TEOREMA DE VARIGNON.

Èl momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto O.

Esto es, si las fuerzas , ; se aplican en un punto P, como se indica en la figura 109, podemos concluir inmediatamente por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, que:

FIGURA 109.

Debemos anotar que esta propiedad fue establecida por primera vez por el matemático francés Pedro Varignon (1654-1722), mucho antes de la introducción del álgebra vectorial, y de allí surgió el nombre para este teorema. No sobra destacar como la matemática crea instrumentos cada vez más refinados y ágiles que permiten la formalización de propiedades validadas empíricamente como la anteriormente citada.

El resultado anterior permite sustituir la determinación directa del momento de una fuerza , por la determinación de los momentos de dos o más fuerzas componentes. Esto es particularmente util en la descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares. Sin embargo, puede resultar más útil

en algunos casos descomponer en componentes que no sean paralelas a los ejes coordenados.

Teorema de Varignon: La figura formada cuando se unen en el orden dado los puntos medios de un cuadriángulo, es un paralelogramo y su área es la mitad de la del cuadriángulo

Teorema: Si una diagonal divide un cuadriángulo en dos triángulos de áreas iguales, corta en el punto medio a la otra. Recíprocamente, si una diagonal divide a la otra en su punto medio, divide al cuadriángulo en dos triángulos de igual área.

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FUERZA y TORQUE

Las fuerzas, F1 = (-2.00i + 2.00j) N, F2 = (5.00i - 3.00j) N, F3 = (-45.0i) N, se aplican sobre un objeto para producir una aceleración de magnitud 3.75 m/s2.

¿Cuál es la dirección de la aceleración?

¿Cuál es la masa del objeto?

Si el objeto inicialmente está en reposo, ¿cuál es su rapidez después de 10.0 s?

¿Cuáles son las componentes de velocidad del objeto después de 10.0 s?

Un tren de carga tiene una masa de 1.5 x 107 kg. Si la locomotora puede ejercer un tirón constante de 7.5 x 105 N:

¿cuánto tarda en aumentar la velocidad del tren del reposo hasta 80 km/h?

Un objeto de 4.0 kg tiene una velocidad de 3.0i m/s en un instante. Ocho segundos después su velocidad es (8.0i + 10.0j) m/s. Si se supone que el objeto se sometió a una fuerza neta constante, encuentre:

Las componentes de la fuerza.

Su magnitud.

Encuentre la tensión en cada cuerda, para los sistemas mostrados en la figura. (Ignore la masa de las cuerdas.)

Los sistemas mostrados en la figura siguiente están en equilibrio. Si las balanzas de resorte(Newtómetro) están calibradas en newton (ignore la masa de poleas y cuerdas; y suponga que el plano inclinado es sin fricción):

¿Qué lectura indican en cada caso?

Un bloque de masa m = 2.0 kg se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de ánguloð = 60° mediante una fuerza horizontal F, como se muestra en la figura siguiente.

Determine el valor de F, la magnitud de F.

Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque. (Ignore la fricción.)

En el sistema que se muestra en la figura , una fuerza horizontal Fx se aplica sobre una masa de 8.00 kg.

¿Para cuáles valores de Fx la masa de 2.00 kg acelera hacia arriba?

¿Para cuáles valores de Fx la tensión en la cuerda es cero?ax

Un hombre de 72 kg está parado sobre una balanza de resorte en un ascensor. Partiendo del reposo, el ascensor asciende y alcanza su velocidad máxima de 1.2 m/s en 0.80 s. Se desplaza con esta velocidad constante durante los siguientes 5.0 s. El ascensor experimenta después una aceleración uniforme en la dirección y negativa durante 1.5 s y se detiene. ¿Qué pasa con el registro de la balanza:

antes de que el ascensor comience a moverse?

durante los primeros 0.80 s?

mientras el ascensor se mueve a velocidad constante?

durante el tiempo que desacelera?

