magnitud de 𝑸 𝒛 . ___________________________________________________ 71

Figura 4.15: Bode Magnitud de 𝑻 𝒛 . ___________________________________________________ 72


14

Figura 4.16: Bode Magnitud de 𝑸 𝒛 ∙ 𝑻 𝒛 . _____________________________________________ 72

Figura 4.17: Ampliación de la zona lineal de la Figura 4.16. _________________________________ 73

Figura 4.18: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo + Planta. ______________ 74

Figura 4.19: Diagrama Simulink Control + Planta. ________________________________________ 75

Figura 4.20: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz.___________________ 76

Figura 4.21: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante perturbación sinusoidal de 20 Hz. _________________________________________________________________________ 76

Figura 4.22: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz de entrada (azul) y la aceleración (verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico. _________________________________________ 77

Figura 4.23: Distintas aceleraciones (salidas) para distintos valores de la ganancia 𝑲𝒙 en el Control Repetitivo Teórico ante una perturbación sinusoidal de 20Hz. ________________________________ 78

Figura 4.24: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia 𝑴𝟐 𝒛 para 𝑲𝒙 = 𝟏.𝟗. __________ 79

Figura 4.25: Bode Magnitud de 𝑸 𝒛 ∙ 𝑻 𝒛 para 𝑲𝒙 = 𝟏.𝟗. _________________________________ 79


Figura 4.27: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz +10 armónicos. ______ 81

Figura 4.28: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos. ____________________________________________________________ 81

Figura 4.29: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos de entrada (azul) y la aceleración (verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico. _____________________________ 82

Figura 4.30: Gráfico de barras del ECM para el Control Repetitivo Teórico del Sistema SDOF. ______ 84

Figura 4.31: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando Ceros + Planta (verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica. _________________________ 86

Figura 4.32: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando Ceros + Planta (verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal. ______________________________ 86

Figura 4.33: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 4.32. _______________________________ 87

Figura 4.34: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia 𝑴𝟐 𝒛 . ______________________ 88

Figura 4.35: Bode Magnitud de 𝑸 𝒛 ∙ 𝑻 𝒛 . _____________________________________________ 88


Figura 4.37: Aceleración (salida) del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros ante perturbación sinusoidal de 20 Hz. ______________________________________________________ 90

Figura 4.38: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz de entrada (azul) y la aceleración del sistema (rojo) con Control Repetitivo Modificando Ceros. ___________________________________ 90

Figura 4.39: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros Control Repetitivo Teórico ante perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos. ______________________ 91

Figura 4.40: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos de entrada (azul) y la aceleración (rojo) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros. _____________________ 92

Figura 4.41: Gráfico de barras del ECM para el Control Repetitivo Modificando Ceros del Sistema SDOF. _________________________________________________________________________________ 94

Figura 4.42: Gráfico de barras comparativo de los ECMs de la Tabla 4.4 de las dos controles para el Sistema SDOF. ____________________________________________________________________ 95

Figura 4.43: Gráfico de barras comparativo en escala logarítmica de los de los ECMs Modificados de la Tabla 4.4 (ECM x 105) de los dos controles para el Sistema SDOF. ____________________________ 96


15

Figura 4.44: Reducción en escala logarítmica del Control Repetitivo Modificando Ceros respecto del Control Repetitivo Teórico del Sistema SDOF. ____________________________________________ 97

Figura 5.1: Modelo del Sistema AMD-SDOF. ____________________________________________ 98

Figura 5.2: Diagrama de bloques del Sistema AMD-SDOF._________________________________ 101

Figura 5.3: Bloque que encierra el diagrama de la Figura 5.2. ________________________________ 102

Figura 5.4: Diagrama de bloques reducido del Sistema AMD-SDOF. _________________________ 104

Figura 5.5: Bode de la Planta. ________________________________________________________ 105

Figura 5.6: Respuesta a un escalón unitario en referencia de la Planta. ________________________ 106

Figura 5.7: Comprobación de las matrices A, B, C y D mediante Matlab. ______________________ 108

Figura 5.8: Control Realimentación de Estado. ___________________________________________ 109

Figura 5.9: Respuesta a un escalón unitario en referencia del Control Realimentación de Estado+Planta. ________________________________________________________________________________ 110

Figura 5.10: Bode referencia-salida del Control Realimentación de Estado + Planta. ______________ 111

Figura 5.11: Respuesta a un escalón unitario en perturbación del Control Realimentación de Estado+Planta. ____________________________________________________________________ 111

Figura 5.12: Bode perturbación-salida del Control Realimentación de Estado + Planta. ___________ 112

Figura 5.13: Bode de 𝒛−𝟏 − 𝟏 . ______________________________________________________ 115

Figura 5.14: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Teórico + Planta (rojo) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica. ________________________________ 116

Figura 5.15: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Teórico + Planta (rojo) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal. ____________________________________ 116

Figura 5.16: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 5.15. ______________________________ 117

Figura 5.17: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia 𝑴𝟏 𝒛 . _____________________ 118

Figura 5.18: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia 𝑴𝟐 𝒛 . _____________________ 119

Figura 5.19: Bode Magnitud de 𝑸 𝒛 . __________________________________________________ 120

Figura 5.20: Bode Magnitud de 𝑻 𝒛 . __________________________________________________ 120

Figura 5.21: Bode Magnitud de 𝑸 𝒛 ∙ 𝑻 𝒛 . ____________________________________________ 121

Figura 5.22: Ampliación de la zona lineal de la Figura 5.21. ________________________________ 121

Figura 5.23: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo Teórico + Planta. ______ 122

Figura 5.24: Diagrama Simulink Control + Planta. _______________________________________ 123

Figura 5.25: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz. _________________ 124

Figura 5.26: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante perturbación sinusoidal de 10 Hz. ________________________________________________________________________ 124

Figura 5.27: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz de entrada y la aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico. ______________________________________________ 125

Figura 5.28: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 10Hz +10 armónicos (azul). 126

Figura 5.29: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos. ___________________________________________________________ 126

Figura 5.30: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos de entrada (azul) y la aceleración (verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico. ____________________________ 127


16

Figura 5.31: Gráfico de barras en escala logarítmica del ECM Modificado de la Tabla 5.2 (EMC x 103) para el Control Repetitivo Teórico del Sistema AMD-SDOF. ________________________________ 129

Figura 5.32: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando Ceros + Planta (verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica. ________________________ 131

Figura 5.33: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando Ceros + Planta (verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal. _____________________________ 132

Figura 5.34: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 5.33. ______________________________ 132

Figura 5.35: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia 𝑴𝟐 𝒛 . _____________________ 133

Figura 5.36: Bode Magnitud de 𝑸 𝒛 ∙ 𝑻 𝒛 . ____________________________________________ 134

Figura 5.37: Ampliación de la zona lineal de la Figura 5.36. ________________________________ 134

Figura 5.38: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo Modificando Ceros+ Planta. ________________________________________________________________________________ 135

Figura 5.39: Aceleración (salida) del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros ante perturbación sinusoidal de 10 Hz. _____________________________________________________ 136

Figura 5.40: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz de entrada (azul) y la aceleración del sistema (rojo) con Control Repetitivo Modificando Ceros. __________________________________ 136

Figura 5.41: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros ante perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos. ___________________________________________________ 138

Figura 5.42: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos de entrada (azul) y la aceleración (rojo) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros. ____________________ 138

Figura 5.43: Gráfico de barras en escala logarítmica del ECM Modificado de la Tabla 5.3 (EMC x 106) para el Control Repetitivo Modificando Ceros del Sistema AMD-SDOF. ______________________ 140

Figura 5.44: Gráfico de barras comparativo en escala logarítmica de los ECMs Modificados de la Tabla 5.4 (ECM x 106) de los dos controles para el Sistema AMD-SDOF. __________________________ 142

Figura 5.45: Reducción en escala logarítmica del Control Repetitivo Modificando Ceros respecto del Control Repetitivo Teórico del Sistema AMD-SDOF. _____________________________________ 144

Figura A.1: Mapa que muestra la ubicación y movimiento de las placas tectónicas en la corteza terrestre. ________________________________________________________________________________ 153

Figura A.2: Límites de las placas tectónicas donde se suelen producir los terremotos. _____________ 154

Figura A.3: Localización del hipocentro y epicentro de un terremoto. __________________________ 155

Figura A.4: Tipos de ondas sísmicas. ___________________________________________________ 156

Figura A.5: Onda P. _______________________________________________________________ 157

Figura A.6: Onda S. ________________________________________________________________ 158

Figura A.7: Ondas P y S de un sismógrafo. ______________________________________________ 159

Figura A.8: Onda Love. ____________________________________________________________ 160

Figura A.9: Onda Rayleigh. __________________________________________________________ 161

Figura A.10: Ondas Love y Rayleigh de un sismógrafo. ____________________________________ 162

Figura A.11: Reproducción de un sismograma. ___________________________________________ 163

Figura A.12: Simulación de un sismógrafo. ______________________________________________ 170

Figura A.13: Sismograma 1- Terremoto Pisco. ___________________________________________ 171

Figura A.14: Sismograma 2 – Terremoto Japón. __________________________________________ 172


17

Figura A.15: Calculo Terremoto 1. ____________________________________________________ 172

Figura A.16: Calculo Terremoto 2. ____________________________________________________ 173

ÍNDICE DE TABLAS DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA

18

Índice de Tablas Tabla 4.1: Parámetros del Sistema SDOF. ________________________________________________ 59

Tabla 4.2: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Teórico para distintas frecuencias de perturbación. ______________________________________________________________________ 83

Tabla 4.3: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros para distintas frecuencias de perturbación. ___________________________________________________________ 93

Tabla 4.4: Comparativa de los ECM para los dos controles del Sistema SDOF. ___________________ 95

Tabla 4.5: Diferencia entre Control Repetitivo Teórico y Control Repetitivo Modificando Ceros del Sistema SDOF. ____________________________________________________________________ 97

Tabla 5.1: Parámetros del Sistema AMD-SDOF. __________________________________________ 99

Tabla 5.2: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Teórico para distintas frecuencias de perturbación. _____________________________________________________________________ 128

Tabla 5.3: ECM del Sistema AMD-SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros para distintas frecuencias de perturbación. __________________________________________________________ 139

Tabla 5.4: Comparativa de los ECM para los dos controles del Sistema AMD-SDOF. ____________ 142

Tabla A.1: Escala Intensidad Mercalli. _________________________________________________ 168

Tabla A.2: Escala Macrosísmica Europea. _______________________________________________ 170

19

MEMORIA

20

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

1. INTRODUCCIÓN

1 Precedentes

Las vibraciones son un problema importante en muchos sistemas de

ingeniería estructural. Las acciones convencionales contra las vibraciones

en estructuras emplea dispositivos pasivos, uno de los cuales es el

amortiguador dinámico de vibraciones (“dynamic vibration absorber”

DVA) o amortiguador de masas (“tuned mass damper” TMD). El debate

de éste y otros dispositivos se puede encontrar en muchos textos de

vibración estándar, por ejemplo, Den Hartog (1956), Inman (1989), y

Meirovitch (1986). Un amortiguador dinámico de vibraciones es un

dispositivo pasivo de control sencillo y fiable, pero tiene limitaciones

importantes en aplicaciones estructurales ante perturbaciones porque sólo

es eficaz en una sola banda estrecha de frecuencias. Esta incapacidad de los

dispositivos pasivos de hacer frente con eficacia a vibraciones de banda

ancha de naturaleza altamente incierta, así como una serie de otros

factores, ha llevado a parte de la comunidad de ingeniería civil a aceptar el

concepto de control activo de vibraciones en estructuras.

Un gran número de sistemas en la ingeniería están sometidos a

perturbaciones que ocurren simultáneamente en múltiples bandas de

frecuencia estrecha. En ciertos casos, la perturbación es periódica, excitando

a la estructura a una frecuencia fundamental y a múltiplos enteros de esa

frecuencia que se conocen como armónicos. Estos son problemas en los que

se ha demostrado que el control activo es particularmente eficaz. En el

contexto de la ingeniería, una aplicación del control activo, podría ser

controlar las vibraciones provocadas por una máquina rotativa cuando está

en funcionamiento.

MEMORIA Capítulo 1 – Introducción

21

Independientemente del método de control de vibración empleado, casi

todos los controles de banda estrecha, incluyen un par de polos en la

frecuencia fundamental de la perturbación, que se quiere eliminar. Esto es

una consecuencia del principio de modelo interno propuesto por primera

vez por Francisco y Wonham (1975). Olgac ha aplicado este concepto en

“tuned delayed resonator” (Olgac, Elmali y Vijayan, 1996; Olgac y Holm-

Hansen, 1994, 1995), que es básicamente un amortiguador de masa activa

(“active mass damper” AMD) que emplea la realimentación de posición en

relación con el retardo del control. El objetivo del control es forzar al sistema

a una condición de estabilidad marginal. Esto se hace mediante el ajuste del

retardo a fin de colocar un par de polos en el eje imaginario. Más

recientemente, Olgac y Hosek (1995) amplió el concepto “delayed

resonator”, empleando la realimentación de posición simultáneamente con

respecto a dos pares de polos, por lo que suprime dos frecuencias de

perturbación.

Mientras éste y otros métodos colocan como máximo, dos pares de polos

en el controlador, pero se pueden colocar infinitamente muchos más pares

de polos en el eje imaginario, cuando se ve en tiempo continuo. El control

repetitivo es una forma de aprendizaje de control (“learning control”),

porque la señal de control actual se basa en información de la señal de error

calculado en el ciclo anterior. El algoritmo ha sido desarrollado

primeramente por Hara et al. (1988) para sistemas en tiempo continuo, pero

también es aplicable a los sistemas en tiempo discreto. De hecho, gran parte

del trabajo en esta área se ha centrado en sistemas de control de tiempo

discreto.

Recientemente, los sistemas de control repetitivo en tiempo discreto han

sido aplicados específicamente a problemas de vibraciones. Hillerström

(1996) investigó un control repetitivo adaptativo utilizando la estrategia de

modelo externo con realimentación de la aceleración y Hac (1995) desarrolló


22

un esquema de control repetitivo bilineal usando realimentación de estado y

con un amortiguador dinámico semiactivo.

El control repetitivo sigue mostrándose como una promesa fuerte, pero

tiene que investigarse para comprobar su utilidad en el control de

vibraciones.

2 Motivación

En la mayoría de las máquinas, equipos y construcciones civiles, se

pueden presentar serios problemas estructurales o de funcionamiento

debido a las cargas dinámicas que producen vibraciones, por lo que resulta

importante evitar la propagación de las mismas mediante su absorción o

eliminación.

Cuando un equipo o estructura está bajo la acción de alguna forma de

movimiento, se pueden emplear muchos procedimientos para tratar de

controlar y mantener la vibración dentro de ciertos límites. El método

tradicional para aislar la transmisión de vibraciones, es separar la máquina

de la estructura por medio de soportes elásticos disipativos. Este tipo de

control es pasivo (no requiere de potencia externa), e involucra la reducción

de las vibraciones por medio de resortes, materiales elásticos y

amortiguadores que se añaden a la estructura desde la etapa de diseño. La

principal desventaja de este tipo de aislamiento está en que sólo elimina las

vibraciones en el rango de frecuencia para la cual fue calculado, por lo cual

puede resultar ineficiente o inestable si el rango cambia.

En este proyecto se estudia una alternativa para un sistema de control

activo a los controles pasivos convencionales ya existentes, para que de este

modo el control excite al sistema de tal forma que contrarreste el efecto de

las perturbaciones por medio de un actuador, eliminando las frecuencias de

la vibración.


23

3 Objetivos

El objetivo principal del proyecto es el diseño de un control activo de

vibraciones en un sistema poco amortiguado. Los objetivos concretos a

cumplir son los siguientes:

Desarrollo y diseño de un sistema de control de vibraciones más

complejo que los controles tradicionales. En este caso, se ha optado

por el control repetitivo, que está especialmente indicado para seguir

referencias o rechazar perturbaciones periódicas. Se simulará un

sistema con control repetitivo con el fin de estudiar su

comportamiento antes diferentes frecuencias de vibración. Se

analizará el resultado obtenido en comparación con los objetivos

iniciales.

Estudio de investigación en una posible aplicación del control

repetitivo diseñado para paliar los daños de terremotos en

estructuras.

4 Metodología

La metodología que se va a seguir para poder ir cumpliendo los

objetivos es la siguiente:

Controles Tradicionales: Se estudiaran los diferentes controles típicos

como es el caso del control proporcional, diferencial, integral o el más

común que es el proporcional integral derivativo con el fin de tener

un primer contacto con el comportamiento del modelo elegido para

las pruebas.

Control Repetitivo: Se estudiara más en profundidad este control

debido a que sirve para el rechazo o seguimiento de referencias


24

periódicas, en concreto para esta aplicación, se utilizará para el

rechazo de las perturbaciones.

Otros Controles: Se comparará o combinará el control repetitivo con

otros controles con el fin de contrastar y obtener conclusiones sobre

su efectividad o mejora.

5 Recursos

Para el desarrollo de este proyecto, van a ser utilizadas diferentes

herramientas informáticas, a continuación se especifican cuales son:

Matlab®: Utilizando este software matemático y usando sus

múltiples comandos que incorpora, se podrán diseñar los diferentes

controles.

Simulink®: Utilizando esta herramienta de simulación de sistemas,

que funciona sobre el entorno de programación Matlab®. Se podrán

implementar todos los controles diseñados en el modelo del sistema

y de esta forma simular el comportamiento que va a tener al

exponerlo ante vibraciones. Las simulaciones se realizarán

previamente a los respectivos ensayos con el prototipo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matlab

25

Capítulo 2 CONTROL REPETITIVO 2. CONTROL REPETITIVO

1 Introducción

Este capítulo tiene como propósito explicar el sistema de Control

Repetitivo que sirve para el rechazo o seguimiento de referencias periódicas.

La idea original del control repetitivo fue presentada por Inoue [18] para

el control preciso de una fuente de alimentación, que debería seguir una

referencia periódica. El uso de la realimentación positiva y un retardo, hizo

posible realizar el seguimiento de la señal de control a la perfección. Esta

propiedad hizo que el control repetitivo se convirtiese en una solución

atractiva para la compensación de señales periódicos en perturbación.

El control repetitivo ha sido utilizado con éxito en diferentes áreas como

los filtros activos [1] [13] [2], las maquinas de control numérico [9], el control

de CDs y discos duros [4] [5] [6], los rectificadores electrónicos [12], la

robótica [7] [8] o la supresión de vibraciones [10] [11] entre otros.

2 Fundamentos

El control repetitivo es una técnica de control lineal que utiliza el

Principio del Modelo Interno (PMI) para el diseño de controladores capaces

de seguir referencias y rechazo de perturbaciones.

El PMI es uno de los principios importantes dentro de la teoría de

control. Este principio básico de la teoría de control establece que para

conseguir, en régimen permanente, un error de seguimiento nulo, es

necesario y suficiente que el sistema generador de la señal de referencia (o

de perturbación, en su caso) esté incluido en el lazo de control. En el

dominio de la frecuencia, el PMI se traduce en introducir una ganancia

MEMORIA Capítulo 2 – Control Repetitivo

26

infinita en aquellas frecuencias que corresponden a las señales que se desean

seguir y a las perturbaciones que se desean rechazar. Los controladores

resonantes y repetitivos corresponden a la aplicación del PMI a este tipo de

señales.

2.1 Control Repetitivo en tiempo continuo

Un sistema de control típico en tiempo continuo, como el mostrado en

la Figura 2.1 se compone de un regulador, que recibe el nombre de 𝐶(𝑠) y

una planta 𝑃(𝑠) a controlar.

Figura 2.1: Diagrama de bloques de un sistema de control en tiempo continuo.

Partiendo de una perturbación 𝑑(𝑇) compuesta por una señal periódica

de periodo 𝑇𝑝. Para conseguir error cero en régimen permanente,

básicamente basta con que se cumpla (2.1). Así, para 𝑇 = 𝑇𝑝, se cumple

que el error es cero.

E T − Tp = U T − Tp − U T

(2.1)

Aplicando la Transformada de Laplace en la ecuación (2.1) se obtiene la

ecuación básica del control repetitivo que es la siguiente:

𝐶 𝑠 =𝑈 𝑠

𝐸 𝑠 =

𝑒−𝑠∙𝑇𝑝

1 − 𝑒−𝑠∙𝑇𝑝

(2.2)

Así como su diagrama de bloque correspondiente a la ecuación(2.2), es

el que se muestra a continuación:


27

Figura 2.2: Fundamento Control Repetitivo en tiempo continuo.

2.2 Control Repetitivo en tiempo discreto

Originalmente, el control repetitivo se desarrolló como un controlador

en tiempo continuo de dimensión infinita. Sin embargo, la implementación

analógica de este tipo de controladores resulta extremadamente compleja.

La aparición de los microprocesadores en el mundo industrial, provocó

la necesidad de discretizar los controles para su implementación en los

sistemas. Un sistema de control típico en tiempo discreto tiene la misma

estructura que el sistema un sistema en tiempo continuo (Figura 2.1) pero

con el regulador y la planta discretizada como se presenta en la Figura 2.3.

Figura 2.3: Diagrama de bloques de un sistema de control en tiempo discreto.

Afortunadamente, su implementación en tiempo discreto es más

sencilla, de modo que, si el período de la señal de referencia o perturbación

que se quiere seguir o rechazar 𝑇𝑝 es un múltiplo entero 𝑁 del periodo de

muestreo 𝑇𝑠 , de tal forma que la ecuación resulta de la siguiente forma:


28

𝑇𝑝 = 𝑁 ∙ 𝑇𝑠

(2.3)

La relación entre 𝑇𝑝 y 𝑇𝑠 de la ecuación (2.3) será nombrada como 𝑁,

donde 𝑁 es el orden del controlador. Así, la función de transferencia del

regulador en tiempo discreto, tomando 𝑧 = 𝑒𝑗 ∙𝑤∙𝑇𝑠 se puede escribir como:

𝐶 𝑧 =𝑈 𝑧

𝐸 𝑧 =

𝑧−𝑁

1 − 𝑧−𝑁

(2.4)

Para la implementación de 𝐶(𝑧) de la ecuación (2.4) se le pude asociar

el diagrama de bloques de la Figura 2.4.

Figura 2.4: Fundamento Control Repetitivo en tiempo discreto.

Este bloque presenta N polos uniformemente distribuidos sobre el

círculo unidad y, por lo tanto, una ganancia infinita en todas aquellas

frecuencias que son múltiplos de 1

𝑇𝑝 , empezando por frecuencia cero (con

lo cual también realiza la función de integrador puro). Cabe mencionar

que, con esta implementación en tiempo discreto, sólo se pueden seguir o

rechazar con error nulo aquellas componentes frecuenciales de la señal que

están por debajo de la frecuencia de Nyquist del sistema 1

2∙𝑇𝑠 .

Desde un punto de vista intuitivo, se puede afirmar que, en tareas de

seguimiento de referencias periódicas, el controlador repetitivo utiliza en

cada momento los valores del error del periodo anterior para acumular

información y reducir el error de seguimiento en el régimen permanente.

El caso de rechazo de perturbaciones periódicas es análogo, pero aquí la

información se utiliza para compensar la perturbación. Por este motivo, a


29

menudo, se relaciona el control repetitivo con técnicas de aprendizaje [19].

Como ya se ha hecho notar, este proceso de aprendizaje requiere que el

periodo de muestreo 𝑇𝑠 esté sincronizado con el periodo de la señal de

referencia o perturbación 𝑇𝑝 , de modo que dicha señal sea también

periódica en tiempo discreto.

3 Estructura

Este apartado se dedica únicamente a explicar la estructura completa de

la que se compone el control repetitivo, es decir, la notación de los bloques

utilizados en este sistema de control. El diagrama de bloques completo se

puede que se va a utilizar se puede ver en la Figura 2.5.

La explicación de cada uno de los bloques es la siguiente:

𝑧−𝑁 representa la función retraso.

𝑄 𝑧 representa un filtro que limita el ancho de banda del

regulador.

𝐾𝑥 es una ganancia de realimentación.

𝐺𝑥 𝑧 es un compensador. Se utiliza para garantizar la estabilidad

del sistema de control.

