PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD - cristobalespino.esMAT2+2016-2017.pdf · a) Determinar el valor...

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA

CURSO 2015–2016

MATERIA: MATEMÁTICAS II (2)

Convocatoria: JUNIO

Instrucciones: - Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. - En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo.

OPCIÓN A

1.- Dada la función

2

2

si 0 1( )

( 1) ln si 1 2

x x xf x

x x x

a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de ( )f x en 1x

b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ( )y f x en el punto de abscisa 34

x

2.- Calcular las siguientes integrales

a) 2

5

(6 4) 2

dx

x b)

22 3

3

xdx

x

3.- Resolver el siguiente sistema matricial

1 4 1

2 2 0 1

0 4 2

2 1 5

1 9 2

0 1 1

P Q

P Q

4.- Dada la recta 1

2 2 0

x y zr

x y z

y el plano : 2 3 0x y mz .

a) Determinar el valor del parámetro m para que la recta y el plano sean secantes.

b) Determinar el valor del parámetro m para que la recta y el plano sean paralelos.

c) ¿Cuál es la posición relativa de la recta r del enunciado y un plano α de ecuación

5: 2 0

3x y z ?


CURSO 2015–2016

MATERIA: MATEMÁTICAS II (2)

Convocatoria: JUNIO

Instrucciones: - Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. - En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo.

OPCIÓN B

1.- Determinar el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de

concavidad y convexidad, las asíntotas, los puntos de corte con los ejes, los extremos y los

puntos de inflexión de la función 2( 2)

( )x

f xx

2.- a) Dibujar las gráficas aproximadas de 2( ) 4 5f x x x y ( ) 5g x , señalando los puntos

de corte entre ambas curvas.

b) Calcular el área encerrada entre las gráficas de las dos funciones del apartado a)

3.- Dada la matriz 2

1 0 1

0 0

2 1 1

A m

m

a) Estudiar el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro m

b) Calcular la matriz inversa 1A para m = 1

4.- Dadas las rectas 11 2

11 2

y zr x

y 2

5 3 4

4 2 3

x y zr

, se pide

a) Demostrar que se encuentran en un mismo plano.

b) Hallar la ecuación del plano que determinan.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.E.

CURSO 2014-15 CONVOCATORIA:

MATERIA: MATEMÁTICAS II 2

• Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen.

• En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo.

• La duración del examen será de 90 minutos. • No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.

Opción A

1.- Consideremos la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (𝑥𝑥 − 1) definida en el intervalo [2 , 𝑒𝑒 + 1] . Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦𝑦 = ln (𝑥𝑥 − 1) que sea paralela a la recta que pasa por los puntos 𝑃𝑃(2 , 0) y 𝑄𝑄(𝑒𝑒 + 1 , 1). (2,5 puntos)

2.- Calcular las integrales indefinidas siguientes

a) ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑(2𝑑𝑑+1)2+4

b) ∫𝑥𝑥2(𝑥𝑥3 + 1)−7𝑑𝑑𝑥𝑥 (2,5 puntos)

3.- Dado el sistema de ecuaciones

�3𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑦𝑦 = −3

2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 − 5𝑧𝑧 = 13𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 5

a) Estudiar su compatibilidad para los distintos valores del parámetro 𝑎𝑎 . (1,5 puntos) b) Resolverlo para 𝑎𝑎 = 3 . ( 1 punto)

4.- Dadas las rectas 𝑟𝑟 ≡ �𝑥𝑥 = 3 + 𝜆𝜆 𝑦𝑦 = −1 + 2𝜆𝜆𝑧𝑧 = 2 + 𝜆𝜆

y 𝑠𝑠 ≡ �𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 1 = 0

3𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 + (2 + 𝑚𝑚) = 0 , se pide:

a) Determinar si 𝑟𝑟 y 𝑠𝑠 son rectas paralelas. (1 punto)

b) Hallar el valor del parámetro 𝑚𝑚 para que las rectas 𝑟𝑟 y 𝑠𝑠 estén contenidas en un mismo plano. (1,5 puntos)







Opción B 1.- Se considera la función

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �2𝑑𝑑 + 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≤ −1𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 1 < 𝑥𝑥 ≤ 0

3𝑥𝑥2 + 2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 0

Determinar si existen valores de los parámetros 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 para los que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sea derivable en todo ℝ . Justificar la respuesta. (2,5 puntos)

2.- La boca de un túnel tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo como se muestra en la figura. Encontrar las medidas del túnel que deje pasar más luz si el perímetro de la figura mide 5 metros. (2,5 puntos)

3.- Dada la matriz 𝐴𝐴 = �2 −𝑘𝑘 41 1 71 −1 12

�

a) ¿Para qué valores del parámetro 𝑘𝑘 la matriz 𝐴𝐴 tiene matriz inversa? (1 punto)

b) Hallar la matriz 𝐴𝐴−1 cuando 𝑘𝑘 toma el valor 𝑘𝑘 = 1 . (1,5 puntos)

4.- Sean 𝑟𝑟 y 𝑠𝑠 las rectas 𝑟𝑟 ≡ �𝑥𝑥 = 𝜆𝜆 𝑦𝑦 = 1 − 𝜆𝜆𝑧𝑧 = 3

y 𝑠𝑠 ≡ 𝑥𝑥 − 1 = 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 − 3 . Calcular:

a) La ecuación del plano perpendicular a la recta 𝑟𝑟 que pasa por el punto (0,1,3) .

(0,75 puntos)

b) Las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas. (1 punto)

c) La ecuación del plano 𝜋𝜋 que contiene a las rectas 𝑟𝑟 y 𝑠𝑠 . (0,75 puntos)







Opción A

1.- Se considera la función

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �√𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏 − 2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≤ −√2

2 − 𝑥𝑥2 𝑠𝑠𝑠𝑠 −√2 < 𝑥𝑥 < √2𝑥𝑥2 ln(𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎) 𝑠𝑠𝑠𝑠 √2 ≤ 𝑥𝑥

donde 𝑙𝑙𝑙𝑙 denota el logaritmo neperiano. Determinar si existen valores de los parámetros 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 para los que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sea derivable en todo ℝ. Justificar la respuesta. (2,5 puntos)

2.- a) Dibujar las gráficas aproximadas de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1 y 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 + 3 , señalando los puntos de corte. (1 punto)

b) Calcular el área encerrada entre las gráficas de las dos funciones del apartado a).

(1,5 puntos)

3.- Sean las matrices 𝐼𝐼 = �1 00 1� y 𝐴𝐴 = � 1 0

−1 2�. Hallar dos números reales 𝑙𝑙 y 𝑚𝑚 para

que se verifique que (𝐼𝐼 + 𝐴𝐴)2 = 𝑙𝑙𝐼𝐼 + 𝑚𝑚𝐴𝐴. (2,5 puntos)

4.- Dadas las rectas 𝑟𝑟 ≡ � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 3 = 02𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 2 = 0 y 𝑠𝑠 ≡ 𝑥𝑥−1

2= 𝑦𝑦 − 1 = 𝑧𝑧−1

3 se pide:

a) Determinar su posición relativa. (1,25 puntos)

b) Calcular el ángulo que forman ambas rectas. (1,25 puntos)







Opción B

1.- Calcular los siguientes límites:

a) lim𝑥𝑥→1

2(𝑥𝑥2−𝑥𝑥)𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥

b) lim𝑥𝑥→+∞

(√𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥) c) lim𝑥𝑥→2

(𝑥𝑥+22𝑥𝑥

)3

𝑥𝑥−2 (2,5 puntos)

2.- Un granjero dispone de 200 metros de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares de igual tamaño según se muestra en la figura. ¿Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada en los corrales sea máxima? (2,5 puntos)

3.- Estudiar, para los distintos valores del parámetro 𝑎𝑎 , el siguiente sistema de ecuaciones. Resolverlo cuando 𝑎𝑎 = 1. (2,5 puntos)

�𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3𝑧𝑧 = 𝑎𝑎

4.- Dados los planos 𝜋𝜋1 ∶ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 3 y 𝜋𝜋2 ∶ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 −𝑚𝑚𝑧𝑧 = 0 se pide:

a) Calcular el valor del parámetro 𝑚𝑚 para que ambos planos sean paralelos. (0,75 puntos)

b) Calcular el valor de 𝑚𝑚 para que ambos planos sean perpendiculares. (0,75 puntos)

c) Para 𝑚𝑚 = 2 , obtener las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de ambos planos. (1 punto)




Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción

elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen.

En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para

solucionarlo. Se califica todo.

La duración del examen será de 90 minutos.

No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.

