Proyecto Matematicas
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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMTICAS Y FSICAS
CURSO DE NIVELACIN DE CARRERA DE INGENIERA EN
SISTEMAS COMPUTACIONALES
PROYECTO DE MATEMATICAS
SOLUCIONARIO DE IDENTIDADES Y ECUACIONES
TRIGONOMETRICAS
PARALELO: SM04
INTEGRANTES:
Eddie Alfredo Matamoros Cochea
Javier Antonio Cobea Velazques
David Alexander Viteri Rambay
Kevin Gabriel Toala Mosquera
Diego Adrian Vera Pinargote
Sara Isabel Hurtado Lozano
Jose Rodriguez
Profesor: Lic. Juan Carlos Granda
Abril 2014 - Agosto 2014
Guayaquil Ecuador
-
Misin Ayudar a los futuros estudiantes que ingresen a un pre-universitario y
tengan dificultades en el aprendizaje de la rama matemtica de
Trigonometra, para as facilitar su comprensin y que pueda tener claro los
procedimientos y conceptos bsicos necesarios para poder resolver
cualquier ejercicio que se le presente con respecto a la trigonometra.
Visin Este solucionario de identidades y ecuaciones trigonomtricas ser una
fuerte base para los futuros estudiantes que cursen esta materia ya que
permitir facilitar su aprendizaje e incentivara al estudiante para que as
tambin colabore mejorando este solucionario mejorndolo de forma ms
didctica, para los siguientes estudiantes que lo lleguen a requerir.
-
FORMULARIO DE IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS
Identidades cociente
Identidades reciprocas
Identidades pitagricas
Identidades de suma y diferencia de
ngulos
Identidades de ngulo doble
Identidades pares o impares
Identidades de ngulo mitad
Identidades de suma a producto
( ) ( ) 2 ( ) cos( )2 2
( ) ( ) 2 ( ) cos( )2 2
cos( ) cos( ) 2 ( ) ( )2 2
cos( ) cos( ) 2cos( ) cos( )2 2
x y x ysen x sen y sen
x y x ysen x sen y sen
x y x yx y sen sen
x y x yx y
Identidades de producto a suma
( )tan( )
cos( )
cos( )cot( )
( )
sen xx
x
xx
sen x
1cot( )
tan( )
1sec( )
cos( )
1csc( )
( )
xx
xx
xsen x
2 2
2 2
2 2
( ) cos ( ) 1
tan ( ) 1 sec ( )
1 cot ( ) csc ( )
sen x x
x x
x x
( ) ( )
cos( ) cos( )
tan( ) tan( )
cot( ) cot( )
sec( ) sec( )
csc( ) csc( )
sen x sen x
x x
x x
x x
x x
x x
cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )
cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )
( ) ( ) cos( ) cos( ) ( )
( ) ( ) cos( ) cos( ) ( )
tan( ) tan( )tan( )
1 tan( ) tan( )
tan( ) tan( )tan( )
1 tan(
x y x y sen x sen y
x y x y sen x sen y
sen x y sen x y x sen y
sen x y sen x y x sen y
x yx y
x y
x yx y
) tan( )x y
2 2
2
2
cos(2 ) cos ( ) ( )
cos(2 ) 1 2 ( )
cos(2 ) 2cos ( ) 1
(2 ) 2 ( )cos( )
x x sen x
x sen x
x x
sen x sen x x
1( )cos( ) [ ( ) ( )]
2
1( ) ( ) [cos( ) cos( )]
2
1cos( )cos( ) [cos( ) cos( )]
2
1cos( ) ( ) [ ( ) ( )]
2
sen x y sen x y sen x y
sen x sen y x y x y
x y x y x y
x sen y sen x y sen x y
1 cos( )cos( / 2)
2
1 cos( )( / 2)
2
xx
xsen x
-
EJERCICIOS DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Demostrar que cada ecuacin es una identidad.
aa db
c b c
d
1)
( )
1
sen(x)= cos(x)
tan(x)
sen(x)
sen(x)
cos(x)
sen x
sen(x)
cos(x)
sen(x) cos(x)
1 sen(x)
cos(x)
22
2
2
2
2
2
2
2
2
cos2)
cot
cos
cos
cos ( )
1
cos
cos
(x)= sen (x)
(x)
(x)
(x)
sen (x)
x
(x)
sen (x)
(x) 2
2cos
sen (x)
1 (x)
2sen (x)
aa db
c b c
d
( )tan( )
cos( )
sen xx
x
cos( )cot( )
( )
xx
sen x
-
1sec( )
cos( )
( )tan( )
cos( )
xx
sen xx
x
3)sec( ) ( ) tan
1( )
cos( )
( )
cos( )
tan( )
x sen x = (x)
sen xx
sen x
x
x
( )tan( )
cos( )
sen xx
x
4) tan( )cos( )
( )
cos( )
x x = sen(x)
sen x
x
cos( )x
1
( )sen x
1csc( )
( )
( )tan( )
cos( )
1sec( )
cos( )
xsen x
sen xx
x
xx
5)csc( ) tan( ) sec( )
1
( )
x x x
sen x
( )sen x
cos( )
1
cos( )
sec( )
x
x
x
6) ( )cot( ) cos( )
( )
sen x x x
sen x
cos( )
1 ( )
x
sen x
cos( )x
cos( )cot( )
( )
xx
sen x
-
Despejamos de la siguiente
identidad cot2(x) para
reemplazarlo en la ecuacin.
