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PROYECTO DE FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES. MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE: ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web.

CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM

: CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTEAUTOR ACADÉMICO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

DEDICADO A: mi familia: Ivonne Ximena; Carlos Leonel; Giselle Montserrat y Juan Pablo.

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PRÓLOGO

Este texto, representa en impreso lo que está en la página web de laUNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA; específicamente en ladirección http://www.utem.cl/matematicas/csepulveda . El propósito es presentar una propuesta metodológica deautoaprendizaje de la asignatura de ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) del PlanComún de Ingeniería de nuestra Universidad. Además, se trata deuniformar la metodología de enseñanza para las distintas secciones dedicho Plan. En el contenido, se presenta lo más fielmente posible lostemas, guías de estudio, talleres de estudio, pruebas de autoevaluación,controles, pruebas de ensayo, pruebas parciales, pruebas recuperativas yexámenes; que se han hecho en los últimos años en esta institución; de talforma que sirva de una guía para el estudiante principalmente; comotambién secundariamente para el académico que dicta la asignatura.

El modo de uso del curso en la página web como guía deautoaprendizaje; sigue el siguiente modelo para cada SEMANA:

INTERNALIZAR EL (O LOS) OBJETIVO(S) OPERACIONAL(ES) DE CADA TEMA

ÆESTUDIAR EL TEMARIO Y REHACER LOS EJERCICIOS DESARROLLADOS

CORRESPONDIENTES A CADA CONCEPTO.

ÆDESARROLLAR LOS EJERCICIOS DE LA GUÍA Y TALLER DE ESTUDIO.

ÆCOMO EVALUACIÓN FORMATIVA DESARROLLAR LA PRUEBA DE

AUTOEVALUACIÓN CORRESPONDIENTE.

ÆCOMPARAR LAS RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN CONLA PAUTA PROPUESTA.

ÆCOMO EVALUACIÓN FORMATIVA DESARROLLAR LOS CONTROLES CON

PAUTA Y AUTOEVALUARSE SEGÚN LA PUNTUACIÓN ASIGNADA.

ÆCOMO EVALUACIÓN DEL CURSO DESARROLLAR CONTROL PROPUESTO PARA SER EVALUADO POR EL PROFESOR DEL CURSO.

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En cuanto a los periodos de SEMANAS DE PRUEBAS O EXÁMENESel modo de uso para cada PERIODO SE RESUME EN EL SIGUIENTEMODELO:

DESARROLLAR LOS EJERCICIOS DE LA PRUEBA DE ENSAYO.

ÆCOMO EVALUACIÓN FORMATIVA DESARROLLAR LAS PRUEBAS PARCIALES

O EXÁMENES CON PAUTA.

ÆCOMPARAR LAS RESPUESTAS DE LA PRUEBA PARCIAL O EXAMEN CON LAPAUTA PROPUESTA.

El estudiante deberá rendir DOS PRUEBAS PARCIALES para evaluarlo aprendido mediante este método.

El estudiante puede reforzar el autoaprendizaje, asistiendo al cursodictado en forma tradicional y aprovechando las horas de atención dealumnos dispuestas por el académico que dicta la asignatura. Laasignatura será dictada según la organización dispuesta en el texto.

El procedimiento de evaluación es según lo indicado en elreglamento de los estudiantes de la UTEM, o lo que el académico dispongapara este efecto.

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AGRADECIMIENTOS

En primer lugar; vaya mi reconocimiento para la Institución por darleimportancia a este tipo de actividad académica; pues el presente proyectose realizó durante el año 2007 aprovechando la experiencia de lo realizadoen esta asignatura, durante los años anteriores por los académicos que lahan dictado bajo la coordinación del autor.

En segundo lugar, agradezco a los estudiantes por su buenadisposición para señalar los errores que tenía el libro original o primeraversión que dió orígen a este proyecto; como también a mis colegas queaportaron en una mejor redacción de los contenidos y/o ejercicios.

En tercer lugar, agradezco muy especialmente al estudiante SEÑORPABLO ESPARZA SOLANO; quién por encargo de la Directora delDepartamento de Matemática SEÑORA LIDIA ORTEGA SILVA; SIEMPRETUVO LA BUENA DISPOSICIÓN para ir colocando semana a semana lostemas en la PÁGINA WEB DE LA UNIVERSIDAD durante el segundosemestre de 2007; por lo cual el proyecto ya tuvo un primer piloto en dichoperiodo.

En cuarto lugar, agradezco a todos los estudiantes del curso deÁlgebra Lineal del Plan Común de Ingeniería o de otras facultades, queaccedieron al curso por la web y que les haya aportado para suaprendizaje.

Finalmente, mi agradecimiento para el SEÑOR CARLOS ALARCÓNREYES, quién tuvo en el segundo semestre de 2007 la coordinación delcurso de Álgebra Lineal (MAT-605), y siempre tuvo la buena disposiciónpara promocionar el proyecto a los estudiantes como una ayuda más parasu aprendizaje, como también mi reconocimiento para los académicos quetrabajaron bajo dicha coordinación y tuvieron la misma actitud.

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I N D I C E CONTENIDOS PÁGINASSEMANA Nº O1 1 - 53

UNIDAD I: MATRICES

ñ SEMANA N°1: CONTENIDOS Y EJEMPLOS :(04 HORAS DE CÁTEDRA) TEMA 1: Definición de matriz 1 TEMA 2: Vectores y matrices 4 TEMA 3: Operaciones con matrices 8 TEMA 4: Producto vectorial y multiplicación de matrices 11 TEMA 5: Transpuesta de una matriz 21 TEMA 6: Tipos de matrices 25 TEMA 7: Operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de una matriz 29ñ SEMANA Nº1: EJERCICIOS PROPUESTOS :(02 HORAS DE EJERCICIOS) Guía de estudio N°1 37 Taller N°1 40

ñ SEMANA Nº1: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª1 43

ñ SEMANA Nº1: CONTROLES CON PAUTA 45

ñ SEMANA Nº1: CONTROLES PROPUESTOS 51

SEMANA Nº O2 54 - 92

ñ SEMANA N°2: CONTENIDOS Y EJEMPLOS :(04 HORAS DE CÁTEDRA) TEMA 8: Matriz inversa 54 TEMA 9: Matrices elementales y matrices inversas 59

UNIDAD II: DETERMINANTES

TEMA 1: Definiciones 63 TEMA 2: Propiedades de los determinantes 69

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ñ SEMANA Nº2: EJERCICIOS PROPUESTOS :(02 HORAS DE EJERCICIOS) Guía de estudio N°2 75 Taller N°2 79





ñ SEMANA N°3: CONTENIDOS Y EJEMPLOS :(04 HORAS DE CÁTEDRA) TEMA 3: Determinantes, matriz adjunta e inversas de matrices 93

UNIDAD III: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 1: Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 98 TEMA 2: ecuaciones lineales con incógnitas 1007 8

ñ SEMANA Nº3: EJERCICIOS PROPUESTOS :(02 HORAS DE EJERCICIOS) Guía de estudio N°3 111 Taller N°3 114





ñ SEMANA N°4: CONTENIDOS Y EJEMPLOS :(04 HORAS DE CÁTEDRA) TEMA 3: Regla de Cramer 131

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UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES

TEMA 1: Definición de espacio vectorial 136 TEMA 2: Subespacios vectoriales 160ñ SEMANA Nº4: EJERCICIOS PROPUESTOS :(02 HORAS DE EJERCICIOS) Guía de estudio N°4 164 Taller N°4 168





ñ SEMANA N°5: SEMANA DE PRUEBASñ SEMANA Nº5: CONTROL Nª1 CON PAUTA 190


ñ SEMANA N°6: CONTENIDOS Y EJEMPLOS :(04 HORAS DE CÁTEDRA) TEMA 3: Combnación lineal y espacio generado 194 TEMA 4: Independencia lineal 200 TEMA 5: Base y dimensión 205ñ SEMANA Nº6: EJERCICIOS PROPUESTOS :(02 HORAS DE EJERCICIOS) Guía de estudio N°5 211 Taller N°5 216




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ñ SEMANA N°7: CONTENIDOS Y EJEMPLOS :(04 HORAS DE CÁTEDRA) TEMA 6: Cambio de base 235

UNIDAD V: TRANSFORMACIONES LINEALES

TEMA 1: Definición y propiedades de transformación lineal 242 TEMA 2: Nucleo e imagen de una transformación lineal 250ñ SEMANA Nº7: EJERCICIOS PROPUESTOS :(02 HORAS DE EJERCICIOS) Guía de estudio N°6 257 Taller N°6 261ñ SEMANA Nº7: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nº6 y

PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nº7 264

ñ SEMANA Nº7: PRUEBA PARCIAL Nº1 CON PAUTA 272


ñ SEMANA N°8: CONTENIDOS Y EJEMPLOS :(04 HORAS DE CÁTEDRA) TEMA 3: Representación matricial de una transformación lineal. 289 TEMA 4: Isomorfismos 298ñ SEMANA Nº8: EJERCICIOS PROPUESTOS :(02 HORAS DE EJERCICIOS) Guía de estudio N°7 311 Taller N°7 315ñ SEMANA Nº8: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª8 319



ñ SEMANA Nº8: PRUEBA ENSAYO N°1 CON PAUTA 331

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UNIDAD VI: VALORES Y VECTORES PROPIOS, DIAGONALIZACIÓN Y FORMAS CUDRÁTICAS

ñ SEMANA N°9: CONTENIDOS Y EJEMPLOS :(04 HORAS DE CÁTEDRA) TEMA 1: Definiciones de valor y vector propio 344 TEMA 2: Propiedades de los valores propios 359ñ SEMANA Nº9: EJERCICIOS PROPUESTOS :(02 HORAS DE EJERCICIOS) Guía de estudio N°8 361 Taller N°8 363




SEMANA Nº 10 380 - 423

ñ SEMANA N°10: CONTENIDOS Y EJEMPLOS :(04 HORAS DE CÁTEDRA) TEMA 3: Espacio propio 380 TEMA 4: Matrices semejantes 386 TEMA 5: Diagonalización 389ñ SEMANA Nº10: EJERCICIOS PROPUESTOS :(02 HORAS DE EJERCICIOS) Guía de estudio N°9 395 Taller N°9 398




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SEMANA Nº 11 424 - 443

ñ SEMANA N°11: PRUEBA ENSAYO N°2

ñ SEMANA Nº11: PRUEBA ENSAYO N°2 CON PAUTA 424

SEMANA Nº 12 444 - 467

ñ SEMANA N°12: PRUEBA PARCIAL Nº2

ñ SEMANA Nº12: PRUEBA PARCIAL Nº2 CON PAUTA 444

SEMANA Nº 13 468 - 491

ñ SEMANA N°13: PRUEBA RECUPERATIVA

ñ SEMANA Nº13: PRUEBA RECUPERATIVA CON PAUTA 468

SEMANA Nº 14 492 - 512

ñ SEMANA N°14: EXAMEN Nº1

ñ SEMANA Nº14: EXAMEN Nº1 CON PAUTA 492

SEMANA Nº 15 513 - 534

ñ SEMANA N°15: EXAMEN Nº2

ñ SEMANA Nº15: EXAMEN Nº2 CON PAUTA 513

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BIBLIOGRAFÍA

ALARCÓN REYES, Carlos "Ejercicios Resueltos ÁLGEBRA LINEAL". Universidad Tecnológica Metropolitana. 1ª Edición. Santiago-Chile. Julio 2007.

DE BURGOS, Juan. "Álgebra lineal y geometría analítica" . Editorial Mc. Graw-Hill Madrid 2000.GROSSMAN, Stanley I.. "Álgebra lineal" . Editorial Mc. Graw-Hill: México. 1996.

LIPSCHUTZ, Seymour. "Álgebra lineal" . Editorial Mc. Graw-Hill: México. 1970.

NAKOS-JOYNER "Álgebra lineal con aplicaciones" . Editorial Thomson. 1999.

SEPÚLVEDA BUSTAMANTE, Carlos "Álgebra Lineal" Universidad Tecnológica Metropolitana. 1ª Edición. Santiago-Chile. Enero 2007.

ZEGARRA, Luis A. "Álgebra lineal" . Editorial Mc. Graw-Hill: Santiago. 2001.

CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:

CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

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FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

SEMANA N° 01: (04 HORAS CÁTEDRA)

UNIDAD I : MATRICES

TEMA 1: DEFINICIÓN DE MATRIZ

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir una matriz de orden indicado, a partir de una condición para el término genérico + Þ34

(1.1) :DEFINICIÓN

Sean (o ); + − 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7 à 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 83 4

‘ ‚

Se llama MATRIZ a un arreglo algebraico rectangular de númerosreales (o complejos); en la forma siguiente:

E œ

+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ +


ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ+ + ÞÞÞ ÞÞÞ +

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ +

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"" "# "4 "8

#" ## #4 #8

3" 3# 38

7" 7# 74 7

+34

8

œ Ð+ Ñ34

(1.2) :OBSERVACIÓN

a) Los números denotados horizontalmente conforman lo quellamamos FILA de la matriz; y los números denotados verticalmenteconforman lo que llamamos COLUMNA de la matriz.

b) De acuerdo al número de FILAS y el número de COLUMNAS sedefine el orden de la matriz; así la definida en (1.1) se dice que es de orden" "; lo que denotamos por 7 :9< 8 7 B 8 Þ

c) denota el conjunto de todas las matrices de orden ` ‘7 B8

Ð Ñ 7 B 8con números tomados del conjunto de los números reales. Análogamente;`

7 B8Ð Ñ 7 B 8‚ denota el conjunto de todas las matrices de orden con

números tomados del conjunto de los números complejos.



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(1.3) : EJEMPLOS Determine la matriz E œ Ð+ Ñ Ð3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 7 à34

4 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ del orden indicado tal que:

(1.3.1) + œ Ð3 #4Ñx $B$34$34Š ‹ ;

SOLUCIÓN:1º) La matriz tiene 9 términos (3 FILAS y 3 COLUMNAS), dados por:

+ œ Ð" #Ð"ÑÑx œ ' $ œ $""$Ð"Ñ

"Š ‹+ œ Ð" #Ð#ÑÑx œ "#! $ œ ""("#

$Ð"Ñ#Š ‹

+ œ Ð" #Ð$ÑÑx œ &!%! " œ &!$*"$$Ð"Ñ

$Š ‹+ œ Ð# #Ð"ÑÑx œ #% ' œ ")#"

$Ð#Ñ"Š ‹

+ œ Ð# #Ð#ÑÑx œ (#! "& œ (!&##$Ð#Ñ

#Š ‹+ œ Ð# #Ð$ÑÑx œ %!$#! #! œ %!$!!#$

$Ð#Ñ$Š ‹

+ œ Ð$ #Ð"ÑÑx œ "#! * œ """$"$Ð$Ñ

"Š ‹+ œ Ð$ #Ð#ÑÑx œ &!%! $' œ &!!%$#

$Ð$Ñ#Š ‹

+ œ Ð$ #Ð$ÑÑx œ $'#))! )% œ $'#(*'$$$Ð$Ñ

$Š ‹

2º) La matriz pedida es: Î ÑÏ Ò

$ ""( &!$*") (!& %!$!!""" &!!% $'#(*'

Þ

(1.3.2) + œ Ð/ 691 4Ñ #B$343#

$;

SOLUCIÓN:1º) La matriz tiene 6 términos (2 FILAS y 3 COLUMNAS), dados por: + œ Ð/ 691 "Ñ œ / ! ¸ !Þ$')""

"# "$

+ œ Ð/ 691 #Ñ œ / ¸ !Þ***"#"# " 691 #

691 $$

+ œ Ð/ 691 $Ñ œ / " ¸ "Þ$')"$"# "

$

+ œ Ð/ 691 "Ñ œ " ! œ "#"##

$

+ œ Ð/ 691 #Ñ œ " ¸ "Þ'$"#### 68 #

68 $$

+ œ Ð/ 691 $Ñ œ " " œ ##$##

$

2º) La matriz pedida es: Œ !Þ$') !Þ*** "Þ$')" "Þ'$" #


CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE PÁG. 3



(1.3.3) + œ -9=/-Ð3 #4Ñ -9>+8 =/- Ð3 4Ñ $B"343

4"

# ;SOLUCIÓN:1º) La matriz tiene 3 términos (3 FILAS y 1 COLUMNA), dados por: (USE SU CALCULADORA EN MODO RADIÁN)+ œ -9=/-Ð" #Ð"ÑÑ -9>+8 =/- Ð" "Ñ""

""" #

œ ¸" " "=/8$ >+8!Þ& -9=# ""Þ$#

+ œ -9=/-Ð# #Ð"ÑÑ -9>+8 =/- Ð# "Ñ#"#

"" #

œ ¸" " "=/8% >+8" -9=& %Þ#!

+ œ -9=/-Ð$ #Ð"ÑÑ -9>+8 =/- Ð$ "Ñ$"$

"" #

œ ¸" " "=/8& >+8"Þ& -9="! !Þ##

2º) La matriz pedida es: Î ÑÏ Ò

""Þ$# %Þ#!!Þ##



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TEMA 2: VECTORES Y MATRICES

OBJETIVO OPERACIONAL: Verificar si se cumple o no se cumple la condición para que dos matrices sean iguales.

(2.1) :DEFINICIÓN Llamaremos VECTOR FILA DE COMPONENTES a una 8 8 ?:6+ordenada de números reales o complejos que denotaremos por: 8ÐB ß B ß B ß ÞÞÞß B ß ÞÞÞß B Ñ

" # $ 3 8; el que descrito matricialmente

a bB B B ÞÞÞ B ÞÞÞ B −" # $ 3 8 ` ‘"B8

Ð Ñ ó ‚

(2.2) :DEFINICIÓN Análogamente; se define el VECTOR COLUMNA DE 7COMPONENTES, el que descrito matricialmente:

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

BBBÞÞÞB

ÞÞÞB

−

"

#

$

4

7

` ‘7 B"

Ð Ñ ó ‚

(2.3) :DEFINICIÓN En (2.1); se llama la ésima componente del vector; y en (2.2)B 3

3

B 4 4 se llama la ésima componente del vector.

(2.4) : OBSERVACIÓN Un cambio en el orden de las componentes, genera un vectordiferente al original; por esto es importante hablar de 8 ?:6+ORDENADA.

(2.5) :DEFINICIÓN Se llama VECTOR o MATRIZ CERO o NULA; a aquel cuyascomponentes son todas cero.



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(2.6) : NOTACIÓN

a) ‘ ‘8 œ ÐB ß B ß B ß ÞÞÞß B ß ÞÞÞß B ÑÎB −˜ ™" # $ 4 8 4

EJEMPLOS:

a.1) 8 œ " Ê ‘ ; es decir el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.

a.2) ; es decir el CONJUNTO DE8 œ # Ê œ ÐB ß B ÑÎB ß B −‘ ‘# ˜ ™" # " #

TODOS LOS PARES ORDENADOS (PLANO CARTESIANO).

a.3) ; es decir el CONJUNTO8 œ $ Ê œ ÐB ß B ß B ÑÎB ß B ß B −‘ ‘$ ˜ ™" # $ " # $

DE TODAS LAS TERNAS ORDENADAS (ESPACIO).

b) ‚ ‚8 œ ÐD ß D ß D ß ÞÞÞß D ß ÞÞÞß D ÑÎD −˜ ™" # $ 4 8 4

EJEMPLOS:

b.1) 8 œ " Ê ‚ ; es decir el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

b.2) ; es decir el CONJUNTO DE8 œ # Ê œ ÐD ß D ÑÎD ß D −‚ ‚# ˜ ™" # " #

TODOS LOS PARES ORDENADOScon componentes complejas.

b.3) ; es decir el CONJUNTO DE8 œ $ Ê œ ÐD ß D ß D ÑÎD ß D ß D −‚ ‚$ ˜ ™" # $ " # $

TODAS LAS TERNAS ORDENADAS con componentes complejas.

c) denota la fila èsima de la matriz ; y corresponde aJ À 3 E3

Ð −+ + + Þ Þ Þ + Þ Þ Þ + Ñ3 " 3 # 3 $ 3 4 38

` ‘"B8

Ð Ñ ó ‚

EJEMPLOS:

c.1) 3 œ " Ê J À Ð" + + + Þ Þ Þ + Þ Þ Þ + Ñ"" "# "$ " 4 "8

c.2) 3 œ # Ê J À Ð# + + + Þ Þ Þ + Þ Þ Þ + Ñ#" ## #$ # 4 #8

c.3) 3 œ & Ê J À Ð& + + + Þ Þ Þ + Þ Þ Þ + Ñ&" &# &$ & 4 &8



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d) denota la columna èsima de la matriz ; y corresponde aG À 4 E4


+

+

+

+

+

" 4

# 4

$ 4

3 4

7 4

Þ Þ Þ

Þ Þ Þ

− ` ‘7 B"

Ð Ñ ó ‚

EJEMPLOS:

d.1) d.2) d.3)

4 œ " Ê G" # &À 4 œ # Ê G À 4 œ & Ê G ÀÞ Þ Þ Þ Þ Þ

Þ Þ Þ Þ Þ Þ

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

+ + ++ + ++ +

+ +

+ +

"" "# "&

#" ##

$" $#

3 " 3 #

7 " 7 #

#&

$&

3 &

7 &

+

+

+

Þ Þ Þ

Þ Þ Þ

e) +34denota el elemento genérico de la matriz, localizado en la

FILA y COLUMNA de 3 4 E Þ

EJEMPLOS:

e.1) En (1.3.1) + œ Ð3 #4Ñx 34$34Š ‹

e.2) En (1.3.2) + œ Ð/ 691 4Ñ343#

$

e.3) En (1.3.3) + œ -9=/-Ð3 #4Ñ -9>+8 =/- Ð3 4Ñ343

4"

#

(2.7) :DEFINICIÓN Sean , ó E œ Ð+ Ñ F œ Ð, Ñ − Ð Ñ Þ

34 34 7B8` ‘ ‚

Diremos que la matriz es igual a la matriz ; cuando E F + œ ,34 34

para todo 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8



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(2.8) EJEMPLOS: Determine si las matrices dadas son iguales.

(2.8.1) con a b a bB #C #B C " # − Ð Ñ` ‘"#

SOLUCIÓN:1º) a b a bB #C #B C " #œ Í B #C œ " Ê B œ " à C œ !

#B C œ #

2º) Luego, para los valores B œ " à C œ ! las matrices son iguales.

(2.8.2) con Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

B C D "#B C $D !

B %C #− Ð Ñ` ‘

$"

SOLUCIÓN:

1º) Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

B C D "#B C $D !

B %C #œ Í B C D œ "

#B C $D œ !

B %C œ #

de la última ecuación y reemplazando en las dosB œ # %C

primeras, obtenemos el siguiente sistema: NO TIENE SOLUCIÓN. $C D œ " Ê

*C $D œ %

2º) Luego, no existen valores para queB à C à D las matrices sean iguales.

(2.8.3) con a b a b+ ,34 343ß4œ" ß # 3ß4œ" ß # − Ð Ñ` ‘#B#

donde + œ =/8 Ð3 4Ñ à , œ =/8 Ð3Ñ-9=Ð4Ñ =/8Ð4Ñ-9=Ð3Ñ34 34

SOLUCIÓN: (USE SU CALCULADORA EN MODO RADIÁN)1º) Calcule los términos de cada matriz: + œ =/8 Ð#Ñ ¸ !Þ*" à + œ =/8 Ð$Ñ ¸ !Þ"% à"" "#

+ œ =/8 Ð$Ñ ¸ !Þ"% à + œ =/8 Ð%Ñ ¸ !Þ('#" ##

Luego, la matriz a b Œ + œ!Þ*" !Þ"%!Þ"% !Þ('34 3ß4œ" ß #

, œ =/8 Ð"Ñ-9=Ð"Ñ =/8Ð"Ñ-9=Ð"Ñ ¸ !Þ*"""

, œ =/8 Ð"Ñ-9=Ð#Ñ =/8Ð#Ñ-9=Ð"Ñ ¸ !Þ"%"#

, œ =/8 Ð#Ñ-9=Ð"Ñ =/8Ð"Ñ-9=Ð#Ñ ¸ !Þ"%#"

, œ =/8 Ð#Ñ-9=Ð#Ñ =/8Ð#Ñ-9=Ð#Ñ ¸ !Þ('##

Luego, la matriz a b Œ , œ!Þ*" !Þ"%!Þ"% !Þ('34 3ß4œ" ß #

2º) Las matrices son iguales.



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TEMA 3: OPERACIONES CON MATRICES

OBJETIVO OPERACIONAL: Sumar (restar) matrices del mismo orden y Multiplicar una matriz por un escalar..

(3.1) :SUMA DE MATRICES Sean , ó E œ Ð+ Ñ F œ Ð, Ñ − Ð Ñ Þ

34 34 7B 8` ‘ ‚

Se define la SUMA DE LA MATRIZ E F con la MATRIZ ; lo quedenotaremos por , a la matriz que se obtiene de sumar lasE Frespectivas componentes de dichas matrices; es decir:

ó E F œ Ð+ Ñ Ð, Ñ œ Ð+ , Ñ − Ð Ñ3 4 3 4 3 4 3 4 7B 8 ` ‘ ‚

œ

+ , + , ÞÞÞ + , ÞÞÞ + ,

+ , + , ÞÞÞ + , ÞÞÞ + ,

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ+ , + , ÞÞÞ

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

"" "" "# "# "4 "4 "8 "8

#" #" ## ## #4 #4 #8 #8

3" 3" 3# 3#+ ,

34 34ÞÞÞ + ,

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ+ , + , ÞÞÞ + , ÞÞÞ + ,

38 38

7" 7" 7# 7# 74 74 78 78

(3.2) TEOREMA: (` ‘

7B8Ð Ñ ó ; ‚ Ñ tiene estructura de Grupo Abeliano; es decir:

Si E œ Ð+ Ñ F œ Ð, Ñ G œ Ð- Ñ − Ð Ñ34 34 34 7B8, , ó ` ‘ ‚ Þ

a) " " es cerrada (PROPIEDAD DE CLAUSURA): ó . E F − Ð Ñ` ‘7B8

‚

b) " " es asociativa (PROPIEDAD ASOCIATIVA). .E ÐF GÑ œ ÐE FÑ G

c) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE NEUTRO ADITIVO. ! ó tal que b S œ Ð! Ñ − Ð Ñ E S œ S E œ EÞ

34 7B8` ‘ ‚

d) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE INVERSO ADITIVOb E œ Ð + Ñ − Ð Ñ E Ð EÑ œ Ð EÑ E œ ! Þ! ó tal que

34 7B8 7B8` ‘ ‚

e) " " es conmutativa (PROPIEDAD CONMUTATIVA): . E F œ F E



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(3.3) :OBSERVACIÓN Notar que la DIFERENCIA O RESTA DE MATRICES està definida por: E F œ E Ð FÑ œ Ð+ Ñ Ð , Ñ œ Ð+ , Ñ

34 34 34 34

y tanto la SUMA como RESTA se pueden realizar solamente para matricesdel mismo orden.

(3.4) MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Sean ó y ó llamado ESCALAR.E œ Ð+ Ñ − Ð Ñ −

34 7B8` ‘ ! ‘‚ ‚

Se define la MULTIPLICACIÓN DE LA MATRIZ E con el ESCALAR ;!lo que denotaremos por , a la matriz que se obtiene de multiplicar!Etodas las componentes de la matriz por el escalar ; es decir:!

ó ! ! ! ` ‘E œ Ð+ Ñ œ Ð + Ñ − Ð Ñ3 4 3 4 7B8 ‚

!

! ! ! !

! ! ! !

! ! !E œ




ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ


"" "# "4 "8

#" ## #4 #8

3" 3# 38! +

34

ÞÞÞ ÞÞÞ+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ +! ! ! !

7" 7# 74 78

(3.5) PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: Sean , ó y , ó E œ Ð+ Ñ F œ Ð, Ñ − Ð Ñ −

3 4 3 4 7B8 ` ‘ ! " ‘‚ ‚

escalares; y denotemos la multiplicación por escalar como " " .

a) La operación " " es cerrada (PROPIEDAD DE CLAUSURA).

Si ó y ó . Entonces ó E − Ð Ñ − E − Ð Ñ` ‘ ! ‘ ! ` ‘7B8 7B8

‚ ‚ ‚

b) (DISTRIBUTIVIDAD DE ESCALAR)! ! !ÐE FÑ œ E F

c) (DISTRIBUTIVIDAD DE MATRIZ)Ð Ñ E œ + E E! " "

d) (ASOCIATIVIDADDE ESCALAR)Ð Ñ E œ Ð EÑ! " ! "

e) " E œ E



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(3.6) EJEMPLOS: (3.6.1) Dadas las matrices en ` ‘

#B$Ð ÑÞ:

E œ à F œ à G œ" & $ # ( $ ! # "! # % " % & ' # %Œ Œ Œ

Calcule: a) ÐE FÑ ÐF #G $EÑ b)SOLUCIÓN:

a) E F œ " & $ # ( $! # % " % &

Œ Œ œ œ

" # & ( $ $ $ # !! " # % % & " # *Œ Œ

b)

F #G $E œ # $# ( $ ! # " " & $

" % & ' # % ! # %Œ Œ Œ œ

# ( $ ! % # $ "& * " % & "# % ) ! ' "#Œ Œ Œ

œ œ# ! $ ( % "& $ # * " % %

" "# ! % % ' & ) "# "" ' #&Œ Œ

(3.6.2) Calcule 3 $3 " $3 " 3 # 3 $#3 #3 ! ! $3 3

%3 & (3 %3 &3 3

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

SOLUCIÓN:

œ " 3 $ $ $3 ' $3 * # # ! ! *3 $3% &3 ( "#3 "&3 $3


œÎ ÑÏ Ò

" $ $3 3 ' $3 $ * # ! # *3 ! $3% "#3 &3 "&3 ( $3

œÎ ÑÏ Ò

# $3 ' #3 "# # # *3 $3

% "#3 #!3 ( $3

(3.6.3) Calcule Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

" " $ " 3 # 3# 3 ! ! $33 & 3 3 &3

$

SOLUCIÓN: NO ESTÁ DEFINIDA; ya que son de distinto orden. En efecto:


" " $ " 3 # 3# 3 ! ! $33 & 3 3 &3

$− Ð Ñ − Ð Ñ` `$B$ $B#

‚ ‚ y



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TEMA 4: PRODUCTO VECTORIAL Y MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

OBJETIVO OPERACIONAL: Multiplicar los términos de una fila de una matrizcon los términos de una columna de otra matriz, mediante el producto punto.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar cuando la multiplicación de matrices se puede realizar y el orden de la matriz resultante.

OBJETIVO OPERACIONAL: Multiplicar matrices.

(4.1) :DEFINICIÓN Sean B œ Ð −+ + Þ Þ Þ + Þ Þ Þ + Ñ

3 " 3 # 3 4 38` ‘

"B8Ð Ñ

vectores en (C œ


,

,

,

Þ Þ Þ,

Þ Þ Þ,

− Ñ

" 4

# 4

$ 4

3 4

8 4

` ‘8 B"

Ð Ñ ‘8 ó ‚8

Se define el PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO PUNTO oßPRODUCTO INTERNO de e ; lo que denotaremos por ; alB C B ì Csiguiente escalar o número real o complejo que se obtiene por:

B ì C œ Ð

,

,

,

Þ Þ Þ,

Þ Þ Þ,

+ + + Þ Þ Þ + Þ Þ Þ + Ñ3 " 3 # 3 $ 3 5 3 8

" 4

# 4

$ 4

5 4

8 4


œ + + + Þ Þ Þ + Þ Þ Þ +3 " " 4 3 # # 4 3 $ $ 4 3 5 5 4 3 8 8 4, , , , ,

œ!5œ"

8

Ð Ñ+3 5 5 4, − ‘ (ó ‚).



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(4.2) OBSERVACIÓN:a) Notar que el producto escalar es un número o constante.b) Matricialmente, el producto escalar lo podemos tomar como elproducto de un vector fila de la forma

)ÐB B B ÞÞÞ B ÞÞÞ B" # $ 4 8

y un vector columna de la forma lo que está dada por:


CCCÞÞÞC

ÞÞÞC

"

#

$

4

8

ÐB B B ÞÞÞ B ÞÞÞ B ì œ ÐB C Ñ

CCCÞÞÞC

ÞÞÞC

" # $ 4 8 4 4

"

#

$

4

8

)


!4œ"

8

c) El símbolo de producto escalar ; usualmente no lo destacaremosìexplícitamente, pero se entenderá lo que se debe realizaroperacionalmente.

(4.3) : TEOREMA Si , B œ ÐB ß B ß ÞÞÞß B ß ÞÞÞß B Ñ C œ ÐC ß C ß ÞÞÞß C ß ÞÞÞß C Ñß

" # 4 8 " # 4 8

D œ ÐD ß D ß ÞÞÞß D ß ÞÞÞß D Ñ" # 4 8

− −‘ ! ‘8 y escalar. Entonces:

a) B ì ! œ !

b) B ì ì BC œ C

c) ( B ì B ì B ìC DÑ œ Ð C Ñ Ð D Ñ

d) (! !B ì ÐB ì) C œ CÑ



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(4.4) EJEMPLOS: Dadas las matrices:

E œ à F œ à G œ" & $ # ( $ ! # "! # % " % & ' # %Œ Œ Œ

H œ 3 à I œ $3 " $3 " 3 # 3 $#3 #3 ! ! $3 3

%3 & (3 %3 &3 3


J œ K œ" " $ " 3 # 3# 3 ! ! $33 & 3 3 &3


(4.4.1) J ÐEÑ" ì G ÐIÑ# SOLUCIÓN:

œ ì" & $ *3 ' $3

"&3a b Î Ñ

Ï Ò œ Ð"ÑÐ ' $3Ñ Ð &ÑÐ*3Ñ Ð$ÑÐ "&3Ñ œ ' )(3

(4.4.2) J ÐKÑ# ì G ÐFÑ$ SOLUCIÓN:

œ ì œ Ð!ÑÐ $Ñ Ð$3ÑÐ &Ñ œ "&3! $3 $

&a b Î Ñ

Ï Ò

(4.4.3) J ÐHÑ$ ì G ÐGÑ# SOLUCIÓN:

œ ì% &3 ( #

#a b Î Ñ

Ï Ò ? NO ESTÁ DEFINIDO!!œ Ð%ÑÐ #Ñ Ð &3ÑÐ#Ñ Ð (ÑÐ Ñ œ

(4.4.4) J ÐJÑ" ì G ÐKÑ# SOLUCIÓN:

œ ì" " $ $3# 3

&3a b Î Ñ

Ï Ò œ Ð"ÑÐ# 3Ñ Ð "ÑÐ$3Ñ Ð$ÑÐ&3Ñ œ # ""3



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(4.5) PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Sean E œ Ð+ Ñ − Ð Ñ F œ Ð, Ñ − Ð Ñ

3 5 7B: 5 4 :B8` ‘ ` ‘ó ó ‚ ‚,

con 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7 à 5 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß : à 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Þ Esto significa que el número de columnas de la matriz debeEcoincidir con el número de filas de la matriz .F Se define el PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN de la matriz con laEmatriz , lo que denotamos por ; a una matrizF EF G œ Ð- Ñ − Ð Ñ

3 4 7B8` ‘ó ‚

tal que el elemento genérico de esta última se obtiene por:

con - œ + , 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Þ3 4 3 5 5 4

!5œ"

:

(4.6) :OBSERVACIÓNa) Notar que el elemento genérico del producto matricial -

3 4

corresponde al producto punto entre el vector fila que3 /=379ßdenotamos por de la matriz ; con el vector columna queJ E 4 /=379ß

3

denotamos por de la matriz .G F4

En efecto: la fila de la matriz corresponde a:3 /=37+ß E

J œ3

Ð+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ + Ñ3 " 3 # 3 5 3 :

y la columna de la matriz es: 4 /=37+ß F G œ

,

,

ÞÞÞ,

ÞÞÞ,

4

" 4

# 4

5 4

: 4


Por lo tanto; el producto escalar, está dado por:

J G œ

,

,

ÞÞÞ,

ÞÞÞ,

3 4

" 4

# 4

5 4

: 4

ñ Ð+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ + Ññ3 " 3 # 3 5 3 :


œ , , , , œ , œ -+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ + +3 " 3 # 3 5 3 : 3 5" 4 # 4 5 4 : 4 5 4 3 4

!5œ"

:

b) Notar que el orden de la matriz producto resultante; corresponde alnúmero de filas de la matriz por el número de columnas de la matriz E F



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c) : EJERCICIO Determine que propiedades de GRUPO ABELIANO verifica elproducto de matrices.

d) : EJERCICIO Demuestre que el producto de matrices es distributivo respecto de lasuma de matrices.

(4.7) EJEMPLOS: Dadas las matrices:

E œ à F œ 3 à# ( $

" % &

3 " $3#3 #3 !

%3 & (3Œ Î Ñ

Ï Ò

G œ H œ" " $ " ## 3 ! ! $3 & 3 " &


(4.7.1) EF

SOLUCIÓN:

1º) Como E − Ð Ñ F − Ð Ñ` ‘ `#B$ $B$

y ; el producto se puede realizar,‚

ya que el número de columnas de la matriz que está premultiplicando Ecoincide con el número de filas de la matriz que está postmultiplicando . F

El orden de la matriz resultante es #B$Ð # E $donde el corresponde al número de filas de y el correspondeal número de columnas de FÑ

2º) EF œ Œ Î ÑÏ Ò

# ( $ " % &

33 " $3#3 #3 !

%3 & (3

œ Œ #Ð "Ñ (Ð #Ñ $Ð%Ñ #Ð 3Ñ (Ð#Ñ $Ð &3Ñ #Ð $Ñ (Ð!Ñ $Ð (ÑÐ "ÑÐ "Ñ %Ð #Ñ &Ð%Ñ Ð "ÑÐ 3Ñ %Ð#Ñ &Ð &3Ñ Ð "ÑÐ $Ñ %Ð!Ñ &Ð (Ñ

EF œ Œ #) "% "$3 "& #( ) #'3 $)



PÁG. 16



(4.7.2) H E SOLUCIÓN:1º) Como H E− Ð Ñ − Ð Ñ` ‘ ` ‘

$B# #B$y ; el producto se puede realizar,

ya que el número de columnas de la matriz que está premultiplicando Hcoincide con el número de filas de la matriz que está postmultiplicando . E El orden de la matriz resultante es $B$Ð $ H $donde el primer corresponde al número de filas de y el otro corresponde al número de columnas de EÑ

2º) H E œÎ ÑÏ ÒŒ " #

! $" &

# ( $ " % &

œÐ "Ñ# #Ð "Ñ Ð "Ñ( Ð#Ñ% Ð "ÑÐ $Ñ #Ð &Ñ!Ð#Ñ $Ð "Ñ !Ð(Ñ Ð$Ñ% !Ð $Ñ $Ð &ÑÐ"Ñ# &Ð "Ñ Ð"Ñ( &Ð%Ñ Ð"ÑÐ $Ñ &Ð &Ñ

Î ÑÏ Ò

H E œ Î ÑÏ Ò

% " ( $ "# "& $ #( #)

(4.7.3) H G SOLUCIÓN: Como H G G− Ð Ñ − Ð Ñ` ‘ ` ‘

$B# $B$ y ; el producto H

NO ESTÁ DEFINIDO!!,es decir NO se puede realizar, ya que el número de columnas de la matrizque está premultiplicando es distinto al número de filas de la matriz queHestá postmultiplicando .E

(4.8) EJEMPLOS: (4.8.1) Dadas las matrices

E œ à F œ à" & $ # ( $! # % " % &Œ Œ

G œ à H œ! # "

' # %

$ "# #! *

Œ Î ÑÏ Ò

Calcule el resultado de .H ÐF #G $EÑSOLUCIÓN:

œ œ$ " % ' $(# # $# #! %#! * ** &% ##&

& % %"" ' #&

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒŒ



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(4.8.2) Calcule Î ÑÎ ÑÏ ÒÏ Ò

3 " $3 " 3 # 3#3 #3 ! ! $3

%3 & (3 %3 &3

SOLUCIÓN:

œ3Ð " 3Ñ Ð "Ñ! $3Ð %3Ñ 3Ð# 3Ñ Ð "ÑÐ $3Ñ $3Ð&3Ñ#3Ð " 3Ñ Ð #3Ñ! !Ð %3Ñ #3Ð# 3Ñ Ð #3ÑÐ $3Ñ !Ð&3Ñ

%3Ð " 3Ñ Ð &Ñ! (3Ð %3Ñ %3Ð# 3Ñ Ð

Î ÑÏ Ò &ÑÐ $3Ñ (3Ð&3Ñ

œ œ " 3 "# " #3 $3 "& "" 3 "% &3

# #3 # %3 ' # #3 % %3% %3 #) % )3 "&3 $& $# %3 $* (3


(4.8.3) Demuestre por el principio de inducción la siguiente

proposición: T Ð8Ñ À œ à 8 −" " " 8! " ! "Œ Œ 8

DEMOSTRACIÓN:

1º) ES VERDADERO. T Ð"Ñ À œ à" " " "! " ! "Œ Œ "

ES VERDADERO. T Ð#Ñ À œ œ à" " " " " " " #! " ! " ! " ! "Œ Œ Œ Œ #

2º) HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN: Se supone que

ES VERDADERO; T Ð5Ñ À œ à a 5 # ß 5 0349Þ" " " 5! " ! "Œ Œ 5

3º) TESIS DE INDUCCIÓN:

Por demostrar que T Ð5 "Ñ À œ" " " 5 "! " ! "Œ Œ 5"

En efecto; se sabe que:

; multiplicando por Œ Œ Œ " " " 5 " "! " ! " ! "

œ5

Œ Œ Œ Œ Œ " " " " " 5 " " Ð"ÑÐ"Ñ 5Ð!Ñ Ð"ÑÐ"Ñ 5Ð"Ñ! " ! " ! " ! " Ð!ÑÐ"Ñ Ð"Ñ! Ð!ÑÐ"Ñ Ð"ÑÐ"Ñ

œ œ5

œ" 5 "! "Œ

. T Ð5 "Ñ À œ" " " 5 "! " ! "Œ Œ 5"

Por lo tanto ES VERDADERA T Ð8Ñ a 8 −



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(4.9) :DEFINICIÓN Sean vectores en un conjunto @ ß @ ß @ ß @ ß ÞÞÞß @ Z Þ

" # $ 8

Diremos que el vector es una combinación lineal de los vectores@@ ß @ ß @ ß ÞÞÞß @ ß ß ß ÞÞÞ ß −

" # $ 8 " # $ si y solo si EXISTEN ESCALARES ! ! ! ! ‘8

Ð Ñó tal que‚

@ œ @ @ @ ÞÞÞ @ œ Ð @ Ñ! ! ! ! !" " # # $ $ 8 4 48

4œ"

8!

OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir una matriz como combinación lineal deun conjunto de matrices.

(4.10) EJEMPLOS:

(4.10.1) Considere el siguiente subconjunto de `#B#Ð‘Ñ

F œ ß ß ß" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " ! ŸŒ Œ Œ Œ

a) Exprese si es posible como combinación lineal delŒ " "" "

conjunto .FSOLUCIÓN:1º) Será posible cuando existan escalares ! " # -ß ß ß − ‘ tal que

Œ Œ Œ Œ Œ " " " ! " ! " ! ! "" " " ! " ! ! " " !

œ ! " # -

2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

! " # ! " # -

-

! " -

#

œ " œ " ß œ "ß œ " ß œ "

œ "

œ "

œ "

Ê

3º) Por lo tanto, si es posible expresar Œ " "" "

como la siguiente

combinación lineal:

Ð"Ñ Ð "Ñ Ð "Ñ Ð"ÑŒ Œ Œ Œ " ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !



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b) Determine la solución (SI EXISTE) que verifique:! " # -ß ß ß

! " # -Œ Œ Œ Œ Œ " ! " ! " ! ! " ! !" ! " ! ! " " ! ! !

œ

SOLUCIÓN:

1º) ! " # -Œ Œ Œ Œ Œ " ! " ! " ! ! " ! !" ! " ! ! " " ! ! !

œ

2º) Determina el siguiente sistema de ecuaciones:

! " # ! " # -

-

! " -

#

œ ! œ œ œ œ !

œ !

œ !

œ !

Ê

3º) Por lo tanto, ! " # -œ œ œ œ !


E œ ß à à" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

˜ ™” • ” • ” • ” •Exprese si es posible como combinación lineal del conjunto .” •+ ,

- .E

SOLUCIÓN:

1º) Será posible cuando existan escalares ! " # -ß ß ß − ‘ tal que

” • ” • ” • ” • ” •+ , " " " " " " " !- . " " " ! ! ! ! !

œ ! " # -


! " # - ! " # -

! " #

! "

!

œ + œ . ß œ - .ß œ , - ß œ + ,

œ ,

œ -

œ .

Ê

3º) Por lo tanto, si es posible expresarlo : como

” • ” • ” • ” • ” •+ , " " " " " " " !- . " " " ! ! ! ! !

œ Ð.Ñ Ð- .Ñ Ð, -Ñ Ð+ ,Ñ



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(4.10.3) Dada la matriz Œ B CD >

.

Determine la condición algebraica que deben cumplir paraBß Cß Dß > − ‘

que Œ Œ Œ Œ B C " " " " " "D > " " " ! ! !

œ ! " #

SOLUCIÓN:

1º) Œ Œ Œ Œ B C " " " " " "D > " " " ! ! !

œ ! " #

determina el sistema de ecuaciones: ! " #

! " #

! "

!

œ B

œ D

œ >

œ C

Ê ! " #œ > à œ D > à œ C D

sin considerar la primera ecuación

2°) Por lo tanto, lo anterior debe verificar la primera ecuación para queel sistema tenga solución.

Luego, la condición es ; es decir: ! " # œ B

> D > C D œ B Ê B C #D #> œ !



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TEMA 5: TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

OBJETIVO OPERACIONAL: Obtener la transpuesta de una matriz y determinar su orden.

(5.1) : DEFINICIÓN Sea E − Ð Ñ` ‘ ‚

7 B 8 ó Þ

Se llama TRANSPUESTA DE , lo que denotaremos por a laE E >

matriz que se obtiene de intercambiar las respectivas filas por lasrespectivas columnas de la matriz Es decir; comoE Þ

E œ Ð+ Ñ − Ð Ñ E œ Ð+ Ñ − Ð Ñ34 7 B 8 43 8 B 7

` ‘ ‚ ` ‘ ‚ ó ó , se tiene: > Þ

(5.2) OBSERVACIÓN: Notar que si la matriz es de orden " "; su transpuesta es de7 B 8orden " " .8 B 7

(5.3) EJEMPLOS: Dadas las matrices

E œ à F œ à G œ" & $ " 3 3! # % " 3 #3

$ #3 "# #! *3

Œ Œ Î ÑÏ Ò

Calcular la transpuesta e indicar el orden de esta.

SOLUCIÓN:

(5.3.1) E E œ" !

& #$ %

− Ð Ñ Ê − Ð Ñ` ‘ ` ‘#B $ $B #

>Î ÑÏ Ò

(5.3.2) F œ" 3 " 3 3 #3

− Ð Ñ Ê F − Ð Ñ` ‚ ` ‚#B # #B #

> Œ

(5.3.3) G œ$ #3 # !

" # *3− Ð Ñ Ê G − Ð Ñ` ‚ ` ‚

$B # #B $> Œ



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(5.4) : TEOREMA Suponiendo que las operaciones matriciales están bien definidas; severifican las siguientes propiedades:

a) ÐQ Ñ œ Q> >

(5.4.1) : EJEMPLO

E œ E œ E Ñ œ" & $ " & $! # % ! # %

" ! & #$ %

Œ Œ Î ÑÏ ÒÊ Ê Ð> > >

F œ Ñ œ" 3 3 " 3 " 3 " 3 3" 3 #3 3 #3 " 3 #3

œ Ê F Ê ÐFŒ Œ Œ > > >

G œ œ Ñ œ$ #3 " $ #3 "

# # # #! *3 ! *3

$ #3 # ! " # *3

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒŒ Ê G Ê ÐG> > >

b) ÐQ RÑ œ Q R> > >

(5.4.2) : EJEMPLO

Q R œ œ" ! " 3 " 3 # 3 " 3

& # & $3 & 3 "! $3 ( 3$ % $ (3 $ ""3 ' (3 " ""3

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò

Ê ÐQ RÑ œ# 3 "! $3 ' (3" 3 ( 3 " ""3

> Œ Q R œ> > Œ Œ " & $ " 3 & $3 $ (3

! # % " 3 & 3 $ ""3

œ# 3 "! $3 ' (3" 3 ( 3 " ""3Œ

POR LO TANTO, ÐQ RÑ œ Q R> > >



PÁG. 23



c) ÐQ RÑ œ R Q> > >

(5.4.3) : EJEMPLO

ÐQRÑ œ œ" 3 3 " & $ " 3 & $3 $ (3" 3 #3 ! # % " 3 & 3 $ ""3Œ Œ Œ

Ê ÐQRÑ œ" 3 " 3

& $3 & 3$ (3 $ ""3

>Î ÑÏ Ò

R Q œ> >Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒŒ " ! " 3 " 3

& # & $3 & 3$ % $ (3 $ ""3

" 3 " 3 3 #3

œ

POR LO TANTO, ÐQ RÑ œ R Q> > >

(5.5) :EJERCICIO

OBJETIVO: Aplicar el álgebra de matrices, en el cuerpo de los Reales como en el cuerpo de los Complejos.

(5.5.1 Ñ Dadas las matrices en ` ‘#B$

Ð ÑÞ: E œ à" & $! # %Œ

F œ à G œ# ( $ ! # "

" % & ' # %Œ Œ Calcule: ÐE FÑ ÐF #G $EÑ>

SOLUCIÓN:

1º) E F œ Ê ÐE FÑ œ$ # !

" # *

$ "# #! *

Œ Î ÑÏ Ò>

2º) F #G $E œ& % %"" ' #&Œ

3º) ÐE FÑ ÐF #G $EÑ œ% ' $($# #! %#

** &% ##&

>Î ÑÏ Ò



PÁG. 24



(5.5.2) Calcule, simplifique y exprese en la forma cada uno de+ , 3los términos de la matriz resultante de multiplicar:

a) a b Î ÑÏ ÒÐ " 3Ñ # 3 Ð% 3ÑÐ$ #3Ñ

" 3 # 3! $3

%3 &3

#"B$

$B#

SOLUCIÓN:

1º) œ #3 # 3 "% &3 ! $3 " 3 # 3

%3 &3a bÎ Ñ

Ï Ò2º) œ ## &%3 #% '!3a b"B#

b) Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

3 " $3 " 3 # 3#3 #3 ! ! $3

%3 & (3 %3 &3$B$ $B#

SOLUCIÓN:

œ œ " 3 "# " #3 $3 "& "" 3 "% &3

# #3 # %3 ' # #3 % %3% %3 #) % )3 "&3 $& $# %3 $* (3


$B#



PÁG. 25



TEMA 6: TIPOS DE MATRICES

OBJETIVO OPERACIONAL: Identificar una matriz de acuerdo a alguno de los siguientes tipos: simétrica, antisimétrica, triangular inferior, triangularsuperior, diagonal, identidad.

(6.1) :DEFINICIÓN Sea E − Ð Ñ` ‘

7 B 8Þ

Se llama MATRIZ CUADRADA cuando el número de filas coincidecon el número de columnas; es decir .7 œ 8

(6.2) DEFINICIÓN: Sea M œ Ð+ Ñ

8 34− Ð Ñ 3 ß 4 œ "ß #ß ÞÞÞß 8` ‘

8 B8con matriz cuadrada.

Se dice que M8 es la MATRIZ IDENTIDAD a la que está definida por:

M œ" =3 3 œ 4

! =3 3 Á 48

ÚÛÜ

(6.2.1) : EJEMPLOS M œ M œ" !! "

" ! !! " !! ! "

# $Œ Î ÑÏ Ò

(6.3) : DEFINICIÓN Sea E − Ð Ñ` ‘

8 B8matriz cuadrada.

a) Se dice que la matriz es SIMÉTRICA si y solo si E E œ E>

(6.3.1) : EJEMPLO Las matrices .M

8

E œ Ê E œ E" # 3

# ! " 33 " 3 #

Î ÑÏ Ò >

E œ Ê E œ E

" ! " % & $! " # $ " "

" # & % # "% $ % # ! "& " # ! " !

$ " " " ! "


>



PÁG. 26



(6.3.2) : EJEMPLO Demuestre que: Si son simétricas. Entonces . Eß F − ÐEFÑ œ FE`

8 B8>

DEMOSTRACIÓN:

1°) HIPÓTESIS: y E œ E F œ F> >

2°) Se debe DEMOSTRAR que: ÐEFÑ œ FE> Þ ; por la hipótesis En efecto: ÐEFÑ> œ F E œ FE> >

3°) Por lo tanto ÐEFÑ œ FE>

b) Se dice que la matriz es ANTISIMÉTRICA si y solo si E E œ E>

(6.3.4) : EJEMPLO

E œ Ê E œ E! # 3# ! " 3

3 " 3 !

Î ÑÏ Ò >

E œ Ê E œ E

! ! " % & $! ! # $ " "" # ! % # "

% $ % ! ! " & " # ! ! !$ " " " ! !


>

(6.3.5) : EJEMPLO Demuestre que: Si Entonces es antisimétrica.E − Þ ÐE E Ñ`

8 B8

"#

>

DEMOSTRACIÓN:

1°) Se debe verificar que: " "# #

> >ÐE E Ñ œ ÐE E Ñ ‘>2°) En efecto: ÐE E Ñ E E Ñ E E ‘ ‘ ‘" " "

# # #> > > > >>

œ Ð œ

œ ÐE œ E Ñ ÐE E Ñ" "# #

> > ‘3°) Por lo tanto " "

# #> >ÐE E Ñ œ ÐE E Ñ ‘>Þ

(o es antisimétrica)"#

>ÐE E Ñ



PÁG. 27



(6.4) : DEFINICIÓN Sea E − Ð ÑÞ` ‘

8 B8

a) La matriz se dice TRIANGULAR SUPERIOR si y solo si losEelementos debajo de la diagonal son todos iguales a cero; es decir + œ !

34

para todo .3 4

(6.4.1) : EJEMPLO E œ" # 3! ! " 3! ! #

Î ÑÏ Ò

(6.4.2) : EJEMPLO E œ

" ! " % & $! " # $ " "! ! & % # "! ! ! # ! "! ! ! ! " !! ! ! ! ! "


b) La matriz se dice TRIANGULAR INFERIOR si y solo si losEelementos arriba de la diagonal son todos iguales a cero; es decir ,+ œ !

34

para todo .3 4

(6.4.3) : EJEMPLO E œ! ! !# ! !

3 " 3 !

Î ÑÏ Ò


" ! ! ! ! !! ! ! ! ! !" # # ! ! !

% $ % $ ! ! & " # ! # !$ " " " ! !


c) La matriz se dice DIAGONAL si y solo si los elementos arriba yEdebajo de la diagonal son todos iguales a cero; es decir , para todo+ œ !

34

3 Á 4 .

(6.4.5) : EJEMPLO E œ" ! !! " !! ! "

Î ÑÏ Ò


" ! ! ! ! !! ! ! ! ! !! ! # ! ! !! ! ! $ ! !! ! ! ! # !! ! ! ! ! !




PÁG. 28



(6.5) :EJERCICIO

Determine si la matriz es nilpotente.E œ! ! !# ! !& $ !

Î ÑÏ Ò

(AYUDA: : es una MATRIZ NILPOTENTE si y solo si DEFINICIÓN E PARA ALGÚN . )E œ ! 8 −8

SOLUCIÓN:

E œ œ! ! ! ! ! ! ! ! !# ! ! # ! ! ! ! !& $ ! & $ ! ' ! !

#Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò

E œ œ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! # ! ! ! ! !' ! ! & $ ! ! ! !

$Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò

Por lo tanto, es nilpotente, para E 8 œ $ Þ



PÁG. 29



TEMA 7: OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE LAS FILAS DE UNA MATRIZ

OBJETIVO OPERACIONAL: Obtener la matriz resultante de: intercambiar dos filas; multiplicar una fila por una constante sum5 Á !à ar a una fila, "veces" otra fila.

5

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la matriz escalonada reducida por filas, a partir de una matriz dada.

(7.1) :DEFINICIÓN Se llaman OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS DE UNAMATRIZ a ciertas operaciones que se aplican a las filas de la matriz. Las operaciones elementales que se consideran son tres; las cualesse detallan a continuación:

(7.2) ; lo que denotamos por ; loIntercambiar dos filas de la matriz J34

cual significa que en la matriz intercambiamos la fila por la fila 3 4 Þ

(7.2.1) : EJEMPLO E œ" # 3 ! ! " 3! ! " 3 " # 3! ! # ! ! #

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒJ Ä

"#

(7.2.2) : EJEMPLO

E œ

" ! " % & $ " ! " % & $! " # $ " " ! " # $ " "! ! & % # " ! ! ! ! " !! ! ! # ! " ! ! ! # ! "! ! ! ! " ! ! ! & % # "! ! ! ! ! " ! ! ! ! ! "

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

J Ä$&

(7.3) ; lo queMultiplicar (o dividir) una fila por un elemento 5 Á !denotamos por ; lo cual significa multiplicar la fila por 5 J 3 5 Á !

3

(o ; lo cual significa dividir la fila por )."5 J 3 5 Á !

3

(7.3.1) : EJEMPLO

E œ Ð 3Ñ" # 3 " # 3

# ! " 3 # ! " 33 " 3 # " " 3 #3

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒJ Ä

$

(7.3.2) : EJEMPLO

Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò

" ! " % & $! " # $ " "

" # & % # "% $ % # ! "& " # ! " !

$ " " " ! "

" ! " % & $! " # $ " "

" # & % # "

" " !

& " # ! " ! $

Ä $ " "% # %

" " " ! "

Ð Ñ"% J

%



PÁG. 30



(7.4) ; lo cual denotaremosSumar a una fila el múltiplo de otra fila3 5 4por ; lo cual significa sumar a la fila , un múltiplo de laJ 5J à 5 Á ! 3 5

3 4

fila .4

(7.4.1) :EJEMPLO

E œ" # 3 " # 3

# ! " 3 ! % " 33 " 3 # 3 " 3 #

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒJ #J Ä

# "

(7.4.2) : EJEMPLO


" ! " % & $! " # $ " "

" # & % # "% $ % # ! "& " # ! " !

$ " " " ! "

" ! " % & $! " # $ " "! # % ! ( %

" " !

& " # ! " ! $ "

Ä $ " "% # %

" " ! "

J J$ "

(7.5) : EJEMPLO

Dada la matriz .E œ' $ % $ !$ ! # ! !$ " # " !

Ô ×Õ Ø

Determine que matrices se obtienen:

(7.5.1) lo cual significa intercambiar la fila 2 con la fila 3,J ß#$

por lo que se obtiene:

Ô ×Õ Ø

' $ % $ !$ " # " !$ ! # ! !

(7.5.2) , lo cual significa multiplicar la fila 1 por ," "# #J

"


Ô ×Õ Ø

$ # !

$ ! # ! !$ " # " !

$ $# #

(7.5.3) , lo cual significa sumar a la fila 1, veces la fila 2,J #J #" #


Ô ×Õ Ø

! $ ! $ !$ ! # ! !$ " # " !



PÁG. 31



(7.6) :DEFINICIÓN Se llama FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ REDUCIDA PORFILAS, a aquella matriz que presenta las siguientes características:

a) El primer número distinto de cero (comenzando desde la izquierda)en cada fila es igual a 1, y este recibe el nombre de PIVOTE.

b) Las filas se ordenan de arriba hacia abajo de acuerdo al PIVOTE queesté más a la izquierda en la fila.

c) Para el PIVOTE de cada fila; hay cero por arriba y debajo de este.

d) Las filas que tienen todos sus elementos iguales a cero; se colocanal final de la matriz.

(7.6.1) : EJEMPLO

E œ" # 3 " # 3

# ! " 3 ! % " 3 " # " 3 " 3 #

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒJ #J Ä J J Ä

# " $ "


" # 3 " # 3! % " 3 ! % " 3! % " 3 ! ! !

ÐJ J Ä ÑJ Ä$ # #

"%


" # 3

! " 3

! ! !

" ! 3

! " 3

! ! !

" "% %

" "# #" "% %

J #J Ä" #

es la matriz escalonada reducida por filas que satisface las condiciones dela definición (7.6).


" ! " % & $! " # $ " "

" # & % # "% $ % # ! "& " # ! " !

$ " " " ! "


tomando como pivote el elemento haremos "cero" debajo de+ œ " à""

este, mediante las siguientes operaciones elementales: J J à J Ð %ÑJ à J Ð &ÑJ à J Ð$ÑJ Ä

$ " % " & " ' "



PÁG. 32




" ! " % & $! " # $ " "! # % ! ( %! $ ! ") #! "$! " ( #! #% "&! " % "$ "& )

tomando como pivote el elemento haremos "cero" debajo de+ œ " à##

este, mediante las siguientes operaciones elementales: J Ð #ÑJ à J Ð$ÑJ à J J à J Ð "ÑJ Ä

$ # % # & # ' #

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

" ! " % & $ " ! " % & $! " # $ " " ! " # $ " "! ! ! ' * ' ! ! ' "' "' *! ! ' #( #$ "' ! ! ' #( #$ "'! ! * #$ #& "'! ! ' "' "' *

J Ä$'

! ! * #$ #& "'! ! ! ' * '

Ð Ñ

" ! " % & $! " # $ " "

! ! "

! ! ' #( #$ "'! ! * #$ #& "'! ! ! ' * '

"'

) ) $$ $ #J Ä

$


tomando como pivote el elemento haremos "cero" arriba y+ œ " à$$

debajo de este, mediante las siguientes operaciones elementales: J J à J Ð #ÑJ à J Ð 'ÑJ à J Ð *ÑJ Ä

" $ # $ % $ & $

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

" ! ! " ! !

! " ! % ! " ! %

! ! " ! ! "

! ! ! "" ( #&

! ! ! " "

! ! ! ' * '

% ( * % ( *$ $ # $ $ #( "$ ( "$$ $ $ $

) ) $ )$ $ # $

&*#

J

Ð ÑJÄ%&

"$ '

! ! ! " "

! ! ! "" ( #&! ! ! # $ #

) $$ #

&*#

tomando como pivote el elemento haremos "cero" arriba y+ œ " à%%

debajo de este, mediante las siguientes operaciones elementales:J Ð ÑJ à J Ð ÑJ à J Ð ÑJ à J Ð""ÑJ à J Ð #ÑJ Ä

" % # % $ % & % ' %

% ( )$ $ $

J Ð ÑJ

J Ð ÑJ

J Ð ÑJ

J Ð""ÑJJ Ð #ÑJ

Ä

" %

# %

$ %

& %

' %

%$($

)$

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" ! ! !

! " ! !

! ! " !

! ! ! " "

! ! ! ! ") #&! ! ! ! & '

"" #'$$ '#! $)*$ '"' %'$$ '

'&"#

"

" ! ! ! ! !! " ! ! ! !! ! " ! ! !! ! ! " ! !! ! ! ! " !! ! ! ! ! "

lleguea Ä




PÁG. 33



(7.6.3) : EJEMPLO

Dada la matriz ; realizar e indicar lasE œ

" # " ! " ,# ! $ ! $ ,$ " # " % ,% $ $ " & ,# $ ! " # ,

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"

#

$

%

&

operaciones elementales por filas, necesarias para que la matriz seaEREDUCIDA POR FILAS a:

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

" ! !

! " !

! ! "

! ! ! ! ! , , ,! ! ! ! ! , , , ,

# %$ $ $

#, , ,

" #* * *

, %, #,

% "* * *

, (, &,

" $ &

& " $

$ " &

% " $

# " & $

SOLUCIÓN: : sumar a la fila 2, veces la fila 1J #J #

# "

: sumar a la fila 3, veces la fila 1J $J $$ "

: sumar a la fila 4, veces la fila 1J %J %% "

: sumar a la fila 5, veces la fila 1J #J #& "

con lo cual se obtiene:


" # " ! " ,! % " ! " , #,! & " " " , $,! & " " " , %,! " # " ! , #,

à

"

# "

$ "

% "

& "

: multiplicar la fila 5 por ; y enseguidaÐ "ÑJ Ð "Ñ&

: intercambiar la fila 2 con la fila 5J#&



" # " ! " ,! " # " ! , #,! & " " " , $,! & " " " , %,! % " ! " , #,

"

& "

$ "

% "

# "

: sumar a la fila 1, veces la fila 2J #J #" #

: sumar a la fila 3, veces la fila 2J &J &$ #

: sumar a la fila 4, veces la fila 2J &J &% #

: sumar a la fila 5, veces la fila 2J %J %& #



" ! $ # " $, #,! " # " ! , #,! ! * % " , (, &,! ! * % " , ', &,! ! * % " , ', %,

" &

& "

$ " &

% " &

# " &

: multiplicar la fila 1 por $J $"

: multiplicar la fila 2 por *J *#



PÁG. 34





$ ! * ' $ *, ',! * ") * ! *, "),! ! * % " , (, &,! ! * % " , ', &,! ! * % " , ', %,

" &

& "

$ " &

% " &

# " &

: sumar a la fila 1, vez la fila 3J J "" $

: sumar a la fila 2, veces la fila 3J #J $# $

: sumar a la fila 4, vez la fila 3J J "% $

: sumar a la fila 5, vez la fila 3J J "& $



$ ! ! # % #, , ,! * ! " # , %, #,! ! * % " , (, &,! ! ! ! ! , , ,! ! ! ! ! , , , ,

" $ &

& " $

$ " &

% " $

# " & $

: dividir la fila 1 por Ð ÑJ $"$ "

: dividir la fila 2 por Ð ÑJ *"* #

: dividir la fila 3 por Ð ÑJ *"* $

Por lo tanto; se obtiene lo pedido:

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

" ! !

! " !

! ! "

! ! ! ! ! , , ,! ! ! ! ! , , , ,

# %$ $ $

#, , ,

" #* * *

, %, #,

% "* * *

, (, &,

" $ &

& " $

$ " &

% " $

# " & $

(7.7) : OBSERVACIÓN

a) Cuando una matriz verifica que tiene cero por debajo de losPIVOTES se dice que está en FORMA ESCALONADA POR FILAS.

EJEMPLO: Î ÑÏ Ò

" # 3

! " 3

! ! !

" "% %

b) Si las operaciones elementales se hicieran EXCLUSIVAMENTE PORLAS COLUMNAS, se diría FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZREDUCIDA POR COLUMNAS Y FORMA ESCALONADA POR COLUMNAS;respectivamente.



PÁG. 35



EJEMPLO:

Transforme la matriz en triangular inferior;Î ÑÏ Ò

" # $% & (' & %

indicando claramente las operaciones elementales realizadas.SOLUCIÓN:

Se deben hacer "cero" los elementos por encima de la diagonal. Para lo cual, haremos las operaciones elementales PORCOLUMNAS:

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒŒ " # $ " ! !

% & ( % "$ &' & % ' ( "%

G #GG $G

Ä# "

$ "

""$ # $ #

( ( "%("$ "$ "$

G Ä ÐG &G Ñ Ä

" ! ! " ! !% " & % " !

' "% '


c) Para efectos metodológicos, trabajaremos EXCLUSIVAMENTE PORFILAS; por una comodidad "cultural".

(7.8) :NOTACIÓN Podemos notar que en las definiciones se ha usado la notaciónE − Ð Ñ` ‘

8 B8; para indicar que los elementos de la matriz pertenecen al

cuerpo de los Números Reales. En el caso de considerar el cuerpo de losNúmeros Complejos, usaremos la notación ; tanto en loE − Ð Ñ` ‚

8 B8

anterior como en lo que viene del curso.

(7.9) :DEFINICIÒN Sean E ß F − Ð ÑÞ` ‘

7 B8

Diremos que las matrices y son EQUIVALENTES POR FILASE Fsi y solo si a partir de la matriz se puede obtener la matriz porE Foperaciones elementales; o viceversa.

(7.9.1) : EJEMPLO

E œ" # 3

# ! " 3 ! " 3 " # "

" # 3

! ! !

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò y " "

% %

son EQUIVALENTES POR FILAS. (VER EJEMPLO (7.6.1))



PÁG. 36



(7.9.2) : EJEMPLO

E œ

" ! " % & $ " ! " % & $! " # $ " " ! " # $ " "

" # & % # " ! ! ' "' "' *% $ % # ! " ! ! ' #( #$ "'& " # ! " ! ! ! * #$

$ " " " ! "


y

#& "'! ! ! ' * '


(7.9.3) :EJEMPLO

E œ

" # " ! " ,# ! $ ! $ ,$ " # " % ,% $ $ " & ,# $ ! " # ,

" ! !

! " !

! ! "

Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

"

#

$

%

&

" $ &

& " $

$ " & y

# %$ $ $

#, , ,

" #* * *

, %, #,

% "* * *

, (, &,

! ! ! ! ! , , ,! ! ! ! ! , , , ,

% " $

# " & $


(7.10) : EJERCICIO Determine si las matrices

E œ

" # !" $ %! & #" $ &

" # !

! "

! ! "! ! !

Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò

y %&

son equivalentes por filas; indicando claramente las operacioneselementales sobre las filas, realizadas a partir de la matriz EÞSOLUCIÓN:

E œ Ä

" # ! " # !" $ % ! & %! & # ! & #" $ & ! " &

J JJ JÐ "ÑJ

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

Î ÑÏ Ò

# "

% "

"

Ð ÑJ Ä Ä

" # !

! "

! & #! " &

J &JJ J

" # !

! "

! ! #

! !

"& #

%& $ #

% #

%&

#*&

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï ÒŒ

Ð ÑJ Ä J Ä

" # !

! "

! ! "

! !

" # !

! "

! ! "! ! !

" #*# &$ %

%&

#*&

%&


J$

Por lo tanto; las matrices son equivalentes por filas.



PÁG. 37



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 01: (02 HORAS EJERCICIO)

GUÍA DE ESTUDIO N° 1

(LOS CÁLCULOS QUE CORRESPONDAN CON DOS DECIMALES BIENAPROXIMADOS. USE BIEN LA CALCULADORA!!)

1. Determine la matriz delE œ Ð+ Ñ Ð3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 7 à 4 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ34

orden indicado tal que:

(1.1) ; (1.2) ; + œ # 3 $4 #B# + œ # 3 $B#34 34# $4

3

(1.3) ; (1.4) ;+ œ Ð3 #4Ñx $B$ + œ Ð/ 691 4Ñ #B$34 34$34

3#Š ‹$

(1.5) ;+ œ 5 Ð5 "Ñ $B$345œ" 5œ"

3 4! #(1.6) ;+ œ Ð=/8 3 #-9= 4Ñ >+8 Ð3 4Ñ "B$34

#

(1.7) ;+ œ -9=/-Ð3 #4Ñ -9>+8 =/- Ð3 4Ñ $B"343

4"

#

2. Dadas las matrices en ` ‘7 B 8

Ð ÑÞ

E œ à F œ à" & $ # ( $! # % " % &Œ Œ

G œ! # "

' # %Œ Calcule lo indicado: (2.1) (2.2) #E $F %G ÐE FÑ ÐF #GÑ

(2.3) (2,4) Ð%E #FÑ Ð$GÑ EF > > >

(2.5) (2.6) ÐE FÑ ÐF #G $EÑ Ð#E FÑ Ð$ M Ñ>$

(2.7) (2.8) ÐM Ñ ÐE $GÑ Ð# M Ñ M EG M F M$ # # # $

> >



PÁG. 38



3. Dadas las matrices en ` ‚7 B 8

Ð ÑÞ

E œ à F œ à" 3 !

# $3 " 3 % # 3 % 3 " 3 !

" 3 ! # $3

Ð " 3Ñ " !

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò&

#

G œ

! # 3 !$3 " # 3

" 3 3

Î ÑÏ Ò%! "

Calcule lo indicado:

(3.1) (3.2) #E $F %G ÐE FÑ ÐF #GÑ#

(3.3) (3,4) Ð%E #FÑ Ð$GÑ EF > > >

(3.5) (3.6) ÐE FÑ ÐF #G $EÑ Ð#E FÑ Ð$ M Ñ>$

(3.7) (3.8) ÐE $GÑ EG F> >

4. Determine el resultado de:

(4.1) Î ÑÏ ÒŒ " #

! $ % &

# ! $ % "" ( # $ %

(4.2) Î ÑÎ ÑÏ ÒÏ Ò

3 " $3 " 3 # 3#3 #3 ! ! $3

%3 & (3 %3 &3

(4.3) Œ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

# 3 ! $3 % 3 "" 3 (3 # 3 $ % 3

" $33 " #

" 3" 3

(4,4) a bÎ ÑÏ ÒÐ " 3Ñ # 3 Ð% 3ÑÐ$ #3Ñ

" 3 # 3! $3

%3 &3

#

(4.5) Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

3 " $3 " 3 # 3#3 #3 ! ! $3

%3 & (3 %3 &3

>


CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE PÁG. 39



5. : DEFINICIÓN Sea una matriz cuadrada.T Se dice que es una MATRIZ DE PROBABILIDAD si y solo si seTverifican las siguientes condiciones:i) todos sus elementos son no negativos.ii) la suma de los elementos de cada fila es uno (1). Usando la definición anterior, determine si las siguientes matricesson de probabilidad

(5.1) (5.2) T œ U œ

! ! "

! " !Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

" " "$ $ $" " "% # %

" " #' ' $

" " $& & &

(5.3) (5.4) T T U#

6. Demuestre las siguientes proposiciones:(6.1) Si son matrices de probabilidad del mismo tamaño; T ßU entonces también es una matriz de probabilidad.TU

(6.2) Œ Œ -9=B =/8B -9= Ð8BÑ =/8 Ð8BÑ=/8B -9=B =/8 Ð8BÑ -9= Ð8BÑ

œ à 8 −8

7. :DEFINICIÓN es una MATRIZ NILPOTENTE si y solo si E E œ !8

PARA ALGÚN .8 −

Determine si la matriz es nilpotente.E œ! ! !# ! !& $ !

Î ÑÏ Ò

8. Determine las matrices tal que .\ œ \ œ !+ ,- .Œ #

9. Mediante operaciones elementales transforme la matriz dada:

(9.1) (9.2) (9.3) ambas en diagonalÎ Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

" " "$ $ $" " "% # %

" " #' ' $

" " $& & &! ! "

! " !

en triangular superior. en triangular inferior.

(9.4) TODAS LAS MATRICES DE ESTA GUÍA EN: a) escalonada por filas. b) escalonada reducida por filas.



PÁG. 40




TALLER N° 1

1. Determine la matriz delE œ Ð+ Ñ Ð3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 7 à 4 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ34

orden indicado tal que:

(1.1) + œ Ð3 4Ñx $ 684 ./ 9<./8 #B$343"4"

3# #Š ‹(1.2) + œ =/8 5 -9>+8 Ð5 "Ñ ./ 9<./8 #B#34

5œ" 5œ"

3#

4! #


Ð ÑÞ

E œ F œ G œ

" # ! " # & ! $ "" $ % " $ % & ( !! & # # & $ " # $" $ & " # ! % $ #

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

Calcule: (2.1) (2.2) $E F %G EG F>

3. Dadas las matrices en ` ‚7 B 8

Ð ÑÞ

E œ à F œ à G œ# 3 3 3 #3 " " 3 " 3 $ %3

$ 3 " 3

3Œ Œ Œ "& "33

Calcule: (3.1) (3.2) ÐE FÑ ÐF #G $EÑ E G F> > > >

4. Determine el resultado de:

(4.1)

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ ÒŒ

! #" " # $ %# $ " " !% (

(4.2)


3 # 3" 3 " 3 # 3 $ 3 % 3#3 $ 3 " 3 " 3 3

% 3 (3



PÁG. 41



5. Determine si las siguientes matrices son de probabilidad

(5.1) (5.2) T œ U œ! "

Œ " "# #

# $& &% $( (

(5.3) (5.4) T T U#

6. Demuestre la siguiente proposición:

(6.1) es matriz de probabilidad es matriz de probabilidadT Ê T #

(6.2) Œ Œ " " " 8! " ! "

œ à 8 −8

7. : DEFINICIÓN Sea una matriz cuadrada.E Se dice que es una MATRIZ IDEMPOTENTE si y solo si E E œ EÞ#

Determine si la matriz es idempotente.E œ" ! !! " !! ! !

Î ÑÏ Ò

8. Determine las matrices que conmutan con Œ Œ + , " "- . ! "

Þ

9. Mediante operaciones elementales transforme la matriz dada:

(9.1) (9.2) (9.3) ambas en diagonalÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

# " % " # $$ " & % & (& ! " ' & %

en triangular superior. en triangular inferior.

(9.4) TODAS LAS MATRICES DE ESTE TALLER EN:a) escalonada por filas. b) escalonada reducida por filas.

10. Determine si las siguiente matrices son equivalentes por filas.

(10.1)Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

" " # # " ! ! "$ # % & ! " ! "! # $ # ! ! " !

y .



PÁG. 42



(10.2) y Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

' $ % $ " ! !$ ! # !$ " # "

! " ! "! ! ! !

#$

(10.3) y

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

" # ! $ ! + " # ! $ ! +" # " " ! , ! ! " % ! + ,! ! ! ! " - ! ! ! ! " -! ! " % ! . ! ! ! ! ! / $+ , -# % " "! " / ! ! ! ! ! , + .

(10.4) y Œ " " ! " ! $ " " ! "

" !

! "

" " "# # #

" $ "# # #

11. Dada la matriz .

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" # " ! " B# ! $ ! $ C$ " # " % D% $ $ " & ># $ ! " # A

Determine la matriz equivalente escalonada reducida por filas ENLAS PRIMERAS CINCO COLUMNAS.



PÁG. 43



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° 1:

PROBLEMA 1: TALLER N° 1 : (1.2)

RESPUESTA: Œ !Þ#& $Þ*#"Þ!) %Þ(&


RESPUESTA:

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

$$ )) *( (# "(* (# *& #%" "((#& '' "&%


RESPUESTA: Œ %( " $)3( #3 $ '3


RESPUESTA: T U œ "( $'$& (!% $( (

es matriz de probabilidad, ya que:T U

3 Ñ + œ à + œ à + œ à + œ ! ""

"( $' % $$& (! ( ("# #" ##

33Ñ " .La suma de los elementos en cada fila es

En efecto:

"( $' % $$& (! ( ( œ œ "



PÁG. 44




RESPUESTA: Î ÑÏ Ò

" ! !% " !

' ( "%("$ "$

PROBLEMA 6: TALLER N° 1 : (10.2) RESPUESTA: Si son equivalentes por filas.

PROBLEMA 7: TALLER N° 1 : 11. RESPUESTA: Obtenga la siguiente matriz equivalente reducida por filas EN LAS PRIMERAS CINCO COLUMNAS:

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" ! ! B D A

! " ! B D A

! ! " B D A

! ! ! ! ! B D >! ! ! ! ! B C D A

# % # " "$ $ $ $ $

" # % # "* * * * *% " ( " &* * * * *



PÁG. 45



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 03 DE ABRIL DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __11PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2:

(2.1) Calcule Î ÑÎ ÑÏ ÒÏ Ò

3 " $3 " 3 # 3#3 #3 ! ! $3

%3 & (3 %3 &3

(2.2) Determine si las matrices

E œ

" # !" $ %! & #" $ &

" # !

! "

! ! "! ! !


y%&

son equivalentes por filas; indicando claramente las operacioneselementales sobre las filas, realizadas a partir de la matriz E ÞPONDERACIONES: (2.1) = 07 (2.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!



PÁG. 46



PAUTACONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __11

PREGUNTA 2:

(2.1) :SOLUCIÓN

Î ÑÎ ÑÏ ÒÏ Ò

3 " $3 " 3 # 3#3 #3 ! ! $3

%3 & (3 %3 &3œ


" 3 "# " #3 $3 "& "" 3 "% &3 # #3 # %3 ' # #3 % %3

% %3 #) % )3 "&3 $& $# %3 $* (3œ

% $ (se descuenta un punto por cada término incorrecto)

(2.2) :SOLUCIÓN

E œ Ä

" # ! " # !" $ % ! & %! & # ! & #" $ & ! " &

J JJ JÐ "ÑJ


Î ÑÏ Ò

# "

% "

"

" "

Ð ÑJ Ä Ä

" # !

! "

! & #! " &

J &JJ J

" # !

! "

! ! #

! !

"& #

%& $ #

% #

%&

#*&


" "

Ð ÑJ Ä J Ä

" # !

! "

! ! "

! !

" # !

! "

! ! "! ! !

" #*# &$ %

%&

#*&

%&


J$

" " " Por lo tanto; las matrices son equivalentes por filas. "



PÁG. 47



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 03 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __12PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2:

(2.1) Dadas las matrices E œ à" & $! # %Œ

F œ à G œ# ( $ ! # "

" % & ' # %Œ Œ Calcule el resultado de .ÐE FÑ ÐF #G $EÑ>

(2.2) Determine si la matriz s nilpotente. E œ! ! !# ! !& $ !

Î ÑÏ Òe

PONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.




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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __12

PREGUNTA 2: (2.1) :SOLUCIÓN

ÐE FÑ ÐF #G $EÑ œ$ "# #! *

& % %"" ' #&

> Î ÑÏ ÒŒ

# #

œ% ' $($# #! %#

** &% ##&

Î ÑÏ Ò %

(se descuenta un punto por cada término incorrecto)

(2.2) :SOLUCIÓN

E œ œ! ! ! ! ! ! ! ! !# ! ! # ! ! ! ! !& $ ! & $ ! ' ! !

#Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò $

E œ œ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! # ! ! ! ! !' ! ! & $ ! ! ! !

$Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò #

Por lo tanto, es nilpotente, para E 8 œ $ Þ #



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 05 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __14PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2: (2.1) Demuestre por el principio de inducción la siguiente

proposición: T Ð8Ñ ÀŒ Œ " " " 8! " ! "

œ à 8 −8

(2.2) Transforme la matriz en triangular inferior;Î ÑÏ Ò

" # $% & (' & %

indicando claramente las operaciones elementales realizadas.PONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.




PÁG. 50



PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __14PREGUNTA 2: (2.1) :DEMOSTRACIÓN

1º) T Ð"Ñ ÀŒ Œ " " " "! " ! "

œ à"

ES VERDADERO. "

T Ð#Ñ ÀŒ Œ Œ Œ " " " " " " " #! " ! " ! " ! "

œ œ à#

ES VERDADERO. "2º) HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN:

Se supone que T Ð5Ñ ÀŒ Œ " " " 5! " ! "

œ à5

#

ES VERDADERO; a 5 # ß 5 0349Þ3º) TESIS DE INDUCCIÓN:

Por demostrar que T Ð5 "Ñ ÀŒ Œ " " " 5 "! " ! "

œ5"

En efecto; se sabe que: "

; multiplicando por Œ Œ Œ " " " 5 " "! " ! " ! "

œ5

"

Œ Œ Œ Œ " " " " " 5 " "! " ! " ! " ! "

œ5

T Ð5 "Ñ ÀŒ Œ " " " 5 "! " ! "

œ5"

. "

Por lo tanto ES VERDADERA T Ð8Ñ a 8 − "

(2.2) :SOLUCIÓNSe deben hacer "cero" los elementos por encima de la diagonal. #

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒŒ " # $ " ! !

% & ( % "$ &' & % ' ( "%

G #GG $G

Ä# "

$ "

" "

""$ # $ #

( ( "%("$ "$ "$

G Ä ÐG &G Ñ Ä

" ! ! " ! !% " & % " !

' "% '


" #



PÁG. 51



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 05 DE ABRIL DE 2007: 12:45 - 14:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __13PROFESOR__ __ERICK GONZÁLEZ GAJARDO

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2:

(2.1) Dadas yT œ U œ! "

Œ " "# #

# $& &% $( (

.

Determine si es matriz de probabilidad. T U

(2.2) Dada


" # " ! "# ! $ ! $$ " # " %% $ $ " &# $ ! " #

.

Determine la matriz equivalente escalonada reducida por filas;indicando claramente las operaciones elementales realizadas.PONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.




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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 04DE ABRIL DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2: (2.1) Encuentre la matriz tal queE œ Ð+ Ñ Ð3 œ "ß # à 4 œ "ß #Ñ34

+ œ Ð3 #4Ñx 34$34Š ‹. (HAGA LOS CÁLCULOS)

(2.2) Determine si las siguientes matrices

E œÔ × Ô ×Õ Ø Õ Ø

" " # # " ! ! "$ # % & ! " ! "! # $ # ! ! " !

y .

son indicando claramente las operacionesequivalentes por filas; elementales sobre las filas, realizadas a partir de la matriz E ÞPONDERACIONES: (2.1) = 07 (2.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.




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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 04 DE ABRIL DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__2 __2PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2:

(2.1) Determine EL CONJUNTO DE TODAS las matrices Œ + ,- .

que conmutan con Œ " "! "

Þ

(2.2) Calcule


3 # 3" 3 " 3 # 3 $ 3 % 3#3 $ 3 " 3 " 3 3

% 3 (3





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UNIDAD I : MATRICES

TEMA 8: MATRIZ INVERSA

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el rango de una matriz. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar a partir del rango de una matriz,si es invertible.OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la inversa de una matriz.

(8.1) : RANGO DE UNA MATRIZ Sea E − ` ‘

7 B8Ð Ñ Þ

Se llama RANGO DE LA MATRIZ al número de filas distintas deEßcero de su matriz equivalente ESCALONADA POR FILAS.

(8.1.1) :EJEMPLO

E œ" # 3 " # 3

# ! " 3 ! % " 3 " # " 3 " 3 #

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒJ #J Ä J J Ä

# " $ "


" # 3 " # 3! % " 3 ! % " 3! % " 3 ! ! !

Ê VERKSÐEÑ œ #J J Ä$ #

(8.1.2) :EJEMPLO

E œÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

" 3 ! " 3 ! 3 ! " ! " "! " 3 " 3 ! " 3 " 3

J 3 J Ä J Ð" 3ÑJ# " $ #

ÄÎ ÑÏ Ò

" 3 !! " "! ! #

Ê VERKSÐEÑ œ $

(8.2) : MATRIZ INVERSA Sea ó , es decir es una matriz cuadrada. E − Ð Ñ E` ‘ ‚

8B8

Diremos que ó es la MATRIZ INVERSA de la matrizF − Ð Ñ` ‘ ‚8B8

E EF œ F E œ M, si y solo si se verifica que: 8



PÁG. 55



(8.2.1) :EJEMPLO

E œ E" " # * " "$$ % & $ " "! " " $ " (

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒÊ F œ "

' es la inversa de ;

ya que EF œ FE œ M$

(8.2.2) :EJEMPLO

E œ E" " $ "% ) '# # ! "% & '

% & ( # " !

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒÊ F œ "

' es la inversa de ;

ya que EF œ FE œ M$

(8.3) :OBSERVACIÓNa) Si la matriz admite inversa, se dice que dicha matriz es INVERTIBLEo NO SINGULAR. En caso contrario, se dice que es SINGULAR.

b) Si la matriz es la matriz inversa de la matriz , denotamos a laF Ematriz por F E Þ"

(8.4) : PROPIEDADES Sean , , matrices invertibles.E F G

a) b) es ùnica.ÐE Ñ œ E E" " "

c) d) ÐEFÑ œ F E ÐEF GÑ œ G F E" " " " " " "

e) Diremos que la matriz cuadrada es invertible cuando al reducirlaEpor filas, ninguna fila se hace cero.

(8.4.1) : EJEMPLO

En (8.1.1) la matriz E œ" # 3

# ! " 3 " # "

Î ÑÏ Ò no es invertible.

Notar que el .VERKSÐEÑ œ # VERKSÐM Ñ œ $$

(8.4.2) : EJEMPLO

En (8.1.2) es invertible.la matriz E œÎ ÑÏ Ò

" 3 ! 3 ! "! " 3 " 3

Notar que el .VERKSÐEÑ œ VERKSÐM Ñ œ $$



PÁG. 56



(8.5) : CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Sea la matriz identidadM Þ8

Para obtener la matriz inversa de una matriz cuadradaE − Ð Ñ` ‘ ‚

8B8ó , procedemos de la siguiente forma:

1º) Formamos la matriz aumentada por bloques: a bc d c dE M8

2º) Realizar operaciones elementales por filas, para obtener la siguientematriz por bloques: a bc d c dM F8

3º) La matriz resultante en el bloque de la derecha corresponde a laFmatriz inversa de la matriz , es decir E F œ E"

(8.5.1) : EJEMPLO

Dada la matriz .E œ" " $# # !

% & (

Î ÑÏ Ò

Encuentre la matriz inversa si corresponde y verifique que à E E œ M Þ"$

SOLUCIÓN:

1°) Supongamos que es invertible:E


" " $ " ! ! " " $ " ! !# # ! ! " ! ! ! ' # " !

% & ( ! ! " ! " & % ! "Ä

J Ð #ÑJJ %J

# "

$ "

JJ J

J Ð )ÑJJ Ð &ÑJ

#$

#$

$

""

#

Ä Ä ! " ! "" ! ) & ! "! " & % ! "! ! ' # " !

Ð ÑJ " ! ! "

! ! " !

Î ÑÏ Ò

Î ÑÐ ÓÏ Ò

"' $

( %$ $( &$ '" "$ '

2°) Por lo tanto; la inversa es:

E œ " œ

"

!

"% ) '"% & '# " !

"

( %$ $( & "$ ' '" "$ '

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò

3°) Verificación:

EE œ œ" " $ "% ) ' ' ! !# # ! "% & ' ! ' !

% & ( # " ! ! ! '

" " "' '


EE œ" ! !! " !! ! "

"Î ÑÏ Ò



PÁG. 57



(8.5.2) : EJEMPLO

Dada la matriz .E œ" " #$ % &! " "

Î ÑÏ Ò

Encuentre la matriz inversa si corresponde y verifique que à E E œ M Þ"$

SOLUCIÓN: 1°) Supongamos que es invertible:E


" " # " ! ! " " # " ! !$ % & ! " ! ! ( " $ " !! " " ! ! " ! " " ! ! "

ÄJ Ð $ÑJ# "

J

J JJ Ð (ÑJ

#$

#

#

"

$

Ä" ! " " ! "! " " ! ! "! ! ' $ " (

Î ÑÏ Ò

Ð ÑJ

Ä

" ! !

! " !

! ! "

"' $

$ " "$# ' '

" " "# ' '" " (# ' '

J Ð "ÑJJ J

"

#

$

$

Î ÑÐ ÓÏ Ò

2°) Por lo tanto; la inversa es:

E œ œ

$ " "

* " "$

$ " (

"

$ " "$# ' '

" " "# ' '" " (# ' '

"'

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò

3°) Verificación:

EE œ œ" " # * " "$ ' ! !$ % & $ " " ! ' !! " " $ " ( ! ! '

" " "' '


EE œ" ! !! " !! ! "

"Î ÑÏ Ò

(8.5.3) : EJEMPLO

Dada la matriz .E œÎ ÑÏ Ò

! ! #3$3 3 !! #3 %3

a) Verifique si la matriz E œ Þ # # "' ! $$ ! !

" 3'

Î ÑÏ Ò

b) Si corresponde; verifique que E E œ M Þ"$



PÁG. 58



(8.6) :EJERCICIO

(8.6.1) Dada la matriz .Î ÑÏ Ò

! ! #$ " !! # %

Determine su matriz inversa.SOLUCIÓN:

1º) Formando la matriz :a b Î ÑÏ ÒE M $ " ! ! " !œ

! ! # " ! !

! # % ! ! "

2º) Realizar operaciones elementales para obtener a bM E À"

a b Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒE M $ " ! ! " ! ! # % ! ! "œ Ä

! ! # " ! ! $ " ! ! " !

! # % ! ! " ! ! # " ! !

JJ

"#

#$

" " " # " "$ $ $ $ $ '"

" " "# # ##

" " "# # #$

" #"$

J " ! ! ! " ! !

J ! " # ! ! ! " # ! !

J ! ! " ! ! ! ! " ! !

Ä J J ÄÎ Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

J J

J #JÄ œ

" ! !

! " ! " !

! ! " ! !

M E" $#$

# $

" " "$ $ '

"#

"#

"Î ÑÐ ÓÏ Ò a b

3°) La matriz inversa es E œ

" !

! !

"

" " "$ $ '

"#

"#

Î ÑÐ ÓÏ Ò

(8.6.2) Demostrar que: Si E − Þ`

8 B8

Entonces ÐE Ñ œ ÐE Ñ Þ> " " >

DEMOSTRACIÓN:

1°) Se debe verificar que: E ÐE Ñ œ ÐE Ñ E œ M Þ> > " > " >8

2°) En efecto: E ÐE Ñ œ E ÐE Ñ œ E ÐEÑ œ M œ M> > " > " > " > >

8 8 ‘ ‘ ÐE Ñ E œ ÐE Ñ E œ EÐE Ñ œ M œ M> " > " > > " > >

8 8 ‘ ‘3°) Por lo tanto ÐE Ñ œ ÐE Ñ Þ> " " >



PÁG. 59



TEMA 9: MATRICES ELEMENTALES Y MATRICES INVERSAS

OBJETIVO OPERACIONAL: Obtener la matriz elemental respecto de realizar una y solo una operación elemental a las filas o columnas de una matriz.OBJETIVO OPERACIONAL: Caracterizar la matriz inversa como un productode matrices elementales.

(9.1) : DEFINICIÓN Sea I − Ð ÑÞ` ‘

8 B8

Diremos que es una MATRIZ ELEMENTAL si esta se obtiene deIrealizar una y solo una operación elemental en la matriz identidad .M8

(9.1.1) :EJEMPLO

Sea Son matrices elementales las siguientes:M œ Þ" !! "# Œ

; se obtiene de o bien I œ J G! "" !" "# "#Œ

; se obtiene de o bien I œ Ð ÑJ Ð ÑG!

! "# " "

"# " "

# #Œ ; se obtiene de o bien I œ J $J G $G

" !$ "$ # " " #Œ

(9.1.2) :EJEMPLO

Sea Son matrices elementales las siguientes:M œ Þ" ! !! " !! ! "

$

Î ÑÏ Ò

I œ J G" ! !! ! "! " !

" #$ #$

Î ÑÏ Ò; se obtiene de o bien

I œ Ð #ÑJ Ð #ÑG" ! !! " !! ! #

# $ $


I œ J Ð #ÑJ G Ð #ÑG" ! !

# " !! ! "

$ # " " #




PÁG. 60




a) Toda matriz elemental es invertible.

b) Cuando se aplica a la matriz una operaciónE − Ð Ñ` ‘7 B8

elemental SOBRE SUS FILAS, se obtiene una matriz equivalenteF − Ð Ñ` ‘

7 B8 , la cual es resultante de multiplicar por izquierda

(premultiplicar) a la matriz por la matriz elemental que se obtiene deErealizar la misma operación elemental en la matriz identidad ; es decir: M7

F œ I EÞ

(9.2.1) :EJEMPLO

Sea E œ J %J Ä F œ" " # " " #

% ! $ ! % ""Œ Œ # "

Se considera M œ J %J Ê I œ" ! " !! " % "# # "Œ Œ

Por lo tanto F œ œ œ I E" " # " ! " " #! % "" % " % ! $Œ Œ Œ

c) En el caso de trabajar POR COLUMNAS, se multiplica por derecha;pero en este caso la matriz elemental se obtiene de realizar la mismaoperación elemental en la matriz identidad M Þ8

(9.2.2) :EJEMPLO

Sea E œ %G Ä F œ" " # " % #

% ! $ % ! $Œ Œ #

Se considera M œ %G Ê I œ" ! ! " ! !! " ! ! % !! ! " ! ! "

$ #


Por lo tanto

F œ œ œ EI" % # " " #

% ! $ % ! $

" ! !! % !! ! "

Œ Œ Î ÑÏ Ò

d) La inversa de una matriz elemental, también es una matriz elemental.



