Proyecto La Recta (1)

8/13/2019 Proyecto La Recta (1)

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS

PROYECTO DE GEOMETRA ANALTICA

TEMA: LA RECTA

AUTORES:

EMILIA AYALA

GISSELA LOACHAMN

PABLO NEZ

SOFA OCAA

SEBASTIN OLMEDO

TUTOR:MSc. VICTOR COMINA

QUITO

DICIEMBRE 2013


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OBJETIVOS

Objetivo General

Reforzar los conocimientos adquiridos por los estudiantes en un subtema de Geometra

Analtica como lo es la recta, aplicacin de formas particulares para la resolucin deproblemas.

Objetivos Especficos

1. Identificar las formas de la ecuacin de una recta.2. Resolver problemas sobre rectas.3. Identificar condiciones de paralelismo, perpendicularidad y coincidencia de

rectas.4. Aclarar la resolucin de ejercicios por medio de frmulas.5.

Profundizar conceptos para un mejor entendimiento de los ejercicios planteadosen clase.


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JUSTIFICACION

El estudio de la recta constituye un pilar base en el estudio de la Geometra Analtica.

Analizar este concepto es importante ya que permite buscar una solucin aquellas

deficiencias que poseen los estudiantes al momento de resolver problemas referentes altema planteado.


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INTRODUCCION


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MARCO TEORICO

Geometra Analtica

Estudia las figuras geomtricas mediante tcnicas bsicas del anlisis

matemtico y del lgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollohistrico comienza con la geometra cartesiana, contina con la aparicin de lageometra diferencial de Carl Friedrich Gauss y ms tarde con el desarrollo de lageometra algebraica.

Actualmente la geometra analtica tiene mltiples aplicaciones ms all de lasmatemticas y la ingeniera, pues forma parte ahora del trabajo de administradores parala planeacin de estrategias y logstica en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometra analtica son:

1. Dada lacurva en un sistema decoordenadas,obtener suecuacin.2. Dada laecuacin indeterminada,polinomio,o funcin determinar en un sistema

de coordenadas lagrfica o curva algebraica de los puntos que verifican dichaecuacin.

Lo novedoso de la geometra analtica es que representa las figuras geomtricasmediante frmulas del tipo:

Donde es unafuncin u otro tipo de expresin matemtica.

Lasrectas se expresan comoecuacionespolinmicas de grado 1. As:

Sistema de coordenadas rectangulares

Este sistema cuenta con dos rectas rgidas X X y YY llamadas ejes decoordenadas; dichas rectas son perpendiculares entre s. La recta X X se denomina ejeX o eje de las abscisas, y la recta Y Y es el eje Y o eje de las coordenadas.

El punto de interseccin de los ejes coordenados, es el punto O llamado origen.

Al cortarse las dos rectas dividen al plano en cuatro regiones, estas zonas seconocen como cuadrantes:

Primer cuadrante "I": Regin superior derecha. Segundo cuadrante "II": Regin superior izquierda Tercer cuadrante "III": Regin inferior izquierda Cuarto cuadrante "IV": Regin inferior derecha

La direccin positiva del eje X es hacia la derecha, en tanto que la direccinpositiva del eje Y es hacia arriba.
http://es.wikipedia.org/wiki/Figuras_geom%C3%A9tricashttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_indeterminadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_indeterminadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Figuras_geom%C3%A9tricas


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Coordenadas cartesianas

Tambin conocidas coordenadas rectangulares, son un tipo de coordenadasortogonales usadas enespacios eucldeos,para la representacingrfica de una funcincaracterizada porque usa como referencia ejes ortogonales entre s que se cortan en un

punto origen.

Definindose as como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales deun punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominacin de 'cartesiano' se introdujoen honor deRen Descartes,quien lo utiliz de manera formal por primera vez.

Por ejemplo:

El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicacin a cualquier punto enel plano. En la grfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. Elconjunto (2, 3) se denomina "par ordenado".

