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Radiación y la correspondencia AdS/CFT

MarianoChernicoff

FacultaddeCiencias,UNAM.

Plan de la plática

1. Motivación

2. La correspondencia AdS/CFT

3. El quark en un mundo fuertemente acoplado

4. Conclusiones

arXiv:0903.2047 (Phys.Rev.Lett.102:241601,2009) arXiv:0909:080 (JHEP 0909:080,2009) realizado con Antonio García y Alberto Güijosa

Motivación Queremos estudiar la dinámica del quark en una teoría de norma fuertemente acoplada

¿Por qué?

Se sabe muy poco sobre sistemas fuertemente acoplados

Eventual contacto de la teoría de cuerdas con QCD y QGP

La descripción completa de la dinámica de un objeto cargado es un problema viejo y aún con preguntas abiertas (tanto en QED como QCD)

Revisemos brevemente algunos antecedentes...

i) Caso No-relativista de partícula cargada acelerada

m!!x! te

...!x

"= !F te ! 2e2/3mc3con

Si tomamos en cuenta el efecto del campo de radiación sobre la carga, la ecuación de movimiento es (Abraham-Lorentz) [Lorentz;Abraham(1902)]:

amortiguamiento por radiación escala temporal asociada con el radio clásico del electrón

Fµ ! !("F · "v/c, "F )Término de Schott asociado al campo cercano

Término de radiación

ii) Caso relativista de partícula cargada acelerada

m

!xµ ! te

"...xµ ! 1

c2x! x! xµ

#$= Fµ

ahora ˙! d/d!

La ecuación de movimiento es (Lorentz-Dirac) [Lorentz;Dirac(1938)]:

En ambos casos hay patologías...

2. Preaceleración: la partícula se acelera antes de que la fuerza externa actúe sobre ella (violando causalidad). Esta situación se observa para tiempos menores que te

Estas dos situaciones se originan de suponer que la carga es PUNTUAL

Si el objeto tiene un tamaño finito entonces se puede demostrar que la ecuación de Lorentz-Dirac solo representa una parte de la dinámica.

La ecuación completa involucra infinitas derivadas de orden superior (ld/dt)n

l > cte

[F.Rohrlich(1965)]

1. Autoaceleración: la partícula se acelera aún cuando la fuerza externa es cero. Se puede ver a partir de la ec. de movimiento que:

Fext = 0 a(t) =Aet/te

0Si


¿Qué sucede a nivel cuántico?

En QED (caso no relativista) la ec.de movimiento tiene infinitas derivadas y el electrón adquiere un tamaño efectivo debido a nube de partículas virtuales [MonizySharp(1974)].

l = !c

Importante aclarar que estas patologías solo se observan a escalas menores que la longitud de onda de Compton !C ! !/m = 2"re/#




0Si


Pasar a una teoría cuántica no-abeliana y fuertemente acoplada sería muy complicado utilizando la herramientas usuales.

¿Qué podemos hacer?




0Si

= TeoríadecuerdasTipoIIBAdS5sobre !S5

Aµ(x)

Contenido de campos:

!I(x) I = 1, . . . , 6

!a(x) a = 1, . . . , 4

Campos sin masa y en la rep. adjunta (matrices de NxN)

enMinkowski3+1

SU(Nc)N = 4SYM

La correspondencia AdS/CFT [Maldacena(1997);Gubser,Klebanov,Polyakov;Wi]en(1998)]


= TeoríadecuerdasTipoIIBAdS5sobre !S5enMinkowski3+1

SU(Nc)N = 4SYM

ds2 =R2

z2

!!dt2 + d!x2 + dz2

"+ R2d!5

z = o

z =!

!x

Las constantes:

gYM Ncy gs y R/ls


= TeoríadecuerdasTipoIIBAdS5sobre !S5enMinkowski3+1

SU(Nc)N = 4SYM

ds2 =R2

z2

!!dt2 + d!x2 + dz2

"+ R2d!5

Diccionario (en construcción):

g2Y M = 4!gs g2

Y MNc =R4

l4sy

Las cuentas del lado de cuerdas están bajo control cuando el el acoplamiento es débil y la curvatura pequeña:

y gs ! 1 R4

l4s! 1

Esto implica que:

g2YMNc ! 1Nc ! 1 y

i.e., podemos estudiar la teoría de norma en el límite de N grande y con acoplamiento fuerte.