𝐶1 𝑧 representa un regulador previo a la planta que se utiliza

para mejorar las prestaciones del regulador repetitivo.

𝑃 𝑧 representa la planta en tiempo discreto.


30

Figura 2.5: Estructura Control Repetitivo tiempo discreto.

3.1 Tipos

Existen dos tipos de control repetitivo:

Control Repetitivo (a secas). Cuando el regulador previo

𝐶1 𝑧 = 0

Control Repetitivo “plug-in”. Cuando el regulador previo

𝐶1 𝑧 ≠ 0, en muchos casos 𝐶1 𝑧 = 1

4 Estabilidad

La estabilidad del control repetitivo es un tema delicado. Existen

bastantes autores que tratan la estabilidad del control repetitivo, en este

apartado se ha basado principalmente en [1] [2].

La función de transferencia del error 𝐸 𝑧 es:


31

𝐸 𝑧 =1

1 + 𝑃(𝑧) ∙ 𝐶1(𝑧)∙

1 − 𝑄(𝑧) ∙ 𝑧−𝑁

1 − 𝑄 𝑧 ∙ 𝑧−𝑁 ∙ 1 − 𝐾𝑥 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 ∙ 𝐺𝑝 𝑧 ∙ 𝑅 𝑧 − 𝐷 𝑧

(2.5)

Definiendo 𝑀1 𝑧 y 𝑀2 𝑧 de la ecuación (2.5) como:

𝑀1 𝑧 =1

1 + 𝑃(𝑧) ∙ 𝐶1(𝑧)

(2.6)

𝑀2 𝑠 =1 − 𝑄(𝑧) ∙ z−N

1 − 𝑄(𝑧) ∙ z−N ∙ 1 − 𝐾𝑥 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 ∙ 𝐺𝑝 𝑧

(2.7)

Donde los respectivos elementos que aparecen en la ecuación (2.5)

están definidos en el apartado “Estructura” salvo 𝐺𝑝 𝑧 que se define en la

ecuación (2.8), de tal forma:

𝐺𝑝 z =𝑃(𝑧)

1 + 𝑃(𝑧) ∙ 𝐶1(𝑧)

(2.8)

Para que el sistema sea estable tanto 𝑀1 𝑧 y 𝑀2 𝑧 deben ser estables. Se

debe cumplir la ecuación (2.9) como condición suficiente de estabilidad para

𝑀2 𝑧 .

𝑄 𝑧 ∙ 1 − 𝐾𝑥 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 ∙ 𝐺𝑝 𝑧 ∞

< 1

∀𝑤, con 𝑧 = 𝑒𝑗 ∙ 𝑇𝑠∙ 𝑤

𝑤 <𝜋

𝑇𝑠 𝑟𝑎𝑑 𝑠

(2.9)

Para garantizar el mayor cumplimiento posible de la condición de

estabilidad de la ecuación (2.9), es necesario que 𝐾𝑥 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 ∙ 𝐺𝑝 𝑧 < 1. Si

se quiere minimizar dicha ecuación, lo ideal es que 𝐾𝑥 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 ∙ 𝐺𝑝 𝑧 = 1 ,

siempre y cuando 𝑄 𝑧 ≤ 1, que al ser un filtro digital cumplirá la

siguiente ecuación:


32

𝑄 𝑧 ∞ ≤ 1


𝑤 <𝜋


(2.10)

Una vez descrita la situación, se define 𝑇 𝑧 como:

𝑇 𝑧 = 1 −𝐾𝑥 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 ∙ 𝐺𝑝 𝑧

(2.11)

𝑚𝑎𝑥 𝑄 𝑧 𝑇 𝑧 ≤ 1


𝑤 <𝜋


(2.12)

Para minimizar 𝐾𝑥 ∙ 𝐺𝑝 𝑧 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 hay que maximizar 𝑇 𝑧 (2.12) por lo

que los resultados sugieren que se defina 𝐺𝑥 𝑧 como:

𝐺𝑥 𝑧 = 𝐺 𝑝 𝑧 −1 =

1 + 𝑃 𝑧 ∙ 𝐶1 𝑧

𝑃 𝑧

(2.13)

Donde 𝑃 𝑧 es un modelo de la planta estimado y 𝐺 𝑝 𝑧 es el modelo

de la planta en bucle cerrado estimado, de tal forma que cuanto mejor se

aproxime 𝐺 𝑝 𝑧 al modelo real, más exacta será la cancelación entre 𝐺𝑥 𝑧 y

𝐺𝑝 𝑧 . Si la cancelación es exacta, la ganancia 𝐾𝑥 es la única que habría que

diseñar para cumplir con la ecuación (2.12).

Para poder utilizar la ecuación (2.13) es necesario que 𝐺𝑝 𝑧 no tenga

ceros fuera del círculo unidad, ya que si no la inversa de la planta da lugar

a un sistema inestable.


33

5 Ganancia 𝑲𝒙

La ganancia 𝐾𝑥 , es la ganancia del control repetitivo. La posición de la

ganancia dentro del regulador se muestra en la Figura 2.5.

𝑚𝑎𝑥 𝑄 𝑧 1− 𝐾𝑥 ∙ 𝐺𝑥(𝑧) ∙ 𝐺𝑝 𝑧 < 1

(2.14)

Si 𝐺𝑥 𝑧 es exactamente 𝐺 𝑝−1 𝑧 [2], es decir, se estima perfectamente la

planta, la ecuación (2.15) queda 1 − 𝐾𝑥 < 1, por lo tanto la ganancia 𝐾𝑥

tiene que tener valores comprendidos entre 0 < 𝐾𝑥 < 2 para garantizar la

estabilidad. Se recomienda 0 < 𝐾𝑥 < 1 para dar un margen mayor de

seguridad, para tener en cuenta posibles errores de modelado en la planta.

Por este motivo, también se incluye un filtro FIR paso bajo que se describe

en el apartado “Filtro 𝑸(𝒛)”, para contribuir con la estabilidad, ya que a altas

frecuencias la incertidumbre en la estimación de la planta es mayor.

6 Compensador 𝑮𝒙 𝒛

Uno de los elementos importantes del control repetitivo, es el

compensador 𝐺𝑥 z , el cual es una función de transferencia que sirve para la

estabilidad del sistema como se ha tratado en el apartado

“Estabilidad” de este mismo capítulo. Su colocación dentro del regulador

está señalada en la Figura 2.5.

Partiendo de la ecuación (2.12), se ha representado el módulo del

número complejo 𝑇 𝑧 = 𝑒𝑗 ∙𝑤∙𝑇𝑠 en función de los parámetros ∝ y 𝐴, siendo:

𝐴 ∙ 𝑒𝑗 ∙𝛼 = 𝐾𝑟 ∙ 𝐺𝑥 𝑒𝑗 ∙𝑤∙𝑇𝑠 ∙ 𝐺𝑝 𝑒

𝑗 ∙𝑤∙𝑇𝑠

(2.15)


34

Figura 2.6: Módulo de 𝑇 𝑤 .

El módulo de 𝑇 𝑤 se ha representado en la Figura 2.6 para valores de ∝

entre 0 grados y 180 grados. En el eje x de la gráfica se encuentra el valor de

A, mientras que en el eje y se encuentra 𝑇 𝑤 .

Como se observa, el único valor para el cual se cumple 𝑇 𝑤 < 1 es con

∝ = 0 en todo el rango 0 < 𝐴 < 2. A medida que se incrementa ∝, la región

de 𝐴 donde se cumple 𝑇 𝑤 < 1 va disminuyendo, por lo que lo ideal sería

∝ = 0. Para conseguir esto, la función de transferencia 𝐺𝑥 z debe de cumplir

la ecuación (2.16).

𝐺𝑥 𝑧 = 𝐺 𝑝 𝑧 −1 =

1 + 𝑃 𝑧 ∙ 𝐶1 𝑧

𝑃 𝑧

(2.16)

Como ya se comentó en el apartado de estabilidad, el inconveniente de la

ecuación (2.16) es la existencia de ceros fuera del circulo unidad.


35

Este problema de estabilidad se soluciona [20] [21] [22] partiendo de la

función de transferencia de la planta del sistema (2.13) donde 𝐴 𝑧 son los

polos y 𝐵 𝑧 son los ceros de la planta, que se dividen en los ceros

cancelables 𝐵+ 𝑧 y los ceros no cancelables 𝐵− 𝑧 . En otras palabras, 𝐵− 𝑧

contiene todos los ceros fuera o encima del círculo unidad y también

cualquier cero indeseable dentro del círculo unidad, mientras 𝐵+ 𝑧 contiene

los restantes ceros, es decir, los ceros dentro del círculo unidad.

𝑃 𝑧 =𝐵 𝑧

𝐴 𝑧 =𝐵+ 𝑧 ∙ 𝐵− 𝑧

𝐴 𝑧

(2.17)

Una vez definida la planta, la función de transferencia 𝐺𝑥 𝑧 para un

control repetitivo a secas, es decir, con 𝐶1 𝑧 = 0 cuya ecuación sería la

inversa de la planta (2.18), se redefine a la ecuación (2.19) para este tipo de

casos.

𝐺𝑥 𝑧 =1

𝑃 𝑧

(2.18)

𝐺𝑥 𝑧 =𝐴 𝑧 ∙ 𝐵− 𝑧−1

𝐵+ 𝑧 ∙ 𝑏

(2.19)

Donde 𝐴 𝑧 y 𝐵 𝑧 son los polos y ceros de la planta anteriormente

descritos. Es importante hacer notar que B− z−1 , es B− z pero

reemplazando z por z−1 en el polinomio. El parámetro b es una simple

ganancia que se selecciona para mejorar el rendimiento y mantener la

estabilidad mediante la ecuación (2.20).

𝑏 ≥ max 𝐵− 𝑧−1 2

con 𝑧 = 1

𝑧 = 𝑒𝑗 ∙ 𝑇𝑠∙ 𝑤

(2.20)

Si el control repetitivo es “plug-in”, es decir, 𝐶1 𝑧 ≠ 0, la ecuación (2.16)

no es válida. Hay que redefinir la ecuación de 𝐺𝑥 z , para este caso,


36

desarrollando la ecuación (2.21) se obtienen los polos y los ceros para definir

la función 𝐺𝑥 z (2.19).

𝐺 𝑝 𝑧 −1 =

1 + 𝑃 𝑧 ∙ 𝐶1 𝑧

𝑃 𝑧 =𝐵𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛 𝑧

𝐴𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛 𝑧

(2.21)

𝐵𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛 𝑧

𝐴𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛 𝑧 =𝐵𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛

+ 𝑧 ∙ 𝐵𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛− 𝑧−1

𝐴𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛 𝑧

(2.22)

Por lo tanto 𝐺𝑥 z queda definida de la siguiente forma:

𝐺𝑥 𝑧 =𝐴𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛 𝑧 ∙ 𝐵𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛

− 𝑧−1

𝐵𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛+ 𝑧 ∙ 𝑏𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛

(2.23)

Todos los términos son análogos a los términos para el control repetitivo

a secas, por lo tanto el término 𝑏𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛 se define de igual forma que en la

ecuación (2.20) pero con 𝐵𝑝𝑙𝑢𝑔 −𝑖𝑛− 𝑧−1 .

7 Filtro 𝑸(𝒛)

El filtro 𝑄 𝑧 tiene como objetivo limitar el funcionamiento del control

repetitivo a altas frecuencias, el cual, previene de errores de modelado en la

planta, sobre todo a altas frecuencias. Por lo tanto, puede diferenciarse

significativamente de la planta real y causar problemas de inestabilidad.

Consecuentemente, el filtro sacrifica rendimiento del regulador para

conseguir la robustez necesaria. La posición del filtro 𝑄 𝑧 dentro del control

se muestra en la Figura 2.5.

El modulo de 𝑄 𝑧 no afecta de forma negativa a la estabilidad del

sistema, siempre y cuando sea menor que la unidad. Esto ya se ha explicado

en el apartado “Estabilidad”, más concretamente en la ecuación (2.10). La

fase tampoco modifica la estabilidad, aunque si pueden existir problemas en

la eliminación correcta de los armónicos.


37

El diseño de un filtro 𝑄 𝑧 ideal es:

𝑄 𝑒𝑗 ∙𝑤 = 1 ∀𝑤 ≤ 𝑤𝑐

(2.24)

𝑄 𝑒𝑗 ∙𝑤 = 0 ∀𝑤 ≥ 𝑤𝑐

(2.25)

Además, la fase del filtro debe de ser lineal para todo el rango de

actuación del control, por tanto:

∠ 𝑄 𝑒𝑗 ∙𝑤 = 𝑘 ∙ 𝑤 ∀𝑤 ≥ 𝑤𝑐

(2.26)

De forma general, un filtro paso bajo de fase lineal se puede escribir

como [1]:

𝑄 𝑒𝑗 ∙𝑤 = 𝑒𝑗 ∙𝑤∙𝑇𝐷 𝑤 ≥ 𝑤𝑐

0 𝑤 < 𝑤𝑐

(2.27)

Donde 𝜔 ∙ 𝑇𝐷 es el retardo que introduce el filtro. Para el regulador

repetitivo este retardo debe de ser cero. En el diseño, se va a utilizar un filtro

FIR de fase cero.

Se define un filtro FIR (“Finite Impulse Response”) [28] como aquel en el

que cada muestra de salida es una suma ponderada de un número finito de

muestras de la secuencia de entrada ya recibida, lo que significa que su

respuesta es causal. Esta funcionalidad se puede expresar en la ecuación

(2.28). Esta ecuación recibe el nombre de ecuación en diferencias.

𝑦 𝑛 = 𝑏𝑘

𝑀

𝑘=0

∙ 𝑥 𝑛 − 𝑘

(2.28)

o su representación alternativa en forma de convolución discreta:


38

𝑦 𝑛 = 𝑞 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛

(2.29)

donde 𝑞 𝑛 es la respuesta al impulso del filtro FIR que puede expresarse

de forma compacta como:

𝑞 𝑛 = 𝑏𝑘

𝑀

𝑘=0

∙ 𝛿 𝑛 − 𝑘

(2.30)

La función de transferencia es la transformada 𝑧 de la respuesta al

impulso. Por tanto, se puede concluir el siguiente resultado.

𝑄 𝑧 = 𝑏𝑘

𝑀

𝑘=0

∙ 𝑧−𝑘

(2.31)

Donde M es la longitud del filtro. Un valor de M mayor supondrá una

pendiente mayor en la banda pasante del filtro, pero también

incrementará el coste computacional. El valor de M también está limitado

por el número de retrasos posibles de compensar con el control. Un ejemplo

de filtro FIR se muestra en la Figura 2.7.

Figura 2.7:Ejemplo de filtro FIR para M=10 (azul), M=20 (verde) y filtro ideal (rojo).


39

Un filtro FIR de fase cero que es de común uso por varios autores [20]

[36], tiene la siguiente estructura:

𝑄 𝑧 = 1

4∙ 𝑧 +

1

2+

1

4∙ 𝑧−1

𝑛

(2.32)

Donde n es el orden del filtro. Un diagrama de bode de un filtro de

primer orden se muestra en la Figura 2.8, donde se observa que la fase es

cero.

Figura 2.8: Filtros FIR paso bajo de orden 𝑛.

8 Implementación

La principal dificultad en la implementación de este control en Simulink

es que no soporta funciones de transferencia no causales, es decir, funciones

que tengan más ceros que polos. Algunos de los elementos que se han

descrito anteriormente, como es el filtro 𝑄 𝑧 y el compensador 𝐺𝑥 𝑧 serán

no realizables (no causales) en la mayor parte de los casos.


40

En general, 𝑄 𝑧 es un bloque no causal, de modo que no puede

implementarse de forma directa y se deben aprovechar 𝑕 retardos de la

cadena directa de la celda del control repetitivo para conseguir la causalidad

del bloque. De esta forma, ambos sistemas se vuelven inseparables a la hora

de implementar el controlador.

Figura 2.9: Estructura de implementación del Control Repetitivo.

Asimismo al bloque 𝐺𝑥 𝑧 le pasa lo mismo, así que aprovecha 𝑘 retardos

de la cadena directa de la celda del control repetitivo para conseguir la

causalidad del bloque.

Para ello el regulador de la Figura 2.5 sufre una pequeña alteración que

se muestra en el esquema de la Figura 2.9.

La implementación del control repetitivo en Simulink incorpora:

𝑧−𝑘 para convertir en realizable a 𝑧−𝑘 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 (causal).

𝑧−𝑕 para convertir en realizable a 𝑧−𝑕 ∙ 𝑄 𝑧 (causal).


41

Para realizar estos cambios, el retardo 𝑧−𝑁 se cambia por 𝑧−(𝑁−𝑕−𝑘) ya

que hay que compensar los 𝑘 y 𝑕 retardos utilizados para 𝑧−𝑘 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 y

𝑧−𝑕 ∙ 𝑄 𝑧 como se observa en la Figura 2.9. Además en el lazo de

realimentación positivo del control se introduce un retardo 𝑧−𝑘 para

compensar el 𝑧−𝑘 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 ya que está fuera del lazo.

Esta implementación suele ser posible porque 𝑁 es muy grande y se

cumple la siguiente ecuación:

𝑁 − 𝑕 − 𝑘 > 0

(2.33)

42

Capítulo 3 REPRESENTACION DE ESTADO 3. REPRESENTACION DE ESTADO

1 Introducción

En este capítulo se aborda el modelado de sistemas físicos mediante

representación de estado e introduce las técnicas básicas de control mediante

la realimentación del estado [3].

La representación de estado es la forma más completa de modelado.

Aplicable prácticamente a todos los sistemas, independientemente de su

complejidad, incluyendo sistemas con múltiples entradas y salidas. Conocer

el modelado mediante representación de estado es esencial para el control de

sistemas complejos. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir

la complejidad de las expresiones matemáticas.

El enfoque en representación de estado para los análisis de sistemas es el

más conveniente. En tanto que la teoría de control convencional se basa en la

descripción de las ecuaciones de transferencia, la teoría de control moderna

se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n

ecuaciones diferenciales de primer orden. El uso de la notación matricial

simplifica enormemente la representación matemática de los sistemas de

ecuaciones. El incremento en la cantidad de variables de estado, de entradas

y de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones.

En este capítulo se describe el procedimiento de diseño de controles

mediante asignación de polos y sus principales compromisos.

2 Conceptos

Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas múltiples y estas

pueden variar en el tiempo. Este tipo de sistema se muestra en la Figura 3.1.

MEMORIA Capítulo 3 – Representación de Estado

43

El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de

variables, de modo que el conocimiento de estas variables en 𝑡 = 𝑡0, junto

con el conocimiento de la entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0, determina por completo el

comportamiento del sistema para cualquier tiempo 𝑡 ≥ 𝑡0.

Figura 3.1: Sistema con varias entradas y salidas.

Las variables de estado de un sistema dinámico son las variables que

forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del

sistema dinámico. Si se necesitan al menos 𝑛 variables 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 para

describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico, éstas se

consideran los 𝑛 componentes de un vector 𝑋, que se denomina vector de

estado. A partir del sistema de la Figura 3.1 se definen tres vectores que se

agrupan en la ecuación (3.1), donde:

𝑈 es el vector de variables de entrada de orden 𝑚 𝑥 1.

𝑌 es el vector de variables de salida de orden 𝑝 𝑥 1.

𝑋 es el vector de variables de estado de orden 𝑛 𝑥 1.


44

𝑈 =

𝑢1

.

.

.𝑢𝑚

𝑌 =

𝑦1

.

.

.𝑦𝑝

𝑋 =

𝑥1

.

.

.𝑥𝑛

(3.1)

Por tanto el vector de variables de estado es aquel que determina de

manera única el estado del sistema 𝑥(𝑡) para cualquier tiempo 𝑡 ≥ 𝑡0, una

vez que se obtiene el estado en 𝑡 = 𝑡0 y se especifica la entrada 𝑢(𝑡) para

∀𝑡 ≥ 𝑡0.

3 Representación de estado

El espacio de dimensión 𝑛 cuyos ejes de coordenadas están formados por

el eje 𝑥1, el eje 𝑥2,…, el eje 𝑥𝑛 , se denomina espacio de estados. Cualquier

estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.

En el análisis de las ecuaciones en el espacio de estados, nos

concentramos en tres tipos de variables involucradas en el modelado de

sistemas dinámicos: variables de entrada, variables de salida y variables de

estado, todas ellas definidas en la ecuación (3.1).

El sistema dinámico debe incorporar elementos que memoricen los

valores de la entrada para 𝑡 ≥ 𝑡1. Dado que los integradores de un sistema

de control en tiempo continuo funcionan como dispositivos de memoria, las

salidas de los integradores se consideran las variables que definen el estado

interno del sistema dinámico. Por tanto, las salidas de los integradores

funcionan como variables de estado. La cantidad de variables de estado

necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la

cantidad de integradores que contiene el sistema.

Supóngase que un sistema de entradas y salidas múltiples contiene 𝑛

integradores. Por lo tanto existen 𝑚 entradas 𝑢(𝑡), 𝑝 salidas 𝑦(𝑡) y las salidas


45

de los integradores como variables de estado 𝑥(𝑡). A continuación el sistema

se describe mediante las ecuaciones (3.2) y (3.4).

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑓1 𝑥1,… , 𝑥𝑛 ,𝑢1,… ,𝑢𝑚 , 𝑡 = 𝑓1 𝑋,𝑈, 𝑡

.

.

.𝑑𝑥𝑛𝑑𝑡

= 𝑓𝑛 𝑥1,… , 𝑥𝑛 ,𝑢1,… , 𝑢𝑚 , 𝑡 = 𝑓𝑛 𝑋,𝑈, 𝑡

(3.2)

𝑑𝑋

𝑑𝑡=

𝑑𝑥1

𝑑𝑡...

𝑑𝑥𝑛𝑑𝑡

(3.3)

𝑦1 = 𝑔1 𝑥1,… , 𝑥𝑛 , 𝑢1,… ,𝑢𝑚 , 𝑡 ...

𝑦𝑝 = 𝑔𝑝 𝑥1,… , 𝑥𝑛 , 𝑢1,… ,𝑢𝑚 , 𝑡

(3.4)

Las ecuaciones (3.2) y (3.4) se convierten en:

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝐹 𝑋,𝑈, 𝑡 =

𝑓1 𝑋,𝑈, 𝑡 ...

𝑓𝑛 𝑋,𝑈, 𝑡

(3.5)

𝑌 = 𝐺 𝑋,𝑈, 𝑡 =

𝑔1 𝑋,𝑈, 𝑡 ...

𝑔𝑝 𝑋,𝑈, 𝑡

(3.6)

La ecuación (3.5) es la ecuación de estado y la ecuación (3.6) es la

ecuación de salida. Si las funciones vectoriales 𝑓 y/o 𝑔 involucran

explícitamente el tiempo, el sistema se denomina sistema variante con el


46

tiempo. Linealizando las ecuaciones (3.5) y (3.6) alrededor del estado de

operación, se obtienen las ecuaciones de estado y de salida linealizadas:

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝐴 𝑡 ∙ 𝑋 + 𝐵 𝑡 ∙ 𝑈

(3.7)

𝑌 = 𝐶 𝑡 ∙ 𝑋 + 𝐷 𝑡 ∙ 𝑈

(3.8)

Donde 𝐴(𝑡) se denomina matriz de estado, 𝐵(𝑡) es la matriz de entrada,

𝐶(𝑡) es la matriz de salida y 𝐷(𝑡) es la matriz de transmisión directa.

Si las funciones vectoriales 𝑓 y 𝑔 no involucran el tiempo explícitamente,

el sistema se denomina sistema invariante con el tiempo. Si además el

sistema es lineal, las ecuaciones (3.7) y (3.8) se simplifican a:

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝐴 ∙ 𝑋 + 𝐵 ∙ 𝑈

(3.9)

𝑌 = 𝐶 ∙ 𝑋 + 𝐷 ∙ 𝑈

(3.10)

4 Modelado de sistemas físicos

Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las

funciones que lleva a cabo cada componente en la ingeniería de control por

lo general se usa la representación denominada diagrama de bloques. En

esta sección se van a tratar los sistemas mecánicos de traslación que son los

que interesan para este documento.

Para modelar un sistema mecánico de traslación se usan básicamente

tres elementos, una masa, una fricción viscosa y un muelle.