PÁG. 61



(9.2.3) :EJEMPLO

Sea ; se obtiene de I œ Ê I œ" ! " !% " % "Œ Œ "

o bien se obtiene de en J Ð %ÑJ G Ð %ÑG M œ Þ" !! "# " " # # Œ

(9.2.4) :EJEMPLO

Sea ; se obtiene de I œ Ê I œ Ð ÑJ" ! !! % ! ! !! ! "

" ! !

! ! "

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò" "

%"% #

o bien se obtiene de en Ð ÑG M œ Þ" ! !! " !! ! "

"% # #

Î ÑÏ Ò

(9.3) : TEOREMA es invertible si y solo si es un producto deE − Ð Ñ E` ‘

8 B8

matrices elementales.

(9.3.1) : EJEMPLO Encuentre la matriz inversa de y escribaE œ# "" $Œ

si corresponde; la matriz como un producto de matrices elementales.ESOLUCIÓN:

1°) Determinar la inversa y las respectivas matrices elementales:

Œ Œ Œ # " " ! " $ ! " ! "" $ ! " # " " ! " !

J Ä Ê I œ"# "

J Ð #ÑJ Ä Ê I œ" $ ! " " !! & " # # "# " #Œ Œ

Ð ÑJ Ä Ê I œ" $ ! " " !

! " ! "& # $" # "

& & &Œ Œ

J Ð $ÑJ Ä Ê I œ" !

! "

" $! "" # %

$ "& &

" #& &

Œ

2°) La inversa de es: ; E E œ$ "

" #" "

&Œ y además: M œ I I I I E Ê E œ ÐI I I I Ñ# % $ # " % $ # "

"



PÁG. 62



3°) Por lo tanto; la matriz como producto de matrices elementales es:

donde:E œ I I I I" # $" " " "

%

I À Ä Ê I œ! " " ! " ! ! " ! "" ! ! " ! " " ! " !" "

" "Œ Œ Œ

I À Ä Ê I œ" ! " ! " ! " ! " !

# " ! " ! " # " # "# #" "Œ Œ Œ

I À Ä Ê I œ" ! " !

! ! "" ! " ! " !! " ! & ! &$ $

" ""&

Œ Œ Œ

I À Ä Ê I œ" $ " ! " ! " $ " $! " ! " ! " ! " ! "% %

" "Œ Œ Œ

Luego: E œ! " " ! " ! " $" ! # " ! & ! "Œ Œ Œ Œ



PÁG. 63



UNIDAD I I : DETERMINANTES

TEMA 1: DEFINICIONES

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante de orden . #B#

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante de orden . $B$

OBJETIVO OPERACIONAL: Obtener el menor de una matriz. Q34

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el cofactor de una matriz. E34

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante por expansión de cofactores; para una matriz de orden menor o igual a . &B&

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante por aplicación de propiedades.

(1.1) : INTRODUCCIÓN

Sea ó , dada por E − Ð Ñ Ð Ð ÑÑ E œ Þ+ ++ +

` ‘ ` ‚#B# #B#

"" "#

#" ##

Œ DEFINICIÓN: Se define el DETERMINANTE DE LA MATRIZ , lo que denotaremosEpor al siguiente número real (ó número complejo)k kE œ ./>ÐEÑ k kE œ ./>ÐEÑ œ + + + +

"" ## #" "#

(1.1.1) :EJEMPLO

./> œ Ð"ÑÐ %Ñ Ð$ÑÐ #Ñ œ % ' œ #" #$ %Œ

(1.1.2) :EJEMPLO

./> œ Ð'ÑÐ %Ñ Ð"#ÑÐ #Ñ œ #% #% œ !' #"# %Œ

(1.2) Sea ó , dada por E − Ð Ñ Ð Ð ÑÑ E œ Þ+ + ++ + ++ + +

` ‘ ` ‚$B$ #B#

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

Î ÑÏ Ò

DEFINICIÓN: Se define el DETERMINANTE DE LA MATRIZ , lo que denotaremosEpor al siguiente número real (ó número complejo)k kE œ ./>ÐEÑ

k k º º º º º ºE œ + + ++ + + + + ++ + + + + +"" "# "$

## #$ #" #$ #" ##

$# $$ $" $$ $" $#

SE DICE QUE EL DETERMINANTE ESTÁ DESARROLLADO POR LAFILA 1. Note el signo negativo; lo cual es correspondiente a que la sumade los subíndices es impar. ( aplicando la definición anterior obtenemos:k kE œ + Ð+ + + + Ñ + Ð+ + + + Ñ + Ð+ + + + Ñ

"" ## $$ $# #$ "# #" $$ $" #$ "$ #" $# $" ## )



PÁG. 64



(1.2.1) : (POR FILA 1) EJEMPLO

./> œ Ð"Ñ Ð #Ñ Ð$Ñ" # $

% " # $ % #

" # % # % "% # $ # $ %

Î ÑÏ Ò º º º º º º

œ Ð 'Ñ #Ð"%Ñ $Ð "*Ñ œ $&

(1.2.2) : (POR COLUMNA 2) EJEMPLO

./>" # $

% " # $ % #

Î ÑÏ Ò

œ Ð #Ñ Ð "Ñ Ð%Ñ % # " $ " $ $ # $ # % #º º º º º º

œ #Ð"%Ñ ( %Ð"%Ñ œ $&

(1.3) : DEFINICIÓN Sea ó .E − Ð Ñ Ð Ð ÑÑ` ‘ ` ‚

8 B8 8 B8

Se llama MENOR de la matriz ; lo que denotaremos por34 EQ − Ð Ñ Ð Ð ÑÑ3 4 ó , es decir es una matriz de orden` ‘ ` ‚

Ð8"ÑB Ð8"Ñ Ð8"ÑB Ð8"Ñ

Ð8 "Ñ B Ð8 "Ñ 3 4; la cual se obtiene de eliminar la fila y la columna dela matriz EÞ

(1.3.1) : EJEMPLO

Sea E œ" # $

% " # $ % #

Î ÑÏ Ò

Q œ à Q œ à Q œ # $ % " " #% # $ % % "#" "$ $$Œ Œ Œ

(1.3.2) : EJEMPLO

Sea E œ

" " ! # $! " # $ $% # " ! #" $ % & !! " " # '


Q œ à Q œ

" " ! # " ! # $! " # $ % " ! #% # " ! " % & !! " " # ! " # '

%& ##




PÁG. 65



(1.4) : DEFINICIÓN Sea ó .E − Ð Ñ Ð Ð ÑÑ` ‘ ` ‚

8 B8 8 B8

Se llama COFACTOR de la matriz ; lo que denotaremos por34 EE − Ð Ñ3 4 ó , es decir es unnúmero real (ó número complejo); el cual‘ ‚

está dado por:

E œ Ð "Ñ ./>ÐQ Ñ œ Ð "Ñ Q3 4 3 4 3 434 34 k k

(1.4.1) : EJEMPLO

Sea E œ" # $

% " # $ % #

Î ÑÏ Ò

E œ Ð "Ñ ./> œ Ð 'Ñ œ ' à # $% ##"

#" Œ E œ Ð "Ñ ./> œ Ð "*Ñ œ "* à

% " $ %"$

"$ Œ E œ Ð "Ñ ./> œ Ð *Ñ œ *

" # % "$$

$$ Œ (1.4.2) : EJEMPLO

Sea F œ

" " ! # $! " # $ $% # " ! #" $ % & !! " " # '


POR COLUMNA 1F œ Ð "Ñ ./> à

" " ! #! " # $% # " !! " " #

%&%&


œ Ð"Ñ./> Ð%Ñ./> " # $ " ! # # " ! " # $" " # " " #

” •Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

POR FILA 2 POR COLUMNA 2

œ Ð #Ñ./> ./> # $ " $

" # " #” Œ Œ % Ð #./> Ð "Ñ./> Ñ

" # " #" # " $Œ Œ •

œ #Ð(Ñ Ð &Ñ )Ð!Ñ %Ð &Ñ” • œ Ð ""Ñ œ ""



PÁG. 66



F œ Ð "Ñ ./> à

" ! # $% " ! #" % & !! " # '

####


POR FILA 4

œ Ð "Ñ./> #./> './>" # $ " ! $ " ! #% ! # % " # % " !" & ! " % ! " % &


POR FILA 3 POR FILA 1 POR FILA 1

œ ./> &./> #./> './> # $ " $ " # % "! # % # % ! " %Œ Œ Œ Œ

'./> "#./>" ! % "

% & " %Œ Œ œ % &Ð "!Ñ #Ð)Ñ 'Ð "(Ñ 'Ð&Ñ "#Ð "(Ñ œ #(%

(1.5) CÁLCULO DEL DETERMINANTE POR EXPANSIÓN DE COFACTORES El cálculo del determinante; se puede desarrollar a partir decualquier fila o cualquier columna por expansión de cofactores:

a) Si tomamos cualquier FILA , el cálculo está dado por: 3

k k ! !E œ ./>ÐEÑ œ + E œ + Ð "Ñ ./>ÐQ Ñ4œ" 4œ"

8 8

3 4 3 434

3 4 3 4

es fijo .œ Ð "Ñ + ./>ÐQ Ñ 3!4œ"

834

3 43 4

(1.5.1) : POR FILA 4 EJEMPLO

./> œ + E œ Ð "Ñ + ./>ÐQ Ñ

" ! # $% " ! #" % & !! " # '


! !4œ" 4œ"

% %

% 4 % 4%4

% 4 % 4

œ ./> #./> './>" # $ " ! $ " ! #% ! # % " # % " !" & ! " % ! " % &


POR FILA 3 POR FILA 1 POR FILA 1

œ ./> &./> #./> './> # $ " $ " # % "! # % # % ! " %Œ Œ Œ Œ

'./> "#./>" ! % "

% & " %Œ Œ œ % &Ð "!Ñ #Ð)Ñ 'Ð "(Ñ 'Ð&Ñ "#Ð "(Ñ

œ #(%



PÁG. 67



b) Si tomamos cualquier COLUMNA , el cálculo está dado por: 4

k k ! !E œ ./>ÐEÑ œ + E œ + Ð "Ñ ./>ÐQ Ñ3œ" 3œ"

8 8

3 4 3 434

3 4 3 4

es fijo .œ Ð "Ñ + ./>ÐQ Ñ 4!3œ"

834

3 43 4

(1.5.2) : POR COLUMNA 1EJEMPLO

./> œ + E œ Ð "Ñ + ./>ÐQ Ñ

" " ! #! " # $% # " !! " " #


! !3œ" 3œ"

% %

3 " 3 "3"

3 " 3 "

œ Ð"Ñ./> Ð%Ñ./> " # $ " ! # # " ! " # $" " # " " #


POR FILA 2 POR COLUMNA 2

œ #./> ./> )./> %./># $ " $ " # " #

" # " # " # " $Œ Œ Œ Œ œ #Ð(Ñ Ð &Ñ )Ð!Ñ %Ð &Ñ

œ ""

(1.6) :OBSERVACIÓN

a) Para realizar el cálculo por expansión de cofactores, se recomiendatomar la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros, si se realizapor este procedimiento.

(1.6.1) : EJEMPLO

./> à

" " ! #! " # $% # " !! " " #


se recomienda POR COLUMNA 1

b) Si . Entonces el .E − Ð Ñ ./> E œ ./> E` ‘8 B8

>

(1.6.2) : EJEMPLO

./> œ ./> œ ./> œ (# $ # $ # "

" # " # $ #Œ Œ Œ >



PÁG. 68



c) Si ; matriz cuadrada tal que es triangular superior oE − Ð Ñ` ‘8 B8

triangular inferior o diagonal. Entonces el es igual al producto de./> Elos elementos de la diagonal; es decir:

./> E œ +#3œ"

8

33

(1.6.3) : TRIANGULAR SUPERIOR EJEMPLO

./> œ Ð"ÑÐ %ÑÐ!Ñ œ !" # 3! % " 3! ! !

Î ÑÏ Ò

(1.6.4) : TRIANGULAR INFERIOR EJEMPLO

./> œ Ð"ÑÐ %ÑÐ3Ñ œ % 3" ! !

# % !3 " 3 3

Î ÑÏ Ò

(1.6.5) : DIAGONAL EJEMPLO

./> œ Ð"ÑÐ %ÑÐ" 3Ñ œ % % 3" ! !! % !! ! " 3

Î ÑÏ Ò



PÁG. 69



TEMA 2: PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante por aplicación deoperaciones elementales en lamatriz y propiedades.

(2.1) :TEOREMA Si E ß F − Ð ÑÞ` ‘

8 B8

Entonces ./>ÐEFÑ œ Ð./> EÑÐ./> FÑ Þ

(2.1.1) :EJEMPLO

./> œ " # $ # " !" " #

– —Î ÑÏ Ò

Î ÑÏ Ò

! ! #3$3 3 !! #3 %3

œ ./> ./> " # $ # " !" " #

– —– —Î ÑÏ Ò

Î ÑÏ Ò

! ! #3$3 3 !! #3 %3

(2.1.2) : VERIFIQUE (2.1.1) EJEMPLO

(2.2) :PROPIEDADES Sea .E − Ð Ñ` ‘

8 B8

a) Si tiene una fila o columna con solamente ceros.E Entonces ./> E œ !(2.2.1) :EJEMPLO

./> œ ! à ./> œ ! " # $ " # ! # " ! # " !! ! ! " " !


b) Si tiene dos filas o dos columnas iguales. Entonces .E ./> E œ !(2.2.2) :EJEMPLO

./> œ ! à ./> œ ! " # $ " " $ # " ! # # ! " # $ " " $


c) Si tiene una fila que es múltiplo de otra fila; o una columna queEes múltiplo de otra columna. Entonces ../> E œ !(2.2.3) :EJEMPLO

./> œ ! à " # % # " # " # %

Î ÑÏ Ò COLUMNA 3 ES MÚLTIPLO DE COLUMNA 2

./> œ ! " " $ # # !$ $ *

Î ÑÏ Ò ; FILA 3 ES MÚLTIPLO DE FILA 1



PÁG. 70



(2.3) Si ; tal que expresamos en términos de sus filas oE − Ð Ñ E` ‘8 B8

columnas de la manera siguiente:

E œ E œ

JJÞÞÞJÞÞÞJÞÞÞJ

G G ÞÞÞ G ÞÞÞ G ÞÞÞ G

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

c d

"

#

3

5

8

" # 4 6 8 o bien ;

donde son las respectivas filas de la matriz ; yJ Ð3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ E3

análogamente son las respectivas columnas de laG Ð4 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ4

matriz .E

Entonces:

a) ;./> œ ./>

J JJ JÞÞÞ ÞÞÞJ JÞÞÞ ÞÞÞJ JÞÞÞ ÞÞÞJ J

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

" "

# #

3 5

5 3

8 8

es decir; Si se hace un intercambio de fila (o columna). Entonces cambia el signo del determinante.

(2.3.1) :EJEMPLO

./> œ ./> à Ð J Ñ " # $ " " $ # # ! # # !" " $ " # $

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò "$

./> œ ./> à Ð G Ñ

$ " ! # " $ ! #! " # $ " ! # $% # " ! # % " !! " " # " ! " #

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò "#



PÁG. 71



b) ./> œ ./> œ - ./>

J J JJ JÞÞÞ ÞÞÞJ - JÞÞÞ ÞÞÞJ JÞÞÞ ÞÞÞJ J

Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø

" "

# #

3

5 5

8 8

3‡

"

#

3‡

5

8

JÞÞÞJÞÞÞJÞÞÞJ

- Á ! ; con ;

es decir: Si la fila (o la columna ) tiene un factor común3 /=37+ 4 /=37+- -, el determinante se multiplica por la constante y se divide larespectiva fila (o columna) por dicha constante - Þ

(2.3.2) :EJEMPLO

./> œ Ð #Ñ./> " # * " # * # # ' " " $" " $ " " $


œ Ð #ÑÐ$Ñ./> " # $" " "" " "

Î ÑÏ Ò

./> œ Ð#Ñ./>

$ " ! ' $ " ! '! " # ' ! " # '% # # ! # " " !! " " "# ! " " "#


œ Ð#ÑÐ'Ñ./>

$ " ! "! " # "# " " !! " " #


c) ;./> œ ./>

J JJ JÞÞÞ ÞÞÞJ J JÞÞÞ ÞÞÞJ JÞÞÞ ÞÞÞJ J

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

" "

# #

3 3 5

5 5

8 8

!

es decir: Si aplicamos la operación elemental de sumar a una fila (o sumar auna columna) veces otra fila (u otra columna); el resultado del!determinante no cambia.



PÁG. 72



(2.3.3) :EJEMPLO

; ./> œ ./> J Ð #ÑJ " # " " # " # # # ! ' !" " $ " " $

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò # "

./> œ ./> à G # G

$ " ! ' $ " # '! " # ' ! " ! '% # # ! % # # !! " " "# ! " " "#

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò $ #

d) ./> œ ./> œ ./>

J JJ JÞÞÞ ÞÞÞJ J JÞÞÞ ÞÞÞJ JÞÞÞ ÞÞÞJ J

Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù ÖÕ Ø Õ Ø Õ

" "

# #

3

5 5

8 8

3 3‡ ‡‡

Ù Ö ÙØ Õ Ø

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ Ù

J JJ JÞÞÞ ÞÞÞJ JÞÞÞ ÞÞÞJ JÞÞÞ ÞÞÞJ J

./>

" "

# #

3 3‡ ‡‡

5 5

8 8

; es decir;

si una fila (o columna) se expresa como la suma de dos filas o vectores; eldeterminante se expresa como una suma de dos determinantes, dondetodas las restantes filas (o columnas) se mantienen iguales.

(2.3.4) :EJEMPLO

./> œ ./> ./> " " " " " " " " " " # " $ # # " # # $ #" " ! $ " " $ " ! $


./> œ

$ " ! #! " # "

$ " " # # " ! '! " " "


œ ./> ./>

$ " ! # $ " ! #! " # " ! " # "$ " # ! " # " '! " " " ! " " "




PÁG. 73



(2.4) :EJERCICIO(2.4.1)a) Calcule el siguiente determinante y escriba el polinomio resultanteen potencias decrecientes de la variable .-

â ââ ââ ââ ââ ââ â # $ '

% " ) # !

-

-

-

SOLUCIÓN:

1º) Desarrollar por fila 3:

œ #./> ./>$ ' # $

" ) % " Œ Œ - --

-

œ #Ð#% ' ' Ñ Ð # "#Ñ- - - -#

œ # $'- - -$ #

2º) Expresado en potencias decrecientes de :- :Ð Ñ œ # $'- - - -$ #

b) Encuentre el polinomio y:ÐBÑ œ ./>Ô ×Õ Ø

" B " %$ # B "# " " B

factorícelo completamente.SOLUCIÓN:

1°) (por columna 2)./>Ô ×Õ Ø

" B " %$ # B "# " " B

;

œ ./> Ð# BÑ./> ./>$ " " B % " B %# " B # " B $ "” • ” • ” •

œ Ð " $BÑ Ð# BÑÐB *Ñ ÐB "$Ñ#

:ÐBÑ œ B #B &B '$ #

2°) Notar que es una raíz o cero de B œ " :ÐBÑ Þ Luego es divisible por .B "

En efecto:

:ÐBÑ œ ÐB "ÑÐ B B 'Ñ œ ÐB "ÑÐB $ÑÐB #Ñ#



PÁG. 74



(2.4.2) Calcule el siguiente determinante:

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â # ! ! (" # " %$ ! " &% # $ !

SOLUCIÓN: (DOS FORMAS)

a) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por fila 1 que tiene más ceros)â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

# ! ! (" # " %$ ! " &% # $ !

œ Ð "Ñ + ./>Q Ð "Ñ + ./>Q"" "%"" "" "% "%

œ Ð #Ñ./> (./># " % " # "! " & $ ! "# $ ! % # $


(por columna 1) (por fila 2)

œ Ð #Ñ # ./> # ./> " & " %$ ! " &

‘Œ Œ ( $ ./> ./>

# " " ## $ % #

‘Œ Œ œ Ð #Ñ $! # ( #% ' œ '% #"! œ #(% ‘ ‘

O BIÉN:

b) POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES:

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â # ! ! ( " " " % " " " %" # " % # ! ! ( ! # ! ($ ! " & $ ! " & ! $ " &% # $ ! % " $ ! " % $ !

œ # œ #

"# # "# "# % "G à J G J Ð "ÑJ

œ # œ # œ #

" " " %! # ! (! $ " &! $ % %

# ! ( ! # ($ " & " $ &$ % % % $ %

â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â

(por columna 1) Ð "ÑG à G J# "# "#

œ # œ # œ # œ #(%" $ & " $ &! # ( ! # (

% $ % ! "& "'

# ("& "'

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â º º

(por columna 1)J %J$ "



PÁG. 75





1. Dadas las matrices en `8 B 8

À

E œ à F œ à G œ à3 3 #3 ! # " ! ! #3$3 %3 &3 $ ! & $3 3 !! 3 3 ( ' ! ! #3 %3


H œ I œ à J œ" # $ =/8 -9= !" " # -9= =/8 !! " # ! ! "

3 #" 3

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒŒ ;

@ @

@ @

(1.1) Determine el rango en cada caso; y decida si son invertibles.

(1.2) Encuentre la matriz inversa cuando corresponda.

(1.3) Verifique la propiedad Q Q œ Q Q œ M" "$


À

E œ F œ3 " $3 ! # "#3 #3 ! ! " !

%3 & (3 " ! !


(2.1) Determine el rango en cada caso; y decida si son invertibles.


(2.3) Verifique la propiedad ÐEFÑ œ F E" " "

3. Sean matrices invertibles.Eß Fß G Dadas las siguientes proposiciones, determine si son verdaderas ofalsas:a) De ser falsas, dé un contraejemplo b) De ser verdadera, DEMUÉSTRELA.

(3.1) (3.2)ÐE Ñ œ E ÐEFÑ œ E F" " " " "

(3.3) (3.4) ÐFG Ñ œ GF ÐE F Ñ œ ÐF Ñ E" " " " > " > " >



PÁG. 76



4. Dada la matriz E œ Þ+ ,- .Œ

Demuestre que: Si .E œ „ M 9 Ð+ œ . C ,- œ " + Ñ#

#

Entonces es su misma inversa.E

5. Demuestre las siguientes proposiciones:

(5.1) Si Entonces es simétrica.E − Þ ÐE E Ñ`8 B8

"#

>

Además aplique (5.1) para la matriz:

a) b) E œ G œ! " #

" " $! # "

" 3 !! " 3

Î ÑÏ Ò Œ

(5.2) Si Entonces es antisimétrica.E − Þ ÐE E Ñ`8 B8

"#

>

Además aplique (5.2) para la matriz:

a) b) E œ G œ! " #

" " $! # "

" 3 !! " 3

Î ÑÏ Ò Œ

(5.3) Demuestre que: Si es simétrica.E − `8 B8

Entonces a) es simétrica. E E>

b) es simétrica. E E>

6. Dadas las matrices

E œ à F œ à G œ à" " # ! # " ! ! #$ % & $ ! & $ " !! " " ( ' ! ! # %


H œ à I œ Þ3 " $3 ! ! #3#3 #3 ! $3 3 !

%3 & (3 ! #3 %3


Calcule si existe lo indicado:

(6.1) (6.2) (6.3) ( E ÐF #H Ñ H I ÐGIÑ> " > " " "

(6.4) (6.5) (6.6) E ÐF H Ñ ÐH I Ñ F G> > " " " > " "



PÁG. 77



7. Caracterizar si corresponde; las siguientes matrices como unproducto de matrices elementales.

(7.1) (7.2) E œ à F œ à# " " 3 !" $ ! " 3Œ Œ

(7.3) (7.4) G œ H œ! ! " ! #3 %3" " ! $3 3 !! " " $3 $3 )3


8. Calcule los siguientes determinantes:

(8.1) (8.2) (8.3) ./> ./> ./># " " 3 !" $ ! " 3

! ! "Œ Œ Î Ñ

Ï Ò$ #

" " "$ $ $" " "% # %

"

(8.4) (8.5) (8.6) ./> ! " ! $ % & $ ! &" " # ! # "

! " " ( ' !

Î ÑÏ Ò

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â" " #' ' $

" " $& & &

>

(8.7) (8.8) (8.9)

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â! ! # # $ " & # "$ " ! % ' & $ &! # % ! # " ( '

-

-

-

(8.10) (8.11) (8.12)

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â

â â â â ! #$ " !! # %

# ! $ " # ! ! (! " % # " # " %! ! " & $ ! " &" # $ ! % # $ !

-

-

-

(8.13) (8.14) (8.15)

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â

â â

â â

! + ! ! + , ! !, ! ! ! - . ! !! ! ! - ! ! + ,! ! . ! ! ! - .

+ ! ! ! !! ! , ! !! ! ! ! -! ! ! . !! / ! ! !

(8.16) E œ ./>

8 " " " ÞÞÞ ÞÞÞ "8 # " " ÞÞÞ ÞÞÞ "8 " $ " ÞÞÞ ÞÞÞ "ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞ

8

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÞ8 " " " ÞÞÞ ÞÞÞ 8



PÁG. 78



9. Para las matrices dadas.E œ Ð+ Ñ34 − `8 B8

Determine los menores y cofactores indicados:

(9.1) E œÎ ÑÏ Ò

" " "$ $ $" " "% # % ## "#

! ! "

ß Q à E

(9.2) E œÎ ÑÏ Ò

" " #$ % &! " "

ß Q à E $# ##

(9.3) E œ ß Q à Q à E à E


! + ! !, ! ! !! ! ! -! ! . !

%$ #$ $% ""

(9.4) E œ ß Q à Q à E à E


# ! ! (" # " %$ ! " &% # $ !

%$ #$ $% ""

10. Resuelva la ecuación

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

" " " "

" B B B$ B # #B " $B

$ #B " B #B $B

œ !# $

# #



PÁG. 79




TALLER N° 2

(LOS CÁLCULOS QUE CORRESPONDAN CON DOS DECIMALES BIENAPROXIMADOS. USE BIEN LA CALCULADORA!!)

1. Dadas las matrices en ` ‘ ‚8 B 8

Ð Ñ ó À

E œ à F œ à! " # 3 #3 $3

" " $ 3 3 #3! # " ! 3 #3


G œ à H œ" 3 !

! " 3

" 3 ! 3 ! "! " 3 " 3

Œ Î ÑÏ Ò

(1.1) Determine el rango en cada caso; y de acuerdo a este decida si soninvertibles.


(1.3) Verifique la propiedad Q Q œ Q Q œ M" "$


Ð Ñ À

E œ F œ

! ! "

! " !Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

" " " " " #$ $ $ ' ' $" " "% # %

" " $& & &

(2.1) Determine el rango en cada caso; y de acuerdo a este decida si soninvertibles.


(2.3) Verifique la propiedad ÐEFÑ œ F E" " "

3. Sean matrices invertibles.Eß Fß G Dada la siguiente proposicón, determine si es verdadera o falsa:a) De ser falsa, dé un contraejemplo b) De ser verdadera, DEMUÉSTRELA.

(3.1) (3.2) ÐEF GÑ œ G F E ÐÐEFÑ Ñ œ ÐE Ñ ÐF Ñ" " " " " > > " > "



PÁG. 80



4. Calcule la inversa de la matriz donde , Œ M E! M

E − Ð Ñ M8

88` ‘

8 B8

es la matriz identidad, es la matriz nula o cero.! − Ð Ñ` ‘8 B8

5. (5.1) Demuestre que: Toda matriz se puede caracterizar como la suma de dosE − `

8 B8

matrices , donde es simétrica y es antisimétrica.F C G F G

(5.2) Aplique (5.1) para la matriz:

a) b) E œ G œ! " #

" " $! # "

" 3 !! " 3

Î ÑÏ Ò Œ

(5.3) Demuestre que: Si son simétricas.Eß F − `

8 B8

Entonces a) b) es simétrica.ÐEFÑ œ FE EE> >

6. Dadas las matrices

E œ à F œ à G œ à" " # ! # " ! ! #$ % & $ ! & $ " !! " " ( ' ! ! # %


H œ à I œ Þ3 " $3 ! ! #3#3 #3 ! $3 3 !

%3 & (3 ! #3 %3


Calcule si existe lo indicado:

E ÐF #HÑI F #G" > " " >

7. : TEOREMA es un producto de matrices elementales si y solo siE es invertible.E

Caracterizar si corresponde; las siguientes matrices como unproducto de matrices elementales.

(7.1) (7.2) E œ à F œ$ %% (

" ! 3! ! " 3

" 3 ! "Œ Î Ñ

Ï Ò



PÁG. 81



8. Calcule los siguientes determinaantes:

(8.1) (8.2)./> $ # % # $ '

" " # % " ) " % # !

Î ÑÏ Ò

â ââ ââ ââ ââ ââ â- -

- -

- -

(8.3) (8.4)

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â# $ " % " " " !! # ! ! $ % ' !$ ( " # # & " $% " $ ) % ! $ !

(8.5) E œ ./>

B C B C B C ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ B CB C B C B C ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ B CB C B C B C ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ B C

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ8

" " " # " $ " 8

# " # # # $ # 8

$ " $ # $ $ $ 8


ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

B C B C B C ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ B C8 " 8 # 8 $ 8 8

9. Para las matrices dadas.E œ Ð+ Ñ34 − `8 B8

Determine los menores y cofactores indicados:

(9.1)Î ÑÏ Ò

" " #' ' $

" " $& & &

$" #"! " ! Q à E

(9.2)


+ ! ! ! !! ! , ! !! ! ! ! -! ! ! . !! / ! ! !

Q à Q à E à E#$ %% $& &#



PÁG. 82





PROBLEMA 1: TALLER N° 2 : 1. D RESPUESTA:

(1.1) Por lo tanto es de rango completo, es decir esVERKSÐHÑ œ $Þinvertible (notar que se reduce a la matriz identidad )H M$

(1.2) La matriz se reduce por filas a Î ÑÏ Ò

" 3 ! " ! ! 3 ! " ! " !! " 3 " 3 ! ! "

Î ÑÐ ÓÏ Ò

" ! ! 3 3 3

! " ! 3 3

! ! " 3 3

" " " " "# # # # #

" " " " "# # # # #" " " " "# # # # #

(1.3) HH œ M H H œ M" "$ $

PROBLEMA 2: TALLER N° 2 : (3.2) RESPUESTA:

3Ñ ÐE Ñ œ ÐE Ñ Þ PREVIO: Probar que En efecto; notar que:> " " >

ÐE ÑÐE Ñ œ ÐE ÑÐE Ñ œ ÐE EÑ œ M œ M Þ> > " > " > " > >

Por lo tanto: .ÐE Ñ œ ÐE Ñ> " " >

33Ñ ÐÐEFÑ Ñ œ ÐF E Ñ œ ÐE Ñ ÐÐF Ñ œ ÐE Ñ ÐF Ñ " > " " > " > " > > " > "

PROBLEMA 3: (3.1) TALLER N° 2: (5.1) RESPUESTA:

3Ñ ÐE E Ñ Þ PREVIO: Probar que ES SIMÈTRICA"#

>

En efecto; notar que: Ð ÐE E Ñ Ñ œ ÐE E Ñ œ ÐE ÐE Ñ Ñ" " "# # #

> > > > > > >

œ ÐE EÑ œ ÐE E Ñ" "# #

> >



PÁG. 83



Probar que ES ANTISIMÈTRICA"#

>ÐE E Ñ Þ

En efecto; notar que: Ð ÐE E Ñ Ñ œ ÐE E Ñ œ ÐE ÐE Ñ Ñ" " "# # #

> > > > > > >

œ ÐE EÑ œ ÐE E Ñ" "# #

> >

33Ñ à E Por lo tanto toda matriz se puede escribir como: E œ ÐE E Ñ ÐE E Ñ" "

# #> >

donde el primer sumando es SIMÉTRICO y el segundo sumando esANTISIMÉTRICO.

(3.2) : (5.2) b)TALLER N° 2 RESPUESTA:

3Ñ ÐG G Ñ œ# #3 !

! # #3" "# #

> Œ 33Ñ ÐG G Ñ œ

! !! !

" "# #

> Œ 333Ñ G œ

# #3 ! ! !! # #3 ! !

Por lo tanto: " "# #Œ Œ

PROBLEMA 4: (4.1) TALLER N° 2: (7.1) RESPUESTA:

E œŒ Œ Œ Œ $ ! " !! " % " !

" ! "

! "&$

%$

(4.2) TALLER N° 2: (7.2) RESPUESTA: no es matriz invertible, por loF tanto no se puede expresar como un producto de matrices elementales.

PROBLEMA 5: (5.1) TALLER N° 2: (8.1) RESPUESTA: % $ $#- - -$ #

(5.2) TALLER N° 2: (8.3) RESPUESTA: )!



PÁG. 84




(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3: (3.1) Demostrar que: Si Entonces E − Þ`

8 B 8 ÐE Ñ œ ÐE Ñ> " " >Þ

(3.2) Dada la matriz encuentre la matriz E œ" " #$ % &! " "

Î ÑÏ Òà

inversa si corresponde y verifique que à E E œ M Þ "$





PÁG. 85




PREGUNTA 3: (3.1) :DEMOSTRACIÓN1°) Se debe verificar que: E ÐE Ñ œ ÐE Ñ E œ M Þ> > " > " >

8 #

2°) En efecto: " " " E ÐE Ñ œ E ÐE Ñ œ E E œ M œ M> > " > " > " > >

8 8 ‘ ‘ "

ÐE Ñ E œ ÐE Ñ E œ E E œ M œ M> " > " > > " > >8 8 ‘ ‘

3°) Por lo tanto ÐE Ñ œ ÐE Ñ> " " >Þ "

(3.2) 1°) Supongamos que es invertible:E

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò" " # " ! ! " " # " ! !$ % & ! " ! ! ( " $ " !! " " ! ! " ! " " ! ! "

Ä

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò" " # " ! ! " ! " " ! "! " " ! ! " ! " " ! ! "! ( " $ " ! ! ! ' $ " (

Ä

Î ÑÏ Ò

Î ÑÐ ÓÏ Ò

" ! " " ! "! " " ! ! "

! ! " Ä

" ! !

! " !

! ! " " " (# ' '

$ " "$# ' '" " "# ' '" " (# ' '

%2°) Por lo tanto; la inversa es:

E œ œ

$ " "

* " "$

$ " (

"

$ " "$# ' '

" " "# ' '" " (# ' '

"'

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò #

3°) Verificación:

EE œ" " # * " "$$ % & $ " "! " " $ " (

" "'

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò "

œ œ' ! ! " ! !! ' ! ! " !! ! ' ! ! "

"'




PÁG. 86




(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3: (3.1) Demuestre que: Si Entonces es antisimétrica. E − Þ ÐE E Ñ`

8 B 8

"#

>

(3.2) Dada la matriz encuentre la E œ" " $# # !

% & (

Î ÑÏ Òà

matriz inversa si corresponde y verifique que à E E œ M Þ "$





PÁG. 87




PREGUNTA 3: (3.1) :DEMOSTRACIÓN Si Entonces es antisimétrica. E − Þ ÐE E Ñ`

8 B 8

"#

>

1°) Se debe verificar que: " "# #

> >ÐE E Ñ œ ÐE E Ñ ‘> #

2°) En efecto: " " ÐE E Ñ E E Ñ E E ‘ ‘ ‘" " "

# # #> > > > >>

œ Ð œ

" " œ ÐE œ E Ñ ÐE E Ñ" "

# #> > ‘

3°) Por lo tanto " "# #

> >ÐE E Ñ œ ÐE E Ñ ‘>Þ " (o es antisimétrica)"

#>ÐE E Ñ

(3.2) : SOLUCIÓN1°) Supongamos que es invertible:E


" " $ " ! ! " " $ " ! !# # ! ! " ! ! ! ' # " ! % & ( ! ! " ! " & % ! "

Ä

Î ÑÏ Ò

Î ÑÐ ÓÏ Ò

" ! ) & ! "! " & % ! "! ! ' # " !

Ä

" ! ! "

! " ! "

! ! " !

( %$ $( &$ '" "$ '

%2°) Por lo tanto; la inversa es:

E œ œ

"

"

!

"% ) '"% & '# " !

"

( %$ $( &$ '" "$ '

"'

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò #

3°) Verificación:

EE œ" " $ "% ) '# # ! "% & '

% & ( # " !

" "'


œ œ' ! ! " ! !! ' ! ! " !! ! ' ! ! "

"'




PÁG. 88




(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3:

(3.1) Encuentre la matriz inversa de y escriba siE œ# "" $Œ

corresponde; la matriz como un producto de matrices elementalesE .

(3.2) Demuestre que: Si son simétricas. Entonces .EßF − ÐEFÑ œ FE`

8 B 8

>





PÁG. 89



PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __14PREGUNTA 3: (3.1) :SOLUCIÓN1°) Determinar la inversa y las respectivas matrices elementales:

Œ Œ Œ # " " ! " $ ! " ! "" $ ! " # " " ! " !

J Ä Ê I œ"# "

J Ð #ÑJ Ä Ê I œ" $ ! " " !! & " # # "# " #Œ Œ

Ð ÑJ Ä Ê I œ" $ ! " " !

! " ! "& # $" # "

& & &Œ Œ

J Ð $ÑJ Ä Ê I œ" !

! "

" $! "" # %

$ "& &" #& &

Œ 2°) La inversa de es: ; E E œ

$ " " #

" "&Œ %

y además: M œ I I I I E Ê E œ ÐI I I I Ñ# % $ # " % $ # ""

3°) Por lo tanto; la matriz como producto de matricesEelementales es: donde:E œ I I I I" # $

" " " "%

I À Ä I œ! " " ! " ! ! " ! "" ! ! " ! " " ! " !" "

" "Œ Œ Œ Ê

I À Ä I œ" ! " ! " ! " ! " ! # " ! " ! " # " # "# #

" "Œ Œ Œ Ê

I À Ä I œ" ! " !

! ! " ! " ! & ! &" ! " ! " !

$ $" "

"&

Œ Œ Œ Ê

I À Ä I œ" $ " ! " ! " $ " $! " ! " ! " ! " ! "% %

" "Œ Œ Œ Ê

Luego: E œ Œ Œ Œ Œ ! " " ! " ! " $" ! # " ! & ! "

%

(3.2) :DEMOSTRACIÓN1°) HIPÓTESIS: yE œ E F œ F> > #

2°) Se debe DEMOSTRAR que: ÐEFÑ œ FE> Þ "

En efecto: " " ÐEFÑ> œ F E œ FE> > ; por la hipótesis "

3°) Por lo tanto ÐEFÑ œ FE> "



PÁG. 90




(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3:

(3.1) Dada T œ! "

Œ " "# # .

Encuentre la matriz inversa de y escríba como un T T "

producto de matrices elementales.

(3.2) Demuestre que: Si es simétrica. Entonces es simétrica.E − E E`

8 B 8

>





PÁG. 91




(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3: (3.1) Sean matrices invertibles. Dada la siguiente proposicón,EßFdetermine si es verdadera o falsa: ÐÐEFÑ Ñ œ ÐE Ñ ÐF Ñ" > > " > "

(3.2) Dada la matriz encuentre la matriz inversa E œ" # $" " #! " #

Î ÑÏ Òà

si corresponde y verifique que E E œ M Þ "$





PÁG. 92




(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3:

(3.1) Encuentre la matriz inversa de y escriba siE œ% (" %Œ

corresponde; la matriz como un producto de matrices elementalesE .

(3.2) Demuestre que: Si Entonces es simétrica.E − ÐE E Ñ`

8 B 8Þ "

#>





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UNIDAD I I : DETERMINANTES

TEMA 3: DETERMINANTES, MATRIZ ADJUNTA E INVERSAS DE MATRICES

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la matriz de los cofactores asociada a una matriz.OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular a partir de la matriz de cofactores, la matrizadjunta asociada.OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la matriz inversa, a partir del determinante y la matriz adjunta.

(3.1) :INTRODUCCIÓN En este tema se trata de relacionar el cálculo de las matricesinversas, mediante el uso de determinantes.

(3.2) TEOREMA: es invertible si y solo si .E − ./> E Á !`

8 B8

(3.3) : TEOREMA Si invertible. Entonces E − ./> ÐE Ñ œ`

8 B8" "

./> E

(3.4) :DEFINICIÓN Sea .E œ Ð+ Ñ − Ð Ñ

3 4 8 B8` ‘

Se llama MATRIZ DE LOS COFACTORES DE LA MATRIZ a unaEmatriz ; donde es el cofactor de la matriz F œ ÐE Ñ − Ð Ñ E 34 E

3 4 8 B8 3 4` ‘

que está dado por: E œ Ð "Ñ ./>ÐQ Ñ à 3 ß 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Þ

3 4 3 434

Es decir: F œ

E E E ÞÞÞ E ÞÞÞ E



ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞE E E

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"" "# "$ " 4 "8

#" ## #$ # 4 #8

$" $# $$ $ 4 $8

3 " 3 # 3 $ÞÞÞ E ÞÞÞ E

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞE E E ÞÞÞ E ÞÞÞ E

3 4 38

8 " 8 # 8 $ 8 4 8 8



PÁG. 94



(3.4.1) :EJEMPLO

Encuentre la matriz de cofactores de E œ! " #

" " $! # "

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1°) donde MATRIZ DE COFACTORES Ð E Ñ E œ Ð "Ñ ./> Q34 34 34

34

E œ ./> œ & E œ ./> œ "" $ " $# " ! """ "#Œ Œ

E œ ./> œ # E œ ./> œ $ " " " #! # # ""$ #"Œ Œ

E œ ./> œ ! E œ ./> œ !! # ! "! " ! ### #$Œ Œ

E œ ./> œ " E œ ./> œ #" # ! #" $ " $$" $#Œ Œ

E œ ./> œ "Þ! "

" "$$ Œ

2°) Por lo tanto; la matriz de cofactores es:

F œ& " #

$ ! ! " # "

Î ÑÏ Ò

(3.4.2) :EJEMPLO

Encuentre la matriz de cofactores de E œ" " $# # !

% & !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1º) donde MATRIZ DE COFACTORES Ð E Ñ E œ Ð "Ñ ./> Q34 34 34

34

E œ ./> œ ! E œ ./> œ ! # ! # !& ! % !"" "#Œ Œ

E œ ./> œ # E œ ./> œ "&# # " $

% & & !"$ #"Œ Œ

E œ ./> œ "# E œ ./> œ "" $ " "

% ! % &## #$Œ Œ

E œ ./> œ ' E œ ./> œ ' " $ " $ # ! # !$" $#Œ Œ

E œ ./> œ !Þ" "# #$$ Œ


F œ! ! #"& "# "' ' !

Î ÑÏ Ò



PÁG. 95



(3.4.3) :EJEMPLO

Encuentre la matriz de cofactores de E œ % & !# # $# # !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1º) donde MATRIZ DE COFACTORES Ð E Ñ E œ Ð "Ñ ./> Q34 34 34

34

E œ ./> œ ' E œ ./> œ ' # $ # $ # ! # !"" "#Œ Œ

E œ ./> œ ! E œ ./> œ !# # & !# # # !"$ #"Œ Œ

E œ ./> œ ! E œ ./> œ # % ! % &# ! # ### #$Œ Œ

E œ ./> œ "& E œ ./> œ "#& ! % !

# $ # $$" $#Œ Œ

E œ ./> œ #Þ % &# #$$ Œ


F œ' ' !! ! #"& "# #

Î ÑÏ Ò

(3.5) :DEFINICIÓN Sea y definida comoE œ Ð+ Ñ − Ð Ñ F œ ÐE Ñ − Ð Ñ

3 4 8 B8 3 4 8 B8` ‘ ` ‘

en (3.4). Se llama MATRIZ ADJUNTA DE LA MATRIZ ; la que denotaremosEpor a la MATRIZ TRANSPUESTA DE LA MATRIZ ; es decir:+.4 ÐEÑ F

+.4 ÐEÑ œ F œ




ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞE E E ÞÞ

>

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"" "# "$ " 4 "8

#" ## #$ # 4 #8

$" $# $$ $ 4 $8

3 " 3 # 3 $Þ E ÞÞÞ E


3 4 38

8 " 8 # 8 $ 8 4 8 8

>

œ

E E E ÞÞÞ E ÞÞÞ EE E E ÞÞÞ E ÞÞÞ EE E E ÞÞÞ E ÞÞÞ EÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞE E E ÞÞÞ E ÞÞÞ E

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"" #" $" 3 " 8 "

"# ## $# 3 # 8 #

"$ #$ $$ 3 $ 8 $

" 4 # 4 $ 4 3 4 8 4

"8 #8 $8 38 8 8




PÁG. 96



(3.5.1) :EJEMPLO

Encuentre la matriz adjunta de E œ! " #

" " $! # "

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1°) Por (3.4.1); la matriz de cofactores es:

F œ& " #

$ ! ! " # "

Î ÑÏ Ò

2°) MATRIZ ADJUNTA: F œ +.4 ÐEÑ œ& $ "

" ! # # ! "

>Î ÑÏ Ò

(3.5.2) :EJEMPLO

Encuentre la matriz adjunta de E œ" " $# # !

% & !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1º) Por (3.4.2); la matriz de cofactores es:

F œ! ! #"& "# "' ' !

Î ÑÏ Ò

2º) MATRIZ ADJUNTA: F œ +.4 ÐEÑ œ! "& '! "# '# " !

>Î ÑÏ Ò

(3.5.3) :EJEMPLO

Encuentre la matriz adjunta de E œ % & !# # $# # !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1º) Por (3.4.3); la matriz de cofactores es:

F œ' ' !! ! #"& "# #

Î ÑÏ Ò

2º) MATRIZ ADJUNTA: F œ +.4 ÐEÑ œ' ! "&' ! "#! # #

>Î ÑÏ Ò



PÁG. 97



(3.6) : TEOREMA Si es invertible.E œ Ð+ Ñ − Ð Ñ

3 4 8 B8` ‘

Entonces E œ +.4 ÐEÑ œ Þ" "./> E ./> E

+.4 ÐEÑ

(3.6.1) :EJEMPLO

Encuentre la matriz inversa de E œ! " #

" " $! # "

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:

1°) Por (3.5.1); y +.4 ÐEÑ œ ./> ÐEÑ œ $& $ "

" ! # # ! "

Î ÑÏ Ò

2°) MATRIZ INVERSA: E œ& $ "

" ! # # ! "

" "$

Î ÑÏ Ò

(3.6.2) :EJEMPLO

Encuentre la matriz inversa de E œ" " $# # !

% & !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:

1º) Por (3.5.2); y +.4 ÐEÑ œ ./> ÐEÑ œ '! "& '! "# '# " !

Î ÑÏ Ò

2º) MATRIZ INVERSA: E œ! "& '! "# '# " !

" "'

Î ÑÏ Ò

(3.6.3) :EJEMPLO

Encuentre la matriz inversa de E œ % & !# # $# # !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:

1º) Por (3.5.3); y +.4 ÐEÑ œ ./> ÐEÑ œ '' ! "&' ! "#! # #

Î ÑÏ Ò

2º) MATRIZ INVERSA: E œ' ! "&' ! "#! # #

" "'

Î ÑÏ Ò



PÁG. 98



UNIDAD N° 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 1: DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS:

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de una ecuaciónlineal con dos incógnitas de un sistema de dos ecuaciones lin eales con dosincógnitas.

(1.1) :DEFINICIÓN Llamaremos ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS; a unarreglo algebraico de la forma ó )+ B , C œ - à +ß ,ß - − Ð‘ ‚

tal que e son las incógnitas o variables, y son los coeficientes deB C + ,las variables o ; y es la constante.Ð+ Á ! , Á !Ñ -

(1.2) :DEFINICIÓN Llamaremos SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL CON DOSINCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier par de números reales (ocomplejos) que al ser sustituídos en las variables transforman a laecuación lineal en una identidad o igualdad verdadera.

(1.3) :DEFINICIÓN Llamaremos SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOSINCÓGNITAS; a un CONJUNTO de dos ecuaciones lineales con dosincógnitas, que usualmente denotaremos por el siguiente arregloalgebraico

+ B + B œ , + ß , − Ð 3 œ "ß # 4 œ "ß #

+ B + B œ ,"" " "# # "

#" " ## # #

ó ) con y 3 4 3

‘ ‚

tal que son las incógnitas o variables, son los coeficientes de lasB +4 3 4

variables y son constantes.,3

(1.4) :DEFINICIÓN Llamaremos SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONESLINEALES CON DOS INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier par denúmeros reales que al ser sustituídos en las variables transforman a cadauna de las ecuaciones lineales del sistema en una identidad o igualdadverdadera.



PÁG. 99



(1.5) :DEFINICIÓN Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales sonEQUIVALENTES; si estos tienen el mismo conjunto solución.

(1.6) :DEFINICIÓNa) Se dice que un sistema es CONSISTENTE si este tiene solución.b) Se dice que un sistema es INCONSISTENTE si este no tienesolución.

(1.7) :EJEMPLO

(1.7.1) Resolver #B C œ ! Ê C œ #B

B #C œ "

Reemplazando en la otra ecuación B #Ð #BÑ œ "

Ê B œ à C œ " #& &

Luego, el conjunto solución del sistema es ˜ ™Ð ß Ñ" #& &

(Notar que este sistema se trata de dos rectas que se intersectan)


%B #C œ !

Reemplazando en la otra ecuación %B #Ð #BÑ œ !

Ê ! œ ! Luego, el conjunto solución del sistema es ˜ ™ÐB ß CÑ − ÎC œ #B‘#

(Notar que este sistema se trata de UNA SOLA ECUACIÓN, por locual tiene infinitas soluciones)


%B #C œ "

Reemplazando en la otra ecuación %B #Ð #BÑ œ " Ê ! œ " lo cual es una contradicción, es decir el sistema NO TIENESOLUCIÓN. (Notar que este sistema se trata de dos rectas paralelas)



PÁG. 100



TEMA 2: ECUACIONES LINEALES CON INCÓGNITAS:7 8 ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN Y GAUSSIANA

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de una ecuaciónlineal con incógnitas . 8 à 8 −

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de un sistema deecuaciones lineales con incógnitas .7 8 à 7 à 8 −

OBJETIVO OPERACIONAL: Analizar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, cuando la solución depende de un parámetro.OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir la solución de un sistema de ecuacioneslineales como la suma del conjunto solución del sistema homogéneo y el conjunto dado por una solución particular.

(2.1) DEFINICIÓN: Llamaremos ECUACIÓN LINEAL CON INCÓGNITAS; a un arreglo8algebraico de la forma ó )+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ , à + ß , − Ð

3" " 3# # 3 4 4 38 8 3 3 4 3‘ ‚

es fijo 3 à 4 œ "ß #ß ÞÞÞß 8tal que son las incógnitas o variables, son los coeficientes de lasB +

4 3 4

variables; y son constantes.,3

(2.2) :DEFINICIÓN Llamaremos SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL CON 8INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier - upla de números reales (o8complejos) que al ser sustituídos respectivamente en las variables8transforman a la ecuación lineal en una identidad o igualdad verdadera.

(2.2.1) :EJEMPLO Resolver #B C œ ! Ê C œ #B Luego, el conjunto solución del sistema es ˜ ™ÐB ß CÑ − ÎC œ #B‘#


(2.2.2) :EJEMPLO Resolver #B C $D œ " Ê C œ " #B $D Luego, el conjunto solución del sistema es ˜ ™ÐB ß C ß DÑ − ÎC œ " #B $D‘$




PÁG. 101



(2.2.3) :EJEMPLO Resolver #B C $D A œ " Ê C œ " #B $D A Luego, el conjunto solución del sistema es ˜ ™ÐB ß C ß D ßAÑ − ÎC œ " #B $D A‘%


(2.3) :DEFINICIÓN Llamaremos SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON 7 8INCÓGNITAS; a un CONJUNTO de ecuaciones lineales con 7 8incógnitas, que usualmente denotaremos por el siguiente arregloalgebraico

+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,



"" " "# # " 4 4 "8 8 "

#" " ## # # 4 4 #8 8 #

3 " " 3 # # 3 4 4 3 8 8 3

+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,7" " 7# # 7$ 4 78 8 7

ó )+ ß , − Ð3 4 3

‘ ‚

con , ... , y , ... , 3 œ "ß # 7 4 œ "ß # 8

tal que son las incógnitas o variables, son los coeficientes de lasB +4 3 4

variables y son constantes.,3

(2.4) :DEFINICIÓN Llamaremos SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES7LINEALES CON INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier - upla de8 8números reales (o complejos) que al ser sustituídos en las variablestransforman a cada una de las ecuaciones lineales del sistema en unaidentidad o igualdad verdadera.

(2.5) :DEFINICIÓN Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales sonEQUIVALENTES; si estos tienen el mismo conjunto solución.



PÁG. 102



(2.6) MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN PARA RESOLVERUN SISTEMA DE ECUACIONES CON INCÓGNITAS:7 8 Consideremos el sistema de ecuaciones como en (2.3):

1°) Intercambiar si corresponde en el sistema una ecuación concoeficiente de la primera variable distinta de cero, obteniéndose unB

"

sistema equivalente; de tal manera que + Á !Þ""

2°) Cambiamos cada una de las ecuaciones; posteriores a la primerapor: para , obteniéndose el siguienteI3 Ä + I" + I3 à 3 Á "

3 " ""

sistema equivalente:


+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,

+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,

"" " "# # " 4 4 "8 8 "

## # 4 #8 ## 4 8

3 # 3 4 3 8 3# 4 8

‡

‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡

+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,7# 7$ 78 7# 4 8

‡ ‡ ‡ ‡

3°) De la segunda ecuación en adelante, se elige la que tenga la variablepara el menor subíndice y se coloca como segunda ecuación.4Supongamos que en el sistema anterior + Á !Þ

##

‡

Cambiamos las filas restantes a la segunda por: para ,I3 Ä + I# + I3 à 3 Á #

3 ##2

‡

obteniéndose el siguiente sistema equivalente:

+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,"" " 4 "8 "" 4 8‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡

+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,## # 4 #8 ## 4 8‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡

+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,$$

$ 4 8$4 $8 $

‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,

3 $ 3 4 38 3$ 4 8‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,

7$ 7$ 78 7$ 4 8‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡



PÁG. 103



4°) Así sucesivamente; se procede en forma análoga; hasta obtener unsistema equivalente de la forma:

+ B œ ,"" ""

+ B œ ,## ##

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B œ ,

34 34

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B œ ,

78 78

en el cual se observan las variables "casi" despejadas.

(2.7) :OBSERVACIÓN En la solución de un sistema de ecuaciones, se puede tener algunode los siguientes tres casos:a) tiene solución única. b) no tiene solución. c) tiene infinitas soluciones.

(2.8) :DEFINICIÓN Se dice que el sistema de ecuaciones como en (2.3), es un SISTEMAHOMOGENEO cuando las constantes ; para todo , œ ! 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7 Þ

3

Es decir, es de la forma: + B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ !

+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ !

+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ !

"" " "# # " 4 4 "8 8

#" " ## # # 4 4 #8 8

3 " " 3 # # 3 4 4 3 8 8

+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ !7" " 7# # 7$ 4 78 8

(2.9) :OBSERVACIÓN La solución de un sistema homogeneo; se obtiene de maneraanáloga al del sistema no homogeneo de la DEFINICIÓN (2.3). Un sistema homogeneo tiene SIEMPRE solución; ya que a lo menostiene la solución trivial, es decir la - upla CERO , cuando todos los8valores de las variables son iguales a , o sea para todo! B œ !ß

4

4 œ "ß #ß ÞÞÞß 7 Þ



PÁG. 104



(2.10) REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA:

La representación matricial del sistema de ecuaciones visto en (2.3)es:

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø





"" "# "4 "8

#" ## #4 #8

3" 3# 38

7" 7# 74 78

+34

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

BBÞÞÞB

ÞÞÞB

œ

,,ÞÞÞ,ÞÞÞ,

"

#

4

8

"

#

3

7

lo cual podemos simplificar denotando: ; y la matriz recibeE\ œ F Eel nombre de MATRIZ DE LOS COEFICIENTES se llama MATRIZ DEà \INCÓGNITAS y a se le llama MATRIZ DE CONSTANTES.F

(2.11) :DEFINICIÓN Se llama MATRIZ AUMENTADA asociada a un sistema deecuaciones, a la matriz formada por la matriz de los coeficientes Eaumentada en una columna por la matriz de las constantes F ; es decir lamatriz de la forma: ¸ ‘E F

(2.12) : OBSERVACIÓNa) El sistema tiene solución si y solo si: VERKS E œ VERKS E F ‘ ¸ ‘b) Para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales; serecomienda trabajar con la matriz aumentada y llevar la parte de la matrizE a la forma escalonada reducida por filas, ya que en este caso se tienenlas variables despejadas.

c) La solución general del sistema de ecuaciones lineales nohomogeneo se puede expresar como: E\ œ F W œ B W

1 : !˜ ™

donde: es una solución particular de .B E\ œ F:

es el conjunto solución general de W E\ œ ! Þ!

es el conjunto solución general de .W E\ œ F1

d) En un sistema de ecuaciones lineales con incògnitas,8 8expresado matricialmente en la forma se tiene que: si laE\ œ Fmatriz es invertible, este tiene una única solución dada por E \ œ E F Þ"



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(2.13) :EJEMPLO(2.13.1) Considere el sistema de ecuaciones:

B &C A œ "

#B C $D #A œ "

B #C D A œ !

%B C $D #A œ "

a) Escriba la representación matricial del sistema.SOLUCIÓN:1°) Se debe expresar en la forma ; dondeE\ œ F

E œ à \ œ à F œ

" & ! " B "# " $ # C "" # " " D !% " $ # A "

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

2°) La representación matricial del sistema es:

Î ÑÎ Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò Ï Ò

" & ! " B "# " $ # C "" # " " D !% " $ # A "

œ

b) Determine si el sistema tiene solución.SOLUCIÓN:1°) Verificar que se cumpla ; para loVERKS E œ VERKS E F ‘ ¸ ‘cual se debe estudiar , ya que a la vez determinamosVERKS E F ¸ ‘VERKS E ‘ y la solución del sistema de corresponder.Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

" & ! " " " & ! " "# " $ # " ! * $ ! $" # " " ! ! $ " ! "% " $ # " ! #" $ ' $

J Ð #ÑJJ Ð "ÑJJ Ð %ÑJ

Ä# "

$ "

% "

Ð Ñ"* J

J Ð &ÑJJ $JJ #"J

Ä Ê

" ! "

! " !

! ! ! ! !! ! % ' %

#

" #

$ #

% #

& #$ $

" "$ $


Por lo tanto:

VERKS E œ VERKS E F œ $ ‘ ¸ ‘

2°) Luego, el sistema tiene solución.



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c) Encuentre la solución general (SI EXISTE).W1

SOLUCIÓN:

1°) Tomando


" ! "

! " !

! ! ! ! !! ! % ' %

& #$ $

" "$ $ de lo anterior, resta solo

J

Ð ÑJ

J Ð ÑJ

J Ð ÑJ

Ä

" ! ! "

! " ! !

! ! " "

! ! ! ! !

$%"% $

" $&$

# $"$

$#

"#$#

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

2°) De donde se obtiene el siguiente sistema equivalente:

B A œ "$

#

C A œ !"

#

D A œ "$

#! œ !

y la solución general está dada por:

W œ ÐBß Cß Dß AÑ − Î B œ " Aß C œ Aß D œ " A1˜ ™‘% $ " $

# # #

d) Si corresponde; exprese c) como .W œ B W1 : !˜ ™

SOLUCIÓN:

W œ ÐBß Cß Dß AÑ − Î B œ " Aß C œ Aß D œ " A1˜ ™‘% $ " $

# # #

W œ Ð" Aß Aß " A ß AÑ Î A −1˜ ™$ " $

# # # ‘

W œ Ð" ß ! ß " ß !Ñ Ð ß ß ß "Ñ A Î A −1˜ ™$ " $

# # # ‘

W œ Ð" ß ! ß " ß !Ñ Ð ß ß ß "Ñ A Î A −1˜ ™ ˜ ™$ " $

# # # ‘

donde: solución particular del sistema, y˜ ™ ˜ ™Ð" ß ! ß " ß !Ñ Bœ:

˜ ™Ð ß ß ß "Ñ A Î A − W$ " $# # # solución del sistema homogeneo.‘ œ

!



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(2.13.2) Considere el sistema de ecuaciones:

#B C D A œ "

B #C D %A œ #

B (C %D ""A œ &

a) Escriba la representación matricial del sistema.SOLUCIÓN:

1°) Se debe expresar en la forma ; dondeE\ œ F

E œ à \ œ à F œ# " " " "" # " % #" ( % "" &

BCDA



2°) La representación matricial del sistema es:



# " " " "" # " % #" ( % "" &

BCDA

œ

b) Determine si el sistema tiene solución.SOLUCIÓN:

1°) Verificar que se cumpla ; para loVERKS E œ VERKS E F ‘ ¸ ‘cual se debe estudiar , ya que a la vez determinamosVERKS E F ¸ ‘VERKS E ‘ y la solución del sistema de corresponder.Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

# " " " " " # " % #" # " % # ! & $ ( $" ( % "" & ! & $ ( $

JJ Ð #ÑJJ Ð "ÑJ

Ä"#

# "

$ "

J J

JÄ ! "

" # " % #

! ! ! ! !

$ #"& #

$ ( $& & &

Î ÑÏ Ò

Por lo tanto

VERKS E œ VERKS E F œ # ‘ ¸ ‘

2°) Luego, el sistema tiene solución.



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SOLUCIÓN:

1°) Tomando Î ÑÏ Ò

" # " % #

! "

! ! ! ! !

$ ( $& & & de lo anterior, resta solo

J Ð #ÑJ Ä" #

Î ÑÐ ÓÏ Ò

" !

! "

! ! ! ! !

" ' %& & &

$ ( $& & &


B D A œ" ' %

& & &

C D A œ$ ( $

& & &

! œ !


W œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎB œ D A ß C œ D A1

˜ ™‘% % " ' $ $ (& & & & & &

d) Si corresponde; exprese c) como .W œ B W1 : !˜ ™

SOLUCIÓN:

W œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎB œ D A ß C œ D A1

˜ ™‘% % " ' $ $ (& & & & & &

W œ Ð D Aß D Aß D ßAÑ Î D à A −1

˜ ™% " ' $ $ (& & & & & & ‘

W œ Ð ß ß !ß !Ñ Ð ß ß "ß !ÑD Ð ß ß !ß "ÑAÎDß A −1˜ ™% $ " $ ' (

& & & & & & ‘

W œ 1

˜ ™ ˜ ™Ð ß ß !ß !Ñ Ð ß ß "ß !ÑD Ð ß ß !ß "ÑAÎDß A −% $ " $ ' (& & & & & & ‘

donde: solución particular del sistema, y˜ ™Ð ß ß !ß !Ñ B% $& & œ ˜ ™

:

˜ ™Ð ß ß "ß !ÑD Ð ß ß !ß "ÑAÎDß A − W" $ ' (& & & & ‘ œ

!solución del sistema

homogeneo.



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(2.13.3) Considere el sistema homogeneo de ecuaciones: B %C D œ !

#B C &D œ !

a) Escriba la representación matricial del sistema.SOLUCIÓN:

1°) Se debe expresar en la forma ; dondeE\ œ F

E œ à \ œ à F œ" % "# " &

B !C !D !

Œ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

2°) La representación matricial del sistema homogeneo es:

Œ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

" % "# " &

B !C !D !

œ

b) Determine si el sistema tiene solución.SOLUCIÓN: UN SISTEMA HOMOGENEO SIEMPRE TIENE SOLUCIÓN


SOLUCIÓN:

1°) Œ Œ " % " " % "# " & ! ( $

ÄJ Ð #ÑJ# "

J"( # Ä Ä

" % "

! "

" !

! " Œ $

(

"*(

$(

J Ð %ÑJ" #


B D œ !"*

(

C D œ !$

(


W œ ÐBß Cß DÑ − ÎB œ D ß C œ D1

˜ ™‘$ "* $( (

W œ Ð Dß Dß DÑ Î D − Ð ß ß "Ñ DÎ D −1

˜ ™ ˜ ™"* $ "* $( ( ( (‘ ‘œ



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(2.13.4) Considere el sistema homogeneo de ecuaciones:

5B C D œ "

B 5C D œ "

B C 5D œ "

Determine para que el sistema en 5 B ß C ß D À− ‘ i ) tenga solución única en . ‘$

ii ) no tenga solución en ‘$ Þ iii ) tenga infinitas soluciones en .‘$

SOLUCIÓN:1°) Formar la matriz aumentada:


5 " " " J" 5 " " J 5J Ð5 Á !Ñ" " 5 " J J

Ä

" 5 " "

! " 5 " 5 " 5! " 5 5 " !

"#

# "

$ "

#

""5 #

""5 $

#$

" #

$ #

J

J Ð5 Á "Ñ

J

Ä Ä" 5 " " J Ð 5ÑJ " ! " 5 "! " " ! J Ð" 5ÑJ ! " " !! " 5 " " Ð5 Á "Ñ ! ! # 5 "


2°) Por lo tanto:i ) tenga solución única en ‘$: dada por 5 Á # à " W œ ˜ ™( " " "

#5 #5 #5ß ß Ñ

ii ) no tenga solución en ‘$: , ya que 5 œ # V+819ÐEÑ Á V+819ÐE à FÑ

iii ) tenga infinitas soluciones en :‘$

dada por5Þ œ " W œ ˜ ™(B ß C ß DÑÎB œ " C D à Cß D − ‘

W œ ˜ ™(" C D ß C ß DÑÎ Cß D − ‘

(W œ ˜ ™"ß !ß !Ñ Ð "ß "ß !ÑC Ð "ß !ß "ÑDÎ Cß D − ‘

(W œ ˜ ™ ˜ ™"ß !ß !Ñ Ð "ß "ß !ÑC Ð "ß !ß "ÑDÎ Cß D − ‘

donde: solución particular del sistema, y˜ ™("ß !ß !Ñ œ ˜ ™B:

˜ ™Ð "ß "ß !ÑC Ð "ß !ß "ÑDÎ Cß D − ‘ œ W!solución del sistema

homogeneo.



PÁG. 111






À E œ à3 3 #3$3 %3 &3! 3 3

Î ÑÏ Ò

F œ à G œ à H œ! # " ! ! #3 " # $$ ! & $3 3 ! " " #( ' ! ! #3 %3 ! " #

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò;

I œ à J œ à K œ3 # , ! ! !" 3 ! ! ! -

=/8 -9= !-9= =/8 !

! ! "

! + ! !

! ! . !

Œ Î ÑÏ Ò


@ @

@ @

L œ à M œ

# ! ! (" # " %$ ! " &% # $ !

+ ! ! ! !! ! , ! !! ! ! ! -! ! ! . !! / ! ! !

Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò


(1.1) Determine el determinante de cada matriz.(1.2) Encuentre la matriz de los cofactores para cada matriz.(1.3) Encuentre la matriz adjunta de cada matriz.(1.4) Calcule usando lo anterior y cuando corresponda la inversa de cadamatriz.

2. Dada las siguientes ecuaciones lineales ( constantes):+ß ,ß -ß .I" À #B $C œ " I# À B C D œ ! I$ À #B C D A œ # I% À +B ,C œ - I& À +B ,C -D .A œ ! Para cada una de estas ecuaciones; determine:(2.1) dos soluciones particulares.(2.2) una que NO sea solución.8?:6+(2.3) TODAS las soluciones.(2.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN.

3.(3.1) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales para lasvariables ? à @ ÀW" À #? @ œ &, W# À +? ,@ œ + , # #

$? #@ œ (+ %, #,? +@ œ #, $+, +# #

(3.2) Dado los sistemas de ecuaciones lineales ( constantes):+ß ,ß -ß .W" À +B ,C œ - W# À +B ,C œ - W$ À +B ,C œ - +B ,C œ - ,B +C œ - ,B +C œ .



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Determine las condiciones sobre:a) para que el sistema tenga SOLUCIÓN ÚNICA. + C , W"b) ; y para que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES.+ , - W#c) para que el sistema NO TENGA SOLUCIÓN. + à , à - C . W$

4. Dado los siguientes sistemas de ecuaciones lineales ÀW" À #B $C œ ( W# À $B C œ ' W$ À %B #C œ & $B C œ & #B $C œ ( &B $C œ #

W% À B #B &B œ * W& À #B B #B œ ) " # $ " # $

B B $B œ # B #B $B œ *" # $ " # $

$B 'B B œ #& $B B %B œ $" # $ " # $

W' À B #B $B œ % W( À #B $B $B œ ! " # $ " # $

B $B B œ "" (B (B B œ )" # $ " # $

#B &B %B œ "$ &B B œ %" # $ # $

#B 'B #B œ ## %B B B œ #" # $ " # $

W) À B #C $D A œ $ W* À $B #B "'B &B œ ! " # $ %

$B #C D A œ ( #B "!B )B œ !# $ %

#C %D A œ " B B (B $B œ !" # $ %

B C D A œ %

W"! À #B C #D $A œ " W"" À B #C #D $A œ # $B #C D #A œ % #B %C $D %A œ & $B $C $D $A œ & &B "!C )D ""A œ "#Para cada uno de estos sistemas de ecuaciones; determine:(4.1) dos soluciones particulares si existen.(4.2) una que NO sea solución.8?:6+(4.3) TODAS las soluciones y verifíquelas.(4.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN.

5. Dado los siguientes sistemas:W" À 5B C D œ " W# À B #C 5D œ " B 5C D œ " #B 5C )D œ $ B C 5D œ "Determine los valores de para que el sistema en 5 B ß C ß D À− ‘(5.1) tenga solución única en . (5.2) no tenga solución en ‘ ‘$ $ Þ(5.3) tenga infinitas soluciones en .‘$

6. Determine para qué valores de +ß ,ß - − ‘ ; el sistema tiene solución(6.1) B #C $D œ + #B $C D œ + (6.2) $B C #D œ , B #C $D œ , B &C )D œ - B D œ -



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7. Resolver los siguientes problemas; planteando claramente elsistema de ecuaciones que corresponde:

(7.1) Hace dos años un padre era 6 veces mayor que su hijo. Hallar sus

edades actuales sabiendo que dentro de 18 años la edad del padre será el

doble que la del hijo. R: 32 y 7 .

(7.2) Cinco cuadernos y ocho lapiceros cuestan $ 115; tres cuadernos y

cinco lapiceros cuestan $ 70. Hallar el precio de cada cuaderno y cada

lapicero. R: 15 y 5.

(7.3) Hallar tres números sabiendo que el primero es igual al segundo

más la mitad del tercero; que la suma del segundo y el tercero es igual al

primero más 1, y que si se resta el segundo de la suma del primero con el

tercero el resultado es 5. R: 4 , 2 y 3

(7.4) Considere el modelo de insumo-producto de Leontief con tres

industrias: W* À B B B / œ B" " "$ # '" # $ " "

" " "% % )" # $ # #B B B / œ B

" " ""# $ '" # $ $ $B B B / œ B

donde las demandas externas son / œ "! à / œ "& à / œ $!Þ" # $

Encuentre la producción de cada industria tal que la oferta sea igual a lademanda. (7.5) Una inversionista le informa a su corredor de bolsa que todas susacciones son de las compañías OPI, SAMU y ORT; además le avisa quehace dos días su valor bajó en $ 350, pero que ayer aumentó $ 600. Elcorredor recuerda que hace dos días el precio de las acciones de API bajó$ 1 por acción; las de SAMU bajó $ 1.50 por acción, pero el precio de lasacciones de ORT subieron $ 0.50 por acción. También recuerda que ayerel precio de las acciones de API subieron $ 1.50 por acción; las deSAMU bajó $ 0.50 por acción, pero el precio de las acciones de ORTsubieron $ 1 por acción. Demuestre que el corredor no tiene informaciónsuficiente para calcular el número de acciones de la inversionista en cadacompañía, pero que si ella informa que tiene 200 acciones de ORT; elcorredor puede calcular el número de acciones de API y SAMU queposee la inversionista.

8. Determinar el valor de 5 − ‘ para que el sistema en B ß C ß D ß A À #B C D A œ " B #C D %A œ # B (C %D ""A œ 5tenga solución en . ‘%



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TALLER N° 3

1. Dadas las matrices en ` ‘ ‚8 B 8

Ð Ñ ó À E œ à! " #

" " $! # "

Î ÑÏ Ò

F œ à G œ à H œ3 #3 $3 " 3 !3 3 #3 3 ! "! 3 #3 ! " 3 " 3

" 3 !! " 3

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒŒ

I œ à J œ

# ! $ " + , ! !! " % # - . ! !! ! " & ! ! + ," # $ ! ! ! - .


(1.1) Determine el determinante de cada matriz.(1.2) Encuentre la matriz de los cofactores para cada matriz.(1.3) Encuentre la matriz adjunta de cada matriz.(1.4) Calcule usando lo anterior y cuando corresponda la inversa de cadamatriz.

2. Dada las siguientes ecuaciones lineales ( constantes):+ß ,I" À #B $C D œ " I# À #B +C ,D $A œ ! Para cada una de estas ecuaciones; determine:(2.1) dos soluciones particulares.(2.2) una que NO sea solución.8?:6+(2.3) TODAS las soluciones.(2.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN.

3. Dado el sistema de ecuaciones lineales ( constantes):+ß ,ß -ß .ß /ß 0 +B ,C œ - .B /C œ 0Determine las condiciones sobre :+ß ,ß -ß .ß /ß 0(3.1) para que el sistema tenga SOLUCIÓN ÚNICA. (3.2) para que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES.(3.3) para que el sistema NO TENGA SOLUCIÓN.

4. Dado los siguientes sistemas de ecuaciones lineales ÀW" À B C $D œ " W# À B œ C #D #B C #D œ " #C œ B $D " B C D œ $ D œ #C #B $ B #C $D œ "



PÁG. 115



W$ À B B B œ # W% À " # $B$ #

C D œ (

B $B #B œ "" # $B D% # #

$C œ ' $B &B $B œ %" # $

B D' % $

C œ "

W& À œ & W' À œ ! " " " # # $B C D B C D

# $ % $ " % ""B C D B C D ' œ "" œ

$ # " % # 'B C D B C D œ ' œ #

W( À B #C D @ A œ ! W) À #B %B (B %B &B œ ! " # $ % &

#B C D #@ $A œ ! *B $B #B (B B œ ! " # $ % &

$B #C D @ #A œ ! &B #B $B B $B œ ! " # $ % &

#B &C D #@ # A œ ! 'B &B %B $B #B œ ! " # $ % &

(AYUDA: En y hacer: )W& W' ß ? œ à @ œ à A œ" " "B C D

Para cada uno de estos sistemas de ecuaciones; determine:(4.1) dos soluciones particulares si existen.(4.2) una que NO sea solución.8?:6+(4.3) TODAS las soluciones.(4.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN.

5. Dado los siguientes sistemas:W" À B C 5D œ # W# À B $D œ $ $B %C #D œ 5 #B 5C D œ # #B $C D œ " B #C 5D œ "Determine los valores de para que el sistema en 5 B ß C ß D À− ‘(5.1) tenga solución única en . (5.2) no tenga solución en ‘ ‘$ $ Þ(5.3) tenga infinitas soluciones en .‘$

6. Determine para qué valores de +ß ,ß - − ‘ ; el sistema tiene soluciónen . ‘$ B #C %D œ + #B $C D œ , $B C #D œ -

7. Resolver los siguientes problemas; planteando claramente elsistema de ecuaciones que corresponde:

(7.1) Un comerciante liquida sus existencias de lapiceros y gomas por

$ 1000; los primeros los vende a razón de $ 10 el conjunto de tres

lapiceros, y las segundas a $ 2 cada una. Sabiendo que vendió solamente

la mitad de los lapiceros y las dos terceras partes de las gomas;

recaudando en total $ 600. Hallar las unidades que vendió de cada uno de

los artículos citados. R: 120 y 300.

(7.2) Hallar dos números cuya suma es 28 y su diferencia es 12. R: 20 y 8.



PÁG. 116





PROBLEMA 1: (1.1) TALLER N° 3: 1. D RESPUESTA:

Ð"Þ"Ñ Ð"Þ#Ñ # " 3 " 3 " 3 " 3 " 3 " 3

3 " "

Î ÑÏ Ò

Ð"Þ$Ñ +.4H œ Î ÑÏ Ò

" 3 " 3 3" 3 " 3 "" 3 " " "

Ð"Þ%Ñ ./> H Á !Þ Es invertible, ya que

H œ" " 3 " 3 3" 3 " 3 "" 3 " " "

"#

Î ÑÏ Ò

(1.2) : 1. FTALLER N° 3 RESPUESTA:

Ð"Þ"Ñ Ð+. ,-ÑÐ+. ,-Ñ

Ð"Þ#Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

.Ð+. ,-Ñ -Ð+. ,-Ñ ! ! ,Ð+. ,-Ñ +Ð+. ,-Ñ ! !

! ! .Ð+. ,-Ñ -Ð+. ,-Ñ! ! ,Ð+. ,-Ñ +Ð+. ,-Ñ

Ð"Þ$Ñ

+.4J œ


.Ð+. ,-Ñ ,Ð+. ,-Ñ ! ! -Ð+. ,-Ñ +Ð+. ,-Ñ ! !

! ! .Ð+. ,-Ñ ,Ð+. ,-Ñ! ! -Ð+. ,-Ñ +Ð+. ,-Ñ



PÁG. 117



Ð"Þ%Ñ Si Entonces no es invertible../> J œ JÐ+. ,-ÑÐ+. ,-Ñ œ !.

Si Entonces es invertible y ./> J œ JÐ+. ,-ÑÐ+. ,-Ñ Á !.

J œ"


. ,+.,- +.,-

- ++.,- +.,-

. ,+.,- +.,-

- ++.,- +.,-

! !

! !

! !

! !

PROBLEMA 2: (2.1) TALLER N° 3: 4. S5 RESPUESTA: Sean ? œ à @ œ à A œ" " "

B C D

? œ # à @ œ $ à A œ ' Ê B œ à C œ à D œ" " "# $ '

Ð%Þ"Ñ Ð%Þ#Ñ no existen Ð!ß !ß !Ñ Â W

Ð%Þ$Ñ W œ Ð%Þ%Ñ W œ ˜ ™ ˜ ™Ð ß ß Ñ Ð ß ß Ñ" " " " " "# $ ' # $ '

(2.2) : 4. S8TALLER N° 3 RESPUESTA:

1º) Formar la matriz


# % ( % & !* $ # ( " !& # $ " $ !' & % $ # !

2º) Para obtener la matriz escalonada reducida por filas


" ! ! ! !

! " ! ! !

! ! " ! !

! ! ! " !

"*"$&""##($"#(("""##($

(%#'"""##($

"'(#'""

Ê B œ B à B œ B à " & # &"*"$& "#(("""##($ ""##($

B œ B à B œ B$ & % &(%#'" "'(""##($ #'""

Ð%Þ"Ñ B œ ! Ê Ð!ß !ß !ß !ß !Ñ& B œ ""##($ Ê Ð "*"$&ß "#(("ß (%#'"ß (")"ß ""##($Ñ& Ð%Þ#Ñ Ð!ß !ß !ß !ß "Ñ Â W



PÁG. 118



Ð%Þ$Ñ W œ ˜Ð B ß B ß B ß B ß B Ñ − ÎB œ B à" # $ % & " && "*"$&

""##($‘ B œ B à B œ B àB œ B# & $ & % &

"#((" (%#'" "'(""##($ ""##($ #'""

™Ð%Þ%Ñ W œ ˜Ð B ß B ß B ß B ß B Ñ − ÎB œ B à" # $ % & " &

& "*"$&""##($‘

B œ B à B œ B àB œ B# & $ & % &"#((" (%#'" "'(""##($ ""##($ #'""

™PROBLEMA 3: TALLER N° 3 : 5. S1 RESPUESTA:

1º) Formar la matriz Î ÑÏ Ò

" " 5 #$ % # 5# $ " "


Î ÑÏ Ò

" ! # %5 ) 5! " # $5 5 '! ! $ 5 $ 5

Ð&Þ"Ñ es la solución5 Á $ Ê Ð' $5ß % #5ß "Ñúnica del sistema para un 5 0349Þ

Ð&Þ#Ñ SIEMPRE TIENE SOLUCIÓN para 5 − Þ‘ Ð&Þ$Ñ 5 œ $ Ê ÐB ß C ß D Ñ − ÎB œ & "!D à C œ $ (D W œ ˜ ™‘$

PROBLEMA 4: TALLER N° 3 : 6. RESPUESTA:


" # % +# $ " ,$ " # -


Î ÑÐ ÓÏ Ò

" ! !

! " !

! ! " + , -

(+),"!-(

(+"!,*-(

Ê W œ Ð ß ß + , - Ñ Î+ß ,ß - −˜ ™(+),"!- (+"!,*-( ( ‘

PROBLEMA 5: TALLER N° 3 : (7.1) RESPUESTA: 120 lápices y 300 gomas.



PÁG. 119




(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:

(4.1) Calcule el siguiente determinante:

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â # ! ! (" # " %$ ! " &% # $ !

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ! " #

" " $! # "

Î ÑÏ Ò





PÁG. 120




PREGUNTA 4: (4.1) : (DOS FORMAS)SOLUCIÓNa) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por fila 1 que tiene más ceros)â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

# ! ! (" # " %$ ! " &% # $ !

œ Ð "Ñ + ./>Q Ð "Ñ + ./>Q"" "%"" "" "% "%

œ Ð #Ñ./> (./># " % " # "! " & $ ! "# $ ! % # $

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò %


œ Ð #Ñ #./> #./> " & " %$ ! " &

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# ! ! ( " " " % " " " %" # " % # ! ! ( ! # ! ($ ! " & $ ! " & ! $ " &% # $ ! % " $ ! " % $ !

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â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â J Ð "ÑJ Ð "ÑG à G% " # "#

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â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â %

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PÁG. 121



(4.2) : SOLUCIÓN1º) donde MATRIZ DE COFACTORES Ð E Ñ E œ Ð "Ñ ./> Q34 34 34

34

E œ ./> œ & E œ ./> œ "" $ " $# " ! """ "#Œ Œ

E œ ./> œ # E œ ./> œ $ " " " #! # # ""$ #"Œ Œ

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Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ& " #

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Î ÑÏ Ò

2º) MATRIZ ADJUNTA:

F œ +.4 ÐEÑ œ& $ "

" ! # # ! "

>Î ÑÏ Ò #



PÁG. 122




(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:

(4.1) Calcule el siguiente determinante

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â( ! " #% # $ "& ! ! $! # " %

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ Þ" " $# # !

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Î ÑÏ Ò





PÁG. 123




PREGUNTA 4: (4.1) : (DOS FORMAS)SOLUCIÓNa) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por columna 2 que tiene más ceros)â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â( ! " #% # $ "& ! ! $! # " %

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PÁG. 124



(4.2) : SOLUCIÓN E œ" " $# # !

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1º) donde MATRIZ DE COFACTORES Ð E Ñ E œ Ð "Ñ ./> Q34 34 3434

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Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ! ! #"& "# "' ' !

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F œ +.4 ÐEÑ œ! "& '! "# '# " !

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PÁG. 125




(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:


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(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ Þ % & !# # $# # !

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PÁG. 126




PREGUNTA 4: (4.1) : (DOS FORMAS)SOLUCIÓNa) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por fila 3 que tiene más ceros)â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

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PÁG. 127



(4.2) : SOLUCIÓN E œ % & !# # $# # !

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1º) donde MATRIZ DE COFACTORES Ð E Ñ E œ Ð "Ñ ./> Q34 34 3434

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Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ' ' !! ! #"& "# #

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F œ +.4 ÐEÑ œ' ! "&' ! "#! # #

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PÁG. 128




(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:


â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â " ! ( #$ ! % $! # & "

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(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ Þ# # !# # $

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PÁG. 129




(4.1) (4.2)

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PUNTAJEPREGUNTA 4:


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(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ Þ! & %$ # #! # #

Î ÑÏ Ò





PÁG. 130




(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:


â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â! " ( #" ! & !! " & !

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(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ Þ! & %

# $ # # ! #

Î ÑÏ Ò





PÁG. 131




UNIDAD N° 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 3: REGLA DE CRAMER

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar la solución de un sistema de ecuacioneslineales usando la Regla de Cramer. OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el valor de una variable determinada del sistema usando la Regla de Cramer.

(3.1) INTRODUCCIÓN: Consiste en un método de resolución de ecuaciones lineales dondecoincide el número de ecuaciones con el número de incógnitas; de laforma es decir y además se exige que la matriz E\ œ Fß E − à E`8B8

sea invertible, o sea . Recordemos que anteriormente se vió que./> E Á !cuando la matriz de los coeficientes era invertible, este sistema tiene unaEúnica solución que está dada por: . En este punto se da otra\ œ E F"

posibilidad de solución haciendo uso del determinante.

(3.2) :TEOREMA Si se tiene el sistema de ecuaciones lineales con incógnitas8 8denotado matricialmente por tal que y la matriz de losE\ œ F ./> E Á !coeficientes la denotamos por:E

E œ E E E ÞÞÞ E ÞÞÞ Ec d" # $ 4 8

donde son las columnas de la matriz ; yE Ð4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8Ñ E4

\ œ

BBBÞÞÞB

ÞÞÞB

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"

#

$

4

8

es el vector de las incógnitas o variables del sistema.8



PÁG. 132



Entonces la solución única del sistema está dada por:

B œ4

" # $ 4" 4" 8./> E E E ÞÞÞ E F E ÞÞÞ E

./> E

‘

:+<+ >9.9 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Þ

(3.3) : OBSERVACIÓN Notar que para encontrar la solución de cualesquiera de lasvariables del sistema; en el numerador se calcula el determinante de lamatriz que se obtiene de sustituir la columna respectiva de la variable porla matriz de constantes.

(3.4) : EJEMPLO

(3.4.1) Dado el siguiente sistema: 5B C D œ "

B 5C D œ "

B C 5D œ "

Usando la REGLA DE CRAMER (NO SE PERMITE OTROPROCEDIMIENTO) Encuentre el valor de la variable " " cuando elÞ Cparámetro 5 œ " Þ

SOLUCIÓN:

1°) Notar que la representación matricial del sistema es:

E\ œ F Í œ " " " B "" " " C "" " " D "

Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò

2°) El sistema se puede resolver por REGLA DE CRAMER si ;./> E Á !y por lo tanto la solución es única.

./> E œ ./> Ä ./> " " " " " "" " " ! ! #" " " ! # !

J JJ J

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò# "

$ "

J Ä ./> œ Ð "ÑÐ#ÑÐ#Ñ œ % Ê ./> E Á !Þ " " "! # !! ! #

#$

Î ÑÏ Ò

Por lo tanto, se puede aplicar la regla.



PÁG. 133



3°) Como se quiere solamente el valor de la variable ; cuyosCcoeficientes en las ecuaciones del sistema corresponden a la segunda

columna de la matriz , se reemplaza dichaE œ " " "" " "" " "

Î ÑÏ Ò

columna por la matriz quedando la matriz .F œ à" " " "" " " "" " " "


Por lo tanto:

C œ œ œ œ "

./> Ä ./>" " " " " "" " " ! # #" " " ! # !

./> Ä ./>" " " " " "" " " ! ! #" " " ! # !

J JJ J

J JJ J

%%

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

# "

$ "

# "

$ "

(3.4.2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la Regla de Cramer: B B B œ (

#B &B œ %

$B B œ #

" # $

" $

# $

SOLUCIÓN:1°) Notar que la representación matricial del sistema es:

E\ œ F Í œ" " " B (# ! & B %! $ " B #


"

#

$


./> E œ ./> J Ð #ÑJ Ä ./> œ "*" " " " " "# ! & ! # (! $ " ! $ "

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò# "

Por lo tanto, se puede aplicar la regla.Ê ./> E Á !Þ

3°) El valor de las variables y están dados por:B à B B" # $

B œ œ œ"

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( " " ( " " " ( "% ! & % ! & ! % &# $ " # $ " $ # "

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Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ ØÔ ×Õ Ø



PÁG. 134



B œ œ"

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Ô ×Õ Ø

Ð Ñ œ"#$ "#$"* "*

B œ œ œ œ#

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B œ œ œ œ$

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" " ( " " ( " " (# ! % # ! % ! # "!! $ # ! $ # ! $ #

./>

" " "# ! &! $ "

"* "*


$%"*

(3.4.3) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la Regla de Cramer: B B B œ (

#B #B $B œ "

%B B B œ !

#B B %B œ #

" $ %

# $ %

" # $

" # $

SOLUCIÓN:1°) Notar que la representación matricial del sistema es:

E\ œ F Í œ

" ! " " B (! # # $ B "% " " ! B !

# " % ! B #


"

#

$

%


./> E œ ./>

" ! " "! # # $% " " !

# " % !


œ G Ä ./>

" ! " " $ # # !! " " %! " % #

"%




PÁG. 135



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" ! " "! # " $! " " %! " % #

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" " % " " %" % # # " $

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò"$

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J Ð #ÑJ

" % #! $ #! * (

# "

$ "

Î ÑÏ Ò

Por lo tanto, se puede aplicar la regla.

3°) El valor de las variables y están dados por:B à B B B" # $ %

;

B B" #œ œ

./> ./>

( ! " " " ( " "" # # $ ! " # $! " " ! % ! " !# " % ! # # % !

$* $*

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

B B$ %œ œ

./> ./>

" ! ( " " ! " (! # " $ ! # # "% " ! ! % " " !# " # ! # " % #

$* $*


REVISE Y TERMINE LOS CÁLCULOS !! . Encuentre la solución.



PÁG. 136



UNIDAD N° 4: ESPACIOS VECTORIALES

TEMA 1: DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

OBJETIVO OPERACIONAL: Verificar las propiedades de espacio vectorial que se cumplen para un conjunto, un cuerpo y las correspondientes operaciones.

(1.1) :DEFINICIÓN Sean un cuerpo o campo y un conjunto dotado de dosŠ 9Z Áoperaciones:

a) ADICIÓN O SUMA VECTORIAL: Para todo se tiene que ,@ à @ − Z Ð @ @ Ñ − Z

" # " #

b) MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR: Para todo ; se tiene que .! Š !− @ − Z @ − Z

Diremos que tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL SOBREZEL CUERPO si y solo si se satisfacen los siguientes axiomas:Š

(AX. 1) PROPIEDAD DE CLAUSURA PARA LA SUMA VECTORIAL: Si Entonces .@ ß @ − Z Þ Ð@ @ Ñ − Z

" # " #

(1.1.1) : EJEMPLO Considere el conjunto (reales positivos) y el cuerpo de los‘

números reales con la suma vectorial y producto escalar definido por ‘B Š C œ BC à B œ B a − ß a Bà C − ! ! ‘ ‘!

Determine si: La operación está bien definida.Š

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que : a Bà C − B Š C −‘ ‘

2º) Como , ya que B Š C œ B C − Bà C −‘ ‘

3º) Luego, la operación satisface la propiedad de clausura o esŠcerrada en . Es decir, está bien definida. ‘



PÁG. 137



(1.1.2) : EJEMPLO Considere el conjunto Z œ ˜ ™ÐB ß C Ñ − ÎB ! ß C !‘#

y el cuerpo de los números reales con la suma vectorial y producto‘escalar definido por ,a − ß a ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ −! ‘ Z : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à ÐB ß CÑ œ ÐB ß C Ñ! ! !

Determine si: La operación está bien definida.Š

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , : a ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ − ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ −Z Z

2º) Como , ya que y porÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ − Bà Cà ?à @ !Z consiguiente B ? ! ß C @ !

3º) Luego, la operación satisface la propiedad de clausura o esŠcerrada en . Es decir, está bien definida. Z

(1.1.3) : EJEMPLO Considere el conjunto y el cuerpo de los números`#B #Ð‘Ñcomplejos ; con la suma habitual de matrices y el producto escalar‚

definido por .! ! ‚!

œ a −+ , + ,- . - .Œ Œ

Determine si: La operación está bien definida.

SOLUCIÓN:

1°) La suma habitual de matrices es , a − Ñ À+ , / 0- . 1 2Œ Œ `#B #Ð‘

Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2

œ

2º) Se debe verificar que:

a − Ñ À − Ñ+ , / 0 + , / 0- . 1 2 - . 1 2Œ Œ Œ Œ , : ` `#B # #B #Ð Ð‘ ‘

3º) Como ,Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2

œ − Ñ`#B #Ð‘

ya que , . Œ Œ + , / 0- . 1 2

− Ñ`#B #Ð‘

4º) Luego, la operación está bien definida.



PÁG. 138



(AX. 2) PROPIEDAD ASOCIATIVA PARA LA SUMA VECTORIAL: : a @ ß @ ß @ − Z Ð@ @ Ñ @ œ @ Ð @ @ Ñ

" # $ " # $ " # $


números reales con la suma vectorial y producto escalar definido por ‘B Š C œ B C à B œ B a − ß a Bà C − ! ! ‘ ‘!

Determine si: La operación es asociativa.Š

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que a Bà Cà D − ÐB Š CÑ Š D œ B Š ÐC Š DÑ‘:

2º) Según la definición de la operación :Š ; como (cuerpo)ÐB Š CÑ Š D œ ÐB CÑ Š D œ ÐB CÑ D Bà Cà D − ‘

œ B ÐC DÑ œ B Š ÐC DÑ œ B Š ÐC Š DÑ

3º) Luego, la operación es asociativa.Š



Determine si: La operación es asociativa.Š

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que ,a ÐBß CÑ Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ − Z : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ Š ÐAß DÑ œ ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ Š ÐAß DÑ ‘ ‘2º) Según la definición de la operación :ŠÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ Š ÐAß DÑ œ ÐBß CÑ Š Ð? Aß @ DÑ œ ÐB ? A ß C @ D Ñ ‘ ‘ ‘ ‘

œ Ð B ? A ß C @ DÑ œ ÐB ? ß C @Ñ Š ÐA ß DÑ ‘ ‘ œ ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ Š ÐAß DÑ ‘3º) Luego, la operación es asociativa.Š



PÁG. 139





œ a −+ , + ,- . - .Œ Œ

Determine si: La operación es asociativa.

SOLUCIÓN:


Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2

œ

2º) Se debe verificar que:

a − Ñ À+ , / 0 4 5- . 1 2 6 7Œ Œ Œ , , `#B #Ð‘

’ “ ’ “Œ Œ Œ Œ Œ Œ + , / 0 4 5 + , / 0 4 5- . 1 2 6 7 - . 1 2 6 7

œ

3º) Según la definición de la operación :

’ “Œ Œ Œ Œ Œ + , / 0 4 5 + / , 0 4 5- . 1 2 6 7 - 1 . 2 6 7

œ

;œÐ+ /Ñ 4 Ð, 0Ñ 5Ð- 1Ñ 6 Ð. 2Ñ 7Œ

como (cuerpo)+ß ,ß -ß .ß /ß 0 ß 1ß 2ß 4ß 5ß 6ß 7 − ‘

œ+ Ð/ 4Ñ , Ð0 5Ñ- Ð1 6Ñ . Ð2 7ÑŒ

œ + , / 4 0 5- . 1 6 2 7Œ Œ

œ + , / 0 4 5- . 1 2 6 7Œ Œ Œ ’ “

4º) Luego, la operación es asociativa.



PÁG. 140



(AX. 3) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE NEUTRO ADITIVO: ; ! tal que a @ − Z b / − Z @ / œ / @ œ @


números reales con la suma vectorial y producto escalar definido por ‘B Š C œ BC à B œ B a − ß a Bà C − ! ! ‘ ‘!

