RadicalEs

RADICALES

1- DEFINICIÓN

En general se llama Raíz de índice n de un número A, o raíz n-ésima de A, a otro número, B, de manera que al elevarlo a n (índice) nos dé el valor del radicando A.

n√A=B si se cumple que Bn=A

Donde a:

n√A se llama radical.

n se le llama índice del radical con n≥2 ; nNA se le llama radicandoB la raiz n – ésima

Un radical es por tanto una raíz indicada, sin resolver, y representa el valor exacto del número real, sin errores.

Entonces por ejemplo, a partir de la definición podemos calcular las siguientes raices:

a)3√8=2

por que 23=8

b)4√81=3

por que 34=81

c)3√125

d)3√−27

e) √64

f)3√−64

g)4√64

h) √−25

i)4√−16

j)6√−64

k)3√−125

l)5√−32

m)3√−8

n) √121

o)3√73

p)5√85

q)9√139

r)21√221

s)

7√(−5)7

t)5√243

u)4√625

v) √−169

w)4√256

OBSERVACIONES:1.- Todo número real positivo tiene dos raíces de igual índice, una positiva y otra negativa:

√9=±3 por que 32=9 y (−3)2=9

Entonces representaremos por: n√a la raíz positiva y −

n√a la raíz negativa.2.- NO EXISTE LA RAÍZ DE ÍNDICE PAR DE NÚMEROS NEGATIVOS,ya que cualquier número elevado a una potencia par es siempre positivo.

3.- Las raíces de índice impar existen siempre, para cualquier número, y tienen el mismo signo del radicando.Es decir, la raíz de índice impar de un número negativo es negativa y la raiz de índice impar de un número positivo es positiva.

2- PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS RADICALES.

2.1. Producto de radicales con el mismo índice:

Es otro radical del mismo índice que resulta de multiplicar los radicandos. Es decir, se deja el índice y se multiplican los radicandos.

Ejemplo / Ejercicio:

a) √3⋅√7=√3 .7=√213√4⋅3√2=3√2 . 4=3√8=2

c) 7√2⋅7√5

d) 5√5⋅5√3⋅5√4

e) 4√27⋅4√3

f) 6⋅6√4⋅6√2⋅6√8

g) 10√56⋅

10√54

h) 8√3⋅

8√35⋅8√32

i) 9√10⋅9√100⋅

9√106

2.2. Cociente de radicales con el mismo índice:

Es otro radical del mismo índice que resulta de dividir los radicandos. Es decir, se deja el índice y se multiplican los radicandos.


a) √3664 b)

3√ −8125 c)

4√1681 d) √121

169

n√a⋅n√b=n√a⋅b

n√a : n√b=n√a :b o

n√an√b

=n√ ab

e)

3√645 f)

3√250 :3√2 g)

√125√5

3√243√6 h) √27 :√3

2.3. Potencia de un radical:

Es otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es una potencia de exponente igual al del radical


a) (4√7 )3 b)

(21√23)5 c) (

3√6 )3 d)(√5 )2

e)

(8√62)4

f)(5√3 )2

g)(2 6√3 )6 h)(−4√2 )4 i)(−5√2 )3

2.4. Raíz de un radical:Es otro radical cuyo índice es el producto de los índices y el radicando es el mismo.


a) 3√4√5 b) √5√49 c) √4√38

d)

6√√3√9 e) √√√27 f)5√√10000000000

2.5. Radicales Equivalentes:Son radicales equivalentes aquellos que tienen el mismo valor. Por ejemplo:

2=√4=3√8=4√24

= 3√32=

6√34=15√310

= = =

Observamos que una forma de obtener radicales equivalentes es multiplicar el índice y el exponente del radicando por el mismo número, podríamos llamarlo, por analogía con las fracciones, amplificación de radicales. Del mismo modo podemos obtener radicales equivalentes dividiendo el índice y el exponente del radicando por el mismo número, podríamos llamarlo, simplificación de radicales.