2 2 2
2
2
7)cot ( ) ( ) cos ( )
cos ( )
( )
x sen x x
x
sen x
2 ( )sen x
2
1
cos ( )x
22
2
cos ( )cot ( )
( )
xx
sen x
2 2 2
2
2
8) tan ( )cos ( ) ( )
( )
cos ( )
x x sen x
sen x
x
2cos ( )x
2
1
( )sen x
22
2
( )tan ( )
cos ( )
sen xx
x
2 2
2 2
2
9)cos ( )[1 tan ( )] 1
cos ( )[sec ( )]
cos ( )
x x
x x
x
2
1
1 cos ( )x
1
2 2sec ( ) tan ( ) 1x x
2 2 2
2 2
2
2
10)[csc ( ) 1] ( ) cos ( )
cot ( ) ( )
cos ( )
( )
x sen x x
x sen x
x
sen x
2 ( )sen x
2
1
cos ( )x
2 2csc ( ) 1 cot ( )x x
2 2cot ( ) csc ( ) 1x x
-
Despejamos de la identidad pitagrica
para utilizarlo en demostracin
Despejamos de la identidad pitagrica
para utilizarlo en demostracin
2
2
2
[1 ( )][1 ( )]11) cos( )
cos( )
1 ( ) ( ) ( )
cos( )
1 ( )
cos( )
cos
sen x sen xx
x
sen x sen x sen x
x
sen x
x
( )
cos( )
x
x
cos( )x
2 2( ) cos ( ) 1sen x x
2cos ( )x
2 2cos ( ) 1 ( )x sen x
2
2
2
[1 cos( )][1 cos( )]12) ( )
( )
1 cos( ) cos( ) cos ( )
( )
1 cos ( )
( )
x xsen x
sen x
x x x
sen x
x
sen x
sen
( )
( )
x
sen x
( )sen x
2 2( ) cos ( ) 1sen x x
2 ( )sen x
2 2( ) 1 cos ( )sen x x
-
( )tan( )
cos( )
sen xx
x
( ) sec( )13) 1
tan( )
1( )
cos( )
( )
cos( )
( )
cos( )
sen x x
x
sen xx
sen x
x
sen x
x
( )
cos( )
sen x
x
1
1sec( )
cos( )x
x
2 2
2
2
14)sec ( ) 3 tan ( ) 2
tan ( ) 1 3
tan ( ) 2
x x
x
x
2 2sec ( ) tan ( ) 1x x
2 2 2 2
2
2
15)se ( ) cos ( ) tan ( ) sec ( )
1 tan ( )
sec ( )
n x x x x
x
x
2 2 2 2
2
2
16)se ( ) cos ( ) cot ( ) csc ( )
1 cot ( )
csc ( )
n x x x x
x
x
2 2
2 2
( ) cos ( ) 1
sec ( ) tan ( ) 1
sen x x
x x
2 2
2 2
( ) cos ( ) 1
csc ( ) 1 cot ( )
sen x x
x x
-
2 2sec ( ) 1 tan ( )x x
2 2
2 2
17) ( )[csc( ) ( )sec ( )] sec ( )
( )csc( ) ( )sec ( )
( )
sen x x sen x x x
sen x x sen x x
sen x
1
( )sen x 2
2
2
2
2
2
1( )
cos ( )
( )1
cos ( )
1 tan ( )
sec ( )
sen xx
sen x
x
x
x
1csc( )
( )x
sen x
2
2
1 1sec( ) sec ( )
cos( ) cos ( )x x
x x
2 2
1sec( )
cos( )
csc ( ) 1 cot ( )
( )tan( )
cos( )
xx
x x
sen xx
x
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sec ( )18) tan ( )
1 cot ( )
1
cos ( )
csc ( )
1
cos ( )
1
( )
1 ( )
cos ( ) 1
( )
cos ( )
tan ( )
xx
x
x
x
x
sen x
sen x
x
sen x
x
x
2
2
2
1 ( )19) ( )cos( )
cot( )
cos ( )
cos( )
( )
cos
sen xsen x x
x
x
x
sen x
( ) ( )
1 cos( )
x sen x
x
cos( ) ( )x sen x
2 2
2 2
cos( )cot( )
( )
( ) cos ( ) 1
cos ( ) 1 ( )
xx
sen x
sen x x
x sen x
-
2
2
2
2
( )20) cos( ) cot( )
sec ( ) 1
( )
tan ( )
( )
( )
cos ( )
( )
sen xx x
x
sen x
x
sen x
sen x
x
sen x
2
2
cos ( )
1
x
sen
2
( )
cos ( )
( )
cos( ) cos( )
1 ( )
cos( ) cot( )
x
x
sen x
x x
sen x
x x
2 2
2 2
tan ( ) 1 sec ( )
tan ( ) sec ( ) 1
cos( )cot( )
( )
x x
x x
xx
sen x
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 tan ( )21) tan ( )
csc ( )
sec ( )
1
( )
1
cos ( )
1
( )
1 ( )
cos ( ) 1
( )
cos ( )
tan ( )
xx
x
x
sen x
x
sen x
sen x
x
sen x
x
x
2 2
2
2
2
2
22
2
sec ( ) tan ( ) 1
1csc ( )
( )
1sec ( )
cos ( )
( )tan ( )
cos ( )
x x
xsen x
