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PAU Septiembre 2016 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
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PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA EL ALUMNADO DE BACHILLERATO 158 MATEMÁTICAS II. SEPTIEMBRE 2016
OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas. OPCIÓN A: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas.
CUESTIÓN A.1: Considere la siguiente matriz
cos 0
cos 0
0 0 1
sen
A sen
. a) [1 punto] Calcule el determinante de A. b) [1,5 puntos] Calcule las potencias sucesivas A2, A3, A4
y A5. Calcule A2016. CUESTIÓN A.2: Los puntos P = (1, 1, 1), Q = (2, 2, 2) y R = (1, 3, 3) son tres vértices consecutivos del siguiente paralelogramo:
a) [1,25 puntos] Calcule el área del paralelogramo. b) [1,25 puntos] Determine el cuarto vértice del paralelogramo.
CUESTIÓN A.3: Dada la función
21
2( )
x
xf x
e
se pide:
a) [1 punto] Estudie las asíntotas de la gráfica de f (x).
b) [1,5 puntos] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de la función.
CUESTIÓN A.4:
a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida
2
1
x
x
edx
e .
b) [1 punto] Determine el valor de a > 0 para que
20
1
41
xa
x
edx
e
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. OPCIÓN B: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas.
CUESTIÓN B.1: Sabiendo que 1 0 1 2
2 4 6
x y z
, calcule razonadamente los siguientes determinantes:
a) [1 punto]
3 0 1
3 2
6 8 6
x y z
b) [1,5 puntos]
2 4 6
3 1 3 3 1
1 0 1
x y z
x y z
CUESTIÓN B.2: Considere el plano π que pasa por el punto P = (2, 0, 1) y tiene como vectores
directores los vectores 1, 2( )0,v y 0,1( ), 2w . Considere la recta r dada por
1:
2 3 1
x y zr
a) [1,25 puntos] Estudie la posición relativa de π y r.
b) [1,25 puntos] Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto Q=(−1, 0, −2), es paralela
a π y perpendicular a r.
CUESTIÓN B.3: Considere la función dada por
2
ln 1 0( )
0x
a x si xf x
x e si x
a) [1,5 puntos] Calcule lim ( )x
f x
y lim ( )x
f x
b) [1 punto] Determine el valor de a para que la función sea continua en todo . CUESTIÓN B.4:
a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida 3
2
1
1
x xdx
x
b) [1 punto] Obtenga una primitiva F(x) de la función
3
2
1( )
1
x xf x
x
que cumpla la condición
F(0) = 2.
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SOLUCIONES
CUESTIÓN A.1: Considere la siguiente matriz
cos 0
cos 0
0 0 1
sen
A sen
a) [1 punto] Calcule el determinante de A.
2 2 2 2 2 2
cos 0
cos 0 0 0 0 cos 0 cos cos 1
0 0 1
sen
A sen sen sen sen
b) [1,5 puntos] Calcule las potencias sucesivas A2, A3, A4
y A5. Calcule A2016.
2
2 2
2 2
2
3 2
4 3 2
5
cos 0 cos 0
cos 0 · cos 0
0 0 1 0 0 1
cos cos cos 0
cos cos cos 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
· ·
· ·
sen sen
A sen sen
sen sen sen
sen sen sen
A Id
A A A Id A A
A A A A A A Id
A
4 · ·A A Id A A
Se observa que las potencias pares van a ser la matriz identidad y las impares la matriz A. Por
ello A2016=Id
CUESTIÓN A.2: Los puntos P = (1, 1, 1), Q = (2, 2, 2) y R = (1, 3, 3) son tres vértices consecutivos del siguiente paralelogramo:
a) [1,25 puntos] Calcule el área del paralelogramo.
El valor del área se obtiene mediante el módulo del producto vectorial de los vectores QP y QR :
= 1,1,1 2,2,2 1, 1, 1 1 1 1 0,2, 2
1,3,3 2,2,2 1,1,11 1 1
0,2, 2 0 4 4 8
i j kQP
QP QRQR
Área
b) [1,25 puntos] Determine el cuarto vértice del paralelogramo.
