Ingeniera Civil IndustrialFacultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de IngenieraInvestigacin Operativa II2 Semestre 2013Prueba Ctedra N3Cadenas de Markov y Teora de ColasFecha: Lunes 18 de NoviembreAyudantes:Ignacio MuozRamn AuadCarlos ReuseWaldo RojasPatricio SaidEduardo Seplveda

Profesores:Alessandro NavarraManuel VargasVctor Alvarez

(20%)

123N0En la teora de colas existen diferentes casos, dependiendo de la cantidad de servidores, como se distribuyen las tasas de entrada y salida de clientes, la capacidad del sistema, etc. Existe un caso en el cual hay un solo servidor, la distribucin de las tasas de entrada y salida de clientes es exponencial y existe una capacidad infinita del sistema. Este se denomina como el caso M/M/1 y se puede representar grficamente de la siguiente manera:

a) Utilizando la figura anterior y sabiendo que para cada nodo lo que entra es igual a lo que sale (Por ejemplo para el nodo 0 ) demuestre que . (Sugerencia: Realice el procedimiento hasta que encuentre un patrn que compruebe la formula. 3 nodos deberan bastarle).b) Demuestre la siguiente formula ; Sabiendo que:

(15%)Una tienda inicia una semana con al menos 3 PC. La demanda por semana se estima en 0 con probabilidad de 0,15, 1 con probabilidad 0,2, 2 con probabilidad 0,35, 3 con probabilidad de 0,25, y 4 con probabilidad de 0,05. La demanda insatisfecha se deja pendiente. La poltica de la tienda es colocar un pedido para entregarse al inicio de la siguiente semana siempre que el nivel del inventario se reduzca por debajo de 3 PC. El nuevo pedido siempre regresa las existencias a 5 PC. a) Exprese la simulacin como cadena de Markov. b) Suponga que la semana se inicia con 4 PC. Determine la probabilidad de que un pedido se coloque al final de una semana.c) Sin intentarlo, explique el procedimiento matricial para determinar la probabilidad de que un pedido se coloque al final de N semanas.(25%)En un concierto de Blink 182 la gente toma desesperadamente cerveza sin tomar en cuenta las graves consecuencias (unas ganas incontenibles de orinar). En el lugar del concierto hay una zona especfica para estas necesidades, la cual cuenta con 15 baos qumicos. A este lugar llega gente con diferentes necesidades (ya que la cerveza no es la nica responsable de que la gente valla a los baos qumicos) a una tasa de 10 curaos por minuto (Se distribuye poisson). Independiente de las necesidades que tengan las personas, estas realizan su negocio dentro del bao qumico y salen. Los curaos salen uno cada 60 segundos (Distribucin exponencial). Para tener controlado a todos estos curaitos, existen guardias que limitan la cantidad de gente que puede esperar hasta que un bao este desocupado (ya que los curaitos se agarran a combos). Se limita a un nmero de 10 curaitos en la cola.a) Cul es el porcentaje de curaitos que son echados por los guardias? b) Cul es la probabilidad que un curaito tenga que esperar para ocupar un bao qumico? c) Cul es la probabilidad de que un curaito ocupe el ltimo bao qumico disponible? d) Determine el promedio de baos qumicos ocupadose) Determine el promedio de la cantidad de curaitos que estn esperando por un bao.

(20%)Considere una generalizacin del modelo M/M/1 en la que el servidor necesita entrar en calor al principio de un periodo de trabajo y sirve al primer cliente del periodo a una tasa ms lenta que a los otros.En particular, si un cliente que llega encuentra el servidor desocupado, experimenta un tiempo de servicio con distribucin exponencial con parmetro . Pero si encuentra al servidor ocupado su tiempo de servicio tendr distribucin exponencial con parmetro , donde < .Los clientes llegan de acuerdo con un proceso Poisson con tasa media de .a) Formule este modelo como una cadena de Markov de tiempo continuo; defina los estados y construya el diagrama de tasas correspondiente.b) Desarrolle las ecuaciones de balance.

(20%)El siguiente grfico es de un flow-shop en lo cual las piezas tienen que pasar por cada etapa, de (1) hasta (4). El producto final sale de la etapa (4) y pasa a la inspeccin. En promedio, 75% de los productos aprueban la inspeccin para pasarse al distribuidor, y lo dems se bota.

Se empieza a producir una nueva pieza desde la materia prima, cada vez que llega un pedido. El tiempo entre un pedido y el siguiente pedido sigue una distribucin exponencial, con una tasa promedio de 2,2 pedidos por da.Las caractersticas de cada etapa estn descritas en la siguiente tabla:EtapaN servidoresTasa esperada (piezas/da/servidor)

(1)Corto Bruto14,4

(2)Corto Fino40,6

(3)Tratamiento de Superficies21,2

(4)Pintura40,9

Se ha notado por estudios anteriores que el tiempo de servicio sigue una distribucin exponencial para cualquier servidor en el sistema.a)Verifique que haya capacidad suficiente en cada etapa del flow-shop. Dnde se podra eliminar un servidor sin afectar la tasa global de produccin? b)Determine cul es la tasa promedio que se mandan productos al distribuidor si(i) La tasa mxima de inspeccin es infinita(ii) La tasa mxima de inspeccin es de 2 piezas por dac)En cualquier momento, cul es la probabilidad de que haya cola en la etapa 1?d)En cualquier momento, cul es la probabilidad de que haya un total de dos piezas en las etapas 1 y 2?