QU SON Y PARA QU SIRVEN LAS INTEGRALES Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (E.D.)?ABR0520136 COMENTARIOSESCRITO PORMARIANO IRIARTECuando hace unos meses escrib sobre la derivada en este mismo blog, lo haca para avanzar en la idea de que el sistema educativo no ha utilizado elsentir, elobservary elimaginarde los nios y de los jvenes para ayudarles a construir en sus cabezas los conceptos bsicos de las ciencias. Como saba que mucha gente ha estudiado la derivada y que ha hecho muchos ejercicios con muchas derivadas pero que no ha entendido el concepto, lo utilic para demostrar que si se utiliza el sentir, y el imaginar se entiende el concepto de derivada sin hacer ninguna derivada.El resultado es que he recibido cometarios llenos de halagos que me confirman que al menos, para ellos, mi escrito les ha ayudado a entender una derivada.As que, los comentarios que he recibido me han animado a escribir sobre el concepto de lasintegralesy de lasecuaciones diferenciales.Es ms difcil, pero intentar mantener, a lo largo del escrito, como lo hice en el anterior, la idea de que es muy importantevisualizareimaginarpara entender el concepto como fase previa a la conceptualizacin.INTEGRALES Y DERIVADAS: VISUALICEMOSConviene recordar la visualizacin que hacia sobre la derivada en el artculo anterior cuando utilizaba el ejemplo de los tablones: la evolucin de la inclinacin de los tablones era la derivada.Figura 1Es decir que la relacin entre lo que se avanzaba y lo que se suba en altura nos daba un coeficiente que podramos llamar en el caso aquel de las escaleras ndice de inclinacin o ndice angular.

Figura 2Figura 3La derivada es la evolucin de esos coeficientes directores o la evolucin de la inclinacin de los tablones (figura 2). Como la inclinacin se va reduciendo a medida que subimos por los tablones, la funcin derivada describe una curva que se va reduciendo, acercando a cero en el eje de abscisas y que sera en el punto de la escalera en que se ha llegado al rellano final de la escalera. As, si tenemos una funcin primitiva (una banda continua en lugar de tablones sobre la escalera) podemos deducir la derivada y si tenemos la derivada (figura 3) podemos encontrar la primitiva (figura 2), una constante ms o menos porque perdemos cierta informacin.Profundicemos ahora en esta visualizacin de la relacin que hay entre una derivada y suprimitivao entre una funcin y su derivada, que es lo mismo pero a la inversa. Para ello vamos a utilizar otra imagen. Es la imagen de la relacinque existe entre el flujo de agua de un grifo que abrimos ms o menos a lo largo del tiempo(derivada) y la cantidad de agua que vamos recogiendo en un jarro o en un recipiente(primitiva).As que vamos a visualizar esto haciendo dos operaciones.Tenemos un grifo que est abierto de modo constante y que no modificamos a lo largo del tiempo: tenemos un flujo de agua que se mantiene igual desde el inicio hasta al cabo detsegundos, por ejemplo es un flujo de: 0,5 litros / segundo. Sabemos que un flujo es unvolumen / tiempo, que escribimos:

Imaginamos ahora que el grifo no permanece igual sino que lo vamos abriendo ms y ms, haciendo que el flujo vaya creciendo medio litro por segundo. Este flujo lo escribimos:

La diferencia con el anterior flujo es que mientras el primero se mantiene igual a lo largo de toda la lnea del tiempo, en el segundo caso va creciendo medio litro por cada unidad de tiempo, de manera que con el primer flujo en el octavo segundo ser de 0,5 litros. El segundo flujo ser de 4 litros por segundo.Figura 4Pero hay algo magnfico y bello que, en paralelo, Newton y Leibniz encontraron y que es la base de todo el clculo diferencial. Fijaros en el grfico de la recta en color azul y contad el nmero de cuadros que se han rellenado al cabo de 8 segundos: el flujo con una tasa de 0,5 l/s ha rellenado 8 mitades de rectngulo, es decir 4 litros. Vaya! Es un volumen (en el grfico una superficie) que coincide con el resultado (el volumen) de la otra funcin al cabo de 8 segundos: ya