PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES

J UA N J O S É H E R NÁ N D E Z O C A ÑA

PROPORCIONES

• Una proporción es una razón entre el número de éxitos y el número de observaciones • Si x se refiere al número de éxitos y n al de

observaciones, la proporción de éxitos en una cantidad fija de pruebas es x/n

•

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Solo hay dos posibles resultados en un determinado intento de un experimento• Los datos de la muestra ( la variable aleatoria) son el

resultado del proceso de conteo• La probabilidad de éxito es la misma de una prueba a otra• Cada prueba es independiente de otra

PRUEBA DE HIPÓTESIS

• Las pruebas de hipótesis respecto a una proporción de la población se basan en la diferencia entre la proporción de la muestra p y la proporción supuesta de la población

• Se usa la proporción de la muestra y su desviación estándar para determinar el estadístico de prueba.• p = x/ n sería nuestra “media”

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA PROPORCIÓN DE LA MUESTRA

• Población finita • Población infinita

Sí el tamaño de la población es grande en relación con el tamaño de la muestra ( n/N) ≤ 0.05

Se considerara el factor de corrección de la población infinita

ESTADÍSTICO DE PRUEBA

• Recordemos que un estadístico de prueba es una valor calculado a partir de datos muestrales, que se utiliza para tomar decisión sobre el rechazo de la hipótesis nula. El estadístico de prueba se calcula convirtiendo al estadístico muestral (proporción muestral, media muestral desviación estándar muestral) un una puntuación como z, t o X2.

• En este caso emplearemos el estadístico z

• Si además consideramos que el valor esperado de la proporción muestral , es la media de todos los valores posibles de p muestral, tendríamos:

• E ( χ ) = p muestral

CRITERIOS

• Rechazo Ho si

• 1.- |Zobt | > Zcritico

• 2.- si p < ά (alfa)

• cola derecha p es el área a la derecha de Zobt• cola izquierda p es el área a la izquierda de Zobt• dos colas 2 veces el área de la región extrema

limitada por• el estadístico Zobt

EJERCICIO

• La Universidad ha detectado históricamente que el 52% de los alumnos que desertan son del genero masculino. Una muestra de este año de 300 alumnos que acaban de abandonar sus estudios reveló que 170 de los que desertaron son hombres. Con una nivel de significancia de 0.05 , ¿ puede concluir que ahora están desertando una proporción mayor de hombres que lo indicado por los registros de la Universidad

• Como resultado de la debilidad de la economía, se estima que durante 2010 sólo un 43% de los patrones contrató nuevos empleados. Pero a principios de año la economía ha mostrado signos de recuperación. De acuerdo a encuestas del gobierno, 181 de 362 profesionales del manejo de recursos humanos planeaban contratar nuevos empleados este año. • Se cuenta con suficiente evidencia para demostrar que la proporción

de patrones que planean contratar personal este año es mayor a la proporción de 0.43 del 2010?. Emplee un nivel de significancia de 0.05 para probar dicha aseveración

• Emplee criterio Z y p

• Más que nunca antes, las mujeres profesionistas están renunciando a la maternidad ante las limitantes de tiempo que implica su desarrollo profesional. Un encuesta realizada a 187 profesionistas exitosas egresadas de Unitec reveló que cuando menos 133 tenía por lo menos un hijo.• Cuál es la proporción muestral de mujeres exitosas de

Unitec que tienen hijos?• 1.- Con un nivel de significancia de 0.05, ¿ es posible

afirmar que más de la mitad de todas las mujeres exitosas de Unitec tienen hijos?• 2.-Con un nivel de significancia de 0.05 ¿ es posible

afirmar que más de dos terceras partes de ellas tienen hijos?• Emplee el estadístico z y p

• El área de psicología industrial preocupada por el nivel de estrés del personal que combina trabajo y estudio, realizó un serie de programas con el fin de disminuir dichos niveles. Los resultados muestran que de 785 empleados administrativos seleccionados aleatoriamente , que combinan empleo y estudios , 175 de ellos presentan niveles de stress elevados

• Empleando un nivel de significancia de 0.01 puede afirmar que el programa empleado ha dado resultados satisfactorios en disminuir el nivel de estrés sí considera que niveles de estrés elevados se presentan en un 27% de la población trabajadora en general