Distancia entre dos puntos alineados horizontalmente en un planoLa distancia entre dos puntos alineados horizontalmente en un plano es igual al

valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

d= | X2 - X1 |

Distancia entre dos puntos alineados verticalmente en un plano

La distancia entre dos puntos alineados verticalmente es un plano es igual alvalor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

d= | Y2Y1 |

Distancia entre dos puntos en un plano. Frmula GeneralLa distancia d entre dos puntos P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2)

d= (X2X1)2 + (Y2Y1)

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http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenadohttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cartesian-coordinate-system.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonales


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Divisin de un segmento en una razn dada

Sean los puntosP1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) los extremos del segmento rectilneoP1P2.

SeaP (x,y) un tercer punto que divida al segmento en la relacin P1P = r

PP2

ComoP1P yPP2. Son dos segmentos dirigidos en el mismo sentido, la razn res positiva. Si el punto de divisin P (x,y) estuviera situado en la prolongacin delsegmento, a uno u otro lado del mismo, la relacin seria negativa, ya que P1P yPP2tendran sentidos opuestos.

Los tringulos P1RP y PQP2son semejantes, entonces se tiene:

Sustituyendo:

Inclinacin y pendiente de una recta

La Inclinacin de una rectaL, que no sea paralela al eje x, es el menor de losngulos que dicha recta forma con el semieje x positivo y se mide, desde el eje x a larectaL, en el sentido contrario de las agujas del reloj. Mientras no se advierta otra cosa,consideramos que el sentido positivo deLes hacia arriba.

SiLfuese paralela al eje x, su inclinacin seria cero.
http://www.google.com.ec/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=IMasD-x22Re4qM&tbnid=YfabCFjQw3BgXM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_externos/TecMant-V7/Geom-Anali-Voc-7/PORTAL/UMD/ANACAP1/&ei=amuEUt61BbKu4AOQ2YC4AQ&bvm=bv.56343320,d.dmg&psig=AFQjCNFM6LWjuZ1yW-b463D6PSJgLuw57A&ust=1384496302595695


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La Pendiente de una recta, denotada por m, es igual a la tangente de su ngulo de

inclinacin.m = tan

La pendiente de la recta que pasa por dos puntosP1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) es:

a) Si la recta es paralela al ejex, = 0y m = tang = 0b) Si la recta es perpendicular al ejex, = 90y m = tang =

c) Si la recta se inclina hacia la derecha, 0 0d) Si la recta se inclina hacia la izquierda, 90< < 180y m = tang < 0

Angulo de dos rectas

El ngulo , medido en el sentido contrario al de las agujas del reloj, desde larectaL1de pendiente m1a la rectaL2 de pendiente m2 es:
http://www.google.com.ec/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=rcQ55-bXeGkLnM&tbnid=91zuV8DXUXWJqM:&ved=0CAUQjRw&url=http://maralboran.org/wikipedia/index.php/%C3%81ngulo_entre_dos_rectas_del_plano_(1%C2%BABach)&ei=Ix6FUq_lBYHA4APEwYH4BQ&bvm=bv.56343320,d.dmg&psig=AFQjCNGXldH-5h82fUJ0tR3pbqJXemHClA&ust=1384541989432575


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Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta

Euclides,en su tratado denominadoLos Elementos,establece varias definicionesrelacionadas con la lnea y la lnea recta:

Una lnea es unalongitud sin anchura. Los extremos de una lnea son puntos. Una lnea recta se denomina una lnea formada por una seccin de puntos

infinitos y no tiene principio ni fin.

LA LNEA RECTA

Analticamente, es una ecuacin de primer grado en dos variables.Recprocamente, la representacin de la grfica del lugar geomtrico cuya ecuacin seade primer grado en dos variables es una recta.

LA RECTA

Es el lugar geomtrico de los puntos tales que tomados dos puntos cualesquieraP1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) del lugar, su pendiente msea siempre constante e igual a:

X1 X2

Formas de la Ecuacin de una recta

Rectas paralelas a los ejes

a) La ecuacin de una recta paralela al eje YY que interseca al eje X, en(K,0), corresponde a un conjunto de pares ordenados cuyo primermiembro esK. La ecuacin de esta recta es:

x=K

b) La ecuacin de una recta paralela al eje XX que interseca al eje Y en(0, K), corresponde a un conjunto de pares ordenados cuyo segundomiembro esK. La ecuacin de esta recta es:
http://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttp://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Euclides