que si multiplicamos 8 segundos por 0,5 nos da tambin 4 litros. Hagamos el mismo ejercicio con otro punto del grfico y veremos que la superficie cubierta por la primera lnea paralela al eje del tiempo y el resultado de la funcin de la recta rojal(x) = 0,5 tes el mismo.Lo cual nos lleva a decir que la superficie cubierta entre dos lmites o bornes de la funcin derivada, en azul, y el eje X o eje de abscisas es la misma que el resultado de la funcin primitiva (en rojo) a una constante ms o menos.Figura 5La integracin es pues la operacin que nos permite, partiendo de la derivada, encontrar la primitiva o el resultado de superficie entre dos bornes de la derivada, y la derivacin de una funcin continua sera la operacin inversa. Hay una formula general para, partiendo de la funcin primitivay = xn, pasar a su derivada:y (x)= nxn-1, de manera que si tomamos como funcin primitiva la recta roja del grficol(t)=0,5 t, su derivada ser la recta azull'(t) = 0,5. Y del mismo modo, existe otra frmula general para realizar el proceso inverso, es decir para ir de una funcin a su primitiva. Si partimos de una funcin y'(x)= nxn-1y queremos encontrar a su primitiva, tendramos que utilizary(x) = (1/n+1)xn+1, para llegar ay = xn, bueno, no exactamente, llegaramos a la misma solucin ms una constante:y = xn+c, La constanteCpodra ser conocida sabiendo la posicin del conjunto de la curva respecto al eje de la ordenadaVemos que en este caso la misma funcin considerada al inicio como un flujodl/dt= 0,5t, ya no es un flujo sino que es un cmulo de litros:l(t)= 0,5ten el quel'(t)=0,5 es su derivada. Es decir la recta roja que antes habamos presentado como un flujo ahora representa una acumulacin de litros (jarra) y es la primitiva de la funcinl(t)=0,5.De manera que una misma funcin puede ser considerada como un flujo cuando representa la evolucin de la tasa de crecimiento que nos informa sobre la evolucin de su primitiva o que puede ser considerada como acumulacin (primitiva) cuando de ella deducimos la derivada.Figura 6Conociendo la relacin que se establece entre las funciones continuas y sus derivadas o las funciones continuas y sus primitivas, podemos ir de la una a la otra. Y esto es bonito, ya que como deca Newton: Si esto pudiera ser hecho cualquier cosa podra ser resuelta.As que, volviendo a nuestro ejemplo, si conocemos la funcin de un flujo y su evolucin en el tiempo podemos conocer la cantidad acumulada, o si conocemos la funcin de acumulacin podremos conocer la funcin de flujo.Para ir de una a otra existen adems de las formulas generales, otras frmulas de derivacin o de integracin, que conoceris. Pero lo importante no es conocer la frmula. Eso lo encontris en cualquier documento de matemticas. Lo importante es conocer el concepto de la relacin y lo primero es visualizar dicha relacin.A Leibniz se le ilumin la mente al estudiar los clculos realizados por Pascal con eltringulo caractersticoutilizado para explicar su aproximacin a la resolucin dela cuadratura aritmtica del crculo. Leibniz se dio cuenta de que dicho tringulo, aplicado por Pascal al crculo para hallar la misma rea en un cuadrado, podra ser aplicado a cualquier funcin continua y que en toda funcin continuapodra deducirse la evolucin de la relacin entre la ordenada (y) y la abscisa (x) en cada punto de la funcin. Es en esa relacin que se encuentra toda la base del anlisis matemtico, del clculo diferencial y de la fsica.La figura 5 representa el paso de una derivada a su primitiva y viceversa y las frmulas generales de derivacin y de integracin.Ahora visualicemos lo mismo yendo un poco ms lejos. Retomemos la recta roja. Ya no es una jarra en nuestra mente, ahora esta recta es considerada como al inicio, como el grifo que vamos abriendo cada vez ms y cuya funcin de flujo esdl/dt= 0,5t.Conociendo esta recta y su expresin matemtica, podemos conocer el rea comprendida, por ejemplo, entre 0 y 8 segundos, o lo que es lo mismo en nmero de litros acumulados en la jarra en ese espacio de tiempo. Podemos calcular los litros