Determine si: Existe un único elemento neutro para la operación .Š

SOLUCIÓN:

1º) :EXISTENCIA a) Se debe verificar que , : aB − b / −‘ ‘

ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B b) ya que B Š / œ B / œ B Ê / œ " ß B − ‘ ya que / Š B œ / B œ B Ê / œ " ß B − ‘

c) Por lo tanto, existe elemento neutro / œ " − ‘

2°) :UNICIDAD a) Supogamos que existe otro elemento neutro /‡ − À‘

ÐB Š Ñ œ Ð Š BÑ œ B à aB − / /‡ ‡ ‘

b) Si B œ / œ " − ‘ , por 1°). Entonces se tiene que: " Š Ê / œ " / œ Ð"Ñ/ œ "‡ ‡ ‡

/ / Ð"Ñ œ "‡ ‡Š " œ Ê / œ "‡

c) Por lo tanto / œ / œ " Þ‡

3°) Es decir, por 1°) y 2°) existe un único elemento neutro para laoperación .Š

(1.1.8) :EJEMPLO Considere el conjunto Z œ ˜ ™ÐB ß C Ñ − ÎB ! ß C !‘#

y el cuerpo de los números reales con la suma vectorial y producto‘escalar definido por , a − ß a ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ −! ‘ Z . ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à ÐB ß CÑ œ ÐB ß C Ñ! ! !

Determine si: Existe un único elemento neutro para la operación .ŠSOLUCIÓN:

1º) :EXISTENCIA a) Se debe verificar que , : a ÐBß CÑ − b / œ Ð/ ß / Ñ −Z Z" #

ÐBß CÑ Š Ð/ ß / Ñ œ Ð/ ß / Ñ Š ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ" # " #



PÁG. 141



b) ÐBß CÑ Š Ð/ ß / Ñ œ ÐB / ß C / Ñ œ ÐBß CÑ" # " #

ya que Ê B / œ B Ê / œ " à B !" " ya que C / œ C Ê / œ " à C !# #

Ð/ ß / Ñ Š ÐBß CÑ œ Ð/ Bß / CÑ œ ÐBß CÑ" # " #

ya que Ê / B œ B Ê / œ " ! à B !" " ya que / C œ C Ê / œ " ! à C !# #

Luego; Ð/ ß / Ñ œ Ð"ß "Ñ − Z" #

c) Por lo tanto, existe elemento neutro / œ Ð/ ß / Ñ œ Ð"ß "Ñ − Z" #

2°) :UNICIDAD

a) Supogamos que existe otro elemento neutro / œ‡ Ð/ ß / Ñ − Z À‡ ‡" #

ÐBß CÑ Š Ð/ ß / Ñ œ Ð/ ß / Ñ Š ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ à aÐBß CÑ −‡ ‡ ‡ ‡" # " # Z

b) Si ÐBß CÑ Ð"ß "Ñ − Zœ , por 1°). Entonces se tiene que: Ð"ß "Ñ Š Ð/ ß / Ñ œ Ð" / ß " / Ñ œ Ð"ß "Ñ Ê Ð/ ß / Ñ œ Ð"ß "Ñ œ /‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

" # " # " #/ œ‡

Ð/ ß / Ñ Š Ð"ß "Ñ œ Ð/ " ß / "Ñ œ Ð"ß "Ñ Ê Ð/ ß / Ñ œ Ð"ß "Ñ œ /‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡" # " # " #/ œ‡

c) Por lo tanto / œ / œ Ð"ß "Ñ Þ‡

3°) Es decir, por 1°) y 2°) existe un único elemento neutro para laoperación .Š



œ a −+ , + ,- . - .Œ Œ

Determine si: Existe un único elemento neutro para la operación .

SOLUCIÓN:


Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2

œ



PÁG. 142



2º) :EXISTENCIA a) Se debe verificar que

, : a E œ − Ñ b I œ − Ñ+ , / 0- . 1 2Œ Œ ` `#B # #B #Ð Ð‘ ‘

E I œ I E œ E

b) E I œ œ+ , / 0 + ,- . 1 2 - .Œ Œ Œ

Ê œ+ / , 0 + ,- 1 . 2 - .Œ Œ

Ê + / œ + Ê / œ 0 œ 1 œ 2 œ !

, 0 œ ,

- 1 œ -

. 2 œ .

Ê I œ! !! !Œ

Luego; I œ − Ñ Þ! !! !Œ `#B #Ð‘

c) Por lo tanto, existe elemento neutro

I œ œ − Ñ Þ/ 0 ! !1 2 ! !Œ Œ `#B #Ð‘

3°) :UNICIDADa) Supongamos que existe otro elemento neutro

I œ Ð Ð‡#B # #B #Œ / 0

1 2− Ñ E I œ I E œ Eà a E − Ñ

‡ ‡

‡ ‡‡ ‡` `‘ ‘ :

b) Si E − Ñ! !! !

œ ÐŒ `#B # ‘ , por 2°).

Entonces se tiene que:

E I œ œ œ! ! / 0 ! / ! 0 ! !! ! 1 2 ! 1 ! 2 ! !

‡‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡Œ Œ Œ Œ Ê œ œ I

/ 0 ! !1 2 ! !

I œ‡ Œ Œ ‡ ‡

‡ ‡

I E œ œ œ/ 0 ! ! / ! 0 ! ! !1 2 ! ! 1 ! 2 ! ! !

‡‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡Œ Œ Œ Œ Ê œ œ I

/ 0 ! !1 2 ! !

I œ‡ Œ Œ ‡ ‡

‡ ‡

c) Por lo tanto I œ I œ Þ! !! !

‡ Œ 4°) Es decir, por 2°) y 3°) existe un único elemento neutro para laoperación .



PÁG. 143



(AX. 4) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE INVERSO ADITIVO: ; ! tal que T +<+ -+.+ @ − Z b @ − Z @ Ð @Ñ œ Ð @Ñ @ œ /


números reales con la suma vectorial y producto escalar definido por ‘ B Š C œ BC à B œ B a − ß a Bà C −! ! ‘ ‘!

Determine si: Existe un único elemento inverso para la operación .ŠSOLUCIÓN:

1°) Por el EJEMPLO (1.1.7) SE TIENE QUE EL NEUTRO ADITIVO ES / œ "2º) :EXISTENCIA a) Se debe verificar que T +<+ -+.+ B − b ? −‘ ‘ ; tal que B Š ? œ ? Š B œ "

b) ya que B Š ? œ B ? œ " Ê ? œ − à B !Þ"B ‘

ya que ? Š B œ ? B œ " Ê ? œ − à B !Þ"B ‘

Luego; ? œ −"B ‘

c) Por lo tanto, existe elemento inverso ? œ − Þ"B ‘

3º) UNICIDAD:a) Supongamos que existe otro elemento inverso ? − À‡

‘ B Š ? œ ? Š B œ " à B −‡ ‡

‘ (es único)b) ? œ ? œ −‡

"B ‘ (análogo a 2°))

4°) Es decir, por 2°) y 3°) existe un único elemento inverso para cadaelemento para la operación .B − Š‘,

(1.1.11) :EJEMPLO Considere el conjunto Z œ ˜ ™ÐB ß C Ñ − ÎB ! ß C !‘#


Determine si: Existe un único elemento inverso para la operación .Š



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SOLUCIÓN:


Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2

œ

2°) Por el EJEMPLO (1.1.8) SE TIENE QUE EL NEUTRO ADITIVO ES / œ Ð"ß "Ñ

3º) :EXISTENCIA a) Se debe verificar que T +<+ -+.+ ÐB ß C Ñ − b Ð? ß @ Ñ − ZZ ; tal que ÐB ß C Ñ Š Ð? ß @ Ñ œ Ð? ß @Ñ Š ÐB ß C Ñ œ Ð"ß "Ñ

b) ÐB ß C Ñ Š Ð? ß @ Ñ œ ÐB ?ß C @Ñ œ Ð"ß "Ñ

ya que Ê B ? œ " Ê ? œ ! à B !"B

ya que C @ œ " Ê @ œ ! à C !"C

Ð? ß @Ñ Š ÐB ß C Ñ œ Ð? Bß @ CÑ œ Ð"ß "Ñ

ya que Ê ? B œ " Ê ? œ ! à B !"B

ya que @ C œ " Ê @ œ ! à C !"C

Luego; Ð? ß @ Ñ œ − ZÐ ß Ñ" "B C

c) Por lo tanto, existe elemento inverso Ð? ß @ Ñ œ − ZÐ ß Ñ" "B C

4º) UNICIDAD:a) Supongamos que existe otro elemento inverso Ð? ß @ Ñ − Z À‡ ‡

ÐBß CÑ Š Ð? ß @ Ñ œ Ð? ß @ Ñ Š ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ à ÐBß CÑ −‡ ‡ ‡ ‡ Z (es único)

b) Ð? ß @ Ñ œ Ð? ß @ Ñ œ − Z‡ ‡ Ð ß Ñ" "B C (análogo a 2°))

5°) Es decir, por 2°) y 3°) existe un único elemento inverso para cadaelemento para la operación .ÐBß CÑ − ŠZ ,



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œ a −+ , + ,- . - .Œ Œ

Determine si: Existe un único elemento inverso para la operación .

SOLUCIÓN:


Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2

œ

2°) Por el EJEMPLO (1.1.9) SE TIENE QUE EL NEUTRO ADITIVO ES

I œ Þ! !! !Œ

3º) :EXISTENCIA a) Se debe verificar que

T +<+ -+.+ E œ − Ñ − Ñ+ , / 0- . 1 2Œ Œ ` `#B # #B #Ð I œ Ð‘ ‘; tal que

Œ Œ Œ Œ Œ + , / 0 / 0 + , ! !- . 1 2 1 2 - . ! !

œ œ

b) Œ Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0 ! !- . 1 2 - 1 . 2 ! !

œ œ

Ê œ œ E + , + , - . - .

I œ‡ Œ Œ Œ Œ Œ Œ / 0 + , / + 0 , ! !

1 2 - . 1 - 2 . ! ! œ œ

Ê œ œ E + , + , - . - .

I œ Œ Œ Luego; I œ Ð œ E − Ñ

+ ,- .Œ `#B # ‘

c) Por lo tanto, existe elemento inverso I œ Ð E − Ñ`#B # ‘



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4º) UNICIDAD:

a) Supongamos que existe otro elemento inverso

I œ Ð‡#B #Œ / 0

1 2− Ñ

‡ ‡

‡ ‡ ` ‘ tal que

Œ Œ Œ Œ Œ + , / 0 / 0 + , ! !- . 1 2 1 2 - . ! !

œ œ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡

b) I œ Ð‡#B #Œ Œ / 0 + ,

1 2 - .œ œ E − Ñ

‡ ‡

‡ ‡ ` ‘

(análogo a 2°))

5°) Es decir, por 2°) y 3°) existe un único elemento inverso para cadaelemento para la operación .E − Ñ `#B #Ð‘ ,

(AX. 5) PROPIEDAD CONMUTATIVA PARA LA SUMA VECTORIAL: : a @ ß @ − Z @ @ œ @ @

" # " # # "

(Con estas cinco propiedades se dice que es grupoÐZ ß Ñ abeliano o conmutativo)


números reales con la suma vectorial y producto escalar definido por ‘ B Š C œ B C à B œ B a − ß a Bà C −! ! ‘ ‘!

Determine si: La operación es conmutativa.Š

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que a Bà C − B Š C œ C Š B‘:

2º) Según la definición de la operación :Š

; como (cuerpo)B Š C œ B C Bà C − ‘

œ C B œ C Š B

3º) Luego, la operación es conmutativa.Š



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Determine si: La operación es conmutativa.Š

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que ,a ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ − Z : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ Ð?ß @Ñ Š ÐBß CÑ

2º) Según la definición de la operación :Š ; como , (cuerpo)ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ Bß C ?ß @ − ‘

œ Ð? B ß @ CÑ œ Ð?ß @Ñ Š ÐBß CÑ

3º) Luego, la operación es conmutativa.Š



œ a −+ , + ,- . - .Œ Œ

Determine si: La operación es conmutativa.

SOLUCIÓN:


Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2

œ

2º) Se debe verificar que: ,a − Ñ À+ , / 0- . 1 2Œ Œ `#B #Ð‘

Œ Œ Œ Œ + , / 0 / 0 + ,- . 1 2 1 2 - .

œ



PÁG. 148



3º) Según la definición de la operación :

Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2

œ

como (cuerpo)+ß ,ß -ß .ß /ß 0 ß 1ß 2 − ‘

œ œ / + 0 , / 0 + ,1 - 2 . 1 2 - .Œ Œ Œ

4º) Luego, la operación es conmutativa.

(AX. 6) PROPIEDAD DE CLAUSURA PARA LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR: Si ; . Ent! Š− @ − Z onces . ! @ − Z

(1.1.16) : Considere el conjunto (reales positivos) y el cuerpoEJEMPLO ‘

de los números reales con la suma vectorial y producto escalar‘definido por B Š C œ BC à B œ B a − ß a Bà C −! ! ‘ ‘!


SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , : a − a B − B −! ‘ ‘ ! ‘

2º) Como , ya que ! ‘ ‘ ! ‘ B œ B − B − ß −!


(1.1.17) :Considere el conjuntoEJEMPLO Z œ ˜ ™ÐB ß C Ñ − ÎB ! ß C !‘#



SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , : a − a ÐB ß C Ñ − ÐB ß C Ñ −! ‘ !Z Z

2º) Como , ya que ! ÐB ß CÑ œ ÐB ß C Ñ − B ! ß C !! ! ! !Z




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(1.1.18) : Considere el conjunto y el cuerpo de losEJEMPLO `#B #Ð‘Ñnúmeros complejos ; con la suma habitual de matrices y el producto‚

escalar definido por .! ! ‚!

œ a −+ , + ,- . - .Œ Œ


SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , : a − a − Ñ+ ,- .

! ‚ ‘Œ `#B #Ð

! ‘ − Ñ+ ,- .Œ `#B #Ð

2º) Como ,! ‘!

œ Â Ñ+ , + ,- . - .Œ Œ `#B #Ð

ya que en general, puesto que . ! ‚ ! ‚. − −

3º) Luego, la operación NO está bien definida.

(AX. 7) PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL ESCALAR: ; : a − a @ ß @ − Z Ð@ @ Ñ œ @ @! Š ! ! !

" # " # " #



Determine si: Se cumple la distributividad del escalar.

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , : a − a Bà C −! ‘ ‘

! ! ! ÐB Š CÑ œ Ð BÑ Š Ð CÑ

2º) ! ! ÐB Š CÑ œ ÐB CÑ œ ÐB CÑ œ ÐB ÑÐC Ñ! ! !

œ Ð BÑÐ CÑ! !

œ Ð BÑ Š Ð CÑ! !

3º) Luego, se cumple la distributividad del escalar.



PÁG. 150



(1.1.20) :Considere el conjuntoEJEMPLO Z œ ˜ ™ÐB ß C Ñ − ÎB ! ß C !‘#



SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , , :a − a ÐBß C Ñ Ð?ß @Ñ −! ‘ Z ! ! ! ÐBß C Ñ Š Ð?ß @Ñ œ ÐBß C Ñ Š Ð?ß @Ñ ‘ ‘ ‘2º) Como ! ! ÐBß C Ñ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ œ Ð B ? ß C @ Ñ ‘ ‘ ‘ ‘! !

œ ÐB ? ß C @ Ñ œ ÐB ß C Ñ Š Ð? ß @ Ñ! ! ! ! ! ! ! !

œ ÐBß C Ñ Š Ð?ß @Ñ ‘ ‘! !




œ a −+ , + ,- . - .Œ Œ


SOLUCIÓN:


Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2

œ

2º) Se debe verificar que , , : a − a − Ñ+ , / 0- . 1 2

! ‚ ‘Œ Œ `#B #Ð

! ! ! œ + , / 0 + , / 0- . 1 2 - . 1 2– — – — – —Œ Œ Œ Œ



PÁG. 151



3º) Como

! ! œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2– — – —Œ Œ Œ

œ+ / , 0- 1 Ð. 2Ñ– —Œ !

œ + , / 0- . 1 2Œ Œ ! !

como (cuerpo)+ß ,ß -ß .ß /ß 0 ß 1ß 2 − ß −‘ ! ‚

œ + , / 0- . 1 2– — – —Œ Œ ! !


(AX. 8) PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL VECTOR: , ; : a − a @ − Z Ð Ñ @ œ @ @! " Š ! " ! "



Determine si: Se cumple la distributividad del vector.

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , , : a − a B −! " ‘ ‘

Ð Ñ B œ Ð BÑ Š Ð BÑ! " ! "

2º) ; como , Ð Ñ B œ B œ ÐB ÑÐB Ñ B B −! " ‘! " ! " ! "

œ ÐB Ñ Š ÐB Ñ! "

œ Ð BÑ Š Ð BÑ! "

3º) Luego, se cumple la distributividad del vector.



PÁG. 152



(1.1.23) : Considere el conjuntoEJEMPLO Z œ ˜ ™ÐB ß C Ñ − ÎB ! ß C !‘#



SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , a − à a ÐBß CÑ −! " ‘ Z :

Ð Ñ ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ Š ÐBß CÑ! " ! " ‘ ‘2º) Según la definición de la operación y :Š

Ð Ñ ÐB ß CÑ œ ÐB ß C Ñ œ ÐB B ß C C Ñ! " Ð Ñ Ð Ñ! " ! " ! " ! "

œ ÐB ß C Ñ Š ÐB ß C Ñ! ! " "

œ ÐBß CÑ Š ÐBß CÑ ‘ ‘! "

3º) Luego, se cumple la distributividad del vector.



œ a −+ , + ,- . - .Œ Œ


SOLUCIÓN:


Œ Œ Œ + , / 0 + / , 0- . 1 2 - 1 . 2

œ

2º) Se debe verificar que , , : a − a − Ñ+ ,- .

! " ‚ ‘Œ `#B #Ð

Ð Ñ œ + , + , + ,- . - . - .

! " ! "– — – — – —Œ Œ Œ



PÁG. 153



3º) Como

Ð Ñ œ+ , + ,- . - Ð Ñ .

! "! "– — – —Œ Œ

œ+ ,- . .– —Œ ! "

Á + , + ,- . - .Œ Œ ! "

es decir:

Ð Ñ Á + , + , + ,- . - . - .

! " ! "– — – — – —Œ Œ Œ 4º) Luego, NO se cumple la distributividad del vector.

(AX. 9) PROPIEDAD ASOCIATIVA PARA LA MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES:

, ; : a − a @ − Z Ð Ñ @ œ Ð @ Ñ! " Š ! " ! "



Determine si: Se cumple la asociatividad para la multiplicación por escalares.

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , , : a − a B −! " ‘ ‘

Ð Ñ B œ Ð BÑ! " ! "

2º) ; como Ð Ñ B œ B œ B œ ÐB Ñ B −! " ‘!" " ! " ! "

œ ÐB Ñ! "

œ Ð BÑ! "

3º) Luego, se cumple la asociatividad para la multiplicación porescalares.



PÁG. 154






SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , a − à a ÐBß CÑ −! " ‘ Z :

Ð Ñ ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ! " ! " ‘2º) Según la definición de la operación : Ð Ñ ÐB ß CÑ œ ÐB ß C Ñ œ ÐB ß C Ñ! " ! " ! " " ! " !

œ ÐÐB Ñ ß ÐC Ñ Ñ œ ÐB ß C Ñ" ! " ! " "!

œ ÐBß CÑ! " ‘3º) Luego, se cumple la asociatividad para la multiplicación porescalares.



œ a −+ , + ,- . - .Œ Œ


SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , , : a − a − Ñ+ ,- .

! " ‚ ‘Œ `#B #Ð

Ð Ñ œ + , + ,- . - .

! " ! "Œ Œ – —2º) Como

, como , , (cuerpo)

Ð Ñ œ . −+ , + ,- . - Ð Ñ .

! " ! " ‚! "Œ Œ



PÁG. 155



œ œ + , + ,- Ð .Ñ - .Œ Œ ! " "

!

œ + ,- .

! "– —Œ 3º) Luego, se cumple la asociatividad para la multiplicación porescalares.

(AX. 10) a @ − Z à " − À " @ œ @Š



Determine si: " @ œ @ a @ − ‘

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que ; a B − " − À " B œ B‘ ‘

2º) ; ya que " B œ B œ B B −"‘

3º) Por lo tanto " @ œ @ a @ − ‘



Determine si: " @ œ @ a @ − Z

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que a ÐBß CÑ − − À " ÐBß CÑ œ ÐBß CÑZ à " ‘

2º) Según la definición de la operación : ; ya que " ÐB ß CÑ œ ÐB ß C Ñ œ ÐBß CÑ B ß C −" "

‘

3º) Por lo tanto " @ œ @ a @ − Z



PÁG. 156





œ a −+ , + ,- . - .Œ Œ

Determine si: " @ œ @ a @ − Ñ`#B #Ð‘

SOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que , : a − Ñ " −+ ,- .Œ `#B #Ð‘ ‚

" œ+ , + ,- . - .Œ Œ

2º) " œ œ+ , + , + ,- . - " . - .Œ Œ Œ

3º) Por lo tanto, " @ œ @ à a @ − Ñ`#B #Ð‘

(1.2) :TEOREMA Si es un espacio vectorial sobre el cuerpo .Z O Ð à Ñ‘ ‚

Entonces:

a) y ! !! œ ! à − O ! − Z

b) ; y , ! @ œ ! ! − O ! @ − Z

c) ! !@ œ ! Ê Ð œ ! ” @ œ !Ñ

d) ; Ð "Ñ @ œ @ @ − Z

DEMOSTRACIÓN: SE DEJA DE EJERCICIO!!

(1.3) :EJEMPLO Sea y Z œ O œ Þ‘ ‘8

Definamos Ða − à a ? ß @ − Ñ À ? Š @ œ ? @ à! ‘ ‘8

! !Œ ? œ ? (con las operaciones usuales a la derecha de la igualdad) Determine que axiomas de espacio vectorial se cumplen.



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SOLUCIÓN:

(AX. 1) PROPIEDAD DE CLAUSURA PARA LA SUMA VECTORIAL: Si Entonces .@ ß @ − Z Þ Ð@ @ Ñ − Z

" # " #

3Ñ Š a ?ß @ − Ê ? Š @ − es cerrada: ??‘ ‘8 8

: HIPÓTESIS ? œ ÐB ß B ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ" # $ 8 − ‘8

@ −œ ÐC ß C ß C ß Þ Þ Þ ß C Ñ" # $ 8 ‘8

B à C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3 ‘

:VERIFICACIÓN ? Š @ œ ? @ œ −ÐB C ß B C ß B C ß Þ Þ Þ ß B C Ñ" " # # $ $ 8 8 ‘8

ya que B C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3 ‘

Luego; . " es cerrada"? Š @ − Š‘8

Por lo tanto SE CUMPLE EL AXIOMA 1

(AX. 2) PROPIEDAD ASOCIATIVA PARA LA SUMA VECTORIAL: : a @ ß @ ß @ − Z Ð@ @ Ñ @ œ @ Ð @ @ Ñ

" # $ " # $ " # $

33Ñ Š es asociativa: a ?ß @ß A − Ê Ð? Š @Ñ Š A œ ? Š Ð@ Š AÑ‘8


@ −œ ÐC ß C ß C ß Þ Þ Þ ß C Ñ" # $ 8 ‘8

A œ ÐD ß D ß D ß Þ Þ Þ ß D Ñ −" # $ 88‘

B à C à D − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3 3 ‘

:VERIFICACIÓN Ð? Š @Ñ Š A œ Ð? @Ñ Š A œ Ð? @Ñ A œ ? @ A ? Š Ð@ Š AÑ œ ? Š Ð@ AÑ œ ? Ð@ AÑ œ ? @ A Luego; " NO es asociativa"Ð? Š @Ñ Š A Á ? Š Ð@ Š AÑ Š Por lo tanto NO SE CUMPLE EL AXIOMA 2

(AX. 3) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE NEUTRO ADITIVO: ; ! tal que a @ − Z b / − Z @ / œ / @ œ @

333Ñ Existencia y unicidad de neutro aditivo: a @ − bx / − >+6 ;?/ @ Š / œ / Š @ œ @ ; ??‘ ‘8 8

: HIPÓTESIS @ œ ÐB ß B ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ" # $ 8 − ‘8

/ −œ Ð/ ß / ß / ß Þ Þ Þ ß / Ñ" # $ 8 ‘8

B à / − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3 ‘

:VERIFICACIÓN @ Š / œ @ / œ @ Ê / œ ! / Š @ œ / @ œ @ Ê / œ #@ Luego; "NO existe un único "/ Por lo tanto NO SE CUMPLE EL AXIOMA 3



PÁG. 158



(AX. 4) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE INVERSO ADITIVO: ; ! tal que T +<+ -+.+ @ − Z b @ − Z @ Ð @Ñ œ Ð @Ñ @ œ /

3@Ñ Existencia y unicidad de inverso aditivo: a @ − bx @ − >+6 ;?/ @ Š @ œ @ Š @ œ / ; ??‘ ‘8 ‡ 8 ‡ ‡

Pero, como la propiedad anterior no se cumple; esta tampoco se cumple. Por lo tanto NO SE CUMPLE EL AXIOMA 4

(AX. 5) PROPIEDAD CONMUTATIVA PARA LA SUMA VECTORIAL: : a @ ß @ − Z @ @ œ @ @

" # " # # "

@Ñ Š a ?ß @ − Ê ? Š @ œ @ Š ? es conmutativa: ??‘8

: HIPÓTESIS ? œ ÐB ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ œ ÐC ß C ß Þ Þ Þ ß C Ñ" # 8 " # 8− à @ −‘ ‘8 8

B à C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3 ‘

:VERIFICACIÓN ? Š @ œ ? @ Á @ ? œ @ Š ? Luego; . " NO es conmutativa"? Š @ Á @ Š ? Š Por lo tanto NO SE CUMPLE EL AXIOMA 5

(AX. 6) PROPIEDAD DE CLAUSURA PARA LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR: Si ; . Enton! Š− @ − Z ces . ! @ − Z

@3Ñ Œ a − à a @ − Ê Œ @ − es cerrada: ??! ‘ ‘ ! ‘8 8


! ‘à B − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83

:VERIFICACIÓN ! ! !Œ @ œ @ œ ÐB ß B ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ" # $ 8

œ Ð B ß B ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ −! ! ! ! ‘" # $ 88

ya que B − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8! ‘3

Luego; . " es cerrada"! ‘Œ @ − Œ8

Por lo tanto SE CUMPLE EL AXIOMA 6

(AX. 7) PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL ESCALAR: ; : a − a @ ß @ − Z Ð@ @ Ñ œ @ @! Š ! ! !

" # " # " #

@33Ñ Distributividad del escalar: a − à a ?ß @ −! ‘ ‘8

??Ê Œ Ð? Š @Ñ œ Ð Œ ?Ñ Š Ð Œ @Ñ! ! !

: HIPÓTESIS ? œ ÐB ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ œ ÐC ß C ß Þ Þ Þ ß C Ñ" # 8 " # 8− à @ −‘ ‘8 8

! ‘à B à C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3

:VERIFICACIÓN ! ! !Œ Ð? Š @Ñ œ Œ Ð? @Ñ œ Ð? @Ñ œ ? @ œ Ð Œ ?Ñ Ð @Ñ! ! ! !

œ Ð Œ ?Ñ Ð Œ @Ñ œ Ð Œ ?Ñ Š Ð Œ @Ñ! ! ! !

Luego; .! ! !Œ Ð? Š @Ñ œ Ð Œ ?Ñ Š Ð Œ @Ñ "SE CUMPLE la distributividad del escalar" Por lo tanto SE CUMPLE EL AXIOMA 7



PÁG. 159



(AX. 8) PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL VECTOR: , ; : a − a @ − Z Ð Ñ @ œ @ @! " Š ! " ! "

@333Ñ Distributividad del vector: a à − à a @ −! " ‘ ‘8

??Ê Ð Ñ Œ @ œ Ð Œ @Ñ Š Ð Œ @Ñ! " ! "


! " ‘à à B à C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3

:VERIFICACIÓN Ð Ñ Œ @ œ Ð Ñ @ œ Ð Ñ@! " ! " ! " ‘ œ @ @ œ Ð @Ñ Š Ð @Ñ! " ! "

œ Ð Œ @Ñ Š ÐÐ Ñ Œ @ÑÑ! "

Á Ð Œ @Ñ Š Ð Œ @Ñ! "

Luego; .Ð Ñ Œ @ Á Ð Œ @Ñ Š Ð Œ @Ñ! " ! "

"NO se cumple la distributividad del vector" Por lo tanto NO SE CUMPLE EL AXIOMA 8

(AX. 9) PROPIEDAD ASOCIATIVA PARA LA MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES:

, ; : a − a @ − Z Ð Ñ @ œ Ð @ Ñ! " Š ! " ! "

3BÑ Asociatividad del escalar: a à − à a @ −! " ‘ ‘8

??Ê Ð Ñ Œ @ œ Œ Ð Œ @Ñ!" ! "


! " ‘à à B à C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3

:VERIFICACIÓN Ð Ñ Œ @ œ Ð Ñ @ œ Ð Ñ@ œ Ð Œ @Ñ!" !" ! " ! " ‘ ‘ œ Ð Ñ Œ Ð Œ @Ñ! "

Á Œ Ð Œ @Ñ! "

Luego; .Ð Ñ Œ @ Á Œ Ð Œ @Ñ!" ! "

"NO se cumple la asociatividad del vector" Por lo tanto NO SE CUMPLE EL AXIOMA 9

(AX. 10) a @ − Z à " − À " @ œ @Š

BÑ a @ − Ê " Œ @ œ @ ??‘8


" − ‘

:VERIFICACIÓN Luego; " Œ @ œ Ð "Ñ@ œ @ Á @ Þ " Œ @ Á @ Por lo tanto NO SE CUMPLE EL AXIOMA 10

LUEGO; se cumplen los siguientes AXIOMAS: 1 ; 6 y 7.



PÁG. 160



:TEMA 2: SUBESPACIOS VECTORIALES

OBJETIVO OPERACIONAL: Verificar las propiedades de subespacio vectorialque se cumplen para un subconjunto de un espacio vectorial.

(2.1) :DEFINICIÓN Sea un espacio vectorial sobre y sea unZ O Ð à Ñ [ Á‘ ‚ 9

subconjunto de Z Þ Diremos que es SUBESPACIO ESPACIO VECTORIAL de , si[ Z[ es a su vez un espacio vectorial con las mismas operaciones de sumavectorial y multiplicación por escalar definidas para Z Þ

(2.2) :OBSERVACIÓNa) Todo espacio vectorial tiene como subespacios vectorialesZtriviales sobre el cuerpo a los conjuntos y Oß ! Z Þ˜ ™

@

b) En tenemos por subespacios vectoriales sobre el cuerpo a:‘ ‘# ß˜ ™ ˜ ™Ð ! ß !Ñ à à ÐB ß C Ñ − ÎC œ 7 B‘ ‘# # que es el conjunto de rectas quepasan por el origen; con las operaciones usuales de suma vectorial ymultiplicación por escalar.

(2.3) : TEOREMA Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y seaZ O Ð à Ñ‘ ‚

[ Á Z Þ9 un subconjunto de es SUBESPACIO ESPACIO VECTORIAL de si y solo si se[ Zverifican las siguientes propiedades de clausura o cerradura para la sumavectorial y multiplicación por escalar. Si , entonces 3 Ñ A ß A − [ A A − [ Þ

" # " #

Si y , entonces .3 3Ñ − O A − [ A − [! !

DEMOSTRACIÓN: SE DEJA DE EJERCICIO!!

(2.4) :OBSERVACIÓNa) Para demostrar si un determinado conjunto tiene estructura desubespacio vectorial aplicaremos la siguiente propiedad que resume lascondiciones y del TEOREMA (2.3):3 Ñ 33 Ñ Si y , entonces .! !− O A ß A − [ A A − [

" # " #

b) Todo subespacio vectorial contiene al Esta@/->9< -/<9 ./ Z Þpropiedad es útil en el sentido que si el que es único no@/->9< -/<9pertenece al conjunto ; este no es subespacio vectorial de [ Z Þ



PÁG. 161



(2.5) :EJEMPLOS(2.5.1) Demostrar que [ œ ÐBß Cß DÑ − ÎB C œ C D œ !˜ ™‘$

es un subespacio vectorial de ; con las operaciones usuales.‘$

SOLUCIÓN:

1º) [ Á Ð!ß !ß !Ñ − [ Þ9 , ya que

2º) Por demostrar que: , a ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [ à a −" " " # # # ! ‘

a) ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [" " " # # #

b) ! ÐB ß C ß D Ñ − [" " "

DEMOSTRACIÓN:

: HIPÓTESIS ÐB ß C ß D Ñ − [ Ê B C œ C D œ !" " " " " " "

ÐB ß C ß D Ñ − [ Ê B C œ C D œ !# # # # # # #

! ‘− :TESISa) ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ œ ÐB B ß C C ß D D Ñ − [" " " # # # " # " # " #

si y solo si ) .ÐB B ÐC C Ñ œ ÐC C Ñ ÐD D Ñ œ !" # " # " # " #

En efecto: )ÐB B ÐC C Ñ œ ÐB C Ñ ÐB C Ñ œ ! ! œ !" # " # " " # #

ÐC C Ñ ÐD D Ñ œ ÐC D Ñ ÐC D Ñ œ ! ! œ !" # " # " " # #

Por lo tanto; ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [" " " # # #

b) ! ! ! !ÐB ß C ß D Ñ œ Ð B ß C ß D Ñ − [" " " " " "

si y solo si ! ! ! !B C œ C D œ !" " " "

En efecto: ! ! ! !B C œ ÐB C Ñ œ Ð!Ñ œ !" " " "

! ! ! !C D œ ÐC D Ñ œ Ð!Ñ œ !" " " "

Por lo tanto; ! ÐB ß C ß D Ñ − [" " "

3º) Luego, es subespacio vectorial de .[ ‘$

(2.5.2) Demostrar que [ œ ÐBß Cß DÑ − Î$B C œ ! ß #B C œ D˜ ™‘$

es un subespacio vectorial de ; con las operaciones usuales.‘$

SOLUCIÓN:

1º) [ Á Ð!ß !ß !Ñ − [ Þ9 , ya que

2º) Por demostrar que: , a ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [ à a −" " " # # # ! ‘

a) ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [" " " # # #

b) ! ÐB ß C ß D Ñ − [" " "



PÁG. 162



DEMOSTRACIÓN:

HIPÓTESIS: ÐB ß C ß D Ñ − [ Ê $B C œ ! ß #B C œ D" " " " " " " "

ÐB ß C ß D Ñ − [ Ê $B C œ ! ß #B C œ D# # # # # # # #

! ‘−TESIS:a) ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ œ ÐB B ß C C ß D D Ñ − [" " " # # # " # " # " #

si y solo si )$ÐB B ÐC C Ñ œ ! ß" # " #

)#ÐB B ÐC C Ñ œ D D Þ" # " # " #

En efecto:$ÐB B ÐC C Ñ œ Ð$B C Ñ Ð$B C Ñ œ ! ! œ !" # " # " " # #)#ÐB B ÐC C Ñ œ Ð#B C Ñ Ð#B C Ñ œ D D" # " # " " # # " #) Por lo tanto; ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [" " " # # #

b) ! ! ! !ÐB ß C ß D Ñ œ Ð B ß C ß D Ñ − [" " " " " "

si y solo si $ Ð B Ñ C œ ! à # Ð B Ñ C œ D! ! ! ! !" " " " "

En efecto: $ Ð B Ñ C œ Ð$B C Ñ œ Ð!Ñ œ !! ! ! !" " " "

# Ð B Ñ C œ Ð#B C Ñ œ ÐD Ñ œ D! ! ! ! !" " " " " "

Por lo tanto; ! ÐB ß C ß D Ñ − [" " "

3º) Luego, es subespacio vectorial de .[ ‘$

(2.5.3) Sea función real de variable real .Z œ 0 Î 0 À Ä˜ ™‘ ‘

Determine si el conjunto [ œ 0 Î 0 Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ § Z˜ ™es un subespacio vectorial de ; con las operaciones usuales.Z

SOLUCIÓN:

1º) [ Á ! − [ Þ9 , ya que (la función cero) En efecto:0

definida por .! À Ä ! ÐBÑ œ ! a B −0 0‘ ‘ ‘

Se tiene, entonces que ! Ð!Ñ œ ! Ð"Ñ œ !0 0

Otra función definida por .1 À Ä 1ÐBÑ œ BÐB "Ñ a B −‘ ‘ ‘

Se tiene, entonces que 1Ð!Ñ œ 1Ð"Ñ œ ! Ê 1 − [ Þ

2º) Por verificar que: , a 0 1 − [ à a −! ‘ a) Ð0 1Ñ − [ b) Ð 0Ñ − [!

HIPÓTESIS: 0 − [ Ê 0Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ ß 1 − [ Ê 1Ð!Ñ œ 1Ð"Ñ ! ‘−



PÁG. 163



TESIS: a) si y solo si Ð0 1Ñ − [ Ð0 1ÑÐ!Ñ œ Ð0 1ÑÐ"Ñ Pero: Ð0 1ÑÐ!Ñ œ 0Ð!Ñ 1Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ 1Ð"Ñ œ Ð0 1ÑÐ"Ñ Por lo tanto; Ð0 1Ñ − [

b) si y solo si Ð 0Ñ − [ Ð 0ÑÐ!Ñ œ Ð 0ÑÐ"Ñ! ! !

Pero: Ð 0ÑÐ!Ñ œ Ð0Ð!ÑÑ œ Ð0Ð"ÑÑ œ Ð 0ÑÐ"Ñ! ! ! !

Por lo tanto; Ð 0Ñ − [!

3º) Luego, es subespacio vectorial de .[ Z

(2.5.4) Determine si el conjunto

M œ − Ð ÑÎ C œ B A à D œ B AB CD A

˜ ™Œ ` ‘#B#

es un subespacio vectorial de ; con las operaciones usuales.` ‘#B#

Ð Ñ

SOLUCIÓN: USAREMOS LA OBSERVACIÓN (2.4) a):

1º) M Á − MÞ! !! !

9 , ya que Œ 2º) Por verificar que:

a − Mà a − À − M+ , B C + , B C- . D A - . D AŒ Œ Œ Œ , ! ‘ !

HIPÓTESIS: Œ + ,- .

− M Ê , œ + . à - œ + .

Œ B CD A

− M Ê C œ B A à D œ B A

! ‘− TESIS:

si y solo si Œ Œ Œ + , B C + B , C- . D A - D . A

œ − M!! !

! !

y, C œ Ð+ BÑ Ð. AÑ! ! !

- D œ Ð+ BÑ Ð. AÑ! ! !

Pero; por hipótesis: y, C œ Ð+ .Ñ ÐB AÑ œ Ð+ BÑ Ð. AÑ! ! ! !

- D œ Ð+ .Ñ ÐB AÑ œ Ð+ BÑ Ð. AÑ! ! ! !

Por lo tanto; Œ Œ + , B C- . D A

− M!

3º) Luego, es subespacio vectorial de .M Z



PÁG. 164





1. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales (las variablesson :B ß Cß Dß ?ß @ß Aß B ß B ß B ß B Ñ" # $ %

W" À #? @ œ &, W# À +? ,@ œ + , # #

$? #@ œ (+ %, #,? +@ œ #, $+, +# #

W$ À +B ,C œ - W% À +B ,C œ - W& À +B ,C œ - +B ,C œ - ,B +C œ - ,B +C œ .

W' À #B $C œ ( W( À $B C œ ' W) À %B #C œ & $B C œ & #B $C œ ( &B $C œ #

W* À B #B &B œ * W"! À #B B #B œ ) " # $ " # $

B B $B œ # B #B $B œ *" # $ " # $

$B 'B B œ #& $B B %B œ $" # $ " # $

W"" À B #B $B œ % W"# À #B $B $B œ ! " # $ " # $

B $B B œ "" (B (B B œ )" # $ " # $

#B &B %B œ "$ &B B œ %" # $ # $

#B 'B #B œ ## %B B B œ #" # $ " # $

W"$ À B #C $D A œ $ W"% À $B #B "'B &B œ ! " # $ %

$B #C D A œ ( #B "!B )B œ !# $ %

#C %D A œ " B B (B $B œ !" # $ %

B C D A œ %

W"& À #B C #D $A œ " W"' À B #C #D $A œ # $B #C D #A œ % #B %C $D %A œ & $B $C $D $A œ & &B "!C )D ""A œ "#

(1.1) Expréselos en notación matricial.

(1.2) Cuando corresponda, use la Regla de Cramer para determinar lasolución.



PÁG. 165



2. Sea yŠ ‘ ‘ ‘œ Z œ œ ÐB ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ Î B − ß a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 88 ˜ ™" # 8 3

con las operaciones usuales:a) Sumavectorial: ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ ÐC ß C ß ÞÞÞß C Ñ œ ÐB C ß B C ß ÞÞÞ ß B C Ñ

" # 8 " # 8 " " # # 8 8

b) Multiplicación por escalar: ! ! ! !ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ œ Ð B ß B ß ÞÞÞß B Ñ

" # 8 " # 8

DEMUESTRE QUE:

(2.1) es espacio vectorial sobre el cuerpo ‘ ‘8 Þ

(2.2) a) es espacio vectorial sobre el cuerpo ‘ ‘Þ b) es espacio vectorial sobre el cuerpo ‘ ‘# Þ c) es espacio vectorial sobre el cuerpo ‘ ‘$ Þ

3.(3.1) Sea o yŠ ‘ ‚œ Z œ !˜ ™DEMUESTRE QUE: es espacio vectorial sobre el cuerpo ˜ ™! ÞŠ

( está formado por el único elemento vector cero)Z

(3.2) Sea y que es el conjunto deŠ ‘ ‘œ Z œ ÐB ß C Ñ − ÎC œ 7 B˜ ™#

rectas que pasan por el origen; con las operaciones usuales de sumavectorial y multiplicación por escalar.DEMUESTRE QUE: es espacio vectorial sobre el cuerpo Z ÞŠ

4. Sea y . Se definen las operaciones:Š ‘ ‘œ Z œ #

SUMA VECTORIAL que denotamos por : ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ œ Ð B B ß C C Ñ

" " # # " # " #

MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR : ! !ÐB ß CÑ œ Ð B ß ! Ñ Verifique si es espacio vectorial sobre .Z ‘

5. Demuestre que en con las operaciones usuales de suma‘#

vectorial y multiplicación por escalar:

(5.1) es espacio vectorial sobre el cuerpo .˜ ™Ð! ß !Ñ ‘

(5.2) es espacio vectorial sobre el cuerpo . ‘ ‘#

(5.3) Cualquier recta que pase por el origen es espacio vectorial sobre ‘



PÁG. 166



6. (6.1) Demuestre que las rectas que NO pasan por el origen; no sonespacios vectoriales.(6.2) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‘ ‚(6.3) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‘ ‚8

(6.4) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‚ ‘(6.5) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‚ ‚(6.6) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‚ ‘8

(6.7) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‚ ‚8

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE !!

7.(7.1) Sea el conjunto de las matrices de orden con` ‘

7 B 8Ð Ñ 7 B 8

coeficientes en el cuerpo ; dotado de las operaciones:‘SUMA VECTORIAL: Si ,Ð+ Ñ à Ð, Ñ − Ð Ñ

3 4 3 4 7 B 8` ‘

entonces Ð+ Ñ Ð, Ñ œ Ð+ , Ñ3 4 3 4 3 4 3 4

MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: Si ; , entonces ! ‘ ` ‘ ! !− Ð+ Ñ − Ð Ñ Ð+ Ñ œ Ð + Ñ

3 4 7 B 8 3 4 3 4

Demuestre que el conjunto

Q œ ÎB ß C − Ð ÑB B C

B C C˜ ™Œ ‘ ` ‘ es subespacio vectorial de .

#B#

(7.2) Sea , el conjunto de las funciones reales de variable real y elY ‘ ‘Ð Ñcuerpo ; dotado de las operaciones: Si ; , ,‘ ! ‘ Y ‘ ‘− 0 − Ð Ñentonces Ð0 1ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ 1ÐBÑ Ð 0Ñ ÐBÑ œ Ð0 ÐBÑÑ! !

Demuestre que el conjunto J œ 0 À Ä Î 0ÐBÑ œ 0Ð BÑ à a B −˜ ™‘ ‘ ‘

es subespacio vectorial de , .Y ‘ ‘Ð Ñ

8. Determine si el conjunto(8.1) es subespacio vectorial deM œ E − Ð ÑÎ E 38@/<>3,6/˜ ™` ‘

#B#

` ‘#B#

Ð Ñ con las operaciones usuales.

(8.2) J œ 0 À Ä Î 0ÐBÑ œ 0Ð BÑ à a B −˜ ™‘ ‘ ‘

es subespacio vectorial de , con las operaciones usuales.Y ‘ ‘Ð Ñ

9. (9.1) Demuestre que:Si son subespacios vectoriales de un espacio vectorial sobre[ à [ Z

" #

el cuerpo Entonces es también subespacio vectorial de O Þ [ [ Z Þ" #



PÁG. 167



(9.2) Verifique si es verdadera la siguiente proposición:Si son subespacios vectoriales de un espacio vectorial sobre[ à [ Z

" #

el cuerpo Entonces es también subespacio vectorial de O Þ [ [ Z Þ" #

10. Demostrar que el conjunto (reales positivos) es un espacio‘

vectorial sobre con la suma vectorial y producto escalar definido por‘ B Š C œ BC à B œ B − ß Bà C −! ! ‘ ‘!

11. Sea Z œ Ð`#B # ‘Ñ con la adición habitual de matrices y se define

el producto escalar por !! !

! !Œ Œ + , + .- . , .

œ

Determine si es espacio vectorial sobre .Z ‘

12. Si es un espacio vectorial sobre el cuerpo Demuestre que:Z OÞ(12.1) (12.2) (12.3) ! @ œ ! Ð "Ñ@ œ @ ! œ !@ @ @!

13. Verifique si los siguientes conjuntos son subespacios vectorialescon las operaciones definidas usualmente.(13.1) W œ ÐB ß B ß B ß ÞÞÞ ß B Ñ − ÎB œ ! §˜ ™" # $ 8 "

8 8‘ ‘

(13.2) W œ ÐB ß B ß B Ñ − ÎB B B œ " §˜ ™" # $$ # # # $

" # $‘ ‘

(13.3) W œ ÐB ß B Ñ − Î$B %B œ " §˜ ™" ## #

" #‘ ‘

(13.4) W œ ÐB ß B ß B Ñ − Î(B B œ ! §˜ ™" # $$ $

" #‘ ‘

14. Sea función real de variable real ; Z œ 0 Î 0 À Ä O œ Þ˜ ™‘ ‘ ‘

Consideremos los siguientes subconjuntos de Z À+Ñ [ œ 0 Î 0 ÐB Ñ œ Ð 0ÐBÑ Ñ ,Ñ [ œ 0 Î # 0 Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ" #

# #˜ ™ ˜ ™

-Ñ [ œ 0 Î 0 Ð "Ñ œ ! .Ñ [ œ 0 Î 0 /= -98>38?+ /8$ %˜ ™ ˜ ™ ‘

/Ñ [ œ 0 Î 0 Ð$Ñ œ " 0 Ð &Ñ 0Ñ [ œ 0 Î 0 /= ./<3@+,6/ /8& '˜ ™ ˜ ™ ‘

(14.1) Verifique si los conjuntos dados tienen elementos.

(14.2) Determine cual de estos conjuntos es subespacio vectorial de Zsobre el cuerpo ‘Þ



PÁG. 168




TALLER N° 4

1. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales (las variablesson :B ß Cß Dß ?ß @ß Aß B ß B ß B ß B ß B Ñ" # $ % &

W" À B C $D œ " W# À B œ C #D #B C #D œ " #C œ B $D " B C D œ $ D œ #C #B $ B #C $D œ "

W$ À B B B œ # W% À " # $B$ #

C D œ (

B $B #B œ "" # $B D% # #

$C œ ' $B &B $B œ %" # $

B D' % $

C œ "

W& À œ & W' À œ ! " " " # # $B C D B C D

# $ % $ " % ""B C D B C D ' œ "" œ

$ # " % # 'B C D B C D œ ' œ #

W( À B #C D @ A œ ! W) À #B %B (B %B &B œ " " # $ % &

#B C D #@ $A œ " *B $B #B (B B œ ! " # $ % &

$B #C D @ #A œ ! &B #B $B B $B œ ! " # $ % &

#B &C D #@ # A œ ! 'B &B %B $B #B œ " " # $ % &

B C D @ A œ ! B B B B #B œ ! " # $ % &

(1.1) Expréselos en notación matricial.

(1.2) Cuando corresponda, use la Regla de Cramer para determinar lasolución.

2. Sea Z œ ‘ ‘# y Definamos:O œ Þ

(2.1) ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ œ ÐB C ß? @Ñ à ÐBß CÑ œ Ð B ß CÑ ! !

(2.2) ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ œ ÐB C ß !Ñ à ÐBß CÑ œ Ð B ß !Ñ ! !Determine si con estas operaciones es ESPACIO VECTORIAL SOBRE Z O



PÁG. 169



3. Sea Z œ ˜ ™ÐB ß C Ñ − ÎB ! ß C !‘#

(3.1) Demostrar que con la adición vectorial:Z

es grupo abeliano.ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ

(3.2) Si se define : a − ÐB ß CÑ œ ÐB ß C Ñ ! ‘ ! ! !

Verifique si es espacio vectorial sobre Z ‘ .

4. Sea y DefinamosZ œ O œ Þ Ð − à ? ß @ − Ñ À‘ ‘ ! ‘ ‘8 8

? Š @ œ ? @ à ! !Œ ? œ ? (con las operaciones usuales a la derecha de la igualdad)Determine que axiomas de espacio vectorial se cumplen.

5. Sea un espacio vectorial sobre . Demuestre que es unZ Z ‚ Z‘espacio vectorial sobre con las siguientes definiciones:‚ Z ‚ Z œ ÐB ß C Ñ ÎB − Z ß C − Z˜ ™ ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ Ð+ ,3ÑÐB ß CÑ œ Ð+B ,C ß +C ,BÑ

6. Considerando la suma y producto habitual:

(6.1) Probar que no es espacio vectorial sobre . ‘

(6.2) Probar que es espacio vectorial sobre .‘

(6.3) Determine si es espacio vectorial sobre .

7. Demuestre que el conjunto Z œ ÐBß Cß DÑ − Î$B C œ ! ß #B C œ D˜ ™‘$

es un espacio vectorial sobre .‘

8. con la adición habitual de matrices y se defineSea Z œ Ð`#B # ‘Ñ

el producto escalar por !!Œ Œ + , + ,

- . - .œ

Determine si es espacio vectorial sobre .Z ‘



PÁG. 170



9. Sea el conjunto de todas las funciones que tienen valor complejoZ

sobre el eje real, tales que: a > − À 0Ð >Ñ œ 0Ð>Ñ Þ‘

(9.1) Determine dos elementos de Z Þ

(9.2) Demostrar que con las operaciones usuales de suma deZfunciones y multiplicación por escalar; es un espacio vectorial sobre .‘

10. Verifique si los siguientes conjuntos son subespacios vectorialescon las operaciones definidas usualmente.

(10.1) W œ ÐB ß B ß B ß ÞÞÞ ß B Ñ − ÎB œ B §˜ ™" # $ 8 " #8 8‘ ! ‘

(10.2) W œ ÐB ß B ß B ß ÞÞÞ ß B Ñ − ÎB − §˜ ™" # $ 8 "8 8‘ ™ ‘

(10.3) , W œ ÐB ß B ß B B Ñ − ÎB B œ ! §˜ ™" # $ %% %

# $‘ ‘

11. Demostrar que es[ œ ÐB ß B ß B Ñ − ÎB B œ B B œ !˜ ™" # $ " #$

# $‘

un subespacio vectorial de ; con las operaciones usuales.‘3

12. Sea función real de variable real ; Z œ 0 Î 0 À Ä O œ Þ˜ ™‘ ‘ ‘

Consideremos los siguientes subconjuntos de Z À+Ñ [ œ 0 Î 0 Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ ,Ñ [ œ 0 Î 0 ÐBÑ œ 0Ð" BÑ" #˜ ™ ˜ ™


(12.2) Determine cual de estos conjuntos es subespacio vectorial de Zsobre el cuerpo ‘Þ

13. Sea espacio vectorial sobre el cuerpo Z œ ÐOÑ OÞ`#B #

Consideremos los siguientes subconjuntos de Z À+Ñ [ œ E Î E ,Ñ [ œ E Î E" #˜ ™ ˜ ™ es invertible no es invertible

-Ñ [ œ E Î E œ E$#˜ ™


(13.2) Determine cual de estos conjuntos es subespacio vectorial de Zsobre el cuerpo OÞ



PÁG. 171





PROBLEMA 1: (1.1) : 1. S5TALLER N° 4 RESPUESTA: Sean ? œ à @ œ à A œ" " "

B C D

Ð"Þ"Ñ œ" " " ? &# $ % @ ""$ # " A '


Ð"Þ#Ñ ./> œ "% Á ! ß" " "# $ %$ # "

se puede usar CRAMER:Î ÑÏ Ò

Ê ? œ œ # à @ œ œ $ à ./> ./>

& " " " & """ $ % # "" %' # " $ ' "

"% "%


A œ œ ' Ê B œ à C œ à D œ

./>

" " "# $ %$ # "

"% # $ '" " "

Î ÑÏ Ò

es la solución única.W œ Ð ß ß Ñ˜ ™" " "# $ '

(1.2) : 1. S7TALLER N° 4 RESPUESTA:

Ð"Þ"Ñ œ

" # " " " B !# " " # $ C "$ # " " # D !# & " # # @ !" " " " " A !

Î ÑÎ Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò Ï Ò

Ð"Þ#Ñ ./> œ ) Á ! ß

" # " " "# " " # $$ # " " ## & " # #" " " " "


se puede usar CRAMER:

B œ à C œ à

./> ./>

! # " " " " ! " " "" " " # $ # " " # $! # " " # $ ! " " #! & " # # # ! " # #! " " " " " ! " " "

) )

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò



PÁG. 172



D œ à @ œ à

./> ./>

" # ! " " " # " ! "# " " # $ # " " " $$ # ! " # $ # " ! ## & ! # # # & " ! #" " ! " " " " " ! "

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A œ

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" # " " !# " " # "$ # " " !# & " # !" " " " !

)


Ê B œ à C œ " à D œ $ à @ œ à A œ & $" ") ) #

es la solución única.W œ Ð ß " ß $ ß ß Ñ˜ ™& $" ") ) #


3Ñ Š a ?ß @ − Ê ? Š @ − es cerrada: ??‘ ‘8 8


@ −œ ÐC ß C ß C ß Þ Þ Þ ß C Ñ" # $ 8 ‘8

B à C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3 ‘

:VERIFICACIÓN ? Š @ œ ? @ œ −ÐB C ß B C ß B C ß Þ Þ Þ ß B C Ñ" " # # $ $ 8 8 ‘8

ya que B C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3 ‘

Luego; . " es cerrada" SE CUMPLE.? Š @ − Š‘8

33Ñ Š a ?ß @ − Ê ? Š @ œ @ Š ? es conmutativa: ??‘8


@ −œ ÐC ß C ß C ß Þ Þ Þ ß C Ñ" # $ 8 ‘8

B à C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3 ‘

:VERIFICACIÓN ? Š @ œ ? @ Á @ ? œ @ Š ? Luego; . " NO es conmutativa"? Š @ Á @ Š ? Š

333Ñ Š es asociativa: a ?ß @ß A − Ê Ð? Š @Ñ Š A œ ? Š Ð@ Š AÑ‘8


@ −œ ÐC ß C ß C ß Þ Þ Þ ß C Ñ" # $ 8 ‘8

A œ ÐD ß D ß D ß Þ Þ Þ ß D Ñ −" # $ 88‘

B à C à D − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3 3 ‘



PÁG. 173



:VERIFICACIÓN Ð? Š @Ñ Š A œ Ð? @Ñ Š A œ Ð? @Ñ A œ ? @ A ? Š Ð@ Š AÑ œ ? Š Ð@ AÑ œ ? Ð@ AÑ œ ? @ A Luego; " NO es asociativa"Ð? Š @Ñ Š A Á ? Š Ð@ Š AÑ Š

3@Ñ Existencia y unicidad de neutro aditivo: a @ − bx / − >+6 ;?/ @ Š / œ / Š @ œ @ ; ??‘ ‘8 8


/ −œ Ð/ ß / ß / ß Þ Þ Þ ß / Ñ" # $ 8 ‘8

B à / − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3 ‘

:VERIFICACIÓN @ Š / œ @ / œ @ Ê / œ ! / Š @ œ / @ œ @ Ê / œ #@ Luego; "NO existe un único "/

@Ñ Existencia y unicidad de inverso aditivo: a @ − bx @ − >+6 ;?/ @ Š @ œ @ Š @ œ / ; ??‘ ‘8 ‡ 8 ‡ ‡

Pero, como la propiedad anterior no se cumple; esta tampoco se cumple.

@3Ñ Œ a − à a @ − Ê Œ @ − es cerrada: ??! ‘ ‘ ! ‘8 8


! ‘à B − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83

:VERIFICACIÓN ! ! !Œ @ œ @ œ ÐB ß B ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ" # $ 8

œ Ð B ß B ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ −! ! ! ! ‘" # $ 88

ya que B − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8! ‘3

Luego; . " es cerrada" SE CUMPLE.! ‘Œ @ − Œ8

@33Ñ Distributividad del escalar: a − à a ?ß @ −! ‘ ‘8

??Ê Œ Ð? Š @Ñ œ Ð Œ ?Ñ Š Ð Œ @Ñ! ! !


@ −œ ÐC ß C ß C ß Þ Þ Þ ß C Ñ" # $ 8 ‘8

! ‘à B à C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3

:VERIFICACIÓN ! ! !Œ Ð? Š @Ñ œ Œ Ð? @Ñ œ Ð? @Ñ œ ? @ œ Ð Œ ?Ñ Ð @Ñ! ! ! !

œ Ð Œ ?Ñ Ð Œ @Ñ œ Ð Œ ?Ñ Š Ð Œ @Ñ! ! ! !

Luego; .! ! !Œ Ð? Š @Ñ œ Ð Œ ?Ñ Š Ð Œ @Ñ "SE CUMPLE la distributividad del escalar"



PÁG. 174



@333Ñ Distributividad del vector: a à − à a @ −! " ‘ ‘8

??Ê Ð Ñ Œ @ œ Ð Œ @Ñ Š Ð Œ @Ñ! " ! "


! " ‘à à B à C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3

:VERIFICACIÓN Ð Ñ Œ @ œ Ð Ñ @ œ Ð Ñ@! " ! " ! " ‘ œ @ @ œ Ð @Ñ Š Ð @Ñ! " ! "

œ Ð Œ @Ñ Š ÐÐ Ñ Œ @ÑÑ! "

Á Ð Œ @Ñ Š Ð Œ @Ñ! "

Luego; .Ð Ñ Œ @ Á Ð Œ @Ñ Š Ð Œ @Ñ! " ! "

"NO se cumple la distributividad del vector"

3BÑ Asociatividad del escalar: a à − à a @ −! " ‘ ‘8

??Ê Ð Ñ Œ @ œ Œ Ð Œ @Ñ!" ! "


! " ‘à à B à C − a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 83 3

:VERIFICACIÓN Ð Ñ Œ @ œ Ð Ñ @ œ Ð Ñ@ œ Ð Œ @Ñ!" !" ! " ! " ‘ ‘ œ Ð Ñ Œ Ð Œ @Ñ! "

Á Œ Ð Œ @Ñ! "

Luego; .Ð Ñ Œ @ Á Œ Ð Œ @Ñ!" ! "

"NO se cumple la asociatividad del vector"

BÑ a @ − Ê " Œ @ œ @ ??‘8


" − ‘

:VERIFICACIÓN Luego; " Œ @ œ Ð "Ñ@ œ @ Á @ Þ " Œ @ Á @ "NO se cumpler"

PROBLEMA 3: TALLER N° 4 : 7. RESPUESTA: 1º) Se sabe que es espacio vectorial sobre .‘ ‘$

2º) Como Z § à Z Á à Ð!ß !ß !Ñ Z Þ‘ 9$ −

POR DEMOSTRAR QUE es subespacio vectorial de .Z ‘$

.DEM Se debe demostrar que: aÐB ß C ß D Ñ à ÐB ß C ß D Ñ − à a −" " " # # # Z ! ‘

Ê ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ −" " " # # #! Z . En efecto:



PÁG. 175



: HIPÓTESIS ÐB ß C ß D Ñ −" " " Z Ê $B C œ ! à #B C œ D" " " " "

ÐB ß C ß D Ñ −# # # Z Ê $B C œ ! à #B C œ D# # # # #

! ‘−

:TESIS ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ œ ÐB B ß C C ß D D Ñ" " " # # # " # " # " #! ! ! !

Verificar si esta terna cumple las condiciones para estar en :Z $ÐB B Ñ ÐC C Ñ œ Ð Ð" # " #! ! !$B C Ñ $B C Ñ" " # #

œ ! !! œ !

#ÐB B Ñ ÐC C Ñ œ Ð# Ð#" # " #! ! !B C Ñ B C Ñ" " # #

œ D D Þ" #!

Por lo tanto, ; es decirÐB B ß C C ß D D Ñ −" # " # " #! ! ! Z ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ −" " " # # #! Z Z es subespacio vectorial de .‘$

Luego; Z es espacio vectorial sobre .‘

PROBLEMA 4: (4.1) : (10.2)TALLER N° 4 RESPUESTA:

1º) , . . . , W Á à Ð!ß !ß ! !Ñ W9 −

2º) No Þ ÐB ß B ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ Â W Ð B Â Ñ! ‘ ! !− Ê " # $ 8 " ™

3º) Por lo tanto, no es subespacio vectorial de W Þ‘8

(4.2) : (10.3)TALLER N° 4 RESPUESTA:

1º) , W Á à Ð!ß !ß ! !Ñ W9 −

2º) No Þ WÐ"ß !ß #ß $Ñà Ð #ß "ß !ß "Ñ − Ê Ð"ß !ß #ß $Ñ Ð #ß "ß !ß "Ñ œ Ð "ß "ß #ß #Ñ Â W

3º) Por lo tanto, no es subespacio vectorial de W Þ‘%



PÁG. 176



PROBLEMA 5: (5.1) : 12. a)TALLER N° 4 RESPUESTA: Ð"#Þ"Ñ 0 À Ä 0ÐBÑ œ ! a B definida por ‘ ‘ ‘− definida por 1 À Ä 1ÐBÑ œ BÐB "Ñ a B‘ ‘ ‘− Notar que 0 à 1 − [ 0Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ C 1Ð!Ñ œ 1Ð"Ñ" ; ya que Ð"#Þ#Ñ POR DEMOSTRAR QUE es subespacio vectorial de [" Z Þ .DEM Se debe demostrar que: a0 à 1 − [ à a − Ê Ð0 1Ñ − [" "! ‘ ! . En efecto:

: HIPÓTESIS 0 − [ 0Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ" Ê 1 − [ 1Ð!Ñ œ 1Ð"Ñ" Ê ! ‘− :TESIS Ð0 1ÑÐ!Ñ œ 0Ð!Ñ 1Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ 1Ð"Ñ! ! !

œ Ð0 1ÑÐ"Ñ!

Por lo tanto, Ð0 1Ñ − [! "

Luego; [" es subespacio vectorial de Z Þ

(5.2) : 13. c)TALLER N° 4 RESPUESTA:

Ð"$Þ"Ñ E œ à F œ! ! " !! ! ! "

Œ Œ − [$ ,

ya que E œ E ß F œ F# # Ð"$Þ#Ñ POR VERIFICAR QUE es subespacio vectorial de [ Ñ$ `#B#Ð Þ‘

.DEM Se debe verificar que: aE à F − [ à a − Ê ÐE FÑ − [$ $! ‘ ! .

: HIPÓTESIS E Ê Ê− [ E œ E F − [ F œ F$ $

# #

! ‘− :VERIFICACIÓN ÐE FÑ œ E # EF F œ E # EF F! ! ! ! !# # # # #

Á E F! Por lo tanto, .ÐE FÑ Â [! $

Luego; [ Ñ$ NO es subespacio vectorial de `#B#Ð Þ‘



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA VIERNES 27 DE ABRIL DE 2007: 11:30-12:10 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_________________________________SECCIÓN______

(5.1) (5.2) (5.3)

TOTAL

PUNTAJE EL DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS PARA (5.2) Y (5.3) HÁGALO EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DETRÁS DEL ENUNCIADO DE ESTE CONTROL; CON .LÁPIZ PASTAPREGUNTA 5:

(5.1) Coloque en el de la COLUMNA 2; el número que le corresponde de la COLUMNA 1 COLUMNA 1 COLUMNA 2

1

2

Ð+ Ñ + œ" =3 3 œ 4

! =3 3 Á 4

Ð+ Ñ + œ ! a 3 4

34 34

34 34

− Ð Ñ À

− Ð Ñ À

` ‘

` ‘

8 B8

8 B8

ÚÛÜ matriz antisimétrica

E F G

E œ ! ß 8 Ð./> EÑÐE Ñ

ÐEF GÑ

" " "

8 "

"

3

4

5

6

para algún −

triangular superior

triangular inferior"#

>ÐE E Ñ

ESi es invertible; entonces +.4E matriz identidad

matriz nilpotente

matriz idempotente

SE DESCUENTA UN PUNTO POR

CADA INCORRECTA EN COLUMNA 2

G F E> > >



PÁG. 178



(5.2) a) Encuentre el polinomio definido por :ÐBÑ

:ÐBÑ œ ./>Ô ×Õ Ø

" B " %$ # B "# " " B

.Þ

b) Factorice completamente el polinomio obtenido en a).

(5.3) Dado el siguiente sistema: 5B C D œ " B 5C D œ " B C 5D œ "a) Deterrmine para que el sistema en 5 B ß C ß D− ‘ À i ) tenga solución única en . ‘$

ii ) no tenga solución en ‘$ Þ iii ) tenga infinitas soluciones en .‘$

b) Usando la REGLA DE CRAMER (NO SE PERMITE OTROPROCEDIMIENTO) ; Encuentre el valor de la variable " " cuandoCel parámetro 5 œ " Þ

PONDERACIONES: (5.1) = 05 (5.2) = 05 (5.3) = 05 PUNTOS. TIEMPO: 40 minutos.




PÁG. 179



PAUTACONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)

PREGUNTA 5: (5.1) en COLUMNA 2 (un punto cada respuesta correcta ) COLUMNA 1 COLUMNA 2

1 5

2

Ð+ Ñ + œ" =3 3 œ 4

! =3 3 Á 4

Ð+ Ñ + œ ! a 3 4

34 34

34 34

− Ð Ñ À

− Ð Ñ À

` ‘

` ‘

8 B8

8 B8

ÚÛÜ matriz antisimétrica

3 6

4 2

5

6

E F G

E œ ! ß 8 Ð./> EÑÐE Ñ

ÐEF GÑ

" " "

8 "

"

para algún −

triangular superior

triangular inferior"#

>ÐE E Ñ

ESi es invertible; entonces +.4E 1

3

matriz identidad

matriz nilpotente

matriz idempote

SE DESCUENTA UN PUNTO POR

CADA INCORRECTA EN COLUMNA 2

G F E> > >

nte

(5.2) a) : (por columna 2) SOLUCIÓN

./>Ô ×Õ Ø

" B " %$ # B "# " " B

œ ./> Ð# BÑ./> ./>$ " " B % " B %# " B # " B $ "” • ” • ” •


œ " $B #B ") B *B B "$# $

:ÐBÑ œ B #B &B '$ # $b) :SOLUCIÓN Notar que es una raíz o cero de B œ " :ÐBÑ Þ Luego es divisible por En efecto:B " . B #B &B ' À B " œ B B '$ # #

B B$ #



PÁG. 180



__________________ B &B '#

B B#

__________________ 'B ' 'B ' __________________ ! Por lo tanto:

:ÐBÑ œ ÐB "ÑÐ B B 'Ñ œ ÐB "ÑÐB $ÑÐB #Ñ# #

(5.3) a) :SOLUCIÓN

Formar la matriz aumentada: Î ÑÏ Ò

5 " " "" 5 " "" " 5 "

J à J 5J Ð5 Á !Ñ àJ J" 5 " "

! " 5 " 5 " 5! " 5 5 " !

"# # $" "‡ ‡ #

Î ÑÏ Ò

" ""5 "5# $ #$J à J Ð5 Á "Ñ àJ

" 5 " "! " " !! " 5 " "

Î ÑÏ Ò

J Ð 5ÑJ à J Ð" 5ÑJ Ð5 Á "Ñ" ! " 5 "! " " !! ! # 5 "

" # $ #

Î ÑÏ Ò

i ) 5 Á # à " ß ß Ñ dada por ( ˜ ™" " "#5 #5 #5 "

ii ) 5 œ # V+819ÐEÑ, ya que Á V+819ÐE àFÑ "

iii ) 5Þ œ " dada por ˜ ™(B ß C ß DÑÎB œ " C D à Cß D − ‘ "b) :SOLUCIÓN

C œ œ œ œ "

./> ./>" " " " " "" " " ! # #" " " ! # !

./> ./>" " " " " "" " " ! ! #" " " ! # !

%%

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

#



PÁG. 181



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 08 DE MAYO DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __11PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto (reales positivos) y el cuerpo de los‘

números reales con la suma vectorial y producto escalar definido‘

por B Š C œ BC à B œ B a a ! ! ! ‘ ‘− ß Bà C −

Determine si: a) La operación está bien definidaŠ . b) Se cumple la distributividad del escalar.

(1.2) Demostrar que [ œ ÐBß Cß DÑ − ÎB C œ C D œ !˜ ™‘$

es un subespacio vectorial de ; con las operaciones usuales. ‘$





PÁG. 182



PAUTACONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __11PREGUNTA 1: (1.1) a) :SOLUCIÓN1º) Se debe verificar que a ŠBà C − B C −‘ ‘ : 1

2º) Como ya queB C œ B C − Bà C −Š ‘ ‘ , 1

3º) Luego, la operación satisface la propiedad de clausura oŠ es cerrada en Es decir, está bien definida. ‘ . 1b) :SOLUCIÓN1º) Se debe verificar que a − a Bà C −! ‘ ‘, :

1! ! ! ÐB Š CÑ œ Ð BÑ Š Ð CÑ

2º) ! ! ÐB Š CÑ œ ÐB CÑ œ ÐB CÑ œ ÐB ÑÐC Ñ ! ! !

œ Ð BÑÐ CÑ œ Ð BÑ Š Ð CÑ! ! ! ! 2

3º) Luego, se cumple la distributividad del escalar. 1(1.2) SOLUCIÓN:1º) [ Á Ð!ß !ß !Ñ − [ Þ9 , 1ya que 2º) Por demostrar que: a ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [ à a −" " " # # # , ! ‘ a) ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [" " " # # #

b) ! 2ÐB ß C ß D Ñ − [" " "

DEMOSTRACIÓN: : HIPÓTESIS ÐB ß C ß D Ñ − [ Ê B C œ C D œ !" " " " " " "

ÐB ß C ß D Ñ − [ Ê B C œ C D œ !# # # # # # #

1! ‘−

:TESISa) ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ œ ÐB B ß C C ß D D Ñ − [" " " # # # " # " # " #

si y solo si ) .ÐB B ÐC C Ñ œ ÐC C Ñ ÐD D Ñ œ !" # " # " # " #

En efecto: )ÐB B ÐC C Ñ œ ÐB C Ñ ÐB C Ñ œ ! ! œ !" # " # " " # #

ÐC C Ñ ÐD D Ñ œ ÐC D Ñ ÐC D Ñ œ ! ! œ !" # " # " " # #

Por lo tanto; 2ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [" " " # # #

b) ! ! ! ! ÐB ß C ß D Ñ œ Ð B ß C ß D Ñ − [" " " " " "

si y solo si ! ! ! !B C œ C D œ !" " " "

En efecto: ! ! ! !B C œ ÐB C Ñ œ Ð!Ñ œ !" " " "

! ! ! !C D œ ÐC D Ñ œ Ð!Ñ œ !" " " "

Por lo tanto; ! 2ÐB ß C ß D Ñ − [" " "

3º) Luego, es subespacio vectorial de [ ‘$ .



PÁG. 183



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 08 DE MAYO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __12PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto (reales positivos) y el cuerpo de los‘

números reales con la suma vectorial y producto escalar definido‘

por B Š C œ BC à B œ B a a ! ! ! ‘ ‘− ß Bà C −

Determine si: a) La operación está bien definida. b) Existe elemento neutro para la operación .Š

(1.2) Demostrar que [ œ ÐBß Cß DÑ − Î$B C œ ! ß #B C œ D˜ ™‘$

es un subespacio vectorial de ; con las operaciones usuales. ‘$





PÁG. 184



PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __12PREGUNTA 1: (1.1) a) :SOLUCIÓN1º) Se debe verificar que a − a B − B −! ‘ ‘ ! ‘ , : 1

2º) Como ya que! ‘ ‘ ! ‘ B œ B − B − ß −! , 1

3º) Luego, la operación está bien definida. 1b) :SOLUCIÓN1º) Se debe verificar que aB − b / −‘ ‘ , : 1ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B

2º) ya queB Š / œ B / œ B Ê / œ " B −ß 1 ‘

1/ Š B œ / B œ B Ê / œ " B −ß ya que ‘

3º) Por lo tanto, existe elemento neutro / œ " − "‘ (1.2) SOLUCIÓN:1º) [ Á Ð!ß !ß !Ñ − [ Þ9 , 1ya que 2º) Por demostrar que: a ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [ à a −" " " # # # , ! ‘ a) ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [" " " # # #

b) ! 2ÐB ß C ß D Ñ − [" " "

DEMOSTRACIÓN:HIPÓTESIS: ÐB ß C ß D Ñ − [ Ê $B C œ ! ß #B C œ D" " " " " " " "

ÐB ß C ß D Ñ − [ Ê $B C œ ! ß #B C œ D# # # # # # # #

1! ‘−

TESIS:a) ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ œ ÐB B ß C C ß D D Ñ − [" " " # # # " # " # " #

si y solo si )$ÐB B ÐC C Ñ œ ! ß" # " #

)#ÐB B ÐC C Ñ œ D D Þ" # " # " #

En efecto:$ÐB B ÐC C Ñ œ Ð$B C Ñ Ð$B C Ñ œ ! ! œ !" # " # " " # #)#ÐB B ÐC C Ñ œ Ð#B C Ñ Ð#B C Ñ œ D D" # " # " " # # " #)Por lo tanto; 2ÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D Ñ − [" " " # # #

b) ! ! ! ! ÐB ß C ß D Ñ œ Ð B ß C ß D Ñ − [" " " " " "

si y solo si $ Ð B Ñ C œ ! à # Ð B Ñ C œ D! ! ! ! !" " " " "

En efecto: $ Ð B Ñ C œ Ð$B C Ñ œ Ð!Ñ œ !! ! ! !" " " "

# Ð B Ñ C œ Ð#B C Ñ œ ÐD Ñ œ D! ! ! ! !" " " " " "

Por lo tanto; ! 2ÐB ß C ß D Ñ − [" " "

3º) Luego, es subespacio vectorial de [ ‘$ .



PÁG. 185



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 10 DE MAYO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __14PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto y el cuerpo de los números`#B #Ð‘Ñ complejos con la suma habitual de matrices y el producto‚ ;

escalar definido por !!

a −Œ Œ + , + ,- . - .

œ ! ‚ .

Determine si: a) La operación está bien definida. b) " @ œ @ a @ − `#B #Ð‘Ñ

(1.2) Sea función real de variable real ;Z œ 0 Î 0 À Ä˜ ™‘ ‘

Determine si el conjunto [ œ 0 Î 0 Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ § Z˜ ™es un subespacio vectorial de ; con las operaciones usuales. Z





PÁG. 186



PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __14PREGUNTA 1: (1.1) a) :SOLUCIÓN

1º) Se debe verificar que a − a − Ñ+ ,- .

! ‚ ‘ , : Œ `#B #Ð

1! ‘ − Ñ+ ,- .Œ `#B #Ð

2º) Como ! ‘!

œ Â Ñ+ , + ,- . - .Œ Œ `#B #Ð ,

ya que en general, puesto que . ! ‚ ! ‚. − − #

3º) Luego, la operación no está bien definida. 1b) :SOLUCIÓN

1º) Se debe verificar que a − Ñ " −+ ,- .Œ `#B #Ð‘ ‚, :

1" Œ Œ + , + ,- . - .

œ

2º) " Œ Œ Œ + , + , + ,- . - ". - .

œ œ 1

3º) Por lo tanto, " @ œ @ à a @ − Ñ "`#B #Ð‘ (1.2) SOLUCIÓN:1º) [ Á ! − [ Þ9 , ya que (la función cero) En efecto:0

definida por ! À Ä ! ÐBÑ œ ! a B −0 0‘ ‘ ‘ . Se tiene, entonces que ! Ð!Ñ œ ! Ð"Ñ œ !0 0 12º) Por verificar que: a 0 1 − [ à a − , ! ‘

a) b) Ð0 1Ñ − [ Ð 0Ñ − [! 2HIPÓTESIS: 0 − [ Ê 0Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ ß 1 − [ Ê 1Ð!Ñ œ 1Ð"Ñ 1! ‘−

TESIS:a) si y solo siÐ0 1Ñ − [ Ð0 1ÑÐ!Ñ œ Ð0 1ÑÐ"Ñ Ð0 1ÑÐ!Ñ œ 0Ð!Ñ 1Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ 1Ð"Ñ œ Ð0 1ÑÐ"ÑPor lo tanto; 2Ð0 1Ñ − [

b) si y solo si Ð 0Ñ − [ Ð 0ÑÐ!Ñ œ Ð 0ÑÐ"Ñ! ! ! Ð 0ÑÐ!Ñ œ Ð0Ð!ÑÑ œ Ð0Ð"ÑÑ œ Ð 0ÑÐ"Ñ! ! ! ! Por lo tanto; Ð 0Ñ − [! 23º) Luego, es subespacio vectorial de [ Z .



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 10 DE MAYO DE 2007: 12:45 - 14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __13PROFESOR__ __ERICK GONZÁLEZ GAJARDO

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto Z œ ˜ ™ÐB ß C Ñ − ÎB ! ß C !‘#

y el cuerpo de los números reales con la suma vectorial y‘producto escalar definido por ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB? ß C @Ñ à ÐB ß CÑ œ ÐB ß C Ñ ! ! !

,a − ß a ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ −! ‘ Z .Determine si: a) La operación es asociativa.Š b) Se cumple la distributividad del vector.

(1.2) Determine si el conjunto

M œ − Ð ÑÎ C œ B A à D œ B A −B CD A

˜ ™Œ ` ‘ ‘#B #

es un subespacio vectorial de ; con las operaciones ` ‘#B #

Ð Ñusuales.





PÁG. 188



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 09DE MAYO DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(1.1) (1.2)

TOTAL



,a − ß a ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ −! ‘ Z .Determine si: a) La operación está bien definida. b) Existe elemento inverso para la operación Š .

(1.2) Determine si el conjunto W œ ÐB ßB ß B ß ÞÞÞ ß B Ñ − ÎB − §˜ ™" # $ 8 "

8 8‘ ™ ‘

es un subespacio vectorial de considerando el cuerpo de los ‘8 números reales ; con las operaciones usuales.‘





PÁG. 189



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 09 DE MAYO DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __22PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(1.1) (1.2)

TOTAL



,a − ß a ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ −! ‘ Z .Determine si: a) Se cumple la asociatividad del vector. b) Existe elemento neutro para la operación Š .


Demostrar que el conjunto J œ 0 À Ä Î0ÐBÑ œ 0Ð BÑ à a B −˜ ™‘ ‘ ‘

es subespacio vectorial de con las operaciones usuales. Z





PÁG. 190



SEMANA N° 05: (SEMANA DE PRUEBAS)UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA 13102006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)

NOMBRE_______________________________SECCIÓN_______PROFESOR____________________________________________

PREGUNTA 1 2 3 4 NOTA

PUNTAJE1.

(1.1) Dadas las matrices en ` ‘# B$

Ð ÑÞ: E œ à" & $! # %Œ

F œ à G œ# ( $ ! # "

" % & ' # %Œ Œ Calcule: +Ñ ÐE FÑ ,Ñ ÐF #G $EÑ> -Ñ ÐE FÑ ÐF #G $EÑ>

(1.2) Calcule, simplifique y exprese en la forma cada uno+ , 3de los términos de la matriz resultante de multiplicar:

a bÎ ÑÏ ÒÐ " 3Ñ # 3 Ð% 3ÑÐ$ #3Ñ

" 3 # 3! $3

%3 &3

#

2. Dado el siguiente sistema en las incógnitas B ß C ß D ß A À

#B C D A œ " B #C D %A œ # B (C %D ""A œ 5(2.1) Escriba la representación matricial del sistema .E\ œ F(2.2) Determinar el valor de la constante 5 − ‘; para que elsistema en B ß C ß D ß A À

a) NO tenga solución en .‘%

b) tenga solución única en .‘%

c) tenga infinitas soluciones en .‘%



PÁG. 191



(2.3) a) Escriba el conjunto solución del sistema.b) Escriba dos soluciones particulares del sistema.c) Escriba una 4-upla que no sea soluciòn del sistema.

3. (3.1) Calcule el siguiente determinante y escriba el polinomioresultante en potencias decrecientes de la variable -.

â ââ ââ ââ ââ ââ â # $ '

% " ) # !

-

-

-


O œ Z‘Þ ÀConsideremos el siguiente subconjunto de [ œ 0 Î 0 ÐBÑ œ 0Ð" BÑ˜ ™con las operaciones usuales: a − à a 0 à 1 − Z! ‘Ð0 1ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ 1ÐBÑ à Ð 0ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ ! !a) Verifique si tiene elementos.[b) Si corresponde, determine si es subespacio vectorial de[Z sobre el cuerpo ‘Þ

4. Expresar la matriz como producto deE œ# "" $Œ

matrices elementales, sabiendo que se hicieron las siguientes

operaciones elementales sobre las filas de la matriz E À1º) Intercambiar la fila con la fila ." #2º) Enseguida: Sumar a la fila ; ( ) veces la fila .# # "3º) A continuaciòn: Multiplicar la fila ; por (# "

& Ñ

4º) Finalmente: Sumar a la fila ; ( ) veces la fila ." $ #

NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1 TIEMPO: 2 horas.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!



PÁG. 192




PAUTA DE CORRECCIÓN CONTROL N° 1:

PROBLEMA 1: RESPUESTA:

(1.1)Î ÑÏ Ò

$ "# #! *

àŒ Î ÑÏ Ò

& % %"" ' #&

à% ' $($# #! %#

** &% ##&

(1.2) a b## &%3 #% '!3


(2.1) Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò


# " " " "" # " % #" ( % "" 5

BCDA

œ

(2.2)


# " " " "" # " % #" ( % "" 5

2º) y llevarla a la matriz escalonada reducida por filas en sus primerascuatro columnas

Î ÑÐ ÓÏ Ò

" !

! "

! ! ! ! 5 &

" ' %& & &

$ ( $& & &

+Ñ Si ; ya que 5 Á & <+819ÐEÑ Á <+819ÐE FÑ¸,Ñ Þ No existe 5 − ‘-Ñ Si .5 œ &

(2.3)+ÑW œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎB œ D A à C œ D A˜ ™‘% % " ' $ $ (

& & & & & &

,Ñ 3Ñ D œ A œ ! Ê Ð ß ß ! ß !Ñ % $& &

33Ñ D œ ! à A œ " Ê Ð ß ß ! ß "Ñ# %& &

-Ñ Ð! ß ! ß ! ß !Ñ



PÁG. 193



PROBLEMA 3: RESPUESTA: (3.1) :Ð Ñ œ # $'- - - -$ #

(3.2)+Ñ , ya que! − [ ! ÐBÑ œ ! Ð" BÑ œ !Þ [ Á Þ0 0 0 9,Ñ es subespacio vectorial de [ Z Í a − à a 0 ß 0 − [ Ê Ð0 0 Ñ − [! ‘ !" # " #

HIPÒTESIS: 0 − [ Ê 0 ÐBÑ œ 0 Ð" BÑ" " " 0 − [ Ê 0 ÐBÑ œ 0 Ð" BÑ# # # ! ‘− VERIFICACIÓN:

Ð0 0 ÑÐBÑ œ 0 ÐBÑ 0 ÐBÑ œ 0 Ð" BÑ 0 Ð" BÑ" # " # " #! ! ! œ Ð0 0 ÑÐ" BÑ" #! Ð0 0 ÑÐBÑ œ Ð0 0 ÑÐ" BÑ" # " #! ! Por lo tanto; Ð0 0 Ñ − [" #! .Luego; es subespacio vectorial de [ Z


Œ Œ Œ Œ Œ # " ! " " ! " ! " $" $ " ! # " ! & ! "

œ



PÁG. 194





TEMA 3: COMBINACIÓN LINEAL Y ESPACIO GENERADO

OBJETIVO OPERACIONAL:

Expresar una matriz como combinación lineal de un conjunto de matrices. OBJETIVO OPERACIONAL: Expresar un polinomio como combinación lineal de un conjunto de polinomios. OBJETIVO OPERACIONAL: Expresar una como combinación lineal de un conjunto de .

8 ?:6+8 ?:6+=

OBJETIVO OPERACIONAL: Expresar un vector como combinación lineal de un conjunto de vectores. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si un conjunto de vectores a un espacio vectorial.

KIRIVE

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir el espacio generado por un conjunto devectores.

(3.1) :DEFINICIÓN Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y seanZ O (escalares); (vectores).! ! !

" # 8 " # 8ß ß Þ Þ Þ ß − O @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z

Se llama COMBINACIÓN LINEAL de a cualquier@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8

arreglo de la forma siguiente:

! ! ! ! !" " # # 3 3 8 8 3 3@ @ Þ Þ Þ @ Þ Þ Þ @ œ @!

3œ"

8

(3.2) :EJEMPLO

(3.2.1) En ; cualquier vector de la forma es combinación lineal‘$ Ð+ ß , ß -Ñde los vectores , ya que existen3 œ Ð"ß !ß !Ñ à 4 œ Ð!ß "ß !Ñ à 5 œ Ð!ß !ß "Ñescalares tal que+ ß , ß - − ‘

Ð+ ß , ß -Ñ œ + 3 , 4 - 5 œ +Ð"ß !ß !Ñ ,Ð!ß "ß !Ñ -Ð!ß !ß "Ñ

(3.2.2) Forme una combinación lineal en , con los vectores yY ‘ ‘Ð Ñ =/8-9= # $ ; y los escalares y respectivamente.SOLUCIÓN:

La combinación lineal es: , Ð # =/8 $ -9=Ñ − Ð ÑY ‘ ‘

Note que la función , es la definida por laÐ # =/8 $ -9=Ñ − Ð ÑY ‘ ‘

fórmula: Ð # =/8 $ -9=ÑÐBÑ œ # =/8 ÐBÑ $ -9=ÐBÑ



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F œ ß ß ß" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " ! ŸŒ Œ Œ Œ

a) Exprese si es posible el vector como combinación linealŒ " "" "

del conjunto .FSOLUCIÓN:

1º) Será posible cuando existan escalares ! " # -ß ß ß − ‘ tal que

Œ Œ Œ Œ Œ " " " ! " ! " ! ! "" " " ! " ! ! " " !

œ ! " # -

2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:! " # ! " # -

-

! " -

#

œ " œ " ß œ "ß œ " ß œ "

œ "

œ "

œ "

Ê

3º) Por lo tanto, si es posible expresar Œ " "" "

como la sigiente

combinación lineal:

Ð"Ñ Ð "Ñ Ð "Ñ Ð"ÑŒ Œ Œ Œ " ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

b) Determine la solución (SI EXISTE) que verifique:! " # -ß ß ß

! " # -Œ Œ Œ Œ Œ " ! " ! " ! ! " ! !" ! " ! ! " " ! ! !

œ

SOLUCIÓN:

1º) ! " # -Œ Œ Œ Œ Œ " ! " ! " ! ! " ! !" ! " ! ! " " ! ! !

œ

2º) Determina el siguiente sistema de ecuaciones:! " # ! " # -

-

! " -

#

œ ! œ œ œ œ !

œ !

œ !

œ !

Ê

3º) Por lo tanto, ! " # -œ œ œ œ !



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(3.3) :DEFINICIÓN Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo yZ O sean (vectores).@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z

" # 8

Diremos que los vectores GENERAN a ; o bién que@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z" # 8

el conjunto de vectores GENERA a si y solo si TODO˜ ™@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z" # 8

vector se puede expresar como una combinación lineal de los@ − Zvectores ; es decir existen escalares tal@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ ß ß ÞÞÞß − O

" # 8 " # 8! ! !

que @ œ @!3œ"

8

!3 3

(3.4) :EJEMPLOS(3.4.1) Considere el siguiente subconjunto de `#B#Ð‘Ñ

E œ ß à à" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

˜ ™” • ” • ” • ” •a) Exprese si es posible el vector como” •+ ,

- .− Ð`#B# ‘Ñ

combinación lineal del conjunto .ESOLUCIÓN:1º) Será posible cuando existan escalares ! " # -ß ß ß − ‘ tal que

” • ” • ” • ” • ” •+ , " " " " " " " !- . " " " ! ! ! ! !

œ ! " # -

2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:! " # - ! " # -

! " #

! "

!

œ + œ . ß œ - .ß œ , - ß œ + ,

œ ,

œ -

œ .

Ê

3º) Por lo tanto, si es posible expresarlo : como

” • ” • ” • ” • ” •+ , " " " " " " " !- . " " " ! ! ! ! !

œ Ð.Ñ Ð- .Ñ Ð, -Ñ Ð+ ,Ñ

b) Determine si el conjunto genera a .E Ñ`#B#Ð‘ SOLUCIÓN:

1°) Por lo anterior, toda matriz se pudo expresar” •+ ,- .

− Ð`#B# ‘Ñ

como la siguiente combinación lineal de en efecto:Eà

” • ” • ” • ” • ” •+ , " " " " " " " !- . " " " ! ! ! ! !

œ Ð.Ñ Ð- .Ñ Ð, -Ñ Ð+ ,Ñ

2°) Cuando lo anterior es posible se dice que el conjunto GENERA a E `#B#Ð‘Ñ .



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(3.4.2)

a) Dada la matriz Œ B CD >

. Determine la condición algebraica que

deben cumplir para que Bß Cß Dß > − ‘

Œ Œ Œ Œ B C " " " " " "D > " " " ! ! !

œ ! " #

SOLUCIÓN:

1º) Œ Œ Œ Œ B C " " " " " "D > " " " ! ! !

œ ! " #

determina el sistema de ecuaciones:

! " # ! " #

! " #

! "

!

œ B Ê

œ D

œ >

œ C

œ > à œ D > à œ C D

sin considerar la primera ecuación

2°) Por lo tanto, lo anterior debe verificar la primera ecuación para queel sistema tenga solución. Luego, la condición es ; es decir: ! " # œ B > D > C D œ B Ê B C #D #> œ !

b) Determine si el conjunto F œ ˜ ™Œ Œ Œ " " " " " " " " " ! ! !

, ,

genera a .`#B#Ð‘Ñ SOLUCIÓN:

1°) Por lo anterior NO TODA MATRIZ à Œ B CD >

− Ð`#B# ‘Ñ se puede

expresar como combinación lineal de sino que solamente aquellas queF àverifican la condición B C #D #> œ !.

2°) Así por ejemplo, la matriz se puedeŒ # #" $

− Ð`#B# ‘Ñ

expresar como combinación lineal de en efecto:Fß

Œ Œ Œ Œ # # " " " " " "" $ " " " ! ! !

œ Ð $Ñ Ð #Ñ Ð$Ñ

Sin embargo, la matriz Œ " "" "

− Ð`#B# ‘Ñ NO SE PUEDE

EXPRESAR como combinación lineal de ; ya que no satisface laFcondición .B C #D #> œ !

3°) Por lo tanto, existen matrices en `#B#Ð‘Ñ que no se puedenexpresar como combinación lineal de Esto significa que:F Þ

NO GENERA a .F `#B#Ð‘Ñ



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(3.5) :DEFINICIÓN Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y seanZ O (vectores).@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z

" # 8

Llamaremos ESPACIO GENERADO POR LOS VECTORES8@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ 1/8 @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @

" # 8 " # 8 ; lo que denotaremos por ˜ ™

al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores8@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @

" # 8 ; es decir:

1/8 @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ œ @ − Z Î@ œ @˜ ™ ˜ ™!" # 8 3 3

3œ"

8

!

donde son escalares arbitrarios.!3− O

(3.6) :EJEMPLOS(3.6.1) En el EJEMPLO (3.4.1) el conjunto generado por

esE œ ß à à" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

˜ ™” • ” • ” • ” • 1/8 E œ 1/8 ß à à œ Ð

" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

˜ ™” • ” • ” • ” • `#B# ‘Ñ Þ

(3.6.2) En el EJEMPLO (3.4.2) b); el conjunto generado por

, , esF œ ˜ ™Œ Œ Œ " " " " " " " " " ! ! !

, ,1/8 F œ 1/8" " " " " "

" " " ! ! !˜ ™Œ Œ Œ

1/8 F œ − Ð Îb −B CD >

˜Œ `#B# ‘ ‘Ñ ! " #ß ß tal que

Œ Œ Œ Œ ™B C " " " " " "D > " " " ! ! !

œ ! " #

1/8 F œ − Ð Î § ÐB CD >

˜ ™Œ ` `#B# #B#‘ ‘Ñ ÑB C #D #> œ !

(3.6.3) Encuentre el conjunto generado por G œ §˜ ™Ð"ß "ß "Ñ Þ‘$

SOLUCIÓN: 1°) 1/8 G œ 1/8˜ ™Ð"ß "ß "Ñ

tal queœ ÐB ß C ß DÑ − Î ÐB ß C ß DÑ œ Ð"ß "ß "Ñ˜ ™‘ ‘$ b −! !

es decir; buscando la condición que debe cumplir paraÐB ß C ß DÑ − ‘$

que pertenezca al se tiene que:1/8 G œ 1/8˜ ™Ð"ß "ß "Ñ

B œ Ê B œ D • C œ D

C œ

D œ

!

!

!

2°) Luego: .1/8 G œ § ˜ ™ÐB ß C ß DÑ − Î B œ D à C œ D‘ ‘$ $



PÁG. 199



(3.6.4) Encuentre el conjunto generado por H œ " ß " B ß " B B˜ ™#SOLUCIÓN: 1°) 1/8 H œ 1/8 " ß " B ß " B B § Ð Ñ Þ˜ ™# c ‘

#

tal queœ + , − Î˜ B - B Ð Ñ b −# c ‘#

!ß" #ß ‘

+ , œB - B Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ# #! " # ™es decir; buscando la condición que debe cumplir + , −B - B Ð Ñ# c ‘

#

para que pertenezca al se tiene1/8 H œ 1/8 " ß " B ß " B B ˜ ™#que: ! " #

" #

#

œ +

œ ,

œ -

Ê Ê" " " + " " " +" " " , ! # # + ,! ! " - ! ! " -


Ê Ê

" ! ! + , " ! ! + ,

! " " + , ! " ! + , -

! ! " - ! ! " -


" " " "# # # #" " " "# # # #

2°) Luego:

+ , œ + ,Ñ + , -ÑB -B Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ# #Ð Ð Ð -Ñ" " " "# # # #

lo cual significa que TODO + , −B - B Ð Ñ# c ‘#

se puede expresarcomo combinación lineal de .H

3°) Por lo tanto; .1/8 H œ 1/8 " ß " B ß " B B Ð Ñ˜ ™# œ c ‘#

(3.7) : OBSERVACIÓN Si son vectores que generan a entonces@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z 8 Z ß

" # 8

@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ @ − Z Z" # 8 8"

, también generan a .



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TEMA 4: INDEPENDENCIA LINEAL:

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si un conjunto de vectores eslinealmente independiente.

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir a partir de un conjunto de vectoreslinealmente dependiente, un conjunto que sea linealmente i ndependiente.