Opción A

1.- Se sabe que la gráfica de 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥2+𝑏

𝑥 tiene una recta tangente horizontal en el punto

𝑃(2,4). Hallar los valores de 𝑎 y 𝑏. (2,5 puntos)

2.- La fabricación de 𝑥 tabletas gráficas supone un coste total dado por la función 𝐶(𝑥) =

1.500𝑥 + 1.000.000. Cada tableta se venderá a un precio unitario dado por la función 𝑃(𝑥) =

4.000 − 𝑥. Suponiendo que todas las tabletas fabricadas se venden, ¿cuál es el número que

hay que producir para obtener el beneficio máximo? (2,5 puntos)

3.- Estudiar el sistema siguiente para los distintos valores del parámetro 𝑚 y resolverlo en los

casos en que sea posible

{

𝑥 + 𝑦 = 1𝑚𝑦 + 𝑧 = 0

𝑥 + (𝑚 + 1)𝑦 + 𝑚𝑧 = 𝑚 + 1 (2,5 puntos)

4.- Dados los puntos 𝐴(−1,0,3), 𝐵(2,4,1) 𝑦 𝐶(−4,3,1):

a) Estudiar si los puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 están alineados. (1,25 puntos)

b) Hallar la ecuación de la recta paralela al segmento 𝐴𝐵 y que pasa por 𝐶. Expresarla

como intersección de dos planos. (1,25 puntos)










Opción B

1.- a) Calcular lim𝑥→0

1−cos (𝑥)

𝑥2 (0,75 puntos)

b) Calcular lim𝑥→0

1−√1−𝑥2

𝑥 (0,75 puntos)

d) Calcular el valor de 𝑚 de tal forma que lim𝑥→+∞

(1−𝑚𝑥)(2𝑥+3)

𝑥2+4= 6 (1 punto)

2.- Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑔(𝑥) = cos (𝑥) , se pide:

a) Calcular el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) y

las rectas 𝑥 =𝜋

4 y 𝑥 = 𝜋. (1,25 puntos)

b) Calcular el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) y

las rectas 𝑥 =𝜋

4 y 𝑥 = 2𝜋. (1,25 puntos)

3.- Sean las matrices 𝐴 = (

3

21 0

21

25

) y 𝐵 = (3 4 22 1 8

) . Hallar las matrices 𝑋 e 𝑌 de

dimensiones 2x3 tales que verifican el sistema matricial

{3𝑋 + 𝑌 = 𝐴4𝑋 + 2𝑌 = 𝐵

(2,5 puntos)

4.- Determinar el valor de 𝑎 para que la recta 𝑟 de ecuación 𝑟 ≡ {𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

sea

paralela al plano 𝛽 ≡ 𝑥 − 𝑎𝑦 + 10𝑧 = −3. (2,5 puntos)










Opción A

1.- Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2+𝑎𝑥+𝑏

a) Calcular 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓(𝑥) tenga un extremo en el punto (1,1). (1,5 puntos)

b) Calcular los extremos de la función 𝑓(𝑥) cuando 𝑎 = 0 y 𝑏 = 0. (1 punto)

2.- Calcular las integrales indefinidas siguientes:

a) ∫5 𝑑𝑥

(3𝑥−1)2 (0,75 puntos)

b) ∫𝑥+4

√1−𝑥2𝑑𝑥 (1 punto)

c) ∫(𝑥+1)3

2𝑥𝑑𝑥 (0,75 puntos)

3.- Estudiar, para los distintos valores del parámetro 𝑚 , el siguiente sistema de ecuaciones.

Resolverlo cuando 𝑚 = 3.

{

𝑚𝑥 − 𝑦 + 13𝑧 = 0𝑥 + 𝑦 + 7𝑧 = 02𝑥 − 𝑚𝑦 + 4𝑧 = 0

(2,5 puntos)

4.- Sea 𝑃 el punto de coordenadas 𝑃(1,0,1) y 𝑟 la recta de ecuación 𝑟 ≡ {𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0𝑥 − 2𝑧 = 1

.

a) Hallar la ecuación en forma continua de una recta que pase por el punto 𝑃 y sea

paralela a la recta 𝑟 . (1,25 puntos)

b) Hallar la ecuación general de un plano que pase por el punto 𝑃 y contenga a la recta 𝑟 .

(1,25 puntos)










Opción B

1.- En la figura siguiente se muestran la parábola de ecuación 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 y la recta 𝑟 que

pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵 de la parábola de abscisas respectivas −1 y 2. Hallar la ecuación de

una recta 𝑠 tangente a la parábola 𝑓(𝑥) y paralela a 𝑟. (2,5 puntos)

2.- Calcular el área de la región plana limitada por la curva 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) y la recta de

ecuación 𝑦 = 0. (2,5 puntos)

3.- Determinar los valores de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para los que tiene inversa la matriz

𝐴 = ( 𝑎+𝑏 4𝑏 𝑎 𝑎+𝑏

). (1,5 puntos)

Calcular la matriz 𝐴−1 cuando 𝑎 = 3 y 𝑏 = 1. (1 punto)

4.- Determinar la posición relativa de los siguientes planos:

𝛽1 ≡ {

𝑥 = −1 + 3𝜆 − 2𝜇𝑦 = 4 + 𝜆 𝑧 = −2 + 2𝜆 − 5𝜇

, 𝛽2 ≡ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 , 𝛽3 ≡ |𝑥 − 2 1 2𝑦 + 1 2 3

𝑧 1 1| = 0 (2,5 puntos)

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDADMATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA


MATERIA: MATEMÁTICAS II

• Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Simezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen.

• En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se calificatodo.

• La duración del examen será de 90 minutos.• No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.

Opción A1. Determinar los valores de a y de b para que la función:

f (x) =

{eax x ≤ 0

2a+ bsen x 0 < x

sea derivable. (2,5 puntos)

2. Resolver las siguientes integrales :

(a)ˆ

5x+√3x

x2dx (1,25 puntos) (b)

ˆ π

0

6sen x

5− 3cos xdx (1,25 puntos)

3. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:x+ y + (m+ 1) z = 2

x+ (m− 1) y + 2z = 1

2x+my + z = −1

a) Discutirlo según los valores de m. (1,5 puntos)b) Resolverlo para m = 2. (1 punto)

4. Dados la recta r :{x− 2y + z = 0

−x+ 2y + z = 2y el punto P (1, 0, 1) exterior a r,

a) Hallar la ecuación en forma general del plano π que contiene a r y P . (1,25 puntos)b) Hallar la ecuación (como intersección de dos planos) de la recta s que pasa por P y es paralela a

la recta r. (1,25 puntos)

1







Opción B1. (a) Determinar los valores de a, b y c sabiendo que la función f (x) = x3+ ax2+ bx+ c tiene extremos

relativos en x = 1 y x = −3, y que corta a su función derivada en x = 0. Determinar asimismo lanaturaleza de los extremos. (1,25 puntos)

(b) Calcular el límite:limx→2

√x+ 2− 2√2x− 3− 1

(1,25 puntos)

2. La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices delrombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo. El perímetro del rectángulo es de 100metros. Calcular las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máxima.

(2,5 puntos)

3. Calcular las matrices A y B tales que: (2,5 puntos)

5A+ 3B =

(2 0−4 15

)3A+ 2B =

(1 −1−2 9

)4. Dada la recta:

r :

{x− 2y + z = 0

x− z = 0

y los puntos P (1,−2, 0) y Q (0, 1, 3)

a) Hallar la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a PQ. (1,25 puntos)b) Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a r que pasa por Q e intersecta a r. (1,25 puntos)

2







Opción A1. (a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función y =

√x2 + 1 en su punto extremo.(1 punto)

(b) Calcular limx→4

(x+26

) 1x−4 (0,75 puntos)

(c) Calcular limx→0

(x2−1x2

− 1x

)(0,75 puntos)

2. La siguiente gráfica corresponde a la función f (x) = x2 − 4x + 3 representada respecto a los ejescoordenados. Calcular el área de la parte sombreada. (2,5 puntos)

x

y

3. Dada la matriz:

A =

1 0 40 m 1−1 3 −m

a) Determinar los valores del parámetro m para los que la matriz A tiene inversa. (1,5 puntos)b) Calcular la inversa de la matriz A para m = 2 (1 punto)

4. Dados el punto P (2, 2,−2) y la recta:

r :

{2x+ y + z = −2

x+ 3y + z = 0

a) Hallar la ecuación del plano π1 que contiene a r y pasa por P . (1,25 puntos)b) Hallar la ecuación del plano π2 que contiene a P y es perpendicular a r. (1,25 puntos)

1







Opción B

1. Dada la función

f (x) =

(x+ a)2 x ≤ −1bx√x+2

x > −1

Hallar valores de a y de b para que f (x) sea derivable en todo R. (2,5 puntos)

2. Entre todos los rectángulos de área 8 m2 hallar las dimensiones del que minimiza el producto de lasdiagonales. (2,5 puntos)

3. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:y + z = 1

(m− 1)x+ y + z = m

x+ (m− 1) y − z = 0

a) Discutirlo según los valores de m. (1,5 puntos)b) Resolverlo para m = 2 (1 punto)

4. Dadas las rectas:

r :x

5=

y + 1

3=

z

4s :

x = 2 + 3λ

y = 2

z = −1

a) Determinar la ecuación general del plano paralelo a las rectas r y s y que pasa por el origen decoordenadas. (1,5 puntos)

b) Hallar el ángulo que forman r y s. (1 punto)

2

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Materia de Modalidad: Fase General y Específica

CURSO 2011 - 2012 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II

EXAMEN 1 (opción Aopción Aopción Aopción A)

________________________________________________________________________________________

1.1.1.1. Dada la función

≤−+<<⋅+

≤++=

xsibx

xsixax

xsixsenx

xf

ππ

,2

0,cos2

0,23

)(3

3

22

a) Hallar valores de a y b para que )(xf sea continua en todo R (explicar). (1 punto)

b) Estudiar derivabilidad en todo R de la función )(xf , con los valores de a y b obtenidos anteriormente. (1'5 puntos)

________________________________________________________________________________________

2.2.2.2. Calcular:

a) ∫

+−⋅ dxx

xx 233 2

35 (0'75 puntos) b) ( )∫ +−dx

x 932

52 (1'25 puntos)

c) ∫2

6

cotπ

πdxx (0'5 puntos)

________________________________________________________________________________________

3.3.3.3. Calcular la matriz X tal que CBAX 23 =+⋅ , siendo:

−−=

42

31A ;

−=

14

32B ;

−−

=23

41C

(detallar todos los cálculos realizados).

(2'5 puntos)

________________________________________________________________________________________

4.4.4.4. Dadas las rectas secantes:

+−=−=+−=

λλλ

32

43

1

:1

z

y

x

r ( R∈λ ) y

=++−=+−

05

25:2 zyx

zyxr

obtener las ecuaciones en forma continua y en forma paramétrica de la recta s que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas y es perpendicular a ambas, explicando el procedimiento utilizado.