Así:

Amplificar:

n√a p =¿k

n⋅k√ap⋅k ; Simplificar:

n√a p =: k

n :k√ap :k

Ejemplo / Ejercicio: Obtener dos radicales equivalentes, uno simplificando y otro amplificando:

a) 4√56

b)√72 c)

5√310 d)

10√35 e)

12√518f)

4√78⋅26g)

6√43⋅79⋅27

h)√64 . 26⋅9

Ejercicio 1: Completa para que sean radicales equivalentes:

a) 3√54=

9√5____ b)8√914=

___√97

c) 4√3=

___√35 d)√8=6√2____

Una aplicación inmediata de esta propiedad es la de reducir varios radicales a índice común; calculando el mínimo común múltiplo, m.c.m., de los índices y obteniendo radicales equivalentes a los de partida con índice el m.c.m.

Ejemplo: Vamos a reducir a común denominador: 6√53

; 4√52

; √21º Calculamos el m.c.m. de los índices: m.c.m.(6,4,1)=122º Obtenemos radicales equivalentes con este índice:6√53

= 12√56

4√57

= 12√521

√2=12√26

Ejercicio 2: Reduce a común denominador los siguientes radicales:

a) 5√34

; 15√52

; 9√76

b) 6√53

; 8√4 ;

3√6

Ejercicio 3: Calcula aplicando las propiedades de los radicales, simplificando el resultado:

a)

3√2⋅3√123√3

b)

6√√220

c)

√16⋅√10√2

( n√a )k=n√ak , en general, (n√ap )k=n√a p.k

n√m√a=n⋅m√a

d)(√3√5)4

e)( 3√√3⋅√2)2

f)

√a⋅√a.b3√b⋅c6

g)√1005√10

h)(3√6√54)9

3- CALCULO DE RAÍCES POR FACTORIZACIÓN. Las propiedades de los radicales nos permiten calcular raíces, de forma fácil, a partir de la factorización de su

radicando. Este método es muy útil para el cálculo de raíces de números muy grandes o no inmediatas.

Ejemplo / ejercicio:

a)√3600=√24 .32 .52=√22⋅√22⋅√32⋅√52=2 . 2.3 .5=22 .3 . 5=60

b)3√1728=

3√26 . 33=3√23 .

3√23 .3√33=2 .2 . 3=12

c)√225

484= √225

√484= √32 .52

√22 . 112=

3. 52 .11

=1522

d) √1296

e) 4√810000

f) 3√21952

g)√441196

h)√0 ' 0001h)

4√811296

i) 5√310 . 75 . 215

Esto nos lleva a:

3.1. Extraer factores de un radical

Se extraen tantos factores como grupos de igual número que el índice haya.Por ejemplo:

a) 3√73 . 56=7 . 52

, ya que hay un trío de 7 y dos tríos de 5

b) √26 . 310 . 52 . 7=23 .35 .5 .√7 , ya que podemos hacer tres parejas de 2, cinco parejas de 3, una pareja de 5 y ninguna de 7, con lo cual no podemos extraer ningún factor 7 del radical así que se queda dentro.

c) √24 .33

d) 4√24 .312 .52 . 720

e)3√8640

f) √250

g) 3√22 .56 .113

h)5√1315 . 1125 .1740 .252

3.2. Introducir factores en un radical.

Para introducir un factor en un radical, tenemos que elevarlo al índice del radical, por ejemplo:

a) 3 .√5=√5 . 32=√45 b) 2 . 5√10 c) b6√b2

d) 73 .√2 e) a

5 .7√a2

f)52 . 3 .

3√32

Ejercicio 4: Calcula

a)

53 √ 34

56 b)

73

2 √ 17 c)

23 .4√ 22

210

4- OPERACIONES CON RADICALES

4.1. Suma y Diferencia de radicales:

Sólo se pueden sumar y restar radicales iguales, es decir, aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplo Ejercicio::

a) 7√2+3√2−2√2=(7+3−2)√2=8√2

b) −2√7+5√7−8√7+3√7−5 √7+7 √7 =(−2+5−8+3−5+7 )√7=0√7=0

c)

4 3√9+12

3√9−34

3√9=(4+ 12− 3

4)3√9=15

43√9

d) 5√11−3√17−4√11−9√11+8√17

e) 343358365 f)

32√15+ 2

3√15−1

6√15

g) −3√2−4 · 3 √3−7√2+3√3

h)

