Unidad 6

Raíces de polinomios Objetivos

Al finalizar la unidad, el alumno:

• Comprenderá el Teorema Fundamental del Álgebra.• Aplicará los teoremas del residuo y del factor en la obtención de las

raíces de un polinomio.• Aplicará diversos métodos en la obtención de raíces reales y complejas.

raÍces de polinomios

231

Introducción

En esta unidad continuaremos nuestro estudio de las ecuaciones; primero definiendo el concepto de ecuación polinomial para después encontrar sus

soluciones e identificarlas como raíces del polinomio al cual está asociada. Determinaremos que todo polinomio tiene al menos una raíz real o

compleja, resultado que se conoce como Teorema fundamentaldelálgebra. Y dado que no existe ningún método infalible para encontrar las raíces de cualquier polinomio, estableceremos algunas reglas que nos ayudarán a determinarlas, además conoceremos la manera de encontrar todas las raíces de un polinomio con la ayuda de algunas raíces conocidas, utilizando para ello el Teoremadel

residuo y el Teoremadelfactor.

6.1. Ecuaciones polinomiales

Recordemos que un polinomio es una expresión del tipo: a0

+ a1x + ... + anxn

donde a0, a1, ..., an son números reales o incluso pueden ser complejos. A los números a

0, a1, ..., an se les llama coeficientes del polinomio mientras que a x se

le llama variable. En esta unidad estudiaremos polinomios cuyos coeficientes son exclusivamente números reales.

También recordaremos que el valor numérico de un polinomio se obtiene al asignar a la variable x un valor fijo y sustituirlo en cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplo 1

Consideremos el polinomio p(x) = 3x2 − 4x + 5 y obtengamos el valor numérico para algunos valores de x:

para x = 7: p(7) = 3(7)2 − 4(7) + 5 = 147 − 28 + 5 = 124para x = −2: p(−2)=2(−2)2− 4(−2) + 5 = 8 + 8 + 5 = 21para x = 23: p(23) = 3(23)2 − 4(23) + 5 = 1587 − 92 + 5 = 1500

Álgebra superior

232

Si se iguala a cero un polinomio a0 + a1x + ... + anx

n se obtiene la ecuación

polinomial

a0 + a1x + ... + anx

n = 0.Por ejemplo, p(x) = 4x3 + 4x + 6 es un polinomio y su ecuación polinomial

correspondiente es 4x3 + 4x + 6=0.Utilizando la ecuación polinomial definiremos el concepto de raíz y su

relación con las soluciones de la ecuación polinomial.

6.2. Raíces de una ecuación polinomial

Una vez que se tiene la ecuación polinomial asociada a un polinomio, ¿se podrá determinar un valor de x tal que al sustituirlo en la ecuación obtengamos una igualdad? Es, decir, ¿podremos encontrar una solución de la ecuación?

Por ejemplo, dado el polinomio 4x4 − 20x3 + 4x2 −14x − 30, ¿podremos encontrar algún valor de x tal que cumpla con la igualdad

4x4 − 20x3 + 4x2 − 14x − 30 = 0?Se propone el valor x = 5, veamos:

4(5)4 − 20(5)3 + 4(5)2 − 14(5) − 30 = 2500 − 2500 + 100 − 70 − 30 = 0En este caso se dice que el número 5 es solución de la ecuación 4x4 − 20x3 + 4x2 − 14x − 30 = 0, o que 5 es raíz del polinomio:

4x4 − 20x3 + 4x2 − 14x − 30.

Se dice que a es raíz del polinomio p(x) si es solución de la ecuación polinomial

p(x) = 0; es decir si p(a) = 0.A las raíces de p(x) también se les llama ceros de p(x).

raÍces de polinomios

233

Ejemplo 2

a) 4 es raíz de p(x) = x3 − 7x2 + 16x −16 ya que: p(4) = (4)3 − 7(4)2 + 16(4) − 16 = 64 −112 + 64 − 16 = 128 −128 = 0b)Unaraízdep(x )=x3−2x2+x +4es−1yaquelaecuación:

x3−2x2+x +4=0

tiene como solución x = −1, en efecto:(−1)3 − 2(−1)2 + (−1) + 4 = −1− 2 − 1 + 4 = −4 + 4 = 0

c) p(x) = x3 − 5x2 − 33x − 27 tiene como raíz al 9, ya quep(9) = (9)3 − 5(9)2 − 33(9) − 27 = 729 − 405 − 97 − 27 = 0

Un polinomio puede tener varias raíces e incluso puede que sus raíces no sean números reales sino complejos.