xx
sen xx
x
-
2 2cos ( ) ( ) 1
1csc( )
( )
1sec
cos( )
x sen x
xsen x
x
2 2
cos( ) ( )22) sec( )csc( )
( ) cos( )
cos ( ) ( )
( ) cos( )
1
( )cos( )
1 1
( ) cos( )
csc( )sec( )
x sen xx x
sen x x
x sen x
sen x x
sen x x
sen x x
x x
2
2
2
2
2
1 123) 2csc ( )
1 cos( ) 1 cos( )
1 cos( ) 1 cos( )
[1 cos( )][1 cos( )]
2
[1 cos ( )]
2
( )
12
( )
2csc ( )
xx x
x x
x x
x
sen x
sen x
x
1csc( )
( )x
sen x
-
2 2
2
2 2
2
2
2
1 124) 2csc( )
csc( ) cot( ) csc( ) cot( )
csc( ) cot( ) csc( ) cot( )
[csc( ) cot( )][csc( ) cot( )]
2csc( )
csc ( ) cot ( )
2csc( )
1 cos ( )
( ) ( )
2csc( )
1 cos ( )
( )
2csc( )
( )
xx x x x
x x x x
x x x x
x
x x
x
x
sen x sen x
x
x
sen x
x
sen x
2 ( )sen x
2csc( )
1
2csc( )
x
x
1csc( )
( )
cos( )cot( )
( )
xsen x
xx
sen x
2tan( ) csc( )25) sec( )csc ( )( ) tan( )
( ) 1
cos( ) ( )
( )( )
cos( )
( )
x xx x
sen x x
sen x
x sen x
sen xsen x
x
sen x
1
cos( ) ( )x sen x
2
2 2
2
2
2
2
1 cos( )
( ) ( )
1 cos( )
cos( ) ( )
( ) cos ( )
cos( ) ( )
1
cos( )
1 1
cos( ) ( )
sec( )csc ( )
x
sen x sen x
x
x sen x
sen x x
x sen x
x sen
x sen x
x x
2 2
( )tan( )
cos( )
( ) cos ( ) 1
1csc( )
( )
1sec( )
cos( )
sen xx
x
sen x x
xsen x
xx
-
2 2
2 2
1sec( )
cos( )
( )tan( )
cos( )
cos ( ) ( ) 1
( ) 1 cos ( )
xx
sen xx
x
x sen x
sen x x
sec( ) ( )26) cot( )
( ) cos( )
1
cos( )tan( )
( )
1
1 1tan( )
cos( ) ( )
1tan( )
cos( ) ( )
1 cos( ) ( ) tan( )
cos( ) ( )
( )1 cos( ) ( )
cos( )
cos( ) ( )
1 cos( )
x sen xx
sen x x
xx
sen x
xx sen x
xx sen x
x sen x x
x sen x
sen xx sen x
x
x sen x
x
2 ( )
(cos( )
sen x
x
2
2
)
cos( ) ( )
1 ( )
cos( ) ( )
cos
x sen x
sen x
x sen x
( )
cos( )
x
x ( )
cos( )
( )
cot( )
sen x
x
sen x
x
-
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 tan ( )27) tan ( )
csc ( )
sec ( )
1
( )
1
cos ( )
1
( )
1 ( )
cos ( ) 1
( )
cos ( )
tan ( )
xx
x
x
sen x
x
sen x
sen x
x
sen x
x
x
2 2sec ( ) 1 tan ( )
1sec( )
cos( )
1csc( )
( )
( )tan( )
cos( )
x x
xx
xsen x
sen xx
x
2 2
2 2
2 2
28)[sec ( ) 1][csc ( ) 1] 1
[tan ( ) 1 1][cot 1 1]
tan ( ) cot ( )
( )
x x
x
x x
sen x
cos( )x
cos( )x
( )sen x
1
2 2
2 2
tan ( ) 1 sec ( )
1 cot ( ) csc ( )
( )tan( )
cos( )
cos( )cot( )
( )
x x
x x
sen xx
x
xx
sen x
2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
29) tan ( ) sec ( ) 2sec ( ) 1
( ) 1
cos ( ) cos ( )
( ) 1
cos ( )
1 cos ( ) 1
cos ( )
2 cos ( )
cos ( )
2 cos ( )
cos ( ) cos ( )
x x x
sen x
x x
sen x
x
x
x
x
x
x
x x
2
2
2 11
1 cos ( )
2sec ( ) 1
x
x
2 2
2 2
( )tan( )
cos( )
1sec( )
cos( )
( ) cos ( ) 1
( ) 1 cos ( )
sen xx
x
xx
sen x x
sen x x
-
2 2
( )tan( )
cos( )
cos( )cot( )
( )
( ) cos ( ) 1
sen xx
x
xx
sen x
sen x x
2 2
30)[tan( ) cot( )] ( ) cos( ) 1
( ) cos( )[ ] ( ) cos( )
cos( ) ( )
( ) cos ( )[ ] ( ) cos( )
cos( ) ( )
1[
cos( )
x x sen x x
sen x xsen x x
x sen x
sen x xsen x x
x sen x
x
( )sen x] ( )sen x cos( )x
1
4 4 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
31)cos ( ) ( ) cos ( ) ( )