! ! g2YMNcdefinimos

La correspondencia AdS/CFT es una herramienta que nos permite obtener información sobre una teoría de norma fuertemente acoplada a partir de cuentas en una teoría de cuerdas sobre un fondo curvo.

Diccionario (en construcción):

Las cuentas del lado de cuerdas están bajo control cuando el el acoplamiento es débil y la curvatura pequeña:

y

Esto implica que:

g2Y M = 4!gs g2

Y MNc =R4

l4sy

gs ! 1 R4

l4s! 1

g2YMNc ! 1Nc ! 1 y

¿Cómo agregamos quarks?

- La punta de la cuerda representa el quark, mientras que el resto codifica la información sobre el perfil de los campos gluónicos.

[Karch,Katz]

Quark

=

z = 0

z =!

cuerda

D7-branas

- La masa del quark está dada por donde es la posición radial donde terminan las D7-branas.

Importante:

zmm = 1/2!"!zm

- Estamos acoplando el campo gluónico a un quark en primera cuantización

Y porque lo vamos a usar más adelante, aclaro:


Importante:

[Karch,Katz]

Quark

=

z = 0

z =!

cuerda

D7-branas

- Para un quark con masa infinita es posible calcular el valor esperado de:

[Danielsson,Kruczenski,Keski‐Vakkuri]!TrF 2(!x, t)" =#

"

16#2|!x|4

i.e., el campo se comporta como aquel de una carga puntual


Importante:

[Karch,Katz]

Quark

=

z = 0

z =!

cuerda

D7-branas

- Para un quark con masa finita:

!TrF 2(!x, t)" =#

"

128#2

!$

"2#m#

"

#4

+7

4|!x|4

"2#m|!x|#

"

#6

+ . . .

$

i.e., el campo NO diverge en la fuente !"

!

2"m#ancho de

la nube

|!x| <

!"

2#m

[Hovdebo,Kruczenski,Mateos,Myers,Winters]

Queremos estudiar la dinámica del quark en SYM, por tanto necesitamos estudiar la dinámica de la cuerda en AdS.

El quark en un mundo fuertemente acoplado

Tarea difícil, pero en particular para este fondo se puede

… e intentamos resolver las ecuaciones de movimiento.

!t

!X

z2"

1 + X !2 ! X2

#! !z

!X !

z2"

1 + X !2 ! X2

#= 0

SNG = ! 12!"!

!d2#

"!det gabUtilizamos

1. Quark acelerado (infinitamente pesado)

z = 0

z =!

=v

v

Para una trayectoria arbitraria (tipo tiempo) del quark la solución para la cuerda es:

Xµ(!, z) = zdxµ(!)

d!+ xµ(!)

!x(")

Donde es el tiempo propio y la velocidad del quark ! dxµ(!)d!

[Mikhailov]

Sobre la solución de Mikhailov

z = 0

z =!

=

!x(tret) !x(t)

!X(z, t)

!x(tret)

t = z1!

1" !v 2+ tret !X(t, z) = z

!v!1" !v 2

+ !x(tret)

La componente temporal y espacial de la solución:

y

tret ! cte , son trayectorias nulas sobre la hoja de mundo de la cuerda

Mensaje: podemos saber como se comporta un segmento de la cuerda en un instante y un valor de , si sabemos lo que estaba haciendo la punta en un instante

t ztret

Para mover la cuerda necesitamos encender un campo eléctrico en la D7, esto corresponde a agregarle a la acción de NG el siguiente término:

SF =!

d! Aµ(X(!, zm))"!Xµ(!, zm)

SNG + SF = !m

!d! +

!d! Fµ(!)xµ(!)

i.e., Partícula relativista sujeta a fuerza externa! [MCh,García,Güijosa]

Algunas observaciones

Sustituyendo la solución de Mikhailov en e integrando por partes

SNG + SF

SNG + SF = ! R2

2!"!