Ejemplo 3

a) Consideremos el polinomio p(x) = x3 − 2x2 + 26x tiene como raíz x= 0, x = (1 + 5i) y x = (1 − 5i): la primera raíz que comprobamos es x = 0 p(0) = 03 − 2(0) 2(0)2 + 26(0) = 0 la segunda 1+5i

p(1+5i) = (1+5i)3 – 2(1+5i)2 + 26(1+5i) = (–74 – 110i) + (48 – 20i) + (26 + 130i ) = 0

y la tercera 1– 5i

p(1–5i)= (1–5i)3 – 2(1–5i)2 + 26(1–5i) = (26 +110i) (–52 + 20i) + (26 –130i) = 0

Si un polinomio tiene como raíces un número complejo y su conjugado, se dice que tiene raíces conjugadas complejas. Por ejemplo, el polinomio p(x) = x3– 2x2 + 26x analizado anteriormente tiene una raíz real, el 0, y las raíces conjugadas complejas 1+5i y 1–5i.

Álgebra superior

234

Ejercicio1

1. Establezca la ecuación polinomial de los polinomios:

a)9x5+4x3+5x2+5

b)25x3+4x2+5x +6

2. Determina si los valores dados son raíces del polinomio:

a) −2; 3 23 5 6x x x− + −b) 1; 4 32 3 2x x x− − −c) 1−i; 3 25 8 6x x x− + −

6.3. Teorema fundamental del álgebra

En los ejemplos anteriores, vimos que es posible encontrar al menos una raíz de un polinomio, pero ¿será esto posible siempre? La respuesta es sí y se enuncia como teorema:

El Teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una raíz real o compleja.

Ejemplo 4

a) Considere el polinomio x2 + 1 tiene como raíces conjugadas complejas a i y –i ya que (i)2 + 1 = –1 + 1 = 0 y (–i)2 + 1 = (i)2 + 1= –1 + 1 = 0.

b) El polinomio x4– 3x3 – 13x2 + 27x + 36 tiene dos raíces reales: x = –1 y x = 4,

y dos raíces conjugadas complejas: x = 3i y x = –3i.Verifiquemos que todas ellas sean raíces.

raÍces de polinomios

23�

El –1 es raíz ya que: (–1)4–3(–1)3 – 13(–1)2 + 27(–1) + 36 = 1 + 3 – 13 – 27 + 36 = 0

y también lo es el 4: (4)4 – 3(4)3 – 13(4)2 + 27(4) + 36 = 256 – 192 – 208 + 108 + 36 = 0 y el 3i: (3i)4 – 3(3i)3 – 13(3i)2 + 27(3i) + 36 = 81 – 81i – 117 + 81i + 36 = 0 y el –3i:

(–3i)4 – 3(–3i)3 – 13(–3i)2 + 27( –3i) + 36 = 81 – 81i – 117 + 81i + 36 = 0

Que todo polinomio siempre tenga, por lo menos, una raíz es el resultado más importante del álgebra¸ sin embargo si tomamos como ejemplo al polinomioin embargo si tomamos como ejemplo al polinomio x4 – 3x3 – 13x2 + 27x + 36 estudiado anteriormente encontramos que tenía como raíces a los números –1, 4, 3i y –3i. ¿Será posible encontrar alguna otra raíz para este polinomio? En general, dado un polinomio de grado n, ¿cuántas raíces puede tener?

Un polinomio de grado n tiene n raíces reales o complejas.

Utilizando este resultado, podemos garantizar que el polinomio x4– 3x3– 13x2 + 27x + 36, por ser de grado 4, sólo tiene las 4 raíces determinadas en el apartado anterior: –1, 4, 3i y –3i.

Ejemplo 5

Consideremos el polinomio x3 – x de grado 3, por el resultado anterior tiene 3 raíces: 1, –1 y 0. Verifiquemos si son raíces:

para x = 1p(1) = 13– 1 = 0

si x = –1p(–1) = (–1)3 – (–1) = –1 + 1 = 0

Álgebra superior

23�

y finalmente si x = 0p(0) = 03 – 0 = 0

Porloque1,–1y0 sísonraíces.