(2'5 puntos)

________________________________________________________________________________________

- Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. - La duración del examen será de 90 minutos y todas las preguntas valen 2'5 puntos.



EXAMEN 1 (opción opción opción opción BBBB)

________________________________________________________________________________________

1.1.1.1.

a) Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones, justificando en cada caso si la función es

creciente o decreciente en el punto indicado:

i) ( ) ( )xtagxsenarcxf 32)( −= , en 0=x .

(1'5 puntos)

ii) ( )xexg x πcos)( 42

+= − , en 2=x .

b) Calcular el siguiente límite, explicando cómo lo hace: ( )( )1ln

cos1lim

30 +−⋅

→ x

xxsenx

(1 punto)

________________________________________________________________________________________

2.2.2.2. Obtener razonadamente dos números positivos, de forma que se cumplan los siguientes requisitos:

i) La suma de ambos debe ser 60.

ii) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro resulte de valor máximo.

(2'5 puntos)

________________________________________________________________________________________

3.3.3.3. Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los distintos valores del parámetro m :

=+=++−

=+

122

2

13

zx

mzmyx

mzx

(2'5 puntos)

_______________________________________________________________________________________

4.4.4.4. Dada la recta

+=−=+−=

λλ

λ

22

5

31

:

z

y

x

r ( R∈λ ) y dado el punto P (2 , -2 , 3) exterior a r ,

a) Hallar la ecuación en forma general del plano π que los contiene, explicando el procedimiento utilizado. (1'5 puntos)

b) Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la

recta s que pasa por P y es perpendicular al plano π , explicando el procedimiento utilizado. (1 punto)

________________________________________________________________________________________

- Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo.- La duración del examen será de 90 minutos y todas las preguntas valen 2'5 puntos.


CURSO 2011 - 2012 CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATERIA: MATEMÁTICAS II

EXAMEN 3 (opción opción opción opción AAAA)

________________________________________________________________________________________

1.1.1.1. Dada la función 432

)(2

2

−+=

x

xxf

a) Obtener su dominio y los cortes de su gráfica con los ejes de coordenadas (explicar). (0'5 puntos)

b) Hallar las asíntotas horizontales y verticales de su gráfica, justificándolas. (1 punto)

c) Determinar intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento y extremos relativos de esta función.

Justificar los resultados obtenidos. (1 punto)

________________________________________________________________________________________

2.2.2.2. La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un cierto proceso de 6 horas de

duración, viene dada en función del tiempo t transcurrido en ese proceso por la expresión

106

15520

2 +−−+=tt

tT (con 60 ≤≤ t )

Determinar en qué momento del proceso la pieza alcanza su temperatura máxima y en qué momento alcanza

su temperatura mínima. Justificar las respuestas.

(2'5 puntos)

________________________________________________________________________________________

3.3.3.3. Resolver la ecuación matricial BCXA 32 =+⋅ , siendo:

−−=

42

13A ;

−−

=22

13B ;

−=

33

41C

(detallar todos los cálculos realizados)

(2'5 puntos)

________________________________________________________________________________________

4.4.4.4. Estudiar la posición relativa de las rectas 52

3

3

2:

zyxr =

−+=−

y

=+−=+−52

024:

zyx

zyxs

(explicar el procedimiento utilizado).

(2'5 puntos)

________________________________________________________________________________________



CURSO 2011 - 2012 CONVOCATORIA:SEPTIEMBRE

EXAMEN 3 (opción opción opción opción BBBB)

________________________________________________________________________________________

1.1.1.1.

a) Dada la función ( )xxf 3cos)( 2= , hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a su gráfica en el

punto de abscisa 12/π=x (explicar). (1 punto)

b) Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función 51232)( 23 +−−= xxxxg . Justificar los

resultados obtenidos. (1'5 puntos)

________________________________________________________________________________________

2.2.2.2. Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función xxxy 86 23 +−= y el eje OX, haciendo un

dibujo aproximado y explicando.

(2'5 puntos)

________________________________________________________________________________________

3.3.3.3. Discutir la compatibilidad del sistema siguiente en función de los distintos valores del parámetro m :

=+−=+−−=−+

43

22

12

mzyx

mzyx

zyx

(2'5 puntos)

________________________________________________________________________________________

4.4.4.4. Dado el plano

−+−=+=

−+−=

µλλ

µλπ

522

4

231

:

z

y

x

( R∈λ ) ( R∈µ ) y dado el punto P (0 , 3 , -1) exterior a π ,

obtener las ecuaciones en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta

r que pasa por P y es perpendicular al plano π , explicando el procedimiento utilizado.

(2'5 puntos)

________________________________________________________________________________________




Examen 3 Opción A

1.- Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista

≥<<+

≤+=

− 1,

10,1

0,1

)(1

3

2

2

xsie

xsix

xsixsen

xfx

(2’5 p.)

2.- Calcular las siguientes integrales:

a) ∫ ⋅ dxxx ln (1 p.) b) ∫ +2

0 2 43

dxx

(1’5 p.)

3.- Dadas las matrices

−−

=012

113

101

A y

−

−=

122

310

112

B

a) Resolver el sistema

=+=−

BYX

AYX

43

32 (1’5 p.)

b) Calcular el rango de BAM ⋅= (1 p.)

4.- Dados la recta 2

113

2:

−=−

=− zyxr y el punto P(1 , 2 , 3)

a) Hallar ecuación en forma general del plano que los contiene. (1 p.) b) Hallar ecuaciones, en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, correspondientes a la recta que pasa por P y es perpendicular al plano anterior. (1’5 p.)

- Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. - La duración del examen será de 90 minutos.



Examen 3 Opción BOpción BOpción BOpción B

1.- Indicar, para una función )(xf , sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los valores de x que

corresponden a sus máximos y mínimos relativos, así como sus intervalos de concavidad y de convexidad,

sabiendo que su función derivada tiene la siguiente gráfica: (a = -1’33 y b = 3’33)

(2’5 p.)

2.- Dadas las funciones xxy 42 +−= e xxy 22 2 −=

a) Representar la región que determinan sus gráficas. (1’5 p.)

b) Calcular el área de dicha región. (1 p.)

3.- Dado el sistema

−=+−=+

=+−

1

123

13

zyx

yx

azyax

a) Estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a . (1’75 p.)

b) Resolverlo cuando sea compatible. (0’75 p.)

4.- Dadas las rectas secantes 1

12

512

:−=−=

−− zyx

r y ( ) ( ) ( )2,6,10,1,1,,: −+−= λzyxs

a) Calcular su punto de intersección. (1’75 p.)

b) Hallar ecuación del plano que las contiene. (0’75 p.)




Examen 1 Opción A

1.- Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista

( )

≥−

<<+++

≤⋅+

=

−

2,2

20,1ln3

1

0,31

2

)(

2

2

xsixx

xsixx

xsiexsen

xf

x

(2’5 p.)

2.- Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el origen de coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY y otro sobre la recta de ecuación

1234 =+ yx . (2’5 p.)

3.- Dado el sistema

=−+=−+−=−

523

1352

33

zyx

zayx

ayx

a) Estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a . (1’75 p.) b) Resolverlo para 9=a . (0’75 p.)

4.- Dados los puntos A(-1 , 2 , 0) y B(2 , 1 , -1) a) Determinar si el punto C(5 , 0 , -2) está alineado con los anteriores, explicando el motivo (hacer un dibujo esquemático de la situación). (0’75 p.) b) Hallar las ecuaciones de la recta que contiene a los puntos A y B, en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos. (1’25 p.) c) Hallar ecuación en forma general del plano que pasa por B y es perpendicular a la recta AB. (0’5 p.)


Opción B

1.- Representar la gráfica de una función )(xf que tenga las siguientes propiedades: a) Es continua en todos los reales salvo -4 y 0. b) Tiene asíntotas verticales 4−=x y 0=x . c) Para +∞→x , se cumple 0)( →xf . d) Corta al eje OX solamente en un punto, que es de inflexión. e) Su función derivada es negativa en ( )6, −∞− y en ( )0,4− , siendo positiva en ( )4,6 −− y en

( )+∞,0 . (2’5 p.) 2.- Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de 2 metros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima? (2’5 p.) 3.- Dadas las matrices

−−

=031

112

101

A

−−

=701

223

512

B

−−=

310

413

102

C

a) Calcular la inversa de A paso a paso. (1’5 p.) b) Resolver la ecuación CBXA +=⋅ (1 p.)

4.- Dados la recta

=−+=+−

12

032:

zyx

zyxr y el punto P(-1 , 2 , 3)

Hallar ecuación en forma general del plano que los contiene. (2’5 p.)

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD


Examen 3

Opción A

1.- Representar la gráfica de una función )(xf que cumpla las siguientes propiedades:

a) Tiene dos asíntotas verticales, x = -1 y x = 3.

b) Para ±∞→x , se cumple ( ) 2f x → .

c) ( 3) (0) (2) (5) 0f f f f− = = = = .

d) Es decreciente en ( , 1) ( 1,1)−∞ − ∪ − y es creciente en (1,3) (3, )∪ +∞ .

e) (1) 1f = − .

(2’5 p.)

2.- Dadas las funciones 2( ) 4f x x= − y ( ) 3g x x= ,

a) Representar el recinto limitado por sus gráficas, indicando vértice y puntos de

corte con los ejes. (1’25 p.)

b) Calcular el área de dicho recinto. (1’25 p.)

3.- a) Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro m

−=+−=+

=+−

22

142

3

zyx

zx

mzymx

(1’5 p)

b) Resolverlo para m = 0. (1 p.)