Una masa como la que se puede ver en la Figura 3.2 y su ecuación de

movimiento y función de transferencia en la ecuación (3.11).


47

Figura 3.2: Masa.

La fricción viscosa que se representa en la Figura 3.3, cuya ecuación de

movimiento y función de transferencia se puede ver en la ecuación (3.12).

Figura 3.3: Fricción Viscosa.

El muelle se muestra en la Figura 3.4, cuya ecuación de movimiento y

función de transferencia se puede ver en la ecuación (3.13).

Figura 3.4: Muelle.

𝐹 = 𝑀 ∙𝑑2𝑥

𝑑𝑡 𝐹(𝑠) = 𝑀𝑠2 ∙ 𝑋(𝑠)

(3.11)

𝐹 = 𝐵 ∙𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝐹(𝑠) = 𝐵𝑠 ∙ 𝑋(𝑠)

(3.12)

𝐹 = 𝐾 ∙ 𝑥 𝐹(𝑠) = 𝐾𝑠

(3.13)


48

4.1 Dependencia Lineal

Algunas veces, en ciertos sistemas mecánicos aparecen ciertas

dependencias lineales que hay que tener en cuenta a la hora de modelar el

sistema. Las dos dependencias para los sistemas mecánicos de traslación

son las siguientes:

1) Cuando la variable de salida es una posición y esa posición no se

pueda determinar con la energía del sistema. En este caso, hay que

incluirla como una variable de estado más. Un ejemplo de este caso

se puede ver en la Figura 3.5.

Figura 3.5: Ejemplo dependencia lineal del tipo1.

2) Cuando existen 𝑛 elementos que almacenan energía, pero no son 𝑛

variables de estado porque dos guardan una dependencia entre

ellas. En este caso hay que disminuir en uno las variables de

estado.

Figura 3.6: Ejemplo dependencia lineal del tipo2.

Un ejemplo de este caso se puede ver en la Figura 3.6, donde hay

tres elementos que almacenan energía, pero las deformaciones de

los muelles dependen una de la otra, por lo tanto las variables de

estado son dos en lugar de tres.


49

5 Control por Realimentación de Estado

En este apartado se describen los dos controles por realimentación de

estado (control proporcional y control integral), además de la matriz de

controlabilidad.

5.1 Controlabilidad

La controlabilidad es la propiedad que determina si es posible llevar

un sistema dinámico de una posición inicial 𝑥(𝑡𝑜) al origen 𝑥 𝑡𝑓 = 0 en un

tiempo finito 𝑡1, siendo 𝑡1 > 𝑡𝑜 mediante una entrada 𝑢(𝑡).

Un sistema lineal e invariante en el tiempo como el definido en las

ecuaciones (3.9) y (3.10) de 𝑛 variables de estado, es un sistema controlable

si cumple la ecuación (3.14). Si el sistema es monovariable la expresión se

reduce a la ecuación (3.15).

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐶𝑀𝑋 = 𝑛

(3.14)

𝐶𝑀𝑋 ≠ 0

(3.15)

Donde 𝐶𝑀𝑋 es la matriz de controlabilidad definida en la ecuación

(3.16).

𝐶𝑀𝑋 = 𝐵 𝐴 ∙ 𝐵 𝐴2 ∙ 𝐵 ∙ ∙ ∙ 𝐴𝑛−1 ∙ 𝐵

(3.16)

5.2 Control Proporcional por Realimentación de Estado

El esquema básico del control proporcional por realimentación de

estado se muestra en la Figura 3.7, donde se puede observar el bloque de la

Planta y el control formado por los bloques 𝐾𝑟 y 𝐾.


50

Figura 3.7: Diagrama de bloques del Control Proporcional por Realimentación de Estado.

Partiendo de un sistema invariante en el tiempo, definido en las

ecuaciones (3.9) y (3.10). Se redefine la planta por la ecuación (3.17)

partiendo del sistema que se observa en la Figura 3.7. Los distintos

elementos se describen a continuación:

𝑈 es el vector de variables de entrada de orden 𝑝 𝑥 1.



𝑤 es el vector de variables de perturbación de orden (𝑚−

𝑝) 𝑥 1.

𝑟 es el vector de variables de referencia de orden 𝑝 𝑥 1.

𝐴 matriz de estado de orden 𝑛 𝑥 𝑛.

𝐶 matriz de salida de orden 𝑝 𝑥 𝑛.

La matriz 𝐵 y 𝐷 se descompone en:


51

𝐵𝑢 matriz de las entradas en referencia de orden 𝑛 𝑥 𝑝.

𝐵𝑤 matriz de las entradas en perturbación de orden 𝑛 𝑥 (𝑚− 𝑝).

𝐷𝑢 matriz de transición en referencia de orden 𝑝 𝑥 𝑝.

𝐷𝑤 matriz de transición en perturbación de orden 𝑝 𝑥 (𝑚− 𝑝).

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝐴 ∙ 𝑋 + 𝐵𝑢 ∙ 𝑈 + 𝐵𝑤 ∙ 𝑤

𝑌 = 𝐶 ∙ 𝑋 + 𝐷𝑢 ∙ 𝑈 + 𝐷𝑤 ∙ 𝑤

(3.17)

La estrategia de control, que es igualmente válida para sistemas

continuos y discretos consiste en utilizar las variables de estado 𝑥(𝑡) para

realimentar el sistema mediante una matriz 𝐾, y comparar el estado con

unas señales de referencia 𝑟(𝑡) por una matriz 𝐾𝑟 , de donde se obtiene la

ecuación siguiente:

𝑈 = 𝐾𝑟 ∙ 𝑟 − 𝐾 ∙ 𝑋

(3.18)

El control proporcional definido en la ecuación (3.18) está formado por:

𝐾𝑟 matriz de ganancias de orden 𝑝 𝑥 p.

𝐾 matriz de ganancias de orden 𝑝 𝑥 n .

A partir de la planta (3.17) y el control (3.18), se obtiene el sistema

controlado en lazo cerrado de la ecuación (3.19).

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝐴 − 𝐵𝑢 ∙ 𝐾 ∙ 𝑋 + 𝐵𝑢 ∙ 𝐾𝑟 ∙ 𝑟 + 𝐵𝑤 ∙ 𝑤

𝑌 = 𝐶 − 𝐷𝑢 ∙ 𝐾 ∙ 𝑋 + 𝐷𝑢 ∙ 𝐾𝑟 ∙ 𝑟 + 𝐷𝑤 ∙ 𝑤

(3.19)


52

El procedimiento del diseño del control consiste en determinar la

matriz de ganancias 𝐾 de la realimentación de estado, tal que los polos del

sistema en lazo cerrado tengan los valores deseados.

La matriz 𝐾 fija los autovalores del sistema realimentado, que habrá

tantos como variables de estado. Los autovalores ajustan la rapidez y el

amortiguamiento del sistema en lazo cerrado.

Para obtener la matriz 𝐾 solamente hay que resolver la ecuación (3.20)

donde 𝐼 es la matriz identidad y 𝛼(𝑠) se define en la ecuación (3.22) donde

𝑝𝑖 son los polos del sistema en lazo cerrado con un amortiguamiento y

rapidez elegidos por el diseñador, a esto se le conoce cómo “asignación de

polos”.

det 𝑠 ∙ 𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝑢 ∙ 𝐾 = 𝛼(𝑠)

(3.20)

𝛼 𝑠 = (𝑠 − 𝑝𝑖)

𝑛

𝑖=1

(3.21)

Resolver la ecuación (3.20) es una peliaguda labor, por lo que existen

dos comandos de Matlab en (3.22) y (3.23) para obtener la solución.

Si es un sistema monovariable, se puede usar el comando “acker” de

Matlab, que permite polos múltiples.

𝐾 = 𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 𝐴,𝐵𝑢 ,𝛼(𝑠)

(3.22)

Si es un sistema multivariable o monovariable, se puede usar el

comando “place” de Matlab, pero no permite polos coincidentes.

𝐾 = 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝐴,𝐵𝑢 ,𝛼(𝑠)

(3.23)

La matriz 𝐾𝑟 fija la precisión del sistema, es decir, el seguimiento de

referencia. Para obtener la matriz 𝐾𝑟 , se estudia el régimen permanente del


53

sistema controlado de la ecuación (3.19) quedando definido por el

siguiente sistema de ecuaciones:

0 = 𝐴 − 𝐵𝑢 ∙ 𝐾 ∙ 𝑋 + 𝐵𝑢 ∙ 𝐾𝑟 ∙ 𝑟

𝑌 = 𝐶 − 𝐷𝑢 ∙ 𝐾 ∙ 𝑋 + 𝐷𝑢 ∙ 𝐾𝑟 ∙ 𝑟

(3.24)

Sustituyendo 𝑋 en la segunda ecuación, se obtiene la salida del sistema

realimentado que se observa en la ecuación (3.25). Solamente hay que

resolver la ecuación (3.25), donde se quiere que la salida sea igual a la

referencia, por lo tanto, se debe cumplir la ecuación (3.26).

𝑌 = − 𝐶 − 𝐷𝑢 ∙ 𝐾 ∙ 𝐴 − 𝐵𝑢 ∙ 𝐾

−1 ∙ 𝐵𝑢 ∙ 𝐾𝑟 + 𝐷𝑢 ∙ 𝐾𝑟 ∙ 𝑟

(3.25)

𝑌 = 𝐼𝑝𝑥𝑝 ∙ 𝑟

(3.26)

Igualando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene la matriz 𝐾𝑟 .

𝐼𝑝𝑥𝑝 = − 𝐶 − 𝐷𝑢 ∙ 𝐾 ∙ 𝐴 − 𝐵𝑢 ∙ 𝐾 −1 ∙ 𝐵𝑢 ∙ 𝐾𝑟 + 𝐷𝑢 ∙ 𝐾𝑟

(3.27)

5.3 Control Integral por Realimentación de Estado

El diagrama del control integral por realimentación se presenta en la

Figura 3.8. Para la formulación del control de una manera más sencilla, se

ha redefinido la Planta, incorporando la acción integral del control a ella,

de este modo la Planta se pasa a llamar Planta Ampliada.


54

Figura 3.8: Diagrama de bloques del Control Integral por Realimentación de Estado.

Siendo la Planta un sistema invariante en el tiempo definido en las

ecuaciones (3.28) y el control, un Control Integral definido en la ecuación

(3.29).

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝐴 ∙ 𝑋 + 𝐵 ∙ 𝑈

(3.28)

𝑌 = 𝐶 ∙ 𝑋 + 𝐷 ∙ 𝑈

𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡

= 𝑟 − 𝑦 = 𝑟 − 𝐶 ∙ 𝑋 − 𝐷 ∙ 𝑈

(3.29)

La Planta Ampliada se define como la suma de las ecuaciones (3.28) y

(3.29) obteniéndose el sistema de ecuaciones (3.30)

𝑑

𝑑𝑡 𝑋𝑥𝑖 =

𝐴 | 0− | −−𝐶 | 0

∙ 𝑋𝑥𝑖

+

𝐵 | 0− | −−𝐷 | 1

∙ 𝑈𝑟

𝑌 = 𝐶 0 ∙ 𝑋𝑥𝑖

+ 𝐷 0 ∙ 𝑈𝑟

(3.30)

Los distintos elementos se describen a continuación:

𝑟 es el vector de variables de referencia de orden 𝑝 𝑥 1.


55

𝑈 es el vector de variables de entrada de orden 𝑝 𝑥 1.



𝑥𝑖 es el vector de variables de estado de la acción integral de

orden 𝑝𝑥 1.

𝐴 matriz de estado de orden 𝑛 𝑥 𝑛.

𝐵 matriz de entrada de orden 𝑛 𝑥 𝑝.

𝐶 matriz de salida de orden 𝑝 𝑥 𝑛.

𝐷 matriz de transición de orden 𝑝 𝑥 𝑝.

Debido a la Planta Ampliada, el vector de variables de estado 𝑋 se

redefine a 𝑋𝑎 , como se describe en la ecuación (3.31) donde incorpora 𝑥𝑖 de

la acción integral del control. La matriz 𝑋𝑎 es el nuevo vector de estado de

orden 𝑛 + 𝑝 𝑥 1.

𝑋𝑎 = 𝑋𝑥𝑖

(3.31)

Agrupando términos en la ecuación (3.30) se puede obtener la matriz

de estado A ampliada 𝐴𝑎 y la matriz de entrada 𝐵 ampliada 𝐵𝑎 , ambas se

puede ver en las ecuaciones (3.32) y

(3.33) respectivamente. Finalmente la Planta Ampliada queda resumida

en la ecuación (3.34).

𝐴𝑎 = 𝐴𝑛𝑥𝑛 0𝑛𝑥𝑝−𝐶𝑝𝑥𝑛 0𝑝𝑥𝑝

(3.32)


56

𝑑𝑋𝑎𝑑𝑡

= 𝐴𝑎 ∙ 𝑋𝑎 + 𝐵𝑎 | 0| −| 1

∙ 𝑈𝑟

𝑌 = 𝐶 0 ∙ 𝑋𝑎 + 𝐷 0 ∙ 𝑈𝑟

(3.34)

Con la Planta Ampliada el sistema a controlar queda del mismo modo

que si fuese un control proporcional por realimentación de estado como se

observa en la Figura 3.9.

Figura 3.9: Diagrama de bloques del Control Integral por Realimentación de Estado con Planta

Ampliada.

La estrategia de control, es la misma que para un control proporcional,

consiste en utilizar las variables de estado 𝑥(𝑡) para realimentar el sistema

mediante una matriz 𝐾, y comparar el estado con la salida de la acción

integral del control 𝑥𝑖(𝑡) por una matriz 𝐾𝑖 , de donde se obtiene la

ecuación siguiente:

𝑈 = 𝐾𝑖 ∙ 𝑥𝑖 − 𝐾 ∙ 𝑋 (3.35)

El control integral definido en la ecuación (3.35) está formado por:

𝐵𝑎 = 𝐵𝑛𝑥𝑝−𝐷𝑝𝑥𝑝

(3.33)


57

𝐾𝑖 matriz de ganancias de la acción integral de orden 𝑝 𝑥 p.

𝐾 matriz de ganancias de orden 𝑝 𝑥 n.

El procedimiento de diseño del control consiste en determinar la matriz

de ganancias 𝐾𝑎 , compuesta por las matrices 𝐾 y 𝐾𝑖 como se puede ver en

la ecuación (3.36).

𝐾𝑎 = 𝐾 𝐾𝑖

(3.36)

Para obtener la matriz 𝐾𝑎 solamente hay que resolver la ecuación (3.37)

donde 𝐼 es la matriz identidad y 𝛼(𝑠) son los polos que se quieren obtener

del sistema en lazo cerrado. De esta forma se realiza la “asignación de

polos”.

det 𝑠 ∙ 𝐼 − 𝐴𝑎 + 𝐵𝑎 𝑢∙ 𝐾𝑎 = 𝛼 𝑠

(3.37)

Cómo ocurre en el diseño de un control proporcional, resolver la

ecuación anterior es una ardua labor, por lo que se pueden utilizar

cualquiera de los dos comandos de Matlab que se describen en las

ecuaciones (3.22) y (3.23). En este caso se utilizan las matrices 𝐴 y 𝐵

ampliadas.

58

Capítulo 4 CONTROL SISTEMA SDOF 4. CONTROL SISTEMA SDOF

1 Introducción

En este capítulo se estudia y diseña el control activo de vibraciones de un

sistema SDOF, aplicando el algoritmo de control repetitivo para el rechazo

de vibraciones.

2 Sistema SDOF

Un sistema SDOF (“single degree of freedom”) es un sistema de un

grado de libertad. Los grados de libertad son las variables necesarias para

definir de manera unívoca la configuración del sistema.

Figura 4.1: Modelo del Sistema SDOF.

El sistema SDOF presentado en [36] que se va a controlar, es un sistema

mecánico formado por una masa 𝑀, una fricción viscosa 𝐵 y un muelle 𝐾. La

MEMORIA Capítulo 4 – Control Sistema SDOF

59

posición de cada elemento se muestra en la Figura 4.1 y el valor de cada

elemento está detallado en la Tabla 4.1.

Sistema SDOF

𝑴 10 𝐾𝑔

𝑩 12.5 𝑁𝑠𝑚

𝑲 6.25 ∙ 105 𝑁𝑚

Tabla 4.1: Parámetros del Sistema SDOF.

3 Modelo en tiempo continuo

En este apartado se escriben las ecuaciones en tiempo continuo del

sistema SDOF. Es un sistema de un grado de libertad, cuya ecuación del

movimiento en el dominio de Laplace es:

𝐹𝑎 − 𝐹𝑑 = 𝑀 ∙ 𝑠2 + 𝐶 ∙ 𝑠 + 𝐾 ∙ 𝑋 𝑠

(4.1)

Donde 𝑋 es el desplazamiento de la masa 𝑀, 𝐹𝑑 es la fuerza de la

perturbación y 𝐹𝑎 es la fuerza del actuador.

Sustituyendo la transformada de Laplace 𝑠 de la ecuación (4.1) por la

derivada del desplazamiento de la masa, se obtiene la ecuación (4.2).

𝐹𝑎 − 𝐹𝑑 = 𝑀 ∙𝑑2𝑋

𝑑𝑡2+ 𝐶 ∙

𝑑𝑋

𝑑𝑡+ 𝐾 ∙ 𝑋

(4.2)

Despejando la segunda derivada de 𝑋 de las ecuación anterior, se

consigue las ecuación (4.3) donde se puede observar la función que describe

la aceleración de la masa 𝑀.

𝑑2𝑋

𝑑𝑡2=

1

𝑀∙ 𝐹𝑎 − 𝐹𝑑 − 𝐶 ∙

𝑑𝑋

𝑑𝑡− 𝐾 ∙ 𝑋

(4.3)


60

A partir de esta ecuación, se realiza el diagrama de bloques para

Simulink® con los integradores y ganancias que describen el modelo del

sistema SDOF. Este diagrama se muestra en Figura 4.2.

Figura 4.2: Diagrama de bloques del Sistema SDOF.

A continuación, se describen las funciones de transferencia en lazo

cerrado entre la entrada-salida 𝐹𝑎−𝑦 𝑠 y perturbación-salida 𝐹𝑑−𝑦 𝑠 .

𝑋 𝑠

𝑠2 ∙ 𝐹𝑎=

1

𝑀 ∙ 𝑠2 + 𝐵 ∙ 𝑠 + 𝐾

(4.4)

𝑋 𝑠

𝑠2 ∙ 𝐹𝑑=

− 1

𝑀 ∙ 𝑠2 + 𝐵 ∙ 𝑠 + 𝐾

(4.5)

Sustituyendo los valores de cada elemento de las ecuaciones (4.4) y (4.5)

se obtienen las ecuaciones respectivas (4.6) y (4.7).

𝐹𝐹𝑎−𝑦 𝑠 = 0.1 ∙ 𝑠2

(𝑠2 + 1.25 ∙ 𝑠 + 62500)

(4.6)

𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑠 =− 0.1 ∙ 𝑠2

(𝑠2 + 1.25 ∙ 𝑠 + 62500)

(4.7)


61

Definitivamente, la planta del sistema queda definida por la función de

transferencia 𝐹𝑎−𝑦 𝑠 , por lo tanto, su ecuación en el dominio de Laplace es:

𝑃 𝑠 = 0.1 ∙ 𝑠2

(𝑠2 + 1.25 ∙ 𝑠 + 62500)

(4.8)

Figura 4.3: Repuesta ante un escalón unitario en la Planta.

Figura 4.4: Bode de la Planta.


62

Como se observa en la Figura 4.3, el sistema es muy poco amortiguado.

La respuesta ante un escalón unitario presenta muchas oscilaciones debido a

que tiene un amortiguamiento muy pequeño 𝜁 = 0.0025 (4.9). También,

analizando la respuesta en frecuencia, es decir, el bode de la planta (Figura

4.4), presenta un pico de resonancia en su frecuencia natural 𝑓𝑛 =

39.79 𝐻𝑧 (4.10). Es justo a esta frecuencia, donde el sistema se comportará

peor ante una vibración.

𝜁 =𝐶

2 ∙ 𝐾 ∙ 𝑀= 0.0025

(4.9)

𝑓𝑛 =

𝐾𝑀

2 ∙ 𝜋= 39.79 𝐻𝑧

(4.10)

4 Modelo en tiempo discreto

Una vez conseguido el modelo de la planta en tiempo continuo, solo

falta transformarlo en el dominio de la transformada 𝑧. Esto es necesario, ya

que, la planta discretizada se utiliza a la hora de diseñar el control repetitivo,

el cual, también se hará en tiempo discreto para su implementación.

Existen varias técnicas para la discretización de funciones de

transferencia [23]. En este documento, se ha elegido para la discretización el

retenedor de orden 0, debido a que proporciona el modelo digital exacto.

El retenedor de orden cero es, con mucho, el más usado en la práctica;

mantiene la salida constante entre instantes de muestreo. La respuesta

impulsional (Figura 4.5), puede descomponerse en un escalón menos un

escalón retrasado 𝑇𝑠. Su transformada de Laplace es la función de

transferencia de la ecuación (4.11).


63

Figura 4.5: Respuesta impulsional del Retenedor de orden 0.

𝑅𝑜 𝑠 =1 − 𝑒−𝑠∙𝑇𝑠

𝑠

(4.11)

Al ser un sistema invariante en el tiempo, la discretización está basada

en la idea de reconstruir 𝑢 𝑡 con el retenedor de orden cero. Esto se muestra

en la Figura 4.6, donde 𝐺 𝑠 es un función de transferencia en 𝑠. Resulta

entonces, una simulación exacta (invariante) para aquellas formas de 𝑢 𝑡

que el retenedor reconstruya exactamente, 𝑢𝑎 𝑡 = 𝑢 𝑡 .

Figura 4.6: Idea de simulación invariante.

De esta manera, en la ecuación (4.12) se define la transformación que hay

que realizar para la discretización de la planta. La planta ya en el dominio de

la transformada 𝑧, utilizando el tiempo de muestreo 𝑇𝑠 definido en el


64

apartado “Parámetros del Control Repetitivo”, se muestra en la ecuación

(4.13).

𝑃 𝑧 =𝑧 − 1

𝑧

1

𝑠∙ 𝑃 𝑠

𝑧

(4.12)

𝑃 𝑧 =0.1 ∙ 𝑧 − 1 ∙ 𝑧 − 0.9689

𝑧2 − 1.937 ∙ 𝑧 + 0.9988

(4.13)

Para observar que la planta discretizada es igual que la planta en el

dominio de Laplace. En la Figura 4.7, se ha dibujado el bode de ambas

plantas, (𝑃 𝑠 en color azul y 𝑃 𝑧 en color verde), donde se observar que

son prácticamente iguales, salvo a bajas frecuencias que es donde difieren.

Figura 4.7: Bode de la Planta (azul) y Planta Discretizada (verde).


65

5 Parámetros del Control Repetitivo

En primer lugar, se debe definir el orden 𝑁 del control repetitivo. Cuanto

mayor sea el orden, mejor será su comportamiento. Por lo tanto, se ha

elegido 𝑁 = 50.

El control que se va a diseñar es de orden fijo, por lo tanto, se ha fijado

𝑇𝑝 𝑚𝑖𝑛 = 0.05 𝑠. Eso quiere decir, que la frecuencia mínima de las

perturbaciones que va a eliminar el controlador es de 𝐹𝑝 = 20𝐻𝑧 y múltiplos

de esta. De esta forma, queda definido el tiempo de muestreo del sistema

𝑇𝑠 = 1 ∙ 10−3 𝑠. Aparte de que el sistema muestreará a 𝐹𝑠 = 1000 𝐻𝑧, también

provoca que el sistema solo puede trabajar en frecuencias por debajo de la

frecuencia de Nyquist (4.14).

𝑓𝑛𝑦𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡 =𝐹𝑠2

= 500 𝐻𝑧

(4.14)

6 Control Repetitivo Teórico

Una vez definido el modelo del sistema, sólo falta realizar el control

repetitivo. El control permitirá rechazar las perturbaciones del sistema, es

decir, las vibraciones.