6.4 Teorema del residuo y del factor

Para saber si un número α es raíz de un polinomio p(x), necesitamos sustituir a x por α en todos los términos del polinomio, si el resultado numérico es cero, entonces α es raíz. También podríamos dividir al polinomio p(x) entre (x –α ), en este caso, si el residuo es cero, entonces α es raíz. ¿Podremos afirmar que siempre el resultado numérico de sustituir x por α es igual a p(α)? La respuesta es sí y a este resultado se lo conoce como Teorema del residuo.

Si dividiéramos al polinomio p(x) entre el polinomio (x – α ) obtendríamos un polinomio cociente q(x) y un residuo numérico r:

( )( )

q x

x p x

r

α−

Esto lo podemos escribir como:p(x) = (x– α ) q(x) + r.

Si se sustituye a x por α, en la última expresión, se obtendría:p(α) = (α – α ) q(α) + r = r

De lo que podemos concluir que el valor numérico del polinomio que se obtiene al sustituir x por α, es: ( )p α = r

Ahora si α es raíz del polinomio p(x), entonces al sustituir x por α en el polinomio p(x) el residuo numérico es cero, r = 0. Pero si r = 0, entonces:

p(x) = (x – α ) q(x)De lo que (x – α ) divide al polinomio p(x), o dicho de otra manera, (x – α ) es

un divisor de p(x). También se cumple el recíproco: si (x – α) es un divisor de p(x), entonces el número α es una raíz del polinomio p(x), o sea, p(α) = 0. A este enunciado se le conoce como Teorema del factor.

Aún mas, ya sabemos que si p(x) es un polinomio de grado n y tiene una raíz conocida α1, entonces p(x) se puede escribir como:

raÍces de polinomios

23�

p(x) = (x –α1) g1(x)y, como se vio en la división sintética, el polinomio g

1(x) es de grado n – 1. Ahora

si g1(x) tiene una raíz α2, entonces:

g1(x) = (x – α2) g2(x)donde g2(x) es un polinomio de grado n – 2. ¿Se podrá afirmar que α2 también es raíz de p(x)?

Para verificar este resultado sustituimos a g1(x) en p(x) = (x −α1) g1(x)

para que p(x) se escriba como: p(x) = (x−α1) (x − α2) g2(x)Si sustituimos a x por α2:

p(α2) = (α2−α1) (α2 −α2) g2(α2) = 0De lo que α2 también es raíz de p(x). Si encontráramos una raíz de g2(x), de g3(x) y así hasta gn-1(x) tendríamos

que:p(x) = (x−αα1) (x−αα2) (x−αα3) ... (x−ααn-1) gn-1(x)

Y como el factor gn-1(x) es de grado 1, entonces es de la forma (cx+b) que se puede escribir como c(x−αn), de lo que:

p(x) = c (x−αα1) (x−αα2) (x−αα3) ... (x−ααn-1) (x−ααn)Por lo tanto un polinomio se puede escribir como el producto de (x-α

i)

donde αi son todas sus raíces. Y si tuviéramos todas las raíces pero no conociéramos

al polinomio, para obtenerlo basta con multiplicar los factores (x-αi).

Ejemplo 6

Para obtener el polinomio cuyas raíces sean −5, 4, 1+i y 1-i. El polinomio buscado tiene los factores (x−(−5)), (x−4), (x−(1+i)) y (x−(1−i)).

De lo que: p(x) = (x−(−5)) (x−4) (x−(1+i)) (x−(1−i))

p(x) = (x+5) (x−4) (x−1−i) (x−1+i)p(x) = (x2 + x − 20) (x2 − 2x + 2)

donde:p(x) = x4 − x3 − 20x2 + 42x − 40

es el polinomio buscado.

Álgebra superior

238

Como ya vimos, un polinomio p(x) de grado n, se puede escribir como producto de todas sus raíces de la siguiente manera:

p(x) = (x −α1) (x−α2) (x−α3) ... (x−αn-1) (x−αn)p(x) tiene n factores, entonces sólo puede tener n raíces, pero ¿será posible

que dos raíces sean iguales? La respuesta es sí.

Ejemplo 7

El polinomio p(x) = x3 + 16x2 + 45x −162se puede escribir como p(x) = (x + 9) (x + 9) (x − 2)por lo tanto tiene tres raíces: el –9 que se repite dos veces y el 2. La raíz

que se repite, –9, se dice que tiene multiplicidad 2.

Un polinomio de grado n, tiene n raíces que pueden ser:

1. n raíces distintas: 2. algunas de sus raíces pueden tener multiplicidad m, donde m

es el número de veces que se repite dicha raíz como factor del polinomio.