• Use criterios p y z

• El 60% de los estudiantes de licenciatura creen que son evaluados de manera injusta en el rubro de evaluación continua por parte de sus docentes. Después de realizar ciertos cambios en la metodología de evaluación se realizó una encuesta para saber si el porcentaje de quejas había disminuido .Para comprobarlo se realizó una encuesta con 40 alumnos y se obtuvo que 22 consideran que son evaluados de manera injustificada• Empleando el estadístico z y p cuáles serían sus

conclusiones?• Utilice un alfa de 0.05

• Cuando Mendel realizó sus experimentos de hibridación con chícharos, uno de esos experimentos produjo vástagos que consistieron en 428 chícharos con vainas verdes y 152 chícharos con vainas amarillas. Según la teoría de Mendel , ¼ de los chícharos deberían tener vainas amarillas. • Use un nivel de significancia ( alfa) de 0.05 y

empleando los criterios de p y z, verifique la aseveración de que la proporción de chícharos es igual a ¼

• Un informe reciente de la industria de seguros indicó que le 40 % de las personas implicadas en accidentes de tránsito menores había padecido problemas de ansiedad en los pasados cinco años. Un grupo de asesoría decidió investigar dicha afirmación , pues creía que la cantidad era DIFERENTE. Un muestra de 200 accidentes de tránsito de este año mostró que 74 de ellas habían presentado cuadros de ansiedad en los últimos años- Utilice el nivel de significancia de 0.01

• Una encuesta reveló que de 700 sujetos seleccionados aleatoriamente y que estudian en la universidad, 150 fuman y 550 no fuman. Utilice un nivel de significancia de 0.01 para probar la aseveración de que el porcentaje de fumadores que estudian en la universidad es menor al porcentaje del 23% de la población en general• Emplee el estadístico z y el valor de p para sustentar sus

conclusiones

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES DE DOS MUESTRAS

• En este caso se empleara la prueba Z que se basa en la diferencia entre dos proporciones de dos muestras ( p1-p2)• Cuando tenemos muestras suficientemente grandes

( mayor a 30) los datos siguen una distribución normal estándar

• P1 proporción de éxitos de la muestra 1• P2 proporción de éxitos de la

muestra 2• n1 tamaño de la muestra 1• n2 tamaño de la muestra 2• ρ estimación conjunta de los

éxitos de la proporción de la población

• P1 proporción de éxitos de la muestra 1• P2 proporción de éxitos de la

muestra 2• n1 tamaño de la muestra 1• n2 tamaño de la muestra 2• ρ estimación conjunta de los

éxitos de la proporción de la población

• X1 número de éxitos de la muestra 1• X2 número de éxitos de la muestra 2

• En una encuesta de 660 niños ( 330 hombres y 330 mujeres) de edades comprendidas entres 6 y 14 años respondieron a la pregunta: ¿ te preocupas acerca de tener dinero?. De los niños encuestados 178 respondieron si y 201 de las niñas respondieron sí. En un nivel de significancia de 0.05 , ¿la proporción de niñas que se preocupan de tener suficiente dinero, es mayor que la proporción de los niños?

• Dos grupos de pacientes ( A Y B) sufren cefaleas crónicas y constan de 150 y 100 individuos respectivamente. Al primer grupo se le suministra una nueva clase de medicamento contra dicha afección, mientras que al segundo grupo se le administra un placebo. Se advierte un alivio de 60 personas del primer grupo así como 30 personas del segundo grupo . Si se considera que los datos se distribuyen normalmente y con un nivel de confianza del 95%, ¿ Puede afirmar que el medicamento tiene mejores resultados que el placebo?

• The New York Times reportó un estudio sobre el papel de los medios de comunicación en la vida de los niños. Se preguntó a los niños si usan la computadora diariamente. De un muestra de 1090 niños entre las edades de 7 a 14 años , 483 usaban la computadora mientras que de el intervalo de edad de 15 a 20 años se tomo una muestra de 2065 y de los cuales 1053 usaban la computadora• con un nivel de significancia de 0.05, ¿ existe evidencia de una

diferencia significativa entre los dos grupos de edades’?

• Una encuesta conducida por Golman ( 2001) se encontró que de 56 trabajadores blancos 29 levantaron demandas por discriminación. De 407 trabajadores de raza negra despedidos 126 levantaron demandas por discriminación• En un nivel de significancia de 0.05 existe evidencia de que los se

más probable que los trabajadores blancos demanden por discriminación que los trabajadores negros?

• De 150 adultos hombres que recibieron un tratamiento para disminuir el stress, 87 lo calificaron como excelente. De 200 mujeres adultas que recibieron el tratamiento, 123 lo consideraron excelente. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿ puede concluir que existe una diferencia significativa entre la proporción de hombres y la proporción de mujeres?

• A una muestra de políticos de dos partidos se les pregunto , si estaban a favor de disminuir las normas ambientales para que se pueda emplear la energía nuclear. Los resultados fueron los siguientes • Con un nivel de significancia de 0.01, ¿ puede concluir que

hay una mayor proporción del partido azul a favor de disminuir las normas

Partido rojo Partido azul

Número de la muestra

1000 800

A favor 200 178