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Consideremos el punto S=(a, b, c), como los vectores QP y RS deben ser iguales, se cumplirá:
= 1, 1, 1Como
a,b,c 1,3,3 a 1,b 3,c 3
1, 1, 1 a 1,b 3,c 3
1 1 0
1 3 2 0,2,2
1 3 2
QPQP RS
RS
a a
b b S
c c
Algunos prefieren hacerlo por la propiedad que nos dice que el punto medio del segmento PR
y el punto medio del segmento QS es el mismo:
1,1,1 1,3,3 2,4,41,2,2
2 2
2,2,2 a,b,c 2 ,2 b,2 c 2 2 2, ,
2 2 2 2 2
21 2 2 0
2
2 2 2 21,2,2 , , 2 4 2 2
2 2 2 2
22 4 2 2
2
PR
QS
Punto medio
a a b cPunto medio
aa a
a b c bb b
cc c
El punto S=(0, 2, 2)
CUESTIÓN A.3: Dada la función
21
2( )
x
xf x
e
se pide:
a) [1 punto] Estudie las asíntotas de la gráfica de f (x). Asíntota vertical. x=a Ese valor de a que buscamos se obtiene de los valores excluidos del dominio de la función, en este caso, igualamos a cero el denominador de la función
21 0 No es posible, la exponencial siempre es positivaxe
Asíntota vertical No existe
Asíntota horizontal. y=b
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2 2lim Regla de L'Hopital lim 0
2
2 2 2lim Regla de L'Hopital lim 0
2
x xx x
x xx x
x
e xe
x
e xe
Asíntota horizontal y=0
Asíntota oblicua y=mx+n
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Al tener una asíntota horizontal no tiene asíntota oblicua
b) [1,5 puntos] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los
extremos relativos de la función.
Utilizamos su función derivada
22 2
22 2
1 21 1 2
2 2 11 1
2 42 2 ·2 2 4'( )
xx x
xx x
e xe x xe xf x
ee e
La igualamos a cero '( ) 0f x
2
22 2 2
1
2 4 2 1 10 2 4 0 2 4
4 2 2x
xx x x x
e
Antes de 1
2 (por ejemplo x=-1)
2
2
21 1
2 4 1 2'( 1) 0f
ee
La función decrece
Entre 1
2 y
1
2 (por ejemplo x=0) 2
2
11 0
2 4·0 2'(0) 0f
ee
La función crece
A partir de 1
2 (por ejemplo x=1) 2
2
21 1
2 4·1 2'(1) 0f
ee
La función decrece
La función es decreciente en el intervalo 1
,2
, creciente en 1 1
,2 2
y decreciente
en 1
,2
.
Representando esta información:
Por lo anterior, la función presenta un mínimo en 1
2x y un máximo en
1
2x
CUESTIÓN A.4: a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida
12
2 2 2
Cambio de variable1 1 1
11+e e1 1
1Deshacemos el cambio
1
xx
x xx x
x
e tdx e dx dt t dt
tt dx dt te e
Ce
.
b) [1 punto] Determine el valor de a > 0 para que
20
1
41
xa
x
edx
e
2 00
0
1 1 1 1 1
1 1 1 1 21
axa
x a ax
edx
e e e ee
1
2
1
2
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Como debe ser igual a 1
4
1 1 1 1 1 1 1 1
4 1 4 11 2 4 1 2 4 1 4
3 3 ln 3
a a
a a a
a a
e ee e e
e e a
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. OPCIÓN B: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas.
CUESTIÓN B.1: Sabiendo que 1 0 1 2
2 4 6
x y z
, calcule razonadamente los siguientes
determinantes: a) [1 punto]
3 0 1 1 0 1 1 0 1Saco factor comun Saco factor comun
3 2 3· 2 3·2 3 en la 1ª columna 2 en la 2ª columna
6 8 6 2 8 6 2 4 6
Intercambio fila 1ª y 2ª 6·( 1) 1 0 1 6·2 12
2 4 6
x y z x y z x y z
x y z
b) [1,5 puntos]
2 4 6 2 4 6
3 1 3 3 1 Separo 1ª fila en 2 determinantes 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1
1 0 1 1 0 1 1 0 1
2 4 6 2 4 6
Separo 2ª fila en 2 determinantes 3 3 3 1 0 1 3 3 3 1 0 1
1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
2 4 6
3 3 3 saco facto
1 0 1
x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z
r comun 3 en 2ª fila
2 4 6
1 0 1 0 , 2ª y 3ª fila son proporcionales2 4 6
1 0 13·
3 3 3 0 , 2ª fila es 3·1ª fila
1 0 1
1 0 1 0 , 2ª y 3ª fila son proporcionales
1 0 1
xx y z
x y z
x y z
0 0 0
1 0 1
Intercambio fila 1ª y 2ª 3·( 1) 2 4 6 Intercambio fila 2ª y 3ª 3·( 1)( 1) 1 0 1 3·2 6
1 0 1 2 4 6
y z
x y z x y z
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CUESTIÓN B.2: Considere el plano π que pasa por el punto P = (2, 0, 1) y tiene como vectores
directores los vectores 1, 2( )0,v y 0,1( ), 2w . Considere la recta r dada por
1:
2 3 1
x y zr
a) [1,25 puntos] Estudie la posición relativa de π y r.