[cos ( ) ( )][cos ( ) ( )]
1[cos ( ) ( )]
cos ( ) ( )
x sen x x sen x
x sen x x sen x
x sen x
x sen x
4 4 2 2 2 2
2 2
( )( )
( ) cos ( ) 1
a b a b a b
sen x x
Diferencia de cuadrados
2 2
2 2
tan ( ) 1 sec ( )
tan ( ) sec ( ) 1
x x
x x
4 2 4 2
2 2
2 2
2 2
4 2
32) tan ( ) tan ( ) sec ( ) sec ( )
tan ( )[tan ( ) 1]
[sec ( ) 1][sec ( ) 1 1]
[sec ( ) 1]sec ( )
sec ( ) sec ( )
x x x x
x x
x x
x x
x x
-
2
133) sec( ) tan( )
sec( ) tan( )
1
1 ( )
cos( ) cos( )
1
1 ( )
cos( )
1
11 ( )
cos( )
1 cos( )
1 1 ( )
cos( ) [1 ( )]
[1 ( )] [1 ( )]
cos( )[1 ( )]
[1 ( )]
cos( )
x xx x
sen x
x x
sen x
x
sen x
x
x
sen x
x sen x
sen x sen x
x sen x
sen x
x
2
[1 ( )]
cos
sen x
( )
1 ( )
cos( )
1 ( )
cos( ) cos( )
sec( ) tan( )
x
sen x
x
sen x
x x
x x
Artilugio matemtico Se multiplica toda la expresin
por el denominador con signo
contrario.
2 2
2 2
1sec( )
cos( )
( )tan( )
cos( )
( ) cos ( ) 1
cos ( ) 1 ( )
xx
sen xx
x
sen x x
x sen x
2
2
2
2
2
2
2
1 3cos( ) 1 2cos( ) 3cos ( )34)
1 cos( ) ( )
1 3cos( ) [1 cos( )]
[1 cos( )] [1 cos( )]
[1 3cos( )][1 cos( )]
1 cos( ) cos( ) cos ( )
1 cos( ) 3cos( ) 3cos ( )
1 cos ( )
1 2cos( ) 3cos ( )
( )
y y y
y sen y
y y
y y
y y
y y y
y y y
y
y y
sen y
Artilugio
matemtico
2 2
2 2
( ) cos ( ) 1
( ) 1 cos ( )
sen y y
sen y y
-
4 2 2 4
2
4 2 2 4
2
4 2 4 4
2
4 4 2
2
2 2 2
2cos ( ) ( ) cos ( ) ( )35) 1
3cos ( ) 1
2cos ( ) [1 cos ( )]cos ( ) ( )
3[1 ( )] 1
2cos ( ) cos ( ) cos ( ) ( )
3 3 ( ) 1
[cos ( ) ( )] cos ( )
2 3 ( )
[cos ( ) ( )][cos ( )
y sen y y sen y
y
y y y sen y
sen y
y y y sen y
sen y
y sen y y
sen y
y sen y y
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
( )] cos ( )
2 3 ( )
1[cos ( ) ( )] cos ( )
2(1) 3 ( )
2cos ( ) ( )
2( ( ) cos ( )) 3 ( )
2cos ( ) ( )
2 ( ) 2cos ( ) 3 ( )
2cos ( ) ( )
sen y y
sen y
y sen y y
sen y
y sen y
sen y y sen y
y sen y
sen y y sen y
y sen y
2 22cos ( ) ( )y sen y
1
Diferencia de cuadrados 4 4 2 2 2 2( )( )a b a b a b
2 2
2 2
2 2
( ) cos ( ) 1
( ) 1 cos ( )
cos ( ) 1 ( )
sen y y
sen y y
y sen y
Al multiplicarlo el 2 por el 1 no
se altera la ecuacin y luego el
1 lo reemplazamos por la
identidad pitagrica donde 2 2( ) cos ( ) 1sen y y
-
3 3
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
( ) ( ) sec( ) ( )36)
2 ( ) 1 tan( ) 1
[ ( ) cos( )][ ( ) ( ) cos( ) cos ( )]
2 ( ) ( ) cos ( )
[ ( ) cos( )][ ( ) ( ) cos( ) cos ( )]
( ) cos ( )
[ ( ) cos( )]
sen x cos x x sen x
sen x x
sen x x sen x sen x x x
sen x sen x x
sen x x sen x sen x x x
sen x x
sen x x
[1 ( ) cos( )]
[ ( ) cos( )]
sen x x
sen x x
[ ( ) cos( )]
1[1 ( ) cos( )]
cos( )1[ ( ) cos( )] 1
1 ( )
[1 ( ) cos( )]
cos( )
[ ( ) cos( )]
cos( )
( ) cos( )1
cos( )
sen x x
sen x x
x
sen x x
cos x
sen x x
x
sen x x
x
sen x x
x
cos( )x
cos( )( )
cos( )
xsen x
x
cos( )x
sec( ) ( )
tan( ) 1
x sen x
x
Artilugio matemtico Dividimos para cos(x)
Al numerador y denominador,
esto no alterara la ecuacin.
