Pruebas NacionalesEstándares matemáticos para la educación media.

Revisadas y corregidas por:Dr. Angel Urquizo H.Dra. Angélica Urquizo A.UNACH, ESPOCH, UEB, UTACOMO UN APORTE A LA EDUCACION MATEMATICADEL PAIS, PARA LA EVALUACION

Tomás D. Navarro PeñaProfesor Adjunto del Dpto. Matemática de la UASD

Introducción

En esta edad tecnológica, las matemáticas son más importantes que nunca. Es cada vez más probable que cuando los estudiantes terminen sus estudios, usen las matemáticas en su trabajo y en la vida diaria; para operar equipos de computación, planificar horarios y programas, leer e interpretar datos, comparar precios, administrar las finanzas personales y ejecutar otros trabajos de resolución de problemas. Todo lo que aprendan en matemáticas y la manera en que adquieran ese conocimiento les proporcionará una preparación excelente para un futuro exigente y en constante cambio.

Para lograr esta excelencia, es necesario definir los estándares requeridos, de tal manera que tanto los maestros, como los estudiantes y los padres sepan cuales son los conocimientos, entendimientos y las destrezas que los estudiantes deben adquirir en la educación media.

Estándares Académicos de la Educación MediaEstándar No. 1 Relaciones y FuncionesLos estudiantes reconocerán y graficarán las funciones polinomiales, racionales, algebraicas y de valor absoluto y las usarán para resolver problemas. Entenderán los conceptos de dominio, rango, intercepción, cero, polos, asíntotas y puntos de discontinuidad. Definirán y encontrarán las funciones inversas, describirán la simetría en las gráficas y convertirán funciones. Estudiarán los valores críticos de las funciones y los aplicarán al trazo de gráficas. Escribirán ecuaciones de las secciones cónicas en la forma estándar para encontrar sus propiedades geométricas.

Estándares Académicos de la Educación MediaEstándar No. 2 Funciones Logarítmicas y Exponenciales

Los estudiantes resolverán problemas usando las funciones logarítmicas y exponenciales. Trazarán y analizarán gráficas de funciones logarítmicas y exponenciales, encontrando también el dominio, rango, intercepciones y asíntotas. Definirán y encontrarán funciones inversas para las funciones tanto logarítmicas como exponenciales.

Estándares Académicos de la Educación MediaEstándar No. 3 Trigonometría en Triángulos

Los estudiantes entenderán las funciones trigonométricas en los triángulos rectángulos y como se relacionan entre ellas. Resolverán problemas que involucren triángulos rectángulos y oblicuos. Entenderán y aplicarán la ley de senos y cosenos. Usarán la trigonometría para encontrar el área de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Estándares Académicos de la Educación MediaEstándar No. 4 Funciones Trigonométricas

Los estudiantes ampliarán la definición de las funciones trigonométricas más allá de los triángulos rectángulos usando el círculo unitario y medirán ángulos en radianes y en grados. Trazarán y analizarán las gráficas de funciones trigonométricas y las usaran para resolver problemas. Definirán y graficarán funciones trigonométricas inversas y encontrarán los valores para las funciones tanto trigonométricas como trigonométricas inversas. También relacionarán a la pendiente de una línea con la tangente del ángulo que esa línea forma con el eje horizontal o de abscisa.

Estándares Académicos de la Educación MediaEstándar No. 5 Identidades y Ecuaciones Trigonométricas

Los estudiantes conocerán las identidades trigonométricas básicas derivadas de las definiciones y las usarán para comprobar otros resultados. En particular, entenderán y usarán las formulas de adición, del ángulo doble y del ángulo medio. Resolverán ecuaciones trigonométricas y las aplicarán en la solución de problemas verbales.

Estándares Académicos de la Educación MediaEstándar No. 6 Coordenadas Polares y Números Complejos

Los estudiantes definirán y usarán las coordenadas polares, entendiendo su relación con las coordenadas Cartesianas. Convertirán las ecuaciones de coordenadas Cartesianas a coordenadas polares, y graficarán las ecuaciones en el plano de coordenadas polares. Entenderán los números complejos en la forma trigonométrica y demostrarán y usaran el teorema de De Moivre.