Se diseña un control repetitivo “plug-in” de tal forma que se ha elegido

𝐶1 𝑠 = 1 como regulador previo. Además, se ha estudiado y se ha obtenido

que es el control proporcional que mejor se ajusta al sistema. Por

consiguiente, la función 𝐺𝑝 𝑧 se reduce a la ecuación siguiente:

𝐺𝑝 𝑧 =𝑃 𝑧

1 + 𝑃 𝑧

(4.15)

Partiendo de la ecuación en 𝑧 de la planta (4.13), hay que examinar los

ceros y polos, debido a que la planta está involucrada en el diseño de 𝐺𝑥 𝑧 .


66

La ecuación (4.13) presenta un cero encima del círculo unidad, por lo

tanto, en este caso, hay que usar la fórmula de la ecuación (2.23) comentada

en el apartado “Compensador 𝐺𝑥 𝑧 ” del “Capítulo 2” de este documento.

De esta forma, 𝐺𝑥 𝑧 queda definida en la ecuación (4.17), mientras que

𝐺𝑝 𝑧 está definida en la ecuación (4.16).

𝐺𝑝 𝑧 =0.090909 ∙ (z− 1) ∙ (z− 0.9689)

(z2 − 1.94 ∙ z + 0.996)

(4.16)

𝐺𝑥 𝑧 = z−1 − 1 ∙ z2 – 1.94 ∙ z + 0.996

0.090909 ∙ z− 0.9689 ∙ b

(4.17)

Siendo 𝑏 ≥ 106.02 dB

20 2

donde 6.02 𝑑𝐵, es el valor máximo del módulo

de z−1 − 1 . Esto se puede observar en el bode magnitud de la Figura 4.8.

Figura 4.8: Bode de 𝑧−1 − 1 .

El filtro FIR paso bajo que se utiliza es el de la ecuación (2.32) donde 𝑛 es

el orden del filtro, para un diseño fácil del filtro 𝑛 = 1.


67

Sólo falta seleccionar el valor de la ganancia 𝐾𝑥 para terminar el diseño

del control repetitivo. En un primer momento, se ha seleccionado 𝐾𝑥 = 1 que

es un valor intermedio (rango de valores que puede tomar, 0 < 𝐾𝑥 < 2), para

comprobar el funcionamiento del sistema. Posteriormente, se ajusta este

parámetro para conseguir una respuesta mejor ante las perturbaciones.

En la Figura 4.10, se ha representado el diagrama de bode perturbación-

salida de la planta, junto a la función en lazo cerrado perturbación-salida

𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑧 . Se puede observar en la magnitud del bode de 𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑧 que el

controlador intenta dar ganancia −∞ 𝑑𝐵 a las frecuencias de interés, esto

quiere indicar que a esas frecuencias elimina la perturbación.

Figura 4.9: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo + Planta (verde) y

perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica.


68

Figura 4.10: Bode lazo cerrado perturbación-salida de la Planta (azul) y perturbación-salida del Control

Repetitivo + Planta (verde) en escala lineal.

Figura 4.11: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 4.10.

Todo esto, se percibe mejor en la Figura 4.11 donde se ha ampliado la

Figura 4.10. Al mismo tiempo, se aprecia claramente que a la frecuencia para


69

la cual el sistema ha sido diseñado (20 𝐻𝑧), el pico de ganancia es más

punzante, y a medida que la frecuencia aumenta, estos picos empiezan a

deteriorarse, empeorando la respuesta del sistema frente a perturbaciones

cuya frecuencia sea múltiplo de la original. Eso quiere decir, que a

frecuencias múltiples, el sistema elimina peor las vibraciones que si se

tratase de la frecuencia de diseño, esto es debido al filtro FIR paso bajo que

limita las prestaciones del control a altas frecuencias.

6.1 Estabilidad

Una vez diseñado el control, se comprueba que todas las ecuaciones de

estabilidad se cumplen.

Partiendo de la ecuación del error (2.5), deben de ser estables las

funciones de transferencia 𝑀1 𝑧 y 𝑀2 𝑧 de las ecuaciones (2.6) y (2.7)

respectivamente. Para ayudar en el seguimiento de la estabilidad del

sistema, ambas ecuaciones serán definidas nuevamente.

En primer lugar, se comprueba la estabilidad de 𝑀1 𝑧 definida en la

ecuación (4.18), además de mostrar su diagrama de polos y ceros en la

Figura 4.12.

𝑀1 𝑧 =1

1 + 𝑃(𝑧) ∙ 𝐶1(𝑧)

(4.18)

Para estar más seguro, el valor del polo y cero complejo se muestran a

continuación, donde se puede ver con claridad, que los dos están dentro

del círculo unidad, es decir, 𝑀1 𝑧 es estable.

𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑀1 𝑧 = 0.96831 ± 0.24725 ∙ 𝑖

𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑀1 𝑧 = 0.96978 ± 0.23574 ∙ 𝑖

(4.19)


70

Figura 4.12: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia 𝑀1 𝑧 .

En segundo lugar, se comprueba la estabilidad de 𝑀2 𝑧 definida en la

ecuación (4.20). Además de mostrar su diagrama de polos y ceros en la

Figura 4.13, donde se puede comprobar que todos los ceros y polos están

dentro del círculo unidad.

𝑀2 𝑠 =1 − 𝑄(𝑧) ∙ z−N

1 − 𝑄(𝑧) ∙ z−N ∙ 1 − 𝐾𝑥 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 ∙ 𝐺𝑝 𝑧

(4.20)

Por razones de simplificación, no se han mostrados los valores de los

polos y ceros, pero todos ellos son estables, convirtiendo a 𝑀2 𝑧 en

estable.


71


Para que 𝑀2 𝑧 sea estable, debe de cumplirse también la ecuación

(2.9), donde por separado 𝑄 𝑧 y 𝑇 𝑧 deben de tener un módulo menor o

igual a la unidad para cumplirse dicha ecuación (2.9).

Figura 4.14: Bode Magnitud de 𝑄 𝑧 .


72

Figura 4.15: Bode Magnitud de 𝑇 𝑧 .

Figura 4.16: Bode Magnitud de 𝑄 𝑧 ∙ 𝑇 𝑧 .

En la Figura 4.14 y Figura 4.15, están representados los diagramas de

bode magnitud de 𝑄 𝑧 y 𝑇 𝑧 respectivamente. Ambas funciones de


73

transferencia tienen módulo menor o igual a la unidad en todo el rango de

frecuencias 𝑤. Por lo tanto, la ecuación (2.9) que se ha representado en la

Figura 4.16 tiene módulo menor o igual que uno para todos los valores de

frecuencia donde opera el regulador. Para que no quede lugar a duda de la

afirmación anterior, se ha hecho una ampliación en la Figura 4.17.

Figura 4.17: Ampliación de la zona lineal de la Figura 4.16.

Finalmente se comprueba el diagrama de ceros y polos del sistema en

lazo cerrado con el control y la planta. Como se comprueba en la Figura

4.18 el sistema es estable porque todos los polos del sistema están dentro

del círculo unidad.


74

Figura 4.18: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo + Planta.

6.2 Implementación

Una vez definidos todos los elementos del control, hay que

implementar el control dentro del sistema (Figura 4.19), para lo cual, se

procede a hacer la implementación descrita en el apartado

“Implementación” del “Capítulo 2”. Se utilizan sendos 𝑧−1 (para este

diseño) de la cadena directa de la celda del control repetitivo para hacer

causal al filtro 𝑄 𝑧 y al compensador 𝐺𝑥 𝑧 . Estos retardos no se aprecian

en la figura ya que están introducidos dentro de cada bloque.

En el sistema se ha introducido también un retenedor de orden cero y

un muestrador para compatibilizar la parte digital del sistema con la parte

continua. De tal forma, la parte digital (control repetitivo) está en rojo y la

parte continua (planta) en negro para facilitar la visualización.


75

Figura 4.19: Diagrama Simulink Control + Planta.

6.3 Simulación

Una vez implementado el sistema completo, se introduce una

perturbación como se indica en la Figura 4.19 para comprobar el

funcionamiento del control.

La perturbación es de tipo sinusoidal con amplitud unitaria y de

frecuencia 20 𝐻𝑧 (Figura 4.20). La frecuencia de 20 𝐻𝑧 es justo la

frecuencia a la que está diseñado el sistema para eliminar las vibraciones

de esa frecuencia y múltiplos de ella.

La salida del sistema es la aceleración de la masa 𝑀 del sistema SDOF,

la cual, está indicada en la Figura 4.21.


76

Figura 4.20: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz.

Figura 4.21: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante perturbación

sinusoidal de 20 Hz.


77

Figura 4.22: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz de entrada (azul) y la aceleración

(verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico.

La aceleración resultante es una señal sinusoidal de frecuencia la

misma que la perturbación de entrada, pero de amplitud 0.027. La

reducción de la amplitud de la perturbación de entrada, la cual es unitaria,

es significativa, ya que el control ha conseguido reducir la vibración 1

37

veces el valor de la entrada.

El resultado es bastante satisfactorio, pero si se recuerda, la ganancia 𝐾𝑥

se eligió de una manera arbitraria, optando por un valor intermedio del

rango que podía tener la ganancia 0 < 𝐾𝑥 < 2 . Debido al valor que puede

tomar la ganancia 𝐾𝑥 , se han simulado distintos controles variando el valor

de 𝐾𝑥 , pero manteniendo la misma perturbación de amplitud unitaria y

20 𝐻𝑧 de frecuencia. El resultado de estas simulaciones se puede ver en la

Figura 4.23, donde una ganancia de 𝐾𝑥 = 1.9 es la mejor opción posible ya

que con 𝐾𝑥 = 2 el sistema se convierte en inestable.


78

Una ganancia de 𝐾𝑥 = 1.9 reduce las vibraciones 1

51 veces el valor

original de la perturbación, reduciéndola a una amplitud de 0.0195.

Se comprueba la estabilidad del sistema con esa nueva ganancia para

que no existan problemas, aunque haya respondido bien con la ganancia

de 𝐾𝑥 = 1.9.

Figura 4.23: Distintas aceleraciones (salidas) para distintos valores de la ganancia 𝐾𝑥 en el Control

Repetitivo Teórico ante una perturbación sinusoidal de 20Hz.

Aunque el control haya cambiado, 𝑀1 𝑧 va a seguir siendo estable

porque no influye el control en la función, esto se muestra en la ecuación

(4.24). En cambio 𝑀2 𝑧 depende del control (4.20), por lo tanto, se ha

dibujado el diagrama de polos y ceros en la Figura 4.24 para comprobar su

estabilidad y como se aprecia 𝑀2 𝑧 es estable. Al igual que se cumple la

ecuación (2.9) en la Figura 4.25. Se ha hecho una ampliación en la Figura

4.26 para ver con mayor detalle el módulo en la zona lineal de la Figura


79

4.25, y como se observa el módulo es menor que la unidad en todo el rango

de frecuencias.

Figura 4.24: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia 𝑀2 𝑧 para 𝐾𝑥 = 1.9.

Figura 4.25: Bode Magnitud de 𝑄 𝑧 ∙ 𝑇 𝑧 para 𝐾𝑥 = 1.9.


80


Armónicos

Una vez observado el comportamiento del sistema ante una

perturbación sinusoidal de frecuencia 20 𝐻𝑧 y amplitud unitaria. Se ha

procedido a introducir 10 armónicos de amplitud en función de la ecuación

(4.21) y de frecuencia en función de la ecuación (4.23).

𝐴𝑚𝑝𝐴𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑛 =2 ∙ 𝐴𝑚𝑝𝐹𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙

3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑛

(4.21)

𝑓𝐴𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑓𝐹𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙

(4.22)

La perturbación de frecuencia fundamental 20 𝐻𝑧 y amplitud unitaria

junto con 10 armónicos cuyas amplitudes y frecuencias se rigen por las

ecuaciones anteriores, se muestra en la Figura 4.27.


81

Figura 4.27: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz +10 armónicos.


sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos.


82

Figura 4.29: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos de entrada (azul) y

la aceleración (verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico.

La aceleración de la masa 𝑀 del sistema SDOF, está indicada en la

Figura 4.28. En la Figura 4.29 se ha mostrado la perturbación de entrada y

la salida del sistema para poder comparar ambas señales.

La aceleración posee una frecuencia de 20 𝐻𝑧 igual a la frecuencia

fundamental de perturbación, pero con amplitud 0.0459. El control ha

conseguido reducir la vibración 1

21.8 veces el valor de entrada mientras que

antes eran 1

37 veces cuando no existían los armónicos.

6.4 Resultados

El diseño del Control Repetitivo Teórico está finalizado y la simulación

para la frecuencia de 10 𝐻𝑧 está hecho, por lo tanto, solo falta realizar las

simulaciones para distintas frecuencias y de este modo obtener los

resultados. Como se ha observado para la frecuencia de diseño, el control


83

logra atenuar bastante bien la perturbación, ya que eliminar por completo

las perturbaciones es algo imposible, siempre existirá un error.

Los resultados que se documentan están realizados en función del error

anteriormente comentado, es decir, el error que existe en la aceleración de

salida debido a la imposibilidad de obtener una aceleración nula, que sería

lo ideal. Para determinar el error, se utiliza el Error Cuadrático Medio ECM

que es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los

errores 𝐸𝑖 , cuya ecuación se observa a continuación.

𝐸𝑀𝐶 = 𝐸𝑖

2𝑛𝑖=1

𝑛

(4.23)

El ECM en la aceleración de la masa 𝑀 para las distintas frecuencias de

perturbación se muestra en la Tabla 4.2, donde se muestra la frecuencia de

diseño 20 𝐻𝑧 y múltiplos de esta, así como la frecuencia natural del

sistema 39.76 𝐻𝑧 . Todas las perturbaciones de entrada son de amplitud

unitaria.

Sistema SDOF con el Control Repetitivo Teórico

Frecuencia 𝑯𝒛 ECM

20 8.7881 ∙ 10−3

𝟑𝟗.𝟕𝟔 6.3310 ∙ 10−1

𝟒𝟎 2.2208 ∙ 10−1

60 3.7847 ∙ 10−2

80 2.9835 ∙ 10−2

100 2.7646 ∙ 10−2

Tabla 4.2: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Teóricopara distintas frecuencias de

perturbación.

Para ver de una manera más visual la Tabla 4.2, se ha realizado un

gráfico de barras (Figura 4.30) donde están representados los errores en


84

régimen permanente en función de las distintas frecuencias de

perturbación.

Figura 4.30: Gráfico de barras del ECM para el Control Repetitivo Teórico del Sistema SDOF.

Como se comprueba en el gráfico, el ECM más pequeño se encuentra

cuando el sistema presenta una perturbación de 20 𝐻𝑧, debido a que es la

frecuencia de diseño para el control. De este modo, se comprueba que es la

mejor respuesta que va a tener el sistema ya que a múltiplos de esta, la

respuesta se deteriora. Existe una excepción para la frecuencia de 40 𝐻𝑧,

donde el error es diez veces más de lo normal y es debido al pico de

resonancia que presenta el sistema SDOF a la frecuencia de 39.76 𝐻𝑧.

7 Control Repetitivo Modificando Ceros

En el apartado anterior se ha descrito el diseño del control teórico para

el sistema SDOF basado en la descripción del “Capítulo 2”. Este apartado,

quiere aportar una modificación sobre la sección anterior, en la cual, como

se comprobará a continuación, mejora la respuesta significativamente ante

vibraciones.

0,00E+00

5,00E-02

1,00E-01

1,50E-01

2,00E-01

2,50E-01

20 40 60 80 100

EC

M

Frecuencia de Perturbación (Hz)

Control Repetitivo Teórico


85

Se diseña un control repetitivo “plug-in” de la misma forma que en la

sección anterior, eligiendo 𝐶1 𝑠 = 1 como regulador previo, debido a que

se ha estudiado y se ha obtenido que es el control proporcional que mejor

se ajusta al sistema. Por consiguiente, la función 𝐺𝑝 𝑧 es la misma que en

la ecuación (4.15) y con los mismos polos y ceros que la ecuación (4.16). A

dicha ecuación, se le ha modificado su cero problemático por otro cero

próximo al original pero dentro del círculo unidad y no encima, como

originalmente se encontraba. Debido a este cambio, la ecuación (4.16)

queda redefinida por la ecuación (4.24).

𝐺𝑝 𝑧 =0.090909 ∙ (z− 0.99) ∙ (z− 0.9689)

(z2 − 1.94 ∙ z + 0.996)

(4.24)

Donde ahora, la función de transferencia no tiene ningún tipo de

problema de cero o polo inestable. Aunque no se invierte completamente el

modelo, no se espera que las diferencias sean importantes. Para obtener

𝐺𝑥 𝑧 se utiliza la ecuación (2.16) , cuyo resultado se muestra a

continuación:

𝐺𝑥 𝑧 = (z2 − 1.94 ∙ z + 0.996)

0.090909 ∙ (z− 0.99) ∙ (z− 0.9689)

(4.25)

El filtro FIR paso bajo se define de la misma forma que en la ecuación

(2.32) con 𝑛 = 1 y la ganancia 𝐾𝑥 del control repetitivo, se ajusta a 𝐾𝑥 = 1.6

ya que es la ganancia que mejores prestaciones aporta estando dentro de los

límites de estabilidad que posteriormente se desarrollan.

En la Figura 4.32 se ha representado el bode perturbación-salida de la

planta, junto a la función en lazo cerrado perturbación-salida 𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑧 . Se

puede observar en la magnitud del bode de 𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑧 que el controlador

intenta dar ganancia infinita negativa a las frecuencias de interés, esto

quiere indicar que a esas frecuencias elimina la perturbación.


86

Figura 4.31: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando Ceros + Planta

(verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica.


(verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal.


87

Igualmente que en el apartado anterior, se ha hecho una ampliación en

la Figura 4.33. A priori, este control parece mucho mejor porque los picos

de ganancia negativa son más afilados y tienden más al infinito negativo,

es decir, tienen ganancias negativas mayores.


7.1 Estabilidad



La función de transferencia 𝑀1 𝑧 (4.18) que no depende del control se

ha demostrado que es estable en la Figura 4.12.

La estabilidad de 𝑀2 𝑧 , además de estar definida en la ecuación (4.20),

se muestra su diagrama de polos y ceros en la Figura 4.34, donde se puede

comprobar que todos los ceros y polos están dentro del círculo unidad.

Para que 𝑀2 𝑧 sea estable debe de cumplirse también la ecuación (2.9), y

como se demuestra en la Figura 4.35 el módulo de 𝑄 𝑧 ∙ 𝑇 𝑧 es menor o


88

igual a la unidad en todo el rango de frecuencias, como también se

demuestra en la zona lineal del bode magnitud (Figura 4.36).




89


7.2 Implementación

La implementación del sistema se realiza de la misma manera que el

apartado “Implementación” del ”Control Repetitivo Teórico”.

7.3 Simulación

Una vez implementado el control junto con la planta, se introduce una

perturbación para comprobar el funcionamiento del control. La

perturbación es la misma que en el apartado “Simulación” del ”Control

Repetitivo Teórico” de esta forma se pueden comparar ambos controles.

Esta perturbación se puede ver en la Figura 4.20.

La salida del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros, es

la aceleración de la masa 𝑀 del sistema SDOF, la cual, está indicada en la

Figura 4.37.


90

Figura 4.37: Aceleración (salida) del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros ante

perturbación sinusoidal de 20 Hz.


del sistema (rojo) con Control Repetitivo Modificando Ceros.


91

La aceleración resultante es una señal sinusoidal de frecuencia 20 𝐻𝑧

pero de amplitud 8.62 ∙ 10−5. La reducción de la vibración es 1

11601 veces el

valor de la perturbación de entrada, esta reducción es de 5 órdenes de

magnitud.

Armónicos




(4.21) y de frecuencia en función de la ecuación (4.23), dicha perturbación

se muestra en la Figura 4.27.

Figura 4.39: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros Control

Repetitivo Teórico ante perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos.


92


la aceleración (rojo) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros.

La aceleración de la masa 𝑀 del sistema SDOF tiene 20 𝐻𝑧 de

frecuencia al igual que la frecuencia fundamental de la vibración. La

amplitud máxima de salida es −2.5838 ∙ 10−3, por lo tanto se ha

conseguido reducir la vibración 1

387 veces el valor de entrada, eso son 3

órdenes de magnitud el valor de entrada mientras que antes eran 5 órdenes

cuando no existían los armónicos.

7.4 Resultados

Se ha observado que para la frecuencia de diseño, el control logra

atenuar bastante bien la perturbación (Figura 4.8) ya que eliminar por

completo las perturbaciones es algo imposible, siempre existirá un error.

Al igual que en el apartado “Resultados” del “Control Repetitivo

Teórico”, los resultados de la simulación se realizan en función del error en


93

la salida del sistema. Para determinar el error se utiliza el ECM de la

ecuación (4.23). El ECM para las distintas frecuencias de perturbación se

muestra en la Tabla 4.2, donde se muestra la frecuencia de diseño 20 𝐻𝑧

y múltiplos de esta, así como la frecuencia natural del sistema 39.76 𝐻𝑧 .

Todas las perturbaciones de entrada son de amplitud unitaria.

Sistema SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros


20 5.4120 ∙ 10−5

𝟑𝟗.𝟕𝟔 3.0381 ∙ 10−2

𝟒𝟎 5.5938 ∙ 10−3

60 2.1178 ∙ 10−3

80 2.9218 ∙ 10−3

100 4.1476 ∙ 10−3

Tabla 4.3: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros para distintas

frecuencias de perturbación.

Para ver de una manera más rápida la Tabla 4.3, se ha realizado un

gráfico de barras (Figura 4.41) donde están representados los errores en

régimen permanente en función de las distintas frecuencias de

perturbación.

Como era de esperar, el ECM más pequeño se encuentra cuando el

sistema es excitado por una perturbación de 20 𝐻𝑧, como ya se comentó

anteriormente en las Figura 4.32 y Figura 4.33. Mientras que a medida que

van aumentando las frecuencias múltiples de 20 𝐻𝑧, la respuesta del

control empeora ya que el error va aumentando. Existe una excepción para

la frecuencia de 40 𝐻𝑧, donde el error es más grande de lo normal y es

debido al pico de resonancia que presenta el sistema SDOF cercano a la

frecuencia de 40 𝐻𝑧.


94

Figura 4.41: Gráfico de barras del ECM para el Control Repetitivo Modificando Ceros del Sistema

SDOF.

8 Comparación Resultados

Una vez analizados los dos controles repetitivos, se comparan ambos

para comprobar cuál de ellos es el que mejor resultado proporciona. La

comparación se realiza en función de los errores tratados en el apartado

“Resultados” de los respectivos controles. Se ha realizado la Tabla 4.4 donde

se agrupan los datos de ECM de la Tabla 4.2 y Tabla 4.3 del “Control

Repetitivo Teórico” y “Control Repetitivo Modificando Ceros” del sistema

SDOF respectivamente.

En la tabla se comparan los dos controles para las distintas frecuencias

de perturbación. Para ver de una manera visual cuál de ellos tiene menor

error se ha realizado un gráfico de barras en la Figura 4.42, en ella, los datos

están en escala lineal, pero ésta escala hace que la comparación no sea buena.

Debido a esto, en la Figura 4.43 se han representado en escala logarítmica los

datos de la Tabla 4.4 modificados (x 105) para que todos sean mayores que la

unidad y de esta forma el logaritmo sea positivo.

0E+00

1E-03

2E-03

3E-03

4E-03

5E-03

6E-03

20 40 60 80 100

EC

M


Control Repetitivo Modificando Ceros


95

Sistema SDOF

ECM

Frecuencia 𝑯𝒛 Control Repetitivo Teórico Control Repetitivo Modificando Ceros

20 8.7881 ∙ 10−3 5.4120 ∙ 10−5

𝟑𝟗.𝟕𝟔 6.3310 ∙ 10−1 3.0381 ∙ 10−2

𝟒𝟎 2.2208 ∙ 10−1 5.5938 ∙ 10−3

60 3.7847 ∙ 10−2 2.1178 ∙ 10−3

80 2.9835 ∙ 10−2 2.9218 ∙ 10−3

100 2.7646 ∙ 10−2 4.1476 ∙ 10−3

Tabla 4.4: Comparativa de los ECM para los dos controles del Sistema SDOF.

Figura 4.42: Gráfico de barras comparativo de los ECMs de la Tabla 4.4 de las dos controles para el

Sistema SDOF.