Ejemplo 8

Determinemoselpolinomioquetienelassiguientesraíces:5demultiplicidad

3,−2demultiplicidad2,4y0.

El polinomio que se busca es:

p(x) = (x−5) (x−5) (x−5) (x−(−2)) (x−(−2)) (x −4) (x−0)p(x) = (x−5)3(x+2)2 (x−4) x

p(x) = (x3 −15x2 + 75x − 125) (x2 + 4x + 4) (x−4) xp(x) = x7− 15x6 + 63x5 + 39x4 − 660x3 + 300x2 + 2000x

raÍces de polinomios

23�

Obsérvese que si se suman las multiplicidades de todas las raíces del polinomio, tomando las que no se repiten como de multiplicidad 1, se obtiene el grado del polinomio. Por ejemplo, en el polinomio anterior, 3 + 2 + 1 + 1 =7.

Ejercicio 2

1. Indica el número de raíces que pueden tener los siguientes polinomios:

a) x7−1 _____________.b) x4− x2 + 5 _____________.c) x3− x−1 _____________.

2. Si se sabe que un polinomio g(x) de grado 5 sólo tiene una raíz de multiplicidad 3, entonces, ¿cuántas raíces distintas tiene el polinomio? ________.

3. En los siguientes ejemplos, dadas las raíces, encuentra el polinomio.

a) –3, 2, y 1/2b) 2i, −2i, 2 y −1c) 3 + 4i, 3 − 4 44i, 3/2 y 5d) 3+ 5 , 3 −− 5 , y 6

6.5 Obtención de las raíces de un polinomio

En el apartado anterior, hemos establecido una regla para que, a partir de las raíces, conozcamos el polinomio, ¿podrá establecerse el método inverso?, es decir, ¿podremos, a partir de un polinomio dado, encontrar todas sus raíces?

Para encontrar la raíz de los polinomios de grado 1, de la forma: a0 + a1x = 0

basta con despejar a la variable x de la siguiente manera:

0

1

ax

a= −

Álgebra superior

240

Si se tuviera un polinomio de grado 2, de la forma: ax2 + bx + c = 0para encontrar sus raíces utilizamos la siguiente fórmula:

2 42

b b acx

a

− ± −=conocida como fórmula general para ecuaciones de segundo grado.

Para polinomios de grado mayor que 2, aunque existen algunas fórmulas muy complicadas, no existe ningún método infalible, pero si hay reglas para obtener raíces.

Si el polinomio 6x3 −x2 − 5x + 2 tuviera una raíz racional b

a, entonces

los valores posibles del numerador de la raíz, b, serían los divisores del término independiente 2 (±1 y ±2), y los valores posibles del denominador de la raíz, a, son los divisores del coeficiente del término de mayor grado 6 (±1 ±2 ±3 y ±6).

Por tanto, las posibles raíces racionales de p(x) son: ±1 ±2 ±1/2 ±1/3±1/6 y ±2/3.

Después, sustituyendo a cada uno de estos valores en p(x) se puede saber cuál es la raíz:

Valor de x Valor de f(x) 1 2 −1 0 2 36 −2 −40 1/2 0−1/2 3.5 1/3 0.44−1/3 3.33 1/6 1.17−1/6 2.78 2/3 0−2/3 3.11

Por lo que las raíces de 6x3 −x2 − 5x + 2 son: −1, 1/2 y 2/3.

raÍces de polinomios

241

Cuando se buscan raíces en un polinomio, también se cumplen las siguientes reglas:

1. Si un número complejo es una raíz de un polinomio de coeficientes reales, su complejo conjugado es también raíz de dicha ecuación.

2. Todo polinomio de grado impar admite por lo menos una raíz real.3. Si en un polinomio, todos sus coeficientes son racionales y tiene

una raíz de la forma a+ b , con a y b racionales y b irracional, entonces a− b es otra raíz del polinomio.

Ejemplo 9

a) Busquemos las raíces del polinomio p(x) = x3 + x2 − 4x + 6 si se sabe que una raíz es el número complejo (1− i).