acumulados contando el nmero de rectngulos cubiertos completamente entre los bornes 0 y 8 (ver figura 7) y componiendo el resto de rectngulos no cubiertos en su totalidad con parte de los tringulos rectngulos cubiertos. Esto nos hara 16 rectngulos o 16 litros.Tambin los podemos calcular integrando a partir de la derivada, lo cual nos permitira encontrar la primitiva que sera la curva naranja y que nos indica en cada segundo el nmero de litros acumulados en el recipiente, siendo el nmero de litros 16.Figura 7Para integrar utilizamos la forma general de integracin:Ntese que siempre que se integra debe aadirse una constante de integracin que permite identificar condiciones iniciales de nivel (litros de agua en la jarra antes de aplicar la funcin).Este concepto de grifo o flujo y de almacenamiento o jarro puede aplicarse a diferentes dominios (en electricidad el concepto de intensidad es el de un flujo que se escribe dQ/dt y la cantidad de electricidad utilizada seria los columbios (litros recogidos en el recipiente o en la jarra). La velocidad puede ser considerada como un flujo (dl/dt) o el grifo que se abre ms o menos y la distancia recorrida como la cantidad de kilmetros acumulados en la jarra). Ahora vamos a ir ms lejos y vamos a ver como visualizamos las ecuaciones diferenciales aplicados en algunos problemas de crecimiento que vamos a mostrar en lo que sigue.ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASImaginemos un grifo pero que tiene la peculiaridad de que se abrir tanto ms cuanto ms cantidad haya en el depsito. Este flujo lo modelizamos de la siguiente forma:Figura 8donde k es un tasa fija ,Llos litros que se almacenan en la jarra, de manera que a ms litros acumulados, ms grande es el flujo. Podramos haber procedido a la inversa: a ms litros acumulados, menos flujo.Esta es unaecuacin diferencial ordinaria(EDO). Se aplica, en su principio, con algunas modificaciones segn el modelo estudiado, a muchos problemas de crecimiento (biologa, medicina, economa, gestin de flujos de materiales, psicologa). Por ejemplo para los que hayan ledo el famoso libro la meta de Eliyahu Goldratt, que sepan que el principio de la resolucin de los cuellos de botella en los flujos de produccin, aunque no lo dice, se basa en la dinmica de sistemas que tienen en su base la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias.Voy a intentar visualizar una ecuacin diferencial y su solucin a travs de un tema de crecimiento de litros en un recipiente y posteriormente a un tema de aprendizaje.Seguimos con la visualizacin del grifo y el recipiente. La apertura del grifo ser cada vez ms grande si el depsito siguiera llenndose; la curva de la derivada ser una exponencial.En la medida que el flujo depende de la cantidad de litros acumulados, la solucinl(t)que vamos a resolver no consiste en encontrar una solucin numrica. Se trata de realizar una integracin no solo de las variables independientes (t) sino tambin de las variables dependientes (L) paraencontrar una funcin que sea solucin.Es decir cuando se busca resolver una ecuacin de la forma 2x2-1 = 0, se busca una solucin numrica. En esta ecuacin las soluciones son 0,5 y -0,5. Sin embargo cuando se busca resolver una ecuacin diferencial como en nuestro ejemplo, no se busca una solucin numrica sino quese busca encontrar como solucin una funcin.La solucin, en funcin de la definicin de las condiciones particulares, puede designar una curva, o una familia de curvas cuando se definen condiciones particulares o incluso un nmero infinito de curvas debido a los valores que pueden ir tomando sus constantes de integracin.Figura 9Las diferentes imgenes de la figura 9 muestran diferentes tipos de soluciones de las ecuaciones diferenciales: desde una curva en la que se conocen las condiciones iniciales hasta un espacio vectorial con infinidad de curvas solucin.Muy frecuentemente, especialmente en problemas aplicados, una ecuacin diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la funcin desconocida debe satisfacer y que soncondiciones inicialesocondiciones de frontera.Para resolver la ecuacin diferencial del ejemplo procedemos integrando por partes:kcon relacin adt y la inversa de L con relacin adlde manera que:

Ces la constante arbitraria que representa los litros con los que el depsito cuenta al inicio, es decir ent= 0. De modo que si tenemos 10 litros a t=0, con una tasak= 0,05, a t= 14 tendramos 20,14 litros.As, con la resolucin de la ecuacin diferencial hemos conseguido encontrar una funcin solucin que integra lo que se llama un bucle de retroalimentacin: en este caso positivo a ms cantidad de agua en el depsito mas se abre el grifo y ms se abre el grifo ms agua hay en el depsito. Este principio de retroalimentacin resuelto con ecuaciones diferenciales est en la base, por ejemplo, de la ciberntica.Muchos de los fenmenos fsicos, sociales, econmicos, a partir de la observacin, de la experimentacin o de la intuicin, son traducidos en ecuaciones diferenciales y modelos matemticos. Estos modelos son aproximaciones de la realidad, validos en ciertas condiciones y lmites.Para ilustrar para qu sirven las ecuaciones diferenciales voy a continuar con la misma ecuacin diferencial anterior pero aplicada a un trabajo que estoy haciendo con varias comunidades de aprendizaje en el Pas Vasco. El modelo solo es vlido a ttulo de ejemplo. Lo que quiero es construir un modelo que en funcin de ciertas condiciones iniciales pueda anticipar su evolucin y medir el aprendizaje de estas comunidades. Esta medicin la quiero comparar con la medicin (cuestionario) que ser hecha al final y que ha sido hecha al inicio del comienzo de estas comunidades. Lo cual me permitir ven si mi modelo se aproxima o no a la realidad.Para establecer el modelo:1 Hay que identificar el tipo de curva o funcin que puede ser representada por el modelo:Es un modelo de crecimiento que puede expresarse con una curva de crecimiento exponencial o con una curva logstica (en forma de S).2 Hay que identificar las variables y su relacin:Las comunidades de aprendizaje desarrollan su aprendizaje si el nivel de ciertas variables es apropiado. Las variables esenciales que he identificado son:la pasin (P)o el inters de los componentes del grupo por el tema de aprendizaje, elnivel de competencias (Co)de los componentes en relacin con la complejidad del tema abordado, elcontexto social y material(M) y los medios de los que disponen para abordar el tema.Se considera que estas variables tienen una relacin multiplicadora:PxCoxM, ya que si uno de ellos tiende a cero, el producto tiende a cero. Establecemos:r=PxCoxM.Por otro lado estas variables individuales crecen si el nivel de aprendizaje colectivo crece, luegorxA, siendoAel nivel de aprendizaje.3 Finalmente hay que establecer el modelo y los parmetros:Como la evaluacin realizada al inicio de la experiencia tiene una horquilla de 0 a 10, el modelo propuesto tiene tambin una escala de 0 a 10 de modo que 10 es el lmite o un desarrollo ideal; ello nos obliga a establecer una ecuacin diferencial que tienen la forma siguiente: dA/dt = r A(1-A/K)donder=(PxCoxM)/1000para obtener una tasa de 0 a 1 ya que los valores deP, deCoo deMvan de 0 a 10, Ael nivel de aprendizaje yKes el lmite que hemos establecido a 10 (establecimiento arbitrario).Con todo ello ya podemos proceder a la integracin por partes:Una vez realizada la integracin se obtiene la ecuacin buscada:As por unos valores deP=10,Co=5 yM=8 y por un nivel inicial de C=1 se alcanza un nivel optimo al cabo de 17 meses (ver figura 10):Figura 10CONCLUSINLas ecuaciones diferenciales utilizan en su ncleo de clculo la relacin que existe entre una derivada y su primitiva.La solucin encontrada no es una solucin numrica sino una solucin en forma de ecuacin que describe diferentes curvas segn los parmetros iniciales utilizados.Las ecuaciones diferenciales se aplican en una gran cantidad de reas y campos: mecnica, electricidad, electrnica, economa, arquitectura, biologa, teora de sistemas, investigacin de operaciones, psicologaEstablecer