!d#

! "

zm#0

dz

z2+

!d# Fµ(#)xµ(#)

SF

Además … La energía total de la cuerda esta dada por:

E(t) =!

!

2"

! !

0

dz

z2

1 +"

! "X!z

#2

$1"

"! "X!t

#2+

"! "X!z

#2"

"! "X!t

#2 "! "X!z

#2+

"! "X!t · ! "X

!z

#2

sustituyendo la solución resulta que [Mikhailov]:

E(t) =!

!

2"

! t

!"dtret

#a 2 " [#v # #a]2

(1" #v 2)3+ Eq(#v(t))

Término de superficie

Eq(!v) =!

"

2#

!1!

1" !v 2

1z

"####zm=0

!= $m

i.e., energía intrínseca del quark [MCh,Güijosa]

La energía total de la cuerda esta dada por:

E(t) =!

!

2"

! !

0

dz

z2

1 +"

! "X!z

#2

$1"

"! "X!t

#2+

"! "X!z

#2"

"! "X!t

#2 "! "X!z

#2+

"! "X!t · ! "X

!z

#2

sustituyendo la solución resulta que [Mikhailov]:

E(t) =!

!

2"

! t

!"dtret

#a 2 " [#v # #a]2

(1" #v 2)3+ Eq(#v(t))

Fórmula de Lienard!!

Recordar que estamos en una teoría de norma no abeliana y fuertemente acoplada …

2. Quark acelerado (masa finita)

OBJETIVO: obtener la ecuación de movimiento utilizando la solución que tenemos para el quark con masa infinita.

NOTA: Denotaremos con una tilde a todas las cantidades en z = 0

Xµ(! , z) = zdxµ(!)

d!+ xµ(!)i.e.,

En particular, para la punta de la cuerda en z = zm

Xµ(! , zm) = zmdxµ(!)

d!+ xµ(!)xµ(!) !

z =!

=v

vz = zm

z = 0

Diferenciando la expresión anterior con respecto al tiempo propio:

dxµ(!)d!

= zmd2xµ(!)

d2!+

dxµ(!)d!

y d2xµ

d!2=

d2xµ

d!2+ zm

!d3xµ

d!3

"

Existe relación de recurrencia que nos permite expresar las variables en en términos de las variables en z = 0 z = zm

También sabemos que a partir de la acción de NG, podemos obtener la ecuación de movimiento para la punta de la cuerda, i.e.,

!zµ !

!LNG

!(!zXµ)= Fµ

Sustituyendo la solución que tenemos en esta última expresión lo que se obtiene es

!zµ =

!!

2"

d#

d#

!1

zm

d2xµ

d#2+

"d2xµ

d#2

#2dxµ

d#

$= Fµ

d!2 = d!2

!1! z2

m

"d2x

d!2

#2$


d!+ xµ(!)Además a partir de

Obtenemos relación entre tiempo propio en y z = 0 z = zm

d

d!

!

"mdxµ

d! !!

"2#mF

µ

#1! "

4#2m4F2

$

% =Fµ !

!"

2#m2F2 dxµ

d!

1! "4#2m4F2

[MCh,GarcíayGüijosa]

Juntando todo esto y después de un poco de álgebra lo que se obtiene es:

Recordemos juega el papel de la longitud de onda de Compton zm =!

!

2"m

d!2 = d!2

!1! z2

m

"d2x

d!2

#2$


d!+ xµ(!)Además a partir de

Obtenemos relación entre tiempo propio en y z = 0 z = zm

Juntando todo esto y después de un poco de algebra lo que se obtiene es:

d

d!

!

"mdxµ

d! !!

"2#mF

µ

#1! "

4#2m4F2

$

% =Fµ !

!"

2#m2F2 dxµ

d!

1! "4#2m4F2

[MCh,GarcíayGüijosa]

Ecuación de movimiento para un quark con masa finita en una teoría cuática no-abeliana y fuertemente acoplada!

Y usando , lo cual es consistente con la expansion, tenemos:

m

!d2xµ

d!2!"

"

2#m

d3xµ

d!3

"= Fµ !

""

2#

d2x!

d!2

d2x!

d!2

dxµ

d!

md2xµ/d!2 = F

md

d!