Como el polinomio tiene coeficientes reales entonces si (1−i) es raíz, (1+i) también es raíz. Por lo que podemos escribir al polinomio como:

p(x) = [x− (1−i)][x−(1+ i)](x−α)donde α es la raíz que nos falta por conocer. Haciendo la multiplicación de

los dos primeros factores se tiene que:p(x) = (x2 − 2x + 2)(x − α)

De lo que: 3 2

2 2

( ) 2 4 6( )( 2 2) 2 2

p x x x xx

x x x xα + − +− = =− + − +

y haciendo la división de los polinomios se obtiene que:α = −3

b) Sea el polinomio p(x) = x5 − x4− 9x3− 63x2 + 14x + 130 y dadas las raíces 2 y –2+3i, e encuentran las demás raíces del

polinomio.

Por ser un polinomio de grado 5 este tiene 5 raíces, si conocemos 2 raíces, nos faltan 3 raíces por conocer.

Álgebra superior

242

Ahora p(x) tiene coeficientes racionales y tiene una raíz de la forma a+ b, por tanto − 2 también es raíz.

Por otro lado, el polinomio tiene una raíz compleja –2+3i, por lo que el complejo conjugado –2-3i también lo es. Por lo que sólo nos falta conocer una raíz.

p(x) lo podemos escribir como:p(x) = (x− 2 )(x + 2 )(x + 2+3i)(x +2 −3i)(x−α)

donde α es la raíz que nos hace falta conocer. Utilizando la diferencia de cuadrados entonces:

p(x) = (x2 − 2) [(x+2)2 + 9] (x−α)o simplificando aún más:

p(x) = (x4 + 4x3 + 11x2 − 8x − 26)(x −α)ydespejandolaraíz:

4 3 2

( )( )

4 11 8 26p x

xx x x x

α− = + + − −ahora, sustituyendo p(x) por x5 − x4− 9x3− 63x2 + 14x + 130 se obtiene

que:5 4 3 2

4 3 2

9 63 14 130( )4 11 8 26

x x x x x x

x x x xα − − − + +− = + + − −

Haciendo la división de polinomios, se llega a que (x−α) = (x −5).Por lo que la quinta y última raíz es igual a 5.

c) Ahora encontremos las raíces del polinomio:p(x) = x6 −3x5− 2x4 + 24x3− 61x2 + 43x +30

dadas las raíces 1+ 2 y 1+2i.

Como el polinomio, p(x) = x6 − 3x5 − 2x4 + 24x3 − 61x2 + 43x + 30, tiene coeficientes racionales, si una raíz es de la forma: (a+ b ), entonces (a − b ) es raíz, por lo que:

1 − 2 es raíz. También sabemos que si (a + ib) es raíz, entonces (a − ib) es raíz. De lo que 1− 2i es raíz.

Como el polinomio es de grado 6, entonces faltan 2 raíces por conocer. A p(x) lo podemos escribir como:

p(x) = (x −1+ 2 )(x−1− 2 )(x−1−2i)(x−1+2i)g(x)donde el polinomio g(x) tiene las dos raíces que nos faltan por conocer.

raÍces de polinomios

243

Realizando las multiplicaciones entre las raíces de p(x) se puede escribir como:

p(x) = (x4 − 4x3 + 8x2 − 8x −5)g(x)Ahora despejando a g(x):

6 5 4 3 2

4 3 2 4 3 2

3 2 24 61 43 30( )( 4 8 8 5) 4 8 8 5

p(x) x x x x x xg x

x x x x x x x x

− − + − + += =− + − − − + − −Haciendo la división se obtiene que:

g(x )= x2 + x − 6Aplicando la fórmula general de segundo grado:

21 (1) 4(1)( 6)2(1)

x− ± − −=

Se obtiene que las dos últimas raíces son x = 2 y x = −3.

Ejercicio 3

1. Demostrar que (x−5) es un divisor del polinomio: x4 −7x3 + 13x2 − 7x + 122. Demostrar que (x− a) divide siempre a (xn − an) para cualquier valor

de n.