modelos matemticos y en particular el uso de las ecuaciones diferenciales podra ser un arte sencillo si a esta tarea nos hubiesen entrenado y hubisemos comprendido su sentido y sus elementos bsicos.Espero que esto haya ayudado a comprender mejor el mundo de las integrales y de las ecuaciones diferenciales.Tambin espero que este artculo sirva para demostrar que, pedaggicamente, es imprescindiblevisualizareimaginarpara que los conceptos se entiendan y permanezcan en nuestra memoria y que muchos de aquellos que arrastran el complejo de ser malos en matemticas sepan que no son ellos los malos sino el mtodo con el que les han enseado: Un metodo centrado en el aprendizaje abstracto y muy poco en el aprendizaje a partir de la experiencia, de la imaginacin, de la visualizacin y de la emocin.http://www.incress.com/valores-participacion/2013/04/05/%C2%BFque-son-y-para-que-sirven-las-integrales-y-las-ecuaciones-diferenciales-e-d/

QU ES Y PARA QUE SIRVE UNA DERIVADA?JUL28201252 COMENTARIOSESCRITO PORMARIANO IRIARTECuando me enseaban por primera vez a utilizar las derivadas pregunt al profesorpara qu sirve una derivada;me contest: ya lo aprenders ms adelante!Siempre recordar aquella respuesta idiota.Hace unos das estaba dando una formacin a 20 profesores sobre el mtodo del aprendizaje experiencial. El mtodo da importancia a la experiencia de la persona que aprende, a su sentir, a su imaginar, a su observacin, para que desde ah pueda acceder al pensamiento y a la abstraccin.Recordando la pregunta que le hice a aquel profesor, les hice la misma a ellos: Podis decirme qu es y para qu sirve una derivada? Solo una profesora supo responderme.Una de las profesoras presentes en el curso, un momento antes, haba insinuado que ahora se devaluaba la adquisicin de conocimientos en favor de un enfoque que llamaba psicologizante. Lo gracioso es que la misma persona no saba qu era una derivada y sin embargo haba hecho cientos de derivadas, aprobado el bachiller, la selectividad y al menos 3 aos de estudios en los que ha tenido formacin en fsica, matemticas y tecnologa. Luego el problema no es de ahora.No se daba cuenta que los reproches que haca al enfoque psicologizante (que no se cual es) no era sino la expresin de sus propias limitaciones: La formacin que ha recibido es una formacin que no penetra en el conocimiento porque no ayuda a comprender los fundamentos de los conceptos. Es una formacin de papagayo la que ha recibido y la que reproduce. El problema es que ahora ese mtodo que utiliza ya no mantiene la atencin del alumnado y se revela ineficaz y a travs de ello muestra su propia ineficacia.Como se que hay muchas personas que no han entendido lo que es una derivada aunque hayan hecho muchas, voy a utilizar este hecho para justificar mi argumentacin posterior sobre una propuesta pedaggica.Voy primero a explicar qu es y para qu sirve una derivada. Al lector de juzgar si mi explicacin les ha ayudado a comprender que es una derivada y para que sirve y si mi propuesta pedaggica le convence.1 IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)Dispones de unos tablones que irs poniendo de peldao a peldao (Figura 2) para poder desplazar tu carro

Fijate en ellos, observa la figura 2 Qu constatas con relacin a su inclinacin?Tendrs que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el ltimo tramo. La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es ms elevada al inicio que al final.Si establecemos el ngulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ngulo se va reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de la pendiente va reducindose.Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera) . La pendiente es la divisin de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades Cul sera la pendiente en este caso?La pendiente en ese caso sera de 10/5= 2.Eso que acabamos de explicar es la clave de la derivada. As de sencillo.La derivada nos muestra la evolucin de la inclinacin de los tablones a lo largo del trayecto.As que la derivada tiene que ver con los cambios de los coeficientes directores o los ngulos de los tablones con relacin a la horizontal. En el ejemplo los coeficientes son positivos hasta el punto 21, a partir del punto 21 el coeficiente director es 0 ya que el tabln est paralelo al suelo, si a partir de ah se fuese avanzando y las escaleras fuesen bajando, en lugar de subir, el coeficiente director sera negativo. Si fuese bajando de modo simtrico al que ha ido subiendo encontraramos los mismos indices angulares pero negativos.La derivada muestra la evolucin de la pendiente, en cada punto de los tablones, a lo largo de la curva. Lo habis entendido?As que si remplazamos todos esos tablones por una solo tablero flexible que se posiciona sobre la escalera, podramos decir que es una subida continua ya que la rueda de mi carro no siente ningn tipo de discontinuidad a lo largo del trayecto (no hay rupturas entre tablones) y escribiramos una funcin continuaf(x)que nos indicara por cada punto que avanzamos en que punto de la altura nos encontramos. Mientras que la derivada sera una funcinf'(x)derivada de la anterior funcin que ya no nos da la altura sino que nos dice de cunto cambia aquella funcin primitiva y la pendiente que tiene en cada punto del tablero flexible.Los matemticos dicen que la derivada es la funcinf'(x)que da la tangente en cada punto de la curvaf(x).De todo estolo importante es que lleguemos a imaginar y a visualizar con algn ejemplo como la derivada mide las evoluciones y los cambios de una variable (en el ejemplo, la altura de la escalera del dibujo) con relacin a otra (la profundidad de la escalera del dibujo).Ahora vamos a imaginar otras funciones en las que hay una derivada. Se os ocurre alguna? Por ejemplo el incremento de peso que he ido cogiendo en funcin de los aos. Qu me dar la derivada? Eso ya lo podis responder: la evolucin de ese incremento de peso que no es otra cosa la evolucin del ngulo de los tablones sobre la horizontal.Para qu sirve entonces la derivada? La derivada permite ver, a travs de la pendiente en todo punto de la curva, la evolucin o el cambio de muchos fenmenos fsicos. Permite calcular los puntos clave ah donde la pendiente es 0 (mximos y mnimos) para buscar los ptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos clculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En fsica, electricidad, electrnica, en qumica, permite estudiar muchos fenmenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleracin, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas estn siempre presentes. Se utiliza en economa, se utiliza en gestin, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de clculo de frenado y de automatizacin utilizan derivadas, los sistemas y las mquinas automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que sta sea suave, se controla el jerk que es la derivada de la aceleracin con relacin al tiempo.Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicndola al estudio de puntos mximos y mnimos de una curva, pero fue Newton en 1669 quien la integr en un sistema matemtico que es una genialidad y que se llama el Clculo integral y diferencial y que se puede decir es la base matemtica de la ciencia clsica. La relacin entre la derivada y su primitiva (aquella curva de la que se puede derivar) funda el estudio de las diferenciales que sirven por ejemplo para clculos de fenmenos de acumulacin, reduccin y dispersin. El estudio de la cantidad de carbono 14 en un hueso permite, por ejemplo, a travs de una diferencial, llegar a calcular su edad.Un ejemplo que de una aplicacin de la derivada y que es ms fcil de visualizar que los clsicos sobre el movimiento, las velocidades y las aceleraciones que se suelen utilizar habitualmente en clase: tenemos que construir una tubo o pista de skateboard de 20 metros de distancia entre los dos extremos superiores y de 2,5 metros de altura (figura 4). Se debe construir en un parque donde hay una piedra que tiene una inclinacin de 16,7 , es decir una tangente de 0,3 de coeficiente