4.- Obtener la ecuación en forma general del plano que pasa por el punto (0, 3, 2) y es

paralelo a las dos rectas siguientes:

12

3

1:1 +=+=

−z

yxr 2

5:

2 3 0

x zr

x y z

− = + − =

(2’5 p.)

• Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción


• En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para


• La duración del examen será de 90 minutos.

• No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.



Opción B

1.- Dada la función

≥+

<+=

0,cos

0,

)(

2

xsiaxb

xsixae

xf

bx

determinar valores de a y de b para que resulte derivable en toda la recta real. (2’5 p.)

2.- Determinar dos números positivos cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno

por el cubo del otro sea máximo. (2’5 p.)

3.- Resolver la ecuación matricial BAXA +=⋅ , explicando las operaciones

efectuadas, siendo:

−−

−=

111

012

201

A y

−

−=

011

131

202

B (2’5 p.)

4.- Estudiar la posición relativa de los planos:

2510 =+− zyx ; 634 =−+ zyx ; 2323 =−+− zyx . (2’5 p.)

• Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción


• En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para




PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD


Examen 1

opción A

1.- Determinar una función de la forma 3 2( )f x x ax bx c= + + + que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2 y para la cual el punto P(1,2) sea un punto de inflexión. (2’5 p.)

2.- Dada la función ( ) cos2

f x xπ = +

:

a) Hacer una representación aproximada de la gráfica de la función f(x) entre x=0 y x=2π . (1’25 p.)

b) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x=0 y x= 2π . (1’25 p.)

3.- Dadas las matrices 1 2

0 1 1

kA

= −

y

0

1 1

3 2

k

B

=

= se pide:

a) Determinar para qué valores de k la matriz A B⋅ tiene inversa. (1 p.)

b) Resolver la ecuación 3A B X I⋅ ⋅ = para k = 0, donde 1 0

0 1I

=

(1’5 p.)

4.- Dada la recta 3 3

:2 2

x yr

x z

+ = + =

y el plano : 3 2 0x y zπ − − = .

a) Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas. (1’5 p.) b) Determinar el ángulo que forman recta y plano. (1 p.)

• Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. • La duración del examen será de 90 minutos. • No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD


opción B

1.- Dada la función 21

)(x

xxf

−=

a) Hallar el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la pendiente de la recta tangente a la curva sea igual a 1. (1’5 p.)

b) Hallar las asíntotas de la función dada. (1 p.) 2.- Dadas las funciones xxxf 6)( 2 −= y 22)( xxxg −=

a) Representar el recinto delimitado por sus gráficas, indicando vértices y puntos de corte con los ejes. (1’25 p.)

b) Calcular el área de dicho recinto. (1’25 p.) 3.- Dado el sistema:

2 1

2 3

5 5 2

x y z

x y z

x y z m

+ − = − + = − + =

a) Discutirlo según los valores de m. (1’5 p.) b) Resolverlo para m =10. (1 p.)

4.- Dadas las rectas 23

1

2

1:

−=+=− zyx

r y

24

35

:33

x t

s y t

z t

= − − = +

=

a) Estudiar la posición relativa de ambas rectas. (1’75 p.) b) Hallar una recta que pasa por el origen de coordenadas y sea perpendicular a r y s. (0’75 p.)




Examen 2

Opción A

1.- Dada la función cbxaxxf ++= 2)( , determinar los valores de a , b y c para que se cumplan las siguientes condiciones: i) Que la gráfica de )(xf pase por el punto (0, 4). ii) Que la recta 74 +−= xy sea tangente a la gráfica de )(xf en el punto de abscisa 1=x . (2’5 p.)

2.- Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar operarios y comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra “y” máquinas y contrata “x” operarios, el número de unidades de producto que puede fabricar viene dado por la función: 2105P x y= ⋅ ⋅ . Cada máquina le supone una inversión de 2000 € y cada contrato de un operario le cuesta 1600 €. Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 12000 € para este fin, determina el número de operarios que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción. (2’5 p.)

3.- Resolver la ecuación A·X = Bt + 2I, siendo: 3 1 2 1 1 0

;4 3 4 2 0 1

A B e I− −

= = = − −

(2’5 p.)

4.- Dadas las siguientes rectas: : ( , , ) ( 8, 4,5) ( 2,1, 2)r x y z λ= − − + − −

a) Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas. (1’5 p.) b) Hallar la ecuación de la recta paralela a s que pasa por el punto (1, 0, -1). (1 p.)

4 3 8:

4 5 60

y xs

z x

− = − =




Opción B 1.- Hallar valores de m para que la función

>−≤⋅

= − 0,1

0,)(

2

xsie

xsixsenmxf

mx

sea derivable en toda la recta real. (2’5 p.) 2.- Calcular:

a) ∫ +⋅2

0

2 12 dxxx (0’75 p.) b) ∫ −+

dxxx

x

2

32

2

(1’75 p.)

3.- Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema, y en caso posible resolverlo:

=−−−=+

=+−

8743

23

123

zyx

zx

zyx

(2’5 p.)

4.- Dada la recta 3

: 12 3

x yr z

− = = + y los puntos A (1 , 1 , 0) y B (2 , 0 , -3)

a) Hallar la ecuación general del plano que contiene a la recta r y al punto A. (1’25 p.) b) Hallar el ángulo formado por la recta r y la recta que pasa por los puntos A y B. (1’25 p.)


1

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E.

CURSO 2008 - 2009 CONVOCATORIA: JUNIO MATERIA: MATEMÁTICAS II

EXAMEN Nº 1

BLOQUE 1 (Elegir SÓLO UNA opción; en caso contrario se podrá anular el bloque)

1A. Obtener razonadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y

mínimos de la función 3 23( ) 6 5

2f x x x x= + − + . (2.5 puntos)

1B. Hallar el valor que ha de tener m para que la función

−>+

+

−≤+−=

1)2(

23

1)2(6)(

2

xsixm

xsixmxf

sea derivable en 1−=x . (2.5 puntos)


2A. Se desea vallar una parcela rectangular aprovechando una pared recta como uno de los lados de la misma. Si se dispone de una valla de 120 metros de longitud para marcar los otros tres lados, determinar las dimensiones de la parcela para que su área sea máxima. (2.5 puntos)

2B. Representar las regiones limitadas por la curva 862 −+−= xxy , la recta x = 1 y el eje OX, calculando el área total de dichas regiones. (2.5 puntos)

• Se debe responder a una pregunta de cada bloque. • Elegir UNA y SÓLO UNA opción (A o B) en cada bloque. Si se resuelven las dos opciones de un mismo

bloque el tribunal podrá ANULAR EL BLOQUE. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se

califica todo. • La duración del examen será de 90 minutos. • No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.

2


3A. Dado el sistema

2 3 1

0

3 3

x y az

x z

x y z a

− + = + = + − =

, hallar el valor del parámetro a para que sea incompatible.

¿Por qué lo es? (2.5 puntos)

3B. Dadas las matrices

−−−−=011

257

032

A ,

−=

12

30

21

B y

−−

=043

120C , calcular el

determinante de tACB 2−⋅ (2.5 puntos)


4A. Dado el punto P(5, 0, -1) exterior a la recta : 4

2

x

r y

z

λ

λ

= − = − = +

( R∈λ ) , hallar el plano que contenga a

r y pase por P. (2.5 puntos)

4B. Estudiar la posición relativa de los 3 planos:

1 : 2 3 2x y zπ − + = , 2 :3 2 7x y zπ − − = y 3 : 2 5x y zπ + − =

En caso de que se corten en un punto, hallar éste. Y en caso de que se corten en una recta, determinarla.

(2.5 puntos)

1


CURSO 2008 - 2009 CONVOCATORIA: Septiembre MATERIA: MATEMÁTICAS II

EXAMEN Nº 2


1A. Obtener los puntos de la curva y = x3 – 3x2 + 15 donde la recta tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0 ,-12) y (1 , 12). (2.5 puntos)

1B. Obtener dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como máximos y mínimos de la

función 2

2

8

4

xy

x

+=−

. (2.5 puntos)


2A. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4 – x2 , la recta 1628 =+ yx y la recta 84 += xy . (2.5 puntos)

2B. Calcular las siguientes integrales:

i) 2 1

dx

x −∫ (1.25 puntos)

ii) ∫ ⋅ dxex x32 (1.25 puntos)


bloque el tribunal podrá ANULAR EL BLOQUE. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se

califica todo. • La duración del examen será de 90 minutos. • No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.

2


3A. Dadas las matrices

=

21

02M y

−=

13

10N ,

i) Hallar las matrices A y B que verifican el sistema:

=−=+

NBA

MBA

3

2 (1.5 puntos)

ii) Calcular tNM ⋅−1 (1 punto)

3B. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k :

=++=++=++

4

53

4

zyxk

zyx

zykx

(2.5 puntos)


4A. Calcular ecuación del plano que contiene a la recta 1

:2

y xr

z

= + =

y es paralelo a la recta

1 2

: 2

x

s y

z

λ

λ

= − = − =

)( R∈λ (2.5 puntos)

4B. Dado el plano : 3 2 5x y zπ − + = y la recta 1

: 32 2

x yr z

−= = +−

, hallar su posición relativa.

Si se cortan en un punto, hallar sus coordenadas. Y si son paralelos, hallar el plano que contenga a r sea paralelo a π . (2.5 puntos)

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

L.O.G.S.E.