(4.1) :DEFINICIÓN Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo yZ O Ð à Ñ‘ ‚

.@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8

Diremos que los vectores son LINEALMENTE@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8

INDEPENDIENTES si y solo si se verifica la siguiente propiedad :

; !3œ"

8

! !3 3 3@ œ ! Ê œ ! a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8

(4.2) :EJEMPLOS

(4.2.1) . Considere el siguiente subconjunto de c ‘#Ð Ñ

E œ " ß " B ß " B B˜ ™#

Determine si el conjunto E es linealmente independiente.

SOLUCIÓN:

1º) Es linealmente independiente si se verifica la propiedad

! " #Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ œ !#

Ê ! " #œ ! ß œ !ß œ !


! " # ! " #

" #

#

œ ! œ ! ß œ !ß œ !

œ !

œ !

Ê

3º) Por lo tanto, E es linealmente independiente.



PÁG. 201




F œ ß ß ß" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " ! ŸŒ Œ Œ Œ

Determine si el conjunto F es linealmente independiente.SOLUCIÓN:

1º) Es linealmente independiente si se verifica la propiedad

! " # -Œ Œ Œ Œ Œ " ! " ! " ! ! " ! !" ! " ! ! " " ! ! !

œ

Ê ! " # -œ ! ß œ !ß œ ! ß œ !


-

! " -

#

œ ! œ œ œ œ !

œ !

œ !

œ !

Ê

3º) Por lo tanto, F es linealmente independiente.

(4.2.3) Considere el siguiente subconjunto de ‘$

G œ Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ˜ ™ Determine si el conjunto G es linealmente independiente.SOLUCIÓN:

1º) Es linealmente independiente si se verifica la propiedad ! " # -Ð"ß "ß "Ñ Ð"ß "ß !Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð"ß !ß "Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ Ê ! " # -œ ! ß œ !ß œ ! ß œ !

2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:! " # - - ! " ! # ! !

! "

! -

œ ! œ à œ à œ à

œ !

œ !

Ê − ‘

3º) Por lo tanto, NO SE OBTUVO LA ÚNICA SOLUCIÓN . ! " # -œ ! ß œ !ß œ ! ß œ ! Luego; G NO es linealmente independiente.



PÁG. 202



(4.3) :OBSERVACIÓNa) La propiedad anterior significa que: Si se forma la combinación lineal de los vectores8 y se iguala a cero, es decir@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z

" # 8

.! ! ! !" " # # 3 3 8 8@ @ Þ Þ Þ @ Þ Þ Þ @ œ !

Entonces LA ÚNICA SOLUCIÓN PARA LOS ESCALARES está dada por! ! !

" # 8ß ß Þ Þ Þ ß

.! ! !" # 8œ œ Þ Þ Þ œ œ !

b) De no verificarse la propiedad anterior; diremos que los vectores@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z

" # 8 son LINEALMENTE DEPENDIENTES; lo cual significaque ; para algún . a lo menos uno de los escalares !

3Á ! 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8

Por lo cual; a lo menos uno de los vectores se@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8

puede expresar como combinación lineal del resto.

c) También se dice que el conjunto de vectores es˜ ™@ ß @ ß ÞÞÞß @" # 8

LINEALMENTE INDEPENDIENTE o LINEALMENTE DEPENDIENTE

(4.3.1) : EJEMPLO En el EJEMPLO (4.2.3) se determinó que el conjunto G œ Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ˜ ™no es linealmente independiente, es decir es LINEALMENTEDEPENDIENTE. Por lo tanto, note que: ! " # -Ð"ß "ß "Ñ Ð"ß "ß !Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð"ß !ß "Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ

y como son linealmente dependientes; entonces, por ejemplo: ! " # -Ð"ß "ß "Ñ œ Ð"ß "ß !Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð"ß !ß "Ñ à con " - ! # !œ œ • œ es decir: Ð"ß "ß "Ñ œ Ð"ß "ß !Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð"ß !ß "Ñ"

! ! !# -

Ð"ß "ß "Ñ œ Ð"ÑÐ"ß "ß !Ñ Ð "ÑÐ"ß !ß !Ñ Ð"ÑÐ"ß !ß "Ñ

Esto significa que el vector se pudo expresar comoÐ"ß "ß "Ñcombinación lineal de los vectores , o sea:˜ ™Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ

1/8 Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ˜ ™ es el mismo conjunto que el

.1/8 Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ˜ ™



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(4.3.2) :EJEMPLO Considere el siguiente subconjunto de ‘$

E œ Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ˜ ™ Determine si el conjunto E es linealmente independiente.SOLUCIÓN:

1º) Es linealmente independiente si se verifica la propiedad ! " #Ð"ß "ß !Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð"ß !ß "Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ Ê ! " #œ ! ß œ !ß œ !

2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:! " # ! " #

!

#

œ ! œ œ œ !

œ !

œ !

Ê

3º) Por lo tanto, el conjunto E œ Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ˜ ™ es linealmente independiente.

d) El ejemplo anterior, nos da un criterio para hacer que un conjuntolinealmente DEPENDIENTE, se haga LINEALMENTE INDEPENDIENTE. En efecto, el conjunto

G œ Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ˜ ™es linealmente dependiente; pero sacando el vector ; elÐ"ß "ß "Ñconjunto resultante

E œ Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ˜ ™ se hizo LINEALMENTE INDEPENDIENTE.

Además que 1/8 G œ 1/8 E

(4.4) :OBSERVACIÓN

a) Geométricamente dos vectores en , son linealmente dependientes si‘#

uno es múltiplo del otro, es decir están en la misma dirección o endirección opuesta.



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b) Geométricamente tres vectores en , son linealmente dependientes si‘$

y solo si estos son coplanares.

c) tiene a lo más vectores linealmente independientes.‘8 8

d) Si . Entonces el conjunto de las columnas de la matriz E − Ð Ñ E` ‘7 B 8

dado por , . . . , es linealmente independiente si y solo si el˜ ™E ß E E" # 8

sistema tiene solamente la solución trivial E B œ ! B œ ! Þ

e) Si Entonces si y solo si las columnas (o filas)E − Ð Ñ Þ ./> E Á !` ‘8 B 8

de la matriz son linealmente independientes.E

f) Cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en ;8 ‘8

genera a o es generador de .‘ ‘8 8



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TEMA 5: BASE Y DIMENSIÓN:

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir una de un espacio vectorial.FEWI

OBJETIVO OPERACIONAL: Describir dos o más bases de un espacio vectorial.OBJETIVO OPERACIONAL: Construir una a partir de un conjunto de vectores que no sea una base para el espacio vectorial,

FEWI ya sea quitando o

agregando vectores.

OBJETIVO OPERACIONAL:

Determinar la dimensión de un espacio vectorial, contando los elementos en una base.

(5.1) :DEFINICIÓN Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo yZ O Ð à Ñ‘ ‚

(vectores).@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8

Diremos que el conjunto de vectores es unaF œ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @˜ ™" # 8

BASE del espacio vectorial si y solo si se verifica que:Z es linealmente independiente.3 Ñ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @˜ ™

" # 8

y 33Ñ 1/8 @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ œ Z˜ ™" # 8

(5.2) :EJEMPLOS

(5.2.1) En el EJEMPLO (3.6.4) se determinó que el conjunto ˜ ™" ß " B ß " B B#

tiene la propiedad que: .1/8 " ß " B ß " B B Ð Ñ˜ ™# œ c ‘

#

Además, en el EJEMPLO (4.2.1) se determinó que este mismo conjuntotiene la propiedad que: es linealmente independiente.˜ ™" ß " B ß " B B#

Por lo tanto; ˜ ™" ß " B ß " B B Ð Ñ es una BASE DE .# c ‘#

(5.2.2) Determine si el conjunto

E œ ß ß ß" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " ! Ÿ” • ” • ” • ” •

es una base de `#B#Ð‘Ñ .SOLUCIÓN:1°) Verifiquemos si

1/8 ß ß ß œ Ð" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " ! Ÿ” • ” • ” • ” • `#B# ‘Ñ



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es decir si es posible que TODA MATRIZ se exprese” •+ ,- .

− Ð`#B# ‘Ñ

como combinación lineal de . Ÿ” • ” • ” • ” •" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

ß ß ß

a) Será posible cuando existan escalares ! " # -ß ß ß − ‘ tal que

” • ” • ” • ” • ” •+ , " ! " ! " ! ! "- . " ! " ! ! " " !

œ ! " # -

b) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

! " # # -

-

! " -

#

œ + œ . ß œ ,

œ ,

œ -

œ .

Ê

Reemplazando, se obtiene el sistema:

! "

! "

œ + .

œ , -

Ê ! "œ Ð+ , - .Ñ à œ Ð + , - .Ñ" "# #

c) Por lo tanto, si es posible expresarlo : como

” • ” • ” •+ , " ! " !- . " ! " !

œ " "# #Ð+ , - .Ñ Ð + , - .Ñ

" ! ! "! " " !

Ð .Ñ ,” • ” • d) Luego, toda matriz se puede expresar” •+ ,

- .− Ð`#B# ‘Ñ

como combinación lineal de Ÿ” • ” • ” • ” •" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

ß ß ß

e) Es decir 1/8 E œ `#B#Ð‘Ñ .



PÁG. 207



2°) Verifiquemos si

Ÿ” • ” • ” • ” •" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

ß ß ß es linealmente independiente.

En el EJEMPLO (4.2.2) se determinó que

E œ ß ß ß" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " ! Ÿ” • ” • ” • ” •

es linealmente independiente.

3°) Por lo tanto;

es una base de Ÿ” • ” • ” • ” •" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

ß ß ß Ð`#B# ‘Ñ.

(5.2.3) Considerando el siguiente subespacio vectorial de .‘$

[ œ ÐBß Cß DÑ − ÎB C œ C D œ !˜ ™‘$

Determine una base de .[SOLUCIÓN:

1º) De [ œ ÐBß Cß DÑ − ÎB C œ C D œ !˜ ™‘$ se tiene que con variable independiente.B œ D à C œ D D − ‘

2º) Luego [ œ ÐDß Dß DÑ ÎD − œ DÐ"ß "ß "Ñ ÎD −˜ ™ ˜ ™‘ ‘

[ œ 1/8 Ð"ß "ß "Ñ˜ ™

3º) Por ser único vector distinto de cero, entonces el conjunto es además linealmente independiente.˜ ™Ð"ß "ß "Ñ

4°) Por lo tanto es una base de . ˜ ™Ð"ß "ß "Ñ [

(5.3) :OBSERVACIÓN

a) La base de un espacio vectorial NO ES ÚNICA; es decir un espaciovectorial tiene más de una base.



PÁG. 208



(5.3.1) :EJEMPLOEn ‘$ ; es la base CANÓNICA y˜ ™Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ

.˜ ™Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ es otra base de ‘$

En ; `#B#Ð ß ß ß" ! ! " ! ! ! !! ! ! ! " ! ! "

‘Ñ Ÿ” • ” • ” • ” • es la base CANÓNICA

Ÿ” • ” • ” • ” •" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

ß ß ß Ð es otra base de `#B# ‘Ñ ;

y ) . Ÿ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

ß à à Ð es otra base de `#B# ‘

En c ‘#Ð Ñ " ß B ß B ; es la base CANÓNICA y˜ ™#

es otra base de .˜ ™" ß " B ß " B B Ð Ñ# c ‘#

b) Las distintas bases de un espacio vectorial TIENEN EL MISMO NÚMERODE ELEMENTOS o EL MISMO NÚMERO DE VECTORES.

(5.4) :DEFINICIÓN Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo Z O Ð à Ñ‘ ‚

Si es una BASE de .F œ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z˜ ™" # 8

Se llama DIMENSIÓN DE ; lo que denotaremos por alZ .37 ÐZ ÑàNÚMERO DE ELEMENTOS o al NÚMERO DE VECTORES EN LAS BASESDE , y se dice que es un espacio vectorial de dimensión finita Z Z 8 Þ

(5.5) :EJEMPLO

Por el EJEMPLO (5.3.1):

(5.5.1) En ‘ ‘$ $ ; .37 œ $

(5.5.2) En ; ` `#B# #B#Ð Ð‘ ‘Ñ .37 Ñ œ %

(5.5.3) En c ‘ c ‘# #Ð Ñ .37 Ð Ñ œ $ ;



PÁG. 209



(5.6) :OBSERVACIÓN

a) Si la base no es finita, se dice que el espacio vectorial es dedimensión infinita.

b) El espacio vectorial tiene dimensión cero.˜ ™!@

c) Si un espacio vectorial tiene un subespacio de dimensión infinita, Entonces el espacio vectorial es de dimensión infinita.

d) Si un espacio vectorial tiene dimensión finita ,8 Entonces cualquier subespacio vectorial de este tiene dimensiónmenor que .8

(5.7) :TEOREMA Si es un espacio vectorial sobre el cuerpo deZ O Ð à Ñ‘ ‚

dimensión finita 8 Þ Entonces:

(5.7.1) Cualquier conjunto de vectores linealmente independiente de ,8 Zdado por es una BASE de .˜ ™@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z

" # 8

(5.7.2) Cualquier conjunto de vectores generador de , dado por8 Z˜ ™@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z" # 8

es una BASE de .

(5.8) :OBSERVACIÓN El uso práctico de este teorema es que SI SE CONOCE LADIMENSIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL , para probar que unZdeterminado subconjunto de es base de este último; BASTA CONF ZPROBAR UNA Y SOLO UNA DE LAS PROPIEDADES, es decir: ó bien es linealmente independiente .1/8 F œ Z F

(5.9) :EJEMPLOS

(5.9.1) Determine si F œ §˜ ™" ß " B ß " B B Ð Ñ Ð Ñ es una base de .# c ‘ c ‘

# #

SOLUCIÓN:

1°) Como se sabe que ; y el conjunto tiene .37 Ð Ñ œ $ F $c ‘#

vectores, basta SÓLO con probar por ejemplo que 1/8 " ß " B ß " B B Ð Ñ˜ ™# œ c ‘

#



PÁG. 210



2°) Lo anterior se probó en el EJEMPLO (3.6.4).

3°) Por lo tanto; ˜ ™" ß " B ß " B B Ð Ñ es una BASE DE .# c ‘#

(5.9.2) Determine si

F œ ß ß ß Ð" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " ! Ÿ” • ” • ” • ” • § Ñ`#B# ‘

es una base de `#B#Ð‘Ñ .SOLUCIÓN:

1°) Como se sabe que ; y el conjunto tiene .37 Ð œ % F %`#B# ‘Ñvectores, basta SÓLO con probar por ejemplo que

Ÿ” • ” • ” • ” •" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

ß ß ß es linealmente independiente.

2°) Lo anterior se probó en el EJEMPLO (4.2.2).

3°) Por lo tanto; Ÿ” • ” • ” • ” •" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

ß ß ß es una

BASE DE .`#B#Ð‘Ñ

(5.10) :PROPIEDAD Si son subespacios vectoriales de [ à [ Z Þ" #

Entonces .37 Ð[ [ Ñ œ .37 [ .37 [ .37 Ð [ [ Ñ" # " # " #



PÁG. 211





1. Sean subespacios vectoriales de [ à [ Z Þ" #

(1.1) Demuestre que [ [ œ [ • [" # " #˜ ™A − Z Î A − A − essubespacio vectorial de Z Þ

(1.2) Determine si [ [ œ [ ” [" # " #˜ ™A − Z Î A − A − essubespacio vectorial de Z Þa) De serlo; demuéstrelo.b) En caso contrario, dé un contraejemplo.

2. Dada la siguiente proposición: Sean un espacio vectorial sobre el cuerpo yZ O ßE œ 1/8 œ 1/8˜ ™ ˜ ™? ß ? ß ? ß Þ Þ Þ ß ? F A ß A ß A ß Þ Þ Þ ß A" # $ 7 " # $ 8 subespacios vectoriales de Z Þ E œ F Í E a 4 œ " ß # ß $ ß Þ Þ Þ ß 8 ÞA −4

• F a 3 œ " ß # ß $ ß Þ Þ Þ ß 7 Þ? −3

Aplicando la proposición anterior; determine si son o no iguales lossiguientes conjuntos:

(2.1) 1/8 1/8˜ ™ ˜ ™Ð"ß #ß $Ñ ß Ð%ß &ß 'Ñ ß Ð(ß )ß *Ñ à Ð"ß "ß "Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ ß Ð"ß #ß #Ñ

(2.2) 1/8˜ ™Ð#ß !ß "ß $Ñß Ð"ß "ß &ß #Ñ à

1/8˜ ™Ð&ß "ß #ß (Ñß Ð"ß "ß %ß "Ñß Ð$ß "ß 'ß &Ñ

3. (3.1) Sea W œ W" "˜ ™ ˜ ™Ð"ß "ß "Ñ 1/8 Þ. Encuentre

(3.2) . Encuentre Sea W œ W# #˜ ™ ˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð#ß !ß "Ñ ß Ð!ß "ß !Ñ 1/8 Þ

(3.3) Demuestre: es subespacio vectorial de W œ 1/8 Ð"ß "Ñ ß Ð#ß &Ñ Þ˜ ™ ‘#

4. Sean W œ ÐBß Cß DÑ − ÎB œ ! ß X œ 1/8 Ð"ß #ß !Ñß Ð$ß "ß #Ñ˜ ™ ˜ ™‘$

Encontrar el conjunto que genera a W X Þ



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5. Sean espacio vectorial sobre ; yZ œ 0 Î 0 À Ä˜ ™‘ ‘ ‘

; FUNCIONES PARES[ œ 0 Î 0 Ð BÑ œ 0ÐBÑ" ˜ ™ ; FUNCIONES IMPARES[ œ 0 Î 0 Ð BÑ œ 0ÐBÑ# ˜ ™(5.1) Demuestre que y son subespacios vectoriales de [ [ Z Þ" #

(5.2) Demuestre Z œ [ [" #

( AYUDA: )0ÐBÑ œ Ð0ÐBÑ 0Ð BÑÑ Ð0ÐBÑ 0Ð BÑÑ" "# #

(5.3) Demuestre que [ [ œ !" # @

6. Sean E œ" Œ Ÿ+ -- ,

Î + ß ,ß - − à‘

;E œ# Œ Ÿ+ !! ,

Î + ß , − ‘

E œ$ Œ Ÿ+ ,- .

Î + . œ , - à + ß ,ß -ß . − ‘

(6.1) Demostrar que es subespacio vectorial de conE Ð3 œ "ß #ß $Ñ3 #B#`

las operaciones usuales.

(6.2) Determine un generador de E Ð3 œ "ß #ß $Ñ3

7. Sea el conjunto solución del sistema:W

(7.1) (7.2) B %C D œ ! B #B $B B œ !" # $ %

#B C &D œ ! $B B &B B œ !" # $ %

#B B B œ !" # %

Determine un conjunto finito de vectores que genere a W Þ

8. Determinar si los siguientes conjuntos son linealmenteindependientes o linealmente dependientes.

(8.1) E œ ˜ ™"ß B "ß B #B "ß B §# # c# ‘B Þ

(8.2) funciones contínuas en .G œ =/8 ÐBÑß -9= ÐBÑß " § +ß , ß +ß ,˜ ™ ‘ ‘# # V



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9. Sea el conjunto E œ Ð"ß !ß "Ñß Ð3ß "ß !Ñß Ð3ß #ß " 3Ñ § Þ˜ ™ ‚$

(9.1) Expresar de ser posible; los vectores ? œ Ð"ß #ß $Ñ C A œ Ð3ß 3ß 3Ñcomo una combinación lineal de los vectores de EÞ

(9.2) Determine si el conjunto es linealmente independiente en E ‚ ‚$Ð Ñ Þ

(9.3) Determine si el conjunto es linealmente independiente en E ‚ ‘$Ð Ñ Þ

10. Determinar si los siguientes conjuntos de funciones reales en ‘! ß "

definidas por las fórmulas que se indican; son linealmente independienteso linealmente dependientes.(10.1) 0 ÐBÑ œ ÐB "Ñ à 0 ÐBÑ œ B " à 0 ÐBÑ œ #B #B $" # $

# # #

(10.2) 0 ÐBÑ œ à 0 ÐBÑ œ B" #"

B#

11. Dados los siguientes conjuntos, determine todos los posiblessubconjuntos linealmente independientes.(11.1) ˜ ™Ð"ß !ß "Ñß Ð!ß "ß "Ñß Ð"ß "ß "Ñß Ð#ß #ß " § Þ‘$

(11.2) ˜ ™ ‘=/8 ÐBÑß -9= ÐBÑß -9=Ð#BÑ § +ß ,# # V

12. Determinar el valor de para que los tres vectores - Ð$ß "ß %ß 'ÑßÐ"ß "ß %ß %Ñß Ð"ß !ß %ß Ñ- sean linealmente dependientes.

13. Probar que los siguientes conjuntos son una base en losrespectivos espacios vectoriales(13.1) E œ ˜ ™Ð"ß "ß "Ñß Ð #ß #ß #Ñß Ð $ß $ß "Ñ § Þ‘$

(13.2) F œ ß ß ß §" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " ! ŸŒ Œ Œ Œ `#B# Þ

14. Sean [ œ ÐBß Cß Dß >Ñ − Î C $D > œ !"%˜ ™‘

[ œ ÐBß Cß Dß >Ñ − Î B #C D œ ! à B C D œ $>#%˜ ™‘

(14.1) Determine una base y la dimensión para:a) b) c) d) [ [ [ [ [ [" # " # " #

(14.2) A partir de la base de a), b), c) y d), respectivamente; completeagregando o eliminando vectores adecuados a una base de .‘%

DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!



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15. Sea Y œŒ ŸB (C &C "!C B (C

Î Bß C − §‘ ` .#B#

(15.1) Demostrar que es subespacio vectorial de con lasY `#B#

operaciones usuales.

(15.2) Determine una base y dimensión de Y Þ

16. Sean [ œ ÐBß Cß DÑ − Î#B $C D œ !"$˜ ™‘

[ œ ÐBß Cß DÑ − ÎB #C D œ !#$˜ ™‘


(16.2) A partir de la base encontrada para , complete agregando[ [" #

o eliminando vectores adecuados a una base para:a) b) c) d) [ [ [ [" # " #

$‘

17. Demuestre que:

(17.1) El conjunto GENERA a .˜ ™Ð"ß !ß !Ñ à Ð!ß "ß !Ñ à Ð!ß !ß "Ñ ‘$

(17.2) Los vectores GENERAN a .3 à 4 ‘#

(17.3) Los vectores GENERAN a " à " B à " B B Ð Ñ# c ‘#

(17.4) es generador de ˜ ™” • ” • ” • ” •" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

ß à à Ð ÑÞ` ‘#B #

18. Demuestre que: es un subespacio vectorial de 1/8 @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z Þ˜ ™

" # 8

19. Demuestre que en con las operaciones usuales de suma‘#

vectorial y multiplicación por escalar:

(19.1) es espacio vectorial sobre el cuerpo .˜ ™Ð! ß !Ñ ‘

(19.2) es espacio vectorial sobre el cuerpo . ‘ ‘#

(19.3) Cualquier recta que pase por el origen es espacio vectorial sobre .‘



PÁG. 215



20. Determine si el conjunto M œ E − Ð ÑÎ E 38@/<>3,6/˜ ™` ‘

#B#

es subespacio vectorial de con las operaciones usuales.` ‘#B#

Ð Ñ

21. (21.1) Demuestre que:

F œ "ß " Bß " B B ß " B B B˜ ™# # $

es base de c ‘$Ð ÑÞ

(21.2) Determine si el conjunto

F œ à à à" " # " " " ! "

" " $ ! ! " " !˜ ™” • ” • ” • ” •

es una base de ` ‘#B #

Ð ÑÞ

22. Determine la dimensión de los siguientes espacios vectoriales,indicando a lo menos una base de dicho espacio.

(22.1) El espacio vectorial ` ‘7 B 8

Ð ÑÞ

(22.2) El espacio vectorial c ‘8Ð Ñ Þ



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TALLER N° 5

1. Sean subespacios vectoriales de [ à [ Z Þ" #

Demuestre que: [ [ œ [ • [" # " #˜ ™A − Z Î A œ A A A − A −" # " #tal que es subespacio vectorial de Z Þ

2. Sean funciones continuas en definidas por:0 ß 1 ! ß " ‘

0 ÐBÑ œ ÐBÑ œ

Ú ÚÛ ÛÜ Ü

" " " "# # # #

" "# #

=3 ! Ÿ B B =3 ! Ÿ B

B =3 Ÿ B Ÿ " ! =3 Ÿ B Ÿ "

à 1

Determine: (2.1) (2.2) (2.3) 1/8 0 1/8 1 1/8 0 ß 1˜ ™ ˜ ™ ˜ ™

3. Sea y Consideremos:Z œ O œ Þ‘ ‘$

[ œ ÐBß Cß DÑ − ÎB C D œ ! à"$˜ ™‘

[ œ ÐBß Cß DÑ − ÎB œ D à#$˜ ™‘

[ œ ÐBß Cß DÑ − ÎB œ C œ !$$˜ ™‘

(3.1) Demuestre son subespacios vectoriales de .[ ß [ ß [" # $$‘

(3.2) Determine , .[ [ ß [ [ [ [" # " $ # $

(3.3) Demuestre que: ‘$" # " $ # $œ [ [ œ [ [ œ [ [ .

4. Sea ˜ ™" > ß > > ß # > > ß " > §# $ # $ c$ ‘> Þ Determine si 1/8 > Þ˜ ™" > ß > > ß # > > ß " > œ# $ # $ c$ ‘( es el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que )c$ ‘> $

5. Sean [ œ" ˜ ™¡Ð"ß #ß $ß 'Ñß Ð%ß "ß $ß 'Ñ ß Ð&ß "ß 'ß "#Ñ y . Determine:[ œ Ð"ß "ß "ß "Ñß Ð#ß "ß %ß &Ñ# ˜ ™¡(5.1) (5.2) 1/8 Ð[ [ Ñ 1/8 Ð[ [ Ñ" # " #



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6. Sean W œ ÐBß Cß Dß >Ñ − Î C #D > œ !˜ ™‘%

X œ ÐBß Cß Dß >Ñ − Î B œ > à C œ #D˜ ™‘%

Determine un conjunto finito de vectores que genere a:

(6.1) (6.2) (6.3) W X W X W X (6.4)

7. Sean: [ œ 1/8 Ð"ß "ß #ß $Ñß Ð"ß "ß #ß !Ñß Ð$ß "ß 'ß 'Ñ" ˜ ™ [ œ 1/8 Ð"ß "ß "ß "Ñß Ð#ß "ß %ß &Ñ# ˜ ™(7.1) Demuestre que [ Á [" #

Ð 1/8 Ð[ [ Ñà7.2) Determine a partir de los vectores en un conjunto" #

de vectores linealmente independientes.

Ð 1/8 Ð[ [ Ñà7.3) Complete a partir de una base para ." #%‘

8. Determinar si los siguientes conjuntos son linealmenteindependientes o linealmente dependientes.

(8.1) E œ ˜ ™Ð"ß !ß "Ñß Ð"ß "ß #Ñß Ð$ß #ß "Ñ § Þ‘$

(8.2) F œ ŸŒ Œ Œ Œ $ % & " ' % # "" $ $ " " ! $ #

ß ß ß § `#B# Þ

(8.3) G œ ˜ ™ ‘B / ß =/8ÐBÑß / -9=ÐBÑß " § M ßB B V funciones contínuas enun intervalo M Þ

9. Demuestre que el conjunto es˜ ™Ð!ß "ß "Ñß Ð!ß #ß "Ñß Ð"ß &ß $Ñ

linealmente independiente sobre y‘ ‚ Þ

10. Determinar si el siguiente conjunto de funciones reales en ‘! ß "

definidas por las fórmulas que se indican; son linealmente independienteso linealmente dependientes. ; 0 ÐBÑ œ $B à 0 ÐBÑ œ B & à 0 ÐBÑ œ #B 0 ÐBÑ œ ÐB "Ñ" # $ %

# #

11. Dado el siguiente conjunto, determine todos los posiblessubconjuntos linealmente independientes. ˜ ™"ß B "ß B #B "ß B §# # c# ‘B Þ



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12. Dado el siguiente sistema de ecuaciones en .‘%

B D #> œ ! C $D > œ !(12.1) Encuentre el conjunto solución del sistemaW Þ

(12.2) Demuestre que es un subespacio vectorial de W Þ‘%

(12.3) Determine una base y la dimensión del subespacio vectorial W Þ

(12.4) A partir de la base de ; complete agregando vectores adecuados aWuna base de . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!‘%

13. Probar que el siguiente conjunto es una base en el respectivoespacio vectorial E œ ˜ ™"

%#ß #B $ß B # § c# ‘B Þ

14. Sean [ œ ÐBß Cß Dß >Ñ − ÎB C D œ ! à $B C > œ !"%˜ ™‘

[ œ ÐBß Cß Dß >Ñ − ÎB #D œ !#%˜ ™‘


(14.2) A partir de la base encontrada para , complete agregando[ [" #

vectores adecuados a una base para:a) b) c) d) [ [ [ [" # " #

%‘

15. Sean E œ Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "ß !Ñß Ð!ß !ß #ß #Ñ˜ ™ F œ Ð"ß !ß #ß "Ñß Ð$ß !ß %ß #Ñ˜ ™(15.1) Demuestre que es base de .E ‘%

(15.2) Demuestre que es linealmente independiente.F

(15.3) Extienda a una base de , considerando los vectores de F EÞ‘%

16. Demuestre que:(16.1) (16.2) 1/8 3 ß 4 ß 5 œ 1/8 Ð"ß !Ñß Ð!ß "Ñ œ˜ ™ ˜ ™‘ ‘$ #

(16.3) 1/8 "ß Bß B ß Þ Þ Þ ß B œ Ð Ñ˜ ™# 8 c ‘8

(16.4) 1/8 ß ß ß œ Ð Ñ" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !˜ ™” • ” • ” • ” • ` ‘

#B #



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17.(17.1) Demuestre que las rectas que NO pasan por el origen; no sonespacios vectoriales.

(17.2) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‘ ‚

(17.3) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‘ ‚8

(17.4) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‚ ‘

(17.5) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‚ ‚

(17.6) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‚ ‘8

(17.7) ¿ Es espacio vectorial sobre ?‚ ‚8

(17.8) Sea el conjunto de las matrices de orden con` ‘7 B 8

Ð Ñ 7 B 8coeficientes en el cuerpo ; dotado de las operaciones:‘ SUMA VECTORIAL: Ð+ Ñ Ð, Ñ œ Ð+ , Ñ

3 4 3 4 3 4 3 4

MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: ! !Ð+ Ñ œ Ð + Ñ3 4 3 4

Demuestre que el conjunto

Q œ ÎB ß C − Ð ÑB B C

B C C˜ ™Œ ‘ ` ‘ es subespacio vectorial de .

#B#

(17.9) Sea , el conjunto de las funciones reales de variable real yY ‘ ‘Ð Ñel cuerpo ; dotado de las operaciones:‘SUMA VECTORIAL: Si , ,0 à 1 − Ð ÑY ‘ ‘

entoncesÐ0 1ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ 1ÐBÑMULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: Si ; , ,! ‘ Y ‘ ‘− 0 − Ð Ñ entonces Ð 0Ñ ÐBÑ œ Ð0 ÐBÑÑ! !

Demuestre que el conjunto J œ 0 À Ä Î 0ÐBÑ œ 0Ð BÑ à a B −˜ ™‘ ‘ ‘

es subespacio vectorial de , .Y ‘ ‘Ð Ñ

18. (18.1) Forme una combinación lineal en con los vectoresc ‘

%Ð Ñ

"à " Bà " B à " B à " B # à %à "à ! $# $ % y los escalares y respectivamente.

(18.2) Determine si la matriz se puede expresar como” •" "# $

combinación lineal de los vectores ; ;” • ” • ” •" " " " " "" " ! " ! !



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19. Demuestre que: Si es un espacio vectorial sobre el cuerpo y Z O ß ß ÞÞÞß − O! ! !

" # 8

(escalares); (vectores).@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8

Entonces la COMBINACIÓN LINEAL de ; @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8

!3œ"

8

!3 3@ − Z

(Ayuda: utilice inducción matemática)

20.(20.1) Sea el conjunto de las matrices de orden con` ‘

#B #Ð Ñ # B #

coeficientes en el cuerpo Determine si el conjunto de matrices‘ Þ

˜ ™” • ” • ” • ” •" " " " " " " " " " " " " " " "

à à à es L . I .

(20.2) Sea el conjunto de polinomios de grado menor o igual quec ‘#Ð Ñ #

con coeficientes en el cuerpo Determine si el conjunto de polinomios‘ Þ˜ ™ # à " B B à " B à B# # es L . I .

21. Demuestre lo siguiente: Si es un espacio vectorial sobre el cuerpo yZ O Ð à Ñ‘ ‚

es una BASE de . F œ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z˜ ™" # 8

Entonces existen únicos escalares tal que! ! !" # 8ß ß Þ Þ Þ ß − O

para todo se tiene que: @ − Z @ œ @!3œ"

8

!3 3

22. Determine la dimensión de los siguientes espacios vectoriales,indicando a lo menos una base de dicho espacio.

(22.1) El espacio vectorial sobre .‘ ‘

(22.2) El espacio vectorial sobre .‘ ‘8



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Ð#Þ"Ñ à1/8 0 œ 0 Î −˜ ™ ˜ ™! ! ‘ tal que

Ð 0ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ œ à − Þ

=3 ! Ÿ B

B =3 Ÿ B Ÿ "

! ! ! ‘

!

!

ÚÛÜ

" "# #

"#

Ð#Þ#Ñ à tal que1/8 1 œ 1 Î −˜ ™ ˜ ™! ! ‘

Ð 1ÑÐBÑ œ 1ÐBÑ œ à − Þ

B =3 ! Ÿ B

! =3 Ÿ B Ÿ "

! ! ! ‘

! !ÚÛÜ

" "# #

"#

Ð#Þ$Ñ à 1/8 0 à 1 œ 0 1 Î ß −˜ ™ ˜ ™! " ! " ‘ tal que

Ð 0 1ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ 1ÐBÑ œ

Ð Ñ B =3 ! Ÿ B

B =3 Ÿ B Ÿ "

! " ! "

! " "

!

ÚÛÜ

" "# #

"#

! " ‘ß −


Ð$Þ"Ñ [ œ Ð!ß !ß DÑ ÎD œ DÐ!ß !ß "Ñ ÎD$ ˜ ™ ˜ ™− − − −‘ ‘ ‘ ‘$ $

œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ˜ ™ (TODO CONJUNTO GENERADO ES SUBESPACIO VECTORIAL) Por lo tanto; es subespacio vectorial de [$ ‘$.

Ð$Þ#Ñ ÐBß Cß DÑ [ [ Ñ Í ÐBß Cß DÑ [ • ÐBß Cß DÑ [− Ð − −" $ " $

Í B C D œ ! Ê B œ C œ D œ !

B œ C œ !

Por lo tanto [ [ œ Ð!ß !ß !Ñ" $ ˜ ™



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Ð$Þ$Ñ 1º) [ œ ÐDß Cß DÑ ÎC à D# ˜ ™− −‘ ‘$

[ œ CÐ!ß "ß !Ñ DÐ"ß !ß "ÑÎC à D# ˜ ™− ‘

[ œ 1/8 Ð!ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß "Ñ# ˜ ™ y además es linealmente independiente.˜ ™Ð!ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß "Ñ

Luego es base de y ˜ ™Ð!ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß "Ñ [ .37 [ œ ## # [ œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ$ ˜ ™ y además es linealmente independiente.˜ ™Ð!ß !ß "Ñ

Luego es base de y ˜ ™Ð!ß !ß "Ñ [ .37 [ œ "$ $

2º) .37‘$ œ $ y .37 Ð .37 .37 .37 Ð[ [ Ñ œ [ [ [ ’ [ Ñ# $ # $ # $

œ # " ! œ $ œ .37‘$

y como Ð Ð Þ[ [ Ñ § Ê [ [ Ñ œ# $ # $‘ ‘$ $

PROBLEMA 3: TALLER N° 5 : 4. RESPUESTA: 1º) 1/8 " > ß > > ß # > > ß " > œ Í˜ ™# $ # $

$c EXISTEN ESCALARES ! " # -ß ß ß − ‘ tal que todo polinomio + + > + > + > −! " # $

# $ c$ se puede expresar como la siguiente combinación lineal:+ + > + > + > œ! " # $

# $

œ ! " # -Ð" >Ñ Ð > > Ñ Ð# > > Ñ Ð" > Ñ# $ # $

(se debe verificar si existen los escalares en términos de + + + +! " $#, , , )

2º) Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: Se resuelve para ! # - ! " # -

! #

" #

" -

# œ ß ß ß

œ

œ

œ

+

+

+

+

!

"

#

$

3º) Forme la matriz


" ! # "" ! " !! " " !! " ! "

++++

!

"

#

$



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para obtener:


" ! ! ! Ð

! " ! ! Ð

! ! " ! Ð

! ! ! " Ð

"#

"#

"#

"#

+ + + + Ñ

+ + $+ + Ñ

+ + + + Ñ

+ + $+ $+ Ñ

! " $#

! " $#

! " $#

! " $#

4º) Por lo tanto; existen escalares ! "œ Ð œ Ð " "

# #+ + + + Ñ + + $+ + Ñ! " $ ! " $# # # -œ Ð œ Ð " "

# #+ + + + Ñ + + $+ $+ Ñ! " $ ! " $# #

y 1/8 " > ß > > ß # > > ß " > œ˜ ™# $ # $$c


Ð(Þ"Ñ Para que sean distintos, basta con que uno de los elementos de losgeneradores no pertenezca al otro generador. Verifiquemos por ejemplo siÐ" ß " ß # ß $Ñ − [ ß −# ; es decir EXISTEN ESCALARES tal! " ‘

que: Ð"ß "ß #ß $Ñ œ Ð" ß " ß " ß "Ñ Ð# ß " ß % ß &Ñ! " ÞEl sistema NO TIENE SOLUCIÓN, o sea . Por loÐ" ß " ß # ß $Ñ Â [#

tanto [ Á [ Þ" #

Ð(Þ#Ñ

1º) tal que[ [ œ AÎb A − [ àA − [ A œ A A" # " " # # " #˜ ™

2º) tal queA − [ Ê b ß ß −" " ! " # ‘ A œ Ð"ß "ß #ß $Ñ Ð"ß "ß #ß !Ñ Ð$ß "ß 'ß 'Ñ" ! " # A − [ Ê b ß −# # - % ‘ tal que A œ Ð"ß "ß "ß "Ñ Ð#ß "ß %ß &Ñ# - % Luego:A œ A A œ Ð"ß "ß #ß $Ñ Ð"ß "ß #ß !Ñ Ð$ß "ß 'ß 'Ñ" # ! " # Ð"ß "ß "ß "Ñ Ð#ß "ß %ß &Ñ- %

3º) Notar que: ; ; ;[ [ œ 1/8 Ð"ß "ß #ß $Ñ Ð"ß "ß #ß !Ñ Ð$ß "ß 'ß 'Ñ" # ˜ ;Ð"ß "ß "ß "Ñ Ð#ß "ß %ß &Ñ™



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4º) Para determinar cuales de estos 5 vectores son linealmenteindependientes; formar la matriz


" " # $" " # !$ " ' '" " " "# " % &

y reducirla (se recomienda NO CAMBIAR FILAS) a:

;


" " # $! ! ! "

! ! "

! # " %! ! ! !

&#

para obtener que los vectores linealmente independientes son: ; ; ;˜ ™Ð"ß "ß #ß $Ñ Ð"ß "ß #ß !Ñ Ð$ß "ß 'ß 'Ñ Ð"ß "ß "ß "Ñ

Ð(Þ$Ñ

1º) [ [ œ AÎA − [ • A − [" # " #˜ ™2º) tal queA − [ Ê b ß ß −" ! " # ‘ A œ Ð"ß "ß #ß $Ñ Ð"ß "ß #ß !Ñ Ð$ß "ß 'ß 'Ñ! " # A − [ Ê b ß −# - % ‘ tal que A œ Ð"ß "ß "ß "Ñ Ð#ß "ß %ß &Ñ- % Luego: A œ Ð"ß "ß #ß $Ñ Ð"ß "ß #ß !Ñ Ð$ß "ß 'ß 'Ñ! " # œ Ð"ß "ß "ß "Ñ Ð#ß "ß %ß &Ñ- %

3º) Formando el sistema homogéneo para las variables! " # - % ‘ß ß ß ß − À ! " # - %

! " # - %! " # - %! # - %

$ # œ ! œ ! # ' % œ ! ' & œ !

#

4º) Para obtener la solución, forme la matriz


" " $ " #" " " " "# # ' " %

" ! ' " &

y redúzcala a


" ! ! !

! " ! !

! ! " !

! ! ! " !

"*#

$(%$%



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es decir: ! % " % # % -œ à œ à œ à œ ! Þ"* $( $# % %

Por lo tanto: A œ Ð"ß "ß #ß $Ñ Ð"ß "ß #ß !Ñ Ð$ß "ß 'ß 'Ñ! " # œ Ð"ß "ß "ß "Ñ Ð#ß "ß %ß &Ñ œ Ð#ß "ß %ß &Ñ- % % Luego:[ [ œ Ð#ß "ß %ß &Ñ Î − œ 1/8 Ð#ß "ß %ß &Ñ" # ˜ ™ ˜ ™% % ‘

5º) COMPLETACIÓN DE UNA BASE PARA ‘% À Como y se tiene un vector linealmente independiente en.37 œ %‘%˜ ™Ð#ß "ß %ß &Ñ ; se deben agregar 3 vectores linealmente

independientes al conjunto para obtener una base de ˜ ™Ð#ß "ß %ß &Ñ ‘%

Por ejemplo ˜ ™Ð#ß "ß %ß &Ñà Ð!ß "ß !ß !Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñà Ð!ß !ß !ß "Ñes obviamente L.I; y por lo tanto base de .‘%



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 15 DE MAYO DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __11PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de `#B#Ð‘Ñ

F œ ß ß ß" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " ! ŸŒ Œ Œ Œ

a) Exprese si es posible el vector como combinaciónŒ " "" "

lineal del conjunto .Fb) Determine si el conjunto F es linealmente independiente.

(2.2) Considerando el siguiente subespacio vectorial de ‘$. [ œ ÐBß Cß DÑ − ÎB C œ C D œ !˜ ™‘$

Determine una base y la dimensión de [ .





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PAUTACONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __11PREGUNTA 2: (2.1) :a) SOLUCIÓN1º) Será posible cuando existan escalares ! " # -ß ß ß − ‘ tal que

Œ Œ Œ Œ Œ " " " ! " ! " ! ! "" " " ! " ! ! " " !

œ ! " # - 1


-

! " -

#

œ " œ " ß œ "ß œ " ß œ "

œ "

œ "

œ "

2Ê

3º) Por lo tanto, si es posible expresarlo : 1como

Ð"Ñ Ð "Ñ Ð "Ñ Ð"ÑŒ Œ Œ Œ " ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

b) :SOLUCIÓN1º) Es linealmente independiente si se verifica la propiedad

! " # -Œ Œ Œ Œ Œ " ! " ! " ! ! " ! !" ! " ! ! " " ! ! !

œ

1Ê ! " # -œ ! ß œ !ß œ ! ß œ ! 2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:! " #

-

! " -

#

œ !

œ !

œ !

œ !

2Ê ! " # -œ œ œ œ !

3º) Por lo tanto, F 1es linealmente independiente.

(2.2) :SOLUCIÓN1º) De [ œ ÐBß Cß DÑ − ÎB C œ C D œ !˜ ™‘$ se tiene que

con variable independiente.B œ D à C œ D D − ‘ 22º) Luego [ œ ÐDß Dß DÑ ÎD − œ DÐ"ß "ß "Ñ ÎD −˜ ™ ˜ ™‘ ‘

[ œ 1/8 Ð"ß "ß "Ñ˜ ™ 23º) Por ser único vector distinto de cero, entonces el conjunto˜ ™Ð"ß "ß "Ñ [ .37[ œ " Þ es base de y 2 1



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 15 DE MAYO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __12PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de `#B#Ð‘Ñ

E œ ß à à" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

˜ ™” • ” • ” • ” •a) Exprese si es posible el vector como combinación” •+ ,

- .

lineal del conjunto .Eb) Determine si el conjunto E Ð ÑÞ es generador de ` ‘

#B #

(2.2) Considerando el siguiente subespacio vectorial de ‘$. [ œ ÐBß Cß DÑ − Î$B C œ ! ß #B C œ D˜ ™‘$

Determine una base y la dimensión de [ .





PÁG. 229



PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __12PREGUNTA 2: (2.1) :a) SOLUCIÓN1º) Será posible cuando existan escalares ! " # -ß ß ß − ‘ tal que

” • ” • ” • ” • ” •+ , " " " " " " " !- . " " " ! ! ! ! !

œ ! " # - 1

2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:! " # -

! " #

! "

!

œ +

œ ,

œ -

œ .

Ê ! " # -œ . ß œ - .ß œ , - ß œ + , 2


Ð.Ñ Ð- .Ñ Ð, -Ñ Ð+ ,Ñ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

b) :SOLUCIÓN

1º) E s generador si todo vector se puede” •+ ,- .

Ð Ñ− ` ‘#B #

expresar como combinación lineal de es decir existen escalaresE, ! " # -ß ß ß − ‘ tal que

” • ” • ” • ” • ” •+ , " " " " " " " !- . " " " ! ! ! ! !

œ ! " # - 2

2º) Lo cual se determinó en el punto a) anterior, y lo cual significaque E Ð Ñ Ð1/8 E œ Ð Ñ Ñ 2es generador de o ` ‘ ` ‘

#B # #B #

(2.2) :SOLUCIÓN1º) De [ œ ÐBß Cß DÑ − Î$B C œ ! ß #B C œ D˜ ™‘$ setiene que resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:$B C œ ! Ê $B C œ ! Ê

#B C œ D #B C D œ !

D œ B à C œ $B B −con variable independiente. ‘ 22º) Luego, [ œ ÐBß $Bß BÑÎB − œ BÐ"ß $ß "ÑÎB −˜ ™ ˜ ™‘ ‘

[ œ 1/8 Ð"ß $ß "Ñ˜ ™ 23º) Por ser único vector distinto de cero, entonces el conjunto˜ ™Ð"ß $ß "Ñ [ .37[ œ " Þ es base de y 2 1



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 17 DE MAYO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __14PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de c ‘

#Ð Ñ.

F œ " ß " B ß " B B˜ ™ #

a) Exprese si es posible el vector como# $B B# combinación lineal del conjunto .Fb) Determine si el conjunto F es linealmente independiente.

(2.2) Sea el conjunto solución del sistema:W B %C D œ !

#B C &D œ !

Determine una base y la dimensión de W Þ





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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __14PREGUNTA2: (2.1) :a) SOLUCIÓN1º) Será posible cuando existan escalares ! " #ß ß − ‘ tal que # $B B œ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ# #! " # 12º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:! " # ! " #

" #

#

œ # œ " ß œ %ß œ "

œ $

œ "

2Ê


Ð "Ñ Ð%Ñ Ð "Ñ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ#

b) :SOLUCIÓN1º) Es linealmente independiente si se verifica la propiedad ! " #Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ# œ ! 1Ê ! " #œ ! ß œ !ß œ ! 2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:! " # ! " #

" #

#

œ ! œ ! ß œ !ß œ !

œ !

œ !

2Ê

3º) Por lo tanto, F 1es linealmente independiente.

(2.2) :SOLUCIÓN1º) Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Œ Œ " % " " % "# " & ! ( $

" !

! " Ä Ä

"*(

$(

B œ D à C œ D D −"* $( ( con variable independiente.‘ 2

2º) Luego, [ œ Ð ß ß DÑÎD − œ D Ð ß ß "ÑÎB −˜ ™ ˜ ™ D D "* $ "* $

( ( ( (‘ ‘

[ œ 1/8 œ 1/8 "* $˜ ™ ˜ ™Ð ß ß "Ñ Ð ß ß (Ñ"* $( ( 2

3º) Por ser único vector distinto de cero, entonces el conjunto˜ ™Ð ß ß (Ñ"* $ [ .37[ œ "es base de y 2



PÁG. 232



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 17 DE MAYO DE 2007: 12:45 - 14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __13PROFESOR__ __ERICK GONZÁLEZ GAJARDO

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de c ‘

#Ð Ñ.

F œ " ß " B ß " B B˜ ™ #

a) Exprese si es posible el vector como+ , B - B# combinación lineal del conjunto .Fb) Determine si el conjunto F Ð Þ es generador de c ‘

$Ñ

(2.2) Sea Y œ Œ ŸB (C &C "!C B (C

ÎBß C − § Ð Ñ‘ ` ‘#B# .

Determine una base y la dimensión para Y .





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 16DE MAYO DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de ‘$. F œ Ð"ß !ß !Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß "ß "Ñ˜ ™ a) Exprese si es posible el vector como combinaciónÐ#ß $ß "Ñ lineal del conjunto .Fb) Determine si el conjunto F es linealmente independiente.

(2.2) Sea E œ Œ Ÿ+ -- ,

Î+ ß ,ß - − § Ð Ñ‘ ` ‘#B# .

Determine una base y la dimensión de E Þ





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 16 DE MAYO DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __22PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(2.1) (2.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de ‘$. F œ Ð"ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ˜ ™ a) Exprese si es posible el vector como combinaciónÐBß Cß DÑ lineal del conjunto .Fb) Determine si el conjunto F es generador de .‘$

(2.2) Sea el conjunto solución del sistema:W B #C D œ !

B C D œ !

Determine una base y la dimensión de W ÞPONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.




PÁG. 235





TEMA 6: CAMBIO DE BASE

OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir un vector como combinación lineal de dos bases distintas de un espacio vectorial. OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar las de un vector respecto de dos bases de un espacio vectorial.

GSSVHIREHEW

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar la

QEXVM^ HI XVERWMGMSR SHI GEQFMS HI FEWI.

(6.1) :INTRODUCCIÓN Sean espacio vectorial sobre el cuerpo ; de dimensión ; yZ O 8 y F œ ? ß ? ß ? ß Þ Þ Þ ß ? F œ @ ß @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @

" " # $ 8 # " # $ 8˜ ™ ˜ ™

bases de Z Þ Si .@ − Z Entonces podemos escribirlo como combinación lineal de ambas bases y .F F

" #

En efecto: @ œ ? ? ? Þ Þ Þ ?! ! ! !

" " # # $ $ 8 8

y @ œ @ @ @ Þ Þ Þ @" " " "" " # # $ $ 8 8

con ; para todo ! "3 3

− O 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 Þ

(6.2) :EJEMPLOS(6.2.1) En ‘$ ; es la base CANÓNICA yF œ

"˜ ™Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ

.F œ Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ# ˜ ™ es otra base de ‘$

Escriba el vector como combinación lineal de ambas basesÐ"ß #ß $Ñ ÞSOLUCIÓN:1°) Como F

" es la base canónica, se tiene directamente que:

Ð"ß #ß $Ñ œ Ð"Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð#Ñ Ð!ß "ß !Ñ Ð$Ñ Ð!ß !ß "Ñ

2°) Como F œ Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ# ˜ ™; se trata de encontrar! " # ! " #à à − Ð"ß "ß !Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð"ß !ß "Ñ‘ tal que Ð"ß #ß $Ñ œresolviendo el siguiente sistema:

! " # #

!

#

œ " Ê œ $ à

œ #

œ $

! "œ # à œ !

Por lo tanto: Ð"ß #ß $Ñ œ Ð #Ñ Ð"ß "ß !Ñ Ð!Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð$Ñ Ð"ß !ß "Ñ



PÁG. 236



(6.2.2) En ; `#B#Ð F œ ß ß ß" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

‘Ñ" Ÿ” • ” • ” • ” •

y ) .F œ ß à à Ð" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !# Ÿ” • ” • ” • ” • son bases de `#B# ‘

Escriba el vector como combinación lineal de ambas bases” •" " " !

Þ

SOLUCIÓN:

1°) Como F œ ß ß ß" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !"

; se trata de Ÿ” • ” • ” • ” •encontrar ! " # -à à à − ‘ tal que

,” • ” • ” • ” • ” •" " " ! " ! " ! ! " " ! " ! " ! ! " " !

œ ! " # -

resolviendo el siguiente sistema:! " # ! " # -

-

! " -

#

œ " Ê œ à œ à œ ! à œ "

œ "

œ "

œ !

" "# #

Por lo tanto:

” • ” • ” • ” • ” •" " " ! " ! " ! ! " " ! " ! " ! ! " " !

Ð Ñ Ð Ñ Ð!Ñ Ð "Ñœ " "# #

2°) Como F œ ß à à" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !# Ÿ” • ” • ” • ” • ; se trata de

encontrar ! " # -à à à − ‘ tal que

,” • ” • ” • ” • ” •" " " " " " " " " ! " ! " " " ! ! ! ! !

œ ! " # -

Resolviendo el siguiente sistema:! " # - ! " # -

! " #

! "

!

œ " Ê œ ! à œ " à œ ! à œ #

œ "

œ "

œ !

Por lo tanto:

” • ” • ” • ” • ” •" " " " " " " " " ! " ! " " " ! ! ! ! !

Ð!Ñ Ð "Ñ Ð!Ñ Ð#Ñœ



PÁG. 237



(6.2.3) En c ‘#Ð Ñ F œ " ß B ß B ; es la base CANÓNICA y"

#˜ ™ es otra base de .F œ " ß " B ß " B B Ð Ñ#

#˜ ™ c ‘#

Escriba el vector como combinación lineal de ambas bases" #B $B Þ#

SOLUCIÓN:

1°) Como F" es la base canónica, se tiene directamente que:

" #B $B œ Ð"Ñ Ð"Ñ Ð#Ñ ÐBÑ Ð$Ñ ÐB Ñ# #

2°) Como F œ " ß " B ß " B B##˜ ™ ; se trata de encontrar

! " #à à − ‘ tal que " #B $B œ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ# #! " #

Resolviendo el siguiente sistema:! " # #

" #

#

œ " Ê œ $

œ #

œ $

! "œ $ à œ " à

Por lo tanto: " #B $B œ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ# #Ð$Ñ Ð"Ñ Ð $Ñ

(6.3) : DEFINICIÓN Y NOTACIÓN Denotamos las COORDENADAS DEL VECTOR respecto de la@ − Zbase por y respecto de la base por ; que estánF Ò@Ó F Ò@Ó

" #F F" #

definidas por:

y respectivamente.Ò@Ó œ Ò@Ó œÞÞÞ ÞÞÞ

F F" #

" "

# #

$ $

8 8


! "

! "

! "

! "

(6.4) :EJEMPLOS Para cada uno de los ejemplos de (6.2); determine lasCOORDENADAS DEL VECTOR dado con respecto a las respectivas bases.SOLUCIÓN:(6.4.1) En ‘$ ; es la base CANÓNICA yF œ


.F œ Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ# ˜ ™ es otra base de ‘$

Se obtuvo que:Ð"ß #ß $Ñ œ Ð"Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð#Ñ Ð!ß "ß !Ñ Ð$Ñ Ð!ß !ß "Ñ respecto de F

" .

Ð"ß #ß $Ñ œ Ð #Ñ Ð"ß "ß !Ñ Ð!Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð$Ñ Ð"ß !ß "Ñ F .respecto de #

Por lo tanto:

Ò Ó œ Ò Ó œ" ## !$ $

Ð"ß #ß $Ñ Ð"ß #ß $ÑF F" #

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Øy



PÁG. 238



(6.4.2) En ; `#B#Ð F œ ß ß ß" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

‘Ñ" Ÿ” • ” • ” • ” •

y ) .F œ ß à à Ð" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !# Ÿ” • ” • ” • ” • son bases de `#B# ‘

Se obtuvo que:

” • ” • ” • ” • ” •" " " ! " ! " ! ! " " ! " ! " ! ! " " !

Ð Ñ Ð Ñ Ð!Ñ Ð "Ñœ " "# #

respecto de F"

” • ” • ” • ” • ” •" " " " " " " " " ! " ! " " " ! ! ! ! !

Ð!Ñ Ð "Ñ Ð!Ñ Ð#Ñœ

respecto de F2

Por lo tanto:

Ò Ó œ Ò Ó œ" " " " "

" ! " ! !

! "

!

#

” • ” •Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØF F" #

"#

"# y

(6.4.3) En c ‘#Ð Ñ F œ " ß B ß B ; es la base CANÓNICA y"

#˜ ™ es otra base de .F œ " ß " B ß " B B Ð Ñ#

#˜ ™ c ‘#

Se obtuvo que:" #B $B œ Ð"Ñ Ð"Ñ Ð#Ñ ÐBÑ Ð$Ñ ÐB Ñ# # respecto de F Þ

"

" #B $B œ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ# #Ð$Ñ Ð"Ñ Ð $Ñ F Þrespecto de #

Por lo tanto:

Ò Ó œ Ò Ó œ" $# "$ $

" #B $B " #B $B# #F F" #

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Øy

(6.5) :OBSERVACIÓN Notemos que estas representaciones son únicas, por el hecho detrabajar con Bases; lo cual significa que perfectamente podemos distinguircualquier vector por sus coordenadas o viceversa.



PÁG. 239



(6.6) :DEFINICIÓN Se llama MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de la

base a la base ; lo que denotaremos por y que está dadaF F ÒEÓ" # F"

F#

por:

ÒEÓ œ Ò? Ó Ò? Ó Ò? Ó Þ Þ Þ Ò? ÓF"

F#

" F # F $ F 8 F# # # #ˆ ‰

donde es la columna de la matriz de transición oÒ? Ó 4 /=37+4 F#

matriz de cambio de base. Note que son las coordenadas del vector conÒ? Ó ? − F

4 F 4 "#

respecto a la base .F#

(6.7) :EJEMPLOS(6.7.1) Encuentre la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de labase a la base ; paraF F

" #

F œ F œ Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ"

˜ ™Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ y # ˜ ™bases de ‘$.SOLUCIÓN:1°) Se debe expresar cada vector de F œ


como combinación lineal de F œ Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ# ˜ ™ .2°) Sea tal que:ÐB ß C ß DÑ − F

"

ÐB ß C ß DÑ œ Ð"ß "ß !Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð"ß !ß "Ñ! " #

resolviendo el siguiente sistema:

! " # #

!

#

œ B Ê à œ D

œ C

œ D

! "œ C œ B C D à

3°) Si ÐB ß C ß DÑ œ Ò Ó œ!"!

Ð"ß !ß !Ñ Ê Ð"ß !ß !Ñ F#

Ô ×Õ Ø

Si ÐB ß C ß DÑ œ Ò Ó œ ""!

Ð!ß "ß !Ñ Ê Ð!ß "ß !Ñ F#

Ô ×Õ Ø

Si ÐB ß C ß DÑ œ Ò Ó œ!

""

Ð!ß !ß "Ñ Ê Ð!ß !ß "Ñ F#

Ô ×Õ Ø

4°) Luego, la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE es:

ÒEÓ œ! " !" " "! ! "

F"

F#Î ÑÏ Ò



PÁG. 240



(6.7.2) Encuentre la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de labase a la base ; paraF F

" #

F œ ß ß ß" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !" Ÿ” • ” • ” • ” • y

.F œ ß à à Ð" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !# #B# Ÿ” • ” • ” • ” • bases de ` ‘Ñ

SOLUCIÓN:

1°) Se debe expresar cada vector de como combinación lineal de F F" #.

2°) Sea tal que:” •B CD >

− F"

,” • ” • ” • ” • ” •B C " " " " " " " !D > " " " ! ! ! ! !

œ ! " # -

resolviendo el siguiente sistema:! " # - ! " # -

! " #

! "

!

œ B Ê œ > à œ D > à œ C D à œ B C

œ C

œ D

œ >

3°) Si ” • ” • ” •Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

B C " ! " ! "D > " ! " ! "

œ Ò Ó œ

!

"

ÊF#

Si ” • ” • ” •Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

B C " ! " ! "D > " ! " ! "

œ Ò Ó œ

!

"

ÊF#

Si ” • ” • ” •Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

B C " ! " ! "D > ! " ! " !

œ Ò Ó œ

"

"

ÊF#

Si ” • ” • ” •Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

B C ! " ! " "D > " ! " ! !

œ Ò Ó œ

!

"

ÊF#


ÒEÓ œ

! ! " !" " " "

" " ! !" " " "

F"

F#




PÁG. 241



(6.7.3) Encuentre la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de labase a la base ; paraF F

# "

F œ " ß B ß B F œ " ß " B ß " B B Ð Ñ" ## #˜ ™ ˜ ™ bases de . y c ‘

#

SOLUCIÓN:

1°) Se debe expresar cada vector de F œ " ß " B ß " B B##˜ ™

como combinación lineal de F œ " ß B ß B"#˜ ™ .

2°) Sea tal que:+ , B - B − F##

+ , B - B œ Ð"Ñ ÐBÑ ÐB Ñ# #! " #

resolviendo el siguiente sistema: ! #

#

œ + Ê à œ -

œ ,

œ -

"

! "œ + œ , à

3°) Si + , B - B œ Ò"Ó œ"!!

# " Ê F"

Ô ×Õ Ø

Si + , B - B œ Ò Ó œ"

"!

# " B Ê " B F"

Ô ×Õ Ø

Si + , B - B œ " B B Ò" B B Ó œ"

" "

# # # ÊF"

Ô ×Õ Ø


ÒEÓ œ" " "! " "! ! "

F#

F"Î ÑÏ Ò

(6.8) : TEOREMA Sean y bases de un espacio vectorial .F F Z

" #

(6.8.1) Si es la matriz de transición o de cambio de base. ÒEÓF"

F#

Entonces para todo se tiene que @ − Z Ò@Ó œ ÒEÓ Ò@ÓF F# "F"

F#

(6.8.2) Si es la matriz de transición de a .ÒEÓ F FF"

F#

" #

Entonces ( ) es la matriz de transición de a .ÒEÓ F FF"

F#

# ""



PÁG. 242



UNIDAD N° 5: TRANSFORMACIONES LINEALES

TEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE TRANSFORMACIÓN LINEAL

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si una función es una

TRANSFORMACIÓN LINEAL.

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir una transformación lineal, dadasciertas condiciones particulares.

(1.1) :DEFINICIÓN Sean y espacios vectoriales sobre el cuerpo ; y sea unaZ [ XŠfunción tal que: ; X À Z Ä [ @ È XÐ@Ñ œ A Þ Diremos que es una TRANSFORMACIÓN LINEAL DE en siX Z [se verifican las siguientes propiedades:

) ; para todo , 3 X Ð@ @ Ñ œ XÐ@ Ñ X Ð@ Ñ @ @ − Z Þ" # " # " #

) ; para todo , .3 3 X Ð @Ñ œ X Ð@Ñ − @ − Z! ! ! Š

(1.2) :OBSERVACIÓNa) En lugar de ) y ) de la definición, resumimos en la siguiente:3 3 3

; para todo ; ,X Ð@ @ Ñ œ XÐ@ Ñ X Ð@ Ñ − @ @ − Z Þ" # " # " #

! ! ! Š

b) A las transformaciones lineales; también se les llama OPERADORESLINEALES.

(1.3) : TIPOS DE TRANSFORMACIONES LINEALESa) La transformación lineal cero está definida por: tal que para todo X À Z Ä [ XÐ@Ñ œ ! à @ − Z Þ

[

DEMOSTRACIÓN: USANDO (1.1):

1°) Sean , ; verifiquemos que .@ @ − Z X Ð@ @ Ñ œ XÐ@ Ñ X Ð@ Ñ" # " # " #

En efecto: X Ð@ @ Ñ œ ! œ ! ! œ XÐ@ Ñ X Ð@ Ñ Þ

" # [ [ [ " #

2°) Sean ; verifiquemos que ! Š ! !− ß @ − Z X Ð @Ñ œ X Ð@ÑÞ En efecto: X Ð @Ñ œ ! œ ! œ XÐ@Ñ Þ! ! !

[ [

3°) Luego; por 1°) y 2°) es transformación lineal.X



PÁG. 243



b) La transformación lineal identidad está definida por: tal queX À Z Ä Z para todo X Ð@Ñ œ @ à @ − Z ÞDEMOSTRACIÓN: USANDO (1.1):1°) Sean , ; verifiquemos que .@ @ − Z X Ð@ @ Ñ œ XÐ@ Ñ X Ð@ Ñ

" # " # " #

En efecto: X Ð@ @ Ñ œ @ @ œ XÐ@ Ñ X Ð@ Ñ Þ

" # " # " #

2°) Sean ; verifiquemos que ! Š ! !− ß @ − Z X Ð @Ñ œ X Ð@ÑÞ En efecto: X Ð @Ñ œ @ œ XÐ@Ñ Þ! ! !

3°) Luego; por 1°) y 2°) es transformación lineal.X

c) La transformación lineal de reflexión está definida por: tal queX À Ä‘ ‘# #

X ÐBß CÑ œ Ð Bß CÑDEMOSTRACIÓN: USANDO (1.2) a) :1°) Sean ; , ; verifiquemos que! ‘ ‘− ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ −" " # #

#

.X ÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ X ÐB ß C Ñ X ÐB ß C Ñ" " # # " " # #! !

En efecto: X ÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ X ÐB B ß C C Ñ" " # # " # " #! ! !

œ Ð B B ß C C Ñ" # " #! !

œ Ð B ß C Ñ Ð B ß C Ñ" " # #! !

œ XÐB ß C Ñ Ð B ß C Ñ" " # #!

œ XÐB ß C Ñ X ÐB ß C Ñ" " # #!

2°) Luego; es transformación lineal.X

d) La transformación lineal de rotación en un ángulo en sentido)contrario a las manecillas del reloj; está definida por: tal queX À Ä‘ ‘# #

X Ð< -9= ß < =/8 Ñ œ Ð< -9= Ð Ñ ß < =/8 Ð ÑÑ! ! ) ! ) !

DEMOSTRACIÓN: USANDO (1.2) a) :1°) Sean ;! ‘− , ; verifiquemos queÐ< -9= ß < =/8 Ñ Ð< -9= ß < =/8 Ñ −" " " " # # # #

#! ! ! ! ‘

X ÐÐ< -9= ß < =/8 Ñ Ð< -9= ß < =/8 ÑÑ œ" " " " # # # #! ! ! ! !

.œ XÐ< -9= ß < =/8 Ñ X Ð< -9= ß < =/8 Ñ" " " " # # # #! ! ! ! !



PÁG. 244



En efecto:

X ÐÐ< -9= ß < =/8 Ñ Ð< -9= ß < =/8 ÑÑ œ" " " " # # # #! ! ! ! !

œ XÐÐ< -9= < -9= ß < =/8 < =/8 ÑÑ" " # # " " # #! ! ! ! ! !

œ Ð< -9= Ð Ñ < -9= Ð Ñß < =/8 Ð Ñ < =/8 Ð ÑÑ" " # # " " # #) ! ! ) ! ) ! ! ) !

œ Ð< -9= Ð Ñ ß < =/8 Ð ÑÑ Ð < -9= Ð Ñ ß < =/8 Ð ÑÑ" " " " # # # #) ! ) ! ! ) ! ! ) !

œ XÐ< -9= ß < =/8 Ñ Ð< -9= Ð Ñ ß < =/8 Ð ÑÑ" " " " # # # #! ! ! ) ! ) !

œ XÐ< -9= ß < =/8 Ñ X Ð< -9= ß < =/8 Ñ" " " " # # # #! ! ! ! !

2°) Luego; es transformación lineal.X

e) La transformación lineal u operador DERIVADA está definida por: tal que H À !ß " Ä !ß " HÐ0Ñ œ 0 ÞV V" w ‘ ‘DEMOSTRACIÓN: USANDO (1.1):1°) Sean , ; verifiquemos que .0 1 − !ß " HÐ0 1Ñ œ HÐ0Ñ HÐ1ÑV" ‘ En efecto: HÐ0 1Ñ œ Ð0 1Ñ œ 0 1 œ HÐ0Ñ HÐ1Ñ Þw w w

2°) Sean ; verifiquemos que ! ‘ V ! !− ß 0 − !ß " HÐ 0Ñ œ HÐ0ÑÞ" ‘ En efecto: HÐ 0Ñ œ Ð 0Ñ œ 0 œ HÐ0Ñ Þ! ! ! !w w

3°) Luego; por 1°) y 2°) es transformación lineal.H

f) La transformación lineal u operador INTEGRAL está definida por: tal que \ V ‘ \À !ß " Ä Ð0Ñ œ 0ÐBÑ .B Þ ‘ '

!

"

DEMOSTRACIÓN: USANDO (1.2) a):1°) Sean , ; verifiquemos que! ‘ V− à 0 1 − !ß " ‘ .\ ! \ !\Ð0 1Ñ œ Ð0Ñ Ð1Ñ En efecto: \ ! ! !Ð0 1Ñ œ Ð0 1ÑÐBÑ .B œ 0ÐBÑ .B Ð 1ÑÐBÑ .B' ' '

! ! !

" " "

œ Ð0Ñ Ð1ÑÐBÑ .B œ Ð0Ñ Ð1Ñ Þ\ ! \ !\'!

"

2°) Luego; es transformación lineal.\



PÁG. 245



(1.4) :OBSERVACIÓN Se debe precisar que el concepto de transformación lineal, no tienerelación con la idea geométrica de la linea recta, de hecho se puede probarque la función definida por no es unaX À Ä XÐBÑ œ # B "‘ ‘

transformación lineal. DEMUÉSTRELO!! .

(1.5) : TEOREMA Si es transformación lineal.X À Z Ä [ Entonces; 3Ñ X Ð! Ñ œ !

Z [

3 3Ñ X Ð @Ñ œ XÐ@Ñ

333Ñ X Ð@ @ Ñ œ XÐ@ Ñ X Ð@ Ñ" # " #

(1.6) : OBSERVACIÓN La propiedad de (1.5) es importante, ya que nos dice que: 3Ñ Si es transformación lineal.X Entonces X Ð! Ñ œ !

Z [

(ES EQUIVALENTE A DECIR QUE: Si .X Ð! Ñ Á !

Z [

Entonces NO es una transformación lineal)X

(1.7) : NOTACIÓN denota el conjunto de todas las transformaciones linealesPÐZ ß [ Ñde en sobre el cuerpo .Z [ O

(1.8) : TEOREMA Si es dotado de las operaciones usuales de:PÐZ ß [ Ñ y ÐX X ÑÐ@Ñ œ X Ð@Ñ X Ð@Ñ Ð X ÑÐ@Ñ œ X Ð@Ñ

" # " #! !

Entonces es un espacio vectorial sobre PÐZ ß [ Ñ O Þ

(1.9) : TEOREMA Si y son espacios vectoriales de dimensión finita y Z [ 8 7respectivamente; es una base de yF œ @ ß @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z

Z " # $ 8˜ ™

vectores arbitrarios en A ß A ß A ß Þ Þ Þ ß A [ Þ" # $ 8

Entonces existe una única transformación lineal que verificaX para todo X Ð@ Ñ œ A 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 Þ

3 3



PÁG. 246



(1.10) :EJEMPLOS(1.10.1)Considere la base ˜ ™Ð"ß "ß "ß "Ñß Ð"ß "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð"ß !ß !ß !Ñ

para ‘% tal que À X "ß "ß "ß "Ñ œ " à X "ß "ß "ß !Ñ œ " B àÐ Ð X "ß "ß !ß !Ñ œ B à X "ß !ß !ß !Ñ œ " BÐ Ð# #

Determine la transformación lineal que verifica lo anterior; yXademás calcule X "ß "ß "ß "Ñ ÞÐSOLUCIÓN:

1°) Notar que X À Ä‘% c ‘#Ð Ñ X Ð+ß ,ß -ß .Ñ œ + + B + Btal que ! " #

#

2°) Como ;˜ ™Ð"ß "ß "ß "Ñß Ð"ß "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð"ß !ß !ß !Ñ base de ‘%

todo se puede expresar de manera única comoÐ+ß ,ß -ß .Ñ − ‘%

combinación lineal de dicha base. En efecto: Ð+ß ,ß -ß .Ñ œ Ð! " # -"ß "ß "ß "Ñ Ð"ß "ß "ß !Ñ Ð"ß "ß !ß !Ñ Ð"ß !ß !ß !Ñ

3°) Resolviendo el sistema:! " # - ! " # -

! " #

! "

!

œ + Ê œ . à œ - . à œ , - à œ + ,

œ ,

œ -

œ .

Es decir:

Ð+ß ,ß -ß .Ñ œ œ .Ð Ð- .Ñ Ð, -Ñ"ß "ß "ß "Ñ Ð"ß "ß "ß !Ñ Ð"ß "ß !ß !Ñ Ð+ ,ÑÐ"ß !ß !ß !Ñ APLICANDO X ÀÊ X "ß "ß "ß "Ñ Ð"ß "ß "ß !Ñ Ð+ß ,ß -ß .Ñ œ . X Ð Ð- .Ñ X Ð"ß "ß !ß !Ñ Ð+ ,Ñ X Ð"ß !ß !ß !ÑÐ, -Ñ X

Ê X Ð+ß ,ß -ß .Ñ œ œ .Ð " Ð- .ÑÐ Ð, -ÑÐÑ " BÑ B Ñ Ð+ ,ÑÐ" B Ñ# #

Por lo tanto; la fórmula que define es:X

X Ð+ß ,ß -ß .Ñ œ Ð+ , -Ñ Ð- .Ñ B Ð+ -Ñ B#

4°) Luego, el teorema asegura que existe una única transformaciónlineal que verifica el enunciado de este ejemplo es decir.ß

X À Ä‘% c ‘#Ð Ñ X Ð+ß ,ß -ß .Ñ œ Ð+ , -Ñ Ð- .Ñ B Ð+ -Ñ Btal que #

5°) X "ß "ß "ß "Ñ œ " #BÐ



PÁG. 247



(1.10.2)Considere la base de Ÿ” • ” • ” • ” •" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

ß ß ß

`#B#Ð‘Ñ À tal que

X Ð œ Ð"ß "ß "Ñ à X Ñ œ Ð "ß "ß !Ñ à” • ” •" ! " !" ! " !

Ñ Ð

X Ñ œ Ð!ß !ß "Ñ à X Ñ œ Ð"ß !ß "ÑÐ Ð" ! ! "! " " !” • ” •

Determine la transformación lineal que verifica lo anterior; yX

además calcule X Ñ ÞÐ" "" "” •

SOLUCIÓN:

1°) Notar que X À Ñ Ä`#B#Ð X Ð Ñ œ Ð+ ß , ß -ÑB CD >

‘ ‘$ tal que ” •

2°) Como ; Ÿ” • ” • ” • ” •" ! " ! " ! ! "" ! " ! ! " " !

ß ß ß Ðbase de `#B# ‘Ñ

todo se puede expresar de manera única como” •B CD >

− Ð`#B# ‘Ñ

combinación lineal de dicha base. En efecto:

,” • ” • ” • ” • ” •B C " ! " ! " ! ! "D > " ! " ! ! " " !

œ ! " # -

3°) Resolviendo el sistema: ! " #

-

! " -

#

œ B

œ C

œ D

œ >

Ê œ ÐB C D >Ñ à œ Ð B C D >Ñ à œ > à œ C ! " # -" "# #

Es decir:

” • ” • ” •B C " ! " !D > " ! " !

œ " "# #ÐB C D >Ñ Ð B C D >Ñ

, Ð C" ! ! "! " " !

>Ñ” • ” • APLICANDO X À

X Ð Ñ œB CD >” •

œ Ñ Ñ" ! " !" ! " !

" "# #ÐB C D >ÑX Ð Ð B C D >Ñ X Ð” • ” •

, Ð Ñ C X Ð Ñ" ! ! "! " " !

>Ñ X Ð” • ” •



PÁG. 248



Ê X Ð Ñ œB CD >” •

œ " "# #ÐB C D >ÑÐ"ß "ß "Ñ Ð B C D >Ñ Ð "ß "ß !Ñ

Ð C >Ñ Ð!ß !ß "Ñ Ð"ß !ß "Ñ

Por lo tanto; la fórmula que define es:X

X Ð Ñ œ ÐB C > ß B > ß B C D >ÑB CD >” • " " " "

# # # #

4°) Luego, el teorema asegura que existe una única transformaciónlineal que verifica el enunciado de este ejemplo es decir.ß

X À Ñ Ä`#B#Ð‘ ‘$ tal que

X Ð Ñ œ ÐB C > ß B > ß B C D >ÑB CD >” • " " " "

# # # #

5°) X Ñ œ Ð " ß ! ß "ÑÐ" "" "” •

(1.10.3) Sea una transformación lineal que verifica:X À Äc ‘##

X Ð" Ñ œ Ð ß "Ñ à X Ð" B Ñ œ Ð ß !Ñ à X Ð" B B Ñ œ Ð! ß "Ñ" " #

3 Ñ Determine los escalares (SI EXISTEN) , , tal que! " # − ‘

+ ,B -B œ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ# #! " #

SOLUCIÓN:

+ ,B -B œ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ# #! " #

Ê + ,B -B œ Ð Ñ Ð ÑB Ð ÑB # #! " # " # #

Ê œ + Ê œ + , à œ , - à œ -

œ ,

œ -

! " # ! " #

" #

#



PÁG. 249



33 Ñ Calcule X Ð" B B Ñ# .SOLUCIÓN:

" B B œ # Ð"Ñ !Ð" BÑ Ð "ÑÐ" B B Ñ# #

Ê XÐ" B B Ñ œ XÐ# Ð"Ñ !Ð" BÑ Ð "ÑÐ" B B ÑÑ # #

como es transformación linealX

X Ð" B B Ñ œ # X Ð"Ñ X Ð" B B Ñ# #

X Ð" B B Ñ œ # Ð ß "Ñ Ð! ß "Ñ œ Ð# ß "Ñ# "

333 Ñ X Encuentre la fórmula define a la transformación lineal .que SOLUCIÓN: Por 3 Ñ À + ,B -B œ Ð+ ,ÑÐ"Ñ Ð, -ÑÐ" BÑ -Ð" B B Ñ# #

APLICANDO :X

X Ð+ ,B -B Ñ œ XÐÐ+ ,ÑÐ"Ñ Ð, -ÑÐ" BÑ -Ð" B B ÑÑ# #


X Ð+ ,B -B Ñ œ Ð+ ,ÑX Ð"Ñ Ð, -ÑX Ð" BÑ -X Ð" B B Ñ# #

X Ð+ ,B -B Ñ œ Ð+ ,ÑÐ ß "Ñ Ð, -ÑÐ ß !Ñ -Ð!ß "Ñ# " "

Por lo tanto: X Ð+ ,B -B Ñ œ Ð+ - ß + , -Ñ#



PÁG. 250



TEMA 2: NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar analíticamente el NÚCLEO o Ker o KERNEL de una transformación lineal. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar una base del núcleo o Ker de unatransformación lineal.

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la dimensión del núcleo de una transformación lineal.

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar analíticamente la de una transformación lineal.

MQEKIR

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar una base de la imagen de una transformación lineal.

.

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la dimensión de la imagen de una transformación lineal.

(2.1) NÚCLEO O KERNEL O ESPACIO NULO DE UNA T. L.

DEFINICIÓN: Sean y espacios vectoriales sobre el cuerpo ; Z [ Š y una TRANSFORMACIÓN LINEAL DE en .X À Z Ä [ Z [ Se llama NÚCLEO O KERNEL O ESPACIO NULO DE ; lo queXdenotaremos por o o al conjunto definido por: RÐX Ñ O/< ÐX Ñ R?-ÐX Ñ

RÐX Ñ œ O/< ÐX Ñ œ @ − Z Î X Ð@Ñ œ !˜ ™[

(2.2) :OBSERVACIÓN

a) Notar que el Núcleo de , está formado por todos los vectores en elXespacio vectorial de partida , cuya imagen bajo es el vector cero delZ Xespacio vectorial .[

b) Luego; el Núcleo de a lo menos tiene el vector cero de , ya queX Zsi es transformación lineal, entonces X X Ð! Ñ œ ! Þ

Z [

(2.3) :EJEMPLOS(2.3.1) Considere la transformación lineal X definida porÀ Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘

#B# "

X œ Ð+ .Ñ Ð- ,Ñ B+ ,- .Œ

Encuentre el O/< ÐX Ñ .



PÁG. 251



SOLUCIÓN:

O/< Ð X Ñ œ Ð ÑÎX œ !+ , + ,- . - .œ Œ Œ − ` ‘

#B#

Ê Ð+ .Ñ Ð- ,Ñ B œ ! Ê + . œ !

- , œ !

Ê + œ . ß , œ - Þ Por lo tanto:

O/< ÐX Ñ œ Ð Ñ Î - ß . . -- .œ Œ − −` ‘ ‘

#B#

O/< ÐX Ñ œ - . Î - ß .! " " !" ! ! "œ Œ Œ − ‘

O/< ÐX Ñ œ 1/8 ß! " " !" ! ! "œ Œ Œ

(2.3.2) Sea definida por:X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘#B# $

X Ð Ñ œ Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B+ ,- .” • # $

Encuentre el O/< ÐX Ñ .SOLUCIÓN:

1º) O/< ÐX Ñ œ − Ð ÑÎX Ð Ñ œ !+ , + ,- . - .

š ›” • ” •` ‘#B# $

c ‘Ð Ñ

Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B œ !# $

2º) Lo que determina el siguiente sistema de ecuaciones:

+ , - . œ ! Ê + œ , œ - œ . œ 9

+ , - œ !

+ , œ !

+ œ !

3º) Por lo tanto, O/< ÐX Ñ œ! !! !

š ›” •



PÁG. 252



(2.3.3) Sea transformación lineal definida por X À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ c ‘" "

X Ð+ ,BÑ œ + ,B Encuentre el O/< ÐX Ñ .SOLUCIÓN:

1º) O/< ÐX Ñ œ + ,B − Ð ÑÎX Ð+ ,BÑ œ !š ›c ‘" "

c ‘Ð Ñ

+ ,B œ !

2º) Lo que determina que: + œ , œ !

3º) Por lo tanto, O/< ÐX Ñ œ !š ›c ‘"Ð Ñ

(2.4) IMAGEN O RECORRIDO DE UNA T. L. DEFINICIÓN: Sean y espacios vectoriales sobre el cuerpo ;Z [ Š y una TRANSFORMACIÓN LINEAL DE en .X À Z Ä [ Z [ Se llama DE ; lo que denotaremos por IMAGEN O RECORRIDO XM7 ÐX Ñ V/- ÐX Ñ o al conjunto, definido por:

M7 ÐX Ñ œ A − [ Î b @ − Z >+6 ;?/ X Ð@Ñ œ A˜ ™

(2.5) :OBSERVACIÓN

a) Notar que la Imagen de , está formado por todos los vectores enXel espacio vectorial de llegada , que tienen a lo menos un vector como[preimagen en el espacio vectorial de partida .Z

b) Luego; la Imagen de a lo menos tiene el vector cero de , yaX [que si es transformación lineal, entonces Es decir,X X Ð! Ñ œ ! Þ

Z [

! − [ ! − Z[ Z

tiene como preimagen a lo menos a .

(2.6) :EJEMPLOS(2.6.1) Considere la transformación lineal X definida porÀ Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘

#B# "

X œ Ð+ .Ñ Ð- ,Ñ B+ ,- .Œ

Encuentre la M7 ÐX Ñ .



PÁG. 253



SOLUCIÓN:

M7 Ð X Ñ œ Ð+ .Ñ Ð- ,Ñ BÎ+ ß , ß - ß . −œ ‘ M7 Ð X Ñ œ +Ð"Ñ ,Ð BÑ -ÐBÑ .Ð"ÑÎ+ ß , ß - ß . −œ ‘ M7 Ð X Ñ œ 1/8 " ß B ß B ß " 1/8 " ß Bœ œ œ

Por lo tanto:

M7 ÐX Ñ œ 1/8 " ß Bœ (2.6.2) Sea definida por:X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘

#B# $

X Ð Ñ œ Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B+ ,- .” • # $

Encuentre la M7 ÐX Ñ .SOLUCIÓN:

1º) M7 Ð X Ñ œ

œ Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B − Ð Ñ Îš # $ c ‘$

+ ß , ß - ß . − ‘›œ +Ð" B B B Ñ ,Ð " B B Ñ -Ð" BÑ .Ð "Ñ − Ð Ñ Îš # $ # c ‘

$

+ ß , ß - ß . − ‘› œ 1/8 " B B B ß " B B ß " B ß "š ›# $ #

2º) Por lo tanto,

M7 Ð X Ñ œ 1/8 " B B B ß " B B ß " B ß "š ›# $ #

(2.6.3) Sea transformación lineal definida por X À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ c ‘" "

X Ð+ ,BÑ œ + ,B Encuentre la M7 ÐX Ñ .SOLUCIÓN:

1º) M7 Ð X Ñ œ + ,B − Ð ÑÎ+ ß , −š ›c ‘ ‘"

M7 ÐX Ñ œ + Ð"Ñ ,Ð BÑ − Ð ÑÎ+ ß , −š ›c ‘ ‘"

M7 ÐX Ñ œ 1/8 " ß Bš ›2º) Por lo tanto, M7 Ð X Ñ œ 1/8 " ß Bš ›



PÁG. 254



(2.7) :DEFINICIÓN Sean y espacios vectoriales sobre el cuerpo ; tal queZ [ Š y ; y una T. L. ..37 Z œ 8 .37 [ œ 7 X À Z Ä [

(2.7.1) Se llama NULIDAD DE , lo que denotaremos por a laX ÐX Ñ/

dimensión del Núcleo o Kernel de ; es decirX à Nulidad ( )X œ ÐX Ñ œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ/

EJEMPLOS:

a) En (2.3.1) y como ademásO/< Ð X Ñ œ 1/8 ß! " " !" ! ! "œ Œ Œ

es linealmente independiente, entoncesœ Œ Œ ! " " !" ! ! "

ß

es base del .œ Œ Œ ! " " !" ! ! "

ß X ÑO/< Ð

Luego: .37 XÑ œ #O/< Ð

b) En (2.3.2) O/< ÐX Ñ œ! !! !

š ›” • Luego: .37 XÑ œ !O/< Ð

c) En (2.3.3) O/< ÐX Ñ œ !š ›c ‘"Ð Ñ

Luego: .37 XÑ œ !O/< Ð

(2.7.2) Se llama RANGO DE , lo que denotaremos por a laX ÐX Ñ3

dimensión de la Imagen de ; es decirX à Rango ( )X œ ÐX Ñ œ .37 ÐM7 ÐX ÑÑ3

EJEMPLOS:

a) En (2.6.1) y como además esM7 Ð X Ñ œ 1/8 " ß B " ß Bœ œ linealmente independiente, entonces es base de la .œ " ß B X ÑM7 Ð

Luego: .37 XÑ œ #M7 Ð



PÁG. 255



b) En (2.6.2)

M7 Ð X Ñ œ 1/8 " B B B ß " B B ß " B ß "š ›# $ #

y como además š ›" B B B ß " B B ß " B ß "# $ #

es linealmente independiente, entoncesš ›" B B B ß " B B ß " B ß " X Ñ# $ # es base de la .M7 Ð

Luego: .37 XÑ œ %M7 Ð

c) En (2.6.3) y como además esM7 Ð X Ñ œ 1/8 " ß B " ß Bš › œ linealmente independiente, entonces es base de la .œ "ß B X ÑM7 Ð

Luego: .37 XÑ œ #M7 Ð

(2.8) : OBSERVACIÓN Si es una T.L. .X À Z Ä [ Entonces:

Nulidad ( ) Rango ( ).37 Z œ X X œ ÐX Ñ ÐX Ñ/ 3

(2.9) :EJEMPLOS

(2.9.1)1°) Para la transformación lineal X definida porÀ Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘

#B# "

X œ Ð+ .Ñ Ð- ,Ñ B+ ,- .Œ

se determinó: en (2.7.1) a) que y.37 O/< ÐX Ñ œ # en (2.7.2) a) que .37 M7 ÐX Ñ œ #

2°) Además, se sabe que: .37 Ð Ñ œ %` ‘#B#

3°) Por lo tanto, se verifica el teorema: Nulidad ( ) Rango ( ).37 Z œ X X œ ÐX Ñ ÐX Ñ/ 3

.37 Ð Ñ œ XÑÑ œ # # œ %` ‘#B#

.37 O/< ÐX Ñ .37 M7 Ð



PÁG. 256



(2.9.2) 1°) Para la transformación lineal definida por:X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘

#B# $

X Ð Ñ œ Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B+ ,- .” • # $

se determinó: en (2.7.1) b) que y.37 O/< ÐX Ñ œ ! en (2.7.2) b) que .37 M7 ÐX Ñ œ %

2º) Además, se sabe que: .37 Ð Ñ œ %` ‘#B#


.37 Ð Ñ œ XÑÑ œ ! % œ %` ‘#B#

.37 O/< ÐX Ñ .37 M7 Ð

(2.9.3) 1°) Para la transformación lineal definida por X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X Ð+ ,BÑ œ + ,Bc ‘ c ‘

" "

se determinó: en (2.7.1) c) que y.37 O/< ÐX Ñ œ ! en (2.7.2) c) que .37 M7 ÐX Ñ œ #

2º) Además, se sabe que: .37 Ð Ñ œ #c ‘"


.37 Ð Ñ œ XÑÑ œ ! # œ # Þc ‘"

.37 O/< ÐX Ñ .37 M7 Ð



PÁG. 257





1. Determine las coordenadas del vector À(1.1) con respecto a la base @ œ Ð"ß "ß "Ñ ˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß #Ñ

(1.2) con respecto a la base @ œ $=/8Ð>Ñ &-9=Ð>Ñ ˜ ™=/8Ð>Ñß -9=Ð>Ñ

2. Sea @ œ ÐBß Cß DÑ − ‘$ cuyas coordenadas respecto a la base˜ ™Ð"ß "ß "Ñ ß Ð!ß "ß "Ñ ß Ð!ß "ß "Ñ ! ß ß son respectivamente. Determine$ "# #

las coordenadas de respecto a la base .@ Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß "Ñ ß Ð!ß "ß "Ñ˜ ™

3. (3.1) Encuentre la matriz de transición o matriz de cambio de base; de labase a la base F œ " B B B ß " B B B ß " Bß B B

"˜ ™# $ # $ # $

F œ " B B B ß " B B ß " Bß "#

˜ ™# $ # .

(3.2) Dado el siguiente

TEOREMA: Sean y bases de un espacio vectorial .F F Z

" #

Si es la matriz de transición o de cambio de base. ÒEÓF"

F#


F#

Verifique el teorema, considerando el vector @ œ " $B %B &B# $

y la matriz de transición obtenida en (3.1).



" #

Si es la matriz de transición de a .ÒEÓ F FF"

F#

" #


F#

# ""

Verifique para la matriz de transición obtenida en (3.1).



PÁG. 258



4. Analice si cada función definida es o no una transformación lineal: (4.1) definida por X À Ä XÐBß Cß DÑ œ B‘ ‘$

(4.2) definida por W À Ä WÐDÑ œ D‚ ‚

(4.3) definida por ,Y À Ä YÐB ß CÑ œ ÐBC !Ñ‘ ‘# #

(4.4) definida por X À Ä XÐB ß CÑ œ B C‘ ‘# ¸ ¸(4.5) definida por H À Ð Ñ Ä Ð Ñ HÐ:ÐBÑÑ œ Ð:ÐBÑÑ # Ð:ÐBÑÑc ‘ c ‘

8 8

#

#. .

. B . B

(4.6) definida porW À Ä À‘ ‘$ $

,WÐBß Cß DÑ œ Ð#B C D B #C Dß B C #DÑ

(4.7) definida por ; tal que Y À Ð Ñ Ä Ð Ñ YÐEÑ œ EF` ‘ ` ‘$B# $B#

#

F œ" "" !Œ

(4.8) definida por X À Ä XÐD ß D Ñ œ Ð3 Ð D D Ñ ß D Ñ‚ ‚# #" # " # #

(4.9) definida porW À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ c ‘# "

WÐ+ + B + B Ñ œ + #+ + B! " # ! # "#

5. En las T. L. de 4. , determine: Núcleo, Imagen, Nulidad y Rango.

6. Demuestre que: es subespacio vectorial del conjunto dePÐZ ß [ Ñtodas las funciones de en .Z [

7. Si X Ð"ß !ß !Ñ œ Ð" 3 ß " ß " 3Ñ à X Ð!ß "ß !Ñ œ Ð3 ß 3 ß 3Ñà .X Ð!ß !ß "Ñ œ Ð" 3 ß " ß "Ñ Determine una transformación lineal y calculeX À Ä‚ ‚$ $

X Ð"ß "ß "Ñ X ÐBß Cß DÑ Þ y la fórmula

8. Demuestre que es subespacio vectorial de O/< ÐX Ñ Z Þ

9. Sea definida porX À Ä‘ ‘$ #

.X ÐBß Cß DÑ œ Ð#B $C D ß B %DÑ Encuentre .M7 ÐX Ñ



PÁG. 259



10. Determine e para las T. L. :O/< ÐX Ñ M7 ÐX Ñ(10.1) tal que para todo X À Z Ä [ XÐ@Ñ œ ! à @ − Z Þ

[

(10.2) tal que para todo X À Z Ä Z XÐ@Ñ œ @ à @ − Z Þ

(10.3) tal que X À Ä XÐBß CÑ œ Ð Bß CÑ‘ ‘# #

(10.4) Sea ; tal que E œ X À Ä XÐBÑ œ EB Þ" " #! " "

# " !

Ô ×Õ Ø ‘ ‘$ $

(10.5) tal que X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X ÐEÑ œ E` ‘ ` ‘#B$ $B#

>

11. Se sabe que: X Ð"ß "ß "Ñ œ Ð#ß "Ñ à X Ð"ß "ß !Ñ œ Ð"ß "Ñ Þ Determine una transformación lineal que verifique lo anterior; yXencuentre el núcleo, la imagen, nulidad y rango de X Þ

12. Verifique la siguiente propiedad:

.37 Z œ .37 ÐO/< X Ñ .37 ÐM7 XÑ œ R?63.+. ÐX Ñ V+819 ÐX Ñ

para las siguientes transformaciones lineales; determinandoexplícitamente las bases de eO/<ÐX Ñ M7ÐX Ñ Þ

(12.1) tal que X À Ä XÐBß Cß DÑ œ Ð#B $C D ß B %DÑ‘ ‘$ #

(12.2) tal que X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X Ð:ÐBÑÑ œ Ð:ÐBÑÑ # Ð:ÐBÑÑc ‘ c ‘8 8#

#

#. .

. B . B

(12.3) tal que: X À Ä XÐ"ß !ß !Ñ œ Ð" 3 ß " ß " 3Ñ à‚ ‚$ $

X Ð!ß "ß !Ñ œ Ð3 ß 3 ß 3Ñ à X Ð!ß !ß "Ñ œ Ð" 3 ß " ß "Ñ

13. Demuestre que definida por X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X Ð:ÐBÑÑ œ :ÐB "Ñ :Ð!Ñc ‘ c ‘

8 8

es una transformación lineal. Además:

(13.1) Determine e O/<ÐX Ñ M7ÐX Ñ Þ

(13.2) Determine bases de e O/<ÐX Ñ M7ÐX Ñ Þ

(13.3) Determine y R?63.+. ./ X V+819 ./ X Þ



PÁG. 260



14. Sean tal que X À Ä XÐBß Cß DÑ œ ÐB $C Dß #B C DÑ‘ ‘$ #

tal que W À Ä WÐBß CÑ œ ÐB Cß B Cß #BÑ‘ ‘# $

(14.1) Determine Nucleo e Imagen de y de .X W

(14.2) Determine Nucleo e Imagen de y X ‰ W W ‰ X Þ

(14.3) Determine bases de , , e O/<ÐX Ñ M7ÐX Ñ O/<ÐWÑ M7ÐWÑ

(14.4) Determine , , y R?63.+. ./ X V+819 ./ X R?63.+. ./ W V+819 ./ W



PÁG. 261




TALLER N° 6

1. Determine las coordenadas del vector :ÐBÑ œ B 'B #B %$ #

con respecto a la base ˜ ™"ß Bß B ß B $ " & $# # # #

# $

2. Encontrar una base de ‘#" #, tal que respecto a esta el vector ÐB ß B Ñ

tenga como coordenadas a y respectivamente.B B #B" " #

3. (3.1) Encuentre la matriz de transición o matriz de cambio de base; de la

base a la base F œ ß ß ß" " " " " " ! !" " " " ! ! " ""

˜ ™” • ” • ” • ” •F œ ß ß ß

" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !#

˜ ™” • ” • ” • ” • .



