Punto geomtricoEl punto geometra, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que slo es posible describirlos en relacin con otros elementos similares. Se suelen describir apoyndose en los postulados caractersticos, que determinan las relaciones entre los entes geomtricos fundamentales. El punto es un elemento geomtrico adimensional, no tiene ni volumen, ni rea ni longitud ni otro anlogo dimensional; no es un objeto fsico; describe una posicin en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. Historia El concepto de punto, como ente geomtrico, surge en la antigua concepcin griega de la geometra, compilada en Alejandra por Euclides, en su tratado Los Elementos, dando una definicin de punto excluyente: lo que no tiene ninguna parte. El punto, en la geometra clsica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geomtrico sin dimensiones, y slo era necesario asumir la nocin de punto. Esa cuestin fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigacin sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la relacin de inclusin. En Proceso y Realidad (Process and Reality), Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la relacin de conexin topolgica. Tambin H. J. Schmidt plantea una visin totalmente distinta del punto geomtrico.1

Representacin grfica Generalmente se representa por una pequea mancha redonda, sin embargo, esta forma de representacin no corresponde a la realidad puesto que la manchita o circulito siempre tiene una pequea superficie (rea). La forma geomtrica de representar un punto es mediante dos lneas que se intersecan o cortan, una pequea equis (x). En algunos textos de geometra se suele utilizar una pequea cruz (+), crculo (o), cuadrado o tringulo. En relacin a otras figuras, suelen representarse con un pequeo segmento perpendicular cuando pertenece a

una recta, semirrecta o segmento. A los puntos se les suele nombrar con una letra mayscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minsculas, y a los ngulos con letras griegas). Determinacin geomtrica Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia: En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o nmeros: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).

En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, ). En coordenadas esfricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, , ) En coordenadas cilndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (, , z). Tambin se pueden emplear sistemas de coordenadas elpticas, parablicas, esferoidales, toridales, etc. Puntos, rectas y planos: posiciones relativas En funcin de su posiciones relativas, existen dos tipos de puntos: colineales y coplanarios. Los denominados colineales son aquellos contenidos en una recta, no importando cuantos puntos sean mientras estn alineados y dentro de la recta. Se denominan puntos coplanarios a aquellos que estn contenidos en un mismo plano.

DistanciaLa distancia expresa la proximidad o lejana entre dos objetos, o el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos. Tambin se emplea como expresin para indicar una relacin de alejamiento afectivo entre dos personas: el desafecto.

En matemtica, la distancia entre dos puntos del espacio eucldeo equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numricamente. En espacios ms complejos, como los definidos en la geometra no euclidiana, el camino ms corto entre dos puntos es un segmento de curva. Distancia en geometra Se denomina distancia eucldea entre dos puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) del plano a la longitud del segmento de recta que tiene por extremos A y B.

GeometraLa geometra, del griego geo (tierra) y metrn (medida), es una rama de la matemtica que se ocupa de las propiedades de las figuras geomtricas en el plano o elespacio, como son: puntos, rectas, planos, polgonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc. Sus orgenes se remontan a la solucin de problemas concretos relativos a medidas y es la justificacin terica de muchos instrumentos, por ejemplo el comps, el teodolito y el pantgrafo. Tiene su aplicacin prctica

en fsica, mecnica, cartografa, astronoma, nutica, topografa, balstica, etc. Tambin da fundamento terico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinacin con el anlisis matemtico y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es til en la preparacin de diseos (justificacin terica de la geometra descriptiva, del dibujo tcnico e incluso en la fabricacin de artesanas).

HistoriaLa geometra es una de las ms antiguas ciencias. Inicialmente, constitua un cuerpo de conocimientos prcticos en relacin con las longitudes, reas y volmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, segn los textos de Herdoto, Estrabn y Diodoro Sculo. Euclides, en el siglo III a. C. configur la geometra en forma axiomtica, tratamiento que estableci una norma a seguir durante muchos siglos: la geometra euclidiana descrita en Los Elementos. El estudio de la astronoma y la cartografa, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvi como importante fuente de resolucin de problemas geomtricos durante ms de un milenio. Ren Descartes desarroll simultneamente el lgebra y la geometra, marcando una nueva etapa, donde las figuras geomtricas, tales como las curvas planas, podran ser representadas analticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometra se enriquece con el estudio de la estructura intrnseca de los entes geomtricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creacin de la topologa y la geometra diferencial.

Axiomas, definiciones y teoremasLa geometra se propone ir ms all de lo alcanzado por la intuicin. Por ello, es necesario un mtodo riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado histricamente los sistemas axiomticos. El primer sistema axiomtico lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomtico, ste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no slo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos. Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben de perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplir tambin todos los teoremas de la geometra en cuestin, y sus relaciones sern virtualmente idnticas al del modelo tradicional.