72√11−4

3√7−5

6√11+−9

4√7+√7

i) −2√21−2 (5√21−8√21 )−(√21+√21 )

j) 9√21−3 (√21+8√21 )−(3√21+√21 )

k) 2√6+5√6−3√6

Pero que pasa si tenemos: √18+3√2−√50¿Qué podremos hacer? …Lo que se hace en estos casos es: 1º factorizar los radicandos y 2º extraer del radical y 3º ahora si, sumar los radicales

iguales

2252323)º2(5.2233.2)º1(502318 22 extraemososfactorizam

Ejercicio 5: Suma los siguientes radicales:

a)√20+√45−√80

b)√16+√54+√250

c)4 √12−3√48+2√27+3√75

d)3√2−3√8+√18

e)3√54−2 3√16

f)√32−4√50+√14

g)3√81−2 3√24+5 3√375

h)4 √27+6√12−8√108

i)√28+√175+3√75

j)

4 √12−32

√48+ 23√27

k)7√54−3√18+√24−√6

4.2. Multiplicación y Cociente de radicales:

Sólo se pueden multiplicar y dividir radicales con el mismo índice. Así que el primer paso es reducir a índice común todos los radicales de la multiplicación/división.Ejemplo / Ejercicio:

a)

6√53.

4√57.√2 =

12√56 .

12√521.

12√26=

12√56 .521 .26=12√527 . 26

=

=podemos simplificar :3 = 4√59 . 22

=extraemos factores=52 4√5 . 22=254√20

b) √5⋅ 3√5⋅4√53

c)√2⋅4√2 d) 3√22⋅6√2 e)

4√3⋅5√32

10√33f)

3√25

4√23 g)

4√23⋅35√2⋅34

Ejercicio 6: Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a)√2 (3−4√5 ) b)5√8 (√2−3√18 ) c)(2+√3 )2 d)(2+3√2 ) · (5- √2 ) e)(6+√2 ) · (6-√2 )

f)(3−2√2 ) · (4-3 √2 ) g)(3+2√7 )2 h)(−7+√11 ) · (+7+√11 ) i)(2−4√5 ) · (2+ 4 √5 )

Ejercicio 7: Efectúa, aplicando las propiedades de los radicales, y simplifica:

a)(3√5√24 )6

b)

3√a⋅b⋅c ⋅3√a⋅b3

√a⋅b c)√ 7 ⋅4√22⋅76

d)

√3 .5 .√27 .√5

Ejercicio 8: Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes:

a) √12

b) 3√54

c) 3√64

d) √3a2

e) √24a4

f) √274

g) √ x4 y3

h)

3√ 5 x10

y3

i)

3√250 x3 y4

j)

3√81x8 y8

k) 4√32a5b8c

m) √32x7 y6

n)

5√32x5 y6

ñ)

√18a3b2

√27a2b

o)

43√243a7

93√64 a4b5

5- RACIONALIZAR denominadores.

Consiste en eliminar radicales del denominador, ya que a veces conviene y simplifica el resultado.

Nos encontramos principalmente dos casos:

Caso I: Cuando hay un radical en el denominador bien sólo o bien multiplicado por algún/os número/s. Es decir,

cuando tenemos una expresión reducible a : Bn√ak

, con a ,B⋲R ,n⋲N ;k⋲Q. Se resuelve pasando a una fracción

equivalente, multiplicando numerador y denominador por el mismo número, que será n√an−k (se trata de multiplicar el

denominador por un número de manera que el exponente del radicando sea igual que el índice de la raíz y así ésta se

simplificaría), de manera que nos quedaría:

Bn√ak

=B .

n√an−kn√ak . n√an−k

=B .

n√an−kn√an .