Adicin de cubos 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b
2 2( ) cos ( ) 1sen x x
Diferencia de cuadrados 2 2 ( )( )a b a b a b
Trinomio de la forma ax2+bx+c
24 ( ) 3 ( ) 1
4 ( ) 1 1 ( )
1 ( ) 1 4 ( )
3 ( )
sen x sen x
sen x sen x
sen x sen x
sen x
2 2
2 2
( ) cos ( ) 1
cos ( ) 1 ( )
sen x x
x sen x
2
2
2
2
2
1 3 ( ) 4 ( ) 1 4 ( )37)
cos ( ) 1 ( )
4 ( ) 3 ( ) 1
1 ( )
[ 4 ( ) 1][ ( ) 1]
sen x sen x sen x
x sen x
sen x sen x
sen x
sen x sen x
[1 ( )][1 ( )]sen x sen x
21 4 ( )
1 ( )
sen x
sen x
-
1 cos( ) csc( ) cot( )38) 4cot( ) csc( )
1 cos( ) csc( ) cot( )
1 cos( )
1 cos( ) ( ) ( )
1 cos( )1 cos( )
( ) ( )
1 cos( )
1 cos( ) ( )
1 cos( )1 cos( )
( )
1 cos( ) 1 cos( )
1 cos( ) ( )
x x xx x
x x x
x
x sen x sen x
xx
sen x sen x
x
x sen x
xx
sen x
x x
x sen x
( )sen x
2 2
2
2
1 cos( )
1 cos( ) 1 cos( )
1 cos( ) 1 cos( )
[1 cos( )][1 cos( )] [1 cos( )][1 cos( )]
[1 cos( )][1 cos( )]
[1 cos( ) cos( ) cos ( )] [1 cos( ) cos( ) cos ( )]
1 cos( ) cos( ) cos ( )
1 2cos( ) cos ( ) [1 2co
x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x x x
x x x
x x
2
2
2 2
2
2
s( ) cos ( )]
1 cos ( )
1 2cos( ) cos ( ) 1 2cos( ) cos ( )
( )
4cos( )
( )
cos( ) 14
( ) ( )
4cot( ) csc( )
x x
x
x x x x
sen x
x
sen x
x
sen x sen x
x x
2 2
2 2
1csc( )
( )
cos( )cot( )
( )
( ) cos ( ) 1
( ) 1 cos ( )
xsen x
xx
sen x
sen x x
sen x x
-
sec( ) tan( )39) sec( ) tan( )
sec( ) tan( )
1 ( )
cos( ) cos( )
1 ( )
cos( ) cos( )
1 ( )
cos( )
1 ( )
cos( )
1 ( )
cos( )
x xx x
x x
sen x
x x
sen x
x x
sen x
x
sen x
x
sen x
x
cos( )x
2
2
2
2
2
1 ( )
1 ( ) 1 ( )
1 ( ) 1 ( )
[1 ( )]
1 ( ) ( ) ( )
[1 ( )]
1 ( )
[1 ( )]
sen x
sen x sen x
sen x sen x
sen x
sen x sen x sen x
sen x
sen x
sen x
2cos
2
( )x
1 ( )
cos( )
1 ( )
cos( ) cos( )
sec( ) tan( )
sen x
x
sen x
x x
x x
2 2
2 2
( ) cos ( ) 1
cos ( ) 1 ( )
sen x x
x sen x
Artilugio matemtico
2
2 2
40)cos(2 ) 2 1
1 2 ( ) 2 ( )
1
x sen x
sen x sen x
2cos(2 ) 1 2 ( )x sen x
-
41) (2 )csc( ) 2cos( )
2 ( )
sen x x x
sen x
1cos( )
( )x
sen x
2cos( )x
(2 ) 2 ( )cos( )sen x sen x x
2
(2 )42) tan( )
1 cos(2 )
2 ( ) cos( )
1 2cos ( ) 1
2
sen xx
x
sen x x
x
( ) cos( )sen x x
2 2cos ( )
( )
cos( )
tan( )
x
sen x
x
x
2
(2 ) 2 ( )cos( )
cos(2 ) 2cos ( ) 1
( )tan( )
cos( )
sen x sen x x
x x
sen xx
x
2
2
2
( )44) cos
2 2 2
1 cos( ) 1 cos( )
2 2
[1 cos( )] [1 cos( )]
2 2
1 cos( ) cos( ) cos ( )
4
1 cos ( )
4
x x sen xsen
x x
x x
x x x
x
sen
( )
4
x2
( )
2
sen x
2 2
2 2
1 cos( )( )
2 2
1 cos( )cos( )
2 2
( ) cos ( ) 1
( ) 1 cos ( )
x xsen
x x
sen x x
sen x x
-
2
2
2
45)[cos ] 1 ( )2 2
1 cos( ) 1 cos( )
2 2
1 cos( )
2
x xsen sen x
x x
x
2
21 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( )
22 2 2
x x x
2
2
2
2
1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( )2
2 2 2 2
1 cos( ) 1 cos( ) cos( ) cos ( ) 1 cos( )2
2 4 2
1 cos( ) 1 cos ( ) 1 cos( )2
2 4 2
1 cos( )2
2
x x x x
x x x x x
x x x
x sen
( )
4
x2
1 cos( )
2
1 cos( )2
2
x
x
( )
2
sen x 1 cos( )
2
1 cos( ) 2 ( ) 1 cos( )
2
2 2 ( )
2
2
x
x sen x x
sen x
[1 ( )]
2
sen x
1 ( )sen x
2 2
2 2
1 cos( )( )
2 2
1 cos( )cos( )
2 2
( ) cos ( ) 1
( ) 1 cos ( )
x xsen
x x
sen x x
sen x x
Cuadrado de un binomio 2 2 2( ) 2a b a ab b
46)cos(5 )cos(2 ) (5 ) (2 ) cos(3 )
cos(5 2 )
cos(3 )
x x sen x sen x x
x x
x
cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )x y x y sen x sen y
X y x y
-
4
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 4 2