La masa m1, sobre una mesa horizontal sin fricción, se conecta a la masa m2 por medio de una polea sin masa P1 y una polea fija sin masa P2, como se muestra en la figura. Si a1 y a2 son las magnitudes de las aceleraciones de m1 ym2, respectivamente,

¿cuál es la relación entre estas aceleraciones?

Determine expresiones para las tensiones en las cuerdas.

Determine expresiones para las aceleraciones a1 y a2 en función de m1, m2 y g.

Un bloque de aluminio de 2.00 kg y un bloque de cobre de 6.00 kg se conectan mediante una cuerda ligera sobre una polea sin fricción. Se deja que se mueven sobre un bloque-cuña fijode acero (de ángulo ð = 30.0°), como se muestra en la figura. Determine:

La aceleración de los dos bloques.

La tensión en la cuerda.

¿Qué fuerza horizontal debe aplicarse al carro mostrado en la figura, con el propósito de que los bloques permanezcan en reposo respecto del carro? Suponga que todas las superficies, las ruedas y la polea son sin fricción. (Sugerencia: Observe que la fuerza ejercida por la cuerda acelera a m1.)

Suponga que sólo dos fuerzas externas se aplican sobre un cuerpo rígido, y que la dos fuerzas son de igual magnitud, pero de dirección opuesta.

¿Bajo qué condiciones gira el cuerpo?

Dos vectores están dados por A = -3i + 4j, y B = 2i + 3j. Encuentre:

A x B

El ángulo entre A y B

Un estudiante afirma que ha encontrado un vector A tal que (2i - 3j + 4k) x A = (4i + 3j - k).

¿Cree usted que lo anterior es cierto? Explique.

Escriba las condiciones necesarias de equilibrio para el cuerpo que se muestra en la figura. no se traslade ni rote. Considere el origen de giro en el punto O.

Una viga uniforme de peso w y longitud L tiene los pesos w1 y w2 en dos posiciones, como muestra la figura. La viga descansa en dos puntos.

¿ Cuál es el valor de x para que la viga este en equilibrio en P, de manera tal que la fuerza normal en O sea cero?

Una escalera tiene un peso de tamaño 400 N y un largo 10.0 m se coloca contra una pared vertical sin fricción. Una persona cuyo peso 800 N en la tierra, está parada sobre la escalera a 2.00 del pie de ésta, medidos a lo largo de ella. El pie de la escalera se encuentra a 8.00 m de la parte inferior de la pared.

Calcule la fuerza ejercida por la pared y la fuerza normal ejercida por el piso sobre la escalera

Un tablón uniforme de 6.00 m de longitud y 30 kg de masa descansa, horizontalmente, sobre un andamio. Por uno de los extremos del andamio cuelgan 1.5 m del tablón.

a.- ¿Qué distancia puede recorrer un pintor de 70 kg de masa sobre la parte colgante del

tablón antes de que éste se voltee?

Un oso hambriento, que pesa 700 N, camina sobre una viga con la intención de llegar a una canasta de comida (verfigura), que cuelga en el extremo de la viga uniforme que pesa 200 N y cuyo largo es igual a 6.00 m. La canasta pesa 80.0 N.

Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la viga

Cuando el oso está en x = 1.00 m, encuentre la tensión en la cuerda y las componentes de la fuerza ejercida por la pared sobre el extremo izquierdo de la viga

Si el alambre puede soportar una tensión máxima de 900 N, ¿cuál es la distancia máxima que el oso puede caminar, antes de que se rompa el alambre?

Un pescante uniforme, de 1.200 N, se sostiene por medio de un cable, como se indica en la figura. El pescante gira alrededor de un pivote en la parte inferior, y un objeto de 2.000 N cuelga de su parte superior.

Encuentre la tensión en el cable y las componentes de la fuerza de reacción del piso sobre el pescante

Un letrero uniforme, de peso w y ancho 2L, cuelga de una ligera viga horizontal, articulada, en la pared y soportada por un cable (ver figura). Determine:

La tensión en el cable

Las componentes de la fuerza de reacción ejercida por la pared sobre la viga, en términos de w, d, L y 

La figura muestra una grúa de 3.000 kg de masa, que soporta una carga de 10.000 kg. La grúa se articula con un pasador liso en A y descansa contra un soporte liso en B.