3. Encontrar las raíces de los siguientes polinomios:

a) p(x) = x3−18x2 + 106x − 208 sabiendo que una raíz es 5 + ib) p(x) = x4 − 4x3 − 3x2 + 16x − 4 sabiendo que una raíz es 2 − 3c) p(x) = x4 + 2x2 + 1

Álgebra superior

244

Problemas resueltos

1. Establece la ecuación polinomial de 5x9 + 6x3 + 8x2 + 3x +67.

Respuesta

Del polinomio 5x9 + 6x3 + 8x2 + 3x + 67 se tiene la ecuación polinomial:5x9 + 6x3 + 8x2 + 3x + 67 = 0

2. Verifica si:

a) 2i es raíz de 2x3 + 3x2 + 8x + 12b) 3/2 es raíz de 2x4 − 19x3 + 10x2 + 133x − 168c) 7 es raíz de x5 − 8x4 − 3x3 + 24x2 + 28x + 224

Respuesta

a) 2(2i)3+3(2i)2+8(2i)+12=−16i −12+16i +12=0,porlotanto2isí

esraíz.

b) 2(3/2)4 − 19(3/2)3 + 10(3/2)2 + 133(3/2) − 168 = 10.125 − 64.125 + 22.5 + 199.5 −168 = 0, por lo tanto 3/2 sí es

raíz.c) ( 7 )5 − 8( 7 )4 − 3( 7 )3 + 24( 7 )2 + 28( 7 ) + 224 = 129.64 − 392 − 55.56 + 168 + 78.08 + 224 = 0 por lo que 7 sí es

raíz.

3. Indica el máximo número de raíces diferentes que puede tenerlos siguientes polinomios:

a) x8 + x4 − x2 − 2b) 10x9 + x7 − 6x5 + x3 + 8x − 9

raÍces de polinomios

24�

Respuesta

a) Como el grado del polinomio es 8, entonces el máximo número de raíces distintasquepuedeteneres8.

b) Como el grado del polinomio es 9 entonces el máximo número de raíces distintas es 9.

4. Encuentra los polinomios que tienen las siguientes raíces:

a) 5i, −5i, 1/2 y −3b) 3 , − 3 , −2/3 y 6

Respuesta

a) (x−5i)(x+5i)(x− 1/2)(x+3) = (x2 + 25)(x2 + 5/2x −3/2) = x4 + 5/2x3 + 47/2x2 + 125/2x −75/2

b) (x− 3 )(x+ 3 )(x+2/3)(x−6) = (x2−9)(x2 −16/3x −4) = x4− 16/3x3 −13x2 + 48x + 36

5. Demuestra que (x+a) es un divisor de (xn−an) siempre que n sea un número entero, positivo y par (a≠0).

Respuesta

Sea p(x) = xn − an, entonces p(−a) = (−a)n − an es cero siempre que (–a)n = an

o sea cuando n es par. Obsérvese que cuando n es impar se cumple la igualdad (−a)n = − an

o sea que , cuando n es impar p(−a) = (−a)n − an = −2an ≠ 0por tanto p(x) = xn − an sólo es divisible entre (x+a) cuando n es par.

6. Encuentra las raíces de:

a) x3 + 5x2 − x − 5 sabiendo que −5 es raízb)x4+4x3−8x2−32x −21sabiendoqueel3+ 2 esraíz

c)x3+3x2+3x +1

Álgebra superior

24�

Respuesta

a) Como −5 es raíz, entonces escribamos al polinomio como:x3 + 5x2 − x − 5 = (x+5)g(x)

Haciendo la división se encuentra que: g(x) = x2 −1

Cuyas raíces son x = 1 y x = −1por lo que las tres raíces de x3 + 5x2 − x − 5 son: −5, −1 y 1.

b) Como x4 + 4x3 − 8x2 − 32x − 21 es un polinomio con coeficientes racionales y 3+ 2 es raíz, entonces el 3− 2 también es raíz, ahora busquemos raíces racionales. Los divisores de 21 son ±1, ±3, ±7, ±21, entonces:

Valor de x Valor de f(x) −1 0 1 −56 3 0 −3 −24 7 3136 −7 84021 227304 −21 154560

Por lo que las raíces del polinomio son: −1, 3, 3− 2 y 3+ 2 .

c) El polinomio x3 + 3x2 + 3x + 1 es un binomio al cubo: x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x+1)3

Por lo que tiene una sola raíz de multiplicidad 3, x = −1.

7. Encuentra las raíces del polinomio: x4− 2x3 + x2 − 8x − 12 estimando como raíces posibles a: ±1, +2, +3, y evaluando el polinomio en una tabla:

raÍces de polinomios

24�

Valor de x Valor de f(x)−1 0 1 −20 2 −24 3 0

Por lo que hemos encontrado dos raíces, −1 y 3. Para encontrar las demás raíces escribamos al polinomio como: x3 − 4x2 + 9x − 26 = (x+1)(x−3)g(x)

Que se puede escribir como: x3 − 4x2 + 9x − 26 = (x2 − 2x −3)g(x)Despejando a g(x) y haciendo la división se tiene que:

g(x) = x2 + 4Cuyas raíces son: x = 2i y x = −2i

Por tanto las raíces del polinomio son: −1, 3, 2i, −2i.