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y=K

Punto pendiente

La ecuacin de la recta que pasa por el punto P1 (X1, Y1) y cuya pendiente sea

m es:

yy1= m(xx1)

Pendiente ordenada al origen

La ecuacin de la recta de pendiente my que corta al eje y en el punto (0, b),siendo bla ordenada al origen, es:

y = mx + b

Cartesiana

La ecuacin de la recta que pasa por los puntosP1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) es:


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Simtrica, reducida o abscisa y ordenada en el origen

La ecuacin de la recta que corta a los ejes coordenados X, Y en los puntos(a, 0), siendo a la abscisa al origen, y (0,b) siendo bla ordenada al origen, es :

General

Una ecuacin lineal o de primer grado en las variables X e Y es de la forma:

Dnde: A, B y C son nmeros reales y A y B no pueden ser simultneamente

igual a cero. La pendiente de la recta escrita en esta forma es: y la

ordenada al origen es

En la grfica se presentan estos casos:

Caso I:A= 0 B 0

By + C = 0 por lo tanto y representa una lnea recta || al eje X

Caso II: B = 0 A 0

Ax + C = 0 por lo tanto y representa una lnea recta || al eje Y


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En forma de determinante

La grafica que pasa por los puntos P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2), tiene porecuacin:

Forma Normal

Una recta tambin queda determinada si se conoce la longitud de laperpendicular a ella trazada desde el origen (0,0) y el ngulo que dicha perpendicular

forma con el eje X.

Sea AB la recta y ON la perpendicular desde el origen O a AB.

La distanciap(parmetro) de O a AB se considera siempre positiva cualquieraque sea la posicin de AB, es decir, para todos los valores del ngulo que la

perpendicular forma con el semieje X positivo desde 0 a 360.

Sean (x,y) las coordenadas del punto C.

En estas condiciones x = pcos, y =p sen y pendiente de AB= -1/tan

Siendo del valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El nguloomega es el ngulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.

Extrayendo laraz cuadrada de la suma de los cuadrados de BX A. Como sigue:

Con el nmero xpodemos obtener a y a de la misma ecuacin general dela recta, dividiendo a Ay Bentre ky para calcular ddividimos a C entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, porque C=-kd, entonces si C>0 (es positiva)tomaremos el valor negativo de k (y ser el mismo todas las veces que usemos a ken lamisma ecuacin), cuando C


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Ecuacin normal de la recta

Tomando el valor positivo o negativo de la raz segn corresponda.

Distancia de un punto a una recta

Caso I

Dada la recta r = A x + B y + C = 0 y el puntoP(p,q), queremos obtener ladistancia del puntoP a la rectar.

Sea P (p,q) y la recta A x + B y + C = 0, el vector normal a la recta es (A,B), siM es un punto de la recta M (a,b), tendremos que calcular la proyeccin de MP (p-a,q-b) sobre el vector normal (A,B).

Como se trata de una distancia, tiene que ser positiva, para asegurarnos de ello loponemos en valor absoluto y obtenemos:

Caso II

Para hallar la distancia dde un punto (X1, Y1) a una recta L, se traza la rectaL1paralela a L y que pase por ( X1, Y1).

La ecuacin de L es x cos + y sen - p = 0, y la ecuacin de L1 esx cos + y sen - (p+d) = 0, ya que ambas rectas son paralelas.

Las coordenadas (X1, Y1) satisfacen la ecuacin de L1, x1cos + y1sen -(p+d) = 0. Despejando la distancia d:


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En el caso de que ( X1, Y1) y el origenestn a distinto lado de la recta L, ladistancia d es positiva; si estuvieran almismo lado de L, dseria negativa.

Posiciones relativas entre dos rectas

Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales.

m1 = m2

Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares la pendiente de una de ellas es igual alreciproco de la pendiente de la otra con signo contrario.

m1. m2 = -1

.


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FUNDAMENTACION TECNOLOGICA


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TIPO DE INVESTIGACION


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ESQUEMA DE TESIS

ESQUEMA DE MARCO TEORICO

CONCLUSIONES

RECOMENDACIONES

BIBLIOGRAFIA

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