Encuentre las fuerzas de reacción en A y B.

Una escalera uniforme, de 15 m y que pesa 500 N, descansa contra una pared sin fricción. La escalera forma un ángulo de 60.0° con la horizontal.

Encuentre las fuerzas horizontal y vertical que el suelo ejerce sobre la base de la escalera, cuando un bombero, de 800 N, está a 4.00 m de la parte inferior

Si la escalera está a punto de deslizarse cuando el bombero está 9.00 m arriba, ¿cuál es el coeficiente de fricción estática entre la escalera y el suelo?

Un tiburón, de 10.000 N, está sostenido por medio de un cable unido a una barra de 4.00 m articulada en la base.

Calcule la tensión necesaria para mantener el sistema en la posición mostrada en la figura

Encuentre las fuerzas horizontal y vertical ejercidas sobre la base de la barra (ignore el peso de ésta)

En la figura adjunta, las balanzas registran w1 = 38 N y w2 = 32 N. Si se ignora el peso del tablón de soporte,

¿a qué distancia del pie de la mujer está su centro de masa, dado que su altura es de 2.0 m?

Cupla o Par de Fuerzas

Se denomina cupla o par de fuerzas a un sistema formado por dos fuerzas de igual valor que poseen direcciones opuestas.

Dicho sistema de fuerzas NO puede ser reducido a una única fuerza resultante.

El efecto que produce, o tiende a producir, una cupla sobre un cuerpo es una rotación pura.

El plano en el cual se encuentran las dos fuerzas se denomina plano de la cupla y la distancia entre las líneas de acción de las fuerzas se denomina brazo de la cupla.

El módulo del momento de la cupla se obtiene multiplicando el módulo de cualquiera de las fuerzas por el brazo de la cupla.

La dirección del momento de la cupla es perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina por la regla de la mano derecha.

PROBLEMASi la barra AB mostrada en la figura es de peso despreciable, y el bloque P pesa 30 N, determinar el peso del bloque Q para que el sistema se encuentre en equilibrio. La cuerda que sostiene el bloque P pasa por dos pequeñas poleas M y N que se encuentran incrustadas en la barra.

RESOLUCION

Debido a que el sistema se encuentra en equilibrio, el valor de la tensión de la cuerda que sostiene el bloque P es igual al valor del peso de este cuerpo. Por otro lado, haciendo DCL de la barra vemos que sobre él actúa un par de fuerzas cuyo momento es:

Pero como una cupla solo puede ser anulada por otra cupla cuyo momento es de igual valor que el anterior pero que tiene dirección opuesta, se deduce que las fuerzas R y T1 deben ser de igual módulo y que R debe tener dirección vertical. Según

esto:

 PROBLEMASi en el sistema en equilibrio mostrado en la figura la longitud de la cuerda AB es de 74 cm y el bloque P pesa 80 N, determinar los valores de las tensiones de las cuerdas horizontales T1 y T2.

 

RESOLUCIONDel triángulo rectángulo mostrado en la figura se deduce que:

Sen  = 35/37

La forma más simple de resolver este problema es hacer el DCL de la cuerda AB teniendo presente que el valor de la tensión de la cuerda que sostiene el bloque P es una componente de su peso, es decir:

T3 = P Sen30 = 40

Del DCL deducimos que como sobre AB actúan cuatro fuerzas, siendo paralelas dos a dos, cada par de fuerzas paralelas deben constituir una cupla y como el sistema debe estar en equilibrio, los momentos de estas cuplas deben ser iguales en módulo pero de sentidos contrarios. Según esto:

T1 = T2_____________T3 = T4 = 40

Igualando los valores de los momentos de cada una de las cuplas:

T1 . (0,56) = T3 . (D)

T1 . (0,56) = 40 (AB) (Sen )

T1 . (0,56) = 40 (0,74) (35/37)

T1 = 50 N