" #

Si es la matriz de transición o de cambio de base. ÒEÓF"

F#


F#

Verifique el teorema, considerando el vector y la@ œ" $% &” •

matriz de transición obtenida en (3.1).



" #

Si es la matriz de transición de a .ÒEÓ F FF"

F#

" #


F#

# ""

Verifique para la matriz de transición obtenida en (3.1).



PÁG. 262



4. Analice si cada función definida es o no una transformación lineal:

(4.1) definida por X À Ä XÐBß CÑ œ ÐB ß B DÑ‘ ‘# #

(4.2) definida por W À Ä WÐBß Cß DÑ œ Ð#B $C D ß B %DÑ‘ ‘$ #

(4.3) definida por Y À Ä YÐB ß CÑ œ ÐB ß -9= CÑ‘ ‘# #

(4.4) definida por X À Ä XÐD ß D Ñ œ Ð 3 D ß Ð" 3Ñ D Ñ‚ ‚# #" # # "

(4.5) definida por W À Ä WÐBß Cß DÑ œ #B $C &D‘ ‘$

(4.6) definida porY À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ ` ‘#B# #B#

Y œB C B C !D > ! D >Œ Œ

5. Para cada una de las transformaciones lineales de 4. , determine:Núcleo, Imagen, Nulidad y Rango.

6. Demuestre que: Si es transformación lineal. Entonces:X À Z Ä [(6.1) X Ð! Ñ œ !

Z [

(6.2) X Ð @Ñ œ XÐ@Ñ

(6.3) X Ð@ @ Ñ œ XÐ@ Ñ X Ð@ Ñ" # " #

7. Si X Ð"ß !ß !Ñ œ Ð#ß !Ñ à X Ð!ß #ß !Ñ œ Ð"ß "Ñ à X Ð!ß !ß $Ñ œ Ð#ß "Ñ Determine una transformación lineal que verifique lo anterior; yXcalcule y la fórmula X Ð"ß "ß "Ñ X ÐBß Cß DÑ Þ

8. Encuentre y exprese como conjunto generado.O/< ÐX Ñ

(8.1) Sea la función definida porX À Ä‘ ‘$ #

.X ÐBß Cß DÑ œ Ð#B $C D ß B %DÑ

(8.2) Sea la función definida porX À Ä‚ ‚# #

es la unidad imaginaria.X ÐD ß D Ñ œ Ð 3 D ß Ð" 3Ñ D Ñ 3" # # "



PÁG. 263



9. Determine nulidad y rango de:

(9.1) tal que X À Ä XÐBß Cß DÑ œ Ð#B $C D ß B %DÑ‘ ‘$ #

(9.2) tal que X À Ä XÐD ß D Ñ œ Ð 3 D ß Ð" 3Ñ D Ñ‚ ‚# #" # # "

(9.3) tal que X À Z Ä [ XÐ@Ñ œ ! à @ − Z[

(9.4) tal que ;X À Z Ä Z XÐ@Ñ œ @ à @ − Z

10. Se sabe que:

X Ð" B B B Ñ œ à" "

" "# $ ” •

; X Ð" B B Ñ œ" "

" !# ” •

X Ð" BÑ œ à" "! "” •

X Ð "Ñ œ" !

" !” •Determine una transformación lineal que verifique lo anterior; yXencuentre el núcleo, la imagen, nulidad y rango de X Þ

11. Verifique la siguiente propiedad:

.37 Z œ .37 ÐO/< X Ñ .37 ÐM7 XÑ œ R?63.+. ÐX Ñ V+819 ÐX Ñ

para las siguientes transformaciones lineales; determinandoexplícitamente las bases de eO/<ÐX Ñ M7ÐX Ñ Þ

(11.1) tal que X À Ä XÐD ß D Ñ œ Ð 3 D ß Ð" 3Ñ D Ñ‚ ‚# #" # # "

(11.2) tal queX À Ä‘ ‘$ #

X Ð"ß !ß !Ñ œ Ð#ß !Ñ à X Ð!ß #ß !Ñ œ Ð"ß "Ñ à X Ð!ß !ß $Ñ œ Ð#ß "Ñ



PÁG. 264





PROBLEMA 1: TALLER N° 5 : 10. RESPUESTA: no son linealmente independientes.SOLUCIÓN: Son linealmente independientes si se verifica la siguiente propiedad:! " # - ! " # -0 ÐBÑ 0 ÐBÑ 0 ÐBÑ 0 ÐBÑ œ ! œ œ œ œ !" # $ % Ê :VERIFICACIÓN ! " # -Ð$BÑ ÐB &Ñ Ð#B Ñ ÐB "Ñ œ !# #

Ê Ð& " - ! " - # - Ñ Ð$ # ÑB Ð# ÑB œ !#

de donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: &" -

! " -

# -

œ !

$ # œ !

# œ !

Evidentemente, se trata de un sistema homogéneo que tiene infinitassoluciones, es decir NO TIENE SOLAMENTE LA SOLUCIÓN TRIVIAL! " # -œ œ œ œ ! 0 à 0 à 0 C 0. Luego; son LINEALMENTE" # $ %

DEPENDIENTES.

PROBLEMA 2: TALLER N° 5 : 12. RESPUESTA: (12.1) W œ ÐDß Cß Dß >Ñ ÎB œ D #> à C œ $D >˜ ™− ‘%

(12.2) W œ 1/8 Ð"ß $ß "ß !Ñß Ð #ß "ß !ß "Ñ˜ ™ (12.3) es BASE DE y ˜ ™Ð"ß $ß "ß !Ñß Ð #ß "ß !ß "Ñ W .37 W œ #

(12.4) , es base de ˜ ™Ð"ß $ß "ß !Ñß Ð #ß "ß !ß "Ñ Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !ß !Ñ ‘%

(12.1) : SOLUCIÓN B D #> œ !

C $D > œ !

es matriz escalonada reducida por filasÊ" ! " #! " $ "Œ

el conjunto solución esB œ D #> à C œ $D > ß

W œ ÐDß Cß Dß >Ñ ÎB œ D #> à C œ $D >˜ ™− ‘%



PÁG. 265



(12.2) : SOLUCIÓN W œ ÐD #>ß $D >ß Dß >Ñ ÎD à >˜ ™− −‘ ‘%

W œ DÐ"ß $ß "ß !Ñ >Ð #ß "ß !ß "ÑÎD à >˜ ™− ‘

W œ 1/8 Ð"ß $ß "ß !Ñß Ð #ß "ß !ß "Ñ˜ ™ Luego como es un conjunto generado; este es un subespacioW vectorial de ‘%.

(12.3) :SOLUCIÓN es obviamente un conjunto˜ ™Ð"ß $ß "ß !Ñß Ð #ß "ß !ß "Ñ

linealmente independiente ( uno no es múltiplo del otro ). Luego, dicho conjunto genera a y además es linealmenteWindependiente; es decir˜ ™Ð"ß $ß "ß !Ñß Ð #ß "ß !ß "Ñ W .37 W œ # Þ es BASE DE y

(12.4) :SOLUCIÓN Como .37‘% œ %ß se deben AGREGAR dos vectores que seanlinealmente independientes con los vectores del conjunto˜ ™Ð"ß $ß "ß !Ñß Ð #ß "ß !ß "Ñ para formar una base de ‘%. Por ejemplo,˜ ™Ð"ß $ß "ß !Ñß Ð #ß "ß !ß "Ñ Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !ß !Ñ, es base de ‘%.

PROBLEMA 3: Ð$Þ"Ñ : 13.TALLER N° 5 RESPUESTA: 1º) es base de si se verifican las siguientes dosE c#

condiciones: es linealmente independiente.3Ñ E es generador de , es decir: 33Ñ E 1/8 E œc c# #

como se sabe que , basta con probar UNA Y SOLO UNA DE.37 œ $c#

LAS CONDICIONES ANTERIORES. Verifiquemos la más simple que es 3Ñ ÀE/= PÞM Í Ð Ñ Ð#B $Ñ ÐB #Ñ œ ! œ œ œ !! " # ! " #"

%# Ê

En efecto: ! " #Ð Ñ Ð#B $Ñ ÐB #Ñ œ !"%

#

Ê Ð "%

#! " # " # $ # Ñ # B B œ !

2º) Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

cuya única solución es "

% $ # œ œ œ œ !

# œ

œ

! " # ! " #

"

#

!

!

!

3º) Luego; el conjunto es base de ˜ ™"%

##à #B $ à B # c



PÁG. 266



Ð$Þ#Ñ : 15.TALLER N° 5 RESPUESTA: (15.1) 1º) es base de si se verifican las siguientes dosE ‘%

condiciones: es linealmente independiente.3Ñ E es generador de , es decir: 33Ñ E 1/8 E œ‘ ‘% %

como se sabe que , basta con probar UNA Y SOLO UNA DE.37 œ %‘%

LAS CONDICIONES ANTERIORES. Verifiquemos ahora ; es decir33Ñ tal quea ÐBß Cß Dß >Ñ − à b ß ß ß −‘ ! " # - ‘%

ÐBß Cß Dß >Ñ œ Ð"ß !ß !ß !Ñ Ð"ß "ß !ß !Ñ Ð!ß "ß "ß !Ñ Ð!ß !ß #ß #Ñ! " # -

2º) Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: ! "

" #

# -

-

œ B

œ

# œ D

# œ >

C

cuya solución es À! " # -œ B C D > à œ C D > à œ > D à œ >"

#

lo cual significa que ya que TODO SE1/8 E œ ÐBß Cß Dß >Ñ −‘ ‘% %

PUEDE EXPRESAR COMO COMBINACIÓN LINEAL DE EÞ En efecto: ÐBß Cß Dß >Ñ œ œ ÐB C D >Ñ Ð"ß !ß !ß !Ñ ÐC D >Ñ Ð"ß "ß !ß !Ñ Ð> DÑ Ð!ß "ß "ß !Ñ Ð >Ñ Ð!ß !ß #ß #Ñ"

#

3º) es base de ˜ ™Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "ß !Ñß Ð!ß !ß #ß #Ñ ‘%

(15.2) 1º) F /= PÞM Í

! " ! "Ð"ß !ß #ß "Ñ Ð$ß !ß %ß #Ñ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ œ œ !Ê En efecto: ! "Ð"ß !ß #ß "Ñ Ð$ß !ß %ß #Ñ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ

2º) Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: cuya única solución es ! " ! "

! "

! "

$ œ œ œ !

# % œ

# œ

!

!

!

3º) Luego; el conjunto F /= PÞM Þ

(NOTAR QUE es inmediato que . ; ya que como tiene dos vectores,F /= PÞMestos no son múltiplos entre sí)



PÁG. 267



(15.3) F œ Ð"ß !ß #ß "Ñß Ð$ß !ß %ß #Ñß Ð!ß "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñ˜ ™/= PÞM Þ .37 œ % à ; y como son 4 vectores y se tiene que‘%

˜ ™Ð"ß !ß #ß "Ñß Ð$ß !ß %ß #Ñß Ð!ß "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñ

es una base de .‘%

PROBLEMA 4: Ð%Þ"Ñ : (18.2)TALLER N° 5 RESPUESTA: NO, ya que NO EXISTEN ESCALARES tal que! " # ‘ß ß −

Œ Œ Œ Œ " " " " " " " "# $ " " ! " ! !

œ ! " #

Ð%Þ#Ñ : 21.TALLER N° 5 RESPUESTA: .DEM 1º) Se sabe que: espacio vectorial sobre el cuerpo Z O base de F Z 2º) base de tal F Z Ê 1/8 F œ Z Ê b ß ß ÞÞÞß − O! ! !" # 8

que se tiene que a @ − Z @ œ @!3œ"

8

3 3!

3º) : Supongamos que existen otros escalaresUNICIDAD

" " " "" # 8 3 33œ"

8

ß ß ÞÞÞß − O a @ − Z @ œ @ tal que se tiene que .! Luego se tiene que: @ œ @ œ @! !

3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3! "

Ê @ @ œ ! Ê Ð Ñ@ œ ! F , como L.I.! ! !3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8

3 3 3 3 3 3 3! " ! "

Ê Ð Ñ œ ! Ê œ à a 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 ! " ! "3 3 3 3

Por lo tanto, los escalares son ÚNICOS.

PROBLEMA 5: Ð&Þ"Ñ : 1.TALLER N° 6

RESPUESTA: c dÔ ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

:ÐBÑ œ # %F

"$&

#&

Se deben determinar escalares tal que! " # - ‘ß ß ß − :ÐBÑ œ Ð"Ñ ÐBÑ Ð B Ñ Ð B Ñ! " # -$ " & $

# # # ## $

! " # -œ œ # œ % œ"$ #& &



PÁG. 268



Ð&Þ#Ñ : 3.TALLER N° 6

(3.1) RESPUESTA: c dÎ ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

E œ

" " ! "! # ! #! ! " "! # ! !

F#

F"

(3.2) RESPUESTA: ” •Œ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" $ *% & (

œ

&

%F#

c d c dÎ Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò


E @ œ œ

" " ! " &! # ! # *! ! " " (! # ! ! %

#

F#

F" F"

"#

"#"$#

(3.3) RESPUESTA: c dÎ ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

E œ

" ! !

! ! !

! "

! !

F"

F#

"#

"#

" "# #

" "# #

Ð E Ñ œ

" ! !

! ! !

! "

! !

c dÎ ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

F#

F"

"

"#

"#

" "# #

" "# #



PÁG. 269





PROBLEMA 1: (1.1) : 1.TALLER N° 6

RESPUESTA: c dÔ ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

:ÐBÑ œ # %F

"$&

#&

Se deben determinar escalares tal que! " # - ‘ß ß ß −

:ÐBÑ œ Ð"Ñ ÐBÑ Ð B Ñ Ð B Ñ! " # -$ " & $# # # #

# $

! " # -œ œ # œ % œ"$ #& &

(1.2) : (4.1)TALLER N° 6 RESPUESTA: Se debe verificar que: a ÐB ß C Ñß ÐB ß C Ñ − a −" " # # ‘ ‘# à !

Ê XÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ X ÐB ß C Ñ X ÐB ß C Ñ" " # # " " # #! !

VERIFICACIÓN:

X ÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ X ÐB B ß C C Ñ" " # # " # " #! ! !

œ ÐB B ß ÐB B Ñ DÑ œ ÐB ß B DÑ Ð B ß B Ñ" # " # " " # #! ! ! !

œ ÐB ß B Ñ ÐB ß B Ñ à =3 D œ !Þ" " # #!

œ XÐB ß C Ñ X ÐB ß C Ñ Þ" " # #!

Por lo tanto:

Si D œ !à X /= ><+8=09<7+-398 638/+6Þ

Si D Á !à X Ð!ß !Ñ œ Ð!ß DÑ Á Ð!ß !Ñà X 89 /= ><+8=09<7+-398 638/+6Þ



PÁG. 270



(1.3) : (4.3)TALLER N° 6 RESPUESTA: Se debe verificar que: a ÐB ß C Ñß ÐB ß C Ñ − a −" " # # ‘ ‘# à !

Ê YÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ YÐB ß C Ñ YÐB ß C Ñ" " # # " " # #! !

VERIFICACIÓN:

YÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ YÐB B ß C C Ñ" " # # " # " #! ! !

; œ ÐB B ß -9=ÐC C ÑÑ -9=ÐC C Ñ Á -9=ÐC Ñ -9=ÐC Ñ" # " # " # " #! ! ! !

Á ÐB ß -9= C Ñ ÐB ß -9= C Ñ Á YÐB ß C Ñ YÐB ß C Ñ Þ" " # # " " # #! !

Por lo tanto: Y 89 /= ><+8=09<7+-398 638/+6Þ

SXVEJSVQE À YÐ!ß !Ñ œ Ð!ß "Ñ Á Ð!ß !Ñà Y 89 /= X ÞPÞ

PROBLEMA 2: TALLER N° 6 : 7. RESPUESTA: X Ð"ß "ß "Ñ œ Ð ß Ñ"* &

' $

X ÐBß Cß DÑ œ Ð#B C D C DÑ" # " "# $ # $ ,

1°) Verifique que .˜ ™Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß #ß !Ñ Ð!ß !ß $Ñ, es base de ‘$

2°) Exprese Ð"ß "ß "Ñ œ !Ð"ß !ß !Ñ Ð!ß #ß !Ñ Ð!ß !ß $Ñ" #

Exprese ÐBß Cß DÑ œ !Ð"ß !ß !Ñ Ð!ß #ß !Ñ Ð!ß !ß $Ñ" #

3°) Aplique X ><+8=09<7+-398 638/+6.

PROBLEMA 3: Ð$Þ"Ñ : (9.1)TALLER N° 6 RESPUESTA: O/< ÐX Ñ œ 1/8 Ð %ß $ß "Ñ à˜ ™ 8?63.+. œ " à <+819 œ #

1º) Resuelva el sistema #B $C D œ !

B %D œ !

2°) Aplique .37 œ 8?63.+. <+819‘$



PÁG. 271



Ð$Þ#Ñ : (9.4)TALLER N° 6 RESPUESTA: O/< ÐX Ñ œ ! à˜ ™Z

8?63.+. œ ! à <+819 œ .37 Z

Aplique .37 Z œ 8?63.+. <+819


X Ð+ ,B -B .B Ñ œ + #, %- %. , #- #.

+ , $- %. , - .# $ Œ

O/< ÐX Ñ œ ! à M7 ÐX Ñ œ˜ ™c$`

#B#

8?63.+. œ ! à <+819 œ %

1°) Verifique que , , , ˜ ™Ð" B B B Ñ Ð" B B Ñ Ð" BÑ# $ # Ð "Ñ esbase de c$.

2°) Exprese + ,B -B .B œ# $

œ " B B B Ñ Ð" B B Ñ Ð" BÑ !Ð # $ # " # -Ð "Ñ

3°) Aplique X ><+8=09<7+-398 638/+6.

4°) Aplique .37 œ 8?63.+. <+819c$



PÁG. 272



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 25052007FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CON LÁPIZ PASTA PRUEBA PARCIAL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL

NOMBRE________________________________________

RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 NOTAPUNTAJEPOR FAVOR: SEA ORDENADO EN ELDESARROLLO DE SUS RESPUESTAS. ELDESARROLLO VA EN LAS PÁGINAS ENBLANCO DETRÁS DE DONDE ESTÁIMPRESA ESTA PRUEBA con LÁPIZ PASTA. (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS)

LEA ESTAS INSTRUCCIONES:A) A continuación se le presentan 6 problemas, de los cuales; enalgunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y serregistrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente,cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS ENBLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LAPRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde.B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS QUE NO TENGANSU DESARROLLO, SI LO REQUIEREN !!C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba.D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !!E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !!F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOSCÁLCULOS).



PÁG. 273



PREGUNTA 1: Coloque en el de la COLUMNA 2; el número que le corresponde de la COLUMNA 1 COLUMNA 1 COLUMNA 2

1

2

3

a − Oà aA ß A − [ Ê A A − [! !" # " #

independencia lineal

combinación lineal1/8˜ ™@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @

œ

" # 8

3! ! Ê @ œ ! à a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8

@ − Z Î@ œ @

!

˜ ™!

3œ"

8

3œ"

8

!

!

3 3

3 3

transformación lineal

subespacio vectorial

transform

4

5

6

X Ð@ @ Ñ œ XÐ@ Ñ X Ð@ Ñ

O/< ÐX Ñ

" # " #! !

X ación lineal

Ê <+819 ./ X @ − Z Î X Ð@Ñ œ !

.37 ÐM7 ÐX ÑÑ

˜ ™[

SE DESCUENTA UN PUNTO PORCADA ERRADA EN COLUMNA 2

PREGUNTA 2: Considere la matriz E œÎ ÑÏ Ò

! ! #3$3 3 !! #3 %3

( SIMPLIFICAR y CALCULAR LO QUE CORRESPONDA ):

(2.1) +.4E œÎ ÑÏ Ò_____ _____ __________ _____ __________ _____ _____

_____ y ./> E œ

(2.2) E œ"Î ÑÏ Ò_____ _____ __________ _____ __________ _____ _____

PREGUNTA 3: Considere el sistema de ecuaciones: B &C A œ "

#B C $D #A œ "

B #C D A œ !

%B C $D #A œ "



PÁG. 274



(3.1) La solución general (SI EXISTE) para las variables B ß C ß Des:

____________ ____________ ____________B œ C œ D œ

(3.2) Considerando el conjunto solución del sistema deWecuaciones (SI EXISTE) como un subconjunto de ‘% :

¿ Es W subespacio vectorial de ‘% ? __________________

¿ Por qué ? ________________________________________

PREGUNTA 4: Dado el siguiente conjunto

E œ ß ß §" " " " " "

" " " ! ! !˜ ™Œ Œ Œ ` ‘

# B#Ð Ñ

(4.1) ESCRIBA (SI ES POSIBLE) Las coordenadas deÞ

Œ # ! " #

con respecto al conjunto es E Ô ×Õ Ø_______________

(4.2) Dada la matriz Œ B CD >

.

La condición algebraica que deben cumplir paraBß Cß Dß > − ‘

que Œ B CD >

− 1/8E es

_______________________________________________________

(4.3) Considerando EXCLUSIVAMENTE LOS VECTORES DELCONJUNTO , construya (completando o eliminando siEcorresponde) una base de ` ‘

# B#Ð Ñ .

_______________________________________________________



PÁG. 275



PREGUNTA 5: La matriz de transición o matriz de cambio de base;de la base a la base F œ Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñ

"˜ ™

F œ Ð!ß !ß "Ñß Ð!ß "ß "Ñß Ð "ß "ß "Ñ#

˜ ™está dada por:

’ “E œF

F

"

# Î ÑÏ Ò_____ _____ __________ _____ __________ _____ _____

( AYUDA: Debe expresar como combinación lineal los vectores de labase F F" # en términos de la base )

PREGUNTA 6: Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘

# B# " definida por

X œ Ð+ .Ñ Ð- ,ÑB+ ,- .Œ

(6.1) Una ,+=/ ./6 O/< Ð XÑ es

_______________________________________________________

(6.2) La es .37ÐM7X Ñ __________________________

NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 4. = 5. = 6.= 10 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1 TIEMPO: 2 horas.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE SUS RESPUESTAS, EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA !!



PÁG. 276



PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL

PREGUNTA 1: COLUMNA 1 COLUMNA 2

1

2

3

a − Oà aA ß A − [ Ê A A − [! !" # " #

independencia lineal

combinación lineal1/8˜ ™@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @

œ

" # 8

3! ! Ê @ œ ! à a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8

@ − Z Î@ œ @

!

˜ ™!

3œ"

8

3œ"

8

!

!

3 3

3 3

4

4 1

5 2

6

transformación lineal

subespacio vectorial

transf

X Ð@ @ Ñ œ XÐ@ Ñ X Ð@ Ñ

O/< ÐX Ñ

" # " #! !

X ormación lineal

Ê <+819 ./ X @ − Z Î X Ð@Ñ œ !

.37 ÐM7 ÐX ÑÑ

5

6

˜ ™[

PREGUNTA 2: (2.1) SOLUCIÓN:1°) Para obtener +.4E calculamos:MATRIZ DE COFACTORES donde Ð E Ñ E œ Ð "Ñ ./> Q34 34 34

34

E œ ./> œ % E œ ./> œ "#3 ! $3 !

#3 %3 ! %3"" "#Œ Œ E œ ./> œ ' E œ ./> œ %

$3 3 ! #3! #3 #3 %3"$ #"Œ Œ

E œ ./> œ ! E œ ./> œ !! #3 ! !! %3 ! #3## #$Œ Œ

E œ ./> œ # E œ ./> œ '! #3 ! #33 ! $3 !$" $#Œ Œ

E œ ./> œ !Þ! !$3 3$$ Œ

Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ % "# '% ! !# ' !

Î ÑÏ Ò



PÁG. 277



MATRIZ ADJUNTA:

F œ +.4 ÐEÑ œ % % #"# ! '' ! !

>Î ÑÏ Ò

(se descuenta un punto por cada término incorrecto)2°) Por fila 1:

./>Î ÑÏ Ò Œ ! ! #3

$3 3 !! #3 %3

œ Ð#3Ñ ./> œ "#3$3 3! #3

(2.2)

+.4 E./> E "# 3

"œÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

% % # % % #"# ! ' "# ! '' ! ! ' ! !

œ 3"#



" & ! " " " & ! " "# " $ # " ! * $ ! $" # " " ! ! $ " ! "% " $ # " ! #" $ ' $

Ä

Ä Ä

" ! "

! " !

! ! ! ! ! ! ! " "! ! % ' %

" ! ! "

! " ! !

! ! ! ! !



& #$ $

" "$ $

$#

"#$#

B œ " A C œ A D œ " A$ " $# # #

(3.2) NO ya que ß Ð! ß ! ß ! ß !Ñ Â W .

PREGUNTA 4: (4.1) :SOLUCIÓNSe deben determinar escalares ! " # , , − ‘ tal que

Œ Œ Œ Œ # ! " " " " " " " # " " " ! ! !

œ ! " #

determinándose el sistema de ecuaciones:



PÁG. 278



! " #

! " #

! "

!

œ #

!

œ "

œ #

œ

Ê ! " #œ # à œ " à œ "

Por lo tanto, ” • Ô ×Õ ØŒ # !

" #E

œ#"

"

(4.2) :SOLUCIÓN

Œ B CD >

− −1/8E Í b! " # , , ‘ tal que

Œ Œ Œ Œ B C " " " " " "D > " " " ! ! !

œ ! " #

determinándose el sistema de ecuaciones:! " #

! " #

! "

!

œ B

œ D

œ >

œ C

Ê ! " #œ > à œ D > à œ C D

Por lo tanto, la condición es ; es decir:! " # œ B > D > C D œ B Ê B C #D #> œ ! (4.3) Como .37` ‘

# B#Ð Ñ œ % y E tiene 3 vectores linealmente

independientes, se tiene completando una base de ` ‘# B#

Ð Ñ À

˜ ™Œ Œ Œ Œ " " " " " " " ! " " " ! ! ! ! !

ß ß ,

PREGUNTA 5: SOLUCIÓN:Sea ÐB ß C ß DÑ − F −" . Determinemos escalares ! " # , , ‘ talque ÐB ß C ß DÑ œ ! " #Ð!ß !ß "Ñ Ð!ß "ß "Ñ Ð "ß "ß "Ñdeterminándose el sistema de ecuaciones: œ B

œ C

œ D

#

" #

! " #

Ê œ C D ß œ B C ß œ B! " #



PÁG. 279



Luego:Ð"ß "ß "Ñ Ð!ß !ß "Ñ Ð!ß "ß "Ñ Ð "ß "ß "Ñœ ! ! "Ð ÑÐ"ß "ß !Ñ Ð!ß !ß "Ñ Ð!ß "ß "Ñ Ð "ß "ß "Ñœ " ! "Ð ÑÐ"ß !ß !Ñ Ð!ß !ß "Ñ Ð!ß "ß "Ñ Ð "ß "ß "Ñœ ! " "Ð ÑPor lo tanto, la matriz de transición

’ “E œF

F

"

# Î ÑÏ Ò

! " !! ! "

" " "


O/< Ð XÑ œ Ð ÑÎX œ !+ , + ,- . - .œ Œ Œ − ` ‘

# B#

Ê Ð+ .Ñ Ð- ,ÑB œ ! Ê + . œ !

- , œ !

Ê + œ . ß , œ - Þ Por lo tanto:

O/< Ð XÑ œ Ð ÑÎ - ß . . -- .œ Œ − −` ‘ ‘

# B#

O/< Ð XÑ œ - . Î - ß .! " " !" ! ! "œ Œ Œ − ‘

O/< Ð XÑ œ 1/8 ß! " " !" ! ! "œ Œ Œ

como además es claramente linealmente independiente, entonces

œ Œ Œ ! " " !" ! ! "

ß X Ñ es base del O/< Ð .

(6.2) SOLUCIÓN:Como .37 Ð Ñ œ .37 XÑ .37ÐM7X Ñ` ‘

# B#O/< Ð

% œ # .37ÐM7X ÑPor lo tanto .37ÐM7X Ñ œ #



PÁG. 280




PRUEBA PARCIAL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL

NOMBRE________________________________________

RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA 1 2 3 4 5 NOTAPUNTAJEPOR FAVOR: SEA ORDENADO EN ELDESARROLLO DE SUS RESPUESTAS. ELDESARROLLO VA EN LAS PÁGINAS ENBLANCO DETRÁS DE DONDE ESTÁIMPRESA ESTA PRUEBA. (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!




PÁG. 281



1. Considere (reales positivos) y el cuerpo Z œ O œ‘ ‘

con la suma vectorial y producto escalar definido por ww wwŠ ww ww

a − ß a Bà C − À B Š C œ BC à B œ B! ‘ ‘ ! !

(1.1) Calcule el resultado de: a) Ð" Š "Ñ # œ ______

b) c) ‘Ð "Ñ Ð" Š # œ # œ$ Š !Ñ______ ______ d) ‘ ‘Ð" Ð "ÑŠ "Ñ # $ Ð Š #Ñ œ ______ SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad de:(1.2) la operación está bien definida para que sea Z œ ‘

espacio vextorial sobre el cuerpo O œ ‘ .

_______________________________________________________(1.3) distributividad del escalar para que sea espacioZ œ ‘

vextorial sobre el cuerpo O œ ‘ .

_______________________________________________________

(1.4) El NEUTRO ADITIVO (SI EXISTE) es / / œ ________

2. Dado el sistema de ecuaciones B %C D œ !

#B C &D œ !(2.1) El conjunto solución del sistema esW

W œ _________________________________________________(2.2) Un conjunto finito de vectores que genere a es W

1/8W œ ______________________________________________

(2.3) Una base de ________________________________W es (2.4) A partir de los vectores en la base de W construyacompletando si corresponde a una base de ‘$ À

_______________________________________________________



PÁG. 282



3. Dado el siguiente conjunto E œ " ßB " ßB #B " §˜ ™# c# Þ ( : c# conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2)(3.1) El valor de los escalares tal que! " # ; ; ! " #Ð"Ñ Ð ÐB "Ñ B #B "Ñ œ !# son

! " #œ œ œ______ ______ ______ à y se dice entonces

que es _________________________________________E (3.2) ESCRIBA (SI ES POSIBLE) el vector como" #B B#

una combinación lineal de los vectores del conjunto .E

_____________________________________________________

(3.3) El valor de los escalares tal que! " # ; ; + + B + B œ B "Ñ B #B "Ñ! " #

# #! " #Ð"Ñ Ð Ð son

! " #œ œ œ___________ ___________ ___________

y se dice entonces que es _________________________E

(3.4) Considerando EXCLUSIVAMENTE LOS VECTORES DELCONJUNTO , construya (completando o eliminando siEcorresponde) una base de c# .

_____________________________________________________

4. USANDO LO SIGUIENTE: Sean espacio vectorial sobre el cuerpo ; de dimensión ;Z O 8 F œ ? ß? ß Þ Þ Þ ß ? F œ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z

" " # 8 # " # 8˜ ™ ˜ ™ y bases de Þ

Si , entonces podemos escribirlo como combinación lineal@ − Zde ambas bases y :F F

" #

@ œ ? ? ? Þ Þ Þ ?! ! ! !" " # # $ $ 8 8

y @ œ @ @ @ Þ Þ Þ @" " " "

" " # # $ $ 8 8 ; RESPECTIVAMENTE

con para todo ; ! "3 3

− O 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 Þ



PÁG. 283



Las COORDENADAS DEL VECTOR respecto de la base@ − ZF F

" # y respecto de la base están definidas por:

y respectivamente.Ò@Ó œ Ò@Ó œÞÞÞ ÞÞÞ

F F" #

" "

# #

$ $

8 8


! "

! "

! "

! "

CONTESTE LO SIGUIENTE: Sea el espacio vectorial‘#

sobre el cuerpo ; dotado de las operaciones usuales; y sean‘

F œ" š › š ›Ð"ß "Ñà Ð"ß "Ñ Ð"ß !Ñà Ð!ß "Ñy bases de F œ

#‘#

(4.1) Calcule:

a) b)– — – —Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

Ð " ß #Ñ œ Ð " ß #Ñ œ

F F" #

(4.2) La matriz de transición o cambio de base, de F F" # a está

dada por: ’ “Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

E œF

F

#

"

(4.3) Calcule: ’ “ ’ “EF

F F

#

" "

Ð " ß #Ñ œ


(4.4) Calcule: Ð Ð " ß #Ñ’ “E Ñ œF

F

"

F

#

"#

– —Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò



PÁG. 284



5. Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Ä` ‘ ‘

# B## definida por

X œ ÐB > ß D CÑB CD >Œ

(5.1) Calcule:X œ ßX œ" " " "" " " !Œ Œ _______ _______

_______ _______X œ ßX œ" " " !! ! ! !Œ Œ

(5.2) Una ,+=/ ./6 O/< Ð XÑ es _________________________

(5.3) La es .37ÐM7X Ñ __________________________

NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 4. = 5. = 12 PUNTOS.





PÁG. 285



PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL Nº1 ÁLGEBRA LINEAL (SEM 2-2006)1. (1.1) a) Ð" ÐŠ "Ñ "Ñ # œ # œ # œ #"

b) ‘ ‘ ‘Ð "Ñ Š # œ Š # œ Š # œ$ $" "$

#$

c) no està definido, ya queÐ" Š !Ñ # œ ! Â ‘

d) ‘ ‘ ‘Ð" Ð "ÑŠ "Ñ # $ # Ð Š #Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ œ# #$ $

# %*

(1.2) a − ß a B − À B −! ‘ ‘ ! ‘ (1.3) a − ß a B à C − À ÐB Š CÑ œ Ð BÑ Š Ð CÑ! ‘ ‘ ! ! !

(1.4) El NEUTRO ADITIVO (SI EXISTE) cumple que / a B − ß b x / − À ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B‘ ‘

I\MWXIRGME À ÐB Š /Ñ œ B Ê B/ œ B Ê / œ " ß B − ‘

Ð/ Š BÑ œ B Ê /B œ B Ê / œ " ß B − ‘

luego; existe / œ " − ‘

ÐY RMGMHEH À / − ÀSupongamos que existe otro ‡‘

Ð/ Š / Ñ œ / Ê // œ / Ê Þ Ñ‡ ‡ / œ " / œ /‡ ‡Luego

2. (2.1) 1º) Formamos la matriz y reducimos por filas:

Œ Œ Œ " % " " % "# " & ! ( $ ! "

Ä Ä Ä" % " " !

! " $(

"*(

$(

2º) Luego: B œ D à C œ D"* $( (

Por lo tanto W œ ÐBß Cß DÑ − ÎB œ D à C œ Dš ›‘$ "* $( (

(2.2)

W œ Ð Dß Dß DÑ Î D − œ DÐ ß ß "Ñ Î D −š › š ›"* $ "* $( ( ( (‘ ‘

œ 1/8 Ð ß ß "Ñ 1/8 W œ Ð ß ß "Ñš › š ›"* $ "* $( ( ( (. Luego, .

(2.3) ,+=/ ./ W œ Ð ß ß "Ñš ›"* $( ( , pues además es L.I.

(2.4) š ›Ð ß ß "Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñ"* $( ( es obviamente base de ‘$.



PÁG. 286



3. (3.1) Formamos el siguiente sistema: ! " #

" #

#

œ !

# œ !

œ !

Ê à! " #œ œ œ !y se dice entonces que es .E LINEALMENTE INDEPENDIENTE(3.2) 1º) " #B B œ Ð"Ñ Ð Ð# ! " #B "Ñ B #B "Ñ#

2º) Formamos el siguiente sistema: ! " #

" #

#

œ "

# œ #

œ "

Ê ! " #œ % à œ % à œ " 3º) Luego: escrito como combinación lineal:" #B B# Ð %Ñ Ð"Ñ Ð %Ñ Ð ÐB "Ñ Ð"Ñ B #B "Ñ# (3.3) 1º) + + B + B œ B "Ñ B #B "Ñ! " #

# #! " #Ð"Ñ Ð Ð2º) Formamos el siguiente sistema: ! " #

" #

#

œ

# œ

œ

+

+

+

!

"

#

3º) Luego: ! " #œ $ à œ # à œ+ + + + + +! " # " # #

y se dice entonces que esE GENERADOR DE c# .(3.4) base de c# : ˜ ™" ßB " ßB #B " #

4. (4.1) a) Se deben determinar escalares ! !" #; tal que:

Ð " ß #Ñ œ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ! !" #

determinando el siguiente sistema ! !

! !" #

" #

œ "

œ #

Ê ! !" #" $# #œ à œ

Luego: – —Ð " ß #Ñ œ

F"

"#

$#

b) base canónica F#

#

– —Ð " ß #Ñ œ

F

Œ "#



PÁG. 287



(4.2) 1º) Expresar cada vector de como combinación linealF"

de los vectores de ; es decir encontrar escalares F à à à# " # " #

! ! " "tal queÐ"ß "Ñ œ Ê! ! ! !

" # " #Ð"ß !Ñ Ð!ß "Ñ œ " à œ "

Ð"ß "Ñ œ Ê" " " "" # " #Ð"ß !Ñ Ð!ß "Ñ œ " à œ "

2º) ’ “E œ œF

F

#

" Œ ! "

! "

" "

# #

" "" "

(4.3)

’ “ ’ “EF

F F

#

" "

Ð " ß #Ñ œŒ " "" " "

#$#

œŒ – — "#

œ Ð " ß #Ñ

F#

(4.4) Ð Ð " ß #Ñ Ð " ß #Ñ œ’ “ ’ “E Ñ œ EF F

F F

"

F F

# "

" ## #

– — – —œ

’ “Ð " ß #Ñ œ

F" "

#$#

; por propiedad.

O bien:

1º) Determinar Ð’ “ Œ E Ñ œ" "" "

F

F

" "#

#

"

Œ Œ " " " ! " " " !" " ! " ! # " "

Ä Ä" !

! "

" "# #" "# #

2º)Ð’ “E ÑF

F

"

F

#

"#

– —Ð " ß #Ñ œ

œ œ "#

"#

"#

$#

Œ " "" " Œ



PÁG. 288



5.

(5.1) X œ Ð# ß !Ñ X œ Ð" ß !Ñ" " " "" " " !Œ Œ

X œ Ð" ß "Ñ X œ Ð" ß !Ñ" " " !! ! ! !Œ Œ

(5.2) O/<ÐX Ñ œ − Ð ÑÎX œ Ð!ß !ÑB C B CD > D > ŸŒ Œ ` ‘

#B #

X œ Ð!ß !Ñ Ê ÐB > ß D CÑ œ Ð!ß !ÑB CD >Œ

Ê B > œ ! Ê B œ > à C œ D

C D œ !

Por lo tanto:

O/< Ð XÑ œ ÎD ß > − > DD >

ŸŒ ‘

œ D > Î D ß > −! " " !" ! ! " ŸŒ Œ ‘

(œ 1/8 ß! " " !" ! ! " ŸŒ Œ notar que son L.I.)

Finalmente, ,+=/ ./6 O/< Ð XÑ es ŸŒ Œ ! " " !" ! ! "

ß

(5.3) M7X œ ÐB > ß D CÑÎBß Cß D ß > − Ÿ‘ œ BÐ"ß !Ñ CÐ!ß "Ñ DÐ!ß "Ñ >Ð"ß !ÑÎBß Cß D ß > − Ÿ‘

œ 1/8 Ð"ß !Ñà Ð!ß "Ñà Ð!ß "Ñà Ð"ß !Ñ œ 1/8 Ð"ß !Ñà Ð!ß "Ñ Ÿ ŸPor lo tanto M7X œ ‘# Þ

Finalmente, .37ÐM7X Ñ es # Þ



PÁG. 289




UNIDAD N° 5: TRANSFORMACIONES LINEALES

TEMA 3: REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA T LÞ Þ

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular las imágenes de ciertos vectores aplicados a la fórmula que define una transformación l

ineal. OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir las imágenes como combinación linealde una base del espacio de llegada de la transformación lineal.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la representación matricial de la transformación lineal.

(3.1) :DEFINICIÓN Sean y espacios vectoriales sobre el cuerpo de dimensiónZ [ Šfinita y respectivamente;8 7 una TRANSFORMACIÓN LINEAL DE en y X À Z Ä [ Z [ F œ @ ß @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ ß F œ A ß A ß A ß Þ Þ Þ ß A

Z " # $ 8 [ " # $ 7˜ ™ ˜ ™

bases respectivas de y Z [ Þ

Se llama REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE LA TRANSFORMACIÓNLINEAL X F Frespecto de las bases y a la matriz que denotaremos

Z [

por y que se obtiene de la manera siguiente: ‘X œ EFZ

F[

X

(3.1.1) Se obtienen las imágenes bajo de cada uno de los vectores de laXbase ; es decir:F œ @ ß @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @

Z " # $ 8˜ ™

X Ð@ Ñ à X Ð@ Ñ à Þ Þ Þ à X Ð@ Ñ à Þ Þ Þ à X Ð@ Ñ" # 4 8

(3.1.2) Tales imágenes se expresan como combinación lineal de losvectores de la base ; es decir:F œ A ß A ß A ß Þ Þ Þ ß A

[ " # $ 7˜ ™

X Ð@ Ñ œ + A + A ÞÞÞ + A ÞÞÞ + A" "" " #" # 3" 3 7" 7

X Ð@ Ñ œ + A + A ÞÞÞ + A ÞÞÞ + A# "# " ## # 3# 3 7# 7

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ

X Ð@ Ñ œ + A + A ÞÞÞ + A ÞÞÞ + A4 "4 " #4 # 34 3 74 7

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ

X Ð@ Ñ œ + A + A ÞÞÞ + A ÞÞÞ + A8 "8 " #8 # 38 3 78 7



PÁG. 290



(3.1.3) De donde se obtiene la representación matricial dada por:

‘Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

X œ E œ




ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ+ + ÞÞ

FZ

F[

X

"" "# "4 "8

#" ## #4 #8

3" 3# 34 38

7" 7#Þ + ÞÞÞ +

œ Ð+ Ñ

74 78

34

(3.2) :OBSERVACIÓN

a) Note que ‘Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

X Ð@ Ñ œ 4 œ " ß # ß $ ß Þ Þ Þ ß 8

+

+

ÞÞÞ+

ÞÞÞ+

4 F[

"4

#4

34

74

son las respectivas columnas de la representación matricial . ‘X œ EFZ

F[

X

b) Note que (que es el espacio de partida de la T.L.) y.37 Z œ 8.37 [ œ 7 (que es el espacio de llegada de la T.L.) ; y la representaciónmatricial de la T.L. es una matriz de orden , es decir 7 B 8

‘X œ E − ÐOÑÞFZ

F[

X 7 B8`

(3.3) :EJEMPLOS(3.3.1) Considere la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ c ‘#

"; definida por

, )X Ð+ ,Ñ œ Ð+ , Ð+ , Ñ B Sean las para y para bases ORDENADAS ‘ c ‘#

"Ð Ñ

respectivamente .F œ Ð Ð" à F œ" #

˜ ™ ˜ ™"ß #Ñ ß ß "Ñ " B ß B

Encuentre la representación matricial de respecto de estas bases.XSOLUCIÓN:1º) Obtener la imágen bajo de los elementos de la base X F

":

X Ð "ß #Ñ œ $ B XÐ ß "Ñ œ # "

2º) Expresar cada imágen obtenida en 1º) como combinación lineal de labase F

#; es decir:

X Ð "ß #Ñ œ $ B œ " BÑ BÑ ! "Ð Ð X Ð ß "Ñ œ # œ " BÑ BÑ" # -Ð Ðde donde se tiene: ! " # -œ $ à œ % à œ # à œ #

3º) Luego, la representación matricial de es:X

‘ Œ Œ X œ œF

F#

"

! #

" -

$ # % #



PÁG. 291



(3.3.2) ; Considere la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ ` ‘##B#

X ÐB ß CÑ œB C B C

B C” • Sean las para y para bases ORDENADAS ‘ ` ‘#

#B#Ð Ñ

respectivamente F œ Ð Ð"

˜ ™"ß "Ñ ß "ß "Ñ

.F œ# œ ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !ß ß ß

Encuentre la representación matricial de respecto de estas bases.XSOLUCIÓN:1º) Obtener la imágen bajo de los elementos de la base X F

":

X Ð"ß "Ñ œ X Ð ß "Ñ œ# ! ! #" " " "” • ” •"

2º) Expresar cada imágen obtenida en 1º) como combinación lineal de labase F

#; es decir:

” • ” • ” • ” • ” •# ! " " " " " " " !" " " " " ! ! ! ! !

œ ! " # -" " " "

” • ” • ” • ” • ” •! # " " " " " " " !" " " " " ! ! ! ! !

œ ! " # -# # # #

de donde se tiene: ! " # -" " " "œ " à œ ! à œ " à œ #

! " # -# # # #œ " à œ # à œ " à œ #


‘ Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò

X œ œ

" "! #

" "# #

F

F#

"

! !

" "

# #

- -

" #

" #

" #

" #

(3.3.3) Sea definida por:X À Ä‘ ‘% %

X ÐBß Cß Dß >Ñ œ ÐB C D > ß B C D ß B C ß BÑ Considere la base canónica F X

"para el dominio de y la base

para el espacioF œ Ð#

˜ ™"ß "ß "ß "Ñß Ð"ß "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð"ß !ß !ß !Ñ

de llegada de X Þ Encuentre la representación matricial de respecto de estas bases.XSOLUCIÓN:1º) La base F œ Ð

"˜ ™"ß !ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "ß !Ñß Ð!ß !ß !ß "Ñ y las

imágenes bajo de esta son:XX "ß !ß !ß !Ñ œ Ð" ß " ß " ß "Ñ à X Ð!ß "ß !ß !Ñ œ Ð" ß " ß " ß !ÑÐ

X Ð!ß !ß "ß !Ñ œ Ð" ß " ß ! ß !Ñ à X Ð!ß !ß !ß "Ñ œ Ð"ß !ß !ß !Ñ



PÁG. 292



2º) Expresar cada imágen, como combinación lineal de F#

ÐBß Cß Dß >Ñ œ "ß "ß "ß "Ñ Ð"ß "ß "ß !Ñ Ð"ß "ß !ß !Ñ Ð"ß !ß !ß !Ñ! " # $ÐÐBß Cß Dß >Ñ œ > "ß "ß "ß "Ñ ÐD >ÑÐ"ß "ß "ß !Ñ ÐC DÑÐ"ß "ß !ß !Ñ ÐB CÑÐ"ß !ß !ß !ÑÐ

Luego:Ð" ß " ß " ß "Ñ œ Ð "Ñ "ß "ß "ß "Ñ !Ð"ß "ß "ß !Ñ #Ð"ß "ß !ß !Ñ !Ð"ß !ß !ß !ÑÐ

Ð" ß " ß " ß !Ñ œ ! "ß "ß "ß "Ñ Ð "ÑÐ"ß "ß "ß !Ñ #Ð"ß "ß !ß !Ñ !Ð"ß !ß !ß !ÑÐ

Ð" ß " ß ! ß !Ñ œ ! "ß "ß "ß "Ñ !Ð"ß "ß "ß !Ñ "Ð"ß "ß !ß !Ñ !Ð"ß !ß !ß !ÑÐ

Ð"ß !ß !ß !Ñ œ ! "ß "ß "ß "Ñ !Ð"ß "ß "ß !Ñ !Ð"ß "ß !ß !Ñ "Ð"ß !ß !ß !ÑÐ

3º) Los escalares determinados en cada caso se colocan como lascolumnas de la matriz pedida:

Ò Ó œXF"

F#


" ! ! !! " ! !# # " !! ! ! "

(3.4) :TEOREMA Sean y espacios vectoriales sobre el cuerpo , de dimensiónZ [ Šfinita y respectivamente;8 7

una TRANSFORMACIÓN LINEAL DE en .X À Z Ä [ Z [

Si son basesF œ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ ß F œ A ß A ß Þ Þ Þ ß AZ " # 8 [ " # 7

˜ ™ ˜ ™respectivas de y Z [ Þ

Entonces existe una única REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE LATRANSFORMACIÓN LINEAL X F Frespecto de las bases y que

Z [

denotamos por tal que se verifica que: ‘X œ EFZ

F[

X

, o ‘ ‘ ‘ ‘ ‘X Ð@Ñ œ E @ X Ð@Ñ œ X @F F F F F[ Z [ Z Z

X

F[

donde:

‘@ @ − Z FFZ

Zson las coordenadas del vector respecto de

‘X Ð@Ñ X Ð@Ñ − [ FF[

[ son las coordenadas del vector respecto de

E œ X X F FX Z [FZ

F[ ‘ es la representación matricial de respecto de y .



PÁG. 293



(3.5) :EJEMPLOS

(3.5.1) En (3.3.1) tenemos que:

1°) , ‘ ‘ ” •X Ð@Ñ œ X Ð+ ,Ñ œ+ , # ,F[ "B ßBF œ#

˜ ™

( ya que , ) y ‘ ‘X Ð+ ,Ñ œ Ð+ , Ð+ , Ñ BF œ F œ# #

˜ ™ ˜ ™"B ßB "B ßB

Resolviendo lo siguiente: )Ð+ , Ð+ , Ñ B œ " BÑ BÑ! "Ð Ð

! ! "

! "

œ + , œ + , à œ # ,

œ + ,

Ê )

2°) E œ X œX FZ

F[ ‘ ‘ Œ X œF

F#

"

$ # % #

3°) ‘ ‘ ” •@ œ Ð+ ,Ñ œ+ ,#+ ,FZ "ß#Ñ ß ß"Ñ

, F œ Ð Ð""

˜ ™

( ya que , y ‘Ð+ ,ÑF œ Ð Ð""

˜ ™"ß#Ñ ß ß"Ñ

Resolviendo lo siguiente: , Ð+ ,Ñ œ "ß #Ñ ß "Ñ! "Ð Ð"

Ê

#

! " ! "

! "

œ + œ + , à œ #+ ,

œ ,

)

4°) Por lo tanto se verifica que:

‘ ‘ ‘X Ð@Ñ œ X @F F F[ Z Z

F[

, , ‘ ‘X Ð+ ,Ñ œ Ð+ ,ÑF œ F œ Ð Ð"# "

#

"˜ ™ ˜ ™"B ßB "ß#Ñ ß ß"Ñ

‘XF

F

” • ” •+ , + , # , #+ ,

œ Œ $ # % #



PÁG. 294



(3.5.2) En (3.3.2) tenemos que:

1°) ‘ ‘ Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

X Ð@Ñ œ X ÐB ß CÑ œ

CB C C#C

F[ " " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

ß ß ßF œ# œ ” • ” • ” • ” •

( ya que ‘X ÐB ß CÑF œ# œ ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !ß ß ß

yœB C B C

B C ‘” •

F œ# œ ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

ß ß ß

Resolviendo lo siguiente:

” • ” • ” • ” • ” •B C B C " " " " " " " !B C " " " ! ! ! ! !

œ ! " # -

! " # - ! " # -

! " #

! "

!

œ B C œ C à œ B C à œ C à œ #C

œ B C

œ B

œ C

)Ê

2°) E œ X œX FZ

F[ ‘ ‘ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

X œ

" "! #

" "# #

F

F#

"

3°) ‘ ‘ – —@ œ ÐB ß CÑ œFZ "ß"Ñ ß "ß"ÑF œ Ð Ð"

˜ ™"#"#

ÐB CÑ

ÐB CÑ

( ya que y ‘ÐB ß CÑF œ Ð Ð"

˜ ™"ß"Ñ ß "ß"Ñ

Resolviendo lo siguiente: ÐB ß CÑ œ "ß "Ñ ß "Ñ! "Ð Ð" ! " ! "

! "

œ B œ ÐB CÑ à œ ÐB CÑ

œ C

Ê " "# # )


‘ ‘ ‘X Ð@Ñ œ X @F F F[ Z Z

F[

‘ ‘X ÐB ß CÑ œ ÐB ß CÑF œ#

#

" F œ Ð Ð"œ ˜ ™” • ” • ” • ” •" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

ß ß ß"ß"Ñ ß "ß"Ñ

‘XF

F

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø – —

CB C C#C

œ


" "! #

" "# #

"#"#

ÐB CÑ

ÐB CÑ



PÁG. 295



(3.5.3) En (3.3.3) tenemos que:

1°) ‘ ‘ Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

X Ð@Ñ œ X ÐBß Cß Dß >Ñ œ

B C

#B #C D>

F[ "ß"ß"ß"ÑßÐ"ß"ß"ß!ÑßÐ"ß"ß!ß!ÑßÐ"ß!ß!ß!ÑF œ Ð#˜ ™

( ya que ‘X ÐBß Cß Dß >ÑF œ Ð#

˜ ™"ß"ß"ß"ÑßÐ"ß"ß"ß!ÑßÐ"ß"ß!ß!ÑßÐ"ß!ß!ß!Ñ

yœ ÐB C D > ß B C Dß B Cß BÑ ‘F#

Resolviendo lo siguiente:

ÐB C D > ß B C Dß B Cß BÑ œ œ "ß "ß "ß "Ñ Ð"ß "ß "ß !Ñ Ð"ß "ß !ß !Ñ Ð"ß !ß !ß !Ñ! " # -Ð

! " # -

! " #

! "

!

œ B C D >

œ B C D

œ B C

œ B

Ê ! " # -œ B à œ C à œ #B #C D à œ > )

2°) E œ X œX FZ

F[ ‘ ‘X œF

F#

"


" ! ! !! " ! !# # " !! ! ! "

3°) ‘ ‘ Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

@ œ ÐBß Cß Dß >Ñ œ

BCD>

FZ "ß!ß!ß!ÑßÐ!ß"ß!ß!ÑßÐ!ß!ß"ß!ÑßÐ!ß!ß!ß"ÑF œ Ð"˜ ™


‘ ‘ ‘X Ð@Ñ œ X @F F F[ Z Z

F[

‘ ‘X ÐBß Cß Dß >Ñ œ ÐBß Cß Dß >ÑF œ Ð#

#

" F"˜ ™"ß"ß"ß"ÑßÐ"ß"ß"ß!ÑßÐ"ß"ß!ß!ÑßÐ"ß!ß!ß!Ñ

‘XF

F


B B C C

#B #C D D> >

œ


" ! ! !! " ! !# # " !! ! ! "



PÁG. 296



(3.6) :TEOREMA Sean y espacios vectoriales sobre el cuerpo ,Z [ Š

base de ; yF œ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ ß @ ß @ Þ Þ Þ ß @ ZZ " # : :" 8:

˜ ™2

una TRANSFORMACIÓN LINEAL DE en .X À Z Ä [ Z [

Si es base del ˜ ™@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ O/< ÐX ÑÞ" # :

Entonces: es base de ˜ ™X Ð@ Ñ ß X Ð@ Ñ ß Þ Þ Þ ß X Ð@ Ñ M7 ÐX Ñ Þ

:" :# 8

(3.7) : EJEMPLOS

(3.7.1) Considere la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ c ‘#"

; definida por , )X Ð+ ,Ñ œ Ð+ , Ð+ , Ñ B Sea una .F œ Ð Ð"

"˜ ™"ß #Ñ ß ß "Ñ base de ‘#

Encuentre aplicando el teorema anterior una base de .M7 ÐX Ñ

SOLUCIÓN:1º) Obtener O/< ÐX Ñ œ + ,Ñ − Î X Ð+ ,Ñ œ ! ß !Ñ˜ ™ ˜ ™Ð œ Ð! , , ‘#

Ð Ñc ‘"

2°) Luego ˜ ™ ˜ ™X Ð "ß #Ñ ß X ß "Ñ $ B ß # /= ,+=/ ./ M7 ÐX Ñ Ð" œ

3º) Notar que M7 ÐX Ñ œ Ð Ñ Þc ‘"



B C” • Sea una .F œ Ð Ð

"˜ ™"ß "Ñ ß "ß "Ñ base de ‘#


SOLUCIÓN:

1º) Obtener O/< ÐX Ñ œ ÐB ß CÑ − Î X ÐB ß CÑ œ ß !Ñ! !! !

˜ ™ ˜ ™‘# ” • œ Ð!

2°) Luego ˜ ™ ˜ ™X "ß "Ñ ß X ß "Ñ ß# ! ! #" " " "

Ð Ð" œ ” • ” • /= ,+=/ ./ M7 ÐX Ñ

3º) Notar que M7 ÐX Ñ § Ð Ñ Þ` ‘#B#



PÁG. 297



(3.7.3) Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘#B# "

X œ Ð+ .Ñ Ð- ,Ñ B+ ,- .Œ


SOLUCIÓN:

1º) Obtener O/< ÐX Ñ œ Ð ÑÎX œ !+ , + ,- . - .œ Œ Œ − ` ‘

#B# "c ‘Ð Ñ

X œ ! Ð+ .Ñ Ð- ,Ñ B œ !+ ,- .Œ c ‘"Ð Ñ Ê

Ê + . œ !

- , œ !

Ê + œ . ß , œ - Þ

Por lo tanto:

O/< ÐX Ñ œ Ð Ñ Î - ß . . -- .œ Œ − −` ‘ ‘

#B#

O/< ÐX Ñ œ - . Î - ß .! " " !" ! ! "œ Œ Œ − ‘

O/< ÐX Ñ œ 1/8 ß! " " !" ! ! "œ Œ Œ

como además es claramente linealmente independiente, entonces

œ Œ Œ ! " " !" ! ! "

ß X Ñ es base del .O/< Ð

2°) Completando a partir de la base del O/< Ð X Ñ; a una base de` ‘

#B#Ð Ñ se tiene por ejemplo:

,œ Œ Œ Œ Œ ! " " ! " ! ! "" ! ! " ! ! ! !

ß ß

3°) Luego como œ Œ Œ ! " " !" ! ! "

ß X Ñ es base del O/< Ð

˜ ™ ˜ ™X Ñ ß X Ñ " ß B /= ,+=/ ./ M7 ÐX Ñ" ! ! "! ! ! !

Ð Ð œŒ Œ

4º) Notar que M7 ÐX Ñ œ Ð Ñ Þc ‘"



PÁG. 298



TEMA 4: ISOMORFISMOS

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si una transformación lineal esusando el núcleo.

MR] IGXMZ Eß

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si una transformación lineal es, usando la imagen.

WSFVI] IGXMZ E

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si una transformación lineal es FM] IGXMZ EÞ

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si una función es un MWSQSVJMWQSÞ

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la fórmula de la transformaciónlineal inversa.

(4.1) :DEFINICIÓN Sea una T.L. de en .X À Z Ä [ Z [ Diremos que es una transformación lineal INYECTIVA (o uno aXuno); si y solo si se verifica la propiedad: .X Ð@ Ñ œ X Ð@ Ñ Ê @ œ @ ß a @ à @ − Z

" # " # " #

(4.2) :TEOREMA Sea una T.L. de en .X À Z Ä [ Z [ es INYECTIVA X Í O/< ÐX Ñ œ !˜ ™

Z

(4.3) :EJEMPLOS(4.3.1) Considere la transformación lineal ; definida por X À Ä‘ ‘# $

X ÐBß CÑ œ Ð ß ÑB C B C ß ! Determine si es inyectiva.XSOLUCIÓN:1º) X Í O/<ÐX Ñ œ Ð!es inyectiva ˜ ™ß !Ñ

O/<ÐX Ñ œ Ð˜ ™Bß CÑ − ÎX ÐBß CÑ œ Ð! ß ! ß !Ñ‘#

X ÐBß CÑ œ Ð! ß ! ß !Ñ Ê Ð ß Ñ œ Ð! ß ! ß !Ñ B C B C ß !

B C œ ! Ê B œ C

B C œ !

! œ !

2º) Luego; O/<ÐX Ñ œ Ð˜ ™Bß CÑ − ÎB œ C‘# O/<ÐX Ñ œ Ð œ CÐ˜ ™ ˜ ™ Cß CÑÎC − "ß "ÑÎC −‘ ‘

O/<ÐX Ñ œ 1/8 Ð Á Ð!˜ ™ ˜ ™ "ß "Ñ ß !Ñ

3º) Por lo tanto, X no es inyectiva.



PÁG. 299



(4.3.2) Considere la transformación lineal ; definida por X À Ä Ð Ñ‘ c ‘$#

X Ð+ ß ,ß -Ñ œ Ð+ , -Ñ Ð+ ,Ñ B - B#

Determine si es inyectiva.X

SOLUCIÓN:1º) X Í O/<ÐX Ñ œ Ð!es inyectiva ˜ ™ß !ß !Ñ

O/<ÐX Ñ œ Ð+ +˜ ™ß ,ß -Ñ − ÎX Ð ß ,ß -Ñ œ !‘$

X Ð ß ,ß -Ñ œ ! Ê Ð+ , -Ñ Ð+ ,Ñ B - B œ !+ #

+ , - œ ! Ê + œ , à - œ !

+ , œ !

- œ !

2º) Luego; O/<ÐX Ñ œ Ð+˜ ™ß ,ß -Ñ − Î+ œ , à - œ !‘$ O/<ÐX Ñ œ Ð , œ ,Ð˜ ™ ˜ ™ß ,ß !Ñ − Î, − "ß "ß !ÑÎ, −‘ ‘ ‘$

O/<ÐX Ñ œ 1/8 Ð Á Ð!˜ ™ ˜ ™ "ß "ß !Ñ ß !ß !Ñ

3º) Por lo tanto, X no es inyectiva.

(4.3.3) Considere la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ c ‘#

"; definida por

, )X Ð+ ,Ñ œ Ð+ , Ð+ , Ñ B Determine si es inyectiva.X

SOLUCIÓN:1º) X Í O/<ÐX Ñ œ Ð!es inyectiva ˜ ™ß !Ñ

2º) Obtener O/< ÐX Ñ œ + ,Ñ − Î X Ð+ ,Ñ œ ! ß !Ñ˜ ™ ˜ ™Ð œ Ð! , , ‘#Ð Ñc ‘

"

3°) es inyectiva.Por lo tanto, X



B C” • Determine si es inyectiva.X

SOLUCIÓN:1º) X Í O/<ÐX Ñ œ Ð!es inyectiva ˜ ™ß !Ñ

2º) Obtener O/< ÐX Ñ œ ÐB ß CÑ − Î X ÐB ß CÑ œ ß !Ñ! !! !

˜ ™ ˜ ™‘# ” • œ Ð!

3°) es inyectiva.Por lo tanto, X



PÁG. 300



(4.4) :DEFINICIÓN Sea una T.L. de en .X À Z Ä [ Z [ Diremos que es una transformación lineal SOBREYECTIVA (oXepiyectiva); si y solo si se verifica la propiedad:

M7 ÐX Ñ œ [ es decir: tal que a A − [ ß b @ − Z X Ð@Ñ œ A

(4.5) : OBSERVACIÓN Para verificar la propiedad sobreyectiva; es importante tenerpresente que: Si es una T.L. de en .X À Z Ä [ Z [ Entonces .37 Z œ .37 ÐO/< X Ñ .37 ÐM7 XÑ œ R?63.+. ÐX Ñ V+819 ÐX Ñ


X ÐBß CÑ œ Ð ß ÑB C B C ß ! Determine si es sobreyectiva.XSOLUCIÓN:1º) X Í M7 ÐX Ñ œes sobreyectiva ‘$

Usando el teorema de la dimensión: .37‘# œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ .37 ÐM7 ÐX ÑÑ

2º) Luego; como .37 Ñ œ "‘# œ # à .37 ÐO/< ÐX Ñ (OBVIO por (4.3.1)) SE TIENE QUE: .37‘# œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ .37 ÐM7 ÐX ÑÑ # œ " .37 ÐM7 ÐX ÑÑ Ê .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ " œ $Á .37‘$

Ê M7 ÐX Ñ Á ‘$

3º) Por lo tanto, X no es sobreyectiva.

OTRA FORMA es encontrando la M7 ÐX Ñ. En efecto:1º) M7 ÐX Ñ œ ß , ß -Ñ − ÎbÐB ß CÑ − X ÐB ß CÑ œ ß ,ß -Ñ˜ ™Ð+ Ð+‘ ‘$ # tal que M7 ÐX Ñ œ B Cß B C ß !Ñ − ÎB ß C −˜ ™Ð ‘ ‘$

M7 ÐX Ñ œ "ß " ß !Ñ CÐ"ß "ß !Ñ Î B ß C −˜ ™BÐ ‘

M7 ÐX Ñ œ "ß " ß !Ñ CÐ"ß "ß !Ñ Î B ß C −˜ ™BÐ ‘

M7 ÐX Ñ œ 1/8 "ß " ß !Ñß Ð"ß "ß !Ñ 1/8 "ß " ß !Ñ˜ ™ ˜ ™Ð œ Ð



PÁG. 301



2º) .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ " (OBVIO!!), ya que además es L.I., es decir˜ ™Ð"ß " ß !Ñ

Ê .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ " œ $Á .37‘$

Ê M7 ÐX Ñ Á ‘$



X Ð+ ß ,ß -Ñ œ Ð+ , -Ñ Ð+ ,Ñ B - B#

Determine si es sobreyectiva.X

SOLUCIÓN:1º) X Í M7 ÐX Ñ œes sobreyectiva c ‘

#Ð Ñ

Usando el teorema de la dimensión: .37‘$ œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ .37 ÐM7 ÐX ÑÑ

2º) Luego; como .37 Ñ œ "‘$ œ $ à .37 ÐO/< ÐX Ñ (OBVIO por (4.3.2)) SE TIENE QUE: .37‘$ œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ .37 ÐM7 ÐX ÑÑ $ œ " .37 ÐM7 ÐX ÑÑ Ê .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ # Ð Ñ œ $Á .37c ‘

#

Ê M7 ÐX Ñ Ð ÑÁ c ‘#


OTRA FORMA es encontrando la M7 ÐX Ñ. En efecto:1º) M7 ÐX Ñ œ Ð+ , -Ñ Ð+ ,Ñ B - B − Ð Ñ Î ß ,ß - −˜ ™ # c ‘ ‘

#+

M7 ÐX Ñ œ Î ß ,ß - −˜ ™+Ð" BÑ ,Ð" BÑ -Ð" B Ñ +# ‘

M7 ÐX Ñ œ 1/8˜ ™Ð" BÑ à Ð" BÑ à Ð" B Ñ#

M7 ÐX Ñ 1/8œ Ð" BÑ à Ð" B Ñ˜ ™#

2º) .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ # (OBVIO!!), ya que además es L.I.,˜ ™Ð" BÑ à Ð" B Ñ#

es decir Ê .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ # Ð Ñ œ $Á .37c ‘

#

Ê M7 ÐX Ñ Ð ÑÁ c ‘#




PÁG. 302



(4.6.3) Considere la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ c ‘#"

; definida por , )X Ð+ ,Ñ œ Ð+ , Ð+ , Ñ B Determine si es sobreyectiva.X

SOLUCIÓN:1º) X Í M7ÐX Ñ œes sobreyectiva c ‘

"Ð Ñ


2º) Luego; como .37 Ñ œ !‘# œ # à .37 ÐO/< ÐX Ñ (OBVIO por (4.3.3)) SE TIENE QUE: .37‘# œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ .37 ÐM7 ÐX ÑÑ # œ ! .37 ÐM7 ÐX ÑÑ Ê .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ # Ð Ñœ .37c ‘

"

Ê M7 ÐX Ñ Ð Ñœ c ‘"

3º) Por lo tanto, X es sobreyectiva.

OTRA FORMA es encontrando la M7 ÐX Ñ. En efecto:1º) M7 ÐX Ñ œ Ð+ , Ð+ , Ñ B − Ð Ñ Î ß , −˜ ™) c ‘ ‘

"+

M7 ÐX Ñ œ Î ß , −˜ ™+Ð" BÑ ,Ð " BÑ + ‘

M7 ÐX Ñ œ 1/8˜ ™Ð" BÑ à Ð " BÑ

2º) .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ # (OBVIO!!), ya que además es L.I.,˜ ™Ð" BÑ à Ð " BÑ

es decir Ê .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ # Ð Ñœ .37c ‘

"

Ê M7 ÐX Ñ Ð Ñœ c ‘"

3º) Por lo tanto, X es sobreyectiva.



B C” • Determine si es sobreyectiva.X

SOLUCIÓN:1º) X Í M7ÐX Ñ œes sobreyectiva ` ‘

#B#Ð Ñ




PÁG. 303



2º) Luego; como .37 Ñ œ !‘# œ # à .37 ÐO/< ÐX Ñ (OBVIO por (4.3.4)) SE TIENE QUE: .37‘# œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ .37 ÐM7 ÐX ÑÑ # œ ! .37 ÐM7 ÐX ÑÑ Ê .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ # Ð Ñ œ %Á .37` ‘

#B#

Ê M7 ÐX Ñ Ð ÑÁ ` ‘#B#


OTRA FORMA es encontrando la M7 ÐX Ñ. En efecto:

1º) M7 ÐX Ñ œ − Ð Ñ ÎBß C −B C B C

B C˜ ™” • ` ‘ ‘

#B#

M7 ÐX Ñ œ ÎBß C −" " " "" ! ! "

˜ ™B C” • ” • ‘

M7 ÐX Ñ œ 1/8" " " "" ! ! "

˜ ™” • ” •ß

2º) .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ #

(OBVIO!!), ya que además es L.I.,˜ ™” • ” •" " " "" ! ! "

ß

es decir Ê .37 ÐM7 ÐX ÑÑ œ # Ð Ñ œ %Á .37` ‘

#B#

Ê M7 ÐX Ñ Ð ÑÁ ` ‘#B#


(4.7) DEFINICIÓN: Sea una T.L. de en .X À Z Ä [ Z [

Diremos que es una tranformación lineal BIYECTIVA ; si y solo siXse verifican las propiedades:

a) es INYECTIVA. X

b) es SOBREYECTIVA.X



PÁG. 304




X ÐBß CÑ œ Ð ß ÑB C B C ß ! Determine si es biyectiva.XSOLUCIÓN:1º) En (4.3.1) se determinó que no es inyectiva.X

2º) En (4.6.1) se determinó que X no es sobreyectiva.

3°) Por lo tanto no es biyectiva.X


X Ð+ ß ,ß -Ñ œ Ð+ , -Ñ Ð+ ,Ñ B - B#

Determine si es biyectiva.XSOLUCIÓN:1º) En (4.3.2) se determinó que no es inyectiva.X



(4.8.3) Considere la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ c ‘#

"; definida por

, )X Ð+ ,Ñ œ Ð+ , Ð+ , Ñ B Determine si es biyectiva.XSOLUCIÓN:1º) En (4.3.3) se determinó que es inyectiva.X

2º) En (4.6.3) se determinó que X es sobreyectiva.

3°) Por lo tanto es biyectiva.X



B C” • Determine si es biyectiva.XSOLUCIÓN:1º) En (4.3.4) se determinó que es inyectiva.X





PÁG. 305



(4.9) : PROPIEDADES Sea una T.L. de en .X À Z Ä [ Z [ Si .37 Z œ .37 [ œ 8Þ Entonces: a) es INYECTIVA es SOBREYECTIVAX Ê X

b) es SOBREYECTIVA es INYECTIVAX Ê X

(4.10) : OBSERVACIÓN La propiedad (4.9) es útil, ya que: Si las dimensiones de los espacios vectoriales de partida y dellegada de la T.L. es la misma. Entonces basta con verificar una y solo una de las propiedades paraestablecer la biyeccón, de cumplirse alguna de estas.

(4.11) : PROPIEDADES Sea una T.L. de en .X À Z Ä [ Z [ Si y .37 Z œ 8 .37 [ œ 7Þ Entonces: a) Si Entonces NO es INYECTIVA . 8 7 Þ X b) Si Entonces NO es SOBREYECTIVA .7 8 Þ X

(4.12) : DEFINICIÓN Sea una T.L. de en .X À Z Ä [ Z [ Diremos que la transformación lineal es un isomorfismo de X Zen si y solo si es una biyección.[ X

(4.13) :DEFINICIÓN Sean y espacios vectoriales sobre Z [ OÞ Diremos que los espacios y son ISOMORFOS; lo queZ [denotaremos por , si y solo si existe una transformación linealZ z [X À Z Ä [ Z [ Þ que es un isomorfismo de en

(4.14) : OBSERVACIÓNa) Si y son dos espacios vectoriales reales de dimensión finitaZ [y además ..37 Z œ .37 [ Entonces .Z z [



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b) Cuando los espacios vectoriales son isomorfos, sus elementos sepueden identificar de manera única en cualesquiera de estos; lo quefacilita la operabilidad en el que más nos acomode.

(4.15) :EJEMPLOS(4.15.1) En (4.8.3) se determinó que la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ c ‘#

"; definida por

, )X Ð+ ,Ñ œ Ð+ , Ð+ , Ñ B es biyectiva.

Luego, ‘ c ‘ ‘ c ‘# # es isomorfo con , es decir ." "Ð Ñ z Ð Ñ

(4.15.2) Considere la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ ` ‘%

#B# ; definida por

X Ð+ ß , ß - ß .Ñ œ+ ,- .Œ

Como es transformación lineal y es biyectiva.X X Luego, ‘ ` ‘%

#B# es isomorfo con , es decirÐ Ñ ‘ ` ‘%

#B#z Ð Ñ.

(4.15.3) Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ ` ‘

$ #B# ; definida por

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ+ ,- .

# $ Œ Como es transformación lineal y es biyectiva.X X Luego, c ‘ ` ‘

$Ð Ñ Ð Ñ es isomorfo con , es decir#B#

c ‘ ` ‘$Ð Ñ z Ð Ñ#B# .


El ÁLGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES es equivalente alÁLGEBRA DE FUNCIONES visto en CÁLCULO EN UNA VARIABLE.Además, las condiciones para que una transformación lineal seaXINVERTIBLE, son igualmente equivalentes a dicho tema, es decir:

X 38@/<>3,6/ WWM X IW PMRIEP ] X IW FM] IGXMZ E

Lo mismo se cumple para X Þ"



PÁG. 307



(4.17) :EJEMPLOS(4.17.1) Sea transformación linealX À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ c ‘

" "

definida por X Ð+ ,BÑ œ + ,Ba) Una base de la M7 ÐX Ñ es :SOLUCIÓN:M7 ÐX Ñ œ + ,BÎ+ß , − + Ð"Ñ , Ð BÑÎ+ß , −˜ ™ ˜ ™‘ ‘œ

M7 ÐX Ñ œ " à B " à B1/8˜ ™ ˜ ™y además es L.I.Por lo tanto; ˜ ™" à B es base.

b) La dimensión de O/< ÐX Ñ es:SOLUCIÓN:.37c ‘

"Ð Ñ œ .37 O/< ÐX Ñ .37 M7 ÐX Ñ

# œ .37 O/< ÐX Ñ #Luego: .37 O/< ÐX Ñ œ !

c) Si corresponde; la fórmula de la transformación lineal inversa de Xestá dada por:SOLUCIÓN: Por a) y b) es biyectiva, por lo tanto:X X Ð+ ,BÑ œ + ,B œ ? @ B Î X aplicar "

+ ,B œ X Ð+ ,BÑ œ X Ð? @ BÑ " "

Ê ? + ,

@

œ + Ê œ ? à œ @

œ ,

Luego: X Ð? @ BÑ œ ? @B "

X Ð+ ,BÑ œ + ,B "

(4.17.2) Sea. definida por:X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘#B# $

X Ð Ñ œ Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B+ ,- .” • # $

a) O/< ÐX Ñ:SOLUCIÓN:

1º) O/< ÐX Ñ œ − Ð ÑÎX Ð Ñ œ !+ , + ,- . - .

š ›” • ” •` ‘#B# $

c ‘Ð Ñ

Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B œ !# $

2º) Lo que determina el siguiente sistema de ecuaciones: + , - . œ ! Ê + œ , œ - œ . œ 9

+ , - œ !

+ , œ !

+ œ !


š ›” •



PÁG. 308



b) M7 ÐX Ñ:SOLUCIÓN:1º) Como .37 Ð Ñ œ .37 O/< ÐX Ñ .37 M7 ÐX Ñ` ‘

#B#

% œ ! .37 M7 ÐX Ñ se tiene que .37 M7 ÐX Ñ œ %2º) Como y M7 ÐX Ñ § Ð Ñ .37 M7 ÐX Ñ œ .37 Ð Ñ œ %c ‘ c ‘

$ $

se tiene que M7 ÐX Ñ œ Ð Ñc ‘$

c) ¿ Es ¿ Por què ? X biyectiva ? SOLUCIÓN: por a) y b)W M

d) Si su respuesta es afirmativa en c); la fórmula que define latransformación lineal inversa de está dada por:XSOLUCIÓN:

1º) tal que ” • ” •? @ ? @A > A >

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ" # $

2º) es decir: yX Ð + ,B -B .B ß” •? @A >

Ñ œ # $

? @ A > œ +

? @ A œ ,

? @ œ -

? œ .

Ê ? œ . à @ œ - . à A œ , - à > œ + , 3º) Por lo tanto:

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ- .

, -" # $ ” • .

+ ,

(4.17.3) Sea. definida por:X À Ä‘ ‘$ $

XÐB ß C ß DÑ œ ÐB C D ß B C D ß B C DÑ Determine si es un isomorfismo. De serlo; defina y X X à"

verifique que función identidad.X ‰ X œ X ‰ X œ M" "

SOLUCIÓN:

1º) Verificar que es transformación lineal.X es transformación lineal si verifica que:X a ÐB ß C ß D Ñ à ÐB ß C ß D Ñ − à a − Ê" " " # # #

$‘ ! ‘

X ÐÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D ÑÑ œ X ÐB ß C ß D Ñ X ÐB ß C ß D Ñ" " " # # # " " " # # #! !



PÁG. 309



:VERIFICACIÓNX ÐÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D ÑÑ œ X ÐB B ß C C ß D D Ñ" " " # # # " # " # " #! ! ! !

œ ÐB B C C D D à B B C C D D à" # " # " # " # " # " #! ! ! ! ! !

B B C C D D Ñ" # " # " #! ! !

œ ÐB C D à B C D à B C D Ñ" " " " " " " " "

Ð B C D à B C D à B C D Ñ! ! ! ! ! ! ! ! !# # # # # # # # #

œ XÐB ß C ß D Ñ ÐB C D à B C D à B C D Ñ" " " # # # # # # # # #!

œ XÐB ß C ß D Ñ X ÐB ß C ß D Ñ" " " # # #!

Por lo tanto; X ÐÐB ß C ß D Ñ ÐB ß C ß D ÑÑ œ X ÐB ß C ß D Ñ X ÐB ß C ß D Ñ" " " # # # " " " # # #! !

Luego; es transformación lineal.X

2º) Verificar que es biyectiva.X es biyectiva si verifica que:X es inyectiva es sobreyectiva3 Ñ X 33 Ñ X

:VERIFICACIÓN es inyectiva3 Ñ X O/< X œ ÐB ß C ß DÑ − Î X ÐB ß C ß DÑ œ Ð! ß ! ß !Ñ˜ ™‘$

X ÐB ß C ß DÑ œ Ð! ß ! ß !Ñ Ê ÐB C D ß B C D ß B C DÑ œ Ð! ß ! ß !Ñ

Ê B C D œ ! Ê B œ C œ D œ !

B C D œ !

B C D œ !

Por lo tanto; O/< X œ Ð! ß ! ß !Ñ˜ ™ Luego; es inyectiva.X

:VERIFICACIÓN es sobreyectiva33 Ñ XM7 X œ ÐB C D ß B C D ß B C DÑ − Î B ß C ß D −˜ ™‘ ‘$ M7 X œ BÐ"ß "ß "Ñ CÐ"ß "ß "Ñ DÐ"ß "ß "Ñ − ÎB ß Cß D −˜ ™‘ ‘$

M7 X œ 1/8 Ð"ß "ß "Ñà Ð"ß "ß "Ñà Ð"ß "ß "Ñ œ˜ ™ ‘$

Por lo tanto; M7 X œ ‘$

Luego; es sobreyectiva.X Por lo tanto; es biyectiva.X

3º) De 1º) y 2º) ; se tiene que es un isomorfismo.X



PÁG. 310



4º) DETERMINACIÓN DE X À"

X ÐB ß C ß DÑ œ ÐB C D ß B C D ß B C DÑ œ Ð? ß @ ß AÑ Î ‰ X "

ÐB ß C ß DÑ œ X ÐB C D ß B C D ß B C DÑ œ X Ð? ß @ ß AÑ" "

es decir: X Ð? ß @ ß AÑ œ ÐB ß C ß DÑ"

Ê B C D œ ? Ê B œ Ð? AÑ à C œ Ð? @Ñ à D œ Ð? AÑ

B C D œ @

B C D œ A

" " "# # #

:JUSTIFICACIÓN

Ê Ä" " " ? " " " ?" " " @ ! # ! ? @" " " A ! # # ? A


Ä Ä

" ! " ? @

! " ! ? @

! ! # @ A ! ! " @ A

" ! ! ? A

! " ! ? @Î ÑÏ Ò

Î ÑÐ ÓÏ Ò

" "# #" "# #

" "# #" "# #" "# #

Luego: X Ð? ß @ ß AÑ œ Ð Ð? AÑ ß Ð? @Ñ ß Ð@ AÑÑ" " " "

# # #

Por lo tanto; la transformación lineal inversa está dada por:

definida por:X À Ä" $ $‘ ‘

X ÐB ß C ß DÑ œ Ð ÐB DÑ ß ÐB CÑ ß ÐC DÑÑ" " " "# # #

5º) Verificar que :X ‰ X œ M"

3 Ñ ÐX ‰ X ÑÐB ß C ß DÑ œ X ÐX ÐB ß C ß DÑÑ" "

œ XÐ ÐB DÑ ß ÐB CÑ ß ÐC DÑÑ" " "# # #

œ Ð ÐB DÑ ÐB CÑ ÐC DÑß ÐB DÑ ÐB CÑ ÐC DÑß" " " " " "# # # # # #

" " "# # #ÐB DÑ ÐB CÑ ÐC DÑ Ñ

œ ÐB ß C ß DÑ œ MÐB ß C ß DÑ à aÐB ß C ß DÑ − ‘$

Por lo tanto; X ‰ X œ M"

6º) Verificar que :X ‰ X œ M"

33 Ñ ÐX ‰ X ÑÐB ß C ß DÑ œ X ÐX ÐB ß C ß DÑÑ" "

œ X ÐB C D ß B C D ß B C DÑ"

œ Ð ÐB C D B C DÑà ÐB C D B C DÑà" "# #

"#ÐB C D B C DÑÑ

œ ÐB ß C ß DÑ œ MÐB ß C ß DÑ à aÐB ß C ß DÑ − ‘$

Por lo tanto; X ‰ X œ M"



PÁG. 311





1. Analice si cada función definida es o no una transformación lineal yPARA LAS QUE LO SEAN, encuentre la representación matricial respectode las bases indicadas.

(1.1) definida porX À Ä‘ ‘$

X ÐBß Cß DÑ œ B ˜ ™ ˜ ™Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñ à #

(1.2) definida porW À Ä‚ ‚ WÐDÑ œ D ˜ ™ ˜ ™" 3 à " 3 ß " à 3

(1.3) definida porY À Ä‘ ‘# #

,YÐB ß CÑ œ ÐBC !Ñ ˜ ™ ˜ ™Ð"ß "Ñß Ð"ß "Ñ à Ð!ß #Ñß Ð"ß !Ñ

(1.4) definida porX À Ä‘ ‘#

X ÐB ß CÑ œ B C¸ ¸ ˜ ™ ˜ ™Ð"ß "Ñß Ð"ß "Ñ à #

(1.5) definida porH À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ c ‘8 8

HÐ:ÐBÑÑ œ Ð:ÐBÑÑ # Ð:ÐBÑÑ. .. B . B

#

#

base de .˜ ™"ß Bß B ß Þ Þ Þ ß B Ð Ñ# 8 c ‘8

(1.6) definida porW À Ä À‘ ‘$ $

,WÐBß Cß DÑ œ Ð#B C D B #C Dß B C #DÑ base de .˜ ™Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñ ‘$

(1.7) tal que y Y À Ð Ñ Ä Ð Ñ YÐEÑ œ EF F œ" "" !

` ‘ ` ‘#B# #B#

# Œ ˜ ™Œ Œ Œ Œ " " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

ß ß ß Ð Ñbase de .` ‘#B#

(1.8) definida porW À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ c ‘# "

WÐ+ + B + B Ñ œ + #+ + B! " # ! # "#

base de y base de ˜ ™ ˜ ™"ß Bß B Ð Ñ " Bß " B Ð Ñ# c ‘ c ‘# "



PÁG. 312



2. En las transformaciones lineales de 1. , determine si:

(2.1) Es inyectiva. (2.2) Es sobreyectiva. (2.3) Es biyectiva.

(2.4) Defina si corresponde un isomorfismo y en aquellas que lo seanencuentre la fórmula que define la transformación lineal inversa.

(2.5) Defina con todos sus elementos la transformación lineal inversa.

3. Si X Ð"ß !ß !Ñ œ Ð" 3 ß " ß " 3Ñ à X Ð!ß "ß !Ñ œ Ð3 ß 3 ß 3Ñà .X Ð!ß !ß "Ñ œ Ð" 3 ß " ß "Ñ

(3.1) Determine una transformación lineal y calculeX À Ä‚ ‚$ $

X Ð"ß "ß "Ñ X ÐBß Cß DÑ Þ y la fórmula

(3.2) ¿Es inyectiva? (3.3) ¿Es sobreyectiva? (3.4) ¿Es biyectiva?

(3.5) Defina si corresponde un isomorfismo y de ser posible encuentre lafórmula que define la transformación lineal inversa.

(3.6) Defina si corresponde con todos sus elementos la transformaciónlineal inversa.

4. Sea definida por .X À Ä XÐBß Cß DÑ œ Ð#B $C D ß B %DÑ‘ ‘$ #

(4.1) ¿Es inyectiva? (4.2) ¿Es sobreyectiva? (4.3) ¿Es biyectiva?



5. Idem 4. para las transformaciones lineales :

(5.1) tal que para todo X À Z Ä [ XÐ@Ñ œ ! à @ − Z Þ[

(5.2) tal que para todo X À Z Ä Z XÐ@Ñ œ @ à @ − Z Þ

(5.3) tal que X À Ä XÐBß CÑ œ Ð Bß CÑ‘ ‘# #



PÁG. 313



(5.4) Sea ; tal que E œ X À Ä XÐBÑ œ EB Þ" " #! " "

# " !

Ô ×Õ Ø ‘ ‘$ $

(5.5) tal que X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X ÐEÑ œ E` ‘ ` ‘#B$ $B#

>

(5.6) Se sabe que: X Ð"ß "ß "Ñ œ Ð#ß "Ñ à X Ð"ß "ß !Ñ œ Ð"ß "Ñ Þ

6.(6.1) Sea X À Ä XÐBß Cß DÑ œ ÐB #C ß $B CÑ tal que ‘ ‘$ #

Encuentre la representación matricial de respecto de las basesXcanónicas de y .‘ ‘$ #

(6.2) una transformación lineal definida por Sea X À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ ` ‘# #B#

X Ð+ ,B -B Ñ œ Þ+ , - ,, - + , -

# ” •Encuentre la representación matricial de respecto de las bases:XF œ " B B ß " Bß "

c ‘#

Ð Ñ˜ ™#

F œ ß ß ß" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !` ‘#B#Ð Ñ˜ ™” • ” • ” • ” •

7. En el EJEMPLO (6.1): la representación matricial es:

. ‘ ” •X œ" # !$ " !F $

F #

‘

‘

Con esto, encuentre: ; X Ð"ß #ß $Ñ X ÐBß Cß DÑ

8. Sabiendo que la representación matricial de una transformaciónlineal respecto de las bases X

F œ " B B ß " Bß "c ‘

#Ð Ñ

˜ ™#

F œ ß ß ß" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !` ‘#B#Ð Ñ˜ ™” • ” • ” • ” •

está dada por: ‘ Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

X œ

" # "" " "# # !

# $ "

F#

Ð Ñ

F#B#Ð Ñ

c ‘

` ‘

Encuentre ( y X " &B (B Ñ X Ð+ ,B -B Ñ Þ# #



PÁG. 314



9. Dado el siguiente :TEOREMA Sean una transformación lineal y laX À Ä X‘ ‘8 7

FG

FG ‘‘

‘

8

7

representación matricial de respecto de las bases canónicas de yX ‘8

‘7 respectivamente. Si es la matriz de transición de la base a la base ‘E F

" ""

8

F

FG‘

canónica en el espacio de partida ; y es la matriz deFG E‘

‘8 #

#

7‘8F

FG ‘transición de la base a la base canónica en el espacio deF FG

# 7‘

llegada ‘7 Þ Entonces se verifica que:

‘ ‘ ‘ ‘X œ Ð E Ñ Ð X ÑÐ E ÑF"

F#

# "# "

7 7 8

8F FG F

FG FG FG"‘ ‘ ‘

‘

VERIFICARLO para la transformación lineal tal queX À Ä‘ ‘# $

X Ð"ß "Ñ œ Ð#ß !ß "Ñ à X Ð"ß "Ñ œ Ð"ß "ß "Ñ àconsiderando las bases:F œ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ F œ Ð"ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñ

" #˜ ™ ˜ ™de . de .‘ ‘# $

10. Determine si la transformación lineal siguiente es INYECTIVA;SOBREYECTIVA o BIYECTIVA. tal que X À Ä XÐBß Cß DÑ œ Ð#B C Dß B DÑ‘ ‘$ #

De serlo; encuentre la fórmula que define la transformación linealinversa (aplique lo equivalente a encontrar la función inversa deX "

CÁLCULO EN UNA VARIABLE; y considerando que: X ‰ X œ X ‰ X œ M Ñ" "

11. Demuestre que la transformación lineal definida por:X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘

#B# $

X Ð Ñ œ Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B+ ,- .” • # $

es un isomorfismo de en .` ‘ c ‘#B# $

Ð Ñ Ð Ñ Además encuentre: y la fórmula que define a X Ð" B B B Ñ X Þ" # $ "

12. Sean tal que X À Ä XÐBß Cß DÑ œ ÐB $C Dß #B C DÑ‘ ‘$ #

tal que W À Ä WÐBß CÑ œ ÐB Cß B Cß #BÑ‘ ‘# $

(12.1) Encuentre y y determine si son invertibles.X ‰ W W ‰ X

(12.2) Encuentre y ÐX ‰ WÑ ÐW ‰ X Ñ Þ" "



PÁG. 315




TALLER N° 7

1. Analice si cada función definida es o no una transformación lineal yPARA LAS QUE LO SEAN, encuentre la representación matricial respectode las bases indicadas.

(1.1) definida por X À Ä XÐBß CÑ œ ÐB ß B DÑ‘ ‘# #

˜ ™ ˜ ™Ð"ß "Ñß Ð"ß "Ñ à Ð!ß #Ñß Ð"ß !Ñ

(1.2) definida por W À Ä WÐBß Cß DÑ œ Ð#B $C D ß B %DÑ‘ ‘$ #

; base canónica de .˜ ™Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñ ‘#

(1.3) definida por Y À Ä YÐB ß CÑ œ ÐB ß -9= CÑ‘ ‘# #

˜ ™ ˜ ™Ð"ß !Ñß Ð!ß "Ñ à Ð"ß #Ñß Ð"ß "Ñ

(1.4) definida por X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X ÐD ß D Ñ œ Ð 3 D ß Ð" 3Ñ D Ñ‚ ‘ ‚ ‘# #" # # "˜ ™Ð" ß !Ñ à Ð3ß !ÑÑ à Ð!ß "Ñ à Ð!ß 3Ñ ,+=/ /=:+-39 ./ :+<>3.+˜ ™Ð" 3 ß " 3Ñ à Ð" 3ß "ÑÑ à Ð" 3ß !Ñ à Ð"ß !Ñ ,+=/ /=:+-39 ./ 66/1+.+

(1.5) definida por W À Ä WÐBß Cß DÑ œ #B $C &D‘ ‘$

˜ ™ ˜ ™Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñ à #

(1.6) definida porY À Ð Ñ Ä` ‘ ‘#B#

%

Y œB CD >Œ ÐB Cß !ß !ß D >Ñ

Base canónica de .` ‘#B#

Ð Ñ ˜ ™Ð"ß "ß "ß "ÑÑß Ð"ß "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð"ß !ß !ß !Ñ

2. En las de 1. , determine si:transformaciones lineales


(2.4) Defina si corresponde un isomorfismo y en aquellas que lo seanencuentre la fórmula que define la transformación lineal inversa.

(2.5) Defina con todos sus elementos la transformación lineal inversa.



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3. Si X Ð"ß !ß !Ñ œ Ð#ß !Ñ à X Ð!ß #ß !Ñ œ Ð"ß "Ñ à X Ð!ß !ß $Ñ œ Ð#ß "Ñ

(3.1) Determine una transformación lineal que verifique lo anterior; yXcalcule y la fórmula X Ð"ß "ß "Ñ X ÐBß Cß DÑ Þ




4. Se sabe que:

X Ð" B B B Ñ œ à X Ð" B B Ñ œ" " " "

" " " !# $ #” • ” •

X Ð" BÑ œ à X Ð "Ñ œ" " " !! " " !” • ” •

(4.1) Determine una transformación lineal que verifique lo anterior; yXcalcule y la fórmula X Ð" B B Ñ X Ð+ ,B -B .B Ñ Þ# # $




5. una transformación lineal definida porSea X À Ä‘ ‘$ #

X ÐBß Cß DÑ œ ÐB #C ß $B CÑ Encuentre la representación matricial de respecto de las bases: X ; .F œ Ð"ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ F œ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

‘ ‘$ #˜ ™ ˜ ™

6. En el EJEMPLO 5. la representación matricial es:

‘ – —X œ#

"F $

F #

‘

‘$ $# #

& &# #

Con esta información, encuentre: ; X Ð"ß #ß $Ñ X ÐBß Cß DÑ



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7. Encuentre la representación matricial de la transformación lineal delEJEMPLO (6.2) de la GUÍA DE ESTUDIO N° 7; pero considerando las bases: F œ # $B B ß & $Bß "

c ‘#

Ð Ñ˜ ™#

F œ ß ß ß" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !` ‘#B#Ð Ñ

˜ ™” • ” • ” • ” •Con esta información, encuentre: ; X Ð$B B Ñ X Ð+ ,B -B Ñ# #

8. Dado el siguiente :TEOREMA

Sean una transformación lineal y laX À Ä X‘ ‘8 7FG

FG ‘‘

‘

8

7

representación matricial de respecto de las bases canónicas de yX ‘8

‘7 respectivamente. Si es la matriz de transición de la base a la base ‘E F

" ""

8

F

FG‘

canónica en el espacio de partida ; y es la matriz deFG E‘

‘8 #

#

7‘8F

FG ‘transición de la base a la base canónica en el espacio deF FG

# 7‘

llegada ‘7 Þ Entonces se verifica que:

‘ ‘ ‘ ‘X œ Ð E Ñ Ð X ÑÐ E ÑF"

F#

# "# "

7 7 8

8F FG F

FG FG FG"‘ ‘ ‘

‘

VERIFICARLO para la transformación lineal tal queX À Ä‘ ‘$ #

X Ð"ß "ß "Ñ œ Ð#ß !Ñ à X Ð"ß "ß !Ñ œ Ð"ß "Ñ à X Ð"ß !ß !Ñ œ Ð#ß "Ñ considerando las bases:F œ Ð"ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ F œ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß !Ñ

" #˜ ™ ˜ ™de . de .‘ ‘$ #

9. Determine si la transformación lineal siguiente es INYECTIVA;SOBREYECTIVA o BIYECTIVA. la T.L. definida por:X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘

#B# $

X Ð Ñ œ Ð+ ,Ñ Ð- .ÑB Ð+ .ÑB Ð, -ÑB+ ,- .” • # $

De serlo; encuentre la fórmula que define la transformación linealinversa (aplique lo equivalente a encontrar la función inversa deX "

CÁLCULO EN UNA VARIABLE; y considerando que: X ‰ X œ X ‰ X œ M Ñ" "

10. Sean tal queX à X À Ä" ## #‚ ‚

y (X ÐD ß D Ñ œ Ð3 D ß 3 D Ñ X ÐD ß D Ñ œ Ð3 D D Ñß D ÑÞ" " # # " " # " # #2

Determine:(10.1) (10.2) (10.3) Ð" 3Ñ X 3 X X ‰ X X ‰ X" # " # # "



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11. En el EJEMPLO 12. de la GUÍA DE ESTUDIO N° 7; determine (11.1) (11.2) ‘ ‘X ‰ W W ‰ X

F F

F F‡

‡‡

donde las bases y ; son respectivamente:F ß F F‡ ‡‡

es la base canónica ;F yF œ Ð"ß "ß "Ñ ß Ð!ß "ß "Ñ ß Ð!ß !ß "Ñ‡ ˜ ™ F œ Ð#ß $ß %Ñ ß Ð"ß #ß $Ñ ß Ð!ß "ß !Ñ‡‡ ˜ ™

12. Sea la T.L. definida por:X À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ ` ‘$ #B#

X Ð+ , B - B . B Ñ œ+ , - .+ - , .