47)8cos ( ) 3 4cos(2 ) cos(4 )
3 4[2cos ( ) 1] cos(2 2 )
3 8cos ( ) 4 cos(2 )cos(2 ) (2 ) (2 )
3 8cos ( ) 4 cos (2 ) (2 )
8cos ( ) [2cos ( ) 1] [2 ( )cos( )] 1
8cos ( ) [4cos ( ) 4cos ( ) 1]
x x x
x x x
x x x sen x sen x
x x sen x
x x sen x x
x x x
2 2
2 4 2 2 2
2 4 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
4
[4 ( )cos ( )] 1
8cos ( ) 4cos ( ) 4cos ( ) 1 4 ( )cos ( ) 1
4cos ( ) 4cos ( ) 4 ( )cos ( )
4cos ( )[1 cos ( ) ( )]
4cos ( )[cos ( ) cos ( )]
4cos ( )[2cos ( )]
8cos ( )
sen x x
x x x sen x x
x x sen x x
x x sen x
x x x
x x
x
2
2 2
2 2
cos(2 ) 2cos ( ) 1
(2 ) 2 ( )cos( )
( ) cos ( ) 1
cos ( ) 1 ( )
x x
sen x sen x x
sen x x
x sen x
(5 ) (7 )48) tan(6 )
cos(5 ) cos(7 )
2
sen x sen xx
x x
5 7 5 7cos
2 2
x x x xsen
25 7 5 7
cos cos2 2
x x x x
12sen
2
x
12cos
2
x
(6 )
cos(6 )
tan(6 )
sen x
x
x
( ) ( ) 2 ( )cos( )2 2
cos( ) cos( ) 2cos( )cos( )2 2
( )tan( )
cos( )
x y x ysen x sen y sen
x y x yx y
sen xx
x
-
2 2
2 2
49)cos( )cos( ) cos ( ) ( )
[cos( )cos( ) ( ) ( )][cos( )cos( ) ( ) ( )]
cos ( )cos ( ) cos( )cos( ) ( ) ( )
x y x y x sen y
x y sen x sen y x y sen x sen y
x y x y sen x sen y
( ) ( ) cos( )cos( )sen x sen y x y 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( )
cos ( )cos ( ) ( ) ( )
cos ( )[1 ( )] [1 cos ( )] ( )
cos ( ) cos ( ) ( ) [ ( ) ( ) cos ( )]
cos ( ) cos ( ) ( )
sen x sen y
x y sen x sen y
x sen x x sen y
x x sen x sen y sen y x
x x sen x
2 2 2( ) ( ) cos ( )sen y sen y x
2 2cos ( ) ( )x sen y
2 2
2 2
2 2
cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )
cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )
( ) cos ( ) 1
( ) 1 cos ( )
cos ( ) 1 ( )
x y x y sen x sen y
x y x y sen x sen y
sen x x
sen x x
x sen x
2 2 2 2
2
50) ( )cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( )
[ ( ) cos( ) cos( ) ( )][cos( )cos( ) ( ) ( )]
( ) cos( )cos ( ) ( ) ( ) cos( ) cos ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( ) ( )
( ) cos( )[1 ( )
sen x y x y sen x x sen y y
sen x y x sen y x y sen x sen y
sen x x y sen x sen y y x sen y y x sen y sen x
sen x x sen y
2 2 2
2 2 2
] [1 cos ( )] ( ) cos( ) [1 ( )] ( ) cos( ) cos( ) ( )[1 cos ( )]
( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) cos( )cos ( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos
x sen y y sen x sen y y x sen x y
sen x x sen x x sen y sen y y sen y y x sen y y sen y y sen x x sen x x sen x
2
2 2 2 2
2 2
( )
2 ( )cos( ) 2 ( )cos( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) cos( )cos ( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos ( )
2 ( )cos( ) 2 ( )cos( ) ( ) cos( )[ ( ) cos ( )
y
sen x x sen y y sen x x sen y sen y y x sen y y sen x x sen x y
sen x x sen y y sen x x sen y y
2 2] ( ) cos( )[ cos ( ) ( )sen y y x sen x ]
2 ( )cos( ) 2 ( )cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( )
( ) cos( ) ( ) cos( )
sen x x sen y y sen x x sen y y
sen x x sen y y
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) cos( ) cos( ) ( )
( ) ( ) cos( ) cos( ) ( )
( ) cos ( ) 1
( ) 1 cos ( )
cos ( ) 1 ( )
sen x y sen x y x sen y
sen x y sen x y x sen y
sen x x
sen x x
x sen x
1
1
-
Grficas y tringulos para resolver ecuaciones
trigonomtricas
Tan(x)
Cos(x)
Sen(x)
Para el diseo de las grficas
trigonomtricas y las respectivas
comprobaciones de los ejercicios
se utiliz el software informtico
Wolfram Mathematica.