El vector director de la recta r es v 2,3,1 .
Para que la recta sea paralela o incluida en el plano
deben ser los vectores v, w y v dependientes, comprobemoslo:
1 0 2
0 1 2 1 0 0 4 0 6 3 0
2 3 1
r
r
Los vectores son linealmente independientes y por tanto la recta r es secante con el plano π.
Otra forma de averiguarlo. Calculemos el vector normal al plano, mediante el producto
vectorial de 1, 2( )0,v y 0,1( ), 2w 1 0 2 2, 2,1
0 1 2
i j k
n
Si este vector normal y el vector director de la recta son ortogonales, la recta estará en el mismo plano o será paralela a él. Comprobémoslo con el producto escalar de ambos:
v · 2,3,1 · 2,2,1 4 6 1 3 0r n
Por lo que la recta es secante con el plano π
b) [1,25 puntos] Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto Q=(−1, 0, −2), es
paralela a π y perpendicular a r.
Solo necesito un vector director de la recta para establecer la ecuación:
1 2s :
x y z
a b c
Este vector v , ,s a b c es paralelo al plano y por lo tanto perpendicular al vector normal del
plano, como también es perpendicular al vector v 2,3,1r , este vector que buscamos es el
producto vectorial de v 2,3,1 y n= 2,2,1r
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v n 2,3,1 2,2,1 2 3 1 1, 4,10
2 2 1
r
i j k
Así v 1, 4,10s y la ecuación de la recta pedida es:
1 2s :
1 4 10
x y z
CUESTIÓN B.3: Considere la función dada por
2
ln 1 0( )
0x
a x si xf x
x e si x
a) [1,5 puntos] Calcule lim ( )x
f x
y lim ( )x
f x
Empecemos con el límite en – ∞, como la función es definida a trozos utilizaremos la rama que
esta cercana a -∞:
lim ( ) lim ln 1 lnx x
f x a x a a
En el límite en + ∞ utilizaremos la rama de la función próxima a dicha zona y:
22lim ( ) lim lim Regla de L'Hopital
2 2 2lim Regla de L'Hopital lim 0
x
xx x x
x xx x
xf x x e
e
x
e e
b) [1 punto] Determine el valor de a para que la función sea continua en todo . Para ello basta con lograr que sea continua en x=0. Calculamos los límites laterales de la función en el punto x=0 e igualémoslos al valor de la función en x=0:
0
22
00 0
2 0
lim ln(1 ) ln1
0 0lim lim 0
1
(0) 0 · 0 ·1 0
x
x
xx x
a x a a
xx e
e e
f e
Por lo tanto los limites laterales deben ser iguales, así a=0
CUESTIÓN B.4:
a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida 3
2
1
1
x xdx
x
23 3
2 2 2
11 1
1 1 1
x xx x x xdx dx dx
x x x
2 1x 2
2
2
1
1
1
1 2
dx dxx
xxdx dx arctgx C
x
Otra forma de resoverlo:
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10 de 10
3 23
32
2
2 2
Realizo la división de polinomios que aparece en la integral
1 11
1
1
11 1
1 1
x x xx xdx
x x xx
x xx dx xdx dx
x x
2 1x 2
2
2
1
1
1
1 2
dx dxx
xxdx dx arctgx C
x
b) [1 punto] Obtenga una primitiva F(x) de la función
3
2
1( )
1
x xf x
x
que cumpla la
condición F(0) = 2.
F(x) ya lo hemos calculado
2
( )2
xF x arctgx C , entonces debe cumplirse que
20(0) 0 2
2
0 0 2
F arctg C
C
El parámetro C=2 y por tanto la primitiva pedida es
2
( ) 22
xF x arctgx