=B .

n√an−ka

Ejemplo/Ejercicio:

a)1

3√25= 1∙ 3√5

3√52 ∙ 3√5=

3√53√53

=3√55

b) 5√16

√2c)

35√32

d)√7

3∙√5 e)

6

√12

f)√2

8 ∙4√2❑

Caso II: Cuando haya en el denominador una suma o resta donde aparezca un radical cuadrado: c

√a±√b o

c

√a±bSe resuelve multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador (nota: el conjugado de

A+B es A-B y el conjugado de A –B es A+B), de manera que lo que se obtiene es una suma por deferencia que es igual a

la diferencia de cuadrados (nota: (A+B)∙(A–B)=A2 – B2 ). Así pues:

c√a+√b

=c ∙(√a – √b)

(√a+√b ) ∙(√a – √b)=c ∙(√a –√b)(√a )2

−(√b )2=c ∙(√a – √b)a –b

Ejemplo/Ejercicio:

a)3

2−√3=

3 ∙(2+√3)(2−√3 ) ∙(2+√3)

=3 ∙(2+√3)

4− (√3 )2=

3 ∙(2+√3)4−3

=6+3√3 b)1

√5+2c)

4

√3+√2

d) √2

2√2−3e)

√5−√3√5+√3

ejercicios

1. – Extrae las siguientes raíces:

√64= √4225

= √−16= 3√−27

64=

3√1729

= √144= √81= 3√−8

125=

√-25= 3√64=

3√−27= 3√-216=

3√216343

= 3√729=

3√729512

= 3√−125=

4√16= 3√b6

216=

4√−81= 3√−1

27b6=

4√625= 4√−1296=

5√−32b10

= √4x6 y12= 4√14641=

5√−32= 5√243=

5√a10=3√8b3 =

5√−3125=

4√−1296b8= 5√−243b15=

5√−1024b10 x15= 5√1024= √1

64=

√2 ,7= √925

= √7, {1= √−1636

= ¿√-25144

= 3√−27 x6

125a3b9=

3√−343b9= 5√32b80= ¿√ 1

4b6=

3√−2764

x12m6= 7√−128m14 c42=

4√81 c8m12= ¿ 3√ −8729

b6m36= 3√0 ,001= ¿¿2. – Extraer los factores posibles:

3. – Extrae los factores posibles de cada radical:

3√81b7=5√128m10=

7√256b14 c11=5√3125m10 c13 b37=

4√b7m3=5√1024m37 c18= √2,7b3= 3√216

343m12 b15 c=

3√0 ,001b7= 3√8729

b5m14= 5√1243

b7m45= √324 b3 x=

4. – Reduce a común denominador:

a) b)

c) d)

e) f)

5. – Introduce los factores en el radical y simplifica:

6. – Racionaliza las siguientes expresiones:

7. - Racionaliza las siguientes expresiones:

8. - Calcula el valor de estas expresiones:

9. - Efectúa las siguientes operaciones:

¿ 3√2 + 5√2 − 7√2 + 4√2= ¿ 2√3 − 3√3 + 5√3 − 4√3=¿ 6 √2 − 2√2 + 4 √2 − 5√2= ¿ 2√5 + 7√5 − 3√5 + 8√5=¿ 3√2 − 4√8 + 5√50 − 3√32= ⋅ 4√12 - 3√75 + 6 √300 - √108=

¿ 2√20 + 4 √80 − 5√180 + 3√125= ¿ 14

√128 + 6√512 − 12

√32 − 3√98=

¿ 25

√20 − 35

√80 + 12

√180 + 6√45= ¿ 43

√27 − 13

√243 + √75 − 2√48=

¿ 5√44 − 3√275 + 6√396 − √1331= ⋅ 7√28 - 4 √63 + 5√343 - 2√7=

¿ 5√92

− 3√8 + 4√252

− 2√12= ¿ 7 √4

3 − 5√3 + 2√16

3 − √27=

¿ 3√15

+ 7√45

− 2√5 + √20= ¿ 3√6 − 4√256

+ 3 √272

+ √323

=

¿ 7√325

− 2√10 + 14

√40 = ⋅ 2√3 - 3 √27 + 4√48 - 5√300 + 9√972=

¿ 2√45 − 3√80 + 4√125 − √500 + 2√180=¿ 3√99 − 4√44 + 5√1331 − 2√1100 + 3√539=

10. – Efectúa las siguientes operaciones:

¿ 2√8 − 3√72 + 5√200 − 4√722 + 5√225

=

¿ 7 √40 − 5√90 + 6√1000 − 3√6250 + 20√52=

¿ 12

√500 + 14

√80 − 3√320 + 6√245=

¿ 3√203

+ 2√60 + 3√5003

− 5√15 =

¿ 2√6 − 3√503

+ 3√2003

+ 3√24 =

¿ 3√8 − 5 √812

+ 16√18

− 5√258

=


¿ 9 √2 ⋅ 3 √8=¿ 5 √3 ⋅ 2 √75=

¿ 4√13

⋅ 7 √3=

¿ 9 √6 ⋅ 3 √256

=

¿ 3 √12

⋅ 5 √32=

¿ 4 √172

⋅ 2 √18=

¿ 9 √15

⋅ 3 √80=

¿ 12 √1

6 ⋅ 8 √54=

¿ 2 √38

⋅ 5 √96=

¿ 16 √27

⋅ 14 √7

8=

¿ 6 √32 ⋅ 5 √812

=

¿ 2 √5 ⋅ 3 √25 ⋅ √35 √15

=

¿ 15 √32 : 3 √2=

¿ 48 √6 : 3 √32=

¿ 54 √18 : 9 √12=

¿ 4 √48 : 2 √13

=

¿ 7 √22 : 128

√0,72=

¿ 4 √96 : 112 √3

8=

¿ 12 √13

: 14 √1

12=

¿ 48 √12

: 4 √0,0 {5=¿

¿ 26 √18 : 2 √950

=

¿ 43

√48 : 19

√3=¿

23

√96 : 19

√0, { 6= ¿¿ 16

√288 : 118 √1

2= ¿¿

¿ ( 2 + √3 )2= ¿ ( 2 − √3 )2= ¿ (1 + 2 √3 )2=¿ (√5 + 2√2 )2= ¿ (√3 + √2 )3= ¿ (√3 − √2 )3=¿ ( 2√3 + 2 )3= ¿ ( 2√3 − 2 )3= ¿ ( 2√2 − 3 √3 )3=

¿ ( 2√5 − 3 √2 )3= ¿ 5 √2 ⋅ 3 √810

= ⋅ 3 √6 ⋅ 25 √15045

=


¿ 3 √27 ⋅ 4 √12

6= ¿ ( 1

2√3 − 2 √2)

3

= ¿ ( 13√2 +

25

√3)3

=

¿ (√2 − 2 )2+ (√2 + 2 )2= ¿ (√5 + √2 )3− (√5 − √2 )3=

¿ (√3 + √2 )3 - (√3 - √2 )3

11√2= ¿

(√2 + 2 )3 - (2 - √2 )3

7√2=

¿ (5 + √3 )3 - (5 - √3 )3

6√3= ¿ √ (0,2-3 ) : ( 2

5 )−3

2

¿ (2√48 + 3 √75 - 2 √27 ) ⋅ 8 √2

2√96= ¿

(3√24 + 2 √150 ) ⋅ 2 √348 √2

=

¿ √ 3√0.6-3⋅ (12 )

−2

0,1 { 6 :

13√8-2

=¿ ¿ (3√80 + 5 √180 ) ⋅ 2 √3

√735=

¿ (3√6 − √24 + 2 √54 ) ⋅ 8 √3

√288=

13. – Halla:

¿ √ 3√( 127 )

−2

⋅ 3√( 1

64 )−2

0,25 =

14. – Calcula aplicando la propiedad distributiva:

¿ ( 3 - 2 √2 ) (2 √2 - 3 ) =¿ ( 2 - √3 ) (2 √3 - 2 ) =

¿ (5 - √2 ) (2 - √5 ) =

15. – Calcula:

¿ (2√24 − √48 ) (√6 + √3 )

7√3 ⋅ 4 √1214

=

16. – Calcula:

¿ (2√54 − 6 √3 ) (√6 + √3 )

2√3 ⋅ √755

=

17. – Calcula:

¿ (2√3 + 3 √2 ) (√3 − √2 )

√6=

¿ (2√5 + 3 √10 ) (√10 − √5 )

4 - √2=

¿ ( 4√6 + 2 √3 ) (3√6 − 2 √3 )

2 ( 10 - √2 )=

¿ √2 + √3√2 - √3

⋅ √3 - √2√3 + √2

=


¿ √2 (√32 - √50 + √18 )¿ √3 (√108 - √27 + √48 )