-
ECUACIONES TRIGONOMTRICAS
Encontrar la solucin de las siguientes ecuaciones trigonomtricas.
Tenemos que utilizar la grfica del Sen(x) para as poder ver cuando 1 toca en el eje de las X.
Como se puede ver claramente en la grfica cuando en X es /2 entonces esta toca en el eje de
las Y en 1, por lo tanto /2 es la respuesta desde el rango de 0 a 2.
En este ejercicio se utiliz el tringulo rectngulo de
60 y 30 para encontrar con cul de los dos ngulos el
Cos(x)=1/2.
Encontrando que el Cos(60)=1/2, pero hay que tomar
en cuenta que el ejercicio nos pide los valores de x
desde 0 a 2, y si nos ubicamos en el plano cartesiano
en el primer cuadrante todos los ngulos son positivos
por lo tanto 60(/3) es parte de la respuesta y en el cuarto cuadrante solo los cosenos son
positivos entonces realizamos la diferencia para encontrar el ngulo el cual tambin ser parte
de la respuesta en este caso 300(5/3).
NOTA: Los ngulos siempre se ponen con respecto al eje X.
1) ( ) 1 0
( ) 1
sen x
sen x
[0,2 ]
2
[0,2 ]2)2cos( ) 1 0
1cos( )
2
x
x
cos( )adyacente
xhipotenusa
1cos(60 )
25
,3 3
-
Observemos que en la grfica el cos(x) es igual a 1 solo
cuando en el eje de las x toca en 0 y en 2.
[0,2 ]3)cos( ) 1 0
cos( ) 1
x
x
0, 2
4) tan( ) 1 0
tan( ) 1
4
x
x
0,2
tan(45 ) 1
2
2
2
2
5)2 ( ) 1 0
2 ( ) 1
1( )
2
sen x
sen x
sen x
sen
1( )
2
1( )
2
4
x
sen x
Si utilizamos el tringulo de 45 nos
daremos cuenta que la Tan(45) es igual a
uno, por lo tanto 45 en el rango de [0,/2]
es la respuesta para la ecuacin
trigonomtrica.
0,2
1(45 )
2sen
Utilizando el triangulo de 45 nos damos
cuenta que el sen(45) es igual a 1
2
Y ese es el nico valor para la ecuacin
puesto que el ejercicio solo nos pide los
valores en el rango de [0,/2].
-
2
2
2
2
2
2
6)3cot ( ) 1 0
3cot ( ) 1
1cot ( )
3
1 1
tan ( ) 3
3 tan ( )
tan
x
x
x
x
x
2 ( )x 3
tan( ) 3
4,
3 3
x
0,2
tan( )
tan(60 ) 3
opuestox
adyacente
Primero utilizamos el tringulo de 60 y 30 para identificar
donde la tan(x) es igual a 3 , encontrando que el ngulo de 60 cumple con la ecuacin, hay que tener en cuenta que el
ejercicio pide las respuestas desde el rango de [0,2],
utilizando el plano cartesiano vemos que en dos cuadrantes
tenemos que el sen(60) es igual 3 .
60180 3
180 60 240
4240
180 3
240
2
2
2
22
7)4cos ( ) 3 0
4cos ( ) 3
3cos ( )
4
3cos ( )
4
3cos( )
2
5 7 11, , ,
6 6 6 6
x
x
x
x
x
0,2
30180 6
180 30 150
5150
180 6
180 30 210
7210
180 6
360 30 330
11330
180 6
30
30 30
30
3cos(30 )
2
Cuando hay una raz en una ecuacin
trigonomtrica siempre hay que tomar los
ngulos negativos y positivos en el plano
cartesiano y sacar la diferencia de los angulos.
-
0,2
2
2
2
2
8)cot ( ) 3 0
13
tan ( )
1tan ( )
3
1tan ( )
3
1tan( )
3
6
x
x
x
x
x
1tan(30 )
3
30180 6
2
2
2
2
2
9)sec ( ) 1 0
11 0
cos ( )
11
cos ( )
1 cos ( )
cos ( ) 1
cos( ) 1
0, , 2
x
x
x
x
x
x
En este ejercicio una vez despejada la ecuacin
trigonomtrica vemos cuando se cumple que el cos(x) = es
igual a + o 1 viendo simplemente en la grfica del cos(x).