# $ ” •(12.1) Demuestre que es invertible; y encuentre X X Þ"

(12.2) Encuentre donde las bases ; son respectivamente: ‘X F ß FF

F ‡‡

yF œ " B ß # ß B B ß B˜ ™# $

F œ ß ß ß" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

‡ ˜ ™” • ” • ” • ” •



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PROBLEMA 1: Ð"Þ"Ñ : (1.4)TALLER N° 7 RESPUESTA: Se debe verificar que: a ÐD ß D Ñß ÐD ß D Ñ − a −" # $ % ‚ ‘# à !

Ê XÐÐD ß D Ñ ÐD ß D ÑÑ œ X ÐD ß D Ñ X ÐD ß D Ñ" # $ % " # $ %! !

VERIFICACIÓN:X ÐÐD ß D Ñ ÐD ß D ÑÑ œ X ÐD D ß D D Ñ" # $ % " $ # %! ! !

œ Ð3 ÐD D Ñ ß Ð" 3Ñ ÐD D ÑÑ# % " $! !

œ Ð3 D 3 D ß Ð" 3Ñ D Ð" 3Ñ D Ñ# % " $! !

œ Ð3 D ß Ð" 3Ñ D Ñ Ð 3 D ß Ð" 3Ñ D Ñ# " % $! !

œ XÐD ß D Ñ Ð3 D ß Ð" 3Ñ D Ñ œ X ÐD ß D Ñ X ÐD ß D Ñ" # % $ " # $ %! !

T 9< 69 >+8>9à X /= ><+8=09<7+B398 638/+6Þ

‘ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

X œ

" " ! !! # ! !

" " " !! ! " "

F

F

‚

‚

#

#

Ð"Þ#Ñ : (1.3)TALLER N° 7 RESPUESTA: Aplicando

X /= X ÞPÞ Ê XÐ! Ñ œ ! Í XÐ! Ñ Á ! Ê X 89 /= X ÞPÞZ [ Z [

YÐ!ß !Ñ œ Ð!ß "Ñ Á Ð!ß !Ñà Y 89 /= X ÞPÞPor lo tanto; no tiene representación matricial.

PROBLEMA 2: TALLER N° 7 : 2. para (1.4) RESPUESTA: O/< ÐX Ñ œ Ð!ß !Ñ˜ ™Í X /= 38C/->3@+Þ

M7 ÐX Ñ œ ‚ ‘#Ð Ñ Í X /= =9,</C/->3@+Þ ya que es y X ÞPÞ X /= ,3C/->3@+ Í X /= 3=979<03=79 X À" ‚ ‘ ‚ ‘# #Ð Ñ Ä Ð Ñ definida por: X Ð" D ß D Ñ œ Ð Ð" 3ÑD ß 3 D Ñ" # # "

"#



PÁG. 320



PROBLEMA 3: TALLER N° 7 : 4.(4.1) RESPUESTA:

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ + #, %- %. , #- #.

+ , $- %. , - .# $ Œ

X Ð" B B Ñ œ $ "$ !

# Œ 1°) Verifique que , , , ˜ ™Ð" B B B Ñ Ð" B B Ñ Ð" BÑ# $ # Ð "Ñ esbase de c$.2°) Exprese + ,B -B .B œ# $

œ " B B B Ñ Ð" B B Ñ Ð" BÑ !Ð # $ # " # -Ð "Ñ O/< ÐX Ñ œ !˜ ™c$

Í X /= 38C/->3@+Þ

M7 ÐX Ñ œ `#B# Í X /= =9,</C/->3@+Þ ya que es y X ÞPÞ X /= ,3C/->3@+ Í X /= 3=979<03=79 X À" c$ Ä `#B# definida por:

X Ð" Œ + ,- .

Ñ œ

œ Ð + #,Ñ Ð, #.ÑB Ð + , - #.ÑB Ð + - .ÑB# $


O/< ÐX Ñ œ 1/8" "

" "˜ ™ ˜ ™Œ Á Í X 89 /= 38C/->3@+Œ ! !

! !

M7 ÐX Ñ Á Í X 89 /= =9,</C/->3@+c$

X 89 /= ,3C/->3@+

PROBLEMA 5: TALLER N° 7 : 12.(12.1) RESPUESTA: O/< ÐX Ñ œ ˜ ™!c$

Í X /= 38C/->3@+Þ

M7 ÐX Ñ œ Í X /= =9,</C/->3@+`#B#

X /= ,3C/->3@+ Í X /= 38@/<>3,6/ X À" `#B# Ä c$ definida por:

X Ð" Œ + ,- .

Ñ œ Ð+ , - .Ñ Ð+ , - .ÑB " "# #

Ð+ , - .ÑB Ð+ , - .ÑB" "# #

# $

(12.2) RESPUESTA:

‘Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

X œ

" ! " "! # # "

" # # "# # ! "

F

F‡



PÁG. 321



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 05 DE JUNIO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __12PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3: (3.1) Considere la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ c ‘#

"; definida

por XÐ+ ,Ñ œ Ð+ , Ð+ , ÑB , )Sean las para y parabases ORDENADAS ‘ c ‘#

"Ð Ñ

respectivamente F œ Ð Ð" à F œ" #

˜ ™ ˜ ™"ß #Ñ ß ß "Ñ " B ß B

Encuentre la representación matricial de respecto de estas bases.X (3.2) Considere la transformación lineal ; definidaX À Ä ‘ ‘# $

por XÐBß CÑ œ Ð ß ÑB C B C ß !a) Determine si es inyectiva.Xb) Determine si es sobreyectiva.X





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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __12PREGUNTA 3: (3.1) :SOLUCIÓN1º) Obtener la imágen bajo de los elementos de la base X F

":

XÐ "ß #Ñ œ $ B XÐ ß "Ñ œ # " " " 2º) Expresar cada imágen obtenida en 1º) como combinaciónlineal de la base F

#; es decir:

XÐ "ß #Ñ œ $ B œ " BÑ BÑ "! "Ð Ð

XÐ ß "Ñ œ # œ " BÑ BÑ" "# -Ð Ð

de donde se tiene: ! " # -œ $ à œ % à œ # à œ # #


‘ Œ Œ X œ œ #F

F#

"

! #" -

$ # % #

(3.2) a) SOLUCIÓN:1º) X Í O/<ÐX Ñ œ Ð!es inyectiva ˜ ™ß !Ñ

O/<ÐX Ñ œ Ð "˜ ™Bß CÑ − ÎXÐBß CÑ œ Ð! ß ! ß !Ñ‘# XÐBß CÑ œ Ð! ß ! ß !Ñ Ê Ð ß Ñ œ Ð! ß ! ß !Ñ B C B C ß ! B C œ ! Ê B œ C

B C œ !

! œ !

2º) Luego; O/<ÐX Ñ œ Ð˜ ™Bß CÑ − ÎB œ C‘# O/<ÐX Ñ œ Ð œ CÐ˜ ™ ˜ ™ Cß CÑÎC − "ß "ÑÎC −‘ ‘

O/<ÐX Ñ œ 1/8 Ð Á Ð! "˜ ™ ˜ ™ "ß "Ñ ß !Ñ

3º) Por lo tanto, X " no es inyectiva. b) SOLUCIÓN:1º) X Í M7 ÐXÑ œes sobreyectiva ‘$

Usando el teorema de la dimensión: .37 "‘# œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ .37 ÐM7 ÐXÑÑ 2º) Luego; como .37 Ñ œ "‘# œ # à .37 ÐO/< ÐX Ñ (OBVIO!!) SE TIENE QUE: .37‘# œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ .37 ÐM7 ÐXÑÑ # "œ " .37 ÐM7 ÐXÑÑ

Ê .37 ÐM7 ÐXÑÑ œ " œ $Á .37 "‘$

3º) Por lo tanto, X " no es sobreyectiva.



PÁG. 323



OTRA FORMA de hacer b) es encontrando la M7 ÐXÑ. En efecto:1º) M7 ÐXÑ œ ß , ß -Ñ − ÎbÐB ß CÑ −˜Ð+ ‘ ‘$ # tal que X ÐB ß CÑ œ ß ,ß -ÑÐ+ ™ M7 ÐXÑ œ B Cß B C ß !Ñ − Î B ß C −˜ ™Ð ‘ ‘$ M7 ÐXÑ œ "ß " ß !Ñ CÐ"ß "ß !Ñ ÎB ß C −˜ ™BÐ ‘

M7 ÐXÑ œ "ß " ß !Ñ CÐ"ß "ß !Ñ ÎB ß C −˜ ™BÐ ‘

M7 ÐXÑ œ 1/8 "ß " ß !Ñß Ð"ß "ß !Ñ 1/8 "ß " ß !Ñ˜ ™ ˜ ™Ð œ Ð

2º) .37 ÐM7 ÐXÑÑ œ " (OBVIO!!), ya que además ˜ ™Ð"ß " ß !Ñ es L.I., es decir Ê .37 ÐM7 ÐXÑÑ œ " œ $Á .37‘$




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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 7 DE JUNIO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __14PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3: (3.1) Considere la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ ` ‘#

#B #;

XÐB ß CÑ œB C B C

B C” •Sean las para y parabases ORDENADAS ‘ ` ‘#

#B #Ð Ñ

respectivamente F œ Ð Ð"

˜ ™"ß "Ñ ß "ß "Ñ

F œ# œ ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !ß ß ß

Encuentre la representación matricial de respecto de estas bases.X (3.2) Considere la transformación lineal ;X À Ä Ð Ñ ‘ c ‘$

#

definida por XÐ+ ß ,ß -Ñ œ Ð+ , -Ñ Ð+ ,ÑB - B #

a) Determine si es inyectiva.Xb) Determine si es sobreyectiva.X





PÁG. 325




PREGUNTA 3: (3.1) :SOLUCIÓN1º) Obtener la imágen bajo de los elementos de la base X F

":

XÐ"ß "Ñ œ XÐ ß "Ñ œ# ! ! #" " " "” • ” •" " "

2º) Expresar cada imágen obtenida en 1º) como combinaciónlineal de la base F

#; es decir:

” • ” • ” • ” • ” •# ! " " " " " " " !" " " " " ! ! ! ! !

œ ! " # -" " " " "

” • ” • ” • ” • ” •! # " " " " " " " !" " " " " ! ! ! ! !

œ ! " # -# # # # "

de donde se tiene: ! " # -" " " "œ " à œ ! à œ " à œ # "

! " # -# # # #œ " à œ # à œ " à œ # "


‘ Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò

X œ œ #

" "! #

" "# #

F

F#

"

! !" "# #- -

" #

" #

" #

" #

(3.2) a) SOLUCIÓN:1º) X Í O/<ÐX Ñ œ Ð!es inyectiva ˜ ™ß !ß !Ñ

O/<ÐX Ñ œ Ð+ + "˜ ™ß ,ß -Ñ − ÎXÐ ß ,ß -Ñ œ !‘$ XÐ ß ,ß -Ñ œ ! Ê Ð+ , -Ñ Ð+ ,ÑB - B œ !+ #

+ , - œ ! Ê + œ , à - œ !

+ , œ !

- œ !

2º) Luego; O/<ÐX Ñ œ Ð+˜ ™ß ,ß -Ñ − Î+ œ , à - œ !‘$ O/<ÐX Ñ œ Ð , œ ,Ð˜ ™ ˜ ™ß ,ß !Ñ − Î, − "ß "ß !ÑÎ, −‘ ‘ ‘$

O/<ÐX Ñ œ 1/8 Ð Á Ð! "˜ ™ ˜ ™ "ß "ß !Ñ ß !ß !Ñ

3º) Por lo tanto, X " no es inyectiva.



PÁG. 326



b) SOLUCIÓN:1º) X Í M7 ÐXÑ œes sobreyectiva c ‘

#Ð Ñ

Usando el teorema de la dimensión: .37 "‘$ œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ .37 ÐM7 ÐXÑÑ 2º) Luego; como .37 Ñ œ "‘$ œ $ à .37 ÐO/< ÐX Ñ (OBVIO!!) SE TIENE QUE: .37‘$ œ .37 ÐO/< ÐX ÑÑ .37 ÐM7 ÐXÑÑ $ "œ " .37 ÐM7 ÐXÑÑ

Ê .37 ÐM7 ÐXÑÑ œ # Ð Ñ œ $Á .37 "c ‘#

3º) Por lo tanto, X " no es sobreyectiva.

OTRA FORMA de hacer b) es encontrando la M7 ÐXÑ. En efecto:1º) M7 ÐXÑ œ Ð+ , -Ñ Ð+ ,ÑB - B − Ð Ñ Î ß ,ß - −˜ ™ # c ‘ ‘

#+

M7 ÐXÑ œ Î ß ,ß - −˜ ™+Ð" BÑ ,Ð" BÑ -Ð" B Ñ +# ‘

M7 ÐXÑ œ 1/8˜ ™Ð" BÑ à Ð" BÑ à Ð" B Ñ#

M7 ÐXÑ 1/8œ Ð" BÑ à Ð" B Ñ˜ ™#

2º) .37 ÐM7 ÐXÑÑ œ # (OBVIO!!), ya que además ˜ ™Ð" BÑ à Ð" B Ñ# es L.I., es decir Ê .37 ÐM7 ÐXÑÑ œ # Ð Ñ œ $Á .37c ‘

#




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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MiÉRCOLES 06 DE JUNIO DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __11PROFESOR__ __NELSON ARAVENA CASTILLO

(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3: (3.1) Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Äc ‘ ‘

"

# ; definidapor XÐ+ , BÑ œ Ð+ , ß + , ÑSean las para y parabases ORDENADAS c ‘ ‘

"Ð Ñ #

respectivamente F œ à F œ Ð Ð"" #

˜ ™ ˜ ™" #B ß B "ß "Ñ ß ß "Ñ

Encuentre la representación matricial de respecto de estas bases.X (3.2) Considere la transformación lineal ; definidaX À Ä ‘ ‘$ #

por XÐBß Cß DÑ œ Ð ß # ÑB C D B #C #Da) Determine si es inyectiva.Xb) Determine si es sobreyectiva.X





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 7 DE JUNIO DE 2007: 12:45 - 14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __13PROFESOR__ __ERICK GONZÁLEZ GAJARDO

(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3: (3.1) Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Ä` ‘ ‘

#B #

# ;

XÐ Ñ œ Ð+ , - . ß + , - Ñ+ ,- .” •

Sean las para y parabases ORDENADAS ` ‘ ‘#B #

Ð Ñ #

respectivamente F œ" œ ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !ß ß ß

F œ Ð Ð#

˜ ™"ß "Ñ ß "ß !Ñ

Encuentre la representación matricial de respecto de estas bases.X (3.2) Considere la transformación lineal ;X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘

"

$

definida por XÐ+ , BÑ œ Ð ß Ñ! + , ß + ,a) Determine si es inyectiva.Xb) Determine si es sobreyectiva.X





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 6DE JUNIO DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3: (3.1) Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ ` ‘

" #B " ;

definida por XÐ+ , BÑ œ+ ,+ ,Œ

Sean las para y parabases ORDENADAS c ‘ ` ‘" #B "Ð Ñ Ð Ñ

respectivamente F œ à F œ" #

˜ ™ ˜ ™" #B ß B ß " "" "Œ Œ

Encuentre la representación matricial de respecto de estas bases.X (3.2) Considere la transformación lineal ;X À Ä Ð Ñ ‘ c ‘$

"

definida por XÐ+ß ,ß -Ñ œ Ð+ , -Ñ Ð, -ÑBa) Determine si es inyectiva.Xb) Determine si es sobreyectiva.X





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 6 DE JUNIO DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __22PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(3.1) (3.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 3: (3.1) Considere la transformación lineal X À Ä Ð Ñ‘ c ‘#

" ; definida

por XÐ+ ß ,Ñ œ , Ð+ ,ÑBSean las para y parabases ORDENADAS ‘ c ‘#

"Ð Ñ

respectivamente F œ à F œ" #

˜ ™ ˜ ™Ð "ß "Ñß Ð!ß "Ñ B ß # B

Encuentre la representación matricial de respecto de estas bases.X (3.2) Considere la transformación lineal ;X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘

"

$

definida por XÐ+ , BÑ œ Ð+ , - ß ! ß + -Ña) Determine si es inyectiva.Xb) Determine si es sobreyectiva.X





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PRUEBA ENSAYO N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)

1.

(1.1) Dadas: E œ F œ

" " " !" ! ! "! " " "

" ! " !" " ! "

" " " !! " " "" ! " "" " ! "

Î ÑÐ ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò

a) _____ b) _____ c) V+819ÐEÑ œ ./>ÐFÑ œ FÐF M Ñ œ"%


(1.2) Dado el sistema ; _________Î ÑÎ Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò Ï Ò

" " " ! B +! " " " C !" ! " " D ," " ! " > "

œ D œ

(1.3) Considere el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente delPARÁMETRO : -

- -

#B %C 'D œ )

$B C &D œ #

%B C Ð "%ÑD œ ##

a) El sistema no tendrá solución cuando ______________- œ

b) El sistema tendrá única solución cuando ______________- œ

c) El sistema tendrá infinitas soluciones cuando ______________- œ

2.(2.1) Si invertibles.Eß F ß E F ß E F ß M FE" "

El valor SIMPLIFICADO de es ______ÐE FÑ EÐE F Ñ F" " " " ‘(2.2) invertible; ; entonces __________E EF œ FE W œ F ß ÐE WEÑ œ# " #



PÁG. 332



(2.3) Si E œ +.4E œ E œ# " %$ # "

" $ "

Î ÑÏ Ò


3.

(3.1)


3 # 3" 3 " 3 # 3 $ 3 % 3#3 $ 3 " 3 " 3 3

% 3 (3

œ

(3.2) Si E œ F œ G œ" " # ! # " ! ! #$ % & $ ! & $ " !! " " ( ' ! ! # %


ÐE FÑ œ G œ ./> 'G ÐE FÑ œ> " " >Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò; __ à ’ “

4. (4.1) Demuestre que: es antisimétrica.E − Ê ÐE E Ñ`

8 B8

"#

>

(4.2) Como producto de matrices elementales

Œ Œ Œ Œ Œ # "" $

œ"

5. Sean y[ œ 1/8 B B ß " B ß # B $B"# #˜ ™

[ œ + B − T Ð ÑÎ#+ $+ + œ ! • + #+ + œ !# 3 ! " # ! " #3œ!

#3

#˜ ™! ‘

(5.1) A partir de los vectores complete si˜ ™B B ß " B ß # B $B# #

corresponde a una base de __________________________________T Ð Ñ# ‘

(5.2) Un conjunto de vectores que genere a ______________________[#

(5.3) Una base para _____________________________________[ [" #

(5.4) _______ base de __________________.37 Ð[ [ Ñ œ Ð[ [ Ñ" # " #



PÁG. 333



6.

(6.1) Los valores de escalares; para que sea combinación” •" # " "

lineal de son____________________ Ÿ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

ß ß ß

(6.2) Los valores de escalares; para que el polinomio $ #B B$

pertenezca a son_________________________1/8 " B B ß " B ß "˜ ™$

(6.3) Sea donde definimos:Z œ ÐBß CÑÎBß C −˜ ™‘ÐB ß C Ñ Š ÐB ß C Ñ œ ÐB C ß !Ñ a ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ − Z

" " # # " # " " # #; ,

! ! ! ! ‘ ÐBß CÑ œ Ð Bß CÑ a ÐB ß CÑ − Z a −; ,

a) SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad deque la operación es cerrada en _____________________________Š Z À

b) SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad dedistributividad del escalar: _________________________________________

(6.4) Sea el conjunto de las matrices de orden con` ‘7 B 8

Ð Ñ 7 B 8coeficientes en el cuerpo ; dotado de las operaciones:‘SUMA VECTORIAL: Si ,Ð+ Ñ à Ð, Ñ − Ð Ñ

3 4 3 4 7 B 8` ‘

entonces Ð+ Ñ Ð, Ñ œ Ð+ , Ñ3 4 3 4 3 4 3 4

MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: Si ; , entonces ! ‘ ` ‘ ! !− Ð+ Ñ − Ð Ñ Ð+ Ñ œ Ð + Ñ

3 4 7 B 8 3 4 3 4

Dado el conjunto .Q œ ÎB ß C −B B C

B C C˜ ™Œ ‘

SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad que debecumplirse para que sea subespacio vectorial de : _____________` ‘

#B#Ð Ñ

7. Dada la matriz en ` ‚$B$

Ð Ñ À E œ" 3 !

3 ! "! " 3 " 3

Î ÑÏ Ò

a) ______ ;V+819ÐEÑ œ

b) ¿es invertible? ______ ;

c) E œ"Î ÑÏ Ò



PÁG. 334



8.

(8.1) Si . E œÎ ÑÏ Ò

# " %$ # "

" $ "œ Ð- ÑßPARA LA determine:+.4 ÐEÑ 34

a) ____ c) ____7/89< Q œ G œ ><7389 -#$ $#Œ b) -90+->9< œ#"

(8.2) En el sistema _______


" " ! ! B +! ! ! " C !! " " " D ,

" ! " ! > !

œ à C œ

9. Sean y[ œ 1/8 Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ" ˜ ™[ œ ÐBß Cß DÑ − Î #B $C D œ ! • B #C D œ !#

$˜ ™‘

(9.1) A partir de los vectores ; una base˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ

para el espacio vectorial es_____________________________________["

(9.2) Un conjunto de vectores que genere a es____________________[#

(9.3) El subespacio vectorial es___________________________[ [" #

10. (10.1) Sea donde definimos:Z œ ÐBß CÑÎBß C −˜ ™‘ÐB ß C Ñ Š ÐB ß C Ñ œ ÐB C ß B C Ñ a ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ − Z

" " # # " # " " " # #2 ; ,! ! ‘ ÐBß CÑ œ ÐB ß C Ñ a ÐB ß CÑ − Z a −! ! ; ,

a) SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad deque la operación está bien definida: _____________________________

b) SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad dedistributividad del vector: _________________________________________

(10.2) Sean yF œ" ŸŒ Œ Œ Œ " ! ! " ! ! ! !

! ! ! ! " ! ! "à à à

F œ# ŸŒ Œ Œ Œ " " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !à à à Ð Ñbases de ` ‘

#B#



PÁG. 335



a) b)– — – —Œ Œ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

" # " # $ % $ %

œ œ

F F" #

(10.3) Dado Q œ + + B + B − Ð ÑÎ+ œ + + + œ + +˜ ™! " # # " ! # # ! "# c ‘ •

SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debe cumplirse para que seaQ subespacio vectorial de con las operaciones usualesc ‘#Ð Ñ(Explicite la o las condiciones que deben cumplirse):

_______________________________________________________________

________________________________________________________________

11. Dado el sistema B #B $B B œ !

$B B &B B œ !

#B B B œ !

" # $ %

" # $ %

" # %

(11.1) El conjunto solución es __________________________________W

(11.2) ________________________________________________1/8 ÐWÑ œ _

(11.3) _________________________ y __________,+=/ ./ .37 ÐW œ WÑ œ

12. Sean [ œ ÐBß Cß Dß >Ñ − Î C $D > œ !"%˜ ™‘

[ œ ÐBß Cß Dß >Ñ − Î B #C D œ ! à B C D œ $>#%˜ ™‘

(12.1) Una base para es _______________________________________["

(12.2) Una base para es ______________________________________[#

(12.3) __________________________________________1/8 Ð œ[ [ Ñ" #

(12.4) Una base para es __________________________________[ [" #

(12.5) A partir de la base de una base de es[ [" #%‘

______________________________________________________________ .

(12.6) _______________.37 Ð[ [ Ñ œ" #



PÁG. 336



13. Sean [ Î Bß C − § Ð ÑB (C &C "!C B (C" #B#œŒ Ÿ‘ ` ‘

[ Î B #C D œ ! à B C D œ $> § Ð ÑB CD ># #B#œŒ Ÿ ` ‘

(13.1) Una base para es _______________________________________["

(13.2) ___________________________________________1/8 Ð[ [ Ñ œ" #

(13.3) Una base para es __________________________________[ [" #

(13.4) A partir de la base de una base de es[ [ Ð Ñ" # #B#` ‘

________________________________________________________________(13.5) _________________.37 Ð Þ[ [ Ñ œ" #

14.

(14.1) La matriz de transición o matriz de cambio de base ; de la baseÒEÓF"

F#

F œ " B B B ß " B B ß " Bß " F œ B ß B ß Bß "" #

˜ ™ ˜ ™# $ # $ #a la base

es ÒEÓ œF"

F#


.

(14.2) Además; calcule:

;Ò" $B %B &B Ó œ# $F#


ÒEÓ Ò" $B %B &B Ó œF"

F#

F"

# $


(14.3) La matriz inversa de la matriz de transición obtenida en (14.1)

ÐÒEÓ Ñ ÒEÓ F FF F" #

F F# "

# ""; y l matriz de transición de la base a la base sona

ÐÒEÓ Ñ œ à ÒEÓ œF F" #

F F# ""


15. Consideremos las siguientes funciones:(15.1) H À Ð Ñ Ä Ð Ñ HÐ:ÐBÑÑ œ Ð:ÐBÑÑ # Ð:ÐBÑÑ definida por c ‘ c ‘

8 8

#

#. .

. B . B

SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad que deberíacumplirse para que sea transformación lineal ______________________H



PÁG. 337



(15.2) ; ; tal que Y À Ð Ñ Ä Ð Ñ YÐEÑ œ EF F œ" "" !

` ‘ ` ‘#B# #B#

# Œ SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad que deberíacumplirse para que sea transformación lineal ______________________Y

16. ( Si X À Z Ä [ Þ .37 Z œ .37 ÐO/< X Ñ .37 ÐM7 XÑtransf lineal )

Sea y tal que , .E œ X À Ä XÐB Cß DÑ œ E" " # B! " " C# " $ D

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø‘ ‘$ $

(16.1) (16.2) ,+=/ ,+=/O/< ÐX Ñ œ M7 ÐX Ñ œ___________ ___________

(16.3) A partir de la base de , una base de esO/< ÐX Ñ ‘$

(16.4) ¿ Es _______(16.5) ¿Es ________X X inyectiva ? sobreyectiva?

(16.6) La representación matricial de X respecto de la baseF œ Ð"ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ F

" #˜ ™ para el dominio y la base canónica

para el espacio de llegada es: Ò Ó œXF"

F#Î ÑÏ Ò

17. Sea. definida por:X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘#B# $

X Ð Ñ œ Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B+ ,- .” • # $

(17.1) ________________(17.2) ________________,+=/ ,+=/O/< ÐX Ñ M7 ÐX Ñ

(17.3) A partir de la base de , una base de esM7 ÐX Ñ Ð Ñc ‘$

________________________________________________________________

(17.4) ¿ Es _________________________________________X biyectiva ? (17.5) La representación matricial de X respecto de la base canónica F

"

para el dominio y la base paraF œ#

˜ ™" B B B ß " B B ß " Bß "# $ #

el espacio de llegada es: Ò Ó œXF"

F#


18. Sea tal que X À Ä XÐBß Cß DÑ œ Ð ß # Ñ‘ ‘$ # B C D B #C #D

(18.1) (18.2) .37 ,+=/O/< ÐX Ñ œ M7 ÐX Ñ œ ____ ______________________

(18.3) A partir de la base de , una base de esM7 ÐX Ñ ‘#

________________________________________________________________



PÁG. 338



(18.4) ¿ Es _________________________________________X inyectiva ?

(18.5) ¿ Es ______________________________________X sobreyectiva ?

19. ; X À Ð Ñ Ä XÐ Ñ œ Ð+ , - .ß + , -ß + ,ß + Ñ+ ,- .

` ‘ ‘#B#

% ” •Sean las para y para respectivamentebases ORDENADAS ` ‘ ‘

#B#Ð Ñ %

F œ" œ ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !ß ß ß

F œ Ð Ð" Ð" Ð"#

˜ ™"ß "ß "ß "Ñ ß ß "ß "ß !Ñß ß "ß !ß !Ñß ß !ß !ß !Ñ

Encuentre la representación matricial de ; X XÒ Ó œF"

F#


20. Sea la transformación lineal definidaY À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ ` ‘#B# #B#

por ; tal que . Determine lo indicado:YÐEÑ œ EF F œ" "" !

# Œ (20.1) YÐ Ñ œ

" " " "” • Œ

(20.2) YÐ Ñ œB CD >” • Œ _____ _____

_____ _____

(20.3) Y Ð Ñ œ" "

" "" ” • Œ

(20.4) Y Ð Ñ œB CD >

" ” • Œ _____ __________ _____



PÁG. 339



PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA DE ENSAYO N° 1:

1. (1.1) a) _ _ b) _ _V+819ÐEÑ œ ./>ÐFÑ œ$ $

c) FÐF M Ñ œ

! " " !! ! " " " ! ! " " " ! !

"%


(1.2) D œ "$ Ð+ , #Ñ

(1.3) a) _ _ b) _ _ c) _ _- - -œ Á œ % „ % %

2. (2.1) ___ ___ (2.2) ___ ___M FÐE WEÑ œ" #

(2.3) +.4E œ E œÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

& "$ ( & "$ ( # ' "% # ' "%"" & ( "" & (

; " "&'

3.

(3.1)


&3 '3 #3 & 3 ' #3 % %3 % % #3 $ ""3 "% 3 ") ) )3

(3.2)

ÐE FÑ œ G œ> " "'


" ! ( # # " $ % ( ' ! $" ! " $ ! !

à;

./> 'G ÐE FÑ œ’ “ " > _ _")

4. (4.1) Por demostrar que: " "

# #> > >

ÐE E Ñ œ ÐE E Ñ ‘ .DEM ÐE E Ñ œ ÐE ÐE Ñ Ñ œ ÐE EÑ œ ÐE E Ñ ‘" " " "

# # # #> > > > > >>

Por lo tanto; es antisimétrica. "

#>ÐE E Ñ



PÁG. 340



(4.2) Œ Œ Œ Œ # "" $

œ" # " ! ! "! " # " " !

" !

!

"

"&

5. (5.1) (5.2) (5.3) no tiene base˜ ™ ˜ ™B B ß " B ß " & $B B# #

(5.4) _ _ base de .37 Ð[ [ Ñ œ Ð[ [ Ñ œ " ß B ß B" # " ##$ ˜ ™

6.(6.1) __ __ " ß # ß " ß $

(6.2) __ __ " ß " ß &

(6.3) a) ,a ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ − Z Ê ÐB ß C Ñ Š ÐB ß C Ñ − Z

" " # # " " # #

b) ,a − à a ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ − Z! ‘" " # #

Ê ÐÐB ß C Ñ Š ÐB ß C ÑÑ œ Ð ÐB ß C ÑÑ Š Ð ÐB ß C ÑÑ! ! !" " # # " " # #

(6.4) a E ß F a Ê ÐE − Q à − FÑ − Q à Q Á! ‘ ! 9

7.

a) _ _ ; b) _ _ ; c)V+819ÐEÑ œ E œ$ WM " "#

Î ÑÏ Ò

" 3 " 3 3 " 3 " 3 " " 3 " 3 "

8.

(8.1) b)a) _ _ c) _ _Œ & "$"" &

&' #

(8.2) C œ Ð+ ,Ñ"#

9. Sean y[ œ 1/8 Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ" ˜ ™[ œ ÐBß Cß DÑ − Î #B $C D œ ! • B #C D œ !#

$˜ ™‘

(9.1) (9.2) (9.3) ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ Ð &ß $ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ



PÁG. 341



10. (10.1) a) a − à a ÐB ß CÑ − Z Ê ÐBß CÑ − Z! ‘ !

b) a ß − à a ÐB ß CÑ − Z! " ‘

Ê Ð Ñ ÐBß CÑ œ Ð ÐBß CÑÑ Š Ð ÐBß CÑÑ! " ! "

(10.2) a) b)


" %# " $ & % $

(10.3) a a −+ + B + B à , , B , B − Q à! " # ! " ## # ! ‘

Ê Ð Ð+ + B + B Ñ , , B , B Ñ − Q! " # ! " ## #!

es decir: + , œ Ð+ , Ñ Ð+ , Ñ" " ! ! # #! ! !

+ , œ Ð+ , Ñ Ð+ , Ñ# # ! ! " "! ! !

11. (11.1) (11.2) W œ 1/8˜ ™ ˜ ™Ð "ß #ß "ß !Ñ Ð "ß #ß "ß !Ñ

(11.3) y _ _˜ ™Ð "ß #ß "ß !Ñ .37 ÐWÑ œ "

12. (12.1) ˜ ™Ð"ß !ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Þ "Ñà Ð!ß !ß "ß $Ñ

(12.2) ˜ ™Ð "ß !ß "ß !Ñà Ð#ß "ß !ß "Ñ

(12.3) ˜ ™Ð"ß !ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Þ "Ñà Ð!ß !ß "ß $Ñà Ð "ß !ß "ß !Ñà Ð#ß "ß !ß "Ñ

(12.4) ˜ ™Ð"ß !ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Þ "Ñà Ð!ß !ß "ß $Ñà Ð "ß !ß "ß !Ñ

(12.5) ˜ ™Ð"ß !ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Þ "Ñà Ð!ß !ß "ß $Ñà Ð "ß !ß "ß !Ñ

(12.6) _ _.37 Ð[ [ Ñ œ" # "

13.

(13.1) (13.2) Œ Œ Œ Ÿ Ÿ" ! ( & ! !! " "! ( ! !

à

(13.3) no tiene base



PÁG. 342



(13.4) Œ Œ Œ Œ Ÿ" ! ! " ! ! ! !! ! ! ! " ! ! "

à à à

(13.5) __ __%

14.

(14.1)


" ! ! !" " ! !" " " !" " " "

(14.2) ;


& &% % $ $" "

(14.3)


" ! ! ! " ! ! ! " " ! ! " " ! !! " " ! ! " " !! ! " " ! ! " "

à

15. (15.1) a − à a :ÐBÑ ß ;ÐBÑ −! ‘ c ‘

8Ð Ñ

Ê :ÐBÑ ;ÐBÑÑ œ :ÐBÑÑ ÐBÑÑHÐ HÐ HÐ;! !

(15.2) a − à a E ß E − ! ‘ " # ` ‘#B#

Ð Ñ Ê E E Ñ œ E Ñ E ÑYÐ YÐ YÐ" # " #! !

16.(16.1) ˜ ™Ð "ß "ß "Ñ

(16.2) ˜ ™Ð"ß !ß #Ñà Ð "ß "ß "Ñ

(16.3) ˜ ™Ð "ß "ß "Ñà Ð"ß !ß #Ñà Ð "ß "ß "Ñ

(16.4) ya que RSà O/< ÐX Ñ Á Ð!ß !ß !Ñ˜ ™(16.5) ya que RSà M7 ÐX Ñ Á ‘$

(16.6) Î ÑÏ Ò

# ! "! " !% " #



PÁG. 343



17. (17.1) (17.2) (17.3) 89 >3/8/ ,+=/ ˜ ™ ˜ ™"ß Bß B ß B "ß Bß B ß B# $ # $

(17.4) ya que e WM ß O/< ÐX Ñ œ M7 ÐX Ñ œ˜ ™” •! !! !

c$

(17.5)


" ! ! !! " ! !# # " !! ! ! "

18. Sea tal que X À Ä XÐBß Cß DÑ œ Ð ß # Ñ‘ ‘$ # B C D B #C #D

(18.1) (18.2) (18.3) _ _ # ˜ ™ ˜ ™Ð Ð"ß #Ñ "ß #Ñà Ð"ß !Ñ

(18.4) ya que RSà O/< ÐX Ñ Á Ð!ß !ß !Ñ˜ ™(18.5) ya que RSà M7 ÐX Ñ Á ‘#

19.


" " " " " " " !" " ! ! " ! ! !

20.

(20.1) Œ " !" !

(20.2) YÐ Ñ œB C C B CD > > D >” • Œ

(20.3) Œ ! "! "

(20.4) Y Ð Ñ œB C B C BD > D > D

" ” • Œ



PÁG. 344




UNIDAD N° 6: VALORES Y VECTORES PROPIOS DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CUADRÁTICAS

TEMA 1: DEFINICIONES DE VALOR Y VECTOR PROPIO

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular los valores propios para una transformación lineal.

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular los valores propios para la representación matricial de una transformación lineal.OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular los valores propios para una matriz. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar el conjunto de vectores propiosasociados a cada valor propio, proveniente de una transformación lineal o de una matriz.

(1.1) DEFINICIÓN: Sean espacio vectorial sobre el cuerpo tal que Z O .37 Z œ 8y un operador lineal (es decir una transformación lineal deX À Z Ä ZZ Z Þ en ) Se dice que un escalar ( ó ) es VALOR PROPIO DE - ‘ ‚− O Xsi y solo si existe un vector ; tal que se verifica la siguiente@ − Z @ Á !

Z

propiedad: X Ð@Ñ œ @-

(1.2) : DEFINICIÓN De existir el vector ; , tal que .@ − Z @ Á ! X Ð@Ñ œ @

Z-

Se dice que el vector es VECTOR PROPIO ASOCIADO AL VALOR@PROPIO .-

(1.3) : EJEMPLOS(1.3.1) Sea definida por X À Ä XÐBß CÑ œ ÐB Cß B CÑ‘ ‘# #

Determine valores propios y vectores propios (si existen) de X ÞSOLUCIÓN:1°) es VALOR PROPIO DE si y solo si existe un vector- XÐBß CÑ − ÐBß CÑ Á Ð ! ß !Ñ‘# ; tal que: ;X ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ-

es decir:ÐB C ß B CÑ œ ÐBß CÑ Í B C œ B Í Ð" ÑB C œ !

B C œ C B Ð" ÑC œ !

- - -

- -



PÁG. 345



2° Este sistema de ecuaciones homogéneo tiene a lo menos la soluciónÑtrivial ; pero esta no sirve; ya que debemos buscar la soluciónB œ C œ !ÐBß CÑ Á Ð ! ß !Ñ para que sea valor propio.-

3°) Para que el sistema tenga solución no trivial, es decir

ÐBß CÑ Á Ð ! ß !Ñ ./> œ !" "

" Ð" Ñ; se debe tener que: ” •-

-

es decir:

./> œ Ð" ÑÐ" Ñ " œ #" "

" Ð" Ñ” •-

-- - -#

Luego: y - - -# # œ ! Ê œ # œ #

" #È È

son los valores propios de la transformación lineal X Þ

4°) Obtengamos los vectores propios asociados a cada valor propio:a) Para . -

"œ #È

Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð" ÑB C œ !

B Ð" ÑC œ !

-

-

reemplazando por :- -"œ #È

– —È È ” • ” •" # " B !

" Ð" #Ñ C !œ

(es necesario precisar que a lo menos una de las filas de la matriz decoeficientes debe anularse, en caso contrario NO SERÍA VALOR PROPIO)

– —È È ” •È" # "

" Ð" #ÑÄ " Ð" #Ñ

! !

; con Ê B œ Ð" #Ñ C C Á ! ÞÈ Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a-

"œ #È , está dado por:

W œ 1/8 Ð" # ß "Ñ Ð! ß !ÑÈ#˜ ™ ˜ ™È

b) Para .-#œ #È

Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð" ÑB C œ !

B Ð" ÑC œ !

-

-

reemplazando por :- -#œ #È

– —È È ” • ” •" # " B !

" Ð" #Ñ C !œ



PÁG. 346




– —È È ” •È" # "

" Ð" #ÑÄ " Ð" #Ñ

! !


#œ #È , está dado por:

W œ 1/8 Ð" # ß "Ñ Ð! ß !Ñ #È ˜ ™ ˜ ™È

(1.3.2) Verifique que es valor propio asociado al vector-#œ #È

propio de la T.L. definida en (1.3.1) .Ð" # ß "ÑÈSOLUCIÓN:

Se debe verificar que: . X ÐB ß CÑ œ ÐB ß CÑ-#

En efecto: X ÐB ß CÑ œ X Ð" # ß "Ñ œ Ð# # ß # ÑÈ È È -

#ÐB ß CÑ œ # Ð" # ß "Ñ œ Ð# # ß # ÑÈ È È È

Por lo tanto: ;X ÐB ß CÑ œ ÐB ß CÑ-

#

es decir: .X Ð" # ß "Ñ œ # Ð" # ß "ÑÈ È È Luego; se verifica lo pedido.

(1.3.3) ;Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‚ ` ‚#B" #B"

definida por X œ+ + ,, + ,Œ Œ

Determine valores propios y vectores propios (si existen) de X ÞSOLUCIÓN:

1°) es VALOR PROPIO DE si y solo si existe un vector- X

Œ Œ Œ + + !, , !

− Ð Ñ Á` ‚#B"

; tal que:

;X œ+ +, ,Œ Œ -

es decir:

Œ Œ + , ++ , ,

œ Í + , œ + Í Ð" Ñ+ , œ !

+ , œ , + Ð" Ñ, œ !

- - -

- -



PÁG. 347



2° Este sistema de ecuaciones homogéneo tiene a lo menos la soluciónÑtrivial ; pero esta no sirve; ya que debemos buscar la solución+ œ , œ !

Œ Œ + !, !

Á para que sea valor propio.-

3°) Para que el sistema tenga solución no trivial, es decir

Œ Œ ” •+ ! " ", ! " "

Á ./> œ !; se debe tener que: -

-

es decir:

./> œ Ð" Ñ " œ # #" "

" " ” •-

-- - -# #

Luego:

- - - ‚# #„ %)# # # œ ! Ê œ œ " „ 3 −È

y - -" #œ " 3 œ " 3

son los valores propios de la transformación lineal X Þ


"œ " 3

Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð" Ñ+ , œ !

+ Ð" Ñ, œ !

-

-

reemplazando por :- -"œ " 3

” •Œ ” •" Ð" 3Ñ " + !" " Ð" 3Ñ , !

œ


; con ” • ” • 3 " " 3" 3 ! !

Ä Ê + œ 3 , , Á ! Þ

Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a-

"œ " 3 , está dado por:

W œ 1/8 Ð"3Ñ

˜ ™ ˜ ™Œ Œ 3 !" !

b) Para .-#œ " 3

Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð" Ñ+ , œ !

+ Ð" Ñ, œ !

-

-

reemplazando por :- -#œ " 3

” •Œ ” •" Ð" 3Ñ " + !" " Ð" 3Ñ , !

œ



PÁG. 348




; con ” • ” •3 " " 3" 3 ! !

Ä Ê + œ 3 , , Á ! Þ



W œ 1/8 Ð"3Ñ

˜ ™ ˜ ™Œ Œ 3 !" !

(1.3.4) Verifique que es valor propio asociado al vector-#œ " 3

propio de la T.L. definida en (1.3.3) .Œ # 3#

SOLUCIÓN:

Se debe verificar que: . X œ+ +, ,Œ Œ -

#

En efecto:

X œ X œ+ # 3 # 3 #, # # 3 #Œ Œ Œ

-#Œ Œ Œ Œ + # 3 # 3Ð" 3Ñ # 3 #

, # #Ð" 3Ñ # 3 #œ Ð" 3Ñ œ œ

Por lo tanto:

;X œ+ +, ,Œ Œ -

#

es decir:

.X œ Ð" 3Ñ # 3 # 3

# #Œ Œ Luego; se verifica lo pedido.

(1.3.5) Considere la transformación lineal X À Ä‘ ‘$ $ ; definida por X ß Cß DÑ œ ÐB $C #D ß B #C D ß %B C DÑÐB Determine valores propios y vectores propios (si existen) de X ÞSOLUCIÓN:

1°) es VALOR PROPIO DE si y solo si existe un vector- XÐB ÐB Ð!ß Cß DÑ − ß Cß DÑ Á ß !ß !Ñ‘$ ; tal que: ;X ß Cß DÑ œ ß Cß DÑÐB ÐB-

es decir: ÐB $C #D ß B #C D ß %B C DÑ œ ß Cß DÑ- ÐB



PÁG. 349



Í B $C #D œ B Í Ð" ÑB $C #D œ !

B #C D œ C B Ð# ÑC D œ !

%B C D œ D %B C Ð" ÑD œ !

- -

- -

- -

2° Este sistema de ecuaciones homogéneo tiene a lo menos la soluciónÑtrivial ; pero esta no sirve; ya que debemos buscar laB œ C œ D œ !solución para que sea valor propio.ÐB Ð!ß Cß DÑ Á ß !ß !Ñ -

3°) Para que el sistema tenga solución no trivial, es decirÐB Ð!ß Cß DÑ Á ß !ß !Ñ ; se debe tener que:

./> œ !" $ # " # "% " Ð" Ñ

Ô ×Õ Ø

-

-

-

es decir:

./> œ Ð" ÑÐ #ÑÐ $Ñ" $ # " # "% " Ð" Ñ

Ô ×Õ Ø

-

-

-- - -

En efecto:œ Ð" Ñ Ð #ÑÐ "Ñ " $Ð "Ñ # % $ #Ð #Ñ- - - - - ‘ ‘ ‘œ Ð" Ñ " $ " % # "Ñ- - - - - ‘ ‘ ‘#

œ Ð" Ñ " &Ð "Ñ œ Ð" Ñ '- - - - - - - ‘ ‘# #

œ Ð" ÑÐ #ÑÐ $Ñ- - -

Luego:Ð" ÑÐ #ÑÐ $Ñ œ ! Ê œ # à œ " à œ $- - - - - - son los valores propios de la transformación lineal X Þ


"œ #

Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð" ÑB $C #D œ !

B Ð# ÑC D œ !

%B C Ð" ÑD œ !

-

-

-

reemplazando por :- -"œ #

Ô ×Î Ñ Î ÑÕ ØÏ Ò Ï Ò

$ $ # B ! " % " C !% " " D !

œ


Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

Ô ×Ö ÙÕ Ø

$ $ # " % " " % " ! "& &% " " ! "& &

Ä Ä

" !

! "

! ! !

"$"$

; con Ê B œ C œ D D Á ! Þ"$



PÁG. 350




"œ # , está dado por:

W œ#

1/8 ß ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ œ 1/8 "ß "ß $Ñ Ð!ß !ß !Ñ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð Ð" "$ $

b) Para .-#œ "


B Ð# ÑC D œ !

%B C Ð" ÑD œ !

-

-

-

reemplazando por :- -#œ "


! $ # B ! " " " C !% " # D !

œ



Ô ×Ö ÙÕ Ø

! $ # " " " " " " ! $ #% " # ! $ #

Ä Ä

" !

! "

! ! !

"$

#$

; con Ê B œ D à C œ D D Á ! Þ" #$ $


#œ " , está dado por:

W œ"

1/8 ß ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ œ 1/8 "ß #ß $Ñ Ð!ß !ß !Ñ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð Ð" #$ $

c) Para .-$œ $


B Ð# ÑC D œ !

%B C Ð" ÑD œ !

-

-

-

reemplazando por :- -$œ $


# $ # B ! " " " C !% " % D !

œ


Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

# $ # " " " " ! " " " " ! & ! ! " !% " % ! & ! ! ! !

Ä Ä

; con Ê B œ D à C œ ! D Á ! Þ Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a-

$œ $ , está dado por: W œ

$1/8 "ß !ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ˜ ™ ˜ ™Ð



PÁG. 351



(1.3.6) Verifique que es valor propio asociado al vector-$œ $

propio de la T.L. definida en (1.3.5) .Ð %ß !ß %ÑSOLUCIÓN: Se debe verificar que: X ß Cß DÑ œ ß Cß DÑÐB ÐB-

$

En efecto: X ß Cß DÑ œ X ß !ß %Ñ œ ß !ß "#ÑÐB Ð % Ð "# -

$ÐB Ð % Ð "#ß Cß DÑ œ $ ß !ß %Ñ œ ß !ß "#Ñ

Por lo tanto: ;X ß Cß DÑ œ ß Cß DÑÐB ÐB-$

es decir: .X ß !ß %Ñ œ $ ß !ß %ÑÐ % Ð % Luego; se verifica lo pedido.

(1.4) : DEFINICIÓN Sea E − ÐOÑ Þ`

8 B8

Se dice que un escalar ( ó ) es VALOR PROPIO DE - ‘ ‚− O Esi y solo si existe un vector ó ; tal que se verifica la\ − \ Á !‘ ‚8 8

siguiente propiedad: E\ œ \-

(1.5) : DEFINICIÓN De existir el vector ó ; , tal que , se\ − \ Á ! E\ œ \‘ ‚ -8 8

dice que el vector es VECTOR PROPIO ASOCIADO AL VALOR\ Á !PROPIO .-

(1.6) : EJEMPLOS

Sea E œ# !

" &” •(1.6.1) Determine si es valor propio de - œ # E ÞSOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que: , para algún E\ œ \ \ œ Á ÞBB !

!- ” • ” •"

#

2º) Lo cual es equivalente a:

” •” • ” •# ! " & B B

B Bœ # Í #B œ #B Í B œ $B

B &B œ #B

" "

# #" " " #

" # #

3º) Luego si se tiene un vector propio asociado al valor propioB Á !#

- œ # B œ " Á$ !" !

. Por ejemplo; si , entonces es vector propio.# ” • ” •

4º) Por lo tanto; es valor propio de la matriz .- œ # E œ# !

" &” •



PÁG. 352



(1.6.2) Detemine si es valor propio de - œ " E ÞSOLUCIÓN:

1º) Se debe verificar que: , para algún E\ œ \ \ œ ÁBB !

!- ” • ” •"

#

2º) Lo cual es equivalente a:

” •” • ” •# ! " & B B

B Bœ Í #B œ B Í B œ B œ !

B &B œ B

" "

# #" " " #

" # #

3º) Luego; no es valor propio; ya que la solución es - œ " œ ÞBB !

!” • ” •"

#

(1.6.3) Determine los valores y vectores propios de .ESOLUCIÓN:

1º) Resolvamos , para algún E\ œ \ \ œ ÁBB !

!- ” • ” •"

#

” •” • ” •# ! " & B B

B Bœ Í Ð# Ñ B œ !

B Ð& Ñ B œ !

" "

# #"

" #

- -

-

el cual tiene solución no trivial si: ./> œ !# ! " & ” •-

-

es decir: ./> œ Ð# ÑÐ& Ñ œ !# ! " & ” •-

-- -

son los valores propios de Ê œ # à œ & E œ Þ# !

" &- - ” •

2º) Vectores propios asociados al valor propio .- œ # Resolvemos:

” •” • ” •# ! " & B B

B Bœ # Í #B œ #B Í B œ $B

B &B œ #B

" "

# #" " " #

" # #

Luego; el conjunto de vectores propios es: W œ 1/8 Ð$ ß "Ñ Ð!ß !Ñ

#˜ ™ ˜ ™

3º) Vectores propios asociados al valor propio . Resolvemos: - œ &

” •” • ” •# ! " & B B

B Bœ & Í #B œ &B Í B œ ! à B Á !

B &B œ &B

" "

# #" " " #

" # #

Luego; el conjunto de vectores propios es: W œ 1/8 Ð! ß "Ñ Ð!ß !Ñ

&˜ ™ ˜ ™



PÁG. 353



(1.7) MÉTODO PARA DETERMINAR LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS ASOCIADOS A LA MATRIZ E − ÐOÑ Þ`

8 B 8

(1.7.1) Formamos la matriz ; es la matriz identidad .ÐE M Ñ M-8 8

(1.7.2) Calculamos ./> ÐE M Ñ-8

(1.7.3) Resolvemos la ecuación ; para ,./> ÐE M Ñ œ !- -8

obteniendo así los VALORES PROPIOS DE ; los cuales puedenErepetirse.

(1.7.4) Para cada valor propio, determinamos los respectivosvectores propios asociados, resolviendo el siguiente sistema deecuaciones: ÐE M Ñ \ œ ! à \ Á !- 8

(1.8) :EJEMPLOS

(1.8.1) Sea E œ" "" "” •

Determine valores propios y vectores propios (si existen) de EÞSOLUCIÓN:

1°) es VALOR PROPIO DE si y solo si - -E ./> ÐE M Ñ œ !#

es decir:

./> ÐE M Ñ œ ./> œ #" "

" Ð" Ñ- -

-

-# ” • #

Luego: y - - -# # œ ! Ê œ # œ #

" #È È

son los valores propios de EÞ


"œ #È

Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: ÐE M Ñ \ œ ! à \ Á !- # reemplazando por :- -

"œ #È

– —È È ” • ” •" # " B !

" Ð" #Ñ C !œ

– —È È ” •È" # "

" Ð" #ÑÄ " Ð" #Ñ

! !

; con Ê B œ Ð" #Ñ C C Á ! ÞÈ



PÁG. 354




"œ #È , está dado por:

W œÈ#1/8 Ð" # ß "Ñ Ð! ß !Ñ œ 1/8 " #

"

!!

˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™È ” • ” •È

b) Para .-#œ #È


#œ #È

– —È È ” • ” •" # " B !

" Ð" #Ñ C !œ

– —È È ” •È" # "

" Ð" #ÑÄ " Ð" #Ñ

! !


#œ #È , está dado por:

W œ #È 1/8 Ð" # ß "Ñ Ð! ß !Ñ œ 1/8 " #

"

!!

˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™È ” • ” •È

(1.8.2) Verifique que es valor propio asociado al vector-#œ #È

propio de la matriz dada en (1.8.1) .” •È" #"

E

SOLUCIÓN:

Se debe verificar que: . E œ #" # " #" "

” • ” •È ÈÈ En efecto:

E œ œ" # " #" "

" " # #" " #

” • ” •” •È È – —ÈÈ # œ" #

"

# #

#È ” •È – —ÈÈ

Luego; se verifica lo pedido.



PÁG. 355



(1.8.3) Sea E œ" "" "” •

Determine valores propios y vectores propios (si existen) de EÞSOLUCIÓN:1°) es VALOR PROPIO DE si y solo si - -E ./> ÐE M Ñ œ !

#

es decir:

./> ÐE M Ñ œ ./> œ # #" "

" " - - -

-

-# ” • #

Luego: y - ‚ - -œ œ " „ 3 − Ê œ " 3 œ " 3#„ %)#

È" #

son los valores propios de EÞ


"œ " 3


"œ " 3

” •Œ Œ " Ð" 3Ñ " B !" " Ð" 3Ñ C !

œ

; con ” • ” • 3 " " 3" 3 ! !

Ä Ê B œ 3 C C Á ! Þ



W œ 1/8 œ 1/8 Ð"3Ñ

˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð3ß "Ñ Ð!ß !Ñ3 !" !Œ Œ

b) Para .-#œ " 3


#œ " 3

” •Œ Œ " Ð" 3Ñ " B !" " Ð" 3Ñ C !

œ

; con ” • ” •3 " " 3" 3 ! !

Ä Ê B œ 3 C C Á ! Þ



W œ 1/8 œ 1/8 Ð"3Ñ

˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð 3ß "Ñ Ð!ß !Ñ 3 !" !Œ Œ



PÁG. 356



(1.8.4) Verifique que es valor propio asociado al vector-#œ " 3

propio de la matriz dada en (1.8.3) .Œ # 3#

E

SOLUCIÓN:

Se debe verificar que: . E œ Ð" 3Ñ # 3 # 3

# #Œ Œ En efecto:

E œ œ # 3 " " # 3 # 3 #

# " " # # 3 #Œ ” •Œ Œ Ð" 3Ñ œ œ

# 3 # 3Ð" 3Ñ # 3 ## #Ð" 3Ñ # 3 #Œ Œ Œ


(1.8.5) Sea E œ" $ #

" # "% " "

Î ÑÏ Ò

Determine valores propios y vectores propios (si existen) de EÞSOLUCIÓN:1°) es VALOR PROPIO DE si y solo si - -E ./> ÐE M Ñ œ !

$

es decir:

./>ÐE M Ñ œ ./> œ Ð" ÑÐ #ÑÐ $Ñ" $ # " # "% " Ð" Ñ

- - - -

-

-

-$

Ô ×Õ Ø

Luego: Ð" ÑÐ #ÑÐ $Ñ œ ! Ê œ # à œ " à œ $- - - - - -

son los valores propios de EÞ2°) Obtengamos los vectores propios asociados a cada valor propio:a) Para . -

"œ #

Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: ÐE M Ñ \ œ ! à \ Á !- $ reemplazando por :- -

"œ #


$ $ # B ! " % " C !% " " D !

œ


Ô ×Ö ÙÕ Ø

$ $ # " % " " % " ! "& &% " " ! "& &

Ä Ä

" !

! "

! ! !

"$"$

; con Ê B œ C œ D D Á ! Þ"$


"œ # , está dado por:

W œ#

1/8 "ß "ß $Ñ Ð!ß !ß !Ñ œ 1/8 " !" !

$ !

˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒÐ



PÁG. 357



b) Para .-#œ "


#œ "


! $ # B ! " " " C !% " # D !

œ


Ô ×Ö ÙÕ Ø

! $ # " " " " " " ! $ #% " # ! $ #

Ä Ä

" !

! "

! ! !

"$

#$

; con Ê B œ D à C œ D D Á ! Þ" #$ $


#œ " , está dado por:

W œ"

1/8 "ß #ß $Ñ Ð!ß !ß !Ñ œ 1/8 " !

# !$ !

˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒÐ

c) Para .-$œ $


$œ $


# $ # B ! " " " C !% " % D !

œ


# $ # " " " " ! " " " " ! & ! ! " !% " % ! & ! ! ! !

Ä Ä

; con Ê B œ D à C œ ! D Á ! Þ


$œ $ , está dado por:

W œ$

1/8 "ß !ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ œ 1/8 " !! !" !

˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒÐ



PÁG. 358



(1.8.6) Verifique que es valor propio asociado al vector-$œ $

propio de la matriz dada en (1.8.5) .Î ÑÏ Ò

%!

%E

SOLUCIÓN:

Se debe verificar que: E œ $ % %! !

% %


En efecto:

E œ œ % " $ # % "#! " # " ! !

% % " " % "#

Î Ñ Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒÏ Ò Ï Ò

$ œ % "#! !

% "#





PÁG. 359



TEMA 2: PROPIEDADES DE LOS VALORES PROPIOS

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar el polinomio característico y factorizarlo en el cuerpo correspondiente

Þ OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la ecuación característica y las raíces en el cuerpo correspondiente.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la multiplicidad algebraica de losrespectivos valores propios.

(2.1) DEFINICIÓN: Sea E − ÐOÑ Þ`

8 B 8

Se llama :

a) POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE ; lo que denotamos por alE :Ð Ñ-

polinomio que se obtiene de: :Ð Ñ œ ./> ÐE M Ñ- - 8

(2.1.1) : EJEMPLOS En (1.8.1) el polinomio característico es 3 Ñ

:Ð Ñ œ- ./> ÐE M Ñ œ # œ Ð # ÑÐ # Ñ- - - -#

# È È En (1.8.3) el polinomio característico es 33 Ñ :Ð Ñ œ- ./> ÐE M Ñ œ # # œ Ð Ð" 3Ñ ÑÐ Ð" 3ÑÑ- - - - -

##

En (1.8.5) el polinomio característico es 333Ñ

:Ð Ñ œ- ./>ÐE M Ñ œ # & ' œ Ð" ÑÐ #ÑÐ $Ñ- - - - - - -$

$ #

b) ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE ; a la ecuación que permite obtenerE

los valores propios de es decir: E :Ð Ñ œ ./> ÐE M Ñ œ !ß - - 8

(2.1.2) : EJEMPLOS En (1.8.1) la ecuación característica es 3 Ñ

:Ð Ñ œ- - - -# # œ Ð # ÑÐ # Ñ œ !È È En (1.8.3) la ecuación característica es 33 Ñ

:Ð Ñ œ- - - - -# # # œ Ð Ð" 3Ñ ÑÐ Ð" 3ÑÑ œ !

En (1.8.5) la ecuación característica es 333Ñ

:Ð Ñ œ- # & ' œ Ð" ÑÐ #ÑÐ $Ñ œ !- - - - - -$ #



PÁG. 360



(2.2) : TEOREMA Sea E − ÐOÑ Þ`

8 B 8

es valor propio de - - -E Í :Ð Ñ œ ./> ÐE M Ñ œ ! 8


a) El polinomio característico :Ð Ñ œ ./> ÐE M Ñ- -8

correspondiente a una matriz es de grado ; por loE − ÐOÑ 8`8 B 8

cual tiene raíces (no todas necesariamente distintas) reales o8complejas. Por lo cual; la matriz tiene exactamente valores propiosE 8no necesariamente todos distintos.

b) La ecuación característica de expresada en la forma:E:Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Þ Þ Þ Ð Ñ œ !- - - - - - - - -

" # $ 7" # $ 7< < < <

donde son los valores propios de - - - -" # $ 7à à à Þ Þ Þ à E Þ

(2.4) DEFINICIÓN: Se llama MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA DE LOS VALORES PROPIOS- - - -

" # $ 7 " # $ 7à à à Þ Þ Þ à < à < à < à Þ Þ Þ à < a los exponentes

respectivamente. Es decir; la multiplicidad algebraica de un valor propio, correspondeal número de veces que se repite dicho valor propio.

(2.5) : EJEMPLOS En (1.8.1) ; (1.8.3) ; (1.8.5) todos los valores propios tienen multiplicidad algebraica , ya que "se repiten" (o sea, no se"repiten) una vez en la factorización.



PÁG. 361





1. Determine si es valor propio de .- œ # E œ" " %$ # "# " "

Ô ×Õ Ø

(1.1) De serlo; encuentre los vectores propios asociados a .- œ #

(1.2) Encuentre todos los valores propios de .E

2. Sea la T.L. definida por X À Ä XÐBß CÑ œ ÐBß CÑ‘ ‘# #

Determine valores propios y vectores propios (si existen) de X Þ

3. Encuentre valores y vectores propios para E œ& # $! " #" # !

Ô ×Õ Ø

4. Determine una matriz real cuyo polinomio característico sea B $ Þ#

5. Determine el polinomio característico, la ecuación característica, losvalores propios y su respectiva multiplicidad algebraica, y los vectorespropios asociados a cada valor propio;

(5.1) (5.2) E œ E œ# $

$ #

" # ## # #

$ ' 'Œ Ô ×

Õ Ø

(5.3) (5.4) E œ E œ" "# !

" " %$ # "# " "

Œ Ô ×Õ Ø

(5.5) Evalúe cada una de las matrices anteriores en el polinomiocaracterístico y determine su resultado (la constante del polinomio lamultiplica por la matriz identidad que corresponda para que esté biendefinida la evaluación).



PÁG. 362



6. Dadas

(6.1) (6.2) E œ E œ$ (% &

# $ #! & %" ! "

Œ Ô ×Õ Ø

Para cada caso:a) Determine un polinomio para el cual la matriz sea una raíz o cero.b) Determine los valores y vectores propios correspondientes.c) Determine los valores propios de E à E à E à &E Þ> # $

d) Verificar que a) b) À ./> E œ Þ ><+D+ ÐEÑ œ Þ# !- -3 3

( si Se define la )E œ Ð+ Ñ − Þ ><+D+ ÐEÑ œ +34 8B8 333œ"

8

` !e) Determine los valores propios de M E Þ

7. Dada .Œ # "" %

(7.1) Determine todos los vectores propios linealmente independientesconsiderando las matrices sobre el cuerpo .‘

(7.2) Determine todos los vectores propios linealmente independientesconsiderando las matrices sobre el cuerpo ‚

8. Dadas

(8.1) (8.2) Œ Œ " $3 " #3 " " "

Determine todos los vectores propios linealmente independientesconsiderando las matrices sobre el cuerpo ‚

9. Suponga que la matriz tiene valores propios E à à ÞÞÞ à Þ- - -" # 5

Demuestre que:

(9.1) los valores propios de son los mismos que los de E EÞ>

(9.2) es invertible E Í Á !#3œ"

5

3-

(9.3) los valores propios de son E à à ÞÞÞ à Þ# # # #" # 5- - -



PÁG. 363




TALLER N° 8

1. Determine si es vector propio de .Î Ñ Ô ×Ï Ò Õ Ø

" " " % " $ # " " # " "

E œ

(1.1) De serlo; encuentre el valor propio asociado a .Î ÑÏ Ò

" " "

(1.2) Encuentre otros vectores propios linealmente independientes de .E

2. Determine si es vector propio de .Î Ñ Ô ×Ï Ò Õ Ø

! " " "" " ! #

" $ % #E œ

(2.1) De serlo; encuentre el valor propio asociado a .Î ÑÏ Ò

!"

"

(2.2) Encuentre otros vectores propios linealmente independientes de .E

3. Sea la T.L. definida por X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X Ð+ ,BÑ œ + ,Bc ‘ c ‘" "

Determine valores propios y vectores propios (si existen) de X Þ

4. Encuentre valores y vectores propios para E œ' $ #% " #"! & $

Ô ×Õ Ø

5. Determine una matriz real cuyo polinomio característico sea B " Þ#

6. Determine el polinomio característico, la ecuación característica, losvalores propios y su respectiva multiplicidad algebraica, y los vectorespropios asociados a cada valor propio para:

(6.1) (6.2) E œ E œ% %" %

" " # " # "! " "

Œ Ô ×Õ Ø



PÁG. 364



(6.3) (6.4) E œ E œ# %$ "$

& % #% & ## # #

Œ Ô ×Õ Ø

(6.5) Evalúe cada una de las matrices anteriores en el polinomiocaracterístico y determine su resultado (la constante del polinomio lamultiplica por la matriz identidad que corresponda para que esté biendefinida la evaluación).

7. Dadas

(7.1) (7.2) E œ E œ& " " %) $ # $Œ Œ

Para cada caso:a) Determine un polinomio para el cual la matriz sea una raíz o cero.b) Determine los valores y vectores propios correspondientes.c) Determine los valores propios de E à E à E à &E Þ> # $

d) Verificar que a) b) À ./> E œ Þ ><+D+ ÐEÑ œ Þ# !- -3 3

( si Se define la )E œ Ð+ Ñ − Þ ><+D+ ÐEÑ œ +34 8B8 333œ"

8

` !e) Determine los valores propios de M E Þ

8. Dada .Œ $ ""$ $

(8.1) Determine todos los vectores propios linealmente independientesconsiderando las matrices sobre el cuerpo .‘

(8.2) Determine todos los vectores propios linealmente independientesconsiderando las matrices sobre el cuerpo ‚

9. Dadas (9.1) (9.2) Œ Œ " 3 " $! 3 ! "

Determine todos los vectores propios linealmente independientesconsiderando las matrices sobre el cuerpo ‚


Demuestre que:(10.1) los valores propios de son ! !- !- !-E à à ÞÞÞ à Þ" # 5

(10.2) es invertible valores propios sonE Ê E à à ÞÞÞ à Þ" " " "" # 5- - -

(10.3) los valores propios de son E à à ÞÞÞ à Þ8 8 8 8" # 5- - -



PÁG. 365





PROBLEMA 1: Ð"Þ"Ñ : 1.TALLER N° 8 RESPUESTA: WM Þ(1.1) Se debe verificar que:b −- ‘ ‚ Ð9 Ñ

>+6 ;?/ œ" " % " "$ # " " "# " " " "

Ô ×Î Ñ Î ÑÕ ØÏ Ò Ï Ò-

- œ #

(1.2) ; son los RESPUESTA: - - -œ # œ " à œ $

valores propios de y Eà ˜ ™Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò

" " " " % # " " "

à; son vectores

propios linealmente independientes de EÞ1°) VALORES PROPIOS:

./> ÐE - - - -

-

-

-M Ñ œ ./> ÑÐ #ÑÐ $Ñ$

Ô ×Õ Ø

" " %$ # "# " "

œ Ð"

2°) VECTORES PROPIOS:a) PARA : reemplazar en- œ #

y resolverÔ ×Î Ñ Î ÑÕ ØÏ Ò Ï Ò

" " % B !$ # " C !# " " D !

œ-

-

-

W œ 1/8" !

" ! " !

# ˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

b) PARA : reemplazar en- œ "


" " % B !$ # " C !# " " D !

œ-

-

-

W œ 1/8 " !% !" !

" ˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò



PÁG. 366



c) PARA : reemplazar en- œ $


" " % B !$ # " C !# " " D !

œ-

-

-

W œ 1/8" !# !" !

$ ˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

Ð"Þ#Ñ : 3.TALLER N° 8 RESPUESTA: - -œ " œ " ; son los valorespropios de y X à W œ 1/8 B ! W œ 1/8 " !" "˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ à son losconjuntos de vectores propios respectivos de X Þ1°) VALORES PROPIOS: X Ð+ ,BÑ œ Ð+ ,BÑ Í +Ð" Ñ œ !

Ð " Ñ, œ !

- -

-

./> Ð" !

! " Œ -

-- -Ñ œ ÑÐ " Ñ œ !Ð"

2°) VECTORES PROPIOS:a) PARA : reemplazar en- œ "

y resolverŒ " !! " -

- Œ Œ + !, !

œ

W œ 1/8 B !" ˜ ™ ˜ ™


y resolverŒ " !! " -

- Œ Œ + !, !

œ

W œ 1/8 " !" ˜ ™ ˜ ™

PROBLEMA 2: Ð#Þ"Ñ : (6.2)TALLER N° 8 RESPUESTA: Polinomio característico: :Ð- - - - -Ñ œ ./> ÐE M Ñ œ Ð "ÑÐ" ÑÐ #Ñ$

Ecuación característica: Ð "ÑÐ" ÑÐ #Ñ œ !- - -

Valores propios: - - -œ " à œ " à œ #

Multiplicidad algebraica: todos tienen multiplicidad algebraica " Þ

Vectores propios: W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð"ß !ß "Ñ Ð

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" #˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð$ß #ß "Ñ Ð à Ð"ß $ß "Ñ Ð



PÁG. 367



VECTORES PROPIOS:a) PARA : reemplazar en- œ "

y resolverÎ ÑÏ Ò

" " # " # "! " "

-

-

-


B !C !D !

œ

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð"ß !ß "Ñ Ð



" " # " # "! " "

-

-

-


B !C !D !

œ

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð$ß #ß "Ñ Ð

c) PARA : reemplazar en- œ #


" " # " # "! " "

-

-

-


B !C !D !

œ

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ# ˜ ™ ˜ ™Ð"ß $ß "Ñ Ð

Ð#Þ#Ñ : (6.5) para (6.2)TALLER N° 8 RESPUESTA:

:ÐEÑ œ ÐE M ÑÐM EÑÐE #M Ñ œ$ $ $

Î ÑÏ Ò

! ! !! ! !! ! !

PROBLEMA 3: TALLER N° 8 : (7.2) RESPUESTA: a) Polinomio característico: :ÐBÑ œ ./> ÐE BM Ñ œ B %B &#

# ; ya que

:ÐEÑ œ E %E &M œ## Œ ! !

! !

b) Ecuación característica: - - - -# % & œ Ð &ÑÐ "Ñ œ !

Valores propios: - -œ " à œ &

Multiplicidad algebraica: los dos tienen multiplicidad algebraica " Þ

Vectores propios:

W œ 1/8 !ß !Ñ W œ 1/8 !ß !Ñ" &˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð #ß "Ñ Ð à Ð"ß "Ñ Ð



PÁG. 368



VECTORES PROPIOS: PARA : reemplazar en- œ "

y resolverŒ " %# $ -

- Œ Œ B !C !

œ

W œ 1/8 !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð #ß "Ñ Ð

PARA : reemplazar en- œ &

y resolverŒ " %# $ -

- Œ Œ B !C !

œ

W œ 1/8 !ß !Ñ& ˜ ™ ˜ ™Ð"ß "Ñ Ð

c) Valores propios de : E> - -œ " à œ & EÑ(los mismos de

Valores propios de : E# - -œ Ð "Ñ œ " à œ Ð&Ñ œ #&# #

Valores propios de : E$ - -œ Ð "Ñ œ " à œ Ð&Ñ œ "#&$ $

Valores propios de : &E - -œ &Ð "Ñ œ & à œ &Ð&Ñ œ #&

d) 3Ñ ./> E œ & 33Ñ >< E œ %

#3œ"

#

- - - - - -3 " # 3 " #3œ"

#

œ œ Ð "ÑÐ&Ñ œ & œ œ Ð "Ñ Ð&Ñ œ % !

e) Valores propios de M E À - -œ " Ð "Ñ œ ! à œ " Ð&Ñ œ '

PROBLEMA 4: TALLER N° 8 : 8.Ð%Þ"Ñ Ð 3 ß "Ñ à Ð 3 ß "Ñ RESPUESTA: ˜ ™$ # $ #

"$ "$ "$ "$

Polinomio característico: :Ð- - -Ñ œ ./> ÐE M Ñ œ %##

Ecuación característica: - - -# % œ Ð #3ÑÐ #3Ñ œ !

Valores propios: - -œ #3 à œ #3

Multiplicidad algebraica: los dos tienen multiplicidad algebraica " Þ

Vectores propios: W œ 1/8 !ß !Ñ#3 ˜ ™ ˜ ™Ð 3 ß "Ñ Ð à$ #

"$ "$

W œ 1/8 !ß !Ñ#3 ˜ ™ ˜ ™Ð 3 ß "Ñ Ð$ #"$ "$



PÁG. 369



VECTORES PROPIOS:a) PARA : reemplazar en- œ #3

y resolverŒ $ ""$ $

-

- Œ Œ B !C !

œ

W œ 1/8 !ß !Ñ#3 ˜ ™ ˜ ™Ð 3 ß "Ñ Ð$ #"$ "$

b) PARA : reemplazar en- œ #3

y resolverŒ $ ""$ $

-

- Œ Œ B !C !

œ

W œ 1/8 !ß !Ñ#3 ˜ ™ ˜ ™Ð 3 ß "Ñ Ð$ #"$ "$

Ð%Þ#Ñ : 9.TALLER N° 8 RESPUESTA: linealmente independiente.(9.1) ˜ ™Ð"ß !Ñ à Ð Ð" 3Ñ ß "Ñ"

#

linealmente independiente.(9.2) ˜ ™Ð"ß !Ñ

(9.1)1°) VALORES PROPIOS:

./> Ð" 3

! 3 Œ -

-- - - -Ñ œ ÑÐ3 Ñ œ ! Ê œ " à œ 3Ð"

2°) VECTORES PROPIOS:a) PARA : reemplazar en- œ "

y resolverŒ " 3! 3 -

- Œ Œ B !C !

œ

W œ 1/8 !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð"Þ!Ñ Ð

b) PARA : reemplazar en- œ 3

y resolverŒ " 3! 3 -

- Œ Œ B !C !

œ

W œ 1/8 !ß !Ñ3 ˜ ™ ˜ ™Ð Ð" 3Ñ ß "Ñ Ð"#

(9.2)1°) VALORES PROPIOS:

./> Ð" $

! " Œ -

-- -Ñ œ Ñ œ ! Ê œ "Ð" #

con multiplicidad algebraica #2°) VECTORES PROPIOS: PARA : reemplazar en- œ "

y resolverŒ " $! " -

- Œ Œ B !C !

œ

W œ 1/8 !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð"Þ!Ñ Ð



PÁG. 370



PROBLEMA 5: TALLER N° 8 : 10.Ð"!Þ"Ñ RESPUESTA: DEM HIPÓTESIS: -3 à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 EÞvalores propios de Ê E\ œ \ à \ Á ! à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ-3

TESIS: Por demostrar que: valores propios de !- !3 à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 EÞ En efecto: 1°) Se sabe que: E\ œ \- !3 ; multiplicar por Ê ÐE\Ñ œ Ð \Ñ! ! -3

Ê Ð EÑ\ œ Ð Ñ\ à \ Á ! à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ! !-3

por lo tanto !- !3 es valor propio de Eà a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ 2°) son los valores propios de .!- !- !- !" # 5ß ß ÞÞÞß E

Ð"!Þ#Ñ RESPUESTA: DEM HIPÓTESIS: es invertible.E -3 à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 EÞvalores propios de Ê E\ œ \ à \ Á ! à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ-3

TESIS: Por demostrar que: valores propios de -3

" "à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 E Þ En efecto: 1°) Se sabe que: E\ œ \ E-3

" ; multiplicar por Ê E ÐE\Ñ œ E Ð \Ñ Ê ÐE EÑ\ œ ÐE \Ñ" " " "

3 3- -

Ê \ œ ÐE \Ñ-3"

Ê E \ \ à \ Á ! à Á ! à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ" "3 3œ - -

por lo tanto -3" " es valor propio de E à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ

2°) son los valores propios de .- - -" #" " " "

5ß ß ÞÞÞß E

Ð"!Þ$Ñ RESPUESTA: DEM HIPÓTESIS: -3 à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 EÞvalores propios de Ê E\ œ \ à \ Á ! à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ-3

TESIS: Por demostrar que: valores propios de -3

8 8à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 E Þ En efecto: 1°) Se sabe que: E\ œ \ E-3

8" ; multiplicar por Ê E ÐE\Ñ œ E Ð \Ñ Ê ÐE EÑ\ œ ÐE \Ñ8" 8" 8" 8"

3 3- -

Ê E \ œ ÐE \Ñ œ ÐE ÐE\ÑÑ œ ÐE Ð \ÑÑ8 8" 8# 8#3 3 3 3 - - - -

œ Ð Ñ ÐE \Ñ œ Ð Ñ ÐE ÐE\ÑÑ- -3 3# 8# # 8$

œ Ð Ñ ÐE Ð \ÑÑ œ Ð Ñ ÐE \ÑÑ œ Ð Ñ \- - - -3 3 3 3# 8$ $ 8$ 8

Por lo tanto ; .E \ œ Ð Ñ \ \ Á !8 83-

2°) son los valores propios de .- - -" #8 8 8 8

5ß ß ÞÞÞß E



PÁG. 371




(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ ` ‘

#B " #B ";


Encuentre los valores propios de la transformaciónSOLAMENTElineal .X

(4.2) Considere la matriz E œ" " !" # "

# " "

Ô ×Õ Ø

Determine el conjunto de todos los vectores propios asociados acada valor propio de EÞ





PÁG. 372



PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __12PREGUNTA 4: (4.1) :SOLUCIÓN1º) es valor propio de - X si y solo si

tal que b Á X œ+ ! + +, ! , ,

Œ Œ Œ Œ - #

2º) es decir:X œ Ê œ+ + + , +, , + , ,Œ Œ Œ Œ -

--

+ , œ Ê Ð" + , œ Ê

+ , œ + Ð" , œ

- -

- -

+ Ñ !

, !

con Œ " + ! + !, ! , !

œ Á-

- "

" " "Œ Œ Œ Œ

3º) Luego, resolvemospara determinar los valores propios de X la siguiente ecuación característica:

./> " " Œ -

--

""

Ñ " œ !"

œ ! Ê Ð " #

Ê - - -# #„ %# # # œ ! Ê œ œ " „ 3 È

4º) Luego, los valores propios: - -" #œ " 3 à œ " 3 − #‚ y es una transformación lineal definida en X ` ‘

#B "Ð Ñ, luego

no tiene valores propios en X ‘. "

(4.2) :SOLUCIÓN1º) :VALORES PROPIOSa) Para determinar los valores propios de E resolvemos lasiguiente ecuación característica:

./> ÐE œ !" " !

" # " # " "

-

--

-M Ñ œ ./>$

Ô ×Õ Ø "

b) ./>Ô ×Õ Ø

" " !" # "

# " "

--

-por fila 1:

œ Ð" "

--

- -Ñ./>

" "" #Œ Œ #

" " ./>

œ ÑÐ $Ñ Ð "Ñ œ Ð" ÑÐ #ÑÐ" - - - - - - -# #

œ Ð" ÑÐ #ÑÐ "Ñ- - -

c) Los valores propios son: - - -" # $œ " à œ " à œ # "



PÁG. 373



2º) :VECTORES PROPIOSa) Para ; resolvemos:-" œ "


# " ! " $ "" $ " ! ( #

# " ! ! ( #Ä Ä

Ô ×Ö ÙÕ Ø

" !

! "

! ! !

"(#(

Ê B œ D C œ D D Á !" #( ( "

Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W œ 1/8 Ð ß ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ œ"

" #( ( ˜ ™ ˜ ™

œ 1/8 Ð "ß #ß (Ñ Ð!ß !ß !Ñ˜ ™ ˜ ™ "

b) Para ; resolvemos:-" œ "


! " ! " " " " ! "" " " ! " ! ! " !

# " # ! $ ! ! ! !Ä Ä

Ê B œ D C œ ! D Á ! "

Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W œ 1/8 Ð "ß !ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™ "

c) Para ; resolvemos:-" œ #


" " ! " ! " " ! "" ! " ! " " ! " "

# " $ ! " " ! ! !Ä Ä

Ê B œ D C œ D D Á ! "

Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W œ 1/8 Ð "ß "ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ# ˜ ™ ˜ ™ "



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(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‚ ` ‚

#B " #B ";


Encuentre los valores propios de la transformaciónSOLAMENTElineal .X

(4.2) Considere la matriz E œ" " !" # "

# " "

Ô ×Õ Ø






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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __12PREGUNTA 4: (4.1) :SOLUCIÓN1º) es valor propio de - X si y solo si

tal que b Á X œ+ ! + +, ! , ,

Œ Œ Œ Œ - #

2º) es decir:X œ Ê œ+ + + , +, , + , ,Œ Œ Œ Œ -

--

+ , œ Ê Ð" + , œ Ê

+ , œ + Ð" , œ

- -

- -

+ Ñ !

, !

con Œ " + ! + !, ! , !

œ Á-

- "

" " "Œ Œ Œ Œ


./> " " Œ -

--

""

Ñ " œ !"

œ ! Ê Ð # #

Ê - - -# #„ %# # # œ ! Ê œ œ " „ 3 È

4º) Luego, los valores propios: - -" #œ " 3 à œ " 3 − #‚


./> ÐE œ !" " !

" # " # " "

-

--

-M Ñ œ ./>$

Ô ×Õ Ø "

b) ./>Ô ×Õ Ø

" " !" # "

# " "

--

-por fila 1:

œ Ð" "

--

- -Ñ./>

" "" #Œ Œ #

" " ./>

œ ÑÐ $Ñ Ð "Ñ œ Ð" ÑÐ #ÑÐ" - - - - - - -# #

œ Ð" ÑÐ #ÑÐ "Ñ- - -

c) Los valores propios son: - - -" # $œ " à œ " à œ # "



PÁG. 376



2º) :VECTORES PROPIOSa) Para ; resolvemos:-" œ "


# " ! " $ "" $ " ! ( #

# " ! ! ( #Ä Ä

Ô ×Ö ÙÕ Ø

" !

! "

! ! !

"(#(

Ê B œ D C œ D D Á !" #( ( "

Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W œ 1/8 Ð ß ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ œ"

" #( ( ˜ ™ ˜ ™

œ 1/8 Ð "ß #ß (Ñ Ð!ß !ß !Ñ˜ ™ ˜ ™ "



! " ! " " " " ! "" " " ! " ! ! " !

# " # ! $ ! ! ! !Ä Ä

Ê B œ D C œ ! D Á ! "

Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W œ 1/8 Ð "ß !ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™ "

c) Para ; resolvemos:-" œ #


" " ! " ! " " ! "" ! " ! " " ! " "

# " $ ! " " ! ! !Ä Ä

Ê B œ D C œ D D Á ! "

Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W œ 1/8 Ð "ß "ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ# ˜ ™ ˜ ™ "



PÁG. 377



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MiÉRCOLES 13 DE JUNIO DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __11PROFESOR__ __NELSON ARAVENA CASTILLO

(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À Ä‘ ‘# # ; definida por XÐ+ ,Ñ œ Ð+ , ß + , Ñ , Encuentre los valores propios de la transformaciónSOLAMENTElineal .X

(4.2) Considere la matriz E œ" " %$ # "# " "

Ô ×Õ Ø






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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 13DE JUNIO DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ c ‘

" " ;

definida por XÐ+ , BÑ œ Ð+ ,Ñ Ð+ ,ÑBEncuentre los valores propios de la transformaciónSOLAMENTElineal .X

(4.2) Considere la matriz E œ" $ #

" # "% " "

Ô ×Õ Ø

Determine el conjunto de todos los vectores propios asociados acada valor propio de EÞPONDERACIONES: (4.1) = 07 (4.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.




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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 13 DE JUNIO DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __22PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À Ä‘ ‘# # ; definida por XÐ+ ß ,Ñ œ , + ,( , )Encuentre los valores propios de la transformaciónSOLAMENTElineal .X

(4.2) Considere la matriz E œ" " #

" # "! " "

Ô ×Õ Ø

Determine el conjunto de todos los vectores propios asociados acada valor propio de EÞPONDERACIONES: (4.1) = 07 (4.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.




PÁG. 380




UNIDAD N° 6: VALORES Y VECTORES PROPIOS DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CUADRÁTICAS

TEMA 3: ESPACIO PROPIO

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir el espacio propio asociado a cadavalor propio. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la multiplicidad geométrica de cada espacio propio.


8 B8

Se llama ESPACIO PROPIO ASOCIADO AL VALOR PROPIO ; lo-que denotaremos por , al conjunto: I

-

I œ \ − O Î E\ œ \-

˜ ™8 -

(3.2) : OBSERVACIÓN Note que este conjunto contiene a todos los vectores propios de Easociados al valor propio y además al vector .- !

O 8

(3.3) :EJEMPLOS

(3.3.1) En (1.8.1) se determinó que:

3 Ñ œ # œ # E Þ y son los valores propios de - -" #

È È33 Ñ 1/8 " #

"

!!

W œÈ#˜ ™ ˜ ™” • ” •È

W œ #È 1/8 " #

"

!!

˜ ™ ˜ ™” • ” •È son los respectivos conjuntos de vectores propios asociados.

333 Ñ Por lo tanto

y I œ œÈ È# #1/8 I 1/8" # " #

" "˜ ™ ˜ ™” • ” •È È

son los respectivos espacios propios asociados a cada valor propio.



PÁG. 381




3 Ñ œ " 3 œ " 3 E Þ y son los valores propios de - -" #

33 Ñ3 !" !

W œ 1/8 Ð"3Ñ

˜ ™ ˜ ™Œ Œ W œ 1/8

Ð"3Ñ˜ ™ ˜ ™Œ Œ 3 !

" !

son los respectivos conjuntos de vectores propios asociados.

333 Ñ Por lo tanto

I I3 3" "Ð"3Ñ Ð"3Ñ

œ 1/8 œ 1/8˜ ™ ˜ ™Œ Œ



3 Ñ œ # à œ " à œ $ E Þ son los valores propios de - - -" # $

33 Ñ 1/8 " !" !

$ ! W œ

#˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

W œ"

1/8 " !

# !$ !

˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

W œ$

1/8 " !! !" !

˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

son los respectivos conjuntos de vectores propios asociados.

333 Ñ Por lo tanto

I 1/8 1/8 1/8" " "" # !

$ $ "# " $

œ I œ I œ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò


(3.4) :TEOREMA El espacio propio es un subespacio vectorial de .I O

-

8



PÁG. 382



(3.5) : OBSERVACIÓN Los espacios propios se pueden expresar como conjuntosgenerados, lo cual confirma de que es subespacio vectorial de . I O

-

8

En cambio; los conjuntos de todos los vectores propios quedenotamos por no son subespacios vectoriales, ya que no contienenW

-

al vector ! ÞO 8

(3.6) : TEOREMA Si , y son valores propiosE − ÐOÑ à à à Þ Þ Þ à` - - - -

8 B8 " # $ 7

distintos de con los respectivos vectores propiosE \ à \ à \ à Þ Þ Þ à \" # $ 7

asociados. Entonces los vectores propios son\ à \ à \ à Þ Þ Þ à \

" # $ 7

linealmente independientes.

(3.7) :EJEMPLOS(3.7.1) En (3.3.1) se determinó que:

3 Ñ 1/8 I 1/8" # " #" "

y I œ œÈ È# #˜ ™ ˜ ™” • ” •È È


33 Ñ Como y son valores propios distintos.È È# #

Verifiquemos que , es linealmente˜ ™” • ” •È È" # " #" "

independiente. En efecto; como uno no es múltiplo del otro y SON DOS VECTORES;

˜ ™” • ” •È È" # " #" "

, es linealmente independiente.


3 Ñ I I3 3" "

Ð"3Ñ Ð"3Ñ

œ 1/8 œ 1/8˜ ™ ˜ ™Œ Œ


33 Ñ œ " 3 œ " 3 Como y son los valores propios distintos.- -" #

Verifiquemos que , es linealmente independiente.˜ ™Œ Œ 3 3" "

En efecto; como uno no es múltiplo del otro y SON DOS VECTORES;

˜ ™Œ Œ 3 3" "

, es linealmente independiente.



PÁG. 383




3 Ñ I œ 1/8 I œ 1/8 I œ 1/8" " "" # !

$ $ " ; ;

# " $˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò


33 Ñ œ # à œ " à œ $ Como son los valores propios distintos.- - -" # $

Verifiquemos que es linealmente independiente.˜ ™Î Ñ Î ÑÎ ÑÏ Ò Ï ÒÏ Ò

" " "" # !

$ $ ", ,

En efecto; recordemos que es linealmente˜ ™Î Ñ Î ÑÎ ÑÏ Ò Ï ÒÏ Ò

" " "" # !

$ $ ", ,

independiente si se verifica la siguiente propiedad:

! " # ! " #Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

" " " !" # ! !

$ $ " ! œ Ê œ œ œ !

:VERIFICACIÓN

! " # ! " #

! "

! " #

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

" " " !" # ! !

$ $ " ! œ Ê œ !

# œ !

$ $ œ !

Ê Ä Ä Ä" " " " " " " ! !" # ! ! $ " ! " !

$ $ " ! ' % ! ! "

" !

! "

! ! #

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

#$"$

Por lo tanto ! " #œ œ œ ! Þ Es decir,

es linealmente independiente. ˜ ™Î Ñ Î ÑÎ ÑÏ Ò Ï ÒÏ Ò

" " "" # !

$ $ ", ,

(3.8) : DEFINICIÓN Sean y valor propio de E − ÐOÑ E Þ` -

8 B8

Se llama MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA DEL VALOR PROPIO a la-dimensión del espacio propio asociado al valor propio . Es decir:-

71 Ð Ñ œ .37 ÐI Ñ œ 8?63.+. ÐE M Ñ œ ÐE M Ñ- - / -- 8 8

(3.9) :EJEMPLOS(3.9.1) En (3.3.1) se determinó que:

3 Ñ 1/8 I 1/8" # " #" "

y I œ œÈ È# #˜ ™ ˜ ™” • ” •È È




PÁG. 384



33 Ñ " # " #" "

Como y son además linealmente˜ ™ ˜ ™” • ” •È È

independientes; entonces es base de . Luego:˜ ™” •È" #"

I È#

.37 I œ " Ê 71 Ð Ñ œ " ÞÈ#

È#

Análogamente; es base de . Luego: ˜ ™” •È" #"

I #È

.37 I œ " Ê 71 Ð Ñ œ " Þ #È #È


3 Ñ I I3 3" "

Ð"3Ñ Ð"3Ñ

œ 1/8 œ 1/8˜ ™ ˜ ™Œ Œ


33 Ñ3 3" "

Como y son además linealmente˜ ™ ˜ ™Œ Œ

independientes; entonces es base de . Luego: ˜ ™Œ 3"

I Ð"3Ñ

.37 I œ " Ê 71 Ð Ñ œ " ÞÐ"3Ñ

" 3

Análogamente; es base de . Luego: ˜ ™Œ 3"

I Ð"3Ñ

.37 I œ " Ê 71 Ð Ñ œ " ÞÐ"3Ñ

" 3


3 Ñ I œ 1/8 I œ 1/8 I œ 1/8" " "" # !

$ $ " ; ;

# " $˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò


33 Ñ" " "" # !

$ $ " Como ; y son además˜ ™ ˜ ˜ ™Î Ñ Î Ñ Î Ñ

Ï Ò Ï Ò Ï Ò

linealmente independientes; entonces es base de .˜ ™Î ÑÏ Ò

""

$I

#

Luego: .37 I œ " Ê 71 Ð Ñ œ " Þ

# #



PÁG. 385



Análogamente; es base de .˜ ™Î ÑÏ Ò

" #$

I "

Luego: .37 I œ " Ê 71 Ð Ñ œ " Þ

""

Análogamente; es base de .˜ ™Î ÑÏ Ò

"!"

I $

Luego: .37 I œ " Ê 71 Ð$Ñ œ " Þ

$

(3.10) :OBSERVACIÓN

(3.10.1) La multiplicidad geométrica de es menor o igual que la-multiplicidad algebraica de .-

(3.10.2) La matriz tiene vectores propiosE − ÐOÑ 8`8 B8

linealmente independientes si y solo si la multiplicidad algebraica de cadavalor propio es igual a la multiplicidad geométrica de dicho valor propio.

(3.10.3) Si es valor propio de la matriz . - `œ ! E − ÐOÑ8 B8

Entonces la matriz no es invertible.E

(3.10.4) Hay tantos subespacios propios como valores propiosdiferentes.



PÁG. 386



TEMA 4: MATRICES SEMEJANTES

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar para dos matrices cualesquiera si estas son semejantes.

(4.1) :DEFINICIÓN Se dice que las matrices , son MATRICESE F − ÐOÑ`

8 B8

SEMEJANTES si y solo si existe una matriz invertible talT − ÐOÑ`8 B8

que o equivalentemente F œ T ET T F œ ET"

(4.2) :EJEMPLOS

(4.2.1) y E œ F œ" " # !" " ! #” • – —È È

son matrices semejantes, ya que existe una matriz invertible

T œ " # " #" "

” •È Ètal que F œ T ET Þ"

VERIFICACIÓN:1º) Encontremos T À"

Œ Œ È È È È" # " # " !" " ! " ! # # " " #

Ä" " ! "

Ä Ê T œ" ! "

! " " – —" " " " "

# # # # # ##

" " " " "

# # # # # ##

" "#

È È È ÈÈ È È È

2º) T ET œ "

"

" "" "

" # " #" "

" "#

" "

# #" "

# #

– —” •” •È ÈÈ ÈÈ È

œ œ" "

" "" # " #

" "

# # !

! # #

" "# #

#

##

#

– — – —” •È È È ÈÈÈ

3º) Por lo tanto es decir y sonT ET œ œ F à E F# !

! #" – —È È

matrices semejantes.

(4.2.2) y E œ F œ" " " 3 !" " ! " 3” • ” •


T œ3 3" "” •

tal que T F œ ET Þ



PÁG. 387



VERIFICACIÓN:1º) Encontremos T F À

T F œ œ3 3 " 3 ! " 3 " 3" " ! " 3 " 3 " 3” •” • ” •

2º) Encontremos ET À

ET œ œ" " 3 3 " 3 " 3" " " " " 3 " 3” •” • ” •

3º) Por lo tanto es decir y T F œ œ ET à E F " 3 " 3" 3 " 3” •

son matrices semejantes.