0E+00

5E-02

1E-01

2E-01

2E-01

3E-01

20 40 60 80 100

ECM


Control Repetitivo Teórico Control Repetitivo Modificando Ceros


96

Figura 4.43: Gráfico de barras comparativo en escala logarítmica de los de los ECMs Modificados de la

Tabla 4.4 (ECM x 105) de los dos controles para el Sistema SDOF.

Como se observa en el gráfico, claramente el Control Repetitivo

Modificando Ceros es mucho mejor que el Control Repetitivo Teórico ya que

reduce el error más de un orden de magnitud en cada una de las frecuencias.

En concreto, en la Tabla 4.5 se realiza la diferencia entre ambos controles

para cada una de las frecuencias. Donde se detalla la diferencia entre los

ECM de cada control de la Tabla 4.4, el porcentaje que reduce debido a esa

diferencia y por último el cociente entre el ECM del Control Repetitivo

Teórico y el ECM del Control Repetitivo Modificando Ceros, es decir, ese

valor obtenido indica cuantas veces hay que dividir el ECM del Control

Repetitivo Teórico para obtener el ECM del Control Repetitivo Modificando

Ceros.

Diferencia entre los controles

Frecuencia Reducción ECM

𝑯𝒛 unidades % 𝑪𝑹.𝑻𝒆ó𝒓𝒊𝒄𝒐

𝑪𝑹.𝑴𝒐𝒅𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑪𝒆𝒓𝒐𝒔

20 8.73 ∙ 10−3 99.38 162.38

𝟑𝟗.𝟕𝟔 6.03 ∙ 10−1 95.20 20.84

𝟒𝟎 2.16 ∙ 10−1 97.48 39.70

1E+00

1E+01

1E+02

1E+03

1E+04

1E+05

20 39,76 40 60 80 100

ECM

x 1

05




97

60 3.57 ∙ 10−2 94.40 17.87

80 2.69 ∙ 10−2 90.21 10.21

100 2.35 ∙ 10−2 85.00 6.67

Tabla 4.5: Diferencia entre Control Repetitivo Teórico y Control Repetitivo Modificando Ceros del

Sistema SDOF

El cociente entre los ECMs anteriormente descritos, se han representado

en la Figura 4.44 en escala logarítmica, donde se puede ver claramente que

en la frecuencia de diseño, la reducción es grande 1

162 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 y a medida

que la frecuencia va aumentando esa diferencia va disminuyendo

progresivamente.

Figura 4.44: Reducción en escala logarítmica del Control Repetitivo Modificando Ceros respecto del

Control Repetitivo Teórico del Sistema SDOF.

162,38

20,84

39,70

17,8710,21 6,67

20 39,76 40 60 80 100CR

.Te

óri

co/

CR

. M

od

ific

an

do

Ce

ros


98

Capítulo 5 CONTROL SISTEMA AMD-SDOF 5. CONTROL SISTEMA AMD-SDOF

1 Introducción

En este capítulo se estudia y diseña el control activo de vibraciones para

un sistema AMD-SDOF, aplicando el algoritmo de control repetitivo.

2 Sistema AMD-SDOF

Un sistema AMD-SDOF es simplemente un sistema de dos grados de

libertad compuesto por un sistema SDOF que se combina con un sistema de

amortiguación de masa activa AMD. El modelo esquemático del sistema

utilizado en [36] se observa en la Figura 5.1 y los parámetros del modelo

están resumidos en la Tabla 5.1.

Figura 5.1: Modelo del Sistema AMD-SDOF.

MEMORIA Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF

99

El sistema SDOF (Single Degree Of Freedom) es el sistema mecánico de

un solo grado de libertad de la Figura 5.1, formado por una masa 𝑀𝑝 , una

fricción viscosa 𝐵𝑝 y un muelle 𝐾𝑝 .

Sistema AMD-SDOF

Estructura Primaria Estructura Secundaria

𝑴𝒑 10 𝐾𝑔 𝑴𝒂 0.1 𝐾𝑔

𝑩𝒑 12.5 𝑁𝑠𝑚 𝑩𝒂 0.05 𝑁𝑠

𝑚

𝑲𝒑 6.25 ∙ 105 𝑁𝑚 𝑲𝒂 6250 𝑁

𝑚

Tabla 5.1: Parámetros del Sistema AMD-SDOF.

El sistema AMD (Active Mass Damper) es un sistema que sirve para

suprimir activamente las vibraciones que puedan dañar o romper una

estructura causado por las oscilaciones. Este sistema está formado por una

masa auxiliar 𝑀𝑎 , una fricción viscosa 𝐵𝑎 , un muelle 𝐾𝑎 y un actuador que

opera la masa produciendo una fuerza de control 𝐹𝑎 que responde a las

perturbaciones sufridas por la estructura. Todos estos elementos están

instalados en la parte superior de la estructura como se aprecia en la Figura

5.1.

3 Modelo en tiempo continuo

En este apartado se escriben las ecuaciones en tiempo continuo del

sistema AMD-SDOF que se observa en la Figura 5.1. Es un sistema de dos

grados de libertad, cuyas ecuaciones del movimiento en el dominio de

Laplace se pueden observar en las ecuaciones (5.1) y (5.2).

𝐹𝑎 + 𝐹𝑑 = 𝑀𝑝 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑝 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑝 + 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑝 𝑠 + −𝐵𝑎 ∙ 𝑠 − 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑎 𝑠

(5.1)

−𝐹𝑎 = 𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑎 𝑠 + −𝐵𝑎 ∙ s − 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑝 𝑠

(5.2)


100

Las ecuaciones anteriores se pueden agrupar en la representación

matricial que se puede observar en la ecuación (5.3).

𝐹𝑎 + 𝐹𝑑−𝐹𝑎

= 𝑀𝑝 ∙ 𝑠

2 + 𝐵𝑝 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑝 + 𝐾𝑎 −𝐵𝑎 ∙ 𝑠 − 𝐾𝑎

𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎 −𝐵𝑎 ∙ 𝑠 − 𝐾𝑎

∙ 𝑋𝑝(𝑠)

𝑋𝑎(𝑠)

(5.3)

Donde 𝑋𝑎 es el desplazamiento de la masa auxiliar, 𝑋𝑝 es el

desplazamiento de la masa principal, 𝐹𝑑 es la fuerza de la perturbación y 𝐹𝑎

es la fuerza del actuador.

Sustituyendo la transformada de Laplace 𝑠 de las ecuaciones (5.1) y (5.2)

por la derivada del desplazamiento de cada una de las masas, se obtienen las

ecuaciones (5.4) y (5.5) respectivamente.

𝐹𝑎 + 𝐹𝑑 = 𝑀𝑝 ∙𝑑2𝑋𝑝

𝑑𝑡2+ 𝐵𝑝 + 𝐵𝑎 ∙

𝑑𝑋𝑝

𝑑𝑡+ 𝐾𝑝 + 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑝 − 𝐵𝑎 ∙


− 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑎

(5.4)

−𝐹𝑎 = 𝑀𝑎 ∙𝑑2𝑋𝑎𝑑𝑡2

+ 𝐵𝑎 ∙𝑑𝑋𝑎𝑑𝑡

+ 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑎 − 𝐵𝑎 ∙𝑑𝑋𝑝

𝑑𝑡− 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑝

(5.5)

Despejando las segundas derivadas de 𝑋𝑎 y 𝑋𝑝 de las ecuaciones (5.4) y

(5.5) se obtienen las ecuaciones (5.6) y (5.7) donde se pueden observar las

aceleraciones de las dos masas 𝑀𝑎 y 𝑀𝑝 respectivamente.

𝑑2𝑋𝑝

𝑑𝑡2=

1

𝑀𝑝∙ 𝐹𝑎 + 𝐹𝑑 − 𝐵𝑝 + 𝐵𝑎 ∙

𝑑𝑋𝑝

𝑑𝑡− 𝐾𝑝 + 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑝 + 𝐵𝑎 ∙


+ 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑎

(5.6)

𝑑2𝑋𝑎𝑑𝑡2

=1

𝑀𝑎∙ −𝐹𝑎 − 𝐵𝑎 ∙


− 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑎 + 𝐵𝑎 ∙𝑑𝑋𝑝

𝑑𝑡+ 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑝

(5.7)

A partir de estas ecuaciones se realiza el diagrama de bloques con

integradores y ganancias que describen el modelo. Este diagrama se puede

observar en Figura 5.2.


101

Figura 5.2: Diagrama de bloques del Sistema AMD-SDOF.

El diagrama de bloques de la Figura 5.2 al ser bastante grande, se agrupa

en un solo bloque, creando un subsistema llamado “Planta” que se muestra

en la Figura 5.3. Compuesto por dos entradas: “Fd” y ”Fa” y cinco salidas:


102

”dXa”, ”dXp”, ”Xa”, ”Xp” e ”y” que es la salida del sistema, es decir, la

aceleración de la masa 𝑀𝑝 .

Figura 5.3: Bloque que encierra el diagrama de la Figura 5.2.

Resolviendo el diagrama de bloques, se obtiene la función de

transferencia de la planta 𝑃 𝑠 del sistema AMD-SDOF. Resolver el

diagrama es una ardua labor, por lo tanto se ha optado por resolverlo

matemáticamente. Aún así este diagrama se utiliza para el diseño, análisis y

simulación del control activo de vibraciones.

Eliminando 𝑋𝑎 de la ecuación (5.1) y (5.2) se reduce a la expresión de la

ecuación (5.8).

𝑀𝑝 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑝 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑝 +

𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 ∙ 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎

𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎 ∙ 𝑋𝑝 𝑠

= 𝐹𝑑 + 𝐹𝑎 ∙ 𝑀𝑎 ∙ 𝑠

2

𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎

(5.8)

Con la ecuación (5.8) se puede obtener las funciones de transferencia 𝐹𝑎

y 𝐹𝑑 respecto al desplazamiento 𝑋𝑝 que se pueden ver en las ecuaciones (5.9)

y (5.10) respectivamente.

𝑋𝑝 𝑠

𝐹𝑎=

𝑀𝑎 ∙ 𝑠2

𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎

𝑀𝑝 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑝 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑝 +𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 ∙ 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎 𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎

(5.9)

𝑋𝑝 𝑠

𝐹𝑑=

1

𝑀𝑝 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑝 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑝 +𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 ∙ 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎 𝑀𝑎 ∙ 𝑠

2 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎

(5.10)


103

Estas ecuaciones relacionan el desplazamiento de la masa principal 𝑀𝑝

con las fuerzas, pero lo que se quiere relacionar es la aceleración con

respecto las fuerzas. La aceleración de la masa 𝑀𝑝 es lo que interesa

controlar del sistema. Para obtener la aceleración, basta con multiplicar 𝑠2

por el desplazamiento 𝑋𝑝 y de esa manera se consiguen las ecuaciones (5.11)

y (5.12). Sustituyendo los parámetros por los valores de la Tabla 5.1 se

obtienen definitivamente las funciones de transferencia 𝐹𝑎 y 𝐹𝑑 respecto a la

salida 𝑦, que es la aceleración de la masa 𝑀𝑝 .

𝑠2 ∙ 𝑋𝑝 𝑠

𝐹𝑎=

𝑠2 ∙𝑀𝑎 ∙ 𝑠

2

𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎


(5.11)

𝑠2 ∙ 𝑋𝑝 𝑠

𝐹𝑑=

s2


(5.12)

𝐹𝐹𝑎−𝑦 𝑠 = 0.1 ∙ 𝑠4

(𝑠2 + 0.8087 ∙ 𝑠 56560) (𝑠2 0.9463 ∙ 𝑠 + 69070)

(5.13)

𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑠 = 0.1 ∙ 𝑠2 ∙ (𝑠2 + 0.5 ∙ 𝑠 + 62500)

(𝑠2 + 0.8087 ∙ 𝑠 + 56560) ∙ (𝑠2 + 0.9463 ∙ 𝑠 + 69070)

(5.14)

Partiendo de las ecuaciones (5.11) y (5.12) se puede obtener el diagrama

de bloques reducido del sistema, formado por los bloques “Absorber” y

“Absorber/Plant” (Figura 5.4.). Con estos bloques se consigue el modelo

reducido de la planta 𝑃 𝑠 compuesto por dos funciones de transferencia,

que se puede observar a continuación:


104

𝐴𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑒𝑟/𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡 =𝑠2


(5.15)

𝐴𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑒𝑟 =𝑀𝑎 ∙ 𝑠

2

𝑀𝑎 ∙ 𝑠2 + 𝐵𝑎 ∙ 𝑠 + 𝐾𝑎

(5.16)

Figura 5.4: Diagrama de bloques reducido del Sistema AMD-SDOF.

Finalmente la función de transferencia de la planta 𝑃 𝑠 del sistema

AMD-SDOF se observa en la ecuación (5.17).

𝑃 𝑠 = 0.1 ∙ 𝑠4

(𝑠2 + 0.8087 ∙ 𝑠 + 56560) ∙ (𝑠2 0.9463 ∙ 𝑠 + 69070)

(5.17)

El diagrama de bode de la planta 𝑃 𝑠 se muestra en la Figura 5.5 donde

se representa gráficamente la respuesta en frecuencia del sistema. Se aprecia

que existen dos picos de resonancia y eso quiere decir que el sistema es

subamortiguado. Cuanto mayor es el pico de resonancia, menor es el

amortiguamiento, esto se observa en la Figura 5.6, donde la salida del

sistema oscila significativamente al introducirle un escalón unitario en la

referencia.


105

Figura 5.5: Bode de la Planta.

La respuesta ante un escalón unitario presenta muchas oscilaciones

debido a que tiene un amortiguamiento muy pequeño 𝜁𝑝 = 0.0025 (5.18).

También, analizando la respuesta en frecuencia, es decir, el bode de la planta

(Figura 5.5) presenta un pico de resonancia en su frecuencia natural

𝑓𝑛𝑝 = 39.79 𝐻𝑧 (5.19).

𝜁𝑝 =𝐵𝑝

2 ∙ 𝐾𝑝 ∙ 𝑀𝑝

= 0.0025

(5.18)

𝑓𝑛𝑝 =

𝐾𝑝𝑀𝑝

2 ∙ 𝜋= 39.79 𝐻𝑧

(5.19)


106

Figura 5.6: Respuesta a un escalón unitario en referencia de la Planta.

4 Control Realimentación de Estado

En este apartado se desarrolla el control por realimentación de estado

para la asignación de polos, es decir, utilizar la realimentación de estado

para elegir los polos que se quieren en lazo cerrado. De esta forma, se puede

aumentar el amortiguamiento del sistema para hacerlo menos oscilante,

puesto que el sistema presenta 𝜁𝑝 = 0.0025 de amortiguamiento.

En un primer lugar, se declara el vector de variables de estado del

sistema, el cual se muestra en la ecuación (5.20). Está compuesto por las

cuatro variables de estado que son:

𝑋𝑝 y 𝑋𝑎 : Posición de la masa principal y secundaria

respectivamente.


107

𝑑𝑋𝑝

𝑑𝑡 y

𝑑𝑋𝑎

𝑑𝑡 : Velocidad de la masa principal y secundaria

respectivamente.

𝑋 =

𝑋𝑝𝑑𝑋𝑝

𝑑𝑡𝑋𝑎𝑑𝑋𝑎𝑑𝑡

(5.20)

Al ser un sistema invariante en el tiempo, quiere decir que las

funciones vectoriales no dependen del tiempo. Por consiguiente, se

utilizan las ecuaciones (3.9) y (3.10), dando lugar, con los elementos del

sistema, a las ecuaciones (5.21) y (5.22) respectivamente.

𝑑𝑋𝑝

𝑑𝑡𝑑2𝑋𝑝

𝑑𝑡2

𝑑𝑋𝑎𝑑𝑡𝑑2𝑋𝑎𝑑𝑡2

=

0 1 0 0

−(𝐾𝑝 + 𝐾𝑎)

𝑀𝑝−

(𝐵𝑝 + 𝐵𝑎)

𝑀𝑝

𝐾𝑎𝑀𝑝

𝐵𝑎𝑀𝑝

0 0 0 1𝐾𝑎𝑀𝑎

𝐵𝑎𝑀𝑎

−𝐾𝑎𝑀𝑎

−𝐵𝑎𝑀𝑎

∙



+

0 01

𝑀𝑝

1

𝑀𝑝

0 0

−1

𝑀𝑎0

∙ 𝐹𝑎𝐹𝑑

(5.21)

𝑦 = −(𝐾𝑝 + 𝐾𝑎)

𝑀𝑝−

(𝐵𝑝 + 𝐵𝑎)

𝑀𝑝

𝐾𝑎𝑀𝑝

𝐵𝑎𝑀𝑝

∙



+ 1

𝑀𝑝

1

𝑀𝑝 ∙

𝐹𝑎𝐹𝑑

(5.22)

Sustituyendo los datos de la Tabla 5.1 en las ecuaciones (5.21) y (5.22), se

obtienen las ecuaciones (5.23) y (5.24) respectivamente.


108

𝑑𝑋𝑝

𝑑𝑡𝑑2𝑋𝑝𝑑𝑡2

𝑑𝑋𝑎𝑑𝑡𝑑2𝑋𝑎𝑑𝑡2

=

0 1 0 0−63125 −1.2550 625 0.005

0 0 0 162500 0.5 −62500 −0.5

∙



+

0 00.1 0.10 0

−10 0

∙ 𝐹𝑎𝐹𝑑

(5.23)

𝑦 = −63125 −1.255 625 0.005 ∙



+ 0.1 0.1 ∙ 𝐹𝑎𝐹𝑑

(5.24)

Para comprobar que las cuatro matrices del sistema son correctas, se ha

comprobando mediante el comando “linmod” de Matlab. Obteniéndose la

Figura 5.7, donde se puede ver que coinciden con las matrices 𝐴,𝐵,𝐶 y 𝐷

obtenidas en las ecuaciones (5.23) y (5.24).

Figura 5.7: Comprobación de las matrices A, B, C y D mediante Matlab.

Una vez definidas las matrices 𝐴,𝐵,𝐶 y 𝐷 solo queda realimentar el

sistema con las ganancias de realimentación, como se muestra en la Figura


109

5.8. Para generar la matriz de ganancias, se ha utilizado la fórmula de

“ackerman” descrita en la ecuación (3.22), obteniéndose la matriz de

ganancias 𝐾𝑣𝑒 de la ecuación (5.25).

𝐾𝑣𝑒 =

𝐾 𝑣𝑒 1

𝐾𝑣𝑒 2

𝐾𝑣𝑒 3

𝐾𝑣𝑒 4

=

1.1973 ∙ 106 −1.1700 ∙ 104

−1.5000 ∙ 105

−3.7183 ∙ 102

(5.25)

La matriz de ganancias anterior está diseñada para asignar dos de los

cuatro polos para formar un polo complejo conjugado con 𝑤𝑛 = 250 𝑟𝑎𝑑 𝑠

y con un amortiguamiento de 𝜁 = 0.1, de esta manera, estos polos serán los

polos dominantes del sistema en lazo cerrado ya que los otros dos

restantes se colocan a cinco veces 𝑤𝑛 .

Figura 5.8: Control Realimentación de Estado.

Resolviendo el diagrama de bloques anterior, se obtienen las funciones

de transferencia de la planta con el control por realimentación de estado. A


110

continuación, se describen las funciones de transferencia en lazo cerrado

entre la entrada-salida 𝐹𝑎−𝑦 𝑠 y perturbación-salida 𝐹𝑑−𝑦 𝑠 .

𝐹𝐹𝑎−𝑦 𝑠 = 0.1 ∙ 𝑠2 ∙ (s + 1.526 ∙ 105) ∙ (s− 1.526 ∙ 105)

s + 1250 2 ∙ (s2 + 50 ∙ s + 62500)

(5.26)

𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑠 = 0.1 ∙ 𝑠2 ∙ (s + 482.9) ∙ (s + 3236)

s + 1250 2 ∙ (s2 + 50 ∙ s + 62500)

(5.27)

Figura 5.9: Respuesta a un escalón unitario en referencia del Control Realimentación de Estado+Planta.


111

Figura 5.10: Bode referencia-salida del Control Realimentación de Estado + Planta.

Figura 5.11: Respuesta a un escalón unitario en perturbación del Control Realimentación de

Estado+Planta.


112

Figura 5.12: Bode perturbación-salida del Control Realimentación de Estado + Planta.

Como se aprecia en la Figura 5.9, la respuesta ante un escalón en

referencia es mucho más amortiguada de la que se producía antes (Figura

5.6). Del mismo modo ocurre con el diagrama de bode resultante con el

control por realimentación (Figura 5.10), en el cual, se han eliminado los dos

picos de resonancia que aparecían en la Figura 5.5, dejando uno, pero de

menos tamaño.

5 Modelo en tiempo discreto

A partir de ahora, la función de transferencia 𝐹𝐹𝑎−𝑦 𝑠 de la ecuación

(5.26), que es la planta junto con el control por realimentación, se define

como la nueva planta del sistema. Esta redefinición de la planta es necesaria

para el posterior diseño del control repetitivo. Debido a esto, es necesario

discretizar dicha función, para lo cual, se utiliza la discretización [23]

mediante el retenedor de orden cero ya explicado en el apartado “Modelo en


113

tiempo discreto” del “Capítulo 4 – Control Sistema SDOF”. Por lo tanto, la

ecuación (5.28) en el dominio de la transformada 𝑧 es la siguiente:

𝑃 𝑧 =0.1 ∙ (z− 1) ∙ (z − 0.6228) ∙ (z2 − 1.94 ∙ z + 0.9972)

z− 0.2865 2 ∙ (z2 − 1.891 ∙ z + 0.9512)

(5.28)

6 Parámetros del Control Repetitivo

En primer lugar, se debe definir el orden 𝑁 del control repetitivo. Cuanto

mayor sea el orden, mejor será su comportamiento. Por lo tanto, se ha

elegido 𝑁 = 100.

El control que se va a diseñar es de orden fijo, por lo tanto, se ha fijado

𝑇𝑝 𝑚𝑖𝑛 = 0.1 𝑠. Eso quiere decir, que la frecuencia mínima de las

perturbaciones que va a eliminar el controlador es de 𝐹𝑝 = 10𝐻𝑧 y múltiplos

de esta. De esta forma, queda definido el tiempo de muestreo del sistema

𝑇𝑠 = 1 ∙ 10−3 𝑠. Aparte de que el sistema muestreará a 𝐹𝑠 = 1000 𝐻𝑧, también

provoca que el sistema solo puede trabajar en frecuencias por debajo de la

frecuencia de Nyquist (5.29).

𝑓𝑛𝑦𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡 =𝐹𝑠2

= 500 𝐻𝑧

(5.29)

7 Control Repetitivo Teórico

Una vez definido el modelo del sistema, sólo falta realizar el control

repetitivo. El control permitirá rechazar las perturbaciones que se presenten

en el sistema, es decir, las vibraciones.

Se diseña un control repetitivo “plug-in” de tal forma que se ha elegido

𝐶1 𝑠 = 1, ya que el control previo ha sido el control por realimentación de

estado. Por consiguiente, la función 𝐺𝑝 𝑧 se reduce a la ecuación siguiente:


114

𝐺𝑝 𝑧 =𝑃 𝑧

1 + 𝑃 𝑧

(5.30)

Partiendo de la ecuación en 𝑧 de la nueva planta (5.28) hay que examinar

los ceros y polos, ya que la planta está involucrada en el diseño de 𝐺𝑥 𝑧 .

La ecuación de la planta presenta un cero encima del círculo unidad, por

lo tanto, en este caso hay que utilizar la ecuación (2.23) comentada en el

apartado “Compensador 𝐺𝑥 𝑧 ” del “Capítulo 2”. De esta forma, 𝐺𝑥 𝑧

queda definida en la ecuación (5.32) que depende de 𝐺𝑝 𝑧 definido en la

ecuación (5.31).

𝐺𝑝 𝑧 =0.090909 ∙ (z− 1) ∙ (z− 0.6228) ∙ (z2 − 1.94 ∙ z + 0.9972)

(z2 − 0.673 ∙ z + 0.134) ∙ (z2 − 1.89 ∙ z + 0.9514)

(5.31)

𝐺𝑥 𝑧 = z−1 − 1 ∙ (z2 − 0.673 ∙ z + 0.134) ∙ (z2 − 1.89 ∙ z + 0.9514)

0.090909 ∙ (z− 0.6228) ∙ (z2 − 1.94 ∙ z + 0.9972) ∙ b

(5.32)

Siendo 𝑏 ≥ 106.02 dB

20 2

donde 6.02 𝑑𝐵, es el valor máximo del módulo

de z−1 − 1 . Esto se puede observar en la magnitud del bode de la Figura

5.13.