director (recordar lo de los tablones: 0,3= 3/10, es decir en 10 metros de recorrido sube 3 metros).Hay que aprovechar esa piedra para utilizar el menor cemento posible. Se trate entonces de ver que punto de la piedra y que punto de la pista van a coincidir para construir el tubo para el skateboard utilizando el mnimo material (ver figura 4). As que sin entrar en explicaciones de como se realiza la derivada de una funcin, aceptamos que la funcin de la pista esf(x)=1/40 *x2y su derivadaf'(x)=1/20*x.Sabemos dos cosas. Sabemos que la pendiente de la piedra es 0,3 y sabemos que si hay un punto en la curva que tenga 0,3 de pendiente, podemos saber cual es. Ese es el punto que debe tocar la pierda. Y eso es fcil. De manera que buscamos el punto 0,3 en la derivada:0,3=1/20*x; x=6;es decir 6 metros con relacin al centro (el punto cero de la curva). Por otro lado sabemos que en ese punto la altura del tubo para el skateboard es de 0,9 metros, ya que en la funcin principal:f(x)=1/40 *x2=1/40 *(6)2= 0,9; as pues, es en el punto de altura de la piedra que hace 0,9 m es donde se encuentran la piedra y la parte del tubo para utilizar la menor cantidad de cemento y que nos permite establecer las distancias para iniciar los trabajos.Si tuvisemos que calcular la cantidad de cemento necesario para fabricar el tubo del stakeboard sera muy fcil conociendo la longitud y utilizando la funcin primitivaf(x)= 1/40 *x2como si fuese la derivada de otra funcin. Lo cual nos permitira encontrar el rea y multiplicarlo por la longitud para hallar el volumen. Las relaciones que se establecen entre una funcin y su derivada son mltiples y han sido la base para la construccin de las ciencias. Es algo que parece magia y cuando se ensea magia a un chaval se aviva el inters por aprender.Bueno, no se si con estas explicaciones hemos visto un poco mejor lo qu es y para qu sirve una derivada. En todo caso nadie puede entender bien una derivada o una integral o cualquier otro concepto fundador del conocimiento si no es capaz de sentirlo, observarlo, imaginarlo. Mis explicaciones han buscado VISUALIZAR el concepto.Y esta es el punto al que quiero llegar. No es lo mismo adquirir conocimientos que comprender los fundamentos de las matemticas, de la fsica, de la estadstica, de la sociologa. Para poderlo comprender, el alumnado debera ser capaz de imaginar el concepto con imgenes simples, cotidianas, suyas y poder l mismo explicarlo as al resto de la clase. Es mejor pasar tiempo visualizando el concepto base de cualquier ciencia, hasta que todo el alumnado pueda a su maneray desde su experiencia imaginar en que consiste, aunque no se cumpla el programa escolar, que memorizar frmulas, de derivacin en este caso, que no van a servir para nada por varias razones: no se sabe para qu y en qu casos aplicar; haciendo derivadas sin saber bien para qu se pierde el sentido del aprendizaje y el gusto por aprender; un aprendizaje sin engarce con la realidad, sin movilizar el sentir, o la emocin se olvida.El problema es el temario, el programa, a todo precio hay que darlo si se quiere que nuestro alumnado apruebe pruebas y exmenes (la maldita selectividad por ejemplo), o simplemente hay que cumplir con el temario si no se quiere tener el sentimiento de no haber cumplido con el deber.Los suizos cuando inician una asignatura parece que estn perdiendo el tiempo. Miran la cosa bajo todos sus aspectos. Formalizan, matizan. Para nuestra mentalidad mediterrnea, parece un curso para retrasados mentales. Luego nos sorprende la velocidad de crucero que cogen.El profesorado y el mundo educativo debe comprender de una vez por todas como deca Piaget (creo que era l) que el problema que el alumno resuelve no es el que el profesor plantea sino aquel que l se imagina. Y si se quiere que el alumnado aprenda hay que pasar tiempo para que cada alumno y alumna imagine, sienta, comprenda los elementos bsicos que constituyen la piedra angular del conocimiento de cada asignatura.

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