Matemática avanzada Rina Maricela Zamalloa Cornejo

PRUEBAS DE HIPOTESIS1.- El 22% de los varones que examinan las corbatas de una tienda de artículos para caballeros en realidad hacen una compra, 65 de 275 varones que examinan las corbatas hacen una compra. Probar que es superior el porcentaje de los que en realidad hacen una compra, con un nivel de significación del 4%.

2.- Una compañía desea comparar las vidas de dos piedras utilizadas en cierto proceso y encuentra que el promedio de vida de 10 piedras de una clase es de 58 piezas con una desviación típica de 6 piezas; la vida promedio de 12 piezas de otra clase es de 66 piezas con una desviación típica de 4 piezas. Usar un nivel de significación de 0,01para probar que la vida promedio de la primera clase es superior a la segunda. Suponiendo que las varianzas son homogéneas.

3.- Los siguientes resultados son las ganancias de peso de dos muestras seleccionadas al azar de pavos alimentados con dos dietas diferentes:Dieta 1 136 115 142 140 123 133 138 147 122 143 125 120Dieta 2 141 117 141 144 111 127 130 135 152 119 140 128 159 145Suponiendo que las varianzas son homogéneas, probar que la ganancia de peso de los pavos alimentados por la dieta 2 es mayor que la de la dieta 1. A un nivel de significación del 1%.

4.- Se desea probar que la desviación estándar es inferior a 8,75. Para lo cual se tomó una muestra de tamaño 9; Obteniéndose que la varianza es 85,5. A que conclusión se llega con un nivel de significación del 2%.

5.- Se sabe que el consumo per capita de un determinado producto tiene distribución normal, con una desviación estándar de 2 kgr. El gerente de una firma que fabrica ese producto resuelve retirar el producto de la línea de producción si la media del consumo per cápita es menor que 8 kgr. en caso contrario continuará fabricando. Fué realizada una investigación de mercado tomando una muestra de 35 individuos se verificó que el consumo medio de estos individuos fue de 7,2. Determine la decisión a ser tomada.

6.- Se tienen dos localidades de cultivo. Se toma 35 muestras de tierra de la localidad A y 45 muestras de la localidad B y se realizan las medidas respectivas en laboratorios obteniéndose los siguientes resultados: Promedio de A 26,5 y desviación estándar de 2,4.Promedio de B 30,0 y desviación estándar de 5,0.Probar que las medidas de A son menores que las de B.

7.- Una compañía tabacalera afirma que sus cigarrillos marca A se venden más que sus cigarrillos marca B. Si se encuentra que 45 de 200 fumadores prefieren los cigarrillos marca A y 21 de 150 fumadores prefieren los cigarrillos de marca B. Probar que la tabacalera tiene razón.

8.- La agencia de control ambiental estableció que el límite del ruido permitido a los camiones pesados sería de 83 decibeles. Una muestra de camiones pesados produjeron los siguientes niveles de ruido en decibeles: 85,4; 86,8; 86,1; 85,3; 84,8; 86. Determinar si se cumple con lo establecido a nivel de significación del 2%.

9.- Los siguientes datos se obtuvieron de un experimento para verificar las diferencias sistemáticas en las lecturas obtenidas de presión arterial hechas por dos instrumentos diferentes:Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Lect. Ins. A 136 115 142 140 123 133 138 147 122 125 143Lect. Ins. B 141 117 141 144 127 130 135 152 119 140 128Usar un nivel de significación del 5% para contrastar si hay diferencia en el promedio de lecturas obtenidas con los dos instrumentos

10.- Un fabricante de almohadas especifica que la desviación estándar del peso del relleno de las almohadas no debe ser mayor que 0,5 onzas. Con base en una muestra aleatoria tomada al azar de tamaño 30 que dio una desviación estándar de 0,68 y utilizando el nivel de significación de 0,01 probar que el fabricante tiene razón.

11.- Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de sobrevivencia en años, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes:

Con Tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9

Sin Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1  

¿Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el suero es efectivo? Suponga que las dos poblaciones se distribuyen normalmente con varianzas iguales.

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12.- Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule con un nivel de significación de 0.05 si existe diferencia entre los tiempos promedio. Suponga varianzas iguales.

Medicamento A nA = 12   SA2= 15.57

Medicamento B nB = 12   SB2 = 17.54

13.- El departamento de zoología de la Universidad de Virginia llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones diferentes del río James. El ortofósforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron 15 muestras de la estación 1 y se obtuvo una media de 3.84 con una desviación estándar de 3.07 miligramos por litro, mientras que 12 muestras de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 con una desviación estándar 0.80 miligramos por litro. Probar que no existe diferencia del contenido promedio real de ortofósforo en estas dos estaciones, suponga que las observaciones vienen de poblaciones normales con varianzas diferentes.