¿ (√5 - √3 ) (6√5 + 6 √3 )¿ ( 6√6 - 6 √3 ) (√6 +√3 )

¿ ( 4√6 - 4 √3 ) (√6 +√3 )¿ (√180 + √162 )⋅(√20 − √18 )

¿ 8 (√252

+ √ 98 ) (√32 − 3 √ 1

2 )19. – Efectúa las siguientes

operaciones:

¿ 2 3√16 + 3 3√54 - 3√128 + 3√250¿ 2 4√4375 − 4√9072 - 3 4√567 + 4√112

¿ 5 4√176 − 3 4√891 + 6 4√6875 − 2 4√14256

¿ 2 3√1029 - 5 3√192 + 3 3√64820. - Calcula

¿ [ ( 4√50 − 3 √72 ) (5√2 + √18 ) ] ⋅ √2

√32 - √8=

21. – Calcula

¿ (2√45 +

32

√72) ⋅ (2√5 − 3 √2 ) ⋅ 10 √5

2√180=

22. – Calcula

¿ (2√54 − 6 √3 ) ⋅ (√6 + √3 )

√1 + √5 + √10 + √36=

23. - Calcula

¿ 2 2 - √3

+ 3

√3 - √2 -

3

√2 - 1=

24. – Calcula

¿ (9√3 + 5 √27

4 ) ⋅ 20 √ 13

33=

25. – Calcula

¿ (√6 + 1√6 - 1

− √6 - 1√6 + 1 ) ×

5 √248

=

26. – Calcula

¿ ( 2√6 + √32√6 - √3

− 2√6 - √32√6 + √3 ) × 14 √2=

27. – Calcula

¿ (√3 + 1

√3 - 1 −

√3 - 1

√3 + 1 )2

: 6 =

28. - Calcula

¿ (5√ 1

2 + 3 √ 1

8 ) ⋅ (4 √2 − 3 √ 12 )

18

=

29. - Calcula

¿ (2√2 + 5 √3 )2 − (5 √3 − 2 √2 )2

2√24=

30. - Calcula

¿ √2 + √ 9

8 - √ 1

2√28

=

31. – Calcula

¿ 3 √15 - 4 √ 3

5 + √60

2√ 320

=

32. – Calcula

¿ √10 - √ 8

5 + √40

1√10

=

33. – Calcula

¿

34

√6 - 4 √2732

+ 5 √752

√ 38

=

34. – Calcula

¿ (√2 + 1√2 - 1

− √2 - 1√2 + 1 ) : √8 =

35. – Calcula

¿ 3

√5 - √2 −

1

√2 - 1 -

4

√5 - 1=

36. – Calcula

¿ ( 14

√6 × 2 √3 × √2

√27 )-2

=

37. – Calcula

¿ (3 √6 + 5 √3 ) ( 3 √54 - 3 √27 )

1+ 2 √2=

38. – Calcula

¿ (2 √150 + 2 √8 ) ( 5 √6 - 2 √2 ) ⋅ √2

√10082=

39. – Calcula

¿ (3 √20 + 2 √27 ) (√5 - √3 )

14

√6 × 25√150

=

40. – Calcula

¿ 9 √72 - 3 √18 + 12 √98

√ 92

=

41. – Calcula

¿ 6 √18 - 3 √72 + 9 √98

√ 92

=

42. – Calcula

¿ 2 √72 - 3 √50 + 4 √32 + 2 √98

5425 √25

2

=

43. – Calcula

¿ 2 √128 - 3 √32 + 5 √50 - 2 √2

√812

=

44. – Calcula

¿ 9 √12 + 15 √48 + 6 √75 + 2 √3

√1213

=

45. – Calcula

¿ 4 √80 - √20 + 5 √125 - 5 √5

17 √ 15

=

46. – Calcula

¿ (2 √3 + 5 √6 ) (5 √3 - √6 )

√18=

Ejercicios 2

1.- Calcular las siguientes raíces, razonando el resultado:

a) √121=

b) 3√−8=

c) 4√81=

d) 3√0 ,125=

e) √−8=

f) 5√−0 ,00001=

2.- Simplificar los siguientes radicales:

a)

4√32=

b) b)