CURSO 2007 - 2008 CONVOCATORIA: MATERIA:

EXAMEN Nº 1

BLOQUE 1 (Elegir SÓLO UNA opción, en caso contrario se podrá anular el bloque)

1A. Para la función dada por: 2 1( )· 1

( )( 1) 1

xx x e si xf x

sen x si xα β γ − +⎧ + + >

= ⎨− ≤⎩

Encontrar los valores α, β y γ que hacen que f(x) sea continua, y admita primera y segunda derivada en el punto x = 1. (2.5 puntos)

1B. Dada la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determinar los valores a, b, c y d para que se cumplan las siguientes condiciones: 1º) Que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (0,2) sea paralela a la recta y+1=0, y 2º) Que la recta x– y –2 =0 sea tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (2.5 puntos)


2A. Calcular el valor de a para que la región plana encerrada entre la parábola y = x2 y la recta y = a sea el doble del área de la región limitada por dicha parábola y la recta y = 1. (2.5 puntos)

2B. Considérese el recinto limitado por la curva y = x2 y la recta y = 3:


bloque el tribunal podrá ANULAR EL BLOQUE. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Este

hecho forma parte de la calificación. • La duración del examen será de 90 minutos. • No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.

De entre los rectángulos situados como el de la figura anterior, determinar el que tiene área máxima. (2.5 puntos)

0 x

3

(-x, y) (x, y)

y


3A. Estudiar el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro α y resolverlo en los casos que sea posible:

6 2 2 6

25 3 5

x y zx y z

x y zα α

α

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

(2.5 puntos)

3B. Dadas las matrices 1 1 2

0 1A

k−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 0 11 0

2B

k

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

se pide:

i) Razonar para qué valores de k la matriz BtAt tiene inversa. (1.5 puntos) ii) Resolver la ecuación (AB)t X = I, para k = 0, siendo I la matriz identidad. (1 punto)


4A. Dadas las rectas r ≡ ⎩⎨⎧

−==+−

102

zyx

y s ≡ ⎩⎨⎧

=−−=

052

zyx

i) Determinar su posición relativa. (1.5 puntos) ii) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. (1 punto)

4B. Se consideran la recta 22 23 3

x tr y t

z t

= +⎧⎪≡ = +⎨⎪ = +⎩

, el plano 2 4 2 0x y zπ ≡ − − = y el punto P(1, 1, 1). Se

pide:

i) Determinar la ecuación del plano π1 que pasa por el punto P y es paralelo al plano π. (1.25 puntos)

ii) Determinar la ecuación general del plano π2 que contiene a la recta r y pasa por el punto P. (1.25 puntos)


CURSO 2007 - 2008 CONVOCATORIA: MATERIA:

EXAMEN Nº 3


1A. Dada la función 22( ) 1 xf x x e−= − ⋅ , se pide:

i) Hallar las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. (1.5 puntos) ii) Calcula, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal. (1 punto)

1B. Hallar los valores de a, b y c de forma que la función f(x) sea continua en el intervalo [-2, 3], derivable en el intervalo (-2, 3) y, tal que, f(-2) = f(3):

2 2 0

( )1 0 3

ax bx xf x

c x x

+ − ≤ <= + + ≤ ≤

(2.5 puntos)


2A. Determina el valor de a, siendo a>0, para que el área de la región limitada por la curva y = x2 y la recta y = ax sea igual a

9

2. (2.5 puntos)

2B. Calcular las siguientes integrales: i) (2 1) ( )x Ln x dx−∫ . (1.25 puntos)

ii) 2

1

1 4

xdx

x

−+∫

. (1.25 puntos)

• Se debe responder a una pregunta de cada bloque.

• Elegir UNA y SÓLO UNA opción (A o B) en cada bloque. Si se resuelven las dos opciones de un mismo bloque el tribunal podrá ANULAR EL BLOQUE.

• En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Este

hecho forma parte de la calificación.




3A. Dada las matrices 2 1

1 2A

=

y la identidad de orden 2, I:

i) ¿Para qué valores de m∈ℝ la matriz A-mI no admite inversa?. (1.25 puntos)

ii) Describir las matrices X de orden 2x2 que cumplen: (A-3I)X = 0. (1.25 puntos)

3B. Se sabe que 1 1 1

2 2 2

3 3 3

3

a b c

a b c

a b c

= − , calcula:

i)1 1 1

2 2 2

3 3 3

3 3 15

5

5

a b c

a b c

a b c

; (0.75 puntos) ii) |(-1/3)A|; (0.75 puntos) iii) 1 1 1

2 3 2 3 2 3

3 3 3

a b c

a a b b c c

a b c

− − − ; (1 punto)


4A. Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano

6 0x y zπ ≡ + − + = con la recta 3 6 0

3 3 0

x yr

x z

− + =≡ − + + =

y es paralela a la recta 2

3 1

x ys z

−≡ = =−

. (2.5 puntos)

4B. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P(-1, 0, 2) y contiene a la recta

12

2 3

x ys z

−≡ = = +−

. (2.5 puntos)


CURSO 2006 - 2007 CONVOCATORIA: JUNIO MATERIA: MATEMÁTICAS II

OPCIÓN A:

1. Hallar una función polinómica de tercer grado tal que tenga un extremo relativo en (1,1) y un punto de inflexión en (0,3). ¿Es (1,1) el único extremo de la función? Determinar los máximos y mínimos relativos de f. (2.5 puntos)

2. Hallar el área de la región acotada comprendida entre las gráficas de las funciones y = 4

12 +x

, y = 16x

y el eje OY.

(2.5 puntos)

3. Conocido que

1111005cba

= 1, calcula el valor del siguiente determinante

111201555

−

− cba. (2.5 puntos)

4. Dada la recta r ≡

=−−−=

011

zyx

y el plano π ≡ x+y-2=0

a) Determinar su posición relativa. (1 punto) b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. (1.5 puntos)

• Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Este hecho forma parte de la calificación. • La duración del examen será de 90 minutos. • No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.

OPCIÓN B: 1. Dada la función f(x)= x 2 -2x+2

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3. (1.5 puntos) b) Calcula el área del recinto acotado limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado a) y el eje

OY. (1 punto)

2. Determinar el dominio, recorrido, puntos de cortes con lo ejes coordenados, asíntotas, máximos y mínimos relativos,

puntos de inflexión e intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad (concavidad hacia arriba y hacia abajo) de la siguiente función (2.5 puntos)

3. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k

=+=+=−=−+

120503

2

zxkyxkyxzkykx

(2.5 puntos)

4. a) Determinar si los puntos A (-1,0,3) , B (2,4,1) y C (-4,3,1) están alineados. (1 punto) b) Expresar en dos formas diferentes la ecuación de la recta que pasa por A y B. (1.5 puntos)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

3 2 1 -1 -2



OPCIÓN A:

1. Se sabe que la gráfica de la función f(x)=x3+ax2+bx+c es la que aparece en el dibujo.

a) Determina la función. (1.5 puntos) b) Calcula el área de la región sombreada. (1 punto)

2. Dada la función f(x)= xe

xx 32 2 −

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f. (1.5 puntos) b) Calcula los máximos y mínimos relativos de f. (1punto)

3. Resolver la ecuación matricial B(2A+I)=AXA+B, siendo

A=

−10

11, B=

−− 11

21 e I=

10

01 (2.5 puntos)

4. Dadas las rectas r ≡

=+−=−−

03

02

zy

yx y s ≡

21

−−x

= y+1 = z-2

a) Determinar su posición relativa. (1 punto) b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. (1.5 puntos)

• Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Este hecho forma parte de la calificación. • La duración del examen será de 90 minutos. • No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.

OPCIÓN B:

1. Sabiendo que la función f(x) = 48

4323 −++−

xbxx

x es discontinua en x=2, calcula b y justifica razonadamente el

comportamiento de la función en la proximidad de los puntos de discontinuidad. (2.5 puntos)

2.

a) Calcular el valor de a para que la integral entre 0 y a de la función xxe sea igual a 1. (1.25 puntos)

b) Resolver la integral indefinida ∫ +++ 11 xx

dx (1.25 puntos)

3. Estudiar el siguiente sistema según los valores del parámetro a

048

0

0232

=++=+−

=++

zyx

zyax

zyxa

Resolverlo en todos los casos posibles (2.5 puntos)

4. Determinar la ecuación general (implícita) del plano paralelo a las rectas r ≡ x=y+1=z y s ≡

−==

+=

1

2

32

z

y

tx

y que pasa

por el origen de coordenadas. (2.5 puntos)



CRITERIOS DE CORRECIÓN

OPCIÓN A 1. a) • Planteamiento del sistema (0.75 ptos) • Resolución del sistema (0.5 ptos) • Si el alumno explica qué información, sobre la gráfica de f, usa para obtener el sistema (0.25 ptos) b) • Planteamiento de la integral (0.5 ptos) • Resolución de la integral (0.5 ptos) 2. a) • Cálculo de la derivada de f (0.5 ptos) • Estudio de signos de la derivada (0.5 ptos) • Intervalos de crecimiento y decrecimiento (0.25 ptos)

• Si el alumno explica que el crecimiento y decrecimiento están asociados al signo de la derivada y que en nuestro caso todo depende del signo del polinomio del numerador ya que ex es siempre positiva (0.25 ptos)

b) • Dar los extremos (0.75 ptos) • Justificación (0.25 ptos) 3. • Despejar X (0.75 ptos) • Calcular inversa de A (1 pto) • Calcular X (0.5 ptos) • Si el alumno comenta la operatoria efectuada y la condición de determinante no nulo para que A posea inversa (0.25 ptos) 4. a) • Planteamiento del sistema (0.25 ptos) • Estudio de rangos (0.5 ptos) • Justificación de lo hecho : relacionar el carácter del sistema con la posición relativa (0.25 ptos) b) • Calcular los vectores directores (0.25 ptos) • Calcular el ángulo (0.25 ptos) • Calcular el punto de corte (1 pto)

OPCIÓN B 1. • Calcular b (0.75 ptos) • Hallar las discontinuidades (0.75 ptos) • Estudio del comportamiento (0.75 ptos)

• Justificación: las únicas discontinuidades son las que anulan el denominador (0.25 ptos) 2. a) • Cálculo de la integral (0.75 ptos) • Cálculo del valor de a (0.25 ptos) • Justificar que la exponencial no se anula (0.25 ptos) b) • Efectuar el cambio de variable apropiado (0.75 ptos) • Operatoria y cálculo de primitiva (0.5 ptos) 3. • Estudio de rangos en función de a (1 pto) • Resolución del SCD (0.25 ptos) • Resolución para a=2 (0.5 ptos) • Resolución para a=-4 (0.5 ptos) • Comentar que el sistema es homogéneo y por tanto siempre es compatible (0.25 ptos) 4. • Determinar los vectores directores de r y s (0.75 ptos) • Ecuación vectorial del plano (0.75 ptos) • Ecuación general del plano (0.75 ptos)

• Justificar que los vectores directores de r y s están en el plano (0.25 ptos)

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. / L.O.C.E.