Estándares Académicos de la Educación MediaEstándar No. 7 Secuencias y Series

Los estudiantes demostrarán las formulas de las sumas de series aritméticas y de las series finitas e infinitas de las series geométricas, usando la notación de suma y aplicando estos resultados para la solución de problemas. Entenderán el concepto de la recurrencia y definirán las secuencias aplicando el concepto. Desarrollarán el concepto de límite de una secuencia o función y lo aplicarán en problemas de convergencia y divergencia.

Estándares Académicos de la Educación MediaEstándar No. 8 Análisis de Datos

Los estudiantes estudiarán los sucesos aleatorios y entenderán los métodos de ajuste da la media y de la regresión mínima al cuadrado y los aplicarán a los modelos lineales. Calcularán e interpretarán los coeficientes de correlación, usándolos para evaluar las líneas del mejor ajuste. Modelarán datos con varias funciones no lineales, como las cuadráticas, exponenciales y funciones de potencia.

Estándares Académicos de la Educación MediaEstándar No. 9 Razonamiento Matemático y Resolución de Problemas

Los estudiantes usarán las habilidades de solución de problemas: elegirán cómo abordar un problema, explicarán su razonamiento y evaluarán sus resultados. A este nivel, los estudiantes aplicarán estas habilidades para justificar los pasos en la simplificación de funciones, en la solución de ecuaciones y para decidir si los enunciados algebraicos son verdaderos. También aprenderán como usar la inducción matemática para comprobar resultados.

Estándares Académicos de la Educación MediaComo parte de su instrucción y evaluación, los estudiantes deberán además desarrollar las siguientes destrezas académicas que se incorporan a través de todos los estándares para las matemáticas:

•Comunicación•Representación•Conexiones

Estándares Académicos de la Educación MediaComunicación Los estudiantes desarrollarán la habilidad de leer, escuchar, preguntar, pensar y comunicar sobre los conceptos matemáticos, aumentando así la comprensión de los mismos. Los estudiantes deberán leer el texto, datos, tablas y gráficas con comprensión y entendimiento. Su escritura deberá ser detallada y coherente, y deberán usar el vocabulario matemático correcto. Los estudiantes deberán escribir para explicar las respuestas, justificar el razonamiento matemático y describir los métodos para resolver problemas.

Estándares Académicos de la Educación MediaRepresentación Los estudiantes entenderán las representaciones como instrumentos dinámicos para resolver problemas, y comunicar y expresar las ideas y conceptos matemáticos. El lenguaje matemático se expresa con palabras (metalenguaje), símbolos, fórmulas, ecuaciones, gráficas y representaciones de datos.

Estándares Académicos de la Educación MediaConexiones La conexión de conceptos incluye enlazar ideas nuevas con ideas relacionadas aprendidas anteriormente, lo cual ayuda a los estudiantes a ver las matemáticas como un conjunto de conceptos unificados que se desarrollan unos sobre otros. Se debe dar mayor énfasis a las ideas y conceptos entre las áreas de contenido matemático que ayuden a los estudiantes a ver las matemáticas como una red de ideas estrechamente conectadas. Las matemáticas son también la lengua común de muchas otras disciplinas (ciencia, tecnología, finanzas, ciencias sociales, geografía) y los estudiantes deberán aprender los conceptos matemáticos usados en esas disciplinas. Finalmente, los estudiantes deberán establecer una conexión entre su aprendizaje matemático y los contextos apropiados de la vida real.

Pruebas Nacionales

Como una forma de verificar hasta que grado han sido entendidos los estándares de la educación media, se ha establecido al final de este nivel una evaluación de estos estándares mediante las denominadas Pruebas Nacionales; que no son más que forma de determinar el nivel de entendimiento o aprovechamiento que ha tenido cada estudiante en estos ciclos de estudios. Así como probar si ha adquirido las destrezas planteadas como objetivos.

Pruebas Nacionales

ITEMES DE MATEMÁTICAS

Lógica y Teoría de Conjuntos(a)

Lógica yTeoría de Conjuntos(c)

Lógica yTeoría de Conjuntos(c)

Lógica y Teoría de Conjuntos(d)

Lógica yTeoría de Conjuntos(c)las columnas son de p, q, ~p, ^ ,v

Lógica yTeoría de Conjuntos (b)desde la hipótesis y la tesis se deduce la tesis

Lógica yTeoría de Conjuntos(a)ser y no ser, es contradicción canónica

Lógica yTeoría de Conjuntos (d)

Lógica y Teoría de Conjuntos(c)