115

Figura 5.13: Bode de 𝑧−1 − 1 .

El filtro FIR paso bajo que se utiliza es el de la ecuación (2.32), donde 𝑛 es

el orden del filtro, para un diseño fácil del filtro 𝑛 = 1.

Por último se ha ajustado el valor de la ganancia 𝐾𝑥 del control

repetitivo. Se ha seleccionado 𝐾𝑥 = 1.8 que es el valor más óptimo para

conseguir una respuesta mejor ante las perturbaciones.

La respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado perturbación-

salida 𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑧 junto con la función perturbación-salida de la planta (Figura

5.12), se muestran en la Figura 5.14. En la Figura 5.15 se ha representado el

mismo diagrama pero en escala lineal y en función de la frecuencia. En la

magnitud del bode de 𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑧 se observa que el controlador intenta dar

ganancia negativa infinita a las frecuencias de interés, esto quiere indicar

que a esas frecuencias elimina la perturbación.


116

Figura 5.14: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Teórico + Planta (rojo) y

perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica.

Figura 5.15: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Teórico + Planta (rojo) y

perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal.


117


Todo esto, se percibe mejor en la Figura 5.16. En esta figura, a la

frecuencia de 10 𝐻𝑧 y múltiplos de esta, el sistema tiene ganancias que

intentan llegar al infinito negativo. Al mismo tiempo, se aprecia claramente

que a la frecuencia para la cual el sistema ha sido diseñado, el pico de

ganancia es más punzante y a medida que la frecuencia aumenta, estos picos

empiezan a deteriorarse, empeorando la respuesta del sistema frente a

perturbaciones cuya frecuencia sea múltiplo de la original (10 𝐻𝑧). Eso

quiere decir que a frecuencias múltiples, el sistema eliminará peor las

vibraciones que si se tratase de la frecuencia de diseño, esto es debido al

filtro FIR paso bajo que limita las prestaciones del control a altas frecuencias.

7.1 Estabilidad




118

Partiendo de la ecuación del error (2.5), deben de ser estables las

funciones de transferencia 𝑀1 𝑧 y 𝑀2 𝑧 de las ecuaciones (2.6) y (2.7)

respectivamente. Para ayudar en el seguimiento de la estabilidad del

sistema, ambas ecuaciones serán definidas nuevamente.

En primer lugar se comprueba la estabilidad de 𝑀1 𝑧 definida en la

ecuación (5.33), además de mostrar su diagrama de polos y ceros en la

Figura 5.17. Como se observa, 𝑀1 𝑧 es estable ya que todos los polos están

dentro del círculo unidad.

𝑀1 𝑧 =1

1 + 𝑃(𝑧) ∙ 𝐶1(𝑧)

(5.33)


En segundo lugar se comprueba la estabilidad de 𝑀2 𝑧 definida en la

ecuación (5.34). Como se observa en la Figura 5.18 todos los polos de la

ecuación residen dentro del círculo unidad, por lo tanto se puede concluir

que 𝑀2 𝑧 es estable.


119


𝑀2 𝑠 =1 − 𝑄(𝑠) ∙ z−N

1 − 𝑄(𝑠) ∙ z−N ∙ 1 − 𝐾𝑥 ∙ 𝐺𝑥 𝑧 ∙ 𝐺𝑝 𝑧

(5.34)

Para que 𝑀2 𝑧 sea estable debe de cumplirse también la ecuación (2.9),

donde por separado 𝑄 𝑧 y 𝑇 𝑧 deben de tener un módulo menor o igual

a la unidad para cumplirse dicha ecuación (2.9). En la Figura 5.19 y Figura

5.20, están representados los diagramas de bode-magnitud de 𝑄 𝑧 y 𝑇 𝑧

respectivamente. Como se aprecia, ambas funciones de transferencia tienen

módulo menor o igual a la unidad en todo el rango de frecuencias 𝑤. Por lo

tanto la ecuación (2.9) que se ha representado en la Figura 5.21 tiene

módulo menor o igual que uno para todos los valores de frecuencia donde

opera el regulador. En la Figura 5.22 el módulo de la zona lineal se puede

observar con mayor detalle, pudiendo afirmar que es menor que la unidad

para todas las frecuencias.


120

Figura 5.19: Bode Magnitud de 𝑄 𝑧 .

Figura 5.20: Bode Magnitud de 𝑇 𝑧 .


121




122

Figura 5.23: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo Teórico + Planta.

Finalmente se comprueba el diagrama de ceros y polos del sistema en

lazo cerrado con el control y la planta. Como se comprueba en la Figura

5.23 el sistema es estable porque todos los polos del sistema están dentro

del círculo unidad.

7.2 Implementación

Una vez definidos todos los elementos, hay que implementar el sistema

de control (Figura 5.24), para lo cual se procede a hacer la implementación

descrita en el “Capítulo 2”. Se utilizan sendos 𝑧−1 (para este diseño) de la

cadena directa de la celda del control repetitivo para convertir en causal al

filtro 𝑄 𝑧 y al compensador 𝐺𝑥 𝑧 . Estos retardos no se aprecian en la

figura ya que están introducidos dentro de cada bloque.

En el sistema se ha introducido también un retenedor de orden cero y

un muestrador para compatibilizar la parte digital del sistema, que es el

control repetitivo, con la parte continua que es la planta. De tal forma que


123

la parte digital esta en rojo y la parte continua en negro para facilitar la

visualización.

Figura 5.24: Diagrama Simulink Control + Planta.

7.3 Simulación

Una vez implementado el sistema completo, se introduce una

perturbación como se indica en la Figura 5.24 para comprobar el

funcionamiento del control.

La perturbación es de tipo sinusoidal con amplitud unitaria y de

frecuencia 10 𝐻𝑧 (Figura 5.25). La frecuencia de 10 𝐻𝑧 es justo la

frecuencia a la que está diseñado el sistema para eliminar las vibraciones

de esa frecuencia y múltiplos de ella.

La salida del sistema es la aceleración de la masa 𝑀 del sistema AMD-

SDOF, la cual, está indicada en la Figura 5.26.


124

Figura 5.25: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz.


sinusoidal de 10 Hz.


125

Figura 5.27: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz de entrada y la aceleración (salida)

del sistema con Control Repetitivo Teórico.


misma que la perturbación, pero de amplitud 6.44 ∙ 10−3. La reducción de

la amplitud de la perturbación de entrada, la cual es unitaria, es

significativa, ya que el control ha conseguido reducir la vibración 1

155 veces

su valor de entrada.

Armónicos





se muestra en la Figura 5.28 para ver su forma de onda.


126

Figura 5.28: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 10Hz +10 armónicos (azul).


sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos.


127


la aceleración (verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico.

La aceleración de la masa 𝑀𝑝 del sistema AMD-SDOF, está indicada en

la Figura 5.29. En la Figura 5.30 se ha mostrado la perturbación de entrada

y la salida del sistema para poder comparar ambas señales.

La aceleración resultante es una señal sinusoidal con amplitud -0.027 y

frecuencia de 10 𝐻𝑧. El control ha conseguido reducir la vibración 1

37 veces

el valor de entrada mientras que antes eran 1

155 veces cuando no existían los

armónicos.

7.4 Resultados

Los resultados obtenidos de la simulación del Control Repetitivo

Teórico se elaboran a partir del error existente en la aceleración de la masa

principal 𝑀𝑝 . Como se ha observado para la frecuencia de diseño, el

control logra atenuar bastante bien la perturbación ya que eliminar por


128

completo las perturbaciones es algo imposible, siempre existirá un error. El

error es la diferencia existente entre el valor de la aceleración simulada y la

aceleración ideal (aceleración nula).

Para determinar el error, se utiliza el Error Cuadrático Medio ECM

utilizado en el apartado “Control Sistema SDOF”, más concretamente en la

ecuación (4.23).

Sistema AMD-SDOF con el Control Repetitivo Teórico


10 3.5241 ∙ 10−3

20 1.0437 ∙ 10−2

30 3.2792 ∙ 10−2

39.76 3.7399 ∙ 10−1

𝟒𝟎 2.9665 ∙ 10−1

50 7.2371 ∙ 10−2

60 5.2340 ∙ 10−2

70 4.5860 ∙ 10−2

80 4.3275 ∙ 10−2

90 4.2263 ∙ 10−2

100 4.2000 ∙ 10−2

𝟏𝟐𝟎 4.2451 ∙ 10−2

140 4.3383 ∙ 10−2

160 4.4449 ∙ 10−2

180 4.5576 ∙ 10−2

200 6.2773 ∙ 10−2

220 7.5922 ∙ 10−2

240 7.0861 ∙ 10−2

Tabla 5.2: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Teórico para distintas frecuencias de

perturbación.

El ECM para las distintas frecuencias de perturbación se muestra en la

Tabla 5.2, donde se muestra la frecuencia de diseño 10 𝐻𝑧 y múltiplos de


129

esta, así como la frecuencia natural del sistema 39.76 𝐻𝑧 . Todas las

perturbaciones de entrada son de amplitud unitaria.

En la Figura 5.31 se representa un gráfico de barras con los datos de la

Tabla 5.2 con el fin de ayudar a entender dicha tabla y sobre todo para

comparar los errores para las distintas frecuencias de perturbación. El

gráfico está realizado en escala logarítmica para una mayor resolución.

Debido a la escala logarítmica, los datos de la tabla fueron modificados

(x 103) para que fuesen mayores a la unidad y de esta forma no existiese

ningún problema.

Figura 5.31: Gráfico de barras en escala logarítmica del ECM Modificado de la Tabla 5.2 (EMC x 103)

para el Control Repetitivo Teórico del Sistema AMD-SDOF.

Como se comprueba en el gráfico, el menor ECM es para una

perturbación de 20 𝐻𝑧, debido a que es la frecuencia de diseño para el

control. De este modo, se comprueba que es la mejor respuesta que va a

tener el sistema ya que a múltiplos de esta, la respuesta se deteriora. Existe

una excepción para la frecuencia de 40 𝐻𝑧, donde el error es diez veces

1E+00

1E+01

1E+02

1E+03

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 220 240

EC

M x

10

3


Control Repetitivo Teórico


130

más de lo normal y es debido al pico de resonancia que presenta el sistema

SDOF a la frecuencia de 39.76 𝐻𝑧.

8 Control Repetitivo Modificando Ceros

En el apartado anterior se ha descrito el diseño del control teórico para

el sistema AMD-SDOF basado en la descripción del “Capítulo 2”. Este

apartado quiere aportar una modificación sobre la sección anterior, en la

cual, como se comprobará a continuación, mejora la respuesta

significativamente ante vibraciones.

Se diseña un control repetitivo “plug-in” de la misma forma que en la

sección anterior, eligiendo 𝐶1 𝑠 = 1 debido a que el control previo ha sido el

control por realimentación de estado. Por consiguiente, la función 𝐺𝑝 𝑧 es la

misma que en la ecuación (5.30) y con los mismos polos y ceros que la

ecuación (5.31). A dicha ecuación, se le ha modificado su cero problemático

por otro cero próximo al original pero dentro del círculo unidad y no

encima, como originalmente se encontraba. Debido a este cambio, la

ecuación (5.31) queda redefinida por la ecuación (5.35).

𝐺𝑝 𝑧 =0.090909 ∙ (z− 0.99) ∙ (z− 0.6228) ∙ (z2 − 1.94 ∙ z + 0.9972)

(z2 − 0.673 ∙ z + 0.134) ∙ (z2 − 1.89 ∙ z + 0.9514)

(5.35)

Donde ahora, la función de transferencia no tiene ningún tipo de

problema de cero o polo inestable. Aunque no se invierte completamente el

modelo, no se espera que las diferencias sean importantes. Para obtener

𝐺𝑥 𝑧 se utiliza la ecuación (2.16), cuyo resultado se muestra a

continuación:

𝐺𝑥 𝑧 = (z2 − 0.673 ∙ z + 0.134) ∙ (z2 − 1.89 ∙ z + 0.9514)

0.090909 ∙ (z− 0.99) ∙ (z− 0.6228) ∙ (z2 − 1.94 ∙ z + 0.9972)

(5.36)


131

El filtro FIR paso bajo se define de la misma forma que en la ecuación

(2.32) donde 𝑛 = 1 y la ganancia 𝐾𝑥 del control repetitivo, se ajusta a

𝐾𝑥 = 1.7 ya que es la ganancia que mejores prestaciones aporta estando

dentro de los límites de estabilidad que posteriormente se desarrollan.

La respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado perturbación-

salida 𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑧 junto con la función perturbación-salida de la planta (Figura

5.12), se muestran en la Figura 5.32. En la Figura 5.33 se ha representado el

mismo diagrama pero en escala lineal y en función de la frecuencia. En la

magnitud del bode de 𝐹𝐹𝑑−𝑦 𝑧 se observa que el controlador intenta dar

ganancia negativa infinita a las frecuencias de interés, esto quiere indicar

que a esas frecuencias elimina la perturbación.

Igualmente que en el apartado anterior, se ha hecho una ampliación en la

Figura 5.34. A priori, este control parece mucho mejor porque los picos de

ganancia negativa son más afilados y tienden más al infinito negativo, es

decir, tienen ganancias negativas mayores.


(verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica.


132


(verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal.



133

8.1 Estabilidad



La función de transferencia 𝑀1 𝑧 (5.33) que no depende del control se

ha demostrado que es estable en la Figura 5.17.

La estabilidad de 𝑀2 𝑧 , además de estar definida en la ecuación (5.34),

se muestra su diagrama de polos y ceros en la Figura 5.35,donde se puede

comprobar que todos los ceros y polos están dentro del círculo unidad.

Para que 𝑀2 𝑧 sea estable debe de cumplirse también la ecuación (2.9), y

como se demuestra en la Figura 5.36 y más concretamente en la Figura

5.37 el módulo de 𝑄 𝑧 ∙ 𝑇 𝑧 es menor o igual a la unidad en todo el rango

de frecuencias.



134




135

Figura 5.38: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo Modificando Ceros+

Planta.

Por último, en la Figura 5.38 se representa el diagrama de polos y ceros

del lazo cerrado, donde se comprueba que todos los polos están dentro del

círculo unidad.

8.2 Implementación

La implementación se realiza del mismo modo que en el apartado

“Implementación” del “Control Repetitivo Teórico”. El diagrama se puede

observar en la Figura 5.24.

8.3 Simulación

Una vez implementado el control junto con la planta, se introduce una

perturbación para comprobar el funcionamiento del control. La

perturbación es la misma que en el apartado anterior (senoidal de

amplitud unitaria y frecuencia 10 𝐻𝑧) de esta forma se pueden comparar

ambos controles. Esta perturbación se puede ver en la Figura 5.25.


136

Figura 5.39: Aceleración (salida) del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros ante

perturbación sinusoidal de 10 Hz.


del sistema (rojo) con Control Repetitivo Modificando Ceros.


137

La salida del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros, es

la aceleración de la masa 𝑀 del sistema AMD-SDOF, la cual, está indicada

en la Figura 5.39. Para apreciar realmente la diferencia entre la entrada y la

salida se han dibujado ambas en la Figura 5.40.


misma que la perturbación, pero de amplitud 3.838 ∙ 10−6. La reducción de

la perturbación es 1

260552 veces el valor de la perturbación de entrada, es

decir, son 6 órdenes de magnitud respecto de la amplitud de la

perturbación de entrada, la cual es unitaria.

Armónicos





se muestra en la Figura 5.28 para ver su forma de onda.

La aceleración de la masa 𝑀𝑝 del sistema AMD-SDOF, está indicada en

la Figura 5.41. En la Figura 5.42 se ha mostrado la perturbación de entrada

y la salida del sistema para poder comparar ambas señales.


138

Figura 5.41: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros ante

perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos.


la aceleración (rojo) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros.


139

La salida del sistema es una sinusoidal de frecuencia 10 𝐻𝑧 con una

amplitud 1.0845 ∙ 10−3. El control ha conseguido reducir la vibración 3

órdenes de magnitud el valor de entrada, más concretamente son 1

922 veces.

8.4 Resultados

Al igual que en el apartado “Resultados” del “Control Repetitivo

Teórico”, los resultados se realizan en función del error en la aceleración

del sistema. Para determinar el error se utiliza el ECM de la ecuación (4.23).

Sistema AMD-SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros


10 2.7099 ∙ 10−6

20 5.4356 ∙ 10−5

30 4.6287 ∙ 10−4

39.76 3.5249 ∙ 10−2

𝟒𝟎 4.2402 ∙ 10−1

50 2.8817 ∙ 10−3

60 2.9818 ∙ 10−3

70 3.5320 ∙ 10−3

80 4.3194 ∙ 10−3

90 5.2914 ∙ 10−3

100 6.4265 ∙ 10−3

𝟏𝟐𝟎 9.1322 ∙ 10−3

140 1.2340 ∙ 10−2

160 1.5960 ∙ 10−2

180 1.9912 ∙ 10−2

200 2.4130 ∙ 10−2

220 6.7438 ∙ 10−2

240 6.2502 ∙ 10−2

Tabla 5.3: ECM del Sistema AMD-SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros para distintas

frecuencias de perturbación.


140

El ECM para las distintas frecuencias de perturbación se muestra en la

Tabla 5.3, donde se muestra la frecuencia de diseño 10 𝐻𝑧 y múltiplos de

esta, así como la frecuencia natural del sistema 39.76 𝐻𝑧 . Todas las

perturbaciones de entrada son de amplitud unitaria.

En la Figura 5.43 se representa un gráfico de barras con los datos de la

Tabla 5.3 donde están representados los errores en régimen permanente en

función de las distintas frecuencias de perturbación. El gráfico está

realizado en escala logarítmica con el fin de ayudar a entender dicha tabla

y sobre todo para comparar los errores para las distintas frecuencias de

perturbación. Debido a la escala logarítmica, los datos de la tabla fueron

modificados (x 106) para que fuesen mayores a la unidad y de esta forma

no existiese ningún problema.

Figura 5.43: Gráfico de barras en escala logarítmica del ECM Modificado de la Tabla 5.3 (EMC x 106)

para el Control Repetitivo Modificando Ceros del Sistema AMD-SDOF.

Como se esperaba, el ECM más pequeño se encuentra cuando el

sistema presenta una perturbación de 10 𝐻𝑧, como ya se comentó

anteriormente, en el diseño del control, más concretamente en la

explicación de las Figura 5.33 y Figura 5.34. Mientras que a medida que

1E+00

1E+01

1E+02

1E+03

1E+04

1E+05

1E+06

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 220 240

EC

M x

10

6


Control Repetitivo Modificando Ceros


141

van aumentando las frecuencias múltiples de 10 𝐻𝑧, la respuesta del

control empeora ya que el error va aumentando. Existe una excepción para

la frecuencia de 40 𝐻𝑧, donde el error es más grande de lo normal y es

debido al pico de resonancia que presenta el sistema AMD-SDOF a la

frecuencia de 39.76 𝐻𝑧 que influye en la frecuencia de 40 𝐻𝑧.

9 Comparación Resultados

Una vez analizados los dos controles repetitivos, se comparan ambos

para comprobar cuál de ellos es el que mejor funciona. La comparación se

realiza en función de los errores tratados en el apartado “Resultados” de los

respectivos controles. Se ha realizado la Tabla 5.4 donde se agrupan los

datos de ECM de la Tabla 5.2 y Tabla 5.3 del “Control Repetitivo Teórico” y

“Control Repetitivo Modificando Ceros” para el sistema AMD-SDOF

respectivamente.

Sistema AMD-SDOF

ECM

Frecuencia Control Repetitivo Teórico Control Repetitivo Modificando Ceros

10 3.5241 ∙ 10−3 2.7099 ∙ 10−6

20 1.0437 ∙ 10−2 5.4356 ∙ 10−5

30 3.2792 ∙ 10−2 4.6287 ∙ 10−4

39.76 3.7399 ∙ 10−1 3.5249 ∙ 10−2

𝟒𝟎 2.9665 ∙ 10−1 4.2402 ∙ 10−1

50 7.2371 ∙ 10−2 2.8817 ∙ 10−3

60 5.2340 ∙ 10−2 2.9818 ∙ 10−3

70 4.5860 ∙ 10−2 3.5320 ∙ 10−3

80 4.3275 ∙ 10−2 4.3194 ∙ 10−3

90 4.2263 ∙ 10−2 5.2914 ∙ 10−3

100 4.2000 ∙ 10−2 6.4265 ∙ 10−3

𝟏𝟐𝟎 4.2451 ∙ 10−2 9.1322 ∙ 10−3


142

140 4.3383 ∙ 10−2 1.2340 ∙ 10−2

160 4.4449 ∙ 10−2 1.5960 ∙ 10−2

180 4.5576 ∙ 10−2 1.9912 ∙ 10−2

200 6.2773 ∙ 10−2 2.4130 ∙ 10−2

220 7.5922 ∙ 10−2 6.7438 ∙ 10−2

240 7.0861 ∙ 10−2 6.2502 ∙ 10−2

Tabla 5.4: Comparativa de los ECM para los dos controles del Sistema AMD-SDOF.

En la tabla se comparan los dos controles para las distintas frecuencias

de perturbación. Como se ha hecho en los apartados anteriores, los datos de

la tabla se han modificado (x 106) para que todos los datos sean mayores que

la unidad y de esta forma el logaritmo sea positivo. Con los datos

modificados se ha realizado el gráfico de la Figura 5.44 en escala logarítmica.

Figura 5.44: Gráfico de barras comparativo en escala logarítmica de los ECMs Modificados de la Tabla

5.4 (ECM x 106) de los dos controles para el Sistema AMD-SDOF.

Como se observa en el gráfico, claramente el Control Repetitivo

Modificando Ceros es mucho mejor que el Control Repetitivo Teórico ya que

reduce el error más de un orden de magnitud en cada una de las frecuencias,

1E+00

1E+01

1E+02

1E+03

1E+04

1E+05

1E+06

EC

M x

10

6




143

incluso en la frecuencia de diseño la diferencia es de tres órdenes de

magnitud. Salvo para la frecuencia de 40 𝐻𝑧 que tiene un mayor error que el

Control Repetitivo Teórico.

Diferencia entre los controles

Frecuencia Reducción ECM

𝑯𝒛 unidades % 𝑪𝑹.𝑻𝒆ó𝒓𝒊𝒄𝒐

𝑪𝑹.𝑴𝒐𝒅𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑪𝒆𝒓𝒐𝒔

10 3.52 ∙ 10−3 99.92 1300.45

20 1.04 ∙ 10−2 99.48 192.01

30 3.23 ∙ 10−2 98.59 70.84

39.76 3.39 ∙ 10−1 90.57 10.61

𝟒𝟎 -1.27∙ 10−1 -42.94 0.70

50 6.95 ∙ 10−2 96.02 25.11

60 4.94 ∙ 10−2 94.30 17.55

70 4.23 ∙ 10−2 92.30 12.98

80 3.90 ∙ 10−2 90.02 10.02

90 3.70 ∙ 10−2 87.48 7.99

100 3.56 ∙ 10−2 84.70 6.54

𝟏𝟐𝟎 3.33 ∙ 10−2 78.49 4.65

140 3.10 ∙ 10−2 71.56 3.52

160 2.85 ∙ 10−2 64.09 2.79

180 2.57 ∙ 10−2 56.31 2.29

200 3.86 ∙ 10−2 61.56 2.60

220 8.48 ∙ 10−3 11.17 1.13

240 8.36 ∙ 10−3 11.80 1.13

Tabla 5.5: Diferencia entre Control Repetitivo Teórico y Control Repetitivo Modificando Ceros del

Sistema AMD-SDOF.

En concreto, en la Tabla 5.5 se realiza la diferencia entre ambos controles

para cada una de las frecuencias. Donde se detalla la diferencia entre los

ECM de cada control de la Tabla 5.4, el porcentaje que reduce debido a esa

diferencia y por último el cociente entre el ECM del Control Repetitivo

Teórico y el ECM del Control Repetitivo Modificando Ceros, es decir, ese


144

valor obtenido indica cuantas veces hay que dividir el ECM del Control

Repetitivo Teórico para obtener el ECM del Control Repetitivo Modificando

Ceros.