CURSO 2005- 2006 CONVOCATORIA:


Examen nº 3 Opción A 1. Sea la función real de variable real:

2 2(1 ) 2( ) 36 2

2

x si xf x

si xx

⎧ − ≤⎪= ⎨

>⎪ +⎩

a) Razonar si la función es continua en toda la recta real.

b) Razonar si la función es derivable en toda la recta real. 2. El consumo de un barco navegando a una velocidad de x nudos (millas/hora) viene

dada por la expresión x

xxC 45060

2

+=)( . Calcular la velocidad más económica y el

coste equivalente.

3. Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del parámetro m:

2 04 3 53 1

x y zx y zx y mz m

− + =⎧⎪ + − = −⎨⎪ − + = −⎩

4. a) Halla la ecuación del plano determinado por los puntos: A(1, 3, 2), B(2, 0, 1) y

C(1, 4, 3).

b) Estudia la posición relativa de la recta 3 1

22

xr y

z

λλλ

= −⎧⎪≡ = +⎨⎪ =⎩

con respecto al plano

anterior, hallando el punto de intersección en caso de que se corten.

Elija una de las dos opciones A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una u otra opción.

TIEMPO: 90 MINUTOS

Opción B

1. Calcular 3 2

2

2 13 2

x x x dxx x− + −− +∫

2. Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

2

2

1

( ) 1 1

1 11

bx ax si xaf x si xxx ax si x

x

⎧⎪ + ≤ −⎪⎪= − < ≤⎨⎪⎪ + +

>⎪ +⎩

3. Resolver la ecuación matricial AX+B =A2 y determinar la matriz X, siendo

0 1 1 1 1 11 0 0 ; 1 1 00 0 1 1 2 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A B

4. Estudiar la posición relativa de los siguientes planos según los valores del

parámetroλ :

.04;053;04 =−++=−++=−++ zyxzyxzyx λλ


CURSO 2005- 2006 CONVOCATORIA:


Examen nº 2 Opción A 1. Resolver:

3 2

23 3

x dxx x x− − +∫

2. La potencia f(x) en watios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su

resistencia (x) en ohmios viene dada por la expresión:

( )2

4( )12xf x

x=

+.

Hallar la potencia máxima y el correspondiente valor de x. 3. Resolver el siguiente sistema matricial:

4 82 3

7 11

10 15 2

8 18

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

A B

A B

4. Estudiar la posición relativa de las rectas r y s. En caso de que se corten en un punto hallar las coordenadas del mismo.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=−=−=

≡=+

=−−

≡18,

122

11

λλλ

zyx

szyxr


TIEMPO: 90 MINUTOS

Opción B

1. ¿Para qué valor de a la recta ax+y =Ln(3) es tangente a la curva f(x) = 21

xLnx+⎛ ⎞

⎜ ⎟+⎝ ⎠ en

el punto de abscisa x = 0? 2. Calcular:

( )1 2

05 xx e dx−+ ⋅∫

3. Hallar los valores de k para que la matriz

4 5 61 2 3

0 11

kkk kk k k

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

a) no tenga inversa. b) tenga rango 3.

4. Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto A(0,-1,0) y es paralelo a las rectas:

123

xr y

z

λλ

= −⎧⎪= = −⎨⎪ =⎩

y 2

13

xs y

z

λ

λ

= −⎧⎪= =⎨⎪ = − −⎩


CURSO 2004 – 2005 CONVOCATORIA

MATEMÁTICAS II

C

EXAM 1.- Hall

x= 1 2.- Una

temde tcomcuaddebe

3.- a) Pa

b) C 4.- a) C

se b) Hanterio


ada cuestión vale 2,5 puntos. En las cuestiones con apartados se señala la puntuación correspondiente. Se otorgará 0,25 puntos por presentación y expresión en cada cuestión.

TIEMPO: 90 MINUTOS

EN Nº 1 OPCIÓN A

ar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x3 – 4x2 + 5x – 2 y las rectas y = 0, y x = 3.

empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el a señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, ipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar o la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el rado del número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se n instalar en la empresa para maximizar la seguridad?.

ra qué valores del parámetro k admite inversa la matriz:

A = (1 punto) 1 2 01 1

0 1 2k

⎛ ⎞⎜−⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟

alcular A-1 en función de k. (1,25 puntos)

omprueba que las rectas:

( , , ) (1, 2, 1) (1,0, 1)( , , ) (0,3,1) ( 2,1,3)

r x y zs x y z

λµ

≡ = − +≡ = + −

−

cortan en un punto. (1 punto)

allar la ecuación general del plano que contiene a las rectas dadas en el apartado r. (1,25 puntos)

EXAMEN Nº 1 OPCIÓN B 1.- Representar una función que cumpla las condiciones:

i) Dominio (f ) = IR-{1} ii) Puntos de corte: P(0, 0) iii) Crecimiento: (-∞, 0] ∪ (2, +∞); Máximo en (0, 0) Decrecimiento: (0, 1) ∪ (1, 2] ; Mínimo en (2, 4) iv) Asíntota vertical: x = 1,

1lim ( )x

f x+→

= +∞ , 1

lim ( )x

f x−→

= −∞

Asíntota oblicua: y = x+1

2.- Calcular el área encerrada entre la curva y = ex y la cuerda de la misma que tiene por extremos los puntos de abscisas 0 y 1.

3.- a) Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro k :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++=++=++

36)2(223132

zykxzkyxzyx

(1,25 puntos)

b) Resolverlo para k = 0. (1 punto) 4.- a) Estudiar, según los valores del parámetro λ , la posición relativa de los planos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−=+−

034051002

zyxzyxzyx λλ

(1,25 puntos)

b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (0, 1, 2), (1, 0, 3) y (2, -1, 0). (1 punto)


CURSO 2004 – 2005 CRITERIOS DE CORRECCIÓN

MATEMÁTICAS II

EXAMEN 1 OPCIÓN A

Examen 1-Opción A- Cuestión 1 Apartado Puntuación

total Puntuación parcial

2,25

Plantea correctamente las integrales definidas que corresponden al área pedida: 1 punto. Cálculo de las primitivas: 0,5 Aplica correctamente la regla de Barrow: 0,75 puntos.

Presentación y expresión

0,25



2,25

Planteo correcto de las funciones objeto y auxiliar: 1 punto Cálculo de las abscisas de los extremos relativos: 1 punto Verificación de máximo o mínimo: 0,25


0,25



a) 1,00

Planteo de la condición: 0,25 Cálculo del determinante: 0,75

b)

1,25

Cálculo de la matriz inversa sin sustituir k por ningún valor apropiado: 1,25 (Cálculo de la matriz inversa sustituyendo k por un valor apropiado: 0,5)


0,25



a) 1,00

Cálculo de los parámetros correspondientes y el punto: 1 punto (Planteo correcto pero con fallos en cálculos numéricos: 0,5 puntos)

b)

1,25

Cálculo correcto de la ecuación del plano: 1,25 (Planteo de la ecuación pero con fallos numéricos en la resolución: 1 punto)


0,25

EXAMEN 1 OPCIÓN B

Examen 1-Opción B- Cuestión 1 Apartado Puntuación


2,25

Señala adecuadamente las asíntotas y traza la curva: 2,25 puntos (Representa sólo una rama de la curva: 1 punto)


0,25



2,25

Plantea correctamente la integral definida que corresponden al área pedida: 1,25 puntos Cálculo de la primitiva: 0,5 Aplica correctamente la regla de Barrow: 0,5 puntos


0,25



a) 1,25

Señala la matriz de las incógnitas y la ampliada: 0,25 puntos Calcula el rango según los valores de k: 0,5 puntos Concluye el tipo de sistema según valor de k: 0,5

b)

1,00

Expresa la solución correcta en función de k: 1 punto (Da una solución para un valor particular y apropiado de k: 0,25)


0,25



a)

1,25

Discusión relativa a solución no trivial en sistema homogéneo: 0,50 puntos Cálculo del valor del parámetro para solución no trivial: 0,25 puntos Determinación de las posiciones relativas según valores del parámetro: 0,50 puntos

b)

1,00

Planteo de la ecuación a calcular: 0,50 puntos Expresión correcta de la ecuación del plano en cualquier modalidad: 0,50 puntos


0,25


CURSO 2004-2005 CONVOCATORIA

MATEMÁTICAS II

C

EXAMEN 1.- a) Dete

( )f x L=

b) Obtepunto de

2.- Dada la

curvatur

3.- Calcular

4.- Dada la

por el pu


ada cuestión vale 2,5 puntos. En las cuestiones con apartados se señala la puntuación correspondiente. Se otorgará 0,25 puntos por presentación y expresión en cada cuestión.