!dxµ

d!!

""

2#m2Fµ

"= Fµ !

""

2#m2F2 dxµ

d!

Caso límite: si consideramos una fuerza externa pequeña !

!|F2|/2"m2 ! 1

a primer orden en tenemos: !

!/2"m2

Y el contacto con la ecuación de Lorentz-Dirac?

Coincide exactamente con la ec. de Lorentz-Dirac!

Y usando , lo cual es consistente con la expansion, tenemos:

m

!d2xµ

d!2!"

"

2#m

d3xµ

d!3

"= Fµ !

""

2#

d2x!

d!2

d2x!

d!2

dxµ

d!

md

d!

!dxµ

d!!

""

2#m2Fµ

"= Fµ !

""

2#m2F2 dxµ

d!

Caso límite: si consideramos una fuerza externa pequeña

md2xµ/d!2 = F

!!|F2|/2"m2 ! 1

a primer orden en tenemos: !

!/2"m2

Juega el papel de y coincide con el ancho de la nube! te

Y el contacto con la ecuación de Lorentz-Dirac?

d

d!

!

"mdxµ

d! !!

"2#mF

µ

#1! "

4#2m4F2

$

% =Fµ !

!"

2#m2F2 dxµ

d!

1! "4#2m4F2

1. Se puede checar que ya no tiene patologías!

Observaciones finales sobre la ecuación que obtuvimos

Reescribiéndola

d

d!

!

"mdxµ

d! !!

"2#mF

µ

#1! "

4#2m4F2

$

% = Fµ !"

"

2#m2F2

&dxµ

d! !!

"2#m2Fµ

1! "4#2m4F2

'

Observaciones finales sobre la ecuación que obtuvimos,

Y en analogía con la ec. de Lorentz-Dirac, podemos leer que:

pµq =

mdxµ

d! !!

"2#mF

µ

!1! "

4#2m4F2

2. El cuadrimomento del quark (relación de dispersión modificada):

dPµrad

d!=!

"F2

2#m2

!dxµ

d! "!

"2#m2Fµ

1" "4#2m4F2

"3. Tasa a la cual radía el quark:

Ejemplos 1. Movimiento unidimensional

La ecuación de movimiento se reduce a:

a =zmF/(1! v2)3/2

!1! z4

mF/2+

z2mF/(1! v2)1! z4

mF/2

Podemos preescribir la trayectoria y resolver la ecuación diferencial para o al revés, dada la fuerza externa encontrar la trayectoria. F/

i) Caso a = 0

F/(t) = ± 1z2m

sech

!!1" v2

zm(t" t0)

"constante de integración t0 !

La fuerza es cero en alcanza su valor crítico en y se vuelve ir a cero cuando

F/ =1!!zm

t = !"t = t0 t =!

F/ = 0 pero además,

Ejemplos 1. Movimiento unidimensional

La ecuación de movimiento se reduce a:

a =zmF/(1! v2)3/2

!1! z4

mF/2+

z2mF/(1! v2)1! z4

mF/2

Podemos preescribir la trayectoria y resolver la ecuación diferencial para o al revés, dada la fuerza externa encontrar la trayectoria. F/

ii) Caso F/ ! constante

x(t) = x0 ±!

1z2mF/2 ! z2

m + (t! t0)2

Muy similar a la solución de una partícula “usual” con aceleración propia constante (la fuerza externa escala diferente).

Conclusiones

- Obtuvimos una ecuación que describe la dinámica de un quark en una teoría cuántica no-abeliana y fuertemente acoplada (pero no es QCD).

- Encontramos la tasa a la cual radía dicho quark y estudiamos algunos ejemplos sencillos de su dinámica.

- Es interesante que en la cuenta aparecen los efectos de amortiguamiento sobre el quark, sin embargo, los que siente la cuerda son despreciables (suprimidos por 1/N).

.

- Mucho trabajo futuro ¿Qué sucede a temperatura finita? (ver plática de Juan Felipe ) ¿Posible contacto con el QGP? Trabajar en teorías más similares a QCD

Calcular !TrF 2(x)" !Tµ!(x)"y

.

.

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