[0,2 ]
-
2
2
2
2
2
2
10)csc ( ) 2 0
12 0
( )
12
( )
1 2 ( )
( )2
1( )
2
1( )
2
3,
4 4
x
sen x
sen x
sen x
sen x
sen x
sen x
0,
1(45)
2sen
45180 4
180 45 135
3135
180 4
Utilizando el tringulo de 45 observamos sen(x) es igual a
12 cuando el ngulo es 45, el ejercicio nos pide las
soluciones del rango [0, ] utilizamos el plano cartesiano para
ver si en ese rango hay ms senos positivos o negativos ya que
en el despeje de la ecuacin nos qued ms o menos 12 .
11) ( )cos( ) 0
( ) 0
cos( ) 0
30, , , , 2
2 2
sen x x
sen x
x
Observando en las grficas del seno y del coseno
podemos encontrar rpidamente las soluciones de la
ecuacin trigonomtrica.
Sen(x) cos(x)
-
12)cos( )cot( ) 0
cos( ) 0
cot( ) 0
cot( ) 0
cos( )0
( )
cos( ) 0[ ( )]
cos( ) 0
3,
2 2
x x
x
x
x
x
sen x
x sen x
x
cos(x)
Tenemos dos ecuaciones de las cuales podemos sacar distintas
soluciones para la ecuacin, pero en este caso todos concluyen
en que el cos(x) es igual 0.
Mediante el uso de la grfica del coseno podemos encontrar
rpidamente las respuestas a este ejercicio.
13) tan( )sec( ) 0
tan( ) 0
sec( ) 0
tan( ) 0
( )0
cos( )
( ) 0[cos( )]
( ) 0
0, , 2
x x
x
x
x
sen x
x
sen x x
sen x
sec( ) 0
10
cos( )
1 0[cos( )]
1 0
x
x
x
Sen(x)
-
14) ( ) tan( ) 0
( ) 0
tan( ) 0
tan( ) 0
( )0
cos( )
( ) 0[cos( )]
( ) 0
0, , 2
sen x x
sen x
x
x
sen x
x
sen x x
sen x
Sen(x)
3
2
2
2
2
2
2
15)4 ( ) 3 ( ) 0
( )[4 ( ) 3] 0
( ) 0
4 ( ) 3 0
4 ( ) 3 0
4 ( ) 3
3( )
4
3( )
4
3( )
2
0,3
sen x sen x
sen x sen x
sen x
sen x
sen x
sen x
sen x
sen x
sen x
3(60 )
2sen
El ejercicio nos pide encontrar las soluciones
de la ecuacin trigonomtrica en el rango de
[0,/2].
Por lo tanto solo nos piden la respuesta del
primer cuadrante.
0,2
-
3
2
2
16) tan ( ) tan( ) 0
tan( )[tan ( ) 1] 0
tan( ) 0
tan ( ) 1 0
tan( ) 0
( )0
cos( )
( ) 0
0,4
x x
x x
x
x
x
sen x
x
sen x
2
2
2
tan ( ) 1 0
tan ( ) 1
tan ( ) 1
tan( ) 1
x
x
x
x
0,2
tan(45 ) 1
45180 4
Sen(x)
Solo se tom en cuenta en la grfica del sen(x) el valor
de 0 ya que solo nos pide en el ejercicio encontrar las
soluciones en el rango [0,/2] y por lo tanto ese es el
nico punto en ese rango donde el seno vale 0.
2
2
2
2
2
17)2 ( ) cos( ) 1 0
2[1 cos ( )] cos( ) 1 0
2 2cos ( ) cos( ) 1 0
1 2cos ( ) cos( ) 0
2cos ( ) cos( ) 1 0
2cos( ) 1 1cos( )
1cos( ) 1 2cos( )
1cos( )
[2cos( ) 1][cos( ) 1] 0
2cos( ) 1 0
cos( ) 1 0
2
sen x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x
cos( ) 1 0
1cos( )
2
5, ,
3 3
x
x
cos( ) 1 0
cos( ) 1
x
x
Cos(x)
1cos(60 )
2
60180 3
360 60 300
5300
180 3
-
2
2
2
2
18)cos(2 ) 4cos 3 0
2cos ( ) 1 4cos( ) 3 0
2cos ( ) 4cos( ) 2 0
2[cos ( ) 2cos( ) 1] 0
cos ( ) 2cos( ) 1 0
cos( ) 1 cos( )
cos( ) 1 cos( )
2cos( )
[cos( ) 1][cos( ) 1] 0
cos( ) 1 0
cos( ) 1
0, 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x
2
2 2 2
2 2 2
2
2
19)cos(2 ) cos ( )
cos ( ) ( ) cos ( )
cos ( ) cos ( ) ( )
0 ( )
( ) 0
( ) 0
0, , 2
x x
x sen x x
x x sen x
sen x
sen x
sen x
-
20)cot 2 36
13
tan 2 30
13
tan(2 ) tan(30 )
1 tan(2 ) tan(30 )
1 tan(2 ) tan(30 )3 0
tan(2 ) tan(30 )
1 tan(2 ) tan(30 ) 3 [tan(2 ) tan(30 )]0
tan(2 ) tan(30 )
1 tan(2 ) tan(30 ) 3 [tan(2 ) tan(30 )]
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
2
0[tan(2 ) tan(30 )]
3 31 tan(2 ) 3 tan(2 ) 3 0
3 3
3 tan(2 ) ( 3 )1 3 tan(2 ) 0
3 3
3 tan(2 ) 31 3 tan(2 ) 0
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