El cociente entre los ECM anteriormente descritos, se han representado

en la Figura 5.45 en escala logarítmica, donde se puede ver claramente que

en la frecuencia de diseño, la reducción es enorme 1

1300 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 y a medida

que la frecuencia va aumentando esa diferencia va disminuyendo

progresivamente. Existe una excepción en la frecuencia de 40 𝐻𝑧 donde el

Control Repetitivo Modificando Ceros es peor que el Control Repetitivo

Teórico.

Figura 5.45: Reducción en escala logarítmica del Control Repetitivo Modificando Ceros respecto del

Control Repetitivo Teórico del Sistema AMD-SDOF.

1E-01

1E+00

1E+01

1E+02

1E+03

1E+04

CR

.Te

óri

co/

CR

. M

od

ific

an

do

Ce

ros


145

Capítulo 6 CONCLUSIONES 1. CONCLUSIONES

En este documento se ha descrito el diseño e implementación del control

repetitivo para el rechazo de perturbaciones en sistemas mecánicos.

Concretamente para la eliminación de vibraciones en Sistemas SDOF

(“single degree of freedom”) y Sistemas AMD-SDOF (“active mass damper”-

SDOF).

El control repetitivo implantado es de orden fijo porque está

desarrollado para una tasa de muestreo fija, es decir, se conoce la frecuencia

fundamental de la perturbación. Por lo tanto, el control solo responde

correctamente para dicha frecuencia y para frecuencias múltiples de ella. Si

la frecuencia varía se puede estudiar la implantación de un control repetitivo

de frecuencia variable.

En este documento se han diseñado e implementado dos controles

repetitivos digitalmente. El Control Repetitivo Teórico, diseñado a partir de

las explicaciones, razonamientos y descripciones de los diferentes autores

citados en el documento. El otro control es el Control Repetitivo

Modificando Ceros, que basándose en las aportadas de los distintos autores,

se ha diseñado modificando el cero que posee encima del círculo unidad en

la función 𝐺𝑃 𝑧 .

Los resultados obtenidos en simulación para ambos sistemas son

satisfactorios. En la Figura 4.43 (Sistema SDOF) y Figura 5.44 (Sistema AMD-

SDOF) se comparan los dos controles repetitivos diseñados, en función del

Error Cuadrático Medio (ECM) de la aceleración de la masa principal de

cada sistema. En dichas figuras, se puede concluir que para ambos sistemas

el control que menos ECM tiene y por lo tanto, más reduce las vibraciones,

es el Control Repetitivo Modificando Ceros. Esta conclusión se afirma en las

Figura 4.44 y Figura 5.45 donde se representa gráficamente la reducción

entre el Control Repetitivo Teórico y el Control Repetitivo Modificando

MEMORIA Capítulo 6 - Conclusiones

146

Ceros. Como dato significativo, el control modificado reduce hasta dos

órdenes de magnitud para la frecuencia de perturbación de diseño.

Finalmente, se puede concluir que el control repetitivo es un buen

método para la eliminación de perturbaciones senoidales como se ha podido

comprobar en este documento, por lo tanto, el uso e investigación de este

tipo de control avanzado seguirá desarrollándose sin duda en el futuro.

147

Capítulo 7 FUTUROS DESARROLLOS 2. FUTUROS DESARROLLOS

En este capítulo se comentan los posibles futuros desarrollos e

investigaciones que se pueden realizar sobre el control activo de vibraciones

desarrollado en este documento.

En un primer lugar, se podría buscar un prototipo acorde con los

modelos que se han estudiado y diseñado en este documento, de tal

forma que se podría ver el comportamiento del control repetitivo

ensayándolo en un prototipo o modelo real.

Implementación de un Control Repetitivo de orden variable [26] [27]

[37], debido a que en muchos casos el periodo de la señal de

perturbación (en este caso, las vibraciones), no son conocidas o

varían con el tiempo.

Estudio más a fondo del control repetitivo. Realizando un estudio

exhaustivo de las posibles mejoras que se pueden introducir. Se han

publicado algunos artículos donde se propone la aplicación de un

control repetitivo adaptativo para eliminar las vibraciones [24] o

combinar el control repetitivo con un algoritmo de optimización que

mejora las condiciones de estabilidad [25].

Estudio de nuevas técnicas de control. Además de las técnicas

utilizadas en este proyecto se puede pensar en otras técnicas

diferentes de control avanzado, que pudiesen ser beneficiosas para el

control de activo de vibraciones, como el control predictivo o una

variante más compleja de este control, el control predictivo basado en

modelo MPC (“model based predictive control”). El uso de lógica

borrosa también presenta una alternativa inetersante.

MEMORIA Capítulo 7 – Futuros Desarrollos

148

Estudio de investigación en una posible aplicación del control

diseñado para paliar los daños de terremotos en estructuras. Este

trabajo era uno de los objetivo del proyecto, pero no se ha podido

llevar a cabo debido a no tener acceso a acelerogramas de las

unidades sismológicas, es decir, los datos de aceleración registrados

por sismógrafos cuando se produce un terremoto.

149

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152

Anexo A TERREMOTOS A. TERREMOTOS

1 Introducción

Un terremoto [14] [34], también llamado seísmo o sismo, es el

movimiento brusco de la Tierra, causado por la liberación de energía

acumulada durante un largo tiempo. La corteza de la Tierra está formada

por una docena de placas de aproximadamente 70 km de grosor, cada una

con diferentes características físicas y químicas. Estas placas tectónicas se

están acomodando en un proceso que lleva millones de años y han ido

dando la forma que hoy se conoce a la superficie del planeta Tierra,

originando los continentes y los relieves geográficos en un proceso que está

lejos de completarse. Habitualmente estos movimientos son lentos e

imperceptibles, pero en algunos casos estas placas chocan entre sí como

gigantescos témpanos de tierra sobre un océano de magma presente en las

profundidades de la Tierra, impidiendo su desplazamiento. Entonces una

placa comienza a desplazarse sobre o bajo la otra, originando lentos cambios

en la topografía. Pero si el desplazamiento es dificultado comienza a

acumularse una energía de tensión que en algún momento se liberará y una

de las placas se moverá bruscamente contra la otra rompiéndola y

liberándose entonces una cantidad variable de energía que origina el

Terremoto.

Los terremotos tectónicos se suelen producir en zonas donde la

concentración de fuerzas generadas por los límites de las placas tectónicas

(Figura A.1) da lugar a movimientos de reajuste en el interior y en la

superficie de la Tierra. Es por esto que los sismos o seísmos de origen

tectónico están íntimamente asociados con la formación de fallas geológicas.

MEMORIA Anexo A - Terremotos

153

Figura A.1: Mapa que muestra la ubicación y movimiento de las placas tectónicas en la corteza terrestre.

Las zonas en que las placas ejercen esta fuerza entre ellas, se denominan

fallas geológicas y son, desde luego, los puntos en que con más probabilidad

se originen fenómenos sísmicos. Sólo el 10% de los terremotos ocurren

alejados de los límites de estas placas. Suelen producirse al final de un ciclo

denominado ciclo sísmico, que es el período durante el cual se acumula

deformación en el interior de la Tierra que más tarde se liberará

repentinamente. Dicha liberación se corresponde con el terremoto, tras el

cual la deformación comienza a acumularse nuevamente.

La actividad subterránea originada por un volcán en proceso de

erupción puede originar un fenómeno similar. Aunque las actividades

tectónica y volcánica son las principales causas por las que se generan los

terremotos, existen otros muchos factores que pueden originarlos:

desprendimientos de rocas en las laderas de las montañas y el hundimiento

de cavernas, variaciones bruscas en la presión atmosférica por ciclones e

incluso la actividad humana. Estos mecanismos generan eventos de baja


154

magnitud que generalmente caen en el rango de microsismos, temblores que

sólo pueden ser detectados por sismógrafos.

Figura A.2: Límites de las placas tectónicas donde se suelen producir los terremotos.

En general, se asocia el término terremoto con los movimientos sísmicos

de dimensión considerable, aunque rigurosamente su etimología significa

"movimiento de la Tierra".

En un terremoto se distinguen dos zonas que se describen a continuación

y su representación gráfica se puede ver en la Figura A.3.

El hipocentro o foco sísmico es el punto del interior de la Tierra,

donde se inicia un movimiento sísmico. También corresponde al

punto en el cual se produce la fractura de la corteza terrestre, que

genera un terremoto. En él, se produce también la liberación de

energía (es decir, donde se inicia el terremoto).

El epicentro es la proyección del hipocentro en la superficie

terrestre; por lo tanto, el lugar donde el sismo se siente con mayor


155

intensidad corresponde al punto en la superficie de la tierra

ubicado directamente sobre el hipocentro. Como indican los

correspondientes prefijos griegos, el hipocentro es un punto del

interior de la litosfera, mientras que el epicentro está en la

superficie de ésta.

Figura A.3: Localización del hipocentro y epicentro de un terremoto.

La probabilidad de ocurrencia de terremotos de una determinada

magnitud en una región concreta viene dada por una distribución de

Poisson. Así la probabilidad de ocurrencia de 𝑘 terremotos de

magnitud 𝑀 durante un período 𝑇 en cierta región está dada por:

𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑘,𝑇,𝑀 =1

𝑘!∙

𝑇

𝑇𝑟 𝑀 𝑘

∙ 𝑒−

𝑇𝑇𝑟(𝑀)

(A.1)

Donde 𝑇𝑟(𝑀) es el tiempo de retorno de un terremoto de intensidad 𝑀,

que coincide con el tiempo medio entre dos terremotos de intensidad 𝑀.

2 Onda Sísmica

En un terremoto se producen varios tipos de ondas. Se pueden distinguir

las ondas que se transmiten por el interior de la corteza terrestre, llamadas

ondas de cuerpo y las que se transmiten por la superficie, llamadas


156

superficiales. Las ondas de cuerpo se originan en el hipocentro, mientras que

las superficiales se originan en el epicentro.

Figura A.4: Tipos de ondas sísmicas.

2.1 Onda de Cuerpo

Las ondas de cuerpo viajan a través del interior de la Tierra. Siguen

caminos curvos debido a la variada densidad y composición del interior de

la Tierra. Este efecto es similar al de refracción de ondas de luz. Las ondas

de cuerpo transmiten los temblores preliminares de un terremoto pero

poseen poco poder destructivo. Las ondas de cuerpo son divididas en dos

grupos: ondas primarias (P) y secundarias (S).

Onda Primaria P

Son las primeras que registran los aparatos de medida o sismógrafos,

de ahí su nombre "P". Las ondas primarias P [17] son ondas longitudinales

o compresionales, lo cual significa que el suelo es alternadamente

comprimido y dilatado en la dirección de la propagación, es decir, en el

mismo sentido que la vibración de las partículas (Figura A.5). Se propagan

por medios sólidos y líquidos en las tres direcciones del espacio.


157

Estas ondas generalmente viajan a una velocidad 1.73 veces de las

ondas S y pueden viajar a través de cualquier tipo de

material líquido o sólido. Velocidades típicas son 1450 𝑚/𝑠 en el agua y

cerca de 5000 𝑚/𝑠 en el granito.

Figura A.5: Onda P.

En un medio homogéneo e isótropo (se refiere al hecho de que

ciertas magnitudes vectoriales conmensurables, dan resultados idénticos

con independencia de la dirección escogida para dicha medida) la

velocidad de propagación de las ondas P es:

𝑣 = 𝐾 +43 ∙ 𝜇

𝜌

(A.2)

Donde 𝐾 es el módulo de incompresibilidad, 𝜇 es el módulo de corte o

rigidez y 𝜌 la densidad del material a través del cual se propaga la onda

mecánica. De estos tres parámetros, la densidad es la que presenta menor

variación por lo que la velocidad está principalmente determinada

por 𝐾 y 𝜇.

Onda Secundaria S

Las ondas secundarias S [17] son ondas en las cuales el desplazamiento

es transversal a la dirección de propagación, es decir, la vibración de las


158

partículas es perpendicular al avance de la onda (Figura A.6). Su velocidad

es menor que la de las ondas primarias. Debido a ello, éstas aparecen en el

terreno algo después que las primeras. Estas ondas son las que generan las

oscilaciones durante el movimiento sísmico y las que producen la mayor

parte de los daños. Se propagan en forma tridimensional, pero únicamente

a través de medios sólidos.

Figura A.6: Onda S.

La velocidad de propagación de las ondas S en medios isotrópicos y

homogéneos se muestra en la (A.3) y depende del módulo de corte μ y de

la densidad ρ del material.

𝑣 = 𝜇

𝜌

(A.3)

Como se puede comprobar en la Ecuación (A.2) y (A.3), en ambos casos

la densidad está en el denominador y la rigidez en el numerador (son

inversamente proporcionales a la densidad y directamente proporcionales a

la rigidez). Esto quiere decir que cuanto más denso es el material que

atraviesan, tanto más lento son, mientras que cuanto más rígido, tanto más

rápidas.


159

En la Figura A.7, está capturada la imagen de un sismógrafo donde se

pueden ver las distintas ondas que registra. Se observan las ondas P (rojo)

que son las primeras en aparecer y a continuación las ondas S (verde).

Figura A.7: Ondas P y S de un sismógrafo.

2.2 Onda superficial

Cuando las ondas de cuerpo (onda P y S) llegan a la superficie, se

generan las ondas superficiales o ondas L (longae), que se propagan por la

superficie de discontinuidad de la interfase de la superficie terrestre (tierra-

aire y tierra-agua) mediante periodos vibratorios más largos que las ondas

de cuerpo. Desarrollan una velocidad más lenta, 3.5 km/seg, y son las

responsables de producir los desplazamientos en la superficie y el

desarrollo de las gravifisas, que producen los efectos más catastróficos en

el epicentro de un terremoto de fuerte intensidad, siguiendo el sentido de

propagación de forma parecida a las ondas que se producen en el agua de

un estanque después de arrojar una piedra.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Seismogram.gif


160

Onda Love

Se denominan así en honor al matemático neozelandés A.E.H.

Love quien desarrolló un modelo matemático de estas ondas en 1911. Las

explicó un matemático de Oxford, E. H. Love, como una extensión de la

teoría de Rayleigh y desde entonces se las conoce como ondas de Love.

Las ondas de Love [16] [17] [31] son ondas superficiales que producen

un movimiento horizontal de corte en superficie, es decir, el suelo se

mueve de un lado a otro en un plano horizontal en ángulo recto a la

dirección de propagación de la onda como se aprecia en la Figura A.8.

Aunque estas ondas no poseen movimiento vertical pueden ser las más

destructivas en caso de terremotos debido a que frecuentemente poseen

grandes amplitudes que producen esfuerzos de corte a nivel de las

fundaciones de las estructuras.

Figura A.8: Onda Love.

La velocidad de las ondas Love es un 90% de la velocidad de las ondas

S y es ligeramente superior a la velocidad de las ondas Rayleigh.

Onda Rayleigh

La existencia de estas ondas fue predicha por John William Strutt, Lord

Rayleigh, en 1885 veinte años antes de que se identificaran en sismógrafos.


161

Las ondas Rayleigh [17] [31], también denominadas “ground roll”, son

ondas superficiales contenidas en un plano vertical que contiene la

dirección de propagación de la onda. El movimiento de las partículas se

desarrolla de forma circular sobre el plano de propagación. Son ondas de

periodo largo, que producen en las partículas afectadas movimientos

elípticos sobre planos verticales y en sentido opuesto a la dirección de

propagación, es decir, el suelo se mueve hacia adelante, arriba, atrás y

hacia abajo, desarrollando un movimiento de partícula de trayectoria

elíptica retrograda como se muestra en la Figura A.9.

Son ondas más lentas que las ondas de cuerpo y su velocidad de

propagación es casi un 70% de la velocidad de las ondas S.

Figura A.9: Onda Rayleigh.

En la Figura A.10 está capturada la imagen de un sismógrafo donde se

pueden ver las distintas ondas que registra. Se puede observar las ondas P,

que son las primeras en aparecer, posteriormente las ondas S y finalmente

las ondas de Love o Rayleigh.


162

Figura A.10: Ondas Love y Rayleigh de un sismógrafo.

3 Escalas de Magnitudes e Intensidades

Las escalas de magnitud e intensidad se utilizan para cuantificar o medir

los temblores. La escala de magnitud está relacionada con la energía

liberada; la intensidad, con los daños producidos por el sismo. Ambas

escalas son necesarias puesto que miden aspectos diferentes de la ocurrencia

de un temblor. Así, la escala de magnitud está relacionada con el proceso

físico mismo, mientras que la intensidad lo está con el impacto del evento en

la población, las construcciones y la naturaleza.

3.1 Escala Sismológica de Richter

La escala sismológica de Richter [15] [31] [33], también conocida

como escala de magnitud local 𝑀𝐿 es una escala logarítmica arbitraria que

asigna un número para cuantificar el efecto de un terremoto, denominada


163

así en honor del sismólogo estadounidense Charles Richter, quien la

desarrolló en el año 1935 con el objetivo de clasificar los terremotos del sur

de California.

Figura A.11: Reproducción de un sismograma.

Richter calculó que la magnitud de un terremoto o sismo puede ser

medida conociendo el tiempo transcurrido entre la aparición de

las ondas P y las ondas S, y la amplitud de éstas. Las primeras en aparecer

en un sismograma hacen vibrar el medio en la misma dirección que la del

desplazamiento de la onda. Son ondas de compresión y expansión de

velocidad de propagación muy rápida (de 5 a 11 km/s). A continuación,

llegan las llamadas ondas S, que hacen vibrar el medio terrestre en sentido

perpendicular a la dirección de su desplazamiento. Toda esta explicación

se puede resumir en la Figura A.11.

Basándose en estos hechos, Richter desarrolló la siguiente ecuación:

𝑀 = log𝐴 + 3 ∙ log 8 ∙ ∆𝑡 + 2.92

(A.4)

Donde:

𝐴 es la amplitud de las ondas en milímetros, tomada

directamente en el sismograma.


164

∆𝑡 es el tiempo en segundos desde el inicio de las ondas P al de

las ondas S.

𝑀 es la magnitud arbitraria pero constante a terremotos que

liberan la misma cantidad de energía.

El uso del logaritmo en la escala es para reflejar la energía que se

desprende en un terremoto. El logaritmo incorporado a la escala hace que

los valores asignados a cada nivel aumenten de forma exponencial, y no de

forma lineal. Richter arbitrariamente escogió un temblor de magnitud 0

para describir un terremoto que produciría un desplazamiento horizontal

máximo de 1 μm en un sismograma trazado por un sismómetro de torsión

Wood-Anderson localizado a 100 km de distancia del epicentro. Esta

decisión tuvo la intención de prevenir la asignación de magnitudes

negativas. Sin embargo, la escala de Richter no tenía límite máximo o

mínimo, y actualmente habiendo sismógrafos modernos más sensibles,

éstos comúnmente detectan movimientos con magnitudes negativas.

Debido a las limitaciones del sismómetro de torsión Wood-Anderson

usado para desarrollar la escala, la magnitud original 𝑀𝐿 no puede ser

calculada para temblores mayores a 6,8 grados. Varios investigadores

propusieron extensiones a la escala de magnitud local, siendo las más

populares la magnitud de ondas superficiales 𝑀𝑠 y la magnitud de ondas

de cuerpo 𝑀𝑏 .

3.2 Escala de magnitud de momento sísmico

La escala sismológica de magnitud de momento sísmico 𝑀𝑤 [15] [31]

[32], sucesora de la escala de Richter, resume en un único número

la cantidad de energía liberada por el terremoto, llamada momento sísmico

𝑀𝑂 .


165

Una ventaja de la escala de magnitud de momento es que no se satura

cerca de valores altos. Es decir, a diferencia de otras escalas, ésta no tiene

un valor por encima del cual todos los terremotos más grandes reflejen

magnitudes muy similares.

Otra ventaja que posee esta escala es que coincide y continúa con los

parámetros de la escala de Richter. Por estas razones, la escala de

magnitud de momento es la más usada por sismólogos para medir y

comparar terremotos de grandes proporciones. El Centro Nacional de

Información Sísmica (National Earthquake Information Center) de los

Estados Unidos, dependiente del Servicio geológico de EE.UU. (USGS) usa

esta escala para la medición de terremotos de una magnitud superior a 3,5.

A pesar de lo anterior, la escala de Richter es la que goza de más

popularidad en la prensa. Luego, es común que la prensa comunique la

magnitud de un terremoto en «escala de Richter» cuando éste ha sido en

realidad medido con la escala de magnitud de momento. En algunos casos

esto no constituye un error, dada la coincidencia de parámetros de ambas

escalas, aunque se recomienda indicar simplemente «magnitud» y evitar la

coletilla «escala de Richter» para evitar errores.

La magnitud de momento sísmico al coincidir con las estimaciones

obtenidas mediante otras escalas, como por ejemplo la escala de Richter. Es

decir, 𝑀𝑤 permite entender la cantidad de energía liberada por el

terremoto 𝑀𝑂 en términos del resto de las escalas sísmicas. Es por esto que

se usa 𝑀𝑤 en vez de 𝑀𝑂 como parámetro de la escala.

Los períodos de oscilación de las ondas sísmicas grandes son

proporcionales al momento sísmico. Es por esto que se suele medir

la magnitud de momento 𝑀𝑤 a través de los períodos de oscilación por

medio de sismógrafos.

http://es.wikipedia.org/wiki/United_States_Geological_Survey


166

La relación entre 𝑀𝑤 y 𝑀0 está dada por las siguientes fórmulas:

𝑀𝑤 =2

3∙ log MO − 9.1

(A.5)

𝑀𝑤 =2

3∙ log MO −16.1

(A.6)

Obsérvese que 𝑀𝑤 se obtiene a partir de una función logarítmica. Por

tanto, es una variable adimensional. En cambio, el momento sísmico 𝑀𝑂 al

ser una variable que mide energía (fuerza x desplazamiento), puede tener

como unidad derivada 𝑁 𝑥 𝑚 por lo que habría que utilizar la ecuación

(A.5) para obtener 𝑀𝑤 , si por el contrario, la unidad es 𝑑𝑖𝑛𝑎 𝑥 𝑐𝑚 , le

corresponde la ecuación (A.6).

Más concretamente, el momento sísmico 𝑀𝑂 es una cantidad que

combina el área de ruptura y la compensación de la falla con una medida

de la resistencia de las rocas mediante la siguiente ecuación:

𝑀𝑜 = 𝜇 ∙ 𝐴 ∙ 𝑢

Donde:

𝜇 es el módulo de deformación de las rocas involucradas en

el terremoto. Usualmente es de 30 gigapascales.

𝐴 es el área de ruptura a lo largo de la falla geológica donde

ocurrió el terremoto.

𝑢 es el desplazamiento promedio de 𝐴.

(A.7)

3.3 Escala de Intensidad Mercalli

La escala de Mercalli [29] es una escala de 12 puntos, que se escribe en

números romanos, y que está desarrollada para evaluar la intensidad de


167

los terremotos a través de los efectos y daños causados a distintas

estructuras. Esta medición debe su nombre al físico italiano Giuseppe

Mercalli.

Los niveles bajos de la escala están asociados por la forma en que las

personas sienten el temblor, mientras que los grados más altos se

relacionan con el daño estructural observado. La tabla siguiente es una

guía aproximada de los grados de la Escala de Mercalli Modificada.

Grado Descripción

I. Muy débil Imperceptible para la mayoría excepto en condiciones favorables. Aceleración menor a 0.5 Gal.

II. Débil

Perceptible sólo por algunas personas en reposo, particularmente aquellas que se encuentran ubicadas en los pisos superiores de los edificios. Los objetos colgantes suelen oscilar. Aceleración entre 0.5 y 2.5 Gal.

III. Leve

Perceptible por algunas personas dentro de los edificios, especialmente en pisos altos. Muchos no lo reconocen como terremoto. Los automóviles detenidos se mueven ligeramente. Sensación semejante al paso de un camión pequeño. Aceleración entre 2.5 y 6.0 Gal.

IV.

Moderado

Perceptible por la mayoría de personas dentro de los edificios, por pocas personas en el exterior durante el día. Durante la noche algunas personas pueden despertarse. Perturbación en cerámica, puertas y ventanas. Las paredes suelen hacer ruido. Los automóviles detenidos se mueven con más energía. Sensación semejante al paso de un camión grande. Aceleración entre 6.0 y 10 Gal.