Lógica y Teoría de Conjuntos(a)

Lógica y Teoría de Conjuntos(a)

Lógica yTeoría de Conjuntos(c)

Lógica yTeoría de Conjuntos(c)el complemento de la unión es la intersección de los complementos

Lógica y Teoría de Conjuntos(d)

Lógica y Teoría de Conjuntos (c)porque si p(1) no es verdad, no se continúa

Lógica y Teoría de Conjuntos (a)

Lógica y Teoría de Conjuntos(a)teorema de consistencia de la lógica formal

Lógica y Teoría de Conjuntos(b)simple definición de conjuntos disjuntos

Lógica y Teoría de Conjuntos(b)en la intersección de B con C hay al menos un elemento que no pertenece a A

Lógica y Teoría de Conjuntos(d)si entonces la unión es B y la intersección es A BA

Lógica y Teoría de Conjuntos(b)un conjunto unido con el vacío es el mismo conjunto

Lógica y Teoría de Conjuntos(a)

Lógica y Teoría de Conjuntos(a)como , debe se vacio, luego, A y B son disjuntos

)()( BABABA )( BA

Lógica yTeoría de Conjuntos(c)

Lógica y Teoría de Conjuntos(a) aplicando AΔB=(A-B)Ụ(B-A), si B-A es vacíoAB

Lógica yTeoría de Conjuntos (c)potencia de A llama a las partes de A

Lógica y Teoría de Conjuntos(d)la unión de la partición es todo A y la intersección dos a dos es Ǿ

Álgebra (a)

Álgebra (c)

Álgebra (d) con la notación actual, el coeficiente principal de norma uno

Álgebra (a) por simple reemplazo

Álgebra (a)

Álgebra (b)

Álgebra (d)

Álgebra (d)

Álgebra (a)

Álgebra (c) puede hallarse con p(1/2) en p(x)

Álgebra (a)

Álgebra (b)

Álgebra (c) que es p(-1) en p(x)

Álgebra (c) el polinomio es de grado 3 ,el

cociente debe ser de grado máximo 2

Álgebra (d) porque es P(-a) utilizando el teorema del residuo

Álgebra (a) porque es p(-2)=0 utilizando el teorema del residuo

Álgebra (b) factor común

Álgebra (d) porque es 2)2( yx

Álgebra (d)

Álgebra (a)

Álgebra (c)

Álgebra (c)

Álgebra (a), pero falta factorizar porque la factorización en general es en Q

12 x

Álgebra (c)

Álgebra (d)

Álgebra (a)

Álgebra (d)

Álgebra (d)

Álgebra (b)

Álgebra (a)

Álgebra (b)

Álgebra (b) resolviendo 1032 xxxx

Álgebra (c) poniendo un lado x y el otro 2x-4, luego,sume los 4 lados

Álgebra (b)

Álgebra (a) multiplique (x+3)(x-5)

Álgebra (d)

Álgebra (b)

Álgebra (d) resolviendo 22 752 xx

Álgebra (a) base x, altura x-3 9=x(x-3)/2

Álgebra (c) porque el factor común tiene la raíz 0 de multiplicidad 2 2x

Álgebra (a) multiplique (x-2)(x+3)(x+1)

Álgebra (d)

Álgebra (b)

Álgebra (d)

Álgebra (b)

Álgebra (a)

Álgebra (a)

Álgebra (a) no es la b, hay que resolver las inecuaciones y 43

21

x4

3

21

x

Álgebra (c)

Álgebra (b)

Álgebra (a)

Álgebra (b)

Álgebra (d) pero falta la solución x=3,y=-1

Funciones Algebraicas (a)

Funciones Algebraicas (d)

Funciones Algebraicas (b)

Funciones Algebraicas (d)

Funciones Algebraicas (a) si es gofporque (fog)(x)=f(g(x))=f(2x+3)=1-(2x+3)=-2-2x

Funciones Algebraicas (c)

Funciones Algebraicas (c)

Funciones Algebraicas (d)

Funciones Algebraicas (b)

Funciones Algebraicas (a)

Funciones Algebraicas (c)

Números Complejos (a)

Números Complejos (c)

Números Complejos (d)

Números Complejos (c)

Números Complejos (b)

Números Complejos (d)

Números Complejos (b)

Números Complejos (a)

Números Complejos (b)

Números Complejos (a)

Números Complejos (c)

Números Complejos (d)