14.- Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente. El departamento de ingeniería ha obtenido los datos siguientes:

Diseño 1 n1 = 16 s12 = 10

Diseño 2 n2 = 10 s22 = 40

Con ; se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos diseños, donde se supone que las dos poblaciones son normales. Suponga que las varianzas son homogéneas.

15.- Dos proveedores fabrican un engrane de plástico utilizado en una impresora láser. Una característica importante de estos engranes es la resistencia al impacto la cual se mide en pies-libras. Una muestra aleatoria de 10 engranes

suministrados por el primer proveedor arroja los siguientes resultados: y s1 = 12. Del segundo proveedor se

toma una muestra aleatoria de 16 engranes, donde los resultados son y s2 = 45. ¿Existe evidencia que apoye la afirmación de que los engranes del proveedor 2 tienen una mayor resistencia promedio al impacto?. Use un nivel de significación de 0.05.

16.- Diez sujetos se sometieron a una dieta especial registrando sus pesos antes de comenzarla y después de un mes de estar en ella. Los resultados de los pesos, en libras, se muestran a continuación:Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Antes 181 172 190 186 210 202 166 173 183 184Después 178 175 185 184 207 201 160 168 180 189Haga una prueba con para determinar si la dieta logró alguna diferencia.

17.- Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son: 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01.

18.- De acuerdo con un estudio dietético una ingesta alta de sodio se puede relacionar con úlceras, cáncer de estómago y migraña. El requerimiento humano de sal es de sólo 220 miligramos por día, el cual se rebasa en la mayoría de las porciones individuales de cereales listos para comerse. Si una muestra aleatoria de 20 porciones similares de Special K tiene un contenido medio de 244 miligramos de sodio y una desviación estándar de 24.5 miligramos ¿esto sugiere, en el nivel de significación del 0.05, que el contenido promedio de sodio para porciones individuales de Special K es mayor que 220 miligramos?.

19.- Una compañía armadora de automóviles grandes trata de decidir si compra llantas de la marca A o de la B para sus modelos nuevos. Se lleva a cabo un experimento para ayudar a llegar a una decisión, en el que se usan 12 llantas de cada marca. Los resultados son: Marca A: = 37,900 Kilómetros; SA = 5,100 Kilómetros.Marca B: = 39,800 Kilómetros; SB = 5,900 KilómetrosPruebe la hipótesis de que no hay diferencia en las dos marcas de llantas con un nivel de significancia de 0.05.

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20.- 12 ejemplares y cada uno de éstos se somete a una tensión hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los ejemplares, en kilogramos por centímetro cuadrado:

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes. Probar que existe diferencia entre las tensiones al aplicar los dos métodos.

21.- Una máquina automática empacadora de azúcar se usa para llenar bolsas de 5 libras. Una muestra aleatoria de 15 bolsas indicó una media de 4.94 libras y una desviación estándar de 0.02; si se supone que la distribución de los pesos es normal, y de la experiencia pasada se sabe que la desviación estándar de los pesos es de 0.015 libras, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que hubo un aumento en la variabilidad?.

22.- Una empresa empacadora de azúcar está considerando una máquina nueva para reemplazar su máquina actual. Los pesos de una muestra de 21 paquetes de 5 libras empacados por la máquina vieja producen una varianza de 0.16, mientras que los pesos de 20 paquetes de 5 libras empacados por la máquina nueva dan una varianza de 0.09. En base a estos datos, ¿aconsejaría usted al gerente a comprar la máquina nueva? Use un .

23.- La Metro Bus Company en una ciudad grande afirma tener una varianza en los tiempos de llegada de sus carros, medidos en minutos, a las distintas paradas, de no más de 5; un ejecutivo de la compañía ordenó tomar los tiempos de llegada en varias paradas para determinar si los conductores están cumpliendo con sus horarios. Si una muestra de 12 llegadas a una parada particular produjo una varianza de 5.7 y se supone que los tiempos de llegada se distribuyen normalmente, ¿muestran estos datos suficiente evidencia para contradecir a la compañía? Use un nivel de significancia de 0.10.

24.- Una muestra tomada al azar de 26 alumnos de cierta escuela recibió, en promedio $ 2637.00 de ayuda financiera al año con una desviación estándar de $617,50. Probar de que la desviación estándar es cuando menos $ 925.00.