V. Poco

Fuerte

La mayoría de los objetos se caen, caminar es dificultoso, las ventanas suelen hacer ruido. Aceleración entre 10 y 20 Gal.

VI. Fuerte

Lo perciben todas las personas, muchas personas asustadas suelen correr al exterior, paso insostenible. Ventanas, platos y cristalería dañadas. Los objetos se caen de sus lugares, muebles movidos o caídos. Revoque dañado. Daños leves a estructuras. Aceleración entre 20 y 35 Gal.

VII. Muy

fuerte

Pararse es dificultoso. Muebles dañados. Daños insignificantes en estructuras de buen diseño y construcción. Daños leves a moderados en estructuras ordinarias bien construidas. Daños considerables estructuras pobremente construidas. Mampostería dañada. Perceptible por personas en


168

vehículos en movimiento. Aceleración entre 35 y 60 Gal.

VIII.

Destructivo

Daños leves en estructuras especializadas. Daños considerables en estructuras ordinarias bien construidas, posibles colapsos. Daño severo en estructuras pobremente construidas. Mampostería seriamente dañada o destruida. Muebles completamente sacados de lugar. Aceleración entre 60 y 100 Gal.

IX. Ruinoso

Pánico generalizado. Daños considerables en estructuras especializadas, paredes fuera de plomo. Grandes daños en importantes edificios, con colapsos parciales. Edificios desplazados fuera de las bases. Aceleración entre 100 y 250 Gal.

X.

Desastroso

Algunas estructuras de madera bien construida destruidas. La mayoría de las estructuras de mampostería y el marco destruido con sus bases. Rieles doblados. Aceleración entre 250 y 500 Gal.

XI. Muy

desastroso

Pocas, si las hubiera, estructuras de mampostería permanecen en pie. Puentes destruidos. Rieles curvados en gran medida. Aceleración mayor a 500 Gal.

XII.

Catastrófico

Destrucción total con pocos supervivientes. Los objetos saltan al aire. Los niveles y perspectivas quedan distorsionadas.

Tabla A.1: Escala Intensidad Mercalli.

3.4 Escala Macrosísmica Europea

La Escala Macrosísmica Europea (SME) [30] es la base para la

evaluación de la intensidad sísmica en los países europeos y, además, en

uso en la mayoría de los otros continentes. Publicada en 1998 como

actualización de la versión que se había venido depurando desde 1992, la

escala se denomina oficialmente EMS-98.

La Escala SME se inició en 1988, cuando la Comisión Sismológica

Europea (CES) decidió revisar y actualizar la escala Medvedev-Sponheuer-

Karnik (MSK-64) o Escala Macrosísmica Internacional, que venía siendo

utilizada en su forma básica en Europa durante casi un cuarto de siglo.

Después de más de cinco años de intensa investigación y desarrollo y un

período de cuatro años de pruebas, nació la nueva escala. En 1996, la XXV

Asamblea CES aprobó la adopción de la nueva escala por los países

miembros de la Comisión Sismológica Europea.

http://es.wikipedia.org/wiki/Escala_Medvedev-Sponheuer-Karnik

http://es.wikipedia.org/wiki/Escala_Medvedev-Sponheuer-Karnik


169

A diferencia de las escalas sísmicas de magnitud, que expresan la

energía sísmica liberada por un terremoto, EMS-98 indica el grado en que

un terremoto afecta a un lugar específico. La Escala Macrosísmica Europea

contempla 12 grados, que son los siguientes:

Grado Descripción

I. No sentido No se siente, ni en las circunstancias más favorables.

II. Apenas sentido

La vibración se percibe solo por algunas personas (1%) especialmente personas en reposo en los pisos superiores de los edificios.

III. Débil

La vibración es débil y se percibe en interiores sólo por unas pocas personas. Las personas en reposo sienten un balanceo o ligero temblor.

IV. Ampliamente observado

El terremoto se percibe en interiores por muchas personas, pero al aire libre por muy pocas. Algunas personas se despiertan. El nivel de vibración no es alarmante. Traqueteo de ventanas, puertas y platos. Los objetos colgados se balancean.

V. Fuerte

El terremoto se percibe en interiores por la mayoría, al aire libre por unos pocos. Muchas personas que dormían se despiertan. Algunos escapan de los edificios, que tiemblan en su totalidad. Los objetos colgados se balancean considerablemente. Los objetos de porcelana y cristal entrechocan. La vibración es fuerte. Los objetos altos se vuelcan. Puertas y ventanas se abren y cierran solas.

VI. Levemente dañino

Sentido por la mayoría en los interiores y por muchos en el exterior. En los edificios muchas personas se asustan y escapan. Los objetos pequeños caen. Daño ligero en los edificios corrientes, por ejemplo, aparecen grietas en el enlucido y caen trozos.

VII. Dañino

La mayoría de las personas se asustan y escapan al exterior. Los muebles se desplazan y los objetos caen de las estanterías en cantidad. Muchos edificios corrientes sufren daños moderados: pequeñas grietas en las paredes, derrumbe parcial de chimeneas.


170

VIII. Gravemente dañino

Pueden volcarse los muebles. Muchos edificios corrientes sufren daños: las chimeneas se derrumban; aparecen grandes grietas en las paredes y algunos edificios pueden derrumbarse parcialmente.

IX. Destructor

Monumentos y columnas caen o se tuercen. Muchos edificios corrientes se derrumban parcialmente, unos pocos se derrumban completamente.

X. Muy destructor Muchos edificios corrientes se derrumban.

XI. Devastador La mayoría de los edificios corrientes se derrumban.

XII. Completamente

devastador

Prácticamente todas las estructuras por encima y por debajo del suelo quedan gravemente dañadas o destruidas.

Tabla A.2: Escala Macrosísmica Europea.

4 Medición

El tamaño de un terremoto puede determinarse en base al cálculo de la

energía liberada, es decir de su magnitud y su intensidad [35].

Figura A.12: Simulación de un sismógrafo.

http://www.biodisol.com/tags/energia/


171

La magnitud es una medida objetiva y absoluta de la energía

producida en el foco de un terremoto. Se calcula en función de la amplitud y

de la frecuencia de las ondas sísmicas registradas en los sismogramas.

La escala de magnitud crece de forma semilogarítmica, de manera que el

incremento de una unidad de magnitud significa un aumento de 30 en la

energía liberada por ese sismo. Es decir, un terremoto de magnitud 7 es

aproximadamente 30 veces mayor que uno de magnitud 6 y 900 veces mayor

que uno de magnitud 5.

Aquí se tienen dos sismogramas, uno pertenece al terremoto de Pisco

(Figura A.13) (600 víctimas) y el otro al terremoto de Japón (Figura A.14)

(ninguna víctima, sólo daños materiales). Se puede calcular a cuál

corresponde cada uno de ellos siguiendo los pasos que se indican a

continuación.

Figura A.13: Sismograma 1- Terremoto Pisco.

http://www.biodisol.com/tags/energia-producida/




172

Figura A.14: Sismograma 2 – Terremoto Japón.

Una de las contribuciones más valiosas de Charles Richter fue el

descubrir que las ondas sísmicas propagadas por todos los terremotos

pueden proporcionar buenas estimaciones de sus magnitudes. El consiguió

los registros de las ondas sísmicas de un gran número de terremotos, y

desarrolló un sistema de calibración para medición de las magnitudes.

Richter demostró que cuanto mayor era la energía intrínseca de un

terremoto, mayor era la “amplitud” de movimiento del terreno en una

distancia dada.

Figura A.15: Calculo Terremoto 1.

La magnitud Richter se puede calcular gráficamente utilizando

un registro sismográfico como el que se te presenta a continuación.


173

En él se puede observar (marcado con una P) el momento en el que el

terremoto se empieza a registrar. Las primeras ondas que se registran en el

sismógrafo son las P o primarias y posteriormente con 24 segundos de

retardo las ondas S o secundarias.

En el mismo sismograma se mide la amplitud máxima de las ondas S en

mm. En este diagrama, se muestra como se tiene que marcar en la columna

de la izquierda el t de retraso de las ondas S respecto a las P y en la columna

de la derecha la amplitud máxima de las ondas S. A continuación, se une con

una línea recta ambos puntos y se obtiene, en la columna del centro, la

magnitud del terremoto.

Figura A.16: Calculo Terremoto 2.


174

Para estimar los efectos de un terremoto, los sismólogos también

emplean otra forma de medir los terremotos. Un método distinto de

medición es la escala de intensidad. La intensidad no debe ser confundida

con la magnitud. Aunque cada terremoto tiene un sólo valor de magnitud,

sus efectos varían de un lugar a otro, y por lo tanto habrá muchas

estimaciones de intensidades diferentes.

175

ESTUDIO ECONÓMICO

176

Capítulo 1 ESTUDIO ECONÓMICO 1. ESTUDIO ECONÓMICO

En la era actual donde el desarrollo de la tecnología es el principal

objetivo de las empresas, debido a la fuerte demanda por parte de la

sociedad. Más concretamente, es en el campo de la electrónica donde se está

produciendo un crecimiento mayor. La evolución está teniendo un ritmo tan

acelerado que el control de sistemas se ha convertido en una de las

principales misiones. Actualmente, la sociedad reclama el control de cada

vez más dispositivos o equipos para proporcionarles una vida laboral y

social más fácil, confortable y segura.

El presente proyecto consiste en el desarrollo de un control activo de

vibraciones para proporcionar en primer lugar seguridad en las máquinas,

equipos o estructuras donde se instale, debido a que eliminará las

vibraciones indeseables que puedan producir fallos o errores en los mismos.

Sin embargo, también ofrecerá comodidad ante dichas vibraciones que

pueden producir molestias a los usuarios.

A día de hoy, el control activo de vibraciones es ofrecido en la industria

automovilística mediante la aplicación de la suspensión activa para

vehículos, en estructuras civiles como es el caso de rascacielos para evitar las

vibraciones que puedan producir incomodidad o daños en elementos, así

como también en la industria de la robótica.

El auge de estos controles activos irá en aumento en los próximos años

por los motivos que se han enumerado. Por lo tanto, el interés de clientes y

compañías en integrar estos controles en sus máquinas no es objeto de

ningún tipo de duda. Dadas las características del proyecto, la valoración del

estudio económico sería muy complejo de analizar y en todo caso siempre

sería positivo en cualquiera de las hipótesis razonables que se puedan

plantear al estar implicadas la seguridad de las personas y equipos.

ESTUDIO ECONÓMICO

177

Por último, el desarrollo de sistemas para la eliminación de vibraciones

traerá indudablemente como consecuencia la permanente investigación y

aplicación de nuevos métodos de control y sistemas tecnológicos en el

futuro, tales como controles predictivos, redes neuronales, controles fuzzy o

control adaptativo entre los principales.

Todas estas investigaciones serán beneficiosas para el conjunto de la

sociedad en lo que se refiere a seguridad de las personas y enseres.

178

DOCUMENTO Nº2

PLIEGO DE

CONDICIONES

ÍNDICE DE CONTENIDO DOCUMENTO Nº 2: PLIEGO DE CONDICIONES

179

ÍNDICE PLIEGO DE CONDICIONES

Capítulo 1 PLIEGO DE CONDICIONES GENERALES Y ECONÓMICAS _______________ 180

1 Condiciones Generales __________________________________________________ 180 2 Condiciones Económicas _________________________________________________ 181

Capítulo 2 PLIEGO DE CONDICIONES TÉCNICAS Y PARTICULARES _______________ 183

1 Equipo Informático _____________________________________________________ 183 2 Normas de Calidad _____________________________________________________ 183 3 Normas de Seguridad e Higiene __________________________________________ 183 4 Vida útil del producto ___________________________________________________ 184

Índice de Contenidos

180

Capítulo 1 PLIEGO DE CONDICIONES

GENERALES Y ECONÓMICAS 2. PLIEGO DE CONDICIONES GENERALES Y

ECONÓMICAS

1 Condiciones Generales

Las condiciones y cláusulas que se establecen en este documento son de

obligado cumplimiento por las partes contratantes.

I. Tanto el administrador como el cliente se comprometen desde la

fecha de la firma del contrato a llevar a cabo lo que se estipule.

II. Ante cualquier reclamación o discrepancia en lo concerniente al

cumplimiento de lo pactado por cualquiera de las partes, una vez

agotada toda vía de entendimiento, se tramitará el asunto por la

vía de lo legal. El dictamen o sentencia que se dicte será de

obligado cumplimiento para las dos partes.

III. Al firmarse el contrato, el suministrador se compromete a facilitar

toda la información necesaria para la instalación y buen

funcionamiento del sistema, siempre que sea requerido para ello.

IV. Asimismo, el cliente entregará al suministrador todas las

características distintivas del equipo comprado y aquellas otras

que considere oportunas para el necesario conocimiento de la

misma a efectos del diseño del presente equipo.

V. El plazo de entrega será de tres meses, a partir de la fecha de la

firma del contrato, pudiendo ampliarse en un mes. Cualquier

modificación de los plazos deberá contar con el acuerdo de las dos

partes.

PLIEGO DE CONDICIONES Capítulo 1 – Generales y Económicas

181

VI. En caso de retrasos imputables al suministrador, se considerará

una indemnización del 1 % del valor estipulado por semana de

retraso.

VII. Existirá un plazo de garantía de un año a partir de la entrega del

sistema. Dicha garantía quedará sin efecto si se demostrase que el

sistema ha estado sometido a manipulación o uso indebido.

VIII. Cumplido dicho plazo de garantía, el suministrador queda

obligado a la reparación del sistema durante un plazo de cinco

años, fuera del cual quedará a su propio criterio atender la

petición del cliente.

IX. En ningún momento tendrá el suministrador obligación alguna

frente a desperfectos o averías por uso indebido por personas no

autorizadas por el suministrador.

2 Condiciones Económicas

I. Los precios indicados en este proyecto son firmes y sin revisión

por ningún concepto, siempre y cuando se acepten dentro del

periodo de validez del presupuesto que se fija hasta Diciembre de

2010.

II. El pago se realizará como sigue:

75% a la firma del contrato.

25% en el momento de entrega.

III. La forma de pago será al contado mediante cheque nominativo o

mediante transferencia bancaria. En ningún caso se aceptarán

letras de cambio.

PLIEGO DE CONDICIONES Capítulo 1 – Generales y Económicas

182

IV. El suministrador se hará cargo de los gastos de embalaje y del

transporte, dentro de la ciudad donde se encuentre la instalación.

En caso de ser necesario transporte interurbano, el gasto correrá

por cuenta del cliente. En todo caso, el responsable de los posibles

desperfectos ocasionados por el transporte será el suministrador.

V. Durante el plazo de garantía, la totalidad de los gastos originados

por las reparaciones correrán por cuenta del suministrador.

VI. Fuera de dicho plazo y durante los siguientes cinco años, los

costes serán fijados mediante acuerdo por ambas partes. Pasados

5 años, éstos los fijará exclusivamente el suministrador.

183

Capítulo 2 PLIEGO DE CONDICIONES

TÉCNICAS Y PARTICULARES 3. PLIEGO DE CONDICIONES TÉCNICAS Y

PARTICULARES

1 Equipo Informático

El equipo informático debe estar homologado conforme a la

normativa Europea y Española a fecha de Junio de 2010.

El equipo informático debe instalarse conforme a las indicaciones

del fabricante, manteniendo las condiciones de humedad y

temperatura entre los límites marcados.

Los programas informáticos empleados han de contar con la

licencia preceptiva y cumplir con las condiciones de la misma. En

caso de usar programas de licencia GNU, se deberán respetar las

condiciones de la misma.

2 Normas de Calidad

Los sistemas se diseñarán de forma que cumplan las normas UNE, CEI y

EN aplicables a este tipo de proyectos (ondas de choque, microcortes en

alimentación, emisión de radiofrecuencias, susceptibilidad a interferencias

radiales, etc.).

3 Normas de Seguridad e Higiene

El proyecto cumplirá con la Ley 31/95 de Prevención de Riesgos

Laborales.

PLIEGO DE CONDICIONES Capítulo 2 – Técnicas y Particulares

184

4 Vida útil del producto

Los sistemas se diseñarán para una vida útil no inferior a 10 años en

funcionamiento continuo.

185

DOCUMENTO Nº3

PRESUPUESTO

ÍNDICE DE CONTENIDO DOCUMENTO Nº 3: PRESUPUESTO

186

ÍNDICE PRESUPUESTO

Índice de Contenido ____________________________________________________ 1086

Índice de Tablas ________________________________________________________ 187

Capítulo 1 COSTE INGENIERÍA _____________________________________________ 188

1 Introducción ___________________________________________________________ 188 2 Investigación ___________________________________________________________ 188 3 Diseño ________________________________________________________________ 188 4 Simulación _____________________________________________________________ 189 5 Documentación _________________________________________________________ 190 6 Coste Total Ingeniería ___________________________________________________ 190

Capítulo 2 COSTE MATERIAL ______________________________________________ 191

1 Introducción ___________________________________________________________ 191 2 Software _______________________________________________________________ 191 3 Equipo ________________________________________________________________ 191 4 Coste Total Material _____________________________________________________ 192

Capítulo 3 COSTE INTERESES EN CURSO ____________________________________ 193

Capítulo 4 COSTE TOTAL PROYECTO _______________________________________ 194

ÍNDICE DE TABLAS DOCUMENTO Nº 3: PRESUPUESTO

187

Tabla 1.1: Coste Investigación. _______________________________________________________ 188

Tabla 1.2: Coste Diseño. _____________________________________________________________ 189

Tabla 1.3: Coste Simulación. _________________________________________________________ 189

Tabla 1.4: Coste Documentación. ______________________________________________________ 190

Tabla 1.5: Coste Total Ingeniería. _____________________________________________________ 190

Tabla 2.1: Coste Software. ___________________________________________________________ 191

Tabla 2.2: Coste Equipo. _____________________________________________________________ 191

Tabla 2.3: Coste Total Material. _______________________________________________________ 192

Tabla 3.1: Coste Intereses en Curso. ___________________________________________________ 193

Tabla 4.1: Coste Total Proyecto. _______________________________________________________ 194

188

Capítulo 1 COSTE INGENIERÍA 1. COSTE INGENIERÍA

1 Introducción

En este capítulo se detalla el coste de ingeniería referido a horas de

ingeniería para la realización del proyecto. El coste de ingeniería se divide

en cuatro secciones.

2 Investigación

La realización de este proyecto no se podría haber llevado a cabo sin una

investigación previa. La investigación se ha destinado en la búsqueda,

análisis y recopilación de información para el desarrollo del control activo de

vibraciones. El resumen de los trabajos es expone en la Tabla 1.1.

Coste Investigación

Trabajo Horas €𝒉 Total €

Búsqueda de información 26 7 182

Análisis de la información 50 30 1.500

Clasificación de los documentos 10 7 70

Discusión de los documentos 35 25 875

Total 121 2.627

Tabla 1.1: Coste Investigación.

3 Diseño

El diseño y control de los sistemas es el apartado que más tiempo se ha

invertido ya que es la base del proyecto. Principalmente, para el diseño de

los modelos y los sistemas de control, se ha utilizado el programa Matlab®.

Todos los trabajos realizados en el diseño se enumeran en la Tabla 1.2.

PRESUPUESTO Capítulo 1 – Coste Ingeniería

189

Coste Diseño


Aprendizaje Matlab® 7 10 70

Modelado 12 20 240

Control Realimentación Estado 20 60 1.200Control

Repetitivo

Teórico

Control Repetitivo Teórico 55 80

4.400Control

Repetitivo

Modificando

Ceros

Control Repetitivo Modificando Ceros 60 80 4.800

Estabilidad 25 40 1.000

Problemas 𝑮𝒙 𝒛 35 60 2.100

Total 214 13.810

Tabla 1.2: Coste Diseño.

4 Simulación

Una vez diseñados los controles para los dos sistemas analizados en el

proyecto, se implementan en Simulink® para su simulación y posterior

análisis de resultados. En la Tabla 1.3 se agrupan todos los trabajos realizados

en lo que se refiere a simulación.

Coste Simulación


Aprendizaje Simulink® 7 7 49

Diseño Circuito Simulink® 10 20 200

Simulación Sistema SDOF 28 60 1.680

Simulación Sistema AMD-SDOF 36 60 2.160

Obtención de Resultados 20 50 1.000

Análisis Resultados 26 60 1.560

Problemas Configuración Simulink® 12 50 600

Total 139 7.249

Tabla 1.3: Coste Simulación.

PRESUPUESTO Capítulo 1 – Coste Ingeniería

190

5 Documentación

Este último apartado es donde se determinan las horas para la realización

del documento así como la realización y creación de imágenes para correcta

visualización de los resultados. Los resultados se detallan en la Tabla 1.4.

Coste Documentación


Memoria 50 10 500

Resultados 20 10 200

Gráficos 10 8 80

Diagramas 5 8 40

Presentaciones 5 7 35

Total 90 855

Tabla 1.4: Coste Documentación.

6 Coste Total Ingeniería

Este apartado resume el coste total de ingeniería que supone el

desarrollo de este proyecto. En la Tabla 1.5 se resumen los cuatro apartados

anteriores donde se exponen las horas totales de cada apartado y su

correspondiente coste.

Coste Total Ingeniería

Apartado Horas Coste €

Investigación 121 2.627

Diseño 214 13.810

Simulación 139 7.249

Documentación 90 855

Total 564 24.541

Tabla 1.5: Coste Total Ingeniería.

191

Capítulo 2 COSTE MATERIAL 2. COSTE MATERIAL

1 Introducción

En este capítulo se detalla el coste de material utilizado en el proyecto. El

coste de material se divide en software y equipo que se muestran a

continuación.

2 Software

El software, es decir, los programas utilizados en el proyecto se detallan

en la Tabla 2.1.

Coste Software

Trabajo Cantidad €𝒖 Precio €

Matlab® 1 1.000 1.000

Simulink® 1 1.500 1.500

Microsoft Office® 1 130 130

Total 2.630

Tabla 2.1: Coste Software.

3 Equipo

El equipo necesario para el desarrollo del proyecto se resume en la Tabla

2.2, donde se detalla un ordenador para el diseño y simulación.

Coste Equipo

Trabajo Cantidad €𝒖 Precio €

Ordenador 1 800 800

Material Fungible - - 500

Total 1.300

Tabla 2.2: Coste Equipo.

PRESUPUESTO Capítulo 2 – Coste Material

192

4 Coste Total Material

El coste total del material utilizado en el proyecto se desarrolla en la

Tabla 2.3, donde se resumen los apartados “Software” y “Equipo”.

Coste Total Material

Apartado Precio €

Software 2.630

Equipo 1.300

Total 3.930

Tabla 2.3: Coste Total Material.

193

Capítulo 3 COSTE INTERESES EN CURSO 3. COSTE INTERESES EN CURSO

Suponiendo un coste del dinero del 15% anual, se puede hallar el coste

en por mes usando la fórmula de la ecuación (3.1).

1 + 𝑖 12 = 0.15

𝑖 = 0.011715

(3.1)

Por tanto en 9 meses:

1 + 0.011715 9 = 1 + 𝑖

𝑖 = 0.11

(3.2)

Aplicando el interés al coste de ingeniería se halla el coste por los

intereses en curso:

24.541 € ∙ 0.11 = 2.699,51 €

(3.3)

Coste Intereses en Curso

Apartado Precio €

Coste Intereses en Curso 2.700

Tabla 3.1: Coste Intereses en Curso.

194

Capítulo 4 COSTE TOTAL PROYECTO 4. COSTE TOTAL PROYECTO CURSO

El coste total de la ejecución del proyecto se encuentra desarrollado en la

Tabla 4.1. La tabla resume los costes de ingeniería, material e intereses en

curso del proyecto “Control Activo de Vibraciones”.

Coste Total Proyecto

Apartado Precio €

Coste Ingeniería 24.541

Coste Material 3.930

Coste Intereses en Curso 2.700

Total 31.171

Tabla 4.1: Coste Total Proyecto.

195

"No permitas que nadie diga que eres incapaz de hacer algo. Si tienes un sueño, debes conservarlo. Si quieres algo, sal a buscarlo. ¿Sabes?, la gente que no logra conseguir sus sueños

suele decirles a los demás que tampoco cumplirán los suyos".

PROYECTO FIN DE CARRERA - Instituto de Investigacion ... · sistema de control activo en serie o en...

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