Números Complejos (b)tomando (5,8) = 5+8i

Números Complejos (d)

Números Complejos (d)

Números Complejos (a)

Vectores (b)

Vectores (a)“a partir de esta diapositiva he arreglado las mismas”

Vectores (d) de la 126 a la 301 no constaban las respuestas, lo hemos resuelto los revisadores y hemos puesto los 4 íconos

Vectores (c)

Vectores (c)

Vectores (b)

Vectores (a)

Vectores (d)

Vectores (b) porque es 031

021

kji

Estructuras Algebraicas (c) tercera

Estructuras Algebraicas (b)

Estructuras Algebraicas (d)

Estructuras Algebraicas (c)

Estructuras Algebraicas (a)

Estructuras Algebraicas (d)

Estructuras Algebraicas (b)

Estructuras Algebraicas (c)

Matrices y Determinantes (a)

Matrices y Determinantes (b)

Matrices y Determinantes (a) basta que tenga 3 filas

Matrices y Determinantes (c)

Matrices y Determinantes (a) porque debe ser tAA

Matrices y Determinantes (d) porque debe ser IAxA 1

Matrices y Determinantes (c)

Matrices y Determinantes (d)

Matrices y Determinantes (b)

Matrices y Determinantes (a)

Traslación y Rotación (c)

Traslación y Rotación (b) porque las ecuaciones de rotación son x·=xcosA-ysenA y·=xsenA+ycosA

Sucesión (b)

Sucesión (c) u=a+(n-1)d

Sucesión (c) u=a+(n-1)d

Sucesión (d) S=n(a+u)/2a primer término, u último término

Sucesión (a) 1 naru

Sucesión (d) 1 naru

Sucesión (a) 1

1

r

raS

n

Sucesión (d) cotas inferior y superior

Sucesión (b) porque n

n3lim

Sucesión (d) porque 11

lim

nn

n

Funciones Logarítmicas y Exponenciales (c)

Funciones Logarítmicas y Exponenciales (a) el logaritmo de un número en una base dada es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de el número

Funciones Logarítmicas y Exponenciales (b) b

a

b

aloglog

1

Funciones Logarítmicas y Exponenciales (d) resolviendo 110

1

12

x

x

Funciones Logarítmicas y Exponenciales (d)a bases iguales exponentes iguales x

x4

2

1

Funciones Logarítmicas y Exponenciales(c)

Análisis combinatorio y Binomio de Newton (a)porque 603.4.53,5 V

Análisis combinatorio y Binomio de Newton (d)porque 40320.1.2.3.4.5.6.7.8!8

Análisis combinatorio y Binomio de Newton?ninguna porque la respuesta es 140

Análisis combinatorio y Binomio de Newton (b)porque es 10

2.1

4.52,5 C

Análisis combinatorio y Binomio de Newton (a)porque es 5252 84)2(

5

7yaya

Análisis combinatorio y Binomio de Newton (c)porque son variaciones de n-1, o sea de 5

Análisis combinatorio y Binomio de Newton (c)porque es 3! = 6, el 2 no se toma en cuenta

Análisis combinatorio y Binomio de Newton (b)porque pero también es verdad(a)

hnnhn CC ,,

Análisis combinatorio y Binomio de Newtonla a y la b por tener el mismo valor de 10

Análisis combinatorio y Binomio de Newton (c) porque sería por la L,C,O 2 veces cada una

!2!.2!.2

!11

Geometría (c) porque 2.11,75

8 BC

BC

Geometría (b)

Geometría (g) porque su suma da 90 grados

Geometría (d)

Geometría (a) porque el ángulo inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados

Geometría (c) porque α=(80-10)/2

Geometría (a) porque L(arco)=4.70.3,1416/180

Geometría (d) porque un ángulo inscrito es un ángulo recto

Geometría (b) porque radianes

108189

Geometría (a) pot=PAxPB=13x3=39, o también si P está afuera la potencia es positiva, si está dentro es negativa

22 rPO

Geometría (b) Pot=7x(-1)=-7, se mutiplica la distancia de P al extremo lejano de la circunferencia(+) por la distancia de P al extremo cercano(-). Si P está dentro la distancia es negativa