(4.2.3) y E œ F œ" $ # # ! !

" # " ! " !% " " ! ! $



T œ" " "" # !

$ $ "

Î ÑÏ Ò

tal que F œ T ET Þ"



" " " " ! ! " " " " ! !" # ! ! " ! ! $ " " " !

$ $ " ! ! " ! ' % $ ! "Ä

Ä Ä

" ! !

! " !

! ! # " # " ! ! " "

" ! !

! " ! Î ÑÏ Ò

Î ÑÐ ÓÏ Ò

# # "$ $ $" " "$ $ $

" " "$ $ $" # "' $ '" "# #

Ê T œ# # #" % "$ ' $

" "'

Î ÑÏ Ò

2º)

T ET œ# # # " $ # " " "" % " " # " " # !$ ' $ % " " $ $ "

" "'

Î ÑÎ ÑÎ ÑÏ ÒÏ ÒÏ Ò

œ œ % % % " " " "# ! !" % " " # ! ! ' !* ") * $ $ " ! ! ")

" "' '


T ET œ # ! !! " !! ! $

"Î ÑÏ Ò



PÁG. 388



3º) Por lo tanto es decir y sonT ET œ œ F à E F # ! !! " !! ! $

"Î ÑÏ Ò

matrices semejantes.

(4.3) : EJERCICIO Demuestre que las matrices semejantes tienen el mismo polinomiocaracterístico y los mismos valores propios.DEMOSTRACIÓN:1º) Sean y matrices semejantes, es decir E F F œ T ET Þ"

2º) El polinomio característico de está dado por:F :Ð Ñ œ ./> ÐF MÑ œ ./> ÐT ET MÑ- - -"

œ ./> ÐT ET T Ð MÑT Ñ œ ./> ÐT ÐE MÑT Ñ" " "- -

œ ./> T ./> ÐE MÑ./> T œ ./> ÐE MÑ./> T" "./> T- -

œ ./> ÐE MÑ-

3º) Por lo tanto: :Ð Ñ œ ./> ÐF MÑ œ ./> ÐE MÑ- - -

es decir, y tienen el mismo polinomio característico.E F4º) Como el polinomio característico es el mismo, las raíces o ceros delpolinomio son las mismas para y . Luego, tienen los mismos valoresE Fpropios.

(4.4) : DEFINICIÓN Se llama TRANSFORMACIÓN DE SEMEJANZA a la transformaciónlineal definida por X À ÐOÑ Ä ÐOÑ X ÐEÑ œ T ET` `

8 B8 8 B8"

(4.5) : EJERCICIO Demuestre que la transformación de semejanza es transformaciónlineal.DEMOSTRACIÓN:1º) Sean , ; .E F − ÐOÑ − O` !

8 B8

Por demostrar que: X ÐE FÑ œ XÐEÑ XÐFÑ! !

2º) En efecto: X ÐE FÑ œ T ÐE FÑT œ T ET T FT! ! !" " "

œ XÐEÑ XÐFÑ!

3º) Por lo tanto es transformación lineal.X



PÁG. 389



TEMA 5: DIAGONALIZACIÓN

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir para un espacio vectorial, una base cuyos elementos sean vectores propios.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar analíticamente si una transformaciónlineal es diagonalizable.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar analíticamente si una matriz es diagonalizable.

(5.1) : DEFINICIÓN Sea un operador lineal y espacio vectrorial deX À Z Ä Z Zdimensión finita 8 Þ Diremos que la transformación lineal es DIAGONALIZABLE si yXsolo si existe una base del espacio vectorial ; tal que todos losF Z

Z

vectores en dicha base son vectores propios de .X

(5.2) : EJEMPLOS(5.2.1) definida por X À Ä XÐBß CÑ œ ÐB Cß B CÑ‘ ‘# #

es diagonalizable, ya que es base deF œ Ð" # ß "Ñ à Ð" # ß "Ñ‘# ˜ ™È È‘# formada por vectores propios de .XVERIFICACIÓN:1º) Recordemos que es vector propio de si se verificaÐBß CÑ − X‘#

que existe tal que- ‘− ; X ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ-

2º) En efecto: X Ð" # ß "Ñ œ Ð# # ß #ÑÈ È È ) - - - - ‘Ð" # ß "Ñ œ Ð Ð" # ß Ñ Ê œ # −È È È3º) Luego; es vector propio de Ð" # ß "Ñ X ÞÈ4º) Análogamente; X Ð" # ß "Ñ œ Ð# # ß #ÑÈ È È ) - - - - ‘Ð" # ß "Ñ œ Ð Ð" # ß Ñ Ê œ # −È È È5º) Luego; es vector propio de Ð" # ß "Ñ X ÞÈ6º) Además, obviamente es linealmente˜ ™È ÈÐ" # ß "Ñ à Ð" # ß "Ñ

independiente. Es decir, se tienen dos vectores linealmente independientey Por lo tanto, es base de .37 œ #Þ Ð" # ß "Ñ à Ð" # ß "Ñ‘ ‘# #˜ ™È Èformada por vectores propios de X Þ



PÁG. 390



(5.2.2) ; definida por X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X œ+ + ,, + ,

` ‚ ` ‚#B" #B" Œ Œ

es diagonalizable, ya que ; es base deF œ3 3" "` ‚

#B"Ð Ñ ˜ ™Œ Œ

` ‚#B"

Ð Ñ X formada por vectores propios de .VERIFICACIÓN:

1º) Recordemos que es vector propio de si seŒ +,

− Ð Ñ X` ‚#B"

verifica que existe tal que ; - ‚ -− X œ Á+ + + !, , , !Œ Œ Œ Œ

2º) En efecto:

X œ3 3 "" 3 "Œ Œ

- - ‚-

-Œ Œ 3 3"

œ Ê œ 3 " −

3º) Luego; es vector propio de Œ 3"

X Þ

4º) Análogamente;

X œ 3 3 "" 3 "Œ Œ

- - ‚-

-Œ Œ 3 3"

œ Ê œ 3 " −

5º) Luego; es vector propio de Œ 3"

X Þ

6º) Además, obviamente ; es linealmente˜ ™Œ Œ 3 3" "

independiente. Es decir, se tienen dos vectores linealmente independiente

y Por lo tanto, ; es base de .37 Ð Ñ œ #Þ Ð Ñ3 3" "

` ‚ ` ‚#B" #B"

˜ ™Œ Œ formada por vectores propios de X Þ

(5.2.3) ; definida por X À Ä‘ ‘$ $

X ß Cß DÑ œ ÐB $C #D ß B #C D ß %B C DÑÐB

es diagonalizable, ya que ; ; es baseF œ "ß "ß $Ñ "ß #ß $Ñ "ß !ß "Ñ‘$ ˜ ™Ð Ð Ð

de formada por vectores propios de .‘$ XVERIFICACIÓN:1º) Recordemos que es vector propio de si se verificaÐBß Cß DÑ − X‘$

que existe tal que ; - ‘ -− X ß Cß DÑ œ ß Cß DÑ ß Cß DÑ Á Ð!ß !ß !ÑÐB ÐB ÐB2º) En efecto: X "ß "ß $Ñ œ #ß #ß 'ÑÐ Ð - - - ‘Ð Ð"ß "ß $Ñ œ "ß "ß $Ñ Ê œ # −



PÁG. 391



3º) Luego; es vector propio de Ð"ß "ß $Ñ X Þ4º) Análogamente; X "ß #ß $Ñ œ "ß #ß $ÑÐ Ð - - - ‘Ð Ð"ß #ß $Ñ œ "ß #ß $Ñ Ê œ " −5º) Luego; es vector propio de Ð"ß #ß $Ñ X Þ6º) Análogamente; X "ß !ß "Ñ œ $ß !ß $ÑÐ Ð - - - ‘Ð Ð"ß !ß "Ñ œ "ß !ß "Ñ Ê œ $ −7º) Luego; es vector propio de Ð"ß !ß "Ñ X Þ

8º) Además, ; ; es linealmente˜ ™Ð Ð Ð"ß "ß $Ñ "ß #ß $Ñ "ß !ß "Ñ

independiente (VERIFÍQUELO!!). Es decir, se tienen TRES vectoreslinealmente independientes y 3 Por lo tanto,.37 œ Þ‘$˜ ™Ð Ð Ð"ß "ß $Ñ "ß #ß $Ñ "ß !ß "Ñ; ; es base de formada por vectores‘$

propios de X Þ


8 B8

Diremos que la matriz es DIAGONALIZABLE si y solo si esE Esemejante a una matriz diagonal H Þ

(5.4) :OBSERVACIÓNa) Notar que es semejante a una matriz diagonal si y solo siE Hexiste una matriz invertible tal que o .T H œ T ET T H œ ET"

b) La matriz diagonal tiene en su diagonal los valores propios H à-"

- - -# $ 7à à Þ Þ Þ à E de la matriz ; no necesariamente todos distintos.

c) La matriz invertible tiene en sus columnas los vectores propiosTlinealmente independientes asociados a los valores propios en el mismoorden que están dispuestos en la matriz diagonal .H

(5.5) : EJEMPLO

(5.5.1) En (4.2.1) se determinó que la matriz esE œ" "" "” •

diagonalizable, ya que es semejante a una matriz diagonal

H œ# !

! #– —È È donde los elementos de la diagonal son los valores

propios de Además existe una matriz EÞ T œ " # " #" "

” •È Èinvertible donde las columnas son los respectivos vectores propiosasociados a los valores propios de EÞÞ Verifique si se cumple que o equivalentementeH œ T ET"

T H œ ET .



PÁG. 392



VERIFICACIÓN:

1°) : T Ä" # " # " !" " ! " ! # # " " #

" " ! "" ” • ” •È È È È

Ä Ä# # ! " " #

! # # " " #

" !

! " – — – —È ÈÈ È" " "

# # # # #

" " "

# # # # #

È ÈÈ È

Por lo tanto; T œ

"

" " "

# # # # #

" " "

# # # # #– —È È

È È2°) T ET œ

" "" "

" # " #" "

"

" " "

# # # # #

" " "

# # # # #– —” •” •È ÈÈ È

È È œ œ œ H

" # " #

" "

# !

! #– — – —” •È È È È

" " "# ##" " "# ##

ÈÈ

Por lo tanto; se verifica que: T ET œ H"

3°) Verifique usted que ; que es la condición equivalenteT H œ ETpara decir que la matriz es semejante a una matriz diagonal E HÞ

(5.5.2) En (4.2.2) se determinó que la matriz esE œ" "" "” •

diagonalizable, ya que es semejante a una matriz diagonal

H œ" 3 !

! " 3” • donde los elementos de la diagonal son los valorespropios de Además existe una matriz invertible dondeEÞ T œ

3 3" "” •

las columnas son los respectivos vectores propios asociados a losvalores propios de EÞÞ Verifique si se cumple que o equivalentementeT H œ ETH œ T ET" .

VERIFICACIÓN:

1º) T H œ œ3 3 " 3 ! " 3 " 3" " ! " 3 " 3 " 3” •” • ” •

ET œ œ" " 3 3 " 3 " 3" " " " " 3 " 3” •” • ” •

2º) Por lo tanto; se verifica que: .T H œ œ ET " 3 " 3" 3 " 3” •

3º) Verifique usted que ; que es la condición equivalenteH œ T ET"

para decir que la matriz es semejante a una matriz diagonal E HÞ



PÁG. 393



(5.5.3) En (4.2.3) se determinó que la matriz

E œ" $ #

" # "% " "

Î ÑÏ Ò es diagonalizable, ya que es semejante a una

matriz diagonal donde los elementos de la diagonalH œ # ! !! " !! ! $

Î ÑÏ Ò

son los valores propios de Además existe una matrizEÞ

T œ" " "" # !

$ $ "

Î ÑÏ Ò invertible donde las columnas son los respectivos

vectores propios asociados a los valores propios de EÞÞ Verifique si se cumple que o equivalentementeH œ T ET"

T H œ ET .



" " " " ! ! " " " " ! !" # ! ! " ! ! $ " " " !

$ $ " ! ! " ! ' % $ ! "Ä

Ä Ä

" ! !

! " !

! ! # " # " ! ! " "

" ! !

! " ! Î ÑÏ Ò

Î ÑÐ ÓÏ Ò

# # "$ $ $" " "$ $ $

" " "$ $ $" # "' $ '" "# #

Ê T œ# # #" % "$ ' $

" "'

Î ÑÏ Ò

2º) T ET œ# # # " $ # " " "" % " " # " " # !$ ' $ % " " $ $ "

" "'

Î ÑÎ ÑÎ ÑÏ ÒÏ ÒÏ Ò

œ œ % % % " " " "# ! !" % " " # ! ! ' !* ") * $ $ " ! ! ")

" "' '


T ET œ œ H # ! !! " !! ! $

"Î ÑÏ Ò

Por lo tanto; se verifica que: .T ET œ œ H # ! !! " !! ! $

"Î ÑÏ Ò

3°) Verifique usted que ; que es la condición equivalenteT H œ ETpara decir que la matriz es semejante a una matriz diagonal E HÞ



PÁG. 394



(5.6) : Sea OBSERVACIÓN E − ÐOÑ Þ`8 B8

a) con valores propios distintos es DIAGONALIZABLEE 8 E ÞÊ

b) Si los valores propios de tienen multiplicidad algebraica mayor que 1Ey la SUMA de las multiplicidades GEOMÉTRICAS de los valores propiosasociados a es igual a ; entonces es diagonalizable, donde laE 8 Ematriz tendría en su diagonal a lo menos dos valores propios iguales yHpor consiguiente en la matriz invertible se colocarían a lo menos dosTvectores propios asociados, pero que sean linealmente independientes.

c) Las representaciones matriciales de una transformación lineal; sonmatrices semejantes.



PÁG. 395





1. Determine el espacio propio asociado a cada valor propio de:

(1.1) (1.2) E œ E œ# $

$ #

" # ## # #

$ ' 'Œ Ô ×

Õ Ø(1.3) (1.4) E œ E œ

" "# !

" " %$ # "# " "

Œ Ô ×Õ Ø

2. Determine una base para cada espacio propio de:

(2.1) (2.2) E œ E œ$ " " " # ## % # " # "" " $ " " %


3. Dada definida por .X À Ä XÐBß CÑ œ ÐBß CÑ‘ ‘# #

Determine una base de vectores propios de para .X ‘#

4. Determine valores propios y vectores propios (si existen) de yXuna base para cada espacio propio.(4.1) X À Ä XÐBß CÑ œ Ð$B $Cß B &CÑ‘ ‘# # definida por (4.2) X À Ä XÐBß CÑ œ ÐCß BÑ‘ ‘# # definida por (4.3) X À Ä XÐBß Cß DÑ œ ÐB C Dß #C Dß #C $DÑ‘ ‘$ $ definida por

5. En cada uno de los siguientes casos:

(5.1) y W œ Ð # ß #Ñ ß Ð& ß &Ñ E œ˜ ™ Œ $ '' $

(5.2) y W œ Ð #ß !ß !Ñß Ð!ß $ß $Ñß Ð!ß #ß $ E œ˜ ™ Ô ×Õ Ø

( ! !! # %! ' !

a) Determine si es un conjunto linealmente independiente deWvectores propios de EÞb) Determine si es diagonalizable. ¿Porqué?Ec) Si es posible; diagonalice usando E W Þ



PÁG. 396



6. Determine si es posible una base de o según corresponda,‘ ‘# $

formada por los vectores propios de:

(6.1) (6.2) E œ E œ# $

$ #

" # ## # #

$ ' 'Œ Ô ×

Õ Ø(6.3) (6.4) E œ E œ

" "# !

" " %$ # "# " "

Œ Ô ×Õ Ø

(6.5) (6.6) E œ E œ& # $ # " "! " # " # "" # ! " " #


(6.7) (6.8) E œ E œ" " # # # !

" # " " $ "! " " " # $


(6.9) (6.10) E œ E œ % ! ! $ # %! # " # ! ## " ! % # $


Además, en cada caso. determine:

a) Si es diagonalizable. ¿Porqué?E

b) Si es posible; diagonalice EÞ

7. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales:a) X À Ä XÐBß CÑ œ ÐBß CÑ‘ ‘# # definida por b) X À Ä XÐBß CÑ œ ÐBß !Ñ‘ ‘# # definida por c definida por ) X À Ä XÐ:ÐBÑÑ œ :ÐB "Ñc c# #

d) X À Ä XÐBß CÑ œ Ð$B $Cß B &CÑ‘ ‘# # definida por e definida por ) X À Ä XÐBß CÑ œ ÐCß BÑ‘ ‘# #

f) X À Ä XÐBß Cß DÑ œ ÐB C Dß #C Dß #C $DÑ‘ ‘$ $ definida por

(7.1) Determine si es diagonalizable. ¿Porqué?X

(7.2) Si es posible; encuentre una base que diagonalice X Þ

8. Para los casos del ejercicio 6. y 7. ; que sean diagonalizables À Encuentre una matriz tal que o la representación matricial deG EX H H œ G EGÞsea semejante a una matriz diagonal ; es decir "

Usando ; calcule H œ G EG E Þ" "!



PÁG. 397



9. Dado linealmente independiente de vectores propios de y W E Ies el conjunto de valores propios respectivo. Determine EÞ(9.1) y W œ Ð " ß "Ñ ß Ð" ß "Ñ I œ "! ß "#˜ ™ ˜ ™(9.2) y W œ Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß "ß " I œ " ß # ß $˜ ™ ˜ ™(9.3) y W œ Ð!ß "ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñß Ð "ß !ß " I œ " ß " ß "˜ ™ ˜ ™

10. Suponga que una matriz de orden es triangular superior yE $B$que sus elementos de la diagonal son respectivamente.# ß " ß & Demuestre que es diagonalizable y encuentre la matriz diagonal E H

11. Demuestre que la matriz no es diagonalizable, para:E

(11.1) (11.2) E œ E œ# $ &# $ &# $ &

# " ! !! # " !! ! # "! ! ! #

Ô ×Õ Ø


12. Determine para que sea diagonalizable.+ − Ð Ñ" ! !! ! "! + !

Ô ×Õ Ø ` ‘$B$

13.

(13.1) Dada . Calcule aplicando diagonalización.E œ E à E! )# !Œ ' *

(13.2) Deduzca una fórmula para determinar si .E E œ! )# !

8 Œ



PÁG. 398




TALLER N° 9

1. Determine el espacio propio asociado a cada valor propio de:

(1.1) (1.2) E œ E œ% %" %

" " # " # "! " "

Œ Ô ×Õ Ø

(1.3) (1.4) E œ E œ# %$ "$

& % #% & ## # #

Œ Ô ×Õ Ø

2. Determine una base para cada espacio propio de .E œ" " !! " !! ! "

Ô ×Õ Ø

3 Determine valores propios y vectores propios (si existen) de y. Xuna base para cada espacio propio.

(3.1) X À Ä XÐBß CÑ œ ÐCß BÑ‘ ‘# # definida por

(3.2) X À Ä‘ ‘$ $ definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB Cß #B $C #Dß B C #DÑ

4. En cada uno de los siguientes casos:

(4.1) y W œ Ð"!ß !Ñ ß Ð' ß &Ñ E œ˜ ™ Œ " '! %

(4.2) y W œ Ð!ß #ß !Ñß Ð"ß !ß #Ñß Ð"ß !ß # E œ˜ ™ Ô ×Õ Ø

! ! "! # !% ! !

a) Determine si es un conjunto linealmente independiente deWvectores propios de EÞ

b) Determine si es diagonalizable. ¿Porqué?E

c) Si es posible; diagonalice usando E W Þ



PÁG. 399



5. Determine si es posible una base de formada por los vectores‘$

propios de:

(5.1) (5.2) E œ E œ% %" %

" " # " # "! " "

Œ Ô ×Õ Ø

(5.3) (5.4) E œ E œ# %$ "$

& % #% & ## # #

Œ Ô ×Õ Ø

(5.5) (5.6) E œ E œ" " %$ # "# " "

# && #

Ô ×Õ Ø Œ

(5.7) (5.8) E œ E œ" ! #! # &! & #

# !& #

Ô ×Õ Ø Œ

Además, en cada caso:a) Determine si es diagonalizable. ¿Porqué?Eb) Si es posible; diagonalice EÞ

6. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales:a) X À Ä XÐBß CÑ œ Ð Bß CÑ‘ ‘# # definida por b) X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X Ð+ ,BÑ œ + ,Bc ‘ c ‘" " definida por c definida por ) X À Ä XÐBß Cß DÑ œ ÐBß Cß !Ñ‘ ‘$ $

d) X À Ä XÐBß CÑ œ ÐCß BÑ‘ ‘# # definida por e) X À Ä‘ ‘$ $ definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB Cß #B $C #Dß B C #DÑ

(6.1) Determine si es diagonalizable. ¿Porqué?X

(6.2) Si es posible; encuentre una base que diagonalice X Þ

7. Para los casos del ejercicio 5. y 6. ; que sean diagonalizables.(7.1) Encuentre una matriz tal que o la representación matricial deG EX H H œ G EGsea semejante a una matriz diagonal ; es decir , donde"

los elementos de son los valores propios de o de la representaciónH Ematricial de X Þ(7.2) Usando ; calcule H œ G EG E Þ" "!

8. Dado linealmente independiente de vectores propios de y W E Ies el conjunto de valores propios respectivo. Determine EÞ(8.1) y W œ Ð"ß "ß "Ñß Ð $ß !ß "Ñß Ð #ß "ß ! I œ ' ß ! ß !˜ ™ ˜ ™(8.2) y W œ Ð "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð!ß !ß " I œ # ß # ß $˜ ™ ˜ ™



PÁG. 400



9. Demuestre que no es diagonalizableÔ ×Õ Ø

& " !! & "! ! &

Þ

10. Suponiendo que a lo menos uno de , es distinto de cero. + ß , -

Demuestre que es diagonalizableÀ Í + , - Á !+ , -+ , -+ , -

Ô ×Õ Ø

11. Determine el valor de para que sea+ − Ð Ñ" ! !! # "! ! +

Ô ×Õ Ø ` ‘$B$

diagonalizable.

12. Demuestre que Œ Œ " " # #" " # #

œ à a 8 œ !ß "ß #ß ÞÞÞ8" 8 8

8 8



PÁG. 401





PROBLEMA 1: Ð"Þ"Ñ : (1.4)TALLER N° 9 RESPUESTA: I Ð"ß !ß #Ñß Ð!ß "ß #Ñ à" œ 1/8˜ ™ I Ð#ß #ß "Ñ"! œ 1/8˜ ™Polinomio característico: :Ð- - - -Ñ œ ./> ÐE M Ñ œ Ð "Ñ Ð "!Ñ$

#

Ecuación característica: Ð "Ñ Ð "!Ñ œ !- -#

Valores propios: - -œ " à œ "!Multiplicidad algebraica: multiplicidad algebraica y respectivamente# "Vectores propios: W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð"ß !ß #Ñß Ð!ß "ß #Ñ Ð

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ"! ˜ ™ ˜ ™Ð#ß #ß "Ñ Ð

ESPACIO PROPIO: I Ð"ß !ß #Ñß Ð!ß "ß #Ñ à" œ 1/8˜ ™ I Ð#ß #ß "Ñ"! œ 1/8˜ ™

Ð"Þ#Ñ : 2.TALLER N° 9 RESPUESTA: ,+=/ I Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ à" œ ˜ ™Polinomio característico: :Ð- - -Ñ œ ./> ÐE M Ñ œ Ð" Ñ$

$

Ecuación característica: Ð" Ñ œ !- $

Valores propios: - œ "Multiplicidad algebraica: multiplicidad algebraica $ ÞVectores propios: W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ Ð

ESPACIO PROPIO: I Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ" œ 1/8˜ ™

PROBLEMA 2: TALLER N° 9 : (3.2) RESPUESTA: ,+=/ I Ð "ß !ß "Ñ à" œ ˜ ™ ,+=/ I Ð #ß #ß "Ñ à ,+=/ I Ð "ß #ß "Ñ# $œ œ˜ ™ ˜ ™Polinomio característico: :Ð- - - - -Ñ œ ./> ÐE M Ñ œ Ð" ÑÐ #ÑÐ $Ñ$

Ecuación característica: Ð" ÑÐ #ÑÐ $Ñ œ !- - -

Valores propios: - - -œ " à œ # à œ $Multiplicidad algebraica: todos tienen multiplicidad algebraica " ÞVectores propios: W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð "ß !ß "Ñ Ð

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ W œ 1/8 !ß !ß !Ñ# $˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð #ß #ß "Ñ Ð à Ð "ß #ß "Ñ Ð

ESPACIO PROPIO: I œ 1/8 I œ 1/8 I œ 1/8" # $˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð "ß !ß "Ñ à Ð #ß #ß "Ñ à Ð "ß #ß "Ñ



PÁG. 402



PROBLEMA 3: TALLER N° 9 : (4.1)a) RESPUESTA: WM

Œ Œ Œ " ' "! "!! % ! !

œ Ê- -" " œ "

Œ Œ Œ " ' ' '! % & &

œ Ê- -# # œ %

b) RESPUESTA: ; ya que existe base de WM ‘#

formada por vectores propios de EÞValores propios: - -œ " à œ %Espacio propio: I œ 1/8 I œ 1/8" %˜ ™ ˜ ™Ð"!ß !Ñ à Ð'ß &Ñ

,+=/ I Ð"!ß !Ñ œ .37 I à" "œ œ "˜ ™ conmultiplicidad geométrica,+=/ I Ð'ß &Ñ œ .37 I% œ œ "˜ ™ conmultiplicidad geométrica 4 .F+=/ ./ œ Ð"!ß !Ñà Ð'ß &Ñ‘# ˜ ™c) RESPUESTA: ; ya que existe una matrizWM diagonal y una matriz invertible tal que H T H œ T ET"

H œ T œ T œ " ! "! '! % ! &

!Œ Œ "

" $"! #&

"&

PROBLEMA 4: TALLER N° 9 : (5.5) RESPUESTA: ; ; ˜ ™Ð "ß "ß "Ñ Ð "ß %ß "Ñ Ð"ß #ß "Ñ

a) ; ya que existeWM IW HMEKSREPM^EFPIuna matriz diagonal y una matriz invertible tal que H T H œ T ET"

b)

H œ T œ T œ # ! ! " " " # # '! " ! " % # " # $! ! $ " " " $ ! $

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò" "

'

Polinomio característico: :Ð- - - - -Ñ œ ./> ÐE M Ñ œ Ð" ÑÐ $ÑÐ #Ñ$

Ecuación característica: Ð" ÑÐ $ÑÐ #Ñ œ !- - -

Valores propios: - - -œ # à œ " à œ $Multiplicidad algebraica: todos tienen multiplicidad algebraica " ÞVectores propios: W œ 1/8 !ß !ß !Ñ# ˜ ™ ˜ ™Ð "ß "ß "Ñ Ð

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" $˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð "ß %ß "Ñ Ð à Ð"ß #ß "Ñ Ð

ESPACIO PROPIO: I œ 1/8 I œ 1/8 I œ 1/8# " $˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð "ß "ß "Ñ à Ð "ß %ß "Ñ à Ð"ß #ß "Ñ

,+=/ Ð "ß "ß "Ñ à ,+=/ Ð "ß %ß "Ñ à ,+=/ Ð"ß #ß "ÑI œ I œ I œ# " $˜ ™ ˜ ™ ˜ ™



PÁG. 403



PROBLEMA 5: Ð&Þ"Ñ : 6. b)TALLER N° 9(6.1) RESPUESTA: ; ya que existe base de WM c"

formada por vectores propios de X Þ

Valores propios: - -œ " à œ "Espacio propio: I œ 1/8 I œ 1/8" "˜ ™ ˜ ™B à "

,+=/ I B œ .37 I à" "œ œ "˜ ™ conmultiplicidad geométrica,+=/ I " œ .37 I" "œ œ "˜ ™ conmultiplicidad geométrica .

(6.2) F+=/ ./ œ " à Bc" ˜ ™

Ð&Þ#Ñ : 7. para (5.5)TALLER N° 9 RESPUESTA:

(7.1) ; ya que existe unaWM IW HMEKSREPM^EFPImatriz diagonal y una matriz invertible tal que H G H œ G EG"

H œ G œ G œ # ! ! " " " # # '! " ! " % # " # $! ! $ " " " $ ! $

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò" "

'

(7.2) E œ"!Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò

" " " # ! ! # # '" % # ! " ! " # $" " " ! ! $ $ ! $

"!

"'

GEPGYPIÞ

Ð&Þ$Ñ : 7. para 6. b)TALLER N° 9 RESPUESTA:

(7.1) ; ya que existe unaWM IW HMEKSREPM^EFPImatriz diagonal y una matriz invertible tal que H G H œ G EG"

La representación matricial de es considerando la baseX" !! "Œ

canónica de .c"

H œ à G œ à G œ " ! ! " ! "! " " ! " !Œ Œ Œ "

(7.2) E œ"! Œ Œ Œ ! " " ! ! "" ! ! " " !

œ M"!

#



PÁG. 404



PROBLEMA 6: Ð'Þ"Ñ : (8.2)TALLER N° 9

RESPUESTA: E œ! # !# ! !! ! $

Î ÑÏ Ò

1°) es base de ; W H œ à T œ # ! ! " " !! # ! " " !! ! $ ! ! "

‘$Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

2°) T œ Ê E œ T HT " " !" " !! ! #

" ""#

Î ÑÏ Ò

Ð'Þ#Ñ : 9.TALLER N° 9 RESPUESTA: ; ya RS IW HMEKSREPM^EFPI que no existe base de formada por vectores propios de ‘$ EÞ

Polinomio característico: :Ð- - -Ñ œ ./> ÐE M Ñ œ Ð& Ñ$$

Ecuación característica: Ð& Ñ œ !- $

Valores propios: - œ & conmultiplicidad algebraica œ $Espacio propio: I œ 1/8& ˜ ™Ð"ß !ß !Ñ

,+=/ I Ð"ß !ß !Ñ œ .37 I à& &œ œ "˜ ™ conmultiplicidad geométricaF+=/ ./ EÞ‘$ no existe con vectores propios de



PÁG. 405



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 14 DE JUNIO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __14PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À Ä‘ ‘$ $ ; definida por X ß Cß DÑ œ ÐB $C #D ß B #C D ß %B C DÑÐBEncuentre los valores propios de la transformaciónSOLAMENTElineal .X

(4.2) Considere la matriz E œ$ "# %Œ

Determine una base para el espacio propio asociado a cada valorpropio de EÞ





PÁG. 406



PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __14PREGUNTA 4: (4.1) :SOLUCIÓN1º) es valor propio de - X si y solo sib ß Cß DÑ Á ß !ß !Ñ X ß Cß DÑ œ ß Cß DÑ ÐB Ð! ÐB ÐB #tal que - 2º) X ß Cß DÑ œ ß Cß DÑ ÊÐB ÐB- ÐB $C #D ß B #C D ß %B C DÑ œ ß Cß DÑÐ B- - - es decir: B $C #D œ Ê Ð" B $C #D œ

B #C D œ C B Ð# C D œ

%B C D œ D %B C Ð" D œ

- -

- -

- -

B Ñ !

Ñ !

Ñ !

Ê œ Á" $ # B ! B ! " # " C ! C !% " " D ! D !

Ô ×Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

--

-con "


./>" $ # " # "% " "

Ô ×Õ Ø

--

-œ ! por fila 2:

œ # " "

./> Ñ# # $

" % %Œ Œ Œ $ " " "

Ð ./> ./>- -

-- -

œ Ñ Ð ÑÐ *Ñ Ð "$ÑÐ" $ # - - - -#

œ Ð ÑÐ *Ñ "# %# - - -#

œ Ð# ÑÐ $ÑÐ $Ñ %Ð$ Ñ- - - - œ Ð $ÑÐ #Ñ œ Ð $ÑÐ #Ñ- - - - - -# #

œ Ð $ÑÐ #ÑÐ "Ñ œ !- - - #

4º) Por lo tanto, los valores propios son - - -" # $œ # à œ " à œ $ #


./> ÐE œ Ð$ % $ "

# % - - -

--

M Ñ œ ./> ÑÐ Ñ ## Œ "

œ - - - -# ( #ÑÐ &Ñ œ ! "! œ Ð b) Luego, los valores propios son: - -" #œ # à œ & "



PÁG. 407



2º) :ESPACIOS PROPIOSa) Para ; resolvemos:-" œ #

Œ Œ " " " "# # ! !

Ä Ê B œ C C Á ! "

Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W œ 1/8 Ð "ß "Ñ Ð!ß !Ñ# ˜ ™ ˜ ™ "

y el espacio propio es y una base esI œ 1/8 Ð "ß "Ñ# ˜ ™ ˜ ™Ð "ß "Ñ (ya que además es L.I) "

b) Para ; resolvemos:-" œ &

Œ Œ # " " # "

Ä! !

"# Ê B œ C C Á !"

# "

Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W œ 1/8 Ð ß "Ñ Ð!ß !Ñ œ 1/8 Ð"ß #Ñ Ð!ß !Ñ&

"#

˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ "

y el espacio propio es y una base esI œ 1/8 Ð"ß #Ñ& ˜ ™ ˜ ™Ð"ß #Ñ (ya que además es L.I) "



PÁG. 408



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA MI 13122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN 1 4PROFESOR CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

PREGUNTA 1 2 3 NOTA

PUNTAJE1. Sea X À Ä ‘ ‘# # una transformación lineal definida por XÐB ß CÑ œ Ð#B ß B CÑ Þ(1.1) Encuentre (SI EXISTEN) los valores y vectores propios de X .(1.2) Encuentre (SI EXISTE) una base de formada por vectores‘#

propios de X Þ(1.3) Es diagonalizable. Por qué?X

2. Sea una transformación lineal definida porX À Ä ‘ ‘$ #

XÐBß Cß DÑ œ Ð ß ÑB #C D B C D .(2.1) Determine el O/< ÐX Ñ.(2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ.(2.3) Determine la M7 ÐXÑ.(2.4) Determine una base de la M7 ÐXÑ.(2.5) A partir de la base de , construya agregando vectoresO/< ÐX Ñadecuados a una base de . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!‘$

3. Sea X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘"

# una transformación lineal definida por XÐ+ ,BÑ œ Ð+ ß + ,ÑÞ(3.1) Encuentre la representación matricial de respecto de lasXbases: F œ " B ß " F œ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

c ‘ ‘"Ð Ñ #

˜ ™ ˜ ™

(3.2) Determine si es una biyección. De serlo, encuentre:Xa) X Ð" ß "Ñ" Þb) la fórmula que define .X "

NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 20 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1 TIEMPO: 80 minutos



PÁG. 409



PAUTA DE CORRECCIÓN CONTROL N° 2: SECCIÓN 14


(1.1) VALORES PROPIOS DE X À

XÐBß CÑ œ Ð#B ß B CÑ œ Ð- - -ÐBß CÑ Ê Bß CÑ à ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñobteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones:#B œ # B C œ B Ð"

- -- -

B Ê ÑB œ !C ÑC œ !

Ð

Polinomio característico:

:Ð # " # !

" " - - -

--

Ñ œ ./> œ Ð ÑÐ ÑŒ Ecuación característica: Ð ÑÐ Ñ œ !# " - -Valores propios: - -œ " à œ #

VECTORES PROPIOS DE E Àa) PARA : reemplazar en- œ "

y resolverŒ Œ Œ # ! B !" " C !

œ-

-

Œ Œ " ! " !" ! ! !

Ä Ê B œ ! à C Á !

El conjunto de vectores propios para - œ " es: W œ 1/8 !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð!ß "Ñ Ð

b) PARA : reemplazar en- œ #

y resolverŒ Œ Œ # ! B !" " C !

œ-

-

Œ Œ ! ! " "" " ! !

Ä Ê B œ C à C Á !

El conjunto de vectores propios para - œ # es: W œ 1/8 !ß !Ñ# ˜ ™ ˜ ™Ð"ß "Ñ Ð

(1.2) Una base de dada por está formada por‘# ˜ ™Ð!ß "Ñà Ð"ß "Ñ vectores propios de (ya que sondos vectores y ) X Þ .37 œ #PÞMÞ ‘#

(1.3) Si es diagonalizable, ya que existe una base de dada por‘#˜ ™Ð!ß "Ñà Ð"ß "Ñ X Þformada por vectores propios de



PÁG. 410




(2.1) O/< ÐX Ñ œ ˜ ™ÐBß Cß DÑ − XÐBß Cß DÑ œ Ð!ß !Ñ‘$ Î

XÐBß Cß DÑ œ Ð!ß !Ñ Ê Ð ß Ñ œ Ð!ß !ÑB #C D B C D obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones: B #C D

B C Dœ !

œ !

Œ Œ Œ " # " " # " " ! "" " " ! $ ! ! " !

Ä Ä

Ê B œ D à C œ ! .

Por lo tanto: O/< ÐX Ñ œ Î œ 1/8˜ ™ ˜ ™Ð Dß !ß DÑ D − Ð "ß !ß "Ñ‘

(2.2) (ya que es ademásF+=/ O/< ÐX Ñ œ PÞMÞ˜ ™Ð "ß !ß "Ñ )

(2.3) M7 ÐXÑ œ ˜ ™Ð ß Ñ − Bß Cß D −B #C D B C D ‘# Î ‘

œ Î˜ ™BÐ"ß "Ñ CÐ #ß "Ñ DÐ"ß "Ñ Bß Cß D − ‘

œ 1/8˜ ™Ð"ß "Ñà Ð #ß "Ñ Ð"ß "Ñà

œ 1/8 œ˜ ™Ð"ß "Ñà Ð #ß "Ñ ‘#

Por lo tanto: M7 ÐXÑ œ ‘#

(2.4) o bien˜ ™ ˜ ™Ð"ß "Ñà Ð #ß "Ñ "ß !Ñ Ð!ß "Ñ Ð ; (ya que es además PÞMÞ )

(2.5) es base de .˜ ™Ð "ß !ß "Ñà Ð"ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Ñ ‘$

En efecto, como verifiquemos que son.37 œ $‘$ ß PÞPÞ À


" ! " " ! !" ! ! ! " !! " ! ! ! "

Ä Ê œ œ œ !! " #



PÁG. 411



PROBLEMA 3: RESPUESTA: (3.1) 1ª) XÐ" BÑ œ Ð"ß #Ñ à X Ð"Ñ œ Ð"ß "Ñ 2ª) Ð"ß #Ñ œ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ! "" "

Ð"ß "Ñ œ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ! "# #

Luego: ! " ! "

! "" " " "

" "

$ "# # œ " œ à œ

œ #Ê

! " ! "! "

# # # "

# #

œ " œ " à œ ! œ "

Ê

3ª) Por lo tanto, la representación matricial es:

Œ ! !" "

" #

" "

$#

"#

œ"

!(3.2)1ª) O/< ÐX Ñ œ Î˜ ™+ ,B − XÐ+ ,BÑ œ Ð!ß !Ñc

"

XÐ+ ,BÑ œ Ð!ß !Ñ Ê Ð+ß + ,Ñ œ Ð!ß !Ñobteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones:+ œ ! Ê + œ , œ !

+ , œ !

Por lo tanto: O/< ÐX Ñ œ Ê 8?63.+. ÐX Ñ œ !˜ ™!c"

es inyectiva.X

2ª) .37 œ 8?63.+. ÐX Ñ <+819 ÐX Ñ Ê <+819 ÐX Ñ œ #c"

y .M7 ÐXÑ § Ê M7 ÐXÑ œ‘ ‘# #

es sobreyectiva.X es biyectiva. e invertible.X

a) Se resuelve el siguiente sistema:+ œ " Ê + œ " à , œ # Þ+ , œ "

Luego:

X Ð" ß "Ñ œ " #B"

b) Se resuelve el siguiente sistema:+ œ B Ê + œ B à , œ C B+ , œ C

! ! ! !

!

Luego: X ÐB ß C Ñ œ B ÐC B ÑB"! ! ! ! !



PÁG. 412



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA MA 12122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN 3 4PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

PREGUNTA 1 2 3 NOTA

PUNTAJE1. Sea E œ

# "! "Œ

(1.1) Encuentre (SI EXISTEN) los valores y vectores propios de E.(1.2) Es diagonalizable. Por qué?E(1.3) Si lo es, encuentre la matriz diagonal y la matriz invertibleHT H œ T ETtal que se verifique que: "

2. Sea una transformación lineal definida porX À Ä Ð Ñ ‘ c ‘$"

XÐ+ ß + ß + Ñ œ Ð+ + + Ñ Ð+ + + ÑB! " # ! " # ! " # % # &(2.1) Determine el O/< ÐX Ñ.(2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ.(2.3) Determine la M7 ÐXÑ.(2.4) Determine una base de la M7 ÐXÑ.(2.5) A partir de la base de , construya agregando vectoresO/< ÐX Ñadecuados a una base de . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!‘$

3. Sea X À Ä ‘ ‘# # una transformación lineal definida por XÐB ß CÑ œ Ð B C ß CÑÞ(3.1) Encuentre la representación matricial de respecto de laXbase para el dominio y espacio llegada.F œ Ð"ß "Ñ ß Ð "ß "Ñ

‘#˜ ™

(3.2) Determine si es una biyección. De serlo, encuentre:Xa) b) la fórmula que define .X Ð" ß "Ñ X" "Þ

NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = (10,10) = 20 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1 TIEMPO: 80 minutos



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PAUTA DE CORRECCIÓN CONTROL N° 2: SECCIÓN 34PROBLEMA 1: RESPUESTA:

(1.1) VALORES PROPIOS DE E ÀPolinomio característico:

:Ð # "

! " - -

--

Ñ œ ./>ÐE M Ñ œ ./># Œ œ Ð ÑÐ Ñ # " - -Ecuación característica: Ð ÑÐ Ñ œ ! # " - -Valores propios: - -œ # à œ "

VECTORES PROPIOS DE E Àa) PARA : reemplazar en- œ #

y resolverŒ Œ Œ # " B !! " C !

œ-

-

Œ Œ ! " ! "! " ! !

Ä Ê C œ ! à B Á !

El conjunto de vectores propios para - œ # es: W œ 1/8 !ß !Ñ# ˜ ™ ˜ ™Ð"ß !Ñ Ðb) PARA : reemplazar en- œ "

y resolverŒ Œ Œ # " B !! " C !

œ-

-

Œ Œ " " " "! ! ! !

Ä Ê B œ C à C Á !

El conjunto de vectores propios para - œ " es: W œ 1/8 !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð"ß "Ñ Ð(1.2) Si es disgonalizable, ya que existe una base de dada por‘#˜ ™Ð"ß !Ñà Ð"ß "Ñ EÞformada por vectores propios de

(1.3) H œ T œŒ Œ Œ # ! " " " "! " ! " ! "

à T œ à "

T À" Œ Œ " " " ! " ! " "! " ! " ! " ! "

Ä

:VERIFICACIÓN

T ET œ" " # " " "! " ! " ! "

" Œ Œ Œ œ œ œ H

# # " " # !! " ! " ! "Œ Œ Œ



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(2.1) O/< ÐX Ñ œ ˜ ™Ð+ ß + ß + Ñ − XÐ+ ß + ß + Ñ œ !! " # ! " #‘$ Î

XÐ+ ß + ß + Ñ œ ! Ê Ð+ + + Ñ Ð+ + + ÑB œ !! " # ! " # ! " # % # &obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones: + + + œ !

+ + + œ !! " #

! " #

% # &

Œ Œ Œ " " % " " % " ! $" # & ! " " ! " "

Ä Ä

Ê + œ $+ à + œ +! # " # .Por lo tanto:O/< ÐX Ñ œ œ 1/8˜ ™ ˜ ™Ð $+ ß + ß + Ñ + − Ð $ß "ß "Ñ# # # #Î ‘

(2.2) (ya que es ademásF+=/ O/< ÐX Ñ œ PÞMÞ˜ ™Ð $ß "ß "Ñ )

(2.3) M7 ÐXÑ œ ˜Ð+ + + Ñ Ð+ + + ÑB −! " # ! " # % # & c"Î

+ ß + ß + −! " # ‘™œ Î˜ ™+ Ð" BÑ + Ð " #BÑ + Ð% &BÑ + ß + ß + −! " # ! " # ‘

œ 1/8˜ ™Ð" BÑà Ð " #BÑ Ð% &BÑà

œ 1/8 œ˜ ™Ð" BÑà Ð " #BÑ c"

Por lo tanto: M7 ÐXÑ œ c

"

(2.4) o bien˜ ™ ˜ ™Ð" BÑà Ð " #BÑ " B ;

(2.5) es base de .˜ ™Ð $ß "ß "Ñà Ð"ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Ñ ‘$

En efecto, como verifiquemos que son.37 œ $‘$ ß PÞPÞ À


$ " " " ! ! " ! !" ! ! ! " ! ! " !! " ! ! " " ! ! "

Ä Ä Ê œ œ œ !! " #



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PROBLEMA 3: RESPUESTA: (3.1) 1ª) XÐ"ß "Ñ œ Ð!ß "Ñ à X Ð "ß "Ñ œ Ð#ß "Ñ 2ª) Ð!ß "Ñ œ Ð"ß "Ñ Ð "ß "Ñ! "" "

Ð#ß "Ñ œ Ð"ß "Ñ Ð "ß "Ñ! "# #

Luego: ! " ! "

! "" " " "

" "

" "# # œ ! œ à œ

œ "Ê

! " ! "! "

# # # "

# #

" $# # œ # œ à œ

œ "Ê

3ª) Por lo tanto, la representación matricial es:

Œ Œ ! !" "

" #

" "œ "

#

" " " $

(3.2)1ª) O/< ÐX Ñ œ ˜ ™ÐBß CÑ − XÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ‘# Î

XÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ Ê Ð B Cß CÑ œ Ð!ß !Ñobteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones:

B C œ ! Ê B œ C œ ! C œ !

Por lo tanto: O/< ÐX Ñ œ Ê 8?63.+. ÐX Ñ œ !˜ ™Ð!ß !Ñ es inyectiva.X

2ª) .37 œ 8?63.+. ÐX Ñ <+819 ÐX Ñ Ê <+819 ÐX Ñ œ #‘#

y .M7 ÐXÑ § Ê M7 ÐXÑ œ‘ ‘# #

es sobreyectiva.X es biyectiva. e invertible.X

a) Se resuelve el siguiente sistema: B C œ " Ê B œ ! à C œ " Þ X Ð" ß "Ñ œ Ð!ß "Ñ

C œ " Luego: "

b) Se resuelve el siguiente sistema: B C œ + Ê B œ + , à C œ , Þ

C œ ,

Luego: X Ð+ ß ,Ñ œ Ð + ,ß ,Ñ"

Í X ÐB ß CÑ œ Ð B Cß CÑ"



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 15122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN 1 1PROFESOR__GONZALO PINTO CANIVILO

PREGUNTA 1 2 3 NOTA

PUNTAJE1. Sea X À Ä ‘ ‘# # una transformación lineal definida por XÐB ß CÑ œ ÐB C ß #CÑ Þ(1.1) Encuentre (SI EXISTEN) los valores y vectores propios de X .(1.2) Encuentre (SI EXISTE) una base de formada por vectores‘#



XÐBß Cß DÑ œ Ð ß ÑB %C D #B C &D .(2.1) Determine el O/< ÐX Ñ.(2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ.(2.3) Determine la M7 ÐXÑ.(2.4) Determine una base de la M7 ÐXÑ.(2.5) A partir de la base de , construya agregando vectoresO/< ÐX Ñadecuados a una base de . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!‘$

3. Sea X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘"

# una transformación lineal definida por XÐ+ ,BÑ œ Ð+ , ß ,ÑÞ(3.1) Encuentre la representación matricial de respecto de lasXbases: F œ " ß " B F œ Ð"ß "Ñ ß Ð "ß "Ñ

c ‘ ‘"Ð Ñ #

˜ ™ ˜ ™


NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 20 PUNTOS.NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1 TIEMPO: 80 minutos



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 15122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN 1 2PROFESOR GUSTAVO BOBADILLA ELGUETA

PREGUNTA 1 2 3 NOTA

PUNTAJE1. Sea E œ

# "! "Œ



XÐBß Cß DÑ œ Ð ß ÑB C D B $C D .(2.1) Determine el O/< ÐX Ñ.(2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ.(2.3) Determine la M7 ÐXÑ.(2.4) Determine una base de la M7 ÐXÑ.(2.5) A partir de la base de , construya agregando vectoresO/< ÐX Ñadecuados a una base de . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!‘$

3. Sea X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘"

# una transformación lineal definida por XÐ+ ,BÑ œ Ð+ , ß ,ÑÞ(3.1) Encuentre la representación matricial de respecto de lasXbases: F œ " ß " B F œ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

c ‘ ‘"Ð Ñ #

˜ ™ ˜ ™





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 15122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN 2 1PROFESOR HUGO HERRERA GARRIDO

PREGUNTA 1 2 3 NOTA

PUNTAJE1. Sea E œ

# "! "Œ


2. Sea una transformación lineal definida porX À Ð Ñ Ä c ‘ ‘#

#

XÐ+ + B + B Ñ œ Ð+ + + ß + + + Ñ! " # ! " # ! " ## # $ .

(2.1) Determine el O/< ÐX Ñ.(2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ.(2.3) Determine la M7 ÐXÑ.(2.4) Determine una base de la M7 ÐXÑ.(2.5) A partir de la base de , construya agregando vectoresO/< ÐX Ñadecuados a una base de . DEMUESTRE LOc ‘

#Ð Ñ

CONSTRUÍDO!!

3. Sea X À Ä ‘ ‘# # una transformación lineal definida por XÐB ß CÑ œ ÐB ß B CÑÞ(3.1) Encuentre la representación matricial de respecto de laXbase: para el dominio y espacio llegada.F œ Ð "ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

‘#˜ ™





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 15122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN 2 2PROFESOR__GUSTAVO OSSANDÓN ARAYA

PREGUNTA 1 2 3 NOTA

PUNTAJE1. Sea X À Ä ‘ ‘# # una transformación lineal definida por XÐB ß CÑ œ Ð#B ß B CÑ Þ(1.1) Encuentre (SI EXISTEN) los valores y vectores propios de X .(1.2) Encuentre (SI EXISTE) una base de formada por vectores‘#


2. Sea una transformación lineal definida porX À Ä Ð Ñ ‘ c ‘$"

XÐ+ ß + ß + Ñ œ Ð+ + + Ñ Ð + + + ÑB! " # ! " # ! " # % # &(2.1) Determine el O/< ÐX Ñ.(2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ.(2.3) Determine la M7 ÐXÑ.(2.4) Determine una base de la M7 ÐXÑ.(2.5) A partir de la base de , construya agregando vectoresO/< ÐX Ñadecuados a una base de . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!‘$

3. Sea X À Ä ‘ ‘# # una transformación lineal definida por XÐB ß CÑ œ ÐB C ß CÑÞ(3.1) Encuentre la representación matricial de respecto de laXbase para el dominio y espacio llegada.F œ Ð"ß "Ñ ß Ð "ß "Ñ

‘#˜ ™


NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = (10,10) = 20 PUNTOS.NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1 TIEMPO: 80 minutos



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA MA 12122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN 2 3PROFESOR ANDRÉS CARRILLO LÓPEZ

PREGUNTA 1 2 3 NOTA

PUNTAJE1. Sea X À Ä ‘ ‘# # una transformación lineal definida por XÐB ß CÑ œ ÐB C ß #CÑ Þ(1.1) Encuentre (SI EXISTEN) los valores y vectores propios de X .(1.2) Encuentre (SI EXISTE) una base de formada por vectores‘#



XÐBß Cß DÑ œ Ð ß ÑB C D B C $D .(2.1) Determine el O/< ÐX Ñ.(2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ.(2.3) Determine la M7 ÐXÑ.(2.4) Determine una base de la M7 ÐXÑ.(2.5) A partir de la base de , construya agregando vectoresO/< ÐX Ñadecuados a una base de . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!‘$

3. Sea X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘"

# una transformación lineal definida por XÐ+ ,BÑ œ Ð+ ß + ,ÑÞ(3.1) Encuentre la representación matricial de respecto de lasXbases: F œ " ß " B F œ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

c ‘ ‘"Ð Ñ #

˜ ™ ˜ ™





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA MI 13122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN 2 4PROFESORA MARCELA ILABACA MOORE

PREGUNTA 1 2 3 NOTA

PUNTAJE1. Sea E œ

# "! "Œ



XÐBß Cß DÑ œ Ð ß ÑB #C D B C D .(2.1) Determine el O/< ÐX Ñ.(2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ.(2.3) Determine la M7 ÐXÑ.(2.4) Determine una base de la M7 ÐXÑ.(2.5) A partir de la base de , construya agregando vectoresO/< ÐX Ñadecuados a una base de . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!‘$

3. Sea X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘"

# una transformación lineal definida por XÐ+ ,BÑ œ Ð+ ß + ,ÑÞ(3.1) Encuentre la representación matricial de respecto de lasXbases: F œ " B ß " F œ Ð"ß !Ñ ß Ð"ß "Ñ

c ‘ ‘"Ð Ñ #

˜ ™ ˜ ™





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA JU 14122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN 3 2PROFESORA LINA SILVA HONORATO

PREGUNTA 1 2 3 NOTA

PUNTAJE1. Sea X À Ä ‘ ‘# # una transformación lineal definida por XÐB ß CÑ œ Ð#B C ß CÑ Þ(1.1) Encuentre (SI EXISTEN) los valores y vectores propios de X .(1.2) Encuentre (SI EXISTE) una base de formada por vectores‘#


2. Sea una transformación lineal definida porX À Ð Ñ Ä c ‘ ‘#

#

XÐ+ + B + B Ñ œ Ð+ #+ + ß + + + Ñ! " # ! " # ! " ## $

(2.1) Determine el O/< ÐX Ñ.(2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ.(2.3) Determine la M7 ÐXÑ.(2.4) Determine una base de la M7 ÐXÑ.(2.5) A partir de la base de , construya agregando vectoresO/< ÐX Ñadecuados a una base de . DEMUESTRE LOc ‘

#Ð Ñ

CONSTRUÍDO!!

3. Sea X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘"

# una transformación lineal definida por XÐ+ ,BÑ œ Ð+ , ß ,ÑÞ(3.1) Encuentre la representación matricial de respecto de lasXbases: F œ " B ß " F œ Ð "ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

c ‘ ‘"Ð Ñ #

˜ ™ ˜ ™





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA MA 12122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN 3 3PROFESOR HUGO HERRERA GARRIDO

PREGUNTA 1 2 3 NOTA

PUNTAJE1. Sea X À Ä ‘ ‘# # una transformación lineal definida por XÐB ß CÑ œ Ð #B ßB CÑ Þ(1.1) Encuentre (SI EXISTEN) los valores y vectores propios de X .(1.2) Encuentre (SI EXISTE) una base de formada por vectores‘#



XÐBß Cß DÑ œ ÐB C #D ß $B C DÑ(2.1) Determine el O/< ÐX Ñ.(2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ.(2.3) Determine la M7 ÐXÑ.(2.4) Determine una base de la M7 ÐXÑ.(2.5) A partir de la base de , construya agregando vectoresO/< ÐX Ñadecuados a una base de . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!‘$

3. Sea X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘"

# una transformación lineal definida por XÐ+ ,BÑ œ Ð #+ ß + ,ÑÞ(3.1) Encuentre la representación matricial de respecto de lasXbases: F œ " B ß " F œ Ð "ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

c ‘ ‘"Ð Ñ #

˜ ™ ˜ ™





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SEMANA N° 11:UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA SEMANA 11- 16/122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PRUEBA ENSAYO N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)

LEA ESTAS INSTRUCCIONES:A) A continuación se le presentan problemas, de los cuales; en algunosde estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y serregistrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente,cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS ENBLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS de donde está impresa la prueba,indicando claramente a qué pregunta corresponde.B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS QUE NO TENGANSU DESARROLLO, SI LO REQUIEREN !!C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba.D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !!E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !!F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !!

1. definidasDado el siguiente conjunto de funciones reales en ‘! ß "

por las fórmulas que se indican: ; 0 ÐBÑ œ $B à 0 ÐBÑ œ B & à 0 ÐBÑ œ #B 0 ÐBÑ œ ÐB "Ñ" # $

# #4 (1.1)

(1.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para quesean linealmente independientes____________________________________________________ .________________________________________________________________(1.2) Determine si es VERDADERA O FALSA la siguiente aseveración:"LAS FUNCIONES DADAS SON LINEALMENTE INDEPENDIENTES"._____________________________________________________


B D #> œ ! C $D > œ !

(2.1) E es l conjunto solución W _____________________________(2.2) Porque es subespacio vectorial W _________________________(2.3) Una base de es____________________________ y _____W .37 W œ(2.4) A partir de la base de (completando) una base de esW ‘%

____________________________________________________ .



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3. Dado el siguiente conjunto E œ ˜ ™"%

#ß #B $ß B # § c# Þ

(3.1) El valor de los escalares ; ; tal que! " # ! " #Ð Ñ Ð Ð"

%##B $Ñ B #Ñ œ ! son

! " #œ œ œ______ ______ ______ y se dice que es ____________à E(3.2) Como ____ ; por (3.1) es _________________________.37 Ec# œ _

4. Sean E œ Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "ß !Ñß Ð!ß !ß #ß #Ñ˜ ™ F œ Ð"ß !ß #ß "Ñß Ð$ß !ß %ß #Ñ˜ ™4.1) El valor de los escalares ; ; ; tal que! " # -ÐBß Cß Dß >Ñ œ ! " #Ð"ß !ß !ß !Ñ Ð"ß "ß !ß !Ñ Ð!ß "ß "ß !Ñ Ð!ß !ß #ß #Ñ-

son ! "œ œ____________________ ____________________# œ œ____________________ ____________________- y se diceàentonces que es _________________________________________E

(4.2) Como ____ ; por (4.1) es __________________________.37 E‘% œ _

(4.3) El valor de los escalares ; tal que! "! " ! "Ð"ß !ß #ß "Ñ Ð$ß !ß %ß #Ñ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ à son yœ œ_____ _____ se dice entoncesque es _______________________________________F

(4.4) ESCRIBA extendiendo F a una base de , considerando los‘%

vectores de ___________________________________________________E

5. El valor de los escalares (SI EXISTEN) ; ; tal que! " #

” • ” • ” • ” •" " " " " " " "# $ " " ! " ! !

œ ! " #

son la y se dice entonces que ! " #œ œ œ______ ______ ______ à

matriz ” •" "# $

_______________________________________________

6. Demuestre lo siguiente: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpoZO Ð à Ñ F œ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z‘ ‚ . Si es una BASE de . Entonces˜ ™

" # 8

existen únicos escalares tal que para todo ! ! !" # 8ß ß Þ Þ Þ ß − O @ − Z

se tiene que: @ œ @!3œ"

8

!3 3

7. Las coordenadas con respecto a la base:ÐBÑ œ B 'B #B %$ #

F œ B 'B #B %˜ ™ c dÎ ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

"ß Bß B ß B $ " & $# # # #

# $ son: $ #F œ



PÁG. 426



8 (5.1) La matriz de transición o matriz de cambio de base; de la base

F œ ß ß ß" " " " " " ! !" " " " ! ! " ""

˜ ™” • ” • ” • ” • a la base

F œ ß ß ß ÒEÓ œ" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !# F"

F#˜ ™” • ” • ” • ” •Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

es

(8.2) Con , el resultado de@ œ Ò@Ó œ ÒEÓ Ò@Ó œ" $% &” •


F F# "F"

F#

(8.3) ( ) ÒEÓ œ ÒEÓ œF F" #

F F# ""


9. Sea la función definida porX À Ä XÐBß CÑ œ ÐB ß B DÑ ‘ ‘# #

(9.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para queX sea una transformación lineal________________________________________________________________________________________________________________________________(9.2) El valor de ________ , para que D œ X sea transformación lineal.(9.3) El valor de ________ , para que D Á X no sea transformación lineal.

10. Sea la función definida porY À Ä YÐB ß CÑ œ ÐB ß -9= CÑ ‘ ‘# #

(10.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para queY sea una transformación lineal________________________________________________________________(10.2) El valor de ________ YÐ! ß !Ñ œ Þ(10.3) Con el cálculo de (10.2) que puede decir de la función Y ?________________________________________________________________

11. Si X Ð"ß !ß !Ñ œ Ð#ß !Ñ à X Ð!ß #ß !Ñ œ Ð"ß "Ñ à X Ð!ß !ß $Ñ œ Ð#ß "Ñ(11.1) El valor de los escalares ; ; tal que! " # ÐBß Cß DÑ œ Ð ! " #"ß !ß !Ñ Ð!ß #ß !Ñ Ð!ß !ß $Ñ son ! " #œ œ œ______ ______ ______(11.2) La fórmula que verifica las condiciones del enunciado es _________________ , _________________X ÐBß Cß DÑ œ Ð Ñ(11.3) ______ , ______X Ð"ß "ß "Ñ œ Ð Ñ



PÁG. 427



12. Sea tal que ;X À Z Ä Z XÐ@Ñ œ @ à @ − Z(12.1) _____________O/< ÐX Ñ œ (12.2) Base ________________O/< ÐX Ñ œ(12.3) nulidad de _________(12.4)rango de __________________X œ X œ

13. Sea tal que X À Ä XÐBß Cß DÑ œ Ð#B $C D ß B %DÑ‘ ‘$ #

(13.1) _____________O/< ÐX Ñ œ (13.2)Base ________________O/< ÐX Ñ œ(13.3) nulidad de _________(13.4)rango de __________________X œ X œ

14. Se sabe que:

X Ð" B B B Ñ œ à X Ð" B B Ñ œ" " " "

" " " !# $ #” • ” •

X Ð" BÑ œ à X Ð "Ñ œ" " " !! " " !” • ” •

(14.1) El valor de los escalares ; ; tal que ! " # -à œ+ ,B -B .B# $

œ Ð ! " #" B B B Ñ Ð" B B Ñ Ð" BÑ# $ # Ð "Ñ- son! " #œ œ œ œ______ ______ ______ ___________________________ -(14.2) La fórmula que verifica las condiciones del enunciado es

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ# $ Œ ________________ ________________________________ ________________

(14.3) ______________ O/< ÐX Ñ œ (14.4) nulidad de ___________X œ(14.5) rango de __________ (14.6) _________________X œ M7 ÐX Ñ œ

15. Sea X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X ÐD ß D Ñ œ Ð 3 D ß Ð" 3Ñ D Ñ definida por ‚ ‘ ‚ ‘# #" # # "˜ ™Ð" ß !Ñ à Ð3ß !ÑÑ à Ð!ß "Ñ à Ð!ß 3Ñ ,+=/ /=:+-39 ./ :+<>3.+˜ ™Ð" 3 ß " 3Ñ à Ð" 3ß "ÑÑ à Ð" 3ß !Ñ à Ð"ß !Ñ ,+=/ /=:+-39 ./ 66/1+.+

(15.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para queX sea una transformación lineal ____________________________________________________________________________________________________(15.2) ________ (15.3)X Ð! ß !Ñ X X ÞPÞœ es ? _________ . JUSTIFIQUE.(15.4) ______ , ______ ______ , ______X Ð"ß !Ñ œ Ð Ñ X Ð3ß !Ñ œ Ð Ñ ______ , ______ ______ , ______X Ð!ß "Ñ œ Ð Ñ X Ð!ß 3Ñ œ Ð Ñ

(15.5) La representación matricial de es X ÒX Ó œF"

F#


16. Sea Y À Ä YÐB ß CÑ œ ÐB ß -9= CÑ definida por ‘ ‘# #


(16.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para queY sea una transformación lineal________________________________________________________________(16.2) _______ (16.3) YÐ! ß !Ñ Y X ÞPÞœ es ? _________ . JUSTIFIQUE.



PÁG. 428



17. definida por 2. Sea X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X ÐD ß D Ñ œ Ð 3 D ß Ð" 3Ñ‚ ‘ ‚ ‘# #" # #

(17.1) Como ________ se dice de que _________________O/< ÐX Ñ œ X(17.2) Como se dice de que _________________ ________M7 ÐX Ñ œ X(17.3) De (17.1) y (17.2) se dice de que __________________________X(17.4) La fórmula ________________ , ________________X ÐD ß D Ñ œ Ð Ñ"

" #

(17.5) ESCRIBA con todos sus elementos la transformación lineal inversa.________________________________________________________________

18. Se sabe que:

X Ð" B B B Ñ œ à X Ð" B B Ñ œ" " " "

" " " !# $ #” • ” •

X Ð" BÑ œ à X Ð "Ñ œ" " " !! " " !” • ” •

(18.1) La fórmula de la transformación lineal que verifica lo anterior es

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ# $ Œ ________________ ________________________________ ________________

(18.2) X Ð" B B Ñ œ# Œ _______ ______________ _______

(18.3) Como ________ se dice de que _________________O/< ÐX Ñ œ X(18.4) Como se dice de que _________________ ________M7 ÐX Ñ œ X(18.5) De (18.3) y (18.4) se dice de que __________________________X

(18.6) ___________________________________X œ+ ,- .

"Œ (18.7) ESCRIBA con todos sus elementos la transformación lineal inversa.________________________________________________________________

19. Sea la T.L. definida por:X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘#B# $


(19.1) Como ________ se dice de que _________________O/< ÐX Ñ œ X(19.2) Como se dice de que _______________ ________V+819 ÐX Ñ œ X(19.3) De (19.1) o (19.2) se dice de que __________________________X


X ÐÐ+ , B - B . B Ñ œ+ , - .+ - , .

# $ ” •(20.1) Como ________ se dice de que _________________O/< ÐX Ñ œ X(20.2) Como se dice de que _________________ ________M7 ÐX Ñ œ X(20.3) De (20.1) y (20.2) se dice de que __________________________X

(20.4) _____________________________________________X œ+ ,- .

"Œ



PÁG. 429



(20.5) La representación matricial de dada por ; donde las basesX X ‘F

F‡

F ß F F œ " B ß # ß B B ß B‡ # $; son respectivamente: y˜ ™

F œ ß ß ß" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

‡ ˜ ™” • ” • ” • ” • es


21.

(21.1) Si es vector propio de ; entonces elÎ Ñ Ô ×Ï Ò Õ Ø

" " " % " $ # " " # " "

E œ

valor propio es ____ .- œ(21.2) Valores propios de son: ____________E(21.3) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(21.4) ESCRIBA (si es posible) una base de que tenga vectores‘$

propios de E ___________________________________________________


(22.1) Los valores propios de son: _______________________________X(22.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________

23. Sea E œ" " #

" # "! " "

Ô ×Õ Ø.

(23.1) _____________________________________________./> ÐE MÑ œ-

(23.2) El polinomio característico _____________________________:Ð Ñ œ-

(23.3) La ecuación característica es _________________________________(23.4) Los valores propios de son: _______________________________E(23.5) Las multiplicidades algebraicas respectivas son _________________(23.6) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________

(23.7) Al evaluar en el polinomio característico resulta EÎ ÑÐ ÓÏ Ò

24. Dada E œ" %# $Œ

(24.1) Un polinomio para el cual la matriz es una raíz es __________:ÐBÑ œ(24.2) Los valores propios de son: _______________________________E(24.3) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________



PÁG. 430



(24.4) Valores propios de:a ) son __________ b) son __________E E> #

c) son ___________ d) son __________E &E$

(24.5) __________ ; __________./> E œ œ#3œ"

#

3-

(24.6) __________ ; __________><+D+ ./ E œ œ!3œ"

#

3-

(24.7) Los valores propios de son ____________________________M E

( PIENSE (NO ES TAN DIFÍCIL Y ES GRATIS) QUE PROPIEDADES SECUMPLEN DESDE (24.4) A (24.7) PARA CUALQUIER MATRIZ )

25. Dada .E œ$ ""$ $Œ

(25.1) Los valores propios de son: _______________________________E(25.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(25.3) Un conjunto linealmente independiente de vectores propios de esE________________________________________________________________

26. Dada E œ" 3! 3Œ

(2 .1) Los valores propios de son: _______________________________' E(26.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(26.3) Un conjunto linealmente independiente de vectores propios de esE________________________________________________________________

27. Dada E œ" $! "Œ

(27.1)Valores propios de : ______ con multiplicidad algebraica _______E(27.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(27.3) Un conjunto linealmente independiente de vectores propios de esE________________________________________________________________







PÁG. 431



29. Sea E œ& % #% & ## # #

Ô ×Õ Ø

(29.1) _____________________________________________./> ÐE MÑ œ-


(29.3) La ecuación característica es _________________________________(29.4) Los valores propios de son: _______________________________E(29.5) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(29.6) Los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________

30. Determine una base para cada espacio propio de E œ" " !! " !! ! "

Ô ×Õ Ø

(30.1) _____________________________________________./> ÐE MÑ œ-


(30.3) La ecuación característica es _________________________________(30.4) Valores propios de :________con multiplicidad algebraica _______E(30.5) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(30.6) Los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(30.7) Una base de los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(30.8) Es diagonalizable? Por qué?_E ______________________________

31 Sea definida por. X À Ä‘ ‘$ $

X ÐBß Cß DÑ œ ÐB Cß #B $C #Dß B C #DÑ(31.1) Los valores propios de son: _______________________________X(31.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(31.3) Los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________________________________________________________________________(31.4) Una base de los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(31.5) Es diagonalizable? Por qué?X _______________________________________________________________________________________________(31.6) ESCRIBA (si es posible) una base de que tenga vectores‘$

propios de _____X _______________________________________________



PÁG. 432



32. Dados y W œ Ð"!ß !Ñ ß Ð' ß &Ñ E œ˜ ™ Œ " '! %

(32.1) Determine si es un comjunto linealmente independiente deWvectores propios de EÞ(32.2) Los valores propios de son: _______________________________E(32.3) Los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(32.4) Una base de los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(32.5) Determine si es diagonalizable. Porqué?E ______________________(32.6) ESCRIBA (si es posible) una base de que tenga vectores‘#

propios de E ____________________________________________________(32.7) Si es posible; diagonalice usando para lo cual:E Wà

y H œ T œ

33. Sea E œ" " %$ # "# " "

Ô ×Õ Ø

(33.1) Los valores propios de son: _______________________________E(33.2) Los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(33.3) Una base de los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(33.4) ESCRIBA (si es posible) una base de que tenga vectores‘$

propios de _E ___________________________________________________

34. Sea X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X Ð+ ,BÑ œ + ,Bc ‘ c ‘" " la T.L. definida por (34.1) Los valores propios de son: _______________________________X(34.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________(34.3) Los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________________________________________________________________________(34.4) Una base de los espacios propios asociados a cada valor propio:________________________________________________________________________________________________________________________________(34.5) Es diagonalizable? Por qué?X _______________________________(34.6) ESCRIBA (si es posible) una base de que tenga vectoresc"

propios de X ____________________________________________________



PÁG. 433



35. Para E œ" " %$ # "# " "

Ô ×Õ Ø

(35.1) La matriz tal que sea semejante a una matriz diagonal ; esG E Hdecir , donde los elementos de son los valores propiosH œ G EG H"

de , están dadas por: y E H œ G œÎ Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

(35.2) (35.3) G œ E œ" "!Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

36. Para la T.L. definida por X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X Ð+ ,BÑ œ + ,Bc ‘ c ‘" "

(36.1) La representación matricial de respecto a la base canónica deX

c" es E œ (36.2) La matriz tal que sea semejante a una matriz diagonal ; esG E Hdecir , donde los elementos de son los valores propiosH œ G EG H"

de , están dadas por: y E H œ G œ (36.3) (36.4) G œ E œ" "! 37. Dado linealmente independiente de vectores propios de y W E Ies el conjunto de valores propios respectivo. Determine EÞ y W œ Ð "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð!ß !ß " I œ # ß # ß $˜ ™ ˜ ™(37.1) H œ à T œ à T œ

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò "

(37.2) La matriz E œÎ ÑÐ ÓÏ Ò


& " !! & "! ! &

Þ

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE



PÁG. 434



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA SEMANA 11- 16/122006FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA ENSAYO N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)

1. definidasDado el siguiente conjunto de funciones reales en ‘! ß "

por las fórmulas que se indican: ; 0 ÐBÑ œ $B à 0 ÐBÑ œ B & à 0 ÐBÑ œ #B 0 ÐBÑ œ ÐB "Ñ" # $

# #4

(1.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para quesean linealmente independientes!Ð Ð$BÑ ÐB &Ñ #B Ñ ÐÐB "Ñ Ñ œ ! Ê œ œ œ œ !" # - ! " # -# #

(1.2) Determine si es VERDADERA O FALSA la siguiente aseveración:"LAS FUNCIONES DADAS SON LINEALMENTE INDEPENDIENTES". JEPWE


B D #> œ ! C $D > œ !

(2.1) E es l conjunto solución W 1/8˜ ™Ð"ß $ß "ß !Ñ ß Ð #ß "ß !ß "Ñ

(2.2) Porque es subespacio vectorial W /= -984?8>9 1/8/<+.9(2.3) Una base de es y W .37 W œ˜ ™Ð"ß $ß "ß !Ñ ß Ð #ß "ß !ß "Ñ #

(2.4) A partir de la base de (completando) una base de esW ‘%

˜ ™Ð"ß !ß !ß !Ñ à ÐÐ!ß "ß !ß !Ñ ß Ð"ß $ß "ß !Ñ ß Ð #ß "ß !ß "Ñ _________

3. Dado el siguiente conjunto E œ ˜ ™"%

#ß #B $ß B # § c# Þ

(3.1) El valor de los escalares ; ; tal que! " # ! " #Ð Ñ Ð Ð"

%##B $Ñ B #Ñ œ ! son

! " #œ œ œ__ __ __ __ __ __! ! ! y se dice que es ___ ________à E P Þ M(3.2) Como _ __ ; por (3.1) es ___ ______.37 Ec# œ _ $ FEWI HI c#

4. Sean E œ Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "ß !Ñß Ð!ß !ß #ß #Ñ˜ ™ F œ Ð"ß !ß #ß "Ñß Ð$ß !ß %ß #Ñ˜ ™4.1) El valor de los escalares ; ; ; tal que! " # -ÐBß Cß Dß >Ñ œ ! " #Ð"ß !ß !ß !Ñ Ð"ß "ß !ß !Ñ Ð!ß "ß "ß !Ñ Ð!ß !ß #ß #Ñ-

son y se dice! " #œ œ œ œ >B C D > C D > > D - "# à

entonces que es _____ _______E KIRIVEHSV HI ‘%

(4.2) Como _ __ ; por (4.1) es _____ ________.37 % E‘ ‘% %œ _ FEWI HI(4.3) El valor de los escalares ; tal que! "! " ! "Ð"ß !ß #ß "Ñ Ð$ß !ß %ß #Ñ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ à son yœ ! œ !__ __ __ __ se dice entoncesque es F PMRIEPQIRXI MRHIT IRHMIRXI



PÁG. 435



(4.4) ESCRIBA extendiendo F a una base de , considerando los‘%

vectores de _ __E ˜ ™Ð"ß !ß #ß "Ñß Ð$ß !ß %ß #Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "ß !Ñ

5. El valor de los escalares (SI EXISTEN) ; ; tal que! " #

” • ” • ” • ” •" " " " " " " "# $ " " ! " ! !

œ ! " #

son la y se dice entonces que ! " #œ RS œ RS œ RS__ _ __ __ __ __ à

matriz _” • ” • ” • ” •˜ ™" " " " " " " "# $ " " ! " ! !

ß ß __ _Â 1/8

6. Demuestre lo siguiente: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpoZO Ð à Ñ F œ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z‘ ‚ . Si es una BASE de . Entonces˜ ™

" # 8

existen únicos escalares tal que para todo ! ! !" # 8ß ß Þ Þ Þ ß − O @ − Z

se tiene que: @ œ @!3œ"

8

!3 3

7. Las coordenadas con respecto a la base:ÐBÑ œ B 'B #B %$ #

F œ B 'B #B %˜ ™ c dÎ ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

"ß Bß B ß B $ " & $# # # #

# $ son: $ #F

"$&

#&

œ #

%

8 (8.1) La matriz de transición o matriz de cambio de base; de la base

F œ ß ß ß" " " " " " ! !" " " " ! ! " ""

˜ ™” • ” • ” • ” • a la base

F œ ß ß ß ÒEÓ œ" " " " " " " ! ! # ! #" " " ! ! ! ! ! ! ! " "

" " ! "

! # ! !

# F"

F#˜ ™” • ” • ” • ” •Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

es

(8.2) Con , el resultado de@ œ Ò@Ó œ ÒEÓ Ò@Ó œ" $% &

&

*

(

%

” •Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

F F# "F"

F#

(8.3) ( )ÒEÓ œ œ ÒEÓ

" ! !

! ! !

! "

! !

F F" #

F F# ""

"#

"#

" "# #

" "# #

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò



PÁG. 436



9. Sea la función definida porX À Ä XÐBß CÑ œ ÐB ß B DÑ ‘ ‘# #

(9.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para queX à sea una transformación lineal a ÐB ß C Ñß ÐB ß C Ñ − a −" " # # ‘ ‘# !

Ê XÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ X ÐB ß C Ñ X ÐB ß C Ñ _________________" " # # " " # #! !

(9.2) El valor de __ __ , para que D œ ! X sea transformación lineal.(9.3) El valor de __ __ , para que D Á ! X no sea transformación lineal.

10. Sea la función definida porY À Ä YÐB ß CÑ œ ÐB ß -9= CÑ ‘ ‘# #

(10.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para queY sea una transformación lineal a ÐB ß C Ñß ÐB ß C Ñ − a −" " # # ‘ ‘# à !

Ê YÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ YÐB ß C Ñ YÐB ß C Ñ ________________" " # # " " # #! !

(10.2) El valor de __ __ YÐ! ß !Ñ œ ÞÐ!ß "Ñ(10.3) Con el cálculo de (10.2) que puede decir de la función Y ?_____ Y YÐ! ß !Ñ Á Ð! ß !Ñno es transformaciön lineal, ya que ___________

11. Si X Ð"ß !ß !Ñ œ Ð#ß !Ñ à X Ð!ß #ß !Ñ œ Ð"ß "Ñ à X Ð!ß !ß $Ñ œ Ð#ß "Ñ(11.1) El valor de los escalares ; ; tal que! " # ÐBß Cß DÑ œ Ð ! " #"ß !ß !Ñ Ð!ß #ß !Ñ Ð!ß !ß $Ñ son ! " #œ B œ C œ D__ __ __ __ __ __" "

# $

(11.2) La fórmula que verifica las condiciones del enunciado es , X ÐBß Cß DÑ œ Ð#B C D C DÑ" # " "

# $ # $

(11.3) , X Ð"ß "ß "Ñ œ Ð Ñ"* &' '

12. Sea tal que ;X À Z Ä Z XÐ@Ñ œ @ à @ − Z(12.1) __ __ O/< ÐX Ñ œ ˜ ™! O/< ÐX Ñ œ(12.2) Base __ __RS XMIRI

(12.3) nulidad de __ _ (12.4)rango de ___ __X œ X œ! .37 Z

13. Sea tal que X À Ä XÐBß Cß DÑ œ Ð#B $C D ß B %DÑ‘ ‘$ #

(13.1) O/< ÐX Ñ œ 1/8˜ ™ ˜ ™Ð %ß $ß "Ñ Ð %ß $ß "Ñ (13.2)Base O/< ÐX Ñ œ

(13.3) nulidad de _ _ (13.4)rango de __ __X œ X œ" #

14. Se sabe que:

X Ð" B B B Ñ œ à X Ð" B B Ñ œ" " " "

" " " !# $ #” • ” •

X Ð" BÑ œ à X Ð "Ñ œ" " " !! " " !” • ” •

(14.1) El valor de los escalares ; ; tal que ! " # -à œ+ ,B -B .B# $

œ Ð ! " #" B B B Ñ Ð" B B Ñ Ð" BÑ# $ # Ð "Ñ- son! " #œ œ œ œ__ _ __ __ __ __ __ __. . - , - + , #- #._ -

(14.2) La fórmula que verifica las condiciones del enunciado es

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ# $ Œ + #, %- %. , #- #.+ , $- %. , - .



PÁG. 437



(14.3) O/< ÐX Ñ œ ˜Œ ™! !! !

(14.4) nulidad de __ __X œ !

(14.5) rango de __ __ (14.6) ___ __X œ M7 ÐX Ñ œ% `#B#

15. Sea X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X ÐD ß D Ñ œ Ð 3 D ß Ð" 3Ñ D Ñ definida por ‚ ‘ ‚ ‘# #" # # "˜ ™Ð" ß !Ñ à Ð3ß !ÑÑ à Ð!ß "Ñ à Ð!ß 3Ñ ,+=/ /=:+-39 ./ :+<>3.+˜ ™Ð" 3 ß " 3Ñ à Ð" 3ß "ÑÑ à Ð" 3ß !Ñ à Ð"ß !Ñ ,+=/ /=:+-39 ./ 66/1+.+

(15.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para queX sea una transformación lineal a ÐD ß D Ñß ÐD ß D Ñ − a −" # $ % ‚ ‘# à !

_______Ê XÐÐD ß D Ñ ÐD ß D ÑÑ œ X ÐD ß D Ñ X ÐD ß D Ñ" # $ % " # $ %! !

(15.2) __ __ (15.3)X Ð! ß !Ñ X X ÞPÞœ Ð! ß !Ñ WM es ? __ __ . JUSTIFIQUE.(15.4) , , X Ð"ß !Ñ œ Ð! " 3Ñ X Ð3ß !Ñ œ Ð! " 3Ñ , , X Ð!ß "Ñ œ Ð3 !Ñ X Ð!ß 3Ñ œ Ð " !Ñ

(15.5) La representación matricial ÒX Ó œF"

F#


" " ! !! # ! !

" " " !! ! " "

16. Sea Y À Ä YÐB ß CÑ œ ÐB ß -9= CÑ definida por ‘ ‘# #


(16.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para queY sea una transformación lineal a ÐB ß C Ñß ÐB ß C Ñ − a −" " # # ‘ ‘# à !

Ê Ð Ñ œ Y Y YÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ" " # # " " # #! ! _____(16.2) _ _ (16.3) YÐ! ß !Ñ Y X ÞPÞœ Ð! ß "Ñ RS es ? __ __; YA QUE .YÐ! ß !Ñ Á _Ð! ß !Ñ

17. definida por 2. Sea X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X ÐD ß D Ñ œ Ð 3 D ß Ð" 3Ñ‚ ‘ ‚ ‘# #" # #

(17.1) Como _ _ se dice de que _ _O/< ÐX Ñ œ Ð!ß !Ñ X˜ ™ /= 38C/->3@+

(17.2) Como se dice de que _ _ _ _M7 ÐX Ñ œ ‚ ‘#Ð Ñ X /= =9,</C/->3@+(17.3) De (17.1) y (17.2) se dice de que _ _X /= ,3C/->3@+(17.4) La fórmula , X ÐD ß D Ñ œ Ð Ð" 3Ñ D 3 D Ñ"

" # # ""#

(17.5) ESCRIBA con todos sus elementos la transformación lineal inversa.X À X Ð" "‚ ‘ ‚ ‘# #Ð Ñ Ä Ð Ñ definida por: D ß D Ñ œ Ð Ð" 3ÑD ß 3 D Ñ" # # "

"#

18. Se sabe que:

X Ð" B B B Ñ œ à X Ð" B B Ñ œ" " " "

" " " !# $ #” • ” •

X Ð" BÑ œ à X Ð "Ñ œ" " " !! " " !” • ” •



PÁG. 438



(18.1) La fórmula de la transformación lineal que verifica lo anterior es

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ + #, %- %. , #- #.

+ , $- %. , - .# $ Œ

(18.2) X Ð" B B Ñ œ $ "$ !

# Œ (18.3) Como _ _ se dice de que _ _O/< ÐX Ñ œ ! X˜ ™c$

/= 38C/->3@+

(18.4) Como se dice de que _ _ _ _M7 ÐX Ñ œ `#B# X /= =9,</C/->3@+(18.5) De (18.3) y (18.4) se dice de que _ _X /= ,3C/->3@+

(18.6) X œ+ ,- .

"Œ Ð + #,Ñ Ð, #.ÑB Ð + , - #.ÑB Ð + - .ÑB# $

(18.7) ESCRIBA con todos sus elementos la transformación lineal inversa.X À" c$ Ä `#B# definida por:

X Ð" Œ + ,- .

Ñ œ

œ Ð + #,Ñ Ð, #.ÑB Ð + , - #.ÑB Ð + - .ÑB# $

19. Sea la T.L. definida por:X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘#B# $


(19.1) se dice de _ _O/< ÐX Ñ œ 1/8 X" "

" "˜ ™” • 89 /= 38C/->3@+

(19.2) Como se dice de que _ _ _ _V+819 ÐX Ñ œ $ X 89 /= =9,</C/->3@+(19.3) De (19.1) o (19.2) se dice de que _ _X 89 /= ,3C/->3@+


X ÐÐ+ , B - B . B Ñ œ+ , - .+ - , .

# $ ” •(20.1) Como _ _ se dice de que _ _O/< ÐX Ñ œ ! X˜ ™c$

/= 38C/->3@+

(20.2) Como se dice de que M7 ÐX Ñ œ ` ‘#B#

Ð Ñ X /= =9,</C/->3@+(20.3) De (20.1) y (20.2) se dice de que X _ _/= ,3C/->3@+

(20.4) X œ+ ,- .

"Œ " "# #Ð+ , - .Ñ Ð+ , - .ÑB

Ð+ , - .ÑB Ð+ , - .ÑB" "# #

# $

(20.5) La representación matricial de dada por ; donde las basesX X ‘F

F‡

F ß F F œ " B ß # ß B B ß B‡ # $; son respectivamente: y˜ ™F œ ß ß ß

" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

‡ ˜ ™” • ” • ” • ” • es

‘ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

X

" ! " "! # # "

" # # "# # ! "

F

F‡

œ



PÁG. 439



21.

(21.1) Si es vector propio de ; entonces elÎ Ñ Ô ×Ï Ò Õ Ø

" " " % " $ # " " # " "

E œ

valor propio es _ _ .- œ #(21.2) Valores propios de son: _ _E # à " à $(21.3) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:W œ# 1/8 W œ 1/8˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð"ß "ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ à Ð "ß %ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ à"

W œ 1/8$ ˜ ™ ˜ ™Ð"ß #ß "Ñ Ð!ß !ß !Ñ

(21.4) ESCRIBA (si es posible) una base de que tenga vectores‘$

propios de E ˜ ™Ð"ß "ß "Ñà Ð "ß %ß "Ñà Ð"ß #ß "Ñ


(22.1) Los valores propios de son: __ __X " à "(22.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:W œ" 1/8 B ! W œ 1/8 " !˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ à à"

23. Sea E œ" " #

" # "! " "

Ô ×Õ Ø.

(23.1) __./> ÐE MÑ œ- Ð "ÑÐ" ÑÐ #Ñ- - - __(23.2) El polinomio característico __:Ð Ñ œ- Ð "ÑÐ" ÑÐ #Ñ- - - __(23.3) La ecuación característica es __Ð "ÑÐ" ÑÐ #Ñ œ !- - - __(23.4) Los valores propios de son: __ __E " à " à #(23.5) Las multiplicidades algebraicas respectivas son __ __"(23.6) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:W œ 1/8 !ß !ß !Ñ W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" "˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð"ß !ß "Ñ Ð à Ð$ß #ß "Ñ Ð à

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ# ˜ ™ ˜ ™Ð"ß $ß "Ñ Ð

(23.7) Al evaluar en el polinomio característico resulta EÎ ÑÏ Ò

! ! !! ! !! ! !

24. Dada E œ" %# $Œ

(24.1) Un polinomio para el cual la matriz es una raíz es :ÐBÑ œ B %B &#

(24.2) Los valores propios de son: __ __E " à &(24.3) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: __W œ 1/8 !ß !Ñ W œ 1/8 !ß !Ñ" &˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð #ß "Ñ Ð à Ð"ß "Ñ Ð __(24.4) Valores propios de:a ) son _ _ b) son _ _E E> # " à & " à #&c) son _ _ d) son _ _E &E$ " à "#& & à #&

(24.5) ; (24.6) ; ./> E œ œ ><+D+ ./ E œ œ& & % %# !3œ" 3œ"

# #

3 3- -

(24.7) Los valores propios de son ___ ____M E ! à '



PÁG. 440



25. Dada .E œ$ ""$ $Œ

(25.1) Los valores propios de son: ___ ___E #3 à #3(25.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:W œ 1/8 !ß !Ñ W œ 1/8 !ß !Ñ#3 #3˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð 3 ß "Ñ Ð à Ð 3 ß "Ñ Ð$ # $ #

"$ "$ "$ "$

(25.3) Un conjunto linealmente independiente de vectores propios de esE ˜ ™Ð 3 ß "Ñ à Ð 3 ß "Ñ$ # $ #

"$ "$ "$ "$

26. Dada E œ" 3! 3Œ

(26.1) Los valores propios de son: __ __E " à 3(26.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:W œ 1/8 !ß !Ñ 1/8 !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð"Þ!Ñ Ð à Ð Ð" 3Ñ ß "Ñ Ð"

#

(26.3) Un conjunto linealmente independiente de vectores propios de esE ˜ ™Ð"ß !Ñ à Ð Ð" 3Ñ ß "Ñ"

#

27. Dada E œ" $! "Œ

(27.1)Valores propios de : __ __ con multiplicidad algebraica __ __E " #(27.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: W œ 1/8 !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð"Þ!Ñ Ð

(27.3) Un conjunto linealmente independiente de vectores propios de esE ˜ ™Ð"Þ!Ñ





29. Sea E œ& % #% & ## # #

Ô ×Õ Ø

(29.1) ./> ÐE MÑ œ- Ð "Ñ Ð "!Ñ- -#

(29.2) El polinomio característico :Ð Ñ œ- Ð "Ñ Ð "!Ñ- -#

(29.3) La ecuación característica es Ð "Ñ Ð "!Ñ œ !- -#

(29.4) Los valores propios de son: __ __E " à "!(29.5) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio:W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð"ß !ß #Ñß Ð!ß "ß #Ñ Ð

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ"! ˜ ™ ˜ ™Ð#ß #ß "Ñ Ð

(29.6) Los espacios propios asociados a cada valor propio:I Ð"ß !ß #Ñß Ð!ß "ß #Ñ à I Ð#ß #ß "Ñ" "!œ 1/8 œ 1/8˜ ™ ˜ ™



PÁG. 441



30. Determine una base para cada espacio propio de E œ" " !! " !! ! "

Ô ×Õ Ø

(30.1) ./> ÐE MÑ œ- Ð" Ñ- $

(30.2) El polinomio característico :Ð Ñ œ- Ð" Ñ- $

(30.3) La ecuación característica es Ð" Ñ œ !- $

(30.4) Valores propios de :_ _con multiplicidad algebraica ___ ___E - œ " $(30.5) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ Ð

(30.6) Los espacios propios asociados a cada valor propio: I Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ" œ 1/8˜ ™(30.7) Una base de los espacios propios asociados a cada valor propio: ˜ ™Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ

(30.8) Es diagonalizable? Por qué?_E RS IW HMEKSREPM\EFPI_

31 Sea definida por. X À Ä‘ ‘$ $

X ÐBß Cß DÑ œ ÐB Cß #B $C #Dß B C #DÑ(31.1) Los valores propios de son: ___ ___X - - -œ " à œ # à œ $(31.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: W œ 1/8 !ß !ß !Ñ" ˜ ™ ˜ ™Ð "ß !ß "Ñ Ð à

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ# ˜ ™ ˜ ™Ð #ß #ß "Ñ Ð à

W œ 1/8 !ß !ß !Ñ$ ˜ ™ ˜ ™Ð "ß #ß "Ñ Ð

(31.3) Los espacios propios asociados a cada valor propio: I œ 1/8 I œ 1/8" #˜ ™ ˜ ™Ð "ß !ß "Ñ à Ð #ß #ß "Ñ à

I œ 1/8$ ˜ ™Ð "ß #ß "Ñ

(31.4) Una base de los espacios propios asociados a cada valor propio:,+=/ I Ð "ß !ß "Ñ ,+=/ I Ð #ß #ß "Ñ ,+=/ I Ð "ß #ß "Ñ" # $œ œ œ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™(31.5) Es diagonalizable? Por qué?X _ _WM IW HMEKSREPM^EFPI (31.6) ESCRIBA (si es posible) una base de que tenga vectores‘$

propios de _X ˜ ™Ð "ß !ß "Ñ Ð #ß #ß "Ñ Ð "ß #ß "Ñ; ; _

32. Dados y W œ Ð"!ß !Ñ ß Ð' ß &Ñ E œ˜ ™ Œ " '! %

(32.1) Determine si es un comjunto linealmente independiente deWvectores propios de EÞ Z IV T EYXEÞ(32.2) Los valores propios de son: __ __E - -œ " à œ %(32.3) Los espacios propios asociados a cada valor propio: I œ 1/8 I œ 1/8" %˜ ™ ˜ ™Ð"!ß !Ñ à Ð'ß &Ñ

(32.4) Una base de los espacios propios asociados a cada valor propio: ,+=/ I Ð"!ß !Ñ à ,+=/ I Ð'ß &Ñ" %œ œ˜ ™ ˜ ™(32.5) Determine si es diagonalizable. Porqué?E ___ ___WM(32.6) ESCRIBA (si es posible) una base de que tenga vectores‘#

propios de E ____ __˜ ™Ð"!ß !Ñà Ð'ß &Ñ



PÁG. 442



(32.7) Si es posible; diagonalice usando para lo cual:E Wà

H œ à T œ " ! "! '! % ! &Œ Œ

33. Sea E œ" " %$ # "# " "

Ô ×Õ Ø

(33.1) Los valores propios de son: __ __E - - -œ # à œ " à œ $(33.2) Los espacios propios asociados a cada valor propio:I œ 1/8 I œ 1/8 I œ 1/8# " $˜ ™ ˜ ™ ˜ ™Ð "ß "ß "Ñ à Ð "ß %ß "Ñ à Ð"ß #ß "Ñ

(33.3) Una base de los espacios propios asociados a cada valor propio:,+=/ Ð "ß "ß "Ñ à ,+=/ Ð "ß %ß "Ñ à ,+=/ Ð"ß #ß "ÑI œ I œ I œ# " $˜ ™ ˜ ™ ˜ ™(33.4) ESCRIBA (si es posible) una base de que tenga vectores‘$

propios de _E __ ____˜ ™Ð "ß "ß "Ñ Ð "ß %ß "Ñ Ð"ß #ß "Ñ; ;

34. Sea X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X Ð+ ,BÑ œ + ,Bc ‘ c ‘" " la T.L. definida por (34.1) Los valores propios de son: __ __X - -œ " à œ "(34.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: W œ 1/8 W œ 1/8" "˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™B ! à " !c c" "

(34.3) Los espacios propios asociados a cada valor propio: I œ 1/8 I œ 1/8" "˜ ™ ˜ ™B à "

(34.4) Una base de los espacios propios asociados a cada valor propio: ,+=/ I B à ,+=/ I "" "œ œ˜ ™ ˜ ™(34.5) Es diagonalizable? Por qué?X _ _WM IW HMEKSREPM^EFPI (34.6) ESCRIBA (si es posible) una base de que tenga vectoresc"

propios de X _ _˜ ™" à B

35. Para E œ" " %$ # "# " "

Ô ×Õ Ø


de , están dadas por: E H œ G œ # ! ! " " "! " ! " % #! ! $ " " "


(35.2) G œ # # ' " # $$ ! $

" "'

Î ÑÏ Ò

(35.3) E œ"!Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò

" " " # ! ! # # '" % # ! " ! " # $" " " ! ! $ $ ! $

"!

"'

GEPGYPIÞ



PÁG. 443



36. Para la T.L. definida por X À Ð Ñ Ä Ð Ñ X Ð+ ,BÑ œ + ,Bc ‘ c ‘" "

(36.1) La representación matricial de respecto a la base canónica deX

c" es E œ Œ " !! "


de , están dadas por: y E H œ Œ Œ " ! ! "! " " !