6√ x3=

c) c)

12√26 b3=

d) d)

8√a4b16=

e) e)

10√x15 y20=

f) f)

18√36a12 x24=

3.- Extraer factores de los siguientes radicales:

a) √27=

b)

3√16a5=

c)

4√16b13=

d)

5√5 x10=

e)

3√8a4 x10=

f)

6√37 . y20=

4.-Resolver las siguientes operaciones de suma y resta de raíces:

a)

6√2−12√2+5√2−3

4√2=

b)√6+√60−√54+√96=

c)9√48−√12−2√27+3√75=

d)9√27+2√3−8√300−4√3=

e)

3√452

−√203

+4 √125−√5=

f)8√8−5 √2+4√20−12√5+3√18=

g)6 5√8−3 5√8+14 5√8−5√8=

h)5 4√21+4 4√21−3 4√21+14 4√21−111 4√21=

i)7√2+5√3−8√3+√2−√3=

j)11√2+3 3√2+8 3√2−3√2+4√2−√2=

k)3√7−√11+3√7−4 √7+5 √11+√2=

l)

√3+ 3√7−3√34

+ 72

√3−112

3√7+ 3√3=

m)

23√7−2

5√5+ 3

8√5−2

7√7=

n)

52√45−√20

4+3√125−1

2√5=

o)

72

3√3−3 3√3+14 3√3−3√3=

p)

5√125+6√45−7√20+ 32

√80=

q)

3√16+ 3√12−3√54−215

3√250=

r)√125+√54−√45−√24=

5.-Realizar las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:

a)√2.√8=

b)3√5 . 3√25=

c)

4√ x2 .4√ x3=

d)3√2x . 3√3 x . 3√5 x=

e)

5√ 23

.5√ 3

2=

f)6√ xy .

6√ yx .6√ yx =

g) √15⋅√30=

h)

6√1256√25

=

i) √6 :√2=

j)5√6 x3 :

5√2x=

k)3√a2 b:

3√ab2=

l)6√3a3b :

6√6 a2b=

m) e)

4√a3 :4√a=

n)

3√ x2

y:3√ xy2

=

Ejercicios de racionalización

6.- Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones:

a)

2

√6=

b)

5

√45=

c)

13√a

=

d)

13√x2

=

e)

2√3√18

=

f)

23√2

=

g)

2√3−√2√18

=

h)

2

√5−√3=

i)

1

√3−2=

j)

√2+√3√2−√3

=

k)

√6−√2√3−√2

=

l)

√a2√a−√b

=

m)

√2−1√2

=

n)

3

3+√3=

o)

2√3+√2√12

=

p)

1

√3−√5=

q)

3

√5−2=

r)

11

2√5+3=

s)

3√6+2√23 √3+2

=

7.- Haz homogéneas las siguientes raíces:

a)3√5 .x . y2 ;√6 . x3 . z ;

4√2 . x . y2 . z3

b) √a ; 3√b2 ;4√b3 ;

6√a2

c)3√n2 ;

4√m3 ;6√n5

d)5√a3 ;

4√m; 6√n5 ;10√a3

8.- Opera las siguientes raíces, y extrae factores si es necesario:

a)

3√a2 : √a=

b)6√a5 :

4√a=

c)8√a5 :

4√a3=

d) √a .b :3√a .b2

=

e)3√3 .a3 :

4√3.a=

f)5√2.a .b3 : √2 .a .b=

g) √3 .a3 .b :3√6 .a2 .b=

h)3√9 .a2 .b :

6√27.a=

i)

√a .3√a2

4√a =

j)

√a2 .b .6√a .b

6√a .b2=

k)

√x⋅3√x2

6√ x=

l)

4√x3⋅y⋅3√ x⋅y2

6√ x⋅y2=

m) √5 . 3√6=

n)3√5 .√6=

o) √a . 3√a=

p)3√a . 4√2 .a=

q) √a3 .b .3√2.a2 .b2=

r) √2. 3√3 . 4√4 =

s) √2. 3√4 . 4√3 . 6√6=

t) √ a .b2

x . y: 3√ a .b

2. x . y =

u)

3√ 3 . x . ya .b

:4√ x2 . ya .b =

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