Geometría (d)es un prisma con dos bases exagonales y las caras rectangulares

Geometría (c) la apotema = , AL= 6x22 15.110 22 15.110

Geometría (c) V=20x(5.5)x12

Geometría (a) 222 25.33.91416.325.33

1 xxxV

Geometría (a) 33 181416.33

4

3

4xxxrxV

Geometría (d)

Geometría (a) altura desde Cluego aplique la fórmula del área de un triángulo

22222 )6.5(8.27.3 xxh

Geometría (c) hallando h de 2.3

8.6 h

h

Geometría (b) 22 445.102

64 xA

Geometría ninguna, porque A=22 75.2360/110. cmr

Geometría (b) A=area sector circular-área del triángulo= )3(25.0360/)1416.3(120

Geometría (b) divida por 2

Geometría (d) completando se tiene 22222 4)2()1(164412 yxyyxx

Geometría (c) porque el centro es (-1,0) y el radio es 3, luego, aplique la fórmula de la ecuación ordinaria

Geometría (c) es (h,k) de la ecuación ordinaria 1

)()(2

2

2

2

b

ky

a

hx

Geometría (a) la forma canónica de donde b=513625

22

yx

Geometría (a) C(1,1) b=2, a=3

Geometría (b) porque la fórmula es ; h=-5,k=2, p=5)(4)( 2 hxpky

Geometría (d) con h=-1, k=4, si p=-2

Geometría (a), a=2, b=1, la ecuación canónica eje transverso en x es y d?0441

142

22

yxyx

Geometría (d) eje conjugado = 2b=4

Geometría (d) quedadonde eje transverso=2a=2, eje conjugado = 2b=6

19

)2()1(

22

y

x

Geometría (a) reemplazando x e y en la ecuación dada y simplificando

Trigonometría ninguna porque es

9

142sen

Trigonometría (c) aplicando ctg en el tercer círculo trigonométrico

21csccos

ctg

ctgctg

Trigonometría (c) restando 2 vueltas=6π

Trigonometría (b) csecθ=sec(90-θ)

Trigonometría (a)

Trigonometría (a)

Trigonometría (c)

Trigonometría (d) dibuje un triángulo y halle la hipotenusa luego aplique cosec en ese triángulo 34

Trigonometría (b) divida para 2 y luego aplique arctan a los dos miembros

Trigonometría (a) reemplazando en la expresión

y reduciendo términos 3

3,42

2 arctnarcsen

Trigonometría (b)

Trigonometría (a) aplique cosy=a/b=x, secy=b/a=1/x, aplicando arccos y arcsec respectivamente, se tiene y=arcosx=arcsec(1/x)

Trigonometría (b) aplique el seno de la suma y reemplace

Trigonometría (d) definición de función impar f(-x) = - f(x)

Trigonometría (c) porque cada π la gráfica se repite

Trigonometría (a)

Trigonometría (c) más que equivalente, es igual

Trigonometría (b) sen(2x)=2sen(x)cos(x), de donde cosx=1/4, aplicando arccos se obtiene b

Trigonometría (a) aplicando senx+seny=2sen((x+y)/2)sen((x-y)/2)

Trigonometría (c)

Trigonometría (c)

Trigonometría (d)

Trigonometría (d) aplique ley del seno de aquí halle B senB

b

senA

a

Trigonometría (b) C=105 gradosluego, aplique de aquí halle csenB

b

senB

c

Trigonometría (d) o sea Cabbac cos2222

Trigonometría (a) aplique la ley del coseno al lado a

Trigonometría ninguna porque la respuesta es basta aplicar B=2arcsen(0.4)

´´22´947o

Trigonometría falta un dato ?

Trigonometría (a) halle a=10.26 y luego la altura de A hacia a h=14.1 luego a.h/2

Trigonometría ninguna (c a veces)

Trigonometría (b) aplique arctg a los dos miembros y despeje x

Trigonometría (d) primero reemplace resulta

xsen

xxctg

2

22 cos

)16(3

12

3 kkx

Trigonometría (d) reemplace , etc. xsenxx 22cos2cos

Trigonometría (a) resolviendo ,cos2x=0,etc0cos)(cos senxxxsenx

Trigonometría (c)

Trigonometría (a) aplicando al primer círculo trigonométrico de radio 1

Trigonometría (d) aplicando senα=2x,luego,

241cos x241arccos)2( xxarcsen

Trigonometría (b) porque en este dominio el coseno es estrictamente creciente, luego, es invertible y la inversa es y=arccosx, al recorrido le llama rango

Trigonometría (c) el recorrido de 2cosx sería 2,2

Trigonometría (b) traslación +1 en el eje yesto es, y=senx +1

Trigonometría (c) de contracción 1/2

Trigonometría (b) porque puede aplicar coseno de la suma y recuerde que sen(-x)=-senx (impar)

senxx )2

cos(

Trigonometría (d) el período de sex es 2л, el período de sen2x es л, luego, se contrae

Trigonometría (a) el período de: senx es 2л, sen2x es л, senkx es 2л/k, sufre una contracción.