25.- En una muestra de 500 hogares de la ciudad A se encontró que 50 de ellos estaban viendo un programa especial de TV. En otra muestra de 400 hogares de la ciudad B se encontró que 28 de ellos estaban viendo el mismo programa especial. ¿Se puede rechazar la suposición del patrocinador de que el porcentaje de hogares que están observando el programa especial no es el mismo en las dos ciudades?

26.- El gerente de una refinería piensa modificar el proceso para producir gasolina a partir de petróleo crudo. El gerente hará la modificación sólo si la gasolina promedio que se obtiene por este nuevo proceso (expresada como un porcentaje del crudo) aumenta su valor con respecto al proceso en uso. Con base en experimentos de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de tamaño 12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso en uso es de 24.6 con una desviación estándar de 2.3, y para el proceso propuesto fue de 28.2 con una desviación estándar de 2.7. El gerente piensa que los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales. Con base en esta evidencia, ¿debe adoptarse el nuevo proceso?

27.- Considere un proceso de producción que tiene una fracción defectuosa, desconocida. A este proceso se le realizan unas mejoras para reducir el porcentaje de defectuosos que está produciendo, y queremos saber si estos cambios sí reducen sustancialmente la proporción de artículos defectuosos del proceso. Para ello, se toma una muestra de 200 artículos del proceso original, y se encuentran 12 defectuosos, y se examinan 150 artículos del nuevo proceso y se observan 6 defectuosos. Cree Usted que los cambios efectuados al proceso han reducido el porcentaje de artículos defectuosos?.

28.- Un artículo del New York Times en 1987 reportó que se puede reducir el riesgo de sufrir ataques al corazón ingiriendo aspirina. Para llegar a esta conclusión el cronista se basó en los resultados de un experimento diseñado, en donde participaron dos grupos de personas. A un grupo de 11034 personas se le suministró una dosis diaria de una pastilla que no contenía ninguna droga (un placebo) y de estos 189 sufrieron posteriormente ataques al corazón, mientras que al otro grupo de 11037 se les suministró una aspirina, y sólo 104 lo sufrieron.Considera Usted que el cronista del New York Times estaba en lo correcto?.

29.-El expendio Pollos Deliciosos asegura que 90% de sus órdenes se entregan en menos de 10 minutos. En una muestra de 100 órdenes, 82 se entregaron dentro de ese lapso. Puede concluirse en el nivel de significancia 0,01, que menos de 90% de las órdenes se entregan en menos de 10 minutos?

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TABLAS DE CONTINGENCIA

1.- Se desea investigar si existe en realidad una relación entre el desempeño de un hombre en un programa de capacitación de la compañía y su éxito final en el trabajo. Una muestra al azar de 400 datos produjeron los resultados que se ilustran en la siguiente tabla:

Inferior a lo normal

Normal Superior a lo normal

Deficiente 23 60 29Normal 28 79 60Muy bueno 9 49 63

Probar que el éxito de los empleados en sus trabajos es independiente de su desempeño en el programa de capacitación.

2.- Un investigador clasificó en forma cruzada a 500 personas según grupo socio económico y sobre si les interesa o no los temas ambientales:

Baja Media Media Alta AltaSi 5 23 32 35No 45 122 138 100

Probar que están relacionadas a un nivel de significación del 1%.

3.- Un estudio en el cual se preguntó a muestras independientes si les agradaba o no el sabor de una nueva pasta dental, dió los siguientes resultados:

Hombres Mujeres NiñosLes gusta el sabor 52 56 45Les resulta indiferente 15 23 11No les gusta el sabor 33 51 34

Probar que la reacción de una persona al sabor de la crema dental es independiente de que sea hombre, mujer o niño.

4.- La hipótesis en una investigación llevada a cabo en la Facultad de Psicología es que la respuesta a un estímulo está en relación con los rasgos de personalidad. Se extrajo aleatoria e independientemente 60 sujetos y se les clasificó mediante un cuestionario en depresivos y no depresivos. Todos los sujetos presenciaron una escena en la que un hombre golpea a otro. A continuación, se les preguntó a los sujetos si la escena les ha producido tristeza o indiferencia. El número de sujetos en cada categoría de las variables estudiadas aparece en la tabla adjunta.

Tristeza IndiferenciaNo depresivos 6 26Depresivos 20 8

Según estos resultados a qué conclusión se llega?

5.- La tabla que sigue muestra el resultado de un estudio en el cual se preguntó a soldadores de tres compañías grandes si utilizarían voluntariamente un nuevo tipo de protección para los ojos:

Compañía A Compañía B Compañía C---------------- ----------------------------------------------------------------- Lo usarían 62 87 102 No lo usarían 38 53 58

Utilice el nivel de significación de 1% para probar la hipótesis de que no hay diferencias entre las proporciones de la población.

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