Problemas propuestos

1. ¿Es 2 raíz de la ecuación x4 − 2x2 − x + 7 = 0?

2. Encuentra los polinomios que tienen como raíz:

a) a 2 de multiplicidad 3, a 1+7i y a 1−7i.b) a 3 de multiplicidad 2, a –1 de multiplicidad 3, y a 4.

3. ¿Es el (x − 8) divisor del polinomio x4 − 12x3 + 86x2 − 532x + 800?

4. Encuentra las raíces de:

a) x3 − 25x2 − 212x − 638 sabiendo que 7+3i es raíz.b) x4 + 2x3 + 10x2 + 18x + 9

5. Determina las raíces reales de: p(x) = x3 − 7 x2 + 2x + 40

6. Determina las raíces de: f(x) = 12x4-5x3-11x2+6x=0

Álgebra superior

248

Autoevaluación

1. La ecuación polinomial de 8x5 + 3x2 + 5x − 5 es:

a) p(x) = 8x5 + 3x2 + 5x − 5b) 8x5 + 3x2 + 5x − 5 = 0c) p(0) = −5d) 3 y –4.

2. Si un polinomio es de grado 4 y tiene una raíz de multiplicidad 3 entonces tiene:

a) Una raíz. b) Dos raíces diferentes.c) Tres raíces diferentes.d) Cuatro raíces diferentes.

3. El polinomio que tiene como raíces a 7+2i, 7−2i, 1+ 2 , 1− 2 y 5 es:

a) 2x5 + x4 − 2x3 + 12x2 + 2x + 7b) 5x5 + 8x4 − 56x3 − 68x2 + 61x + 87c) x5 − 21x4 + 160x3 − 492x2 + 407x + 265d) x5 − x4 − 5x3 + 425x2 + 547x + 9

4. x−4 es un divisor de p(x) = x4 − 9x3 + 29x2 − 81x + 180 ya que:

a)p(−4)≠0

b) p(4) ≠ 0c) p(−4) = 0d) p(4) = 0

raÍces de polinomios

24�

5. Si 6+7i es una de las raíces de un polinomio con coeficientes racionales, entonces podemos afirmar que también es raíz:

a) 6 −7i b) –6+7i

c) –6−7i

d) 6+7i es una raíz de multiplicidad 2

6. Si 4+ 5 es raíz de un polinomio con coeficientes racionales, entonces podemos afirmar que también es raíz:

a) 4+ 5 es una raíz de multiplicidad 2b) –4− 5c) −4+ 5d) 4− 5

7. Las raíces de x4−13x2 + 36 son:

a) ± 3 y ± 2b) ± 4 y ± 3c) ± 5 y ± 2d) ± 2 y ± 4

8. Las raíces de x4− 3x3 + 5x2 − 27x − 36 son:

a)–1,4,+5iy–5i

b) –4, 1, +5i y –5i

c) −4, 1, +3i y –3i d) −1, 4, +3i y –3i

Álgebra superior

2�0

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1.

a)Funciónpolinomial:f(x)=9x5+4x3+5x2+5.Ecuaciónpolinomial

9x5+4x3+5x2+5=0

b)Funciónpolinomial:f(x)=25x3+4x2+5x+6.Ecuaciónpolinomial

25x3+4x2+5x+6=0

2.

a) No es ya que p(–2)( )2 36− = −b) Sí.c) Sí.

Ejercicio 2

1. a) Siete.b) Cuatro.c) Tres.

2. Tres.

3. a) Dadas las raíces se plantea el polinomio p(x) = (x+3)(x−2)(x−1/2) Haciendo el producto de los factores:

(x2 + 3x −2x−6)(x−1/2)(x2 +x−6)(x−1/2)

x3 + x2 −6x −1/2x2 − 1/2x + 3 Por último se tiene que el polinomio es: x3 + 1/2x2 − 13/2x + 3b) Dadas las raíces se plantea el polinomio: p(x) = (x+2i )(x−2i)(x+2)(x+1)

raÍces de polinomios

2�1

Aplicando la diferencia de cuadrados se obtiene:(x2+4)(x+2)(x+1)

