Universidad Simon Bolıvar

Departamento de MatematicasPuras y Aplicadas

Enero–Marzo 2014

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1er. Parcial de Matematicas VII. Bloque A (7:30 AM)

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE; a, ω ∈ R, α, β ∈ C.

u(x) U(z)u′gen(x) zU(z)

xu(x) −U ′(z)u(x− a) U(z)e−az

eαxu(x) U(z − α)αu(x) + βv(x) αU(z) + βV (z)

u ∗ v(x) U(z)V (z)

−→

u(x) U(z)δ(x) 1

δ(k)(x) zk

H(x)1

z

H(x)xk−1

(k − 1)!

1

zk

H(x)eαx1

z − α

−→

u(x) U(z)

H(x)eαxxk−1

(k − 1)!

1

(z − α)k

H(x)sen(ωx)ω

z2 + ω2

H(x) cos(ωx)z

z2 + ω2

H(x)senh(ωx)ω

z2 − ω2

H(x) cosh(ωx)z

z2 − ω2

1. (13 ptos.) Considere la funcion

f(x) =

15 (x+ 5), si − 5 < x ≤ 0;1, si 0 < x ≤ 1;2− x, si 1 < x ≤ 2;0, en otro caso.

a) Calcule f ′′gen(x).

b) Use la parte (a) para calcular I(a) =

∫ ∞−∞

f(x)sen(ax) dx, para cualquier valor de la constante

a.

2. (13 ptos.) Halle la solucion causal de la ecuacion xy′′(x) + 2y′(x) + 2e−x = xy(x) que satisfacey(0) = 1, y′(0) = −1, y y(x) = 0 para x < 0.

3. (12 ptos.) Sea g(t) = cos(t)H(t), obtenga las funciones causales f(t) y h(t) que satisfagan lasecuaciones

a) (f ∗ g)(t) = H(t− 1)−H(t− 1) cos(t− 1).

b) (f ∗ h)(t) = δ′′′(t− 1).

4. (12 ptos.) Usando el metodo de residuos halle la distribucion causal u(t) cuya transformada de

Laplace es F (z) =z4 − 6z3 + 10z2

(z − 3)2

¡Justifique todas sus respuestas!Respuesta sin justificacion carecera de valor.