TIEMPO: 90 MINUTOS

Nº 2 OPCIÓN A

rminar la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la función dada 11

xnx

+⎛⎜ −⎝ ⎠

⎞⎟ es paralela a la recta de ecuación 2x + 3y = 4. (1,25 puntos)

ner la ecuación de la recta tangente a la función dada en el apartado anterior en el abscisa x = 3. (1 punto)

gráfica de h’(x), deduce la monotonía y extremos relativos de h(x), así como la a y sus puntos de inflexión, explicando cómo lo haces.

h’(x)

-3 2 4 6 7 x

el vector X = xyz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

que verifica que AX – B = C, siendo:

A= 1 0 11 0 1

2 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

; B = 202

⎛ ⎞⎜⎜⎜ ⎟

⎟⎟

−⎝ ⎠

; C = 113

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

recta 1 12 3 1

x y zr − + −≡ = =

−2 , hallar la ecuación del plano que contiene a ésta y pasa

nto P(0, -2, 1).

EXAMEN Nº 2 OPCIÓN B

1.- Hallar la función f(x) tal que 2

1''( )f xx

= , f (1) = 0 y f(e) = -1.

2.- Dada la función f(x) = 2

21x −

, determinar razonadamente:

a) El Dominio. (0,25 puntos) b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas. (0,25 puntos) c) Las ecuaciones de sus asíntotas, si es que las tiene. (0,50 puntos) d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. (1 punto) e) Su representación gráfica. (0,25 puntos)

3.- Sabiendo que 0 21 2 7

1 2

zyx

− = , halla sin desarrollar el valor de:

3 23 1 23 1 2

z z zx x xy y y

++ +− +

explicando las propiedades de los determinantes que utilizas. 4.- Estudiar la posición relativa del plano 0125 =+−+≡ zyx λπ

y la recta según los valores del parámetro λ. ⎩⎨⎧

−=+−=−

≡12

12zyx

yxr


CURSO 2004-2005 CRITERIOS DE CORRECCIÓN

MATEMÁTICAS II

EXAMEN 2 OPCIÓN A



a) 1,25

Cálculo correcto de las abscisas: 1,25 puntos (Proporciona solo una abscisa: 0,75 puntos)

b)

1,00

Expresión correcta de la recta tangente en cualquier modalidad: 1,00 puntos (errores de cálculo o de expresión restan 0,5 puntos)


0,25



2,25

Justifica por el valor cero de la derivada que la existen extremos relativos y su tipo señalando las abscisas correspondientes: 0,75 puntos Justifica los intervalos de crecimiento o decrecimiento: 0,75 puntos Justifica la curvatura: 0,5 puntos Justifica la no inflexión: 0,25 puntos


0,25

Examen 2-Opción A- Cuestión 3

Apartado Puntuación total

Puntuación parcial

2,25

Planteo de las operaciones con matrices a realizar: 0,75 puntos Cálculo de la matriz inversa: 1,00 punto Operaciones realizadas para concluir: 0,5 puntos


0,25

Examen 2-Opción A- Cuestión 4


Puntuación parcial

2,25

Planteamiento del problema: 0,5 puntos Resolución (cálculos): 0,5 puntos Ecuación del plano (correcta) en cualquier modalidad: 1,25 puntos


0,25

EXAMEN 2 OPCIÓN B

Examen 2-Opción B - Cuestión 1 Apartado Puntuación


2,25

Cálculo de la primitiva general: 1,00 puntos Planteamiento del sistema: 0,25 puntos Resolución sistema y sustitución de los valores de las constantes en la primitiva general: 1,00 puntos


0,25

Examen 2-Opción B - Cuestión 2


Puntuación parcial

2,25

Expresión razonada del dominio: 0,25 puntos Puntos de corte ejes de coordenadas: 0,25 puntos Ecuaciones de las asíntotas: 0,5 puntos Intervalos de crecimiento, extremos relativos: 1,00 puntos Representación gráfica: 0,25 puntos


0,25

Examen 2-Opción B - Cuestión 3 Apartado Puntuación


2,25

Solución correcta explicando en cada paso las propiedades utilizadas: 2,25 puntos No explica las propiedades pero resuelve correctamente: 1,25 puntos


0,25

Examen 2-Opción B - Cuestión 4


Puntuación parcial

2,25

Planteamiento del problema: 0,5 puntos Cálculo de los rangos según valores del parámetro: 1,00 puntos Conclusión razonada de las posiciones relativas: 0,75 puntos


0,25


CURSO 2003- 2004 CONVOCATORIA: JUNIO


EXAMEN Nº 1 OPCIÓN A

1. Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea continua en todos sus puntos:

≤+

<≤−<+

=

xsibxa

xsiaxxsibax

xf

1

100

)(

2

2. a) Dibujar el recinto plano limitado por las funciones:

.3)(,5)( 2 +=+−= xxgxxxf b) Hallar su área.

3. Discutir y resolver según los valores del parámetro m:

222 0

1

x y z mx y

mx y z

− + =− + =− + =

4. a) ¿Están alineados los puntos A(1, 0, -1), B(-1, 1, 2) y C(3, 0, 1)? Justificar la respuesta.

b) En caso afirmativo determinar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos.

Elija una de las dos opciones A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una u otra opción. TIEMPO: 90 MINUTOS


1. Representa gráficamente una función que satisfaga las siguientes condiciones:

a) f(0)=0; f’(0)=0. b) Asíntota vertical la recta x = -3. c) Creciente en (-∞, -3) ∪ (-3, 0). d)

1lim ( )x

f x−→

= −∞

e) lim ( ) 0 ; lim ( ) 0x x

f x f x→+∞ →−∞

= =

f) Decreciente en (0,1) ∪ (1,+∞)

2. Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 50 m3 de volumen, que tenga superficie mínima.

3. a) Determinar para que valor de m tiene inversa la matriz:

−−10121

01m

m

b) Calcular la matriz inversa para ese valor de m.

4. Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A (0, -2, 4) y a la recta de ecuación:

223

21

−+

=−=+ zyx

x

y


CURSO 2003- 2004 CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE


EXAMEN Nº 3 OPCIÓN A

1. Discutir según los valores de m la continuidad y derivabilidad de la función:

23 1( ) 2 1

mx si xf x

si xmx

− ≤=

>

2. a) Dibujar los recintos limitados por la curva 2y x= , y las rectas: , 2.y x x= = b) Calcular las áreas de dichos recintos.

3. Discutir el sistema según los valores de k y resolverlo en el caso que sea compatible indeterminado:

2 0

3 5

kx zky z k

x y z

+ = − = + + =

4. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (2, -4, 0) y contiene a la recta:

4

3 2x y

rx z+ =

≡− + =−

Elija una de las dos opciones A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una u otra opción. TIEMPO: 90 MINUTOS


1. La siguiente gráfica corresponde a la función f’(x), derivada de la función f(x). Estudiar la monotonía, concavidad-convexidad, extremos relativos y puntos de inflexión de la función f(x) interpretando dicha gráfica.

2. Calcular 2

33 10x dx

x x+ −∫

3. Resolver el sistema matricial:

2X – Y = 2 31 5

− −

X + 2Y = 1 43 0

−

4. Dados los planos de ecuaciones:

2 152 7

8

ax zx y z

x y az a

− = + + = − + + = −

Determinar los valores de a para que los tres planos pasen por una recta. Justificar.

f’(x) 6

4 2

-2 -4 -6

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x


CURSO 2002-2003 - CONVOCATORIA: junio

MATEMÁTICAS II

Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una y otra opción. TIEMPO: 90 MINUTOS

EXAMEN Nº 2 OPCIÓN A 1. Se pide trazar razonadamente la gráfica de una cierta función sabiendo que tiene las siguientes propiedades:

)(xf

a) Está definida para todo valor de x excepto y . 4−=x 4=xb) Es decreciente cuando y creciente cuando . 0<x 0>xc) La gráfica pedida es simétrica respecto del eje vertical.

2. Calcular la primitiva siguiente: . ∫ + dxxLn )25( 2

3. En este ejercicio los números son todos distintos de cero. Justificar, sin efectuar su desarrollo, que el determinante siguiente vale 0:

uzyx ,,,

zyx

uuuxyxzyz

111

4. Se sospecha que el plano definido por el punto y los vectores u , v se corta en un punto con la recta cuyas ecuaciones en forma continua son:

)5,0,1( )1,1,3(= )2,3,1( −−=

52

107

32

−−

=−

=− zyx

Decidir razonadamente la cuestión.

EXAMEN Nº 2 OPCIÓN B 1. Calcular los valores de los parámetros y para que la función siguiente resulte continua en todos los puntos: a b

>+−≤≤−+−−<−

=2,

21,31,

)(3

2

xaxbxxbxa

xbxaxf

2. La gráfica que aparece en la figura representa la derivada de una cierta función : )(xg

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-10

-5

5

derivada

Describir a partir de ella los intervalos de concavidad y convexidad de , así como sus puntos de inflexión y máximos y mínimos.

)(xg

3. Discutir el sistema de ecuaciones lineales que v

iene a continuación según los valores del parámetro : p

53

02

=++=+=+

zyxppzx

pyx

Hallar para qué valor de p es compatible e indeterminado, y resolverlo en ese caso. 4. Hallar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto y contiene a la recta cuyas ecuaciones son:

)3,0,3(

331

2−

=+=−

zyx


CURSO 2002-2003 - CONVOCATORIA: septiembre

MATEMÁTICAS II


EXAMEN Nº 1 OPCIÓN A 1. Hacer un esquema de la gráfica de una función que cumpla las siguientes propiedades: )(xf

a) Tiene dos asíntotas verticales, y . 3−=x 3=xb) Para x , se cumple . ±∞→ 0)( →xfc) 16

25)4()4( ==− ff .

d) Es creciente en y es decreciente en . )0,3()3,( −∪−−∞ ),3()3,0( +∞∪e) y . 0)0( =f 0)0(' =f

2. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 15 cm, halla las dimensiones del que tiene área máxima. 3. Estudiar para qué valores de es inversible la matriz siguiente: m

mm

m

011010

y, en caso de ser posible, hallar su inversa para m .1−=

4.Dada la recta r y el plano , estudiar la posición relativa de la recta

=+−−=−++

0201

:zyx

zyx032: =−++ mzyxπ r

y el plano según los valores del parámetro , hallar también el punto de intersección de la recta y el plano en el caso de .