Trigonometría (b) período de cosx=2π, período de cos(ax)=2π/a

Trigonometría (d) período de tanx=π, período de tan(ax)=π/a

Matemáticas Financieras (c) sume a 5400 el 12% de 5400

Matemáticas Financieras (d) resuelva la ecuación

100115

5.8740 x

Matemáticas Financieras ninguno poque es 0.785%

Matemáticas Financieras (d) pero es 5.09% más exacto x

45.15012.158

100

45.150

Matemáticas Financieras (b) resolviendo

85100

1625 x

Matemáticas Financieras (c) resulelva 8100

1350000 x

Matemáticas Financieras (b) tomando los 2/3 de 1200

Matemáticas Financieras (a) i=120000x13x15/(100x360)=7500,00

Matemáticas Financieras (a) se halla con la fórmula 42.1553)

365

90)(

100

18(35000 i

Matemáticas Financieras (c) aplique de aquí c=75000 12000)2)(

100

8( Ci

Matemáticas Financieras (b)

Matemáticas Financieras (d)

Matemáticas Financieras (a)

Matemáticas Financieras (a) aplique )1)(12.0(1

15000

C

Matemáticas Financieras (c) aplique S=C(1+it), 320000=275000(1+(0.18)(t)) de aquí despeje t

Matemáticas Financieras (a) aplique S=C(1+it) y despeje r

Matemáticas Financieras (b) aplique luego haga S-C tiCS )1(

Matemáticas Financieras (d) aplique

5.2)100

121(28250)1( tiCS

Matemáticas Financieras (b)aplique 10)

100

51(

78000

)1(

ti

SC

Matemáticas Financieras (a) aplique y ese valor por 100 0904.01

120000

185000515

C

Si

Análisis Matemáticos (b)

Análisis Matemáticos (d)

Análisis Matemáticos (c)

Análisis Matemáticos (a) porque es el mismo

Análisis Matemáticos (b)

Análisis Matemáticos (a)

Análisis Matemáticos (a)

Análisis Matemáticos (a)

Análisis Matemáticos ninguna, la c responde sólo a los dos primeros

Análisis Matemáticos (c)

Análisis Matemáticos (d)

Análisis Matemáticos (d)

Análisis Matemáticos (a)

Análisis Matemáticos (b)

Análisis Matemáticos (a)

Análisis Matemáticos (c)?

Análisis Matemáticos (c)

Análisis Matemáticos (b)

Análisis Matemáticos (b)

Análisis Matemáticos (a)

Análisis Matemáticos (c)

Análisis Matemáticos (c)

Análisis Matemáticos (d) en ambos términos se hace: el primer factor por la derivada del segundo mas el segundo por la derivada del primero

Análisis Matemáticos (a) m=f´(1)=6 la ordenada en el origen se obtiene b de y=mx+b =6(1)+b=0, b=-6

Análisis Matemáticos (d) porque la pendiente es resulta reemplazando x=1 en la derivada, luego

402

17

10 x

Análisis Matemáticos (b) la abscisa del punto crítico se obtiene igualando a cero la primera derivada, y la ordenada hallando f(abscisa)

Análisis Matemáticos (b) reemplazando por valores pequeños a la izquierda y a la derecha dee la abscisa del punto crítico

Análisis Matemáticos (a)

Análisis Matemáticos (d) ¿por qué?

Análisis Matemáticos (a) el 1 se obtiene igualando a cero la segunda derivada y el -12 hallando f(1) en la función

MUCHAS GRACIAS LES DICE:MUCHAS GRACIAS LES DICE:DR. ANGEL URQUIZO H.DR. ANGEL URQUIZO H.DRA. ANGELICA URQUIZO A.DRA. ANGELICA URQUIZO A.UNACH, ESPOCH, UEB, UTAUNACH, ESPOCH, UEB, UTA