G œ

(36.3) (36.4) G œ! " " !" ! ! "

" Œ Œ E œ"!

37. Dado linealmente independiente de vectores propios de y W E Ies el conjunto de valores propios respectivo. Determine EÞ y W œ Ð "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð!ß !ß " I œ # ß # ß $˜ ™ ˜ ™(37.1) H œ T œ T œ

# ! ! " " ! " " !! # ! " " ! " " !! ! $ ! ! " ! ! #

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò " "

#

(37.2) La matriz E œ! # !# ! !! ! $

Î ÑÏ Ò


& " !! & "! ! &

Þ Z IV T EYXEÞ

RESPUESTA: ; yaRS IW HMEKSREPM^EFPIque no existe base de formada por vectores propios de ‘$ EÞPolinomio característico: :Ð- - -Ñ œ ./> ÐE M Ñ œ Ð& Ñ$

$

Ecuación característica: Ð& Ñ œ !- $

Valores propios: - œ & conmultiplicidad algebraica œ $Espacio propio: I œ 1/8& ˜ ™Ð"ß !ß !Ñ

,+=/ I Ð"ß !ß !Ñ œ .37 I à& &œ œ "˜ ™ conmultiplicidad geométricaF+=/ ./ EÞ‘$ no existe con vectores propios de

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE



PÁG. 444



SEMANA N° 12:UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 22062007FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA


NOMBRE________________________________________

RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 NOTAPUNTAJEPOR FAVOR: SEA ORDENADO EN ELDESARROLLO DE SUS RESPUESTAS. ELDESARROLLO VA EN LAS PÁGINAS ENBLANCO DETRÁS DE DONDE ESTÁIMPRESA ESTA PRUEBA con LÁPIZ PASTA. (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS)




PÁG. 445



PREGUNTA 1: Sea espacio vectorial sobre el cuerpo ;Z Ð ÑŠ ŠX À Z Ð Ñ Ä Z Ð Ñ EŠ Š una transformación lineal y la representaciónmatricial de X Þ

Coloque en el de la COLUMNA 2; el número que le corresponde de la COLUMNA 1 (2 PUNTOS C/U) COLUMNA 1 COLUMNA 2

1 5

2 6

˜ ™@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8

BASE de Z Ð ÑŠ X

es inyectiva.

b ] − Z − ! . tal que es vX Ð] Ñ œ ] à- -" " Š -# alor propio.

ecuación característica.

espacio propio de

polinomio característico

ta

3 4

4 3

5

6

˜ ™\ − Z ÎX Ð\Ñ œ

\ Á !

-\

./> ÐE MÑ œ !

O/< ÐX Ñ œ !

- -.

˜ ™Z

Z l que es vector propio.

1

X Ð\Ñ œ \ à- -# # − Š

Š

. ]

Z Ð Ñ.37 Ð Ñ œ 8

SE DESCUENTA UN PUNTO PORCADA ERRADA EN COLUMNA 2PREGUNTA 2: Sea. definida por: X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘

#B # $

XÐ Ñ œ Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B+ ,- .” • # $

(2.1) O/< ÐX Ñ œ _____ _____ š ›” •! !! !

#

(2.2) M7 ÐXÑ œ _____ _____ c ‘$Ð Ñ #

(2.3) ¿ Es _____ ____ X biyectiva ? W M "

¿ Por què ? :9< Ð#Þ"Ñ C Ð#Þ#Ñ "(2.4) Si su respuesta es afirmativa en (2.3); la fórmula que define la transformación lineal inversa de está dada por:X

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ . - .

, -" # $ ” • + ,

%



PÁG. 446



PREGUNTA 3: Sea. definida por: X À Ä‘ ‘% %

XÐBß Cß Dß >Ñ œ ÐB C D > ßB C D ß B C ß BÑConsidere la base canónica F X

"para el dominio de y la base

F œ Ð#

˜ ™"ß "ß "ß "Ñß Ð"ß "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð"ß !ß !ß !Ñ para elespacio de llegada de X ÞLa representación matricial de X respecto de las bases anteriores

es À Ò Ó œX "!F"

F#


" ! ! !! " ! !# # " !! ! ! "

(SE DESCUENTA UN PUNTO POR CADA TÉRMINO ERRADO)

PREGUNTA 4: Considere la transformación lineal X À Ä‘ ‘$ $ ;definida por XÐBß Cß DÑ œ ÐB C ßB #C D ß #B C DÑ(4.1) Los valores propios (SI EXISTEN) de la transformación linealX son - - -" # $œ " à œ " à œ # $

(4.2) ESCRIBA (SI ES POSIBLE) una base de ‘$ que estéformada por vectores propios de X Þ˜ ™Ð "ß #ß (Ñ ß Ð "ß !ß "Ñ ß Ð "ß "ß "Ñ o una equivalente %

(4.3) ¿ Es diagonalizable ? _____ _____ X W M "

¿ Por qué ? __ __ :9< Ð%Þ#Ñ #

PREGUNTA 5: Dada la matriz E œ −Œ " #" "

Ð Ñ` ‚#B #

(5.1) Los valores propios de E # son - -" #œ 3 à œ 3

(5.2) Los espacios propios asociados son respectivamente:

I œ 1/8 Ð" 3ß "Ñ I œ 1/8 Ð" 3ß "Ñ3 3˜ ™ ˜ ™ ; #



PÁG. 447



(5.3) SI EXISTENUna matriz diagonal y una matriz ( ) talH T que DIAGONALICE la matriz determinan que:E

H œ T œŒ Œ 3 ! " 3 " 3! 3 " "

" "

(5.4) El cálculo de T HT %" es Œ " " 3 " 3 "

PREGUNTA 6 PREGUNTA 5: Para la matriz de la ; el cálculoE

de es E"!!$ Œ " # " "

"!

( AYUDA: Use lo determinado en : y entregue elPREGUNTA 5resultado SIMPLIFICADO )

NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 4. = 5. = 6.= 10 PUNTOS.





PÁG. 448



PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N° 2: ÁLGEBRA LINEALPREGUNTA 1: (DOS PUNTOS CADA UNA) COLUMNA 1 COLUMNA 2

1 5

2 6

˜ ™@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8

BASE de Z Ð ÑŠ X

es inyectiva.

b ] − Z − ! . tal que es vX Ð] Ñ œ ] à- -" " Š -# alor propio.

ecuación característica.

espacio propio de

polinomio característico

ta

3 4

4 3

5

6

˜ ™\ − Z ÎX Ð\Ñ œ

\ Á !

-\

./> ÐE MÑ œ !

O/< ÐX Ñ œ !

- -.

˜ ™Z

Z l que es vector propio.

1

X Ð\Ñ œ \ à- -# # − Š

Š

. ]

Z Ð Ñse descuenta 1 punto por errada en COL. 2 .37 Ð Ñ œ 8

PREGUNTA 2: (2.1) SOLUCIÓN:

1º) O/< ÐX Ñ œ − Ð ÑÎX Ð Ñ œ !+ , + ,- . - .

š ›” • ” •` ‘#B # $

c ‘Ð Ñ

Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B œ !# $

2º) Lo que determina el siguiente sistema de ecuaciones: + , - . œ ! Ê + œ , œ - œ . œ 9

+ , - œ !

+ , œ !

+ œ !

"


š ›” • "

(2.2) SOLUCIÓN:1º) Como .37 Ð Ñ œ .37 O/< ÐX Ñ .37 M7 ÐXÑ` ‘

#B #

% œ ! .37 M7 ÐXÑ " se tiene que .37 M7 ÐXÑ œ %2º) Como y M7 ÐXÑ § Ð Ñ .37 M7 ÐXÑ œ .37 Ð Ñ œ %c ‘ c ‘

$ $

se tiene que M7 ÐXÑ œ Ð Ñc ‘$

"



PÁG. 449



(2.3) ¿ Es _____ ____ X biyectiva ? W M "

¿ Por què ? _____ ____ :9< Ð#Þ"Ñ C Ð#Þ#Ñ "(2.4) SOLUCIÓN:

1º) ” • ” •? @ ? @A > A >

tal que X Ð+ ,B -B .B Ñ œ" # $ "

2º) es decir: yXÐ + ,B -B .B” •? @A >

Ñ œ # $ ß

? @ A > œ +

? @ A œ ,

? @ œ -

? œ .

Ê ? œ . à @ œ - . à A œ , - à > œ + , "3º) Por lo tanto:

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ- .

, -" # $ ” • .

+ , #

PREGUNTA 3: SOLUCIÓN:1º) La base F œ Ð

"˜ ™"ß !ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "ß !Ñß Ð!ß !ß !ß "Ñ

y las imágenes bajo de esta es:XX "ß !ß !ß !Ñ œ Ð" ß " ß " ß "Ñ à X Ð!ß "ß !ß !Ñ œ Ð" ß " ß " ß !ÑÐ XÐ!ß !ß "ß !Ñ œ Ð" ß " ß ! ß !Ñ à X Ð!ß !ß !ß "Ñ œ Ð"ß !ß !ß !Ñ #2º) Expresar cada imágen, como combinación lineal de F

#

ÐBß Cß Dß >Ñ œœ "ß "ß "ß "Ñ Ð"ß "ß "ß !Ñ Ð"ß "ß !ß !Ñ Ð"ß !ß !ß !Ñ! " # $ÐÐBß Cß Dß >Ñ œ > "ß "ß "ß "Ñ ÐD >ÑÐ"ß "ß "ß !Ñ Ð ÐC DÑÐ"ß "ß !ß !Ñ ÐB CÑÐ"ß !ß !ß !Ñ

Luego:Ð" ß " ß " ß "Ñ œ

œ Ð "Ñ "ß "ß "ß "Ñ !Ð"ß "ß "ß !Ñ #Ð"ß "ß !ß !Ñ !Ð"ß !ß !ß !ÑÐÐ" ß " ß " ß !Ñ œ

œ ! "ß "ß "ß "Ñ Ð "ÑÐ"ß "ß "ß !Ñ #Ð"ß "ß !ß !Ñ !Ð"ß !ß !ß !ÑÐÐ" ß " ß ! ß !Ñ œ

œ ! "ß "ß "ß "Ñ !Ð"ß "ß "ß !Ñ "Ð"ß "ß !ß !Ñ !Ð"ß !ß !ß !ÑÐÐ"ß !ß !ß !Ñ œ

œ ! "ß "ß "ß "Ñ !Ð"ß "ß "ß !Ñ !Ð"ß "ß !ß !Ñ "Ð"ß !ß !ß !ÑÐ %



PÁG. 450



3º) Los escalares determinados en cada caso se colocan como las

columnas de la matriz pedida:


" ! ! !! " ! !# # " !! ! ! "

%

PREGUNTA 4: (4.1) SOLUCIÓN:1º) si y solo si- es valor propio de Xb ß Cß DÑ Á ß !ß !Ñ X ß Cß DÑ œ ß Cß DÑ ÐB Ð! ÐB ÐBtal que - 2º) X ß Cß DÑ œ ß Cß DÑ ÊÐB ÐB- ÐB C ßB #C D ß #B C DÑ œ ß Cß DÑÐ B- - - es decir: Ð" B C œ

B Ð# C D œ

#B C Ð" D œ

-

-

-

Ñ !

Ñ !

Ñ !

"

Ê œ Á" " ! B ! B !

" # " C ! C ! # " " D ! D !

Ô ×Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

--

-con

3º) Luego, resolvemos para determinar los valores propios de X

./>" " !

" # " # " "

Ô ×Õ Ø

--

-œ ! por columna 3:

œ " "

./> Ñ " "

# "Œ Œ - --

- " # Ð " ./>

œ Ñ Ð " ÑÐ $ $ÑÐ " - - - -#

œ Ð" ÑÐ" Ð $ $ÑÑ œ Ð" ÑÐ $ #Ñ- - - - - -# # œ Ð "ÑÐ #ÑÐ "Ñ œ Ð "ÑÐ #ÑÐ "Ñ œ !- - - - - - "

4º) Luego, los valores propios À - - -" # $œ " à œ " à œ # "(4.2) SOLUCIÓN:1º) VECTORES PROPIOS:a) Para ; resolvemos:-" œ "


Ô ×Ö ÙÕ Ø

# " ! " $ "" $ " ! ( #

# " ! ! ( #Ä Ä

" !

! "

! ! !

"(#(

Ê B œ D C œ D D Á !" #( (

El espacio propio es: I œ 1/8 Ð "ß #ß (Ñ" ˜ ™ "



PÁG. 451





! " ! " " " " ! "" " " ! " ! ! " !

# " # ! $ ! ! ! !Ä Ä

Ê B œ D C œ ! D Á !

El espacio propio es: I œ 1/8 Ð "ß !ß "Ñ" ˜ ™ "c) Para ; resolvemos:-" œ #


" " ! " ! " " ! "" ! " ! " " ! " "

# " $ ! " " ! ! !Ä Ä

Ê B œ D C œ D D Á !

El espacio propio es: I œ 1/8 Ð "ß "ß "Ñ# ˜ ™ "2º) Por lo tanto, como son valores propios distintos; el conjunto˜ ™Ð "ß #ß (Ñ ß Ð "ß !ß "Ñ ß Ð "ß "ß "Ñ

es L.I. y forma una base de vectores propios de para X ‘$. "

(4.3) ¿ Es diagonalizable ? _____ _____ X W M "

¿ Por qué ? ____ ____ :9< Ð%Þ#Ñ #

PREGUNTA 5: (5.1) SOLUCIÓN:VALORES PROPIOS:1º) Para determinar los valores propios de E resolvemos

./> ÐE œ" #

" " - -

--

M Ñ œ ./> !##Œ " œ

2º) Luego, los valores propios son: - -" #œ 3 à œ 3 #(5.2) SOLUCIÓN:ESPACIOS PROPIOS:1º) Para ; resolvemos:-" œ 3

Œ Œ " 3 # " " 3" " 3 ! !

Ä Ê B œ Ð" 3ÑC à C Á !

Por lo tanto, el espacio propio es I œ 1/8 Ð" 3ß "Ñ3 ˜ ™ "2º Para ; resolvemos:) -# œ 3

Œ Œ " 3 # " " 3" " 3 ! !

Ä Ê B œ Ð" 3Ñ C à C Á !

Por lo tanto, el espacio propio es I œ 1/8 Ð" 3ß "Ñ3 ˜ ™ "



PÁG. 452



(5.3) SOLUCIÓN:

Por (5.2) H œ T œŒ Œ 3 ! " 3 " 3! 3 " "

" "

(5.4) :SOLUCIÓN1º) Obtener T " À

Œ Œ " 3 " 3 " ! " " ! "" " ! " ! #3 " " 3

Ä

Ä Ê T œ" ! 3 3

! " 3 3 " " "# # #

" " "# # #

" "#Œ 3 " 3

3 " 3 "

2º) Luego:

T H T œ" "#Œ Œ Œ 3 " 3 3 ! " 3 " 3

3 " 3 ! 3 " "

œ "#Œ Œ Œ " " 3 " 3 " 3 # # #3

" " 3 " " # #3 #œ "

#

T H T" œ" " 3

" 3 "Œ $

PREGUNTA 6: SOLUCIÓN:1º) Se sabe que H œ T E T Ê E œ T H T" "

Luego E œ"!!$ T H T"!!$ " #

2º) H œ"!!$ Œ Œ 3 ! 3 !! 3

œ! Ð 3Ñ

"!!$ "!!$

"!!$

œ 3 !! 3Œ #

3º) Por lo tanto,

E œ"!!$ Œ Œ Œ " 3 " 3 3 ! 3 " 3" " ! 3 3 " 3

"# #

œ "#Œ Œ " 3 " 3 3 " 3

3 3 3 " 3

œ "#Œ Œ # % " #

# # " "œ %



PÁG. 453





NOMBRE________________________________________

RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA 1 2 3 4 NOTAPUNTAJE

POR FAVOR: SEA ORDENADO EN ELDESARROLLO DE SUS RESPUESTAS.NO SERÁN CONSIDERADAS LASRESPUESTAS CUYO DESARROLLOESTÉ DESORDENADO!! (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!

LEA ESTAS INSTRUCCIONES:A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; enalgunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y serregistrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente,cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS ENBLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LAPRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde.B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYODESARROLLO ESTÉ DESORNADO!!C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba.D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !!E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !!F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOSCÁLCULOS).________________________________________________________________



PÁG. 454



1. Sea una transformación lineal que verifica:X À Ä c ‘##

XÐ" Ñ œ Ð ß "Ñ à X Ð" B Ñ œ Ð ß !Ñ à X Ð" B B Ñ œ Ð! ß "Ñ " " #

(1.1) Los escalares (SI EXISTEN) tal que! " #, , − ‘+ ,B -B œ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ# #! " # son

! " #œ œ œ_ _ ; _ _ ; _ _ + , , - - $

(1.2) El cálculo de XÐ" B B Ñ# es __ __ Ð# ß "Ñ '

(1.3) La fórmula define a la transformación lineal está dadaque X

por XÐ+ ,B -B Ñ œ# _ _ Ð+ - ß + , -Ñ '

2. Sea. definida por:X À Ð Ñ Ä` ‘ ‘#B #

$

XÐ Ñ œ Ð+ , - . ß + , - ß + , Ñ+ ,- .” •

(2.1) La soluciön tal que” •+ ,- .

− ` ‘#B #

Ð Ñ

estä dada porXÐ Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ+ ,- .” •

œ œ ” • ” •+ + " "! ! ! !

+ − / ‘ œ 1/8 #

____________________________________________________

œ ” •" "! !

#

(2.2) Una base del O/< ÐX Ñ es ________________________________

#y el rango de es igual a _________ ________________X $(2.3) ¿ Es X inyectiva ? ¿ Por quë ?

RS ß C+ ;?/ O/< ÐX Ñ Á œ ” •! !! !

#

____________________________________________________y ¿ Es X sobreyectiva ? ¿ Por quë ?

WM ß C+ ;?/ M7 ÐXÑ œ ‘$ #____________________________________________________



PÁG. 455



(2.4) La representación matricial de X respecto de la baseORDENADA para ` ‘

#B #Ð Ñ

F œ" œ ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !ß ß ß

y la baseORDENADA para ‘$

F œ Ð Ð" Ð"#

˜ ™"ß "ß "Ñ ß ß "ß !Ñß ß !ß !Ñ

es: Ò Ó œXF"

F#

Î ÑÐ ÓÏ Ò

! ! ! "

" " ! !

" ! ! !

&

3. Sea E œ& % #% & ## # #

Ô ×Õ Ø

(3.1) Los valores propios de E son - -œ " à œ "! %


I œ 1/8 Ð"ß !ß #Ñ ß Ð!ß "ß #Ñ" ˜ ™ #_____________________________________________________

I œ 1/8 Ð#ß #ß "Ñ"! ˜ ™ "_____________________________________________________

(3.3) Una base de vectores propios (SI EXISTE) para :‘$ es

˜ ™Ð"ß !ß #Ñ ß Ð!ß "ß #Ñ ß Ð# ß # ß "Ñ #____________________________________________________


H œ T œÎ Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

" ! ! " ! #

! " ! ! " #

! ! "! # # "

'



PÁG. 456



4. Sea E œ" 3! 3Œ

#(4.1) Calcule./> ÐE M Ñ œ- # Ð" ÑÐ3 Ñ œ Ð" 3Ñ 3- - - -#

(4.2) a) Los valores propios de son: __ __ E " à 3 #

b) Los valores propios de son: __ __ E> " à 3 #

c) Los valores propios de son: __ __ E#$ " à 3 #

(4.3) Calcule E œ"!!$Î ÑÐ ÓÏ Ò

" "

! 3 (

NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.


JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE SUS RESPUESTAS, EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA !!



PÁG. 457




PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL

1. (1.1) ! " #œ œ œ__ __ ; __ __ ; __ __+ , , - -SOLUCIÓN:+ ,B -B œ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ Ê# #! " # + ,B -B œ Ð Ñ Ð ÑB Ð ÑB Ê# #! " # " # # ! " # ! " #

" ##

œ + Ê œ + , à œ , - à œ - œ ,

œ -

(1.2) XÐ" B B Ñ œ# ____ _____Ð# ß "ÑSOLUCIÓN:" B B# œ #Ð"Ñ !Ð" BÑ Ð "ÑÐ" B B Ñ Ê# XÐ" B B Ñ œ XÐ# # Ð"Ñ !Ð" BÑ Ð "ÑÐ" B B ÑÑ#


XÐ" B B Ñ œ# #X Ð"Ñ XÐ" B B Ñ#

XÐ" B B Ñ œ Ð ß "Ñ Ð! ß "Ñ œ Ð# ß "Ñ# # "

(1.3) XÐ+ ,B -B Ñ œ# ___ ___Ð+ - ß + , -ÑSOLUCIÓN:+ ,B -B œ Ð+ ,ÑÐ"Ñ Ð, -ÑÐ" BÑ -Ð" B B Ñ# #


como es transformación linealXXÐ+ ,B -B Ñ œ Ð+ ,ÑX Ð"Ñ Ð, -ÑX Ð" BÑ -X Ð" B B Ñ# # como es transformación linealX

XÐ+ ,B -B Ñ œ Ð+ ,ÑÐ ß "Ñ Ð, -ÑÐ ß !Ñ -Ð!ß "Ñ# " " Por lo tanto: XÐ+ ,B -B Ñ œ Ð+ - ß + , -Ñ#



PÁG. 458



2.

(2.1) _______ ______œ œ ” • ” •+ + " "! ! ! !

+ − / ‘ œ 1/8 __

SOLUCIÓN:

XÐ Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ Ê+ ,- .” •

Ð + , - . ß + , - ß + , Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ Ê + , - . œ ! Ê + œ , à - œ ! à . œ !

+ , - œ !+ , œ !

Luego, la solución es:

œ ” •+ ,- .

− + œ , à - œ ! à . œ !` ‘#B #

Ð Ñ /

œ œ 1/8œ œ ” • ” •+ + " "! ! ! !

+ − / ‘

(2.2) ,+=/ ./6" "! !

O/< ÐX Ñ <+819ÐX Ñ œœœ ” • y $

SOLUCIÓN:1º) Por (2.1)

O/< ÐX Ñ œœ ” • ” •+ , + ,- . - .

− XÐ Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ` ‘#B #

Ð Ñ /

O/< ÐX Ñ œœ ” •+ ,- .

− + œ , à - œ ! à . œ !` ‘#B #

Ð Ñ /

Por lo tanto O/< ÐX Ñ œ 1/8 œœ œ ” • ” •+ + " "! ! ! !

+ − / ‘

y como además es linealmente independiente, se tiene que es basede O/< ÐX Ñ.2º) Como .37 Ð Ñ œ .37` ‘

#B #O/< ÐX Ñ .37 M7 ÐXÑ

% œ " <+819 ÐX ÑPor lo tanto <+819 ÐX Ñ œ $(2.3) ¿ Es X inyectiva ? ¿ Por quë ?

___ ___RS ß C+ ;?/ O/< ÐX Ñ Á œ ” •! !! !

y ¿ Es X sobreyectiva ? ¿ Por quë ?___ ___WM ß C+ ;?/ M7 ÐXÑ œ ‘$



PÁG. 459



(2.4) Ò Ó œXF"

F#

Î ÑÐ ÓÏ Ò

! ! ! "

" " ! !

" ! ! !SOLUCIÓN:1º) Obtener las imágenes bajo de :X F"

XÐ X Ð” • ” •" " " "" " " !

Ñ œ Ð!ß "ß !Ñ Ñ œ Ð"ß "ß !Ñ

XÐ X Ð” • ” •" " " !! ! ! !

Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ Ñ œ Ð"ß "ß "Ñ

2º) Expresar dichas imágenes bajo como combinación linealXde :F Ð Ð" Ð"# ÐBß Cß DÑ œ "ß "ß "Ñ ß "ß !Ñ ß !ß !Ñ! " #

! " # ! " #! "!

œ B Ê œ D à œ C D à œ B C œ C

œ DLuego: Ð!ß "ß !Ñ œ Ð Ñ "ß "ß "Ñ Ð Ñ ß "ß !Ñ Ð Ñ ß !ß !Ñ! " "Ð Ð" Ð" Ð"ß "ß !Ñ œ Ð Ñ "ß "ß "Ñ Ð Ñ ß "ß !Ñ Ð Ñ ß !ß !Ñ! " !Ð Ð" Ð" Ð!ß !ß !Ñ œ Ð Ñ "ß "ß "Ñ Ð Ñ ß "ß !Ñ Ð Ñ ß !ß !Ñ! ! !Ð Ð" Ð" Ð"ß "ß "Ñ œ Ð Ñ "ß "ß "Ñ Ð Ñ ß "ß !Ñ Ð Ñ ß !ß !Ñ" ! !Ð Ð" Ð"

Por lo tanto Ò Ó œXF"

F#Î ÑÏ Ò

! ! ! "" " ! ! " ! ! !

3. (3.1) ____ ___- -œ " à œ "!SOLUCIÓN:

1º) ./> ÐE M Ñ œ ./>- $

Ô ×Õ Ø

& % #% & ## # #

--

-, por fila 1:

œ Ð& ( ' #!Ð "Ñ- - - -) ‘#

œ Ð& Ð 'ÑÐ "Ñ #!Ð "Ñ- - - -)œ Ð "Ñ Ð& ÑÐ 'Ñ #! œ Ð "ÑÐ "" "!Ñ- - - - - - ‘ #

œ Ð "ÑÐ "ÑÐ "!Ñ œ Ð "Ñ Ð"! Ñ- - - - -#

2º) Ð "Ñ Ð"! Ñ œ ! œ " œ "!- - - -# Ê ; valores propios



PÁG. 460



(3.2) I œ 1/8 Ð"ß !ß #Ñ ß Ð!ß "ß #Ñ à I œ 1/8 Ð#ß #ß "Ñ" "!˜ ™ ˜ ™SOLUCIÓN:a) Para - œ ":


% % # # # "% % # ! ! !# # " ! ! !

Ä Ê D œ #B #C

I œ 1/8 Ð"ß !ß #Ñ ß Ð!ß "ß #Ñ" ˜ ™b) Para - œ "!:


& % # " " % " ! #% & # ! * ") ! " ## # ) ! * ") ! ! !

Ä Ä

Ê B œ #D à C œ #D à I œ 1/8 Ð#ß #ß "Ñ"! ˜ ™(3.3) ˜ ™Ð"ß !ß #Ñ ß Ð!ß "ß #Ñ ß Ð# ß # ß "Ñ SOLUCIÓN:Como .37‘$ œ $ß verificar que son linealmente independientes:


" ! # " ! # " ! #! " # ! " # ! " ## # " ! # & ! ! *

Ä Ä

(3.4) H œ T œÎ Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

" ! ! " ! #

! " ! ! " #

! ! "! # # "

4. (4.1) ./> ÐE M Ñ œ- # ___ __Ð" ÑÐ3 Ñ- -SOLUCIÓN:

./> œ Ð" ÑÐ3 Ñ" 3

! 3 Œ --

- -

(4.2) a) b) c) " à 3 " à 3 " à 3 SOLUCIÓN: -#$ #$ % & #œ 3 œ Ð3 Ñ 3 3 œ 3



PÁG. 461



(4.3) E œ"!!$Î ÑÐ ÓÏ Ò

" "

! 3SOLUCIÓN:1º) - -œ " à œ 3 son los valores propios de EÞ2º) ESPACIOS PROPIOS:

a) Para - œ " : Œ Œ ! 3 ! "! 3 " ! !

Ê C œ !Ä

Luego: I œ 1/8" ˜ ™Ð"ß !Ñ

b) Para - œ 3 :

Œ Œ Œ Œ " 3 3 " " Ð" 3Ñ! ! ! ! ! !

Ä Ä"

! !Ä

3 ""3 #

3 "3"3 "3

Ê B œ Ð" 3Ñ CÞ Ð" 3Ñ" "# # Luego: I œ 1/83 ˜ ™Ð ß "Ñ

3º)H œ T œ T œÐ" 3Ñ Ð" 3ÑŒ Œ Œ " ! " "

! 3 ! " ! "

" "# #"

T À"

Œ Œ " ! "

! " ! " ! " ! "Ä

" "# #Ð" 3Ñ " ! " Ð" 3Ñ

4º) H œ T ET Ê E œ THT" "

Œ " 3! 3

œ"!!$

" "! " ! "

" !! 3

" "# #

"!!$Ð" 3Ñ Ð" 3Ñ

œ œ Œ " "! " ! "

" !! 3

" "# #Ð" 3Ñ Ð" 3Ñ

" "! 3



PÁG. 462





NOMBRE________________________________________

RUT ___________________________ SECCIÓN _______PREGUNTA 1 2 3 4 NOTAPUNTAJE


LEA ESTAS INSTRUCCIONES:A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; enalgunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y serregistrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente,cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS ENBLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LAPRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde.B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYODESARROLLO ESTÉ DESORNADO!!C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba.D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !!E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !!F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOSCÁLCULOS).________________________________________________________________



PÁG. 463




XÐB ß C ß D Ñ œ Ð ß # ÑB C D B #C #D

(1.1) La dimensión del O/< ÐX Ñ es ________________________

(1.2) Una base de la M7 ÐXÑ es __________________________

(1.3) A partir de la base de , una base de esM7 ÐXÑ ‘#

_____________________________________________________(1.4) ¿ Es X inyectiva ? ( ¿ POR QUÉ ? )

_____________________________________________________(1.5) ¿ Es X sobreyectiva ? ( ¿ POR QUÉ ? )

_____________________________________________________2. Sea. definida por:X À Ð Ñ Ä` ‘ ‘

#B #

%

XÐ Ñ œ Ð+ , - . ß + , - ß + , ß + Ñ+ ,- .” •

La representación matricial de X respecto de la baseORDENADA para ` ‘

#B #Ð Ñ

F œ" œ ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !ß ß ß

y la baseORDENADA para ‘%


˜ ™"ß "ß "ß "Ñ ß ß "ß "ß !Ñß ß "ß !ß !Ñß ß !ß !ß !Ñ

es: Ò Ó œXF"

F#




PÁG. 464



3. Sea E œ" " %$ # "# " "

Ô ×Õ Ø

(3.1) Los valores propios de E son ________________________


_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

(3.3) Una base de vectores propios (SI EXISTE) para :‘$ es

____________________________________________________

(3.4) SI EXISTENUna matriz diagonal y una matriz ( ) talH T que DIAGONALICE la matriz son:E

H œ T œ

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

(3.5) l cálculo de E es .T H T "

Î ÑÐ ÓÏ Ò



PÁG. 465



4. Sea la transformación linealY À Ð Ñ Ä Ð Ñ ` ‘ ` ‘#B # #B #

definida por ; tal que YÐEÑ œ E F F œ" "" !

# Œ

(4.1) Calcule: Y Ð Ñ œ" "

" "” • (4.2) La fórmula

Y Ð Ñ œB CD >” • Œ _______ _______

_______ _______


" "" ” •

(4.4) La fórmula

Y Ð Ñ œB CD >

" ” • Œ _______ ______________ _______






PÁG. 466




PAUTA DE CORRECCIÓN



XÐB ß C ß D Ñ œ Ð ß # ÑB C D B #C #D

(1.1) La dimensión del O/< ÐX Ñ es ________ ____________#(1.2) Una base de la M7 ÐXÑ es ______ __________˜ ™Ð"ß #Ñ(1.3) A partir de la base de , una base de esM7 ÐXÑ ‘#

______________ _______________˜ ™Ð"ß #Ñà Ð"ß !Ñ(1.4) ¿ Es X inyectiva ? ( ¿ POR QUÉ ? )____ ___NO, YA QUE O/< ÐX Ñ Á Ð!ß !ß !Ñ˜ ™_(1.5) ¿ Es X sobreyectiva ? ( ¿ POR QUÉ ? )____ ____NO, YA QUE M7 ÐX Ñ Á ‘#

2. Sea. definida por:X À Ð Ñ Ä` ‘ ‘#B #

%

XÐ Ñ œ Ð+ , - . ß + , - ß + , ß + Ñ+ ,- .” •

La representación matricial de X respecto de la baseORDENADA para ` ‘

#B #Ð Ñ

F œ" œ ” • ” • ” • ” •" " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !ß ß ß

y la baseORDENADA para ‘%


˜ ™"ß "ß "ß "Ñ ß ß "ß "ß !Ñß ß "ß !ß !Ñß ß !ß !ß !Ñes:

Ò Ó œXF"

F#


" " " "

" " " !

" " ! !

" ! ! !



PÁG. 467



3. Sea E œ" " %$ # "# " "

Ô ×Õ Ø

(3.1) Los valores propios de E son ____ ______ # à " à $(3.2) Los espacios propios asociados son respectivamente:I œ 1/8 Ð à I œ 1/8 Ð à# "˜ ™ ˜ ™"ß "ß "Ñ "ß %ß "Ñ

I œ 1/8 Ð$ ˜ ™"ß #ß "Ñ(3.3) Una base de vectores propios (SI EXISTE) para :‘$ es ˜ ™Ð Ð Ð"ß "ß "Ñà "ß %ß "Ñà "ß #ß "Ñ _______(3.4) SI EXISTENUna matriz diagonal y una matriz ( ) talH T que DIAGONALICE la matriz son:E

H œ T œÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

# ! ! " " "! " ! " % #! ! $ " " "

(3.5) l cálculo de E es .T H T "Î ÑÏ Ò

" " %$ # "# " "

4. Sea la transformación linealY À Ð Ñ Ä Ð Ñ ` ‘ ` ‘#B # #B #

definida por ; tal que YÐEÑ œ E F F œ" "" !

# Œ (4.1) Calcule: Y Ð Ñ œ

" " " "” • Œ " !

" !(4.2) La fórmula

Y Ð Ñ œB C C B CD > > D >” • Œ


" "" ” • Œ ! "

! "(4.4) La fórmula

Y Ð Ñ œB C B C BD > D > D

" ” • Œ



PÁG. 468




PRUEBA RECUPERATIVA: ÁLGEBRA LINEAL

NOMBRE________________________________________RUT ___________________________ SECCIÓN _______PREGUNTA 1 2 3 4 NOTAPUNTAJE


LEA ESTAS INSTRUCCIONES:A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; enalgunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y serregistrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente,cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS ENBLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LAPRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde.B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYODESARROLLO ESTÉ DESORNADO!!C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba.D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !!E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !!F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOSCÁLCULOS).



PÁG. 469



PROBLEMA 1: Considere (reales positivos) y el cuerpoZ œ ‘

O œ Š ‘ con la suma vectorial y producto escalar ww wwww ww

definido por a − ß a Bà C − À B Š C œ BC à B œ B! ‘ ‘ ! !

(1.1) Calcule el resultado de: a) Ð" Š "Ñ # œ __ __#

b) c) ‘Ð "Ñ Ð" Š # œ # œ$ Š !Ñ__ __ __ _#$ RS

d) ‘ ‘Ð" Ð "ÑŠ "Ñ # $ Ð Š #Ñ œ __ __%* " -Î?

SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad de:

(1.2) la operación está bien definida para que sea Z œ ‘


a − ß a B − À B −! ‘ ‘ ! ‘ $_______________________________________________________

(1.3) distributividad del escalar para que sea espacioZ œ ‘

vextorial sobre el cuerpo O œ ‘ .a − ß a B à C − À ÐB Š CÑ œ Ð BÑ Š Ð CÑ! ‘ ‘ ! ! !

%_______________________________________________________

(1.4) El NEUTRO ADITIVO (SI EXISTE) es / / œ _ _ " %



PÁG. 470



PROBLEMA 2: Sea una transformación lineal queX À Ä c ‘#

#

verifica:XÐ" Ñ œ Ð ß "Ñ à X Ð" B Ñ œ Ð ß !Ñ à X Ð" B B Ñ œ Ð! ß "Ñ " " #


! " #œ œ œ__ __ ; __ __ ; __ __ + , , - - $

(2.2) El cálculo de XÐ" B B Ñ# es _ _ Ð# ß "Ñ &

(2.3) La fórmula define a la transformación lineal está dadaque Xpor

XÐ+ ,B -B Ñ œ# __ __Ð+ - ß + , -Ñ (



PÁG. 471



PROBLEMA 3:

Sea E œ! # !# ! !! ! $

Ô ×Õ Ø

(3.1) Los valores propios de E son # à # à $ %


I œ 1/8 Ð "ß "ß !Ñ# ˜ ™ #_____________________________________________________

I œ 1/8 Ð"ß "ß !Ñ# ˜ ™ #_____________________________________________________

I œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ$ ˜ ™ #_____________________________________________________


H œ T œ

Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò

# ! ! " " !

! # ! " " !

! ! $ ! ! "

# $



PÁG. 472



PROBLEMA 4: Sean

[ œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎB #C $D A œ ! •"%˜ ‘

$B C &D A œ !™y [ œ ÐBß Cß DßAÑ − Î#B C A œ !#

%˜ ™‘

subespacios vectoriales de .‘%

(4.1) Un conjunto finito de vectores que genere a es[#

˜ ™Ð"ß !ß !ß #Ñà Ð!ß "ß !ß "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ $_______________________________________________________

(4.2) Una base para es[ [" #

˜ ™Ð "ß #ß "ß !Ñ '_______________________________________________________

(4.3) .37 Ð[ [ Ñ œ" # __ __ % '


NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1 TIEMPO: 90 MINUTOS.




PÁG. 473



PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA RECUPERATIVA ÁLGEBRA LINEAL (SEM 1-2007)

PROBLEMA 1: (1.1) SOLUCIÓN:a) Ð" ÐŠ "Ñ "Ñ # œ # œ # œ #"

b) ‘ ‘ ‘Ð "Ñ Š # œ Š # œ Š # œ$ $" "$

#$



# %*

(1.2) SOLUCIÓN: a − ß a B − À B −! ‘ ‘ ! ‘

(1.3) SOLUCIÓN:a − ß a B à C − À ÐB Š CÑ œ Ð BÑ Š Ð CÑ! ‘ ‘ ! ! !

(1.4) SOLUCIÓN: El NEUTRO ADITIVO (SI EXISTE) cumple que / a B − ß b x / − À ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B‘ ‘


Ð/ Š BÑ œ B Ê /B œ B Ê / œ " ß B − ‘




PROBLEMA 2:(2.1) :SOLUCIÓN+ ,B -B œ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ Ê# #! " # + ,B -B œ Ð Ñ Ð ÑB Ð ÑB Ê# #! " # " # # ! " # ! " #

" ##

œ + Ê œ + , à œ , - à œ - œ ,

œ -



PÁG. 474



(2.2) :SOLUCIÓN" B B# œ #Ð"Ñ !Ð" BÑ Ð "ÑÐ" B B Ñ Ê# XÐ" B B Ñ œ XÐ# # Ð"Ñ !Ð" BÑ Ð "ÑÐ" B B ÑÑ#



XÐ" B B Ñ œ Ð ß "Ñ Ð! ß "Ñ œ Ð# ß "Ñ# # " (2.3) :SOLUCIÓN+ ,B -B œ Ð+ ,ÑÐ"Ñ Ð, -ÑÐ" BÑ -Ð" B B Ñ# #


como es transformación linealXXÐ+ ,B -B Ñ œ Ð+ ,ÑX Ð"Ñ Ð, -ÑX Ð" BÑ -X Ð" B B Ñ# # XÐ+ ,B -B Ñ œ Ð+ ,ÑÐ ß "Ñ Ð, -ÑÐ ß !Ñ -Ð!ß "Ñ# " " Por lo tanto: XÐ+ ,B -B Ñ œ Ð+ - ß + , -Ñ#

PROBLEMA 3:(3.1) :SOLUCIÓN

./> ÐE M Ñ œ ./>- $

Ô ×Õ Ø

! # !# ! !! ! $

--

-, por fila 3:

œ Ð$ Ð %Ñ œ Ð$ Ð #ÑÐ #Ñ œ !- - - - -) )#

Ê E .- - -œ # à œ # à œ $ son los valores propios de

(3.2) SOLUCIÓN:a) Para - œ #:


# # ! " " !# # ! ! ! "! ! & ! ! !

Ä Ê I œ 1/8 Ð "ß "ß !Ñ# ˜ ™ b) Para - œ #:


# # ! " " !# # ! ! ! "! ! " ! ! !

Ä Ê I œ 1/8 Ð"ß "ß !Ñ# ˜ ™c) Para - œ $:


Ô ×Ö ÙÕ Ø

$ # ! " ! !# $ ! ! " !! ! ! ! ! !

Ä Ä

" !

! !

! ! !

$#&#

Ê B œ C œ ! à I œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ$ ˜ ™



PÁG. 475



(3.3) : SOLUCIÓN

H œ T œÎ Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò

# ! ! " " !

! # ! " " !

! ! $ ! ! "

4.(4.1) :SOLUCIÓN[ œ ÐBß Cß DßAÑ − Î#B C A œ !#

%˜ ™‘

[ œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎA œ #B C#%˜ ™‘

[ œ ÐBß Cß Dß #B CÑÎBß Cß D −# ˜ ™‘[ œ 1/8 Ð"ß !ß !ß #Ñà Ð!ß "ß !ß "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ# ˜ ™(4.2) :SOLUCIÓN[ [ [ •" # "œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎÐBß Cß DßAÑ −˜ ‘%

ÐBß Cß DßAÑ − [# ™ÐBß Cß DßAÑ − B #C $D A œ ! •[ Ê" $B C &D A œ !ÐBß Cß DßAÑ − #B C A œ ![ Ê# Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones: B #C $D A œ !

$B C &D A œ !#B C A œ !

Ê Ê" # $ " " # $ "$ " & " ! ( "% %# " ! " ! $ ' "


Ê ! " # Ê

" ! "

! ! !

" ! " !! " # !! ! ! "

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò

"$"$

&$

Ê B œ D à C œ #D à A œ !Por lo tanto: [ [" # œ Ð Dß #Dß Dß !ÑÎD −˜ ™‘ [ [" # œ 1/8 Ð "ß #ß "ß !Ñ˜ ™y como además es linealmente independiente;˜ ™Ð "ß #ß "ß !Ñ˜ ™Ð "ß #ß "ß !Ñ es base de [ [" # .



PÁG. 476



(4.3) :SOLUCIÓN1º) .37 Ð[ [ Ñ œ .37 [ .37 [ .37 Ð[ [ Ñ" # " # " #

2º) Sabemos que .37 Ð[ [ Ñ œ " .37 [ œ $" # #y 3º) Falta obtener .37 [": [ œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎB #C $D A œ ! •"

%˜ ‘

$B C &D A œ !™Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones: B #C $D A œ !

$B C &D A œ !

Ê ÊŒ Œ " # $ " " # $ "$ " & " ! ( "% %

Ê Ê B œ D A à C œ #D A " ! "

! " #

"(

%(

" %( (

Por lo tanto: .37 [ œ # ß" ya que [ œ 1/8 Ð "ß #ß "ß !Ñà Ð ß ß !ß "Ñ"

" %( (

˜ ™y es linealmente independiente.˜ ™Ð "ß #ß "ß !Ñà Ð ß ß !ß "Ñ" %

( ( 4º) Luego: .37 Ð[ [ Ñ œ # $ " œ %" #



PÁG. 477




PRUEBA Y CONTROL RECUPERATIVO: ÁLGEBRA LINEAL

NOMBRE________________________________________



LEA ESTAS INSTRUCCIONES:A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; enalgunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y serregistrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente,cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS ENBLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LAPRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde.B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYODESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!!C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba.D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !!E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !!F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOSCÁLCULOS).



PÁG. 478



PROBLEMA 1: Sea función real de variable real ;Z œ 0 Î 0 À Ä˜ ™‘ ‘

O œ Z‘Þ ÀConsideremos el siguiente subconjunto de

[ œ 0 Î 0 ÐBÑ œ 0Ð" BÑ˜ ™− Z con las operaciones usuales: a − à a 0 à 1 − Z! ‘Ð0 1ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ 1ÐBÑ à Ð 0ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ ! !(1.1) SOLAMENTE ESCRIBA las fórmulas de DOS funciones queNO CORRESPONDAN A FUNCIONES CONSTANTES y quepertenezcan a [ . 0 ÐBÑ œ BÐ" BÑ à 0 ÐBÑ œ =/8 BÐ" BÑ" # ‘___________ __________________ ___________________4 3

(1.2) SOLAMENTE ESCRIBA PARA ESTE CASO PARTICULAR, lapropiedad que debe cumplirse para que [ sea subespaciovectorial de Z :a − àa0à 1 − [ Ê Ð0 1ÑÐBÑ œ Ð0 1ÑÐ" BÑ! ‘ ! !

______ ________________________ _________________4 4

PROBLEMA 2: Considere la transformación lineal

X À Ð Ñ Ä X œ ÐB > ß D CÑB CD >

` ‘ ‘# B#

# tal que Œ

(2.1) El O/< Ð XÑ es

Ÿ ŸŒ Œ Œ B C " ! ! "C B ! " " !

Î 1/8 àBà C − ‘ œ

_____________________ _______________________________5

(2.2) Una ,+=/ ./ 6+ M7X Ð"ß !Ñà Ð!ß "Ñes ___ ___ Ÿ 5



PÁG. 479



(2.3) La representación matricial de respecto de las basesX

F œ" ŸŒ Œ Œ Œ " " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !à à à

para el dominio y para el conjunto de F œ# ŸÐ"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

llegada está dada por (COMPLETE DONDE CORRESPONDA):

’ “ Î ÑÏ ÒX

F

F

#

"

œ" "

" !

" "# #

" "# #

5

PROBLEMA 3: Sean



%˜ ™‘



˜ ™Ð"ß !ß !ß #Ñà Ð!ß "ß !ß "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ 5_______________________________________________________

(3.2) Una base para es ___ ___ [ [" # ˜ ™Ð "ß #ß "ß !Ñ 5

(3.3) .37 Ð[ [ Ñ œ" # __ __ % 5



PÁG. 480



PROBLEMA 4: Sea E œ" " %$ # "# " "

Ô ×Õ Ø

(4.1) Los valores propios de E son __ # " à $; ___ 6(4.2) Los espacios propios asociados son respectivamente: I œ 1/8 Ð "ß "ß "Ñ# ˜ ™ 1_____________________________________________________ I œ 1/8 Ð "ß %ß "Ñ" ˜ ™ 1_____________________________________________________ I œ 1/8 Ð"ß #ß "Ñ$ ˜ ™ 1_____________________________________________________


H œ T œ" "Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò

! !

! " ! " # $

! !

# # '

$ ! $

"#

"$

"'

3 3






PÁG. 481




PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA Y CONTROL RECUPERATIVO: ÁLGEBRA LINEAL

PROBLEMA 1:(1.1) 0 ÐBÑ œ BÐ" BÑ à 0 ÐBÑ œ =/8 BÐ" BÑ" # ‘(1.2) a − àa0à 1 − [ Ê Ð0 1ÑÐBÑ œ Ð0 1ÑÐ" BÑ! ‘ ! !

PROBLEMA 2: (2.1) O/< Ð XÑ es

Ÿ ŸŒ Œ Œ B C " ! ! "C B ! " " !

Î 1/8 àBà C − ‘ œ

SOLUCIÓN:

O/<ÐX Ñ œ Ð ÑÎX œ Ð! ß !ÑB C B CD > D > ŸŒ Œ − ` ‘

# B#

X œ Ð! ß !Ñ Ê ÐB > ß D CÑ œ Ð! ß !ÑB CD >Œ

. Ê B > œ ! Ê > œ B à D œ C

D C œ !

Luego:

O/<Ð > œ B à D œ CX Ñ œ Ð ÑÎB CD > ŸŒ − ` ‘

# B#

O/<Ð B à CX Ñ œ ÎB CC B ŸŒ − ‘

O/<ÐX Ñ œ 1/8 à" ! ! "! " " ! ŸŒ Œ



PÁG. 482



(2.2) ,+=/ ./ 6+ M7X Ð"ß !Ñà Ð!ß "Ñes ___ ___ ŸSOLUCIÓN:

M7X œ ÐB > ß D CÑÎBß Cß Dß > Ÿ− ‘

M7X œ 1/8 Ð"ß !Ñà Ð!ß "Ñà Ð!ß "Ñà Ð"ß !Ñ Ÿ M7X œ 1/8 Ð"ß !Ñà Ð!ß "Ñ Ÿ œ ‘#

(2.3) ’ “ Î ÑÏ ÒX

F

F

" "# #

" "# #

#

"

œ" "

" !

SOLUCIÓN:1º) Obtener las imágenes bajo de :X F"

X XŒ Œ " " " " " " " !

œ Ð#ß !Ñ œ Ð "ß !Ñ

X XŒ Œ " " " !! ! ! !

œ Ð"ß "Ñ œ Ð "ß !Ñ

2º) Expresar dichas imágenes bajo como combinación linealXde : F Ð Ð"# ÐBß CÑ œ "ß "Ñ ß "Ñ! " Ê œ B Ê œ ÐB CÑ à œ ÐB CÑ

œ C

! " ! "

! "

" "# # .

Luego: Ð#ß !Ñ œ Ð Ñ "ß "Ñ Ð Ñ ß "Ñ" "Ð Ð" Ð "ß !Ñ œ Ð Ñ "ß "Ñ Ð Ñ ß "Ñ " "

# #Ð Ð"

Ð"ß "Ñ œ Ð Ñ "ß "Ñ Ð Ñ ß "Ñ" !Ð Ð" Ð "ß !Ñ œ Ð Ñ "ß "Ñ Ð Ñ ß "Ñ " "

# #Ð Ð"

Por lo tanto Ò Ó œXF"

F# " "

" !

" "# #" "# #



PÁG. 483



PROBLEMA 3: (3.1) Un conjunto finito de vectores que genere a es[#

˜ ™Ð"ß !ß !ß #Ñà Ð!ß "ß !ß "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ_______________________________________________________SOLUCIÓN:[ œ ÐBß Cß DßAÑ − Î#B C A œ !#

%˜ ™‘


[ œ ÐBß Cß Dß #B CÑÎBß Cß D −# ˜ ™‘[ œ 1/8 Ð"ß !ß !ß #Ñà Ð!ß "ß !ß "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ# ˜ ™(3.2) Una base para es ___ ___[ [" # ˜ ™Ð "ß #ß "ß !ÑSOLUCIÓN:[ [ [ •" # "œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎÐBß Cß DßAÑ −˜ ‘%


$B C &D A œ !#B C A œ !

Ê Ê" # $ " " # $ "$ " & " ! ( "% %# " ! " ! $ ' "


Ê ! " # Ê

" ! "

! ! !

" ! " !! " # !! ! ! "

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò

"$"$

&$




PÁG. 484



(3.3) .37 Ð[ [ Ñ œ" # __ __%SOLUCIÓN:1º) .37 Ð[ [ Ñ œ .37 [ .37 [ .37 Ð[ [ Ñ" # " # " #


%˜ ‘


$B C &D A œ !

Ê ÊŒ Œ " # $ " " # $ "$ " & " ! ( "% %

Ê Ê B œ D A à C œ #D A " ! "

! " #

"(

%(

" %( (


" %( (


( ( 4º) Luego: .37 Ð[ [ Ñ œ # $ " œ %" #

PROBLEMA 4: (4.1) Los valores propios de E son _ _- - -œ # à œ " à œ $SOLUCIÓN:

./> ÐE M Ñ œ ./>- $

Ô ×Õ Ø

" " %$ # "# " "

--

-, por fila 1:

œ Ð" " &Ð "Ñ œ Ð" '- - - - - - -) ) ‘ ‘# #

œ Ð "ÑÐ $ÑÐ #Ñ œ ! œ # à œ " à œ $- - - - - -Ê son los valores propios de E.

(4.2) Los espacios propios asociados son respectivamente: ; I œ 1/8 Ð "ß "ß "Ñ I œ 1/8 Ð "ß %ß "Ñ# "˜ ™ ˜ ™_____________________________________________________ I œ 1/8 Ð"ß #ß "Ñ$ ˜ ™_____________________________________________________



PÁG. 485



SOLUCIÓN:a) Para - œ #:


Ô ×Ö ÙÕ Ø

$ " % " ! "$ % " ! " "# " " ! ! !

Ä ! Ä

"

!

" "# #

& &# #

& &# #

Ê B œ D à C œ D Ê I œ 1/8 Ð "ß "ß "Ñ# ˜ ™b) Para - œ ":


Ô ×Ö ÙÕ Ø

! " % " ! "$ " " ! " % ! " %# " # ! ! !

Ä Ä

" "

! #

"#

"#

Ê B œ D à C œ %D à I œ 1/8 Ð "ß %ß "Ñ" ˜ ™c) Para - œ $:


Ô ×Ö ÙÕ Ø

# " % " ! "$ " " ! " ## " % ! ! !

Ä Ä

" #

! &

! ! !

"#

&#

Ê B œ D à C œ #D à I œ 1/8 Ð"ß #ß "Ñ$ ˜ ™

(4.3) H œ T œ" "Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò

! !

! " ! " # $

! !

# # '

$ ! $

"#

"$

"' ;

SOLUCIÓN: 1º) H œ H œÎ ÑÏ Ò

Î ÑÐ ÓÏ Ò

# ! !! " ! ! " !! ! $

Ê

! !

! !

"

"#

"$

2º) T œÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

" " " # # '" % # " # $" " " $ ! $

Ê T œ" "'


" " " " ! ! " " " " ! !" % # ! " ! ! $ $ " " !" " " ! ! " ! ! # " ! "

Ä

Ä Ä ! " !

" ! # !

! " " !

! ! " !

" ! ! "

! ! " !


% "$ $

" "$ $" "# #

" "$ $" " "' $ #

" "# #



PÁG. 486







LEA ESTAS INSTRUCCIONES:A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; enalgunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y serregistrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente,cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS ENBLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LAPRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde.B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYODESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!!C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba.D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !!E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !!F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOSCÁLCULOS).



PÁG. 487



PROBLEMA 1:

(1.1) La factorización de en el conjunto B #B #B "$ #

de los números racionales es

_____________________________________________________

(1.2) Considerando el cuociente y el resto esB

B #B #B"

$

$ # ;

-ÐBÑ œ <ÐBÑ œ____________________ ____________________(1.3) La descomposición en fracciones parciales de

BB #B #B"

$

$ # está dada por

_____________________________________________________PROBLEMA 2:

(2.1) Sea E œÎ ÑÏ Ò

# " %$ # "

" $ "

Llamemos la matriz adjunta de +.4 E œ Ð- Ñ E3 4

.

PARA LA :MATRIZ ADJUNTA de E

a) El MENOR es Q#$ b) El COFACTOR G$# es ___________________________

c) El TÉRMINO es ____________________________ -#"



PÁG. 488



(2.2) La solución SIMPLIFICADA de la variable en el sistemaCÎ ÑÎ Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò Ï Ò

" " ! ! B +! ! ! " C !! " " " D ,

" ! " ! > !

œ es _____________

PROBLEMA 3: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales B #B $B B œ !" # $ %

$B B &B B œ !" # $ %

#B B B œ !" # % (3.1) Un conjunto finito de vectores que genere al conjunto soluciónW del sistema es

_____________________________________________________(3.2) Una base de esW

_____________________________________________________

(3.3) La dimensión de es ___________W .

PROBLEMA 4: Sea E œ ” •" "" "

(4.1) Los valores propios de E son ______________________


_____________________________________________________

_____________________________________________________



PÁG. 489



(4.3) Una base de vectores propios (SI EXISTE) para :‘# es

____________________________________________________

(4.4) SI EXISTENUna matriz diagonal y una matriz ( ) talH T que DIAGONALICE la matriz son:E

H œ T œ

(4.5) l cálculo de E es .T "






PÁG. 490






PROBLEMA 1:

(1.1) La factorización de en el conjunto B #B #B "$ #

de los números racionales es___________ ____ÐB "ÑÐB B "Ñ# ________

(1.2) Considerando el cuociente y el resto esB

B #B #B"

$

$ # ; -ÐBÑ œ <ÐBÑ œ____ ___ ___ ___" #B #B "#

(1.3) La descomposición en fracciones parciales deB

B #B #B"

$

$ # está dada por

_____ _____" " BB" B B"#

PROBLEMA 2:

(2.1) Sea E œÎ ÑÏ Ò

# " %$ # "

" $ "

Llamemos la matriz adjunta de +.4 E œ Ð- Ñ E3 4

.

PARA LA : MATRIZ ADJUNTA de E

a) El MENOR es Q#$ Œ & "$"" &

b) El COFACTOR G &'$# es __ __

c) El TÉRMINO es __ __ -#" #



PÁG. 491



(2.2) La solución SIMPLIFICADA de la variable en el sistemaCÎ ÑÎ Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò Ï Ò

" " ! ! B +! ! ! " C !! " " " D ,

" ! " ! > !

œ Ð+ ,Ñes "#

PROBLEMA 3: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales B #B $B B œ !" # $ %

$B B &B B œ !" # $ %

#B B B œ !" # % (3.1) Un conjunto finito de vectores que genere al conjunto soluciónW del sistema es ________ _______˜ ™Ð "ß #ß "ß !Ñ

(3.2) Una base de es ________ _______W ˜ ™Ð "ß #ß "ß !Ñ

(3.3) La dimensión de es ___ ___W ."

PROBLEMA 4: Sea E œ ” •" "" "

(4.1) Los valores propios de E ! à # son ____ ____(4.2) Los espacios propios asociados son respectivamente: I œ 1/8 à I œ 1/8! #˜ ™ ˜ ™Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ(4.3) Una base de vectores propios (SI EXISTE) para :‘# es ˜ ™Ð"ß "Ñà Ð"ß "Ñ(4.4) SI EXISTENUna matriz diagonal y una matriz ( ) talH T que DIAGONALICE la matriz son:E

H œ T œŒ Œ ! ! " "! # " "

(4.5) l cálculo de E es .T " "#Œ " "

" "Þ



PÁG. 492




EXAMEN N° 1: ÁLGEBRA LINEAL






PÁG. 493



PREGUNTA 1: Considere el sistema de ecuaciones: B &C A œ "

#B C $D #A œ "

B #C D A œ !

%B C $D #A œ "

(1.1) La solución general (SI EXISTE) para las variables B ß C ß Des:B œ " A C œ A D œ " A "!$ " $

# # #

(1.2) Considerando el conjunto solución del sistema deWecuaciones (SI EXISTE) como un subconjunto de ‘% :

¿ Es W # subespacio vectorial de ‘% ? ____ _____ R S

¿ Por qué ? ______ ________ Ð! ß ! ß ! ß !Ñ Â W $

PROBLEMA 2: Sea. definida por: X À Ð Ñ Ä Ð Ñ` ‘ c ‘#B # $

XÐ Ñ œ Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B+ ,- .” • # $

(2.1) O/< ÐX Ñ œ! !! !

š ›” • %

(2.2) M7 ÐXÑ œ Ð Ñ c ‘$

%

(2.3) ¿ Es ________ __________ X biyectiva ? W M "

¿ Por què ? ____ ____ :9< Ð#Þ"Ñ C Ð#Þ#Ñ #

(2.4) Si su respuesta es afirmativa en (2.3); la fórmula que define la transformación lineal inversa de está dada por:X

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ- .

, -" # $ ” • .

+ , %



PÁG. 494



PROBLEMA 3: Sean [ œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎB #C $D A œ ! •"

%˜ ‘


%˜ ‘ ™subespacios vectoriales de .‘%


˜ ™Ð"ß !ß !ß #Ñà Ð!ß "ß !ß "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ &

_______________________________________________________(3.2) [ [ "!" # œ 1/8 Ð "ß #ß "ß !Ñ˜ ™

PROBLEMA 4: Sea E œ" " %$ # "# " "

Ô ×Õ Ø

(4.1) El polinomio característico completamente factorizado es :ÐBÑ œ ÐB "ÑÐB $ÑÐB #Ñ '

_____________________________________________________(4.2) Los valores propios de E son # à " à $ $ (4.3) Los espacios propios asociados son respectivamente:_______ ___________ I œ 1/8 Ð "ß "ß "Ñ# ˜ ™ #

______ _____________ I œ 1/8 Ð "ß %ß "Ñ" ˜ ™ #

______ ___________ I œ 1/8 Ð"ß #ß "Ñ$ ˜ ™____ #






PÁG. 495



PAUTA DE CORRECCIÓN EXAMEN N° 1: ÁLGEBRA LINEALPREGUNTA 1: (1.1) :SOLUCIÓN


" & ! " " " & ! " "# " $ # " ! * $ ! $" # " " ! ! $ " ! "% " $ # " ! #" $ ' $

Ä

Ä Ä (

" ! "

! " !

! ! ! ! ! ! ! " "! ! % ' %

" ! ! "

! " ! !

! ! ! ! !



& #$ $

" "$ $

$#

"#$#

B œ " A à C œ A à D œ " A$ " $# # # $

(1.2) NO ya que ß # $Ð! ß ! ß ! ß !Ñ Â W .

PREGUNTA 2: (2.1) SOLUCIÓN:

1º) O/< ÐX Ñ œ − Ð ÑÎX Ð Ñ œ !+ , + ,- . - .

š ›” • ” •` ‘#B # $

c ‘Ð Ñ

Ð+ , - .Ñ Ð+ , -ÑB Ð+ ,ÑB +B œ !# $ "

2º) Lo que determina el siguiente sistema de ecuaciones: + , - . œ ! Ê + œ , œ - œ . œ !

+ , - œ !

+ , œ !

+ œ !

"


š ›” • #

(2.2) SOLUCIÓN:1º) Como .37 Ð Ñ œ .37 O/< ÐX Ñ .37 M7 ÐXÑ` ‘

#B #

% œ ! .37 M7 ÐXÑ "

se tiene que .37 M7 ÐXÑ œ % "

2º) Como y M7 ÐXÑ § Ð Ñ .37 M7 ÐXÑ œ .37 Ð Ñ œ %c ‘ c ‘$ $

se tiene que M7 ÐXÑ œ Ð Ñc ‘

$ #



PÁG. 496



(2.3) SOLUCIÓN: ¿ Es X biyectiva ? _____ ____ W M "

¿ Por què ? _____ ____ :9< Ð#Þ"Ñ C Ð#Þ#Ñ #

(2.4) SOLUCIÓN:

1º) ” • ” •? @ ? @A > A >

tal que X Ð+ ,B -B .B Ñ œ" # $

2º) es decir: yXÐ + ,B -B .B” •? @A >

Ñ œ # $ ß

? @ A > œ +

? @ A œ ,

? @ œ -

? œ .

Ê ? œ . à @ œ - . à A œ , - à > œ + , #

3º) Por lo tanto:

X Ð+ ,B -B .B Ñ œ- .

, -" # $ ” • .

+ , #

PREGUNTA 3: (3.1) :SOLUCIÓN[ œ ÐBß Cß DßAÑ − Î#B C A œ !#

%˜ ™‘


[ œ ÐBß Cß Dß #B CÑÎBß Cß D −# ˜ ™‘[ œ 1/8 Ð"ß !ß !ß #Ñà Ð!ß "ß !ß "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ# ˜ ™ &

(3.2) :SOLUCIÓN[ [ [ •" # "œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎÐBß Cß DßAÑ −˜ ‘%

ÐBß Cß DßAÑ − [# ™ÐBß Cß DßAÑ − B #C $D A œ ! •[ Ê" $B C &D A œ !ÐBß Cß DßAÑ − #B C A œ ![ Ê ## Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones: B #C $D A œ !

$B C &D A œ !#B C A œ !

"



PÁG. 497



Ê Ê" # $ " " # $ "$ " & " ! ( "% %# " ! " ! $ ' "


Ê ! " # Ê

" ! "

! ! !

" ! " !! " # !! ! ! "

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò

"$"$

&$

Ê B œ D à C œ #D à A œ ! %

Por lo tanto: [ [" # œ Ð Dß #Dß Dß !ÑÎD −˜ ™‘ [ [ $" # œ 1/8 Ð "ß #ß "ß !Ñ˜ ™PREGUNTA 4: (4.1) : (por columna 2) SOLUCIÓN

1º) ./>Ô ×Õ Ø

" B " %$ # B "# " " B

"

œ ./> Ð# BÑ./> ./>$ " " B % " B %# " B # " B $ "” • ” • ” •


œ %ÐB $Ñ Ð# BÑÐB $ÑÐB $Ñ :ÐBÑ œ ÐB $ÑÐ B B #Ñ œ ÐB $ÑÐB B #Ñ# #

2º) Por lo tanto: :ÐBÑ œ ÐB "ÑÐB $ÑÐB #Ñ &

(4.2) :SOLUCIÓN Los valores propios de son la solución de:E :ÐBÑ œ ÐB "ÑÐB $ÑÐB #Ñ œ ! ; es decir: - - -" # $œ # œ " œ $ $

(4.3) :SOLUCIÓNa) Para - œ #:


$ " % $ " % " ! "$ % " ! & & ! " "# " " ! & & ! ! !

Ä Ä

Ê B œ D à C œ D Ê I œ 1/8 Ð "ß "ß "Ñ# ˜ ™ #



PÁG. 498



b) Para - œ ":


! " % $ " " " ! "$ " " ! " % ! " %# " # ! " % ! ! !

Ä Ä

Ê B œ D à C œ %D Ê I œ 1/8 Ð "ß %ß "Ñ" ˜ ™ #

c) Para - œ $:


# " % # " % " ! "$ " " ! & "! ! " ## " % ! ! ! ! ! !

Ä Ä

Ê B œ D à C œ #D Ê I œ 1/8 Ð"ß #ß "Ñ$ ˜ ™ #



PÁG. 499





NOMBRE________________________________________






PÁG. 500



PROBLEMA 1: Sean y[ œ 1/8 Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ" ˜ ™ [ œ ÐBß Cß DÑ − Î#B $C D œ ! • B #C D œ !#

$˜ ™‘

(1.1) A partir de los vectores ˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ

complete si corresponde a una base de , que estaría dada por‘$

˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ &_____________________________________________________

(1.2) El subespacio vectorial está dado por [ [" # "!

˜ ™Ð!ß !ß !Ñ _____________________________________________________

PROBLEMA 2: Sea transformación linealX À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ c ‘" "

definida por XÐ+ ,BÑ œ + ,B

(2.1) Una base de la M7 ÐXÑ es ˜ ™ ˜ ™" à B " àB o $

(2.2) La dimensión de O/< ÐX Ñ es ___ ___ ! $

(2.3) La representación matricial de respecto a la base canónicaX

de es c" E œ " !

! " #

( 2.4) Calcule E œ#!!" " !

! " #

(2.5) Si corresponde; la fórmula de la transformación lineal inversade está dada porX

X Ð+ ,BÑ œ" ___ ___ + , B &



PÁG. 501



PROBLEMA 3:

Sea E œ! # !# ! !! ! $

Ô ×Õ Ø

(3.1) Los valores propios de E son ___ __ # à # à $ %


I œ 1/8 Ð "ß "ß !Ñ# ˜ ™ #_____________________________________________________

I œ 1/8 Ð"ß "ß !Ñ# ˜ ™ #_____________________________________________________

I œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ$ ˜ ™ #_____________________________________________________


H œ

Î ÑÐ ÓÏ Ò

# ! !

! # !

! ! $

#

T œ

Î ÑÐ ÓÏ Ò

" " !

" " !

! ! "

$



PÁG. 502



PROBLEMA 4:

Sean y basesF F œ" # ˜ ™Ð "ß "ß !Ñà Ð"ß "ß !Ñà Ð!ß !ß "Ñ

ordenadas de ‘$ y la matriz dec dE FF

"

# œ" " "" " !" ! !

Î ÑÏ Ò

cambio de la base base F F" # .a la

La base ordenada esF" ˜ ™Ð!ß #ß "Ñà Ð!ß #ß !Ñà Ð "ß "ß !Ñ "&_______________________________________________________ NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.





PÁG. 503




PAUTA DE CORRECCIÓN EXAMEN N° 1: ÁLGEBRA LINEAL

PROBLEMA 1: (1.1) SOLUCIÓN:1º) Verificar si es linealmente˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ independiente:


! " " " " ! " " !" " ! ! " " ! " "# " $ ! $ $ ! ! !

Ä Ä . Luego, no

son linealmente independientes.2º) es linealmente independiente, y como˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ .37 œ $à‘ ‘$ $agregamos un vector de que sea linealmente independiente con ˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ

3º) . En efecto:˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ


! " " " ! ! " ! !" " ! ! " " ! " "" ! ! ! " ! ! ! "

Ä Ä . Son L.I.

(1.2) :SOLUCIÓN1º) Reescribamos [ œ 1/8 Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ" ˜ ™buscando los elementos :ÐBß Cß DÑ − ["

ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß "Ñ Ð"ß "ß !Ñ Ð#ß "ß $Ñ! " #Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

" #

!

# œ B

œ C" #

! # $ œ D

Ê Ê! " # B " ! $ D" " " C ! " # B" ! $ D ! " # C D




PÁG. 504



Ê" ! $ D! " # B! ! ! B C D

Î ÑÏ Ò

2º) El sistema tiene solución si y solo si B C D œ !.Luego; [ œ ÐBß Cß DÑ − Î"

$˜ ™‘ B C D œ !3º) ÐBß Cß DÑ − [ [ Í ÐBß Cß DÑ − [ • ÐBß Cß DÑ − [" # " #

ÐBß Cß DÑ − [ Ê" B C D œ !ÐBß Cß DÑ − [ Ê #B $C D œ ! • B #C D œ !#

4º) Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones: B C D œ !

#B $C D œ !

B #C D œ !


" " " " " " " ! "# $ " ! " $ ! " !" # " ! " ! ! ! $

Ä Ä

Ê B œ C œ D œ !5º) Por lo tanto; [ [ œ Ð!ß !ß !Ñ" # ˜ ™PROBLEMA 2: (2.1) SOLUCIÓN:M7 ÐXÑ œ ˜ ™ ˜ ™+ ,BÎ+ß , − + Ð"Ñ , Ð BÑÎ+ß , −‘ ‘œ

M7 ÐXÑ œ 1/8˜ ™ ˜ ™" à B " à By además es L.I.

Por lo tanto; ˜ ™" à B es base.(2.2) SOLUCIÓN:.37c ‘

"Ð Ñ œ .37O/< ÐX Ñ .37M7ÐX Ñ

# œ .37O/< ÐX Ñ #Luego: .37O/< ÐX Ñ œ !(2.3) SOLUCIÓN:1º) XÐ"Ñ œ " œ Ð"Ñ ÐBÑ" ! XÐBÑ œ B œ Ð"Ñ ÐBÑ! Ð "Ñ

2º) E œ Œ " !! "



PÁG. 505



(2.4) E œ#!!" " !

! "

SOLUCIÓN: " œ " à Ð "Ñ œ "#!!" #!!"

(2.5) SOLUCIÓN: Por (2.1) y (2.2) es biyectiva, por lo tanto:X XÐ+ ,BÑ œ + ,B œ ? @ B Î aplicar X "

+ ,B œ + ,BÑ œ ? @ BÑX Ð X Ð " "

Ê ? + ,

@

œ + Ê œ ? à œ @

œ ,

Luego: X Ð " ? @ BÑ œ ? @B X "Ð+ ,BÑ œ + ,B

PROBLEMA 3: (3.1) :SOLUCIÓN

./> ÐE M Ñ œ ./>- $

Ô ×Õ Ø

! # !# ! !! ! $

--

-, por fila 3:

œ Ð$ Ð %Ñ œ Ð$ Ð #ÑÐ #Ñ œ !- - - - -) )#




# # ! " " !# # ! ! ! "! ! & ! ! !

Ä Ê B œ C à D œ !

Ê I œ 1/8 Ð "ß "ß !Ñ# ˜ ™b) Para - œ #:


# # ! " " !# # ! ! ! "! ! " ! ! !


Ê I œ 1/8 Ð"ß "ß !Ñ# ˜ ™



PÁG. 506



c) Para - œ $:


Ô ×Ö ÙÕ Ø

$ # ! " ! !# $ ! ! " !! ! ! ! ! !

Ä Ä

" !

! !

! ! !

$#&#

Ê B œ C œ ! à I œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ$ ˜ ™(3.3)


# ! ! " " !

! # ! " " !

! ! $ ! ! "

PROBLEMA 4: SOLUCIÓN:1º) Consideremos F œ" ˜ ™@ à @ à @" # $ base ordenada de ‘$.

2º) Como c dE FF

"

# œ" " "" " !" ! !

Î ÑÏ Ò es la matriz de cambio de

la base base F F F" # " a la , cada vector de la base se expresócomo combinación lineal de la base cuyos escalaresF#respectivos están en las columnas de dicha matriz; es decir:@ œ Ð"Ñ Ð "ß "ß !Ñ Ð"Ñ Ð"ß "ß !Ñ Ð"Ñ Ð!ß !ß "Ñ œ Ð!ß #ß "Ñ"

@ œ Ð"ÑÐ "ß "ß !Ñ Ð"ÑÐ"ß "ß !Ñ Ð!ÑÐ!ß !ß "Ñ œ Ð!ß #ß !Ñ#

@ œ Ð"ÑÐ "ß "ß !Ñ Ð!ÑÐ"ß "ß !Ñ Ð!ÑÐ!ß !ß "Ñ œ Ð "ß "ß !Ñ#

3º) Por lo tanto la base ordenada F œ" ˜ ™Ð!ß #ß "Ñà Ð!ß #ß !Ñà Ð "ß "ß !Ñ



PÁG. 507










PÁG. 508



PROBLEMA 1:

Sean y[ œ 1/8 B B ß " B ß # B $B"# #˜ ™

[ œ + + B + B − T Ð ÑÎ #+ $+ + œ ! •# ! " # ! " ##

#˜ ‘

+ #+ + œ !! " # ™(1.1) A partir de los vectores ˜ ™B B ß " B ß # B $B# #

complete si corresponde a una base de , que estaría dada porT Ð Ñ# ‘

_____________________________________________________

(1.2) Un conjunto de vectores que es base de está dado por[#

_____________________________________________________

PROBLEMA 2:

Sea una transformación lineal definida por X À Ä ‘ ‘$ #

XÐBß Cß DÑ œ Ð ß ÑB %C D #B C &D .

(2.1) Una base del O/< ÐX Ñ es

_____________________________________________________

(2.2) La dimensión de M7 ÐXÑ es __________________________



PÁG. 509



PROBLEMA 3:

Sea X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘"

# una transformación lineal queverifica las siguientes condiciones:

XÐ" BÑ œ Ð#ß "Ñ X Ð" BÑ œ Ð"ß "Ñ

(3.1) La fórmula SIMPLIFICADA que define la transformación linealX XÐ+ ,BÑ; es decir está dada por

______________________________________________________

(3.2) a representación matricial de respecto de las bases: L X

esF œ " ßB F œ Ð"ß !Ñ ß Ð!ß "Ñc ‘ ‘"

Ð Ñ #˜ ™ ˜ ™

PROBLEMA 4:

Sea X À Ä‘ ‘# # definida por

XÐBß CÑ œ Ð$B $CßB &CÑ

(4.1) Una base de vectores propios (si existe) de para X ‘# es

____________________________________________________



PÁG. 510



(4.2) Una matriz diagonal (si existe) con valores propios de H Xy una matriz invertible (si existe) tal que sus columnas sonT vectores propios de son:X

H œ T œ NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.





PÁG. 511






PROBLEMA 1: Sean y[ œ 1/8 B B ß " B ß # B $B"# #˜ ™

[ œ + + B + B − T Ð ÑÎ #+ $+ + œ ! •# ! " # ! " ##

#˜ ‘

+ #+ + œ !! " # ™(1.1) A partir de los vectores ˜ ™B B ß " B ß # B $B# #

complete si corresponde a una base de , que estaría dada porT Ð Ñ# ‘

˜ ™" ß " B ß B B#

(1.2) Un conjunto de vectores que es base de está dado por[#

˜ ™ & $B B#

PROBLEMA 2: Sea una transformación linealX À Ä ‘ ‘$ #

definida por XÐBß Cß DÑ œ Ð ß ÑB %C D #B C &D .(2.1) Una base del O/< ÐX Ñ es ˜ ™Ð "* ß $ ß (Ñ(2.2) La dimensión de M7 ÐXÑ es _______ _________#

PROBLEMA 3: Sea X À Ð Ñ Ä c ‘ ‘"

# una transformaciónlineal que verifica las siguientes condiciones: XÐ" BÑ œ Ð#ß "Ñ X Ð" BÑ œ Ð"ß "Ñ (3.1) La fórmula SIMPLIFICADA que define la transformación linealX XÐ+ ,BÑ; es decir está dada por XÐ+ ,BÑ œ Ð Ð$+ ,Ñ ß +Ñ"

#(3.2) a representación matricial de respecto de las bases: L X

F œ " ßB à F œ Ð"ß !Ñ ß Ð!ß "Ñc ‘ ‘"

Ð Ñ #˜ ™ ˜ ™ es Œ $ "

# #

" !



PÁG. 512



PROBLEMA 4: Sea X À Ä‘ ‘# # definida por XÐBß CÑ œ Ð$B $CßB &CÑ(4.1) Una base de vectores propios (si existe) de para X ‘# es ˜ ™Ð $ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ(4.2) Una matriz diagonal (si existe) con valores propios de H Xy una matriz invertible (si existe) tal que sus columnas sonT

vectores propios de son: X H œ T œŒ Œ # ! $ "! ' " "



PÁG. 513










PÁG. 514



PROBLEMA 1: Sean y[ œ 1/8 Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ" ˜ ™ [ œ ÐBß Cß DÑ − Î#B $C D œ ! • B #C D œ !#

$˜ ™‘

(1.1) A partir de los vectores ˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ

complete si corresponde a una base de , que estaría dada por‘$

˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ &_____________________________________________________

(1.2) El subespacio vectorial está dado por [ [" # "!

˜ ™Ð!ß !ß !Ñ _____________________________________________________

PROBLEMA 2: Sea transformación linealX À Ð Ñ Ä Ð Ñc ‘ c ‘" "

definida por XÐ+ ,BÑ œ + ,B

(2.1) Una base de la M7 ÐXÑ es ˜ ™ ˜ ™" à B " àB o $

(2.2) La dimensión de O/< ÐX Ñ es ___ ___ ! $

(2.3) La representación matricial de respecto a la base canónicaX

de es c" E œ " !

! " #

( 2.4) Calcule E œ#!!" " !

! " #

(2.5) Si corresponde; la fórmula de la transformación lineal inversade está dada porX

X Ð+ ,BÑ œ" ___ ___ + , B &



PÁG. 515



PROBLEMA 3:

Sea E œ! # !# ! !! ! $

Ô ×Õ Ø

(3.1) Los valores propios de E son ___ __ # à # à $ %


I œ 1/8 Ð "ß "ß !Ñ# ˜ ™ #_____________________________________________________

I œ 1/8 Ð"ß "ß !Ñ# ˜ ™ #_____________________________________________________

I œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ$ ˜ ™ #_____________________________________________________


H œ

Î ÑÐ ÓÏ Ò

# ! !

! # !

! ! $

#

T œ

Î ÑÐ ÓÏ Ò

" " !

" " !

! ! "

$



PÁG. 516



PROBLEMA 4:

Sean y basesF F œ" # ˜ ™Ð "ß "ß !Ñà Ð"ß "ß !Ñà Ð!ß !ß "Ñ

ordenadas de ‘$ y la matriz dec dE FF

"

# œ" " "" " !" ! !

Î ÑÏ Ò

cambio de la base base F F" # .a la

La base ordenada esF" ˜ ™Ð!ß #ß "Ñà Ð!ß #ß !Ñà Ð "ß "ß !Ñ "&_______________________________________________________ NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.


JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE SUS RESPUESTAS



PÁG. 517




PAUTA DE CORRECCIÓN EXAMEN N° 2: ÁLGEBRA LINEAL

PROBLEMA 1: (1.1) SOLUCIÓN:1º) Verificar si es linealmente˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ independiente:


! " " " " ! " " !" " ! ! " " ! " "# " $ ! $ $ ! ! !

Ä Ä . Luego, no

son linealmente independientes.2º) es linealmente independiente, y como˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ .37 œ $à‘ ‘$ $agregamos un vector de que sea linealmente independiente con ˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ

3º) . En efecto:˜ ™Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ


! " " " ! ! " ! !" " ! ! " " ! " "" ! ! ! " ! ! ! "

Ä Ä . Son L.I.

(1.2) :SOLUCIÓN1º) Reescribamos [ œ 1/8 Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ" ˜ ™buscando los elementos :ÐBß Cß DÑ − ["

ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß "Ñ Ð"ß "ß !Ñ Ð#ß "ß $Ñ! " #Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

" #

!

# œ B

œ C" #

! # $ œ D

Ê Ê! " # B " ! $ D" " " C ! " # B" ! $ D ! " # C D


Ê" ! $ D! " # B! ! ! B C D

Î ÑÏ Ò



PÁG. 518



2º) El sistema tiene solución si y solo si B C D œ !.Luego; [ œ ÐBß Cß DÑ − Î"

$˜ ™‘ B C D œ !3º) ÐBß Cß DÑ − [ [ Í ÐBß Cß DÑ − [ • ÐBß Cß DÑ − [" # " #

ÐBß Cß DÑ − [ Ê" B C D œ !ÐBß Cß DÑ − [ Ê #B $C D œ ! • B #C D œ !#

4º) Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones: B C D œ !

#B $C D œ !

B #C D œ !


" " " " " " " ! "# $ " ! " $ ! " !" # " ! " ! ! ! $

Ä Ä

Ê B œ C œ D œ !5º) Por lo tanto; [ [ œ Ð!ß !ß !Ñ" # ˜ ™PROBLEMA 2: (2.1) SOLUCIÓN:M7 ÐXÑ œ ˜ ™ ˜ ™+ ,BÎ+ß , − + Ð"Ñ , Ð BÑÎ+ß , −‘ ‘œ

M7 ÐXÑ œ 1/8˜ ™ ˜ ™" à B " à By además es L.I.

Por lo tanto; ˜ ™" à B es base.(2.2) SOLUCIÓN:.37c ‘

"Ð Ñ œ .37O/< ÐX Ñ .37M7ÐX Ñ

# œ .37O/< ÐX Ñ #Luego: .37O/< ÐX Ñ œ !(2.3) SOLUCIÓN:1º) XÐ"Ñ œ " œ Ð"Ñ ÐBÑ" ! XÐBÑ œ B œ Ð"Ñ ÐBÑ! Ð "Ñ

2º) E œ Œ " !! "

(2.4) E œ#!!" " !

! "

SOLUCIÓN: " œ " à Ð "Ñ œ "#!!" #!!"



PÁG. 519



(2.5) SOLUCIÓN: Por (2.1) y (2.2) es biyectiva, por lo tanto:X XÐ+ ,BÑ œ + ,B œ ? @ B Î aplicar X "

+ ,B œ + ,BÑ œ ? @ BÑX Ð X Ð " "

Ê ? + ,

@

œ + Ê œ ? à œ @

œ ,

Luego: X Ð " ? @ BÑ œ ? @B X "Ð+ ,BÑ œ + ,B

PROBLEMA 3: (3.1) :SOLUCIÓN

./> ÐE M Ñ œ ./>- $

Ô ×Õ Ø

! # !# ! !! ! $

--

-, por fila 3:

œ Ð$ Ð %Ñ œ Ð$ Ð #ÑÐ #Ñ œ !- - - - -) )#




# # ! " " !# # ! ! ! "! ! & ! ! !


Ê I œ 1/8 Ð "ß "ß !Ñ# ˜ ™b) Para - œ #:


# # ! " " !# # ! ! ! "! ! " ! ! !


Ê I œ 1/8 Ð"ß "ß !Ñ# ˜ ™c) Para - œ $:


Ô ×Ö ÙÕ Ø

$ # ! " ! !# $ ! ! " !! ! ! ! ! !

Ä Ä

" !

! !

! ! !

$#&#

Ê B œ C œ ! à I œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ$ ˜ ™



PÁG. 520



(3.3)


# ! ! " " !

! # ! " " !

! ! $ ! ! "

PROBLEMA 4: SOLUCIÓN:1º) Consideremos F œ" ˜ ™@ à @ à @" # $ base ordenada de ‘$.

2º) Como c dE FF

"

# œ" " "" " !" ! !

Î ÑÏ Ò es la matriz de cambio de

la base base F F F" # " a la , cada vector de la base se expresócomo combinación lineal de la base cuyos escalaresF#respectivos están en las columnas de dicha matriz; es decir:@ œ Ð"Ñ Ð "ß "ß !Ñ Ð"Ñ Ð"ß "ß !Ñ Ð"Ñ Ð!ß !ß "Ñ œ Ð!ß #ß "Ñ"

@ œ Ð"ÑÐ "ß "ß !Ñ Ð"ÑÐ"ß "ß !Ñ Ð!ÑÐ!ß !ß "Ñ œ Ð!ß #ß !Ñ#

@ œ Ð"ÑÐ "ß "ß !Ñ Ð!ÑÐ"ß "ß !Ñ Ð!ÑÐ!ß !ß "Ñ œ Ð "ß "ß !Ñ#

3º) Por lo tanto la base ordenada F œ" ˜ ™Ð!ß #ß "Ñà Ð!ß #ß !Ñà Ð "ß "ß !Ñ



PÁG. 521





NOMBRE________________________________________






PÁG. 522



PROBLEMA 1: Considere (reales positivos) y el cuerpoZ œ ‘

O œ Š ‘ con la suma vectorial y producto escalar ww wwww ww

definido por a − ß a Bà C − À B Š C œ BC à B œ B! ‘ ‘ ! !

(1.1) Calcule el resultado de: a) Ð" Š "Ñ # œ __ __#

b) c) ‘Ð "Ñ Ð" Š # œ # œ$ Š !Ñ__ __ __ _#$ RS

d) ‘ ‘Ð" Ð "ÑŠ "Ñ # $ Ð Š #Ñ œ __ __%* " -Î?

SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad de:

(1.2) la operación está bien definida para que sea Z œ ‘


a − ß a B − À B −! ‘ ‘ ! ‘ $_______________________________________________________

(1.3) distributividad del escalar para que sea espacioZ œ ‘

vextorial sobre el cuerpo O œ ‘ .a − ß a B à C − À ÐB Š CÑ œ Ð BÑ Š Ð CÑ! ‘ ‘ ! ! !

%_______________________________________________________

(1.4) El NEUTRO ADITIVO (SI EXISTE) es / / œ _ _ " %



PÁG. 523



PROBLEMA 2: Sea una transformación lineal queX À Ä c ‘#

#

verifica:XÐ" Ñ œ Ð ß "Ñ à X Ð" B Ñ œ Ð ß !Ñ à X Ð" B B Ñ œ Ð! ß "Ñ " " #


! " #œ œ œ__ __ ; __ __ ; __ __ + , , - - $

(2.2) El cálculo de XÐ" B B Ñ# es _ _ Ð# ß "Ñ &

(2.3) La fórmula define a la transformación lineal está dadaque Xpor

XÐ+ ,B -B Ñ œ# __ __Ð+ - ß + , -Ñ (



PÁG. 524



PROBLEMA 3:

Sea E œ! # !# ! !! ! $

Ô ×Õ Ø

(3.1) Los valores propios de E son # à # à $ %


I œ 1/8 Ð "ß "ß !Ñ# ˜ ™ #_____________________________________________________

I œ 1/8 Ð"ß "ß !Ñ# ˜ ™ #_____________________________________________________

I œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ$ ˜ ™ #_____________________________________________________


H œ T œ


# ! ! " " !

! # ! " " !

! ! $ ! ! "

# $



PÁG. 525



PROBLEMA 4: Sean



%˜ ™‘



˜ ™Ð"ß !ß !ß #Ñà Ð!ß "ß !ß "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ $_______________________________________________________

(4.2) Una base para es[ [" #

˜ ™Ð "ß #ß "ß !Ñ '_______________________________________________________

(4.3) .37 Ð[ [ Ñ œ" # __ __ % '






PÁG. 526



PAUTA DE CORRECCIÓN EXAMEN Nº2 ÁLGEBRA LINEAL (SEM 2-2006)

PROBLEMA 1: (1.1) SOLUCIÓN:a) Ð" ÐŠ "Ñ "Ñ # œ # œ # œ #"

b) ‘ ‘ ‘Ð "Ñ Š # œ Š # œ Š # œ$ $" "$

#$



# %*

(1.2) SOLUCIÓN: a − ß a B − À B −! ‘ ‘ ! ‘

(1.3) SOLUCIÓN:a − ß a B à C − À ÐB Š CÑ œ Ð BÑ Š Ð CÑ! ‘ ‘ ! ! !

(1.4) SOLUCIÓN: El NEUTRO ADITIVO (SI EXISTE) cumple que / a B − ß b x / − À ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B‘ ‘


Ð/ Š BÑ œ B Ê /B œ B Ê / œ " ß B − ‘




PROBLEMA 2:(2.1) :SOLUCIÓN+ ,B -B œ Ð"Ñ Ð" BÑ Ð" B B Ñ Ê# #! " # + ,B -B œ Ð Ñ Ð ÑB Ð ÑB Ê# #! " # " # # ! " # ! " #

" ##

œ + Ê œ + , à œ , - à œ - œ ,

œ -



PÁG. 527



(2.2) :SOLUCIÓN" B B# œ #Ð"Ñ !Ð" BÑ Ð "ÑÐ" B B Ñ Ê# XÐ" B B Ñ œ XÐ# # Ð"Ñ !Ð" BÑ Ð "ÑÐ" B B ÑÑ#



XÐ" B B Ñ œ Ð ß "Ñ Ð! ß "Ñ œ Ð# ß "Ñ# # "

(2.3) :SOLUCIÓN+ ,B -B œ Ð+ ,ÑÐ"Ñ Ð, -ÑÐ" BÑ -Ð" B B Ñ# #


como es transformación linealXXÐ+ ,B -B Ñ œ Ð+ ,ÑX Ð"Ñ Ð, -ÑX Ð" BÑ -X Ð" B B Ñ# # XÐ+ ,B -B Ñ œ Ð+ ,ÑÐ ß "Ñ Ð, -ÑÐ ß !Ñ -Ð!ß "Ñ# " " Por lo tanto: XÐ+ ,B -B Ñ œ Ð+ - ß + , -Ñ#

PROBLEMA 3:(3.1) :SOLUCIÓN

./> ÐE M Ñ œ ./>- $

Ô ×Õ Ø

! # !# ! !! ! $

--

-, por fila 3:

œ Ð$ Ð %Ñ œ Ð$ Ð #ÑÐ #Ñ œ !- - - - -) )#

Ê E .- - -œ # à œ # à œ $ son los valores propios de (3.2) SOLUCIÓN:a) Para - œ #:


# # ! " " !# # ! ! ! "! ! & ! ! !

Ä Ê I œ 1/8 Ð "ß "ß !Ñ# ˜ ™ b) Para - œ #:


# # ! " " !# # ! ! ! "! ! " ! ! !

Ä Ê I œ 1/8 Ð"ß "ß !Ñ# ˜ ™c) Para - œ $:


Ô ×Ö ÙÕ Ø

$ # ! " ! !# $ ! ! " !! ! ! ! ! !

Ä Ä

" !

! !

! ! !

$#&#

Ê B œ C œ ! à I œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ$ ˜ ™



PÁG. 528



(3.3) : SOLUCIÓN


# ! ! " " !

! # ! " " !

! ! $ ! ! "

4.(4.1) :SOLUCIÓN[ œ ÐBß Cß DßAÑ − Î#B C A œ !#

%˜ ™‘


[ œ ÐBß Cß Dß #B CÑÎBß Cß D −# ˜ ™‘[ œ 1/8 Ð"ß !ß !ß #Ñà Ð!ß "ß !ß "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ# ˜ ™(4.2) :SOLUCIÓN[ [ [ •" # "œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎÐBß Cß DßAÑ −˜ ‘%


$B C &D A œ !#B C A œ !

Ê Ê" # $ " " # $ "$ " & " ! ( "% %# " ! " ! $ ' "


Ê ! " # Ê

" ! "

! ! !

" ! " !! " # !! ! ! "

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò

"$"$

&$




PÁG. 529



(4.3) :SOLUCIÓN1º) .37 Ð[ [ Ñ œ .37 [ .37 [ .37 Ð[ [ Ñ" # " # " #


%˜ ‘


$B C &D A œ !

Ê ÊŒ Œ " # $ " " # $ "$ " & " ! ( "% %

Ê Ê B œ D A à C œ #D A " ! "

! " #

"(

%(

" %( (


" %( (


( ( 4º) Luego: .37 Ð[ [ Ñ œ # $ " œ %" #



PÁG. 530





NOMBRE________________________________________






PÁG. 531



PROBLEMA 1:

(1.1) Considerando el cuociente y el resto esB $BB "

%

# ;

-ÐBÑ œ <ÐBÑ œ____________________ ____________________

(1.2) La descomposición en fracciones parciales de B $BB "

%

#

está dada por

_____________________________________________________

PROBLEMA 2: Sea X À Ä Ð Ñ ‘ c ‘#

"una transformación lineal que verifica:

XÐ "ß "Ñ œ " #B XÐ"ß "Ñ œ "

(2.1) La fórmula que define la transformación lineal ; es decirX está dada porXÐ+ ß ,Ñ

______________________________________________________

(2.2) a representación matricial de respecto de las bases: L X

esF œ Ð "ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ F œ " B ß "‘ c ‘#

"Ð Ñ

˜ ™ ˜ ™



PÁG. 532



PROBLEMA 3: Sea la transformación linealY À Ð Ñ Ä Ð Ñ ` ‘ ` ‘

#B # #B #

definida por ; tal que YÐEÑ œ E F F œ" "

" "# Œ

(3.1) La fórmula

Y Ð Ñ œB CD >” • Œ _______ _______

_______ _______(3.2) La fórmula

Y Ð Ñ œB CD >

" ” • Œ _______ ______________ _______

PROBLEMA 4: Sea X À Ä‘ ‘# # definida por XÐBß CÑ œ ÐB CßB CÑ(4.1) Una base de vectores propios (si existe) de para X ‘# es

____________________________________________________(4.2) Una matriz diagonal (si existe) con valores propios de H Xy una matriz invertible (si existe) tal que sus columnas sonT vectores propios de son:X

H œ T œ Œ ____ ________ ____





PÁG. 533






PROBLEMA 1:

(1.1) Considerando el cuociente y el resto esB $BB "

%

# ; -ÐBÑ œ <ÐBÑ œ___ ____ ____ ____B " $B "#

(1.2) La descomposición en fracciones parciales de B $BB "

%

#

está dada por

ÐB "Ñ # " #B" B"

PROBLEMA 2: Sea X À Ä Ð Ñ ‘ c ‘#

"una transformación lineal que verifica:

XÐ "ß "Ñ œ " #B XÐ"ß "Ñ œ "(2.1) La fórmula que define la transformación lineal ; es decirX está dada porXÐ+ ß ,Ñ XÐ+ ß ,Ñ œ + Ð+ ,ÑB (2.2) a representación matricial de respecto de las bases: L X

F œ Ð "ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ àF œ " B ß "‘ c ‘#

"Ð Ñ

˜ ™ ˜ ™ es Œ # ! $ "

PROBLEMA 3: Sea la transformación linealY À Ð Ñ Ä Ð Ñ ` ‘ ` ‘

#B # #B #

definida por ; tal que YÐEÑ œ E F F œ" "

" "# Œ

(3.1) La fórmula Y Ð Ñ œB C C B CD > > D >” • Œ

(3.2) La fórmula Y Ð Ñ œB C B C BD > D > D

" ” • Œ



PÁG. 534



PROBLEMA 4: Sea X À Ä‘ ‘# # definida por XÐBß CÑ œ ÐB CßB CÑ(4.1) Una base de vectores propios (si existe) de para X ‘# es

˜ ™È ÈÐ" # ß "Ñ ß Ð" # ß "Ñ(4.2) Una matriz diagonal (si existe) con valores propios de H Xy una matriz invertible (si existe) tal que sus columnas sonT vectores propios de son:X

H œ T œ È È # !

! # Œ È È" # " #

" "

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