π m r π1=m

EXAMEN Nº 1 OPCIÓN B 1. Dada la función definida por )(xf

≥++−<

=)0()0(

)( 2 xbaxxxxsen

xf

determinar los valores de y para que resulte derivable en todos los puntos donde esté definida. a b 2. Dadas las funciones: ; y , se pide: 10122)( 2 −+−= xxxf 56)( 2 −+−= xxxg

a) Representar el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones. b) Calcular el área de dicho recinto.

3. Discutir el siguiente sistema en función de los valores del parámetro m y resolverlo para : 2−=m

122

1

−=−−=−+=−+

mzyxzmyxzymx

4. Obtener la ecuación del plano paralelo a las dos rectas siguientes:

21

112:1

+==

−− zyxr ; ,

=++−−=+−

1322

:2 zyxzyx

r

y que pasa por el punto ( ). 2,1,1

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDADL.O.G.S.E.

CURSO 2001-2002 - CONVOCATORIA:

MATEMÁTICAS II

EXAMEN Nº 2 OPCIÓN A 1. Hacer un esquema de la gráfica de una función )(xf que cumpla las siguientes propiedades:

a) Tiene dos asíntotas verticales, 1=x y 1−=x . b) Para ±∞→x , se cumple 1)( →xf . c) 0)2()2( ==− ff . d) Es creciente en )0,1()1,( −∪−−∞ y es creciente en )0,1()1,0( −∪ . e) 4)0( =f y 0)0(' =f .

2. Se dispone de un lazo de cuerda de 10 metros de largo, con el cual se dibuja en el suelo una figura formada por una parte rectangular a la que se adosa, en uno de los lados menores, un triángulo equilátero:

Sabiendo que la fórmula del área de un triángulo equilátero de lado l es 2

43 lA = , hallar las dimensiones de la figura para que su área

se la mayor posible. 3. Estudiar para qué valores de λ es inversible la matriz siguiente:

−+

10111100

λλ

λ

y, en caso de ser posible, hallar su inversa para .2=λ 4. En el espacio se consideran los puntos (1,2,-3), (3,-1,0) y (5,-4,3). Investigar si están alineados. En caso afirmativo, hallar las ecuaciones de la recta que los contiene. En caso negativo, calcular la ecuación del plano que definen.


EXAMEN Nº 2 OPCIÓN B 1. Dada la función )(xf definida por

≥+<−

=)0()0(1

)( 2 xaxxxe

xfx

determinar el valor (o los valores) de a para que resulte derivable en todos los puntos donde esté definida. 2. Dadas las funciones 22 +x y 102 +− x , se pide:

a) Representar el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones. b) Calcular el área de dicho recinto.

3. Discutir el siguiente sistema en función de los valores del parámetro m y resolverlo para un valor que lo haga compatible y determinado:

2

1

mmzyxmzmyx

zymx

=++

=++=++

4. Obtener la ecuación del plano que contiene a las dos rectas siguientes:

234

23

1 −=

−+

=−

≡zyxr ; { })0,1,4()2,1,7(),,(2 −+−=≡ λzyxr .


CURSO 2001-2002 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE

MATEMÁTICAS II

EXAMEN 1. Dada la fun

se pide: a) Calcub) Dibuj

2. Representar

.3=x 3. Resolver raz

4. Decidir si el

EXAMEN OP 1.Dada la func(1,4) y que la r 2. Hallar las di

vale 12 m. [No

3. Se considera

4. Calcular el v

Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones deuna y otra opción. TIEMPO: 90 MINUTOS

OPCIÓN A

ción definida por: )(xf

>+−≤+−

=)1()1(5

)(2

2

xnxxxmxxxf

lar los valores de los parámetros m y n para que sea continua y derivable en todos los puntos del intervalo [-20,20]. ar esquemáticamente la gráfica de la función, señalando los extremos.

gráficamente la función 2)( −= xxg y hallar el área limitada por su gráfica, el eje OX y las rectas de ecuaciones y 1−=x

onadamente el siguiente sistema, donde A y B son matrices desconocidas ¿de qué tamaño serán?:

−−

=−

=+

6121

32

4538

23

BA

BA

plano de ecuación cartesiana también viene dado por las ecuaciones paramétricas 1=++ zyx

µ

µλ

µλ

22121

=

−+=

−−=

z

y

x

CIÓN B

ión , determinar los valores de a, b y c, sabiendo que la gráfica de pasa por los puntos (0,3) y ecta es tangente a dicha gráfica cuando .

cbxaxxf ++= 2)(4=y

)(xf1=x

mensiones (altura h y radio de la base, r) de un cono recto de volumen máximo, sabiendo que la altura más el radio de la base

ta: El volumen del cono es hr 2

31π=V ].

la matriz cuadrada M = . Hallar el valor del parámetro k para que el determinante

− 21

10kMM −2 sea nulo.

alor de a para que los cuatro puntos siguientes estén en un mismo plano: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y (1, 1, a).


CURSO 2000-2001 - CONVOCATORIA: JUNIO

MATEMÁTICAS II

1. 2. 3.

1.- Hallar lo

los valores 2.- A partircuadrados icapacidad s 3.- Discutir

4.- Comprocontiene.

1.- Hallar el

2. – Trazar

a) Sub) fc) No

d) fe) Tie

3.- En este

4.- En caso

Lea cuidadosamente las dos opciones del examen. Elija una de ellas y conteste a las cuatro cuestiones que figuran en ella. No conteste a cuestiones correspondientes a diferentes opciones: Ello anulará su examen.

OPCIÓN “A”

s valores de los números a y b para que la función definida como

>+

≤+= 1,

1,5)( x

xbxa

xaxxf resulte derivable para todos

de x.

de una cartulina cuadrada de 60 cms. de lado se va a construir una caja de base cuadrada, sin tapa, a base de recortar cuatro guales en las esquinas de la cartulina y doblando después de la manera adecuada. Un observador indica que la caja de más e obtendrá si los cuadrados eliminados tienen 10 cm. de lado. Decidir si la observación es correcta o no.

y resolver el siguiente sistema de acuerdo con los valores del parámetro m:

140320245

2 −=+−=++=++

mzmyxzyxzyx

.

bar si los puntos (1,2,3), (1,-2,4) y (1,-3,5) están alineados. En caso negativo, determinar la ecuación del único plano que los

OPCIÓN “B”

valor del parámetro a sabiendo que el área limitada por la gráfica de la parábola y el eje es axxy −= 2 OX3

32.

la gráfica de una función que satisface las siguientes propiedades: )(xf dominio es ℜ . { }1−−

. 0)0( = tiene máximos ni mínimos.

, , , . 5)( → +∞→xx 0)( → −∞→xxf ∞ →−−→ 1)( xxf −∞ →

+−→ 1)( xxfne una discontinuidad evitable en . 1=x

ejercicio A y B son dos matrices desconocidas que hay que hallar. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

=+

=+

35102002511

23

7247125

2

BA

BA.

de que las dos rectas siguientes se corten en un punto, hallar las coordenadas del mismo:

=−=+−=

≡2

147

zyx

r λλ

, 23

42

3−

=−+

=−

≡zyxs .


CURSO 2000-2001 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE

MATEMÁTICAS II

1. Lea cuidadosamente las dos opciones del examen. 2. Elija una de ellas y conteste a las cuatro cuestiones que figuran en ella. 3. No conteste a cuestiones correspondientes a diferentes opciones: Ello anulará su examen.

OPCIÓN “A”

1.- Dibujar la figura limitada por las curvas cuyas ecuaciones son:

=−=xyxy 22

, y hallar el área de la misma.

2.- Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13,5 metros cúbicos. Para ello se dispone de chapa de acero de grosor uniforme. Calcular las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el menor posible.

3.- Dada la matriz , discutir la existencia de su inversa en función del parámetro k. ¿Es posible el cálculo de la inversa para

? En caso afirmativo, hallarla.

−− kk31

10401

2=k

4.- Discutir la posición relativa de la recta y el plano , en función del parámetro

m.

=++−=+++

≡1

3)1(22zyxzmyx

r 332 =++≡ zymxπ

OPCIÓN “B”

1.- Se considera la función definida por

≥−

<+=

2,cos

2,cos

)(2 π

π

xxaxsen

xxbasenxxf . Determinar a y b para que sea continua y derivable para todos

los valores de x.

2.- Obtener la expresión de una función sabiendo que y que )(xf xexxf 2)1()(' += .45)0( =f

3.- En este ejercicio X e Y son dos matrices desconocidas que hay que calcular. Hallarlas sabiendo que satisfacen el sistema siguiente:

−

−=+

−

=+

9211

23

15402

35

YX

YX.

4.- Determinar las posiciones relativas de las rectas:

−=−+=+−

≡22

4zyxyx

r , 3

33

43

−=

−=≡

zyxs .

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD - cristobalespino.esMAT2+2016-2017.pdf · a) Determinar el valor...

Documents

Transcript of PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD - cristobalespino.esMAT2+2016-2017.pdf · a) Determinar el valor...