Haciendo las demás operaciones: (x3+2x2+4x +8)(x+1) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + x3 + 2x2 + 4x + 8 De lo que el polinomio es: x4 + 3x3 + 6x2 + 12x + 8

c) Dadas las raíces planteamos el polinomio: p(x) = (x−(3+4i))(x−(3−4i))(x−5)(x−3/2) Agrupando: ((x−3) + 43) + 4i)((x−3) − 43) − 4− 4 4i)(x−5)(5)(x−3/2)3/2) Aplicando la diferencia de cuadrados y haciendo las demás

multiplicaciones:((x−3)2 +16)(x2 −5x −3/2x +15/2)(x2 − 6x + 25)(x2 −13/2x +15/2)

x4 −13/2x3 + 15/2x2 + 6x3 − 39x2 −45x + 25x2 − 325/2x + 375/2 Por último el polinomio buscado es:

x4 − 25/2x3 + 143/2x2 − 415/2x + 375/2d) Dadas las raíces se plantea el polinomio:

p(x) = (x−(3+ 5 ))(x−(3− 5 ))(x−6) Agrupando: ((x−3)+ 5 )((x−3)− 5 )(x−6) Aplicando la diferencia de cuadrados obtenemos:

((x−3)2 − 5)(x−6) Elevando al binomio al cuadrado y sumando se tiene:

(x2− 6x + 4)(x − 6) Haciendo la multiplicación se llega a:

x3 − 6x2 − 6x2 + 36x + 4x − 24Por último, el polinomio buscado es:

x3 −12x2 + 40x − 24

Ejercicio 3

1. Por el teorema del factor, basta con demostrar que p(5)=0, donde: p(x) = x4 − 7x3 + 13x2 − 7x +12

Por lo tanto:p(5) = (5)4 − 7(5)3 + 13(5)2 − 7(5) + 12 = 625 − 875 + 325 − 35 + 12 = 0

Entonces (x−5) si divide a p(x) = x4 − 7x3 + 13x2 − 7x + 12

Álgebra superior

2�2

2. Por el teorema del factor, basta con demostrar que: p(a) = 0 donde p(x) = xn − an

Como p(a) = an − an = 0 queda demostrado que (queda demostrado que (x− a) divide a (xn − an) para todo n.

3. a) Como 5+i es raíz, entonces 5−i también es raíz. Ahora, como el

polinomio tiene tres raíces, entonces se puede escribir como: x3 −18x2 + 106x − 208 = (x−(5+i))(x−(5−i))(x− α)

donde α es la raíz que falta por conocer. Utilizando diferencia de cuadrados, el polinomio se puede escribir

como:x3 − 18x2 + 106x − 208 = (x2 −10x + 26)(x − α)

Por tanto:3 2

2

18 106 20810 26

x x xx

x xα − + −− = − +

Haciendo la división de los polinomios se obtiene que α = 8.b) Como el polinomio p(x) = x4 − 4x3 − 3x2 + 16x − 4 tiene sólo

coeficientes racionales entonces, si 2− 3 es raíz implica que 2+ 3 también lo es. Para encontrar las dos raíces que nos faltan hay que fijarnos en los divisores de 4. Como los divisores son: ±1, ±2, y ±4 tenemos que evaluar la función en todos los puntos.

Valor de x Valor de f(x) 1 6 −1 −18 2 0 −2 0 4 12 −4 396

Por tanto las raíces son: 2, −2, 2+ 3 y 2− 3 .

raÍces de polinomios

2�3

c) Para encontrar las raíces del polinomio: p(x) = x4 + 2x2 +1 observemos que la ecuación polinomial se puede escribir como x4 + 2x2 + 1 = (x2+1)2 = [(x+i)(x−i)]2 = 0

lo que implica que las raíces son i y –i, y ambas son raíces con multiplicidad 2.

Respuestas a los problemas propuestos

1. No, p(2) =13.2.

a) x5 − 8x4 + 74x3 − 332x2 + 616x −400b) x6 − 7x5 + 6x4 + 34x3 − 19x2 − 75x− 36

3. Si ya que p(8)=0.4.

a) las raíces son 7+3i, 7−3i y −11b) las raíces son –1 de multiplicidad 2, 3i y –3i

5. 1 2 34, 5, 2x x x= = = − .6. Las raíces son: 0, 2/3, 3/4 , −1.

Respuestas a la autoevaluación

1. b)2. b)3. c)4. d)5. a)6. d)7. a)8. d)